فﺳوﯾ يرداوﻗ :ذﺎﺗﺳﻷا ﺔﯾزازﺗھﻹا تاروطﺗﻟا...

قوادري یوسف: األستاذ اإلھتزازیة تطوراتال: 07الوحدة

www.touahria.com: لتحمیل المزید من الملفات تشرفنا زیارتكم للموقعثانوي 3سنة العلوم الفیزیائیة

:الحرةالمیكانیكیة االھتزازات أوال .1

:الجملة المیكانیكیة المھتزة تعریف -1

.األرجوحة: وضع توازنھا مثل جملة میكانیكیة تقوم بحركة ذھاب و ایاب على جانبي عبارة عن

:الحرة على احدى األنماط التالیة تكون االھتزازات: أنماطھا – 2

.الزمنثابتة خالل طاقة الجملة المھتزةزازات میثالیة حیث تبقى ھتاوھي : اھتزازات حرة غیر متخامدة*

.الجملة المھتزة تتناقص طاقتھا بمرور الزمن بفعل اإلحتكاكاتوھي اھتزازات حقیقیة حیث : اھتزازات حرة متخامدة*

.مرور الزمنإھتزازات لھا تغذیة خارجیة من أجل تعویض الطاقة الضائعة لثبات طاقتھا ب: اھتزازت حرة مغذاة*

دراسة بعض الجمل -3

: النواس المرن -1.3

مثبت بنھایة نابض حلقاتھ غیر متالصقة وكتلة النابض مھملة ونھایتھ m كتلتھ یتكون النواس المرن من جسم صلب

المھتزة ونجده على شكلین نموذج لمجموعة كبیرة من الجملمثبتة في نقطة، إن النواس المرن األخرى

نواس مرن شاقولي نواس مرن أفقي

:غیر متخامدةحرة حالة اھتزازات - 1.1.3

مھملة رض أن قوى اإلحتكاك بجمیع أشكالھاحالة میثالیة غیر موجودة في الواقع نفت غیر متخامدةالحرة الھتزازات اإل

ضع توازنھ وتركھ لحالة بدون سرعة إبتدائیة فإنھ یقوم بحركة ذھاب إیاب عن عن و s)(إزاحة الجسم الصلب عند

وتتم الحركة على القطعة المستقیمة 0xالذي یعتبر مبدأ للفواصل موضع توازنھ AA وتصبح الحركة دوریة ألنھا

: ویكون و اإلیاب خالل فترات زمنیة متساویة متماثلة في الذھاب MAXAMAXA XxtxXx في ھذه ،

:اھتزازات حرة غیر متخامدةالحالة نقول بأن

القطعة تتغیر حركة مركز عطالة الجسم على طول المستقیمة AA المطال األعظمي الموجب : بین

.بوضع التوازنمرورا دوما ظمي السالبوالمطال األع

شاقولي -04-الشكل أفقي -03-الشكل

قوادري یوسف: األستاذ اإلھتزازیة التطورات: 07الوحدة


2

:)اإلحتكاك مھمل( المرن األفقي النواس -أ

:نتائج الدراسة التجریبیة للجملة المھتزة نواس مرن -1

):نواس مرن(المقادیر الممیزة للجملة المھتزة :أوال

:ة تتمثل فيتتمیز الجملة المھتزة بمقادیر ممیزة للحرك

یدعى المقدار : Xسعة الحركة أو سعة اإلھتزاز -1

MXAA

X

2

.بسعة الحركة وھو مقدار موجب دوما

ن لفاصل بین مرورین متتالین للجسم مزمن إھتزازة واحدة أي الزمن اھو :)S(بالثانیة 0T الدور الذاتي للحركة -2

التي تقدر بوحدة mیتعلق بكتلة الجسم ،نفس الموضع وفي نفس اإلتجاه Kg ، وثابت مرونة النابضK الذي

یقدربوحدة mN :عبارتھ/K

mT 20 .

: ھو عدد االھتزازات في الثانیة الواحدة ویعطى بالعالقة ): S-1( أو )Hz(بالھرتز 0fالتواتر الذاتي -30

0

1

Tf .

: النبض الذاتي مرتبط بالدور الذاتي للحركة: )s/rad(بـ 0للحركة النبض الذاتي -40

0

2

T

أي:

m

k0

0maxmax العظمىالسرعة -5 .Xv بـ)m/S1 :(تمثل سرعة الجسم عند مروره بوضع التوازن.

0 :في اإلتجاه الموجب إذا كان المتحرك یتحركmaxmax .Xvv .

0 :في اإلتجاه السالب إذا كان المتحرك یتحركmaxmax .Xvv

2عظمي التسارع األ -60maxmax .Xa بـ)m/S2( :

2 :في المطال األعظمي الموجب یكون التسارع0maxmax .Xaa

2 :في المطال األعظمي السالب یكون التسارع0maxmax .Xaa

01تمرین تطبیقي

أفقي حیث النابض) نابض–جسم ( ةمھتزلجملة s)( صلب في الشكل المقابل نمثل تغیرات فاصلة مركز عطالة جسم

حلقاتھ غیر متالصقة

..مانمط اإلھتزازات الموضحة بالشكل -1

:الحظ الشكل جیدا ثم حدد المقادیر الممیزة التالیة -2

0Tالدور الذاتي للحركة -سعة الحركة -

0 النبض الذاتي - 0fالتواتر الذاتي -

maxaالتسارع األعظمي - maxv السرعة العظمى -

:الحل .اھتزازات حرة غیر متخامدة :مأن سعة اإلھتزاز ثابتة فإن نمط اإلھتزازات ھوب -1 :تحدید المقادیر الممیزة -2

X : mCmXXسعة الحركة أو سعة اإلھتزاز - M21033

sT من البیان یتضح زمن إھتزازة واحدة ھو: 0Tالدور الذاتي للحركة - 40

0f :1التواتر الذاتي -0 25,0 sf Hz

Tf

4

11

0

0

sradلدینا :0 النبض الذاتي - -T

/57,15,04

22

0

0

maxv :smXv السرعة العظمى - /1071,457,1103. 220max

maxa :التسارع األعظمي - 222220max /1039,757,1103. smXa



3

:)مھمل إحتكاكحالة اھتزازات حرة غیر متخامدة( للحركة المعادلة التفاضلیة : ثانیا

0: بمعادلة تفاضلیة للحركة تكتب بالشكل) نواس مرن( الجملة المھتزة تتمیز2

2

xm

k

dt

xd02أو

02

2

xdt

xd

: من الشكل حلھا دالة جیبیة بداللة الزمن ومتجانسة وھي معادلة تقاضلیة من الرتبة الثانیة tXCostx 0

MXX: حیث سعة الحركة)m(

0 لحركة ذاتي نبض)s/rad (

t0 صفحة الحركة

0 : 0اإلبتدائیة ةمن أجل اللحظ( تحدد من الشروط اإلبتدائیةللحركة الصفحة االبتدائیةt(.


