icrov-pvl.gov.kz · Web viewЗадачи на движение по реке 40 Задачи на...
101
ОГЛАВЛЕНИЕ Классификация чисел 3 Делимость, НОД, НОК 4 – 6 Действия с числами 6 Таблица квадратов 7 Обращение десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь 7 Степень числа. 7-8 Таблица степени чисел 8 Числа с радикалами, избавление от иррациональности 8 Формула сложного радикала 8 Формулы сокращенного умножения 8 Нахождение корней квадратного уравнения 9 Теорема Виета 9 Разложение квадратного трехчлена на множители 10 Выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена 10 Проценты, пропорции, дробь 10 Модуль, уравнения с модулем 11 Неравенства с модулем 11 Формулы тригонометрии 12 Обратные тригонометрические функции 15 Формулы приведения 15 Решения тригонометрических уравнений 16 Таблица (sin, cos, tg, ctg) 17-18 Знаки функции по четвертям 18 Период функции 18 Как найти область определения функции 19 Решение тригонометрических неравенств 20 - 24 Область значений 20 Арифметические и геометрические прогрессии 25 Алгебраические неравенства, неравенства II степени 25, 26 Метод интервалов для неравенств 26 Решение иррациональных неравенств 27 Производная 28 Интеграл 29 Первообразная 30 Площадь фигуры, ограниченная линиями 32 Объем фигуры, ограниченной линиями 32 1
Transcript of icrov-pvl.gov.kz · Web viewЗадачи на движение по реке 40 Задачи на...
ОГЛАВЛЕНИЕКлассификация чисел 3Делимость, НОД, НОК 4 – 6Действия с числами 6Таблица квадратов 7Обращение десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь 7Степень числа. 7-8Таблица степени чисел 8Числа с радикалами, избавление от иррациональности 8Формула сложного радикала 8Формулы сокращенного умножения 8Нахождение корней квадратного уравнения 9Теорема Виета 9Разложение квадратного трехчлена на множители 10Выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена 10Проценты, пропорции, дробь 10Модуль, уравнения с модулем 11Неравенства с модулем 11Формулы тригонометрии 12Обратные тригонометрические функции 15Формулы приведения 15Решения тригонометрических уравнений 16Таблица (sin, cos, tg, ctg) 17-18Знаки функции по четвертям 18Период функции 18Как найти область определения функции 19Решение тригонометрических неравенств 20 - 24Область значений 20Арифметические и геометрические прогрессии 25Алгебраические неравенства, неравенства II степени 25, 26Метод интервалов для неравенств 26Решение иррациональных неравенств 27Производная 28Интеграл 29Первообразная 30Площадь фигуры, ограниченная линиями 32Объем фигуры, ограниченной линиями 32Длина кривой АВ функции, ограниченной линиями 32Критические точки 32Как найти промежутки возрастания и убывания 33Как найти точки максимальную и минимальную (экстр.) 33Как найти наибольшее и наименьшее значение на отрезке [а;в] 34Физическое применение производной (x(t), скорость, ускорение) 35Касательная к графику функции Угол касательной 35Как найти наибол или наимен.значение и область значений для функции у(х) = ах2 +вх+с 70Логарифмическая функция. График логарифмической функции 35,36Логарифмы (формулы) 36Логарифмические уравнения 36
1
Логарифмические неравенства 37Показательная функция. График показательной функции 37Показательные уравнения. Показательные неравенства 37Задачи на движение по прямой 38Задачи на движение по окружности 39Задачи на движение по реке 40Задачи на концентрацию и % содержание 40Задачи на сложный процентный рост 42Задачи на выполнение работы. 42Четные и нечетные функций 43Теория соединений. Бином Ньютона 44Графики некоторых функций 45Признаки подобия треугольников 46Отношение площадей, перим. подоб. фигур 46Высота, биссектриса, медиана 47Средняя линия треугольника 47Теорема косинусов. Теорема синусов 48Формулы площади для любого треугольника 48Вписанная, описанная окружность 49Формулы R и r и S для правильных многоугольников 49Формулы прямоугольного треугольника 50Формулы равностороннего треугольника 52Формулы параллелограмма 52Формулы прямоугольника, квадрата 52,53Формулы ромба, трапеции 53-55Правила и формулы для четырехугольника 55Формулы для правильных n- угольников 56Длина окружности, длина дуги 56Вписанный угол, центральный угол 57Круг, круговой сектор, круговой сегмент 57Призма 58Куб. Параллелепипед 59Пирамида. Усеченная пирамида 60,61Площадь ортогональной проекции многоугольника. 61Правильный тетраэдр 61Цилиндр 62Конус. Усеченный конус 63Шар и сфера. Шаровой сегмент. Шаровой сектор. Полый шар 64Пирамида и шар (описанный). Пирамида и шар (вписанный). 65Конус и шар (описанный). Конус и шар (вписанный). 66Уравнение прямой 66Угол между пересекающимися прямыми. 67Уравнение окружности 67Метод координат. Векторы 67Формула связи между координатами вершин параллелограмма. 69Формула связи между координатами вершин треугольника. 69Формула гравитационного центра. 69Примеры решения тригонометрических уравнений 69Средние величины 70
2
КЛАССИФИКАЦИЯ ЧИСЕЛ
Цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.Натуральные числа: N = {1; 2; 3; 4; …..}Целые числа: Z = {…; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 ….}
Рациональные числа: Q = {mn
; m∈Z , n∈N } Пример рациональных чисел:
134
;−13
;11; -5; 0; 2,3(7)
Иррациональные: √2; √15 ;π; е; 5, 127… нет периода
Действительные: {рациональные и иррациональные} = RЧетные числа: делятся на 2, 2п Нечетные числа: не делятся на 2, 2п-1
Числовые последовательности:
Последовательность целых чисел: п; п+1; п+2; п+3; …Последовательность четных чисел: 2п; 2п+2; 2п+4; …Последовательность нечетных чисел: 2п-1; 2п+1; 2п+3;Последовательность чисел, кратных 5: 5п; 5п+5; 5п+10; …
Произведение только двух нечетных чисел нечетно!
Сумма членов числовой последовательности:
1+2+3+… +п = п⋅(п+1)
2 ; 2+4+6+… + 2п = п⋅(п+1 ); 1+3+5+…+ (2п-1) = п2
Простые числа: натуральное число, которое делится только на 1 и на само себя.Примеры: 2; 3; 5; 11 …Число 1 не является простым.Число 2 самое минимальное простое число.Не существует четных простых чисел, кроме 2.
Взаимно простые: числа, не имеющие общего делителя, кроме 1. пример: 9 и 16.Факториал: произведение натуральных чисел от 1 до п, обозначается:0! = 1; 1! = 1; 2! = 1·2 = 2; 3! = 1·2·3 =6; 4! = 1·2·3·4 =24; 5! = 1·2·3·4·5 =120.
