II. Kolokvij Kinematika
-
Upload
ivan-mishel -
Category
Documents
-
view
250 -
download
8
Transcript of II. Kolokvij Kinematika
SVEUČILIŠTE U RIJECI TEHNIČKI FAKULTET ZAVOD ZA TEHNIČKU MEHANIKU KATEDRA ZA DINAMIKU STROJEVA
2. KOLOKVIJ IZ KOLEGIJA ˝KINEMATIKA˝ grupa A
1. Kinematika krutog tijela. Definirati kruto tijelo te osnovne oblike krutog tijela. Pokretljivost
krutog tijela i stupnjevi slobode gibanja. Definicija položaja krutog tijela u prostoru. 2. Chaslesov teorem te izrazi za brzinu i ubrzanje komplanarnog gibanja vezani za taj teorem.
Analitičko određivanje brzina i ubrzanja. Trenutni pol brzina. 3. U cijevi ABC polukružnog oblika polumjera R = 40 cm koja rotira
oko osi z po zakonu 2
8tπϕ iba se točka M od osi z prema točki
A po zakonu
= , g
3
24tπϑ = nati apsolutnu brzinu i apsolutno
ubrzanje točke M u položaju 60
. Izraču
ϑ = ° . BA
CD
b
a
A
aD
4. Pravokutnik ABCD giba se u ravnini te rotira u suprotno od smjera kazaljke na satu (u pozitivnom smjeru). Ubrzanje vrha A usmjerno je od A prema B i iznosi aA = 10 cms-2 dok ubrzanje vrha D leži na pravcu dijagonale DB i iznosi aD = 44.72 cms-2. Stranice pravokutnika su AD = BC = b = 10 cm i AB = DC = a = 2b = 20 cm. Odrediti ubrzanje točke B.
5. Odrediti poloide štapa AB, koji je iste dužine kao i štap OA,
OA=AB=20 cm. Odrediti brzinu i ubrzanje klizača B (analitički) ako se štap OA okreće jednoliko oko točke O s
okr90min
n = , a u položaju kad štap OA s osi OB zatvara kut
ϕ=45°. ϕ
ω
BOR
SVEUČILIŠTE U RIJECI TEHNIČKI FAKULTET ZAVOD ZA TEHNIČKU MEHANIKU KATEDRA ZA DINAMIKU STROJEVA
2. KOLOKVIJ IZ KOLEGIJA ˝KINEMATIKA˝ grupa B
1. Rotacija krutog tijela oko fiksne osi. Brzine i ubrzanja točke pri rotaciji oko fiksne osi. Definirati
vektor kutne brzine i kutnog ubrzanja. 2. Poloide. Pomična i nepomična poloida. Teorem Poinsota. Polarna konfiguracija mehaničkih
sustava. Metoda pola brzina. Metoda pola ubrzanja. 3. Trokutna ploča ABC, stranica b=30 cm i a=40 cm , rotira oko osi
AB po zakonu (14
t
y
z
x
C
M
b
a
A
B
)πϕ = + . Iz vrha B giba se po hipotenuzi BC
pomična točka po zakonu s= BM =25 t2, cm. Odrediti brzinu i ubrzanje pomične točke M u trenutku t=1 s od početka gibanja iz početnog položaja B. Nacrtati komponente vektora brzine i ubrzanja.
4. Kotač polumjera R = 40 cm kotrlja se bez klizanja po
horizontalnom pravcu i pri tome se centar C kreće brzinom v =4t. Potrebno je odrediti veličine brzine i ubrzanja točaka A, B, C i P poslije t = 2 s kretanja.
y
C
B
A
Ps
5. Odrediti brzine i ubrzanja točaka A, B
i C pomoću plana brzina i ubrzanja za zadani mehanizam ako je zadano: O1A=AC=0,2 m, AB=0,6 m, α=45°, ω=1 s-1 i ε=0 s-2.
