Identification des modules équivalents d'une poutre...
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N° d'Ordre: ECL 89-001 Année 1989
THESE
présentée devant
L'ECOLE CENTRALE DE LYON
pour obtenir
le titre de DOCTEUR INGENIEUR
spécialité: mécanique
par M. CHAIYAPORN Somsak
IDENTIFICATION DES MODULES EQUIVALENTSD'UNE POUTRE COMPOSITE A PARTIR D'ESSAIS
VIBRATOIRES NON-MODAUX
Soutenue le 19 Janvier 1989 devant la Commission d'Examen
Jury MM. R. HENRY (Président)
J.C. DUFORET
B. DUPERRAY
L. JEZEQUEL (Directeur de Thèse)
F. SIDOROFF (Rapporteur)
A. VAUTRIN (Rapporteur)
Electronique
P. VIKTOROVITCHG. HOLLINGER
BLANCHETKRAWCZYK
M. LE HELLEYP. LEYRALO. BONNAUDJ. BOREL3.P. CHANTE
ECOLE CENTRALE DE LYON
Directeur :3. BORDETDirecteur Adjoint : R. RICHE
Directeur de l'Administration de la Recherche : P. CLECHETDirecteur des Etudes : F. SIDOROFF
LISTE DES PERSONNES HABILITEES A ENCADRER DES THESES A L'E.C.L.
(Doctorat d'Etat ou Habilitation au sens de l'Arrêté du 5 juillet 1984,modifié par l'Arrêté du 21 mars 1988)
Mathématiques-Informatique-Systèmes
B. DAVIDC.M. BRAUNER3.F. MAITRE
CONRADTHOMASMUSY
Cl. SCHMIDT-LAINE
Physicochimie des Matériaux
P. CLECHETJ. 3OSEPHP. PICHAT3.M. HERRMANNN. 3AFFREZIC
ESCHALIERA. GAGNAIRECl. MARTELET3.R. MARTINR. OLlER
TAILLAND
Métallurgie et Physique des Matériaux
P. GUIRALDENQD. TREHEUX3. BLANC-BENON3. BRUGIRARD
COQUILLETD. 3UVE (Mme)NGUYEN Du
Professeur 2e ClasseProfesseur 2e Classe - Univ.- BordeauxProfesseur 1ère ClasseMaître Assistant ENSM-St-EtienneMaître de ConférencesMaître de ConférencesChargée de Recherche au CNRS
Professeur 1ère ClasseProfesseur 2e ClasseDirecteur de Recherche au CNRSDirecteur de Recherche au CNRSChargée de Recherche au CNRSMaître de ConférencesMaître de ConférencesMaître de ConférencesMaître de ConférencesMaître de ConférencesMaître de Conférences
Professeur 1ère ClasseProfesseur 2e ClasseProfesseur - LYON IProfesseur - LYON IMaître de ConférencesIngénieur d'Etude - 2e C.Assistant Titulaire
Directeur de Recherche au CNRSDirecteur de Recherche au CNRSProfesseur 2e ClasseChargé de Recherche au CNRSMaître de ConférencesMaître AssistantProfesseur - INSA - RennesDirect. Technique Sté E.F.C.I.S.Professeur - INSA - Lyon
Mécanique des Fluides
3. MATHIEU3. BATAILLEB. GAY3.N. GENCE
3EANDELALCARAZLEBOEUF
R. MORELCl. CAMBON3.P. BERTOGLIOP. FERRANDM. LANCE
Acoustique
(Mlle) G. COMTE-BELLOTM. SUNYACHD. 3UVEPh. BLANC-BENON
Machines Thermiques
M. BRUNPh. ARQUES
Professeur 2e ClasseProfesseur 1ère Classe - I.N.P.G.Maître de ConférencesMaître de Conférences
Professeur 1ère ClasseProfesseur 1ère ClasseProfesseur 2e ClasseProfesseur - E.N.I.S.E.Maître de Conférences
Professeur 1ère ClasseProfesseur 2e ClasseDirecteur de Recherche au CNRSChargé de Recherche au CNRSChargé de Recherche au CNRSChargé de Recherche au CNRSMaître de ConférencesMaître de Conférences
Professeur Classe ExceptionnelleProfesseur Lyon IProfesseur Lyon IProfesseur Lyon IProfesseur 2e ClasseProfesseur 2e ClasseMaître de ConférencesMaître de Conférences INSAChargé de Recherche au CNRSChargé de Recherche au CÑRSChargé de Recherche au CNRSChargé de Recherche au CNRS
Professeur Classe ExceptionnelleProfesseur IUT-LyonMaître de Conférences - LYON IChargé de Recherche au CNRS
Professeur 2e ClasseProfesseur 2e Classe
Electrotechnique
Ph. AURIOLA. FOGGIAA. NICOLASG. RO3AT
Mécanique des Solides
B. CAMBOUF. SIDOROFFL. 3EZEQUELCl. SURRYL. VINCENT
Technologie des Surfaces
3.M. GEORGES3. SABOTT. MATHIAPh. KAPSA3.L. LOUBET3.L. MANSOT1M. MARTINH. MONTES
4
REMERCIEMENTS
Je tiens à exprimer ma reconnaissance envers tous
ines professeurs, qui au cours de mes études, m'ont prodigué
leurs enseignements. En particulier, Monsieur le Professeur
L. Jézéquel du Département de Mécanique des Solides et
Monsieur le Professeur F. Sidoroff Directeur des Etudes de
l'E.C.L. qui m'ont accueilli dans leur laboratoire. Qu'il me
soit permis de les remercier, tout particulièrement, pour la
confiance qu'ils m'ont accordé et pour l'initiative de ce
sujet.
J'exprime ma gratitude envers Monsieur le Professeur
R. Henry de GMD Structure à l'I.N.S.A. de Lyon, Monsieur le
Professeur A. Vautrin de Ecole Supérieure des Mines à
St.Etienne, Monsieur J.C. Duforet, ingénieur du Service
Technique de Construction Armes Navales et Monsieur
B. Duperray, ingénieur de Métravib à Ecully d'avoir bien
voulu participer à mon jury.
Enfin, j'exprime ma reconnaissance à l'ensemble du
personnel ainsi qu'à ines collègues du laboratoire de
mécanique des solides pour leur aide et leur amitié, en
particulier, Monsieur P. Chamblette.
5
RESUME
Le but de ce travail est de proposer une méthode
permettant d'identifier les caractéristiques dynamiques
(modules de Young et de Coulomb complexes) des matériaux.
Elle est basée sur l'analyse de la réponse forcées de
poutres.
Les valeurs de l'impédance au point courant d'une
poutre (homogène ou symétriquement stratifiée) libre-libre
chargée à son centre sont mesurées. Les modules complexes
équivalents sont obtenus à chaque fréquence d'excitation en
comparant les valeurs expérimentales à celles calculées à
l'aide d'un développement limité de l'impédance exacte. En
balayant en fréquence, on obtient en continue les variations
des caractéristiques du matériau.
Pour obtenir le module de Young complexe, une seule
poutre a été utilisée dans le cadre des approximations
d 'Euler-Bernouilli.
Pour obtenir le module de Coulomb complexe lorsqu'il
a une influence non négligeable comme dans le cas de poutres
composites, on utilise deux poutres de longueurs
différentes. Dans ce cas on se place dans le cadre desapproximations de Timoshenko. On utilise la poutre la plus
longue pour calculer le module de Young complexe et la plus
courte pour calculer le module de Coulomb complexe à chaque
pas de fréquence.
6
ABSTRACT
An identification method of dynamic characteristic
of material (complex Young's modulus and complex shear
modulus), based on an analysis of the response of a forced
vibrated beam, is presented.
An impedance at the mid-point of a free-free
(homogeneous or symmetric sandwich) beam is mesured. The
apparent complex moduli are obtained at each frequency of
excitation by comparing the experimental impedance with the
calculated one.
The calculated impedance is obtained by using a
development in series of the exact impedance. By verying the
frequency, the variation of the complex moduli with respect
to the frequency is obtained.
In order to identifying the complex Young's modulus,
only one Euler-Bernouilli beam is needed.
In the case of a composite beam or whenever the
secondary effects are important, the complex shear modulus
can also be identified by using two Timoshenko beams. The
first beam, the longer one, is used to determine the complex
Young's modulus. Whereas, the second beam, the shorter one,
is used to determine the complex shear modulus.
7
INTRODUCTION
Les matériaux composites sont de plus en plus
utilisés en construction mécanique. En effet, les matériaux
composites ont des rapports raideur-masse importants qui
peuvent donc réduire la masse des structures tout en leur
permettant de conserver leurs caractéristiques mécaniques.
De plus il possède souvent de bonnes propriétés
amortissantes, une meilleur durée de vie en fatigue et en
corrosion. Ainsi, les matériaux composites ont été introduit
avec succès dans les structures soumises à des excitations
dynamiques telles que les pièces de véhicule, les pièces de
machine tournante, les articles de sports, ... etc.
L'idée de diminuer les vibrations en utilisant les
matériaux composites multicouches a été introduite pour le
première fois par William Swallow [24] en 1939 dans le
"British Patent Specification". Au début des années 50, P.
Léonard [11] s'est attaché à mesurer le coefficient
d'amortissement des matériaux composites à revêtement simple
(sans plaque de contrainte) en fonction du coefficient
d'amortissement de la couche viscoélastique.
Peu après, H. Oberst [12] a proposé une méthode pour
calculer ce coefficient. Il a ainsi montré que
l'amortissement total dépend du coefficient d'amortissement
du matériau viscoélastique et aussi de son épaisseur.
En 1961, Keer et Lazan [21] ont étudié
analytiquement les caractéristiques amortissantes des
poutres sandwiches dans le cadre des approximations de
Euler-Bernouilli. En particulier ils ont estimé l'énergie
8
dissipée par cycle dans le cas de vibrations forcées. Dès
1959, E.M. Kirwin Jr. (15] a montré que l'amortissement des
matériaux dépend aussi de la fréquence. D.J. Mead et S.
Markus (14] ont étendu le travail de Keiwin en établissant
une équation du 6ème ordre pour décrire le mouvement
transversal d'une poutre stratifiée en 3 couches en
négligeant la déformation transversale. Plus récemment, R.N.
Miles et P.G. Reinhall ont continué le travail de Mead et
Markus en tenant compte de la déformation transversale [25].
Pour déterminer les caractéristiques dynamiques d'un
matériau composite à partir d'essais, on peut utiliser les
méthodes suivantes:
1. Méthodes basées sur les oscillations libres d'un
oscillateur simple ou d'un système continu. Aprés
application de la force d'excitation, on peut déduire la
raideur et le coefficient d'amortissement du matériau à
partir des caractéristiques des vibrations amorties. Ces
procédures donnent des résultats satisfaisants dans un
domaine fréquentiel restreint et pour des matériaux
présentant un amortissement peu élevé. [3],[27],[36]
Méthodes basées sur l'analyse des résonances de
structures simples mettant en évidence les caractéristiques
dynamiques à identifier. Ces procédures sont applicables à
des matériaux ayant des valeurs d'amortissement assez
élevées mais elles donnent des caractéristiques uniquement
dans les zones de résonance. Des appareils d'essais
utilisant soit une poutre encastrée excitée en flexion soit
un pendule de torsion ont été développés respectivement par
Oberst et Perez et al. [29],[20]
Vibration forcée en-dehors de la résonance, à
l'aide de viscoélasticimètres qui mesurent directement la
9
déformation et la contrainte au cours d'essais en traction
compression à fréquence variable. [1)
4. Analyse de la propagation des ondes de
compression ou de flexion le long de barreaux. Cette
démarche est surtout adaptée aux hautes fréquences. [3],[26]
Ce rapport est divisé en 7 chapitres. Les premiers
chapitres sont des rappels de la théorie de la
viscoélasticité linéaire, des modèles d'amortissement, des
matériaux composites, et de quelques méthodes
d'identification. Les domaines d'application sont limités,
soit par la fréquence (Le domaine de validité se situe selon
les méthodes au voisinage de la fréquence de résonance ou au
contraire loin de celle-ci.), soit par le modèle d'amor-
tissement choisi (les modèles d'amortissement compliqués
sont difficilement utilisables).
Notre but est de trouver une méthode d'identif i-
cation, à l'aide d'essais simples, qui soit valable pour un
domaine fréquentiel assez large. Ainsi, nous avons été
amenés à étudier dans le cadre des approximations de Euler-
Bernouilli et de Timoshenko les impédances exactes de
poutres viscoélastiques. L'introduction du module de
cisaillement étant particulièrement important dans le cas
des matériaux composites qui font apparaître des
déplacements non négligeables induits par l'effet tranchant.
La poutre libre-libre excitée en son centre a été
choisie pour réaliser le mesure de l'impédance
(force/accélération) car les conditions aux limites sont
plus réalistes et n'introduissent pas d'effet
d ' amortissement supplémentaire.
lo
A partir des valeurs de l'impédance mesurées et d'un
développement limité de l'expression analytique de
l'impédance, on peut déterminer les caractéristiques
dynamiques (modules de Young et de Coulomb complexes) d'une
poutre homogène ou composite symétriquement stratifiée.
Grace à un balayage en fréquence, on obtient encontinue les variations des caractéristiques du matériau.
Cette méthode est présentée dans le chapitre V. Une fois les
modules complexes identifiés, on peut procéder à un lissage
par moindres carrés pour déterminer un modèle
d' amortissement approprié.
Le chapitre .VI décrit la méthode expérimentale et
plus particulièrement les erreurs dû à l'impédance du
capteur et à la géométrie de la poutre en accord avec les
études de sensibilité sur les courbes de souplesse
dynamiques effectuées par W.Ziolkowski et A.Sliwinski [37].
Le chapitre VII présente un exemple d'application
qui a permi de valider les procédures qui sont présentés
dans ce mémoire.
11
I. VISCOELASTICITE
1.1 ASPECT PHENOMENOLOGIQUE
Dans la théorie classique de l'élasticité on admet
que les relations entre l'état de déformation et celui de
contrainte sont linéaires et ne dépendent pas du temps.
L'hypothèse des petits déplacements permet d'appliquer le
principe de superposition des charges et des déformations.
Il est cependant connu qu'un certain nombre de corps
n'obéissent pas aux hypothèses de la théorie de l'élasticité
linéaire et que dans les équations de comportement inter-
vient un nouveau facteur : le temps.
Les expériences faites sur différents matériaux
montrent que, lorsque ceux-ci sont sollicités et maintenus
sous charge, les déformations qui en résultent croissent
avc le temps.
Essai de f luage: En traction ou compression simple,
on impose une contrainte constante et on observe la
déformation en fonction du temps.
4a (t)
00
12
E
rsidu.11.
T t o
B C
T
Fig. 1.1.1 (a) la charge
(b) la déformation de type fluide
(C) la déformation de type solide
L'application de la contrainte s'accompagne d'une
déformation élastique instantanée OA, puis la déformation se
poursuit AB, puise se stabilise BC, soit vers une constante,
soit vers un état de f luage stationnaire à vitesse dedéformation constante. Si à instante T on relâche la
contrainte, alors la déformation se décompose en trois
parties:
- une déformation instantanée BD (recouvrance
instantanée)
- une déformation obtenue progressivement (recou-
vránce différée)
- une déformation résiduelle
cette dernière pouvant disparaître pour un matériau
de typé solide.
Essai de relaxation: Il consiste à appliquer une
déformation constante et à observer la contrainte
nécessaire.
(a) (b) (C)
¿(t) A c(t)
0
13
a (t)
t o t o t
(a)
fig. 1.1.2 (a) la déformation appliquée
(b) le comportement de type fluide
(C) le comportement de type solide
Ce type de comportement dépendent du temps est
appelé "viscoplastique" ou "viscoélastique", selon qu'il
existe ou non un seuil de contrainte en dessous du quel le
comportement peut être considéré comme élastique.
14
1.2 THEORIE DE LA VISCOELASTICITE LINEAIRE
1.2.1 OPERATEURS INTEGRAUX
Dans le cas viscoélastique linéaire (avec l'hypo-
thèse de petites perturbations), la relation entre la
contrainte et la déformation peut être représentée
formellement par la fonctionnelle linéaire de la forme
suivante:
co
a(t) = P ((t-s),(t)) (1.2.1)s=O
En utilisant le théorème de représentation de Reisz,
cette loi de comportenent pour un matériau viscoélastique
linéaire non-vieillissant s'écrit sous la forme:
co
a(t) = e(t-s)dE(s) (1.2.2)
Jo
= * dE
où * dénote la convolution de Stieltjes.
Si e(t) = O pour t < O et si E(t) et sa première
dérivée par rapport aux temps sont continues dans
l'intervalle Ot, l'expression (1.2.2) s'écrit encore:
t
f da(t) = E(0)e(t) + I e(t-s)--- E(s)ds
J dso
En posant T = t-s et en utilisant l'intégration par
partie, on peut écrire l'expression (1.2.3) sous la forme
t
f da(t) = I E(t-T) (T)dT (1.2.4)
J dTo
où E(t) est appelé la fonction de relaxation (la limite
inférieur d'intégration O peut être remplacer par - tant
que 6 (t) ---> O pour t---> -).
On peut interpréter aussi que l'expression (1.2.4)
vient du principe de superposition de Boltzìnan.'
Par le même raisonnement, la forme alternative des
lois de comportement s'écrit:
15
où J(t) est la fonction de fluage.
(1.2.3)
(1.2.5)
1. Principe de Boltzman: La superposition de plusieurs actions produitsur le matériau des effets additifs des déformations.
t
f d(t) = J(t-T)--- a(T)dT
J dTO
1.2.2 OPERATEURS DIFFERENTIELS
On peut écrire la loi de comportement sous la forme
d'une équation différentielle linéaire d'un ordre
arbitraire:
A[cr(t)] = B[e(t)] (1.2.6)
où A et B sont des opérateurs différentiels
A = E arDrr
B = E brDrr
drDr = -
dtr
et ar et br sont des constantes caractéristiques des
matériaux.
Considérons les modèles de la fig. 1.2.1, on peut
écrire:
(a) modèle de comportement élastique:
a = E
où les constantes a0 et b0 sont définies, les autres sont
égales à zéros.
17
(b) modèle de comportement visqueux:
a = c0-dt
où les constantes a0 et b1 sont définies, les autres sont
égales à zéros.