KgNKیتألف نواس مرن من نابض حلقاتھ غیر متالصقة ثابت مرونتھ /5,62 مثبت من طرف والطرف الثاني

0.625: تزة بمعادلة تفاضلیة للحركة من الشكلتتمیز حركة ھذه الجملة المھ mكتلتھ ) s(متصل بجسم 2

2

xdt

xd

.؟ عللخامدةمت ھل نمط اإلھتزازات حرة -1

0إذا علمت أن المعادلة التفاضلیة تكتب بالشكل -22

2

xm

k

dt

xd: وحلھا یكتب بالشكل tCosXtx 0max

:أثبت أن m

k0

0fوالتواتر الذاتي 0Tإستنتج النبض الذاتي للحركة ثم أحسب كل من الدور الذاتي -3

.)s(كتلة الجسم mأحسب -4 :الحل

02معادلة تقاضلیة من الشكل ال -102

2

xdt

xd اھتزازات حرة غیر متخامدة إذن فھي من الرتبة الثانیة ومتجانسة.

:إثبات أن -2m

k0 لدینا حل المعادلة التفاضلیة یكتب بالشكل : tCosXtx 0max

: المشتق األول tXdt

tdx0max0 sin

: المشتق الثاني tX

dt

txd0max

202

2

cos

ولدینا tCosXtx 0max بالتعویض في المشتق الثاني نجد : tx

dt

txd.2

02

2

: ومنھ 0.2

02

2

txdt

txd 02بالمطابقة مع

02

2

xdt

xd نجد :

m

k2

0 وعلیھ:m

k0

6252: إستنتاج النبض الذاتي للحركة بمطابقة المعادلة التفاضلیة نجد -30 وعلیھsrad /250

: لدینا 0Tحساب الدور الذاتي 0

0

2

T

إذن :sT 25,0

25

14,322

0

0

0f :1التواتر الذاتي -0 4 sf Hz

Tf 4

25,0

11

0

0

s( :gkg(كتلة الجسم mب احس -4k

mm

k

m

k1001,0

625

5,6220

200

.



4

:للجملة المھتزة نواس مرن لنظریةلدراسة اا - 3-2

:نشاط توضیحي

نزیح كما ھو موضح بالشكل أسفلھ kو النابض ثابت مرونتھ mحیث الجسم كتلتھ )نابض جسم( جملة مھتزة )نعتبر جمیع اإلحتكاكات مھملة ( .ونتركھ دون سرعة إبتدائیة في اإلتجاه الموجب الجسم عن وضع توازنھ

.جعلھ غالیلیا بتقریب جیدة وماھو الشرط الذي یماھو المرجع المناسب للدراس -1 .أذكر القوى المؤثرة على الجسم ومثلھا -2 )عبارة المطال(ة التفاضلیة للحركة وقدم حال لھا أكتب المعادل -3 v لسرعةالعبارة الزمنیة أكتب -4 a لتسارعالعبارة الزمنیة أكتب -5

.mو kبداللة 0Tوالدور الذاتي 0أوجد عبارة كل من النبض الذاتي -6

:الحلولكي یتحقق یجب أن یكون زمن إھتزازة ر غالیلیاحي أرضي نعتبھو المرجع السط المرجع المناسب للدراسة -1

. واحدة أقل بكثیر من دور األرض حول نفسھا

:حركة الجسم أثناء حركتھ القوى المؤثرة على -2

P قوة الثقل - أ

Rجسم قوة رد فعل السطح على ال - ب

.)( قوة اإلرجاع-ج txKF :

على إرجاع الجسم إلى وضع توازنھ تعمل سبب الحركة اإلھتزازیة تعتبر

:وتتمیز بالخصائص التالیة محور النابض: الحامل - مركز عطالة الجسم: نقطة التأثیر -xKF: الشدة - Oتتجھ دائما نحو موضع التوازن : اإلتجاه - .

: بتطبیق قانون نیوتن الثاني على الجسم : المعادلة التفاضلیة للحركة -3

Gext amF

amFRP . maKx: نجد OXوباالسقاط على المحور 00

.0: یمكننا كتابتھا بالشكل وعلیھ2

2

Kxdt

xdm بالقسمة علىm 0 : نجد

2

2

xm

k

dt

xd

:تقبل حل من الشكل xوھي معادلة تفاضلیة من الدرجة الثانیة بالنسبة لـ tCosXtx 0max

: أن العبارة الزمنیة للسرعة نعلم -4 dt

tdxv وعلیھ بإشتقاق حل المعادلة التفاضلیة نجد:

tXtv 0max0 sin)(

: العبارة الزمنیة لتسارع نعلم أن -52

2

dt

xd

dt

dva الزمنیة للسرعة نجد وعلیھ بإشتقاق العبارة:

tXta 0max20 cos)(

.mو kبداللة 0Tوالدور الذاتي 0عبارة كل من النبض الذاتي یجادإ -6

وجدنا عبارة التسارع tXa 0max20 cos حیث

2

2

dt

xda و tCosXtx 0max ض بالتعوی

2)(: نجد02

2

txdt

xd 2)(0وعلیھ

02

2

txdt

xd 0: بالمطابقة مع

2

xm

k

dt

xdنجد

m

k2

0 إذن :m

k0

لدینا : 0Tعبارة الدور الذاتي 0

0

2

T

إذن

0

0

2

T وعلیھ نجد :

K

mT 20



5

:xالمطال بداللة aتغیرات التسارع : وجدنا عبارة التسارع من الشكل

tXa 0max20 cos

:ولدینا عبارة المطال من الشكل tCosXtx 0max

بتعویض عبارة المطال في عبارة التسارع

2)( :نجد0 txa

وعلیھ نستنتج بأن التسارع یتغیر بتغیر :حیث )الشكل المقابل( المطال

موضع التوازنعند التسارع ینعدم

0)0(20 xa

عند المطال األعظمي السالبیاخذ قیمة موجبة

0

)(

max

max20

max20

aa

Xa

Xa

.

