تﺎﻴﺿﺎﻳﺮﻟا ﺞﻬﻨﻣ ﺮﻴﻳﺎﻌﻣ And Subject AR/الرياضيات-الصف...

2004المجلس األعلى للتعليم مستوى متقدم الرياضيات الكميةالصف الثاني عشر |معايير الرياضيات لدولة قطر |315

منهج الرياضيات معايير

ملخص أداء التالمذة في نهاية الصف الثاني عشر

وحل المسائلالتفكير

يقسم . من المضامين الرياضية واإلحصائيةمجموعة التلميذ بتحليل مسائل في قوميوالمعالجات الحسابية واإلختبارات المسائل الى مهام أصغر، وينشئ وينـفـذ الحسابات

يحدد ويستخدم روابط العالقة بين المواضيع الرياضية واألساليب اإلحصائية . المناسبةيطور ويشرح سالسل من التفكير المنطقي بإستخدام الرموز والمصطلحات . المناسبة

عرف متى يعالج المسائل بنهج منتظم، وي. الرياضية الصحيحة، ويعمم آلما أمكن األمريحدد الحاالت اإلستثنائية والبيانات . يمكنه ومتى ال يمكنه تعداد جميع النواتج

يخمن ويحزر و) أي الواقعة خارج نطاق خط التطابق األفضل(اإلحصائية المتباعدة يجمع وينظم ". ؟....ماذا لو لم"و " ؟...ماذا لو "اإلمكانيات البديلة بإستخدام أسئلة مثل

ر البيانات ذات العالقة والبيانات الواقعية، بإستخدام دوال إحصائية على ويحلل ويفس . يعمل وفق درجات الدقة المتوقعة. الحاسبة أو بواسطة برامج آومبيوترية

الحساب والجبر وحساب التفاضل والتكامل

يستخدم التلميذ الحساب والجبر وحساب التفاضل والتكامل لتعميق إدراآه في مبادئ يستخدم . وقواعد اللوغاريتمات exيستخدم مفكوآة المتسلسلة لـ . اإلحصاءوعلم

يرسم ويفسر المخططات . مبرهنة الباقي ومبرهنة العوامل ويجد التباديل والتوافيقالبيانية للدوال الخطية والتربيعية والتكعيبية والمقلوبة واألسية واللوغاريتمية، ودوال

ودالة ) بإستخدام قياس نصف قطري للزوايا(الظل الجيوب وجيوب التمام، ودوال ضمن مجاالت ) ما عدا المعادالت التكعيبية(يحل معادالت ذات عالقة . المقياسيحسب ويفسر مشتقة . يعرف متى آانت الدوال متزايدة أو متناقصة أو ثابتة. محددةمشتقات الرتبة ومشتقة الدوال آثيرة الحدود، ومشتقة الدالة األسية، بما فيها xلقوى

يحسب مشتقة مجموع وفرق وحاصل ضرب أي من هذه . الثانية والرتب األعلىيستخدم التكامل لحساب المساحات . يعرف أن التكامل هو عكس التفاضل. الدوال

.الواقعة تحت المنحنيات

الهندسة والقياسات

الهندسة صفوف الدراسية السابقة في علم اليستخدم التلميذ ويطبق ما تعلمه في . والقياسات لحل المسائل

اإلحتمال ومبادئ اإلحصاء

يخطط . يقوم التلميذ بجمع وتنظيم البيانات وإستخراج اإلستدالالت واإلستنتاجات منهاإستمارات األسئلة والدراسات المسحية ويصمم التجارب اإلختبارية من أجل جمع

. جتمع اإلحصائي المستمدة منهبيانات أساسية من العينات، ويميز بين العينة والميدرك أهمية المتغير . يعرف معنى عينة عشوائية بسيطة وتأثير اإلنحياز في العينات

. مجتمع إحصائي من إحصاء مستنبط من عينة) بارامتر(يميز بين معلم . العشوائيأخوذة ، أو على بيانات ثانوية م)أساسية(يقوم بصياغة مسائل مبنية على بيانات أولية

يحسب . من مصادر منشورة، بما فيها اإلحصاءات الحكومية الرسمية واإلنترنتينشئ مدرجات التكرار وتوزيعات التكرار، . قياسات النزعة المرآزية والتشتت

والمفردات ذات العالقة لعرض الوقائع ‘ العلبة والشعرتين’ويستخدم رسوم والمقياس ) النوعي(ياس اإلسمي يميز بين المق. واإلستنتاجات التي توصل إليها

يبحث عن اإلرتباط . ومقياس الفترات البينية أو مقياس النسب) التصنيفي(الترتيبي بين متغيرين عشوائيين ويحسب معامل اإلرتباط في ترتيب رتب البيانات ومعامل

، ويفسر معنى آل هذه )متوسط حواصل ضرب قيم المتغير(اإلرتباط الخطي

الصف الثاني عشرمستوى متقدم

)األساليب الكمية(


م خطوط التطابق األفضل في الحاالت التي يتبين فيها وجود إرتباط يرس. المقاييسيحسب إحتماالت حوادث منفردة ومرآبة، ويستخدم ويفهم المفردات المتعلقة . خطي

يستخدم مخططات الشجرة لتمثيل وحساب إحتماالت . بإحتماالت وقوع حوادث مختلفةكون الحادثة مشروطة حوادث مرآبة، عندما تكون هذه الحوادث مستقلة وعندما ت

يقارن اإلحتماالت المستمدة من العينات مع النماذج النظرية لإلحتمال، بما . باألخرىالمبني على توزيع ‘ آاي’يستخدم إختبار . فيها النماذج المنفردة والنماذج المتصلة

. مجموعات تربيعات المتغيرات العشوائية لمقارنة المالحظة الفعلية مع التوقع النظريستخدم المستويات المعنوية لقبول أو رفض فرضية العدم وإلستنباط اإلستنتاجات من ي

يستخدم أعداد عشوائية إلختيار عينات عشوائية، ولتخصيص وحدات فردية . البياناتيعرض الوقائع واإلستنتاجات . للعينات، ولتشبيه مجموعة من الوضعيات اإلحصائية

يستخدم الوظائف . نية والمخططات والجداولبإستخدام مجموعة من الرسومات البيا . اإلحصائية ذات العالقة على الحاسبة أو في البرامج الكومبيوترية

المحتوى واألوزان النسبية للصف الثاني عشر الرياضيات للعلوم : تنقسم معاييرالرياضيات المتقدمة للصف الثاني عشر الى مسارين

يتضمن آل من هذين . م اإلجتماعية وعلم اإلقتصادوالرياضيات الكمية التي تدعم العلو. المسارين فرع التفكير وحل المسائل، فرع الحساب والجبر وحساب التفاضل والتكامل

تشمل معايير الرياضيات للعلوم آما آبيرا من حساب التفاضل والتكامل، ولكنها ال الرياضيات الكمية فتشمل تشمل عمال جديدا في مبادئ اإلحتمال واإلحصاء؛ أما معايير

مقدارا هاما من العمل على مبادئ اإلحتمال واإلحصاء، ومقدار أقل من حساب التفاضل . والتكامل ولكنها ال تشمل أي عمل جديد في فرع الهندسة والقياسات

إن فرع التفكير وحل المسائل يتداخل في الفروع األخرى، ولذا ينبغي دمج فرع التفكير . المسائل آجزء متكامل من تعليم وتعلم الرياضيات في جميع الدروسوالتعميم وحل

: يبين الجدول التالي األوزان النسبية لكل من فروع المحتوى


الهندسة والقياسات وعلم المثلثات


مستوى متقدم

الصف العاشر %55 %30 %15

الصف الحادي %55 %30 %15 عشر

%60 -- %40 الصف الثاني عشر

األساليب الكمية

-- %25 %75 الصف الثاني عشر

الرياضيات للعلوم

أما المعايير التي تظهر أرقامها داخل مربعات . تم ترقيم المعايير لتسهيل الرجوع إليها على جميع تالمذة المستوى المتقدم ، فهي معايير األداء المنطبقة 2-1مظللة، مثل

سوف تعتمد اإلختبارات الوطنية في الرياضيات المتقدمة على هذه ). األساليب الكمية( .المعايير

على معلمي الصف الثاني عشر أن يوطدوا معرفة التالمذة بالمعايير السابقة حسب . الضرورة


ايير منهج الرياضياتمع

التفكير وحل المسائل

من مجموعة التلميذ بتحليل مسائل في قومعند نهاية الصف الثاني عشر، يغر، وينشئ وينـفـذ يقسم المسائل الى مهام أص. المضامين الرياضية واإلحصائية

يحدد ويستخدم روابط . الحسابات والمعالجات الحسابية واإلختبارات المناسبةيطور ويشرح . العالقة بين المواضيع الرياضية واألساليب اإلحصائية المناسبة

سالسل من التفكير المنطقي بإستخدام الرموز والمصطلحات الرياضية الصحيحة، يعالج المسائل بنهج منتظم، ويعرف متى يمكنه ومتى ال .ويعمم آلما أمكن األمر

يحدد الحاالت اإلستثنائية والبيانات اإلحصائية المتباعدة . يمكنه تعداد جميع النواتجيخمن ويحزر اإلمكانيات البديلة و) أي الواقعة خارج نطاق خط التطابق األفضل(

يجمع وينظم ويحلل ويفسر ". ؟....ماذا لو لم"و " ؟...ماذا لو "بإستخدام أسئلة مثل البيانات ذات العالقة والبيانات الواقعية، بإستخدام دوال إحصائية على الحاسبة أو

. يعمل وفق درجات الدقة المتوقعة. بواسطة برامج آومبيوترية

:على التلميذ أن

يستخدم التفكير الرياضي لحل المسائل 1 ي مجال من المضامين الرياضية وغير الرياضية يحل مسائل مألوفة وغير مألوفة ف 1-1

).مفتوحة(ومسائل غير محددة النهاية )مغلقة(بما فيها مسائل محددة النهاية

يستخدم أساليب إحصائية لتمثيل وضعيات إحصائية والتنبؤ بنواتجها بما فيها 1-2 اإلختبارات تطبيقات من واقع الحياة اليومية، ويعمل وفقا لتعريفات محددة وينفــذ

.المناسبة

.يحدد ويستخدم روابط العالقة بين المواضيع الرياضية 1-3

. يقسم المسائل المعقدة الى مهام أصغر 1-4

يستخدم مجموعة إستراتيجيات لحل المسائل، بما فيها حل المسألة مقلوبة، أي إبتداء من 1-5 ينشئ ويحل المعادالت ذات نهايتها ومن ثم إعادة توجيه المنطق بالتسلسل الطبيعي؛

الصلة وينـفـذ الحسابات والمعالجات الحسابية المناسبة؛ يغير وجهة النظر أو التمثيل الرياضي، ويستخدم التحليل والتفكير الحسابي أو الجبري أو التخطيطي أو الهندسي أو

. اإلحصائي حسب الضرورة

ستخدام الرموز والمصطلحات الرياضية يطور سالسل من التحليل والتفكير المنطقي، بإ 1-6 .الصحيحة

.يفسر إستنتاجاته شفهيا وآتابيا 1-7

أي التي تقع خارج نطاق خط (يحدد الحاالت اإلستثنائية والبيانات اإلحصائية المتباعدة 1-8 ).التطابق األفضل

.يعمم آلما أمكن األمر 1-9

نتظمة، ويدرك متى يكون من المهم تعداد جميع يعالج المسائل المعقدة بطريقة منهجية م 1-10 .النواتج

الصف الثاني عشرمستوى متقدم

)األساليب الكمية(

المعايير الرئيسةقام معايير األداء الرئيسة أر

مكتوبة في مربعات مظللة، 2-1 مثل

أمثلة المسائلإن الغرض من أمثلة المسائل المطبوعة بخط مائل هو فقط

لتوضيح المعايير المطلوبة وليس لتمثيل النطاق الكامل . للمسائل التي يمكن طرحها

كير وحل المسائلالتف

يجب أن يكون التفكير والتعميم وحل المسائل جزءا متكامال من

تعليم وتعلم الرياضيات في .جميع الدروس


ماذا لو لم ‘و ’ ؟...ماذا لو ‘يحزر ويخمن اإلمكانيات البديلة بإستخدام أسئلة من نوع 1-11 . ’ ؟...

