Analog Sayısal Dönüştürücü Hatalarının Dalgacık

Dönüşümü ile Analizi

Wavelet Analysis of ADC Errors

Gürer Özbek

Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği Bölümü

İstanbul Teknik Üniversitesi

İstanbul, Türkiye ozbekgu@itu.edu.tr

Serhat Şeker

Elektrik Mühendisliği Bölümü

İstanbul Teknik Üniversitesi

İstanbul, Türkiye sekers@itu.edu.tr

Özetçe—Dalgacık Dönüşümü Analizi, günümüzde pek çok

alanda kullanılan ve umut vadeden bir işaret işleme yöntemidir.

Bu çalışmada, Dalgacık Dönüşümü Analizi ile Analog Sayısal

Dönüştürücü (Analog to Digital Converter, ADC) hatalarının

tespiti ve görüntülenmesi yapılmıştır. ADC hataları, gerçek bir 14-

bit Ardışık Yaklaşımlı (Successive Approximation) ADC

prototipinin ölçüm verisinden elde edilmiştir. Çalışmada hem

Sürekli Dalgacık Dönüşümü (Continuous Wavelet Transform,

CWT) hem de Çoklu Çözünürlük Analizi (Multi Resolution

Analysis, MRA) yöntemleri kullanılmış, ayrıca bunların Kısa

Zamanlı Fourier Dönüşümü (Short Time Fourier Transform

STFT) ile olan ilişkileri de incelenmiştir. Hesaplamalarda

MATLAB'in Wavelet toolbox'ından yararlanılmıştır. Alınan ilk

sonuçlar dalgacık dönüşümü analizinin ADC hata

karakteristiklerinin incelenmesinde kullanılabileceğini

göstermiştir.

Anahtar Kelimeler — SAR ADC; Dalgacık Dönüşümü, Sürekli

Dalgacık Dönüşümü, Çoklu Çözünürlük Analizi, Kısa Zamanlı

Fourier Dönüşümü, Ölçüm Verisi, MATLAB, Wavelet Toolbox

Abstract—Wavelet Analysis is a promising signal processing

method currently used in many applications. In this work, it is

used to detect and visualize ADC errors obtained from real

prototype measurement data of a 14-bit SAR ADC. Both

Continuous Wavelet Transform (CWT) and Multi-Rate Analysis

(MRA) methods are examined and their relation with Short Time

Fourier Transform (STFT) is given. MATLAB’s Wavelet

Toolbox is used for calculations. First studies show that wavelet

analysis can be used for analyzing ADC errors.

Keywords — SAR ADC; Wavelet Transform; CWT; MRA;

STFT; Measurement Data; MATLAB; Wavelet Toolbox

I. GİRİŞ

Dalgacık Dönüşümü, günümüzde işaret analizinden video sıkıştırmaya, örüntü tanımadan gürültü temizlemeye kadar pek çok işaret işleme uygulamasında kullanılmaktadır. Dalgacık dönüşümü, Kısa Zamanlı Fourier Dönüşümünden (Short Time Fourier Transform, STFT) üstün olan özellikleri sayesinde hâlihazırda STFT'nin kullanıldığı alanlarda denenmekte ve başarılı sonuçlar alınmaktadır. Bu nedenle hala yeni ve ilginç bir araştırma alanı olmayı sürdürmektedir.

Dalgacık Dönüşümü ile ilgili çalışmaların geçmişi, 20. yüzyılın ilk yıllarında ortogonal fonksiyon sistemlerinin önerilmesine kadar götürülebilir [1]. Bugün kullanılan yöntemler ise Morlet [2], Meyer ve Mallat'ın çalışmalarına [3] dayanmaktadır.

Dalgacık Dönüşümü ile Analog Sayısal Dönüştürücü (Analog to Digital Converter, ADC) hatalarının analizi de yeni bir konu olmayıp daha önce incelenmiştir [4]. Buna karşın bu çalışmada öncekilerin aksine MATLAB'da üretilen yapay veriler değil gerçek bir 14-bit Ardışıl Yaklaşımlı (Successive Approximation, SAR) ADC prototipinin ölçüm verileri kullanılmıştır. Bu sayede elde edilen sonuçların daha doğru ve gerçek hayata uygun olmasını sağlamıştır.

II. TEORİK BİLGİLER

Dalgacık Dönüşümü, işaret işlemede farklı ölçek ve zaman gecikmelerine sahip “Dalgacık”lar kullanan bir yöntemdir. Farklı ölçekler, farklı merkez sıklıklarına sahip dalgacıklar elde edilmesi için kullanılır. Farklı zaman gecikmeleri ise Dalgacık Dönüşümünün işaretteki anlık değişimleri daha iyi yansıtabilmesini sağlar. Bu özellikleri sayesinde STFT ile benzerdir. Ancak STFT'nin aksine Dalgacık Dönüşümü değişken zaman ve sıklık çözünürlüğüne sahiptir [5]. Bu da Dalgacık Dönüşümünün bazı uygulamalarda STFT'ye tercih edilmesini sağlar.

