المعهد العربي للتدريب والبحوث اإلحصائية

أساسيات االحتماالت

إعــــداد

االستاذ الدكتور خالد زهدي خواجه

مديــر عـــام

المعهد العربي للتدريب والبحوث االحصائية

1

المقدمـــــــــــــة

اتسعت استخدامات االحتماالت والتوزيعات االحتمالية ، وأصبحت

اداة رئيسية وهامة لالقتصادي واالجتماعي والمهندس والطبيب وغيرهم ،

.ودخلت في كافة العلوم ، وأصبحت تدرس في المدارس والجامعات

ونظرا ألهمية هذا الموضوع ارتأيت أن أضع بين أيـدي طلبتنـا

األعزاء هذا المؤلف ، الذي هو مقدمه في االحتماالت، ولم أشأ أن أتعمـق

فيصبح للمتخصصين فقط ، واردته ان يكون شرحا مبسـطا في الموضوع

مع أمثلة تطبيقية وتمارين وحلول لهذه التمارين تسهل على الطالـب فهـم

ولهذا اقتصر هذا المؤلف على التعريف . المادة وترغبه بها وال تنفره منها

باالحتماالت وقوانينها ، والمتغيرات العشوائية والتوزيعات االحتمالية وأدلة

والتوزيعات المقطعـة ). التوقع والتباين والتغاير(وصيف هذه التوزيعات ت

والمتصلة مع التركيز على التوزيع الطبيعي ، إضافة إلى مجموعـه مـن

.التمارين المتنوعة وحلولها

.ارجـو أن أكـون قـد وفقـت

المؤلف

د خالد زهدي خواجه.أ

2

الفصـــــل األول

3

ولالفصــل األ

ـاالتاالحتمـــــــPROBABILITIES

معنى االحتــمال

هو مقياس " لقد تم تعريف االحتمال بطرق عديدة غير أن أبسطها

" . معين (Event)المكانية وقوع حدث

كثيرا ما نستعمل في حياتنا اليومية كلمات يحتمل ويمكن ويجوز ،

ونعني بهذا أن ، ماء اليومأو من المحتمل أن تمطر الس فنقول مثال من الممكن

الظواهر الطبيعية المحيطة بنا اليوم مشابهة لنفس الظواهر الطبيعية في أوقات

كذلك عندما نقول أن احتمال سحب . سابقة التي حدث فيها أن أمطرت السماء

٤/١ورقة هو ) ٥٢(من مجموعة واحدة من ورق اللعب عددها " سباتي"ورقة

و أننا إذا ما سحبنا ورقة واحدة من مجموعة ورق فإن ما نعنيه في الحقيقة ه

مرات ٤/١اللعب عدة مرات فأننا نتوقع أن نحصل على ورقة سباتي في

. ١٣في المجموعة هو " السباتي"السحب وذلك ألن عدد أوراق

.٤/١= ٥٢/١٣ إذن فاالحتمال هو

نوع لقد شهد القرنين السادس عشر والسابع عشر اهتماما بارزا بهذا ال

من الدراسات والبحوث حيث كانت الظروف مواتية لذلك في تلك الفترة إذ أن

ألعاب المقامرة بورق اللعب ورمي حجر النرد كانت منتشرة في قصور

المترفين في أوروبا خاصة في فرنسا، وكانت هذه فترة النهضة العلمية في

م إلى أسس أوروبا وخاصة في مجال الرياضيات، وقد شعر المقامرون بحاجته

فلجأوا إلى علماء ، علمية تساعدهم على حساب فرصهم في الكسب أو الخسارة

وبرنولي (FERMAT)وفرمات (PASCAL)الرياضيات أمثال بسكال

4

(BERNOULLI) وغيرهم وهنا كانت نقطة البدء في الدراسات الجدية

.في علم االحتمال

: تعاريـــف

الحتمال يلزمنا أوال تقديم كي نتمكن من عرض أسس ونظريات علم ا

:بعض التعاريف التي تستخدم في هذا المجال

: الحادث والتجربة والفراغ العيني - ١

افترض أننا نقوم بإجراء تجربة ما كرمي زهرة النرد مثال ونالحظ كل

٥أو ٤أو ٣أو ٢أو ١النتائج الممكنة وهي ظهور أحد األوجه الستة

مـن ٥أو ٣أو ١ر رقم فردي أي ونفترض أننا مهتمون بظهو ٦أو

تجربــةوهكــذا فــإن عمليــة رمــي الزهــرة تســمى . التجربــة

(Experiment) حادثـا وظهور رقم فردي هو محل اهتمامنا يسمى

(Event) بـالفراغ ومجموعة جميع الحاالت الممكنة الظهور تسمى

(Sample Space). العيني

.لفراغ العيني ويالحظ أن الحادث قد يكون حالة او اكثر من ا

(Possible Cases)الحاالت الممكنة - ٢

هي الحاالت أو النتائج المختلفة التي يمكن أن تظهر نتيجة إلجراء

فمثال عند رمي قطعة عملة تكون نتيجتها صورة أو ، تجربة معينة

٥أو ٤أو ٣أو ٢أو ١كتابة ، وعند رمي زهرة نرد تكون نتيجتها

٦في حالة رمي قطعة العملة و ٢الممكنة فيقال أن عدد الحاالت ٦أو

.في حالة رمي زهرة النرد

(Favorable Cases)الحاالت المواتية - ٣

5

هي النتائج او الحاالت التي تؤدي إلى تحقيق الحادث الذي هو

موضع اهتمامنا ، فإذا كان الحادث هو الحصول على رقم فردي في

هذا الحادث هي حالة رمي زهرة النرد فإن الحاالت التي تحقق

هذه الحاالت الثالثة تسمى الحاالت ، ٥أو ٣أو ١الحصول على

.المواتية

(Equally Likely Cases)الحاالت المتماثلة - ٤

إذا كان لدينا عدة كرات معدنية مصنوعة من مادة واحدة متجانسة في

الكثافة ولها نفس الوزن والحجم وضعناها في كيس وسحبنا كرة منها

جيدا فإن هذه الكرات تكون حاالت متماثلة أي يكون لكل بعد خلطها

.منها نفس النصيب في السحب

(Mutually Exclusive Events)الحوادث المتنافية - ٥

. أنهما متنافيان إذا استحال حدوثهما معا Bو Aيقال عن الحادثين

فمثال عند رمي حجر النرد ال يمكن الحصول على وجهين في وقت

.واحد

(Independent Events)ادث المستقلة الحو - ٦

حادثين مستقلين إذا كان وقوع إحداهما أو عدم Bأو Aيعتبر الحادثين

فمثال عند رمي قطعة عملة واحدة .وقوع اآلخر وقوعه ال يؤثر في

.مرتين متتاليتين فإن نتيجة الرمية الثانية ال تتأثر بنتيجة األولى

(Exhaustive Events)الحوادث الشاملة - ٧

حوادث شاملة في تجربة ما إذا كان ... A ،B ،Cتسمى الحوادث

.البد من حدوث إحداها عند إجراء التجربة

6

فمثال عند اختيار طالب من الجامعة لمعرفة حالته ما إذا كان

مدخنا أو غير مدخن تعتبر هذه الحاالت حوادث شاملة ألنه البد للفرد

كذلك فإن الحصول على . فاتأن يكون له صفة واحدة من هذه الص

عند رمي حجر النرد تعتبر ٦أو ٥أو ٤أو ٣أو ٢أو ١العدد

.حوادث شاملة ألنه البد من حدوث إحداها

حســاب االحتــمـال

" هو نسبة عددية غير سالبة محصورة بين الصفر والواحد"االحتمال

على حيث تدل القيمة صفر على حالة استحالة الحدوث والقيمة واحد

: ويمكن حسابه أو تقديره بطريقتين . الحادث األكيد الوقوع

.االحتمال النظري -

.االحتمال التجريبي -

(Theoretical Approach) االحتمال النظري يعرف أيضا باالحتمال الكالسيكي ، واالحتمال النظري لحدوث حادثة

نة الحدوث على فرض ما هو نسبة عدد الحاالت المواتية إلى عدد الحاالت الممك

.أن كل الحاالت لها نصيب متكافيء في الحدوث

: ١مثـال

كرات بيضاء فما ٣كرات حمراء و ٨إذا كان لدينا كيس بداخله

هو احتمال أن نسحب كرة ما ال على التعيين فتكون كرة بيضاء؟

: الحـل

١١= عدد الحاالت الممكنة

٣= عدد الحاالت المواتية

7

١١/٣= احتمال سحب كرة بيضاء ∴

إذن من أجل حساب احتمال حدوث حادثة ما البد من معرفة عدد

.الحاالت الممكنة التي لها نصيب متكافيء في الحدوث وعدد الحاالت المواتية

: ٢مثـال

ات هم ـدى الشركـأعضاء من مجلس إدارة إح) ٤(ان هناك ـإذا ك

)A ،B ،C ،D (ار اثنين منهم لتمثيل الشركة في احدن الختيمرشحي

:المؤتمرات الدولية

Aما هو احتمال اختيار العضو . أ

Dأو Aما هو احتمال اختيار أحد العضوين . ب

Dو Aما هو احتمال اختيار العضوين . ج

Aما هو احتمال عدم اختيار العضو . د

هو مجموعة الحاالت الممكنة أي Sالفراغ العيني : الحــل

S = {AB, AC, AD, BC, BD, CD}

حاالت ، عدد ٣هو Aعدد الحاالت المواتية الختيار العضو - أ

.حاالت ٦الحاالت الممكنة

= االحتمال

21

63)A(P ==

Dأو Aحاالت مواتية الختيار ٥هناك - ب

65 P(AUD) D)or A(P ==

عدد الحاالت المواتية

الحاالت الممكنة عدد

8

D , Aهناك حالة واحدة مواتية الختيار -ج

P (A , D) = P (A ∩ D) = 61

Aحاالت مواتية لعدم اختيار ٣هناك -د

21

63)A( P ==∴

(حيث A( P هي احتمال عدم اختيارA

عيـوب االحتـمال النـظري

أو الصعوبات في تطبيق التعريف النظري لالحتمال هناك بعض العيوب

: منها

صعوبة حصر عدد الحاالت الممكنة - ١

أخذت عليه النقطة س وطلب إلينا SPفمثال لو كان لدينا المستقيم

.حساب احتمال وقوع النقطة س في الجزء ب جـ من المستقيم

ة س في الجزء ب ج علينا أن نحسب لحساب احتمال وقوع النقط

مجموع نقاط الجزء ب جـ وهي التي تمثل عدد الحاالت المواتية وأن

والتي تمثل عدد الحاالت الممكنة ، أ دنحسب مجموع نقاط المستقيم

ولكننا نرى أنه من الصعب جدا حساب عدد هذه النقاط وبالتالي من

.الصعب تطبيق التعريف النظري لالحتمال

د أ* * *

س

ج ب

9

م تحقيق تماثل الحاالت الممكنة عد - ٢

فالتعريف النظري يشترط لتطبيقه تماثل الحاالت الممكنة ولكن هذا

ال يتحقق دائما فمثال عند اختيار شخص ما لمعرفة حالته االجتماعية

وهي أعزب أو متزوج أو مطلق أو أرمل فال يمكننا القول ) الزواجيه(

بل وال يمكن حساب ٤/١أن احتمال كونه أرمال مثال يساوي

أو تقدير هذا االحتمال باستخدام التعريف النظري ألنه من الواضح أن

.هذه الحاالت الممكنة غير متماثلة

٢/١كذلك ال نستطيع القول بأن احتمال أن يكون المولود ذكرا يساوي

على اعتبار أن الحاالت المواتية حالة واحدة وهي كونه ذكرا والحاالت

وذلك ألنه من المشاهد في جميع أنحاء ) ذكر أو أنثى(لتان الممكنة حا

.العالم هو زيادة عدد المواليد الذكور على اإلناث

من هنا نشأت الحاجة إلى تعريف آخر لالحتمال يتغلب على مثل هذه

.الصعوبات هذا التعريف هو االحتمال التجريبي

(Empirical Approach) االحتمال التجريبي مرة وكان عدد Nعلبة كبريت على شكل متوازي مستطيالت إذا رمينا

وعدد الرميات التي n1الرميات التي نتيجتها ظهور الوجه الكبير إلى أعلى

وعدد الرميات التي نتيجتها ظهور الوجه n2نتيجتها ظهور الوجه المتوسط

فإن n3الصغير

= نسبة عدد المرات للوجه الكبير Nn1

10

= نسبة عدد المرات للوجه المتوسط Nn2

= نسبة عدد المرات للوجه الصغير Nn3

هذه النسب تختلف عن الـ 3 لعدم تماثل الحاالت الممكنة 1

كبيرة كلما اقتربت هذه النسب من االستقرار عند قيمة Nوكلما كانت

.على التوالي% ١٠و % ٢٠و % ٧٠وقد تكون مثال ثابتة

بحيث يمكن القول أن

Lim 70.0Nn1 =

N → ∞

وهو احتمال الحصول على الوجه

األكبر عند رمي علبة الكبريت

Lim 20.0Nn2 =

N → ∞

وهو احتمال الحصول على الوجه

األوسط عند رمي علبة الكبريت

Lim 10.0Nn3 =

N → ∞

وهو احتمال الحصول على الوجه

األصغر عند رمي علبة الكبريت

د مرات ظهور الوجه مرة وكان عد nكذلك إذا رمينا قطعة عملة

= مرة فإن نسبة عدد الصور rصورة هو nr . ٢/١هذه النسبة قد تختلف عن

كلما اقتربت النسبة nصغيرة ولكن من الثابت أنه كلما زادت nإذا كانت nr

٢/١دا من كبيرة جدا تصبح النسبة قريبة ج nبحيث أنه عندما تكون ٢/١من

ناأي

Lim 2/1Nn1 =

N → ∞

11

.وهو احتمال الحصول على صورة عند رمي قطعة النقد

قوانـين االحتــماالت

جمـع االحتمـــاالت -

في حالة كون الحوادث متنافية - أ

حوادث متنافية بمعنى أن حدوث أحـدها .... A3 , A2 , A1إذا كانت الحوادث

يـؤدي

من الحوادث األخرى وبالتالي فإن احتمال حدوث هذه إلى استحالة حدوث أي

الحوادث معا يكون معدوما فإن

)١(حادثين متنافيين كما في الشكل B ،Aفإذا كان

A (Pأو P(A) + P(B) )B =فإن

يرمز أيضا الحتمال وقوع أحد الحادثين بالرمز

P (AUB) = P (A) + P (B)

s A B

: وعلى ذلك يكون تعريف االحتمال التجريبي كما يلي

وكان عدد المرات Nإذا أجريت تجربة مرات متتالية عددها

مرة فان احتمـال rالتي يتحقق في كل منها حادث معين هو

وقوع هذا الحادث يساوي

Lim nr

N → ∞

احتمال وقوع أي حادث من الحوادث المتنافية

يساوي مجموع احتماالت وقوع هذه الحوادث

)١(الشكل

حوادث متنافية

12

ي زهرة نرد ما هو احتمال الحصول على عدد فردي؟في حالة رم: ٣مثـال

وحيث ٥أو ٣أو ١الحصول على عدد فردي معناه الحصول على : ل ــالح

أن هذه الحوادث الثالثة متنافية فإن

P (1 5 أو 3 أو) = P (1) + P (3) + P (5)

= 61

61

61

++

= 21

:٤ال مثـ

عند رمي زهرة نرد مرتين ما هو احتمال الحصول على وجهين متشابهين؟

: الحــل

) ٢و ٢( أو )١و ١(الحصول على وجهين متشابهين معناه الحصول على

وهي حوادث متنافية واحتمال كل منها ) ٦و ٦( أو) ... ٣و ٣(أو 361

) وجهين متشابهين= ( P) ١و ١(+ P) ٢و ٢(+ ... + P) ٦و ٦(

P

= 361...

361

361

+++

= 366

13

ومما سبق نجد أن

في حالة كون الحوادث غير متنافية -ب

A(يكون المقصود بالحادث Bو Aعند عدم اشتراط تنافي الحادثين

Bو Aعلى انفراد أو وقوع الحادثين Bع وعلى انفراد أو وق A وقوع) Bأو

التالي) ٢(معا في وقت واحد كما يتضح من الشكل

مضافا Aتمثل مجموع الحاالت المواتية للحادث P (A) + P (B)اآلن

ولكن يجب مالحظـة أن كـل مـن Bالمواتية للحادث وع الحاالت إليها مجم

تتضمن الحاالت المواتيـة Bوتلك المواتية للحادث Aواتية للحادث الحاالت الم

فإننـا نجمـع P (B)و P (A)معا ، وبهذا فإنه في حالة جمع Bو Aلوقوع

s

A B

A and B

حادثين شاملين ومتنافين فإن B , Aإذا كان

P (A) + P(B) = 1

حادثين شاملين ومتنافين ومتماثلين فإن B , Aا كان إذ

P (A) = P (B) = 1/2

Aو Aفإن الحادثين Aبالرمز Aإذا رمزنا للحادث عدم وقوع

يكونان متنافيين وشاملين ، مثل أن يكون الشخص مدخنا أو غير

مدخن

)٢(شكل

افيةحوادث غير متن

14

)B وA (P مرتين ، لهذا البد من طرح)B وA (P مرة واحدة لنحصل

: وهذا هو A (Pأو B( على االحتمال

)B وA (P – P (A) + P (B) )=B اوA (P

أو P (AUB) = P (A) + P(B) – P (A∩ B)

: ٥مثـال

بالرجوع إلى مثال أعضاء مجلس إدارة إحدى الشركات، ما هو احتمال

أعضاء من مجلس إدارة إحدى ٤من بين Dأو العضو Aأن يتم اختيار العضو

في أحد المؤتمرات ؟لتمثيلها ) Dو Cو Bو Aهم (الشركات

: الحــل

الفراغ العيني وهو مجموع الحاالت الممكنة

S = { }CD BD, BC, AD, AC, ,AB

(AB, AC, AD)هي Aالحاالت المواتية الختيار -

(AD, BD, CD)هي Dالحاالت المواتية الختيار -

(AD)معا هي Dو Aالحاالت المواتية الختيار -

.ت نحصل على النتيجة التي حصلنا عليها سابقاحسب قاعدة جمع االحتماال

P (AUD) = P (A أو D) = P (A) + P (D) – P (A∩ D) =

61

63

63

−+

15

:٦مثـال

إذا سحبت ورقة من مجموعة أوراق اللعب فما هو احتمال أن

ألربعة المكونة تكون الورقة عددا أو من مجموعة معينة من المجموعات ا

ألوراق اللعب؟

: الحــل

يمثل الحصول على Bيمثل الحصول على عدد وأن Aنفرض أن

"الديناري"ورقة من مجموعة معينة ولتكن

P (A) = 5240

P (B) = 5213

P (A∩B) = 5210

ومن قانون جمع االحتماالت

P (AUB) = P (A) + P (B) – P (A∩B)

= 5210

5213

5240

−+

= 5243

ضـــرب االحتــماالت

فإن Bو Aإذا كان لدينا الحادثين المستقلين

P (A∩B) = P (A) P (B)

أن احتمال حدوث حادثين مستقلين أو أكثر معا يساوي حاصل

ضرب احتمال حدوث كل واحد من هذه الحوادث ببعضها بعضا

16

: ٧مثـال

عند رمي زوج من أحجار ) ٣، ٣(ما هو احتمال الحصول على الوجه

النرد؟

:لــالح

لدى رمي الحجر األول من النرد هو ٣أن احتمال الحصول على الوجه 61

ن النرد هو لدى رمي الحجر الثاني م ٣وكذلك احتمال لحصول على الوجه 61

P (A ∩ B) = P (A) P (B) =

361

61

61

=×

Conditional Probability االحتــمال الشرطي يهتم مدراء الشركات حين اتخاذ العديد من القرارات اإلدارية

قد Bا كان حدثا آخر إذ Aمعين حدث أو التجارية بمعرفة احتمال حدوث

، فمثال حين يكون مطلوبا من المدير أن يتخذ قرارا بنشر إعالن دعائي حدث

لسلعة ما في التلفزيون فإنه يكون مهتما بمعرفة ما هو احتمال أن شخصا ما

إذا كان قد حصل أن شاهد اإلعالن في التلفزيون ) Aالحادث (سيشتري السلعة

).Bالحادث (

يدعى Bبشرط وقوع الحادث Aتمال وقوع الحادث وهكذا فإن اح

بعد Aوتقرأ احتمال الحادث P (A/B)باالحتمال الشرطي ويكتب على صورة

.Bوقوع الحادث

17

: سنوضح مفهوم االحتمال الشرطي بمساعدة المثال التالي

: ٨مثـال

كرات بيضاء ٧كرات سوداء و ٣كيس يحتوي على

فإذا رمزنا إلى سحب . كل على حده وبدون إعادة لنفرض أننا سحبنا منه كرتين

فإن الحاالت المركبة Bوإلى سحب كرة سوداء بالرمز Aكرة بيضاء بالرمز

: التي نحصل عليها تتمثل بما يلي

AA الكرتان بيضاوان -

AB األولى بيضاء والثانية بيضاء -

BA األولى سوداء والثانية بيضاء -

BB الكرتان سوداوان -

م يمكن إيضاحها بالرساحتماالت النتائج لسحب الكرة األولى ثم الثانية بالترتيب

: التالي

الكـرة األولى

الكـرة الثانية

A

B

A

A

B

B

P(A) = 7/10

P(B) = 3/10

P(A/A) = 6/9

P(B/A) = 3/9

P(A/B) = 7/9

P(B/B) = 2/9

18

: وهكذا فإن االحتمال المركب يمكن حسابه كما يلي

احتمال أن = احتمال ان تكون الكرة األولى بيضاء والثانية بيضاء

تمال أن تكون الثانية بيضاء بشرط أن تكون تكون األولى بيضاء مضروبا في اح

.األولى بيضاء

P (A∩A) = P (A , A) = P (A) P (A/A)

= 9042

96

107

=×

لـوبالمث

P (A∩B) = P (A) P (B/A) = 9021

93 .

107

=

P (B∩A) = P (B) P (A/B) = 9021

97 .

103

=

P (B∩B) = P (B) P (B/B) = 906

92 .

103

=

: واآلن نعمم هذا المثال ونقدم التعريف التالي لالحتمال الشرطي

االحتــمال الشـرطي -

ال يساوي الصفر فأن P (B)وكان B , Aإذا كان لدينا الحادثين

يعطي Bرط وقوع الحادث بش Aاالحتمال الشرطي للحادث

: بالمعادلة التالية

P (A/B) = P )B(P

)BA( ∩

يساوي Bبشرط وقوع الحادث Aأي أن االحتمال الشرطي للحادث

Bعلى احتمال الحادث B , Aحاصل قسمة االحتمال المركب لـ

19

B) P(A بمن االحتمال الشرطي أعاله يمكننا أن نستنتج االحتمال المرك

P (A∩B) = P (A) P (B/A)

= P (B) P (A/B)

حوادث تكون ٣ويمكننا أن نعمم هذه الصيغة ألكثر من حادثين ففي حالة

P (A∩B ∩ C) = P (A) P (B/A) P (C/AB)

: ٩مثـال

٣كرات سوداء سحبت منه ٣كرات بيضاء و ٧على كيس يحتوي

كرات بدون إعادة ما هو احتمال أن تكون كلها بيضاء؟

: الحــل

هو الحصول على كرة بيضاء في السحب األولى A1 ليكن

A2 هو الحصول على كرة بيضاء في السحب الثاني

A3 هو الحصول على كرة بيضاء في السحب الثالث

اشر للقانونوبالتطبيق المب

P (A1∩A2 ∩ A3) = P (A1) P (A2/A1) P (A3/A1A2)

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

85

96

107

= 720210

20

: ١٠مثـال

ل أن سحبت ورقتان من مجموعة أوراق اللعب بدون إعادة ما هو احتما

تكون عشرتين؟

:الحــل

في الورقة األولى ١٠هو الحصول على العدد A ليكن

B في الورقة الثانية ١٠هو الحصول على العدد

P (AB) = P (A) P(B/A)

= 513 .

524

العمليات العشوائية المنتهية واألشجار البيانية

مناسبة لوصف مثل هذه العلميات ولحساب احتماالت أي ومن الطرق ال

: طريقة األشجار البيانية الموضحة في المثال التالي، حدث

: ١١مثــال

: لدينا ثالثة أدراج كما يلي

.أجنبيان ٢أشرطة فيديو من بينها ٦يوجد Iبالدرج

.أجنبية ٣أشرطة فيديو من بينها ٨يوجد IIبالدرج

.أجنبي ١أشرطة فيديو من بينها ٤جد يو IIIبالدرج

التجارب المتتابعة بحيث :يقصد بالعملية العشوائية المنتهية

تجربه عدد منته من النواتج باحتماالت معطاةيكون لكل

21

اختير درجا بطريقة عشوائية وسحب منه شريطا بطريقة عشوائية

.أن يكون الشريط عربيا (P)فما هو االحتمال . أيضا

:الحــل

في هذا المثال العملية العشوائية متتابعة من تجربتين

)i( نختار درجا من الثالثة أدراج.

)ii( كون أجنبيا نختار شريطا ويحتمل أن ي(A) أو عربيا(B) .

