27

III ) 2

OA J ÇÖZÜMÜ

A. GİRİŞ

B. DIRAC DELTA FONKSİYONU

C. GREEN FONKSİYONLARI

D. 1-BOYUTTA FOURIER DÖNÜŞÜMÜ

E. 3-BOYUTTA FOURIER DÖNÜŞÜMÜ

F. POISSON DENKLEMİ ÇÖZÜMÜ

G. ALANLAR

H. HELMHOLTZ GREEN FONKSİYONU

I. DALGA DENKLEMİ GREEN FONKSİYONU

J. ÇÖZÜM

K. GEÇİŞLER

L. GREEN FONKSİYONLARI HİYERARŞİSİ

28

A) GİRİŞ

Kaynak Terimli Dalga Denklemi konum uzayından momentum uzayına taşınarak çözülür.

Bu taşıma işlemi Fourier dönüşümü yolu ile yapılır. Green fonksiyonu metotları da bu

yaklaşımın çok yararlı bir yan ürünü olacaktır.

B) DIRAC DELTA FONKSİYONU

x Dirac Delta Fonksiyonu : 0 0

0

xx

x

; 1dx x

;

x x sağlayan bir ifadedir. f x x a f a x a ve

xax

a

özellikleri kolayca gösterilir. f x x a f a x a oluşu

dx f x x a f a

delta fonksiyonunun eleme özelliğine yol açar.

f x ifadesini 0of x sağlayan bir ox noktası etrafında değerlendirmek

için Taylor açılımı . . .o o of x f x f x x x kullanılıp

. . .

o

o o o

o

x xf x f x f x x x

f x

elde edilir. 0f x

denkleminin tüm çözümleri göz önüne alınınca da 1

Nn

n n

x xf x

f x

,

mesela 0a için 2 2

2 2

x a x ax a

a a

bulunur.

0 < 0

1 0

x xdx x U x

x

eşitliği Dirac Delta ve Birim Basamak fonksiyonları

arasındaki ilişkiyi belirler. Delta fonksiyonunun türev temsili doğal olarak

dU x

xdx

olmaktadır. Delta fonksiyonunun integral temsili için ise sonucu

sıçrama yapan bir belirli integral seçilip, türev alınır :

29

sin = 2 1

kxdk SGN x U x

k

sonucunun türevi

cos 2 dk kx x

verir. Bu sonuca sin 0i dk kx

eklenerek

1

exp2

x dk ikx

, veya daha genel

1

exp2

x x dk ik x x

integral temsili bulunur.

C) GREEN FONKSİYONLARI

Bir , dx

dx

Lineer Diferansiyel Operatörünün Green fonksiyonu formal olarak

, G x x x x biçiminde tanımlanır. Böylece y x q x DD'inin özel

çözümü için ,G x x tanım denkleminin iki tarafı da q x ile çarpılıp, uygun bir

aralıkta x integrali alınarak elde edilen

, b b

a adx G x x q x dx x x q x q x eşitliğinden özel çözümün

, b

qa

y x dx G x x q x olduğu anlaşılır. Ancak Green fonksiyonunun formal

tanımının sadece ,G x x 'in ne yaptığını belirttiğini, nasıl elde edileceği konusunda hala

karanlıkta olduğumuzu unutmamak gerekir. DD'in altyapısını oluşturan y q

ket denkleminin özel çözümünü biçimsel olarak 1 qy q olarak yazarız.

Denklemin x bra'sı ile skalar çarpımını yaparak ve dx x x

1 Tamamlık

bağıntısını kullanarak 1 qx y dx x x x q veya

1, G x x x x tanımı ile ,qy x dx G x x q x sonucunu elde

ederiz. 1, G x x x x tanımından hareketle Green fonksiyonlarının inşa

sürecinde Fourier dönüşüm teknikleri yararlı olacaktır.

