ÜÇGEN ‹LE ‹LG‹L‹ TEMEL KAVRAMLAR

Tan›m (Çokgen) : n > 2 olmak üzere, bir düzlemde A1, A2, A3,...,An gibi birbirinden farkl›,herhangi üçü do¤rusal olmayan n nokta verilsin. Uç noktalar› d›fl›nda kesiflmeyen [A1A2], [A2A3],[A3A4], ... , [AnA1] n›n birleflimine çokgen denir.

Verilen n noktaya çokgenin köfleleri, do¤ru parçalar›na çokgenin kenarlar›, kenarlar›noluflturdu¤u aç›lara da çokgenin aç›lar› denir.

Kenarlar d›fl›nda köfleleri birlefltiren do¤ru parçalar›na çokgenin köflegenleri denir.

Tan›m : Konveks bölge oluflturan çokgenlere konveks (d›flbükey) çokgen denir. Konveks çokgende, bütün kenarlar ve köfleler her bir kenar›n ayn› taraf›nda bulunur.

Tan›m : Konkav bölge oluflturan çokgenlere konkav (içbükey) çokgen denir.

Tan›m : Üç kenarl› çokgene üçgen denir.A, B ve C do¤rusal olmayan üç nokta olsun. [AB], [BC] ve [CA] n›n birleflimine ABC üçgeni denir.

A¿BC = [AB] ∪ [BC] ∪ [CA]fiekildeki üçgen üç köfle yan yana yaz›larak ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA gibi 6 de¤iflik flekildeadland›r›labilir.

A, B ve C noktalar› üçgenin köfleleri, [AB], [BC] ve [CA] kenarlar›, |BC| = a, |AC| = b ve |AB| = c

kenar uzunluklar›, BéAC, AéBC ve B éCA aç›lar› üçgenin iç aç›lar›, iç aç›lar›n komflu bütünleri olanaç›lar da d›fl aç›lar› olarak adland›r›l›r.Üçgenin kenar uzunluklar› a, b ve c ile gösterildi¤i gibi kenarlar› da k›saca a, b ve c ile gösterilebilir.

BéAC, AéBC ve B éCA üçgenin iç aç›lar›d›r.

EéAB, FéBC ve DéCA üçgenin d›fl aç›lar›d›r.

E

DCB

F

A

A

B Ca

bc

E D

C

B

A

A

B

C

DE

Konveks çokgen Konkav çokgen

A

B C

BD

C

A A

B

C

D

A

B

C

D

E A

B C

D

E

Üçgen Dörtgen Beflgen

III. BÖLÜM ÜÇGENLER

63

ÜÇGEN ÇEfi‹TLER‹1. Kenarlar›na Göre Üçgen Çeflitleria. Çeflitkenar üçgen: Kenar uzunluklar› farkl› olan üçgenlere çeflitkenar üçgen denir.

|AB| ≠ |BC| ≠ |AC| ise ABC üçgeni çeflitkenar üçgendir.b. ‹kizkenar üçgen: ‹ki kenar› efl olan üçgenlere ikizkenar üçgen denir. Efl olan kenarlara

üçgenin yan (ikiz) kenarlar›, di¤er kenara taban, taban›n karfl›s›ndaki köfleye üçgenin tepesi,köflesi tepe noktas› olan aç›ya tepe aç›s›, di¤er aç›lara da taban aç›lar› denir.

|AB| = |AC| ≠ |BC| ise ABC üçgeni ikizkenar üçgendir. [AB] ve [AC] yan kenarlar›, [BC] taban›, B éAC

tepe aç›s›, AéBC ve AéCB da taban aç›lar›d›r.c. Eflkenar üçgen: Bütün kenarlar› efl olan üçgenlere eflkenar üçgen denir.

[AB] ≅ [BC] ≅ [AC] ise ABC üçgeni eflkenar üçgendir.

2. Aç›lar›na Göre Üçgen Çeflitleria. Dar aç›l› üçgen: Bütün aç›lar› dar aç› olan üçgenlere dar aç›l› üçgen denir.b. Dik üçgen: Bir aç›s› dik aç› olan üçgenlere dik üçgen denir. Dik aç›n›n karfl›s›ndaki kenara

hipotenüs, di¤er kenarlara da dik kenar ad› verilir.

m(ëA) = 90° ise ABC üçgeni dik üçgendir. [BC] kenar› üçgenin hipotenüsü, [AB] ve [AC] kenarlar› dadik kenarlard›r. Üçgenin di¤er aç›lar› dar aç›d›r. Niçin?

m(ëA) < 90°, m(ëB) < 90° ve m( ëC) < 90° ise ABC üçgeni dar aç›l› üçgendir.c. Genifl aç›l› üçgen: Bir aç›s› genifl aç› olan üçgenlere genifl aç›l› üçgen denir.

m(ëA) > 90° ise ABC üçgeni genifl aç›l› üçgendir. Üçgenin di¤er aç›lar› dar aç›d›r. Niçin?

ÜÇGEN‹N YARDIMCI ELEMANLARI1. Kenarortay: Bir üçgenin bir köflesini karfl› kenar›n orta noktas›na birlefltiren do¤ru parças›na

o kenara ait kenarortay› denir.A

B D C

A

B D C

GEF

|BD| = |DC| ise |AD| = Va

|EC| = |EA| ise |BE| = Vb

|AF| = |FB| ise |CF| = Vc

|BD| = |DC| ⇔ [AD], [BC] kenar›naait kenarortay

[AD] ∩ [BE] ∩ [CF] = {G} iseG, ABC üçgeninin a¤›rl›k merkezidir.

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

Dar aç›l› üçgen

m(ëA) < 90°, m(ëB) < 90°

m(ëC) < 90°

Dik üçgen

m( ëA) = 90°, m( ëB) < 90°

m(ëC) < 90°

Genifl aç›l› üçgen

m(ëA) > 90°, m( ëB) < 90°

m(ëC) < 90°

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

|AB| ≠ |BC| ≠ |AC|Çeflitkenar üçgen

|AB| = |AC| ≠ |BC|‹kizkenar üçgen

|AB| = |BC| = |AC|Eflkenar üçgen

64

ABC üçgeninin a, b ve c kenar›na ait kenarortaylar›n›n uzunluklar› s›ras›yla Va, Vb ve Vc ile gösterilir.Bir üçgenin üç kenarortay› üçgenin içinde bir noktada kesiflirler. Bu noktaya üçgenin a¤›rl›k merkezidenir.

2. Aç›ortay: Bir üçgenin bir aç›s›n›n aç›ortay›n›n karfl›s›ndaki kenar› kesti¤i nokta ile aç›n›nköflesini birlefltiren do¤ru parças›na üçgenin o aç›s›na ait aç›ortay› denir.Bir üçgenin iç aç›lar›n›n aç›ortaylar›na iç aç›ortay, d›fl aç›lar›n›n aç›ortaylar›na da d›fl aç›ortay denir.

m(BéAE) = m(C éAE) ise [AE], BAC aç›s›n›n iç aç›ortay›, m(CéAD) = m(DéAF) ise [AD], BAC aç›s›n›nd›fl aç›ortay› olur. Üçgenin A, B ve C aç›lar›na ait iç aç›ortaylar›n›n uzunluklar› nA, nB ve nC ilegösterilir. Bir üçgenin üç iç aç›ortay› üçgenin içinde bir noktada kesiflir. (Bu nokta üçgenin iç te¤etçemberinin merkezidir.) Bir üçgende herhangi iki d›fl aç›ortay ile di¤er köfledeki iç aç›ortay da birnoktada kesiflir.