تمثل الشجرة البيانية التالية هذه العملية وتعطي االحتمال لكل فرع أو مسار

:للشجرة

يكون احتمال حدوث أي مسار من المسارات الستة مساويا لحاصل ضرب

ثم اختيار شريطا IIفمثال اختيار الدرج . االحتماالت لكل فرع في هذا المسار

⎟أجنبيا هو ⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

83

31 .

وحيث أنه توجد ثالثة مسارات متنافية تؤدي إلى شريط عربي يكون مجموع

أي احتمال الحصول (احتماالت هذه المسارات الثالثة هو االحتمال المطلوب

): على شريط عربي

I

II

III

A

B

A

B

A

B

٣/١

٣/١

٣/١

٦/٤ ٦/٢

٨/٣

٨/٥ ٤/١

٤/٣

22

P = 43 .

31

85.

31

64 .

31

++

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

43

85

64

31

= 7249

2449

31

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Theorem) '(Bayes نظريــــة بيــز مفرده . لو افترضنا أن لدينا صندوقين بداخلها مفردات سليمة ومعيبة

معيبه سحبت عشوائيا من أحد الصندوقين دون تعيين، ونحب أن نعرف ما هو

.من الصندوق األول احتمال أن تكون هذه المفردة المعيبة قد سحبت

لإلجابة على أسئلة من هذا النوع نستخدم قاعدة أو نظرية بيز والتي

.يمكن اعتبارها تطبيقا لالحتمال الشرطي

تهدف نظرية بيز إلى حساب احتماالت صحة الفروض بناء على

في الغالب يكون لدى رجل األعمال معلومات . معلومات ميدانية أو تجريبية

ما من خالل خبرته الشخصية أو من ، إث معين أو مسالة معينة إضافية عن حاد

االحتماالت التي تعتمد على الخبرة . خالل ماضي هذا الحادث أو المسألة

Priorالشخصية وقبل الحصول على نتائج التجربة تدعى باالحتمال القبلي

Probability على فمثال االحتماالت المعتمدة على سجالت المبيعات السابقة أو

أما عندما . الرقم السابق لكمية اإلنتاج غير السليم تعتبر أمثلة لالحتمال القبلي

يحسب االحتمال على ضوء معلومات ميدانية مكتسبة يسمى باالحتمال البعدي

Posterior Probability .

23

فمثال عند دراسة حجم األسرة الشائع قد يكون في ذهننا عدة

: ذه الفروض هيفروض خاصة بهذا الحجم ، ه

A1 ١ أن يكون حجم األسرة الشائع

A2 ٢ أن يكون حجم األسرة الشائع

A3 ٣ أن يكون حجم األسرة الشائع

.وهذه الحاالت تمثل مجموعة شاملة ومتنافية

عن هذه الظاهرة واستطعنا أن نحسب Bإذا جمعت بيانات ميدانية

P(A4/B) مع أن قاعدة بيز يمكن استخدامها . ايدفإن هذا االحتمال يسمى بع

سنتعرض لتطبيق ألكثر من حادثين شاملين ومتنافيين إال أننا ومن أجل التبسيط

.النظرية على حادثين شاملين متنافيين فقط

A10 10

نظريـة بـيـز -

Sحادثين شاملين ومتنافيين في الفراغ العيني Bو Aإذا كان

فان O ≠ P (D) أي حادث في نفس الفراغ بحيث Dو

P (A/D) = D) B(P)D A(P

)D A(P+

P (B/D) = D) B(P)D A(P

)D B(P+

S B A

D

24

: ١٢ال ـمث

Aمن المدخنين في مدينة ما يفضلون نوع السجاير ٠.٤٠إذا كان

من بين الذين 0.30وإذا كن النساء يمثلن Bوالباقين منهم يفضلون النوع

طريقة عشوائية فإذا اخترنا ب. Bمن بين الذين يفضلون ٠.٤٠و Aيفضلون

؟Aأحد المدخنين وكانت امرأة فما هو احتمال أن تكون ممن يفضلون النوع

:الحــل

: لنفرض أن االحتماالت هي

(A) P احتمال أن المدخن يفضل النوعA

P (B) احتمال أن المدخن يفضل النوعB

P (M/A) احتمال أن يكون المدخن رجال بشرط أن النوعA هو المفضل

P (M/B) احتمال أن يكون المدخن رجال بشرط أن النوعB هو المفضل

P (F/A) بشرط أن النوع احتمال أن يكون المدخن امرأهA هو المفضل

P (F/B) بشرط أن النوع احتمال أن يكون المدخن امرأهB هو المفضل

: احتماالت الحاالت الممكنة يوضحها الشكل التالي

A

B

M P(AM) = P (A) P(M/A) = 104

. 107

= 10028

P(A) = 4/10

P(B) = 6/10

P(M/A) = 7/10

P(F/A) = 3/10

P(M/B) = 6/10

P(F/B) = 4/10

F P(AF) = P (A) P(F/A) = 104

. 103

= 10012

M P(BM) = P (B) P(M/B) = 6/10 . 6/10 = 36/100

F P(BF) = P (B) P(F/B) = 106

. 104

= 10024

25

وباستخدام قاعدة بيز

P (A/F) = 24/100 12/100

12/100 (BF) P P(AF)

(AF) P+

=+

= 31

3612

=

: ل كل هذه االحتماالت بالجدول التاليويمكننا أن نمث

االحتمال

البعدي

االحتمال

المركب

االحتمال

الشرطي

االحتمال

القبلي

الحــادث

3612

3624

10012

10024

103

104

104

106

A

B

1.0 10036 المجمــوع 1.0

ated TrialsRepe التجـارب المتكـررة سندرس في هذا القسم كيفية حساب احتماالت الحصول على النتائج

المختلفة التي يمكن أن تترتب على تكرار تجربة معينة عددا معينا من المرات

.تحت نفس الظروف أو تحت ظروف مختلفة

التجارب المتكررة المستقلة ذات االحتمال الثابت : أوال

مرة وكنا معنيين بظهور الوجه صورة فأننا Nقد مثال عند إلقاء قطعة ن

نالحظ بأن هناك نتائج مختلفة لعدد مرات ظهور الوجه صورة، فقد نحصل على

)N ١(أو ) صورة وصفر كتابة - N أو ) صورة ومرة واحدة كتابة

)٢-N صفر صورة و (أو ... أو ) صورة ومرتين كتابةN أي أن هناك ) كتابة

26

١ +N لو ألقينا قطعة النقد خمس مرات فإن الحاالت فمثال. حالة ممكنة

:الممكنة هي

صفر كتابة و صورة ٥

كتابة واحدة و صور ٤

كتابتان و صور ٣

كتابة ٣ و صور ٢

كتابة ٤ و صورة ١

كتابة ٥ و صفر صورة

أي أن مجموع الحاالت الممكنة ست حاالت

المتكررة المستقلة ذات االحتمال ولحساب مثل هذه االحتماالت في التجارب

.الثابت نستخدم القانون االحتمالي ثنائي الحدين

Law Binomil Probabilitالقانون االحتمالي ثنائي الحدين : ولتوضيح كيفية التوصل إلى هذا القانون نجري اآلتي

½= احتمال ظهور الصورة على قطعة واحدة

و برمية قطعة واحدة ثالث مرات هو قطع معا أ ٣احتمال ظهور الصورة على

½ . ½ . ½ = (½)3

فإذا رمينا خمس قطع نقود أو قطعة واحدة خمس مرات يكون احتمال ظهور

الصورة على ثالث قطع منها يعني في الوقت نفسه عدم ظهورها على القطعتين

وبذلك يكون احتمال ظهور الصورة على ثالث قطع . 2(½)= الباقيتين أي

= ها على القطعتين الباقيتين معا في نفس الوقت وعدم ظهور

(½)3 (½)2

27

لكن هذه هي نتيجة ظهور الصورة في الثالث رميات األولى وعدم

ظهورها في المرتين الباقيتين ولكننا نريد حساب احتمال ظهور الصورة في أي

ثالث قطع وعدم ظهورها في أي قطعتين بغض النظر عن ترتيب القطع ومن

أن االحتمال المطلوب أكبر من االحتمال السابق أي أن احتمال ظهور الواضح

. الصورة على أي ثالث قطع أكبر من احتمال ظهورها على ثالث قطع محددة

وللحصول على االحتمال المطلوب نستخدم التوافيق ونحسب عدد المجموعات

التي يمكن تكوينها من خمس قطع بحيث تتكون كل مجموعة من ثالث قطع

قط، أي نحسب عدد التوافيق التي يمكن تكوينها من خمس قطع بحيث تتكون ف

5كل توفيقة من ثالث قطع أي واالحتمال الذي حسبناه أعاله يكون صحيحا ⊃3

لكل توفيقه أو مجموعة من هذه التوافيق الثالث أي االحتمال ثابت ويتكرر في

فيق في االحتمال المحسوب فنحصل على كل مجموعة ولذلك نضرب عدد التوا53⊂ (½)3 (½)2

= 10 (½)5

= 3210

واآلن نستطيع أن نعمم فنقول أنه في حالة تجربة معينة نتيجتها وقوع حادث ما

(P-1)واحتمال عدم وقوعه (P)أو عدم وقوعه وكان احتمال وقوع هذا الحادث

مرة حيث ( r)مرة فإن احتمال وقوع هذا الحادث في (n)وكررنا هذه التجربة

)٠ >r >n ( يكون= nr⊂ pr (1-p)n-r

وهذا ما يعرف باسم القانون االحتمالي ثنائي الحدين وكما ذكرنا فهو يستخدم في

الصورة أو عدم وقوعها الحاالت المستقلة ذات االحتمال الثابت، فاحتمال وقوع

2 =ثابت في كل رمية 1

28

بالعودة إلى مثالنا السابق وهو رمي قطعة نقد خمس مرات ):١٣(مثال

او رمي خمس قطع مرة واحدة فإن االحتماالت الخاصة بظهور

: الوجه يمكن حسابها باستخدام هذا القانون كما يلي

= مرات ٥احتمال ظهور الصورة

( ) ( ) ( )321

21

21 2

1 5055

5 ==⊂

= مرات ٤احتمال ظهور الصورة

( ) ( ) ( )325

21 5 2

1 21

51454 ==⊂

= مرات ٣احتمال ظهور الصورة

( ) ( ) ( )3210

21 01 2

1 21

52353 ==⊂

= احتمال ظهور الصورة مرتين

( ) ( ) ( )3210

21 01 2

1 21

53252 ==⊂

= احتمال ظهور الصورة مرة واحدة

( ) ( ) ( )325

21 5 2

1 21

54151 ==⊂

= احتمال عدم ظهور الصورة

( ) ( ) ( )321

21 1 2

1 21

55050 ==⊂

29

في مفكوك المقدار ثنائي الحدين هذه النتائج هي الحدود المتتاليةنالحظ أن

( )521

21 +

قد nلما كان عدد مرات وقوع الحادث في التجارب المتكررة التي عددها نتيجة

وهي حاالت شاملة ومتنافية فإن nأو ... أو ٢و أ ١تأخذ القيم صفر أو

1)n(P...)2(P)1(P)O(P =++++

: ١٤ال ـمث

وأحسب احتماالتها عند رمي ٣أحصر الحاالت الممكنة لظهور الوجبة

.مرات ٣حجر النرد

الحاالت الممكنة :الحــل

بتاتا ٣عدم ظهور الوجه -

ظهوره مرة واحدة -

ظهوره مرتين -

ث مرات ظهوره ثال -

= بتاتا ٣احتمال عدم ظهور الوجه -

216125

65

61

3030 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⊂

= احتمال ظهوره مرة واحدة -

21675

3625

61 3

65

61

2131 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⊂

30

= احتمال ظهوره مرتين -

21615

65

61

1232 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⊂

= احتمال ظهوره ثالث مرات -

2161

65

61

0333 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⊂

واحد وذلك ألن هذه الحاالت شاملة ومتنافية = نالحظ أن مجموع االحتماالت

كما نالحظ أن هذه النتائج هي الحدود المتتالية في مفكوك المقدار ثنائي الحدين 3

65

61

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

التجارب المتكررة غير المستقلة : ثانيا

في الجزء السابق درسنا االحتماالت في حالة التجارب المتكررة تحت

ي في الحاالت المستقلة ذات االحتمال الثابت وفي هذا الجزء نفس الظروف أ

سندرس االحتماالت في حالة التجارب المتكررة والتي يتغير فيها احتمال وقوع

الحادث من تجربة إلى أخرى، في مثل هذه الحاالت نستخدم القانون

. الهايبرجيومتري

Hypregeometric Low ون الهايبرجيومتريـــالقان : نا أن نوضح هذا القانون بالمثال التالييمكن

: ١٥ال ـمث

: كرة متماثلة من جميع الوجوه عدا اللون هي Nلو أخذنا كيس بداخله

n1 كرة بيضاء وn2 كرة حمراء وn3 كرة سوداء وسحبنا كرات عددهاR

31

بدون إعادة والمطلوب حساب احتمال أن يكون من بين الكرات المسحوبة

r1 و كرة بيضاءr2 كرة حمراء وr3 كرة سوداء.

:الحــل

N⊃كرة من الكيس بطرق عددها Rيتم اختيار R وهو عدد الحاالت

وهذا n1كرة بيضاء من الكرات البيضاء الـ r1الممكنة ، يتم الحادث بسحب

⊃يتم بطرق عددها 1

1

nr سحب وr2 حمراء الـ كرة حمراء من الكرات الn2

⊃وهذا يتم بطرق عددها 2

2

nr سحب وr3 كرة سوداء من الكرات السوداءn3

⊃وهذا يتم بطرق عددها 3

3

nr أي أن الحادث يتم بطرق عددها

( )( )( ) 3

3

2

2

1

1

nr

nr

nr ⊂⊂⊂

وهذا هو عدد الحاالت المواتية

= وبالتالي يكون االحتمال

⊂⊂⊂⊂

NR

nr

nr

nr

3

3

2

2

1

1

ثــحي

R = r1 + r2 + r3

= n1 + n2 + n3

:ويمكننا أن نعمم النتيجة فنقول

كرة من اللون األول n1كرة متماثلة منها Nإذا كان لدينا كيس بداخله

Rوسحبنا دون إعادة Z كرة من اللون nzو ... كرة من اللون الثاني و n2و

عدد الحاالت المواتية

عدد الحاالت الممكنة

32

كرة من اللون r1يكون من بين الكرات المسحوبة كرة فإن احتمال أن

: هو zمن اللون rzو ... من اللون الثاني و r2األول و

⊂⊂⊂⊂

NR

nr

nr

nr

z

z

2

2

1

1...

وهذه الصيغة تدعى بالقانون االحتمالي الهايبرجيومتري

:١٦ال ـمث

% ٢٠طالبات أخذت عينه عشوائية حجمها ٥طالب و ١٠قاعة فيها

:فما هو احتمال

(i أن تتكون من طالبين وطالبة.

(ii أن تحتوي على طالبات.

: الحــل

(i بتطبيق القانون الهايبرجيومتري يكون احتمال طالبين وطالبة =

455225

153

51

102 =⊂⊂⊂

(ii احتمال أن تحتوي على طالبات يعني أن تحتوي على طالبة على

أن يكونوا جميعا من الطالب األقل وهذا يساوي واحد ناقص احتمال

455335

1 153

50

103 =−=⊂⊂⊂

أو هو احتمال أن تحتوي على طالبة أو طالبتين أو ثالث طالبات

455335

153

100

53

101

52

102

51 =

++

⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂

33

Expectation الرياضي واستخداماته االقتصاديةع التوق التوقع الرياضي هو وسيلة الغرض منها ربط نظرية االحتماالت

ترمز إلى احتمال نجاح شخص في مغامرة Pالية ، فإذا افترضنا أن سائل الممبال

ترمز إلى قيمة المبلغ الذي يحصل عليه عند نجاحه فإن حاصل ضرب Xما و

P.X يسمى بتوقع الشخص أو أمله من هذه المغامرة.

احتمال الكسب ×مقدار الرهان = التوقع ∴

Eمز ونرمز للتوقع بالر

E = P.X

هي i من الزمن وكانت nيستحق الدفع بعد χهذا وإذا كان المبلغ

=معدل الفائدة فإن القيمة الحالية للتوقع

nn

)i1(X . P)i1( X.P

+=+ −

: ١٧ال ـمث

دنانير إذا سحب ورقة ٥في لعبة من ألعاب الرهان يربح الالعب

وكانت الورقة المسحوبة من النوع ) ورقة ٥٢(اللعب واحدة من مجموعة أوراق

فما هو الثمن العادل الذي يجب دفعه لقاء كل عملية سحب؟" سباتي"

: الحــل

4" = سباتي"احتمال سحب ورقة = احتمال الربح 1

و فإذا ضربنا هذا االحتمال بقيمة الجائزة أمكننا الحصول على قيمة التوقع وه

الثمن العادل لكل سحبه

E = P.X. = 1.25 (5) 4

1 =

.أي أن السعر العادل لكل سحبه يساوي دينار وربع الدينار

34

: ١٨ال ـمث

المنتظر أن يدفعه العب ) أي مقدار الرهان(كم يبلغ التوقع الرياضي

؟ ٠.٤٠ دينار إذا كان احتمال الكسب ١٠٠يرغب في كسب رهان قدره

==×==التوقع الرياضي : الحــل 40 100 10040 .X.PE

:١٩ال ـمث

٥وبفرض أن قيمة الرهان المذكور في المثال السابق تستحق الدفع بعد

=فإن القيمة الحالية للتوقع الرياضي% ٣.٥سنوات وكان سعر الفائدة

n)i1(X.P E

+=

5(1.035)40 =

1.1876862

40 =

= 33.6789 = 33.7

ومعنى هذا انه إذا استمرت الجهة التي تعهدت بدفع قيمة الرهان إلى

دينارا ٣٣.٧منها وقدر كل نالفائزين بتحصيل االشتراكات السنوية من الالعبي

ة سنوية مركبة بواقع فائد(ولمدة خمس سنوات فإن جملة هذه االشتراكات

٥دينار لكل فائز بعد ١٠٠تكون كافية لدفع مبلغ قيمة الرهان وهي %) ٣.٥

.سنوات

35

عالقــة التوقـع بالتأمين على الحيــاة

لما كانت قيمة شراء التوقع الرياضي هي المبلغ الذي يجوز المغامرة به

الرياضي كل محاولة لكسب مبلغ متوقع هو قيمة الرهان فإن فكرة التوقع في

هذه تعتبر أساس فكرة التأمين على الحياة إذ أن شركات التأمين تتعهد بدفع قيمة

الذين يقومون بدفع القيمة ) المأمنين(لالعبين ) المبلغ المؤمن عليه(الرهان

.الحالية للتوقع الرياضي لها بغرض التأمين لديها

اس الفائدة المركبة ما هي القيمة الحالية للتوقع الرياضي على أس :٢٠ـال مث

سنويا التي يسددها شخص في سن العشرين لشركة % ٣.٥بمعدل

دينار إذا بلغ سن األربعين؟ ٢٠٠٠تأمين تعهدت بأن تدفع له مبلغ

أن قيمة احتمال البقاء على قيد الحياة يمكن أخذها أو حسابها من : الحــل

" للحياة جداول الخبرة األمريكية"جداول الحياة التي تعرف باسم

من الجداول المالية التي طبعت في ٩، ٨، ٧وهي جداول

وال يزال العمل بها جاريا حتى اآلن وهي ١٨٦٧أميركا عام

.شخص ١٠٠٠٠٠محسوبة لدفعة نظرية عددها

= احتمال البقاء على قيد الحياة

xnxl

lP +=

xعمر هي عدد الباقين على قيد الحياة عند ال 1x حيث

1x + n هي عدد الباقين على قيد الحياة عند العمرx + n

٧من جداول الحياة األميركي رقم

0.84314 9263778106

llP2040 ===

36

القيمة الحالية للتوقيع الرياضي هي

n)i1(X.P

+

1.98978771686.28

)035.1(2000 84314.0

20 =×

= = 847.467

ؤمنين على ومعنى هذا أن على كل شخص في سن العشرين من الم

دينار ٨٤٧.٤٦٧حياتهم أن يدفع إلى شركة التأمين اشتراكا وقسطا سنويا قيمته

وذلك ألن . دينار إذا بلغ سن األربعين ٢٠٠٠مقابل تعهدها بأن تدفع له مبلغ

٢٠سنويا لمدة % ٣.٥الشركة باستثمارها هذه االشتراكات أو األقساط بسعر

دينار لكل من يظل حيا ٢٠٠٠لدفع مبلغ سنة فإنه سيكون لديها رأسمال يكفي

.من المشتركين حتى سن األربعين

عالقة التوقع باختيار االستثمارات

ن تطبيق قاعدة التوقع في اختيار االستثمارات تقوم على أساس حساب ا

القيم الحالية للدخول المتوقعة ثم بعد ذلك تقوم بطرح المبالغ المستثمرة من

.للدخول المتوقعة وحساب التوقع للناتج مجموع القيم الحالية

دينار في أحد المشاريع ١٠٠٠يود شخص في استثمار مبلغ : ٢١ال ـمث

الصناعية التي يقدر لها عمرا استثماريا قدره سنتان حيث أن

احتماالت الربح أو الخسارة في كل من السنتين هي

: كما يلي

½مردود هو احتمال عدم الحصول على أي -١ السنة األولى

½دينار هو ) ١٠٥٠(احتمال الحصول على مردود قدره -٢

احتمال عدم الحصول على أي مردود هو -١ السنة الثانية52

37

) ١١٠٢.٥(احتمال الحصول على مردود قدره -٢

دينار هو 53

فهل % ٥المالية هو فإذا علمنا أن معدل الفائدة المعمول به في األسواق

جراء االستثمار أم ال؟باينصح هذا الشخص

ه علينا أوال أن نقوم ئحول إجراء االستثمار أو عدم إجراالتخاذ قرار :الحــل

: بتمثيل المشكلة بيانيا كما يلي

وحسب قوم بحساب القيم الحالية للدخل المتوقع الحصول عليه وبعد ذلك ن

: مختلف االحتماالت ومن ثم نطرح منها قيمة المبلغ المستثمر وذلك كما يلي

1. 0 – 1000 = - 1000

2. 1000)05.1(5.11022 − = 0

3. 100005.1

1050− = 0

4. 100005.1

1050)05.1(5.11022 −+ = 1000

١٠٠٠

٠ ٠

١١٠٢.٥

١٠٥٠ ٠

١١٠٢.٥

٢/١

٢/١

٥/٢

٥/٣

٥/٢

٥/٣

38

: ما يليوبعد ذلك نقوم بحساب االحتماالت وذلك ك

102

52 .

2 االحتمال األول == 1

103

53 .

2 االحتمال الثاني == 1

102

52 .

2 االحتمال الثالث == 1

103

35 .