SVEUČILIŠTE U RIJECI TEHNIČKI FAKULTET ZAVOD ZA TEHNIČKU MEHANIKU KATEDRA ZA DINAMIKU STROJEVA
2. KOLOKVIJ IZ KOLEGIJA ˝KINEMATIKA˝ grupa C
1. Sektorska brzina materijalne čestice. Nacrtati skicu. Napisati izraz za sektorsku brzinu te izvesti
izraz za sektorsku brzinu u cilindričnom koordinatnom sustavu. Izvesti izraz koji povezuje cirkularno ubrzanje i sektorsku brzinu materijalne čestice.
2. Metode za određivanje brzine komplanarnog gibanja. Objasniti metodu pola brzina, metodu
zakrenutih brzina, metodu projiciranih brzina te metodu plana brzina. 3. Na valjak namotan je tanki konopac čiji je kraj B pričvršćen za
nepomičnu točku. Valjak pada s brzinom osi valjka vA koja je određena izrazom . Polumjer valjka jednak je r=0.2 m. Potrebno je odrediti brzine i ubrzanja točaka C i E u trenutku t = 1 s.
2Av t=
x
y
A
B
C
E
r
2Točka A na klizaču giba se po nosaču po zakonu = 3+3 , dok nosač rotira po zakonu =2 . Odrediti apsolutnu brzinu i ubrzanje točke A u trenutku = 2 s.
s tt tω
4.
O
A 5. Za zadani položaj mehanizma odrediti brzine i
ubrzanje točaka A, B i C pomoću plana brzine i ubrzanja ako je zadano:
1 25 cmO A = , 30 cmAC AB= = ,
2 40 cmO B = , , , , i .
30 cmb = 5 cmc = -11 sω =-21 sε = 45ϕ =
SVEUČILIŠTE U RIJECI TEHNIČKI FAKULTET ZAVOD ZA TEHNIČKU MEHANIKU KATEDRA ZA DINAMIKU STROJEVA
2. KOLOKVIJ IZ KOLEGIJA ˝KINEMATIKA˝ grupa D
1. Translacijsko gibanje krutog tijela. Rotacija krutog tijela oko fiksne osi. Brzine i ubrzanja točke
pri rotaciji oko fiksne osi. 2. Složeno gibanje materijalne čestice. Nacrtati skicu. Objasniti pojam prijenosnog, relativnog i
apsolutnog gibanja. Izvesti izraze za brzinu i ubrzanje složenog gibanja materijalne čestice. Objasniti pojam Coriolisovog ubrzanja.
3. Točka se giba po kardioidi polarne jednadžbe 4 4cosr ϕ= − konstantnom sektorskom brzinom
2cm4s
S = . Potrebno je odrediti brzinu, ubrzanje i polumjer zakrivljenosti putanje u položaju
2πϕ = .
4. Odrediti analitički pomičnu i nepomičnu poloidu pri
komplanarnom gibanju štapa AB dužine l, čiji se krajevi gibaju duž osi x i y.
5. Za zadani mehanizam odrediti brzine i ubrzanja svih točaka
metodom plana brzine i plana ubrzanja, ako je zadano: 2O1A = AB = O1O2 = 50 cm, O2B = 2O2C = 40 cm, ϕ = 120°, ω = 1 s-1 i ε = 1 s-2.
A_3zad
2
3
40cm
=8
24 3?
