Identidades+trigonometricas 14 julio 2015
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IDENTIDAD
SEN COS TANG CSC SEC
SUMA ANGULOS
ASLY 5 JUAN PABLO GONZ 5
SEBASTIAN MARIN
DAHIANA ORTIZ
DAVID POSADA
DIFERENCIA DE ANGULOS
NORELY 1 LEYDI IRRAGORI5
VALENTINA MARIN
JUAN PABLO OSORIO
DANIELA SALAZAR
ANGULOS DOBLES
LUISA COSSIO 1
ROLANDO SANTIAGO MEJIA
JULIETH OVIEDO
SUSANA VALENCIA
ANGULOS MEDIOS
LOREN DUQUE 5
JUAN ESTEBAN J.
FELIPE MESA
VALENTINA PARRA
ESTEBAN VILLA
ANGULOS TRIPLES
LUIS DANIEL G 1
MANUELA LARA
CRISTIAN OLAYA
JUAN P. PATIÑO
INDICACIÓN EXPOSICIONCada uno debe buscar su tema, preparar la
demostración de la identidad y un ejemplo de aplicación para el próximo 14 de julio.
Por efectos de tiempo será en tablero con marcador
![Page 2: Identidades+trigonometricas 14 julio 2015](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102505/55d269fbbb61eb06598b483c/html5/thumbnails/2.jpg)
1 ASLY 15 JUAN PABLO GONZ
19 SEBASTIAN MARIN
21 DAHIANA ORTIZ
20 DAVID POSADA
5 NORELY 2 LEYDI IRRAGORI 16 VALENTINA MARIN
20 JUAN PABLO OSORIO
1 DANIELA SALAZAR
9 LUISA COSSIO
6 ROLANDO 3 SANTIAGO MEJIA
17 JULIETH OVIEDO
21 SUSANA VALENCIA
12 LOREN DUQUE
10 JUAN ESTEBAN J.
7 FELIPE MESA
4 VALENTINA PARRA
18 ESTEBAN VILLA
14 LUIS DANIEL G
13 MANUELA LARA
11 CRISTIAN OLAYA
8 JUAN P. PATIÑO
INDICACIÓN PARA VIDEODebes elaborar un vídeo sobre el capitulo asignado
según instrucciones de la docente de tecnología, con la herramienta asignada y para la fecha establecida
![Page 3: Identidades+trigonometricas 14 julio 2015](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102505/55d269fbbb61eb06598b483c/html5/thumbnails/3.jpg)
INDICACIÓN EXPOSICIÓNCada uno debe buscar su tema, preparar la
demostración de la identidad y un ejemplo de aplicación para el próximo 23 de julio.
Por efectos de tiempo será en tablero con marcadorIDENTID
ADSEN COS TANG CSC SEC COT
SUMA ANGULOS
JUAN PABLO VELEZ
DANIELA RIOS
JULIANA PABON
ORLANDO MESA
KATERINE HERRERA
JULIANA FIGUEROA
DIFERENCIA DE ANGULOS
MARCELO VELASQUEZ
ANDERSON RPO
JOSE DANIEL OTAL
CAMILA LOAIZA
ALAN GARCIA
JHORMAN DUARTEANIBAL CARO
ANGULOS DOBLES
CRISTIAN VALENCIAWILLIAM CASTRO
RENSO VASQUEZYLISSA ACEVEDO
MIGUEL OSORIO
VALENTINA JARAMILLOJUAN JOSE BEDOYA
JULIAN CORREDOR CARLOS GOMEZ
LEIDY CORTEZ
ANGULOS MEDIOS
MATEO SUAREZ
DANIELA RAMIREZ
FELIPE MUÑOZ
MELISSA BERMUDEZ
LAURA JARAMILLO
BRAYAN ARANGOSTIVEN GONZALEZ
VALENTINA FERNANDEZYENNIFER COLORADO
ANGULOS TRIPLES
CAMILA SALGADO
TOMAS CARDENAS
JULIAN PARRALISETH AGUDELO
MANUELA MOLINAPAULA CAMPIÑO
VERONICA HURTADO
ALEJANDRO GUERRAJINNER ARBOLEDA
JENNIFER VARGASSARA ALZATE
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JUAN PABLO VELEZ 12
DANIELA RIOS 6
JULIANA PABON 3
ORLANDO MESA 4
KATERINE HERRERA 5
JULIANA FIGUEROA 9
MARCELO VELASQUEZ 1
ANDERSON RPO 11
JOSE DANIEL OTAL 10
CAMILA LOAIZA 9
ALAN GARCIA 8
JHORMAN DUARTE 7ANIBAL CARO 7
CRISTIAN VALENCIA 19WILLIAM CASTRO 19
RENSO VASQUEZ 5YLISSA ACEVEDO 5
MIGUEL OSORIO 3
VALENTINA JARAMILLO 15JUAN JOSE BEDOYA 15
JULIAN CORREDOR 4
LEIDY CORTEZ 16
MATEO SUAREZ 13
DANIELA RAMIREZ 14
FELIPE MUÑOZ 15