3
п! = п⋅(п−1) !=п⋅(п−1)⋅(п−2)!=. . .10! = 10⋅9!=10⋅9⋅8 !=10⋅9⋅8⋅7 !
Пример: 12 !−11 !10 !+9 !
=12⋅11 !−11 !10⋅9 !+9 !
=11! (12−1)9! (10+1)
=11 !⋅119 !⋅11
=11⋅10!9 !
=11⋅10⋅9 !9 !
=110
ДЕЛИМОСТЬ, НОД И НОК
Делимость на 2: все четные числа.
Делимость на 3: число, сумма цифр которого кратно трем, делится на 3.
Делимость на 4: число делится на 4, если число, состоящее из двух последних цифр исходного числа, кратно 4.Пример: 1508, 700, 4312 делятся на 4.214, 522, 2575 не делятся на 4.
Делимость на 5: числа, которые оканчиваются цифрой 0 и 5.
Делимость на 6: числа, делящиеся на 2 и 3.
Делимость 9: число, сумма цифр которого кратно 9, делится на 9.
Делимость на 10: числа, последняя цифра которых равна 0.
Число, которое делится на два взаимно простых числа, также делится на произведение этих чисел. Пример: число делится на 12, если оно делится на 3 и 4.
1001 = 7 · 11 · 13, 10101 = 3 · 7 · 13 · 37.
Разложение на простые множители
120 2 120= 23⋅31⋅51; (2 и 3 и 5 – простые делители числа 120)
60 2 30 2 А=аm⋅вп⋅ск
, где а; b; с – простые числа15 3 m; n; k – положительные числа5 5 a; b и c называют простые делители числа А.1
Количество положительных делителей числа
4
А = am⋅bn⋅ck равно (m+1)⋅(n+1)⋅(k+1 ). Естественно, таково же и количество отрицательных делителей числа А.Пример: 72=23⋅32 . Число положительных делителей равно (3+1)⋅(2+1)=12. Число 72 имеет и 12 отрицательных делителей.
Сумма положительных делителей числа A=am⋅bn⋅ck равно
S=am+1−1a−1
⋅bn+1−1b−1
⋅ck+1−1c−1
Примечание: так как число положительных делителей и число отрицательных делителей одинаковы, то сумма всех делителей числа равна нулю. Пример: Найти сумму всех положительных не простых делителей 120.Решение: 120=23⋅31⋅51 . Сумма всех положительных делителей 120 равна
S= 23+1−12−1
⋅31+1−13−1
⋅51+1−15−1
=15⋅4⋅6=360
Простыми делителями числа 120 являются 2, 3 и 5. следовательно, ответ: 360–(2+3+5)=350
Пример: Если А=42⋅7химеет 72 делителя, тогда чему равно х?
Решение: А=42⋅7х=2⋅3⋅7⋅7х=21⋅31⋅7х+1
Число делителей А равно (1+1)⋅(1+1)⋅(х+1+1 )=724⋅( х+2 )=72 :4х+2=18х=16
НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ (НОД)
Для нахождения НОД:1. Разлагаем данные числа на простые множители.2. Находим НОД как произведение общих делителей с минимальными
степенями.Пример: Чему равен наибольший общий делитель 48 и 60?Решение:
60 2 48 2 60=22⋅31⋅51
30 2 24 2 48=24⋅31
15 3 12 2 Два или три являются общими делителями.
5
5 5 6 2 Минимальная степень двойки 2 (22)1 3 3 и минимальная степень 3 равна 1 (31)
1 НОД (48 ;60 )=22⋅31=12НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ (НОК)
Чтобы найти НОК числа:1. Разлагаем числа на простые делители.2. Находим произведения общих делителей с высшими степенями и всех
делителей не являющихся общими.Пример: Чему равно наименьшее общее кратное 48 и 60?
Решение: 48=24⋅31 ; 60=22⋅31⋅51
НОК (48 и 60 )=24⋅31⋅51=240
Пример: Какое количество брусков размера8 см×12 см×15 см необходимо взять для составление куба минимального объема?Решение: Куб минимального объема имеет сторону, равную наименьшему объему кратному 8, 12, 15.НОК (8, 12, 15) = 120
Количество брусков = объемобъем
кубабруска =
120⋅120⋅1208⋅12⋅15
=1200
ДЕЙСТВИЯ С ЧИСЛАМИ
1) ca+cb=c⋅( a+b )2) (m+n )a+(m+n )(b−l )=(m+n )(a+b−l )
3) (m+n )(a+k )+(m+n )(b+l )=(m+n )(a+k+b+l )
Формулы 1-3 – вынесение общего множителя за скобки.
-30+10=-20 1−5
8=8
8−5
8=3
8 2−3
5=1 5
5−3
5=1 2
5 2+ 7
9=2 7
9-30-10=-40-30+40=10; 30-50=-20ab∓ c
b= a∓c
b 34⋅5
7=3⋅5
4⋅7=15
28
1 32 8⋅41
93=1
6
7 34+
4 57=21+20
28=41
28=1 13
28
6
34
: 57=3
4⋅7
5=21
20=1 1
20=1 , 05
100 :25=4 1000 :125=8 1000 :8=125
Таблица квадратов
0 1 2 3 4 5 6 7 8 91 100 121 144 169 196 225 256 289 324 3612 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841
3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 220
9 2304 2401
5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 324
9 3364 3481
6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 448
9 4624 4761
7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 592
9 6084 6241
8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 756
9 7744 7921
9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 940
9 9604 9801 3√27=3
3√64=4 3√216=6
3√512=8 3√1000=10
3√8=2 3√343=7
3√729=9 3√1331=11
Периодическое десятичное число:
53=1 ,666 . ..=1 ,(6)
12233
=3 ,6969 . ..=3 ,(69)
39110
=0 , 15252. . .=0,1(52)
ЗАПИСЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА КАК РАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО
о ,а (bc )=abc−a990 (9 – столько, сколько цифр в периоде;
0 – столько, сколько цифр не в периоде)
7
Примеры: 0,7 (8)=78−7
90=71
90 0,1(25 )=125−1
990=124
990=62
495 0 ,(5 )=5
9 0 ,(62 )=62
99
4 ,(72)=4+0 ,(72)=4+7299
=4 811
3 , 03(67 )=3+0 ,03 (67)=3+367−39900
=3 3649900
СТЕПЕНЬ ЧИСЛА
ап=а⋅а⋅а⋅.. .⋅а (п - раз)
а1=а; а0=1 a
m⋅an=am+n
a−n= 1an (a
m)n=am⋅n
( ab )
−n
=( ba )
n
am
an =am−n
amn=
n√am
am
bm=( ab )
m
am⋅bm=(a⋅b)m
ТАБЛИЦА СТЕПЕНИ ЧИСЕЛn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102n 2 4 8 16 32 64 128 256 512 10243n 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 590494n 4 16 64 256 1024 4096 16384 65536 262144 10485765n 2 25 125 625 3125 15625 78125 390625 1953125 97656256n 6 36 216 1296 7776 46656 279936 1679616 10077696 604661767n 7 49 343 2401 16807 11764
9823543 5764801 40353607
8n 8 64 512 4096 32768 262144
2097152 16777216
9n 9 81 729 6561 59049 531441
4782969 43046721
Числа с радикалами
n√a⋅n√b=n√ab m√an=
km√akn
n√an√b
=n√ ab
n√am=n√am=a
mn
1√2
= 1⋅√2√2⋅√2
= √2√22
=√22
3√a=a13
23√2
= 2⋅3√22
3√2⋅3√22=2 3√4
3√23=2 3√4
2=3√4
1
√a+√b=
1⋅(√a−√b )(√a+√b )⋅(√a−√b )
= √a−√b√a2−√b2
=√a−√ba−b
⋅ 13√a+ 3√b
=1⋅( 3√a2−3√ab+ 3√b2)
( 3√a+ 3√b ) (3√a2−3√ab+ 3√b2)=
3√a2−3√ab+3√b2
a+bm√n√p√a=m⋅n⋅p√a
8
Формула «сложного радикала»
√a±√b=√ a+√a2−b
2±√ a−√a2−b
2 , а > 0, а2 > b > 0.
ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
a2−b2=(a−b )(a+b ) , (a+b )2=a2+2 ab+b2, (a−b )2=a2−2 ab+b2
(a+b )3=a3+3 a2b+3ab2+b3 (a−b )3=a3−3 a2 b+3 ab2−b3
a+b=b+a
- для иррациональных уравнений
Пример:
a−b=(√a−√b ) (√a+√b ) a3−b3=(a−b ) (a2+ab+b2 ) a−b=−(b−a)
a−b=( 3√a−3√b ) (3√a2+ 3√ab+ 3√b2) a3+b3= (a+b ) (a2−ab+b2)a+b=( 3√a+ 3√b ) (3√a2−3√ab+ 3√b2 ) (a+b )4=a4+4 a3 b+6 a2 b2+4ab3+b4
(a+b )5=a5+5a4 b+10 a3b2+10 a2b3+5 ab4+b5
Примеры: 25 x2−16 y2=(5 x−4 y ) (5 x+4 y ) x3−8=x3−23=( x−2 ) (x2+2 x+4 )
8 x3+125 y3=(2 x )3+(5 y )3=(2 x+5 y ) (4 x2−10xy+25 y2 )
(a+b+c )2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2 ac ( x−2 y+3 z )2=x2+4 y2+9 z2−4 xy+6 xz−12 yz
Нахождение корней квадратного уравнения. 9
а) полные квадратные уравнения:
ax 2+bx+c=0 D=b2−4 ac x1,2=
−b±√D2a ,
если b четное число, D1=k2−ac , x1,2=
−k±√D1
a
Пример:
ТЕОРЕМА ВИЕТА
1) x2+ px+q=0(a=1) - приведенное квадратное уравнение
x1+x2=−p x1⋅x2=q Пример: ,
2) x1+x2=
−ba
x1⋅x2=са .
РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ
ax 2+bx+c=a⋅( x−x1)⋅( x−x2) , где х1 и х2 – корни квадратного уравнения;х – переменная.
ВЫДЕЛЕНИЕ КВАДРАТА ДВУЧЛЕНА ИЗ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА
ax 2+bx+c=(√a⋅x+m )2+n; где m= b
2√a;
n=c− b2
4 a .
ПРОЦЕНТЫ
1% = 1
100 = 0, 01Чтобы найти b % от числа А, надо b %⋅A
Нахождение числа А, если b % его равны В.
A= B
b %⋅100 %
10
ПРОПОРЦИИ
Определение. a :b=c :d или ab= c
d Основное свойство пропорции ad=bc
Нахождение членов пропорции: a=b⋅c
d; b=ad
c
Из пропорции ab= c
d вытекает: ac=b
d; d
b= c
a; d
c=b
a
ДРОБЬ
Дробь ab=0
, тогда и только тогда, когда a=0 , b≠0
МОДУЛЬ
|а|={ а , если а≥0−а , если а≺0
1. Уравнения с модулем
|x|=a |x−b|=a |f (x )|=|q ( x )| |f ( x )|=q( x )если a≺0 решен.нет если a≺0 решен.нет равносильно
объединениюуравнений:[ f ( x )=q( x )[ f ( x )=−q( x )
[
равносильносистемеуравнений:
{[ f ( x )=q (x )[ f ( x )=−q ( x )
[ ¿ ¿¿¿
если a=0 , то x=0 если a=0 , то x=b
если а≻0 , то
x1=ax2=−a если a≻0 , то
x1−b=ax2−b=−a
2. Неравенство с модулем
|х−b|≺a |x−b|≥a |f ( x )|≺q ( x ) |f ( x )|≻q ( x )a≤0 решен.нет
a≤0x∈ R
равносильно
равносильнообъединению:
11
системе:
{ f ( x )≺q ( x )¿ ¿¿¿[ f ( x )≻q ( x )[ f ( x )≺−q( x )
[a≻0b−a≺x≺b+a
a≻0x≤b−a илиx≥b+a
Неравенство |f ( x )|≻|q( x )| равносильно неравенству f2( x )≻q2( x ) или неравенству
( f ( x )−q ( x ))( f ( x )+q (x ))≻0
1) |x|≺6−6≺x≺6 2) 3)
|x−2|≺3−3≺x−2≺3−1≺x≺5
(+2 )(−1;5 )
-6 6 -2 2о о о о
(−∞ ;−2 )∪(2 ;+∞)
4)
Ответ: х
ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИИ
I. Основные формулы тригонометрии
sin2 α+cos2α=1 sin2 α=1−cos2 α cos2α=1−sin2α tg α=sin α
cosα ctg α=cos α
sin α tg α⋅ctg α=1 tg α= 1
ctgα ctg α= 1
tgα
1+tg2 α= 1cos2 α
1+ctg2 α= 1sin2 α sinα = ±
tg α√1+tg 2α , cosα = ±
1√1+tg 2α
II.Формулы двойного угла. sin2α = 2 sinα·cosα = 2 tg α
1+ tg2 α . sin α=2 sin α
2cos α
2
cos2 α=cos2 α−sin2 α = 2 cos 2α – 1 = 1 – 2sin2α = 1−tg2 α1+tg2 α =
сtg α− tgαсtg α+tg α .
tg2α = 2tg α
1−tg2 α . tg2α = 2сtg α
сtg2 α−1 = 2
сtg α− tgα
tg α=2 tg α
2
1−tg2 α2
12
сtg2α = 1−tg2 α
2tg α =ctg2 α−1
2ctg α = сtg α− tgα
2 .
ctg α=ctg2 α
2−1
2ctg α2 =
12 (ctg α
2−tg α
2 ) III. Формулы половинного аргументаsin2 α
2=1
2(1−cos α )
cos2 α
2=1
2(1+cos α )
2 sin2 α2 = 1 – cosα. 2 cos 2
α2 = 1 + cosα.
sin2 α=1
2(1−cos2 α )
cos2 α=1
2(1+cos2α )
tg2 α2=1−cos α
1+cosα ctg 2 α
2= 1+cos α
1−cos α
tgα2 =
sin α1+cosα
=1−cosαsin α сtg
α2 =
sin α1−cos α
=1+cosαsin α .