(C) modèle de Kelvin-Voigt:
dC = (E0 + c0)
dt
où les constantes a0, b0 et b1 sont définies, les autres
sont égales à zéros.
(cl) modèle de Zener:
d d(E1 + c1)a = [E0E1 + (E0 +
dt dt
où les constantes a0, a1, b0 et b1 sont définies, les autres
sont égales à zéros.
E0 co
(a) (b)
E0 E0
(c) (d)
coE1
Fig. 1.2.1
1.2.3 MODULES COMPLEXES
Dans le cas de la sollicitation harmonique station-
naire d'un matériau linéaire, la réponse prend la même
fréquence que celle de la sollicitation:
ã=aeJwt
et =
La loi de comportement est traduit par le modulecomplexe E* (w):
18
a *1- = E w) = E1(w)+jE2(w) (1.2.7)
On définit le coefficient d'amortissement r = E2/E1
= tan(ç), rp est l'angle de déphasage
et la complaisance complexe J*(w), inverse du modulecomplexe E*(w):
*,- = J tw) = J1(w) - jJ2(w)a
(1.2.8)
Dans ce cas, l'expression (1.2.6) peut prendre la
forme:
(a0 + (jw)a1 + (jw)2a2 + ... + (jw)rar + ...)a
= (b0 + (jw)b1 + (jw)2b2 + ... + (jw)rb + ...)6 (1.2.9)
19
1.2.4 MODELES DE DERIVEES FRACTIONNAIRES
La forme générale s'écrit:
En prenant la transformée de fourier, l'expression
(1.2.10) devient:
M am Na*(jw) + E a(jw) a (Jw) b06*(jw) + E b(jw) *(jw)
m=1 n=l
(1.2.14)
M am N ßna(t) + E amDm [a(t)] = b0(t) + E bnDn [e(t))
m=l n=1(1.2.10)
avec: l'opérateur dérivatif DOE définit par:
1 dt
x(T) dT0<a<lDa[x(t)] =
I a(l -a) dt J (t - T)
o(1.2.11)
Sa transformée de Laplace s'écrit:
L[DOE[x(t)]] = (S)OE L[x(t)] (1.2.12)
De même, sa transformée de Fourier s'écrit:
= (jw)OE P[x(t)] (1.2.13)
20
1.3 INTEGRATION DES MODELES AU NIVEAU STRUCTURAL
Une structure mécanique à comportement linéaire peut
être approchée par un modèle discret à N degrés de liberté
associée à des matrices de masse de raideur et
d' amortissement.
Les équations de mouvement peuvent en transformée de
Laplace être écrites sous la forme matricielle suivante:
[ + [D(s)] + [K)] ] (U(s)) = (F(s)) (1.3.1)
avec:
[M] = matrice de masse (N,N)
[K] = matrice de raideur (N,N)
[D(s)] = matrice d'amortissement (N,N)
(U(s)) = vecteur de déplacement (N,1)
(F(s)) = vecteur de force (N, 1)
1.3.1 STRUCTURE AVEC AMORTISSEMENT HYSTERETIQUE
L'amortissement structural entre dans ce cas
particulier de modèle d'amortissement.
Le système correspondant s'écrit (en régime
harmonique) sous la forme
[ [K + jH) - ()2[M) ] (U(w)) = {F(w)) (1.3.2)
21
L'équation homogène associée à ce système admet N
valeurs propres complexes (A)2 auxquelles correspondent N
vecteurs propres complexes (} satisfaisant l'équation:
[K + jH] - (A)2[M] ] {'} = 0 (1.3.3)
Les vecteurs propres {) vérifient les relations
d' orthogonalité suivante:
{n)T[M]{r} = mn&nr (1.3.4)
{)T[K + jH]{r) = (k + (1.3.5)
où mn, k et hn désignent respectivement la masse, la
rigidité et l'amortissement généralisé.
Prélnultiplions l'équation (1.3.3) par
{)T[K + jH]{) (À)2{)T[M]{) = 0 (1.3.6)
En tenant compte de (1.3.4) et (1.3.5) dans (1.3.6)
nous avons:
= (k +jh)/nì = (n)2(l + (1.3.7)
w est la pulsation propre, le coefficient d'amor-
tissement modal.
Les vecteurs propres {) sont définis à une con-
stante multiplicatrice près, nous pouvons donc les
normaliser par:
,n) =
22
L'ensemble des solutions de (1.3.3) peut être
représenté à l'aide des deux matrices suivantes:
[
"(A) ] = matrice diagonale des valeurs propres
[']=[(l)' ,{"),= matrice modale
Les relations (1.3.4) et (1.3.5) permettent alors
d' écrire:
= [I]
[I]T[K + jH][If] = [(A)2]
La solution de l'équation (1.3.2) en vibrations
forcées peut être exprimée comme une combinaison linéaire
des N vecteurs modaux
N(U) = E (1.3.10)
n=l
Les q sont appelés les coordonnées principales ou
modales.
Remplaçons (1.3.10) dans (1.3.2) et prémultiplions
par {w)T. En utilisant les relations d'orthogonalité
(1.3.8) et (1.3.9) nous obtenons pour la nième composante:
{ '1'nT F)
2(Wa) (1 + '7n)()2
(1.3.11)
23
et l'équation (1.3.10) devient:
N {W)T(F)(){U},= E
nl (w)2(1 + jt7) - ()2(1.3.12)
1.3.2 STRUCTURES AVEC AMORTISSEMENT VISQUEUX
Dans ce cas, les équations de mouvement s'écrit:
[M]{ü(t)) + [C){i(t)) + [K]{u(t)) = (f(t)) (1.3.13)
Lorsque la matrice [C] est quelconque, les équations
de mouvement ne sont pas découplées par les modes propres du
système conservatif associé (la matrice d'amortissement
modal n'est pas diagonale). Pour ramener le problème à un
problème de valeurs propres standard, on adjoint au système
(1.3.13) l'identité matricielle suivante:
[N]{û(t)) - [M]{û(t)) = 0 (1.3.14)
Nous formons un nouveau système:
([Ñ]{ii(t))) + [R]{ii(t)} = {(t))dt
avec:
(1.3.15)
[0] [M]
[M] = (2N, 2N)
[M] [C]
24
-[M] [O][K] = (2N, 2N)
[O] [K]
Le système homogène associé à (1.3.15) admet 2N
valeurs propres complexes (n = 1, 2, ..., 2N) auxquelles
correspondent à 2N vecteurs propres {n) de 2N composantes
complexes chacun et vérifiant l'équation suivante:
[n[Ñ] + [R]] () = 0 (1.3.16)
Les matrices [Ñ] et [R] étant symétriques par
construction, les propriétés d'orthogonalité permettent
d' écrire:
{n)T[Ñ](r) = n6nr
{n)T[R]{r) = n6nr
Prémultiplions l'équation (1.3.16) par
+ (n)T[R]{n) = 0 (1.3.19)
(0){(t)) =
{f(t))(2N, 1)
{û(t)){u(t)) =
{u(t))(2N, 1)
25
En tenant compte des propriétés d'orthogonalité,
nous avons:
= -jn/iimn
Si nous posons
{(t)) = {)eJwt
La solution particulière du système (1.3.15) peut
donc s'écrire sous la forme:
2N{ii(t)) = {U)eJ)t = E (}qeJWt (1.3.20)
n= 1
En remplaçant (1.3.20) dans (1.3.15) et en multi-
pliant par (}T, nous obtenons:
2N 2NjW{}TEÑ) E (n)qn + {}T[) E {n)qn
n=1 n=l
= {n}T{) (1.3.21)
D'après (1.3.17) et (1.3.18), nous avons pour la
nième composante de (1.3.21):
inqn + = {n}T{P)
Nous pouvons écrire:
{n)T{)q-
(1.3.22)
(1.3.23)
26
Remplaçons qn par sa valeur dans (1.3.20) pour
obtenir:
2N (n)T{P){n){U)= E (1.3.24)
n=l mn(jw - An)
Pour un système résonant, les pôles 5 sont conjugués
par paire, les vecteurs propres sont aussi conjugués deux à
deux.
27
1.3.3 STRUCTURES AVEC MODELES DE DERIVEES FRACTIONNAIRES
On peut écrire les équations de mouvement (en
transformée de Laplace) sous la forme:
[s2[M] + [K(s)]] {U(s)} = {F(s)) (1.3.25)
avec: la matrice de raideur [K(s)] en fonction du paramètre
de Laplace s.
Pour découpler ces équations, on utilise la même
technique que pour l'amortissement visqueux. C'est-à-dire
que l'on cherche à écrire les équations de mouvement sous la
forme de deux matrices carrées, réelles et symétriques afin
d'obtenir les conditions d'orthogonalité assurant le
découplage des équations.
Considérons le cas de la structure composée de
matériaux élastiques et viscoélastiques:
En transformée de Laplace, on peut écrire la matrice
de raidéur des matériaux viscoélastiques, en utilisant le
principe de la correspondance élastique-viscoélastique, sous
la forme:
[KV] = A*[K] + ¡.*[Kfl] (1.3.26)
Dans l'expression (1.3.26), les constantes de Lamé
et p sont substituées par les modules viscoélastiques A*(s)
et p*()
Si l'on considère seulement le cisaillement dans les
matériaux viscoélastiques, l'expression (1.3.26) se reduit
a:
[KV] = ,*[KII] (1.3.27)
En utilisant le modèle de derivées fractionnaires à
5 paramètres pour le module j, (1.3.27) s'écrit sous la
forme:
Ainsi, on peut construire la matrice [K(s)] du
problème à l'aide des deux matrices de raideurs élastique et
viscoélastique. En multipliant par le dénominateur (l+bsß),
les équations de mouvement s'écrivent:
[s(2ß)b[M] + s2[M] + saE1[K1] + sßb[K2] + [K3]] (U(s))
= (1 + bsß)(F(s)) (1.3.29)
En suite, on cherche le plus petit dénominateur
commun d des fractions a et ß. L'équation (1.3.29) s'écrit
encore:
I
E [A]{sh/dU(s)) = (1 + bsß) (F(s)) (1.3.30)i=O
avec: I = d(2 + ß)
28
E0 + E1sa[KV] - [K"]
i + bsß(1.3.28)
Pour obtenir les conditions d'orthogonalité et dé-
coupler les équations de mouvement, on pose les équations de
mouvement sous la forme suivante:
[sh/d[Ñ] + [R]] (U(s)) = (i(s)) (1.3.31)
[K] =
(U(s)) =
29
[O] [O] . [O] -[A1] [O]
[O] [O] . -[A1] -[A....1] [O]
[O] [O] : -[A1_1] -[Ai_2] [O]
-[A1] -[Ai_i] . -[A3] -[A2] [O]
[O] [O] . [O] [O] [A0]
s(i-1)/d{u(s))
s(i-2)/d{u(s))
1'du($)}
1{U(s))
avec:
[M] =
[O]
[O]
[O]
[Ai]
[O] . [O]
[O] ; [Ai]
[Ai] . [A3]
[Ai_1] : [A2]
[A1]
[Ai_1]
[A2]
[A1]
(0)
(0)(F(s)) =
(0)
(1+bsß) (F(s))
Les matrices [Ñ] et [R] sont réelles, carrées et
symétriques.
Le système homogène associé à (1.3.31) s'écrit:
+ [R](rt) = 0 (1.3.32)
Les propriétés d'orthogonalité permettent d'écrire:
30
avec:
Procédons la même façon que dans le cas d'amortisse-
ment visqueux, on obtient:
N ()T(){){U) = E
n=]. iii(sh/d -
N = l'ordre des matrices [Ñ] et [R).
(1.3.35)
(n)T[Ñ]{r) = n6nr (1.3.33)
(n)T[R]{r) = n6nr (1.3.34)
Th£
31
II.THEORIE DES POUTRES
11.1 LA MODELISATION DES POUTRE HOMOGENES EN FLEXION
On va utiliser le Principe de Hamilton pour écrire.
l'équation du mouvement transversal harmonique d'une poutre
homogène dans la fig. 11.1.1
Fig. 11.1.1
32
Le champ de déplacement choisi est:
U1 = _x3Ø(x1)eJct
U2=o
U3 = W(x1)eJct
On construit la fonctionnelle de Hamilton et on
choisit les fonctions inconnues Ø et W qui rendent
stationnaire cette fonctionnelle.
Energie cinétique:
soit:
liT = - pw2[(U1)2 +(U2)2 + (U3)2]dv
2JV
ilr rT = - I I
{(x3)22 + W2)dS]dx12J J
o s
11 f
= - ,2 + C2t2]dx12 J
o
avec:
C1 I' pdS pbh =pA
s
C2 = f p(x3)2dS
s
bh3= p-
12= p'
(11.1.1)
Energie de déformation:
'rV = - I (a1111 + 02222 + a33e33 + 2a1212
2JV
+ 2a13e13 + 2a23e23)dv
On se place dans le cas de matériaux élastiques iso-
tropes. La loi de comportement s'écrit:
ajj = kk6ij + 2Ljj
On suppose que a22 et a33 peuvent être négligées
devant a11 dans la loi de comportement. Avec ces hypothèses
et le champ de déplacements choisi, l'énergie de déformation
s 'écrit:
irV = - I (a1111 + 2a13e13)dv
2JV
33
1ir r= - I [ I {E(x3)2(q')2 + kG(-q + W')2)dS]dx12J J
o s
iif= - I [C3(Ø') + C4(- + W')2]dx12J
o
avec:
C3 = I (x3)2EdS
s
bh3=E-
12=EI
(11.1.2)
34
C4= GdS =Gbh =GAJ
s
E = module de Young
G = module de Coulomb
Fonctionnelle de Hamilton:
HT-V
1i f= -I
[C1W2 +2 J
o
i'r- -I [C(q') + C4(- + W')2]dx1 (11.1.3)
2Jo
Les fonctions et W qui permettent de répresenter
les modes de flexion doivent être telles que:
C2w2 + C3" + C4(- + W') = 0 (11.1.4)
= :'&I = o0 1
C1w2W + C4(-,' + W") = 0 (11.1.5)
(-Ø + W')SWI = (- 0' + W')ÔWI = O
o i
8Ho
aq
et
3H=0
3W
35
On obtient ainsi un système de deux équations à deux
inconnus Ø et W avec les conditions aux limites associées.
La modélisation d'Euler-Bernouilli:
Les effects secondaires (les effets dûs au cisaille-
ment et les effets dûs à l'inertie de rotation) sont
négligés. En découplant les deux équations (11.1.4) et
(11.1.5), on obtient l'équation de mouvement:
pA
pI
EI
kGA
d4 c1w - w
dx4 C3
avec:
C1 = pA
C3 = EI
La modélisation de Timoshenko:
Les effets secondaires sont pris en compte, en
combinant les équations (11.1.4) et (11.1.5), l'équation de
mouvement s 'écrit:
d4 C1 C2d2 CíC2w+2- +--- w+w2 w2-1w=odx4 (c4 C3Jdx2 c3(c4 J
= 0 (11.1.6)
(II. 1.7)
1. La prise en compte de la répartition de la contrainte de cisaillementsur la section droite nécessite l'introduction du coefficient ducisaillement k.
avec:
C1 =
C2 =
C3 =
C4 =
36
11.2 IMPEDANCE AU POINT COURANT D'UNE POUTRE LIBRE-LIBRE
La fig. 11.2.1 représente une poutre libre-libre
excité par la force sinusoïdale 'o = F0ei)t à la distance ja
dtune extrémité.
gia
a
I-F0
Fig. 11.2.1
L'impédance au point courant est défini par
Force-
accélération
d ! où:
F0z -
/.L
w2W0
(11.2.1)
où: le déplacement transversal à ltorigine Ño = W0eWt
37
11.2.1 IMPEDMCE DE LA POUTRE D'EULER-BER1OUILLI
Reprenons l'équation de déplacement transversal
d'une poutre Euler-Bernouilli:
4.- Ñ (*) wax4
d' où:
On peut écrire (11.2.2) sous la forme:
d4- W(x) - (n ) W(x) = Odx4
La solution de (11.2.3) est alors
W(x) = ( + + c*e_n )C + d*enx)
(11.2.2)
(11.2.3)
(11.2.4)
A partir de (11.2.4), on peut écrire aussi la
solution Ñ sous la forme:
Ñ = (p*cosh(fl*x) + Q*cos(n*x) + R*sinh(n*x)
+ S*sin(n*x))ejwt (II. 2 . 5)
OÙP, Q* R*, et S comme a*, b*, c* et d* peuvent
être déterminer par les conditions aux limites.
(n ) -E*r2
38
Par la suite, on notera Ñ par l'expression
Ñ = (p*ch + Q*c + R*Sh. + S*S.)n*x eJwt (11.2.6)
On peut écrire aussi que:
Ñ = fl*(p*sh Q*5 + R*ch. + S*c.) *eJt (11.2.7)
ax nx
- (* 2 * * * * jwt(P ch Q c + R sh S s ) * e (11.2.8)
3x2 nx
- Ñ (* 3 * * * * jwt(P sh + Q s + R ch S c ) * e (11.2.9)
ax3 flX
Pour determiner les constantes p, Q*, R* et S, onutilise les quatres conditions aux limites.
Considérons la partie droite de 'la poutre dans la
f ig.II.2.l ,en prenant le point d'application de la charge
pour origine des x.
La première condition aux limites correspond à la
nullité du moment Ñ à l'extrémité:
a2
Ñ = _E*I(_ Ñ) = 0 (11.2.10)ax2
x=/La
On écrit, par ailleurs, que l'effort tranchant à
l'extrémité est nul.
39
a3= _E*I(_ Ñ) = 0 (11.2.11)
3x3x=/.La
La somme des efforts tranchants de la partie droite
FOD et de la partie gauche FOG est égale à la force
appliquée 'o
FOD + FOG = (11.2.12)
Enfin, au point de la charge appliquée, le déplace-
ment est égale à Ño.