3. Yükseklik: Bir üçgenin bir köflesinden, karfl› kenar do¤rusuna indirilen dikmenin, karfl›kenar› kesti¤i nokta ile köfleyi birlefltiren do¤ru parças›na, üçgenin o kenar›na ait yüksekli¤i denir.

Bir ABC üçgeninin a, b ve c kenarlar›na ait yüksekliklerinin uzunluklar› s›ras›yla ha, hb ve hc ile

gösterilir. Üçgende üç yükseklik bir noktada kesiflir. Bu noktaya üçgenin diklik merkezi ad› verilir.

ÜÇGENDE AÇILAR ARASINDAK‹ BA⁄INTILARTeorem : Bir üçgende, bir d›fl aç›n›n ölçüsü, kendisine komflu olmayan iki iç aç›n›n ölçüleri

toplam›na eflittir.Hipotez : ABC bir üçgen ise

Hüküm : m(AéCD) = m(ëA) + m(ëB) dir.‹spat : [CE // [AB] çizelim.

1. m(DéCE) = m(ëB)

2. m(EéCA) = m(ëA)

3. m(DéCE) + m(EéCA) = m(ëB) + m(ëA)

4. m(AéCD)=m(ëA)+m(ëB)

Sonuç : Bir üçgende bir d›fl aç›n›n ölçüsü, kendisine komflu olmayan iç aç›lar›n her birininölçüsünden daha büyüktür.

A

B C D

E

A

B D C

A

BD C

A

B C

L

D

K

H

[AD] ⊥ [BC]

m(ëB) < 90°, m(ëC) < 90°

[AD] ⊥ [CB

m(ëB) > 90°[AD] ∩ [BL] ∩ [CK] = {H}

|AD| = ha, |BL| = hb, |CK| = hc

A

B E C D

F A

B D C

IEF |AD| = nA

|BE| = nB

|CF| = nC

KA

B C

[AE] ⊥ [AD] [AD] ∩ [BE] ∩ [CF] = { I } [BK ∩ [CK ∩ [AK = {K}

65

Teorem : Bir üçgenin iç aç›lar›n›n ölçüleri toplam› 180° dir.Hipotez : ABC bir üçgen ise

Hüküm : m(ëA) + m(ëB) + m(ëC) = 180° dir.‹spat : [BC ›fl›n›n› çizelim.

1. m(AéCD) = m(ëA) + m(ëB)

2. m(AéCD) + m(ëC) = 180°

3. m(ëA) + m(ëB) + m(ëC) = 180°

Örnek : ABC üçgeninde; m(AéBC) = x, m(EéAC) = y, m(D éCA) = z ve x + y + z = 256° oldu¤una göre, x kaç derecedir?

Çözüm : ABC üçgeninde;1. y + z + 180° − x = 360° (Üçgenin d›fl aç›lar›n›n ölçüleri

toplam›)2. y + z = 180° + x3. x + y + z = x + 180° + x = 256°⇒ 2x = 76° ⇒ x = 38° bulunur.

Örnek : Yandaki flekilde;

m(ëA) = a , m(ëB) = b

m(ëC) = c , m(ëD) = x isex = a + b + c oldu¤unu gösteriniz.

Çözüm : [AD n› çizelim.

1. m(BéDE) = m(ëB) + m(B éAD)

2. m(EéDC) = m(ëC) + m(CéAD)

3. m(BéDE) + m(EéDC) = m(ëB) + m(ëC) + m(CéAD) + m(BéAD)

4. m(BéAC) = m(CéAD) + m(BéAD)

5. m(BéDC) = m(ëB) + m(ëC) + m(ëA)6. x = a + b + c olur.

Örnek : Yandaki flekilde; A, B ve C noktalar› do¤rusal

[AE] // [CD], |AE| = |AB| ve |BC| = |CD| ise

m(EéBD) kaç derecedir?

Çözüm : B noktas›ndan [BF // [AE] çizelim.

1. m(EéBF) = m(A éEB) = α

2. m(FéBD) = m(BéDC) = β

3. m(AéEB) = m(AéBE) = α

4. m(BéDC) = m(DéBC) = β

5. 2α + 2β = 180°

6. m(EéBD) = α + β = 90° dir.A B C

D

EF

αα

α

ββ

β

A B C

D

E

A

BC

D

a

b cx

E

A

BC

D

a

b cx

A

B C D

z

y

x

E

A

B C D

66

Örnek : fiekildeki ABC üçgeninde;[BE] ve [CF] iç aç›ortay,

m(KéDC) = x, m(A éEL) = y

ve m(BéFM) = z ise x + y + z = 270° oldu¤unu gösteriniz.

Çözüm : Bir üçgende iç aç›ortaylar ayn› noktadakesiflti¤inden [AD], A köflesinden geçen içaç›ortayd›r. Bundan dolay›;

m(BéAD) = m(CéAD) = a,

m(AéBE) = m(CéBE) = b ve

m(BéCF) = m(AéCF) = c olsun.ABC üçgeninde, 2a + 2b + 2c = 180°⇒ a + b + c = 90° ve

DAC üçgeninde, m(KéDC) = x = 2c + a

ABE üçgeninde, m(AéEL) = y = 2a + b

BCF üçgeninde, m(M éFB) = z = 2b + c olur.x + y + z = 2c + a + 2a + b + 2b + c = 3(a + b + c) = 3.90 = 270° bulunur.

Teorem : Bir ikizkenar üçgende tabana ait kenarortay, ayn› zamanda yükseklik ve aç›ortayd›r.Hipotez : ABC ikizkenar üçgeninde; |AB| = |AC| ve [AD] kenarortay iseHüküm : [AD] hem yükseklik hem de aç›ortayd›r. ‹spat : 1. |AB| = |AC|

2. m(ëB) = m( ëC)3. |BD| = |DC|

4. A¿BD ≅ A¿CD

5. m(BéAD) = m(CéAD) olur ve [AD] aç›ortayd›r.

6. m(BéDA) = m(CéDA) = 90° olur ve [AD] yüksekliktir.

Sonuç : Bir eflkenar üçgenin bütün kenarlar›na ait kenarortay, aç›ortay ve yüksekliklerininuzunluklar› eflittir.

Teorem : Bir üçgende herhangi bir kenara aitkenarortay uzunlu¤u, ait oldu¤u kenar›n uzunlu¤ununyar›s›na eflit ise bu üçgen dik üçgendir.

Hipotez : ABC üçgeninde; |AD| = |DB| = |DC| ise

Hüküm : m(ëA) = 90° dir.

‹spat : |AG| = |GG'| olacak flekilde [AD] n› uzatal›m.Bu durumda BG'CG paralelkenar olur.

A

B D C

A

B D C

A

B D C

a

E

F

a

bb

LM

Kx

yz

cc

I

A

B D C

E

FLM

Kx

yz

67

CGG' üçgeninde kenarortay teoremine göre;

Yani, |AD| = |DB| = |DC| bulunur.

Teorem : Bir dar aç›s›n›n ölçüsü 30° olan dik üçgende bu aç› karfl›s›ndaki dik kenar›nuzunlu¤u hipotenüsün uzunlu¤unun yar›s›na eflittir.