يرآب ويدمج ويعرض ويفسر وينتقد المعلومات الرياضية المعروضة بصيغ رياضية 1-12 . مختلفة

.ت المتوقعة من الدقة، ويعرف متى آان الحل التام مناسبايعمل وفق الدرجا 1-13

يتفحص البيانات اإلحصائية للتحقق من درجة إعتماديتها وتماسكها الداخلي واألخطاء 1-14 .الحسابية ومعقوليتها

‘ التدخين والصحة اآلن’يوجد خطأ في الجدول التالي الذي ظهر ضمن تقرير يدعى يبين الجدول عدد الرجال . ملكي لألطباء في المملكة المتحدةالمنشور من قبل المعهد ال

أوجد الخطأ في هذا . وما فوق الذين توفوا نتيجة أمراض متعلقة بالتدخين35بسن الـ .الجدول وصححه

إلتهاب الشعب أمراض القلب جميع األسباب سرطان الرئتين الرئوية

عدد الوفيات 973 26 976 24 892 85 537 312 النسبة المئوية 8.6% 8.0% 2.75% 100%

. إحصل على مقالة ذات صفة إحصائية من إحدى الصحفتفحص المقالة بحثا عن وجود مواضع عدم إنتظام أو أخطاء حسابية أو أعداد غير

.معقولة أو نقص في المعلومات ذات األهمية

.ات من البيانات الواقعيةيستخدم الوظائف اإلحصائية على الحاسبة لتحليل مجموع 1-15

يعرف متى يمكنه إستخدام وسائل تكنولوجيا الكومبيوتر، ويستعملها بكفاءة، ويستخدم 1-16 .هذه الوسائل لعرض الوقائع واإلستنتاجات


يستخدم التلميذ الحساب والجبر وحساب التفاضل ، عند نهاية الصف الثاني عشر exيستخدم مفكوآة المتسلسلة لـ . والتكامل لتعميق إدراآه في مبادئ وعلم اإلحصاء

يستخدم مبرهنة الباقي ومبرهنة العوامل ويجد التباديل . اللوغاريتماتوقواعد يرسم ويفسر المخططات البيانية للدوال الخطية والتربيعية والتكعيبية . والتوافيق

والمقلوبة واألسية واللوغاريتمية، ودوال الجيوب وجيوب التمام، ودوال الظل ما (يحل معادالت ذات عالقة . ياسودالة المق) بإستخدام قياس نصف قطري للزوايا(

يعرف متى آانت الدوال متزايدة أو . ضمن مجاالت محددة) عدا المعادالت التكعيبيةومشتقة الدوال آثيرة الحدود، ومشتقة xيحسب ويفسر مشتقة لقوى . متناقصة أو ثابتة

مجموع يحسب مشتقة . الدالة األسية، بما فيها مشتقات الرتبة الثانية والرتب األعلى. يعرف أن التكامل هو عكس التفاضل. وفرق وحاصل ضرب أي من هذه الدوال

.يستخدم التكامل لحساب المساحات الواقعة تحت المنحنيات

:على التلميذ أن

يعالج ويتعامل مع العبارات الجبرية 2 رة يضرب ويبسط العبارات الجبرية ويحللها الى عواملها ويقسم آثيرة حدود على عبا 2-1

. جبرية خطية أو تربيعية

الحساب والحبر وحساب التفاضل والتكامل

صممت معايير الحساب والجبر التفاضل والتكامل وحساب

بشكل عام لدعم األساليب اإلحصائية التي يتم تطويرها

في فرع اإلحتمال ومبادئ .اإلحصاء


.x بترتيب متصاعد لقوى 3(3x – 2)أآتب مفكوآة

.27x3 – 8y3 إستعمل هذا التحليل لكتابة متطابقة لـ. الى عواملها 27x3 + 8y3 حلل

3 بسط2

11

xx

+−

0 = (5x + 2)(x + 3) – (3x –1)(x + 3) لة حل المعاد

بحيث ال (يضم ويبسط آسور جبرية نسبية؛ يحلل آسر جبري نسبي الى آسور جزئية 2-2 ).تكون مقاماتها أآثر تعقيدا من حدود خطية متكررة

2بسط 5 3 2

1 1x

x x−−+ −

1بين أن 1 11( 1) r rr r ≡ − ++

2 في المتطابقة C و B و Aأوجد قيم 21

3 1 1(3 1)( 1) ( 1)A B C

r rr r r≡ + ++ ++ + +

. يفهم ويستخدم مبرهنة الباقي 2-3

ما هي . 5 يكون الباقي x – 3 على 3x3 – 2x2 – ax – 28 عند قسمة العبارة ؟a قيمة

.يفهم ويستخدم مبرهنة العوامل 2-4

ثم . ألخرى، وأوجد العوامل ا x – 2 تقبل القسمة على2x3 + x2 – 13x + 6 بين أن ما هي مجموعة . 2x3 + x2 – 13x + 6 = 0 للمعادلة أوجد مجموعة الحل في

؟ الحل في

يستخدم الترميز األسي واللوغاريتمات لحل المسائل العددية 3 يفهم األسس والجذور النونية، ويطبق قوانين األسس لتبسيط عبارات تتضمن أسسا؛ 3-1

. على الحاسبة ومقلوبه xyيستخدم المفتاح

5بسط 2

8 24

n nn

. بدون إستعمال حاسبة×

.0.2بخطوات من تدرجا ،1 الى 0 من tلقيم y = 1000 × 2–tأرسم مخططا بيانيا لـ

، وقواعد ضم )a )0 > aيتعرف على تعريف اللوغاريتم بأساس عددي 3-2 .اللوغاريتمات، بما فيها تغيير أساس اللوغاريتم

log10أوجد قيمة 1000.

log2أوجد قيمة 64.

.الى لوغاريتم وحيد log 27 – 2 log 3 حول

loglog برهن أن logcac

bb a=1 أن وإستعمل هذه النتيجة لتبيانlog logba b a=.

logbإذا علمنا أن logb فكم تكون قيمة 1/3 = 2

32

)هـ 5/3 )د 3/5–) ج 5 ) ب 2) أ2

3log 32

للصف الثاني عشرTIMSSإختبار

إشرح لماذا يجب أن يكون األساس العددي للوغاريتم ما موجبا، بينما يمكن أن يتخذ .للوغاريتم نفسه أية قيمةا

تحليل العبارات الى عواملهايشمل مجموع مكعبين والفرق

. بينهما

اللوغاريتمات تشمل، الى جانب الصيغ

المستخدمة لمجموع وفرق : لوغاريتمين ، ما يلي

==== >

=

a

xax

a

an

a a

a xa x

aa

x n x

log

log

log 1log 1 0 for any 0log log


. على الحاسبة ومفاتيح الدوال العكسية المقابلة لهماlog والمفتاح lnيستخدم المفتاح 3-3

log5إستعمل الحاسبة إليجاد قيمة . صحيحة حتى ثالث منازل عشرية4

إستنبط عالمان يدعى آل منهما دو بوا صيغة لتقدير المساحة السطحية 1916في عام S m2 لجسم اإلنسان بداللة آتلتهM kg وطوله H cm .

S = 0.000 718 4 × M0.425 × H0.725: هذه المعادلة هي

أحسب المساحة السطحية لجسم هذا الصبي . cm 160 وطوله kg 60صبي تبلغ آتلته . حتى ثالثة أرقام معنوية

وتعرف بالصيغة (dB) بوحدة الدسيبل Nيتم قياس شدة الصوت N = 10 log (I / 10–16) حيث ،I هي قدرة الصوت مقاسة بالواط watt .

. watts 10-10 لصوت اإلنسان الطبيعي الذي تبلغ قدرته Nأوجد .dB 150أوجد قدرة صوت طائرة نفاثة علما بأن شدة صوتها تبلغ

pH = –log[H] لمحلول ما بالصيغة pHفي علم الكيمياء يعرف الرقم الهيدروجيني المحاليل التي يبلغ رقمها . هي ترآيز ايونات الهيدروجين في المحلول[H]حيث

هي محاليل حمضية وتلك التي يزيد فيها الرقم الهيدروجيني pH < 7الهيدروجيني ، فهي pH = 7 أما المحاليل التي يبلغ فيها الرقم الهيدروجيني. هي محاليل قلوية7عن

أوجد . 5 × 10–7 = [H] ترآيز أيونات الهيدروجين محلول يبلغ فيه .محاليل متعادلة . لهذا المحلول، وأذآر ما إذا آان هذا المحلول حمضيا أم متعادال أم قلوياpHقيمة

يعمل بالمتتاليات والمتسلسالت والعالقات والترتيبات المتكررة 4 أشياء مختلفة، n أشياء مختلفة مأخوذة من عدد r هي عدد التوافيق لـعدد rCnيفهم أن 4-1

، والذي r! nCr أشياء مختلفة هو n أشياء مختلفة مأخوذة من rوأن عدد التباديل لـ .nPrيشار إليه بالرمز

أشخاص علما بأن ما هو عدد اللجان المختلفة الذي يمكن إختيارها من مجموع تسعة .اللجنة الواحدة منها مؤلفة من أربعة أشخاص

. ستتألف اللجنة من رجلين وإمرأتين. يزمع إختيار لجنة من خمسة رجال وثالث نساء ما هو عدد الطرق التي يمكن فيها إختيار اللجنة؟

. سؤاال 13يتألف إمتحان من فقط من أول سؤالين، وتسعة أسئلة فقط من األسئلة على التلميذ أن يحل سؤاال واحدا

ما هو عدد خيارات األسئلة المتوفرة للتلميذ؟. الباقية

13C10 = 286 )أ 11C8 = 165 )ب 11C9 = 110 × 2 )ج 11P2 = 220 × 2 )د عدد آخر غير األعداد المذآورة أعاله) هـ


.10P5 و 9C6 ةأوجد قيم

وأن nCr = nCn–r برهن أن nCr + nCr+1 = n+1Cr+1.

3 آتب متوسطة الحجم و 4 آتب ثخينة و 5ما هو عدد الطرق التي يمكن فيها ترتيب آتب رفيعة على رف آتب بحيث تبقى الكتب من نفس الحجم سويا؟

680 103 = !3 !3 !4 !5) أ 280 17 = !3 !4 !5 )ب 840 51 = 3 × (!3 !4 !5) )ج

التباديلإن ترتيب البيانات المختارة هو

الذي يميز بين التباديل . لتوافيقوا


180 = 3 × 3 × 4 × 5 )د 288 12 = 3 × 212 )هـ


.nألي قيمة نسبية لـ n(x + 1) يفكك المتسلسلة ذات الحدين ؛ nCrيستقصي خصائص 4-2

nC0 + nC1 + nC2 + …+ nCn = 2nبين أن

يعمل بالدوال ومخططاتها البيانية 5

، ويصف kxe = yيستخدم حاسبة بيانية لرسم مخططات الدوال األسية التي على شكل 5-1 موجبا أو سالبا، والحالة الخاصة kدوال مع التمييز بين الحاالت التي يكون فيها هذه ال

. صفرkالتي تكون قيمة

؛ يدرك أن دالة اللوغاريتم xln = yيرسم ويصف سمات دالة اللوغاريتم الطبيعي 5-2 . الطبيعي هي عكس الدالة األسية

t هي آتلة العنصر المتبقية بعد yث حي y = y0e–ktينحل عنصر إشعاعي وفقا للصيغة أي ( لعنصر يبلغ عمر نصفه kأوجد قيمة الثابت . t = 0 لـ y هي قيمة y0يوما و

. أيام4) الوقت الذي يستغرقه إضمحالل نصف المادة

1 )أe4 log 1 )ب 2

e 2log 2 )جlog e 1) د4

e(log 42e )هـ (2


. ويرسم مخططها البيانيx | = y |يفهم معنى دالة المقياس 5-3

.x ≤ 3 ≥ 3– لـ | f(x) = | x – 2 | + | xأرسم مخطط الدالة

.y = g(f(x))ينشئ دوال مرآبة ويستعمل الترميز 5-4

هي أيضا g(x) = (x + 1)2 دالة ثانية. محددة في المجموعة f(x) = 4x – 7الدالة فسر لماذا هاتين الدالتين ليستا . g(f(x)) و f(g(x)) أوجد. المجموعة محددة في . متساويتين

ويستخدم الترميز ) ضمن مجال محدود، أذا دعى األمر(ينشئ دوال عكسية 5-5 1f ( )y x−=

fبين أن الدالة ( ) 1xx x= . هي مماثلة لمعكوسهاx ≠ 1 ، حيث −

fأوجد معكوس الدالة : 2t t .t ≥ 0، المحددة لـ +

1fيعلم أن 5-6 (f ( ))x x− 1f وأن مخطط = ( )y x−= هو إنعكاس المخطط f ( )y x= حول .y = xالخط المستقيم

lneبين أن x x= .

yأرسم مخطط x=غير سالبة لـ لقيم x.