R
t
t
a
πϕ
π πϑ
=
= =
=
3
-1
22
2
-2
2
8 2sprijenosno gibanje
2 2 s8 4 4 2
sin sin sin 403
34.64cmcm34.64 54.41
2 s
cm34.64 85.472 s
d sd 4
cm34.64 27.214 s
relativ
p p
p
p
n tp p p
np
tp
tp
t t
v r
t t
r r RR
v
a a a
a r
a r
t
a
ω
π π π πω ϕ
πϑ ϑ
π
πω
ε
ω πε
π
= → =
=
= = = = =
= → = ⋅ = ⋅
=
= =
= +
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠
=
= =
= =
2 2
22
2
-2
2
no gibanje
3 2 s24 8 8 2
cm40 62.832 s
cm40 98.72 s
d 2 2 sd 8 4 4 2
cm40 62.832 s
r r
r
r
n tr r r
nr r
tr r
rr
tr
v R
t t
v
a a a
a R
a R
t tt
a
ωπ π π πω ϑ
π
πω
εω π π π πε
π
=
= = = = =
= =
= +
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠
=
= = = = =
= =
( )( )
2
Coriolisovo ubrzanje
2
2 sin ,
cm2 62.83 sin 30 98.72 s
Cor p r
Cor p r p r
Cor
a v
a v v
a
ω
ω ω
π
= ×
=
= ⋅ ⋅ ⋅ ° =
2 2 2 2
Apsolutna brzinacm54.41 62.83 83.11sp rv v v= + = + =
2
2
2
2 2
Apsolutno ubrzanje
cm98.7 27.21 125.91s
sin cos
cm85.471 sin 98.7 cos 62.83 139.533 3
cos sincmcos 98.7 sin 62.83 103.76
3 3 s
x y z
tx Cor p
n t ny p r r
n tz r r
y
z
x y
a a i a j a k
a a a
a a a a
a a a
a a
a
a
a
ϑ ϑ
π π
ϑ ϑπ π
= + +
= + = + =
= + ⋅ − ⋅
= + ⋅ − ⋅ =
= ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅ =
= + +
s
2 2 2
2
125.91 139.53 103.76
cm214.7s
za
a
= + +
=
2
-1
A_4zad
2
-1
-2
2 22
10tg arctg 26.5720
sin
sin sin 26.57 44.72 1,41s10
coscos cos 26.57 44.72 10 3s
10
cm1.41 20 40s
n tD A DA DA
nDA D
D
tDA D A
D A
n tB A BA BA
nBA
tBA
a a a aba
a a b
ab
a a a ba ab
a a a a
a a
a
α α
α ω
αω
α εαε
ω
= + +
= → = = °
= ⋅ =
⋅ ° ⋅= = =
= ⋅ − =⋅ + °⋅ −
= =
= + +
= = ⋅ =
=
( ) ( )( )
2
2 2
2 22
cm3 20 60s
cm10 40 60 67.1s
n tB A BA BA
B
a
a a a a
a
ε= = ⋅ =
= − +
= − + =
A_5 zad -izračun poloida kao i na vježbama zad. 17 -brzina i ubrzanje za točku B određuje se za kut ϕ=45°
2
cm2.67s
cm25.1s
B
B
v
a
= −
= −
B_3zad
( )2
14 4
25
??
M
M
t t
s t
va
4π π πϕ = + = +
=
==
2 2
-1
22
2
Prijenosno gibanje
sin
tg
30arctg 36.8740
25 25 1 25cmsin 36.87 25 15cm
d sd 4
cm15 11.784 s
cm15 9.254 s
d0
d0
p p
p
p p
n tp p p
np
tp
p
tp
np p
v r
r sba
s tr
t
v r
a a a
a r
a r
ta
a a
ω
α
α
α
ϕ πω
πω
πω
ε
ωε
=
= ⋅
=
= = °
= = ⋅ == °⋅ =
= =
= = ⋅ =
= +
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠
=
= =
=
=
2
Relativno gibanjed c25 2 50 50 1 50d sd cm50d s
r
rr
sv t ttvat
= = ⋅ = = ⋅ =
= =
m
( )( )( ) 2
Coriolisova komponenta ubrzanja
2
2 sin ,
cm2 50 sin 180 36.87 47.124 s