2 االحتمال الرابع == 1

وقعة واالحتماالت بعد أن قمنا بحساب القيم الحالية لمختلف الدخول المت

:نه يمكننا حساب التوقع أي الدخل المتوقع وذلك كما يليفا المقابلة لها

وحدة ١٠٠ه وتعادل ببما أن قيمة التوقع للدخل المتوقع الحصول عليه موج

.نقدية إذا فأننا ننصح هذا الشخص بإجراء االستثمار

١٠٠

٠ ١١٠٢.٥

١٠٥

٠

١١٠٢.٥

االحتمال القيمة الحالية للدخل التوقع

١٠٠٠ ١٠/٢ - ٢٠٠ -

٠ ١٠/٣ ٠

٠ ١٠/٢ ٠

١٠٠٠ ١٠/٣ ٣٠٠

١٠٠

٢/١

٥/٢

٥/٣

٢/١ ٥/٢

٥/٣

٠

39

تماريـــــن

الفصـــــل األول

بحيث تعاد ) ورقة ٥٢(من مجموعة أوراق اللعب سحبت ورقتان .١

: أحسب االحتماالت اآلتية. الورقة األولى قبل سحب الثانية

⎟ أن تكون الورقتان المسحوبتان من اللون األسود .أ⎠⎞

⎜⎝⎛

41

⎟ )ديناري(أن تكون الورقتان المسحوبتان من شكل معين .ب⎠⎞

⎜⎝⎛161

⎟ الورقتان المسحوبتان من نفس الشكل أن تكون .ج⎠⎞

⎜⎝⎛

41

اخترنا من كل زوج فردا . لدينا ثالثة أزواج من األشخاص المتزوجين .٢

:واحدا بدون تحيز فما هو احتمال

⎟ أن يكون األفراد الثالثة المختارون من جنس واحد .أ⎠⎞

⎜⎝⎛

41

⎟ رأةأن يكونوا رجلين وام. ب⎠⎞

⎜⎝⎛

83

رميت قطعة نقود خمس مرات أحصر النتائج الممكنة ، وأحسب احتمال .٣

.كل منها

ما هو احتمال ظهور ثالثة صور في رمية واحدة لثالثة قطع من .٤

⎟النقود؟ ⎠⎞

⎜⎝⎛

81

40

يقوم شخص برمي قطعة نقود فإذا حصل على صورة وضع .٥

فأنه يضع وق أما إذا حصل على كتابة ثالث كرات سوداء في صند

مرة ثم nفإذا كرر الشخص هذه العملية . كرتين سوداء وكرة بيضاء

فاحسب احتمال أن تكون هذه الكرة بيضاء . سحب كرة من الصندوق

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

61

كرات متماثلة منها ثالث كرات حمراء وكرتان ٥كيسان األول به .٦

حمراء وأربع كرات كرات رات منها ثالثك ٧بيضاوان والثاني به

سحبت كرة من كل كيس فما هو احتمال أن تكون واحدة منهما . بيضاء

)٣٥/٢٦( على األقل بيضاء؟

كرات سوداء ٣كرات حمراء و ٦كرات بيضاء و ٣كيس يحتوي على .٧

كرات عشوائيا وبدون إعادة ، فما هو احتمال ٣من حجم واحد سحبت

)١٠/١( واحد؟أنها ستكون من لون

٤كرات حمراء و ٣كرات بيضاء و ٥كرة متماثلة منها ١٢كيس به .٨

: كرات من الكيس أحسب االحتماالت اآلتية ٣كرات سوداء سحبت

)٥٥/٢١( ظهور كرات حمراء عدم احتمال .أ

)٥٥/٢٧( احتمال ظهور كرة واحدة حمراء. ب

)٥٥/٣٤( قلاحتمال أن تكون كرة واحدة حمراء على األ .ج

)٤٤/٣( احتمال أن تكون الكرات كلها من لون واحد. د

)١١/٣( احتمال أنه ليس هناك كرتان أو أكثر من لون واحد .ه

41

بطاقة بسعر دينار واحد للبطاقة ١٠٠بيع في أحد الحفالت .٩

دينار للبطاقة الفائزة فهل كان ٥٠الواحدة، وخصصت جائزة قدرها

ال؟ سعر البطاقة عادال أم

كرة ٣٠كرة بيضاء و ٤٥كرة متماثلة عدا اللون منها ١٠٠كيس به .١٠

كرة سوداء سحبت كرة وسجل لونها وأعيدت إلى الكيس ٢٥حمراء و

ثم سحبت كرة ثانية وسجل لونها وأعيدت إلى الكيس ثم سحبت كرة

ثالثة ما هو احتمال أن تكون ألوان الكرات الثالث المسحوبة على

)٠.٠٣٣٧٥( أسود، وأحمر؟الترتيب أبيض ،

ثم أعيدت ) ورقة ٥٢(سحبت ورقة من مجموعة أوراق اللعب .١١

: أحسب االحتماالت التالية. وسحبت ورقة ثانية

)٢/١( ثانية من نفس لون الورقة األولىأن تكون الورقة ال .أ

)٥٢/١( أن تكون الورقة الثانية هي نفس الورقة األولى .ب

)١٦٩/١٠( رقتين نفس العددأن تحمل كل من الو .ج

)١٣/١( أن تحمل كل من الورقتين نفس العدد أو نفس الصورة .د

)١٦٩/٣( أن تحمل كل من الورقتين نفس الصورة. ه

مرات متتالية ٣رميت قطعة نقود .١٢

ال تحدث صورتان متتاليتان في الرميات الثالثاءما هو احتمال ا .أ

)٨/٥(

ال تحدث صورتان متتاليتان أو كتابتان في ل اما هو احتما .ب

)٤/١( الرميات الثالث

42

إذا كان احتمال أن يتأخر أياس عن عمله .١٣ 3إذا ذهب إلى العمل 2

فما هو . إذا ذهب بسيارته ٦/١إذا ذهب بالحافلة و ٤/١ماشيا و

ر وسيلته احتمال أن يتأخر عن عمله في صباح أحد األيام إذا اختا

)٣٦/١٣( بطريقة عشوائية؟

مناديل ٨مناديل معيبة و ٥إذا كان لدينا صندوقين األول يحتوي على .١٤

فما هو احتمال . سليمة ١١مناديل معيبة و ٦سليمة والثاني يحتوي على

أن يكون المنديل المسحوب عشوائيا من أحد الصندوقين معيبا ؟

)٠.٣٦٨٧٨(

أربعة أطفال وتسجيلهم حسب ر عائله لديهالتجربة هي اختيالتكن ا .١٥

اكتب الفراغ العيني لهذه التجربة ثم احسب . الجنس وتسلسل الوالدة

: االحتماالت التالية

)٤/١( عند العائلة بنت واحدة .أ

)١٦/٥( عند العائلة أكثر من بنتين .ب

)١٦/١٥( بنات على األكثر ٣عند العائلة . ج

فإذا كان احتمال أن B , Aات البناء إلى مناقصتين تقدمت إحدى شرك .١٦

واحتمال أن تحصل على المناقصة ٠.٦هو Aتحصل على المناقصة

B فما هو ٠.١واحتمال أن تحصل على المناقصتين معا هو ٠.٣هو

: احتمال

)٠.٨( Bأو المناقصة Aأن تحصل الشركة على المناقصة -

43

حيث Sراغ العيني حادثين في الف B , A دع .١٧

31 (A/B) P

21 (B/A) P

51 )AB( P ===

P , (B) P (A) ــدأوج52 ,

53

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

و M2و M1في أحد مصانع المصابيح الكهربائية إذا كانت الماكنات .١٨

M3 من مجموع اإلنتاج ٠.٤٠و ٠.٣٠و ٠.٣٠تصنع على الترتيب

يب بالمئة من إنتاج الماكينات الثالث على الترت ٢و ٣و ١وإذا كان

سحب مصباحا عشوائيا من إنتاج أحد األيام وجد أنه . هو إنتاج معيب

؟ M1معيب فما هو احتمال أن يكون هذا المصباح من صنع الماكينة

) .٢٠/٨، ٢٠/٩، ٢٠/٣(؟ M3؟ من صنع M2من صنع

بدون إعادة ) ورقة ٥٢(ورقات من مجموعة أوراق اللعب ٥إذا سحبنا .١٩

هذه األوراق الخمسة على ورقة واحدة بها ، فما هو احتمال احتواء

).١٠٨٢٩/٣٢٤٣(صورة شايب؟

٢من إنتاج مصنع البطاريات الجافة والماكينة % ٦٠تنتج ١الماكينة .٢٠

من إنتاج % ٢معيب بينما ١من إنتاج الماكينة % ٥. تنتج الباقي

فما هو احتمال ان تكون بطارية معيبة قد صنعت في . معيب ٢الماكينة

)٣٨/٣٠( ؟ ١نة الماكي

44

حـل تمـاريـن االحتـماالت

الفصــل األول

١.

i) 41

5226 .

5226

=

ii) 161

5213 .

5213

=

ii) 41

5213 .

5213

5213 .

5213

5213 .

5213

5213 .

5213

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

، وهي كما في الرسم ٢٣= عدد الحاالت الممكنة هو .٢

i ( رجال ٣أي احد ،احتمال الحصول على الثالثة من جنس و

.نساء ٣أو

مـن الرسـم

41

81

81

=+

أو

41)2/1 . 2/1 . 2/1()2/1 . 2/1 . 2/1( =+

45

ii ( احتمال الحصول على رجلين وامراة

من الرسم

= =83

أو

= 83

8C3

2 =

ر

ر

ر

م

م

م

ر

ر

م

م

م

ر

ر

م

م

ر

م

الحاالت المواتية

الحاالت الممكنة

ر

46

الحاالت الممكنة .٣

٢٥= ٣٢

=احتماالت الكتابة = احتماالت الصورة

1/32 32

5/32 32

10/32 32

10/32 32

5/32 32

1/32 32

CCCCCC

50

51

52

53

54

55

=÷

=÷

=÷

=÷

=÷

=÷

٤.

81 .

21 .

21 .

2 p )ص ص ص( == 1

كرات مع كل رمية ٣ع ألنه يض 3n= عدد الكرات الناتجة عن اللعبة .٥

٢/١= الحصول على كتابة احتمال = احتمال الحصول على صورة

عدد المرات = كرات سوداء ٣ع فيها عدد المرات التي يض ∴

ا كرتين سوداوين وكرة بيضاء ويساوي التي يضع فيه2n

= عدد الكرات البيضاء ∴

2n 1

2n

=×

=السوداء عدد الكرات

47

2

5n 2 2n 3

2n

=×+×

= احتمال أن تكون الكرة المسحوبة بيضاء

61

3n1

2n

3n 2n

=×=

÷=

: الحاالت الممكنة الحصول هي .٦

حمراء بيضاء

بيضاء حمراء

بيضاء بيضاء

حمراء حمراء

أن تكون الكرتان واحد ناقص احتمال= احتمال أن تكون كره على األقل بيضاء

.حمراوان

3526

359 -1

73 .

53 1 ==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

حــل آخـر

األولى بيضاء والثانية حمراءاحتمال = ن كره على األقل بيضاء احتمال أن تكو

األولى حمراء والثانية بيضاءأو

األولى بيضاء والثانية بيضاءأو

3526

74 .

52

74 .

53

73 .

52

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

عدد الحاالت المواتية

عدد الحاالت الممكنة

48

احتمال أن تكون الثالث كرات بيضاء او = ب االحتمال المطلو .٧

الثالث حمراء أو الثالث سوداء

101

أو

101

101 .

112 .

123

104 .

115 .

126

101 .

112 .

123 P

CCCC

123

33

63

33 =

++=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

الحاالت الممكنة .٨

220 C123 =

i) P )عدم ظهور كرات حمراء( = C

CC123

30

93

= 5521

22084

=

ii) P )كرة واحدة حمراء( = C

CC123

92

31

= 5527

iii) P )كرة واحدة على األقل حمراء( =

= 5534

أو

CCC

CCC

CCC

123

90

33

123

91

32

123

92

31 ++

49

= 1-P )عدم ظهور كرة حمراء(

= 1- 5521

= 5534

iv) P )الكرات كلها من نفس اللون ( = C

CCC123

33

43

53 ++

= 443

v) P )عدم وجود كرتين من نفس اللون( = 113

. .

CCCC

123

31

41

51 =

قيمة الجائزة × االحتمال = السعر .٩

٥٠ ×100

1 =

21 =

.يكون نصف دينار السعر العادل يجب أن ∴

.سعر البطاقة غير عادل ∴

االحتمال المطلوب .١٠

10030 .

10025 .

10045 P =

= 0.03375

50

١١. i ( نفس احتمال الحصول على اللون في الورقة األولى

ألن هناك لونين فقط أحمر وأسود ٢/١=

ii( نفس احتمال الورقة األولى =521

احتمال أن تكون الورقتين = االحتمال المطلوب

١٠أو ... أو ٢أو ١

16910

1310

524 .

524 10

. . . 524 .

524

524 .

524

3

=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

iii ( 131

524 .

524 13 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

١٢. i . ٨عدد الحاالت الممكنة

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= S

٥ عدد الحاالت المواتية

= االحتمال المطلوب ∴85

ii. 82 P =

41 =

، ص ص ص ، ص ص ك ص ك ك، ص ك ص

، ك ص ك ، ك ك ص ، ك ك ك ك ص ص

51

)٣/١(= احتمال كل من االختيارات الثالثة .١٣

االحتمال المطلوب هو احتمال الذهاب ماشيا ويتأخر أو الذهاب بالحافلة

رته ويتأخرويتأخر أو الذهاب بسيا

P )التأخير( = 61

31

41

31

32

31

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

3613

٢/١= احتمال اختيار أي صندوق .١٤

= احتمال أن يكون قد سحب من الصندوق األول ومعيب 135

21×

= احتمال أن يكون قد سحب من الصندوق الثاني ومعيب 176

21×

P )معيب( = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

176

21

135

21

= 0.36878

١٥. S = 24 = 16

i) P )بنت واحدة( = 16C4

1

ii) P )أكثر من بنتين( = 16

CC 44

43 +

iii) P )ثالث بنات على األكثر( = 16C

144−

= 1615

أو بتطبيق قانون ثنائي الحدين = 16

CCCC 43

42

41

40 +++

52

١٦.

P (A أو B) = P(A) + P(B) - P(AB)

= 0.6 + 0.3 – 0.1

= 0.8

١٧.

P(AB) = P(A) P(B/A)

= P(B) P(A/B)

∴ P(A) = 52

2/15/1

)A/B(P)AB(P

==

P(B) = 53

3/15/1

)B/A(P)AB(P

==

لتكن .١٨

P(D) =احتمال أن يكون المصباح معيبا

P(M1) = احتمال أن يكون المصباح من صنعM1

P(M2) = احتمال أن يكون المصباح من صنعM2

P(M3) = احتمال أن يكون المصباح من صنعM3

بيانات المسألة تعطي االحتماالت اآلتية

P(M1) = 0.3 P(D/M1) = 0.01

P(M2) = 0.3 P(D/M2) = 0.03

P(M3) = 0.4 P(D/M3) = 0.02

53

دعنا اآلن نحسب االحتماالت التالية

P(M1D) = P(M1) P(D/M1) = (0.3) (0.01) = 0.003

P(M2D) = P(M2) P(D/M2) = (0.3) (0.03) = 0.009

P(M3D) = P(M3) P(D/M3) = (0.4) (0.02) = 0.008

.االت جميعا يمكن تمثيلها بيانياهذه االحتم

نظرية بيز باستخدام

203

0.0080.0090.0030.003

)DM(P)DM(P)DM(P)DP(M )D/M(P

321

11

=++

=

++=

)DP(M )D(M P )D(M P

)D(N P )D/M(P321

22 ++

=

= 209

020.0009.0

=

208

0.0200.008 )D/M(P 3 ==

54

: ويمكن تلخيص االحتماالت السابقة بالجدول التالي

االحتمال البعدي االحتمال المركب مال الشرطياالحت االحتمال القبلي الحادث

M1 0.30 0.01 0.003 3/20 M2 0.30 0.03 0.009 9/20 M3 0.40 0.02 0.008 8/20

1.00 0.020 1.00 المجموع

باستخدام القانون الهايبرجيومترى .١٩

ccc

525

44

41

48

P) شايب واحد= (

108293243 =

اك خمس حاالت متنافية لوقوع هذا الحادث تختلف عن بعضها في هن حل آخر

ترتيب سحب ورقة الشايب، لنأخذ الحالة األولى التي يظهر فيها

= الشايب من أول سحب في هذه الحالة يكون االحتمال

541454243

4845

4946

5047

5148

524

=××××

وحيث أن الحاالت الخمس متماثلة فان االحتمال المطلوب هو

108293243

541453243 5

=

=×

55

٢٠.

5 0.789 3830

0.0380.03

0.0080.030.03

)DM(P)DM(P)DM(P)D/P(M

2211

1

=

==

+=

+=

M1

M2

D

N

D

N

P(M)=0.6

P(M2)=0.4

P(D/M1)=0.05

P(D/M2)=0.02

0.03 0.050.60 )M/D(P )M(P)DM(P 111

=×==

0.008 0.020.40 )M/D(P )M(P)DM(P 222

=×==

56

الفصـــــل الــثـاني

57

الفصــل الثـاني

المتغيرات العشوائية والتوزيعات االحتمالية

RANDOM VARIABLES AND PROBABILITY DISTRIBUTIONS

مر معنا في الفصل السابق عدة تجارب مثل حذف زهرة النرد أو رمي

الخ ، ان النتائج ... قطعة النقد أو سحب كره أو سحب ورقة من أوراق اللعب

التي يمكن الحصول عليها بتجارب عشوائية، رقمية كانت كما في حالة النرد

يرها تدعى بالمتغيرات أو نوعية كما في الكرات وقطعة العملة وورق اللعب وغ

.العشوائية

أو متصال DISCRETEالمتغير العشوائي يمكن أن يكون متقطعا

CONTINOUNS

:المتغير المتقطع

هو المتغير العشوائي الذي يأخذ قيمة من قيم األعداد الصحيحة

... ، ٣، ٢، ١مثل

: أمثلة على المتغير المتقطع

إحصائية مكونه من عده أسر عدد أفراد األسرة في عينة -

عدد األهداف المسجلة لفريق رياضي خالل الدورى العام -

الخ ... عدد السيارات المباعه في الشهر إلحدى شركات السيارات -

المتغير العشوائي -

هو المتغير الذي يتم الحصول على قيمته نتيجة لتجربه عشوائية

58

: المتغير المتصل

هو المتغير العشوائي الذي يأخذ أي قيمة داخل مدى معين مثل

.مقاييس الطول والوزن والزمن والقيمة

: المتغير المتصل أمثلة على

.المبيعات الشهرية من الحليب إلحدى مؤسسات األلبان -

. أطوال طلبة الجامعة -

.أوزان طالب الصف األول االبتدائي في إحدى المدارس -

.الخ... أثمان البرميل الواحد للنفط الكويتي خالل السنة األخيرة -

eDiscret التوزيـــعات االحتماليــة المتقطعـة

y DistributionsProbabilit

إذا رمينا زهره نرد فإنه يمكننا ان نمثل النتائج الممكنة واحتماالت كل

: منها بالجدول التالي

الوجه ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦

االحتمال ٦/١ ٦/١ ٦/١ ٦/١ ٦/١ 1/6

نه يمكننا اوإذا رمينا زهرتي نرد وكنا مهتمين بمجموع وجهي الزهر ف

: كل منها بالجدول التاليأن نمثل النتائج الممكنة واحتمال المتغير العشوائي

مجموع الوجهين١٢ ١١ ١٠ ٩ ٨ ٧ ٦ ٥ ٤ ٣ ٢

االحتمال

361

362

363

364

365

366

365

364

363

362

361

59

هذا الجدول الذي يتضمن قيم المتغير الشعوائي واالحتماالت

: المناظرة لها يسمى بالتوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع ، وهكذا فإن

Probabily Density Function لدالة كثافة االحتما

(P.D.F.)

, xn ... x3 , x2 , x1يأخذ قيما مختلفة Xإذا كان لدينا متغير متقطع

فإن هذا االحتمال يسمى بالداله i = 1, 2 ...nحيث P(X=xi) باحتمال

. f(xi) االحتمالية أو كثافة االحتمال ويرمز لها بالرمز

: الشكل التالي X كثافة االحتمال للمتغير المتقطع وتأخذ داله

x2 …………..xn x1 X = x

التوزيع االحتمالي لمجموعة القيم المتقطعة التي يأخذها متغير

ائمة التي تتضـمن جميـع عشوائي متقطع هو الجدول أو الق

.القيم الممكنة لهذا المتغير مع االحتمال الخاص بكل منها

هي xوهكذا فإن دالة كثافة االحتمال للمتغير العشوائي

أي قيمة من قيمة الممكنة أي xاالحتمال بأن يأخذ

P(X=xi) ويرمز لها بالرمزf(x) على أن يتحقق ما

: يلي

1)x(f ii)

0 (x) f )i

i

n

1i=

≥

∑=

60

f(x2) ………..f(xn) f(x1) f(x) = P (X=x)

: ١مثــال

وهو عدد مرات الحصول Xإذا كان لدينا المتغير العشوائي المتقطع

: على وجه الكتابة عند رمي قطعة نقدية مرتين فإن

}صـ صـ، صـ ك، ك صـ ، ك ك{= غ العينيالحاالت الممكنة أو الفرا

٢، ١، ٠هي Xالقيم الممكنة ل

أذن

1/4 2) X(P (2) f1/2 1) (X P (1) f1/4 0) (X P (0) f

x)(XP )x(f

=========

==

: الممكنة هو كما يلي Xويكون التوزيع االحتمالي لقيم

٠ ١ ٢ X = x

٤/١ ٢/١ ٤/١ f(x) = P(X=x)

: بيانيا كما يلي ويمكن رسم هذا الجدول

61

DistributionProbability دالــة التوزيع االحتمالي

لكننا في الغالب ال نهتم فقط باحتمال أخذ المتغير العشوائي لقيمة واحدة

لقيمة أقل من أو Xنما نهتم أيضا باحتمال أخذ المتغير إمن قيمة الممكنة و

هذه الدالة ندعوها بداله التوزيع االحتمالي تساوى قيمة ما من قيمة الممكنة و

. Xللمتغير

Continuous Probabilityالتوزيعات االحتمالية المتصلة

Distributions

يمكننا أيضا أن نعرف التوزيع االحتمالي لمتغير عشوائي متصل بأنه

واالحتمال الجدول أو القائمة الذي يبين لنا القيم المختلفة لهذا المتغير المتصل

.الخاص بكل قيمة من هذه القيم

: ٢مثـال

٢/١

٤/١

٠ X 1 2

قيمة المتغير العشوائي

Xهي االحتمال بأن Xدالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي

أقل من

x) X(P أي xأو تساوي ويكون F(x)ويرمز لها بالرمز ≥

)xi(f x) P(X (x) F

x xi∑≤

=≤=

الـم

62

نفرض أن لدينا آلة ميكانيكية تمأل أكياسا من القهوة زنه كل كيس

باوند واحد من القهوة ، ولكن لوجود خلل في أحد المراحل الميكانيكية يختلف

الوزن من كيس إلى آخر ، فوزن الكيس هنا متغير عشوائي متصل والجدول

: كيس مملوءه بهذه الطريقة ١٠٠طي وزن التالي يع

االحتمالf (x)

عدد االكياس

)التكرارات( قيمة المتغير العشوائي

X 0.01 1 0.90 0.07 7 0.95 0.25 25 0.99 0.32 32 1.00 0.30 30 1.01 0.05 5 1.05 1.00 100

ا فلو أردنا أن نعرف قيمة احتمال اختيار كيس عشوائيا بوزن يتراوح م

فان عدد القيم الممكنة لهذا المتغير العشوائي ١.٠٥و ٠.٩٥بين أي قيمتين لنقل

ولذلك ال يمكننا أن نعالج المشكلة في حالة المتغير المتصل . تكون غير محدودة

على كل حال فان مفهوم المساحة . كما هو الحال في حاله المتغير المتقطع

.اله المتغيرات العشوائية المتصلةوخواصها تمكننا من تحديد االحتماالت في ح

b x aأي (a.b)متغيرا متصال يقع في المدى Xليكن كما في الشكل ≥≥

التالي

f (x)

)dxc(p ≤≤ a c d b

63

يرمز له (a, d)في المدى xفان احتمال أن يقع المتغير العشوائي المتصل

d) X c(Pبالرمز : ويعطي كما يلي ≥≥

d) x c(P والمحور األفقي f(x)المساحة المحصورة بين الدالة = ≥≥

.أي المساحة المظللة في الشكل x = d , x = cوالمحددة بـ

: إذا كان Xدالة كثافة االحتمال للمتغير المتصل f(x)تكون

i) f(x) ≥ f(x) موجبه 0

ii) ∫R

f (x) dx = 1 1 = كامل المساحة تحت المنحنى

∫b

a f (x) dx = 1

(a b≤×≤ )

∫∞

∞−

f (x) dx = 1 ( ∞≤×≤∞− )

دالة كثافة االحتمال التجميعية للمتغير العشوائي المتصل

a) x(Pأي aأقل من او يساوي Xال بأن هي االحتم ويرمز لها ≥

وهكذا F (x)بالرمز

dx (x) f a) x( P )x(Fa

-∫∞

=≤=

x

64

: وهي كما في الشكل التالي

:٣مثــال

يساوي ) a,b(في المدى Xاحتمال ان تقع

dx)x(f b) x a(Pb

a∫=≤≤

=

= f (b) - f (a)

: وبالرسـم

f(x)

∞−

x=a

f(x)

X

x

F(a)

F(b)-F(a)

∞− ∞

f(x)

a b

dx )x(f dx)x(fa

-

b

∫∫∞∞−

−

65

تمــــارين

الفصــــل الثــاني

متغير عشوائي داله احتماله هي xثابت و cإذا كان -١

f (x) = c ( )5x

x = 0, 1 , …, 5

cفأوجــد قيمة الثابت

متغير عشوائي يمثل عدد حوادث السير في مدينة ما وكانت Xإذا كان -٢

C ثابت وداله االحتمالX هي على الصورة التالية:

X = x ٠ 1 2 3 4 5

f(x) = P(X=x) C 2C 3C 4C 1.5C 0.5C

Cأوجد قيمة الثابت : أوال

: أوجد: ثانيا

i) P ( x < 3 )

ii) P (0 < x ≤4 )

iii) P (0 < x < 2 )

Xاكتب داله التوزيع االحتمالي لـ : ثالثا

66

إذا ألقيت قطعة نقدية حتى تم الحصول على وجه الكتابة وكانت -٣

X متغير عشوائي يمثل عدد المرات التي ألقيت بها قطعة النقد حتى تم

. Xأوجد داله احتمال المتغير . الحصول على وجه الكتابة ١٠من مجموعة من ) لكاسيتا(أريد اختيار أحد اشرطه التسجيل -٤

يمثل رقم الشريط المختار فأوجد Xأشرطه فإذا كان المتغير العشوائي

. Xداله االحتمال لـ متغير عشوائي كثافة احتماله Xإذا كان -٥

f(x) = 21

x 0 2و ≤≤

: أوجــد

i) P ( 0.5 < x < 1.5 )

ii) P ( x > 0.25 )

iii) P ( x < 0.75)

iv) P ( x > 3 ) إذا كانت -٦

2x2)x(f −

=

0 < x < 2

و

67

: أوجــد

i) P ( 0.5 < x < 1 )

ii) P ( x > 1.5 )

iii) P ( x < 0.3)

iv) P ( 0 < x < 2) تمال في أحد االمتحانات الشفوية المكون من خمسة أسئلة ، إذا كان اح -٧

. ٠.٦أن يجيب أحد الممتحنين على أي سؤال أجابه صحيحة هو

ورمزنا لعدد األسئلة التي يجيب عليها إجابات صحيحة قبل أول فشل له

. xفي اإلجابة بالرمز

.االحتمالي xأوجــد توزيع

إذا أدرنا الدوالب مرتين ٤، ٣، ٢دوالب عليه ثالثة أرقام هي -٨

ي كل مرة على أحد األرقام الثالثة وإذا فرضنا بحيث يؤشر المؤشر ف

أحصر النتائج الممكنة واستنتج . تمثل مجموع الرقمين الناتجين xأن

.االحتمالي xتوزيع

إذا كان احتمال أن ينجح الطالب في امتحان اإلحصاء هو -٩4، تقدم 1

أحصر . الناجحين تمثل عدد xإذا فرضنا بأن . لالمتحان ثالثة طالب

. xالنتائج الممكنة واستنتج التوزيع االحتمالي لـ

68

حل تمارين الفصل الثاني

١-

1/32 C 1 ) 15101051 ( C

1 )( C

1)( C

1)x(f

5x

5x

x11a

==+++++

=

=∴

=

∑∑

∑

:أوال -٢

∑ =x11a

1)x(f

∴ C + 2C +3C + 4C + 1.5C + 0.5C = 1

∴ C = 1/12

: ثانيا

i) P (x< 3) = P (x=0) + P (x =1) + P (x = 2)

= C + 2C + 3C

= 6C

= 6 (1/12)

= 1/ 2

ii) P (0 < X ≤ 4) = P(X=1) + P(X=2) +

P(X=3) + P(X = 4)

= 2C + 3C +4C + 1.5C

69

= 10.5. C

= 10.5 (1/12)

= 10.5/12

أو

= 1 – [(P (X=0) + P(X=5)]

= 1 – (C + 0.5 C)

= 10.5 C

= 10.5

12

iii) P(0 < X <2) = P (X =1)

= 2 C

= 2/12 = 1/6

xدالة التوزيع االحتمالي ل : ثالثا

F(x) = P (X ≤ x)

F(0) = P (X ≤ 0) = 1/12

F(1) = P (X ≤ 1) = 3/12

F(2) = P (X ≤ 2) = 6/12

F(3) = P (X ≤ 3) = 10/12

F(4) = P (X ≤ 4) = 23/24

F(5) = P (X ≤ 5) = 1

70

٣-

f(x) = (1/2)x

x= 1, 2, …

٤-

X = x 1 2 3 ………….10

f(x) = P(X=x) 1/10 1/10 1/10 ……….. 1/10

f(x) = 1/10 x = 1, 2, …, 10

٥-

i) P(0.5 < x < 1.5) = ∫.5.1

5.0

dx 2/1

= 1.5

0.5

2x

= ½

ii) P(x > 0.25) = ∫2

25.0dx 2/1

= 7/8

iii) P( x < 0.75) = ∫75.0

5.0dx 2/1

= 3/8

71

iv) P(x > 3) = ∫

∞

3dx 2/1

= 0

0 ≤ x ≤ الن 2

٦-

i) P (05 < x < 1) dx 2

x2 1

5.0∫

−=

1

5.0

21

5.0

1

5.0

1

0.5.