يحل معادالت متعلقة بالدوال 6 ، فيعلم أنه إذا آان المميز ax2 + bx + c = 0يعطى التلميذ معادلة تربيعية على شكل 6-1

∆ = b2 − 4ac رآبين لهذه المعادلة، مترافقين الواحد سالبا، سيكون هناك جذرين م . لآلخر

و هي ثابت موجب A حيث A = kxeيحل معادالت أسية ومعادالت لوغاريتمية بالشكل 6-2 ln kx = B حيث ، Bثابت .

معامالت ذات الحدينإن خصائص هذه المعامالت يمكن أن تشكل عمال توسعيا

. شيقا للتالمذة

الدوال تشمل إستخدام التمثيل

f : f( )x x وأيضا التمثيل ،y = f(x) أو f(x) = ….

الدوال المرآبة دوال في المعاييرإن دراسة ال

يمكن أن تشكل 6-5 الى 5-4عمال توسعيا للتالمذة األآثر

.مقدرة

األعداد المرآبةيمكن أن تشكل األعداد المرآبة

عمال توسعيا للتالمذة األآثر . مقدرة


: يحل معادالت مثلثية على شكل 6-3

sin (ax + b) = A 1– حيث ≤ A ≤ 1 cos (ax + b) = A 1– حيث ≤ A ≤ 1 tan (ax + b) = A حيث Aثابتة

.x ≤ 2π ≥ 0ويجد جميع الحلول ضمن المجال

يجد الحلول التقريبية لتقاطع أي دالتين إنطالقا من نقاط تقاطع رسوماتهما البيانية 6-4 . ويفسر ذلك آمجموعة الحل ألزواج معادالت آنية

y = exو y = xمن خالل رسم المنحنين x = exيمكن إيجاد حل تقريبي للمعادلة

. xوإيجاد إحداثيات نقطة تقاطعهما على المحور

يحسب مشتقة الدالة 7 وأن هذا المشتق الثاني x(f = y(للدالة ‘ المشتق الثاني’ يدعى f′)x( يعرف أن المشتق 7-1

أو ′′fيمكن أيضا آتابته بالصيغة 2

2

dd

yx

؛ يعلم أن المشتقات األعلى رتبة يمكن

. ة أيضاصياغتها بنفس الطريق

. f′′(x) = 6x بين أن f(x) = x3 – 6x بالنسبة للدالة

صفرا؟ f′(x) عند النقاط التي تبلغ فيها قيمة f′′(x) ما هي قيمة

: يفسر القيمة العددية للمشتقة عند نقطة على منحنى الدالة؛ ويعلم أن 7-2 نقطة؛عندما يكون المشتق موجبا تكون الدالة متزايدة عند تلك ال

وعندما يكون المشتق سالبا تكون الدالة متناقصة عند تلك النقطة؛ وعندما يكون المشتق صفرا تكون الدالة ثابتة عند تلك النقطة

ناقش آيف أن معرفة متى تكون دالة متزايدة ومتى تكون متناقصة ومتى تكون ثابتة . دالةتوفر معلومات هامة عن الدالة آكل وتساعد على تحليل منظر ال

fناقش دالة المشتقة المتعلقة بالدالة : | |x x.

هل يوجد أي مكان في هذه الدالة حيث تكون المشتقة غير موجودة؟ .علل جوابك

ي دالة قد تقابل قيمة عظمى أو صغرى للدالة في مكان ما يدرك أن النقاط الثابتة أل 7-3 من الدالة، أو قد تمثل نقطة أنعطاف؛ ويدرك آيف أن المشتقة تتغيرمع تحرك النقطة

التي تم حساب المشتقة عندها عبر القيمة العظمى أو الصغرى المحلية، أو عبر .إنعطاف؛ يدرك أن نقاط اإلنعطاف ليست جميعها نقاط ثابتة

يفهم ويستخدم إختبار المشتقة الثانية ليختبر ما إذا آانت النقطة الثابتة هي نقطة تبلغ 7-4 .عندها الدالة قيمة عظمى أو صغرى محليا، أو إذا ما آانت نقطة إنعطاف

: أي من هذه المخططات لها السمات التاليةf′(1) < 0, f′(0) > 0و f′′(x)ما؟ سالبة دائ


قراءة المشتق الثاني : آـf′′(x)تقرأ

f–double–dash of x′ آالتالي d2y/dx2بينما تقرأ

‘dee–two-y by dee–x–squared’

المشتقات ذات الرتب األعلىيتم عموما تمثيل مشتق من

بالرمز nة المرتبn

nyx

dd

أو

f(n)(x)..

نقاط القيمة العظمى والقيمة الصغرىيشار الى هذه النقاط أحيانا بمثابة

.نقاط اإلنقالب


هي الدالة األسية الوحيدة، من بين جميع الدوال األسية، xe = yيعرف أن الدالة األسية 7-5 ، أي عند النقطةyالمعرفة بأن قيمة ميلها عند نقطة تقاطعها مع المحور

. 1، هي (1 ,0)

هي الدالة الالصفرية الوحيدة في الرياضيات التي ينتج فيها xe) = x(fيعرف أن الدالة 7-6

الدالة األصلية وأن f′(x) = exعن المشتقة 2 3

e 1 ... ..2! 3! !

nx x xx xn

= + + + + + الى (+

)ما ال نهاية

…يمكننا أن نبين بأن المتسلسلة الالنهائية علما بأنه 2 3 4

1 2! 3! 4!x x xx+ + + + تمثل +

. exالعدد

بين أنه إذا قمت بإشتقاق هذه المتسلسلة حدا بعد حد ثم قمت بجمع جميع هذه الحدود . سويا، سوف تحصل على المتسلسلة التي بدأت فيها

.x/1 هو xln يعرف أن مشتقة دالة اللوغاريتم الطبيعي 7-7

مشتقة ترآيبة من الدوال

يكون عندها مشتقة x(2f) + x(1f) = x(f(يعرف أنه إذا آان لدينا أي دالة من نوع 7-8 .f′(x) = f1′(x) + f2′(x)مجموع الدالتين

. y = 5x + exأوجد مشتقة الدالة المعرفة بـ

ها مشتقة حاصل ضرب هاتين يكون عندx(v) x(u) = x(f(يعرف أنه إذا آان لدينا 7-9 ؛ ويستعمل هذه النتيجة لحساب مشتقة حاصل ضرب دالتين؛ ′f′ = uv′ + vuالدالتين

ثابت، a، حيث y = a f(x)يعرف الحالة الخاصة لهذه النتيجة وهي أنه أذا آانت .′y′ = a fتكون عندها

dأوجد dyx عندما تكون y = 10xex.

يكون عندها مشتقة حاصل قسمة f(x) = u(x) / v(x)يعرف أنه إذا آان لدينا دالة 7-10 ويستخدم هذه النتيجة في حساب مشتقة حاصل ؛ f′ = (uv′ – vu′) / v2هاتين الدالتين .قسمة دالتين

يكون عندها مشتقة هذه h(x) = g(f(x))ا آان لدينا دالة مرآبة على شكل يعرف أنه إذ 7-11 ؛ ويستخدم هذه النتيجة في حساب مشتقة ترآيب h′(x) = g′(f(x))f′(x)الدالة المرآبة

. دالتين

2dتكون عندها y = 10 e–2tإستعمل قاعدة التسلسل لتبيان أنه إذا آانت 20edty

x−= −.

. xبالنسبة لـ y = (3x + 1)2(2 – x)ة أوجد مشتق

d(lnبرهن أن ) 1d

xxx =

dبين أن 1d d

d

xy y

x

=

.x(′f = (kxe kA ثابتان، هو k و A حيث ، f)kxe A) = xيعرف أن مشتقة 7-12

.يجد مشتقة دالة معرفة ضمنيا 7-13

dأوجدdyxة الضمنية للدالx2 + y2 = 25 لـ y ≥ 0.

exالدالة لها أهمية exهذه المفكوآة لـ

‘ بواسون’بالنسبة لتوزيع خاصة المعيار في الوارد شرحه

.من هذا النص12-2

الدوال المرآبةهناك طريقة بديلة ومقبولة بنفس

الدرجة لكتابة مشتقة الدالة =المرآبة وهي ×y y z

x z xd d dd d d,

، حيث يتم صياغة الدالة الى xالمرآبة من خالل إقران

z أوال ومن ثم إقران z الى y . تعرف هذه القاعدة أحيانا بتسمية

أو قاعدة ( قاعدة التسلسل ، ألنها تتناول الدوال )السلسلة

المرآبة التي يتم صياغتها في .أآثر من مرحلتين


تطبيقات تستخدم فيها المشتقات

. يستخدم المشتقات األولى والثانية للدوال لتحليل سلوك الدوال ولتخطيط منحنياتها 7-14

1أرسم المنحنى ( 2)y x x= . وبين بوضوح نقاط إنقالبها وخطوط تقاربها−

، وبين بوضوح نقاط إنقالبها وأي نقاط إنعطاف x ≥ 0 ـ ل y = xe–xأرسم المنحنى . فيها

يستخدم المشتقة إلستكشاف مجموعة من المسائل التي يطلب فيها إيجاد الحل األمثل، 7-15 . أي حيث تتخذ الدالة قيمتها العظمى أو قيمتها الصغرى

يعيد إنشاء دالة من مشتقها 8

التكامل غير المحدود

.كامل بمثابة العملية المعكوسة للتفاضليفهم الت 8-1

fيفهم ويستخدم تمثيل التكامل غير المحدود مع معرفة أن 8-2 ( )d f ( )x x x c′ = c ، حيث ∫+ ، حيث آل y = f(x) + cهي أي ثابت، وأن هناك مجموعة آاملة من المنحنيات

.f′(x)عنصر منها له الدالة المشتقة

y = f(x) + cجموعة المنحنيات الممثلة بالدالة ناقش آيف أن العناصر الفردية في م .متعلقة الواحدة باألخرى

ميل مماس هذا المخطط عند أي.(2 ,1) من خالل النقطة gيمر بيان الدالة جميع الخطوات ؟ بينg(x) ما هي الدالة. g′(x) = 6x – 12 محدد بـ (x, y) نقطة

.التي إتبعتها

شر للصف الثاني عTIMSSإختبار

: يعرف تكامالت الدوال 8-3 xn حيث n ≠ –1

1/x حيث ،x ≠ 0 ekx

. يكتب التكامالت لمضاعفات هذه الدوال ولترآيبات خطية لها

التكامل المحدود

fيستخدم تعريف التكامل المحدود 8-4 ( )d f ( ) f ( )b

ax x b a′ = x هي دالة لـ x(f(، حيث ∫−

تكامل معدل تغير دالة هو التغير الكلي لتلك ’؛ ويفسر ذلك بمثابة أنa ≤ x ≤ b و.؛ يفهم تأثير مبادلة حدود التكامل؛ يعرف أن ‘ الدالة

b c b

a a c= +∫ ∫ ∫.

يستخدم جمع مساحات المستطيالت لحساب الحدود الدنيا والعليا للمنطقة الواقعة بين 8-5 من الجهتين الخطين ، والتي يحدها y > 0 حيث y = f(x) والمنحنى xالمحور

من المستطيالت الى لكلδxثابت؛ ويفهم أنه عندما يقترب العرض = xالمستقيمين للحدين األدنى واألعلى للمنطقة الموجودة Σ f(x) δxالصفر يقترب عندها المجموعين

‘ المساحة تحت المنحنى’الى نفس القيمة، وأن هذه القيمة هي تحت المنحنى

التكامل مأخوذة من التكاملآلمة

، أي جمع مساهمات ‘ التكميل’عدد آبير من األجزاء

∫أما الرمز . الصغيرة x...d . x فيشير الى الجمع بالنسبة لـ

∫وفي التكامل المحدود b

a,

د المكاملة أو حدو b و aتدعى .حدود التكامل


والمستقيمينx والمحور x(f = y(يفهم أن المساحة المحدودة بدالة موجبة 8-6 x = a و x = bحيث و ، a ≤ x ≤ b، هي التكامل المحدود f ( )d

b

ax x∫

في الشكل المقابل هو الرسم البيانيlالمستقيم .y = f(x)لـ

3ما هي قيمة

2f ( )dx x

−∫ :

5.5) هـ5) د4.5) ج 4) ب 3)أ


يستخدم قاعدة شبه المنحرف إليجاد تقريب للمساحة الممثلة بالتكامل المحدود لدالة 8-7 . معينة عندما ال يكون من السهل أو من الممكن مكاملة الدالة

هي دائما y حيث قيمة xآليا تحت المحور يقع x(f = y(يفهم أنه إذا آان منحنى 8-8 fسالبة، تكون عندها قيمة التكامل المحدود ( )d

b

ax x∫ ضمن المجال a ≤ x ≤ b

. سالبة

و x = –2 والمستقيمين x والمحور y = x2 + 5أحسب المساحة الواقعة بين المنحنى x = 3 .

