III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)
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III. Fonctions numériques et III. Fonctions numériques et modélisation modélisation (intégration,équations (intégration,équations différentielles,…)différentielles,…)
II. Nombres entiers, rationnels, II. Nombres entiers, rationnels, réels et complexes ; suites de réels et complexes ; suites de réelsréels
I. Bases de logique , théorie I. Bases de logique , théorie des ensemblesdes ensembles
LE PLAN DU COURS : TROIS CHAPITRESLE PLAN DU COURS : TROIS CHAPITRES
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III. Fonctions numériques III. Fonctions numériques et modélisationet modélisation• Limite d’une fonction en un point de R ou de Limite d’une fonction en un point de R ou de
la droite réelle achevée la droite réelle achevée • Continuité d’une fonction en un point et sur Continuité d’une fonction en un point et sur
un ensembleun ensemble• Opérations sur les fonctions continues Opérations sur les fonctions continues • Fonctions strictement monotones sur un Fonctions strictement monotones sur un
intervalle intervalle • Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle • Quelques fonctions classiques et leurs Quelques fonctions classiques et leurs
inverses inverses • Aires, intégration, primitives Aires, intégration, primitives • Équations différentiellesÉquations différentielles
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Limite d’une fonction en un Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite point de R ou de la droite réelle achevéeréelle achevée
D D R R R R
ff
DD
__a a D D
f admet une limite f admet une limite finiefinie ll R au point R au point aa si et seulement si, pour si et seulement si, pour toutetoute suite suite (x(xnn))nn de de points de D : points de D : lim (xlim (xnn))nn = a lim (f(x = a lim (f(xnn))))nn = = ll
Cas 1Cas 1
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Pour tout Pour tout >0, >0,
il existe il existe >0 , tel que : >0 , tel que :
(x appartient à D et |x-a| < (x appartient à D et |x-a| < ))|f(x) – |f(x) – ll | < | <
f admet une limite f admet une limite finiefinie l l R au point R au point aa
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Le cas particulier où le Le cas particulier où le point point aa est un point de D est un point de D
• f : D ----> R f : D ----> R
• a point de D a point de D
• limlimaa f existe dans R (et vaut f existe dans R (et vaut nécessairement f(a))nécessairement f(a))
f est continue en af est continue en a
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Limite d’une fonction en un Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite point de R ou de la droite réelle achevéeréelle achevée
D D R R R R
ff
DD
__a a D \ D D \ D
f tend vers + l’infinif tend vers + l’infini au point a si et au point a si et seulement si, pour seulement si, pour toutetoute suite (x suite (xnn))nn de de points de D :points de D :
lim (xlim (xnn))nn = a lim (f(x = a lim (f(xnn))))nn =+ l’infini =+ l’infini
Cas 2Cas 2
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Pour tout A >0,Pour tout A >0,
il existe il existe >0 , tel que : >0 , tel que :
(x appartient à D et |x-a| < (x appartient à D et |x-a| < ))f(x) > A f(x) > A
f tend vers + l’infini au point f tend vers + l’infini au point aa
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Limite d’une fonction en un Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite point de R ou de la droite réelle achevéeréelle achevée
D D R R R R
ff
DD
__a a D \ D D \ D
f tend vers - l’infinif tend vers - l’infini au point a si et au point a si et seulement si, pour seulement si, pour toutetoute suite (x suite (xnn))nn de de points de D :points de D :
lim (xlim (xnn))nn = a lim (f(x = a lim (f(xnn))))nn =- l’infini =- l’infini
Cas 3Cas 3
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Pour tout A >0, Pour tout A >0,
il existe il existe >0 , tel que : >0 , tel que :
(x appartient à D et |x-a| < (x appartient à D et |x-a| < ))f(x) < - A f(x) < - A
f tend vers - l’infini au point f tend vers - l’infini au point aa
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Limite d’une fonction en un Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite point de R ou de la droite réelle achevéeréelle achevée
D D R R R R
ff
DD
__ +infini+infini D \ D D \ D
f tend vers f tend vers ll lorsque x tend vers + lorsque x tend vers + infini si et seulement si, pour infini si et seulement si, pour toutetoute suite (xsuite (xnn))nn de de points de Dpoints de Dlim (xlim (xnn))nn = +infini lim (f(x = +infini lim (f(xnn))))nn = =ll
Cas 4Cas 4
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Pour tout Pour tout >0, >0,
il existe B >0 , tel que :il existe B >0 , tel que :
(x appartient à D et x > B(x appartient à D et x > B))
|f(x) – |f(x) – ll | < | <
f admet une limite f admet une limite finiefinie l l R en + l’infini R en + l’infini
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Limite d’une fonction en un Limite d’une fonction en un point de R ou de la droite point de R ou de la droite réelle achevéeréelle achevée
D D R R R R
ff
DD
__ +infini+infini D \ D D \ D
f tend vers + infinif tend vers + infini lorsque x tend lorsque x tend vers + infini si et seulement si, pour vers + infini si et seulement si, pour toutetoute suite (x suite (xnn))nn de points de D de points de D
lim (xlim (xnn))nn = +infini lim (f(x = +infini lim (f(xnn))))nn =+ infini =+ infini
Cas 5Cas 5
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Pour tout A >0, Pour tout A >0,
il existe B >0 , tel que :il existe B >0 , tel que :
(x appartient à D et x > B)(x appartient à D et x > B)
f(x) > A f(x) > A
f tend vers + l’infini lorsque x tend f tend vers + l’infini lorsque x tend vers + l’infini vers + l’infini
![Page 14: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/14.jpg)
Pour tout A >0,Pour tout A >0,
il existe B >0 , tel que :il existe B >0 , tel que :
(x appartient à D et x > B)(x appartient à D et x > B)
f(x) < - A f(x) < - A
f tend vers - l’infini lorsque x tend f tend vers - l’infini lorsque x tend vers + l’infini vers + l’infini
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Composition des limites Composition des limites (1)(1)
D R D R E RE R
ff ggf(D) f(D) E E
__a a D D __
limlimaa f= f=ll E E __
limlimll g=L g=L R R
limlimaa (g o f) = L (g o f) = L
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Composition des limites Composition des limites (2)(2)
D R D R E RE R
ff ggf(D) f(D) E E
__a a D D __
limlimaa f=+infini f=+infini E E __limlim+infini+infini g=L g=L R R
limlimaa (g o f) = L (g o f) = L
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Composition des limites Composition des limites (3)(3)
D R D R E RE R
ff ggf(D) f(D) E E
__+ infini + infini D \ D D \ D
__limlim+ l’infini+ l’infini f=+infini f=+infini E E
__limlim++infiniinfini g=L g=L R R
LimLim+l’infini+l’infini(g o f) = L(g o f) = L
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Attention aux formes indéterminées !Attention aux formes indéterminées !
Lim (aLim (a00 x xpp + a + a11 x x p-1p-1 + … + a + … + app) =) =
+ l’infini si a+ l’infini si a00 > 0 > 0
- l’infini si a- l’infini si a00 < 0 < 0
xx22 – x – x
(log x) /x = (1/x) (log x) /x = (1/x) xx log x log x
????
quand x tend vers + quand x tend vers + l’infinil’infini
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Attention aux formes indéterminées !Attention aux formes indéterminées !