عند المطال األعظمي الموجبیاخذ قیمة سالبة

0

)(

max

max20

max20

aa

Xa

Xa

.


ثبت كریة كتلتھا ن m حلقاتھ غیر متالصقة ثابت مرونتھ افقي بنابض مرن

K نزیح الكتلة m عند اللحظة 0t عن وضع التوازن

نمثل مخطط التسارع بداللة المطال نتركھا دون سرعة ابتدائیة و xfa

.لیأكتب معادلة البیان ثم حدد نمط اإلھتزاز الحادث مع التعل -1

: لمقادیر التالیةأوجد امن البیان -2

mسعة االھتزازات، maxaالتسارع األعظمي X ، 0أحسب النبض الذاتي

102: یعطى. 0Tالدور الذاتي

:الحل

xAa: البیان خط مستقیم معادلتھ -1 . حیثA یمثل المیل :

1010.04

04,02

A وعلیھ :xa 10.

010نمط اإلھتزاز حر غیر متخامد ألن معادلة البیان من الشكل 2

2

xdt

xd وھي معادلة تفاضلیة من الدرجة الثانیة

:تحدید المقادیر من البیان -22 التسارع األعظمي

max /4,0 sma

CmXmسعة االھتزازات 4

010النبض الذاتي بمطابقة 2

2

xdt

xd مع

02:المعادلة التفاضلیة0

2

xdt

xd 102نجد

0 22إذن0

sradوعلیھ النبض الذاتي ھو /14,30

لدینا : الدور الذاتي0

0

2

T وعلیھ :sT 2

22

0

0



6

04تمرین تطبیقيmNKنابض مرن حلقاتھ غیر متالصقة ثابت مرونتھ نثبت أفقیا /100 جسم صلب كتلتھ نثبت رفھ الحر وبط

gm 250 عن وضع التوازن بمقدار نزیح الجسم عن Cmxm 5 لحظة عند ال ونتركھ 0t دون سرعة

.علما أن جمیع اإلحتكاكات مھملة ابتدائیةمثل القوى المؤثرة على الكریة عند الفاصلة -1

mx

ثم حدد تلك القوة المسؤولة عن الحركة

.متخامدة ؟ برر إجابتكحرة ز سیكون نمط اإلھتزا ھل -2

tfx)(أكتب المعادلة الزمنیة للحركة ثم حركةأكتب المعادلة التفاضلیة لل -3

tfv)(ةلسرعا لكل من أكتب العبارة الزمنیة -4 والتسارع)(tga

tfx)(مثل المخطاطات -5 ثم)(thv ،)(tga

.ة اإلرجاع عند المرور بالمطال األعظمي الموجبأحسب قیمة قو -6 :الحل

.ثمثیل القوى موضح على الشكل -1

اإلرجاع القوة المسؤولة عن الحركة ھي قوة

)(. txKF ألنھا تعمل على إعادة الجسم إلى

).O(كون دوما نحو موضع التوازن و إتجاھھا ی وضع توازنھ

اھتزازات حرة غیر متخامدةاإلنمط فإنبمأن اإلحتكاكات مھملة -2

: المعادلة التفاضلیة للحركة -3

: بتطبیق قانون نیوتن الثاني على الجسم -4

Gext amF


2

2

..dt

xdmxk 0: یمكننا كتابتھا بالشكل وعلیھ.

2

2

Kxdt

xdm

0: نجد mبالقسمة على 2

2

xm

k

dt

xd

:تقبل حل من الشكل xوھي معادلة تفاضلیة من الدرجة الثانیة بالنسبة لـ tCosXtx 0

CmXX قیمتھا سعة الحركةXحیث M 5

: حساب النبض الذاتي للحركةm

k0 بالتعویض نجدsrad

m

k/.20

25;0

1000

:0إیجاد الصفحة اإلبتدائیة

عند اللحظة ( في نص التمرین تدائي الموضحبإعتبار الشرط اإلب 0t عن وضع التوازن بمقدار نزیح الجسم عن

Cmxx m 5)0( ، اللحظة بالتعویضt=0 في حل المعادلة التفاضلیة نجد : 00cos.0 mXx

0cos: وعلیھ mm xx

1cos: ومنھ 0 00: إذ ن

tfx)(المعادلة الزمنیة للحركة تكتب بالشكل : CmtCostx ......20.5

mtCostx ......20105 2



7

: العبارة الزمنیة للسرعة نعلم أن -1 dt

tdxv وعلیھ بإشتقاق حل المعادلة التفاضلیة نجد:

smttv /......20sin10100 2 أي : smttv /......20sin1

: العبارة الزمنیة لتسارع نعلم أن -22

2

dt

xd

dt

dva وعلیھ بإشتقاق العبارة الزمنیة للسرعة نجد:

mtCosta ......2020

tfx)(تمثل المخطاطات -5 ثم)(thv ،)(tga

اتتمثیل المخطط العبارة الزمنیة

tfx)( :المطال

CmtCostx ......20.5

CmtT

Costx ......2

.50

یمثل الدور الذاتي 0Tحیث

0T 4

3 0T 20T

40T 0 t

2 2

3

2

0

t

T0

2

1 0 1 0 1

t

TCos

0

2

5 0 5 0 5 )(cmx

:السرعة dt

tdxv

mttv ......20sin1

smtT

tv /..2

sin10

0T 4

3 0T 20T

40T 0

t

2 2

3

2

0

t

T0

2

0 1 0 1 0

t

TSin

0

2

0 1 0 1 0

)/( smv

:التسارع

2

2

dt

xd

dt

dva

2/...2020 smtCosta

2

0

/..2

cos20 smtT

ta

0T 4

3 0T 20T

40T 0 t

2 2

3

2

0 t

T0

2

1 0 1 0 1 t

TCos

0

2

20

0 20

0 20

)/( 2sma

: حساب قیمة قوة اإلرجاع عند المرور بالمطال األعظمي الموجب -6

.)( لدینا: 01طریقة txKF وبما أن المطال أعظمي

mXtxموجب فإن M2105)( : وعلیھ نجد

NXKF M 5105100. 2

maF لدینا: 02طریقة وبما أن المطال أعظمي موجب فإن

mXtx M2105)( 20max :أي أن aa وعلیھ

: نجد NmaF 52025,0



8


جسم صلب كتلتھ gm 400 مرن حلقاتھ غیر متالصقة ثابت مرونتھ أفقينابض مثبت بmNK /100 كما ھو