IV. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.
sin α=2tg α
2
1+tg2 α2
cos α=1−tg2 α
2
1+tg 2 α2
tg α=2 tg α
2
1−tg2 α2
ctg α=1−tg2 α
2
2tg α2
V. Формулы суммы.
cos(α + β) = cosα·cosβ – sinα·sinβ; cos(π2+α ) = – sinα
cos(α – β) = cosα ·cosβ + sinα ·sinβ; cos(π2−α) = sinα
sin(α + β) = sinα ·cosβ + cosα· sinβ; sin(π2+α ) = cosα
sin(α – β) = sinα ·cosβ – cosα ·sinβ; sin = cosα
tg (α + β) = tg α+ tg β
1−tg α⋅tg β = сtgα+сtg β
сtg α⋅сtg β−1 , tg (α – β) = tg α−tg β
1+ tgα⋅tg β = сtg α−сtg β
сtg α⋅сtg β+1 ,
ctg (α+ β )= ctgα⋅ctg β−1ctg α+ctg β
=1−tg α⋅tg βtg α+ tg β
ctg (α−β )=− ctg α⋅ctg β+1ctgα−ctg β
=1+ tgα⋅tg βtg α−tg β
VI. Формулы преобразования суммы.
13
sin α+sin β=2sin α+β2
cos α−β2
sin α−sin β=2 cos α+ β2
sin α−β2
cos α+cos β=2cos α+β2
cos α−β2
cos α−cos β=−2 sin α+β2
sin α−β2
cosα + sinα = √2cos(α−π4 ) = √2sin(α+
π4 ).
cosα + sinβ = cosα +cos(π2−β)=2
cos ( π4+ α−β
2 )⋅cos ( π4−α+β
2 )cosα – sinα = √2sin(
π4−α) = √2cos(α+
π4 ),
cos α−sin β=2sin ( π4+ α−β
2 )⋅sin( π4−α+β
2 ) . tg α+tg β=sin (α+ β )
cosα cos β tg α−tg β=sin ( α−β )
cos α cos β
ctg α+ctg β=sin (α+β )sin α sin β
ctg α−ctg β=sin ( β−α )sin α sin β
tg α+ctgα= 2sin 2 α tg α−ctg α=−2 ctg2α
tg α+ctg β=cos (α−β )cos α sin β
tg α−ctg β=−cos (α+β )cosα sin β
сtg α−tg β=cos (α+ β )sin α⋅cos β
1−tg 2α=cos 2αcos2 α
1−ctg2 α=−cos2 αsin2 α
1+cos α=2cos2 α2
1−cosα=2 sin2 α2
1+sin α=2 cos2 ( π4−α
2 )=2sin2( π4+ α
2 )=(cos α2+sin α
2 )2
1−sin α=2sin 2( π4−α
2 )=2cos2( π4+ α
2 )=(cos α2−sin α
2 )2
1 + tgα =
√2 sin(α+ π4 )
cos α ; 1 – tgα =
√2sin( π4−α )
cos α .
sin2α – sin2β = sin(α + β) · sin(α – β) cos 2α – cos 2 β = sin(α + β) · sin( β – α ).
cos 2α – sin2β = cos(α + β) · cos(α – β) = cos 2 β – sin2α.
14
sin α+sin βcos α+cos β = tg
α+β2 .
cos α+cos βcos α−cos β
=−ctg α+β
2
tg α−β2 ;
sin α+sin βsin α−sin β
=tg α+β
2
tg α−β2 .
VII. Формулы преобразования произведения.
sinα sinβ = 12 ( cos(α – β) – cos(α + β)). cosα cosβ =
12 ( cos(α + β) + cos(α – β)).
sinα cosβ = 12 ( sin(α + β) + sin(α – β)). sinα · cosα =
12 sin2α..
tgα · tgβ = tg α+tg β
ctg α+ctg β . сtgα · сtgβ = ctg α+ctg βtg α+tg β .
VIII. Формулы тройного аргумента.
sin3α = 3 sinα – 4 sin3α = 4 sinα sin(π3−α)sin( π
3+α).
sin3α = 3 sinα · cos 2α – sin3α.sin4α = 4sinα cos 3α – 4sin3α cosα = 8sinα cos 3α – 4sinα cos α .sin4α = cosα(4 sinα –8 sin3α).
cos3α = 4 cos 3α – 3 cosα = 4 cosα cos(π3−α)cos( π
3+α ) .
cos3α = cos 3α – 3sin2α · cosα..cos4α = cos 4α – 6sin2α cos 2α + sin4α = 8 sin4α – 8 sin2α + 1.cos4α = sin4α –8 cos 2α + 14 sin3 α=3sin α−sin 3α 4 cos3 α=3cosα+cos3 α
IX. Понижение степени тригонометрических функций.
sin2α = 12 (1 – cos2α), cos 2α =
12 (1 + cos2α)
sin3α = 14 (3sinα–sin3α) cos 3α =
14 (cos3α + 3cosα)
sin4α =18 (cos4α – 4cos2α + 3) cos 4α =
18 (cos4α + 4cos2α + 3).
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
15
arcsin х = α, α ∈[−π
2; π
2 ], arсcos х = α, α ∈ [0 ; π ] ,
arctg х = α, α ∈(−π
2; π
2 ) , arcсtg х = α ∈ (0; π ) .arcsin (–х ) = – arcsin х arccos(–х ) = π – arccos х arctg(–х ) = – arctg х arcсtg(–х ) = π – arcсtg х
sin( arcsin x )=x sin( arccos x )=√1−x2
sin( arctgx )=− x√1+ x2
sin( arcctgx )= 1√1+ x2
cos ( arccos x )=x cos ( arcsin x )=√1−x2
21
1cosx
arctgx
cos ( arcctgx )= x√1+x2
tg (arctgx )=x tg(arcsin x )= x
√1−x2 tg(arccos x )=√1−x2
x
ctg (arcctgx )=x ; ctg(arctgx ) 1
x ; ctg (arcsin x )=√1−x2
x ; ctg(arccos x )= x
√1−x2
ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ 0 °≺α≺90 °
sin( π2±α )=cosα
sin ( π±α )=∓sin α sin( 3 π
2±α)=−cosα
sin (2π±α )=±sin α
cos ( π2±α)=∓sin α
cos ( π±α )=−cos α cos ( 3 π
2±α)=±sin α
cos (2 π±α )=cosα
tg ( π2±α)=∓ctg α
tg (π±α )=±tg α tg( 3 π
2±α)=∓ctgα
tg (2 π±α )=±tgα
ctg( π2±α)=∓tg α
ctg( π±α )=±ctg α ctg ( 3 π
2±α )=∓tgα
ctg (2π±α )=±ctg α
РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
I. Уравнение sin t = а при │а│≤ 1.
t = (–1)n ∙ arc sin a+ πn; n∈Z.