(a(a00 x xpp + a + a11 x x p-1p-1 + … + a + … + app))1/k1/k = =
aa001/k1/k x xp/kp/k ( 1 + (a( 1 + (a11/a/a00) x) x-1 -1 + … )+ … )1/k1/k
P(x)/Q(x)P(x)/Q(x)
(P(x))(P(x))1/k1/k – Q(x)– Q(x) , , k dans N*, en + k dans N*, en + l’infinil’infini
????
bb00 x xqq + b + b11 x xq-1q-1 + … + b + … + bq q = = bb00 x xqq (1+ (b (1+ (b11/b/b00)x)x-1-1 + …) + …)
![Page 20: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/20.jpg)
Rappel de règles Rappel de règles concernant les limites concernant les limites de suitesde suites
![Page 21: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/21.jpg)
Limite Limite à droiteà droite en un en un point apoint a
• a est adhérent à a est adhérent à V Vaa
++:= {x dans D ; x >a}:= {x dans D ; x >a}
• La restriction de f à VLa restriction de f à Vaa++ admet admet
pour limite pour limite ll au point a au point a
![Page 22: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/22.jpg)
Limite Limite à gaucheà gauche en un point en un point aa
• a est adhérent à a est adhérent à V Vaa
--:={x dans D ; x <a}:={x dans D ; x <a}
• La restriction de f à VLa restriction de f à Vaa-- admet admet
pour limite pour limite ll au point a au point a
![Page 23: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/23.jpg)
« Une fonction « Une fonction monotone monotone (c’est-à-dire (c’est-à-dire croissante ou décroissante) sur un croissante ou décroissante) sur un intervalle ouvert intervalle ouvert ]a,b[ ]a,b[ (borné ou non) (borné ou non) admet une limite à gauche et à droite admet une limite à gauche et à droite en tout pointen tout point de de ]a,b[]a,b[»»
![Page 24: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/24.jpg)
Fonction continue en un Fonction continue en un point (rappel)point (rappel)
• f : D ----> R f : D ----> R
• xx00 point de D point de D
• limlimx0x0 f existe dans R (et vaut f existe dans R (et vaut nécessairement f(xnécessairement f(x00))))
Continuité Continuité à droiteà droite (si existence de la limite à droite, égale nécessairement à (si existence de la limite à droite, égale nécessairement à f(xf(x00))))
Continuité Continuité à gaucheà gauche (si existence de la limite à gauche, égale nécessairement à (si existence de la limite à gauche, égale nécessairement à
f(xf(x00))))
![Page 25: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/25.jpg)
Fonctions continues sur un Fonctions continues sur un segment [a,b]segment [a,b]
I. Une fonction f I. Une fonction f continue sur un segment continue sur un segment [a,b][a,b] (c’est-à-dire en tout point de ce (c’est-à-dire en tout point de ce segment)segment) et à valeurs réelles est à la et à valeurs réelles est à la fois fois minorée minorée et et majoréemajorée sur sur [a,b].[a,b].
II. Les deux bornes II. Les deux bornes inf inf [a,b][a,b] f f et et supsup[a,b][a,b] f f sont atteintes par f en des points de sont atteintes par f en des points de [a,b][a,b]
![Page 26: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/26.jpg)
Théorème des valeurs Théorème des valeurs intermédiaires intermédiaires
Une fonction f Une fonction f continue sur un segment continue sur un segment [a,b][a,b] (c’est-à-dire en tout point de ce (c’est-à-dire en tout point de ce segment)segment) prend (sur ce segment) au moins prend (sur ce segment) au moins une fois toute une fois toute valeur intermédiairevaleur intermédiaire y du segment y du segment [[infinf [a,b][a,b] f , f , supsup [a,b][a,b] f] f] . .
Preuve par l’absurde !Preuve par l’absurde !
![Page 27: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/27.jpg)
Fonctions strictement monotones et Fonctions strictement monotones et continues sur un intervallecontinues sur un intervalle (1)(1)
I intervalle de RI intervalle de R
m=inf {f(x), x dans I}m=inf {f(x), x dans I}
M = sup {f(x), x dans I}M = sup {f(x), x dans I}
f(I) intervalle de R f(I) intervalle de R (du même type)(du même type)
II
f(I)f(I)
f : I f : I f(I) bijective f admet une application inverse f f(I) bijective f admet une application inverse f-1-1 : : f(I) f(I) I I
![Page 28: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/28.jpg)
Fonctions strictement Fonctions strictement monotones sur un intervallemonotones sur un intervalle (2)(2)
IIf(I)f(I)
yy
ff-1-1(y(y--) ) f f-1-1(y) (y) f f-1-1(y(y++))== ==
f continuef continue
ff-1-1 continue continue
ff-1-1 strictement monotone (même type que f) strictement monotone (même type que f)
![Page 29: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/29.jpg)
Fonction réciproque d’une Fonction réciproque d’une fonction strictement fonction strictement monotone monotone f : I f : I J=f(I) J=f(I)
[[(x (x I) et (y=f(x)) I) et (y=f(x))]]
[[(y (y J) et (x=f J) et (x=f-1-1(y))(y))]]
Graphe (f) = Graphe (f) = {{(x,y) (x,y) I I xx J ; y =f(x) J ; y =f(x)}}
Graphe (fGraphe (f-1-1) = ) = {{(y,x) (y,x) J J xx I ; y=f(x) I ; y=f(x)}}
![Page 30: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/30.jpg)
(x(x00,y,y00))
(y(y00,x,x00))
Droite ‘miroir’Droite ‘miroir’y=x y=x
![Page 31: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/31.jpg)
Dérivabilité en un point et Dérivabilité en un point et sur un intervallesur un intervalle
• f définie dans un intervalle f définie dans un intervalle ouvertouvert contenant un point donné xcontenant un point donné x00
• f(xf(x00+h) = f(x+h) = f(x00) + a(x) + a(x00) h + h) h + h (h) (h) pour tout h de valeur absolue pour tout h de valeur absolue assez petite assez petite
• défini dans un intervalle ]-défini dans un intervalle ]-
,,[ (privé de 0) et lim[ (privé de 0) et lim00 = 0 = 0
![Page 32: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/32.jpg)
Interprétation Interprétation géométriquegéométrique