ونتركھ Cm2بمقدار وذلك بضغطھ على النابض عن وضع التوازنزیح الجسم عن نعند اللحظة بالشكل موضح

عند اللحظة 0t علما أن جمیع اإلحتكاكات مھملة دون سرعة ابتدائیة. مثل القوى المؤثرة على الكریة عند الفاصلة -1 mx.

اضلیة للحركة تب المعادلة التفأك -2

tfx)(أكتب المعادلة الزمنیة للحركة ثم 0Tأحسب الدور الذاتي -3 .

tfv)(ةأكتب العبارة الزمنیة لكل من السرع -4 والتسارع)(tga 102: یعطى .

tfx)(مثل المخطاطات -5 ثم)(tfv ،)(tga

.السالبد المرور بالمطال األعظمي قوة اإلرجاع عن قیمة أحسب -6

:الحل .ثمثیل القوى موضح على الشكل -1

: المعادلة التفاضلیة للحركة -2

: بتطبیق قانون نیوتن الثاني على الجسم

Gext amF


2

2

..dt

xdmxk 0: یمكننا كتابتھا بالشكل وعلیھ.

2

2

Kxdt

xdm

0: نجد mعلى بالقسمة 2

2

xm

k

dt

xd

لدینا : 0Tحساب الدور الذاتي -3K

mT 20 وعلیھ

100

4,020 T إذنssT 4,0397,00

tfx)(كتابة المعادلة الزمنیة للحركة : انیة بالنسبة لـ المعادلة تفاضلیة من الدرجة الثx تقبل حل من الشكل :

tXCostx 0

CmXX قیمتھا دائما مقدار موجب سعة الحركةX: حیث M 2

0إیجاد الصفحة اإلبتدائیة : عن وضع التوازننزیح الجسم عن (في نص التمرین ط اإلبتدائي الموضحبإعتبار الشر

عند اللحظة أي أنھ ) Cm2بمقدار وذلك بضغطھ على النابض 0t لدینا: Cmxx m 2)0(

: في حل المعادلة التفاضلیة نجد t=0اللحظة بالتعویض 00cos.0 mXx

0cos: وعلیھ mm xx

1cos: ومنھ 0 إذ ن : 0

tfx)(المعادلة الزمنیة للحركة تكتب بالشكل : CmtT

Costx ......2

.20

CmtCostx ......4;0

2.2

: وعلیھ CmtCostx .......5.2



9

: العبارة الزمنیة للسرعة نعلم أن -4 dt

tdxv

:وعلیھ بإشتقاق حل المعادلة التفاضلیة نجد

smttv /).......5sin(10.25 2

smttv /)......5sin(1,0

: العبارة الزمنیة لتسارع نعلم أن2

2

dt

xd

dt

dva وعلیھ

:بإشتقاق العبارة الزمنیة للسرعة نجد

2/).......5(.1,0.5 smtCosta

22 /).......5(.5,0 smtCosta

2/).......5(.5 smtCosta

tfx)( تمثل المخطاطات -5 ثم)(thv ،)(tga اتتمثیل المخطط العبارة الزمنیة

tfx)( :المطال

CmtT

Costx ..2

.20

یمثل الدور 0Tحیث

الذاتي

0T 4

3 0T 20T

40T 0 t

3 2

5 2

2

3 0

t

T0

2

1 0 1 0 1

t

TCos

0

2

2 0 2 0 2

)(cmx

:السرعة dt

tdxv

).5sin(1,0 ttv

t

Ttv

0

2sin314,0

0T

4

3 0T 20T

40T 0

t

3 2

5

2 2

3 0

t

T0

2

0 1 0 1 0

t

T0

2sin

0 314,0 0 314,0 0

)/( smv

:التسارع2

2

dt

xd

dt

dva

).5(.5 tCosta

).2

(.50

tT

Costa

0T 4

3 0T 20T

40T 0 t

3 2

5 2 2

3

0

t

T0

2

1 0 1 0 1

t

TCos

0

2

5 0 5 0 5

)/( 2sma

: ند المرور بالمطال األعظمي السالبحساب قیمة قوة اإلرجاع ع -6

.)( لدینا: 01طریقة txKF وبما أن المطال أعظمي

mXtxفإن سالب M2102)( : وعلیھ نجد

NXKF M 2102100. 2

maF لدینا: 02طریقة فإن وبما أن المطال أعظمي سالب

mXtx M2102)( :أي أن

2max /5 smaa

a : وعلیھ نجد NmaF 254,0



10

:مالحظات مھمةإن أھم المصطلحات Oعلى موضع التوازن )S(لجسم لمركزعطالة ا فإنھ یحدث ذھاب وإیاب الحركة اإلھتزازیةأثناء

:في الشكل التالي التي یجب إستعمالھا موضحة

المطال :أثناء حركة الذھاب واإلیاب تتغیر المقادیر الفیزیائیة tx، السرعة tv ، التسارع ta قوة اإلرجاع ،)(tF

الطاقة الحركیة tEC الطاقة الكامنة المرونیة tEPe

تمثل الطاقة الحركیة للجسم): نابض+ جسم (الطاقة الحركیة للجملة tmvtEC2

2

1

و ) Kg(كتلة الجسم mحیث tv السرعة بـsm /.

مرونیة للنابضتمثل الطاقة ال): نابض+ جسم (الطاقة الكامنة المرونیة للجملة tkxtEpe2

2

1

KgN(ثابت مرونة النابض kحیث و ) / tx المطال بـm.