.y = 4 – x2 و y = x2– 4ن أوجد المساحة الواقعة بين المنحني

. y = xو y = x3أوجد المساحة الواقعة بين المنحنيين

يبين الشكل المقابل المخطط البياني لـ y = f(x) .

S1 هي المساحة المحصورة بين المحور x ؛y = f(x) والمنحنى x = aوالمستقيم

S2 هي المساحة المحصورة بين المحور x ؛y = f(x) والمنحنى x = b والمستقيم

.S2 < S1 > 0 و a < b حيث f إن قيمة ( )d

b

ax x∫هي :

S1 + S2 )أ S1 – S2 )ب S2 – S1 )جS1 – S2 | )د

| ) )هـ )1 2

12 S S+


يفهم أن صيغة التكامل باألجزاء 8-9

uv d uv vu d′ ′= −∫ ∫x x

. تعكس المشتقة لحاصل ضرب دالتين

e أوجد dxx x∫.

gيفهم أن التكامل 8-10 (f ( )) f ( )d g(f ( ))x x x x c′ ′ = يتعرف يعكس المشتقة لدالة مرآبة؛∫+ . التي يمكن تطبيق هذه الصيغة عليها آنيا‘ بسيطة’على دوال

2إشرح لماذا22 d ln ( 1)

1x x x c

x= + +

+∫

تحت المنحنياتالمناطق الواقعةعلى التلميذ أن يعمل بمفهوم

‘ حد معين- حتى -المساحة ’لحساب المساحة الواقعة تحت

، بإستخدام y = f(x)المنحنى التكامل المحدود آما ورد في

في النص المقابل، 6-8المعيار أو بقاعدة المنحرف آما في ح

لتعزيز العمل في 7-8ج ت فرع اإلحتمال ومبادئ

.اإلحصاء

التكامل باألجزاء العمل التوسعي على توزيعات

مال يمكن أن يستفيد من اإلحت 10-8 و 9-8المعايير

.11-8و


. يستخدم الكسور الجزئية لحساب التكامالت 8-11

1أوجد d( 1)( 2) xx x+ +∫.


عند نهاية الصف الثاني عشر، يقوم التلميذ بجمع وتنظيم البيانات وإستخراج يخطط إستمارات األسئلة والدراسات المسحية . ستدالالت واإلستنتاجات منهااإل

ويصمم التجارب اإلختبارية من أجل جمع بيانات أساسية من العينات، ويميز بين يعرف معنى عينة عشوائية بسيطة وتأثير . العينة والمجتمع اإلحصائي المستمدة منه

مجتمع ) بارامتر(يميز بين معلم . غير العشوائييدرك أهمية المت. اإلنحياز في العيناتيقوم بصياغة مسائل مبنية على بيانات أولية . إحصائي من إحصاء مستنبط من عينة

، أو على بيانات ثانوية مأخوذة من مصادر منشورة، بما فيها اإلحصاءات )أساسية(ينشئ . تشتتيحسب قياسات النزعة المرآزية وال. الحكومية الرسمية واإلنترنت

والمفردات ‘ العلبة والشعرتين’مدرجات التكرار وتوزيعات التكرار، ويستخدم رسوم يميز بين المقياس اإلسمي . ذات العالقة لعرض الوقائع واإلستنتاجات التي توصل إليها

. ومقياس الفترات البينية أو مقياس النسب) التصنيفي(والمقياس الترتيبي ) النوعي(تباط بين متغيرين عشوائيين ويحسب معامل اإلرتباط في ترتيب رتب يبحث عن اإلر

، ويفسر معنى )متوسط حواصل ضرب قيم المتغير(البيانات ومعامل اإلرتباط الخطي يرسم خطوط التطابق األفضل في الحاالت التي يتبين فيها وجود . آل هذه المقاييسويستخدم ويفهم المفردات يحسب إحتماالت حوادث منفردة ومرآبة، . إرتباط خطي

يستخدم مخططات الشجرة لتمثيل وحساب . المتعلقة بإحتماالت وقوع حوادث مختلفةإحتماالت حوادث مرآبة، عندما تكون هذه الحوادث مستقلة وعندما تكون الحادثة

يقارن اإلحتماالت المستمدة من العينات مع النماذج النظرية . مشروطة باألخرىالمبني ‘ آاي’يستخدم إختبار . ا النماذج المنفردة والنماذج المتصلةلإلحتمال، بما فيه

على توزيع مجموعات تربيعات المتغيرات العشوائية لمقارنة المالحظة الفعلية مع يستخدم المستويات المعنوية لقبول أو رفض فرضية العدم وإلستنباط . التوقع النظري

ائية إلختيار عينات عشوائية، يستخدم أعداد عشو. اإلستنتاجات من البيانات. ولتخصيص وحدات فردية للعينات، ولتشبيه مجموعة من الوضعيات اإلحصائية

يعرض الوقائع واإلستنتاجات بإستخدام مجموعة من الرسومات البيانية والمخططات يستخدم الوظائف اإلحصائية ذات العالقة على الحاسبة أو في البرامج . والجداول

.الكومبيوترية

: على التلميذ أن

يجمع وينظم ويحلل ويفسر البيانات ويتوصل الى إستنتاجات بناء على 9 ذلك

القياسات وأخذ العينات

) المنفصلة(والبيانات المنفردة ) المتعلقة بفئة معينة(يعرف الفرق بين البيانات الفئوية 9-1 . والبيانات المتصلة

. ما أو شيء ما في المفهوم اإلحصائييدرك ما هو معنى قياس خاصية شخص 9-2

) قياس آمية الحرارة المولدة في تفاعل آيميائي: مثال(إشرح الفرق بين قياس علمي ). عدد األشخاص بدون مأوى في مدينة آبيرة مثل لندن: مثال(وقياس إحصائي

عن قياس اإلرتفاع؟ ‘ شخصية متسلطة’لماذا يختلف قياس

اإلحتمال ومبادئ اإلحصاء علم على التلميذ أن يدرك أن

اإلحتمال يحتل مرآزا جوهريا وعليه أن . في مجال اإلحصاء

يعي إستخدامات علم اإلحصاء في المجتمع ويعرف متى

تستخدم اإلحصاءات بطريقة حكيمة ومتى يساء إستعمالها أو

.متى يحتمل سوء فهمها


ومقياس الفترات ) التصنيفي( والمقياس الترتيبي ) النوعي ( اإلسمييميز بين المقياس 9-3 . ومقياس النسب الكمية

إشرح الفرق بين المقياس اإلسمي والمقياس الترتيبي ومقياس الفترات ومقياس النسب، . وأعط مثاال لكل نوع من هذه المقاييس

.أعط مثاال لمثل هذا المقياسما هو نوع مقياس القياس الذي يستخدم للبيانات الفئوية؟

ينبغي ربط سعر ’: صمم مسح إلستطالع اآلراء بطريقة سيئة حيث يطرح فيه اإلقتراحيسأل هذا اإلستطالع األفراد المشترآين ‘ .النفط بالوضع السياسي في الشرق األوسط

: فيه ما إذا آانوا يوافقون بشدة • يوافقون • ليس لديهم رأي معين • وافقينغير م • غير موافقين بشدة •

.على هذا اإلقتراح .عين نوع المقياس المستخدم لهذه اإلستجابة المتنوعة

تشمل قاعدة البيانات هذه سن الموظفين، . تحتفظ شرآة بترول بسجالت عن موظفيهاقطري، (التاريخ الذي تم توظيفهم فيه، هل هم ذآور أم إناث، تبويبهم حسب بلد المنشأ

أذآر تسمية المقياس الذي يتم . نوع وظيفتهم، وراتبهم) سوري، هندي، الخ فلسطيني، . عليه قياس آل من هذه المتغيرات

يميز بين المجتمع اإلحصائي والعينة والتعداد اإلحصائي، ويعرف أهمية إختيار عينة 9-4 ؛ يجد المصادر الواضحة لإلنحياز )أي تمثل المجتمع اإلحصائي تمثيال صحيحا(تمثيلية

. في عينة ما

لفوارق بين عينة مأخوذة من مجتمع إحصائي والتعداد إشرح مع أمثلة أهمية ا . اإلحصائي

.إوصف تأثير اإلنحياز في عينة ما

إشرح لماذا يكون من صالح رجال السياسة ومصالح هؤالء الذين يتبنوا أعمال خيرية وآذلك أولئك الذين يجرون مقابالت إستطالع والعاملين في حقل اإلعالن وغيرهم

.كوك فيها وأساليب جمع بيانات متحيزة في العديد من األحيانإستخدام إحصاءات مش

حيث يستخدم الخيار (إختيار العينات السهلة : هناك نوعان شائعان إلختيار العينات) إختيار أي شخص يتسوق إلستطالع رأيه: األسهل إلنتقاء وحدات العينات، مثال

لإلجابة على أسئلة حيث يتقدم األشخاص طوعا(وعينات ذات اإلجابة الطوعية إشرح لماذا يحتمل أن يكون آل ). إستطالع، مثال إستجابة إلستطالع رأي تلفزيوني

. من هذين الخيارين متحيزا

.يعرف الفرق بين اإلنحياز والدقة 9-5

:أعط أمثلة لعينات ذات إنحياز عالي ودقة عالية؛ إنحياز قليل ودقة قليلة؛ إنحياز عال ودقة قليلة؛

.نحياز قليل ودقة عاليةإ

مفردات أخذ العينات تشمل معرفة معاني المفردات

المتعلقة بالعينات وطريقة الحصول عليها، بما فيها

المجتمع : مفردات مثلاإلحصائي، إحصاء عدد

حدة، إطار السكان، العينة، الوالعينات، المتغير، البارامتر

.واإلحصاء) المعلم(


عنى وخصائص األعداد العشوائية؛ يدرك ويستخدم مفهوم المتغير العشوائي؛ يفهم م 9-6 وظائف األعداد العشوائية على /يعرف آيف يولد أعدادا عشوائية بإستخدام وظيفة

الحاسبة؛ يعرف آيف يخصص أعدادا عشوائية في وضعيات مختلفة؛ يستخدم جداول . أعداد عشوائية

. إشرح لشخص ليس لديه معرفة بمبادئ اإلحصاء ما هو المتغير العشوائي

البيانات وترتيبها معج

.يدرك آيف يجمع عينة عشوائية بسيطة بإستخدام أعداد عشوائية 9-7

التالمذة البنات يقررن إختيار . صف تالمذة يرغب في رفع شكوى الى رئيس المدرسةعينة عشوائية بسيطة مكونة من خمس بنات من الصف لكي يذهبن الى رئيس المدرسة

يف تستخدم جدول أعداد عشوائية إلختيار البنات الخمس بين آ. ويرفعن أمامه الشكوى : تلميذة التالية أسمائهن28من الصف المكون من

عايدة ندى نعيما هيفاء مرام فرحة زهرة منى إناس روزا صفاء ماجدة شريفة فريدة بدرية حليمة حياة دينا هويدا حيا مريم ليخاز أمينة أنيسة نور فتحية حبيبة سلمى

العينات العشوائية البسيطة والعينات : يميز بين األنواع المختلفة للعينات وأساليب جمعها 9-8 . والعينات العنقودية) المتعلقة بفئة واحدة(الطبقية

.أآتب تعليق قصير حول األنواع المختلفة ألساليب جمع العينات

يخطط الدراسات المسحية ويصمم إستمارات أسئلة لجمع بيانات أساسية من العينات، 9-9 مع إحصائي آكل، أو لتقدير مثل من أجل إختبار إفتراضات حول خصائص معينة لمجت

. هذه الخصائص

.يصيغ المسائل بناء على بيانات ثانوية مأخوذة من مصادر منشورة، بما فيها اإلنترنت 9-10

.يعرض بيانات فئوية بواسطة التمثيل بالدائرة أو التمثيل باألعمدة 9-11 ؟ما هو الفرق الجوهري بين التمثيل بالدائرة والتمثيل باألعمدة

النسبة 1995يبين الجدول التالي المأخوذ من مخلص إحصاءات الواليات المتحدة لعام .المئوية لألناث الذين حصلن على شهادة الدآتوراه في عدد من المواضيع