MELISSA BERMUDEZ 15
LAURA JARAMILLO 16CALLE 16
BRAYAN ARANGO 17STIVEN GONZALEZ 17
VALENTINA FERNANDEZ 18YENNIFER COLORADO 18
CAMILA SALGADO 2
TOMAS CARDENAS 2
JULIAN PARRA 20LISETH AGUDELO 20
MANUELA MOLINA 2PAULA CAMPIÑO 21
VERONICA HURTADO 15
ALEJANDRO GUERRA 18JINNER ARBOLEDA 18
JENNIFER VARGAS 6SARA ALZATE 6
INDICACIÓN PARA VIDEODebes elaborar un vídeo sobre el capitulo asignado
según instrucciones de la docente de tecnología, con la herramienta asignada y para la fecha establecida
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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Sen
tan
Csc
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Vamos a usar lo aprendido hasta el momento en un nuevo tema denominado “relaciones fundamentales entre las funciones trigonométricas de un ángulo”
En este tema lograremos:
• Deducir las relaciones trigonométricas fundamentales de un ángulo.
• Aplicar las identidades fundamentales, en la demostración y simplificación de expresiones trigonométricas.
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RELACIONES FUNDAMENTALES ENTRE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO
Usando el círculo Trigonométrico unitario se deduce que las funciones trigonométricas son:
yy
sen 1
xx 1
cos
xytan
y1
csc
x1
sec
yxcot
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1csc. sen
1sec.cos
1cot.tan
sen1
csc
csc1sen
cos1
sec
sec1
cos
Del gráfico anterior se deduce lo siguiente:
RELACIONES INVERSAS:
αα
tan
1cot
cot
1tan
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También del gráfico anterior se deduce lo siguiente:
Si xytan ; pero ; ysen xcos
costan
sen
sen
coscot
yxcot ; pero ; xcos ysen
RELACIONES DE COCIENTES:
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En el rectángulo se tiene: 122 xy(teorema de Pitágoras)
De lo que se deduce lo siguiente:
1cos22 sen
22 sectan1
22 csccot1
RELACIONES PITAGÓRICAS:
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Las ocho relaciones deducidas anteriormente reciben el nombre de IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES, y se emplearan para comprobar, demostrar y simplificar expresiones trigonométricas.
RECUERDA: Las Identidades Trigonométricas son igualdades que contienen funciones trigonométricas de ciertos ángulo.
DEMOSTRAR: Es un proceso de comprobar si una identidad es realmente una identidad, para lo cual se hacen transformaciones mediante el uso de las identidades fundamentales.
SIMPLIFICAR: Consiste en convertir la expresión original en otra más simple y elemental.
COMPROBAR: Consiste en evaluar para algún o algunos ángulos y verificar que la igualdad se cumple.
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DEFINICIÓNUna identidad trigonométrica es una igualdad en la que intervienen las funciones trigonométricas, y se cumple siempre sin importa el valor del ángulo. Por ejemplo:
La identidad pitagórica se cumple para todo valor que tome el ángulo α.
Si entonces;
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Si entonces;
Si entonces;
Observa que sea cual sea el valor que le demos a α siempre
el resultado es 1.