Hipotez : ABC dik üçgeninde;

m(ëA) = 90° ve m( ëB) = 30° ise

Hüküm : dir.

‹spat : [AD] kenarortay›n› çizelim. |AD| = |DB| = |DC| ve

m(ëC) = 60° oldu¤undan ACD eflkenar üçgendir. Buradan, bulunur.

Sonuç : Bir dik üçgende dar aç›lardan birisi 60° ise bu aç›n›n karfl›s›ndaki dik kenar

uzunlu¤u, di¤er dik kenar uzunlu¤unun ñ3 kat›d›r. Niçin? Siz bulunuz. Örnek : Yandaki ABC üçgeninde, [AB] ⊥ [AC],

m(AéBC) = 30°, |BC| = 4 cm ise|AC| ve |AB| nu bulunuz. Çözüm : ABC dik üçgeninde;

|AB| = |AC| . ñ3 oldu¤una dikkat ettiniz mi?

AC =BC

2=

42

= 2 cm olur. Bu üçgende Pisagor teoreminden de

BC2

= AB2

+ AC2

⇒ 42 = AB2

+ 22 ⇒ AB2

= 16−4 = 12 ⇒ AB = 2 3 cm bulunur.

A

B C430°

AC = CD =

BC

2

AC =

BC

2

A

B CD30°

B

A

C

E

F

c2

c2

2t

a2

a2

2p

2t

2p

p

2k

t

k

G

D

k

b2

b2

′G

(2t)2 + (2p)2 = 2. a2

2

+(2k)2

2

4.(t2 + p2) = 2.a2

4+

4k2

2

4.5a2

36=

a2

2+ 2k2

5a2

9−

a2

2= 2k2

10a2 −9a2

18= 2k2

a2 = 36k2

a = 6k

a2

= 3k olur.

ABE üçgeninde

AFC üçgeninde

olur.

c2 + b2

4= 9p2

b2 + c2

4= 9t2

+_______________

5. a2

4= 9(p2 + t2)

p2 + t2 = 5a2

36

68

Örnek : Yandaki flekilde; |AB| = |AC||CE| = |CD|, |BD| = |BC|

ve m(AéBD) = 25° ise

m(D éCE) kaç derecedir?

Çözüm : m(DéBC) = x olsun.

m(AéBC) = m(AéCB) = x + 25° (|AB| = |AC|)

m(BéDC) = m(BéCD) = m(DéEC)= 90°

m(D éCE) = x

m(BéCD) = 90° = x + 25° + x

⇒ x = 26° dir.

Örnek : fiekildeki ABC üçgeninde;

m(AéBC) = 45° ve m(AéCB) = 15° ise

oran›n› bulunuz.

Çözüm : [CH] yüksekli¤ini çizelim.

m(H éAC) = 45°+15° = 60° ve m(AéCH) = 30° olur.

AHC dik üçgeninde, |AC| = 2x ise |HC| = ñ3x veBHC ikizkenar dik üçgeninde de

|BC| = ñ2.|HC| = ñ6x dir.

bulunur.

Örnek : Yandaki flekilde;[AD] ⊥ [BC], |BD| = |EA| = |EC| ve

m(EéBC) = 26° iseDAC aç›s›n›n ölçüsünü bulunuz.

Çözüm : [DE] n› çizelim.|DE| = |EA| = |EC||BD| = |DE| ve

BDE üçgeninde; m(EéBD) = m(DéEB) = 26°

m(AéDE) = 90° − (26° + 26°) = 38° olup

ADE ikizkenar üçgeninde, m(D éAE) = m(AéDE) = 38° bulunur.

A

B CD26°

F 26°

E

A

B CD26°

F

E

AC

BC=

2x

6x=

2

6=

63

A

B Cñ6x

45°

H

60°

30°

15°

2x

ñ3xx

AC

BC

A

B C45° 15°

– x

2

– x

2

A

D

E

B C

25°x 25°+x

x

A

D

E

B C

25°

UYGULAMALAR

69

Örnek : Yandaki flekilde; [AB] ⊥ [BC], |AD| = |DC|

ve ise

AED aç›s›n›n ölçüsünü bulunuz.

Çözüm : [DF] ⊥ [AB] çizelim. |BE| = x olsun.|AE| = 3x, |DE| = 2x ve |AB| = 4x dir.

EFD dik üçgeninde |DE| = 2.|EF| oldu¤undan

m(EéDF) = 30° ve m(FéED) = 60° bulunur.

Örnek : Yandaki flekilde;[AB] ⊥ [AC], |BD| < |DC|,

|BC| = 2.|AD| ve m(BéAD) = 15° iseACB aç›s›n›n ölçüsünü bulunuz.

Çözüm : ABC dik üçgeninin [AE] kenarortay›n› çizelim.

d›r.

AEC ikizkenar üçgeninde, m(AéCE) = m(EéAC) = α

|AD| = |AE| ve m(AéDE) = m(AéED) = 2α ve

ABC dik üçgeninde, m(AéBC) = 90° − α olur.ABD üçgeninde;

m(AéDE) = m(BéAD) + m(AéBC) ⇒ 2α = 1 5° + 9 0 ° − α ⇒ 3α = 105° ⇒ α = 35° bulunur.

Örnek : Yandaki ABC üçgeninde;|BD| = |DC|, |AB| = |EC|,[ED] ⊥ [BC] ve

m(AéED) = 125° iseABC aç›s›n›n ölçüsünü bulunuz.

Çözüm : [BE] n› çizelim.|BD| = |DC|, [ED] ⊥ [BC] verildi¤inden|EB| = |EC| = |AB| olupBEC ve BAE ikizkenar üçgenlerdir.

m(EéBC) = m(EéCB) = α

m(BéED) = 90° − α ve m(BéAE) = m(BéEA) = 2α ve

m(AéED) = 2α + 90° − α = 90° + α = 125° ⇒ α = 35° olur.

ABC üçgeninde, m(AéBC) = 180° − 3α = 180° − 3.35° = 75° bulunur.

2α2α

α α

A

B CD

90°–αE

A

B C

125°

D

E

A

B C

15°

D

2α

90°–α2α

α

E

α EC = AE =

BC

2= AD

A

B C

15°

D

AF = FB =

AB

2= 2x

A

CB

D

Ex

x

2x

2x

F

BE =

AE

3=

DE

2

A

CB

E

D

70

Örnek : Yandaki flekilde; m(CéAB) = 60°[DC] ⊥ [AC], [DB] ⊥ [AB], |DB| = 7 cmve |DC| = 4 cm ise |AB| nu bulunuz.

Çözüm : [BD ve [AC ›fl›nlar› E noktas›nda kesiflsin.

ECD ve EBA üçgenlerinde m(ëE) = 30° olur.|ED| = 2.|CD| = 2.4 = 8 cm ve

cm bulunur.

Örnek : Yandaki flekilde, P noktas›n›n[OA ve [OB ›fl›nlar›na göre simetrikleri

s›ras›yla C ve D noktalar› ve m(CéPD) = 150° ise OCD üçgeninin eflkenar oldu¤unu gösteriniz.

Çözüm : [OP] n› çizelim.

m(AéOB) = 180° − m(CéPD) = 180° − 150° = 30°|OP| = |OC| = |OD|

m(D éOB) = m(BéOP) = α ve m(AéOC) = m(AéOP) = 30° − α olur.

m(C éOD) = 2.m(BéOP) + 2.m(AéOP) = 2α + 2.(30° − α) = 60° bulunur ve COD ikizkenar üçgeninin eflkenar oldu¤u görülür.