30

D) 1-BOYUTTA FOURIER DÖNÜŞÜMÜ

Dirac delta fonksiyonunun eleme özelliği f x dx x x f x

ve integral temsili expx x dk ik x x

kullanılarak

1 1

exp exp 2 2

f x dk ikx dx ikx f x

elde edilir. Bu noktada

1

exp 2

f k dx ikx f x

: Fourier dönüşümü ,

1

exp 2

f x dk ikx f k

: Ters Fourier dönüşümü tanımları yapılır.

Önemli bir uyarı : Zaman-Frekans eşlenik değişken çiftinin Fourier dönüşüm formüllerinde

Minkowski metriğinden kaynaklanan bir işaret farkı vardır ve

Fourier dönüşümü : 1

exp 2

f dt i t f t

,

Ters Fourier dönüşümü : 1

exp 2

f t d i t f

ile verilir.

Daha soyut bir yaklaşım : , F x x F F k k F tanımlarından yola

çıkarak ve , dx x x dk k k

1 1 Tamamlık bağıntıları ve

exp exp

2 2

ikx ikxx k k x

özdeşliklerini kullanarak

1

exp 2

F k k F dx k x x F dx ikx F x

(Fourier)

1

exp 2

F x x F dk x k k F dk ikx F k

(Ters Fourier)

dönüşümlerini elde etmektir.

31

E) 3-BOYUTTA FOURIER DÖNÜŞÜMÜ

3-Boyutta, benzer yaklaşımlarla elde edilen

3

32

1 exp

2F k d r ik r F r

: Fourier dönüşümü ,

3

32

1 exp

2F r d k ik r F k

: Ters Fourier dönüşümü

formülleri geçerli olacaktır. Önemli bir nokta: kartezyen olmayan koordinat sistemlerinde

momentumun da uzay koordinatlarından ayrı ve kendine has yön değişkenleri olması

gereğidir. Mesela küresel koordinatlarda sin cos , sin sin , cos r r r r

oluşu gibi sin cos , sin sin , cos k k k k olacaktır. Silindirik

koordinatlarda ise cos , sin , r s s z ve cos , sin , zk k

kullanmak gerekir. 3-Boyutta Fourier dönüşümlerinin önemli bir özel hali küresel simetriye

sahip fonksiyonların dönüşümleridir. F r F r durumunda

3

32

1 exp

2F k d r ik r F r

integralinde 3 , , d r k r r skalar

oldukları için F k de skalar olmak zorundadır ve F k F k olur.

Sonuç k 'nın yönünden bağımsız olduğu için, genellikten ayrılmadan 0 , 0 , k k

alınır ve

2 1

2

3 0 1 02

1 cos exp cos

2F k d d r dr ikr F r

0

2 1 sin r dr kr F r

k

elde edilir.

Bu özel durum Hankel dönüşümü olarak adlandırılır ve

0

2 1F sin k r dr kr F r

k

: Hankel

32

0

2 1 sin F r k dk kr F k

r

: Ters Hankel

dönüşüm formülleri kullanılır. Bazı önemli ve yararlı Hankel dönüşümleri tablo olarak

aşağıda verilmektedir:

F r F k

2

4

rr

r

3

2

1

2

exp r

r

2 2

2 1 k

exp oik r

r 2 2

2 1

ok k

1

r

2

2 1 k

F) POISSON DENKLEMİ ÇÖZÜMÜ

i k temsilini hatırlayarak 2 1

o

V r r

diferansiyel denkleminin

alt yapısını oluşturan 2 1

o

V

k ket denkleminin biçimsel çözümünü

21

o

V

k , dolayısıyla 2, G r r r r k olmak üzere

31 ,

o

V r d r G r r r

olarak yazarız. 2, G r r r r k ifadesini

33

değerlendirmek için dk k k

1 tamamlık bağıntısı yardımı ile

3 3

3 2

2exp exp1

2

ik r ik r

d k r k k r d kk

k veya

3

22 kere 2

1

k 'nin Ters Hankel dönüşümü elde edilir. Bu da yukarıdaki tablo

yardımıyla

32

1 1 1 =

2 4 2 r r r r

olarak bulunur. Sonuçta

31

4 o

rV r d r

r r

çözümü : r , gözlem noktasındaki elektrik potansiyele

uzayın her r noktasındaki dQ 'dan katkı geldiğine ve bu katkının uzaklık ile ters orantılı