:إن تغیرات المقادیر السابقة ندرجھا في الجدول التالي

المطال األعظمي السالب وضع التوازن المطال األعظمي الموجب المقدار

المطال tx maxX 0x maxX

السرعة tv

0v

0maxmax Xvv

إذاكان یتجھ نحو اإلتجاه الموجب

0maxmax :نجد Xvv

إذاكان یتجھ نحو اإلتجاه السالب

0maxmax :نجد Xvv

0v

التسارع ta 20maxmax .Xaa 0a

20maxmax .Xaa

)(.tF max)(قوة اإلرجاع XKtKxF

max.. amamF 0F

max.)( XKtKxF

max.. amamF

الطاقة الحركیة

tEC 0CE 2

max2

1mvtEC 0CE

الطاقة الكامنة

لمرونیة ا tEPe 2max

2

1kXEpe 0PeE 2

max2

1kXEpe



11

): نواس مرن(للجملة المھتزة الدراسة الطاقویة :ثالثا )حالة غیاب االحتكاكات( :تغیرات الطاقة بداللة الزمن -3

)بإختار المستوي االفقي مرجع للطاقات الكامنة الثقلیة(

تمثل الطاقة الحركیة للجسم): نابض+ جسم (الطاقة الحركیة للجملة - tmvtEC2

2

1

و ) Kg(كتلة الجسم mحیث tv السرعة بـsm /.

ونعلم أن tXtv 0max0 sin)( بالتعویض في عبارة الطاقة الحركیة نجد:

2

00 sin.2

1)( tXmtEC tXmtEC 0

22max

20 sin

2

1)(

: :ولدینا m

k2

0 دینالإذن :km 20 بالتعویض نجد: tkXtEC 0

22max sin

2

1)(

تمثل الطاقة المرونیة للنابض): نابض+ جسم (الطاقة الكامنة المرونیة للجملة - tkxtEpe2

2

1

KgN(ثابت مرونة النابض kحیث و ) / tx المطال بـm.

ونعلم أن tCosXtx 0max نجد بالتعویض في عبارة الطاقة الكامنة الثقلیة:

2

0max2

1)( tCosXktEpe tCoskXtEpe 0

22max

2

1)(

PeCT: تمثل مجموع الطاقتین ):نابض+ جسم (طاقة الجملة - EEE

tkXtosXkET .sin2

1..

2

10

22max0

22max

cteXkEttXkE TT 2max0

20

22max .

2

1.sin.cos.

2

1

مھما كان الزمن ثابتة )نابض+ جسم (نستنتج ان طاقة الجملة :اإلستنتاج2max.

2

1XkET

:مرونیة والطاقة الحركیة موضحة في الشكل التاليإن تغیرات الطاقة الكامنة ال

1.sin.cos 02

02 tt

كامنة الطاقة مرونیة

الحركیةالطاقة

الطاقة الجملة



12

06تمرین تطبیقيmNKعلما أن النابض مرن حلقاتھ غیر متالصقة ثابت مرونتھ )نابض+ جسم ( نعتبر الجملة المھتزة /5 والجسم

كتلتھ m نزیح الجسم عند اللحظة نعتبر نقطي 0t عن وضع توازنھ وذلك بمقدار mx ونتركھ عند اللحظة

t=0 تجھیز مناسب نتحصل على بواسطة )بإختار المستوي االفقي مرجع للطاقات الكامنة الثقلیة( .دون سرعة ابتدائیة

شكل ادناهمنحنیات الطاقة الكامنة المرونیة والطاقة الحركیة الموضحة في ال

.مع التعلیلpeEللطاقة الكامنة الثقلیة المنحني الموافق و cEحدد المنحني الموافق الطاقة الحركیة -1

0ثم أحسب النبض الذاتي 0Tالدور الذاتي ،cE(max) الطاقة الحركیة العظمى: لمقادیر التالیةحدد قیم ا -2

mسعة الحركة X كتلة الجسم ،m التسارع األعظمي ،maxa السرعة العظمى ،maxv ،102: یعطى

:الحل

00معدومة t=0سرعة عند اللحظة ألن ال) A(ھو المنحني cEالمنحني الموافق للطاقة الحركیة -1 v وعلیھ الطاقة

تكون معدومة t=0الحركیة عند اللحظة 002

10 2 mvEC

)0(maxألن الكریة في المطال األعظمي الموجب ) B(المنحني ھو peEالمنحني الموافق للطاقة الكامنة الثقلیة Xx

: وعلیھ الطاقة الكامنة المرونیة أعظمیة 2max

2

10 kXEpe

:تحدید قیم المقادیر -2

jmjEcالطاقة الحركیة العظمى 31044(max)

jmjEpeالطاقة الكامنة المرونیة العظمى 31044(max)

0T :sTالدور الذاتي 10

0 :النبض الذاتي sT

28,614,3221

22

0

0

لدینا: maxXسعة الحركة 2max

2

10 kXEpe

: إذن 2max0.2 kXEpe وعلیھ :

k

EX

pe 0.22max

CmXm

k

EX

pe404,0

5

10.420.2max

3

max

: mكتلة الجسم m

k

m

k 00

kg

km 125,0

104

5

4

5

2

5222

gm 125

maxa:2التسارع األعظمي 0maxmax .Xa

222max /6,12104 sma

maxv:0maxmaxالسرعة العظمي .Xv

smv /25,02104 2max

:طریقة ثانیة max2

1max 2mvEC

0maxmax2 2 mvEC

sm

m

Ev c /25,0

125,0

1042max.2 3

max



13

07تمرین تطبیقي مرن حلقاتھ غیر متالصقة أفقينابض مثبت ب mكتلتھ ) s(جسم صلب

نزیح الجسم عند اللحظة بالشكل كما ھو موضح Kثابت مرونتھ

عند اللحظة ونتركھ عن وضع التوازنعن 0t یمثل تغیرات الفاصلة بداللة - 01-الشكل دون سرعة ابتدائیة

tfx)(الزمن الزمن مرونیة بداللةیمثل تغیرات الطاقة الكامنة ال - 02-بینما الشكل )(tgEPe .