Cor p r
Cor p r p r
Cor
a v
a v v
a
ω
ω ω
π
= ×
=
= ⋅ ⋅ ⋅ ° − ° =
2 2 2 2
2
2
Apsolutna brzina
cm11.78 50 51.37s
Apsolutno ubrzanje
cm47.12s
sin
cm9.25 sin 36.87 50 20.57s
cos cos36.87 50
p r p r
p r
np r Cor x y z
x Cor
ny p r
z r
y
v v v v v
v v v
a a a a a i a j a k
a a
a a a
a
a
a
α
α
= + ⊥
= + = + =
= + + = + +
= − = −
= − − ⋅
= − + °⋅ =
= − ⋅ = − °⋅
( ) ( )
2
2 2 2
2 222
cm40s
cm47.12 20.57 40 65.14s
x y za a a
a
a
= −
= + +
= − + + − =
B_4zad
-1
-1
40cm4
2s
cm4 4 2 8s
04 0.1 0.1 2 0.2s40
d 0.1sd
C
C
P
CC
Rv tt
v t
vv tv R tR
t
ω ω
ωε
==
=
= = ⋅ =
=
= ⋅ → = = = = ⋅ =
= =
2 2 2 2
cm8s
cm8 8 11.31s
cm8s
cm8 8 16s
A C AC
AC
A C AC
B C BC
BC
B C BC
v v v
v R
v v v
v v v
v R
v v v
ω
ω
= +
= ⋅ =
= + = + =
= +
= ⋅ =
= + = + =
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2 22
2
2 2
2 22
2 2
2 22
cm0.2 40 1.6s
cm0.1 40 4s
cm4 4 1.6 1.6s
cm4 1.6 4 6.88s
n tP C PC PC
n n nPC AC BC
t t tPC AC BC
t nP C PC PC
n tA C AC AC
n tA C AC AC
n tB C BC BC
B C B
a a a a
Ra a a
a a a R
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a
ω
ε
= + +
= = ⋅ == =
= = = = ⋅ =
= + +
= − + =
= + +
= + +
= + + =
= + +
= +( ) ( )( )
2 2
2 22
cm4 4 1.6 8.16s
t nC BCa+
= + + =
1m1 0.2 0.2s
horizontalan
m1.8 0.1 0.18sm1.5 0.1 0.15s
0.15 m0.2 0.050.6 s
A
B A BA
BA
B
B B v
BA BA v
C A CA
BACA ABC
v O A
v v v
v ABv
v v M
v v M
v v vvv AC ACAB
ω
ω
= ⋅ = ⋅ =
= +
⊥
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ = ⋅ =
= +
= ⋅ = = =
2 21 2
1
2 2
2
2
2
2
m1 0.2 0.2s
0
0.15 m0.03750.6 s
0.0375 0.375cm0.1
m1.5 0.1 0.15s
m0.13sm0.14s
n tA A A
nA
tA
nA A
n tB A BA BA
n BABA
nn nBABA BA
a
B B a
tBA
BA
C A C
a a a
a O A
a O A
a a
a a a a
vaABaa aM
a a M
a
a
a a a
ω
ε
= +
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ =
=
= + +
= = =
= = =
= ⋅ = ⋅ =
=
=
= +
AB
2
2
0.2 m0.14 0.0470.6 s
0.047 0.47cm0.1
m1.7 0.1 0.17s
A
CA
BA
CA BA
CACA
a
C C a
a ACa AB
ACa aAB
aaM
a a M
= →
= = =
= = =
= ⋅ = ⋅ =
C_3zad
2
2
22 -
-2
2
0.2m1s
m1 1s
0
5 5s0.2
d 5 2 10sd
d m2 2 1 2d s
A
A
C
AA
AA
v trt
v
v
v tv r tr
tt
va tt
ω ω
ωε
===
= =
=
= ⋅ → = = = =
= = ⋅ =
= = = ⋅ =
1
2 2 2 2
m5 0.2 1s
m1 1 1.41s
E A EA
EA
E A EA
v v v
v r
v v v
ω
= +
= ⋅ = ⋅ =
= + = + =
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2 22
2
2 2
2 22
2 2
222
m5 0.2 5s
m10 0.2 2s
m2 5 2 3.6s
m5 2 2 5s
n tE A EA EA
n nEA CA
t tEA CA
n tE A EA EA
n tC A CA CA
n tC CA A CA
E
a a a a