(x(x00+h, f(x+h, f(x00+h))+h))
(x(x00, f(x, f(x00))))
y=a(xy=a(x00)(x-x)(x-x00)+ f(x)+ f(x00))
![Page 33: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/33.jpg)
Dérivabilité en un point Dérivabilité en un point
Continuité en ce pointContinuité en ce point
Isaac NewtonIsaac Newton(1643-1727)(1643-1727)
![Page 34: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/34.jpg)
Opérations sur les Opérations sur les fonctions dérivablesfonctions dérivables
f et g dérivables en xf et g dérivables en x00
f+ g dérivable en xf+ g dérivable en x0 0 , (f+g)’(x, (f+g)’(x00)= )=
f’(xf’(x00)+g’(x)+g’(x00))
fg dérivable en xfg dérivable en x0 0 , (fg)’(x, (fg)’(x00)= f’(x)= f’(x00) g(x) g(x00)+g’(x)+g’(x00) )
f(xf(x00))
![Page 35: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/35.jpg)
Dérivabilité de x Dérivabilité de x x xnn
n > 0n > 0
(x(x00+h)+h)nn = x = x00nn + + n xn x00
n-1n-1 h + o(h) h + o(h)
n > 0 et xn > 0 et x00 non nul non nul
(x(x00+h)+h)-n-n = x = x00-n-n -- n xn x00
n-1n-1 h + o(h) h + o(h)
![Page 36: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/36.jpg)
Règle de LeibnizRègle de Leibniz
f définie au voisinage de xf définie au voisinage de x00 et dérivable en x et dérivable en x00
g définie au voisinage de f(xg définie au voisinage de f(x00) et dérivable en f(x) et dérivable en f(x00))
g o f dérivable en xg o f dérivable en x00 car : car :
(g o f) (x(g o f) (x00+h) = g (f(x+h) = g (f(x00+h)) +h))
= g = g ((f(xf(x00) + h f’(x) + h f’(x00) + o(h)) + o(h)))
= g(f(x= g(f(x00)) + h )) + h g’(f(xg’(f(x00)) )) xx f’(xf’(x00)) + o(h) + o(h)
(gof)’(x(gof)’(x00))
G.W. von LeibnizG.W. von Leibniz (1646-1716)(1646-1716)
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Opérations sur les Opérations sur les fonctions dérivablesfonctions dérivables
f et g dérivables en xf et g dérivables en x0 0 et g(xet g(x00) non nul) non nul
f/g dérivable en xf/g dérivable en x0 0 et et
f’(xf’(x00) g(x) g(x00) - g’(x) - g’(x00) f(x) f(x00))(f/g)’(x(f/g)’(x00) = ______________________) = ______________________
(g(x(g(x00))))22
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Dérivabilité de la fonction Dérivabilité de la fonction inverseinverse
Soit f une fonction strictement monotone Soit f une fonction strictement monotone sur un intervalle ouvert I de R, dérivable sur un intervalle ouvert I de R, dérivable sur I sur I
On suppose f’ On suppose f’ 0 sur I (f’>0 ou f’<0) 0 sur I (f’>0 ou f’<0)
ff-1-1 : f(I) : f(I) I est dérivable sur f(I) I est dérivable sur f(I)
1 1 (f(f-1-1)’(y)’(y00) = --------------) = -------------- f’ ( ff’ ( f-1-1 (y (y00))))
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y= yy= y00 + f’(x + f’(x00) (x-x) (x-x00) )
(x(x00,y,y00))
(y(y00,x,x00))
x= yx= y00 + f’(x + f’(x00) (y-x) (y-x00))
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Remarque : un énoncé Remarque : un énoncé admisadmis
Une fonction dérivable sur un intervalle Une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I , de dérivée ouvert I , de dérivée identiquement nulle identiquement nulle sur I sur I , est constante sur I., est constante sur I.
Attention cependant Attention cependant Aux escaliers du diable !Aux escaliers du diable !
![Page 41: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/41.jpg)
La fonction exponentielleLa fonction exponentielle
x x kk
k k !!
k=0k=0
k=nk=n
exp (x)exp (x)
exp (xexp (x11+x+x22) = exp (x) = exp (x11) ) xx exp (x exp (x22))
lim (elim (exx/x/xnn) = + l’infini) = + l’infinien +l’infini en +l’infini
lim (elim (exx x xnn) = 0) = 0en - l’infini en - l’infini
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La méthode d’EulerLa méthode d’Euler
exp ’ = expexp ’ = exp
uu00 = 1 = 1
uun+1n+1-u-unn = = uunn
1/N 1/N
Étape 0 : Choix d’un « pas » : 1/N (entre 0 et x)Étape 0 : Choix d’un « pas » : 1/N (entre 0 et x)
Dérivée « discrète »Dérivée « discrète »
(1+ x/N)(1+ x/N)NN ---> exp (x) ---> exp (x)lorsque N tend vers + l’infinilorsque N tend vers + l’infini
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La fonction logarithme La fonction logarithme (1)(1)
x x R et y = exp (x) R et y = exp (x)
y y et x = log (y) et x = log (y)
log (ylog (y11 y y22) = log (y) = log (y11) + log (y) + log (y22))
limlim00 (|y| log |y|) =0 (|y| log |y|) =0 limlim+infini+infini (log y /y) =0 (log y /y) =0
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La fonction logarithme La fonction logarithme (2)(2)
• log’ = [ y ---> 1/y] sur { y ; y > 0 } log’ = [ y ---> 1/y] sur { y ; y > 0 }
• (log |y-a|)’ = [y ---> 1/(y-a)] sur R \ {a} (log |y-a|)’ = [y ---> 1/(y-a)] sur R \ {a}
Remarque : pour tout entier n Remarque : pour tout entier n de Z de Z différent de -1, on a surdifférent de -1, on a sur R \{a} R \{a} : :
(y-a)(y-a)n+1n+1
[[ ]]’’ =[ y ---> (y-a) =[ y ---> (y-a)nn]] n+1 n+1
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Les fonctions puissanceLes fonctions puissance
• (a(axx11) ) xx
22 = a = a xx11xx
22 • aaxx
11+x+x
22 =a =axx11 xx a axx
22
• (ab)(ab)xx = a = axx xx b bxx
• aa-x-x = (1/a) = (1/a)xx
x x R R a axx := exp (x log a) := exp (x log a)
a > 0a > 0
[ x [ x a axx]’ = [x ]’ = [x log(a) log(a) xx a axx]]
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La fonction cosinus La fonction cosinus
x x 2k2k
(2k) !(2k) ! k=0k=0
k=nk=n
cos (x)cos (x)(-1)(-1)kk
(suites adjacentes)(suites adjacentes)
x x R R
cos 0 = 1cos 0 = 1cos 2 <-1/3cos 2 <-1/3
:= 2 inf{x>0, cos x=0}:= 2 inf{x>0, cos x=0} cos s’annule en au cos s’annule en au moins un point de [0,2]moins un point de [0,2]
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La fonction sinus La fonction sinus
x x 2k+12k+1
(2k+1) (2k+1) !!