النسبة المئوية لشهادات الدآتوراه التي حصلت عليها السيدات

الموضوع

التعليم 59.5 علم النفس 59.7 حياةالعلوم لل 38.3 علوم الكومبيوتر 13.3 علم الهندسة 9.6

إعرض هذه . إشرح لماذا ال يمكن إستخدام التمثيل بالدائرة لتمثيل هذه المعلومات .المعلومات في مخطط أعمدة

جداول تكرار ومدرجات تكرار لبيانات متصلة ومبوبة، بإستخدام فترات ينشئ ويفسر 9-12 متساوية وغير متساوية للفئات؛ يعرف أن تكرار الحدث في آل فترة من فترات مدرج

تكراري ممثل بمساحة المستطيل المبني على فترة الفئة المعنية؛ يعرض بيانات منفصلة ل آيف يمكن أن تؤثر البيانات في مخطط مستقيمات عمودية؛ يبدي مالحظاته حو

.المتباعدة على هذه التوزيعات

األعداد العشوائيةيمكن إستخدام األعداد العشوائية

بعدة طرق مختلفة، بما فيها إختيار عينة عشوائية بسيطة،

وتخصيص مواضيع لمعالجات مختلفة في تجربة منفذة بطريقة .عشوائية وفي تنفيذ التشبيهات

جمع البيانات وتحليلهايشمل إستخدام بيانات أساسية

موعة من مواضيع أخرى، مجمثل العلوم والعلوم اإلجتماعية،

وأيضا من مصادر بيانات ثانوية، مثال من اإلحصاءات

الحكومية الرسمية ومن . اإلنترنت

التكرار النسبيالتكرار : يشمل المصطلحات

وتوزيع التكرار والتكرار .النسبي وتوزيع التكرار النسبي


الوسط الحسابي، الوسيط والمنوال؛ يميز بين هذه : يحسب قياسات النزعة المرآزية، أي 9-13 . القياسات

لماذا يعتبر الوسيط في العديد من األحيان وسيلة إحصائية أآثر نفعا من الوسط الحسابي؟

ون مقياس، محور التكرار مرسوم بد. يبين الرسم التالي مخطط تكرار لمجموعة بيانات :ولكن المخطط يشمل ملخص البيانات اإلحصائية الخاصة بتوزيع التكرار

Σ f = 50, Σ fx = 100, Σ fx2 = 344

. أذآر المنوال وقيمة نصف المدى للبيانات) أ

.حدد سمتين لهذا التوزيع) ب

ن أحسب الوسط الحسابي واإلنحراف المعياري لهذه البيانات وإشرح لماذا يمك) ج . قيمة متباعدة، علما أنها ال تحدث إال مرة واحدة8إعتبار القيمة

:إشرح آيف يمكنك أن تنظر الى النقطة المتباعدة فيما لو آان الرسم يمثل) د

.الفرق في النقاط المحرزة عند رمي زوج نرد عادي) 1

.عدد األوالد في آل عائلة في مسح إستطالعي يشمل حي ما) 2

أوجد قيم جديدة للوسط الحسابي ولإلنحراف المعياري في حال تم إزالة النقطة ) هـ . المتباعدة

MEIإختبار

قام فريق من سبعة العبين تنس محترفين بمقارنة المبالغ المالية التي فازوا بها في سنة قرب وقد تبين أن المبالغ التي فازوا بها، بالدوالر األمريكي، هي آما يلي الى أ. واحدة

:ألف دوالر

138 000 2 597 000 155 000 146 000 369 000 199 000 283 000

إشرح أي هو القياس اإلحصائي األفضل . أوجد الوسط الحسابي والوسيط لهذه المبالغ

لقياس متوسطها؟ آم آان سيكون الوسط الحسابي والوسيط الجديدين في حال إنضم دوالر أمريكي؟000 538هذا الفريق والذي بلغت المبالغ التي فاز بها العب ثامن الى

بيضة فقامت بقياس طول آل بيضة ثم عملت على تبويب 80عالمة أخذت عينة من :البيانات على النحو التالي ورسمت من بعدها مخططا لكثافة التكرار مقابل الطول

6.3 ≤ l < 6.5 5.8 ≤ l < 6.3 5.4 ≤ l < 5.8 5.0 ≤ l < 5.4 4.4 ≤ l < 5.0 الطول (l) cm

التكرار 4 20 36 16 4

)المتوسط(الوسط الحسابي المنوالوالفئة يشمل مصطلحات

.المنوالية والتكرار المنوالي بمثابة xيعرف متوسط العينة

= =∑

∑∑

n

i in

i n

i

f xx xn

f

1

1

1

1

يعرف عادة متوسط المجتمع .µالرمز اإلحصائي ب


.أحد األساليب لقياس المنوال في بيانات مبوبة هو بإستعمال مثلثات متشابهة

.DE = 58 و AB = 40 إشرح لماذا )أ

. إستخدم مثلثات مشابهة لحساب تقدير للمنوال

يحسب هذا التقدير ). منزلة عشريةإلى أقرب (5.6إن أفضل تقدير للوسيط هو ) ب :على النحو التالي

16.55.4 (0.4)35+ . هي القيمة األولية للفئة التي تحتوي على الوسيط 5.4حيث

.أشرح ماذا تمثل آل من األعداد الثالث األخرى في المعادلة ، منقحQCAإختبار

واإلنحراف المعياري؛ يعرف ) التغاير(ما فيها التباين ، ب)التشتت(يحسب قياسات اإلنتشار 9-14 .الفرق بين تباين المجتمع اإلحصائي آكل تباين العينة، واإلنحراف المعياري المقابل لكل منهما

يستعمل مفاتيح الوظائف في الحاسبة الخاصة بالوسط الحسابي واإلنحراف المعياري 9-15 . والتباين

من الوسط الحسابي والتباين واإلنحراف المعياري بالترميز يدرك آيف يتأثر آل 9-16yالخطي a bxi i= +.

6 ,8 ,7 ,8 ,3 ,4 ,7 ,5أوجد الوسط الحسابي واإلنحراف المعياري لمجموعة األعداد إشرح . أعد حساب الوسط الحسابي واإلنحراف المعياري. الى آل رقم3أضف .

.متان بالقيمتين األصليتين للوسط الحسابي ولإلنحراف المعياريآيف تتعلق هاتان القي

في مباراة جولف يتم تسجيل النقاط التي يحرزها الالعبون في آل دورة بالنسبة لعدد نقطة فعلية، تسجل هذه 69على سبيل المثال إذا أحرز العب. (72نقاط محدد يبلغ

: ين العشرة الذين أآملوا الدورة األولى المسجلة لالعبxفيما يلي النقاط ). 3–بمثابة –4 –3 –7 6 2 0 0 3 5 7

. xأحسب الوسط الحسابي واإلنحراف المعياري لقيـم ) أ . إستنتج الوسط الحسابي واإلنحراف المعياري للنقاط المحرزة فعال) ب

التي أحرزها نفس xفي الدورة الثانية من المباراة آان الوسط الحسابي للنقاط . 2.9 ، أما اإلنحراف المعياري فكان 0.3–لالعبون العشرة ا .أعط مالحظاتك حول تغير أداء الالعبين بين الدورة األولى والدورة الثانية) جأحسب الوسط الحسابي واإلنحراف المعياري للنقاط العشرين المحرزة فعال في ) د

. الدورتين MEIإختبار

، بإستخدام ‘العلبة والشعرتين’كرار التراآمية ومخططات يرسم ويفسر توزيعات الت 9-17 المدى، المئين، المدى بين : بيانات متصلة ومبوبة حسب الضرورة؛ يستخدم المفردات

. الربعي، نصف المدى بين الربعي

يسهل إجراء مقارنة ألداء نوعين ‘ العلبة والشعرتين’إشرح لماذا إستخدام مخططات .اراتمختلفين من محرآات السي

تباين العينات .s2يشار الى هذا التباين بالرمز

فهو s2أما تعريف = −

− ∑n

is x xn2 2

1

1 ( )1

، sعلما بأن تباين العينات هو . s2أي الجذر التربيعي لـ

أما تباين المجتمع اإلحصائي بينما σ2 فيشار إليه بالرمز

اإلنحراف المعياري يعبر عنه .σ ، أيσ2بالجذر التربيعي لـ


.‘الساق والورقة’يرسم مخططات 9-18

. قارن السمات اإليجابية والسلبية لمدرجات التكرار ولمخططات الساق والورقة

مخطط توزيع التكرار ويدرك أهمية التوزيع ) عدم إستواء(يفسر نوعيا تخالف 9-19 . المتناظر

يفهم معنى المتغيرات العشوائية ويحسب اإلحتمال 10

، وأن القيمتين الصغرى والعظمى تمثالن 1 و 0يعلم أن جميع قيـم اإلحتمال تقع بين 10-1 . إستحالة ويقين وقوع حدث ما على التوالي؛ يحسب اإلحتماالت

عدة تجارب إختبارية ‘ أجرى عالم فرنسي من القرن الثامن عشر يدعى آونت بوفون عن طريق إسقاط πدير قيمة وآان الغرض من إحدى هذه التجارب تق. على اإلحتمال

وقد بين العالم بوفون من . إبرة بين خطين متوازين يبلغ البعد بينهما طول إبرة تماما. π/2هذه التجارب أن إحتمال أن تقع اإلبرة على أو عبر أحد الخطين المستقيمين هو

قدر إحتمال سقوط األبر على خط مستقيم عن طريق رمي أبر متساوية الطول في . πإستعمل هذا التقدير لحساب قيمة . هواء ومن ثم تسجيل مواضع سقوطهاال

.هل يمكنك برهنة النتيجة التي توصل إليها العالم بوفون

تم إختيار . أناثا20 منهم ذآورا و 16 شخصا متبرعا للدم، 36في مجموعة مكونة من .أربعة أشخاص من هؤالء إلجراء مقابلة معهم

ما هو عدد الطرق التي يمكن فيها إختيار هؤالء األربعة؟) أ

ما هو إحتمال أن يكون جميع هؤالء أناثا أم ذآورا؟) ب

MEIإختبار

يعلم أن جميع النواتج المحتملة إلختبار ما تشكل فضاء العينة لذلك اإلختبار؛ يستعمل 10-2 . فضاء العينة لحساب إحتماالت آل ناتج

أعط . نرد من ستة أوجه غير متمايزتين وتسجل مجموع النقاط المحرزةيتم رمي زوج على 8أحسب إحتمال أن تحصل على مجموع . فضاء العينة) رسم بياني(تمثيال بيانيا

. األقل عند رمي زوج نرد

يدرك أن لكل متغير عشوائي مجموعة من القيـم ال يمكن التنبؤ بها بثقة أآيدة؛ يستقصي 10-3 للحصول ) التكرار النسبي(أمثلة شائعة للمتغيرات العشوائية؛ يقيس اإلحتمال العملي

. على قيمة معينة لمتغير عشوائي

ير عشوائي ليس عشوائيا عديم إن سلوك متغ’: أعط مالحظاتك بشأن هذه العبارة ‘.اإلنتظام، ولكنه يمثل نوعا من الترتيب الذي ال يتضح إال على المدى الطويل

إستقص عدد الرميات التي يظهر فيها ألول مرة . إرم نرد عادي من ستة أوجه تكرارا . الرقم خمسة على الوجه العلوي للنرد‘ في المتوسط’

: إليك عبارتينهو ‘ الوجه’يتم رمي قطعة نقود غير متحيزة على عدة مرات؛ إن إحتمال أن يظهر

. قريب من النصفيتم رمي قطعة نقود عدلة على مرات عديدة جدا؛ سيكون عدد األوجه قريب من نصف

.عدد الرمياتهل العبارتان صحيحتان؟ هل واحدة فقط من العبارتين صحيحة؟ هل العبارتان غير

. حيحتان؟ إشرح اإلستنتاج في جوابكص . إستخدم وظيفة توليد األعداد العشوائية بالكومبيوتر لتشبيه رمي قطعة النقود

ما هو إحتمال الحصول على جهة الوجه في المدى الطويل؟أي قانون إحتماالت المدى الطويل أو قانون األعداد (ماذا يعني قانون المتوسطات

؟)الكبيرة

المتغيرات العشوائية المنفصلةإن إحتمال أن يكون لمتغير

x القيمة Xعشوائي منفصل .P(X = x) بـ يشار إليه


يعرف أن توزيع اإلحتمال لمتغير عشوائي يعين اإلحتماالت لجميع القيـم الممكنة 10-4 ؛ يستخدم توزيع إحتمال بسيط لحساب اإلحتمال 1ذه القيم يبلغ للمتغير، وأن مجموع ه