Örnek : Yandaki flekilde;|AB| = |AC|, P ∈ [BC]B, A, F do¤rusal,P, E, F do¤rusal,[PF] ⊥ [BC] ve [AH] ⊥ [BC] ise|PE| + |PF| = 2.|AH| oldu¤unu gösteriniz.

Çözüm : m(ëB) = m(ëC) = α olsun.

BPF üçgeninde, m(ëF) = 90° − α

EPC üçgeninde, m(PéEC) = 90° − α = m(AéEF)

m(ëF) = m(AéEF) ve |AE| = |AF| olur.[AK] ⊥ [EF] çizelim.|FK| = |KE| ve |AH| = |PK| d›r.2.|AH| = 2.|PK| = 2.|PE| + 2.|EK| = |PE| + (|PE| + |EK| + |KF|)2.|AH| = |PE| + |PF| bulunur.

A

B CH

E

P

F

90°–α

90°–α

90°–α

αα

K

A

B CH

E

P

F

αα

150°

O

A

B

C

D

P

150°

O

A

B

C

D

P

AB =

EB

3=

15

3= 5 3

8

E

AB

CD

4

7

60°

30°

A B

CD

4

7

60°

71

1. Yandaki flekilde; E, B ve C noktalar› ileE, F ve D noktalar› do¤rusal,

m(ëA) = y, m(ëE) = x, m(ëB) = z ve m(ëD) = aoldu¤una göre a = y + z − x oldu¤unu gösteriniz.

2. Yandaki flekilde; [AB] // [CD],

[AD] // [BC], m(ëD) = 80°, m(BéAE) = 35° ve

m(BéCE) = 25° oldu¤una göre m(AéEC)kaç derecedir?

3. Yandaki flekilde verilenlere göreb + c + d − a = 360° oldu¤unu gösteriniz.

4. Yandaki flekilde; [BE], ABD aç›s›n›n[CE], ACD aç›s›n›n aç›ortaylar›d›r.

m(ëA) = z, m(ëE) = x ve m(ëD) = yoldu¤una göre 2x = y + z ba¤›nt›s›n›ndo¤rulu¤unu gösteriniz.

5. Yandaki flekilde; m(ëE) = 100°

m(ëA) = a, m(ëB) = b, m(ëC) = c

m(ëD) = d oldu¤una görea + b + c + d toplam› kaç derecedir?

6. Yandaki ABC üçgeninde; [BD] ve [CE]

aç›ortaylar, m(AéEC) = 72° ve m(AéDB) = 60°oldu¤una göre A aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?

7. Yandaki ABC üçgeninde; [BD] ve [CD]iç aç›ortaylard›r. A, D, E ve F noktalar› do¤rusal,

m(BéDE) = 80° ve m(EéDC) = 70° oldu¤una göreBEF aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?

A

B C

80° 70°

EF

D

A

B C

72° D60°E

100°

EA

B

DC

A

B C

z

x

y

E

D

c

da

b

C

A

B

DE

F

C

A D

B

E

25°

80°

35°

A

B C

y

E

F

D

x z

a

ALIfiTIRMALAR

72

8. Yandaki ABC üçgeninde; [BE ve [CI] iç aç›ortay,[CE d›fl aç›ortayd›r.

m(CéEB) = 25° oldu¤una göre m(BéIC) kaçderecedir?

9. Yandaki ABC üçgeninde [AD] aç›ortay ve|AB| > |AC| ise

m(AéDB) = 90° + oldu¤unu gösteriniz.

10. Yandaki ABC üçgeninde; [BK ve [CKd›fl aç›ortaylard›r.

m(BéKC) = 40° oldu¤una göre m(BéAK) = xkaç derecedir?

11. Yandaki ABC üçgeninde;[BD] ⊥ [AC] ve [CE] ⊥ [AB] dir.[BF] ve [CF], HBC üçgeninin iç

aç›ortaylar› ve m(BéAC) = 70° iseBFC aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?

12. Yandaki ABC üçgeninde; |AB| = |AC|,

m(ëA) = 40° ve [DF] ⊥ [AB] oldu¤una göre

m(ëD) kaç derecedir?

13. Yandaki flekilde; A, C ve D noktalar› do¤rusald›r.[DA ⊥ [DE], [CB ⊥ [CE] ve

m(ëE) = 44° ise m(AéCB) = x kaç derecedir?

14. Yandaki ABC üçgeninde;[AD] ⊥ [BC] ve [CE] ⊥ [AB]

ve m(BéCE) = 40° oldu¤una göre

m(BéAD) + m(AéFC) kaç derecedir?

A

B C

E

F

D40°

A

B

CD

E

44°

x

A

B C

F 40°

D

E

A

B C

D

70°

E

F

H

x

B C

K

A

m(C)−m(B)2

A

B D C

A

BC

E

25°

I

73

15. Bir ABC üçgeninin iç aç›lar›n›n ölçüleri 3, 4 ve 8 ile do¤ru orant›l›d›r. Bu üçgenin aç›lar›n›n ölçülerini hesaplay›n›z.

16. Yandaki ABC üçgeninde; [AD] aç›ortay ve

m(ëB) − m(ëC) = 24° oldu¤una göre

m(AéDC) kaç derecedir?

17. Yandaki fleklin A, B, C, D ve Eköflelerindeki aç›lar›n ölçüleri toplam›n›n180° oldu¤unu gösteriniz.

18. Yandaki flekilde; m(AéCD) = m(DéCE),

m(BéAC) = x, m(DéBE) = y, m(BéDC) = zve x − y = 80° oldu¤una göre z kaç derecedir?

19. Yandaki flekilde; [AE ⊥ [BE,

[BC ⊥ [AC, m(PéAE) = m(PéAC) ve

m(PéBE) = m(PéBC) oldu¤una göre

m(AéPB) kaç derecedir?

20. Yandaki flekilde; m(AéDF) = m(DéFE),

m(AéBE) = m(BéEF) ve m(DéAB) = 80°

oldu¤una göre, m(BéCD) kaç derecedir?

21. Yandaki ABC üçgeninde; [AD] ve [CD] iç aç›ortaylar,[AE ve [CE d›fl aç›ortaylard›r.

m(AéDC) = 3x + 50° ve m(AéEC) = x − 10° ise

m(AéEC) kaç derecedir?

A

B C

D

E

A

C

B

80°

D

E

F

A

E

BP

C

A

B C

D

y

x

E

z

E

A B

D

C

A

B D C

74

22. ABC üçgeninde; [AD] ve [CF] iç aç›ortaylar,

m(AéDC) = 100° ve m(A éEB) = 85° iseCFB aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?

23. Yandaki ABC üçgeninde;[AD] ve [BD] aç›ortaylar ve

m(AéCD) = 40° iseADB aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?

24. Yandaki ABC üçgeninde;[AD] ve [BD] aç›ortaylar ve

m(AéDB) = 7.m(BéCD) iseADB aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?

25. Yandaki ABC üçgeninde;[BD] ve [CE] aç›ortaylar [AK] ⊥ [BD] ve [AL] ⊥ [CE] dir.

m(KéAL) = α ise BAC aç›s›n›nölçüsünü α cinsinden bulunuz.