k=0k=0
k=nk=n
sin (x)sin (x)(-1)(-1)kk
(suites adjacentes)(suites adjacentes)
x x R R
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Relations entre fonctions Relations entre fonctions trigonométriquestrigonométriques
• cos (xcos (x11 + x + x22) = cos (x) = cos (x11) cos (x) cos (x22) – sin (x) – sin (x11) sin ) sin (x(x22) )
• sin (xsin (x11+ x+ x22) = cos (x) = cos (x11) sin (x) sin (x22) + sin (x) + sin (x11) cos ) cos (x(x22) )
• cos’ = - sin cos’ = - sin
• sin’ = cossin’ = cos
• coscos22 x + sin x + sin22 x =1 x =1
• cos (x+ 2cos (x+ 2)=cos x )=cos x
• sin (x+2sin (x+2) = sin x) = sin x
(cos (x), sin (x)) (cos (x), sin (x))
( pour( pour x x [0, [0,
22[)[) paramétrage bijectif du paramétrage bijectif du cercle de centre (0,0) et de cercle de centre (0,0) et de rayon 1rayon 1
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Fonctions trigonométriques Fonctions trigonométriques inversesinverses
• Arcos : [-1,1] --- > [0, Arcos : [-1,1] --- > [0, ] ] • Arcsin : [-1,1] --- > [-Arcsin : [-1,1] --- > [-/2 , /2 , /2] /2] • sur ]-1,1[ Arcsin’ = 1/(cos(Arcsin)) = [y sur ]-1,1[ Arcsin’ = 1/(cos(Arcsin)) = [y (1-y (1-y22))-1/2-1/2]]
• sur ]-1,1[ Arcos’ = -1/(sin(Arcos)) = [y sur ]-1,1[ Arcos’ = -1/(sin(Arcos)) = [y - (1-y - (1-y22))-1/2-1/2]]
Arcsin (y) + Arcos (y) = Arcsin (y) + Arcos (y) = /2 pour y /2 pour y [-1,1] [-1,1]
![Page 50: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/50.jpg)
La fonction tangenteLa fonction tangente
tan x := sin (x) / cos (x)tan x := sin (x) / cos (x)
tan’ = 1 + tantan’ = 1 + tan22
![Page 51: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/51.jpg)
La fonction Arctan (Arc-La fonction Arctan (Arc-tangente)tangente)
x x ]- ]-/2 , /2 , /2[ et y =tan (x)/2[ et y =tan (x)
y y R et x= Arctan (y) R et x= Arctan (y)
1 11 1Arctan’(y) = ------------------------ = ---------- Arctan’(y) = ------------------------ = ---------- 1 + tan1 + tan22 (Arctan y) 1 + y (Arctan y) 1 + y22
![Page 52: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/52.jpg)
Quelques relations Quelques relations importantesimportantes
• cos (t) = 2 coscos (t) = 2 cos22 (t/2) -1 (t/2) -1 = (1-u= (1-u22)/(1+u)/(1+u22))
• sin (t) = 2 sin (t/2) cos (t/2) sin (t) = 2 sin (t/2) cos (t/2) = 2u/(1+u= 2u/(1+u22))
t t ]- ]-, , [ [ u= tan (t/2) , t = 2 Arctan uu= tan (t/2) , t = 2 Arctan u
![Page 53: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/53.jpg)
1-u1-u22 2u 2u--------- , ------- --------- , -------
1+u1+u22 1+u 1+u22
(-1,0)(-1,0)
11
(0,0)(0,0)
Un paramétrage rationnel du cercle unité privé d’un pointUn paramétrage rationnel du cercle unité privé d’un point
![Page 54: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/54.jpg)
Les fonctions Les fonctions hyperboliqueshyperboliques
• cosh x : = (ecosh x : = (exx+e+e-x-x)/2 , x )/2 , x R R
• sinh x : = (esinh x : = (exx – e – e-x-x)/2 , x )/2 , x R R
coshcosh22 x – sinh x – sinh22 x = 1 x = 1
cosh’ = sinh sinh’ = coshcosh’ = sinh sinh’ = cosh
![Page 55: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/55.jpg)
Intersection d’un plan et d’un cône : Intersection d’un plan et d’un cône : hyperbolehyperbole, , ellipseellipse ou ou paraboleparabole
ellipseellipse
hyperbolehyperbole(2 (2
branches)branches)
les Coniquesles Coniques
![Page 56: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/56.jpg)
xx22 – y – y22=1 , x>0=1 , x>0
x = cosh t , t x = cosh t , t RR
y = sinh t , t y = sinh t , t R R
Le paramétrage de la demi-hyperboleLe paramétrage de la demi-hyperbole
![Page 57: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/57.jpg)
La fonction argsinh : R La fonction argsinh : R RR
x x R et y = sinh x R et y = sinh x y y R et x=argsinh y R et x=argsinh y
argsinh’ (y) = 1/cosh(argsinh(y)) = (1+yargsinh’ (y) = 1/cosh(argsinh(y)) = (1+y22))-1/2-1/2
sinh sinh xx = y = y {{ XX = e = exx
XX22 – 2y – 2y XX - 1 =0 - 1 =0
xx = argsinh y == argsinh y = log [y + (1+ylog [y + (1+y22))1/21/2]]
variable variable auxiliaireauxiliaire
![Page 58: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/58.jpg)
La fonction argcosh : La fonction argcosh : {y ; y {y ; y 1} 1} {x ; x {x ; x 0} 0}
xx0 et y = cosh x0 et y = cosh x y y 1 et x=argcosh y1 et x=argcosh y
argcosh’ (y) = 1/sinh(argcosh(y)) = (yargcosh’ (y) = 1/sinh(argcosh(y)) = (y22 -1) -1)-1/2 -1/2 , y > , y > 1 1
cosh cosh xx = y = y {{ XX = e = exx
xx 00 (donc X (donc X 1)1)
XX22 – 2y – 2y XX +1 =0 +1 =0
xx = argcosh y == argcosh y = log [y + (ylog [y + (y2 2 -1)-1)1/21/2]]
variable variable auxiliaireauxiliaire
![Page 59: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/59.jpg)
La fonction tangente La fonction tangente hyperboliquehyperbolique
• tanh : x tanh : x R R tanh x := sinh x / cosh x tanh x := sinh x / cosh x
• tanh’ : x tanh’ : x R R 1 – tanh 1 – tanh22 x = (cosh x) x = (cosh x)-2-2
x x R et y = tanh x R et y = tanh x y y ]-1,1[ et x= ]-1,1[ et x= argtanh yargtanh y
argtanh’ y = 1/(1-yargtanh’ y = 1/(1-y22) )
= (1/2) = (1/2) xx 1/(y+1) - (1/2) 1/(y+1) - (1/2) xx 1/(y-1) , y 1/(y-1) , y ]-1,1[ ]-1,1[
argtanh y = log (|y+1|/|y-1|)argtanh y = log (|y+1|/|y-1|)1/2 1/2 , y , y ]-1,1[ ]-1,1[
![Page 60: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/60.jpg)
Notion d’intégraleNotion d’intégrale : :
Comment calculer l’aire d’un sous-ensemble Comment calculer l’aire d’un sous-ensemble borné A du plan ? borné A du plan ?
-Les méthodes « probabilistes » Les méthodes « probabilistes » (Monte Carlo) (Monte Carlo)
-Les méthodes numériques Les méthodes numériques
--Les formules exactesLes formules exactes
![Page 61: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/61.jpg)
Le cas des unions de Le cas des unions de rectanglesrectangles
![Page 62: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/62.jpg)
Nombre de points tombant dans D/ Nombre de points « jetés »Nombre de points tombant dans D/ Nombre de points « jetés »
Méthode de Monte Carlo Méthode de Monte Carlo
![Page 63: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/63.jpg)
Un exemple d’ensemble fractal Un exemple d’ensemble fractal
(de la difficulté de mesurer (de la difficulté de mesurer tout et n’importe quoi !)tout et n’importe quoi !)