A. Sürekli Dalgacık Dönüşümü

Sürekli Dalgacık Dönüşümü (Continuous Wavelet Transform, CWT), sürekli işaretleri dalgacıklarla ifade edilebilen bir hale dönüştürür [6]. “s(t)” ile gösterilen bir işaretin “a” ölçek ve “b” zaman gecikmesi olmak üzere CWT'si, (1)'de verilmiştir. “ψ*(t)”, dalgacık fonksiyonunun karmaşık eşleniğini göstermektedir.

*1( , ) ( ) ( )

t bW a b s t dt

aa

(1)

MATLAB'da işaretin CWT'sini hesaplamak için “cwt” fonksiyonu kullanılmıştır. Bu fonksiyon, istenen işaretin dalgacık katsayılarını verilen ölçek ve dalgacık tipleri için hesaplamaktadır.

978-1-4799-4874-1/14/$31.00 ©2014 IEEE

878

2014 IEEE 22nd Signal Processing and Communications Applications Conference (SIU 2014)

B. Çoklu Çözünürlük Analizi

Çoklu Çözünürlük Analizinde (Multi Resolution Analysis, MRA) ilgilenilen işaret her bir adımda farklı sıklıklara sahip alt bantlara ayrılır. Alçak sıklık bileşenlerine sahip bantlar “yaklaşıklıklar” (approximation), yüksek sıklık bileşenlerine sahip bantlara “ayrıntılar” (details) olarak adlandırılır. Bir alt seviyeye inildiğinde yaklaşıklık alt bandı yeniden ikiye ayrılır ve bu işlem istenen ayrışma seviyesine ulaşıncaya kadar devam eder. MRA işlemini anlatan görsel, Şekil 1'de [7] verilmiştir.

Şekil 1. MRA işleminde işaretin alt bantlara ayrılması

MRA'daki iki alt banda ayırma işleminde kullanılan alçak geçiren ve yüksek geçiren karakteristikler, dalgacık fonksiyonundan elde edilir. Bu fonksiyonun değişirse, süzgeç karakteristikleri ve elde edilen alt bantlar da değişir. Süzgeçleme işleminden sonra elde edilen çıktılar altörneklenir ve Yaklaşıklı-Ayrıntı çiftleri elde edilir. Bu yöntem Şekil 2'de[7] gösterilmiştir.

Şekil 2. MRA algoritması

C. STFT ile Karışılaştırma

STFT, Fourier Dönüşümünün zamanla bilgisini de içeren özel bir durumudur. Önce pencereleme işleminden geçirilen işaretin daha sonra Fourier Dönüşümü alınır. Bu durumda sıklık ve zaman çözünürlüğü pencere genişliği ile belirlenir ve bütün sıklıklarda sabittir.

Dalgacık Dönüşümü Analizinde ise zaman ve sıklık çözünürlükleri ölçek ile değişmektedir [5]. Dalgacık Dönüşümünde küçük ölçeklerde (yüksek sıklıklarda) zaman çözünürlüğü daha iyiyken, büyük ölçeklerde (düşük sıklıklarda) zaman çözünürlüğü daha kötüdür. Bu değişken çözünürlük özelliği sayesinde zaman çözünürlüğünün önem kazandığı yüksek sıklıklarda işaretin daha ayrıntılı incelenmesi mümkün

hale gelmektedir. Bu da Dalgacık Dönüşümünün STFT'ye olan en önemli üstünlüğüdür. Zaman çözünürlüğü karşılaştırması Şekil 3'te[8] verilmiştir.

Şekil 3. STFT ve Dalgacık Dönüşümünün çözünürlükleri

III. UYGULAMA: ADC HATA VERİSİNİN ANALİZİ

Dalgacık Dönüşümü Analizinin uygulaması için gerçek bir 14-bit SAR ADC prototipinden elde edilen ölçüm verisi kullanılmıştır. 1162 Hz sıklıkta bir sinüs işareti ADC'nin girişine uygulanmış ve elde edilen sayısal veri saniyede 100.000 örnek alınarak oluşturulmuştur. Hesaplamalar için toplamda 32.768 örnek alınmıştır. Daha sonra alınan veriden temel sıklık bileşeni yazılım ortamında çıkarılarak hata verisi elde edilmiştir. Analiz yöntemlerinin incelenmesi ve karşılaştırılmasında, bu şekilde elde edilen hata verisi kullanılmıştır.