0

1

5.0

4x - x

dx 2x -dx x

dx 2x - 1

=

=

=

∫ ∫

∫

= 1/2 - 165

163

=

ii) P(x > 1.5) dx 2

x2 2

5.1∫

−=

= 161

iii) P (x < 0.3) dx 2

x2 3.0

0∫

−=

= 0.2775

72

iv) P(0 < x <2) = dx

2x2

2

0∫

−

= 1

٧-

x 0 1 2 3 4 5

p(x) 0.4 (0.6)1

(0.4)

(0.6)2

(0.4)

(0.6)3

(0.4)

(0.6)4

(0.4)

(0.6)5

٨-

x 4 5 6 7 8

p(x) 91

92

93

92

91

٩-

P(x) = nxC px qn-x

P(0) = 6427 , P(1) =

6427 , P(2) =

649

P(3) = 641

73

الفصـــــل الثالــث

74

الفصل الثالث

أدلة توصيف التوزيعات االحتمالية

التوقـــــع ، التبايـــن ، والتغـايـــر

أن نحدد صفات ) البارامترات(يمكن عن طريق بعض المعلمات

المجتمع اإلحصائي وأن نقارن المجتمعات االحصائيه بعضها ببعض ، ومن أهم

هذه المعلمات : التوقع وهو يحدد مركز الموضع للمجتمع والتباين وهو مقياس

االنتشار والتغاير وهو مقياس لالرتباط بين متغيرين .

: لي نتناول دراسة هذه المعلمات وفيما ي

Expectationالتوقــع

فيعرف المقدار f(x)متغير عشوائي كثافة احتماله xإذا كان

∫∞

∞-

dx f(x) x

ولكنه يعتمد على ) النه تكامل محدود(وهذا المقدار سيكون ثابتا . بالتوقع

f(x)الثوابت التي تتضمنها دالة كثافة االحتمال

متقطعا يصبح التوقع في هذه الحالة يساوي xوإذا كان المتغير

∑ xall

P(x) x

xالدالة االحتمالية للمتغير P(x)حيث

يشير إلى عملية رياضية Eحيث الحرف E(X)بالرمز xسنرمز لتوقع

: ومضمونها xمعينة تجرى على المتغير

75

E (x) ∫

∞

∞

µ==-

dx (x) f x

أو

µ== ∑ xP(x) xall

.متصال أو متقطعا xحسب كون المتغير

بالوسط الحسابي للتوزيع االحتمالي ويستخدم الحرف E(x)كما يدعى التوقع

. xفي الغالب للتعبير عن القيمة المتوقعة للمتغير ) ميو( µاإلغريقي

أنها تشبه ) في حالة المتغير المتقطع مثال(ن صيغة التوقع ويالحظ م

والتوقع يقابل حساب ) i= ، ٠، ١، ٢( xiمعلقة عند النفط P(x)أوزانا

. نقطه االتزانمركز ثقل هذه األوزان وهي

هي ) ϕ (x)لنقل مثال ( xمتغيرا عشوائيا فان أي دالة في xإذا كان

: ألخرى متغير عشوائي وتوقعه يساويا

E [ϕ (x)] = P(x) (x) xall∑ ϕ

= ∫ ϕ

xRange

dx f(x) (x)

.متقطعا أو متصال xحسب كون

r x (x) =ϕ لنأخــذ

يكــون

E (xr) = ∑ xall

r (x) P x

76

= dx (x) f xRx

r∫

r = 1 ولنجعل

يكــون

E (X) = ∑ µ= xall

(x) P x

= µ=∫ dx (x) f xRx

مثــال ١ :

ألقيت قطعة نقد معدنية ثالث مرات متتالية فما هو التوقع الرياضي

؟"صورة"لعدد مرات ظهور

لحــلا

:يمكننا أن نمثل الفراغ العيني واالحتماالت المناظرة في الجدول التالي

االحتـمال عدد ظهور الصورة الحاالت الممكنة

٨/١ ٣ ص ص ص

٨/١ ٢ ص ص ك

٨/١ ٢ ص ك ص

٨/١ ١ ص ك ك

٨/١ ٠ ك ك ك

٨/١ ١ ك ك ص

٨/١ ١ ك ص ك

٨/١ ٢ ك ص ص

77

Xدع صوره عندما القيت تمثل عدد مرات الحصول على وجه

Xقطعه النقد ثالث مرات داله االحتمال للمتغير : معطاه في الجدول التالي

X = x 0 1 2 3

f(x) = P(X=x) 81

83

83

81

E(X) = ∑=

3

0 i(xi) P Xi

= 0 (81 ) + 1 (

83 ) + 2(

83 ) + 3(

81 )

= 23

ويمكننا أن نمثل الدالة االحتمالية المبينة في الجدول السابق بالرسم البياني

: التالي

f(x) = P(X = x)

• •

•

٨/٣

٨/٢

0 1 2 3X

78

Properties of Expected Value خواص التوقــع

Eرأينا أن دليل التوقع عبارة عن رمز يشير إلى عملية رياضية معينه

تجري على المتغير اإلحصائي التالي لهذا الدليل ويمتاز هذا الدليل بالخواص

: التالية

متغير عشوائي فإن xثابت و aإذا كان

E (ax) = aE (X)

: البرهـــان

E (ax) = P(x) ax xall∑

= ∑ xall

P(x) Xa

= a E (X)

أو

E (ax) = dx (x) xfa-∫∞

∞

= a dx (x) f -∫∞

∞

= a E (x)

توقع الثابت يساوي الثابت

aإذا كان ثابت و X متغير عشوائي فإن

E (a) = a

79

: البرهـــان E (a) = P(x)a

xall∑

= ∑ (x) P a

= a (1)

= a :نتيجـــة

E (ax+b) = a E (x) + b

: البرهـــان

E(ax+b) = E (ax) + E(b)

= a E (x) + b

: ٢مثــال

E(2x + 3) = 2 E(x) + 3

توقع التوقع يساوي التوقع

E [E(x)] = E (x)

: رهـــانالب

بما أن التوقع قيمة ثابتة كما ذكرنا وبما أن توقع الثابت يساوي الثابت

.أذن توقع التوقع يساوي التوقع

E(x)فلو رمزنا إلى توقع بالقيمة الثابتة z

E(z) = zفان

E[E(x)] = E (x)ومنها

80

٤ - E [(X - E(x)] = 0

: البرهـــان

E [ (x – E (x) = E (x) - E(E (x)]

= E (x) - E (x)

= 0

: متغيرين عشوائيين فان Yو Xإذا كان : ١نظريــة E (X ± Y) = E (x) ± E (Y)

أي أن توقع مجموع متغيرين يساوي مجموع توقعات المتغيرين

: البرهــان

E (X ± Y) = ∫ ∫∞

∞−

± xdyd f(x.y) y)(x

= ∫ ∫∫ ∫ ± dxdy y)(x, f y dxdy y) (x, f x

= ∫ ∫∫ ∫ ± dx]dy y)(x, f[ y dx]y)dy f(x, [ x

= ∫ ∫± dy f(y)y dx f(x) x

= E(X) ± E(y)

: متغيرين عشوائيين مستقلين فان Y , Xإذا كان : ٢نظريــة

E (XY) = E(X) E(Y)

: البرهـــان

E(X Y) = ∫ ∫ y d x d y) (x, f Y X

81

= ∫ ∫ y d x d f(y) (x) fxy ……. الستقالل

= ∫ ∫ y d (y) fy x d (x) fx

= E (X) E (Y)

: ٣مثــال

: متغيرا عشوائيا دالته االحتماليه هي Xإذا كان

f(x) = 2x

0 ≤ X ≤ وأن 1

فأوجــد كـل مـن

E(x+1)2 E(x2) E (x)

: الحــل

E(x) = ∫1

0

dx (x) f x

= ∫1

0

dx (2x) x

= ∫1

0

2 dx x2

= 21

0

3

3x

= 2 0-31

= 32

82

E(x2) = ∫

1

0

2 dx (x) f x

= ∫1

0

3 dx (2x) x

= ∫1

0

3 dx x2

= 21

0

4

4x

= 21

E (x + 1)2 = E [x2 + 2 × + 1]

= E(x2) + 2 E (x) + 1

= ½ + 2 (2/3) + 1

= ½ + 4/3 + 1

= 6

17

Variance & Standard Deviationالتباين واالنحراف المعياري نعرف ان التبـاين واالنحـراف المعيـاري هـي مقـاييس للتشـتت

(Dispersion) أو لتوزيع تكراري ولكننا سنناقشهما اآلن كمقاييس للتشـتت

.للتوزيع االحتمالي لمتغير عشوائي

زيـع احتمـالي لمتغيـر لتو) أو الوسط الحسـابي (أن القيمة المتوقعه

عشوائي ما تدلنا على مركز التوزيع االحتمالي وتعطينا معلومات سريعة عـن

83

الوسط في المدى البعيد إذا ما استمر في إجراء تجربة ما أكثر ، ولكنها ال

تعطينا أي معلومات عن مدى انتشار أو تشتت قيم المتغير العشوائي من تجربه

ر المقاييس شيوعا واستعماال مـن مقـاييس وسنتطرق هنا إلى أكث. إلى أخرى

.تشتت التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي وهي التباين واالنحراف المعياري

ان تباين التوزيع االحتمالي لمتغير عشوائي يقاس غالبا بنفس طريقـة

قياسه في حالة التوزيع التكراري والفرق الوحيد هو أننا اآلن نجد متوسط مربع

القيم عن القيمة المتوقعة بدال من إيجاد متوسط مربع االنحرافات عن انحرافات

.الوسط الحسابي للعينة أو التوزيع التكراري

التبايــن -

Xتباين التوزيع االحتمالي لمتغير عشوائي هو متوسط مربع

Xانحرافات قيم ن القيمة المتوقعة للتوزيع االحتمالي للمتغير ع X

فإذا كان µ E(x) =

Xوإذا رمزنا الى تباين σ2بـ x أو Var (x) فان

σ2x = Var(x) = (x) p )x(

xall

2∑ µ−

= ∫∞

∞

µ−-

2 dx (x) f )x(

ون المتغير متقطعا أو متصال حسب ك = E [(x-u)2] = E [x - E (x)]2

84

.أي أن التباين هو عبارة عن توقع مربع انحرافات القيم عن توقعها

Xنالحظ أن قيم الداخلة في حساب التباين هي القيم المربعة لـ X وهكذا

لتباين ال يقيس التشتت بنفس قيم فان ا X وإنما يقيمها المربعة وكي نحصل على

Xمقياس للتشتت بنفس قيم فأننا نجد الجذر التربيعي الموجب للتباين وهو ما

.يدعى باالنحراف المعياري

ننصح الطالب بالعودة إلى طرق حساب التباين واالنحراف المعيـاري

.ي قدما في هذا الجزءللتوزيع التكراري قبل المض

: ٤مثــال

وهو إلقاء قطعه نقد ثالث مرات ، دع ) ١(بالعودة إلى مثال x هـي

الجدول التالي يعطـي دالـة . المتغير العشوائي عد مرات ظهور الوجه صورة

xاالحتمال للمتغير 2وكيفية حساب كل من التباين xσ واالنحراف المعيـاري

xσ.

االنحراف المعياري -

X االنحراف المعياري لمتغير عشوائي هو الجذر التربيعي

Xالموجب لتباين : ويساوي xσويرمز له بالرمز

xσ = 22x )-(x E µ=σ

85

X = x f(x) = P(X=x) Xf(x) (x-E (x))2 [x-E (x)]2 f(x)

0 1/8 0 (0-3/2)2 = 9/4 9/32 1 3/8 3/8 (1-3/2)2 = 1/4 3/32 2 3/8 6/8 (2-3/2)2 = 1/4 3/32 3 1/8 3/8 (3-3/2)2 = 9/4 9/32 E(x)

23

812

=

43

32242

x ==σ

هكذا فأن و43 2

x =σ التباين

43

x =σ االنحراف المعياري

23 =

وتباينـه µ =E (x)متغيريـا عشـوائيا توقعـه Xإذا كان : نظريــة

2Xσ =Var (x) فإن

2σ = E(x2) - [E (x)]2

= E(x2) - µ 2

:البرهـــان

2σ = E [(x - E (x)]2

= E [(x2 – 2xE(x) + { } ])x(E 2 = E (x2) – 2{ } { }22 )x(E)x(E +

= E (x2) - [ ]2)x(E

86

: ٥مثـــال

مرات فان الجـدول ٣بالعودة إلى المثال السابق وهو رمي قطعه نقد

باستخدام النظرية xالتالي يعطي طريقه حساب التباين واالنحراف المعياري لـ

السابقة

[ 2σ = E (x2) - µ 2

X = x f(x) xf(x) x2f (x)

0 1/8 0 (0)2 = (1/8) = 0

1 3/8 3/8 (1)2 (3/8) = 3/8

2 3/8 6/8 (2)2 (3/8) = 12/8

3 1/8 1/8 (3)2 (1/8)= 9/8

E(x)23

= E(x2) = 824 = 3

وهكذا فان التباين يساوي

2σ = E(x2) - [E (x)]2

= 3 - 2)23(

= 23

= واالنحراف المعياري يساوي الجذر التربيعي الموجب للتباين

23

43==σ

87

Properties of Variance خــواص التبايـن اب التباين ألي هناك عده خواص للتباين وهذه الخواص تسهل علينا حس

: وأهم الخواص هي Xداله في المتغير العشوائي

متغير عشوائي فإن Xثابت و aإذا كان )١

Var (ax) = a2 Var (x)

: البرهـــان

Var (ax) = E [ax – E (ax)]2

= E [ax – a E (x)]2

= a2E [x –E (x)]2

= a2var (x)

: ٦مثــال

: فما هو تباين المتغيرات التالية ٠.٥يساوي xإذا كان تباين

i( 2 X

ii( 2X

: الحــل

i) Var (2x) = 4 Var (x)

= 4 (0.5)

= 2

88

ii) Var )2X( =

41 Var (x)

= 41 (0.5)

= 0.125

تباين الثابت يساوي صفر ) ٢

ثابت فان aإذا كان

Var (a) = 0

:البرهـــان

Var (a) = E [a –E (a)]2

= E (a – a)2

= E (02)

= 0

: نتيجـــة

Var (x ± a) = Var (x)

: البرهـــان

Var (x ± a) = Var (x) ± Var (a)

= Var (x) ± 0

= Var (x)

وهكذا فان إضافة أي قيمة أو طرح أي قيمة ثابته إلى أو من المتغيـر

.العشوائي ال تؤثر على التباين لهذا المتغير

89

: فما هو تباين كل من ٥يساوي xإذا كان تباين المتغير : ٧مثــال

i) x + 3

ii) x – 6

: الحــل

i) Var (x + 3) = Var (x) = 5

ii) Var (x – 6) = Var (x) = 5

: متغيرين عشوائيين مستقلين فان X ،Yإذا كان ) ٣

Var (x+Y) = Var (X) + Var (Y)

Var (x - y) = Var (x) + Var (y)

جموع أي أن تباين مجموع متغيرين عشوائين مستقلين أو الفرق بينهما يساوي م

.تباينيهما

: البرهـــان

Var (X ± Y) = E [(X ± Y) – E (X ± Y)]2

= E [{ } { } 2]E(y)- Y )x(EX ±−

= E [{ } { } { }{ })y(EY)x(EX2E(y)-Y )x(EX 22 −−±+− ]

= E { } { } { }{ }])y(EY)x(EX[ E2E(y) - YE )x(EX 22 −−±+−

= Var { }{ }])Y(EY)x(EX[ E2(Y)Var )x( −−±+

90

وهكذا فعلينا أن نثبت بأن الحد األخير يساوي صفر بما أن الحادثين مستقلين

يكون الحد الخير مساويا

= 2 [ E { } { }]E(y)-YE )x(Ex −

= 2 [(0) (0)]

= 0

∴ Var (X± Y) = Var (x) + Var (Y)

ويمكن تعميم هذه القاعده على أي عدد غير محدود من المتغيرات المستقله أي

: أن

Var (x1± x2 ± x3 ± … ± xn)=Var (x1)+Var(x2)+…+ Var (xn)

varianceCoرــالتغايــ

داله كثافة احتمال f(xy)فاذا كانت Y, Xوهو مقياس لالرتباط بين متغيرين

:يعرف رياضيا كما يلي Y, X هذين المتغيرن معا فان تغاير المتغيرين

Cov (X, Y) = ∫ ∫∞

∞−

[X –E (x)] [Y – E(y)] f (xy) dxdy

= E [{ }{ }E(y)-Y )x(EX − ]

91

ر ــــواص التغايـــخـ

أي Xهو تباين X, Xتغاير -١

Cov (x, x) = Var (x)

: البرهـــان

في معادله التغاير أعاله نصل إلى المطلوب Yبدل Xبوضع

: ثابتين فان b , a إذا كان - ٢

Cov (ax, by) = ab Cov (x,y)

: البرهـــان

Cov (ax, by) = E { }{ }[ ])by(Eby)ax(Eax −−

= ab E { }{ })y(EY )x(Ex −−

= ab cov (x, y)

ثابت فان a اذا كان - ٣

Cov (x, a) = 0

التغايـــر -

Cوالذي يرمز له بالرمز ( Y, Xوهكذا فان التغاير للمتغيرين

هو عباره عن توقع حاصل ضرب انحرافي المتغيرين ) Covأو

:عن مركزيهما أي يساوي

Cov (x, Y) = E [(x-µ x) (Y-µ y)]

92

: البرهـــان

Cov (x, a) = E { }{ }[ ])a(Ea )x(Ex −−

= E { }{ }[ ]0 )x(Ex −

= 0

٤-

Cov (x1 + x2 , y) = Cov (x1, y) + Cov (x2, y)

: البرهـــان

Cov (x1 + x2 , y) = E { }{ }[ ](y) E-Y )xx( E)xx( 2121 +−+

=E { }{ }[ ] { }{ }[ ])y(Ey )x(Ex E)y(Ey )x(Ex 2211 −−+−−

= Cov (x1 , y) + Cov (x2 , y)

فان x2 , x1في حاله أي متغيرين - ٥

Var (x1 + x2) = Var (x1) + Var (x2) + 2Cov (x1 , x2)

Var (x1 - x2) = Var (x1) + Var (x2) - 2Cov (x1 , x2)

: البرهـــان

Var (x1 + x2) = E [ (x1 +x2)

- E (x1 +x2)]2

= E { } { }[ ]22211 )x(Ex )x(Ex −+−

= E 222

211 )]x(Ex[E)]x(Ex[ −+− +

2 E { } { }[ ])x(Ex )x(Ex 2211 −−

= Var (x1) + Var (x2) + 2 Cov (x1 , x2)

لهوبالمثل في حاله تباين الفرق بين متغيرين أي في حا

93

Var (x1 – x2)

متغيرين مستقلين فان x2 , x1أذا كان -٦

Cov (x1 , x2) = 0

: البرهـــان

Cov (x1, x2) = E { } { }[ ])x(Ex )x(Ex 2211 −−

= E[x1 x2 + E (x1) E(x2) – x1 E (x2) – x2 E(x1)

= E(x1) E(x2)+E(x1) E(x2)–E(x1) E(x2)-E(x1) E(x2)

= 0

وبما أن المتغيرين مستقلين يكون

E (x1 x2) = E (x1) E (x2)

االرتبــاط ـل ــمعام

.يساوي صفر Y , Xويكون هذا المعامل صفرا إذا كان التغاير بين

ومعامل االرتباط يقع في المدى

1 ≥ ρ ≥ - 1

وهكـذا فـإن

ρ 2 ≤ 1

يعـرف المقـدار-

ρ= (y)Var (x)Var

Y) , (X Cov

Y , Xبمعامل االرتباط بين المتغيرين اإلحصائيين

94

تمــارين

الفصـل الثالـث

: فأثبت أن = µ E (x)إذا كان ) ١

i) E (x-µ ) = 0

ii) E (x-c)2 = E (x - µ )2 + (µ -c)2

. أي ثابت Cحيث

أو ٥أو ٤أو ٣إذا كانت احتماالت أن يوجد شخص واحد أو شخصان أو ) ٢

: أشخاص في الدرجة األولى للطائرة هي على الترتيب ٦

٠.٠٤، ٠.٠٩، ٠.١٢، ٠.٢٧، ٠.٤٣، ٠.٠٥

رة ؟فما هو عدد األشخاص المتوقع وجودهم في الدرجه األولى للطائ

aيكون في نهايته الصغرى عندما يكون الثابت E (x-a)2أثبت أن المقدار ) ٣

. E(x)يساوي

: كثافة احتمالهما هي Y , Xإذا كان لدينا المتغيرين المستقلين ) ٤

f (x) = 12 x 2 (1 – x) 0 ≤ X ≤ 1

f (y) = 2 Y 0 ≤ Y ≤ 1

أوجد توقع المقدار

Yx

xY

2 +

95

أوجد قيمة ٦وتباينه ١٠متغير عشوائي وسطه الحسابي Xإذا كان ) ٥

E (x2 + 3 x)

الجدول التالي يعطي التوزيع االحتمالي لعدد السيارات المباعة من قبل أحد ) ٦

:سيارات خالل شهربائعي ال

عدد السيارات االحتمــال

٠ ٠.٠١

١٠ ٠.٠٥

٢٠ ٠.٣٩

٣٠ ٠.٤٥

٤٠ ٠.١٠

المجمـــــوع ١.٠٠

: أوجــد

i( متوسط عدد السيارات المباعه خالل الشهر.

ii( تباين عدد السيارات المباعه خالل الشهر. حد المحالت الجدول التالي يبين عدد التلفزيونات الملونه المباعه عادة في ا -٧

: أسبوعيا واالحتمال المناظر لكل منها

عـدد التلفزيونات االحتمــال

٠ ٠.١٣ 0.27 ٤

٦ ٠.٣٩

٨ ٠.٢١

96

٤٠ ٠.٠٧

المجمـــــوع ١.٠٠

97

: أوجــد

i( متوسط المبيعات األسبوعية

ii( تباين الوسط الحسابي للمبيعات األسبوعية

ربح الجائزة األولـى وهـي أشتري شخص بطاقة يانصيب ، يستطيع أن ي ) ٨

، ٠.٠٠٥دينـار باحتمـال ٣٠٠٠دينار أو الجائزة الثانية وهـي ٤٠٠٠

على الترتيب فما هو السعر المناسب لهذه البطاقة؟ ٠.٠٠٨

Cأو Bأو Aذهب شخص لشراء سياره فـاذا كـان سـيختار السـيارة ) ٩

٢٠٠٠ Aعلى الترتيب وكان ثمن السـيارة ٠.٣و ٠.٣و ٠.٤باحتمال

دينار فما هو المبلـغ ٣٠٠٠ Cدينار والسيارة ٢٥٠٠ Bدينار والسيارة

المتوقع أن يدفعه هذا الشخص؟

والعائدات المتوقعه C , B, Aشركة تعمل في ثالثة مشاريع مستقلة هي ) ١٠

علـى الترتيـب ٢٥.٠٠٠، ٥٠.٠٠٠، ١٠٠.٠٠٠للمشاريع الثالثة هي

: دينار على الترتيب فما هو ٣.٠٠٠، ٥٠٠٠، ١٠.٠٠٠والتباينات هي

i( اجمالي العائدات المتوقعة من المشاريع الثالثة.

ii( اجمالي التباين.