En utilisant ces quatre conditions aux limites,
(11.2.7), (11.2.8) et (11.2.9), on obtient alors:
(p*ch - Q*c + R*sh. - S*S.)jn*a = O
(p*sh + Q*s + R*ch. - S*c.)n*a = O
_E*I(R* - S*) = F0
(p* + Q*) = WO
On peut donc trouver les quatre constantes complexesp* Q* R* et S sous les formes:
LDP = W0(sh.s. + ch.c. - l)n*a + çoQ(sh.c. - ch.s.),n*a
(11.2. 17)
DQ* = W0(sh.s. + ch.c. + l)pn*a - OD(sh.c. - ch.s.),n*a
(11.2.18)
DR* = -W0(sh.c. + ch.s.),1n*a + oD(sh.s. - ch.c. -
(11.2.19)
DS* = W0(sh.c. + ch.s.),n*a + OD(' + ch.c. + l)n*a
(11.2.20)
Le detérminant est donc D = 2(sh)jLn*a
-FODOD =
40
(indice D dénote la partie droite de la poutre)
De même, on peut trouver les quatre constantes com-
plexes A*, B*, C et D* de la partie gauche de la poutre
sous les formes:
GA* = W0(sh.s. + ch.c. - ])n*a + çoQG(sh.c. - ch.s.)n*a
(11.2.21)
= W0(sh.s. - ch.c. + )n*a - oG(5h ch.s.)n*a
(11.2.22)
GC* = -W0(sh.c. + ch.s.)n*a + çoQ(sh.s. - ch.c. -
(11.2.23)
GS = -W0(sh.c. + Ch.s.)n*a - OG( + ch.c. + l)n*a
(11.2.24)
d'où = 2(sh.s.)n*a
-FOGPOG * *E I(n )3
41
Pour déterminer w0, on impose la continuité à l'ori-
gine de la pente (FOG = - ROD) et du moment fléchissant (ÑOD
= MOG)
OG = OD avec l'expression (11.2.7) nois donne:
+ s*) = (C* + D*)
d'où:
[OD(sh.s.)(ch.c. + 1) + 4OG(sh.s.)(ch.c. + l)]n*a
= -W0 [(sh.s.)(sh.c. + ch.s.) + (sh.s.)(sh.c. + Ch.5.)]n*a
(11.2.25)
= MOD avec l'expression (11.2.8) nous donne:
(A* - B*) (p* Q*)
d'où:
[OD(sh.s.)(sh.c. - ch.s.) -OG(sh.s.)(sh.c. - ch.s.)]n*a
= -W0 [(sh.s.)(ch.c. - l) - (sh.s.)2(Ch.c. - l)]n*a
(11.2.26)
On resoud (11.2.25) et (11.2.26) pour obtenir
l'expression de W0 sous la forme:
-2WONE= P0D + "0G =
DE
-FOD FOG= - (11.2.27)
E*I(n*a)3 E*I(n*a)3 E*I(n*a)3
d' où:
NE = { (sh.c.)(sh.c.) + (ch.c.)(ch.c.)
- (sh.s.)(sh.s.)1 - (ch.s.)(ch.s.) ]n*aet
DE = [ (ch.c. + 1)(sh.c. - ch.s.)
+ (ch.c. + l)(sh.C. - ch.s.) Jn*a
En introduisant 1'inpédance nor1Ta1isée Z/.L/Mb (où: Mbest la masse de la poutre), l'expression d'impédance(11.2.1) s'écrit:
Z,.L F0
Mb W2MbWO
Pour obtenir l'impédance au centre de la poutreZO/Mb, on prend p. égale à l'unité. Il vient:
42
-F0
2NE
(1 +bL)(n*a)DE(11.2.28)
43
Les fig.II.2.2 (a) et 11.2.2 (b) montrent les
variations du module de l'impédance normalisée IZO/MbI et la
phase en fonction du coefficient d'amortissement dans le
cadre de l'approximation d'Euler.
Z0 i sh.c. + ch.s.
Mb (n*a) ch.c. + in*a
(11.2.29)
Fig. 11.2.2 (a)
Impédance d'unepoutre d'Euler
E*E(1+ Jri)
Fig, 11.2.2 (b)I.
Phase de L impe-dance
44
-50 :,
o
o) I-100-
iJ.
-150
IMPEDANCE .25
o- .1
I
o i 3 4 5 b 7na
où:
déformation exacte
déformation supposée
section droite
45
11.2.2 IMPEDANCE DE LA POUTRE DE TIMOSHENKO
Reprenons l'équation de déplacement transversal
d'une poutre de Timoshenko:
44ii- Ñ + (n ) r i-+ik-- Ñ + (*) ) r Ñ = o
*1E
4{(fl*
ax4 kG Jax2 kG J
(11.2.30)
(n*)4 = -E*r2
En introduisant les paramètres adiinensionnels a, ß
et À , (11.2.30) s'écrit:
4 a *4- W + (n*a) (a + ß)- W + (nia) [(n a) aß - l]W = O8À2
(11.2.31)
Fig. 11.2.4
ligne moyenne
d 'où:
i rEa-
k a2G*
r2
a2
X-a
Lt équation caractéristique devient:
X4 + (n*a)4(a+ß)x2 + (n*a)4[(n*a)4aßl] = o
(11.2.32)
Son discriTninant t=[(n*a)4(a+ß)J2_4(n*a)4[(n*a)4aß_1]
est positif.
Les racines (X1)2 et (X2)2 sont réelles.
Leur somme (X1)2+(X2)2 = _(n*a)4(a+ß) est négative.
Leur produit (X1)2(X2)2 = (n*a)4[(n*a)4aß_1] change
de signe au passage de la valeur (wf)2 = E*/paa2.
Il y a deux familles de solutions possibles:
Première famille: ()2<()2
On a alors: (X1)2 > O , (X2)2 < O
46
47
On pose: (e*a)2 = (X1)2 > O (O*a)2 = -(X2)2 > O
La solution de l'équation différentielle est alors:
Ñ = [p*sin(o*a)À+Q*cos(e*a))+R*sinh(e*a)À+S*cosh(e*a)A] eJwt
(11.2.33)
avec:
2(O*a)2 = (n*a)4(a + /3) + [(n*a)B(a -/3)2 + 4(n*a)4]½
(11.2.34)
2(*a)2 = _(fl*a)4(a+ /3)
+ [(n*a)B(a ¡3)2 + 4(n*a)4]½
(11.2.35)
Les constantes P*,Q*,R*, et S dépendent des
conditions aux limites.
Deuxième famille: (w)2 >
On a alors: (X1)2 < O , (X2)2 < O
On pose: (e*a)2 = -(X1)2 (9*)2 = -(X2)2
La solution de l'équation différentielle est alors:
Ñ = [p*5jfl(9*a)À+Q*co5(9*a)À+R*sjfl(e*a)À+S*co5(e*a))] eJwt
(11.2.36)
avec:
2(O*a)2 = (n*a)4(a+ /3)
- [(fl*a)B(a -/3)2 + 4(n*a)4]½
(11.2.37)
2(*a)2 = (n*a)4(a+ f3) + [(n*a)B(a
-/3)2 + 4(n*a)4]½
(11.2.38)
48
Les constantes P*,Q*,R*, et S' dépendent des
conditions aux limites.
La solution du déplacement transversal de la
deuxième famille est valable dans le domaine fréquentiel
trop important. Ainsi, la solution de la premiière famille
(11.2.33) seule est utilisée pour le' développement de
l'expression de l'impédance.
On peut écrire alors:
B
- Ñ = ((o*a)[p*c(o*a)À_Q*s(9*a)À]
BA
+ (e*a)[R*ch.(*a)A+S*sh.(*a)A1) eJ (11.2.39)
- Ñ = { (O*a)2[_P*s.(e*a)A_Q*c.(O*a)A]BA2
+ (e*a)2[R*sh.(e*a)A+S*ch.(e*a)A]) eJ' (11.2.40)
-w
ax3= {
(9*a)3[p*c(e*a)A+Q*s(o*a)A]
(b)
+ (*a)3[R*ch.(e*a)A+S*sh.(E*a)A]
la rotation totale:
) eJ' (11.2.41)
1BÑA) = - -
a BA(11.2.42)
49
(c) la rotation (À) due au moment fléchissant:
a3 a
pa[l - (n*a)4a13) = a Ñ + [a2(n*a)4 + 1) Ñ8A
d'où:
* * n*A - x (u a){R*ch.(*a)A + s*sh.(e*a)À]
* *¿L = y (
a)[P*c.(8*a))L - Q*s(o*a)À]
= [(n*a)4a + (E*a)2]
* = [(n*a)4a - (G*a)2]
(d) le moment flèchissant, Ñ(A):
E*I I a2Ñ(x) -
a2(8À2
+ a(n*a)4Ñ
- *[p*5 (9*a)À + Q*c. (O*a)À]
a2
* * * * * I Jwt+ x [R sh.(e a)\ + S ch.( a)À] e (11.2.44)
(A* ç2*) jte
a(O*a) (*a)(11.2.43)
(e) l'effort tranchant:
E*I(n*a)4 I
a3(e*a) (O*a)f(*a)[P*c (9*a)A Q* (O*a)À]-
Le moment flechissant à l'extrémité = O
E*I IÑ) -. . *[P*s(e*a)JJ. + Q*c.(o*a)1Lt]a2
I jct+ x*CR*sh.(e*a)Ii + S*ch.(*a)jL] e = O
(11.2.46)
L'effort tranchant à l'extrémité = O
E*I (n*a)
a3(o*a)(e*a) {
_(*a) [P*c (O*a) - Q*s(o*a)]=
50
i jwt
droite, POD' et de la partie gauche, 'OG' est égale à la
force appliquée, o
3.
+
La
(e*a)[R*ch.(e*a),.L + S*sh.(e*a)/.LJ
somme de l'effort tranchant
e
de
= O
(11.2.47)
la partie
jwt+ (O*a)[R*ch.(e*a)À + S*sh.(*a)À] e (11.2.45)
Pour déterminer les constantes p, Q* R* et S
(ou A*,.B*, C et D*), on prend les mêmes quatre conditions
aux limites que celles de la poutre de Euler-Bernouilli:
rPOD =E*I (n*a)
51
F0 = FOG+FOD
ÀO
E*I(n*a)4
{
jwtFOD - (
a3(g*a) (E*a)- + (O*a)R*
Je (11.2.48)
FODa3 (O*a) (*a)
= - (e*a)P* + (0*a)R* (11.2.49)
4. Le déplacement est égale à Ño au point de la
charge appliquée
Ñ Ñ0 (Q* +
w0 Q* + (11.2.50)
En utilisant les quatre conditions aux limites, on
peut écrire:
p*,*5 (e*aI.L) + Q*j1*c. (O*a/i)
+ R*x*sh.(e*a,1) + S*x*ch.(*a/.L) = 0 (11.2.51).
p*(*a)c (9*ali) + Q*(e*a)s. (o*aI.L)
+ R*(O*a)ch.(*abL) + S*(9*a)sh.(*a/.L) = 0 (11.2.52)
_p*(e*a) + R*(8*a) = P0D (11.2.53)
Q* + = W0 (11.2.54)
52
On obtient les quatre constantes complexes sous laformes:
= OD(*(O*a)c(o*al.L)ch(e*aI.)+ x*[_(O*a)_(e*a)s.(O*a1L)sh.(*aP)])
+ wo {*(e*a)2sh(e*a!)c(O*aM)- x*(9*a)(e*a)s.(O*aIL)ch.(e*abL)) (11.2.55)
DQ* = OD{_v*(O*a)s(9*a/2)ch(*a/.L)- x*(e*a)c.(o*aM)sh.(*aM))
+ W0 {_v*(O*a52s(O*aJ)sh(e*ap)+ x*(8*a)(*a)[l - c.(9*aIt)ch.(*aJ.L)]) (11.2.56)
DR* = v'OD {*c(e*a) - (O*a)s.(O*aj)sh.(*a/)]- x*(e*a)c. (9*)h (*aI.L))
+ W0- x*(8*a)2s. (O*a/t)ch. (e*a,i)) (11.2.57)
DS* = Ç°OD+ x*(*a)c. (O*aj)sh. (e*aI)
+ W0 (*(O*a)(*a)[l - c.(O*a/2)ch.(*a,t)]+ x*(*a)2s.(O*a,.L)sh.(e*a,)) (11.2.58)
d' où:
+ x*)(O*a)(*a)[l - c.(O*al.h)ch.(e*a,L)]+ s.(O*a,L)sh.(e*aL)[_v*(O*a)2 + X*(e*a)2] (11.2.59)
De même, pour la partie gauche de la poutre, on peuttrouver les constantes complexes A*, B*, C et D* enremplaçant D' POD'
p*1 Q* R* et S dans les équations
53
*(11.2.55) - (11.2.59) par G' OG' A B*, C et D* et en
prenant i par 1.
Considérons la continuité à L'origine (À = O):
La continuité de la rotation
tPOG = - POD (11.2.60)
La continuité du moment flechissant
MOG = - MOD (11.2.61)
d'après (11.2.43) et (11.2.44), on a:
et
°OD =
x*(O*a)R* - v*(*a)P*jwte
a(O*a) (*a)
E*Ijwt**
Q + S )ea2
Donc, (11.2.60) et (11.2.61) s'écrivent:
*, * *- X 9 a,R +
** **XS +vQ = ** **XD +vB
* *)C* * * *= x (e a - ii ( ajA
(11.2.62)
(11.2. 63)
En remplaçant les constantes complexes P', Q*1 R*,
S et A*, B*, C*, D* dans les équations (11.2.62) et
(11.2.63), on peut établir deux équations à 3 inconnus q,
OD et W0:
et MOD =
54
OGR + PODS = - W0T
et OGU + PODV = WOW
d' où:
R = [*(*a)A -
S = - x*(O*a)G]/D
T = - + [*(*a)F - x*(9*a)H]/D
U = [*1 + X*K]/G
V = - X*P]/D
W = [_z,*J - X*L)/tG + [z,*N + x*QJ/LD
A = 'OG (*(e*a)c(o*a)ch(e*a)
+
B = W0 (*(0*a)2c(0*a)sh(*a)
- x*(9*a) (*a)s (g*a)ch (*a))
C = ç°OG{v*N*a)_(0*a)s(0*a)sh(e*a)]
- x*(*a)c.(O*a)ch.(*a))
D = W0 {*(o*a)(e*a)c(e*a)sh(e*a)
- x*(e*a)2s. (O*a)ch (e*a)
E = Ç°OD (*(e*a)c(9*a1i)ch(e*a)
+
(11.2.64)
(11.2.65)
55
F = W0 {*(O*a)2c(9*aI)sh(*a1)V - x*(9*a) (*a)s (9*a/.h)ch (*aI))
G = (v*[(*a)(9*a)s(9*aIi)sh(E*aI.L)]- x*(*a)c. (O*aI.)ch (*aI.L))
H = W0 fv*(9*a)(*a)c(O*aI)sh(*a,)-
I = Ç°OG {_v*(0*a)s(O*a)ch(*a)- x*(*a)c. (O*a)sh. (e*a)
J = W0 {_v*(O*a)2s(O*a)sh(e*a)+ x*(O*a) (*a)[l - C. (O*a)ch (*a)])
K = 'POG (*(e*a)s(o*a)Ch(e*a)+ x*(*a)c. (O*a)sh. (e*a))
L = W0 {*(O*a)(*a)[l - C. (O*a)ch. (*a)]+ x*(*a)2s. (O*a)sh (e*a))
M = POD {L,*(o*a)s(o*a/)Ch(e*a,.L)- x*(*a)c. (8*aI.L)sh (e*a1))
N = W0 {_,*(O*a)2s(O*aI2)sh(*a/)+ x*(O*a)(e*a)[l - C.
= POD {*(9*a)s(O*a!)ch(*a/2)+ x*(*a)c.(e*al.L)sh.(e*a)}
Q = W0 (*(o*a)(e*a)[l - C. (9*j) (e*ai.)]+ x*(e*a)2s. (O*a/.L)sh. (*a,))
En résolvant (11.2.64) et (11.2.65) simultanément,
on obtient:
-
W0(TtJ + WR)q'oD -
SU-VR
et W0(TV + WS)P0G -
SU-VR
Comme o =OG + POD' on peut déduire que:
F0 (a) (O*a) (*a)
E*I (n*a)
wo= (TV+WS-TtJ--WR)SU-VR
56
D'après la définition, l'impédance normalisée est
donnée par:
Z F0
Mb W2MbWO(11.2.69)
p0E*I(n*a)43.
a3(O*a) (e*a) W2MbWO
Finalement, on peut déduire que:
Z [T(V -U) + W(S -R)]
Mb (1 + j) (O*a) (e*a) (SU -VR)
(11.2.66)
(11.2.67)
(11.2.68)
(11.2.70)
En prenant j = 1, l'expression (11.2.70) nous donne
57
l'impédance au centre de la poutre
Z0 [(9*)2 + (*a)2] NT(11.2.71)
Mb DT
d'où:
NT = {*(e*a)c(e*a)sh(e*a) - x*(e*a)s.(O*a)ch.(e*a)]
* * *'e'a)
* * * '2DT = ( 2v x (O a1 , - y x [6 a1 _(e*a)2]s (O*a)sh. (e*a)
* 2[(*)2 + (x ](O*a) (e*a)c. (O*a)ch (*a)
Les f ig.(II.2.4) et (11.2.5) montrent les variations
de l'impédance normalisée IZO/MbI pour différentes valeurs
du E*/G* et du coefficient d'amortissement.
Les fig.(II.2.6) et (11.2.7), les variations de
cette même IZO/MbI en fonction de E*/G* et du rapport r/a
(rayon de gyration/demi-longeur).
Les fig. (11.2.8) et (11.2.9) comparent l'impédance
entre les poutres d'Euler et les poutres de Timoshenko (avec
des rapports de r/a et de E*/G* différents).
La valeur du coefficient de cisaillement k pour la
poutre à section rectangulaire est prise égale à 5/6, comme
nous l'étudirons plus en détail par la suite (paragraphe
111.3)
Fig. 11.2.4
Impédance d'unepoutre de Timo-shenko:
E*.224E10(1+JflE)N/m2
G*. 448E0( i +i i)M/m2
E*/G*5
masse densité.5E4 Kg/m3
r/a=. 02a.i0 m.
Fig. 11.2.5
Impédance d'unepoutre de Timo-shenko:
E*.224El0(l+it?)N/m2
G*. 50E08(i+i77E)M/m2
E*/G*40
masse densite'.5E4 Kg/m3
r/a.02.a.l0 m.
58
1E+01 --
oM 1E+00Q)-
- lE-01 -
lE-02-
Fig. II.2.