A. STFT Analizi

Verinin analizi, Dalgacık Dönüşümü Analizlerinde önce STFT ile yapılmıştır. Bu sayede Dalgacık Dönüşümü Analizi sonucu elde edilecek çıktıların karşılaştırılacağı referansların elde edilmesi amaçlanmıştır. Verinin STFT ile incelenmesi MATLAB'da “spectrogram” fonksiyonu ile yapılmıştır. 4096 noktalı FFT'si alınmış işaretin STFT çizimi Şekil 4'te verilmiştir.

Şekil 4. Hata verisinin “spectrogram” fonksiyonu ile üretilen STFT'si

Şekil 4'te temel sıklık bileşeninin (1162 Hz) etkisi, ön-işleme sırasında bastırıldığından görülmemektedir. Temel sıklığın 2. (2324 Hz) ve 3. (3486) harmonikleri ise beklendiği gibi görülmektedir. Grafikteki renk yoğunluğuna bakıldığında hatanın çoğunun bu iki harmonik bileşenden geldiği anlaşılmaktadır.

Şekil 4'ün verdiği bir diğer bilgi ise 0-50 Hz arasındaki alçak sıklık gürültüsünün varlığıdır. DC gürültü bileşeni ön-

879

2014 IEEE 22nd Signal Processing and Communications Applications Conference (SIU 2014)

işleme sırasında işaretten çıkarılmış olduğundan bu karakteristiğin tasarımcı ya da ölçümü yapanlar için anlamlı olduğu söylenebilir.

B. CWT Analizi

İşaretin CWT analizi için MATLAB'in wavelet toolbox’ındaki “cwt” fonksiyonu kullanılmıştır. Kullanılan ölçek değerlerinin sıklık karşılıklarını hesaplamak için “scal2frq” fonksiyonundan yararlanılmıştır. Dalgacık Dönüşümü Analizinde kullanılmak üzere Coifflet-2 dalgacığında karar kılınmıştır. Ölçeklerin tespit edilmesinde ise iki farklı ölçek aralığı seçilmiştir. Yüksek sıklıklar için küçük ölçekler, düşük sıklıklar için ise büyük ölçekler kullanılmıştır. Sıklık-Ölçek eşleştirmeleri Tablo 1'de görülebilir.

Tablo 1. Sıklık – Ölçek Eşleştirmeleri

Sıklık (Hz) Ölçek

9090 8

4545 16

3957 18.4

3444 21.1

2998 24.2

2610 27.8

2272 32

1136 64

71 1024

35.5 2048

17.7 4096

8.8 8192

4.4 16384

İşaretin “cwt” fonksiyonu kullanılarak elde edilen Dalgacık

Dönüşümü gösterilimi Şekil 5'te verilmiştir.

Şekil 5. Hata verisinin 8-64 ölçekleri arası Dalgacık Dönüşümü

Şekil 5'ten görüldüğü gibi büyük CWT katsayıları, 16 ile 32 ölçekleri arasında kalan bölgede elde edilmiştir. Bu ölçekler, 4545 – 2272 Hz sıklık aralığına karşı gelmektedir ve Şekil 4'teki STFT görselinden elde edilen 2. ve 3. baskın harmoniklerin

bulunduğu bölgeyi kapsar. Bu da her iki analizden elde edilen sonuçların tutarlı olduğunu göstermektedir. Şekil 6'da baskın katsayılar daha yakından görülebilir.

Şekil 6. CWT'nin yakından görünümü

Şekil 6'da görülen bir diğer özellik de CWT katsayılarının periyodik bir karakteristiğe sahip olmalarıdır. Bu da baskın harmoniklerin gücünün belli aralıklarla artıp azaldığını göstermesi açısından önemlidir.

CWT'nin büyük ölçeklerinin yer aldığı sonuçlar Şekil 7'de verilmiştir. Şekilde ölçümün 25-50 ms aralığında yer alan bir alçak sıklık hatası görülmektedir. Bu karakteristik, daha çok bir ölçüm hatasına benzemekte ve bu veri kullanılarak yapılacak olası bir performans analizinin yanlış olmasına sebep olabilecek özelliktedir.

Şekil 7. Hata verisinin 1024-16384 ölçekleri arası Dalgacık Dönüşümü

C. MRA

Ölçüm verisinin MRA sonuçlarının elde edilmesinde MATLAB'in wavelet toolbox'ındaki “wavedec” fonksiyonu kullanılmıştır. Analizin basitleştirilmesi için yalnızca 2. ve 3. harmonik kaynaklı yüksek sıklık hataları incelenmiş ve ayrışma seviyesi 5 olarak seçilmiştir. MRA sonucu elde edilen sonuçlar Şekil 8'de verilmiştir.