1) sin t = 12 , t = (–1)n ∙
π6 + πn, n∈Z. 2) sin t = –
12 , t = (–1)n+1 ∙
π6 + πn, n∈Z.
3) sin t = √32 , t = (–1)n ∙
π3 + πn, n∈Z. 4) sin t = –
√32 , t = (–1)n+1 ∙
π3 + πn, n∈Z.
16
5) sin t = √22 , t = (–1)n ∙
π4 + πn, n∈Z. 6) sin t = –
√22 , t = (–1)n+1 ∙
π4 + πn, n∈Z.
7) sin2 t = а, где 0≤ а≤1 t = ± arcsin√а + πn, n∈Z.
Частные случаи решения уравнения:1) sin t = 0, t = πn, n∈Z.
2) sin t = 1, t = π2 + 2πn, n∈Z.
3) sin t = – 1 t = – π2 + 2πn, n∈Z.
II. Уравнение cos t = а при │а│≤ 1.
t = ± arc cos a + 2πn, n∈Z.
1) cos t =12 . t = ±
π3 + 2πn, n∈Z. 2) cos t = –
12 . t = ±
2 π3 + 2πn, n∈Z.
3) cos t =√32 . t = ±
π6 + 2πn, n∈Z. 4) cos t = –
√32 . t = ±
5 π6 + 2πn, n∈Z.
5) cos t =√22 . t = ±
π4 + 2πn, n∈Z. 6) cos t = –
√22 . t = ±
3 π4 + 2πn, n∈Z.
7) cos 2 t = а, где 0≤ а≤1 t = ± arc cos√а + πn, n∈Z.
Частные случаи решения уравнения:
1) cos t = 0. t = π2 + πn, n∈Z.
2) cos t = 1. t = 2πn, n∈Z.3) cos t = – 1. t = π + 2πn, n∈Z.
III. Уравнение tg t = а, а – любое число.
t = arc tg а + πn, n∈Z.
1) tg t = √33 , t =
π6 +πn, n∈Z. 2) tg t = –
√33 , t = –
π6 + πn, n∈Z.
3) tg t = √3 , t =π3 + πn, n∈Z. 4) tg t = –√3 , t = –
π3 + πn, n∈Z.
5) tg2 t = а, где а∈[0; +∞ ) t = ± arc tg√а + πn, n∈Z.
Частные случаи решения уравнения:
17
1) tg t = 0, t = πn, n∈Z. 2) tg t = 1, t = π4 + πn, n∈Z. 3) tg t = –1, t = –
π4 + πn, n∈Z.
IV. Уравнение сtg t = а, а – любое число.
t = arc сtg а + πn, n∈Z.
1) сtg t = √33 , t =
π3 +πn, n∈Z. 2) сtg t = –
√33 , t =
2 π3 + πn, n∈Z.
3) сtg t = √3 , t =π6 + πn, n∈Z. 4) сtg t = –√3 , t =
5π6 + πn, n∈Z.
5) сtg2 t = а, где а∈[0; +∞ ) t = ± arc сtg√а + πn, n∈Z.
Частные случаи решения уравнения:
1) сtg t = 0, t = π2 + πn, n∈Z. 2)сtg t = 1, t =
π4 + πn, n∈Z.
3) сtg t = –1, t = 3 π4 + πn, n∈Z.
Значения тригонометрических функций.
α0°
0
30°π6
45°π4
60°π3
90°π2
120°2 π3
135°3 π4
150°5 π6
180°π
sinα 012
√22
√32
1 √32
√22
12 0
cosα 1 √32
√22
12 0 –
12 –
√22 –
√32 – 1
tgα 0 √33
1 √3 – –√3 – 1–√33 0
сtgα – √3 1 √33
0–√33 – 1 –√3 –
α210°7 π6
225°5 π4
240°4 π3
270°3 π2
300°5 π3
315°7 π4
330°11 π
6
360°2 π
18
sinα –12 –
√22 –
√32 – 1
–√32 –
√22 –
12 0
cosα–√32 –
√22 –
12 0
12
√22
√32
1
tgα √33
1 √3 – –√3 – 1–√33 0
сtgα √3 1 √33
0–√33 – 1 –√3 –
1√2
=√22
1√3
=√33
18 °= π10
75 °= 5 π12
sin 105 °= √2+√64
sin 15 ° ( π12 )=√3−1
2√2 sin 18 °= √5−1
4 sin 75 °= √3+1
2√2
cos105 °= √2−√64
cos15 °( π12 )=√3+1
2√2 cos18 °= √5+√5
2√2 cos75°= √3−1
2√2 tg75 °=2+√3 .
ЗНАКИ ФУНКЦИИ ПО ЧЕТВЕРТЯМ
Четверти sin α cos α tg α ctg αIч.
900 ≺≺+ + + +
IIч. 90 °≺α≺180 °
+ - - -
IIIч.180 °≺α≺270°
- - + +
IVч.270 °≺α≺360 °
- + - -
ПЕРИОД ФУНКЦИЙ
1) Наименьший положительный период функции y=sin x и y=cos x равен 2 π
2) Наименьший положительный период функции y=tgx и y=ctgx равен π
19
3) Если функция f периодическая и имеет период Т, то функция Af (kx+b ), где A,
k и b постоянны, а k≠0 , также периодична, причем ее период равен
T|k| , где Т
– период данной функции.
Например: f ( x )=3 cos 4 x
Период:
T|k|
=2 π4= π
2
Пример: sin( x− π
4 )=12
x− π4=(−1 )narcsin 1
2+πn ,n∈ z
x−π
4=(−1)n π
6+πn
x=(−1 )n π
6+ π
4+πn ,n∈ z
4) Если f сумма двух или более функций, то период этой функции f будет НОК
периодов каждой из этих функций.
5) Формулы для нахождения периодов тригонометрических функций в степени:
f (x )=m⋅sinn ( ax+b )f ( x )=m⋅cosn ( ax+b )}⇒T={2π
|a|, если n нечётн
π|а|
, если n чётный
f ( x )=m⋅tgn ( ax+b )f ( x )=m⋅ctgn (ax+b )}⇒T= π
|a|
Как найти область определения функции.
Область определения функции D(f) множество х, при котором функция имеет смысл.1) f(х) = a0+a1 x+a2 x2+. ..+n xn
- многочлен, область определения f(х) есть R, т.е. D(f) = R.