a a r
a a r
a a a a
a a a a
a a
a
a a
ω
ε
= + +
= = = ⋅ =
= = = ⋅ =
= + +
= − + =
= + +
= + −
= + − =
C_4zad
-1
2 2
2 22
-2
2
Prijenosno gibanje
2 2 2 4s3 3 3 3 2 15m
m4 15 60s
m4 15 240s
d 2sd
m2 15 30s
p
p
n tp p p
np
tp
tp
v s
ts t
v
a a a
a s
a s
t
a
ω
ω
ω
ε
ωε
= ⋅
= = ⋅ =
= + = + ⋅ =
= ⋅ =
= +
= = ⋅ =
=
= =
= ⋅ =
2
Relativnogibanjed m3 2 6 2 12d sd m6d s
r
rr
sv ttvat
= = ⋅ = ⋅ =
= =
( )( )
2
Coriolisova komponenta ubrzanja
2
2 sin ,
m2 4 12 sin 90 96s
Cor p r
Cor p r p r
Cor
a v
a v v
a
ω
ω ω
= ×
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ° =
( ) ( )( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2 22
Apsolutna brzinam12 60 61.18s
Apsolutno ubrzanje
m30 96 6 240 265.8s
p r
t np Cor r p
v v v
a a a a a
= + = + =
= − + −
= + + − =
C_5zad_riješen u vježbama, zad. broj 17D
D_3zad
22
1
1 1 1
4 4coscm 14
s 2
2?, ?, ?
r
S r
v a
ϕ
ϕ
πϕ
ρ
= −
= =
=
= = =
( )
2 2
2
-12
2 2 2 2
4 sin2
4 4cos 4cm2
2 4 0.5s4
cm4 sin 0.5 22 s
cm4 0.5 2s
cm2 2 2.83s
r
r
r
r
v v v
v rS
r
r
v
v r
v v v
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
π
ϕ
π
ϕ
= +
= = − −
=
= − =
⋅= =
= ⋅ ⋅ =
= = ⋅ =
= + = + =
( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )
2 2
2
3 -3
2 2
2 2
2
d 4sin4 cos sin
dd 12 2 4 4 2 0.5sd 44 cos sin
4 cos 0.5 sin 0.5 4 0.52 2
cm4 0.5 1 3s
2 4 0.5 2 2 0
r
r
r
r
r
a
a a a
a r r
rt
S r rt
a r
a r
a
r
ϕ
ϕ
ϕϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
π π
ϕ ϕ
−
= +
= −
⋅= = ⋅ ⋅ +
= = − = − ⋅ ⋅ ⋅ = −
= ⋅ − ⋅ −
⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ − − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
= − − = −
= + = − + ⋅ ⋅ .5 2 2 0= − + =
2
⋅
D_4zad -rješen je na vježbama, zadatak 16D
( )
2
2
2
2 0 2 3 cm2.122.83 s
2.83 3.78cm2.12
n
r rn
va
v a v aa
vϕ ϕ
ρ
ρ
=
− ⋅ − ⋅ −= = =
= =
D_5zad
1
2
2
2
2
2
cm1 25 25s
25 2.5cm10
cm0.3 10 3s
cm25s
20 cm25 12.540 s
A
AA
v
B A BA
BA B
BA BA v
B
C
B
C B
v O A
vvM
v v v
v AB v O B
v v M
v
v O Cv O B
O Cv vO B
ω= ⋅ = ⋅ =
= = =
= +
⊥ ⊥
= ⋅ = ⋅ =
=
=
= = =
2 21 2
1 2
2
2 2
2
2 2
22
2
2
2
2
2
cm1 25 25s
cm1 25 25scm3.6 10 36s
21 cm8.8250 s30 cm22.540 s
cm19s
cm2scm30s
n tA A A
nA
tA
A A a
n t n tB A BA BA B B
n BABA
n BB
tB
tBA
B
C
B
a a a
a O A
a O A
a a M
a a a a a a
vaABva
O B
a
a
a
a O Ca O B
ω
ε
= +
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ = ⋅ =
= + + = +
= = =
= = =
=
=
=
= → 22
2
20 cm30 1540 sC B
O Ca aO B
= = =