ھل توجد قوى إحتكاك؟ .مانمط اإلھتزازات الموضحة بالشكل؟ علل -1

.جملة ثم أوجد المعادلة التفاضلیة للحركةالكلیة لطاقة الأكتب عبارة -2

.أكتب المعادلة الزمنیة للحركةثم 0أحسب النبض الذاتي -3

. تب عبارة الطاقة الكامنة المرونیة بداللة الزمنأك -4

ند نفس اللحظاتحدد من البیان اللحظات التي تكون فیھا الطاقة الكامنة المرونیة أعظمیة؟ كیف تكون الطاقة الحركیة ع -5

.m وقیمة الكتلة Kاوجد قیمة كل من ثابت مرونة النابض -6

:حلال :نمط اإلھتزازات -1

اھتزازات حرة غیر متخامدة .سعة اإلھتزاز ثابتة :التعلیل

التوجد قوى إحتكاك :عبارة طاقة الكلیة للجملة -2

. المعادلة التفاضلیة للحركة

txktvmET22 .

2

1.

2

1

:نشتق الطرفین بالنسبة للزمن فنجد

dt

dxtxk

dt

dvtvm

dt

dE...

tvtxkdt

xdtvm ....0

2

2

0....2

2

txkdt

xdm

وھي معادلة تفاضلیة من الرتبة x بالنسبة لـالثانیة و متجانسة :حساب النبض الذاتي للحركة -3

0

0

2

T

من بیان الطاقة الكامنة

sTالمرونیة یتضح أن الدور الذاتي ھو 20 وعلیھ: srad /14,32

20

:المعادلة الزمنیة للحركة tXCostx 0

CmXX قیمتھا سعة الحركةXحیث M 2

0إیجاد الصفحة اإلبتدائیة :

عند اللحظة (الفاصلة من بیان 0t Cmxx m 2)0( ،

:في حل المعادلة التفاضلیة نجد t=0اللحظة بالتعویض

0cos: وعلیھ mm xx 1: ومنھcos 0 00: إذ ن

tfx)(المعادلة الزمنیة للحركة تكتب بالشكل : Cmttx ......cos.2

mttx .......cos102 2

: عبارة الطاقة الكامنة المرونیة -4

tKtKtKxtEpe 24222 cos102cos1022

1

2

1

ststt :اللحظات التي تكون فیھا الطاقة الكامنة المرونیة أعظمیة ھي -5 2,1,0

.الطاقة الحركیة عند نفس اللحظات تكون معدومة

طاقة الكامنة المرونیة أعظمیة :Kنابضثابت مرونة ال -6

: m حساب الكتلة

kgk

mm

k

m

k5,2

10

2520

200

.

txktvmE

tEtEE

T

PeCT

22 .2

1.

2

1

00cos.0 mXx

2max

2

1max KXEpe

mNX

EpeKKXE

MAX

pe /2502,0

005,02(max)2max2

22

2max

-02-الشكل -01-الشكل



14

:حالة غیاب االحتكاكات ) sجسم صلب + نابض ( طاقة الجملة -1 لة طاقة الجم = الطاقة الحركیة+الطاقة الكامنة :الطاقة الكلیة حیث نكتب ھي طاقة الجملة

:تغیرات الطاقة بداللة المطال -2

تبقى الطاقة الكلیة ثابتة رغم تغیر كل من الطاقة الحركیة والطاقة الكامنة المرونیة ألن مجموعھما دائما مقدار ثابت ألنھ ندرج أھم النتائج في الجدول التالي . یحدث تحول من الطاقة الكامنة المرونیة إلى طاقة حركیة

المطال األعظمي السالب وضع التوازن األعظمي الموجب المطال المقدارالطاقة

الحركیة tEC

0CE 2max

2

1mvtEC 0CE

الطاقة الكامنة

المرونیة

tEPe

2max

2

1kXtEpe 0PeE 2

max2

1kXtEpe

طاقة الحملة

TE

2max

2

10 kXEEE peCT

2max

2

1kXET

02

1 2max mvEEE peCT

2max

2max

2

1

2

1kXmvET

2max

2

10 kXEEE peCT

2max

2

1kXET

مخطط الطاقة

:بتعویض عبارة المطال والسرعة نجد لدینا :إثبات أن طاقة الجملة ثابتة في كل لحظة

tXmtXkET .sin.2

1.cos.

2

10

22max

200

22max

km: دینالm

k .2

020 بالتعویض في المعادلة نجد : tkXtosXkET .sin

2

1..

2

10

22max0

22max

cteXkEttXkE TT 2max0

20

22max .

2

1.sin.cos.

2

1

.مقدار ثابت في كل لحظة ) جسم+نابض( اذن طاقة الجملة

txktvmE

tEtEE

T

PeCT

22 .2

1.

2

1

)(2

1.

2

1 22 tmvtxkET

یتضح بأن طاقة الجملة ثابتة على طول المطال

CteEEtE PeC

الطاقة الحركیة

الطاقة الكامنة المرونیة

الطاقة الجملة



15


ثبت كریة كتلتھا ن m مرن حلقاتھ غیر متالصقة ثابت مرونتھ أفقي بنابضK نزیح الكتلة m عند اللحظة 0t

عن وضع التوازن وذلك بضغطھا مقدار mx نتمكن من رسم تغیرات لشكل من أشكال ونتركھا دون سرعة ابتدائیة ،

.طاقة بداللة المطالال xfE أكتب عبارة كل من الطاقة الحركیة والطاقة الكامنة المرونیة -1

السرعة:بداللة المقادیر) نابضجسم (للجملة tv الكتلة ، m ،

المطال txثابت مرونة النابض ،K .

.إستنتج سعة الحركة -2

مرجع للطاقة الكامنة بإعتبار المستوي األفقي الذي یستند إلیھ الجسم -3

.أثبت أن طاقة الجملة محفوظةالكلیة للجملة ثم ب عبارة طاقةأكت الثقلیة

.أنسب البیان لشكل الطاقة الموافق مع التعلیل -4

. Kالنابضأحسب ثابت مرونة -5

ثانیة ثم أحسب قیمة الكتلة 3,6 لإھتزازت خال 6إذا علمت أن الجملة المھتزة تنجز إستنتج قیمة الدور الذاتي -6 m .