2) Рациональная функция:
f(х) = h ( x )q ( x ) - рациональная функция;
q(х) ≠ 0 – решаем уравнение. D(f) = R – {корни q(х) = 0}, т.е. областью определения являются числа R минус корни уравнения q(х) = 0.
20
3) Радикальные функции:
f(х) =n√q ( x ) - есть радикальная функция.
Область определения f(х) зависит от n.Если n – нечётные числа, то f(х) определяется на R.Если n – чётные числа, то f(х) определяется, когда q(х) ≥ 0.
4)Логарифмическая функция. f(х) =log q ( x )h ( x ) - есть логарифмическая функция, если q(х) >0 q(х)≠0; h(х) >0.
5)Тригонометрические функции.¿ f(х) = sin(q(х)), f(х) = cos(q(х)), определяется, когда определён q(х).
¿ f(х) =tg(q(х)) определяется, когда q(х) ≠π2 + πk, k∈Z.
¿ f(х) = ctg(q(х)) определяется, когда q(х) ≠ πk, k∈Z. ¿ f(х) = arcsin(q(х)); f(х) = arccos(q(х)) определяются, когда – 1≤q(х) ≤ 1.
¿ f(х) = arctg(q(х)); f(х) = arcctg(q(х)) определяются, когда определён q(х).
РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
1) sin x≻a −1≤a≺1 arcsin a+2πn≺x≺π−arcsin a+2 πn , n∈ z
2) sin x≺a −1≺a≤1 -π−arcsin a+2 πn≺x≺arcsin a+2 πn , n∈ z
1) cos x≻a −1≤a≺1 −arccos a+2 πn≺x≺arccos a+2 πn ,n∈ z
2) cos x≺a −1≺a≤1 arccos a+2 πn≺x≺2 π−arccos a+2 πn ,n∈ z
1)
2)
1) 2)
Найти область значений y=2−3 sin x E(sin )= [−1 ;1 ] E(2−3 sin x )=[2−(−3 );2−3 ] E(3sin )=[−3 ;3 ] [−1 ;5 ]
21
РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
1) sin t≤a , −1≤a≤1 , .
sin t ≤ 12 , t
∈[−7 π6+2πn ; π
6+2πn] , n∈Z.
sin t ≤ – 12 , t
∈[−5 π6+2 πn ; − π
6+2 πn], n∈Z.
sin t ≤ √32 , t
∈[−4 π3+2 πn; π
3+2πn] , n∈Z.
sin t ≤ – √32 , t
∈[−2 π3+2πn ; − π
3+2 πn], n∈Z.
sin t ≤ √22 , t
∈[−5 π4+2πn ; π
4+2πn] , n∈Z.
sin t ≤ – √22 , t
∈[−3 π4+2 πn ; − π
4+2πn], n∈Z.
sin t ≤ 0, t∈ [−π+2 πn; 2 πn ] , n∈Z. sin t ≤ 1, t∈ (−∞; +∞ ) .
2) sin t≥a , −1≤a≤1 , .
sin t ≥ 12 , t
∈[ π6+2πn ; 5 π
6+2 πn] , n∈Z.
sin t ≥ – 12 , t
∈[−π6+2 πn; 7 π
6+2πn] , n∈Z.
sin t ≥ √32 , t
∈[ π3+2πn ; 2 π
3+2 πn], n∈Z.
sin t ≥ – √32 , t
∈[−π3+2 πn ; 4 π
3+2πn] , n∈Z.
sin t ≥ √22 , t
∈[ π4+2πn ; 3π
4+2πn] , n∈Z.
sin t ≥ – √22 , t
∈[−π4+2πn ; 5 π
4+2πn] , n∈Z.
22
sin t ≥ 0, t∈ [2 πn; π+2 πn ] , n∈Z. t∈ (−∞; +∞ ) .
3) cos t≤a , −1≤a≤1 , .
cos t ≤ 12 , t
∈[ π3+2πn ; 5π
3+2 πn] , n∈Z.
cos t ≤ – 12 , t
∈[2 π3+2 πn; 4 π
3+2 πn ], n∈Z.
cos t ≤√32 , t
∈[ π6+2πn ; 11 π
6+2πn] , n∈Z.
cos t ≤ – √32 , t
∈[ 5 π6+2πn ; 7π
6+2 πn] , n∈Z.
cos t ≤√22 , t , n∈Z.
cos t ≤ – √22 , t
∈[3 π4+2πn; 5π
4+2 πn], n∈Z.
cos t ≤ 0, t∈[ π
2+2πn ; 3π
2+2 πn] , n∈Z.
cos t ≤ 1, t∈ (−∞; +∞ ) .
4) cos t≥a , ,
cos t ≥ 12 , t
∈[−π3+2 πn ; π
3+2πn] , n∈Z.
cos t ≥ – 12 , t
∈[−2 π3+2πn ; 2 π
3+2 πn], n∈Z.
cos t ≥√32 , t
∈[−π6+2 πn ; π
6+2 πn] , n∈Z.
cos t ≥ – √32 , t
∈[−5 π6+2πn ; 5 π
6+2 πn] , n∈Z.
cos t ≥√22 , t
∈[−π4+2 πn ; π
4+2πn] , n∈Z.
23
cos t ≥= – √22 , t
∈[−3 π4+2 πn ; 3π
4+2 πn] , n∈Z.
cos t ≥ 0, t∈[−π
2+2 πn ; π
2+2πn] , n∈Z.
5) tgx≤a ,
tg t ≤ √33 , t
∈(− π2+πn ; π
6+πn ]
, n∈Z.
tg t ≤ –√33 , t
∈(− π2+πn ; − π
6+πn ]
, n∈Z.
tg t ≤ √3 , t ∈(− π
2+πn ; π
3+πn ]
, n∈Z.
tg t ≤ –√3 , t ∈(− π
2+πn ; − π
3+πn ]
, n∈Z.
tg t ≤ 0, t ∈(− π
2+πn; πn ]
, n∈Z.
tg t ≤ 1, t ∈(− π
2+πn ; π
4+πn ]
, n∈Z.
tg t ≤ –1, t ∈(− π
2+πn ; − π
4+πn ]
, n∈Z.
6) tgx≥a ,
tg t ≥ √33 , t
∈[ π6+πn ; π
2+πn )
, n∈Z.
tg t ≥–√33 , t
∈[−π6+πn ; π
2+πn )
, n∈Z.
tg t ≥ √3 , t∈[ π
3+πn ; π
2+πn )
, n∈Z.
tg t ≥ –√3 , t∈[−π
3+πn ; π
2+πn )
, n∈Z.
tg t ≥ 0, t∈[ πn; π
2+πn )
, n∈Z.
24
tg t ≥ 1, t∈[ π
4+πn ; π
2+πn )
, n∈Z.
tg t ≥ –1, t∈[−π
4+πn ; π
2+πn )
, n∈Z.
7) ,
сtg t ≤ √33 , t , n∈Z.
сtg t ≤ –√33 , t , n∈Z.
сtg t ≤ √3 , t , n∈Z.
