Il campo magnetico prodotto da correnti continue
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Lezione 6: il campo magnetico prodotto da correnti continue il potenziale vettore
Il campo magnetico prodotto da correnti continue
Osservazioni sperimentali: Orsted: correnti elettriche danno
luogo a campi magnetici;
Legge di Biot-Savart: linee di B sono cerchi
concentrici al filo
o= 4 10-7 N/A2
20
2 r
riB
r
iB
r
iB
2
0
rE
o
4
1
relazione simile a quella trovata per il campo elettrico prodotto da un filo uniformemente caricocambia la direzione: campo elettrico E è radiale campo magnetico B è circolare
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idsB
rBdsB
0
2
Legge della circuitazione di Ampere
vale per qualsiasi curva
che abbracci la corrente
21
0
iii
idsB
tot
tot
principiosovrapposizione
0
i
dsB
3,2i
1
3
2
se non concatena corrente
concidsB 0 validita` generale
correnti stazionariecircuiti di forma qualsiasi
Correnti stazionarie originano campi magneticiLe linee di campo non hanno origine nè termine (curve chiuse)
conco
l
ildB 0l
ldE
campo conservativo (il lavoro e` nullo)
campo non conservativo(il lavoro dipende dal percorso)
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y
H
x
HHrot
x
H
z
HHrot
z
H
y
HHrot
xyz
zxy
yzx
)(
)(
)(
Il rotore del vettore H può essere associato al calcolo di un lavoro, ad una circuitazione.
N.B. Campo conservativo: il lavoro su un qualsiasi circuito chiuso è nullo
il campo e` irrotazionale
Circuitazione e Rotorevettore
dHrotdsH )(
Significato fisico del rotore:
teorema di Stokes
0Hrot
proprieta` del rotore: 0)( Hrotdiv
CSdef
ldHS
limnHnHrot 1
)(0
In coordinate cartesiane:
zyx HHHzyx
kji
Hrot
SC
n
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Correnti spaziali
= densita` di corrente
j
dBrotdsB
djdsB
djiconc
0
jBrot
0correnti
stazionarie
Applicazioni della legge di Ampere: Solenoide
avvolgimento cilindrico di filo conduttore n spire per unita` di lunghezza
interno
rl
esterno
inB 0 costante e rettilineo
0B
Sperimentalmente importante:crea campi magnetici rettilinei, costanti e confinati nello spazio(nella NMR si entra in un solenoide!)
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Il Potenziale Vettore
campi magnetici stazionari
jBrot
Bdiv
0
0
campi elettrici stazionari
00
Erot
Ediv
gradE
)0)(( gradrotArotB
)0)(( Arotdiv
= potenziale scalare[] = Volt
= potenziale vettore[] = Tesla m
Potenziale vettore: funzione complicata da calcolarenon univocamente determinata (come anche ):
i risultati devono essere indipendenti dalla scelta di :
vincolo sul potenziale
tutto l’elettromagnetismo puo` essere scritto in termini di potenziali ed A,
dimenticandosi dei campi
)( gradArotArotB
0Adiv
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dVr
jA
dVr
V
V
12
0
120
4
4
1
simmetria di formalismo potenziale elettrostatico-potenziale vettore magnetico
Il potenziale vettore e` originato dalle correnti
(come il campo B)
jA
jBrot
ArotB
02
0
2
2
2
2
2
22
2)()(
z
A
y
A
x
AA
AAdivgradArotrot
iiii
Il potenziale scalare e` originato dalle cariche
(come il campo E)
0
2
0
Ediv
gradE
2
2
2
2
2
22
2)(
zyx
graddiv
0 j
0
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r12i
dl
B ??
Legge di Ampere-Laplace
ArotB
dVr
jA
V
12
0
4
)4
(12
0 dVr
jrotB
V
(x1,y1,z1)
(x2,y2,z2)
11111 ),,(
z
A
y
AzyxB yz
x
2/1221
221
221
112 )()()(
zzyyxxr
3
12
120
4 r
rdlIB
dVr
rzyxj
dVr
zzzyxj
r
yyzyxj
dVrz
zyxjry
zyxjzyxB
x
yz
yzx
312
122220
312
212223
12
21222
0
121222
121222
0111
),,(
4
),,(),,(4
1),,(
1),,(
4),,(
correnti in circuiti filiformi:prima legge
di Ampere-Laplace
e` una legge formale: per verificarla sperimentalmente dovrei tagliare il filo! 3
12
120
4 r
rdlIBd
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Il dipolo magnetico
dipolo magnetico spira piana di piccole dimensioniil campo B ha stessa forma del campo E di un dipolo elettricocomportamento dipolo magnetico e` analogo a dipolo elettrico
calcolo di A in analogia con elettrostatica:Ax e generato da jx
equivale a potenziale scalare prodotto da xj00
30
30
4)(
4
1)(
r
ybaP
baqp
r
rpP
= densita` di carica lineareS= sezione del filo
SI
S
110
0
qp - +
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04
4
30
30
z
y
x
Ar
xabIA
r
yabIA
non ci sono correnti nella direzione z
AreaIabIA
350
)(34
1
r
p
r
rrpE
gradE
304
1)(
r
rpP
qp - +
momento di dipolo elettrico
350 )(3
4
)(
rr
rrB
ArotB
momento di dipolo magnetico
nabI
30
4 r
rA
sorgenti diverse (dipolo e spira) originano campi uguali solo a grandi distanze, lontano dalle sorgenti
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Dipolo magnetico in un campo magnetico
hh
dldl
dldl
il circuito non subisce un moto traslatorio (si vede sperimentalmente) ogni tratto di circuito subisce una forza F(in direzione e verso differente)
il circuito risente di una coppia di forze di momento M:
seconda legge di Laplace per un circuito chiuso:
c
BdliBdliBdliF 0
FhM
sendlhBidM
BdiF
BBniSM
BsenSiM
superficie infinitesima racchiusa dai due segmenti di circuito dl. )(senhddS
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campo magnetico su un ago magnetizzato:
rotazione dell’ago fino ad allineamento con Bago subisce un momento M:(analogamente a spira percprsa da corrente)
Principio di Equivalenza di Ampere
BM
e` costante caratteristica dell’ago magnetizzato
BniSMBM
azione di un campo magnetico
su ago magnetizzato
con momento
azione di un campo magnetico
su spira percprsa da corrente i
iS
campo magnetico generato dal magnete iS
campo magnetico generato dalla spira