880

2014 IEEE 22nd Signal Processing and Communications Applications Conference (SIU 2014)

Şekil 8. Hata verisi ve MRA'nın alt bantları

Şekil 8'deki işaretler aynı ölçeğe sahip olacak şekilde çizildiğinden işaretlerin genlikleri, hata güçleri hakkında bilgi vermektedir. Yaklaşıklık (y5) alt bandında hem 25–50 ms arasındaki alçak sıklık gürültüsü hem de temel sıklık hataları bulunmaktadır ve en büyük genliğe (güce) sahip bantlardan biridir. 3. harmonik a4 (ayrıntı 4) bandında yer almaktadır ve bu bant ikinci en büyük genliğe sahiptir. Diğer bir büyük genlikli bant olan a5 (ayrıntı 5) de 2. harmoniği barındırmaktadır. Yapılan bu gözlemlerin Şekil 4'te verilen STFT sonuçlarıyla tam bir uyum içerisinde olduğu açıktır.

IV. KARŞILAŞTIRMALAR VE SONUÇLAR

STFT, CWT ve MRA'dan elde edilen sonuçlar birbirini desteklemektedir. Ancak özel olarak zamanda ya da sıklıkta yüksek çözünürlük gerektiğinde, farklı analiz yöntemlerinin farklı sonuçlar verdiği görülmüştür.

STFT, işaretteki sıklıkların zamanla değişimi hakkında basit bilgiler vermektedir. Ancak alçak sıklıklarda yetersiz

kaldığı görülmüştür. Pencere genişliğini değiştirerek daha fazla analiz yapılması mümkün olsa da diğer yöntemlere kıyasla yetersiz kalmıştır. Diğer yandan incelenen işaretin periyodik bileşenleri olması durumunda daha iyi sıklık çözünürlüğü verdiği görülmüştür.

CWT ile yapılan analizlerde işaretin hem periyodik karakteristiği hem de bozucu alçak sıklık darbelerinin etkileri görülebilmiştir. Özellikle de anlık bozucu etkilerin tespit edilmesinde etkilidir. Farklı sıklıkların bağımsız şekilde gösteriminde ise yetersiz kalmış, STFT ile elde edilen keskinliği sağlayamamıştır.

MRA ile elde edilen sonuçlar, diğerlerine göre daha basit ve hızlı şekilde elde edilebilmektedir çünkü sadece süzgeçleme ve altörnekleme işlemlerinden oluşmaktadır. Alçak sıklıktaki bozucu etkiler ve yüksek sıklıktaki harmonikler zaman domeni sonuçlarda görülebilmektedir. Yüksek sıklıktaki bileşenlerin sıklık değerlerinin hassas olarak tespit edilmesinde ise CWT'de olduğu gibi yetersiz kalmıştır.

Özetle, STFT sıklık bileşenlerinin değerlerinin hassas olarak gösteriminde daha başarılı iken CWT ve MRA anlık bozucu etkilerin tespitinde daha başarılı olmuştur. İçeriği bilinmeyen bir verinin incelenmesinde bütün yöntemlerin kullanılması, verinin farklı özelliklerinin belirlenmesinde yararlı olacaktır.

TEŞEKKÜR

Mikroelektronik Ltd.'e araştırma sürecindeki

yardımlarından ve gerekli verinin sağlanmasında gösterdiği

destekten dolayı teşekkür ederiz.

KAYNAKÇA

[1] Haar, A., “Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme”,

Ph.D. dissertation, 1909.

[2] Morlet, J. et al., “Wave Propagation and Sampling Theory”,

Geophysics, 47, 1982, pp. 203-236.

[3] Mallat, S. G. “A Theory for Multiresolution Signal

Decomposition: The Wavelet Representation”, IEEE Trans.

Pattern Analysis Machine Intel., 11, 674-693, 1989a.

[4] Awada, E. A. and Alomari, M. H., “Application of Wavelet

Transform Analysis to ADCs Harmonic Distortion”, Computer

and Information Science, Vol. 6, No. 3, 2013.

[5] Daubechies, I., Ten Lectures on Wavelets, SIAM, 1992.

[6] “Continuous Wavelet Transform”, (2013, December 31).

Available:

http://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_wavelet_transform

[7] “wavedec”, MATLAB help page, (2013, December 31).

Available:

http://www.mathworks.com/help/wavelet/ref/wavedec.html

[8] “Wavelet Transform”, (2013, December 31). Available:

http://en.wikipedia.org/wiki/Wavelet_transform

881

2014 IEEE 22nd Signal Processing and Communications Applications Conference (SIU 2014)