II 03 Poutres
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II - 3
Les poutres
[email protected] 12 octobre 2010
II - 3 - 2Les poutres
Aperçu
� Définition d’une poutre• Aspects géométriques
� Forces internes + conventions de signe = sollicitations
� Principaux cas de sollicitation– [Frey, 1990, Vol. 1, Chap. 8-9]
– [Massonet, 1992, Chap. 5]
II - 3 - 3Les poutres
La poutre : géométrie
C
d’après [Frey, 1990, Vol. 1]
II - 3 - 4Les poutres
La poutre : géométrie
� engendré par une figure plane A de sorte que– le centre C parcoure une ligne donnée (axe ou
fibre moyenne)
– A reste constamment normal à cette ligne
– les dimensions de A restent petites devant la longueur
� la section A varie de manière lente et progressive
� si l’axe est droit, la poutre est dite prismatique
II - 3 - 5Les poutres
Forces internes - sollicitations 3D
fibre moyenne
coupe de
section A
y
z
x
choix du système d’axes
x
z
y
autre choix (Frey, Eurocodes)
effort normal N
efforts tranchants Ty
Tz
II - 3 - 6Les poutres
Forces internes - sollicitations 3D
fibre moyenne
coupe de
section A
Mx
moment
de torsion
Mz
Mymoments
de flexion
II - 3 - 7Les poutres
Forces internes - sollicitations 2D
fibre moyenne
coupe de
section A
effort normal
N
effort tranchantTy
Mz
moment fléchissant
II - 3 - 8Les poutres
Conventions de signe N
� traction N > 0
� compression N < 0
II - 3 - 9Les poutres
Conventions de signe M
� M > 0 si les fibres tendues sont vers le bas
II - 3 - 10Les poutres
Conventions de signe T
� T > 0 lorsque la partie droite descend
II - 3 - 11Les poutres
Commentaire
� les conventions de signe de M, N, T sont celles le plus couramment adoptées
� le choix du système d’axes fait couler beaucoup d’encre …
• pas seulement dans les avis pédagogiques
• il existe plusieurs conventions valables
• choix du système usuel à l’ULB
• différent de celui de F. Frey (et des Eurocodes)
� cette convention n’est pas cruciale• l’important réside dans la compréhension du
comportement structural
II - 3 - 12Les poutres
Les sollicitations 2D
� Effort normal
� Effort tranchant
� Moment fléchissant
∫=A
xyy dAT τ
∫=A
xdAN σ
∫=A
xz ydAM σ
II - 3 - 13Les poutres
Les sollicitations 3D
� Effort normal
� Efforts tranchants
� Moments fléchissants
� Moment de torsion
∫=A
xyy dAT τ
∫=A
xdAN σ
∫=A
xzz dAT τ
∫=A
xz ydAM σ ∫=A
xy zdAM σ
( )∫ −=A
xyxzx dAzyM ττ
II - 3 - 14Les poutres
Relation M-Téquilibre de translation vertical
( )
)x(qdx
dT
0dTTdxxqT
−=
=+++−
q
équilibre de rotation (point C)
( )
Tdx
dM
0dMM2
dxdxxqTdxM
=
=−−−+
II - 3 - 15Les poutres
Détermination des diagrammes M-N-T
� règles élémentaires
– charge axiale nulle ⇔ N constant
– charge axiale uniforme ⇔ N varie linéairement
– charge transversale nulle ⇔ T cst, M linéaire
– charge transversale uniforme
⇔ T linéaire, M quadratique
– T = 0 ⇔ M est extrémal
II - 3 - 16Les poutres
Détermination des diagrammes M-N-T
� construction rapide avec un minimum de
calculs
� calculer les réactions de liaisons
� esquisser les diagrammes
– en tenant compte des règles
� déterminer les valeurs
II - 3 - 17Les poutres
Exemple 1 : poutre bi-appuyée
LaQBy =
LbQAy =
0=xA
d’après [Frey, 1990, Vol. 1]
+
1) déterminer les réactions
(par équations d’équilibre)
2) déterminer le diagramme T
(suivre les forces par la droite,
valeurs par équilibre à gauche ou
à droite)
3) déterminer le diagramme M
(suivre les règles + déformée
+ équilibre)
+
-T
II - 3 - 18Les poutres
Exemple 2 : Cantilever
1) déterminer les réactions
2) déterminer le diagramme T
3) déterminer le diagramme M
qLAy =
2
2L
qM A =
-
+T
d’après [Frey, 1990, Vol. 1]
II - 3 - 19Les poutres
Exemple 3 : potence
����- +
+T T = 0
d’après [Frey, 1990, Vol. 1]
II - 3 - 20Les poutres
Déformée des poutres planes due à M
� déformée ou ligne élastique
� quelques règles simples
– point d’inflexion ⇒ M = 0
– les angles sont conservés aux nœuds rigides
– respecter les conditions cinématiques
– la portée d’une poutre ne varie pas
II - 3 - 21Les poutres
Exemple 4 : tenir compte de la déformée
-
++
d’après [Frey, 1990, Vol. 1]
II - 3 - 22Les poutres
Exemple 5 : le portique
extrait de [Frey, 1990, Vol. 1]
II - 3 - 23Les poutres
Cas de sollicitations :
� Traction (compression) pure : N
F F
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Cas de sollicitations :
� Flexion pure : Mz
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Cas de sollicitations :
� Flexion simple (effet du cisaillement) : Mz + Ty
Tdx
dM=
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Cas de sollicitations :
� Flexion composée : N + Mz
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Cas de sollicitations :
� Flexion oblique (gauche) : Mz + My
[Frey, 2000, Vol. 2]
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Cas de sollicitations :
� Torsion : Mx
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Cas de sollicitations : résumé
torsion
composéeflexion
obliqueflexion
simpleflexion
pureflexion
simpletraction
nomMMMTTN zyxzy
000000
000000
000000
000000
000000
000000
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