сtg t ≤ –√3 , t , n∈Z.
сtg t ≤ 0, t , n∈Z.
сtg t ≤ 1, t , n∈Z.
сtg t ≤ –1, t , n∈Z.
8) ctgx≥a ,
сtg t ≥ √33 , t
∈(πn ; π3+πn ]
, n∈Z.
сtg t ≥ –√33 , t
∈(πn ; 2 π3+πn ]
, n∈Z.
сtg t ≥ √3 , t∈(πn ; π
6+πn ]
, n∈Z.
25
сtg t ≥ –√3 , t∈(πn ; 5 π
6+πn ]
, n∈Z.
сtg t ≥ 0, t∈(πn ; π
2+πn ]
, n∈Z.
сtg t ≥ 1, t∈(πn ; π
4+πn ]
, n∈Z.
сtg t ≥ –1, t∈(πn; 3 π
4+πn ]
, n∈Z.
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ
d-разность арифметической прогрессии d=an−an−1 ;d=an−ap
n−pЕсли d – положительное числоЕсли d – отрицательное число
то арифм.прог.возраст.то арифм.прог.убывающ.
Формула п-го члена арифметической прогрессииan=a1+d (n−1 ) ; an=ap+(n−p )⋅d
Свойство п-го члена арифметической прогрессии an=an−1+an+1
2; ak=
ak+ p+ak−p
2
Формула суммы п первых членов арифм.прогрессии 1) Sn=
a1+an
2⋅n
2) Sn=
2 a1+d (n−1 )2
⋅n
q – знаменатель геометрической прогрессииq=
b2
b1;q=
b3
b2
Если q – положительное числоЕсли q – отрицательное число
то геометр.прог.возраст.то геометр.прог.убывающ.
Формула п-го члена геометрической прогрессии bn=b1⋅qn−1 bn=bk⋅q
n−k
Свойство п-го члена геометрической прогрессии bk=√bk+ p⋅bk− p
Формула суммы п-первых членов геометрической прогрессии Sn=
b1 (1−qn )1−q
Формула произведения п-первых членов геометрической прогрессии Pn=b1
n
⋅qn (n−1 )
2 Pn=(b1⋅bn)
n2
Формула суммы бесконечной геом. прогрессии S=b1
1−q26
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
1) Члены неравенства можно переносить с противоположным знаком из одной части неравенства в другую.
2) Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и то же положительное число, то знак полученного неравенства не меняется.
3) Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и то же отрицательное число, то знак полученного неравенства меняется на противоположный.
4) Неравенство
f 1 ( x )f 2 ( x )
≻0 равносильно неравенству f 1( x )⋅f 2( x≻0 ) при f 2( x )≠0 .
5) Неравенство
f 1 ( x )f 2 ( x )
≺0 равносильно неравенству f 1( x )⋅f 2( x )≺0 при f 2( x )≠0 .
РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
Всякое неравенство второй степени с одним неизвестным (квадратное неравенство) можно привести к одному из видов:
ax 2+bx+c≻0 ax 2+bx+c≺0 ax 2+bx+c≥0 ax 2+bx+c≤0
Графиков функции y=ax2+bx+c является парабола (ветви вверх), a≻0
+ + х1 и х2 – корни квадратного уравнения. х1 х2
1) ax 2+bx+c≻0 Ответ: (−∞ ; x1)∪(x2 ;+∞ )
2) ax 2+bx+c≺0 Ответ: (x1; x2)
МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ
(x−x1 )( x−x2) (x−x3 )≻0 (1)
(x−x1 )( x−x2) (x−x3 )≺0 (2)
Чтобы найти решения неравенств (1) и (2), надо:1) нанести на числовую ось нули функции (левой части неравенства), т.е. х1, х2, х3;2) проверить знак левой части неравенства на каждом из полученных интервалов путем подстановки любого числа из этого интервала;
27
3) тогда множеством всех решений неравенства (1) будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «+»;4) множеством всех решений неравенства (2) будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «-».
1) Решить неравенство: x ( x−4 )
x+2≤0
Нули функции: x=0 , x−4=0 , x+2=0 , x=4 x=−2
10
− + − + (−∞ ;−2 )∪[0 ;4 ] -2 0 4
2) Решить неравенство: x ( x−4 )( x+5 )2≤0
Нули функции: x=0 , x−4=0 , x+5=0 , x=4 x=−5
+ + − + x∈ [0 ;4 ]∪{−5 } -5 0 4
3). Решить неравенство:
2 x−5x+3
≥0 + − +
1) 2х-5=0 2) х+3=0 -3 2,52х=5 х=-3
х=2,5 (−∞ ;−3 )∪[2,5 ;+∞ )
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
I) Если 2 k√A ( x )≺B( x ), то
{ A( x )≥0 ¿ {B( x )≻0¿ ¿¿¿
II) Если 2 k√A ( x )≻B( x ), то
{B( x )≥0¿ { A( x )≥0 ¿ ¿¿¿ и
{B( x )≺0 ¿ ¿¿¿Простейшие иррациональные неравенства
28
√ x≺a √ x≻aa≺0 Решений нет x≥0⇔ x∈[0 ;+∞)a=0 Решений нет x≻0⇔ x∈ (0 ;+∞ )
√ x≺a √ x≻aa≻0 0≤x≺a2 , x∈[ 0 ;a2 ) x≻a2⇔ x∈ (a2 ;+∞ )√ f (x )≺q( x ) √ f (x )≻q( x ) √ f (x )≻√q( x )Равносильно системе:
{q ( x )≥0 ¿ { f ( x )≺q2( x ) ¿¿¿¿Равносильно объединению систем:
{q ( x )≺0 ¿ ¿¿¿¿
¿Равносильно системе:
{ f ( x )≻q ( x )¿ ¿¿¿
ПРОИЗВОДНАЯ
29
y '=C '=0 (С - число)y '=(c⋅u )′=c⋅u'
y '=x '=1
y '=( 1x )
′
=− 1x2
y '=(x2 )′=2 x
y '=( 1x2 )
′=− 2
x3
y '=(x3 )′=3 x2
y '=( 1x3 )
′=− 3
x4
y '=(xn )′=nxn−1
y '=( 1xn )
′=− n
xn+1
y '=( 1x4 )
′=− 4
x5
y '=(√ x )′= 12√x
y '=( 1√x )
′
=− 12 x√ x
y '=( 3√x )′= 1
3 3√ x2
y '=(x−3 )′=−3 x−3−1=−3 x−4
у '=(х−n )′=−nx−n−1
( uυ )
′=u' υ−u υ'
υ2
(u⋅υ )′=u' υ+u υ'
y '=(ax )′=ax ℓ nay '=(ex )′=ex
y '=( loga x )′= 1xℓ na
y '=( ℓ nx )′=1x
y '=(sin x )′=cos x y '=(sin2 x ) ′=sin 2 xy '=(cos x )′=−sin x y '=(cos2 x )′=−sin2 xy '=( tgx )′= 1
cos2 x
y '=(ctgx )′=− 1sin2 x
y '=(arcsin x )′=
1√1−x2
y'=(arccos x )′= –
1√1−x2
y '=(arctgx )′=1
1+ х2 y
'=(arcctgx )′=–
11+ х2
y '=(2 x sin x−(x2−2 )cos x )′=x2 sin xy '=(2 x cos x+ (x2−2 ) sin x )′=x2 cos xПримеры.