هي عدد األخطاء المطبعية في صفحة وأن Xإذا كانت ) ١١

f (0) = 0.9 f (1) = 0.05 f (2) = 0.03 f (3) = 0.02

98

صفحة ؟ ٢٠٠فما هو عدد األخطاء المتوقع في

متغير عشوائي داله احتماله Xثابت و Cإذا كان ) ١٢

f(x) = cx

x = 3, 4, 5, 6

: أوجــد

i( قيمة الثابتC

ii( توقعX

iii( تباينX

أثبت أن ) ١٣

Cov (x, y) = E (x y) - µ x µ y

هي y,x ين إذا علمت أن داله كثافة االحتمال المشتركة للمتغير) ١٤

f(x, y) = x + y 0 ≤ X ≤ 1

0 ≤ X ≤ 1

أوجــد

i ( تغايرy, x أيCov (x, y)

ii( معامل االرتباطy , x أي(x, y)

99

ثـلالثا ل ـالفص ارين ـتم ل ـح

١ (

i) E (x-µ ) = E[(x-E (x)] = E (x) – E (x)

= 0

ii) E(x-C)2 = E (x2-2cx + C2) - الطرف األيسر

= E (x2) – 2CE(x) + C2

= E (x2) – 2Cµ + C2

األيمن الطرف -

E (x-µ )2 + (µ -c)2 = E (x2 - 2µ x + µ 2) + µ 2- 2µC + C2

= E (x)2 – 2 µ 2 + µ 2 + µ 2 - 2µC + C2

= E (x2) – 2 µ c + C2

يكون الطرفان متساويين وهو المطلوب ∴

٢ (

x f(x)f(x) X = x 0.05 0.05 1 0.86 0.43 2 0.81 0.27 3 0.48 0.12 4 0.45 0.09 5 0.25 0.04 6

E(X) = ∑allx

)x(XP

100

= 2.89

وهو المطلوب

يكون المقدار في نهايته الصغرى إذا كانت المشتقه األولى له تساوي )٣

الصفر

444 3444 21Z

222 a (x) E a 2)x(E)ax(E +−=−

(نشتق هذا المقدار Z بالنسبة لـ ) a

dadz = 0-2 E (x) + 2a

= 0 – 2 a + 2a

= 0

a = E (x)حيث

المقدار في نهايته الصغرى ∴

٤ (

E ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

YXE

XY E

YX

XY

22

= E (Y) E ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Y1 E)X(E

X1

2

ألنهما مستقالن

اآلن نجد كل توقع على حده ونعوض الناتج في المعادله أعاله

101

E (Y) = ∫

1

0Y f (Y) dy

= ∫1

0Y (2Y) dy

= 2 ∫1

0Y2 dY

= 2 1

0

3

3Y

= 32

E ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2X1 = ∫

1

0{ } X)-(1 X 12

X1 2

2 dX

= ∫1

0{ } )X 12- X 12

X1 32

2 dx

= 12 ∫1

0(1-X) dX

= 12 1

0

2

2X - X

= 12 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21

= 6

102

E (X) = ∫

1

0{ } X)-(1 X 12 X 2 dX

= 12 ∫1

0X3 – X4 dx

= 12 1

0

54

5X -

4X

= 12 53

2012

51 - 4

1 ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

E ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Y1 = ∫

1

0 Y1 (2Y) dy

= ∫1

02 dy

= 2

E ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

YX

XY

2 = E (Y) E ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2X1 + E(X) E ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Y1

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

32 (6) + ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

53 (2)

= 5.2

103

٥ (

E (X2 + 3X) = E (X2) + 3 E (X) ……… 1

Var(x) = E (X2) - { }2)X(E ……… 2

6 = E (X2) – (10)2

E(X2) = 106 ……… 3

١فـي ٣نعـوض

E (X2 + 3 X) = 106 + 3(10)

= 106 + 30

= 136

٦(

عدد السياراتX – x

f(x)=P(X=x) X f(x) X2 f(x)

0 0.01 0 0 10 0.05 0.50 5 20 0.039 7.80 156 30 0.45 13.50 405 40 0.10 4.00 160

E(x) = ∑allx

)x(Xp E(x2) = ∑allx

2 )x(Px

= 25.8 = 726

104

V(x) = E(x2) - { }2)x(E

= 726 – 665.64

= 60.36

٧(

X P(X) XP (X) X2 P(x)

2 0.13 0.26 0.52

4 0.27 1.08 4.32

6 0.32 1.92 11.52

8 0.21 1.68 13.44

10 0.07 0.70 7.00

E(x) = ∑ )x(XP E(x2) = ∑ )x(px2

= 5.64 = 36.80

V(x) = E(x2) - { }2)x(E

= 36.80 – 31.8096

= 4.9904

≅ 5

105

السعر المناسب يساوي قيمة التوقع )٨

E(x) = ∑allx

(X) P X

= 4000 (0.005) + 3000 (0.008)

= 20 + 24

= 44

المبلغ المتوقع أن يدفعه هو توقع األسعار الثالثة ) ٩

E(x) = ∑allx

)x(XP

= 2000 (0.4) + 2500(0.3) + 3000(0.3)

= 800 + 750 + 900

= 2450

بما أن المشاريع مستقلة يكون إجمالي العائدات المتوقعة هو ) ١٠

i) E ( X1 + X2 + X3) = E (X1) + E(X2) + (X3)

= 100000 + 50000 + 25000

= 175000

ii) V (X1 + X2 + X3) = V (X1) + V(X2) + V (X3)

= 10000 + 5000 + 3000

= 18000

106

=عدد األخطاء المتوقعة في الصفحة الواحدة )١١

E (x) = ∑allx

(X) P X

= 0 (0.9) + 1 (0.05)+2 (0.03) + 3 (0.02)

= 0 + 0.05 + 0.06 + 0.06

= 0.17

صفحة ٢٠٠صفحة هو مجموع توقعات الـ ٢٠٠عدد األخطاء المتوقعة في

ألنها حوادث مستقلة

= 200 (0.17) = 34

١٢ (

i) 1 (x) f allx

=∑

1 X C =∴ ∑

∑ = 1 X C

C (3 + 4 + 5 + 6) = 1

∴ C = 181

ii) E (x) = ∑

allxP(X) X

= ∑ CX X

= ∑ 2xC

= 181 ( 9 + 16 + 25 + 36)

107

= 943

iii) V(X) = E (X2) - { }2)x( E = E(X2) = ∑

allx

2 (X) P X

= C∑ 3X

= 181 (27 + 64 + 125 + 216)

= 9

216

Var(x) = 9

216 - 2

943

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 81

18491944 −

= 8195

أثبت أن ) ١٣

Cov (x, Y) = E (XY) - yx µµ

:البرهـــان

Cov (x, y) = E [(x - xµ ) (y - yµ )]

= E (xy - x yµ - xµ y + xµ yµ )

= E (xy) - xµ yµ - xµ yµ + xµ yµ

= E (XY) - xµ yµ

وهو المطلـوب

108

١٤ (

Cov (x, y) = E(xy) – E(x) E(y)

. XYوتوقع Yوتوقع Xحتى نجد التغاير البد أن نجد أوال توقع ∴

E(x+y)نبحث عن E (y) , E(x)حتى نحصل على

E (x + y) = ∫ ∫1

0(x+y) f(x,y) dx dy

= ∫ ∫1

0x f (x,y) dx dy + ∫ ∫

1

0x f (xy) dx dy

= 444 3444 21

)x(E

1

0

1

0dx dy] )xy(fx[∫ ∫ +

444 3444 21)y(E

1

0

1

0dy dx] )xy(f [ y∫ ∫

= ∫ ∫ +1

0

1

0 dy] )yx(x[ dy + ∫ ∫ +

1

0

1

0 dx] )yx( [ y dy

= ∫ +1

0

1

0

2

2y xy x dy + ∫ +

1

0

1

0

2 yx

2x y dy

= dx21xx

)x(f

1

0 43421⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∫ + dy

21yy

)x(f

1

0 43421⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∫

= dy2yydx

2xx

1

0

21

0

2 ∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= 1

0

231

0

23

4y

3y

4x

3x

+++

= 127

127+

109

أي أن

E (x) = 127

E (Y) = 127

f (x) = x + 21

f (y) = y + 21

E(xy)اآلن نحسب

E (xy) = ∫ ∫1

0xy f(xy) dxdy

= ∫ ∫1

0xy (x+y) dxdy

= ∫ ∫1

0x2y + xy2 dxdy

= ∫ ∫∫ ∫ +1

0

1

0

21

0

1

0

2 dy dx] xy [ dy dx] yx [

= dy 3

xy dy 3yx

1

0

1

0

31

0

1

0

3

∫∫ +

= xdx31 ydy

31

1

0

1

0∫∫ +

= 2

X 31

2Y

31 xdx

31 ydy

31 1

0

21

0

21

0

1

0+=+ ∫∫

= 31

61

61

=+

110

فيكـــون

Cov (x, y) = E(xy) – E(x) E(y)

= 127 .

127

31+

= 14449

31−

= 144

1

ii ( لحساب معامل االرتباط البد من حسابV (y) , v(x)

V(x) = E(x2) - { }2)x(E

E(x2) = dx )x(fx21

0∫

= dx )21x( x2

1

0+∫

= 1

0

34

6X

4X +

= 125

Var(x) = 14411

127 -

125 2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

111

وبنفس الطريقة نجد أن

V(y) = 14411

111-

144/11144/1

14411.

14411

144/1V(y) )x(V

y)(x, Cov )y,x( =−

=−

==ρ

112

ــل الــرابــعالفصــ

113

الفصــل الرابـــــع

التوزيعات االحتمالية المنقطعه

THE DISCRETE PROBABILITY DISTRIBUTIONS

مقدمــــــــة

توزيعات احتماليـة متقطعة منها توزيع برنولي ، توزيـع هنـاك عدة

ثنائي الحديـن، توزيع ثنائي الحدين السالـب، توزيـع كثير الحدود، توزيـع

ك وتوزيع بواسون، ولكننا سندرس في هذا الفصل فقط توزيـع يوجيومتررالهيب

عة في ثنائي الحدين وتوزيع بواسون نظرا لما لهذين التوزيعين من تطبيقات واس

.التجارة واالقتصاد

The Binomial Distribution توزيع ثنائي الحدين

في كثير من التطبيقات االقتصادية والتجارية كثيرا ما نكون معنيـين بدراسـة

االختبارات التي يكون لها نتيجتين ممكنتين فقط وهما ما تدعيان عادة بالنجاح أو

ائية الحدين ، مثل اختبار ما نارات ثالفشل، مثل هذه االختبارات تعرف باالختب

ويقـال . إذا كان أحد المصابيح الكهربائية التي ينتجها مصنع ما سليما أو معيبا

مثل بالتجربة ثنائية الحدينللتجربة التي تتكون من عدة اختبارات ثنائية الحدين

ويجب أن يتحقق في أي تجربـة . طالب ما إذا كانوا يدخنون أم ال ١٠٠سؤال

: ثنائية الحدين الشروط األربعة التالية

.عدد االختبارات محدود .١

.لكل اختبار فقط نتيجتين ممكنتين وهما النجاح أو الفشل .٢

114

احتمال النجاح يكون ثابت في كل االختبارات وال يختلف من .٣

.اختبار آلخر

.االختبارات مستقلة بعضها عن بعض .٤

ع االحتمالي من خالل المثال التالي سوف نوضح ونشتق التوزي

لمتغير عشوائي ثنائي الحدين في تجربة ثنائية الحدين وهو ما يعرف باسم

.التوزيع ثنائي الحدين

:١مثــال

هي عدد االختبارات في التجربة ثنائية الحدين وهـي nلو كانت

هي احتمال الحصول على الوجه صوره Pإلقاء قطعة عمله معدنية وكانت

هي احتمال عدم ظهور الوجه qز لها بالرمز ويرم (P-1)و ) أي النجاح(

: أي هي احتمال ظهور الوجه كتابه في كل اختبار) أي الفشل(صوره

n= ١لو جعلنا :أوال

فإن مجموعة الحاالت الممكنة تكون

S) = ص و ك(

حيث ص ترمز إلى الوجه صوره

ك ترمز إلى الوجه كتابه

رات ظهور الوجه صورهتمثل المتغير العشوائي عدد م Xدع

١، ٠هي X فتكون القيم الممكنة لـ

P هي احتمال ظهور الصوره

q= (I-P) هي احتمال ظهور الكتابة

: على الشكل التالي xفيكون التوزيع االحتمالي للمتغير

115

١جـدول

التوزيع ثنائي الحدين

١ =n

X = x f (x) = P (X = x)

0

1

f (0) = P )ك( = q

f (1) = P )ص( = P

q + P = 1 المجموع

n= ٢لو جعلنا :ثانيا

فان مجموع الحاالت المكنة تكون

S) = ص ص ، ص ك ، ك ص ، ك ك(

ص ص تعني األولى صورة والثانية صورة حيث

ك ك تعني األولى كتابة والثانية كتابة

ص ك تعني األولى صورة والثانية كتابة

لى كتابة والثانية صورة ك ص تعني األو

حاالت ٤أي أن عدد الحاالت الممكنة

وتكون احتماالت هذه الحاالت هي

qq , qp, pq, pp حيث أن االختبارات مستقلة

٢، ١، ٠الممكنة هي xوتكون قيم

116

: كما في الجدول التالي xويكون التوزيع االحتمالي لـ

)٢(جــدول

توزيع ثنائي الحدين

n = 2

X = x f(x) = P (X = x)

0

1

2

f (0) = P )ك ك( = P )ك( P )ك( = qq = q2

f (1) = P )ص ك( + P )ك ص( = P )ص( P )ك( + P )ك( P )ص(

= Pq + qP = 2qP

f (2) = P )ص ص( + P )ص( P )ص( = PP = P2

q2 + 2qP + P2 = (q+P)2 = 1 المجموع

٣تساوي n لو جعلنا: ثالثـا

فإن مجموعة الحاالت الممكنة تكون

ص ص ص، ك ص ص، ص ك ص، ك ك ص، ص ص ك، ك ص ك، ص ك {

= S}ك ، ك ك ك

حاالت ٨= أي أن مجموع الحاالت الممكنة

وتكون االحتماالت المناظرة لهذه الحاالت هي

qqq, qqP, qPq, qPP, Pqq, PqP, PPq, PPP ٣، ٢، ١، ٠الممكنة هي xوتكون قيم

: كما في الجدول التالي xويكون التوزيع االحتمالي لـ

117

٣جــدول

توزيع ثنائي الحدينn = 3

X = x f(x) = P (X = x)

0

1

2

3

f (0) = P )ك ك ك( = P )ك( P )ك( P )ك( = q3

f (1) = P )ص ك ك( + P )ك ك ص( + P )ك ص ص(

= q2 p + q2 p+ q2 p=3 q2 p

f (2) = P )ص ص ك( + P )ص ك ص( + P )ك ص ص(

= qp2 + qp2 + qp2 = 3qp2

f (3) = P )ص ص ص( = P )ص( P )ص( P )ص( = p3

q3 + 3q2p + 3qp2 + P3 = (q+p)3 = 1 المجموع

: ابقة أن عدد الحاالت الممكنة هو نالحظ من الجداول الثالثة الس

٢= ٢١= فان الحاالت الممكنة ١تساوي nإذا كانت

٤= ٢٢= فان الحاالت الممكنة ٢تساوي nإذا كانت

٨= ٢٣= فان الحاالت الممكنة ٣تساوي nإذا كانت

وبتعميم هذه النتيجة يكون عدد الحاالت الممكنة بتجربـة ثنائيـة الحـدين

إذا ما اسـتمرينا فـي . اختبار nإذا كانت التجربة مكونه من 2nيساوي

فاننا بصورة عامـة نسـتطيع أن نطبـق نفـس nزيادة عدد االختبارات

الطريقة كما في الجداول الثالثة السابقة ولكن العمليات الحسابية سـتكون

.طويلة وممله وال بد من طريقة عامة تسهل لنا ذلك

118

مرة xل بأن احتمال الحصول على الوجه صورة واآلن نستطيع القو

) القاء قطعة عملـه (اختبار nبالضبط في تجربة ثنائية الحدين تتكون من

عندما يكون ترتيب الصورة والكتابة معينة أو مبينة هو احتمـال وقـوع

مرة وذلك في (n-x)مرة وعدم وقوعة x) ظهور الوجه صورة(الحادث

.حاالت مختلفة

Pxمرة هو x ) صورة(الحادث احتمال وقوع

qn-xمرة هو n-xاحتمال عدم وقوع الحادث

pxمرة هو xومن قاعدة ضرب االحتماالت يكون احتمال وقوع الحادث

qn-x

وعدد الحاالت المواتية لوقوع الحادث يمكننا حسابه بالتوافيق وهو يساوي

أي nمن xتوافيق

! x)-(n !x!nn

x

nxC =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

مرة xاالحتمال المطلوب وهو الحصول على الوجه صوره وهكذا يكون

: اختبار مساويا إلى nبالضبط من

( )nx px qn-x

، ٠تكون احتماالت ظهور الوجه صوره ٣تساوي nمثــال ، لو كانت

: مرات هي على التوالي ٣، ٢، ١

(33) p3 , (23) p2 q , (13) pq2 , (03) q3

p3 , 3p2q , 3pq2 , q3

)٣(وهي نفس االحتماالت التي حصلنا عليها في جدول

119

ويالحظ أن القيم الناتجة عن القانون

( )nx px qn-x

x = 0, 1, ….., n

في مفكوك ثنائي الحدين xهي نفسها قيم الحد

(q+p)n

حيــث

(q+p)n = qn + ( )n1 pqn-1 + ( )n

2 p2qn-2 +…+ ( )nx pxqn-x +… +

( )n 1n− pn-1q + pn

ومن هنا جاءت تسمية هذا التوزيع االحتمالي بالتوزيع ثنائي الحدين

: وباختصار فان توزيع ثنائي الحدين هو

:التوزيع ثنائي الحدين

والـذي xهو التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع

اختبـار ثنـائي الحـدين ، nيمثل عدد مرات النجاح في

يعطي هذا التوزيع بالصيغة و

f(x) = ( )nx px qn-x

:حيث

i( x= 0, 1, …, n ii( p هي احتمال النجاح في كل اختبار

iii( q هي احتمال الفشل في كل اختبار

iv( ١ =p + q

120

: ٢مثـال

المدرسية أن يضع في كل ) المقاعد(جي الكراسي طلب من أحد منت

إذا كان يعلم ). االيسرين(غرفة دراسة بعض المقاعد الخاصة باألعسرين

: من السكان أعسرين ما هو احتمال ان غرفة لعشرين طالبا% ١٠أن

i( ال تحتوي على أي عسر

ii( اثنان منهم اعسران

iii( أكثر من أثنين منهم أعسرين

د االعسرين الموجودين في هذه الغرفة تمثل عد xدع :الحــل

٢٠، ... ، ٢، ١، ٠هي xتكون القيم الممكنة لـ

تساوي احتمال أن يكون الفرد اعسرا pدع

q تساوي احتمال أن ال يكون الفرد اعسرا

∴ p = 0.10

q = 1-P = 0.90

n = 20

i) p )سرال تحتوي على اع( = f(0)

f(x) = ( )nx px qn-x

f(0) = ( )200 p0 q20

= (q)20 = (0.90)20

= 0.122

121

ii) P )اثنان اعسران( = f (2)

f(2) = ( )202 p2 q18

= 190 (0.01)2 (0.90)18

= 190 (0.01) (0.9)18

= 0.285

iii) P )ثر من اثنيناك( = p (x > 2) = 1- p (x

≤ 2)

= 1 - { }) 2(x p 1)(x p 0) (x p =+=+=

= 1 - { }285.0.9)0( .1)0( 20 .9)0( 1920 ++

= 1 - { }.2850 .2700 0.122 ++

= 0.323

توقع التوزيع ثنائي الحدين

مـرة nبالعودة إلى المثال السابق وهو تجربة إلقاء قطعة عملـة

وهو عدد xفان التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي ١تساوي nوبجعل

والتوقع لهذا التوزيـع ) ١(مرات ظهور الوجه صورة معطى في الجدول

محســــــــــوب فــــــــــي جــــــــــدول

: التالي) ٤(

122

)٤(جــدول

توقع توزيع ثنائي الحدين

n = 1

X f (x) x f (x) 0

1

q

p

0

p

المجمـــوع

∑ ==µ1

0p)x(xf

وهو عدد xفإن التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي ٢تساوي nوبجعل

أو الوسـط (والتوقـع ) ٢(مرات ظهور الوجه صوره معطى في الجدول

:التالي) ٥(لهذا التوزيع محسوب في جدول ) الحسابي

)٥(جــدول

توقع توزيع ثنائي الحدينn = 2

X f(x) x f (x) 0 1 2

q2 2pq p2

0 2qp 2p2

E(x) = 2p (q+p) المجمـــوع=2p

xفإن التوزيع االحتمالي للمتغير العشـوائي ٣تساوي nوبجعل

أو (والتوقـع ) ٣(هو عدد مرات ظهور الوجه صورة معطى في الجدول

: التالي) ٦(لهذا التوزيع يمكن حسابه كما في جدول ) الوسط الحسابي

123

)٦(جــدول

توقع توزيع ثنائي الحدينn = 3

X f(x) X f (x)

0 1 2 3

q3 3p2q 3qp2

P3

0 3q2 p 6q p2 3p3

المجمـــوع µ = E(x) = 3p(q2 + 2qp + p2)