النظري، لمجموعة معينة من األحداث، للحصول على ناتج معين لمتغير عشوائي .متعلق بهذه األحداث

في تجربة يتم فيها رمي قطعة نقود يعتقد أنها غير متحيزة تكرارا مع تسجيل عدد جاءت نتيجة الرميات . عند سقوطها) T أو H(المرات الذي يظهر فيها وجه القطعة

هل هذا برهان أن قطعة النقود متحيزة؟ . TTTTTTالست األولى في هذه التجربة هل من المحتمل أن تكون . وإذا لم يكن آذلك، إشرح آيف يمكن أن يحدث مثل هذا

؟ Hالرمية التالية

قدر إحتمال . تحيزةإستعمل جدول أعداد عشوائية لتشبيه رمي قطعة نقود غير م . متتاليةT أو أربعة Hالحصول على سلسلة من أربعة

ما هو إحتمال أن . لنفترض أن إحتمال أن تلد إمرأة ذآرا هو نفس اإلحتمال بأن تلد أنثىيكون إلمرأة عندها ستة أوالد أربع بنات وصبيين؟ وما هو إحتمال أن يكون إلمرأة

ما . إمرأة لديها ثالث بنات تتوقع والدة طفل رابععندها أربعة أوالد جميعهم صبيان؟ هو إحتمال أن يكون الطفل الرابع صبيا؟

وهما يرغبان التوقف عن اإلنجاب عندما تلد لهما . إمرأة وزوجها يريدان إنجاب أطفالإستعمل جدول أعداد عشوائية . بنت، ولكنهما ال يريدان إنجاب أآثر من أربعة أطفال

إفترض أن إحتمال . طفال معتمدا على إستراتيجية هذه المرأة وزوجهالتشبيه والدة األأنشئ تشبيها لهذا . قدر إحتمال أن تنجب هذه المرأة بنتا. والدة الصبيان والبنات متساويا

إستخدم البيانات المجمعة هكذا لتقدير متوسط عدد األطفال للعائالت بإستخدام . النموذج . فالهذا النموذج إلنجاب األط

إمتحان يتكون من ستة أسئلة متعددة الخيارات، آل سؤال منها يحتوي على أربعة هذه األسئلة غير إعتيادية ولذلك ال يتوقع أن يعرف أي من المشترآين في . أجوبة ممكنة

ما هو . ولذلك سيتوجب على الجميع تخمين األجوبة. اإلمتحان أي جواب من األجوبةنهم أربعة أجوبة صحيحة؟ وما هو إحتمال أن يخمن أحدهم إحتمال أن يخمن أحدا م

جوابين صحيحين على األقل؟

؛ يستقصي بعض )غير مؤات(يفهم المخاطرة بمثابة إحتمال حدوث حادث معاآس 10-5 حاالت المخاطرة في وضعيات من الحياة اليومية، يما فيها في مجال التأمين وفي

. األمور الطبية والوراثية

إن إحتمال . هو إعتالل خطير قد تورثه األمهات الى أطفالهن‘ هانتيجدون ’إن مرض، ولكن إبنتها هذه توفيت على أثر 0.5أن تورث وفاء هذا المرض الى إبنتها موزة هو

ما هو إحتمال أن . حادث سيارة ولم يعرف ما إذا آانت قد أصيبت بهذا المرض أم ال ترث إبنة موزة هذا المرض؟

أن يورث شخص يعاني من مرض اإلحتقان الرئوي هذا المرض الى طفله إن إحتمالوبما أن هذا المرض هو إعتالل رجعي فإن أي أوالد يرثونه يجب أن يرثوه . 0.5هو

فإذا آان الوالدان حاملين للمرض المرض، ما هو إحتمال أن يصاب . من آال الوالدين الطفل به أيضا؟

النماذج اإلحتميجب أن تشمل النماذج

الرياضية للمتغيرات العشوائية التوزيع المنتظم : المنفصلة

للمتغيرات المنفصلة والتوزيع ثنائي الحد مع تطبيقات بسيطة

. لهذين التوزيعين


ت العشوائية المنفصلةخصائص إضافية حول المتغيرا

محدد القيمة بمثابة يستخدم ويفهم معنى القيمة المتوقعة أو التوقع لمتغير عشوائي 10-6 مجموع حواصل ضرب آل قيمة ممكنة بإحتمال الحصول عليها، وأن هذا يمثل متوسط

. القيمة

: تذآرة مباعة000 100يقدم يناصيب وطني رسمي المئة جائزة التالية لكل

دوالر أمريكي، و 500 جوائز بقيمة 9 دوالر أمريكي، 000 5 جائزة واحدة بقيمة . دوالر أمريكي50جائزة بقيمة 90

ما هو إحتمال أن ال يفوز هذا الرجل بأي . دوالر أمريكي 1رجل يشتري تذآرة بمبلغ جائزة؟ ما هو توقع فوزه بأي جائزة من هذه الجوائز؟ هل ثمة فائدة لهذا الرجل أن

يشتري مثل هذه التذآرة؟

: التالي في اي سيارة تدخل وسط المدينة ممثل بتوزيع اإلحتمالXعدد الرآاب P( ) kX r r= .r = 1, 2, 3, 4 لقيم =

. kأآتب جدوال لتوزيع هذا اإلحتمال وحدد قيمة ) أ .(X) و تباينE(X)أحسب قيمة ) ب

MEIإختبار

. يستخدم صيغة بديلة لتباين متغير عشوائي منفصل 10-7

2برهن أن 2Var( ) E( )X X µ= )2Var معادل لـ− ) E[( ) ]X X µ= هو Var، علما بأن − .التباين

إحتماالت الحوادث المرآبة

يفهم متى تكون حادثتان متنافيتين تبادليا، ومتى تكون مجموعة حوادث شاملة؛ ويعلم أن 10-8 ، 1مجموع اإلحتماالت لجميع نواتج مجموعة من الحوادث المتنافية تبادليا والشاملة هو

. ة في حسابات اإلحتمالويستخدم هذه المعرف

:يعلم أنه 10-9

والذي B أو A متنافيتان تبادليا، فإن إحتمال وقوع B و Aعندما تكون حادثتان • هو إحتمال وقوع P(A)، حيث P(A) + P(B) هو P(A ∪ B)يشار إليه بـ

وحدة؛B هو إحتمال وقوع الحادثة P(B) وحدها و Aالحادثة

سويا B و A عموما فإن إحتمال حدوث Aتقلة عن الحادثة مسB إذا آانت الحادثة • .P(A ∩ B) = P(A) × P(B)هو

B أو A غير متنافيتين تبادليا، فإن إحتمال وقوع B و Aعندما تكون حادثتان •، P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) هو P(A∪B)والذي يشار إليه بـ

هو إحتمال وقوع الحادثة P(B) و وحدهاA هو إحتمال وقوع الحادثة P(A)حيث B وحدها، و P(A∩B) هو إحتمال حدوث A و Bمعا .

.0.5 هو Aإن إحتمال حدوث .0.35 هو Bوإحتمال حدوث

.0.3أما إحتمال أن ال يحدث أي منهما فهو .ما آالهB و Aما هو إحتمال أن يحدث

، منقحMEIإختبار

التوقع والتباينيتمثل التوقع بالمعادلة

= ∑n

i iX x x1

E( ) P( )

بينما التباين يعبر عنه بالمعادلةµ= −X X 2 2Var( ) E( )

أو بالمعادلةµ= −X X 2Var( ) E[( ) ]


يستخدم مخططات الشجرة لتمثيل وحساب إحتماالت وقوع حوادث مرآبة، عندما تكون 10-10الحوادث مستقلة بعضها عن بعض وعندما تكون الحادثة الواحدة مشروطة بحادثة

. أخرى

أحسب . على وجهه العلوي5يتم رمي نرد غير متحيز تكرارا الى أن يظهر الرقم . تمال الفوز بعد رمية واحدة، وبعد رميتين ، وبعد ثالث رميات وهكذا على التواليإح

تخيل متابعة هذه اللعبة برمي النرد على عدد مرات متزايدة أآثر فأآثر للحصول على أحسب اآلن توقع عدد الرميات الضرورية للحصول على الرقم . فيها ألول مرة5الرقم

بة بالطريقة الصحيحة فإن توزيع اإلحتمال الذي ستحصل وفي حال نفذت هذه التجر. 5 هل يمكنك تفسير ذلك؟. عليه يدعى توزيعا هندسيا

يمكن إجراء إختبار للمساعدة على . بالمئة من عدد سكان بلد مصاب بمرض معين45إن إحتمال أن يؤآد هذا اإلختبار . تحديد ما إذا آان أي منهم يعاني من هذا المرض

أن يبين اإلختبار مرض أحد 0.1ولكن هناك إحتمال . 0.7بين هو مرض المصاأوجد إحتمال أن يبين إختبار أحد األفراد . األفراد على الرغم من آونه غير مريضا

شخص آخر . المختار عشوائيا أنه يعاني من المرض على الرغم من آونه غير مريضا أحسب إحتمال أن تأتي نتيجة األختبار لهذا .يتم إختياره عشوائيا من بين هؤالء السكان

). أي أنه يعاني من هذا المرض(الشخص موجبة

، يكون عندها إحتمال A معتمدة على الحادثة Bيعرف عموما أنه إذا آانت الحادثة 10-11 هو P(B|A) حيث P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) آليهما هو B و Aحدوث

.Aلحدث بشرط وقوع اBإحتمال وقوع الحدث

حجر دومينو، آل حجر يحتوي على عدد من النقاط يتراوح بين 28في مجموعة من آل حجر من حجارة الدومينو هذه يختلف عن آل حجر . بكل طرف من طرفيه6 و 0

آخر بينما الطرفين ال يمكن تمييزهما بحيث أن ، على سبيل المثال، الرسمين التاليين . يمثالن نفس الحجر

6

5

4

3

2

1

00 1 2 3 4 5 6

حجر الدومينو الذي يحتوي على نفس إن عدد النقاط في آل من طرفيه يسمى حجر

وينطبق نفس الشيء إذا آان ‘ مزدوج’يتم . طرفي الحجر خاليين من أي نقاط

سحب حجر دومينو عشوائيا من مجموعة يبين المخطط البياني المقابل . حجارة

لفضاء العينة المجموعة الكاملة للنواتج، .ل منها له نفس اإلحتمالعلما بأن آ

حجردومينو ’ هي Aلنفترض أن الحادثة حجر ’ هي Bوأن الحادثة ‘ مزدوج

Cوالحادثة ‘ 6دومينو مجموع نقاطه حجر دومينو واحد من طرفيه على ’هو

. ‘ نقاط5األقل يحتوي على

الرسم المقابل يبين فضاء العينة حيث . معلمة بخطين متوازينAالحادثة

.Aأآتب إحتمال حدوث الحادثة )أ

. أو آليهماC أو Bأوجد إحتمال حدوث إما ) ب

. مستقلتينB و Aحدد ما إذا آانت الحادثتان ) ج


غير مستقلتين؟C و Aإشرح لماذا الحادثتان . P(A|C)أوجد اإلحتمال المشروط )د

شوائيا من الحجارة بعد سحب حجر الدومينو األول يتم إختيار حجر دومينو ثان ع) هـأوجد إحتمال أن يكون طرف واحد على األقل من حجر الدومينو األول فيه نفس . الباقية

إعتبر الحالتين : مالحظة. (عدد النقاط آطرف واحد على األقل من حجر الدومينو الثاني )بمفردهما حيث يكون الحجر األول مزدوجا وحيث ال يكون مزدوجا

MEIإختبار

ة المتحدة يتم فحص النسوة الحوامل لمعرفة ما إذا آان هناك إحتمال عال أن في المملكيشير هذا الفحص ما إذا آان إحتمال اإلصابة . يكون الجنين مصاب بمرض المنغولية

وآما هو الحال . بهذا المرض عاليا الى درجة تكفي إلخضاع األم لفحوص إضافيةفإن بعض هذه الفحوص قد تفشل في آشف بالنسبة لهذا النوع من الفحوص الجماعية

وهذا يؤدي الى عدم تبويب هؤالء النسوة في فئة . األجنة المصابة بهذا المرضاإلحتمال العالي، بينما تصنف هذه الفحوص عددا من األجنة الطبيعية ضمن فئة