![Page 64: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/64.jpg)
Mesure « extérieure » d’un ensemble borné du plan Mesure « extérieure » d’un ensemble borné du plan
*(A) = inf ( mesure des unions de pavés recouvrant A) *(A) = inf ( mesure des unions de pavés recouvrant A)
![Page 65: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/65.jpg)
On peut « mesurer » A si et seulement si : On peut « mesurer » A si et seulement si :
Pour tout Pour tout >0 , il existe une union de pavés R>0 , il existe une union de pavés R telle que : telle que :
* (A * (A R R) < ) <
aire (A) = inf (aire (A) = inf (*(unions de pavés contenant A))*(unions de pavés contenant A))
![Page 66: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/66.jpg)
aa bb
(b-a)/N (sup(b-a)/N (supIk Ik f – inff – infIk Ik f) f) 0 0
Le cas des fonctions continues positives sur un segment Le cas des fonctions continues positives sur un segment [a,b] [a,b]
(b-a)/N (f(x(b-a)/N (f(xN,1N,1)+ f(x)+ f(xN,2N,2)+…+ f(x)+…+ f(xN,NN,N)) )) aire de {(x,y) ; 0 aire de {(x,y) ; 0y y f(x)} f(x)}
xxN,2N,2xxN,1N,1
IIkk
kk
![Page 67: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/67.jpg)
Définition de l’intégrale Définition de l’intégrale d’une d’une fonction continue sur [a,b]fonction continue sur [a,b]
f = sup (f,0) – sup (-f,0) = ff = sup (f,0) – sup (-f,0) = f++ - f - f--
[a,b] [a,b]
f(t) dt f(t) dt := aire {(x,y); 0 := aire {(x,y); 0 y y f f++(x)} – aire {(x,y) ; 0(x)} – aire {(x,y) ; 0 y y f f--(x)}(x)}
aa
bb
f(t) dt f(t) dt
![Page 68: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/68.jpg)
++--
++
![Page 69: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/69.jpg)
Le cas des fonctions à Le cas des fonctions à valeurs complexesvaleurs complexes
• f = Re (f) + i Im (f)f = Re (f) + i Im (f)
aa
bb
f(t) dt = f(t) dt = aa
bb
Re (f(t)) dt +i Re (f(t)) dt +i aa
bb
Im (f(t)) dtIm (f(t)) dt
![Page 70: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/70.jpg)
Propriétés de l’intégralePropriétés de l’intégrale
aa aa aa
bb bb bb
((f(t)+ f(t)+ g(t)) dt = g(t)) dt = f(t) dt + f(t) dt + g(t) dt g(t) dt
f f g sur [a,b] f(t) dt g sur [a,b] f(t) dt g(t) dt g(t) dt aa
bb
aa
bb
linéarité linéarité
monotonie monotonie
|| aabb
f(t) dtf(t) dt || aa
bb
| f(t) | dt | f(t) | dt
![Page 71: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/71.jpg)
Relation de Chasles Relation de Chasles
aa aa cc
bb cc bb
f(t) dtf(t) dt = =f(t) dt f(t) dt + + g(t) dtg(t) dt
xx
yy
yy
xx
avec la convention : f(t) dt = - f(t) dt avec la convention : f(t) dt = - f(t) dt
lorsque y < x lorsque y < x
(f continue sur I , a, b, c étant trois points de I) (f continue sur I , a, b, c étant trois points de I)
![Page 72: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/72.jpg)
Le théorème Le théorème « fondamental » de « fondamental » de l’analysel’analyse
Soit f une fonction continue sur un intervalle ouvert I Soit f une fonction continue sur un intervalle ouvert I de R et a un point de I . La fonction : de R et a un point de I . La fonction :
x x I I F(x) := f(t) dt F(x) := f(t) dt aa
xx
est dérivable sur I, de dérivée F’=f sur Iest dérivable sur I, de dérivée F’=f sur I
F primitive de f sur IF primitive de f sur I
![Page 73: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/73.jpg)
aa
bb
f’(t) dt = f(b) – f(a) f’(t) dt = f(b) – f(a)
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I, de dérivée continue sur Iouvert I, de dérivée continue sur ISoit [a,b] un segment inclus dans I ; alors : Soit [a,b] un segment inclus dans I ; alors :
![Page 74: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/74.jpg)
Application 1 : la formule Application 1 : la formule d’intégration « par d’intégration « par parties »parties »
Soit I un intervalle ouvert de R , f et g deux fonctions Soit I un intervalle ouvert de R , f et g deux fonctions dérivables sur I, avec f’ et g’ aussi continues sur I ; dérivables sur I, avec f’ et g’ aussi continues sur I ; si [a,b] est un segment de I : si [a,b] est un segment de I :
aa
bb
f’(t)f’(t) g(t)g(t) dt dt = = f(b)f(b) g(b)g(b) – – f(a)f(a) g(a)g(a) - - aa
bb
f(t)f(t) g’(t)g’(t) dt dt
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Application 2 : la formule Application 2 : la formule de changement de de changement de variables variables
Soit Soit II et et JJ deux intervalles ouverts de R deux intervalles ouverts de R
Soit u : Soit u : II JJ , , strictement monotonestrictement monotone, dérivable et , dérivable et de dérivée continue sur de dérivée continue sur [a,b] c I[a,b] c I avec avec cc := u( := u(aa), ), dd:= u(:= u(bb) ; ) ;
alors: alors:
c=u(c=u(aa))
d=u(d=u(bb))
f(s)f(s) ds ds = = aa
bb
f( u(t)) u’(t) dtf( u(t)) u’(t) dt
pour toute fonction continue f : J pour toute fonction continue f : J R R
![Page 76: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/76.jpg)
Quelques exemples Quelques exemples d’application de ces d’application de ces méthodesméthodes
• Expressions rationnelles en les fonctions trigonométriques Expressions rationnelles en les fonctions trigonométriques
• Expressions rationnelles en les fonctions trigonométriques Expressions rationnelles en les fonctions trigonométriques hyperboliqueshyperboliques
• Fonctions dont une dérivée à un certain ordre est une fraction Fonctions dont une dérivée à un certain ordre est une fraction rationnelle rationnelle
• Fonctions du type t Fonctions du type t t tnn exp ( exp ( t) t)
• Fonctions du type t Fonctions du type t t tnn cos ( cos ( t) ou t t) ou t t tnn sin ( sin (t) t)
• Fonctions du type x Fonctions du type x F(x, (ax F(x, (ax22+bx+c)+bx+c)1/21/2))
![Page 77: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/77.jpg)
Expressions rationnelles en Expressions rationnelles en les lignes trigonométriques les lignes trigonométriques • cos (t) = 2 coscos (t) = 2 cos22 (t/2) -1 (t/2) -1
= (1-u= (1-u22)/(1+u)/(1+u22))
• sin (t) = 2 sin (t/2) cos (t/2) sin (t) = 2 sin (t/2) cos (t/2) = 2u/(1+u= 2u/(1+u22))
t t ]- ]-, , [ [ u= tan (t/2) , t = 2 Arctan uu= tan (t/2) , t = 2 Arctan u
![Page 78: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/78.jpg)
aa
bbP(cos t, sin t)P(cos t, sin t)
Q(cos t, sin t)Q(cos t, sin t)
dtdt
1- u1- u22
------------1+u1+u22
1- u1- u22
------------1+u1+u22
2u2u------------1+u1+u22
2u2u------------1+u1+u22
2du2du------------1+u1+u22
tan (a/2)tan (a/2)
tan (b/2)tan (b/2)
[a,b] c ]-[a,b] c ]-, , [ [ u = tan (t/2) u = tan (t/2) t = 2 Arctan ut = 2 Arctan u
![Page 79: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/79.jpg)
P (cos P (cos , sin , sin ) = a) = a00 + (a + (ajj cos (k cos (kjj ) + b) + bjj sin sin (k(kjj))))
j=1j=1
j=Nj=N
Linéarisation des polynômes trigonométriquesLinéarisation des polynômes trigonométriques
dd aa00 aaj j sin (ksin (kjj ) – b) – bjj cos (k cos (kjj ) ) ------------------------------------------------------------------ kkjj
![Page 80: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/80.jpg)
aa
bbP( cosh t , sinh t )P( cosh t , sinh t )
Q(cosh t, sinh t )Q(cosh t, sinh t )
dtdt
u +(1/u)u +(1/u)-------------------- 22
u+(1/u)u+(1/u)-------------------- 22
u-(1/u)u-(1/u)---------------- 22
u-(1/u)u-(1/u)------------------ 22
dudu------------ uu
exp (a)exp (a)
exp(b)exp(b)
[a,b] c R [a,b] c R u = exp (t) u = exp (t) t = log ut = log u
Expressions rationnelles en les lignes trigonométriques Expressions rationnelles en les lignes trigonométriques hyperboliqueshyperboliques
![Page 81: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/81.jpg)
Intégrales abéliennesIntégrales abéliennes
• a > 0a > 0 ,, < 0 < 0
• a > 0 , a > 0 , = = >0 >0
• a < 0 , a < 0 , > 0 > 0
F ( x , axF ( x , ax22 + bx + c ) + bx + c ) aa [ [(x+b/2a)(x+b/2a)22 - - /4a/4a22]] VV dxdx
x = -b/2a + (x = -b/2a + (/2a) sinh u/2a) sinh u
x = -b/2a + (x = -b/2a + (/2a) cosh u/2a) cosh u ououx = -b/2a - (x = -b/2a - (/2a) cosh u/2a) cosh u
x = -b/2a + (x = -b/2a + (/2a) cos u/2a) cos u ououx = -b/2a - (x = -b/2a - (/2a) sin u/2a) sin u
bb22- 4 ac- 4 ac
![Page 82: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/82.jpg)
Primitives de fractions Primitives de fractions rationnellesrationnelles
P(x) R(x) P(x) R(x) ---- = a---- = akk x xkk + ----- + -----Q(x) Q(x) Q(x) Q(x)
k=0k=0
k=Nk=N
deg R < deg (Q)deg R < deg (Q)
dxdx aakk x xk+1k+1 ------------------ k+1k+1 dxdx
Cas particuliersCas particuliers : deg (Q) = 1 et : deg (Q) = 1 et deg (Q) =2deg (Q) =2
??