Impédance d'unepoutre de Timo-shenko:
E*.224E10(1+.1i)N/m2
G*=.448EOq(1+.1J)M/m2
E*/G*5
masse dens ¡te'.5E4 K/m3
Fig. 11.2.7
Impe'dance d'unepoutre de Timo-shenko:
E*.224E10(1+.1i)M/m2
G*.5OEO8(1+. i J)M/m2
E*/G*4O
masse densite'=.5E4 Kg/m3
59
1E+O1 -
EoM 1E+OO-a)-o
- lE-01 -
lE-02-
Fig. 11.2.8
Impédance exacte:comparaison entrela poutre d'Euleret celle de Timo-shenko pour dif-f4rentes valeursde E*/G*
Fig, II.2.
Impédance exacte:comparaison entrela poutre d'Euleret celle de Timo-shenko pour dif-frentes valeursde r/a
60
1E+O1 -
oNl 1E+OO-Q)
- lE-01 -
lE-02-
61
III. MATERIAUX COMPOSITES
On peut distinguer trois classes de composite.
Le composite fibreux: Un matériau (ou unestructure) composite est constitué de deux ou plusieursconstituants distinct. L'un d'entre eux constitue laItmatricelt auquel on adjoint trenforttt qui consolide lematériau. Les renforcements peuvent être obtenus à partir defibres longues ou courtes, unidirectionnelles ou possèdentplusieurs directions.
Le composite multicouches (stratifié): Cesmatériaux particulièrement utilisés pour amortir lesvibrations sont constitués de plaques superposées. Certainescorrespondent à l'élément de base (matériau élastique) etles autres à des couches amortissantes (matériauviscoélastique). Dans le cas de trois plaques ou plus, lesmatériaux viscoélastiques peuvent être insèrés entre deuxsemelles de matériaux élastiques.
Le composite granulaire: Le renforcement estconstitué par des particules ou granules.
111.2. LA MODELISATION DE TIMOSHENKO DES POUTRES COMPOSITES
MULTICOUCHES (STRATIFIEES)
La théorie présentée ici est une extension auxpoutres symétriquement stratifiées de la modélisation de
X2
62
Timoshenko originellement construite pour les poutres
homogènes.
X3
h
Fig. 111.1.1 poutre symétriquement stratifiée
caractéristiques mécaniques des matériaux:
EA,B,...,N = module de Young des matériaux A, B, ..., N
AA B N = constante de Lamé
= constante de Lamé (appelé également le
module de cisaillement)
d2 N
C$
dE/2 B
$
A
B
C
N
63
PA,B,...,N = masse volumique
PA,B,...,N = proportion des matériaux
hypothèse:
La répartition de contrainte linéaire.
Les matériaux A, B, ..., N sont homogènes, élastiques.
Les joints de colle sont supposés parfaits.
La flèche W et la rotation sont supposés être les même
pour tout le matériau.
Le champ de déplacement choisit est:
U1 = _x3(x1)eJwt
U2 = O
U3 = W(x1)eJcòt
On construite la fonctionnelle de Hamilton et on
choisit les fonctions inconnues et W qui rendent
stationnaire cette fonctionnelle.
Energie cinétique:
liT = - I pw2[(U1)2 + (U2)2 + (U3)2] dv
2JV
li= -Ipw2[(x3)22 + W2] dv
2JV
matériau A:
64
i b/2 PAh/2
[2p I I {(x3)22 + W2) dx3dx] dx3.i
TA = 2 fJ --J JO -b/2 O
ii r= -
PA [I(p)3p2 + APAW2] dx12 J
O
bh3avec: 1=, A=bh
12
matériau B:
i b/2 (PA+P&h/2i r r rTB = - w2 [2PB I I {(x3)22 + W2) dx3dx2] dx1
2 J J JO -b/2 PAh/2
ii r= -
PB [I{(pA+pß)3 - (PA)3)2 + APBW2] dx12 J
O
matériau N:
1i rTN = - w2 PN ['{(PAPB +PN)3 - (PA)3)P2 + APNW2] dx1
2 JO
matériau composite:
65
NT = E T1
i=A
ii r
T = w2 [C1W2 + C2] dx12 J
o
avec:
C1 = A [PAPA + PBPB + .. + P{ 1- (pA+PB+... +pM))]
C2 = I [PA(PA)3 + PB((PAPB)3(PA)3) +...
+ PN{1(pA+pB+... +pM)3)]
énergie de déformation:
irV = - I (aiili + 02222 + C3333
2JV
+ 2a12e12 + 2a13e13 + 2a23e23) dv
On se place dans le cas de matériaux élastiques
isotropes.
On suppose que a22 et a33 peuvent être négligées
devant a11 dans la loi de comportement. Avec ces hypothèses
et le champ de déplacement choisi, l'énergie de déformation
s 'écrit:
(111.1.1)
66
i1V = - I (a1111 + 2a13e13) dv
2JV
iir rV = - I [ I {E(x3)2(')2 + G(-+W')2) dS J dx1
2J J
o s
matériau A:
i b/2 PAh/2ir r rVA = - J
[2I J
{EA(X3)2(')2 + GA(-+W')2) dx3dx2 J dx12J J J
o -b/20
iir= - I [ EAI(pA)3(Ø')2 + GpA(-q+W')2 J dx12J
o
matériau B:
i b/2 (PA+PB)h/2ir r rVB = - I
[2 I I(EB(x3)2(')2 + Gß(-+W')2} dx3dx2 J dx1
2J J J
O -b/2 PA'/2
iir= - I [ EBI((pA+pB)3-(pA)3)(')2 + GBpBA(-Ø+W')2 J dxi2J
O
matériau N:
iliVN = - I f EI { 1- (PA+PB+... +pM)3) (t 2
2Jo
+ GNA{ 1- (pA+pB+... +pM) ) (-Ø+W' 2 dx1
matériau composite:
avec:
C3 = rigidité à la flexion
= I [EZ(p?)3 + EB{(pA+pB)3-(pA)3) +...
+ EN{l-(pA+pB+... PM)3)3
C4 = cisaillement équivalent
= kA [GAPA + GBPB + ... + G{ - (pA+PB+.. +pM))] 1
NV= E Vj
i=A
i'rVN = - I f C3(Ø')2 + C4(_+Wt)2 3 dx1
2Jo
67
(III. 1.2)
1. La prise en compte de la répartition de la contrainte de cisaillementsur la section droite nécessite l'introduction du coefficient du
cisaillement k.
Fonctionnelle de Hamilton:
H=T-V
i
i r
H = - w2 [ C1W2 + C2()2 J dx12 J
o1if- -
I [ C3(t)22J
0
68
Les fonctions et W qui permettent de représenter
la flexion doivent être telles que:
8H C2w2 + C3t' + C4(+W') = O- =01
'6I
=I
= oo i
et
0H c1w2w + C4(_+Wt) = O- =Oow I (-Ø+W')6W
I= (-+Wt)&W
I= o
0 1
+ C4(-+W')2 J dx1 (111.1.3)
(III. 1.4)
(III. 1.5)
On obtient ainsi un système de deux équations à deux
inconnus et W avec les conditions aux limites associées.
En combinant ces deux équations on obtient
l'équation de mouvement.
¡c1 c21 d22 w2 - 1 } =_4w+w21_+_F_2w+ w
dx1 Ic4 c3j dx1 C3
(111.1.6)
69
On remarque que l'équation (111.1.6) est semblable à
l'équation de mouvement (11.1.6) des poutres homogènes. Ce
qui est logique car la description cinématique est
identique.
matériau amortissant
E*
'J'
70
111.2 AMORTISSEMENT DES POUTRES STRATIPIEES
L'amortissement des poutres stratifiées a recours àdeux types de méthode: Dans le première, les couches
amortissantes travaillent en traction-compression. Cette
technique consiste à revêtir une structure métallique d'unou plusieurs matériau fortement amortissant. Les
déformations de la structures sont transmises au matériau et
le travail ainsi communiqué conduit à une dissipation
d'énergie. Dans le deuxième cas, en rajoutant une plaque de
contrainte, on fait travailler les couches amortissantes en
cisaillement.
matériaux amortjssants
Fig. 111.2.1
(a) (b)
revêtement viscoélastique revêtement viscoélastique
simple à plaque de contrainte
71
Considérons la première technique, fig. 111.2.1(a).
On a déposé une couche de produit amortissant caractérisé
par un module de Young complexe E* = E(l + jr)E) (Ecoefficient d'amortissement intrinsèque du produit) sur une
poutre métallique de section rectangulaire. Lors d'un
travail en flexion de la poutre, il y aura une sollicitation
en traction-compression de produit amortissant. On pourra
définir la rigidité complexe en flexion K* = K(l + ji7) = E*I
(EI représent la rigidité au sens classique et , son
amortissement global).
Au début des années 50 Lénard, P. [11] s'est attaché
à mesurer le coefficient rj en fonction de E pour diverse
matériaux de revêtement. Peu après, Oberst, H [12] a mené le
calcul de ce coefficient, Il montre que l'amortissement
total dépend de 17E et aussi de l'épaisseur du matériau
viscoélastique.
La deuxième technique, fig. 111.2.1(b), consiste à
ajouter une plaque de contrainte, les matériaux
viscoélastiques vont cette fois travailler en cisaillement.
Dès 1959, E.M. Kirwin Jr. [15] a montré que l'amortissement
du matériau dépend aussi de la fréquence.
Dans ce cadre, Mead, D.J. et Markus, S. [14] ont
étudié le mouvement transversal d'une poutre stratifiée (cf.
fig. 111.2.2) à partir des hypothèses suivantes:
Les deux couches extérieurs sont purement élas-
tiques et la couche intermédiaire est viscoélastique
linéaire.
Les contraintes de cisaillement des couche ex-
térieurs ainsi que les contraintes normales longitudinales
dans la couche intermédiaire sont négligeables.
3. Les déplacenients transversaux de tòus les points
de la section sont égaux. (Il n'ya pas de dilatation
transversale.)
(d)
(a)
u'
w
(e)
facette déformée
deuxième couche
r8x
f---1
fr
72
4- P3 + dP3
Fig. 111.2.2
(c)
z ,w
Lb-1
P3 -
avec:
Dt = la rigidité totale = D1 + D3 = E111 + E313
r = la contrainte de cisaillement
= le module de coulomb de la deuxième couche
= G(l + J7G)
8FLa charge transversale (p = ) s'écrit:
8x
73
L'effort tranchant totale s'écrit:
F = F1 + F2 + F3
03w a3w=D1 -rd+D3-8x3 3x3
a3w= Dt - rd8x3
83w @8w U1-U3= Dt G*dl_ +3x3 lh2ax h2
a4w G*d2 82W G*dIaU, 8Up = Dt
8x4 h2 3x2 h2 lax ax
(111.2.1)
(111.2.2)
CoTnne la conibinaison des efforts longitudinaux est
nulle (Pi = -P3), on a donc:
aU1 8133
E1h1 - E3h3-ax ax
L'expression (111.2.2) devient:
74
a4w a2w au3
p = Dt Dg*y_ g*dE3h3_ax4 ax2 ax
(111.2.3)
avec:
i ig*
- ( + )= g(i + jr7)
h2 E1h1 E3h3
d2 E1h1E3h3et Y =(
Dt E1h1 + E3h3
En suite, ils considèrent l'équilibre d'un petit
élément de longueur 6x dans la fig. 111.2.2(d), il est
évidant que:
6P3 = - r6x
d'où: - =-Tax
ou encore:
8 aU3 d8W U1U3- (E3h3_)=_G*(__+8x 8x h2ax h2
82u3 Dt 8W
8x2 E3h38x
En éliminant U3 dans les équations (111.2.3) et
(111.2.4), ils obtient l'équation de déplacement
transversal:
avec:
p = charge d'inertie + charge extérieure
= -m-2 + q(x,t)Bt
Dans le cas où la charge extérieure est
proportionnelle (en tous points le long de la poutre) à la
charge dtinertie locale, les modes de vibration sont
découplées. A la résonance, la charge extérieure est
fois la force d'inertie (q = jT1m(w)2W).
a6w a4w 1 82p- g*(l + Y)-
ax6 4 Dt
g*p
75
(111.2.4)
(111.2.5)
76
En posant W = W(x)T(w,t), l'expression (111.2.5)
s 'écrit:
d6Wn *d4W 2 ni d2W
- g (1 + Y) - wn(l + jì)- ( - - gW ) = Odx6 dx4 Dt dx2
(111.2.6)
AxPosons, W = Ae , 1' équation caractéristique
s ' écrit:
6 * 4 2 ni 2À - g (1 + Y)Ah - ''n(1- + - (An + g) = O
Dt
(111.2 .7)
Si l'on cherche une composante harmonique (An2 réel
négatif) W, l'expression (111.2.7) peut être séparée en
parties réelle et imaginaire:
6 4 2m 2- g(l + Y)An - C4)n - [A + g(1'ic - 1)] = O
Dt
(111.2.8 a)
et
4 2m 2
- gnc(1 + Y)A - Wn - (unAn - g(n + 7G)] = ODt
(111.2.8 b)
Avec les deux expressions (111.2.8), on peut
calculer r en fonction de la fréquence.
La fig. 111.2.3 donne les valeurs de r en fonction
de la fréquence pour une poutre stratifiée en trois couches
avec le modèle d'amortissement hystérétique pour la deuxième
77
couche, G2* = O.1E8(1 + O.3j) N/rn2, E1 = E3 = O.2E12 N/rn2.
Les dimensions des différentes couches (h11h2,h3) sont: (a)
3,4,3 mm. (b) 2,4,4 mm. et (C) 3,2,5 mm.
La fig. 111.2.4 donne les valeurs de rj pour les
poutres stratifiées avec les modules de Young des couches
extérieures = O.2E12 N/rn2, les dimensions h11h21h3 = 3,4,3
mm. Les modules de Coulomb pour la deuxième couche sont: (a)
O.lE8(l + O.3j) N/rn2 (b) O.lE9(l + O.3j) N/rn2 et (c)
O.1E8(1 + O.lj) N/rn2.
Fig. 111.2.3
hl,h2,h3 =
3,4,32,4,43,2,5 mm.
78
1E+01 1E+02 1E+03 1E+04
f (hz)
Fig. 111.2.4
(a) G*.1E8(1+.3j)(b) G*=.lEq(1.3J)(c) G*.1E8(1+.1j)
N/m2
0.30-
0.20-
0.10
0.00
Coefficiei,i dsamoriissement
:.- -_
C
ba
I
79
En général, dans le cas d'une poutre sollicitée en
flexion, les matériaux stratifiés travaillent à la fois en
traction-compression et en cisaillement. Une étude combinant
ces deux cinématiques a été faite par Ross et Kirwin
[16,17]. Plusieurs travaux concernant des configurations
plus spécifiques ont été entreprises par ailleurs.
Les principales conclusions sont les suivantes:
Les composites obtenues avec le revêtement par
plaque de contrainte ont des coefficients d'amortissement,
en général, plus important que ceux qui utilisent la
technique de revêtement simple.
Tous les paramètres géométriques et élastiques de
tous les composantes de la structure influent sur la valeur
du coefficient d'amortissement souvent même de façon très
importante.
En particulier, le module d'élasticité et surtout
le module de cisaillement du matériau viscoélastique
définissent une caractéristique importante du matériau
composite.
80
111.3 COEFFICIENT DE CISAILLEMENT
La prise en compte du cisaillement nécessite
l'introduction d'un coefficient de cisaillement (ou de
Timoshenko) , k. Il rend compte du fait que les contraintes
et les déformations, dont il dépend, ne sont pas distribuées
uniformément sur la section droite. Sa détermination a
suscité de nombreuses recherches qui ont abouti aux diverses
conclusions suivantes:
Timoshenko [6]: Le coefficient de cisaillement,
k, représente le rapport entre le cisaillement moyen sur la
section droite et le cisaillement au centre (pour une
section rectangulaire: k = 5/6).
Cowper [7]: Il définit un coefficient de
cisaillement en fonction des caractéristiques mécaniques du
matériau. (Pour une poutre isotrope, k = lO(l+v)/(12+llv)).
Gay [8]: Le coefficient k dépend de la fréquence.
Fages [9]: Il détermine les variations du coef-
ficient k en fonction de caractéristique mécaniques du
matériau et de la fréquence.
Dans le cas d'une poutre homogène orthotrope:
TX2 h-e.
81
Fig. 111.3.1
Fages n'a pas négligé 033 devant dans les équa-
tions de comportement (à l'encontre des analyses clas-siques
[6], (7]et [8]), les équations du problème sont:
pw2AW + F' = O
F + Mt = - pw2IØ
AW2moment flèchissant: M = -1E1LIt' - v13E13 -
5ß
effort tranchant: F = G13A(kwW' - kØ)
Xi
d' où:
W = flèche moyenne
= rotation
/Al4a = paramètre de fréquence = wJ
E31aI
x = coefficient sans dimension = -Al2
2p = i - -(1 - '13"3l)X2
7
V13L131X2
5ß
A = bh
et les "coefficients correctifs", k et k:
6 1 L1l31/31X2
82
5 5ß 257162kw = (111.3.1 a)
6 1 v31G13
5 16-1 5E3
'3lX21
5ß-yk = (111.3.1 b)
6 1
5 p-y 5E3
Les fig. 111.3.2 à 111.3.4 montrent les coefficients
correctifs (en fonction de x) pour les poutres isotropes
avec des rapports E/G différents.
Fig. 111.3.2
E/G3
Fig. 111.3.3
E/G10
83
2.00-
1 .50-
0.50
0.00
Coefficient correctif
2.00-
0.50
0.00
Coefficient correctif
I -
0.50 1 . 00
X
1 .50 2.00
0.50 1 . 00
X
1 .50 2.00
Fig. 111.3.4
E/G40
84
2.00-
1 .50-
Si.iq1 .00-
0.500.00
Coefficient correctif
0.50 1 .00X
1 .50 2.00
0n appel "valeurs statiques" de k etk0 les valeurs
obtenues en faisant w = 0. On obtient:
6 v31G13kws = kp5 = 1/(
5 5E3(111.3.2)
Dans le cas où la poutre est isotrope, G = E/[2(l+v)]
C'est le coefficient trouvé par Cowper [6].