= 3p (q + p)2 = 3p

للتوزيع ثنائي الحدين ) أو التوقع(وهكذا فاننا نالحظ بأن الوسط الحسابي

: هو

P إذا كانتn ١تساوي

2p نت إذا كاn ٢تساوي

3p كانت إذاn ٣تساوي

ويمكننا اآلن أن نعمم هذه النتيجة فنقول بأن توقع التوزيع ثنائي

.من االختبارات nلـ n pالحدين يساوي

توقع التوزيع ثنائي الحدين-

هو احتمال الفشل في qهو احتمال النجاح و pإذا كان

اختبار nدد مرات النجاح المتوقعة من كل اختبار فإن ع

npµهو

124

ويمكننا أن نبرهن ذلك أيضا باستخدام تعريف التوقع كما يلي

)x( E =µ = ∑=

n

0x(x) f x

= ∑=

n

0x

x-nxnx q p )( x

= ∑=

n

0x

x-nx q p! x)-(n !x

!n x

= ∑=

n

1x

1)-(x - 1)-(nx q p ! 1)]-(x - 1)-[(n ! 1)-(x

!n

= ∑=

n

1x

1)-(x - 1)-(n1-x

! 1)]-(x - 1)-[(n ! 1)-(xq p ! 1)-(n np

= 1)-(x-1)-(nn

1x

1-x1n1-x q P )( np∑

=

−

= np (q+p)n-1

= np

مرة فما هو عدد المرات المتوقعة ١٠٠إذا ألقيت قطعة نقدية : ٣مثـال

ورة؟لظهور الوجه ص

تمثل المتغير العشوائي وهو عدد مرات ظهـور الوجـه xدع :الحــل

لها توزيع ثنائي الحدين بـ xصورة وهكذا فإن

P = 21

n = 100

125

np = وتوقع التوزيع ثنائي الحدين

µ= E(x) = np = 100 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21 = 50

وهــو المطلـوب

o تباين التوزيع ثنائي الحدين

مرة وباستخدام nوهو تجربة إلقاء قطعة نقد ) ١(بالعودة إلى مثال

∑قانون التباين µ=σ f(x) )-(x 22x وبجعـلn ٣، ٢، ١تأخـذ القـيم

.نستطيع أن نصل إلى صيغة عامة لتباين التوزيع ثنائي الحدين

xزيع االحتمالي للمتغير العشـوائي يكون التو ١تساوي nبجعل

وتوقع هـذا ) ١(وهو عدد مرات ظهور الوجه صورة معطى في الجدول

وأما تباين هذا التوزيع فـيمكن pوهو ) ٤(التوزيع كما حسب في الجدول

: التالي) ٧(حسابه كما في جدول

)٧(جــدول

تباين التوزيع ثنائي الحدين

n = 1

X f(x) x - µ (x-µ )2 f (x) 0 1

q p

0-p 1-p

q2 q (1-p)2 p

المجمـوع 2

xσ = p2q + q2p = pq (p+q) = pq

126

xفإن التوزيع االحتمالي للمتغير العشـوائي ٢تساوي nوبجعل

وتوقع هـذا )٢(وهو عدد مرات ظهور الوجه صورة معطى في جدول

وأما تباين هذا التوزيع فـيمكن ) ٥(كما حسب في جدول 2pالتوزيع هو

: التالي) ٨(الوصول إليه كما في جدول

)٨(جــدول

تباين التوزيع ثنائي الحدين

n = 2

(x-u)2 f(x) x –

u

f(x) X

4p2 q2

(1-2p)2 2pq

4(1-p)2 p2

-2p

1-2p

2-2p

q2

2pq

p2

0

1

2 2xσ = 4 2

q2p +(1-2p)2 2pq+4(1-p)2 p2

= 4 2q

2p + (1-4p+4p2) 2pq + 4q2 p2

= 8 2q

2p + 2pq - 8p2q + 8p2 q

= 8p2 q (q-1 + p) + 2p q

= 8p2 q (0) + 2p q

= 2pq

المجمـوع

127

xفان التوزيع االحتمالي للمتغير العشـوائي ٣تساوي nبجعل و

وتوقـع هـذا ) ٣(وهو عدد مرات ظهور الوجه صورة معطى في جدول

ويمكننا بنفس الطريقة السابقة أن 3pهو ) ٦(التوزيع كما حسب في جدول

٣تساوي nعندما 3pqنصل إلى تباين هذا التوزيع يساوي

: ثنائي الحدين يساويوهكذا يكون تباين التوزيع

pq عندماn ١تساوي

2pq عندماn ٢تساوي

3Pq عندماn ٣تساوي

ويمكننا تعميم هذه النتيجة بالقول بان تباين التوزيع ثنائي الحدين يسـاوي

npq لـn اختبار

ويمكننا برهنه ذلك أيضا باستخدام قوانين التوقع والتباين كما يلي

=σ2x E(x2) – [E (x)]2

E (x2) = ∑=

n

0x

2 (x) f x

= ∑=

n

0x

x-nxnx

2 q p )( x

تباين التوزيع ثنائي الحدين-

هو احتمال الفشل في كل qهو احتمال النجاح و pإذا كان

اختبار هو nاختبار فإن تباين التوزيع االحتمالي لـ

128

= ∑

=

n

0x

x-nx2

! x)-(n ! x q p !n x

x(x-1)+xبـ x2وبالتعويض محل

= xnxn

0xqp

! x)-(n !x !n x] 1)-[x(x −

=∑ +

= q p ! x)-(n !x

! xn qp ! x)-(n !x !n 1)- x(x xnx

n

0x

xnxn

0x

−

−

−

=∑∑ +

= ∑=

n

2x

! 2)]-(x-2)-[(n ! 2)-(x! 2)-(n 1)-n(n px q(n-2)-(x-2) + E(x)

= n (n-1) p2 ∑=

n

2x

! 2)]-(x-2)-[(n ! 2)-(x! 2)-(n px-2 q(n-2)-(x-2) + np

= n (n-1) p2 2n)pq( −+ + np

= n2 p2 – np2 + np

2xσ = E (x2) – [E(x)]2

= n2 p2 – np2 + np – n2 p2

= np – np2

= np (1 – p)

= npq

npq2σ = وهكذا فان

واالنحراف المعياري للتوزيع ثنائي الحـدين يسـاوي الجـذر التربيعـي

الموجب للتباين

npq 2 =σ=σ

129

: ٤مثـال

مره فما هو التباين ١٠٠وهو إلقاء قطعة نقد ٣بالعودة إلى مثال

واالنحراف المعياري لعدد مرات ظهور الوجه صورة؟

: الحــل

متغير العشوائي وهو عدد مرات ظهور الوجه تمثل ال xدع

لها توزيع ثنائي الحدين فيه xصوره وهكذا فان

P = 21

q = 21

n = 100

2 = التباينxσ = npq

= 100 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

21 = 25

npq ==σ 25 = االنحراف المعياري = 5

توزيع بواســـــون

يستخدم توزيع بواسون في التجارب التي تكون نتيجتهـا وقـوع

الحدث موضع االهتمام عددا صحيحا من المرات خالل وحده زمنية محددة

أو منطقة محـددة أو على وحده ) الخ... مثل الدقيقة أو الساعة أو اليوم (

، بينما يستخدم توزيع ثنائي الحـدين ) مثل الطول أو المساحة(من الحيز

130

لمعرفة عدد مرات وقوع الحدث موضع االهتمام في عدد محدد مـن

: ومن أمثلة تطبيقات توزيع بواسون. االختبارات

: المسائل التي تحتاج إلى االنتظار أو المرتبطه بالزمن مثل ) أ

.ادث السير في أسبوع بمدينة ماعدد حو -

.عدد القطارات التي تغادر المحطة في الساعة -

.عدد المراجعين في أحد مراكز الخدمة في اليوم -

.عدد المكالمات الهاتفية التي يتلقاها الراديوتاكسي في الدقيقة - المسائل التي ترتبط بمناطق الفراغ أو الحيز مثل المسائل ) ب

: ودة ومنها المرتبطة بمراقبة الج

عدد العيوب الموجودة في قطعة قماش محددة المساحة -

عدد العيوب الموجودة في سلك للهاتف طوله كيلومتران -

عدد األخطاء المطبعية في الصـفحة التـي ترتكبهـا إحـدى -

السكرتيرات

وهكذا فان المتغير البواسوني هو متغير متقطع ياخذ قيمة مـن القـيم

فترة زمنية متصلة أو فـي حيـز أو منطقـة في ... أو ٢أو ١صفر أو

:متصلة ويجب أن يحقق الشروط الثالثة التالية

عدد مرات النجاح مستقلة في فترتين متتاليتين من الزمن أو - ١

.منطقتين متصلتين من الحيز

احتمال النجاح خالل فترة قصيرة من الزمن أو منطقة صغيرة من - ٢

.هذا الحيز الحيز يتناسب مع طول هذه الفترة أو منطقة

131

احتمال نجاحين أو أكثر خالل فترة زمنية قصيرة أو منطقة - ٣

.من الحيز صغيرة يكون صغيرا جدا بحيث يمكن إهماله

132

والتوزيع االحتمالي لمتغير بواسون العشـوائي يـدعي بتوزيـع

: بواسون ويعطي حسب التعريف التالي

:٥مثـال

الدقيقة الذين يدخلون احد المحالت افترض أن متوسط عدد الزبائن في

التجارية هو ثالثة زبائن ، باستخدام توزيع بواسون أوجد احتمال ان أربعة

.زبائن بالضبط سيدخلون المحل خالل دقيقة معينة

توزيع بواسون -

Xر بواسون العشوائي وان القيم الممكنة لـ هي متغي Xإذا كانت

يدعى بتوزيع Xفان التوزيع االحتمالي لـ ... ، ٢، ١، ٠هي

: ويعطى بالصيغة التالية. بواسون

f(x) = ! x

e xλλ−

حيث

x =٢، ١، ٠ ، ...

e = ٢.٧١٨٢٨ثابت قيمته

λ =ت النجاح في الفترة الزمنية أو منقطة متوسط عدد مرا

.الحيز المحددة وتسمى معلمة التوزيع

133

:الحــل

تمثل المتغير العشوائي عدد الزبائن الذين يدخلون المحل في xدع

باسـتخدام . ٣تساوي λسطة توزيع بواسوني متو x الدقيقة فيكون لـ

: صيغة توزيع بواسون

f(x) = ! x

e xλλ−

p(x=4) = f (4) = ! 4

)3( e 43−

= 24

)81( 05.0

e-3)= ٠.٠٥حيث (

= 800135

= 16875.0

:٦مثـال

ذا كان متوسط عدد العيوب في شريحة زجاجية كبيرة هو واحد إ

: قدم ١٠× ٣قدم مربع فما هو احتمال ان شريحة ٢٠لكل

i( ال تحتوي على عيوب.

ii( تحتوي على عيب واحد على األقل.

134

: الحــل

١٠× ٣تمثل عدد العيوب في الشريحة xدع

توزيع بواسوني معلمته هي xفيكون لـ

1.5 20

10 3 =×

=λ

١.٥هو ١٠× ٣أي أن متوسط عدد العيوب في الشريحة

: وبتطبيق صيغة بواسون

f(x) = ! x

e xλλ−

i) P (x=0) = f(0) = ! 0

(1.5) e 05.1− = e-1.5 =

0.223 ii) p )عيب واحد على األقل( = 1-p (x=0) =

1 - 0.223

= 0.777

تباين توزيع بواسون توقع و

تمثل متغير بواسوني وبالتالي لها توزيع بواسون xإذا كانت

f(x) = ! x

e xλλ−

x = 0, 1, 2, … λ > 0

يساوي معلمة التوزيع أي xفان توقع وتباين متغير بواسون العشوائي

:أي أن λيساوي

135

xµ = E(x) = λ

2xσ = E (x2) – [ E (x)]2 = λ

:البرهــان

E (x) = ∑∞

=0x(x) f x

= ∑∞ λ λ

0

x-

! x e x

= ∑∞ λ

−λ

1

x-

! )1x( e

= ∑∞

λ

−λ

λ1

1-x-

! )1x( e

ومن المعروف في التفاضل والتكامل أن

λe = 1 + !x

... ! 2

! 1

x1

0x

2 λ=+

λ+

λ ∑=

∴ E (x) = λ=λ λλ e e -

E (x2) = )x(fx2

0x∑∞

=

= ∑∞ λ λ

0

x-2

! x e x

ينتج X(X-1)+Xبالقيمة X2بتعويض

136

= ∑

∞ λ λ+

0

x-

! x e x] 1)-(x[x

= ! x e x

! x e 1)-(x[x

x-

00

x- λ+

λ λ∞∞ λ∑∑

= (x) E ! )2x(

e x x-

2+

−λλ∞

∑

= λ+−λ

λ ∑∞

λ− ! )2x(

e 2-x

2

2

= λ 2 e-λ eλ + λ

= λ 2 + λ

var (x) = E (x2) – [ E (x) ]2

= (λ 2 + λ ) - λ 2

= λ

137

تماريـن

الفصــل الربـع

٤تالفة ، سحبنا ٥مصباحا كهربائيا منها ٢٠خله صندوق بدا) ١

: مصابيح بطريقة عشوائية مع اإلعادة أحسب احتمال

i ( الحصول على مصباح واحد معيب)٦٤/٢٧( )تالف(

ii ( الحصول على مصباح واحد على األقل معيب)٢٥٦/١٧٥( )تالف(

يجيب الطالب أسئلة وكان احتمال أن ١٠إذا كان االمتحان يتكون من ) ٢

: أوجد االحتماالت التالية ٠.٢على أي سؤال عشوائي هو

i ( احتمال اال يجيب الطالب على أي سؤال )٠.١٠٧٤(

ii ( أن يجيب على سؤال أو اكثر )٠.٨٩٢٦(

iii ( أسئلة فقط ٣أن يجيب على )٠.٢(

ونات الملونه معيبا من إنتاج إحدى الشركات من التلفزي ٠.١٥إذا كان ) ٣

فإذا اعتبرنا كل جهاز تجربـة . جهازا إلى أحد العمالء ١٥، شحن

:مستقلة فما هو احتمال

i (أن ال يكون من بين الشحنه أي تلفزيون معيب

)٠.٠٨٧٣(

ii (أن يكون واحدا أو أقل معيبا )٠.٣١٨٥(

138

ت ظهور تمثل عدد مرا kمرات وكانت ٤إذا القينا حجر النرد ) ٤

. kالوجه ستة في هذه الرميات األربع أوجد التوزيع االحتمالي لـ

أطفال فإذا كان احتمال أن يكون الطفل ولـدا يسـاوي ٥أسره لديها ) ٥

: ، فما هو احتمال ٢/١احتمال أن يكون بنتا ويساوي

i (أن يكون جميع األطفال من نفس الجنس )١٦/١(

ii (لى األقل ولدا واحدا وبنتا واحدةأن يكون لدى األسرة ع

)١٦/١٥(

علية من بذور الورد ثلثها يعطي وردا أحمرا والبـاقي يعطـي وردا ) ٦

: بذرات من هذه العلبة فأحسب احتمال ٧أبيضا ، فإذا زرعنا

i (ان ال نحصل على أي ورده حمراء )٢١٨٧/١٢٨(

ii (أن نحصل على ورده واحده حمراء )٢١٨٧/٤٤٨(

iii ( ان ال نحصل على أي ورده بيضاء )٢١٨٧/١(

هواتف يكون مشغوال ٤إذا كان في المتوسط هاتفا واحدا من بين كل ) ٧

في منطقة تجارية في مدينة ما بين الساعة الحادية عشـره والسـاعة

الثانية عشره وان تسعة أرقام عشوائية طلبت في ذلك الوقـت أوجـد

: احتمال

i (لهواتف المطلوبة غير مشغولةأن جميع ا )٠.٠٧٥(

ii (أن واحدا فقط مشغوال )٠.٢٢٥(

139

iii (أن اثنين أو أكثر من الهواتف المطلوبة مشغولة

)٠.٧٠٠(

شخصان ألقى كل منهما قطعة نقد خمس مرات إحسب احتمال أنهمـا ) ٨

.حصال على نفس العدد من الصور

)٢٥٦/٦٣(

فما هو ٥/١التهديف لالعب كره سلة في كل رمية هو إذا كان احتمال) ٩

.رميه ٢٥أهداف على األقل من ٤احتمال الحصول على

)٠.٧٦٦(

في أحد االمتحانات الشفوية احتمال أن تجيب نوال على سؤال اجابه ) ١٠

فما هو احتمال أن يكون السؤال الخـامس هـو أول ٣/١صحيحة هو

).٢٤٣/١٦(سؤال تجيب عليه إجابة صحيحة

٦من الطلبة يدخنون ، اختيرت عينه عشوائية من ٠.٣٠افترض أن ) ١١

)٠.٥٨(أشخاص ، ما هو احتمال أن اثنين منهم على األقل يدخنون؟

. ٠.٩٠إذا كانـت درجـة الثقــة فـي الترانزيزتــور هــي ) ١٢

ترانزيزتورات ، ما هو احتمال وقوع خلل ١٠راديوبـه

)٠.٦٥١٣(

140

٩للتوزيع ثنائي الحدين الذي وسـطه p , nقيم المعلمات أوجد) ١٣

وتباينــــــــــــــــــــــــــــــــه

٥/٣( ٥/١٨ =p ،١٥ =n (

، p = 0.2أوجد كل من توقع وتباين التوزيع ثنائي الحدين الذي فيه ) ١٤

n = 35

(µ = 7 2σ = 5.6)

خطأ مطبعي موزعه ٢٣٢، به صفحة ٢٣٢كتاب مؤلف من ) ١٥

: عشوائيا أحسب احتمال ان صفحة ما

i (بها بالضبط خطأين )e-1/2 =

0.1839(

ii (بها أقل من خطأين )2e-1 = 0.7356(

حوادث ٤إذا كان متوسط عدد حوادث العمل في مصنع ما هو ) ١٦

: شهريا فما هو احتمال

i (هر معينأن ال يقع أي حادث في ش )e-4 = 0.018(

ii (ان يقع ثالثة حوادث على األكثر في شهر معين )٠.٤٢٦(

141

إذا كان متوسط عدد المراجعين في أحد مراكز الخدمة هو اثنان ) ١٧

كل خمس دقائق وإذا كان عدد المراجعين يتبع توزيع بواسون، فما هو

: احتمال

i (أن ال يصل أي مراجع خالل خمس دقائق )e-2 = 0.135(

ii ( دقائق ١٠مراجعين وصلوا خالل ٤أن أكثر من )٠.٣٨٢(

ما هو احتمال أن يتلقى أحد السنتراالت أربع مكالمات هاتفية خالل ) ١٨

دقيقتين إذا كان متسوط عدد المكالمات الهاتفية التي تصل السنترال

)٠.٠٩( هو مكالمتان في الدقيقتين؟

عدد األخطاء المطبعية التي ترتكبها إحدى إذا كان متوسط) ١٩

:أخطاء في الصفحة ، فما هو احتمال ٤السكرتيرات هو

i ( أن تطبع صفحه بدون أخطاء (e-4=0.018)

ii ((0.91) أن ترتكب خطأين على األقل في كتابة أحد الصفحات

ل إذا كان متوسط عدد العيوب في شريحه زجاجية كبيره هو واحد لك) ٢٠

-:قدم ١٠× ٦عشرة أقدام مربعة فما هو احتمال أن شريحه

i (سوف تكون بدون عيوب (e-6=0.0025)

ii ((0.9975) سيكون بها على األقل عيب واحد

142

في مصنع إلنتاج أشرطه التسجيل تحدث شروخ في األشرطة ) ٢١

متر أحسب احتمال أن يكون ٢٠٠المنتجة عشوائيا بمتوسط شرخ كل

.متر ٥٠٠ي شريط طوله ف

i ( (0.543) شرخين على األكثر

ii ((0.457) على األقل ثالث شروخ تحدث عيوب في تغطيه رقائق من الصلب بالكروم بمعدل واحد في 22)

.م ٧× م ٣، ما احتمال أن تكون رقيقه أبعادها ٢م٢كل

i (خاليه من العيوب )٠.٠٠٠٠١(

ii ( عيب واحدبها على األكثر )٠.٠٠٠١٢٦٦(

143

حل تمارين الفصل الرابع

يدل على عدد المصابيح التالفة المسحوبة xدع المتغير )١

. ٤، ٣، ٢، ١، ٠الممكنة هي xفتكون قيم

تمثل احتمال سحب مصباح تالف عندئذ pدع 41

205p ==

ادة هنا ثنائي الحدين وذلك الن السحب يتم باإلع xالمتغير

واحتمال سحب مصباح تالف ال يتغير من اختبار إلى أخر بل

ثابت ويساوي 41

i( n = 4

x = 1

41 p =

43q =

: وباستخدام صيغة التوزيع ثنائي الحدين نحصل على

P (x =1) = f(1) = 314

1 43

41 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 3

!!

!

43

41

3 14

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 4 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

6427

41

= 6427

144

ii (

P (x 1≥ ) = p (x =1) + p (x =2) + p (x = 3) + p (x = 4)

= 1 – p (x =0)

= 1 – ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 4

0

40

43

41

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1 - 4

43⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1 – 81/256 = 175/256

xتمثل عدد األسئلة التي يجيب عليها الطالب فتكون قيم xدع )٢

٠، ١، …، ١٠الممكنة هي

وهكـذا

n = 10

p = 0.2

q = 0.8

وباستخدام صيغه التوزيع ثنائي الحدين

i) f (x) = ( )nx px qn-x

p(x = 0) = f(0) = ( )100 (0.2)0 (0.8)10

= (0.8)10

= 0.1074

145

ii) p(x ≥1) = f (1) + f(2) … +

f(10)

= 1 – f(0)

= 1 – (0.8)10

= 0.8926

iii) p (x = 3) = f(3) = ( ) 73103 (0.8) (0.2)

= 120 (0.008) (0.8)7

= 0.2013

≅ 0.2

xفتكون قيم . تمثل عدد األجهزة المعيبه المشحونه للعميل xدع )٣

٠، ١، ٢، ... ، ١٥الممكنة هي

٠.١٥ =p احتمال أن يكون الجهاز معيبا

٠.٨٥ =q احتمال أن يكون الجهاز سليما

١٥ =n

i) p (x = 0) = f(0) = ( )150 (0.15)0 (0.85)15

= (0.85)15

= 0.0873

ii) p ( x ≤ 1) = p (x = 0) + p (x =1)

= f (0) + f(1)

146

= ( )150 (0.15)0 (0.85)15 + ( )15

1 (0.15)1 (0.85)14

= 0.0873 + 15 (0.15) (0.85)14

= 0.0873 + 0.2312

= 0.3185

:هي kالقيم الممكنة لـ )٤

٠، ١، ٢، ٣، ٤

٤ =n

61 =p احتمال الحصول على الوجه سته

65 =q

p (K = k) = f (k) = k4k4

K 65

61

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Kوالجدول التالي يعطي التوزيع االحتمالي للمتغير

مرات ٤القاء حجر النرد

K Pk Pk

0 (5/6)4 0.4823

1 4(1/6) (5/6)3 0.3858

2 6(1/6)2 (5/6)2 0.1157

3 4(1/6)3 (5/6) 0.0154

4 (1/6)4 0.0008

147

الممكنة هي xكون قيم تمثل عدد األوالد من بين األطفال فت xدع )٥

٠، ١، ... ، ٥

٥ =n

21 =p احتمال أن يكون الطفل ولدا

21 = q احتمال أن يكون الطفل بنتا

i) احتمال أن يكون لدى األسره ولدا واحدا وبنتا واحده على األقل

الثه أو أربعة ، أي أن هو احتمال أن يكون لديها ولد أو اثنين أو ث

.بنات ٥أوالد أو ٥ال يكون لديها

فيكون االحتمال المطلوب يساوي

P = P(1) + P(2) + P(3) + P(4)

= ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )4154

2353

3252

451 2

1 21 2

1 21 2

1 21 2

1 21 +++

= 1615

325

3210

3210

325

=+++

أو

احتمال الخمسة + احتمال الخمسة اوالد ( -١= االحتمال المطلوب

)بنات

= 1 - [ ](0) P )5( P +

= 1- 1615

321

321

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

ii) احتمال كلهم بنات+ االحتمال المطلوب يساوي احتمال كلهم أوالد

148

P = P (0) + P (5)

= 161

321

321

=+

٧تمثل عدد الوردات الحمراء التي تحصل عليها من زرع xدع )٦

٧... .، ٢، ١، ٠الممكنة هي x بذرات ، فتكون قيم

احتمال الحصول على ورده حمراء pدع

q احتمال عدم الحصول على ورده حمراء

31 =p

32 =q

i) p (0) = f (0) = 707

0 32

31 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 0.05853 2187128

32 7

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ii) p (1) = f (1) = 67

1 32

31 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 7 0.2048 2187448

32

31 6

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

iii) p (7) = f (7) = 077

7 32

31 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 0.0005 2187

1 31 7

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

، ٠الممكنة هي xتمثل عدد الهواتف المشغوله ، فتكون قيم xدع )٧

٩... ، ٢، ١

149

٩ =n

41 =p

43 =q

i (تف المطلوبة غير مشغوله هو احتمال أن احتمال أن جميع الهوا

يكون صفر منها مشغوال

P (x = 0) = f (0) = 9

43

0

41 9

0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

= 9

43⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 0.075

ii (احتمال أن واحدا فقط مشغوال

P (x = 1) = f (1) = 819

1 43

41 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 0.225

iii (احتمال أن اثنين أو اكثر مشغوله

P (x ≥ 2) = p (x = 2) + p (x = 3) + … + p (x = 9)

= 1- [p (x =0) + p (x = 1)]

= 1 – 0.075 – 0.225

= 0.7

150

تمثل عدد مرات الحصول على وجه الصوره عند xد ع )٨

الممكنة لكل شخص هي x ، فتكون قيم مرات ٥القاء قطعه عمله

٥... ٢، ٠،١

٥ =n

21 =p = q

يحصالن على نفس العدد من الصور إذا حصل كل منهما على صفر

أي ٥أو ٤أو ٣أو ٢أو ١أو

)٠و ٠(أو ) ١و ١(أو ) ٢و ٢(أو ) ٣و ٣(أو ) ٤و ٤(أو ) ٥و ٥(

حالة من هذه الحاالت يساوي احتمال الحصول على كل 25

21 5

x ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

فمثال

(0 , 0) = P(0) p(0)

= ( ) ( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 50

50

50

21

21

21

21 5

0

= ( )25

50 2

1 ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

احتمال أن يحصال على نفس العدد من الصور هو ∴

P = ( ) ( ) ( ) ( )⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2553

25

2

2551

25

21

21 5

21

21 5

0

151

+ ( ) ( )

21

21 5

4

2555

25

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛101010101010 21

2125

21 100

21100

2125

21

= 102252 =

1024252 =

25663

xرميه ، فتكون قيم ٢٥تمثل عدد األهداف المتحققه من xدع )٩

٢٥... ، ١، ٠الممكنة هي

٢٥ =n ، 51 = p ،

54 =q

احتمال الحصول على أربعة أهداف على األقل هو احتمال

الحصول على أربعة أهداف أو أكثر وهو

P = (x = 4) + p (x = 5) + … + p (x = 25)

= 1 – [p (x = 0) + p (x = 1) + p (x = 2) + p (x =3)]

= 1 - ( ) ( ) ( )( ) ⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

223253

232252

24251

25250

54

51

54

51

54

51

54

51

= 1- (0.0037777 + 0.0236110 + 0.0708336 + 0.1357644)

= 0.766

احتمـال أن يكون السؤال الخامس هو أول سؤال يجاب عليـه )١٠

إجابة صحيحة هو احتمال أن يجاب على األسئلة األربعة األولـى

152

بإجابات خاطئة ويجاب على السؤال الخامس إجابة صحيحة

:ويساوي

p = ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 01

11

4040 3

2 31

32

31

= 24316

316

31

32

5

4==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

أو

P = 24316

31

32

32

32

32

=××××

١، ٠: الممكنة هي xتمثل عدد المدخنين فتكون قيم xدع )١١

، ...٦

= p= احتمال أن يكون الطالب مدخنا هو احتمـال النجـاح

٠.٣٠

= q= مدخن هو احتمال الفشـل احتمال أن يكون الطالب غير

٠.٧٠

n =٦

احتمال أن اثنين من العينة على األقل مدخنون هو احتمـال ان

هو ٦أو ٥أو ٤أو ٣أو ٢يكون عدد المدخنين

P (x ≥ 2) = 1- p (x < 2)

= 1 – [p (x = 0) + p(x = 1)]

وهكـذا

153

P = 1- [ ( ) ( ) 5161

6060 (0.7) (0.3) (0.7) (0.3) + ]

= 1 – (0.117649 + 0.302526)

= 0.579825

يقـع الخلل إذا اختـل أو تلف ترانزيزتـور واحــد علـى )١٢

تمثل المتغير عدد الترانزيزتورات التالفه وتكون قيم xدع األقـل

x الممكنة هي

)٠، ١، ٢، ... ، ١٠(

٠.١= p= خلل احتمال وقوع= احتمال النجاح

٠.٩= q= احتمال عدم وقوع خلل = احتمال الفشل

n =١٠

واحد = واحد ناقص احتمال عدم وقوع خلل = احتمال وقوع خلل

ناقص احتمال أن تكون كلها تعمل

P = 1 – ( )100 (0.1)0 (0.9)10 = 1 – (0.9)10

= 0.6513

npالوسط الحسابي أو التوقع للتوزيع ثنائي الحدين يساوي )١٣

npqوالتباين للتوزيع ثنائي الحدين يساوي

np = 9 …………………. (1)

npq = 5

18 ……………… (2)

) ٢(في ) ١(بتعويض

154

9q = 5

18

q = 52

4518

=

p = 1 - 53

52=

)١(في Pبتعويض قيمة

n = 9 ÷ 15 345

53

==

١٤(

٣٥ =n

٠.٢ =p

٠.٨ =q

np= التوقع

npq= التباين

µ = np

∴ µ = 35 (0.2) = 7

2σ = npq 2σ = 7 (0.8) = 5.6

توزيع xتمثل عدد األخطاء في الصفحة الواحدة ، فيكون لـ xدع ) ١٥

بواسون بمتوسط خطأ واحد في كل صفحة

1 232232 ==λ

155

i(

f (x) = !x e xλλ−

p (x = 2) = f(2) = !2(1) e 21−

= e-1/2 = 0.1839 حيـث

e-1 = 0.368

ii(

P (x < 2) = ∑=

−1

0x

x1

!x(1) e

= e-1 (1 + 111 )

= 2 e-1 = 0.736

تمثل عدد الحوادث في الشهر المعين فيكون لها توزيع بواسون xدع ) ١٦

٤= الذي معلمته

i(

f(0) = !