26. Yandaki ABC üçgeninde;[BD] aç›ortay,

m(BéAC) = 2.m(BéDC) ve

m(AéCD) = 50° iseACB aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?

27. Yandaki ABC üçgeninde;

m(AéBE) = m(CéBE), m(BéCF) = m(EéCF),

m(EéFC) = m(BéAC) ve m(CéDK) = 70° iseAFB aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?

28. Bir ABC üçgeninin d›fl aç›lar›n›n ölçüleri 3, 4 ve 6 ile ters orant›l›d›r. Bu üçgenin en küçük iç aç›s›n›n ölçüsünü bulunuz.

A

B CD

E

F

70°K

A

B C

D

50°

A

B C

DE

L K

α

I

A

B C

D

A

B C

D

40°

E

A

B C

85°

D100°

EF

75

29. Yandaki ABC üçgeninde; |BF| = |BD|,

|EC| = |CD| ve m(FéDE) = 50° iseA aç›s›n›n ölçüsünü bulunuz.

30. Yandaki ABC üçgeninde; |AC| = |BC| ve|AB| = |AD| = |DC| oldu¤una göre

m(ëC) kaç derecedir?

31. Yandaki ABC üçgeninde; |AB| = |BC|, |AC| = |DC| ve

m(BéAD) = 24° oldu¤una göre m(ëB) kaç derecedir?

32. Yandaki ABC üçgeninde; m(DéAE) = x,|AD| = |DB| ve |AE| = |EC| oldu¤una göreBAC aç›s›n›n ölçüsünü x cinsinden hesaplay›n›z.

33. Yandaki ABC eflkenar üçgeninde; [AH] ⊥ [EC],|AD| = |DC| ve |AH| = |EB| oldu¤una göre

m(ëE) kaç derecedir?

B‹R ÜÇGEN‹N AÇILARI ‹LE KENARLARI ARASINDAK‹ BA⁄INTILARTeorem : Bir üçgenin iki kenar› efl de¤ilse, bunlar›n karfl›lar›ndaki aç›lar da efl de¤ildir ve

daha uzun olan kenar karfl›s›ndaki aç› daha büyüktür.

Hipotez : ABC üçgeninde; |AC| > |AB| ise

Hüküm : m(AéBC) > m(AéCB) dir.‹spat : [AC] do¤ru parças› üzerinde |AB| = |AD|

olacak flekilde bir D noktas› alal›m.

1. m(AéBD) = m(AéDB) (ikizkenar üçgen özelli¤i)

2. m(AéBD) + m(D éBC) = m(AéBC)

3. m(AéBC) > m(AéBD)

4. m(AéDB) = m(ëC) + m(DéBC)

5. m(AéDB) > m(ëC)

6. m(AéBC) > m(AéBD) > m(ëC) olur.

Sonuç : 1.Bir ABC üçgeninde; a < b <c ⇔ m(ëA) < m(ëB) < m(ëC) olur.2. Bir ABC üçgeninde; A, B ve köflelerindeki d›fl aç›lar› A1, B1 ve C1 ise

a < b < c ⇔ m(ëA1) > m(ëB1) > m(ëC1) olur.

A

B

D

C

A

B CE H

AA

D

A

B CD E

x

A

B CD

24°

A

B CD

A

B CD

50°

FE

76

Örnek : ABC üçgeninde;|AB| = 10 cm, |AC| = 12 cm ve|BC| = 9 cm ise iç aç›lar›n›n ölçüleriaras›ndaki s›ralamay› bulunuz.

Çözüm : 9< 10 < 12 ⇒ |BC| < |AB| < |AC| oldu¤undan yukar›daki

sonuç 1 gere¤ince; m(ëA) < m(ëC) < m(ëB) bulunur.

Örnek : Yandaki ABC üçgeninde; m(BéAD) = m(EéAC) = 26°,

m(AéBD) = 36° ve m(AéCE) = 32° ise ADE üçgenininkenarlar›n›n uzunluklar› aras›ndaki s›ralamay› bulunuz.

Çözüm : m(AéDE) = m(AéBD) + m(BéAD) = 36° + 26° = 62°

m(AéED) = m(AéCE) + m(CéAE) = 32° + 26° = 58°

m(D éAE) = 180°−[m(AéDE)+m(AéED)] = 180°−(62° + 58°) = 60° bulunur. O hâlde ADE üçgeninin kenar uzunluklar› aras›ndaki s›ralama |AD| < |DE| < |AE| olur.

ÜÇGEN Efi‹TS‹ZL‹⁄‹

Teorem : Bir üçgenin herhangi iki kenar›n›n uzunluklar› toplam›, üçüncü kenar›nuzunlu¤undan büyüktür.

Hipotez : ABC bir üçgen ise

Hüküm : |AC| + |AB| > |BC| olur.

‹spat : [CA] n›n uzant›s›nda |AD| = |AB|olacak flekilde bir D noktas› alal›m.

1. m(AéDB) = m(AéBD)

2. m(CéBD) = m(AéBD) + m(AéBC)

3. m(CéBD) > m(AéBD) = m(AéDB)4. |DC| > |BC|5. |DC| = |AD| + |AC|6. |AD| + |AC| > |BC|7. |AB| + |AC| > |BC| olur.

Kenar uzunluklar› a, b ve c olan ABC üçgeninde; Teorem den b < a + c ⇒ a > b − c vea < b + c ⇒ b > a − c veya c > a − b ba¤›nt›lar› yaz›labilir.

O hâlde bir ABC üçgeninin kenar uzunluklar› aras›nda;

1. |b − c| < a < b + c2. |a − c| < b < a + c3. |a − b| < c < a + b eflitsizlikleri vard›r.

Sonuç : Bir üçgende herhangi bir kenar›n uzunlu¤u, di¤er iki kenar›n uzunluklar›toplam›ndan küçük, fark›n›n mutlak de¤erinden büyüktür. (üçgen eflitsizli¤i)

A

B

b

Ca

c

A

B

D

C

A

B CD E

36° 32°

26° 26°

A

B

9

C10

12

77

Örnek : Yandaki dörtgende;|AB| = 12 cm, |BC| = 7 cm,|CD| = 8 cm ve |DA| = 6 cm ise|AC| nun alabilece¤i de¤erleri bulunuz.Çözüm : ABC üçgeninde üçgen eflitsizli¤inden;

12 − 7 < |AC| < 12 + 7 ⇒ 5 < |AC| < 19 veDAC üçgeninde üçgen eflitsizli¤inden;8 − 6 < |AC| < 8 + 6 ⇒ 2 < |AC| < 14 olur. Buradan 5 < |AC| < 14 bulunur.

Örnek : Yandaki ABC üçgeninde; |BC| = 12 cm,|AB| = 2x + 3 cm, |AC| = x + 6 cm oldu¤una göre,x in alabilece¤i kaç tam say› de¤eri vard›r?

Çözüm : ABC üçgeninde üçgen eflitsizli¤inden;2x + 3 − (x + 6) < 12 < 2x + 3 + (x + 6) ⇒ x − 3 < 12 < 3x + 9

⇒ x < 15 ∧ x > 1 ⇒ 1 < x < 15 olur.O hâlde x in alabilece¤i 13 tam say› de¤eri vard›r.