10(1 + ')
k5 = k5 - (111.3.3)12 + 11v
85
Fages conclut que l'on peut négliger c dans les
équations de comportement et d'utiliser le coefficient
statique, k, jusqu'à x = 1.2 . Le système d'équations
utilisé sera:
pw2AW + F' = O
F + M' = -
moment flèchissant:
effort tranchant:
avec:
M = E1I'
F = G13Ak5(W' -
6 v31G13
5 5E3
Pour une poutre symétriquement stratifiée à 3 couches:
X3
I
Fig. 111.3.3
LTII--1 th
86
Le coefficient de cisaillement (cf. Fages [9))
s écrit:
rk = i / I
L
(111.3.4)
Ainsi défini, il dépend des caractéristiques méca-
niques des matériaux.
On pose:
r 4 1
k = i /[
Rq(i-q) + (l+4q2-2q)R + 3q(l-q)3R(1+q)21
(111.3.5)
Fig. 111.3.5
poutre stratifie'e
G11 tR=- , q=- -
G1 h
1E+02-
1E+O1 -
//
Coefficient de cisailLement
\\ :1
1E+OO
0.00 0.20 0.40 0.bO 0.80 1.00
q.t/h
R1
R.2
R.04
R.005
- R.001
It(ht) G11+ t2 +
(h-t)2+
G1t(h-t)-
G11I
(h+t)21 3 G1 3
87
IV. IDENTIFICATION DES
CARACTERIBTIQUES DES MATERIAUX A
PARTIR D'ESSAIS
Les caractéristiques des matériaux viscoélastiques
peuvent être déterminées selon les méthodes suivantes:
Oscillation libre: En utilisant par exemple une
poutre encastrée ou le pendule en torsion et en mesurant le
décrément logarithmique et la fréquence, on peut déduire les
caractéristiques des matériaux.
Cette méthode donne des résultats satisfaisants pour
les matériaux présentant un amortissement peu élevé et indé-
pendant de l'implitude de solicitation. C'est pourquoi, le
dévelopement des matériaux amortissants possédant des
valeurs de décrément logarithmique supérieures à 10 en
limite l'utilisation.
Méthode de résonance forcée: Cette méthode permet
la détermination des caractéristiques viscoélastiques à
partir de la coube de réponse. Elle reste correcte dans le
cas de matériaux ayant des valeurs d'amortissement assez
élevé niais l'inconvenient réside dans le fait que l'essai
est limité à la zone de résonance. Un appareil standard, qui
utilise une poutre encastrée vibrant en flexion a été
utilisé avec succès par Oberst. Une version améliorée
utilisant un pendule de torsion a été développée par Perez
et al.[20).
88
Vibration forcée en-dehors de la résonance: Pour
des sollicitations harmoniques, le diagramme de contrainte-
déformation présente une boucle d'hystérésis à partir de
laquelle on peut calculer le module et le coefficient
d'amortissement (ou le coefficient de perte) prise égale à
Wd/27TW. Ou, Wd est l'inergie perdue au cours d'un cycle et W
est énergie élastique maximale.
Propagation des ondes: Cette méthode permet
l'étude de quelques caratéristiques physiques d'élastomère.
La fréquence de propagation est assez élevée et la
déformation est petite (moins que iO%).
IV.]. MESURE DIRECTEJ
On peut mesurer directement les caractéristiques
dynamiques (le module de la raideur complexe IK*I et l'angle
de déphasage q )des matériaux en utilisant le visco-
élasticimètre qui est basé sur l'analyse des vibrations
forcées en-dehors de la résonance.
Le principe de la mesure de la raideur dynamique
d'un échantillon dans le cas d'essai en compression est
présentés dans la fig. IV.l.l.
Fig. IV.l.l
F2
89
Le rapport entre la force f2 et le déplacement u1
donne la raideur complexe K* :
K* = K' + jK" = f2/u1 (IV.l.l)
Dans le cas du matériaù viscoélastique, sous l'hypo-
thèse d'un comportement linéaire, on traduit le déphasage
entre la force et le déplacement par un angle q.
u1 = tJ1eJt
(IV. 1.2)
= F2eJ(i)t + q)
En tenant compte de (IV.1.2) dans (IV.1.1), on
obtient:
K' = (F2/tJ1)cos(q)
K" = (F2/U1)sin(p)
soit:
= J(KI)2 + (K")2 = F2/U1
= tan(q)
K* = K(1 + ji7)
Finalement, on peut obtenir le module de Young
complexe E*
E* = (K*L/A)/(1 + fiS2) (IV. 1.3)
avec:
L = longeur de l'échantillon
A = surface excitée de l'échantillon
S = facteur de forme = surface excitésurface laterale
f3 = 2 pour la section circulaire ou rectangulaire
Le viscoélasticimètre mesure les valeurs des carac-
téristiques dynamiques des matériaux en fonction de la
fréquence, la température, la déformation dynamique et la
déformation statique.
Avec le type de solicitation choisi (traction-
compression, cisaillement, flexion, ...), on peut obtenir le
module complexe désiré.
En utilisant le principe d'équivalence temps-
température (les caractéristiques viscoélastiques d'un tel
matériau observées à une fréquence et à une température
données doivent prendre la même valeur pour une autre fré-
quence de solicitation si la température change de façon
appropriée), on peut construire la courbe intrinsèque qui
permet d'obtenir les modules viscoélastiques dans un large
domaine d'utilisation.
90
IV.2 IDENTIFICATION MODALE
Les méthodes dt identification modale sont, pour la
plupart, basées sur un lissage des courbes de la fonction de
transfert. Elles font toutes l'hypothèse d'un amortissement
soit structural soit purement visqueux. Elles sont pour but
de rechercher les modes et les fréquences complexes qui
minimisent l'écart entre les valeurs de la souplesse
dynamique mesurée expérimentalement et celle obtenue
analytiquement.
La fonction de transfert est définie par:
Uk11kl= (IV. 2.1)
F1
avec:
Uk = le déplacement en un point k.
F1 = la force appliquée au point 1.
Dans le cas d'amortissement structural, la souplesse
dynamique d'un système discret s'écrit:
* *knlnH(jw) = E 2 (IV.2.2)
n - +
91
Dans le cas d'amortissement visqueux, la fonction de
transfert s' écrit:
* *N knln
H1(jw) = E * +n=l a (''nn)
avec:
* *T * **T *a = n Cfl + 2snn M
= vecteur propre (en complexe)
M = matrice de masse
C = matrice d'amortissement
*s = fréquence propre
En pratique (par exemple, dans le cas d'amortisse-
ment visqueux), on ne peut pas connaître toutes les modes.
On intraduit alors des caractéristiques résiduelles de la
façon suivante afin de diminuer l'influence de la trancature
modale:
* * *c *n2 knln knln
H(jw) = E * * + *n=n1 an (l'nn) a (jwnSn)
1
+Mw2
92
*c *cknln
*a (jwS) (IV.2. 3)
1 1+ , n1nn2 (IV.2.4)
jwC K
93
Le comportement à base fréquence est traduit par la
masse résiduelle M et l'amortissement résiduel C. Le
comportement à haute fréquence est traduit par la raideur
résiduelle K.
Avec le modèle d'amortissement choisi, la recherche
des paramètres modales s'effectue à l'aide d'un lissage par
la méthode "des moindres carrées". Il existe plusieurs
variantes correspondant à diverses stratégies visant à mini-
miser un critère quadratique.
La méthode classique est d'effectuer le lissage des
fonctions de transfer en utilisant le critère:
N c cE = E [(H(jw) - H(jcifl)][(H(jWfl) - HE(jwn)) (IV. 2. 5)
n=l
La méhode proposée par R. Dat et J.L. Neuzec [22] à
l'avantage de ne pas nécessiter d'estimation préalable.
Cette méthode donne la fonction rationnelle qui représente
au mieux les valeurs expérimentales de la fonction de trans-
fer. Supposons que l'on ait mesuré la fonction de transfert
HE(jwfl) pour des valeurs discrètes, w, de la pulsation.
H(jw) étant une fraction rationnelle, on peut trouver deux
polynômes P(jw) et Q(jw) tels que:
On cherche les coefficients des polynômes P et Q, de
degré donné, qui rendent minimum un paramètre d'erreur
définit par
HE(jwfl) (IV. 2.6)
Q (j w)
94
2
E E HE(jwfl)Q(jwn) - P(jwn) (IV.2.7)n
Lorsque la fraction rationnelle est déterniinée, on
effectue la décomposition en éléments simples. Celi-ci
détermine les modes propres de la structure dissipative: les
pôles définissent les fréquences propres et les amortisse-
nient, les numérateurs définissent la forme propre.
95
IV.3 PROBLEME LIES AUX POLES MULTIPLES
Considérons une poutre encastrée (dans la fig.
IV.3.l) solicitée longitudinalement par la force harmonique
= FeJw.
que:
Fig. IV.3.l
Pour introduire l'amortissement interne dans le
système, on utilise le module de Young complexe. L'équation
de propagation s'écrit:
a2U+ pw2Ü = O (IV.3.l)ri (w)
ox2
Si l'on prends la solution particulière de la nÒ
mode sous la forme:
U(x,t) = + wnt)(IV.3.2)
En rapportant (IV.3.2) dans (IV.3.l), on peut écire
96
kE*(w) 2- PWn = o (IV.3.3)
Dans le cas d'utilisation du modèle de Zener pour le
module de Young complexe
i + a(jw)1w) = E0 (IV.3.4)
i + b(jw)
Pour la solution générale, on peut écrire:
U = (Acoskx + Bsinknx) e(wnt)
(IV. 3.5)
Dans le cas de vibrations libres on doit vérifier
les conditions aux limites suivantes:
U =0 en x =0, nous obetnons
A=0
= O en x = 1, nous obtenonsax
kncOs(knl) = o
d'où knl = iij2 + j7T
On trouve que les modes sont réels:
= sin(knx) (IV.3.6)
avec: kn = (n/2 + jir)/l
En tenant compte de (IV.3.4) dans (IV.3.3), nous
obtenons 3 pôles:
= + iß
Wn,2 = -a + Jßn
W3 = im
Dans le cas de vibration forcée, l'équation de
mouvement s' écrit:
a2UE*(w) + 2U +
ax2 (x=l)
(IV.3.7) et en
1
=- J
rd
o
(IV. 3.9)
97
= O (IV.3.7)
En tenant
multipliant par
compte de
r' (IV.3.7)
1
s'écrit
(IV.3.8) dans
encore:
1
- E*(w) E qnn= 1
d' où:
I nrSo
+ inJpnrd
o
co
qn = E*()k2n=] (E pwn2)
co
q = E (IV. 3.10)n1 d(w - wn,l) (' - ''n,2) (» -
et la solution générale prends la forme:
U = E (x)q(t) (IV. 3.8)
n=l
98
En rapportant la valeur du qn dans (IV.3.8), nous
obtenons la solution du problème:
U(x,t) = E (IV. 3.11)
n1 d(w - c»n,l)(w - )n,2)(w - W3)
Cette expression fait apparaître trois pôles à
l'opposé des expressions classiques utilisées lors de
l'identification modale. Cet exemple simple permet donc de
mettre en évidance les erreurs découlant d'une analyse
modale lors de l'identification des modules complexes.
IV.4 METHODE D'IDENTIFICATION DES PLAQUES DANS LE CAS
ANISOTROPE
Une méthode permettant d'identifier les
caractéristiques mécaniques des plaques anisotropes, à
partir des vibrations forcées, est proposée par Hugo Sol
[4]. Dans cette méthode, la réponse expérimentale a été
mesurée et comparée avec la réponse obtenue analytiquement.
Les paramètres recherchés dans le modèle mathématique (les
rigidités) sont ajustés jusqu'à ce que l'écart entre la
réponse expérimentale et la réponse calculée soit minimal.
La fréquence de résonance est mesurée par le montage
décrit dans le fig. IV.4.l
2
i
99
5
Fig. IV.4.].
éprouvette
fil mince
capteur d'accélélation
amplificateur
analyseur de spectre
avec:
D11 = rigidité en f lexion autour de l'axe Y
D22 = rigidité en flexion autour de l'axe X
D66 = rigidité en torsion
D12, D16, D26 = couplages des rigidités
Dij = Eh3
La réponse a été calculée par la méthode de Ritz (en
utilisant un seul élément, la plaque entière, et le polynôme
de Lagrange comme la fonction de forme).
loo
L'équation de mouvement d'une plaque anisotrope a
été écrite avec les hypothèses suivantes:
La section droite reste droite et pérpendiculaire
à la surface moyenne.
La contrainte normale a est négligiée devant les
contraintes a, cr et Txy.
a4w a4w a4wD11-- + D22- + 2(D12+D26)ax2ay2
ax
a4w a4w+ 4D16 + 4D26
axay
a2w= - ph
at2(IV. 4.1)
101
Pour ajuster les paramètres (les rigidités), il
utilise la sensibilité de la réponse due au changement des
paramètres (la sensibilité a été prise égale à la partie
linèaire de la dérivée partielle du développement de Taylor
de la réponse).
{P) = [S]-{R) (IV.4.2)
avec:
= variation des paramètres
= variation des réponses
S = sensibilités
Il utilise la méthode Baysian (en introduisant {Cp]
et [CR]) pour tenir compte de l'incértitude entre les
valeurs de paramètre du modèle d'origine et celles de
paramètre ajustés et de l'incértitude de la mesure des
réponses expérimentales. Il introduit une constante k
traduisant la confidence relative entre le modèle
mathématique et la réponse mesurée expérimentalement.
Ansi, l'expression (IV.4.2) s'écrit encore:
[Cp]{LP) = k[S][CR](L1R) (IV.4.3)
Il conclue que:
1. La plaque avec les extrèmités libres donne la
meilleur sensibilité pour les changements de la rigidité.
2. En utilisant un seul élément avec le polynôme de
102
Lagrange comme la fonction de forme avec 7 x 7 = 49
noeuds/éléTnent, on peut obtenir d'une façon satisfaisante la
réponse forcée.
3. Pour que la matrice [S] soit inversible ou
pseudo-inversible:
Dans le cas de la matrice [S] diagonale (pas de
terme de couplage de la rigidité), il est nécessaire de
mesurer les fréquences de résonance associées avec les
formes propres fondamentales (torsion et flexions dans les
deux directions).
Dans le cas de la matrice [S] non-diagonale, le
rapport longueur/largeur doit être approprié pour donner le
maximum de sensibilité au diverses caractéristiques des
matériaux.
103
V. IDENTIFICATION NON-NODALE
V.1 PRESENTATION GENERALE DE LA METHODE
On utilise l'expression de l'impédance mécanique
pour identifier les modules de Young et de Coulomb complexes
d'une poutre composite homogène ou symétriquement
stratifiée).
Dans le cas d'une poutre d'Euler: Il n'y a que le
module de Young complexe qui se présente dans l'expression
de l'impédance. L'étude experimentale d'une poutre permet
l'identification du modèle de Young complexe E*(w), par une
méthode d'itération appropriée.
On a choisi une poutre libre-libre excitée en son
centre pour mesurer les valeurs de l'impédance. On détermine
à l'aide de celle-ci et d'un développement limité de l'ex-
pression analytique de l'impédance le module de Young
complexe (par la méthode de Newton). En balayant en
fréquence, on obtient lés vriations du module de Young
complexe du matériau composite (voir organigramme V.3.1).
Dans le cas d'une poutre de Timoshenko: On peut
obtenir les deux modules complexes en utilisant deux poutres
de longueurs différentes. Les deux expressions de
l'impédance conduisent à un système à deux inconnues que
l'on resoud par une procédure méthode itérative.
104
Dans la procédure utilisée, on utilise la poutre la
plus longue pour calculer le module de Young complexe et la
plus courte pour calculer le module de Coulomb complexe à
chaque pas de fréquence. Ainsi, on obtient les deux modules
complexes du matériau composite de façon continue (voir
organigramme V.3.2).
V.2 DEVELOPPEMENT ASYMPTOTIQUE DES IMPEDANCES
Dans cette partie,. on va rechercher un développement
limité des expressions de l'impédance au centre de la poutre
(cf. (11.2.29) et (11.2.67)).
V.2.1 DEVELOPPEMENT ASYMPTOTIQUE DE L'IMPEDANCE AU POINT
COURANT D'UNE POUTRE D'EULER-BERNOUILLI
L'équation de l'impédance (normalisée par la masse,
Mb) d'une poutre libre-libre chargée en son centre s'écrit:
Z0 1 sinh(n*a)cos(n*a) + cosh(n*a)sin(n*a)
- ---( )(V.2.1)
Mb n*a cosh(n*a)cos(n*a) + 1
Désormais, on dénote n*a = x
et avec:
sinh(x) = (X + X3 + X5 + ...)3! 5!
cos(x) = (1 + X4 - ..)2! 4!
d' où:
X = = (n*a)4
a0 = 2
a1=2(1- 1 +1)4! 2!3! 5!
a2=2(- i + 1 - 1 +1)8! 3!6! 4!5! 7!2! 9!
a3=2(1 - 1 + i - i + i - i +1)12! 3!iO! 5!8! 6!7! 4!9! 2!li! 13!
b0 = 2
b1= (- i4! 2!2!
105
cosh(x) = (1 + + X4 + ...)4!
sin(x) = (X - 3 + - ...)5!
On peut reécrire (V.2.1) sous la forme de développe-
ment limité suivant les puissance de x
Z0 ajX1-
Mb ; bx-3-
(V.2.2)
106
Comparons les valeurs exactes et les valeurs appro-
chées (obtenue par le développement du 6ème ordre de
(n*a)4). Des fig. V.2.1 à Fig. V.2.9, on trace les expres-
sions exactes et approchées en fonction de la fréquence (na
a 1w). On constate que, quelque soit la valeur du module de
Youg complexe, la précision des valeurs de 1t impédance
obtenue est très bonne jusqu' au deuxième mode.
2 + 1)8! 6!2! 4!4!
- 2 + 2 - 1 )
12! 10!2! 8!4! 6!6!