04

0)4( e−

= e-4 = 0.018

ii(

P (x ≤3) = ∑ λλ

!

x-

x)( e

156

= p (x = 0) + p (x = 1) + p (x = 2) + p (x =

3)

f(0) = e-4 = 0.018

f(1) = !

4

14 e− = 0.072

f(2) = !2(4) e 24−

= 0.144

f(3) = !3(4) e 34−

= 0.192

f ( x ≤ 3) = 0.426

هي المتغير وهي عدد المراجعين xدع ) ١٧

= متوسط عدد المراجعين في الدقيقة 52 =λ

٢= دقائق ٥متوسط عدد المراجعين في

٤= دقائق ١٠متوسط عدد المراجعين في

∴ ٢ =λ في خمس دقائق

٤ =λ في عشر دقائق

i) P (x = 0) = f(0) = !02 e 02−

= e-2

= 0.135

ii) λ = 4 P (x > 4) = 1-P (x ≤4)

157

P (x ≤ 4) = ∑

=

λ λ4

0x

x-

x! e

= P (x = 0) + P(x =1) + P(x =2) + P (x =3) + P(x =4)

f(0) = e-4 = 0.018

f(1) = e-4 (4) = 0.072

f(2) = !2(4) e 24−

= 8 e-4 = 0.144

f(3) = e-4 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

664 = 0.192

f(4) = 664

!4(4) e 44

=−

e-4 = 0.192

0.618

∴ P (x > 4) = 1 – P ( x ≤ 4 )

= 1 – 0.618

= 0.382

تمثل المتغير عدد المكالمات الهاتفية التي تصل خالل دقيقتين x دع ) ١٨

λ= ٢فيكون لها توزيع بواسون بمعلمه

P ( x = 4 ) = f (4) = 4

2 e 42−

= 32 e-2

= 3

)135.0(2=

3270

= 0.090

158

تمثل المتغير عدد األخطاء المرتكبة في الصفحة فيكون xدع ) ١٩

λ= 4مه توزيع بواسون بمعل xلـ

i) P (x = 0) = f (0) = !02 e 42−

= e-4 = 0.018

ii) P(x ≥ 2) = 1 – P (x < 2)

= 1 – [P (X = 0) + (P(X =1)]

= 1 – (0.018 + 4 e-4)

= 1 – (0.018 + 0.072)

= 0.91

قدم ١٠× ٦تمثل عدد العيوب في الشريحه xدع ) ٢٠

==λتوزيع بواسون الذي معلمته xيكون لـ 10

(10) (6) 6

x! e xλλ−

f(x) =

i) P (x = 0) = f(0) = e-6 =

0.0025

159

ii) P (x ≥ 1) = 1- P (x < 1)

= 1-P (x = 0)

= 1 – f (0)

= 1 - 0.0025 = 0.9975

متر ٥٠٠تمثل عدد الشروخ في الـ xدع )٢١

∴ λ== 200500 5.2

!x e )x(f

x- λ=

λ

i) P (x ≤ 2) = f(0) + f(1) + f(2)

f(0) = e-2.5

f(1) = e-2.5

f(2) = 2.5-25.2

e 3.126 2(2.5) e

=−

P (x ≤2) = 6.625 e-2.5 = (6.625) (0.082) = 0.543

ii) P (x ≥ 3) = 1 – P(x < 3)

= 1 - { }f(2) f(1) )0(f ++

= 1 – 0.543

= 0.457

160

م ٧× 3تمثل عدد العيوب في الرقيقة xدع ) ٢٢

λ==λ

=λ

221 11.5

x! e )x(f

x-

i) P (x = 0) = f(0) = e-11.5 = 0.00001

ii) P ( x ≤1) = f(0) + f(1)

f(1) = e-11.5 11.5

f(0) + f(1) = 12.5 e-11.5 = 0.0001266

161

الفصـــــل الخامس

162

الفصـل الخامـس

التوزيع الطبيعي

The Normal Distribution

االحتماليـة وأكثرهـا يعتبر التوزيع الطبيعي من أهم التوزيعات

استعماال على االطالق ، بل انه يحتل موضع الصداره فـي االحتمـاالت

تأخـذ " الطبيعية"واالحصاء ، وقد اشتق اسمه من أن كثيرا من التوزيعات

كتوزيعات الطول (شكال قريبا منه ، كذلك فإن معظم التوزيعات البيومتريه

بين القيم الحقيقيه والقـيم الفروق(وتوزيعات أخطاء المشاهدات ) والوزن

تأخذ شكال قريبا منه ، ويستخدم هذا التوزيع فـي كثيـر مـن ) المشاهده

التجارب الصناعية واختبارات الجوده وله استخدامات واسعه في اختبارات

.الفروض والعينات الكبيرة وتوزيعات المعاينه وغيرها

De Moiverكان أول من اكتشفت هذا التوزيع العالم دي موافر

ويعرف هـذا ١٨٠٩في عام Gaussومن بعده العالم غوس ١٧٣٣عام

ولهـذا Gauss Distributionالتوزيع أيضا باسمه أي توزيـع غـوس

التوزيع خواصه الرياضية ويمكن ان يكون تقريبــا أو حالـة خاصـة

.لتوزيعات أخرى مثـل توزيع ثنائي الحدين

يعي ، وعندما نتكلم عـن منحنى هذا التوزيع يدعى بالمنحنى الطب

منحنى توزيع نظري فأننا نقصد منحنى دالـة كثافـة احتمـال المتغيـر

العشوائي الذي لـه هذا التوزيع ، ومنحنى التوزيع الطبيعي متماثل حـول

خط راسي يمر بالوسط الحسابي الذي يساوي بسبب التماثـل كـال مـن

د طرفاه إلى ما ال وهو ناقوسي الشكل له قمه واحده ويمت. الوسيط والموال

163

فيقترب طرفاه من المحور األفقـي ولكنهمـا ال (نهاية يمينا ويسارا

ومع ذلك فان المساحة تحت المنحنى تساوي الواحد الصحيح ) يلتقيان معه

كما هو الحال في المساحة تحت منحنى داله كثافـة احتمـال أي متغيـر

.عشوائي متصل أخر

:يمثل المنحنى ١والشكل

١ل شك

التوزيع الطبيعي

هناك عدد ال نهائي من المنحنيات الطبيعية ولكنها تختلـف عـن

µ) التوقـع (بعضها البعض حسب قيمـة كـل مـن الوسـط الحسـابي

، وقد تتفق منحنيات طبيعيـة فـي االنحـراف σواالنحراف المعياري

، أو قـد ٢الوسط الحسابي كما هو في الشكل المعياري ولكنها تختلف في

٣تتفق بالوسط الحسابي وتختلف باالنحراف المعياري كما هو في الشكل

164

µ=2 µ=4 µ=6

٢شكل حراف المعياري مع اختالف الوسط الحسابيمنحنيات طبيعية لها نفس االن

5.0=σ

1=σ

2=σ

µ=3

٣شكل

النحراف المعياريمنحنيات طبيعية لها نفس الوسط الحسابي مع اختالف ا

بعض خواص المنحنى الطبيعي

أي أن المنحنى µالمنحنى الطبيعي متماثل حول الوسط الحسابي )١

.على يسار الوسط الحسابي يماثل المنحنى على يمينه

الوسط الحسابي في المنتصف ويقسم المساحه تحت المنحنى إلى )٢

.قسمين متساويين

.ت المنحنى تساوي واحدمجموع المساحه تح )٣

: فإن للمنحنى الطبيعي الخواص التالية σو µمهما كانت قيمة )٤

σ +µو σ - µمن المساحه يقع بين القيمتين % ٦٨.٢٦حوالي - أ

x

x

f(x)

165

٦٨.٢٦

و µ-σ٢من المساحه يقع بين القيمتين % ٩٥.٤٦حوالي - ب

σ٢ +µ

σ٣و µ- σ٣من المساحة يقع بين القيمتين % ٩٩.٧٤حوالي -ج

+µ

σ١.٩٦و µ-σ١.٩٦من المساحة يقع بين القيمتين % ٩٥حوالي - د

+µ

و µ- σ٢.٥٨من المساحة يقع بين القيمتين % ٩٩حوالي -هـ

σ٢.٥٨ +µ

: التالي ٤كما هو موضح في الشكل

بانه موزع طبيعيا إذا كانت داله xيقال للمتغير العشوائي المتصل

: يةكثافة االحتمال له معطاه بالصيغة التال

x

%١٣.٦

٦٨.٢٦%

%٣٤.١٣

%٣٤.١٣

%١٣.٦

2.14% %٢.١٤

99.74% ٩٥.٤٦

68.26

166

f (x) =

2 -x 21

e 21 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

σµ

−

σ π

حيث

∞ <x >∞−

µ هي الوسط الحسابي للمتغير الطبيعي

e ٢.٧١٨٢٨ثابت قيمته

π ٣.١٤١٥٩هي النسبة التقريبية وتساوي

2σوتباينـه µع الطبيعي الذي وسطه الحسـابي ويكتب التوزي

فمـثال 2σ ،µ(N(يكتب بالرمز ) σفيكون انحرافه المعياري يساوي (

)20,4 (N تعني متغيرا طبيعيا له وسط حسابي)وتباين ٢٠يساوي ) توقع

).٢أي انحراف معيار يساوي ( ٤يساوي

داله كثافة احتمال يكون مجمـوع المسـاحة تحـت f (x)بما أن

منحنى هذه الداله مساويا لواحد صحيح واحتمال أن متغيرا عشوائيا متصال

> b < x( هو b , aين مثل يقع بين قيمتين محددت 2σوتباينه µوسطه

a (p ويساوي المساحة المحصوره بين منحنى الدالهf (x) والقيمتين x =

b , x = a

µ a b

f(x)

167

٥الشكل

The Standard Normalالتوزيع الطبيعي القياسي أو المعياري

Distributionيعي المعياري أو القياسي على المتغير يطلق اسم المتغير الطب

الطبيعي الذي وسطه الحسابي صفر وتباينه واحد أي على المتغير

N(0.1) ويرمز له بالرمزz وتكون داله كثافة احتماله هي

f (x) = 2/2z-e

21π

∞− < z < ∞

f (z)افة احتمال فان مجموع المساحة تحت منحنى داله كث f (z)وبما أن

١تساوي

2/z-

-

2e

21 ∫

∞

∞ π dz = 1

zبين القيمتين zويكون احتمال وقوع المتغير العشوائي الطبيعي المعياري

= a ،z = b هو المساحة المحصوره بين منحنى داله كثافة االحتمـالf

(z) والقيمتين المحددتينz = a ،z = b أي يساوي

P (a < z < b ) = ∫b

a

π21 2/z2

e− dz

تحت المنحنى الطبيعي المعياري وهي ) أو االحتماالت(لقد حسبت المساحة

.بالمحلق ٢معطاه في الجدول

دتين علينا لحساب احتمال وقوع المتغير الطبيعي المتصل بين قيمتين محد

f (x)أن نحسب المساحة المحصوره بين منحنى دالـه كثافـة االحتمـال

تتضمن معلمتين هما الوسط f(x)ولما كانت Xوالقيمتين المحددتين لـ

168

وهما ما يمكنهما أن يأخذا قيما غير محدوده 2σوالتباين µالحسابي

لعشوائي متغير متصل وبالتالي يمكنه ان يأخذ هو أيضا قيما وإن المتغير ا

غير محدوده داخل أي مدى فإنه من غير الممكن حساب المساحات الواقعه

ولكننـا نسـتطيع µ ,2σ , xتحت المنحنى الطبيعي لقيم مختلفه لكل من

إلـى 2σ ،µ (N(المتغير الطبيعـي التغلب على هذه الصعوبة بتحويل

وهو ما يمكن حساب المساحه تحت منحناه وهـي N(0.1)متغير معياري

.بالملحق ٢معطاه كما أسلفنا في الجدول

متغير الطبيعي القياسيإلى ال 2σ ،µ (N( تحويل المتغير الطبيعي

N(0.1)

فإن 2σ ،µ (N(له التوزيع الطبيعي xإذا كان المتغير العشوائي

المتغير العشوائي σµ−

=xz يكون لـه التوزيـع الطبيعـي المعيـاري

N(0.1) لحسابي صفر وتباينه أي يكون له توزيعا طبيعيا معياريا وسطه ا

يمكن تحويله إلـى 2σوتباينه µوان أي متغير طبيعي وسطه الحسابي ١

متغير طبيعي معياري بكتابه σµ−

=xz وبهذا يتحول التوزيـع الطبيعـي

منحناه إلى توزيع طبيعي معياري يمكن حساب المساحة المحصوره تحت

.٦كما في الشكل

فان xقيمة معينة من قيم bإذا كانت

169

P (x ≤ b) = P (x - µ ≤ b - µ )

= P ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

σµ−

≤σµ− bx

= P ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

σµ−

≤bz

µ b

f(x)

x

170

Q z = σµ− b

٦الشكل

zإلى 2σ ،µ (N(تحويل المتغير

المساحة غير المظلله تحت المنحنى هي

P (X ≤ b) = P(Z ≤ σµ - b )

ويكون أيضا

P (X > b) = 1 – P (X ≤ b)

= 1 – P (Z ≤ σµ - b )

فان ) ٧كما في شكل ( b < aوإذا كانت

P(a ≤ X ≤ b) = P(Z ≤ σµ - b ) - P( Z ≤

σµ - a )

aناقص المساحة إلى يسار bأي تساوي المساحة إلى يسار

f(z)

z

171

µ a b

٧شكـل

ومن خاصية التماثل لمنحنى داله كثافة االحتمال حول الصفر نجد أن

i) ∫∞−

xf(z)dz = ∫

∞−

0f(z) dz + ∫

x

of(z) dz

= 21 + ∫

x

of(z) dz

ii) ∫−

∞−

xf(z) dz = ∫

∞

xf(z) dz

= 21 - ∫

x

of(z) dz

ولذلك يكتفي في الجداول المحسوبة لقيم المساحات أو االحتمـاالت تحـت

الموجبـه xالمنحنى الطبيعي المعياري بحساب االحتماالت المختلفة لقـيم

.السالبة xستنتاج االحتماالت لقيم ومنها يمكن ا

x

172

: أمثلــة

: ١مثــال

فمـا N) ٣، ٤( متغير عشوائي طبيعي له التوزيع Xإذا كانت

؟٥، ٣بين القيمتين Xهو احتمال أن تقع

:الحــل

نحول التوزيع إلى توزيع معياري

z = σµ−x

z1 = 02

33=

−

z2 = 12

35=

−

p (3 < x < 5) = p (0 < z < 1)

وهي كما في الشكل التالي z = 1و z = 0وتساوي المساحه بين

0 1

٠.٣٤١٣بالملحق تساوي ٢وهي من الجدول

173

:٢مثـال

σµ (N,2( له التوزيع الطبيعي Xإذا كان المغير العشوائي

:اوجد

i) P ( )x σ+µ<<σ−µ

ii) P ( )2x2 σ+µ<<σ−µ

iii) P ( )3x3 σ+µ<<σ−µ

: الحــل

i) z1 = 1)(−=

σµ−σ−µ

z2 = 1)(=

σµ−σ+µ

∴ P ( )1z1(P)x <<−=σ+µ<<σ−µ

z = 1 و z = -1وهو عبارة عن المساحة بين

z = 1و z = 0المساحة بين + z = 0و z = 1المساحة بين =

-1 0 1

فان µ=0ونتيجة لتماثل المنحنى على يمين ويسار الوسط الحسابي

كما z = 1و z = 0 تساوي المساحة بين z = 0و z = -1 ة بينالمساح

٠.٣٤١٣في الشكل أعاله وتساوي من الجدول

Z

174

∴ P ( σ+µ<<σ−µ x ) = 0.3413 + 0.3413

= 0.6826

= 68.26 %

نى تقع ضمن من مجموع المساحة تحت المنح% ٦٨.٢٦وهذا يعني أن

.انحراف معياري واحد عن الوسط الحسابي

ii) P ( )2 x 2 σ+µ<<σ−µ

z1 = 2 )2 (−=

σµ−σ−µ

z2 = 2)2(=

σµ−σ+µ

∴ P ( )2z2(P)2x2 <<−=σ+µ<<σ−µ

ة المساحة المحصور+ z = 0و z = -2وتساوي المساحة المحصوره بين

ومن الجدول z =2و z =0بين

= 0.4773 + 0.4773

= 0.9546

= 95.46 %

من مجموع المساحة تحت المنحنى تقع ضمن انحرافين % ٩٥.٤٦أي أن

.معياريين من الوسط الحسابي صفر

Z

175

-2 2

iii) z1 = 3)3(−=

σµ−σ−µ

z1 = 3)3(=

σµ−σ−µ

∴ P ( )3z3(P)3x3 <<−=σ+µ<<σ−µ

المساحة المحصورة + z = 0و z = -3وتساوي المساحة المحصوره بين

:ومن الجدول z = 3و z =0بين

= 0.4987 + 0.4987

= 0.9974

= 99.74%

٣من مجموع المساحة تحـت المنحنـى تقـع ضـمن % ٩٩.٧٤أي أن

.اريه عن الوسط الحسابي انحرافات معي

-3 3

%٩٩.٧٤

176

تمارين الفصل الخامس

التوزيع الطبيعي

:من التوزيع الطبيعي المعياري أوجد االحتماالت التالية .١

i) (٠.٧ <z < ٠ (P )٠.٢٥٨٠(

ii) (١.٢ <z < ٠ (P )٠.٣٨٤٩(

iii) (٠ <z < ١- (P

)٠.٣٤١٣(

iv) (٠.٩٦ <z < ٠.٨٢- (P

)٠.٦٢٥٤(

v) (-٠.٦ <z (P )٠.٢٧٤٢(

vi) (١.١- >z (P )٠.٨٦٤٣(

z= -٠.٥أوجد المساحة تحت .٢

:أوجد N (2, 1)له التوزيع الطبيعي xإذا كان المتغير العشوائي .٣

i ) (٤ >x (P )٠.٠٢٢٧(

ii ) (٢ <x <٠ (P

)٠.٤٧٧٣(

177

إذا كانت أطوال طالب احدى الجامعات موزعه طبيعيا ولها .٤

بوصه وانحرافـه ٦٨.٥٠التوزيع الطبيعي الذي وسطه الحسابي

: بوصه ٢.٣المعياري

i( ٦ما هو احتمال ان طول أي طالب من الجامعة يزيد عن

).٠.٠٦٤٣) (بوصه ٧٢(أقدام

ii( الهم بين ما هي نسبة الطلبه في الجامعة الذين تتراوح أطو

)٠.١٩٣٥(بوصه ٧٢و ٧٠

طالب تتخذ شكل التوزيع الطبيعي وكـان ٣٠٠٠إذا كانت أطوال .٥

سـم واالنحـراف ١٧٠الوسط الحسابي لهذه األطـوال يسـاوي

: سم ٥المعياري لها يساوي

i( سم١٨٥أوجد نسبة الطلبة الذين أطوالهم أكثر من.

ii( سم١٨٥أوجد عدد الطلبة الذين تزيد أطوالهم عن.

iii( كانت نسبة الطلبة الذين أطوالهم فـوق المتوسـط إذا

فما هـو ٠.٢٨٨١هو xوأقل من طول معين وليكن

.هذا الطول؟

له التوزيع الطبيعـي الـذي وسـطه xإذا كان المتغير العشوائي .٦

:فأوجد ٠.٣٠وانحرافه المعياري ٨٠الحسابي

i( )٨٠.٣٦ ≤ X (P

ii( العددC ٠.٩٥إذا كان ) =C ≤ X (P

178

مصنع ينتج نوعا من األبر مفروض أن يكون قطر كل منها .٧

4سم وبالخبره وجد أن أقطار األبر من انتاج هذا المصنع لهـا 1

مـم وانحرافـه المعيـاري ٢.٥توزيع طبيعي وسطه الحسـابي

تراوح قطرهـا مم ، فما هي النسبة المئوية لألبر التي ي٠.٠٠٢٥

مم؟٢.٥٠٤٩و ٢.٤٩٥١بين

دنانير في الساعة بانحراف معياري ٤إذا كان متوسط أجر العامل .٨

دينار وإذا كانت األجور تتبع توزيعا طبيعيا فما هي نسـبة ٠.٥٠

دنانير في الساعة؟ ٣و ٢.٥العمال الذين يتقاضون أجرا ما بين

اعة بـانحراف س ١٥٠٠إذا كان متوسط عمر المصباح الكهربائي .٩

: ساعة ويتبع توزيعا طبيعيا فما هو احتمال ٥٠معياري

i( ساعة ١٤٠٠ان مصباحا سيحترق قبل.

ii( ساعة ١٥٥٠إن مصباحا سيعيش أكثر من.

iii( ساعة ١٥٥٠و ١٤٥٠إنا مصباحا سيعيش ما بين.