1. Yandaki flekildeki A¿BC nde; |BD| = |AD|, |AE| = |EC|

m(AéBD) = 32° ve m(AéCE) = 30° ise A¿DE nin kenarlar›n› küçükten büyü¤e do¤ru s›ralay›n›z.

2. Yandaki flekilde; m(BéAC) = 60°, m(C éAD) = 63°

m(BéCA) = 58° ve m(AéCD) = 59° ise a, b, c, d ve e uzunluklar› aras›ndaki s›ralamay› yap›n›z.

3. Yandaki flekildeki A¿BC nde; m(ëA) < 90°|AB| = 7 cm ve |AC| = 9 cm ise |BC| = a n›nalaca¤› tam say› de¤erlerini bulunuz.

4. Yandaki flekildeki; m(ëA) >90°|AB| = 5 cm, |AC| = 6 cm, |BD| = 7 cm ve|DC| = 10 cm ise |BC| nun alabilece¤i tam say›de¤erlerinin toplam›n› bulunuz.

5. Yandaki flekildeki; |AB| = 4 cm, |AD| = 5 cm ve|DC| = 6 cm ise |BD| nun alabilece¤i en küçüktam say› de¤erini karfl›l›k |BC| = x in alabilece¤ien büyük tam say› de¤eri nedir?

6. Yandaki A¿BC nde; |AB| = 3x cm, |AC| = 5x cmve |BC| = 14 cm ise x in alabilece¤i tam say›de¤erlerini bulunuz.

A

B C

3x 5x

14

A

B

D

C

5

4

6

x

7

C

D

B

A

5

10

6

A

B Ca

97

b

D

C

B

A

e

a

58°c

d

59°

60° 63°

A

B CD E32° 30°

ALIfiTIRMALAR

A

B

x + 6

C12

2x + 3

6

D

C

B

A

8

12 7

78

1. Yandaki flekilde; D, B ve C noktalar› do¤rusald›r.

2|AD| = |BC|, m(BéAC) = 90° ve m(DéAB) = 18°

ise m(AéBC) = α kaç derecedir? A) 45 B) 46 C) 56 D) 65 E) 66

2. Yandaki flekilde; [BE ile [CE aç›ortaylar, |CE| = |CD| ve

m(BéAC) = 80° ise m(C éDE) kaç derecedir? A) 50 B) 55 C) 60 D) 65 E) 70

3. Yandaki flekilde; |AB| = |BE|, [AC] aç›ortay

m(AéBC) = 90° ve m(AéDB) = 108° ise

m(DéBC) kaç derecedir? A) 46 B) 48 C) 50 D) 52 E) 54

4. Yandaki flekilde; |AB| = |AE|, |BD| = |DC|

ve m(EéBC) = 18° ise m(AéBD) = x kaç derecedir? A) 30 B) 32 C) 34 D) 36 E) 38

5. Yandaki flekilde; [DF], BDE aç›s›n›n aç›ortay›

[DE] // [AB], |AB| = |BD| ve m(BéCA) = 34° ise

m(DéFE) = x kaç derecedir? A) 66 B) 64 C) 62 D) 56 E) 54

6. Yandaki flekildeki; m(BéED) = 80°, m(DéFC) = 50°

m(EéBD) = m(BéAD) = x ve m(DéAC) = m(DéCF) = y ise

m(BéAC) kaç derecedir?A) 50 B) 45 C) 40 D) 35 E) 30

7. Yandaki flekilde; |AB| = |AC|, [AH] ⊥ [BC][AH] // [FD], |ED| = 5 cm ve |EF| = 8 cm ise|AH| kaç cm dir?A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6

A

B CH

E

D

F

8

5

A

B C

50°

80° yx

x y

D

E

F

A

B

D

CE34°x

F

A

B

D

C

E

18°

x

A

B C

E

D108°

A D

E

B C

80°

A C

BD

α

18°

TEST

79

8. fiekildeki ABC eflkenar üçgeninde; [DE] ⊥ [AC]2|EC| = 3|BD| ve |AD| = 6 cm iseABC üçgeninin çevresi kaç cm dir?A) 27 B) 30 C) 33 D) 36 E) 39

9. Yandaki flekilde; m(FéCA) = 60°, [DF] ⊥ [AC][AB] ⊥ [FC], |AE| = 3 cm ve |EF| = 5 cm

oldu¤una göre, oran› kaçt›r?

A) B) C) D) E)

10. Yandaki flekilde; m(ëA) = 90°, m(ëC) = 30°[NH] ⊥ [BC], [BN] aç›ortay ve |BC| = 18 cmoldu¤una göre, |NH| = x kaç cm dir?

A) 3 B) 4 C) 3ñ3 D) 6 E) 4ñ3

11. fiekildeki ABC üçgeninde; |AB| = |AC|

|DB| = |DC|, [BE] ⊥ [AC] ve m(CéAD) = 25°

oldu¤una göre, m(BéDE) kaç derecedir?A) 115 B) 120 C) 125 D) 130 E) 135

12. Yandaki flekilde; |AB| = 7 cm, |AD| = 5 cm ve|BC| = 6 cm dir. |BD| nun en küçük tam say› de¤eriiçin |CD| = x in alabilece¤i en büyük tam say› de¤eri afla¤›dakilerden hangisidir?A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

1-E 2-E 3-E 4-D 5-D 6-D 7-B 8-D 9-D 10-C 11-D 12-B

6

D

C

B

A

7

x

5

A

B D C

E

25°

A

B

N

CH

x

30°

32

43

1315

1615

1813

32

43

1315

1615

1813

32

43

1315

1615

1813

32

43

1315

1615

1813

32

43

1315

1615

1813

CD

BF

A

B C

y

F

5

60°

E

3D

A

B

D

C

E6

80

1. Yandaki flekilde; m(AéBL) = m(DéBL)

m(AéCK) = m(EéCK), [BL] ⊥ [AL]

[CK] ⊥ [AK] ve m(BéAC) = 80° oldu¤una göreLAK aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? A) 115 B) 120 C) 125 D) 130 E) 135

2. Yandaki flekilde; |FC| = |AC| − |AB|,

|BD| = |DC|, [ED] ⊥ [BC] ve m(AéBE) = 30° iseFBC aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30

3. Yandaki ABC dik üçgeninde; [AB] ⊥ [AC],

|BD| = |DC| ve |AB| = |AE| = oldu¤una göre

DEC aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? A) 30 B) 40 C) 45 D) 50 E) 60

4. fiekildeki ABC dik üçgeninde; [AB] ⊥ [BC]

m(BéAD) = m(DéAC) ve |DC| = |EC| ise ADE aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? A) 25 B) 30 C) 40 D) 45 E) 60

5. fiekilde, C noktas›n›n [OA ve [OB›fl›nlar›na göre dik simetrikleri s›ras›ylaD ve E dir.

m(EéCD) = 130° oldu¤una göreOED aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40

6. fiekildeki ABC ikizkenar üçgeninde;[AD] ⊥ [AC], |AB| = |AC| ve

|BD| = |AD| ise oran› kaçt›r?

A) ñ2 B) C) ñ3 D) 2 E) ñ5

7. Yandaki flekilde; ABC eflkenar üçgen, [DE] ⊥ [AB], |AE| = 7 cm ve |DC| = 3 cm ise |AC| = x kaç cm dir? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

A

B D C

E

7x

3

2 3

2 3 5

AC

BD

A

B CD

130°

O

E

B

C

A

D

A

CB D

E

EC

2

A

B

E

CD

A

B CD

EF

30°

A

B C ED

L K

80°

TEST

81

8. Yandaki flekilde; ABC eflkenar üçgen,

m(CéAD) = 15° ve |AD| = ñ6 cm ise |BC| = x kaç cm dir?