Fig. V.2.1
I iImpedance d unepoutre d'Euler
E*.224E10(1+.OIJ)M/m2
Fig. V.2.2
Impe'dance d'unepoutre d'Euler
E*.224E10(1+.1i)M/m2
107
Fig. V.2.3
Impédance d'unepoutre d'Euler
E*.224E10(1+.25j)N/m2
Fig. V.2.4
Jmpdance d'unepoutre d'Euler
E*.224E10(1+.Olj)M/m2
108
lE-03
IE+02
I I
1E+03 1E+04 1E+05
w
IMPEDANCE ap p roch e
IE+02- - exacte
1E+O1 -
EoNJ 1E+OO-O)
-
lE-02-
Fig. V.2.5
Impédance d'unepoutre d'Euler
E*.224E10(1+.li)N/m2
Fig. V.2.b
Impe'dance d'unepoutre d'EuLer
E*.224E10(1+.25J)N/m2
109
1E+02-
1E+01 -
EoM 1E+00Q,
-
-
i E-02 -
lE-03
1E+02 1E+03 1E+04 IE+05
w
- exacte
IMPEDANCE ap p roch e
Fig. V.2.7
Impédance d'unepoutre d'Euler
E*.5E08(1+.01 i)M/m2
Fig. V.2.8
Impédance d'unepoutre d'Euler
E*. 5E08 (1 +. '1 i)
N/m2
110
1E+01 --1
oNJ 1E+00Q)
- lE-01 -
i E-02 -
IE+0i -
oM 1E+00a)-o
- lE-01 -
I E-02 -
lE-03
IE+02 1E+03 1E+04 1E+05
w
ap p roch eIMPEDANCE
i E-f 02 - - exacte
Fig. V.2.q
Impédance d'unepoutre d'Euler
E*.5E08(1+.25j)t1/m2
lu
IE+01 --o
oM 1E+00a)
-
- lE-01 -
lE-02 -
lE-03
1E+02
I I
1E+03 1E+04 1E+05
w
ap p roch eI MPEDANCE
- exacte1E+02-
112
V.2.2 DEVELOPPEMENT ASYMPTOTIQUE D'IMPEDACE AU POINT
COURAÌT D'UNE POUTRE DE TIMOSHENKO
L'expression d'impédance (normalisée par la masse de
la poutre, Mb) d'une poutre libre-libre chargée en son
centre s'écrit:
Z0 [(O*a)2 + (e*a)2J NT(V.2.3)
Nb DT
avec:
2(O*a)2 = (n*a)2(a+ß) + [(n*a)B(a_ß)2 + 4(n*a)4]½
2(e*a)2 = (n*a)2(a+ß) + [(n*a)B(a_ß)2 + 4(n*a)4J½
NT = {*(O*a)c(O*a)sh(*a) - x*(*a)s.(O*a)ch.(e*a)
DT = {2zì*x*(O*a)(*a) - **[(O*a)2 - (e*a)2]s (O*a)sh (e*a)
- [(*a)2 + (X*a)2] (9*a) (e*a)c (O*a)ch. (e*)
[(n*a)4a - (O*a)2]
*X = [(n*a)4a + (e*a)2]
1 r2E*
k a2G*
r2f3=-
a2
pw2a4
E*r2
Désormais, on dénote:
x = (e*a)
y = (*)
X = (*)4
Y = c/ß
Donc, on peut reécrire (V.2.3) comme suivant:
z0 (x2+y2) (*x c.x sh.y - x*y s.x ch.y)
Mb 2,,*x*xy - ,*X*(X2....Y2)S x sh.y - (z.,*2+x*2)xy c.x ch.y
(V.2.4)
d'où, par exemple,
c.x sh.y = cos(x)sinh(y)
En écrivant les expressions circulaires et hyper-
boliques de x et y en développement limité, on peut
récrire (V.2.4) sous la forme de développement limité en
puissance de X, (V.2.5 a), et en puissance de Y, (V.2.5 b),
explicitement.
113
zoNi aX'
Mb - D1 bX1(V.2.5 a)
avec:
N1=-4+X [ a(U1)+ a(ßU2 + U3)+ (ß2U4 + ßU5 + U6)]
+ X2 [ a3(TJ7)
+ a2(ßU8 + U9)+ a(ß2U10 + ßt111 + U12)+ (ß3U13 + ß2U14 + ßU15 + U16)]
+ X3 [ a4(U1)+ a3(ßU18 + U19)+ a2(ß2U20 + ßU21 + tJ22)+ c(ß3U23 + ß2U24 + ßU25 + U)+ (ß4U27 + ß3U28 + f32U29 + ßU30 + U31)]
Ltexpression pour D1 prend la même forme que celle
de N1 en remplaçant les constantes U1 par V1.
N2 = -4 + [ X (ß2U + ßU5 + tJ6)+ x2(ß3u13 + ß2U14 + ßU15 + tJ16)+ x3(ß4u27 + ß3U28 + ß2U29 + ßU30 + U31)+ x4(ß5U47 + ß4U48 + ß3U4g + ß2U50 + ßU51 + U52)+ x5(ß6U74 + ß5U75 + /34U76 + ß3U77 + ß2U78
+ ßU79 + U80)+ x6(ß7tJ109 + ß6U110 + ß5U111 + ß4U112 + ß3U113
+ ß2U114 + ßU115 + U116)]
114
Zo CjY
Mb D2 djYi(V.2.5 b)
115
+ Y [ X (ß2U2 + ßU3)
+ x2(ß3u10 + + ßU2)
+ x3(ß4u23 + ß2U25 + ßU26)
+ x4(ß5u42 + ß4U43 + ß3U44 + + ßU46)
+ x5(ß6tJ68 + ß5U69 + + ß3tJ71 + ß2U72 + ¡31173)
+ X6(ß7tJ102 + ¡3611103 + ß5U104 + ß4TJ05 +
+ ¡3211106 + ¡311107))
X (ß2tJ1)+ x2(ß3u8 + ß2U)
+ x3(ß41120 + ßU21 + ¡321122)
+ x4(ß5u33 + /34U39 + ßU4o + ß2U41)
+ x5(ß6u63 + ß5U64 + + ß3tJ66 + ßU)+ x6(ß7u96 + ß6Ug7 + + ß4Ugg + ß3U100
+ ß3U101))
x2(ß3u7)
+ x3(ß41118 + ß3U19)
+ x4(ß5u35 + + ßU37)
+ x5(ß6u59 + f3U6o + ¡341161 + ß3U62)
+ x6(ß7u91 + + ßU93 + ßU94 + ß3U95)]
x3(ß4u17)
+ x4(ß5u33 + ß4U34)
+ x5(ß6u56 + ß5tr57 + ßtJ58)+ x6(ß7u87 + ß6U88 + ßU89 + ßUgo)]
X4(ß5U32)
+ x5(ß61154 + ßU55)
+ + + ß5U86 + ßU87))
X5(ß6U53)
+ x6(p71182 + ¡361183)]
X6(ß7TJ81)]
116
remarque: Le développement limité en Y , (V.2.5 b), est basé
sur le développement limité de 6ème ordre en X (i=6) dans
l'expression (V.2.5 a).
L'expression pour D2 prend la même forme que celle
de N2 en remplaçant les constantes U1 par V1.
Les constantes Uj et Vj pour les développement en X(6ème ordre) et en y (7ème ordre) sont listés ci-desous:
U( i)=-0. 100000000000000000E+01U( 2)= 0.200000000000000000E+01U( 3)= 0.666666507720947266E+00U( 4)=-0. 10000000000000O000E+01U( 5)= 0.200000000000000000E+0j.U( 6)= 0.i.33333333333333318E+00U( 7)= 0.166666626930236816E+00U( 8)= 0.1666667461.39526367E+00U( 9)= 0.000000000000000000E+00U ( 10) = -0.833333373069763184E +00U( II )=-0 . 399999999999999939E+00U ( 12) =-0 .952380952380952380E-02U( .t3)= 0.500000000000000000E+00U( 14)=-0. i.33333333333333331E+00U( 15)=-0. .L587301587301587J.3E-01U( 16)=-0. 176366843033509536E-03U( 17) =-0 .833333333333333409E-02U ( 18) =-0 .666666666666666380E-01U( 19)=-0. 158730158730158773E-02U( 20)= 0.116666666666666627E+00LJ( 21)= 0.174603174603174573E-01U( 22)= 0.220458553791886903E-03U( 23)= 0.156125112837912638E-16U( 24)= 0.333333333333333303E-01U( 25)= 0.132275132275132262E-02U( 26)= 0.801667468334134137E-05
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=-0 .999629245989519030E-12=-Q 138346636400725886E-13= 0. 285907186948853641E-05
U(103)= 0. 14889251Q259544981E-22U (104)=-0. 104980263710422341E-07U(lOS) =-0 . 205843654334161535E-09U(106 )=-0. 123112233453445940E-11U (107) = 0. 232S993S1173844015E-13U ( 108 ) = 0.6073398512226S5026E -16
= 0. 275573192239858671E-06= 0. 2697919364S86029s3E-07
U( 111)=-0. 1712964G7S92764944E-09U(112)=-0 . 2423335S80383j.1727E-10U (113) =-0 .305149980354694755E-12U( 114)=-0. 14235S174730S08394E-13U(1iS)= 0. 604171046218874351E-16U ( 116 ) = -0. 10S6268334693S9579E -20
V( 1)=-0. 100000000000000000E+01V( 2)= 0.200000000000000000E+0j.V( 3)= 0.200000000000000000E+oj.V( 4)=-0. 100000000O0000000oE+j.V( S)= 0.200000000000000000E+o1V( 6)= 0.333333333333333343E+ooV( 7)= 0.500000000000000000E+00'.) ( 8) =-0 . 500000000000000000E+00V( 9)= 0.833333730697631836E-01V ( 10 )=-0 . 500000000000000000E+00V ( 11) = -0. 1166666S8719390689E +01V ( 12) =-0 . 444444427887598671E-01V( 13)= 0.500000000000000000E+00
U( 79)= 0.925972354179763260E-13U( 80)= 0.801707665956526947E-16U ( 81) =-O . 698327S21244187821.E-06U( 82)= 0.277452100369767040E-05U( 83)= 0.338310523495707831E-07U( 84)= 0.625989558281224747E-05U( 85)= 0.719445163889608sS9E-07U ( 86) = 0. 171296467S92764634E-09U( 87) =0.647597001763668237E-OSU ( 88) = -O . 350729517396184149E-06U ( 89)=-O .359722581944803637E-08U( 90)=-0. 695976243313230180E-li.U ( 91) =-O. 100239748677248661E-04U( 92)=-0. 146972369194591341E-05U ( 93) = -O . 2608600492 19837593E -07U( 94)=-0. 125233551937566768E-09U( 95)=-O. 167836196735186850E-12U( 96)= 0.502921075837742339E-05U ( 97)=-0 .918577307466196210E-06U ( 98) =-0. 349934212368074806E-07U ( 99) = -0.328673410319262873E-09
119
V( J.4)=-0. 833332935969034738E-ojV ( i ) = -0. 444444427887S98671E-01V ( 16)=-0. 7936EO7936507937S9E-03V( 17)=-O.4l6G662447o995o5E-ojV( lB)=-0.74999992s494j40j-+ooV( 19)=-o . 7638BB516369859278E-02V ( 20) = -0. 166866624446709932E +00V( 21)= 0.S2O93334S7SO96764.0jV( 22)= O.iSB73Qj5873OjSB725EO2V( 23)=-O.1666666666666G6G5+ooV( 24)= O.S2O833320916698996E-OjV( 25)= O.63492O634920634833E-02V( 26)= O.S29IOO529i.00529089E-04V( 27) =-0. 416666666666666652E-OjV ( 28)=-0. 7638887647j2S4678O2V( 29)= 0.1E873Qj5873OjS87jO2V( 30)= O.529100529100529089E-04V( 31)= O.267222489444712106E-O6V( 32)= O.13B888888888888883E..02V( 33)= O.1BO565530720286845E...QjV( 34)= O.347222222222222181E..03V( 35)=-O. 194444469279712959E-QjV( 36) =-0. 21826395997664S2 17E-02V( 37)=-0 . 22O45853408 136646 lE-04V( 38)=-0. 194444444441114439E-QjV( 39)=-O.902'ff,'6j22o93j6oeE..o2V ( 40) = -0. 260141O95445479782E-03V( 41)=-o. i2G93O6B24623809 lE-OSV( 42)=V( 43)=-0 . 218263959975545363E02V ( 44) =-0 . 260141095445479782E-03V( 4S)=-o . 3874726O9694.3j79jE..O5V( 46)=-0. 117460434920752371E-07V( 47)= O.13BB88898898898883E..02V( 48)= 0.347222222222222j2..03V ( 49) =-0 . 220458534081366528E-04V ( SO ) = -0. 634653412431i.905j.OE -06V( 51)=-0. 11746O43492O762371E-07V ( 62) =-0 . 2447O92394i823Si.9j.E-.jOV( 53)=-0. 124007936507936423E...04V( 54)=-0. 71924603174603j.630E-03V( 55) =-0. 771604938271605263E-OSV( S6)=-0. 186011904761905331E..O3V( 57)= O.561146384479717850E..O5V( 58)= °.B3SO7O279514722949E...07V( 59)= °.183531746031745960E..02V( 60)= 0284393439iS34j.GSE-O3V( 61)= 0474319919764363jG2E..OSV( 62)= O.1S416G92OB334g7447Q7V ( 63) =-0. 186011904761904799E-03V( 64)= 0284393439153422QE-O3V( 65)= 0.117243867243867237E..04
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121
A l'aide des fig. V.2.10 à fig. V.2.21, on peut
comparer les impédances obtenues par la formule exacte et
celles obtenues par la formule basée sur un développement
limité. On remarque que les valeurs approchées sont de
meilleurs qualités lorsque les rapports E*/G* et r/a sont
petits.
Fig. V.2.10
!mpdance d'unepoutre de Timo-shenko:
E*.224El0(1+.1i)M/m2
*=.44Eoq(1+. li)M/m2
masse densite'.5E4 Kg/m3
r/a. 02a. 10m.
Fig. V.2.11
Impe'dance d'unepoutre de Timo-shenko:
E*.224E10(1+.1i)M/m2
G*.448E0(1+.1 iM/m2
masse densite'.5E4 Kg/m3
r/a. 03a.07 m.
122
1E+01 --Eci
M 1E+00-
lE-01 -
lE-02-
Fig. V.2.12
Impe'dance d'unepoutre de Timo-shenko:
E*.224E10(1+.1i)N/m2
*=.448oq(1+. Ii)N/m2
masse densité=.5E4 Kg/m3
r/a. 04a.05 m.
Fig. V.2.13
Impédance d'unepoutre de Timo-shenko:
E*.224E10(1+.1J)N/m2
G*.112E0q(1+.1i)M/m2
masse densité.5E4 Kg/m3
r/a=. 02a.10 m.
123
1E+01 --o
oM 1E+00a)
- lE-01 -
1 E-02 -
Fig. V.2.14
Impe'dance d'unepoutre de Timo-shenko:
E*.224E10(1+.1i)M/m2
G*=.112Eoq(1+.IJ)N/m2
masse densité.5E4 Kg/m3
r/a. 03a.07 m.
Fig. V.2.15
Impe'dance d'unepoutre de Timo-shenko:
E*.224E10(1+.1J)N/rn2
G*.112E0(1+.1j)N/m2
masse dens it.5E4 Kg/m3
r/a. 04a.05 m.
124
IE+01 -
oM 1E+00a)
- lE-01 -
lE-02--
Fig. V.2.1&
Impédance d'unepoutre deTimo-shenko:
E*.224E10(1+.1J)N/m2
G*448Eoq(1+ li)F'l/m2
masse densité=.5E4 Kg/m3
r/a. 02a.10 m.
Fig. V.2.17
Impédance d'unepoutre de Timo-shenko:
E*.224E10(1+.1j)N/m2
G*=.44Eoq(+, 1jM/m2
masse densité.5E4 Kg/m3
r/a. 03a.0(o7 m.
125
1E+01 -
oM 1E+00a)
lE-01 -
i E-02 -
1E+01 -
EoM 1E+00a)
-ci
- lE-01 -
lE-02-
Fig. V.2.18
Impédance d'unepoutre de Timo-shenko:
E*.224E10(1+.1j)N/m2
G*=.448Eoq(+ Ii)M/m2
masse dens it=.5E4 Kg/m3
r/a. 04a.05 m.
Fig. V.2.lq
Impédance d'unepoutre de Timo-shenko:
E*.224E10(1+.1j)N/m2
G*.112Eoq(1+.j)M/m2
masse densité.5E4 Kg/m3
r/a. 02a.10 m.
126
Fig. V.2.20
Impédance d'unepoutre de.Timo-shenko:
E*:.224E10(1+. Ii)N/m2
G*. 11 2E0 (1 +. i J)
N/m2masse dens ite'
.5E4 Kg/m3r/a. 03
a.0,7 m.
Fig. V.2.21
Impe'dance d'unepoutre de Timo-shenko:
E*.224E10(i+.1J)M/m2
G*=.li2Eoq(i+.1J)N/m2
masse dens ite'
.5E4 Kg/m3r/a. 04a.05 m.
127
1E+0l -
.01E+00
a)
- lE-01 -
lE-02-
1E+01 --zoM 1E+00a)
- lE-01 -
lE-02-
V.3 OBTENTION DU MODULE DE YOUNG COMPLEXE DANS LE CAS D'UNE
POUTRE D' EULER-BERNOUILLI
L'expression de l'impédance normalisée (V.2.2)
s 'écrit:
InE a1X'
Z0 i=0(V.3.1)
Mb fiE bX'
i=0
d'où:
128
X = (*)4 pw2a4
E*r2
Avec les valeurs de l'impédance normalisée Z/Mb,
mesurées expérimentalement en variant la fréquence c, on
peut calculer les valeurs du module de Young complexe E*(w)
associées à chaque fréquence par la méthode d'itération
décrite par l'organigrainnte V.3.1 présenté ci-dessous.