أونـس ١٠صندوق من التفاح وزن التفاحه منه يساوي .١٠

(OUNCES) وزان التفـاح أونـس وأ ١.٥بانحراف معيـاري

و ٧.٩موزعه طبيعيا فما هي نسبة التفاحات التي يقع وزنها بين

أونس؟ ١٢.٤

179

إذا كانت نفقات إحدى الشركات فـي السـنة لهـا .١١

مليـون دينـار وانحرافـه ١٠٠التوزيع الطبيعي الذي وسـطه

: ماليين دينار ٥المعياري

i( رمليون دينا ١٠٠ما هو احتمال ان نفقات الشركة ستزيد عن.

ii( مليون دينار ١٠٠ما هو احتمال ان نفقات الشركة ستقل عن.

iii( مليون ١١٠و ١٠٠ما هو احتمال ان نفقات الشركة ستكون بين

.دينار

180

حل تمارين الفصل الخامس

)التوزيع الطبيعي(

.بالملحق مباشره ٢نجد االحتماالت المطلوبة من الجدول . ١

ــاحة المطل. ٢ ــي المس ــة ه وب

المساحة المظللـة فـي الشـكل

-٠.٥و -∞والمحصورة بـين

٠.٥وهي تماثل المسـاحة مـن

نـاقص المسـاحة مـن ∞حتى

= ومن الجدول ٠.٥صفر حتى

٠.٥ – ٠.١٩١٥= ٠.٣٠٨٥

نحول التوزيع الطبيعي إلى توزيع معياري. ٣

i( σµ

=-z z

21

2-4 z ==

∴ P (X > 4) = P (z > 2)

= 0.5 – 0.4773

= 0.0227

ii ( 2- 1

2 - 0 Z1 ==

-0.5Z

0 2

181

0 1

2 - 2 Z2 ==

∴ P (0 < X < 2) = P (z > 2) = P (-2 < z < 0)

= P (0 < z <2)

=

0.4773

٤ .

i.

Z = σµ - x

= 2.53.5

2.368.5 - 72

=

= 1.52

∴ p (x > 72) = p (z > 1.52)

= 0.5 -0.4357

= 0643

ii.

z1 = 2.3

68.5 - 70 = 0.65

z2 = 2.3

68.5 - 72 = 1.52

∴ P (70 < x < 72) = P (0.65 <

z < 1.52)

0

182

= 0.4357 – 0.2422

= 0.1935

٥ . .i

z = 3 5

170185=

−

∴ P (x > 185) = P ( z > 3 )

= 0.5 – 0.4987

= 0.0013

ii.

3000 = % 100

x = % 0.13

x = 100.0

(3000) )0013.0(

= 3.9 ≅ 4

iii.

z = 5

170 - x

المناظره zومن الجدول ان قيمة

٠.٨هي ٠.٢٨٨١للمساحة

∴ 0.8 = 5170 - χ

x = 174

٣ ٠

x 0

0 2881

183

٦. i.

Z = 1.2 3.0

80 - 36 - 80=

)2.1 z ( p ) 80.36 x ( p ≤=≤∴

= 0.5 + 0.3849

= 0.8849

ii.

z = 3.080 c −

zمن الجدول نجـد أن قيمـة

ــاحة ــة للمس – ٠.٥٠(المقابل

هي ٠.٤٥أي للمساحة ) ٠.٩٥

١.٦٤

∴ 64.13.080 c

=−

∴ c = 80.492

444 3444 21

٠.٩٥= كامل هذه المساحة

الن الجـداول معطـاة ٠.٤٥أخذنا المساحـة تحت

∞حتى −∞وليس من ∞من الصفر حتى

٧.

z1 = 96.10025.0

5.24951.2=

−

z2 = 96.10025.0

5.25049.2=

−

∴ P (2.4951 < x < 2.5049) = P

(-1.96 < z < 1.96)

= 2 (0.4750)

١ ٢

0 0

0 45

-1.96 1 96

184

= 0.95

٨.

z1 = 3- 5.0

45.2=

−

z2 = 2- 5.043=

−

∴p(2.5 < x <3) = p (-3 < z <-

2)

= p (2 < z < 3)

= 0.4987 – 0.4773

= 0.0214

٩. i.

z = 50

1500 - 1400 = -2

∴ p (x < 1400) = p (z < -2 )

= 0.5 – 0.4773

= 0.0227

ii .

z = 50

1500 -1550 = 1

∴ p ( x > 1550) = p (z > 1 )

= 0.5 – 0.3413

-3 -2

-2 0

0 1

185

= 0.1587

iii.

1z = 50

1500 - 1450 = -1

2z = 1 50

1500 - 1550=

∴ p (1450 < x < 1550) = p (-1

< z ١< )

= 2 (0.3413)

= 0.6826

١٠ .

1.4 1.5

10 - 7.9 z1 ==

1.6 1.5

10 - 12.4 z2 ==

∴ p (7.9 < x < 12.4 ) = p (-1.4

< z < 1.6)

= 0.4192 + 0.4452

= 0.8644

١١.

i.

-1 0 1

-1.4 0 1.6

186

z = 0

5100 - 100

=

p ( x > 100 ) = p (z > 0 ) = 0.5

ii.

z = 0 5

100 - 100=

p ( x < 100 ) = p (z > 0 ) = 0.5

iii.

0 5100 - 100 z1 ==

2 5100 - 100 z2 ==

∴p(100< x< 110) =p(0 < z <

2)

= 0.4773

187

تمارين عامة على

االحتمـاالت

أطفـال وتسـجيل ٣لتكن التجربة العشوائية هي اختيار عائلة لها - ١

أحسب احتمـال ان . هؤالء األطفال حسب الجنس وتسلسل الوالدة

. يكون للعائلة ولدين

)٨/٣(

= ٠.٥وكـان Sحادثين في الفراغ العينـي A1 ،A2إذا كان - ٢

P(A1) ٠.٧و =P(A2)

: P(A1 A2)= ٠.٣و

i ( هلA1 وA2 حادثين شاملين

)ال الن مجموع احتماليهما ال يساوي واحد(

ii ( أوجد)A2 أوA1 (P )٠.٩(

iii ( أوجد)A1 - A2 (P )٠.٢(

iv ( أوجد)A2 - A1 (P

)مستحيل(

= ٠.٤وكـان Sحادثين في الفراغ العينـي Bو Aإذا كان - ٣

P(A) ٠.٧و =P(B)

: احسب احتمال P(AB)= ٠.٣و

i ( وقوع أحد الحادثينA أوB )٠.٨(

188

ii ( وقوعA أوB وليس كليهما

)٠.٥(

iii ( عدم وقوعA )٠.٦(

iv ( وقوعA وعدم وقوعB )٠.١(

: القي حجرا نرد مره واحده أوجد احتماالت الحوادث التالية - ٤

i (A1 ٧الرقمين الظاهرين مجموع )٣٦/٦(

ii (A2 ١٠مجموع الرقمين الظاهرين أكثر من

)٣٦/٣(

iii (A3 ٥مجموع الرقمين الظـاهرين أقـل مـن أو يسـاوي

)٣٦/١٠(

iv (A4 ظهر مره واحده على األقل ٢العدد

)٣٦/١١(

: في نفس التمرين السابق احسب االحتماالت االتية - ٥

i (٦لى فرض أن الحجر األول المجموع زوجي ع )٦/٣(

ii ( على فرض أن مجموع زوجي ٦الحجر الثاني

)١٨/٣(

iii ( ٥المجموع زوجي إذا علمت أن المجموع أقل من )٦/٤(

iv ( ٤على فرض ان األول ٦الحجر الثاني )٦/١(

v ( المجموع فردي إذا علمت أن الحجر األول فردي )١٨/٩(

189

ن بندقيتيهما معا إلى غزال فاذا كانت فرصة كل يوجه صيادا - ٦

منهما في إصابة الغزال هي 3. فأحسب احتمال إصابة الغـزال 1

)٩/٥(

مـن % ٥٠من خطابات المعهد وكانت % ٢٠تنسخ Aإذا كانت - ٧

مـن % ٩٠الباقي وكانـت Bخطاباتها بدون أخطاء بينما تنسخ

ذا سحب خطاب من خطابـات المعهـد فإ. خطاباتها بدون أخطاء

. فاحسب احتمال أن يكون الخطاب بدون أخطاء

)٠.٨٢(

في السؤال السابق إذا كان الخطاب المسحوب خطابا فيه أخطـاء - ٨

هي التي كتبته؟ Aفما هو احتمال أن تكون

)١٨/١٠=٠.٥٥٥٥(

كم يكون ٠.٤٠= إذا كان احتمال نجاح الطالب في مادة االحصاء - ٩

: احتمال

i ( طالب ٥ان ينجح طالب واحد من بين )٠.٢٥٩٢(

ii (ان ينجح طالب واحد على األقل )٠.٩٢٢٢٤(

iii ( طالب على األكثر ٤ان ينجح )٠.٩٨٩٧٦(

iv (ان ال ينجح أحد )٠.٠٧٧٧٦(

ثالث مرات من رمي ٥ما هو احتمال ان نحصل على مجموع -١٠

مرات؟ ٦زهرتي نرد

)٠.١٧٣٤٢(

190

ما هو عـدد ٠.٣إذا كان احتمال إصابة الصاروخ للهدف -١١

الصواريخ الالزم إطالقها كي يكون احتمال إصابة الهدف على

%.٨٠األقل

٠.٧= احتمال الخطأ : الحــل

)٠.٧(n= احتمال الصواريخ تخطئ

n(0.7)-1< ٠.٨المطلوب هو

٠.٢ - >(0.7)n

٠.٢ <(0.7)n

(0.7)1 = 0.7 , (0.7)2 = 0.49

(0.7)3 = 0.743 , (0.7)4 = 0.2401

(0.7)5 = 0.16807

∴ n= ٥عدد الصواريخ

191

المـــالحـــق

192

)١(ملحـق رقـم

e-xقيم الداله االسية السالبة

e-x x e-x x e-x x e-x x e-x x

٠.٠ ١.٠٠٠ ٢.٠ ٨.٠٠.٠٠٢٥٦.٠٠.٠١٨٤.٠٠.١٣٥ ٠.٠٠٠٣٤

٠.١ ٠.٩٠٥ ٢.١ ٨.١٠.٠٠٢٢٦.١٠.٠١٧٤.١٠.١٢٢ ٠.٠٠٠٣٠

٠.٢ ٠.٨١٩ ٢.٢ ٨.٢٠.٠٠٢٠٦.٢٠.٠١٥٤.٢٠.١١١ ٠.٠٠٠٢٨

٠.٣ ٠.٧٤١ ٢.٣ ٨.٣٠.٠٠١٨٦.٣٠.٠١٤٤.٣٠.١٠٠ ٠.٠٠٠٢٥

٠.٤ ٠.٦٧٠ ٢.٤ ٨.٤٠.٠٠١٧٦.٤٠.٠١٢٤.٤٠.٠٩١ ٠.٠٠٠٢٣

٠.٥ ٠.٦٠٧ ٢.٥ ٨.٥٠.٠٠١٥٦.٥٠.٠١١٤.٥٠.٠٨٢ ٠.٠٠٠٢٠

٠.٦ ٠.٥٤٩ ٢.٦ ٨.٦٠.٠٠١٤٦.٦٠.٠١٠٤.٦٠.٠٧٤ ٠.٠٠٠١٨

٠.٧ ٠.٤٩٧ ٢.٧ ٨.٧٠.٠٠١٢٦.٧٠.٠٠٩٤.٧٠.٠٦٧ ٠.٠٠٠١٧

٠.٨ ٠.٤٤٩ ٢.٨ ٨.٨٠.٠٠١١٦.٨٠.٠٠٨٤.٨٠.٠٦١ ٠.٠٠٠١٥

٠.٩ ٠.٤٠٧ ٢.٩ ٨.٩٠.٠٠١٠٦.٩٠.٠٠٧٤.٩٠.٠٥٥ ٠.٠٠٠١٤

١.٠ ٠.٣٦٨ ٣.٠ ٩.٠٠.٠٠٠٩٧.٠٠.٠٠٦٧٥.٠٠.٠٥٠ ٠.٠٠٠١٢

١.١ ٠.٣٣٣ ٣.١ ٩.١٠.٠٠٠٨٧.١٠.٠٠٦١٥.١٠.٠٤٥ ٠.٠٠٠١١

١.٢ ٠.٣٠١ ٣.٢ ٩.٢٠.٠٠٠٧٧.٢٠.٠٠٥٥٥.٢٠.٠٤١ ٠.٠٠٠١٠

١.٣ ٠.٢٧٣ ٣.٣ ٩.٣٠.٠٠٠٧٧.٣٠.٠٠٥٠٥.٣٠.٠٣٧ ٠.٠٠٠٠٩

١.٤ ٠.٢٤٧ ٣.٤ ٩.٤٠.٠٠٠٦٧.٤٠.٠٠٤٥٥.٤٠.٠٣٣ ٠.٠٠٠٠٨

١.٥ ٠.٢٢٣ ٣.٥ ٩.٥٠.٠٠٠٥٥٧.٥٠.٠٠٤١٥.٥٠.٠٣٠ ٠.٠٠٠٠٨

١.٦ ٠.٢٠٢ ٣.٦ ٩.٦٠.٠٠٠٥٠٧.٦٠.٠٠٣٧٥.٦٠.٠٢٧ ٠.٠٠٠٠٧

١.٧ ٠.١٨٣ ٣.٧ ٩.٧٠.٠٠٠٤٥٧.٧٠.٠٠٣٣٥.٧٠.٠٢٥ ٠.٠٠٠٠٦

١.٨ ٠.١٦٥ ٣.٨ ٩.٨٠.٠٠٠٤١٧.٨٠.٠٠٣٠٥.٨٠.٠٢٢ ٠.٠٠٠٠٦

١.٩ ٠.١٥٠ ٣.٩ ٩.٩٠.٠٠٠٣٧٧.٩٠.٠٠٢٧٥.٩٠.٠٢٠ ٠.٠٠٠٠٥

193

المساحات تحت المنحنى الطبيعي) / ٢(ملحـق رقـم

)A ٢ , ٠هي املساحة حتت املنحىن احملصورة بني (

A Z A Z A Z A Z

0.4207 1.41 0.3264 0.94 0.1808 0.47 0.0000 0.00 .4222 1.42 .3289 .95 .1844 .48 .0040 .01 .4236 1.43 .3315 .96 .1879 .49 .0080 .02 .4251 1.44 .3340 .97 .1915 .50 .0120 .03 .4265 1.45 .3365 .98 .1950 .51 .0160 .04

.4279 1.46 .3389 .99 .1985 .52 .0199 .05 .4292 1.47 .3413 1.00 .2019 .53 .0239 .06 .4306 1.48 .3438 1.01 .2054 .54 .0279 .07 .4319 1.49 .3461 1.02 .2088 .55 .0319 .08 .4332 1.50 .3485 1.03 .2123 .56 .0359 .09

.4345 1.51 .3508 1.04 .2157 .57 .0398 .10 .4357 1.52 .3531 1.05 .2190 .58 .0438 .11 .4370 1.53 .3554 1.06 .2224 .59 .0478 .12 .4382 1.56 .3577 1.07 .2258 .60 .0517 .13 .4394 1.55 .3599 1.08 .2291 .61 .0557 .14

.4406 1.56 .3621 1.09 .2324 .62 .0596 .15 .4418 1.57 .3643 1.10 .2357 .63 .0636 .16 .4430 1.58 .3665 1.11 .2389 .64 .0675 .17 .4441 1.59 .3686 1.12 .2422 .65 .0714 .18 .4452 1.60 .3708 1.13 .2454 .66 .0754 .19

.4463 1.61 .3729 1.14 .2486 .67 .0793 .20 .4474 1.62 .3749 1.15 .2518 .68 .0832 .21 .4485 1.63 .3770 1.16 .2549 .69 .0871 .22 .4495 1.64 .3790 1.17 .2580 .70 .0910 .23 .4505 1.65 .3810 1.18 .2612 .71 .0948 .24

.4515 1.66 .3830 1.19 .2642 .72 .0987 .25 .4525 1.67 .3849 1.20 .2673 .73 .1026 .26 .4535 1.68 .3869 1.21 .2704 .74 .1064 .27 .4545 1.69 .3888 1.22 .2734 .75 .1103 .28 .4554 1.70 .3907 1.23 .2764 .76 .1141 .29

.4564 1.71 .3925 1.24 .2794 .77 .1179 30 .4573 1.72 .3944 1.25 2823 .78 .1217 .31 .482 1.73 .3962 1.26 .2852 .79 .1255 .32

.4591 1.74 .3980 1.27 .2881 .80 .1293 .33

0 z

194

.4599 1.75 .3997 1.28 .2910 .81 .1331 .34

4608 1.76 .4015 1.29 .2939 .82 .1368 .35 .4616 1.77 .4032 1.30 .2967 .83 .1406 .36 .4625 1.78 .4049 1.31 .2996 .84 .1443 .37 .4633 1.79 .4066 1.32 .3023 .85 .1480 .38 .4641 1.80 .4082 1.133 .3051 .86 .1517 .39

.4649 1.81 .4099 1.34 .3079 .87 .1554 .40 .4656 1.82 .4115 1.35 .3106 .88 .1591 .41 .4664 1.83 .4131 1.36 .3133 .89 .1628 .42 .4671 1.84 .4147 1.37 .3159 .90 .1664 .43 .4678 1.85 .4162 1.38 .3186 .91 .1700 .44 .4686 1.86 .4177 1.39 .3212 .92 .1736 .45 .4693 1.87 .4192 1.40 .3238 .93 .1772 .46

ينبــــع... A Z A Z A Z A Z

0.4997 3.47 0.4984 2.94 0.4920 2.41 0.4700 1.88 .4998 3.48 .4984 2.95 .4922 2.42 .4706 1.89 .4998 .49 .4985 2.96 .4925 2.43 .4713 1.90

.4998 3.50 .4985 2.97 .4927 2.44 .4719 1.91 .4998 3.51 .4986 2.98 .4929 2.45 .4726 1.92 .4998 3.52 .4986 2.99 .4931 2.46 .4732 1.93 .4998 3.53 .4987 3.00 .4932 2.47 .4738 1.94 .4998 3.54 .4987 3.1 .4934 2.48 .4744 1.95

.4998 3.55 .4987 3.2 .4936 2.49 .4750 1.96 .4998 3.56 .4988 3.3 .4938 2.50 .4756 1.97 .4998 3.57 .4988 3.4 .4940 2.51 .4762 1.98 .4998 3.58 .4989 3.5 .4941 2.52 .4767 1.99 .4998 3.59 .4989 3.6 .4943 2.53 .4773 2.00

.4999 3.60 .4989 3.7 .4945 2.54 .4778 2.01 .4999 3.61 .4990 3.8 .4946 2.55 .4783 2.02 .4999 3.62 .4990 3.9 .4948 2.56 .4788 2.03 .4999 3.63 .4990 3.10 .4949 2.57 .4793 2.04 .4999 3.64 .4991 3.11 .4951 2.58 .4798 2.05

.4999 3.65 .4991 3.12 .4952 2.59 .4803 2.06 .4999 3.66 .4991 3.13 .4953 2.60 .4808 2.07 .4999 3.67 .4992 3.14 .4955 2.61 .4812 2.08 .4999 3.68 .4992 3.15 .4956 2.62 .4817 2.09 .4999 3.69 .4992 3.16 .4957 2.63 .4821 2.10

.4999 3.70 .4992 3.17 .4959 2.64 .4826 2.11 .4999 3.71 .4993 3.18 .4960 2.65 .4830 2.12 .4999 3.72 .4993 3.19 .4961 2.66 .4834 2.13 .4999 3.73 .4993 3.20 .4962 2.67 .4838 2.14

195

.4999 3.74 .4993 3.21 .4963 2.68 .4842 2.15

.4999 3.75 .4994 3.22 .4964 2.69 .4846 2.16 .4999 3.76 .4994 3.23 .4965 2.70 .4850 2.17 .4999 3.77 .4994 3.24 .4966 2.71 .4854 2.18 .4999 3.78 .4994 3.25 .4967 2.72 .4857 2.19 .4999 3.79 .4994 3.26 .4968 2.73 .4861 2.20

.4999 3.80 .4995 2.27 .4969 2.74 .4865 2.21 .4999 3.81 .4995 3.28 .4970 2.75 .4868 2.22 .4999 3.82 .4995 3.29 .4971 2.76 .4871 2.23 .4999 3.83 .4995 3.30 .4972 2.77 .4875 2.24 .4999 3.84 .4995 3.31 .4973 2.78 .4878 2.25

.4999 3.85 .4996 3.32 .4974 2.79 .4881 2.26 .4999 3.86 .4996 3.33 .4974 2.80 .4884 2.27 .5000 3.87 .4996 3.34 .4975 2.81 .4887 2.28 .5000 3.88 .4996 3.35 .4976 2.82 .4890 2.29 .5000 3.89 .4996 3.36 .4977 2.83 .4893 2.30

.4996 3.37 .4977 2.84 .4896 2.31 .4996 3.38 .4978 2.85 .4898 2.32 .4997 3.39 .4979 2.86 .4901 2.33 .4997 3.40 .4980 2.87 .4904 2.34 .4997 3.41 .480 2.88 .4906 2.35 .4997 3.42 .4981 2.89 .4909 2.36 .4997 3.43 .4981 2.90 .4911 2.37 .4997 3.44 .4982 2.91 .4913 2.38 .4997 3.45 .4983 2.92 .4916 2.39 .4997 3.46 .4983 2.93 .4918 2.40

196

تمارين عامة على

االحتمـاالت

197

لىتمارين عامة ع

االحتمـاالت

أطفـال وتسـجيل ٣لتكن التجربة العشوائية هي اختيار عائلة لها - ١

أحسب احتمـال ان . هؤالء األطفال حسب الجنس وتسلسل الوالدة

. يكون للعائلة ولدين

)٨/٣(

= ٠.٥وكـان Sحادثين في الفراغ العينـي A1 ،A2إذا كان - ٢

P(A1) ٠.٧و =P(A2)

: P(A1 A2)= ٠.٣و

i ( هلA1 وA2 حادثين شاملين

)ال الن مجموع احتماليهما ال يساوي واحد(

ii ( أوجد)A2 أوA1 (P )٠.٩(

iii ( أوجد)A1 - A2 (P )٠.٢(

iv ( أوجد)A2 - A1 (P

)مستحيل(

= ٠.٤وكـان Sحادثين في الفراغ العينـي Bو Aإذا كان - ٣

P(A) ٠.٧و =P(B)

: احسب احتمال P(AB)= ٠.٣و

i ( وقوع أحد الحادثينA أوB )٠.٨(

198

ii ( وقوعA أوB وليس كليهما

)٠.٥(

iii ( عدم وقوعA )٠.٦(

iv ( وقوعA وعدم وقوعB )٠.١(

: القي حجرا نرد مره واحده أوجد احتماالت الحوادث التالية - ٤

i (A1 ٧هرين مجموع الرقمين الظا )٣٦/٦(

ii (A2 ١٠مجموع الرقمين الظاهرين أكثر من

)٣٦/٣(

iii (A3 ٥مجموع الرقمين الظـاهرين أقـل مـن أو يسـاوي

)٣٦/١٠(

iv (A4 ظهر مره واحده على األقل ٢العدد

)٣٦/١١(

: في نفس التمرين السابق احسب االحتماالت االتية - ٥

i (٦جر األول المجموع زوجي على فرض أن الح )٦/٣(

ii ( على فرض أن مجموع زوجي ٦الحجر الثاني

)١٨/٣(

iii ( ٥المجموع زوجي إذا علمت أن المجموع أقل من )٦/٤(

iv ( ٤على فرض ان األول ٦الحجر الثاني )٦/١(

v ( المجموع فردي إذا علمت أن الحجر األول فردي )١٨/٩(

199

معا إلى غزال فاذا كانت فرصة كل يوجه صيادان بندقيتيهما - ٦

منهما في إصابة الغزال هي 3. فأحسب احتمال إصابة الغـزال 1

)٩/٥(

مـن % ٥٠من خطابات المعهد وكانت % ٢٠تنسخ Aإذا كانت - ٧

مـن % ٩٠الباقي وكانـت Bخطاباتها بدون أخطاء بينما تنسخ

ن خطابـات المعهـد فإذا سحب خطاب م. خطاباتها بدون أخطاء

. فاحسب احتمال أن يكون الخطاب بدون أخطاء

)٠.٨٢(

في السؤال السابق إذا كان الخطاب المسحوب خطابا فيه أخطـاء - ٨

هي التي كتبته؟ Aفما هو احتمال أن تكون

)١٨/١٠=٠.٥٥٥٥(

كم يكون ٠.٤٠= إذا كان احتمال نجاح الطالب في مادة االحصاء - ٩

: احتمال

i( طالب ٥ان ينجح طالب واحد من بين )٠.٢٥٩٢(

ii (ان ينجح طالب واحد على األقل )٠.٩٢٢٢٤(

iii ( طالب على األكثر ٤ان ينجح )٠.٩٨٩٧٦(

iv (ان ال ينجح أحد )٠.٠٧٧٧٦(

ثالث مرات من رمي ٥ما هو احتمال ان نحصل على مجموع -١٠

)٠.١٧٣٤٢( مرات؟ ٦زهرتي نرد

200

ما هو عـدد ٠.٣ا كان احتمال إصابة الصاروخ للهدف إذ -١١

الصواريخ الالزم إطالقها كي يكون احتمال إصابة الهـدف علـى

%.٨٠األقل

٠.٧= احتمال الخطأ : الحــل

)٠.٧(n= احتمال الصواريخ تخطئ

n(0.7)-1< ٠.٨المطلوب هو

٠.٢ - >(0.7)n

٠.٢ <(0.7)n

(0.7)1 = 0.7 , (0.7)2 = 0.49

(0.7)3 = 0.743 , (0.7)4 = 0.2401

(0.7)5 = 0.16807

∴ n= ٥عدد الصواريخ