III-Cinemática Del Sólido Rígido
-
Upload
roberto-e-mencia -
Category
Documents
-
view
236 -
download
0
Transcript of III-Cinemática Del Sólido Rígido
-
7/23/2019 III-Cinemtica Del Slido Rgido
1/14
1. MOVIMIENTO DE TRASLACIN
2. MOVIMIENTO DE ROTACIN
3. MOVIMIENTO PLANO GENERAL
CINEMTICA DEL SLIDO RGIDO
-
7/23/2019 III-Cinemtica Del Slido Rgido
2/14
Objetivos Apartados .
Definir el concepto de slido rgidoMotivacinDefinir la traslacin, la rotacin y el movimiento
plano general de un slido rgido.................1,2, 3 Obtener la expresin de la velocidad y aceleracin de lospuntos de un slido rgido en el movimiento de traslacin,en el de rotacin y en el movimiento plano general........................1,2, 3Comprobar que la velocidad angular en el movimientoplano general de un slido es la misma independientemente
del punto del slido elegido como origen del sistema mvil..............3Resolver ejercicios sobre los distintos tipos de movimientotratados en el captulo.........................................................................1,2,3
-
7/23/2019 III-Cinemtica Del Slido Rgido
3/14
PROBLEMASy TEORA QUE HAN DE SERTRABAJADOS
- FSICA : 200 PROBLEMAS TILES
- Problemas del 47-48, 50, 51(slo velocidad angular)
- FUNDAMENTOS FSICOS DE LA INGENIERA (I):
- Captulo 7. Apartados: 7.1.1-7.1.2-7.1.3
-
7/23/2019 III-Cinemtica Del Slido Rgido
4/14
Motivacin
En muchos de los fenmenos en que intervienen,los objetos realesno pueden ser consideradoscomo masas puntuales o partculas.
No obstante, siempre que las deformaciones
que sufran sean despreciables, se puedenconsiderar como un conjunto casi infinito departculas infinitesimales en el que la distanciaentre ellas permanece constante. Esto es lo que
se conoce como slido rgido. Es por tanto de sumo inters saber describir el
movimiento de un slido rgido, esto es, estudiarsu cinemtica.
-
7/23/2019 III-Cinemtica Del Slido Rgido
5/14
Cinemtica del slido rgido
1. Traslacin: Se dice que un slido rgido tiene movimiento de traslacin cuandopara cualquier par de puntos del slido, A y B, lalnea recta que los une
permanece en todo instante paralela a s misma.Esto es equivalente a decir que:
Las componentes delvector ABpermanecenconstantes durante elmovimiento.
Por lo tanto se cumplir que: (1)
Volviendo a derivar obtenemos que:(2)
Es decir, en el movimiento de traslacin pura, todos los puntos del slido tienen lamisma velocidad, la misma aceleracin y trayectorias paralelas.
- Si la trayectoria de los puntos del slido es una recta, la traslacin es rectilnea.- La traslacin es curvilnea si la trayectoria descrita por sus puntos es una curva.
0ABdt
d
A
r
X
Z
Y
A
''B
''A
'B
'A
B
Br
0dt
rd
dt
rdAB
dt
drrAB
AB
AB
dt
vd
dt
vdAB
AB
vv
AB aa
-
7/23/2019 III-Cinemtica Del Slido Rgido
6/14
2. Rotacin en torno a un eje fijo
Para que un slido rgido tenga movimiento de rotacin ha de tener dos puntos fijos, Ay B, y, por tanto, todos los de la recta que los une. Dicha recta es el eje de rotacin,que ennuestro caso consideraremos fijo en el espacio.