A) 1 B) ñ2 C) ñ3 D) 2 E) ñ5

9. Yandaki flekilde; ABC eflkenar üçgen, [DH] ⊥ [AC], [EK] ⊥ [AC], |AE| = |EB| ve

|DB| = 2|DC| ise oran› kaçt›r?

A) B) C) D) E)

10. Yandaki flekilde; [DE] ⊥ [BC] [BD] ve [AD] aç›ortay,|AB| = 9 cm, |BE| = 5 cm ve|EC| = 8 cm ise |AC| = x kaç cm dir? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

11. Yandaki flekilde; |AH| = |HB||AK| = |KC|, [DH] ⊥ [AB][KE] ⊥ [AC] ve |BC| = 10 cm iseADE üçgeninin çevresi kaç cm dir? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

12. Yandaki A¿BC nde; |DB| = |DF|,

|AF| = |AE| ve m(AéCB) = 48°, E, F ve D noktalar›do¤rusal ise ABC aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? A) 36 B) 38 C) 40 D) 42 E) 44

13. Yandaki A¿DC nde; |AB| = |AC||DA| = |BC| ve [AB] ⊥ [AC] iseBAD aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir? A) 10 B) 15 C) 18 D) 20 E) 24

1-D 2-B 3-C 4-D 5-E 6-C 7-B 8-D 9-A 10-B 11-D 12-E 13-B

A

D CB

E

D CB48°

F

A

A

B CD E

H K

A

B

D

C

x9

5 8E

57

47

13

35

37

AK

KH

A

B

E

C

K

H

D

A

B DC

ñ6

x

15°

82

D‹K ÜÇGENDE METR‹K BA⁄INTILAR

Teorem : Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik, üçgeni birbirine ve kendisine benzer ikiüçgene ay›r›r.

Hipotez : ABC üçgeninde m(ëA) = 90° ve[AH] ⊥ [BC] ise

Hüküm : A¿BH ~ C¿AH ~ C¿BA dir.

‹spat : 1. m(ëB) = m(ëB)

2. m(BéAC) = m(BéHA) = 90° (Hipotezden)

3. A¿BH ~ C¿BA olur. (1, 2. ve A.A. benzerlik teoreminden)

4. m(ëC) = m(ëC)

5. m(CéHA) = m(CéAB) = 90° (Hipotezden)

6. C¿AH ~ C¿BA (4, 5. ve A.A. benzerlik teoreminden)

7. A¿BH ~ C¿AH ~ C¿BA (3. ve 6. dan)

ÖKL‹D TEOREMLER‹

Teorem : Bir dik üçgende; hipotenüse ait yüksekli¤in uzunlu¤u, hipotenüsten ay›rd›¤› do¤ruparçalar›n›n uzunluklar›n›n geometrik ortas›d›r.

Hipotez : ABC üçgeninde m(ëA) = 90° ve [AH] ⊥ [BC] ise

Hüküm : |AH|2= |BH|.|HC| dir.

‹spat : A¿BH ~ C¿AH

bulunur.

ABC üçgeninde |AH| = h, |BH| = p ve |HC| = k ile gösterilirse h2 = p.k yaz›l›r.

Teorem : Bir dik üçgende, bir dik kenar›n uzunlu¤u, hipotenüsün uzunlu¤u ile hipotenüse aityüksekli¤in hipotenüsten ay›rd›¤› parçalardan kendisi taraf›nda kalan parças›n›n uzunlu¤unungeometrik ortas›d›r.

Hipotez : ABC üçgeninde m(ëA) = 90° ve [AH] ⊥ [BC] ise

Hüküm : |AB|2= |BC|.|BH| ve |AC|

2= |BC|.|HC| dur.

‹spat : Teoremden; A¿BH ~ C ¿BA

ve

C¿AH~C¿BA olur.

Sonuç : ABC üçgeninde; |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c, |BH| = p ve |HC| = k ise

c2 = p.a ve b2 = k.a ⇒ olur.

b2

c2=

kp

⇒ CA

CB=

CH

CA ⇒ AC

2= BC . CH

BH

BA=

AB

CB ⇒ AB

2= BC . BH

c b

A

B CHp k

BH

AH=

AH

CH ⇒ AH

2= BH . HC

A

B CHp k

h

A

B CH

83

Örnek : Yandaki flekilde;ABC dik üçgen[AB] ⊥ [AC], [AD] ⊥ [BC],|BD| = 2 cm, |DC| = 6 cm oldu¤una göre,[AB], [AD] ve [AC] n›n uzunluklar›n› bulunuz.

Çözüm : |AD| = ha ⇒ ha2

= |BD| . |DC|

ha

2= 2 . 6 = 12

ha = = cm bulunur.

|AB|2

= |BD| . |BC| |AC|2

= b2 = 6.8

c2 = 2.8 = 16 b =

|AB| = c = 4 cm bulunur. |AC| = b = cm bulunur.

Örnek : Yandaki ABC dik üçgeninde;

m(ëA) = 90°, [AH] ⊥ [BC],|AB| = 12 cm ve |HC| = 7 cm oldu¤una göre, |BH|, |AC| ve |AH| uzunluklar›n› bulunuz.

Çözüm : ABC üçgeninde Öklid ba¤›nt›lar›ndan;

|AB|2= |BC|.|BH| ⇒ 122 = p.(p+7) ⇒ p2 + 7p − 144 = 0 ⇒ p = 9 cm,

|AC|2= |BC|.|CH| ⇒ b2 = 7.16 ⇒ b = 4ñ7 cm ve

|AH|2= |BH|.|HC| ⇒ h2 = 9.7 ⇒ h = 3ñ7 cm bulunur.

Örnek : Bir dik üçgende;1. Dik kenarlar›n uzunluklar› çarp›m›, hipotenüs uzunlu¤u ile hipotenüse ait yüksekli¤in

uzunlu¤u çarp›m›na eflit,2. Hipotenüse ait yüksekli¤in uzunlu¤unun karesinin tersi, dik kenarlar›n uzunluklar›n›n

karelerinin tersleri toplam›na eflit oldu¤unu gösteriniz.

Çözüm : ABC dik üçgeninde (m(ëA) = 90°)ve [AH] ⊥ [BC] ise1. |AB|.|AC| = |BC|.|AH| veya b.c = a.h

2.

oldu¤unu gösterelim.

C¿AH ~ C ¿BA dir.

1. (Üçgenin benzerli¤inden)

2. olur. (Öklid ba¤›nt›lar›ndan)

1b2

+1c2

=1

p.a+

1k.a

=k + pk.p.a

=a

k.p.a=

1k.p

=1

h2

CA

CB=

AH

BA ⇒ AB . AC = BC . AH veya b.c = a.h olur.

1

AH2

=1

AC2

+1

AB2

veya 1

h2=

1b2

+1c2

A

B CHp 7

bh

c

A

B CHp 7

b12h

4 3

48

2 3 12

2

A

B C6D

84

Örnek : ABC üçgeninde;[AB] ⊥ [BC], [BH] ⊥ [AC],

|AB| = 2ñ5 cm ve |BC| = 4ñ5 cm ise|BH|, |AH| ve |HC| uzunluklar›n› bulunuz.