129
organigramme V.3.1
(Debut)
*valeur initiale: E0
données: valeurs géométriques de la poutref
boucle j = 1,J
données: w
calculer X0
resoudre Xj dans (V.3.1) par
méthode de Newton
chercher Xj = Xjj le plus proche de X0 (et associé)
1* *E1 = E0
* *E0 = E
130
* *écrire: et E
(Fin)
non
d'où:
X = (na)4 -
131
V.4 OBTENTION DES MODULES DE YOUNG ET DE COULOMB COMPLEXES
DANS LE CAS D'UNE POUTRE DE TIMOSHENKO
En utilisant l'expression (V.2.4):
InE a1X1
Z0 i=0
Mb In
E bX'i=0
(V.4.1 a)
xn+l
E cjYJj =0
= (V.4.1 b)m+lE dYJ
i=0
a 1E*
ß kG*
En mesurant les valeurs de l'impédance normalisées
Z/Mb de deux poutres de deux longeurs différentes, on peut
obtenir les deux modules de Young et de Coulomb complexes du
matériau composite par la méthode d'itération décrite par
l'organigramme V.4.1 présenté ci-dessous.
pw2a4
E*r2
132
Organigramme V.4.1
(Debut)
valeur initiale: E0, G0
données: valeurs géométriques des deux poutres
i = l,L
1 1 2 2données: Z1 et w3, Z1
Ica1cixo I
avec la poutre longue et (V.4.1 a) resoudre
pour X1j par la méthode de Newton
*cherche X1 = X1,j le plus proche de X0 (et E1 associé)
* *E0 =E1
133
1ca1cu1e. Y
avec la poutre coutre et (V.4.1 b) resoudre
pour Y11 parla méthode de Newton
*
chercher Y1 = Y11 le plus proche de Y0 (et G1 associé)
* * * *
et* * * *E0 = E1 G0 = G1
* *[{1 - (G1/G1))
* *et (1 - (E1/E1))] <
(Fin
* *écrire: l' E1, G1
non
134
Les fig. V.4.1 à V.4.2 donnent les modules de Young
et de Coulomb complexes obtenus par les méthodes décrites
dans les paragraphes V.3 et V.4 dans le cas d'un
amortissement hystérétique (E = = 0.1). Les courbes (a):
On utilise la méthode décrite dans le paragraphe V.4 pour
calculer les deux modules complexes à la fois. Les coubes
(b): On utilise la méthode décrite dans le paragraphe V.3
pour calculer le module de Young complexe.
Les fig. V.4.3 à V.4.4 donnent les modules de Young
et de Coulomb complexes obtenus par les méthodes décrites
dans les paragraphes V.3 et V.4 dans le cas d'un
amortissement visqueux (en prennant le modèle de Zener). Les
courbes (a) représentent les valeurs exactes. Les courbes
(b): On utilise la méthode décrite dans le paragraphe V.4
pour calculer les deux modules complexes à la fois. Les
coubes (c): On utilise la méthode décrite dans le paragraphe
V.3 pour calculer le module de Young complexe.
Dans les deux cas d'amortissements cités ci-dessus,
les résultats obtenus dans la cadre de Timoshenko (pour le
module de Young complexe) sont plus proches des valeurs
exactes que ceux obtenus dans le cadre d'Euler.
Fig. V.4.1 (a)
moduLe de YoungcompLexe identifie
Timoshenko:iteration pourE* et G*
EuLer:
iteration pour E*
données génere'esen prennant:r/a1.04, r/a2.08E*.224E10(l+..li)
M/m2E*/G*5
Fig. V.4.1 (b)
135
d.
2,00E'-oq-
3. OOE#O-
2. 5OE+Ei-
ModuLe de Young
Th
ba
0.30-
0.20-
0.10
Coefficient darnortiz5ement
0.00
1E+02 IE+03 1E+04
t.J
ba
1.5OE+O-
1.DOEO
1E+02 1E+03 1E+04
w
Fig, V.4.1 (c)
Fig. V.4.1 (d)
136
ModuLe de CouLomb
J
0.30-
0.20-
0.10
Coefficient d'amortissement
0.00 I
1E+02 1E+03 1E+04
w
module de Coulomb,complexe identifie
?.OE+O8
b.OE+08-
5.OE+08
, q OE+08-
3.OE+O-
2.OE+08
1E+02 1E+03 1E+04
w
Fig. V.4.2 (a)
module de Youngcomplexe identifie
Timoshenko:iteration pourE* et G*
Euler:iteration pour E*
données génere'esen prennant:r/a1.04, r/a2.08E*.224E10(1+.1J)
M/m2E*/G*40
Fig. V.4.2 (b)
137
2OOE+E$3
u
i ,soE0q-
Module de Young
3. DØE+oq-
b
2 5E .0- a
0.30-
0.20
w
0.10-
0.00
1E+02
Coefficient d'amortissement
1E+03
w
1E+04
ba
1,00E+0
1E+02 1E+03 1E+04
w
Fig. V.4.2 (c)
module de Coulombcomplexe idertifie'
Fig. V.4.2 (d)
138
Module de Coulomb
Coefficient d'amortissement
0.30-
0.20-
0.10
0.00 I
1E+02 1E+03 1E+04
w
1E+02 1E+03 IE+04tAJ
Fig. V.4.3 (a)
module de Youngcomplexe identifié
valeur exacte
valeur obtenueavec Le cadre desapproximations deT i moshenko
vaLeur obtenueavec le cadre desapprox i mat ions
d'EuLer
donne'es génere'esen prennant:
E*(Zener)Eo.224E10 N/m2a.004 ; b.002
G* (Zerier)Go.448E0q N/m2
Fig. V.4.3 (b)
139
ModuLe de Young
-
r
r
C
ba
Coefficient d'amortissement
C
baa=.00, ; b.003
r/a1.04r/a2.08a1.05 m.a2.025 m.
masse densit4.5E4 Kg/m3
4
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
u
5. OE+0-
4. OE+O -
3.OE+O-
/
/r
2. OE+0
1E+02 1E+03 IE+04
w
1E+02 1E+03 1E+04
w
Fig. V.4.3 (c)
module de Coulombcomplexe identifie'
valeur exacte
résuLtatd' iteration
140
S.OE+08-
8.OE+08
i7.OE+08
Module de Coulomb
ba
(J b. OE+08-
5.OE+08-
4. OE+08
IE+02 IE+03
w
1E+04
Fig. V.4.3 (d) Coefficient d'amortissement
0.50-
b
0.40- a0.30
w
0.20-
0.10-
0.00
1E+02 1E+03
w
IE+04
Fig. V.4.4 (a)
module de Youngcomplexe identifié
valeur exacte
vaLeur obtenueavec Le cadre desapproximations deT imoshenko
valeur obtenueavec le cadre desapprox i mat ions
d'Euler
donrt4es gènere'esen prennant:
E*(Zener)Eo.224E10 M/m2a.004 ; b.002
G*(Zener)Go=.5ÇE8 M/m2a.00 b.003
r/a1.04r/a2. 08a1.05 m.a2.025 m.
masse densité.5E4 Kg/m3
Fig. V.4.4 (b)
4.OE+0
u
2.OE1-0
1E+02
Module de Young
//
/J
1E+03 IE+04
w
Coefficient d'amortissement
1E+02 1E+03 1E+04
w
0.50- C
b
0.40- -a0.30
\ç:- \0.20 \
\
0.10i"
0.00
5.0E+0- C
ba
Fig. V.4.4 (c)
module de CoulombcompLexe ¡dentifi4
valeur exacte
résuLtatd' iteration
Fig. V.4.4 Cd)
142
Module de Coulomb
ba
U,
ao.co. Q-
Q
1E+02 1E+03 1E+04
w
Coefficient d'amortissement
0.50-
b
0.40-a
0.30
L:.
0.20-
010
0.00 I
1E+02 IE+03 1E+04
w
143
V.5 LISSAGE DES COURBES PAR DES MODELES VISCOELASTIQUES
CLASSIQUES
On peut faire le lissage des modules complexes
obtenus par les méthodes décrites aux paragraphes V.3 et V.4
en utilisant la méthode des moindres carrés.
Les modèles classiques des modules complexes
s ' écrivent:
nE a(jw)'i=o
= (V.5.1)n
1 + E b1(jw)1=1
Afin de rapprocher les valeurs calculées à l'aide du
modèle analytique (w), des valeurs itérées E(w), obtenues
pour m pulsations wk, on définit le critère de minimisation:
m= E (wk)e(wk) (V.5.2)
k= i
soit:
n n= E(wk) [1 + E b1(jw)3-] - E
1=1 i=O(V.5.3)
On recherche les valeurs de a et b1 qui minimise la
fonction q'
144
d'où =0 (V.5.4 a)
L'expression (V.5.4 b) nous donne:
ni n 1 1
- E E a [ E(wk) (jwk) (jwk) + E(wk) (jwk) (jwk)k=1 i=0
ni n. q 1 1 cq+ E E bq [ E(wk)E(wk) (iwk) (jwk) + E(k)E(k) (i'k) (îwk)
k=1 q=]
in C C' C= - E [ E(w)E(w)(jw) + E(w)E(w)(jw)
k=1(V.5.5 b)
(V.5.4 b)
(V.5.5 a)
et =0ab1
L'expression (V.5.4 a) nous donne:
in n i ci C C'- E E b1 [ E(wk) (jwk) (jwk) + E(wk) (jwk) (jwk)k=1 1=1
in n p i cP+ E E ap [ (jwk) (jwk) + (i'k) (jwk) J
k=1 p=0
nl c C= E [ E(wk) (iwk) + E(wk) (jwk)
k= 1
On pose:
x=... =1. b
145
On peut mettre les expressions (V.5.5) sous la forme
matricielle:
Lr
Caa cab
]J = (V.5.6)
Cba cbb b1J bJ
avec:
m p c- cPCaa = E [ (jwk) (jwk) + (jwk) (iwk)
k= 1(p=O,.. ,n; i=O,.. ,n)
m 1 i i
cab = - E [ E(wk) (i'k) (jwk) + E(wk) (i''k) (jwk) ik= 1
(i=O,.. ,n; 1=1,.. ,n)
m c- c c--
Cba = - E { E(w)(jw) (jwk) + E(w)(jw) (i'k)k= 1
(1=1,.. ,n; i=O,.. ,n)
c q c1 cq 1
Cbb = - E E(wk)E(wk) [ (jwk) (i'k) + (jw) (jwk) Jk=l
(q=1,.. ,n; 1=1,.. ,n)
et
in ci C= E [ E(w)(jw) + E(w)(jw)
k=1
avec:
cil = 2
In
C12 = C21 = 2j E [Re(ok)]k=i
c22 = -2E[(Re(wk))2 + {Im(cok))2]
146
(i=0,.. ,n)
En résolvant (V.5.6), on peut obtenir a1 et b1
Exemple: Modèle de Zener
le module complexe s'écrit:
a0 + a1(jw)E(w) = (V.5.7)
i + b1(jw)
L'expression (V.5.6) devient:
c11 c12 . C13 - aol I s1c21 c22 . C23 I ail I 2
.. . = (V.5.8)c31 c31 . c33 - b1J I s3
in C l 1
Sb = E E(wk)E(wk) I (jwj) + (jwk) ) (1=1,.. ,n)
k= i
147
In
C13 = C31 = -2j E [Re(E)Re(wk) + Lfl(E)Im(wk))k=1
InC23 = C32 = 2 E Re(E)[(Re(wk))2 + {IIn(wk))2)
k= i
In
C33 = -2 E [{Re(E))2 + (IIn(wk)}2] [{Re(wk))2 + {IIn(wk))2)k=1
In
s1 = 2 E [Re(E)]k= i
ms2 = 2j E [Re(E)Re(wk) - IIn(E)IIn(wk)]
k=1
InS3 = 2j E Re(wk) [{Re(E)}2 + (Lu(E))2]
k= 1
148
VI. ASPECT EXPERIMENTAL
VI.1 METHODE EXPERIMENTALE
On utilise un appareil pour mesurer l'impédance
d'une poutre libre-libre coiame le décrit la fig. V.1.].
U4
¿prouvetti5
Fig. VI.1.1
86 6 7
i
LI-3(
Dispositif:
générateur et amplificateur de puissance
excitateur
3. capteur de force piézo-électrique
capteur d'accélération piézo-électrique
pré-amplificateur
filtres suiveurs
diviseur phasemètre
ordinateur
Les erreurs de mesure de l'impédance peuvent pro-
venir des erreurs géométriques (pour détérminer le centre de
la poutre), des erreurs de l'impédance du capteur et des
erreurs de mesure provoquées par le bruit de la chame de
mesure.
Pour minimiser les erreurs de mesure provoquées par
la masse du capteur, on utilise la méthode décrite dans les
paragraphes suivants.
VI.1.2. INFLUENCE DES ERREURS DE MESURE PROVOQUEES PAR LA
MASSE DU CAPTEUR
149
Fig. VI.l.2
150
F = force d'excitation
M = masse ajouté totale
-y = accélération au centre de la poutre
Z = impédance de la poutre
La force excercée sur la poutre s'écrit:
F = M-y + Z-y (VI.l.1)
= ZexpY
d'où Zexp est la valeur de l'impédance mesurée expé-
rimentalement.
Donc, on peut déduire que la valeur execte de
i ' impédance
Z = Zexp - M (VI. 1.2)
On fait les deux hypothèses suivantes:
L'accélération reélle y, est proportionnelle à la
valeur d'accélération mesurée et on peut écrire
-y = a(w)-ym (VI.l.3) -
De même, la force effective Fef f, est propotion-
nelle à la force mesurée Fm:
Feff = ß(w)Fm (VI. 1. 4)
151
Par définition, l'impédance
Fz=--
7
Si l'on corrige les erreurs causées par la masse des
capteurs, on peut écrire:
Fef f -Z - (VI.1.6)
-I
En utilisant les deux hypothèses citées
précédemment, on peut écrire
ßFm - Ma-ImZ=
cr-Im
(ß/cr)Fm - Mym
Finalement, l'expression de l'impédance est
(ß/a) - M(m/Fm)Z - (VI.l.7)
(m/'m)
Maintenant, si l'on mesure la valeur de l'impédance
sans poutre, la valeur de l'impédance Z doit être égale à
zéro. En rapportant le résultat dans l'expression (VI.l.7),
on déduit que
ß/a = M(7m/Fm) capteur
(VI. 1.5)
(VI.l.8)
Ainsi, on peut obtenir la valeur corrigée de l'impé-
dance en rapportant le rapport ß/cr dans l'équation (VI.]..7).
M(im/Fm)capteur - M(ym/Fm)z - (VI.l.9)
(Yt/ Fm)
VI.l.2 INFLUENCE DES ERREURS GEOMETRIQUES
Ces erreurs viennent de l'incertitude de la déter-
mination du centre de la poutre où la force a été excercée.
a
'r
La fig. VI.l.2 décrit une poutre libre-libre, de
masse Mb, excitée par une force sinusoïde à la distance j.a
d'une extrémité de la poutre, d'où le paramètre j est
définit par
(1 - a)(VI. 1.10)
152
a
o
Fig. VI.l.3
153
supposons que la précision de la détermination de la
longeur 1 de la poutre est de l'ordre i0 ni., si la
longeur de la poutre est égale à 0.2 in. et l'erreur fl-max
l0 ni., on peut déterminer la valeur maximum du paramètre jipar l'expression (VI.l.l0)
umax = ((1 -
1/2 - 1max
1/2 + Almax
= 0.9802
La valeur maximale supposée a été utilisée pour
examiner l'effet sur l'impédance et sur le module de Young
complexe d'une poutre de Timoshenko (en utilisant la formule
(11.2.66)).
Les fig. VI.l.4 à VI.1.l5 on peut comparer
l'impédance de la poutre chargée au centre (ji = 1) et
l'impédance de la poutre avec la charge décentrée (ji < 1)
dans le cas du modèle d'amortissement hystérétique avec =
= 0.01 et 0.1 et dans le cas du modèle d'amortissement de
type Zener. Quand la charge est décentrée, on remarque que
la fréquence de résonance et d'antirésonance sont décalées
vers la haute fréquence.
Pour la poutre dont la charge est décentrée, on
remarque la présence de quelque pics intermédiaires (très
faibles) à haute fréquence, notament lorsque l'amortissement
est faible. On peut alors les prendre en compte pour
effectuer le controle de la qualité de l'essai.
154
A l'aide des fig. VI.l.16 on peut comparer le module
de Young complexe obtenu avec la charge au centre ou avec la
charge décentrée. On trouve que les valeur obtenues sont
très différentes à proximité des pics supplimentaires.
Fig. VI.1.4
Impédance daunepoutre de Timo-shenko:
I.L1
1=.8
E*.224E10(1+.01i)M/m2
*=.7o5Eoq(1+.01J)M/m2
masse dens ite'.5E4 Kg/m3
r/a. 02a.10 m.
Fig. VI.1.5
Impe'dance d'unepoufte de Timo-shenko:
1.
E*.224E10(1+.1 i)M/m2
G*.705E0c3(1+. li)M/m2
masse dens ite'.5E4 Kg/m3
r/a. 02a.10 m.
155
Fig. VI.1.b
Impe'dance d'unepoutre de Timo-shenko:
1
i'=.%
E*.224E10(1+.O1J)M/m2
G*=,705EOq(1+.O1J)M/m2
masse dens it.5E4 Kg/m3
r'a. 04a.05 m.
Fig. VI.1.7
Imp4dance d'unepoutre de Timo-shenko:
i.t1
i.&=.%
E*.224E10(1+.1i)M/m2
G*=.7o5Eoq(1+. li)M/m2
masse densité.5E4 Kg/m3
r/a. 04a.05 m.
156
1E+01 -£3
oN IE+00-Q)
- lE-01 -
lE-02-
1E+01 -ci
oN 1E+00Q)
- lE-01 -
lE-02 -
Fig. VI.1.8
Impédance d'unepoutre de Timo-shenko:
.t1
E*.224E10(1+.O1J)M/m2
G*.5(00E08t1+.01 jM/m2
masse dens it.5E4 Kg/m3
r/a. 02a.10 m.
Fig. VI.1.
Imp4dance d'unepoutre de Timo-shenko:
.t1
E*.224E10(1+.1J)N/m2
G*.50E08(1+. li)M/m2
masse dens it.5E4 Kg/rn3
r/a=. 02
a.10 m.
3.57
1E+01 -
EoM 1E+00a)
1E01 -
i E-02 -
1E+0l --o
oM 1E+00Q)
lE-01 -
lE-02-
Fig. VI1.10
Impédance d'unepoutre de Timo-shenko:
i.&=.%
E*.224E10(1+.01j)N/m2
G*.%0E08(1+.01j)N/m2
masse densité.5E4 Kg/m3
r/a. 04a.05 m.