الذي فاصلتھ بالموضع عند مرور الكریةوالسرعة الطاقة الحركیةكل من قیمة ماھي -7 cmtx 2 .یعطى :

:الحل

:عبارة الطاقة الحركیة -1 tmvtEC2

2

1

:عبارة الطاقة الكامنة المرونیة tkxtEpe2

2

1

CmXحركة من البیان یتضح أن سعة ال -2 4max

:عبارة طاقة الجملة -3

:إثبات أن طاقة الجملة محفوظة txktvmtE 22 .2

1.

2

1

tXmtXkET .sin.2

1.cos.

2

10

22max

200

22max

km: دینالm

k .2

020 بالتعویض في المعادلة نجد:

tkXtXkET .sin2

1.cos.

2

10

22max0

22max

cteXkET 2max.

2

1

: یان یوافق الطاقة الكامنة المرونیةالب -4 tkxtEpe2

2

1

cteETوجدنا بأن طاقة الكلیة للجملة ثابتة : التعلیل

تكون معدومة ألن بینما الطاقة الحركیة عند المطال األعظمي

بدون سرعة إبتدائیة الكریة إنطلقت

ل األعظمي تكون أما الطاقة الكامنة المرونیة عند المطا

: أعظمیة 2max

2

1max kXEpe

. Kحساب ثابت مرونة النابض -5

لدینا 2max

2

10 kXEpe إذن : 2

max0.2 kXEpe

mN

X

EK

pe/5

104

1042max.222

3

2max

:الدور الذاتي حساب -6

:إھتزازاة 1

إھتزازات 6

: mحساب الكتلة

لدینا K

mT 20 إذن

K

mT 22

0 4

:وعلیھ

KgTK

m 045,0104

6,05

4

.2

2

2

:لدینا -7

: وعلیھ tEEtE peTC )(

:بإسقاط الفاصلة على البیان نجد JtE pe3101

JtEEE peTC333 103101104

JEC3103

.2لدینا : سرعةحساب ال2

1vmEC 2.2إذن vmEC

smوعلیھ m

Ev C /036

045,0

10322 3

.

txktvmE

tEtEE

T

PeCT

22 .2

1.

2

1

s

T

6,3

0sT 6,06

16,30

tEtEE PeCT

102



16

09مرین تطبیقيتكتلتھا ثبت كریة ن m بنابض مرن حلقاتھ غیر متالصقة ثابت مرونتھmNK /5 أدناهكما ھو موضح

نزیح الكتلة m عند اللحظة 0t مقدار وذلك بضغطھا عن وضع التوازن mx ونتركھا دون سرعة ابتدائیة.

: الشكل و الممثل في البیان tلمركز عطالة الكریة بداللة الزمن ارعتسیسمح تجھیز مناسب بالحصول على تسجیل ال

مثل القوى المؤثرة على الكریة عند الفاصلة - 1 m

x

. أكتب عبارة طاقة الجملة ثم أوجد المعادلة التفاضلیة للحركة - 2

:التالیةلمقادیر أوجد ا من البیان - 3

0النبض الذاتي ثم أحسب 0Tالدور الذاتي maxaالتسارع األعظمي

سعة االھتزازات m

X ،ة الجسم كتلm

.ظة ثم أحسب قیمتھاأثبت أن طاقة الجملة محفو - 4

102: یعطى

:الحل

تمثیل القوى -1

Rقوة رد فعل السطح على الجسم -

.)(قوة اإلرجاع - txKF . قوة الثقل

P

- : عبارة طاقة الجملة - 2

. المعادلة التفاضلیة للحركة

txktvmET22 .

2

1.

2

1

:نشتق الطرفین بالنسبة للزمن فنجد

dt

dxtxk

dt

dvtvm

dt

dE...

tvtxkdt

xdtvm ....0

2

2

0....2

2

txkdt

xdm

و وھي معادلة تفاضلیة من الرتبة الثانیة x بالنسبة لـمتجانسة

:لمقادیرإیجاد ا -3maxa : 2عظمي التسارع األ

max /3,0 sma

0T :sTالدور الذاتي 20

srad: حساب النبض الذاتيT

/14,32

22

0

0

2 :التسارع األعظمي نعلم أن :سعة اإلھتزاز0maxmax .Xa وعلیھ

cmma

XXa 303,010

3,03,0.

220

maxmax

20maxmax

: نعلم أن :mالكتلة m

k0 وعلیھ

m

k2

0 إذن :20

km

Kgk

m 5,010

5522

0

:إثبات أن طاقة الجملة محفوظة -4

txktvmET22 .

2

1.

2

1

tXmtXkET .sin.2

1.cos.

2

10

22max

200

22max

km: دینالm

k .2

020

:بالتعویض في المعادلة نجد

tkXtXkET .sin2

1.cos.

2

10

22max0

22max

cteXkET 2max.

2

1

:حساب طاقة الجملة

jXkET322

max 1025,2)03,0()5(2

1.

2

1

txktvmE

tEtEE

T

PeCT

22 .2

1.

2

1



17

:متخامدة حرةحالة اھتزازات - 2.1.3

.نلزمفي اإلحتكاك الصلب تكون قوة اإلحتكاك ثابتة مھما تغیر ا :الصلب المرن األفقي و اإلحتكاك النواس

:نشاط توضیحي

كما ھو موضح بالشكل أسفلھ نزیح kو النابض ثابت مرونتھ mحیث الجسم كتلتھ ) جسم نابض( جملة مھتزةثابتة توجد قوى إحتكاك . دون سرعة إبتدائیة t=0عند اللحظة الجسم عن وضع توازنھ في اإلتجاه الموجب ونتركھ

.ثابتة الشدة) صلب -صلب(تكافئ قوة وحیدة .مركز عطالة الجسم لحظة تركھ القوى المؤثرة علىمثل -1 .حركةأكتب المعادلة التفاضلیة لل -2tgx)( المطالفنتحصل على المنحنیات طوح صلبة مختلفة نجري عدة تجارب على س -3 التالیة:

.قوى اإلحتكاك معتبرة - 3-3 .قوى اإلحتكاك ضعیفة - 2-3 قوى اإلحتكاك معدومة - 3-1 ماذا تستنتج؟ .حالة من الحاالت السابقة حدد نمط اإلھتزاز والنظام الموافق لكل -