Los puntos del slido no pertenecientes al ejederotacin describen circunferencias situadas en planosperpendiculares a dicho eje y con centro en l.Como vimos , al estudiar el movimiento circular, la
velocidad de un punto P cualquiera del slido ser, entonces:
(3)
Derivando respecto de t, obtendremos la aceleracin del punto P:
(4)
Siendo, de nuevo, como vimos al estudiar el movimiento circular:
- La componente tangencialde la aceleracin (5)
- La componente normal (6)
Pr
X
Z
Y
P
P
P rOP
dtrdv
)()(
PP
P
PP
P
P
rr
dt
rdr
dt
dr
dt
d
dt
vda
:
Pr
)(
Pr
B
A
O
PvP
-
7/23/2019 III-Cinemtica Del Slido Rgido
7/14
Ejemplo 1
Una estacin espacial tiene una forma toroidal de radio R = 500m y gira con velocidadangular constante en torno al eje Z. Calcular:a)El nmero de revoluciones por minuto que debedar para que la aceleracin en A sea igual a g.b) El mdulo de la velocidad de A.
X
Z
Y
A
O
O
A
-
7/23/2019 III-Cinemtica Del Slido Rgido
8/14
3. Movimiento plano general. Este es un caso particular del movimiento general
del slido de especial inters. Movimiento plano: es aquel movimiento en el cada partcula del slido se
mueve en un plano. No necesariamente el mismo para todas.Movimiento plano general: es aquel movimiento plano que no es ni una
traslacin pura ni una rotacin pura pero que, como veremos, se puedeconsiderar conceptualmente como la suma de una traslacin ms una rotacin.Ejemplos:
= +
Movimiento completo Traslacin Rotacin
= +
Movimiento completo Traslacin Rotacin
1A
2B
1A
1B'
1B
2A
'
1B
2B
'
1A
1A 2A
1B
2B
1A 2
A
'
1B
1B
'
1B
2B
2A
2A
2
A
1B
-
7/23/2019 III-Cinemtica Del Slido Rgido
9/14
Para estudiar analticamente este movimiento, consideremos un slido rgido conun movimiento plano cualquiera y dos puntosA y B del slido cualesquiera.
Tomemos dos sistemas de referencia:- El OXYZ inercial y fijo en el espacio- El AXYZ fijo en el slido y por lo tanto mvil respecto al sistema fijo OXYZ.
Siguiendo los pasos del captulo anterior, escribimos previamente los vectores deposicin y su dependencia o no con el tiempo.
Traslacin + rotacin
Como se desprende de la figura, la relacin
entre ellos es:
La velocidad del punto B respecto del sistema fijo,obtenida derivando laexpresin anterior, se podr expresar de la siguiente manera:
A
Y
X
O
'B
B
B
A
'X
'Y
Z
'Z
'X
'Y
'Z)(' tr
ktzjtyitxOBtrB )()()()(
ktzjtyitxOAtr AAAA )()()()(
)('')('')('')(' tkztjytixABtr
)(trB
)(trA
)(')()(: trtrtrtAB
:cuerpoByAyt
-
7/23/2019 III-Cinemtica Del Slido Rgido
10/14
siendo la velocidad angular de giro del slido en torno aleje de rotacin.
Esta ecuacin fundamental define el campo de velocidadesdel slidoy permite decir que:
El movimiento plano ms generalde un slido rgido puede considerarse como una
traslacin, con velocidad igual a la de un punto A del slido, ms una rotacin en torno a unejeque pase por dicho punto
(7)
A
)(trB
)(trA
)(' tr
'X
'Y'Z
O
Z
Y
B
X
)()()()(')()()( tABttvtrttvtvAAB
0 0 0
kdt
dzj
dt
dyi
dt
dxk
dt
dzj
dt
dyi
dt
dx
dt
ABd
dt
rd
dt
rd
dt
rd
dt
rdt AAAAAB
':
dt
kd
zdt
jd
ydt
id
xkdt
dz
jdt
dy
idt
dx ''
''
'''
''
''
'
)'('
kz )'('
jy )'('
ix
ABttvtvAB )()()(
-
7/23/2019 III-Cinemtica Del Slido Rgido
11/14
La velocidad angular es la misma para todos los puntos del slido. Esto es sisituamos el origen mvil en otro punto C, la velocidad de rotacin es la misma.
