IL BELLO DELLA GEOMETRIA Renato Betti – Politecnico di Milano.
IL BELLO DELLA GEOMETRIA
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Renato Betti – Politecnico di Milano
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quando egli fissava i cieli, io ero là; quando tracciava un cerchio sull'abisso; (Proverbi 8, 27)
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Il bello della geometria – Roma, 30 0ttobre 2009
12 rIn R3: 13 r………In Rn: 1 nr
4
4
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(?!) ...162,2110 rIn R10:
La ipersfera interna esce dell’ipercubo !
4
4
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La geometria è la “misura della terra”
La geometria diventa una scienza razionale
I teoremi di Talete di Mileto(VI sec. aC)
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La geometria è lo studio delle “forme dello spazio”
Esistono solo cinque poliedri regolari convessi (Teeteto, IV aC)
Teorema di Pitagora
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terra
fuoco
acqua
aria
etere(modello di universo)
I solidi platonici
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Teorema di Napoleone
Teorema di Morley
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a
b ba
4
2
24
2 abax
Forme dello spazio(aspetti qualitativi, geometria)
Rapporti quantitativi (calcolo, aritmetica/algebra)
Algebra geometrica: baxx 2
Geometria analitica (Descartes, XVII sec.)
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La media geometrica non supera la media aritmetica 2
baab
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La geometria è lo studio delle proprietà delle forme che sono “invarianti” rispetto alle trasformazioni di un “gruppo” (Felix Klein, 1872)
omogeneità
e
isotropia dello spazio
invarianza rispetto alla sceltadell’unità di misura
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L’area del triangolo formato dagli asintoti di un’iperbole e dalla tangente in un puntoqualsiasi è costante (indipendente dal punto)
Due figure F ed F’ sono “equivalenti” (F ~ F’) se esiste una trasformazione t di G che trasforma F in F’: t(F) = F’
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1xy
200 yxxy
)0,2(0y
A )2,0(0x
B
22421
0000
yxyx
S
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Proprietà delle forme
l’incentro e il circocentro di un triangolo sononozioni simili (= invarianti per similitudine)
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la nozione di baricentro di un triangolo è una nozione affine
Proprietà delle forme
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Na bA B
regola del momento:a.AN = b.BN
Il baricentro
a
a a a
2a
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2a
a
3a
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Il teorema di Ceva 1EACE
DCBD
FBAF
a b
c
A B
CE
F
D
(Giovanni Ceva, Milano 1647 – Mantova 1734)
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Il teorema dei triangoli omologici(Girard Desargues, 1640)
Proprietà delle forme
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Esempio: il teorema di Pitagora è una proprietà simile
2
'k
TSk
CBBC
La generalità
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2
2
ca
UT
ca
2
2
cb
US
cb
2222
2
2
2
1 cbacb
ca
US
UT
U=T+S
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In un triangolo rettangolo, la somma delle aree di due figure simili costruite sui cateti è uguale all’area della figura, simile alle precedenti, costruita sull’ipotenusa
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Grazie per l’attenzione
La geometria è la scienza del ragionare corretto su figure scorrette(G. Polya)