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Usa tu calculadora para comprobar la identidad pitagórica para los siguientes valores de α:
1. 90°
2. 50°
3. 120°
4. 150°
5. 210°
6. 300°
Tráelo resuelto en tu carpeta para EL JUEVES 16 A LAS 6:15
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![Page 16: Identidades+trigonometricas 14 julio 2015](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102505/55d269fbbb61eb06598b483c/html5/thumbnails/16.jpg)
Demostrar la siguiente identidad
𝐬𝐞𝐧𝐱𝐜𝐨𝐬𝐱𝐬𝐞𝐧𝐱
=𝐜𝐨𝐬𝐱
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Demostrar la siguiente identidad
![Page 18: Identidades+trigonometricas 14 julio 2015](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102505/55d269fbbb61eb06598b483c/html5/thumbnails/18.jpg)
Demostrar la siguiente identidad
![Page 19: Identidades+trigonometricas 14 julio 2015](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102505/55d269fbbb61eb06598b483c/html5/thumbnails/19.jpg)
Ejercicios: Demostrar
Tráelo resuelto en tu carpeta EL JUEVES 16 A LAS 6:15 junto con las comprobaciones
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CONSEJOS AL DEMOSTRAR:
1. Trabajar con el miembro más complejo para convertirlo en el otro.
2. Algunas veces, conviene expresar las funciones en términos de seno y coseno.
3. También, realizar operaciones aritméticas y algebraicas(factorización y/o simplificación).
4. Ó utilizar algún artificio si es necesario.
… sólo la práctica constante te permitirá adquirir más habilidad y destreza…
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Ejemplo 1.- demostrar la siguiente identidad.
Como , si los sustituimos,
tenemos que :
Simplificamos senos, y tenemos que:
Y
Con lo que queda demostrada la identidad trigonométrica.
DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS:
xCscxSenxCosxSen 22
xSenxCscyxCosxSen
1122
xSenxSen
11
xSenxSen
11
11
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Ejemplo 2.- Demostrar la siguiente identidad:
Como , sustituimos y nos queda:
Multiplicando medios y extremos obtenemos:
Que equivale a: Sen² x + Cos² x = 1
Como Sen² x + Cos² x = 1 , sustituyendo llegamos a: 1 = 1
Con lo que queda demostrada la identidad trigonométrica.
11 22
xCosxCsc
xSenxCsc
22 1
111 2
2
xCos
xSen
11 22 xCosxSen
![Page 23: Identidades+trigonometricas 14 julio 2015](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102505/55d269fbbb61eb06598b483c/html5/thumbnails/23.jpg)
Ejemplo 3.- Demostrar la siguiente identidad:
Como ,
si los sustituimos nos queda que:
Simplificando senos, y nos queda:
Si sacamos común denominador y sumamos, entonces tenemos que:
,
como
Sustituyendo en el paso anterior nos queda que:
Con lo que queda demostrada nuestra identidad trigonométrica.
xSecxCscxSenxTan 22
xSenxCscy
xCos
xSenxTan
12
22
xSecxSen
xSenxCos
xSen 22
2 1
xSecxCos
xSen 22
2
1
xSecxCos
xCosxSen 22
22
xCosxSecyxCosxSen
2222 1
1
xCosxCos 22
11
![Page 24: Identidades+trigonometricas 14 julio 2015](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102505/55d269fbbb61eb06598b483c/html5/thumbnails/24.jpg)
Ejemplo 4.- Demostrar la siguiente identidad:
Sacando común denominador tenemos:
Como ,obtenemos la siguiente
igualdad:
Con lo que queda demostrada nuestra identidad trigonométrica
xCscxSen
xCos 22
2
1
xCscxSen
xSenxCos 22
22
xSenxCscyxSenxCos
2222 1
1
xSenxSen 22
11
![Page 25: Identidades+trigonometricas 14 julio 2015](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102505/55d269fbbb61eb06598b483c/html5/thumbnails/25.jpg)
TORTUGA TRIGONOMÉTRICA
Con este método con solo recordar el orden de 6 funciones trigonométricas prodrás tener a tu disposición 24 identidades trigonométricas.
![Page 26: Identidades+trigonometricas 14 julio 2015](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102505/55d269fbbb61eb06598b483c/html5/thumbnails/26.jpg)
LA TORTUGALA TORTUGA
La tortuga es la base para recordar las relaciones entre las funciones trigonométricas, con el tiempo y la práctica bastará dibujar esta, para recordar la mayoría de las fórmulas trigonométricas.
Las letras ilustradas, representan de forma simplificada los nombres de las funciones trigonométricas:
S CTCTSCCSC
=Seno=Coseno=Tangente=Cotangente=Secante=Cosecante
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IDENTIDADES PITAGÓRICAS.
Pitagóricas
![Page 28: Identidades+trigonometricas 14 julio 2015](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102505/55d269fbbb61eb06598b483c/html5/thumbnails/28.jpg)
IDENTIDADES RECÍPROCAS.