![Page 83: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/83.jpg)
x + x +
a xa x22 + bx + c + bx + c a (x –xa (x –x11) (x-x) (x-x22))
Premier cas : bPremier cas : b22-4ac >0-4ac >0
|| ||
uu11 uu22
------ + ------------- + ------- x-xx-x11 x- x x- x22
dxdx
uu11 log |x-x log |x-x11|| uu22 log |x-x log |x-x22||
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x + x +
a xa x22 + bx + c + bx + c a (x –xa (x –x00))22
Second cas : bSecond cas : b22-4ac = 0-4ac = 0
|| ||
xx00 + + ------- + ---------------- + --------- a(x-xa(x-x00) a (x- x) a (x- x00))22
dxdx
log |x-xlog |x-x00||------------------------------ a a
- (- (xx00 + + ))------------------------------ a (x-xa (x-x00) )
![Page 85: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/85.jpg)
x + x +
a xa x22 + bx + c + bx + c a a [[((x +(b/2a)x +(b/2a)))2 2 + ( + (22/4a/4a22))]]
Troisième cas : bTroisième cas : b22-4ac = --4ac = - < 0 < 0
|| ||
x + (b/2a) x + (b/2a) vv uu ------------------- + ------------------ ------------------- + ------------------ (x +(b/2a))(x +(b/2a))22 + ( + (22/4a/4a22)) (x+(b/2a))(x+(b/2a))22 + ( + (22/4a/4a22))
dxdx
uu log log [[ (x+(b/2a)) (x+(b/2a))22 + +
((22/4a/4a22))]] ------------------------------------------------------------------------ 2 2
2a2avv x + (b/2a) x + (b/2a) ---- Arctan 2a --------------------- Arctan 2a -----------------
![Page 86: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/86.jpg)
Equations différentiellesEquations différentielles
F ( t , y(t) , y’(t)) = 0 , t F ( t , y(t) , y’(t)) = 0 , t II
F ( t , y(t) , y’(t) , y’’ (t)) = 0 , t F ( t , y(t) , y’(t) , y’’ (t)) = 0 , t II
TempsTemps positiopositionn
vitessevitesse
accélérationaccélération
ordre 1ordre 1
ordre 2ordre 2
![Page 87: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/87.jpg)
Equations linéaires Equations linéaires d’ordre 1d’ordre 1
y’ (t) = a(t) y(t) + b(t) , t y’ (t) = a(t) y(t) + b(t) , t I I
(a et b fonctions continues de I dans R ou C)(a et b fonctions continues de I dans R ou C)
Condition « initiale » : y(tCondition « initiale » : y(t00) = y) = y00
(t(t00 I , y I , y00 R ou C) R ou C)
++
![Page 88: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/88.jpg)
L’approche numérique : L’approche numérique : méthode d’Eulerméthode d’Euler
• Se fixer des conditions initiales tSe fixer des conditions initiales t00, y, y00
• Choisir un pas de temps Choisir un pas de temps
• Choisir T = « durée de vie » tel Choisir T = « durée de vie » tel que [tque [t00, T] soit inclus dans I, T] soit inclus dans I
uu,0,0 = y = y00
uu,n+1,n+1 = u = u,n,n + + (( a(t a(t00 + n + n) u) u,n,n + b(t + b(t00+n+n))) ) (tant que t(tant que t00 + n + n T)T)
approximation de y(tapproximation de y(t00 + n + n))
![Page 89: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/89.jpg)
Le théorème de CauchyLe théorème de Cauchy Hypothèses : Hypothèses :
- I intervalle ouvert de R - I intervalle ouvert de R - a et b fonctions continues de I dans R (ou C)- a et b fonctions continues de I dans R (ou C)
- t- t00 I y I y00 R ou C (données initiales) R ou C (données initiales) Conclusion :Conclusion :
Il existe une Il existe une uniqueunique fonction fonction y : I y : I R (ou C) telle que : R (ou C) telle que :
y’ (t)= a(t) y(t) + b(t) pour t dans I y’ (t)= a(t) y(t) + b(t) pour t dans I y(ty(t00) = y) = y00 (condition initiale) (condition initiale)
Il existe une Il existe une uniqueunique courbe intégrale courbe intégrale de l’équation différentielle de l’équation différentielle
y’(t)= a(t) y(t) + b(t) y’(t)= a(t) y(t) + b(t)
passant par le point (tpassant par le point (t00,y,y00))
![Page 90: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/90.jpg)
L’attaque du problème : L’attaque du problème : étape 1 : résolution de l’équation homogèneétape 1 : résolution de l’équation homogène
y ’ (t) = a(t) y(t) + b (t)y ’ (t) = a(t) y(t) + b (t)
A (t) = a(t) dtA (t) = a(t) dt tt00
tt
fonction auxiliaire : fonction auxiliaire : YY(t) = y(t) exp (-A (t))(t) = y(t) exp (-A (t))
YY’ = 0’ = 0YY = constante = constante
y (t) = y (t) = CC exp (A (t)) exp (A (t))
1 degré de 1 degré de libertéliberté
![Page 91: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/91.jpg)
L’attaque du problème : L’attaque du problème : étape 2 : recherche d’une solution particulière de l’équation étape 2 : recherche d’une solution particulière de l’équation
complètecomplète y ’ (t) = a(t) y(t) + b (t)y ’ (t) = a(t) y(t) + b (t)
y (t) =y (t) = C(t)C(t) exp (A (t))exp (A (t)) variation de la constantevariation de la constante
((C’(t) + a(t) C(t)C’(t) + a(t) C(t)) ) exp(A(t)) = a(t) C(t) exp (A(t)) + b(t)exp(A(t)) = a(t) C(t) exp (A(t)) + b(t)
C’ (t) = b(t) exp (-A (t))C’ (t) = b(t) exp (-A (t))
C(t) = C + C(t) = C + b(u) exp (-A(u)) b(u) exp (-A(u))
dudu
tt
tt00
yypart part (t)(t) = = exp(A(t))exp(A(t))
![Page 92: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/92.jpg)
Le bilan finalLe bilan final Solutions de l’équation y’(t)=a(t) y(t)+ b(t) :Solutions de l’équation y’(t)=a(t) y(t)+ b(t) :
y(t) = exp(A(t)) y(t) = exp(A(t)) (( CC + + b(u) exp(-A(u)) du b(u) exp(-A(u)) du ))tt00
tt
Condition initiale : y(tCondition initiale : y(t00) = y) = y0 0
zz00
avec condition initiale : y(tavec condition initiale : y(t00) = y) = y00
zz00=y=y0 0 exp(-A(texp(-A(t00))=y))=y00
![Page 93: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/93.jpg)
Les équations de J. Les équations de J. BernouilliBernouilli
y’(t) = a(t) y(t) + b(t) [y(t)]y’(t) = a(t) y(t) + b(t) [y(t)]
(( R \ {0,1}) R \ {0,1})
Condition initiale : y(tCondition initiale : y(t00) = y) = y00 > 0 > 0