Fig. VI.1.11
Impdarice d'unepoutre de Timo-shenko:
111
L.%
E*.224E10(1+.1J)M/m2
G*.5OEO8(1+. li)M/m2
masse dens it.5E4 Kg/m3
r/a. 04a05 m.
158
1E+01 --o
oNJ 1E+00w
- lE-01
lE-02-
Fig. VI.1.12
Impédance d'unepoutre de Timo-shenko:
I.L1
1.=.q8
avec:modèle de ZenerEo.224E10 N/m2a.002b.001
Go.705E0q M/m2a.001,b. 0008
masse dens it=.5E4 Kg/m3
r/a. 02l/2.10 m.
Fig. VI.1.13
Impédance d1unepoutre de Timo-shenko:
A1
i.t.%avec:modèle de ZenerEo.224E10 N/m2a.002b.001
Go.7O5EOq N/m2a.001b.0008
masse densité.5E4 Kg/m2
r/a. 04l/2.05 m.
159
Fig. VI.1.14
Impédance d'unepoutre de Timo-shenko:
i1
1i.q8
r/a 02l/2.10 m.
Fig. VI.1.15
Impe'dance d'unepoutre de Timo-shenko:
-t1
160
IMPEDANCE
1E+02-
b
1E+01 -
E aoNJ 1E+00
0 2 4 b 8 10 12
na
(b) I.A.%
avec:modèLe de Zener
oNJ 1E+00Q)
-D
Eo.224E10 M/m2a.002b.001
- lE-01 -
Go.5b0E08 M/m2a.00lbb. 0008
masse densite'.5E4 Kg/m3
1 E-02 -
lE-03I I I I t I
r/a. 04L/2=.05 m.
0 2 4 b
na
8 10 12
avec:modèle de Zener
Q)
Eo=.224E10 M/m2a.002b.001
- lE-01 -
Go.5b0E08 N/m2a.001bb. 0008masse densité
5E4 Kg/m3
1 E-02 -
lE-03I I I I I
IMPEDANCE
1 E+02 -
b
1E+01 -- a=
Fig. VI1.lb (a)
module de Youngcomplexe identifie'en négligeant leseffets secondaires
données gêneréesen prennant:
.t1
i.q8
E*.224E10(1+.O1J)
Fig. VI.1.lb (b)
161
3. OOE+09-
Module de Young
na
ba
Coeff Ic lent d 'amort issement
0. 100 -
na
0.080-
0.ObO-
0.040-
0.020-
ba
0.000
0
I
2
I I
4 b 8
I
10
r/a.02a10 m.
masse densité.5E4 Kg/m3
0
I
2
I
4
I
b
I
8
I
10
162
VI.2 INFLUENCE DES ERREURS DE MESURE
On voit bien dans les deux paragraphes précédents
que l'on peut corriger les erreurs dues à la masse du
capteur tandis que les erreurs géométriques induisent des
écarts au voisinage des pics interitédiaires et quand
l'amortissement est faible. Il reste à étudier l'influence
des erreurs causées par le bruit de la chame de mesure.
Dans ce but, on a simulé le bruit de la chame de
mesure par un bruit blanc à 2% (valeur moyenne carrée) de
l'impédance gênerée en utilisant le modèle d'amortissement
hystérétique avec le coefficient d'amortissement égale à
0.2 et en changeant le rapport E*/G* et r/a.
Avec le développement limité au 6eme ordre, la zone
de validité fréquentielle se limite au voisinage de la
première fréquence de résonance. Si l'on compare les fig.
VI.2.2 et VI.2.3, on constate que le module de Young itéré
des premières figures est meilleur que celui des dérnières
parce que son impédance approchée est plus proche de
l'impédance exacte. Par contre, le module de Coulomb est
beaucoup plus sensible au bruit.
Si l'on compare les fig. VI.2.1 et VI.2.3, on trouve
que la zone de résonance dont la zone de validité
fréquentielle se décale avec des longueurs de poutre
différentes.
De ces essais on peut conclure que la qualité des
résultats et la zone de validité fréquentielle dépendent de
163
la qualité de l'impédance, des effets secondaires et de
l'élancement de la.poutre.
Néanmoins dans le cadre d'un essai réel,
l'identification du module de Coulomb devrait être de
meilleur qualité car la simulation des erreurs de mesure par
un bruit blanc introduit un caractère aléatoire lors de la
simulation numerique extrèmeinent pénalisant. Ainsi un erreur
de calibration de 4% d'un des capteurs de force ou
d'accélération et une erreur de 4% sur la phase
n'introduisent qu'un écart relativement faible sur les
modules identifiés comme le montre les Fig. VI.2.4.
Fis. VI.2.1 (a)
module de Youngcomplexe ientifi
avec:2Z de bruitE*(exacte)
164
1,000 2,000 3,000 4,000 5,000
w
1,000 2,000 3,000 4,000 5,000
w
Fig. VI.2.1 (b) Coefficient d'amortizsement
0.50-
0.40-
0.30-
0.20-
0.10
0.00i i i i
.224E10(1+.2j)N/m2
G*(exacte)=.112EOq(1+.2i)
F'1/m2
r/a1.04, a1.05 ni.r/a2.0, a2.033m.masse densite'
.5E4 Kg/m3
w2.OE+O-
1.OE+Oi i i
Module de Young
4.OE+0c3_
3.OE+OS-
Fig. VI.2.1 (c)
moduLe de CouLombcompLexe identifié
Fig. VI.2.1 (d)
165
Module de Coulomb
4.OE+0ô-
3.OE+08-
2.OE+0-
1.OE+08
I I I
1,000 2,000 3,000 4,000 5,000
w
0.bO-
0.50-
0.40
É0.30-
0.20-
0.10
Coefficient d'amortissement
I
I'
J
0.00 - t 'I1,000 2,000 3,000 4,000 5,000
- w
Fig. VI.2.1 (e)
comparaison entreimpedance exacte(avec 2Z de bruit) et¡mpdance approche'e:
E*.224E10(1+.2J)M/m2
E*/G*20
valeur exacte
valeur approchée
166
Fig. VI.2.2 (a)
module de Youngcomplexe identifie'
avec:2'4 de bruitE*(exacte).224E10(1+.2j)
M/m2G*(exacte).448E0(1+.2j)
N/m2r/a1.08, a1.025m.r/a2.10, a2.020m.masse densité
.5E4 Kg/m3
Fig. VI.2.2 (b)
167
1.OE+O9i i i
b,000 8,000 12,000 lb,000
w
Coefficient d'amortissement
0. 0
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
b,000 8,000 12,000 1b000w
Fig. VI.2.2 (c)
module de Coulombcomplexe identifie'
Fig. VI.2.2 (d)
7.OE+08-
b.OE+08-
3.OE+08t?'
J
Module de Coulomb
I
I
I
2.OE+Oôi i i
b,000 8,000 12,000 lb,000
w
Coefficient d'amortissement
0. bO
0.50
0.40
1.
0.20J.
0.10
0.00
b,000 8,000 12,000
w
lb ,000
Fig. VI.22 (e)
comparaison entreimpedance exacte(avec 2Z de bruit) etimpe'dance approche'e:
E*.224E10(1+.2i)M/m2
E*/G*5
vaLeur exacte
vaLeur approche'e
169
Fig. VI.2.3 (a)
module de Youngcomplexe identifié
avec:2Z de bruitE*(exacte)
Fig. VI2.3 (b)
170
b,000 8,000 10000 12,000
w
.224E10(1+.2i)N/m2
G*(exacte).112Eoq(1+.2i)
Lii2.0E+0-
N/m2r/a1.08, a1.025m.r/a2.10, a2.02 in.masse densité
.5E4 Kg/m3 1.OE+0I I i I
Module de Young
4.OE+O-
3.OE+O
Coefficient damortissement
0. bO
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
b,000 8,000 10,000 12,000
w
Fig. VI.2.3 (c)
module de Coulombcomplexe identifie'
Fig. VI.2.3 (d)
ModuLe de Coulomb
'. OE+0ô
3.OE+08
2.OE+08
1.OE+08
b,000 8,000 10,000 12,000
w
Coefficient d'amortissement
0.50-
0.40
o0.30
0.20
0.10
f0.00 I I I
b,000 8,000 10,000 12,000
w
Fig. VI.2.3 (e)
comparaison entre¡mpdance exacte(avec 2Y de bruit) etimpédance approchée:
E*.224E10(1+.2J)N/m2
E*/G*20
valeur exacte
valeur approchée
172
.224E10(1+.2i)M/m2
G*(exacte)
=.112EOq(1+.2J)N/m2
r/a1.041 a1.05 m.r/a2.0, a2.033m.masse dens ite
.5E4 Kg/m3
Fig. VI.2.4 (b)
173
Coefficient d'amortissement
0.bO-
1E+02 1E+03 IE+04
w
0.50- a0.40-
0.30-
0.20
0.10-
0.00 I I
Fig. VI.2.4 (a)
module de Youngcomplexe identifié
(a) sans erreurde mesurede L' impédance
(b) avec 44 deserreurs decal ibrat ion
E*(exacte)
4.0E+O-
w
Module de Young
ba
1.OE+0
1E+02 1E+03 1E+04
w
Fig. VI.2.4 (c)
module de Coulombcomplexe identifié
Fig. VI.2,4 (d)
0.20-
0.10
0.00I
1E+02 1E+03 1E+04
w
Coefficient damortissement
0.50-ba
0.40o
0.30-
Module de Coulomb
4.OE+Oô-
b
3.OE+O a2.OE+Oô-
u,
1.OE+O8-
1E+02 1E+03 1E+04
w
175
VII. EXEMPLE DE VALIDATION
VII.2. POUTRE HOMOGENE
On utilise une poutre en P.V.C. de dimensions
suivantes:
F
Fig. VII.l.1
masse densité = 1306.1 kg/in3
épaiseur = 3.12 Innì.longueur = 182 min.largueur = 30 min.
176
La poutre a été excitée en son centre et le module
ainsi que la phase de l'impédance ont été mesurés par la
méthode décrite en chapitre VI. Les résultats expériméntaux
sont présentés dans les fig. VII.l.2 à VII.l.4.
En négligeant les effets secondaires, on identif je
le module de Young complexe par la méthode décrite au
paragraphe V.3. Le résultat est présenté dans les fig.
VII.l.5.
Pour étudier l'influence du module de Coulomb, on
réalise une itération du module de Young complexe avec la
formule utilisée pour la poutre de Timoshenko en prennant le
rapport de E*/G* constant égale à 3. On ne trouve pas
beaucoup de changement dans le résultat tel qu'il est décrit
dans les fig. VII.1.6 (l'écart important à haute fréquence
est du à l'emploi du polynôme du 9eme ordre en (n*a)4 dans
le cadre d'Euler et à du polynôme de 6ème ordre dans le
cadre de Timoshenko).
Les fig. VII.1.7 (les courbes (c)) mentrent les
résulats obtenus en lissant les modules complexes identifiés
à l'aide du modèle classique défini en équation (V.5.1)
soit:
3
E aj(jw)'i=O
*E (w) =3
1 + E b1(jw)-1=1
Les fig. VII.1.7 (les courbes (b))montrent les
résultats obtenus avec un lissage à l'aide d'un modèle de
derivées fractionnaires du module de Young défini par:
1E a(jw)a
i=0
177
1 + b1(jw)ß
On obtient:
a = ß = 0.5
a0 = 0.1361El0
a1 = 0.3567E8
b1 = 0.1193E-1
A l'aide de la procédure décrite en équation
(V.5.6), on obtient:
a0 = 0.1631E10
a1 = 0.7840E6
a2 = 0.4665E2
a3 = 0.1130E-1
b1 = 0.3442E-3
b2 = 0.2517E-7
b3 = 0.4776E-11
=
Fig. VI!.1.4
poutre P.V.C.
179
180
Fig. VII.1.5 (a)
module de YoungcompLexe identifie'E*=E(1+itiE)
Module de Young
3. OOE+E$3
2. 50E+E$3-
2.00E+0-
Li
i ,5+0-
I I I
0 500 1,000 1,500 2,000
f (hz)
0 500 1,000 1,500 2,000
f(hz)
Fig. VII.1.5 (b) Coefficient d'amortissement
0.50-
0.40-
0.30-
0.20
0.10-
0.00 I I I
Fig. VII.1. (a)
module de Youngcomplexe identifié
cadre cfesapprox i mat ions
d'EuLer
cadre desapprox i mat ions
de Timoshenko(en prennantE*/G*3)
Fig. VII.1. (b)
181
Coefficient d'amortissement
0 500 1,000 1,500 2,000
f (hz)
0.50-
b
0.40- a0.30-
0.20-
0.10-
0.00I I I I
Module de Young
3. E3E+$3-
b
2. 5OE+Dc3 aE
u
1.50Eeq-
1,DOE*OI I
0 500 1,000 1,500 2,000
f (hz)
Fis. VII.1.7 (a)
module de Youngcomplexe identifié
E*E(1+Jflz)
lissage avecmodLe de drivesfractionnaires 4param tres
lissage avecmodèLe cLassique
7 paramètres
Fig. VII.1.7 (b)
182
2OOE+E
w
SOE+oq -
1.00EO
Module de Yourg
I I I
0 500 1,000 1,500 2,000
f (hz)
Coefficient d'amorti5sement
0 500 1,000 1,500 2,000
f (hz)
0.50- c
b
0.40- a0.30
k,
0.20-
0.10-
0.00I I I I
c
ba3,OOE4E$3-
2 5OE+I-
183
CONCLUS ION
Le but de cette thèse est de développer une méthode
d'identification des caractéristiques dynamiques des
matériaux. A priori, celle-ci doit s'appuyer sur des essais
expérimentaux simples tout en couvrant un domaine
fréquentiel assez large. -
La démarche utilisée est une méthode non-modale,
basée sur des essais en vibration forcée. Elle permet la
détermination des modules de Young et de Coulomb complexes
des matériaux en fonction de la fréquence.
A l'aide d'une poutre homogène ou symétriquement
stratifiée libre-libre sollicitée en flexion, on mesure les
valeurs de l'impédance. En reportant ces valeurs dans le
développement limité de l'expression analytique de
l'impédance, on identifie les modules complexes par la
méthode itérative de Newton.
Dans le cadre des approximations d'Euler-Bernouilli,
avec un développement limité jusqu'au 9eme ordre, les
courbes obtenues peuvent couvrir un domaine fréquentiel
assez large, englobant plusieurs fréquences de résonance.
Dans le cadre des approximations de Timoshenko, le
résultat obtenu est meilleur que celui obtenu dans le cadre
des approximations d'Euler, mais le domaine de validité
fréquentiel dépend plus sensiblement de la qualité du
développement limité de l'impédance et du rapport des
modules de Young et de Coulomb. En outre, le coefficient de
184
cisaillement doit être pris en compte dans l'analyse.
Dans le cadre de la procédure expérimentale, les
erreurs provenant de 1' impédance du capteur ont pu être
éliminées.
Une fois les modules complexes identifiés à l'aide
de la méthode proposée, on peut procéder à un lissage par
moindres carrés pour identifier un modèle d'amortissement
approprié.
185
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dynamiques appliqués aux vibrations des poutres droites",
Thèse Doct. 3e cycle, E.C.L. 1987, 87-10-151 p.
195
TABLE DES MATIERES
Résumé 5
Abstract 6
Introduction 7
Viscoélasticité 11
1.1 Aspect phenoiuénologique 11
1.2 Théorie de la viscoélasticité linéaire 14
1.2.1 Opérateurs intégraux 14
1.2.2 Opérateurs différentiels 16
1.2.3 Modules complexes 18
1.2.4 Modules de dérivées fractionnaires 19
1.3 Intégration des modèles
au niveau structural 20
1.3.1 Structures avec amortissement
hystérétique 20
1.3.2 Structures avec amortissement
visqueux 23
1.3.3 Structures avec modèles de
dérivées fractionnaires 27
Théorie des poutres 31
11.1 La modélisation des poutres homogènes
en flexion 31
11.2 Impédance au point courant
d'une poutre libre-libre 36
11.2.1 Impédance de la poutre
d 'Euler-Bernouilli 37
196
11.2.2 Impédance de la poutre
de Timoshenko 45
III. Marériaux composites 61
111.1 La niodèlisation de Timoshenko des poutres
composites multicouches (stratifiées) 61
111.2 Amortissement des poutres stratifiées 70
111.3 Coefficient de cisaillement 80
IV. Identification des caractéristiques
des matériaux à partir d'essais 87
IV.l Mesure directe 88
IV.2 Identification module 91
IV.3 Problème liés aux poles multiples 95
IV.4 Méthode d'identification des plaques
dans le cas anisotrope 99
V. Identification non-modale 103
V.1 Présentation générale de la méthode 103
V.2 Développement asymptotique des impédances 104
V.2.1 Développement asymptotique
de l'impédance au point courant
d'une poutre d'Euler-Bernouilli 104
V.2.2 Développement asymptotique
de l'impédance au point courant
d'une poutre de Timoshenko 112
V.3 Obtention du module de Young complexe dans
le cas d'une poutre d'Euler-Bernouilli 128
V.4 Obtention des modules de Young et de Coulomb
complexes dans le cas d'une poutre
de Timoshenko 131
V.5 Lissage des courbes par
des modèles viscoélastiques classiques 143
197
VI. Aspect expérimental 148
VI.1 Méthode expérimentale 148
V.1.1 Influence des erreurs de mesure
provoquées par la masse du capteur 149
V.1.2 Influence des erreurs géométriques 152
VI.2 Influence des erreurs de mesure 162
VII. Exemple de validation
VII.l Poutre homogène
Conclusion 183
Blibiographie ... 185
175
175
dernière page de la thèse
AUTORISATION DE SOUTENANCE
Vu les dispositions de l'arrêté du 5 juillet 1984, modifié par l'arrêté du 21 mars 1988,
Vu la demande du Directeur de ThèseM. L. JEZEQUEL - Professeur - E.C.L.
et les rapports de M. VAUTRIN - Professeur - Ecole Supérieure Des MinesSamt-EtienneM. F. SIDOROFF - Professeur - E.C.L.
Monsieur CHAIYAPORN Somsak
est autorisé à soutenir une thèse pour l'obtention du titre de DOCTEUR INGENIEUR
Spécialité MECANIQUE
Fait à Ecully, le 6 janvier 1989
Le Directeur de l'E.C.L.
J. BORDET