Recípprocas
Cada función trigonométrica es el recíproco de la que está en el lado opuesto del hexágono
![Page 29: Identidades+trigonometricas 14 julio 2015](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102505/55d269fbbb61eb06598b483c/html5/thumbnails/29.jpg)
PRODUCTOS.
Productos Tabla 1
El producto de cada función trigonométrica multiplicada por la opuesta en el hexágono es 1.
![Page 30: Identidades+trigonometricas 14 julio 2015](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102505/55d269fbbb61eb06598b483c/html5/thumbnails/30.jpg)
PRODUCTOS.
Productos tabla 2
Cada función trigonométrica es el producto de las dos que la rodean..
![Page 31: Identidades+trigonometricas 14 julio 2015](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102505/55d269fbbb61eb06598b483c/html5/thumbnails/31.jpg)
COCIENTES.
Cocientes Tabla 1
Cada función trigonométrica es el cociente de las dos siguientes.
![Page 32: Identidades+trigonometricas 14 julio 2015](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102505/55d269fbbb61eb06598b483c/html5/thumbnails/32.jpg)
COCIENTES.
Cocientes Tabla 2
Cada función trigonométrica es el cociente de las dos anteriores.
![Page 33: Identidades+trigonometricas 14 julio 2015](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102505/55d269fbbb61eb06598b483c/html5/thumbnails/33.jpg)
![Page 34: Identidades+trigonometricas 14 julio 2015](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102505/55d269fbbb61eb06598b483c/html5/thumbnails/34.jpg)
Seno
S = T x C S = C / CT S = T / SC S = 1 / CSC
Coseno
C = S x CT C = CT / CSC C = S / T C = 1 / CS
Tangente
T = SC x S T = S / C T = SC / CSC T = 1 / CT
Cotangente
CT = C x CSC CT = CSC / SC CT = C / S CT = 1 / T
Secante
SC = CSC x S SC = T / S SC = CSC / CT SC = 1 / C
Cosecante
CSC = CT x SC CSC = SC / T CSC = CT / C CSC = 1 / S
RESUMEN.
En la siguiente lista encontrarás todas las relaciones que puedes conseguir con el Hexágono Trigonométrico,
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PARIDAD
Paridad
Seno es impar Cosecante es impar
Coseno es par Secante es par
Tangente es impar Cotangente es impar
Las funciones coseno y secante son pares, el resto son impares.
![Page 36: Identidades+trigonometricas 14 julio 2015](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102505/55d269fbbb61eb06598b483c/html5/thumbnails/36.jpg)
PERIODICIDAD.
Periodicidad
Seno 2 Cosecante2
Coseno 2 Secante 2
Tangente Cotangente
Las funciones tangente y cotangente tienen una periodicidad de , mientras que el resto tienen una periodicidad de 2
![Page 37: Identidades+trigonometricas 14 julio 2015](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102505/55d269fbbb61eb06598b483c/html5/thumbnails/37.jpg)
DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.
![Page 38: Identidades+trigonometricas 14 julio 2015](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102505/55d269fbbb61eb06598b483c/html5/thumbnails/38.jpg)
DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.
![Page 39: Identidades+trigonometricas 14 julio 2015](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102505/55d269fbbb61eb06598b483c/html5/thumbnails/39.jpg)
DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.
![Page 40: Identidades+trigonometricas 14 julio 2015](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102505/55d269fbbb61eb06598b483c/html5/thumbnails/40.jpg)
IDENTIDADES DE LA COFUNCIÓN.
Identidades de la Cofunción
Cada función trigonométrica de un ángulo dado es igual a su cofunción evaluada en
![Page 41: Identidades+trigonometricas 14 julio 2015](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102505/55d269fbbb61eb06598b483c/html5/thumbnails/41.jpg)
![Page 42: Identidades+trigonometricas 14 julio 2015](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102505/55d269fbbb61eb06598b483c/html5/thumbnails/42.jpg)
![Page 43: Identidades+trigonometricas 14 julio 2015](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102505/55d269fbbb61eb06598b483c/html5/thumbnails/43.jpg)
![Page 44: Identidades+trigonometricas 14 julio 2015](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102505/55d269fbbb61eb06598b483c/html5/thumbnails/44.jpg)
![Page 45: Identidades+trigonometricas 14 julio 2015](https://reader037.fdocument.pub/reader037/viewer/2022102505/55d269fbbb61eb06598b483c/html5/thumbnails/45.jpg)