Çözüm :

P‹SAGOR TEOREM‹

Teorem : Bir dik üçgende; hipotenüsün uzunlu¤unun karesi, dik kenarlar›n uzunluklar›n›nkareleri toplam›na eflittir.

Hipotez : ABC üçgeninde; [AB] ⊥ [AC] ise

Hüküm : |BC|2= |AC|

2+ |AB|

2dir.

‹spat : [AH] ⊥ [BC] çizelim.

1. |AC|2= |CH|.|CB| (Öklid ba¤›nt›s›ndan)

2. |AB|2= |BH|.|BC| (Öklid ba¤›nt›s›ndan)

3. |AC|2+ |AB|

2= |CH|.|CB| + |BH|.|BC| (1. ve 2. den)

4. |AC|2+ |AB|

2= (|CH|+|BH|).|BC| = |BC|.|BC| = |BC|

2olur.

Örnek : fiekildeki ABC üçgeninde;[AH] ⊥ [BC], |AB| = 10 cm,|BH| = 6 cm ve |HC| = 15 cm ise |AC| uzunlu¤unu bulunuz.

Çözüm : ABH dik üçgeninde Pisagor teoreminden;

|AB|2= |BH|

2+ |AH|

2⇒ 102 = 62 + |AH|

2⇒ |AH|

2= 64 ⇒ |AH| = 8 cm dir.

AHC dik üçgeninde Pisagor teoreminden;

|AC|2= |AH|

2+ |HC|

2⇒ |AC|

2= 82 + 152 ⇒ |AC|

2= 289 ⇒ |AC| = 17 cm bulunur.

6

10

15

A

B CH

A

B CH

4. BC

2= CH . AC ⇒ 80 = CH .10 ⇒ CH = 8 cm bulunur.

3. AB

2= AH . AC ⇒ 20 = AH .10 ⇒ AH = 2 cm,

2. AB . BC = BH . AC ⇒ 2 5.4 5 = 4. AC ⇒ AC = 10 cm,

1. 1

BH2

=1

AB2

+1

BC2

⇒ 1

BH2

=1

20+

180

=1

16 ⇒ BH = 4 cm,

A

B C4ñ5

H2ñ5

85

Örnek : Yandaki flekilde; d1 // d2

m(FéBP) = m(AéBP), m(EéAP) = m(BéAP)

|AB| = 10 cm ve |AP| = 4ñ5 cm ised1 ve d2 do¤rular› aras›ndaki uzakl›k kaç cm dir?

Çözüm : P noktas›ndan [PH] ⊥ [AB][PD] ⊥ [AE] ve [PK] ⊥ [BF] dikmelerini çizelim.[BP] ve [AP] aç›ortay oldu¤undan

|PH| = |PD| = |PK| ve m(BéPA) = 90° olur. APB dik üçgeninde;

d1 ve d2, do¤rular› aras›ndaki uzakl›k;|KD| = |PD| + |PK| = 2.|PH| = 2.4 = 8 cm dir.

Örnek : Yandaki ABC üçgeninde; [AB] ⊥ [AC][DE] ⊥ [BC], |AD| = |DB|, |BE| = 5 cmve |EC| = 13 cm ise |AC| uzunlu¤u kaç cm dir?

Çözüm : DEB ve DEC üçgenlerinde Pisagor teoreminden;

|DE|2= |BD|

2− |BE|

2= |DC|

2− |EC|

2

⇒ |DC|2− |BD|

2= 132− 52 = 144 olur.

DAC dik üçgeninde Pisagor teoreminden de;

|AC|2= |DC|

2− |DA|

2= |DC|

2− |BD|

2= 144 ⇒ |AC| = 12 cm dir.

1. Yandaki flekilde; [AB] ⊥ [AC], [AH] ⊥ [BC]

|AB| = 2ò13 cm ve |AC| = 3ò13 cmoldu¤una göre, |AH| uzunlu¤u kaç cm dir?

2. Yandaki ABC dik üçgeninde; [AD] kenarortayd›r.

[AH] ⊥ [BC] ve oldu¤una göre kaçt›r?

AB

AC

AH

AD=

45

A

B CH D

A

B CH

2ò133ò13

ALIfiTIRMALAR

A

B CE5 13

D

ve AB . PH = PA . PB ⇒ 10. PH = 4 5.2 5 ⇒ PH = 4 cm bulunur.

PB

2= 102 − (4 5)2 = 100− 80 = 20 ⇒ PB = 2 5 cm

H

Ad2

d1F

E

B

P

4ñ5

Ad2

d1F

E

B

P10

4ñ5

86

3. Yandaki ABC dik üçgeninde; m(ëA) = 90°,

[AH] ⊥ [BC], |AB| = 2ñ5 cm ve

|HC| = 8 cm oldu¤una göre |BH|, |AH| ve

|AC| nu bulunuz.

4. fiekildeki ABC üçgeninde; [AB] ⊥ [BC] |AD| = |DC| = 5 cm, |BE| = 1 cm ve|EA| = 7 cm ise BED aç›s›n›n ölçüsükaç derecedir?

1. Yandaki flekilde; [AD] ⊥ [BC] |AB| = |DC|, |BD| = 1 cm ve |AC| = 7 cm ise |AB| kaç cm dir?

A) 4 B) C) 5 D) E) 6

2. Yandaki flekilde; [EF] // [BC][BD] ve [CD] aç›ortay,|AB| = 20 cm, |BC| = 16 cm ve|AC| = 28 cm ise |EF| kaç cm dir?A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

3. Yandaki flekilde; |AB| = |AC||BC| = |BD|, |AB| = 9 cm ve |AD| = 5 cm ise BCD üçgeninin çevresi kaç cm dir?A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

4. Yandaki flekilde; |AB| = |AC|

m(AéDB) = 60°, |AD| = 6 cm ve|DC| = 7 cm ise |BD| = x kaç cm dir?A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

A

B CDx 760°

6

A

B C

D9

5

A

B C16

DE F

20

28

92

112

92

112

A

B CD

7

1

TEST

A

B C

D7

1

5

5

E

A

B CH 8

2ñ5

87

5. Yandaki flekilde; [AB] ⊥ [AC]

m(AéDB) = 45°, |AD| = 6ñ2 cm ve |CD| = 2 cm ise |BC| = x kaç cm dir?A) 15 B) 14 C) 13 D) 12 E) 11

6. Yandaki flekilde; [AB] ⊥ [AC]|AB| = |AD| = 15 cm ve |BD| = 18 cm ise |AC| = x kaç cm dir?A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24

7. Yandaki flekilde; m(AéBD) = m(AéDB)|AC| = 9 cm ve |BD| = |DC| = 4 cm ise |AB| = x kaç cm dir?

A) 6 B) C) 7 D) E) 8

8. Yandaki flekilde; |AB| = |AC|

m(AéDB) = 60°, |BD| = 8 cm ve |AD| = 5 cm ise |DC| = x kaç cm dir?

A) 1 B) 2 C) D) 3 E)

1-C 2-D 3-B 4-E 5-C 6-A 7-C 8-E

52

72

52

72

A

B C8 D

5

x60°

132

152

132

152

A

B C4 D

9

4

x

A

B C18 D

1515

x

A

B45°

Dx

6ñ2

2C

88