ن إذا آا‘إيجابية خطأ’وهكذا تكون النتيجة . اإلحتمال العالي لإلصابة بهذا اإلعتاللسالبة ’الجنين ال يعاني من اإلعتالل ولكن الفحص يعطي نتيجة موجبة، وتكون النتيجة

أما النسبة . إذا آان الطفل يعاني من اإلعتالل بينما تأتي نتيجة الفحص سالبة‘ خطاالفعلية لحدوث مثل هذا اإلعتالل فيمكن إيجادها من إختبارات أخرى وبعد والدة

. األطفال

. طفال 1400أدناه نتيجة الفحوص التي جرت على يبين الجدول عدد النتائج السالبة

عدد األطفال عدد النتائج اإليجابية

مصاب بمرض المنغولية 20 14

غير مصاب بمرض المنغولية 1380 1310

.أآمل هذا الجدول ما هي النسبة المئوية لألطفال الذين حصلوا على نتائج إيجابية بالخطأ؟

تمال أن طفال مختارا بطريقة عشوائية سيكون معتال بهذا المرض وجاءت ما هو إح نتيجة فحصه إيجابية؟

في بلد تخيلي يدعى خيالية يوجد ثالثة مساجين ال يتسطيعون اإلتصال الواحد مع وقد قيل لهم أنه سيتم إعدام إثنين منهم في اليوم التالي، ولكن إختيار هذين . اآلخر

فيقوم آل سجين . ريقة عشوائية ولن تبلغ نتيجته إال في الصباح التاليالسجينين سيتم بطواحد من المساجين يتضرع إلى السجان للكشف عن إسم واحد . بحساب إحتمال إعدامه

والواقع . من السجينين اآلخرين اللذين سيتم إعدامهما ، فيوافق السجان في نهاية األمرأما السجين فيعتقد أن فرص نجاته قد . للسجينأن السجان يعتقد أنه لم يبح بأي سر

أي منهما هو صائب في رأيه؟. ½ إلى ⅓إزدادت من

يفهم ويستخدم التوزيع ثنائي الحد إلستخراج إستدالالت وإستنتاجات من 11 البيانات

وإحتمال pيتعرف متى يستخدم التوزيع ثنائي الحد ويعرف آيف يحدد إحتمال النجاح 11-1 ممثل بالتوزيع ثنائي Xلمتغير عشوائي X ~ B(n, p)؛ يعرف التمثيل (p – 1)الفشل .الحد

. أذآر الشروط التي تمكن من إفتراض أن متغيراعشوائيا له توزيع ثنائي الحد

أرسم مخطط مستقيمات عمودية . p = 0.1 و n = 5في توزيع ثنائي الحد تبلغ ) عدم إستواء(إعط مالحظاتك حول تخالف . إلحتمال النجاح مقابل عدد مرات النجاح

.هذا التوزيع

يحسب إحتماالت ثنائي . 1حتماالت في توزيع ثنائي الحد يبلغ يعرف أن مجموع اإل 11-2 . الحد والتكرارات المتوقعة لعدد مختلف من النجاحات

التوزيع ثنائي الحدذات (التوزيع ثنائي الحد

هو التوزيع الذي يعبر ) الحدين مرات rث فيه عن إحتمال حدو

من التجارب nنجاح في عدد n−−بصيغة r n r

r p pC (1 )

r = 0, 1, 2, … nحيث


أي يستعمل يده اليسرى بدال من (يعتقد أن شخص واحد من آل عشرين شخصا أعسر ما هو حجم العينة المطلوبة بحيث يكون العدد المتوقع لألشخاص العسراويين). اليمنى

؟3في العينة

. فريقان من العبي آرة قدم لعبا ست مباريات ضد بعضهما البعض على مدى السنينالتي تقرر من يبدأ (أحسب إحتمال بأن يربح فريق واحد منهما قذف قطعة النقود

. مرات على األقل3أحسب إحتمال أن فريقا واحدا منهما يربح القذفة. مرات4) المباراة

np = µ والتباين لتوزيع ثنائي الحد بمثابة) الوسط الحسابي(يحسب المتوسط 11-3 بيانات مأخوذة ( ؛ يستخدم المتوسط والتباين لتمثيل بيانات عينية σ2 = np(1 – p)و

. نائي الحديتوقع أن يكون لها توزيع ث) من عينات

). تغايرها( وتباينها Xأوجد القيمة المتوقعة لـ . X ~ B(n, p) متغير عشوائي هو . P(µ – σ < X < µ + σ)إحسب

دع المتغير العشوائي . X ~ B(n, p) إعتبر المتغير العشوائي) مثال إثرائي(Yi (i = 1, 2, …, n) يمثل عدد مرات النجاح في التجربة i .د أوجE(Yi) و

Var(Yi) . إستخدم حقيقة أن1

E( ) E( )=∑niX Y وأن

1Var( ) Var( )n

iX Y=∑ لكي تبين أن µ = np و σ2 = np(1 – p).

لعدم أو فرضية بديلة، ويستخدم يفهم مبدأ إختبار الفرضية والذي يشمل فرضية ا 11-4 المفردات المتعلقة بالمستوى المعنوي، وإختبار الذيل الواحد أو الذيلين، والقيمة الحرجة

.والمنطقة الحرجة، ومنطقة القبول

. إشرح معنى المستوى المعنوي لشخص ليس لديه معرفة بمبادئ اإلحصاء

نائي الحد لإلحتماالت مع تحديد ينشئ وينفذ إختبار فرضية على نموذج توزيع ث 11-5 . فرضية العدم وفرضية البديل، ويستخرج اإلستنتاجات الصحيحة من اإلختبار

يقوم فريق مسوؤل عن السالمة على الطرق بفحص إطارات عدد آبير من العربات وفي سياق حملة . من الشاحنات الصغيرة معطوبة%20فيجد أن إطارات . التجارية

شاحنة 18بات التي تحتوي على إطارات معطوبة، تم توقيف لتخفيض نسبة العروقد وجد أن شاحنة واحدة منها فيها إطارات . صغيرة بطريقة عشوائية لفحص إطاراتها

.نفذ إختبار فرضية مناسب إلختبار ما إذا آانت الحملة قد أدت غرضها بنجاح. معطوبة

. أسرد فرضيتك بوضوح، مع تبرير صيغة فرضية البديل) أ

. ، مع ذآر إستنتاجاتك بوضوح%5نفذ هذا اإلختبار عند المستوى المعنوي ) ب

.أذآر القيمة الحرجة لإلختبار، مع ذآر األسباب المبررة لها) ج

إشرح األسباب . أعط مستوى معنوي بحيث تتوصل الى إستنتاج مضاد إلختبارك) د .التي إعتمدت عليها

MEIإختبار

إلستخراج إستدالالت وإستنتاجات من ‘ بواسون’ع يفهم ويستخدم توزي 12 البيانات

يستخدم عادة عندما تحدث حوادث فردية في المكان أو ‘ بواسون’يدرك أن توزيع 12-1 . عدل ثابتالزمان بشكل مستقل بعضها عن بعض وبم

يستخدم توزيع اإلحتمال 12-2

eP( )!

r

X rr

λλ−

= =

، ويعرف أن )الى ما ال نهاية (… ,r = 0, 1, 2, 3 عندما تكون P(X)لحساب قيم . هي بارامتر التوزيعλ؛ يعرف أن 1المجموع الى ماالنهاية لجميع اإلحتماالت هو

) لمتوسط ا(الوسط الحسابي والتباين

ال يطلب من التالمذة إعطاء . براهين لهذه النتائج

إختبار الفرضيات لفرضية H0يستعمل فيه الرمز

. لفرضية البديلH1العدم و

توزيع بواسونسمي هذا التوزيع بإسم عالم

الرياضيات الفرنسي سيمون دونيس بواسون

)1781-1840(


لمتغير عشوائي منفصل يمثل عدد ‘ بواسون’ توزيع يصفλ( ~ PX(يعلم أن التمثيل 12-3 هي متوسط λالحوادث التي تحدث عشوائيا في فترة معينة من المكان أو الزمان، حيث

. عدد الحوادث التي تحدث في الفترة

.P(X ≤ 2) و P(X = 0)، P(X = 1) ، أحسبX ~ P(4)إذا آانت

عبي آرة قدم في مباراة تجري على يتم تمثيل عدد اإلصابات التي تسجلها فرق الأرضهم أو في نادي الفريق المنافس، في إطار مباراة لكرة القدم، يتم تمثيلها بواسطة

. على التوالي1.17 و 1.63مستقلين متوسطتهما ‘ بواسون’توزيعين : أوجد إحتمال أنه في مباراة مختارة عشوائيا) أ

يسجل الفريق المحلي إصابتين؛ –1 ؛1–1تكون النتيجة متعادلة بإصابة واحدة لكل فريق –2 . إصابات5 أن يسجل الفريقان عدد إصابات يبلغ مجموعها –3 .أعط سببين لتشرح لماذا قد ال يكون النموذج المقترح مناسبا) ب

‘ بواسون’عدد اإلصابات الذي يسجله الفريق آلفا في آل مباراة ممثل بتوزيع ) جأستعمل . مباراة على أرضه19عب هذا الفريق في موسم واحد ويل. 1.63متوسطه

إصابة في 35توزيع تقريبي مناسب إليجاد إحتمال أن يسجل الفريق آلفا أآثر من . المباراة التي تجري على أرضه

MEIإختبار

.λ هما مساويان لـ λ( ~ PX(يعلم أن آال من الوسط الحسابي والتباين لـ 12-4

يمكن أن يستخدم آتقريب للتوزيع λ( ~ PX(‘بواسون’بدون برهان أن توزيع يعلم 12-5 np الى الالنهاية بينما يبقى الوسط الحسابي n عندما تتجه X ~ B(n, p)ثنائي الحد

. ثابتا

يفهم ويستخدم التوزيع الطبيعي إلستخراج اإلستدالالت واإلستنتاجات من 13 البيانات

. يفهم ويصف السمات والخصائص الرئيسية للتوزيع الطبيعي لمتغير عشوائي متصل 13-1

الى شخص ليس لديه معرفة ) التوزيع المنتظم(ح السمات الرئيسة للتوزيع الطبيعي إشر.بمادئ اإلحصاء

لمتغير عشوائي متصل وممثل بتوزيع طبيعي 2σ, µ( ~ NX(يستخدم التمثيل 13-2 . σ2 وتباينه µمتوسطه

زيع يحول متغير عشوائي متصل ذي توزيع طبيعي الى الصيغة المعيارية للتو 13-3 . الطبيعي

يستخدم جداول إحصائية ليستخرج منها إحتماالت لتوزيع طبيعي معياري؛ يعرف أن 13-4 ؛ يعرف 1إجمالي المساحة الواقعة تحت منحنى التوزيع الطبيعي المعياري هو

وحدات إنحراف معياري على جهتي 3 أو 2 أو 1إحتماالت الحصول على نتيجة . متوسط التوزيع الطبيعي

بالنسبة للتوزيع الطبيعي ‘ 99.7–95–68’ ما هو، حسب إعتقادك، معنى قاعدة إشرح . المعياري

يستخدم التوزيع الطبيعي آتقريب للتوزيع ثنائي الحد 13-5 X ~ N(np, npq) ≈ X ~ B(n, p) عندما تكون قيمةn آبيرة و q = 1– p.