olduğuna işaret etmektedir. Benzer bir şekilde 2 oA r J r Poisson

denkleminin çözümü de 3

4

oJ r

A r d rr r

olacaktır.

G) ALANLAR

Statik durum için E r V r , B r A r denklemlerinin

yukarıdaki Poisson çözümlerine uygulanması :

33

1 1 1

r rr

r r r r r r r

ve

33

J r r rC C C C r

r r r r r r r

özdeşliklerini

kullanarak alanlar için 3

3

1

4 o

r rE r d r r

r r

ve

34

3

3

4

oJ r r r

B r d rr r

ifadeleri bulunur. B r bağıntısında, ince bir

telden geçen sabit akım için v d

J r r rdt

, 3 d r r dQ ,

dQ

Idt

yerleştirerek de

3

4

od r rI

B rr r

Biot-Savart formülünü

elde ederiz.

H) HELMHOLTZ GREEN FONKSİYONU

2 oA J DD'nin kaynak terimi , exp oJ J r t J r ik ct

biçiminde ise, çözüm için de , exp oA A r t A r ik ct kabul edilir ve

2 2 o ok A r J r Helmholtz DD'ine ulaşılır. Bu denklemin altyapısını

oluşturan 1

2 2 2 2 o o o ok A J A k J

k k

ket denklemi ise

12 2 3

3 2 2

exp1, =

2o

o

ik r rG r r r k r d k

k k

k

değerlendirmesi için Hankel dönüşüm tablosundan yararlanarak

exp

, 4

oik r rG r r

r r

sonucunu verir.

I) DALGA DENKLEMİ GREEN FONKSİYONU

Dalga DO için Green fonksiyonu, 3+1 Boyutta Fourier dönüşümü

4 3 4 3 , ; , ; ; o ox ct r k k k d x cdt d r d k dk d k olmak

üzere

4

2

1 exp

2of k d x ik r ik ct f x

olarak verilir.

2 oA J

denkleminin alt yapısını oluşturan

35

12 2 2 2 o o o oA J A J

k k k k ket denkleminden

Dalga DO'nün Green fonksiyonu için

1

2 2 3

2 2, , , =

o o

o o

o

ct k k ct r k k rG x x ct r ct r dk d k

k k

k k ara

sonucu bulunur. 4 katlı integralin 3

2 2

o

r k k rd k

k k

kısmı Helmholtz denkleminin

Green fonksiyonu olarak tanıdık bir ifadedir ve exp

4

oik r r

r r

ile verilir. Geri kalan

işlemler de exp o o o odk ct k k ct ik r r

1

exp c exp 2

o o odk ik t ct ik r r

1

exp c c2

o o odk ik r r ik t ct r r t ct

kullanılarak

c

, 4

r r t ctG x x

r r

sonucuna ulaşılır. Bu ifade Lorentz değişmezi bir

DO'ün Green fonksiyonu olduğu halde Lorentz değişmezi olduğu belirgin değildir.

0a için 2 2

2

x a x ax a

a

özdeşliği yardımıyla elde edilen

2 2 c

, 2

t ct r rG x x

alternatif formül ise belirgin bir biçimde Lorentz

değişmezidir. Ancak hesap yapılırken ilk biçimin daha kullanışlı, dolayısıyla yararlı olduğu

görülür.