Fonction auxiliaire : z(t) = [y(t)] Fonction auxiliaire : z(t) = [y(t)] 1-1-
z’(t) = (1-z’(t) = (1-) a(t) z(t) + (1-) a(t) z(t) + (1-) b(t)) b(t)
z(tz(t00) = y) = y001-1-
![Page 94: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/94.jpg)
Equations linéaires Equations linéaires d’ordre 2d’ordre 2
y’’ (t) = a(t) y’(t) + b(t) y(t) + c(t) , t y’’ (t) = a(t) y’(t) + b(t) y(t) + c(t) , t I I
(a,b,c fonctions continues de I dans R ou C)(a,b,c fonctions continues de I dans R ou C)
Conditions « initiales » : y(tConditions « initiales » : y(t00) = y) = y00 y’(ty’(t00)=v)=v00
(t(t00 I , y I , y00 , v , v0 0 R ou C) R ou C)
++
![Page 95: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/95.jpg)
Un exemple de motivation : une Un exemple de motivation : une cellule electronique d’ordre 2cellule electronique d’ordre 2
f(t) = Uf(t) = UAA –U –UBB (t) (t) y(t) = Uy(t) = Ucc –U –UDD (t) (t)
Lc Lc y’’ (t)y’’ (t) + R c + R c y’(t)y’(t) + + y(t)y(t) = f(t) = f(t)
i i
(U(UAA – U – UC C ) (t) = R i(t) + L di/dt c (U) (t) = R i(t) + L di/dt c (UCC-U-UDD)’ (t) = i (t))’ (t) = i (t)
![Page 96: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/96.jpg)
L’approche numérique : L’approche numérique : méthode d’Eulerméthode d’Euler • Se fixer des conditions initiales tSe fixer des conditions initiales t0 0 , y, y0 0 , v, v00
• Choisir un pas de temps Choisir un pas de temps
• Choisir T = « durée de vie » tel Choisir T = « durée de vie » tel que [tque [t00, T] soit inclus dans I, T] soit inclus dans I
uu,0,0 = y = y0 0 ,, uu,1,1=y=y00 + + v v00
uu,n+2,n+2 = u = u,n,n ((22 b(t b(t00+n+n) –) – a(t a(t00+n+n)-1)-1)) + u+ u,n+1,n+1 (( a(t a(t00 + n + n) + 2) + 2) + ) + 22 c(tc(t00+n+n))
(tant que t(tant que t00 + n + n T) T)
approximation de y(tapproximation de y(t00 + n + n))
![Page 97: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/97.jpg)
Le théorème de CauchyLe théorème de Cauchy Hypothèses : Hypothèses :
- I intervalle ouvert de R - I intervalle ouvert de R - a , b , c fonctions continues de I dans R (ou C)- a , b , c fonctions continues de I dans R (ou C)
- t- t00 I y I y0 0 , v, v00 R ou C (données initiales) R ou C (données initiales) Conclusion :Conclusion :
Il existe une Il existe une uniqueunique fonction fonction y : I y : I R (ou C) telle que : R (ou C) telle que :
y’’ (t)= a(t) y’(t) + b(t) y(t) + c(t) pour t y’’ (t)= a(t) y’(t) + b(t) y(t) + c(t) pour t dans I dans I y(ty(t00) = y) = y00 , y’(t , y’(t00)=v)=v00 (conditions initiales) (conditions initiales)
Il existe une Il existe une uniqueunique courbe intégrale de courbe intégrale de l’équation différentielle l’équation différentielle
y’’(t)= a(t) y’(t) + b(t) y(t) + c(t) y’’(t)= a(t) y’(t) + b(t) y(t) + c(t)
passant par le point (tpassant par le point (t00,y,y00) et ayant au point ) et ayant au point (t(t00,y,y00) une tangente de pente v) une tangente de pente v00
![Page 98: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/98.jpg)
Le cas « à coefficients Le cas « à coefficients
constants »constants » Hypothèses : Hypothèses :
- I intervalle ouvert de R - I intervalle ouvert de R - a , b - a , b R ou C , c fonction continue de I dans R (ou C) R ou C , c fonction continue de I dans R (ou C)
- t- t00 I y I y0 0 , v, v00 R ou C (données initiales) R ou C (données initiales) Conclusion :Conclusion :
Il existe une Il existe une uniqueunique fonction fonction y : I y : I R (ou C) telle que : R (ou C) telle que :
y’’ (t)= a y’(t) + b y(t) + c(t) pour t dans I y’’ (t)= a y’(t) + b y(t) + c(t) pour t dans I y(ty(t00) = y) = y00 , y’(t , y’(t00)=v)=v00 (conditions initiales) (conditions initiales)
Il existe une Il existe une uniqueunique courbe intégrale de courbe intégrale de l’équation différentielle l’équation différentielle
y’’(t)= a y’(t) + b y(t) + c(t) y’’(t)= a y’(t) + b y(t) + c(t)
passant par le point (tpassant par le point (t00,y,y00) et ayant au point ) et ayant au point (t(t00,y,y00) une tangente de pente v) une tangente de pente v00
![Page 99: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/99.jpg)
L’attaque du problème : L’attaque du problème : étape 1 : résolution de l’équation étape 1 : résolution de l’équation homogènehomogène
y’’(t) – a y’ (t) – b y(t) = 0 , t y’’(t) – a y’ (t) – b y(t) = 0 , t R R
a , b a , b C C
XX22 – a X – b = 0 (équation caractéristique) – a X – b = 0 (équation caractéristique)
y(t) = exp ( y(t) = exp ( ww t) solution ? t) solution ? ??
ww22 – a w – b = 0 – a w – b = 0
cas 1 : acas 1 : a22 + 4 b non nul + 4 b non nul ww11 et w et w22 distinctesdistinctes y = y = CC11 exp(w exp(w11t) + t) + CC22 exp (w exp (w22 t) OK t) OK
cas 2 : acas 2 : a22 + 4 b = 0 + 4 b = 0ww11= w= w22 =w =w y = y = CC11 exp(w exp(w t) + t) + CC22 t exp (w t) OK t exp (w t) OK
= (X- w= (X- w11) (X-w) (X-w22))
![Page 100: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/100.jpg)
L’attaque du problème : L’attaque du problème : résolution de l’équation homogène (cas complexe résolution de l’équation homogène (cas complexe (2))(2))a , b complexes + a , b complexes + conditions initiales (yconditions initiales (y0 0 , v, v00 C) C)
cas 1 : acas 1 : a22 + 4 b non nul + 4 b non nul ww11 et w et w22 distinctesdistinctes y = y = CC11 exp(w exp(w11t) + t) + CC22 exp (w exp (w22 t) OK t) OK
cas 2 : acas 2 : a22 + 4 b = 0 + 4 b = 0
ww11= w= w22 =w =w y = y = CC11 exp(w exp(w t) + t) + CC22 t exp (w t) t exp (w t) OKOK
yy11(t)(t)
yy11(t)(t)
yy22(t)(t)
yy22(t)(t)
CC11 y y11(t(t00) + ) + CC22 y y22(t(t00) = y) = y00
CC11 y’ y’11(t(t00) + ) + CC22 y’ y’22(t(t00) = v) = v00
système de Cramer !système de Cramer ! solution (Csolution (C11,C,C22))unique !!unique !!