Efectivamente, si previamente expresamos la velocidad del punto C manteniendoel origen mvil en A, podemos hacer uso de (7) y escribir:
Restando (8) de (7), obtenemos:
Expresin que nos dice que tambinpodemos expresar la velocidad del punto
B como suma de la velocidad de traslacinde otro punto C, distinto del A, ms una
rotacin en torno a un eje que pase por dicho punto
y con la misma velocidad angular que en el caso anterior. Si derivamos el vector velocidad de B respecto del tiempo, obtendremos suaceleracin:
A
Y
X
O
BB
A
C
Z
dtABdAB
dtdaa
ABdt
d
dt
vdABv
dt
drv
dt
dv
dt
d
AB
A
AAB
)()()'(
)9(
)8(
ACvv AC
CBACAB
ACvABvvv AACB
)(
CBvv CB
C
)(
ABABaa AB
)(trB
-
7/23/2019 III-Cinemtica Del Slido Rgido
12/14
Puesto que, como acabamos de comprobar:
La expresin (9), que define el llamado campo de aceleraciones del slido rgido, nosdice que:
La aceleracin de un punto B del slido es igual a la de otro punto cualquiera A
ms la aceleracin( normal y tangencial) de B en una rotacin de velocidad angular
y aceleracin en torno a un eje, perpendicular al plano del movimiento, que
pase por A
0 0 0
dt
kdz
dt
jdy
dt
idxk
dt
dzj
dt
dyi
dt
dx
dt
rd
dt
ABdt
''
''
'''
''
''
'':
)'('
kz )'('
jy )'('
ix
-
7/23/2019 III-Cinemtica Del Slido Rgido
13/14
Ejemplo 2
En el sistema mecnico de la figura, la manivela AB tiene una velocidad angularconstante, en el sentido de las manecillas del reloj, de 2000rpm. Para la posicinde la manivela indicada en la figura, determinar:
a) La velocidad angular de la manivela AB en rad/s.b) La velocidad del pistn P.c) La aceleracin angular de la biela BD y la aceleracin del punto D.
Datos adicionales:
Ejercicios de entrega voluntaria
I) Demostrar, al igual que se ha hecho con la velocidad, que si se sita el origen delsistemamvil en otro punto C, la aceleracin de B viene dada por una expresinsimilar a (9), con las mismas aceleracin y velocidad angulares que en (9).
II) Obtener las expresiones (1), (2), (3), (4), (7) y (9) deducindolas comosituaciones particulares de los casos tratados en los apartados 2, 4 y 5 del captulo
anterior, sobre Movimiento relativo.
A
B
D
40P
cmLcmLBDAB
80;30
X
Y
-
7/23/2019 III-Cinemtica Del Slido Rgido
14/14
Ejemplo 3Una viga AB, de longitud L, ha de introducirse horizontalmente en un corredor de
anchura 0,2L. La maniobra se efectuar desplazando el extremo A sobre una delas paredes del corredor a la vez que la viga desliza sobre la esquina que la otraotra pared forma con la fachada del edificio donde se encuentra la entrada del
corredor. La zona de la calle invadida por la viga durante la maniobra deber seraislada como medida de seguridad. Determinar:
a) La velocidad angular de la viga en funcin de lavelocidad del extremo A y del ngulo .b) La componente Y de la velocidad del extremo B,en funcin, igualmente, de y .
c) El valor de para el cual la componente anteriorse anula.d) La anchura bde la zona de seguridad.
Ejemplo 4Una tuerca es obligada a desplazarse a lo largo del eje del tornillo con velocidadconstante . Si la rosca de ambos tiene el paso p, determinar:a) La velocidad angular de rotacin de la tuerca alrededor del eje del tornillo.b) La velocidad de un punto A de la periferia de la tuerca que dista del eje de girouna distancia d.c) La relacin entre el nmero de vueltas dadas por la tuerca y el avanceconsiguiente a lo largo del eje del tornillo.
b
L
L2,0
AvA
B
Av
0v