J) ÇÖZÜM

4 , oA x d x G x x J x denklemine yukarıda bulunan ,G x x ifadesi

yerleşince Dirac delta fonksiyonunun eleme özelliği kullanılarak

36

3

,

, 4

o

r rJ r t

cA r t d r

r r

elde edilir. Bu sonuç t anında r

gözlem noktasındaki 4-Potansiyele uzayın her r noktasındaki 4-Akımdan katkı geldiğini,

bu katkının uzaklıkla ters orantılı olduğunu ve kaynak noktasından gözlem noktasına ışık hızı

ile erişme zamanı kadar gecikmeli olduğunu göstermektedir. Buna göre güneşteki

elektromagnetik olaylar bizi 8 dakika, -Centauri yıldızındaki olaylar ise 4.4 yıl sonra

etkileyecektir. 3

,

, 4

o

r rJ r t

cA r t d r

r r

denklemi estetik ve felsefi

değeri bir yana, burada ve şimdi ne olduğunu, evrenin yaratılışından beri evrenin her

noktasındaki her yükün ne yapmış olduğuna bağladığı için pratik yararı kısıtlıdır; zira 1080

parçacığın son 15 milyar yılda yaptıklarını hesaba katmak imkansızdır. Bu açmazdan, uzayı

ilgi alanımız ve çevresi diye ikiye ayırıp, uzak çevre etkilerini yok sayıp, yakın çevre etkilerini

de sınır şartlarına yükleyerek çıkılır.

K) GEÇİŞLER

Kaynaklı Dalga Denkleminin çözümünün elde edilmesi ile üç temel değişken grubu :

Kaynaklar, Potansiyeller, Alanlar arasındaki geçişler büyük ölçüde açıklığa kavuşmuş

olmaktadır.

J A : 3

,

, 4

o

r rJ r t

cA r t d r

r r

, A E B : , o

AE c A B A

t

, E B J : Maxwell Denklemleri

çevrimi geçişleri nisbeten kolaydır. Ters çevrimde A J : 2 oA J

37

kolay, ancak , J E B zordur. Bu zorluğu aşabilmek için gene

, J A E B gerekecektir. , E B A geçişi için ise

1

0

1, ,oA r t r d E r t

c ,

1

0, ,A r t r d B r t

parametrik integralleri kullanılır.

L) GREEN FONKSİYONLARI HİYERARŞİSİ

Dalga DO’nün Green Fonksiyonu kullanılarak elde edilen

3

,

, 4

o

r rJ r t

cA r t d r

r r

çözümünde

, exp oJ r t J r ik ct , dolayısıyla , exp oA r t J r ik ct

benimsenirse, Dalga denklemi Helmholtz denklemine , çözüm de

3exp

4

ooik r r

A r d r J rr r

biçimine dönüşür; dolayısıyla Helmholtz

DO’nün Green fonksiyonu exp

4

oik r r

r r

olur. Bu ifadenin de 0ok özel hali

Laplace DO için 1

4 r r sonucunu verir.

38

PROBLEMLER

P.1 ) 2 2

2 2 2

1 , 0x t

c t x

1-Boyutlu dalga denklemini değişkenlere ayrıştırma

metodu ile çözün. En genel çözümü oluşturun. Sonra aynı problemi

, v 2 2

ct x ct xu

Işık Konisi koordinatlarında çözün ve iki çözümün

özdeşliğini gösterin.

P.2 ) cos , sin x r y r , cos , sin x yk k Düzlem

Polar koordinatlarda SO(2) simetrisine sahip , f r f r fonksiyonunun Fourier

dönüşümü ( 2-Boyutta Hankel dönüşümü ) formülünü elde edin.

İpucu : 0

1 cos sinnJ z d n z

P.3 ) f k g k h k çarpımının Ters Fourier dönüşümünü Dirac gösterimi kullanarak

yapın ve 1

2

f g h x dx dx f x x x g x h x

Çifte Katlama ifadesini elde edin.