:الحل موضح في الشكل: تمثیل القوى -1 :المعادلة التفاضلیة -2

:نجد في مرجع سطحي ارضي نعتبره غالیلیانیوتن لاني الثقانون البتطبیق

amfRFP

.

amfkx: نجد ) xx(على المحور باالسقاط . ومنھ: 2

2

.dt

xdmfkx بالقسمة علىm

2

2

dt

xd

m

f

m

k

0 :تھا بالشكلویمكن كتاب

2

2

m

fx

m

k

dt

xd وھي معادلة تفاضلیة حلھا خارج البرنامج

:كل حالة فينمط اإلھتزاز والنظام الموافق -3 :0fقوى اإلحتكاك معدومة - 3-1

02معادلة تقاضلیة من الشكل تصبح ال02

2

xdt

xd في ھذه الحالة غیر متخامدةاھتزازات حرة : النمط وعلیھ یكون

والحركة تتمیز بدور ذاتي .بالنظام الدوري النظام و ندعو سعة اإلھتزاز ثابتةK

mT 20

:لكنھا ضعیفة 0fقوى اإلحتكاك غیر معدومة - 3-2

شبھ بالنظام النظامقص سعة اإلھتزاز ندعو في ھذه الحالة تتنا متخامدة اھتزازات حرة : النمطفي ھذه الحالة یكون

0TTالحركة یقارب الدورالذاتي ویكون دور .الدوري .

:لكنھا كبیرة 0fقوى اإلحتكاك غیر معدومة - 3-3

في بالنظام الالدوري النظامعو في ھذه الحالة تتناقص سعة اإلھتزاز ند )غیر إھتزازیة(الجملة التھتز في ھذه الحالة

الحركة الدوریة تتخامد بسرعةھذه الحالة

یزداد تخامد اإلھتزازات بزیادة فعالیة اإلحتكاك :اإلستنتاج



18

: 10 مرین تطبیقيتمتصل بجسم مثبت من طرف والطرف الثاني Kمن نابض حلقاتھ غیر متالصقة ثابت مرونتھ أفقي نواس مرن یتكون

)s ( كتلتھm نزیح الجسم عن وضع توازنھ مقدار Cm3 في اإلتجاه الموجب.

010: تتمیز حركة ھذه الجملة المھتزة بمعادلة تفاضلیة للحركة من الشكل -12

2

xdt

xd

.؟ عللھتزازات نمط اإل ماھو - 1-1

.0fوالتواتر الذاتي 0Tحركة ثم أحسب كل من الدور الذاتي الذاتي لل 0إستنتج النبض - 1-2

.ماقیمة كل من السرعة والتسارع عند المرور بوضع التوازن - 1-3

ثابتة الشدة ) صلب -صلب(في الحقیقة توجد قوى إحتكاك ثابتة تكافئ قوة وحیدة -2

أكتب المعادلة التفاضلیة للحركة - 2-1

102: یعطى اقش حسب قیم اإلحتكاك النظام الذي تكون علیھ الحركة ومثل المطال في كل حالةن - 2-2

:الحل

02معادلة التفاضلي من الشكل الوذلك ألن اھتزازات حرة غیر متخامدةالنمط ھو - 1-102

2

xdt

xd.

102: لیة نجدإستنتاج النبض الذاتي للحركة بمطابقة المعادلة التفاض - 1-20 وعلیھsrad /14,30

: لدینا 0Tحساب الدور الذاتي 0

0

2

T

إذن :sT 2

20

0f :1التواتر الذاتي -0 5,0 sf sf 5,0

2

1

2

10

smXvv: السرعة عند المرور بوضع التوازن - 1-3 /1042,914,3103. 220maxmax

xaالتسارع عند المرور بوضع التوازن لدینا 20 0(0عند وضع التوزن یكون( x وعلیھ یكون التسارع

.0aمعدوما

2-

:المعادلة التفاضلیة - 2-1 :نجد في مرجع سطحي ارضي نعتبره غالیلیانیوتن لي قانون الثانالبتطبیق

amfRFP

.

amfkx: نجد) xx(على المحور باالسقاط . ومنھ :2

2

.dt

xdmfkx بالقسمة علىm

2

2

dt

xd

m

f

m

k

0: ا بالشكلویمكن كتابتھ

2

2

m

fx

m

k

dt

xd

:حسب قوى اإلحتكاك النظام الموافق -3 .قوى اإلحتكاك معتبرة - 3-3 .قوى اإلحتكاك ضعیفة - 2-3 قوى اإلحتكاك معدومة - 3-1

ري النظام الالدو النظام شبھ الدوري .النظام الدوري



19

: تغذیة االھتزازات المیكانیكیة - 3.1.3

وللحفاظ على سعة ثابتة یجب ،ة اإلھتزازاتسع ال تخلو حركة أي مھتز میكانیكي حقیقي من تخامد یؤدي الى تناقص

یتم ذلك بواسطة أجھزة خاصة مثل اضافة ثقل موازنلساعة حائطیة .االحتكاكتعویض وباستمرار الطاقة الضائعة بفعل

.بض حلزوني كما في ساعة الید أو نا

ان تغذیة االھتزازات المیكانیكیة تتم بتطبیق قوة اضافیة على الجسم المھتز ال تؤثر على السعة بل بامكانھا أن تعوض

. اإلھتزازات سعة تصبحل بشكل مستمر كل الطاقة الضائعة

0: من الشكللھزاز مغذى في النواس االفقي تصبح المعادلة التفاضلیة 2

2

xm

k

dt

xd02أو

02

2

xdt

xd

: وھي معادلة تقاضلیة من الرتبة الثانیة ومتجانسة حلھا دالة جیبیة بداللة الزمن من الشكل tCosXtx 0max

أول العلم

الصمت،

ثم االستماع له،

ثم حفظه،

ثم العمل به،

"ثم نشره وتعليمه

فﺳوﯾ يرداوﻗ :ذﺎﺗﺳﻷا ﺔﯾزازﺗھﻹا تاروطﺗﻟا...

Documents

Transcript of فﺳوﯾ يرداوﻗ :ذﺎﺗﺳﻷا ﺔﯾزازﺗھﻹا تاروطﺗﻟا...