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L’attaque du problème : L’attaque du problème : l’équation homogène dans le cas réel l’équation homogène dans le cas réel (1)(1)
y’’(t) – a y’ (t) – b y(t) = 0 , t y’’(t) – a y’ (t) – b y(t) = 0 , t R R
a , b a , b R RXX22 – a X – b = 0 (équation caractéristique) – a X – b = 0 (équation caractéristique)
cas 1 : acas 1 : a22 + 4 b > 0 + 4 b > 0 11 et et 22 réels réels distinctsdistincts y = y = CC11 exp( exp(11t) + t) + CC22 exp ( exp (22 t) OK t) OK
cas 2 : acas 2 : a22 + 4 b = 0 + 4 b = 0
racine réelle racine réelle doubledouble y = y = CC11 exp( exp( t) + t) + CC22 t exp ( t exp ( t) OK t) OK
= (X- = (X- 11) (X-) (X-22))
cas 3 : acas 3 : a22 + 4 b < 0 + 4 b < 0 y = exp(y = exp( t) (t) (CC11 cos( cos(t) + t) + CC22 sin ( sin ( t)) OK t)) OKracinesracines +/- i +/- i
= a/2 >0 : oscillations = a/2 >0 : oscillations amplifiéesamplifiées
= a/2 <0 : oscillations = a/2 <0 : oscillations amortiesamorties
inf(inf(jj)>0 : « explosion »)>0 : « explosion »
sup(sup(jj)<0 : « extinction »)<0 : « extinction »
>0 : « explosion »>0 : « explosion »
<0 : « extinction »<0 : « extinction »
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L’attaque du problème : L’attaque du problème : résolution de l’équation homogène (cas réel résolution de l’équation homogène (cas réel (2))(2))a , b réels + a , b réels + conditions initiales (yconditions initiales (y0 0 , v, v00 R) R)
cas 1 : acas 1 : a22 + 4 b > 0 + 4 b > 0 y = y = CC11 exp( exp(11t) + t) + CC22 exp ( exp (22 t) OK t) OK
cas 2 : acas 2 : a22 + 4 b = 0 + 4 b = 0 y = y = CC11 exp( exp( t) + t) + CC22 t exp ( t exp ( t) t) OKOK
yy11(t)(t)
yy11(t)(t) yy22(t)(t)
CC11 y y11(t(t00) + ) + CC22 y y22(t(t00) = y) = y00
CC11 y’ y’11(t(t00) + ) + CC22 y’ y’22(t(t00) = v) = v00
système de Cramer !système de Cramer ! solution (Csolution (C11,C,C22))unique !!unique !!
yy22(t)(t)
cas 3 : acas 3 : a22 + 4 b < 0 + 4 b < 0
y = y = CC11 exp( exp( t) cos (t) cos ( t) + t) + CC22 exp ( exp ( t) sin ( t) sin ( t) OK t) OKyy11 (t) (t) yy22 (t) (t)
![Page 103: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/103.jpg)
Recherche d’une solution Recherche d’une solution particulière de l’équation « avec particulière de l’équation « avec
second membre »second membre »
I . Méthode de « variation des constantesI . Méthode de « variation des constantes
y’’(t)=a y’(t) + b y(t) + c(t)y’’(t)=a y’(t) + b y(t) + c(t)
y(t) = Cy(t) = C11 y y11(t) + C(t) + C22 y y22(t)(t)CC11(t)(t) CC22(t)(t)
+ c(t)+ c(t)
OK dès queOK dès que : :
{{C’C’11 y y11 + + C’C’22 y y22 = 0 = 0 C’C’11 y’ y’11 + + C’C’22 y’ y’22 = c = c
système de Cramer !système de Cramer !
Solution unique (CSolution unique (C11’,C’,C22’)’)
yy22 (u) c(u) (u) c(u) CC11’(u) = - ------------------’(u) = - ------------------ (y(y11 y y22’ – y’ – y22 y y11’)(u)’)(u)
yy11 (u) c (u) (u) c (u) CC22’(u) = ------------------’(u) = ------------------ (y(y11 y y22’ – y’ – y22 y y11’)(u)’)(u)
CC11(t)(t) tt00
tt
dudu
tt00
tt
CC22(t)(t) dudu
yypartpart(t)(t)
![Page 104: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/104.jpg)
Bilan : la solution du Bilan : la solution du problème de Cauchyproblème de Cauchy (cond. (cond. initiales : yinitiales : y00,v,v00))
y (t) =y (t) = C C11 yy11(t) +(t) + C C22 yy22 (t) + (t) + tt00
ttc(t) c(t) ((yy11(u)(u) yy22 (t) (t) – – yy22 (u) (u) yy11 (t) (t)))------------------------------------ du ------------------------------------ du yy11(u) y(u) y22’(u) – y’(u) – y22(u)y(u)y11’(u) ’(u)
CC11 yy11(t(t00)) ++ C C22 yy22 (t (t00) =) = y y00
CC11 yy11’(t’(t00)) ++ C C22 yy22’(t’(t00)) == v v00
solution générale de solution générale de l’équation l’équation
y’’(t) – a y’(t) – by(t)=0y’’(t) – a y’(t) – by(t)=0
solution particulière de solution particulière de l’équation l’équation
y’’ (t) – a y’(t) – b y(t) = c(t)y’’ (t) – a y’(t) – b y(t) = c(t)
![Page 105: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/105.jpg)
RemarqueRemarque II. Une autre méthode pour la recherche d’une II. Une autre méthode pour la recherche d’une solution particulière de y’’(t) – a y’(t) – by(t) = c(t)solution particulière de y’’(t) – a y’(t) – by(t) = c(t)
Si le second membre c est de la forme :Si le second membre c est de la forme :
P(t) exp(P(t) exp(t) , t) , C C
P(t) cos (P(t) cos (t) , t) , R R
P(t) sin (P(t) sin (t) , t) , R R
OnOn cherche une solution particulière de la forme :cherche une solution particulière de la forme :
yypartpart(t) = Q (t) exp ((t) = Q (t) exp (t), deg (Q) t), deg (Q) deg (P) +2 deg (P) +2
(par exemple par identification)(par exemple par identification)
![Page 106: III. Fonctions numériques et modélisation (intégration,équations différentielles,…)](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062407/56812bbb550346895d8ffe9c/html5/thumbnails/106.jpg)
Fin du Chapitre 3Fin du Chapitre 3