.λ( ~ PX ≈) λ, λ( ~ NX(‘بواسون’تخدم التوزيع الطبيعي آتقريب لتوزيع يس 13-6

التوزيع الطبيعيع الطبيعي هو توزيع التوزي

نجده مرارا في عدد آبير من المتغيرات التي تحصل طبيعيا،

مثل طول الرجال الذين بلغوا سن الرشد في مدينة ما، أو آتل الجزر في حقل مزروع بالجزر

. ، وما الى ذلك


يعلم أنه إذا آان توزيع مجتمع إحصائي طبيعيا يكون عندها توزيع عينات متوسط 13-7 المجتمع اإلحصائي طبيعيا أيضا؛ آما يعرف أنه إذا آان توزيع المجتمع اإلحصائي

، يبقى عندها توزيع عينات المتوسط طبيعي تقريبا للعينات )غير منتظما(غير طبيعيا أو (لكبيرة؛ يعرف متوسط وتباين التوزيع العيني للمتوسطات بداللة المتوسط والتباين ا

.لتوزيع المجتمع اإلحصائي) التباين المقدر

ينفــذ إختبار فرضية على متوسط مجتمع إحصائي بإستخدام التوزيع الطبيعي المعياري 13-8 أو حيث يكون تباين المجتمع في وضعيات يكون فيها تباين المجتمع اإلحصائي معروفا

. اإلحصائي غير معروف بينما حجم العينات آبير

يفترض أن عمر . شرآة إآسترا اليت تقوم بإختبار لمبات إنارة ذات عمر خدمة طويل . σ وإنحراف معياري µالخدمة للمبات، مقاسا بالساعات، له توزيع طبيعي بمتوسط

من اللمبات لها عمر خدمة %19آة أن بعد إجراء إختبارات مستفيضة وجدت الشر . ساعة 4000 من اللمبات لها عمر خدمة أقل من%5 ساعة، بينما 5000يفوق عن

. بـيـن هذه المعلومات على مخطط بياني) أ . µ وأوجد قيمة = σ 396 بييـن أن) ب

. 400هي σ وأن قيمة 4650 هي µفي القسم الباقي من هذا السؤال إفترض أن قيمة 4750 و 4250أوجد إحتمال أن يكون عمر الخدمة للمبة مختارة عشوائيا ما بين ) ج

. ساعة . ساعة4500أوجد إحتمال أن يكون عمر الخدمة ألي لمبة فوق ) دترغب شرآة إآسترا اليت وضع عمر خدمة على علب اللمبات بحيث تفوق عنه ) هـ

على الشرآة تدوينه على العلب ما هو عمر الخدمة الذي ينبغي . من اللمبات99% ساعة؟100الى أقرب

ترآيبات إنارة، آل منها مجهز بلمبة 6غرفة دراسة في مدرسة جديدة مزودة بعدد ) وأوجد إحتمال أن ال تدعو الضرورة الى تغيير أآثر . إآسترا اليت بعمر خدمة طويل

. ساعة األولى من اإلستعمال4250من لمبة واحدة خالل الـ

MEIختبار إ

وليس . حسب المواصفاتcm 40يبلغ طول قضبان معدنية مستخدمة في إنشاء هندسي هناك ضرر إذا آانت هذه القضبان أطول بعض الشيء، ولكن ال يجوز أن تكون أقصر

تصنع هذه القضبان بواسطة آلة بحيث تأتي أطوالها موزعة توزيعا . من ذلك بتاتا فيحدد بقيمة µ cmأما متوسط األطوال . cm 0.2ه طبيعيا مع إنحراف معياري قدر

. من أجل توفير هامش للخطأcm 40تزيد قليال عن

قضيبا 12للتحقق مما إذا آانت هذه المواصفة مستوفاة، يتم إختيار عينة عشوائية من : وقد تبين أن أطوالها بالسنتيمتر هي آالتالي. معدنيا

40.43 40.49 40.19 40.36 40.81 40.47 40.46 40.63 40.41 40.27 40.34 40.54

.µ 40.5=يراد إختبار ما إذا آانت

. أذآر فرضية بديلة مناسبة لهذا اإلختبار) أ

. ، مع ذآر إستنتاجاتك بدقة%5نفــذ هذا اإلختبار عند مستوى معنوي قدره ) ب

MEIإختبار

متوسط مجتمع إحصائي ويعطي فترة ثقة للمتوسط بعد تطبيق يحسب الخطأ المعياري ل 13-9 . أعاله8-13إختبار الثقة الوارد شرحه في المعيار

الخطأ المعياري من nإذا أخذنا عينات بحجم

مجتمع إحصائي ذي توزيعN(µ, σ2) يكون عندها توزيع

: متوسط العينات

N(µ, σn

2

)

σآما تدعي n

أ أحيانا الخط

.المعياري للمتوسط


يختبر الترابط في بيانات ذات متغيرين 14 ).متغير تابع(يفهم الفرق بين متغير مستقل ومتغير غير مستقل 14-1

يرسم مخطط إنتشار ليظهر قوة العالقة بين متغيرين، مع مقياس للفترات أو للنسب ومع 14-2 قياس آل من المتغيرين على نفس الموضوع؛ يعلم أن متغيرين يكون لهما إرتباط

رى لمتغير منهما مرتبطة بالقيم الكبرى للمتغير اآلخر، موجب إذا ما بدا أن القيم الكبوأن هذا اإلرتباط يكون سالبا إذا آانت القيم الكبرى لمتغير مرتبطة بالقيم الصغرى

.للمتغير اآلخر

للداللة على ما إذا آانت نقاط اإلنتشار في اإلرتباط الخطييتعرف ويستخدم مصطلح 14-3 . تقيممخطط إنتشار متجمعة حول خط مس

يحسب معامل اإلرتباط الخطي من بيانات ذات متغيرين، ويعرف أن قيمة هذا المعامل 14-4 ؛ يفهم الفرق بين اإلرتباط الموجب واإلرتباط السالب، والحاالت 1 و 1–تقع بين

.1 أو 0 أو r = –1الخاصة عندما تكون

الواقعة خارج نطاق خط ( قد تتأثر تأثيرا آبيرا بالنقاط المتباعدة rيدرك أن قيمة 14-5 ).التطابق

من rيبحث عن وجود أدلة لفرضية لعدم وجود إرتباط بإستخدام القيمة المحتسبة لـ 14-6 .البيانات ومن جداول القيم الحرجة

رضي ليرى ما إذا آان هناك أراد إحصائي يعمل في الحقل الطبي إجراء إختبار ف . إرتباط بين محيط رأس المواليد الجدد وطولهم

. أذآر فرضية عدم وفرضية بديل مناسبتين لهذا اإلختبار) أ

مولودا 20 في عينة عشوائية من y cm وطول الجسم x cmتم قياس محيط الرأس . يبين الرسم التالي هذه العينة المكونة من متغيرين. جديدا

. فيما يلي ملخص إحصائي لهذه البيانات

n = 20 Σ x = 691 Σ y = 1018 Σ x2 = 23 917 Σ y2 = 51 904 Σ xy = 35 212.5

والذي يحتسب من متوسط حواصل (أحسب معامل اإلرتباط الخطي لهذه البيانات ) ب، مع ذآر %1ه نفذ إختبار الفرضية بمستوى معنوي قدر) . ضرب قيم المتغير

ما هو اإلفتراض المطلوب لكي يكون هذا اإلختبار نافذ المفعول؟. إستنتاجك بدقة

خطأ في البداية، حيث دونت على شكلy = 51 و x = 34لقد سجلت النقطتين x = 51 و y = 34 . .أحسب قيم الملخص اإلحصائي فيما لو لم يكتسف هذا الخطأ) ج

غير المصحح لكي تبين أن قيمة معامل اإلرتباط الخطي إستعمل الملحق اإلحصائي . ستكون سالبة

آيف تفسر أن هذا الخطأ الوحيد ينتج مثل هذا التغير الكبير في قيمة معامل اإلرتباط ) د الخطي ويغير عالمته من الموجب الى السالب؟

MEIإختبار

المتغيراتفي بعض النصوص اإلحصائية

متغير ’يدعى المتغير المستقل ، بينما يدعى المتغير ‘تفسيري

.‘جابةمتغير اإلست’غير المستقل

معامل اإلرتباط الخطييشار إلى هذا المعامل عادة

.rبالحرف


المربعات )إنحسار( إنكفاء يحسب خط التطابق األفضل لإلرتباط الخطي بإستخدام 14-7 . x غير المستقل والمتغير المستقل yالصغرى بين المتغير

. إلرتباط الرتب‘ سبيرمان’يحسب ويستخدم معامل 14-8

يختبر بحثا عن وجود أدلة لفرضية عدم وجود إرتباط بإستخدام معامل إرتباط الرتب 14-9 . ومن جداول القيم الحرجة

. ين اإلرتباط والسببيةيدرك الفرق ب 15-10

المبني على توزيع مجموعات تربيعات ( تربيع -يفهم ويطبق إختبار آاي 15 )المتغيرات العشوائية

يستخدم إلختبار ما إذا آانت نسبتين أو أآثر من ) 2χ( تربيع -يعرف أن إختبار آاي 15-1 اإلحصائي مستقلة بعضها عن بعض وأن هذا اإلختبار ينفذ بإستخدام نسب المجتمع

تكرارات مالحظة من عينة وبإستخدام تكرارات متوقعة مأخوذة من نموذج إحتمال، . χ2ويحسب القيمة اإلحصائية

عند تطبيقه على جدول توافق يمر فيه أساس واحد للتصنيف 2χيفسر نتيجة إختبار 15-2 . األساس اآلخر يمر عبر الصفوفعبر األعمدة و

يتم إستخراج بيانات من سجالت طبية لعينة عشوائية من المرضى في مستوصف آبير والتي تبين، لفترة معينة من السنة، تكرارات اإلصابة أو عدم اإلصابة بمرض

.األنفوانزا بالنسبة للمرضى الذين لم يتم تحصينهم ضد اإلنفلوانزا مصاب باإلنفلوانزا

نعم ال

نعم 8 18

ال 35 17

محصن ضد اإلنفلونزا

أذآر فرضية العدم إلختبار مناسب إلستقاللية التحصين عن حدوث اإلصابات . %5نفذ هذا اإلختبار بمستوى معنوي قدره . باإلنفلوانزا

MEIإختبار

التشبيه 16 وادث موصوفة يستخدم قطع نقد أو أزواج نرد أو أعداد عشوائية لتوليد نماذج لح 16-1

.بمتغيرات عشوائية ولحساب اإلحتماالت والتكرارات

نفذ إختبار إستقصائي بإستخدام أعداد عشوائية إلستقصاء تجمع خط سيارات عند . إشارات مرور ضوئية

إخترع العلماء صرصار خيالي أطلقوا عليه إسم الصرصار المعياري والذي يتوالد :بالطريقة اآلتية

. تولد بطرق مختلفة أناث الصراصير•

. من أناث الصراصير أنجبت صرصارين50% •

. من أناث الصراصير أنجبت صرصارا واحدا30% •

. بقية الصراصير االناث تنقرض•

إستعمل أعدادا عشوائية لتشبيه نمو عدد الصراصير، وأذآر أي إفتراضات إعتمدتها ما هو . لتشبيهفي تنفيذ هذا التشبيه وبين بوضوح آيف أستخدمت األعداد العشوائية في ا

اإلستنتاج الذي يمكن التوصل إليه حول مجتمع الصراصير هذه؟ آيف تتغير هذه اإلستنتاجات في حال تم تغيير النسب المئوية لفئات أناث الصراصير المذآورة أعاله؟

تربيع-إختبار آاي .χ 2يشار إليه عادة بإختبار

األعداد العشوائيةيمكن توليد األعداد العشوائية

علمية أو حاسبة بواسطة حاسبة بيانية وذلك بإستخدام المفتاح

RND والمفتاح RAN . أماالتشبيهات آبيرة الحجم فيمكن

تنفيذها على أفضل وجه وآذلك . بالبرامج الكومبيوترية

هناك فائدة آبيرة في جداول . األعداد العشوائية

وسائل تكنولوجيا الكومبيوترهناك مجموعة من التطبيقات الكومبيوترية يمكن أن تدعم معالجة البيانات، فيمكن مثال توليد أعداد عشوائية بسرعة بالكومبيوتر وتطوير برامج خصيصا لتشبيه وضعيات

جموعات آما تتوفر م. معينة بيانات ثانوية على اإلنترنت


إنك ترغب في إيجاد أقل عدد من الناس في مجتمع بحيث أن إحتمال أن يكون إلثنين قم . 0.5هو إحتمال يزيد عن )اليوم والشهر فقط وليس السنة(منهما نفس تاريخ الوالدة

.بتخطيط تشبيه لحساب هذا اإلحتمال ونفـذه

إستخدام وسائل تكنولوجيا الكومبيوتر 17 يستعمل آلة حاسبة مزودة بوظائف إحصائية لمساعدته على تحليل مجموعات آبيرة 17-1

من البيانات، وبرامج تطبيقية من تكنولوجيا الكومبيوتر لعرض جداول ومخططات .إحصائية

ويمكن تنفيذ الحسابات اإلحصائية بسرعة بإستخدام

البرامج اإلحصائية الكومبيوترية أو الوظائف

وآذلك . ئية في الحاسبةاإلحصايمكن رسم المخططات

والجداول اإلحصائية بإستخدام البرامج المناسبة والحاسبات

. البيانية

تﺎﻴﺿﺎﻳﺮﻟا ﺞﻬﻨﻣ ﺮﻴﻳﺎﻌﻣ And Subject AR/الرياضيات-الصف...

Documents

Transcript of تﺎﻴﺿﺎﻳﺮﻟا ﺞﻬﻨﻣ ﺮﻴﻳﺎﻌﻣ And Subject AR/الرياضيات-الصف...