1) ( 1
2x+1 )′=− 1
(2x+1 )2⋅(2 x+1 )′=− 2
(2 x+1 )2
2)
(ctg(2x+ π2 ))
′=− 1
sin2 (2x+ π2 )⋅(2х+ π
2 )′=− 2
sin2(2x+ π2 )
ИНТЕГРАЛ
∫ ( f ( x )+q ( x ) )dx=∫ f ( x ) dx+∫ q ( x ) dx
∫ k⋅f ( x ) dx=k⋅∫ f ( x ) dx
30
∫ f ( kx+b ) dx= 1k
F ( kx+b )
∫a
b
f ( x )dx=F ( x ) ba=F (b )−F (a )
∫1 dx=x+C ∫ kdx=kx+C
∫ dx=x+C
∫ x dx =х2
2 + C
∫ x2dx= x3
3+C
∫ xn dx= хn+1
n+1 + С
∫ 1x
dx=∫ dxx = ln |х | + С
∫ 1x2
dx= –
1х+С
∫ 1x3
dx=− 12 x2
+C
∫ 1x4 dx=− 1
3 x3+C
∫ 1xn
dx=− 1(n−1 ) xn−1
+C
∫ √x dx=2 x √x3
+C
∫ 1√ x
dx=2√x+C
∫ 3√x dx=3 x 3√x4 +C
∫ 13√ x2
dx=3 3√x+C
∫ 4√x3 dx=47
x 4√x3+C
∫ n√xm dx= nm+n
n√ xm+n+C
∫ ex dx=e x+C
∫ e−x dx=−e−x+C
∫ dxsin2 x
=−ctgx+c
∫sin xa
dx = – а cos
ха + С
∫ x⋅sin xdx = sin х –хcos х + С
∫ x2⋅sin xdx = 2·хsin х– (х2
–2) ·cos х+ С
∫ x2⋅sin xdx = 2·хsin х + (2 –х2) ·cos х+ С
∫sin2 xdx =
х2−sin x⋅cos x
2 + С
∫cos xa
dx= а·sin
ха + С
∫ x⋅cos xdx = cos х+х·sin х+ С
∫ x2 cos xdx = 2хcos х+(х2
–2)·sin х+ С
∫cos2 xdx = х2+sin x⋅cos x
2 + С
∫ (cos2 x−sin2 x )dx =
sin 2 x2 + С
∫sin2 x1+cos x
dx = х – sin х + С
∫ tg2 xdx = tg х – х + С
∫ 1cos25 x
dx=
15 tg 5х + С
∫sin3 хdx= cos3 x
3 – cos х + С
∫sin3 хdx=
112
cos3 x−34
cos x+C
∫sin4 хdx=
3 х8−sin 2 x
4+sin 4 x
32 + С
31
∫ ax dx= ax
ln a+C
∫ ln xdx=x⋅ln x−x+C
∫ x⋅ln xdx= x2
2ln x+ x2
4+C
∫ ln xx
dx= (ln x )2
2+C
∫sin xdx=−cos x+C
∫cos xdx=sin x+C
∫ 1cos2 x
dx=tgx+C
∫cos3 xdx=sin x−13
sin3 x+C
∫cos3 xdx= 112
sin 3 x+ 34
sin x+C
∫cos4 xdx=3 x8+ 1
4sin2 x+ 1
32sin 4 x+C
Примеры:
1) ∫cos (3 x− π
6 )dx=13
sin(3 x− π6 )+c
2) ∫5√ x dx=5⋅2 x √x
3=10 x√ x
3+c
3) ∫ a3 x dx=1
3⋅a3 x
ℓ na= a3 x
3 ℓ na+c
4) ∫ (4 x−5 )3 dx= 1
4⋅(4 x−5 )4
4=
(4 x−5 )4
16+c
ТАБЛИЦА ПЕРВООБРАЗНЫХ
F' ( x )= f ( x )
Три правила нахождения первообразных: 1) для функции f +q первообразная F+Q
2) для функции k f (x ) первообразная k F
3) для функции f ( kx+b ) первообразная 1k
F (kx+b )
Функция f ( x )
Первообразная F ( x )
Функцияf ( x )
Первообразная F ( x )
f ( x )= 1 F(х) = х + С f ( x )= хF(х) =
х2
2 + Cf ( x )=k (k-число)
F ( x )=kx+c f(х) = хn ,F(х) =
хn+1
n+1 + С
f ( x )= 1x F ( x )=ln|x|+c f ( x )=sin x F ( x )=−cos x+c
f ( x )= 1x2 F ( x )=−1
x+c f ( x )=cos x F ( x )=sin x+c
f ( x )= 1x3
F ( x )=− 12 x2
+cf(х) = sin
ха F(х) = – а cos
ха + С
f ( x )= 1x4
F ( x )=− 13 x3
+cf(х) = cos
ха F(х) = а·sin
ха + С
32
5
1x
xf F ( x )=− 14 x4
+c f(х) = х· sin х F(х) = sin х –хcos х + С
f ( x )=1хn F(х) = –
1(n−1 )⋅xn−1
+ C
f(х) = х2
· sin х F(х) =2·хsin х–(х2
–2)cos х+ С
xxf + С
f(х) = sin2 хF(х) =
х2−sin x⋅cos x
2 + С
f ( x )= 1√ x
f(х) = х· cos х F(х) = cos х+х·sin х+ С
f ( x )=3√x F ( x )= 3 x 3√ x4 +c f(х) =х2
· cos х F(х) =2хcos х+(х2
–2)·sin х+ С
f ( x )=7√x F ( x )= 7 x 7√ x8 +c f(х) = cos 2х
F(х) =
х2+sin x⋅cos x
2 + С
f(х) =
13√х2 F(х) = 3·
3√ х+С f ( x )= 1cos2 x
F ( x )=tgx+c
f(х) = 4√ х3
F(х) =
47
4√ х7+С f ( x )= 1sin2 x
F ( x )=−ctgx+c
f(х) =n√ xm
F(х) =
nm+n
n√ xm+n+C f ( x )=ax F ( x )= ax
ℓ na+c
f ( x )=ex F ( x )=ex+c f(х) = е – х F(х) = – е – х + С
f(х) = lnx, x>0, F(х) = х lnx – х + С f(х) = х lnx
F(х) = х2
2 lnx –х2
4 + С
f(х) =х2lnx
F(х) = х3
3 lnx –х3
3 + С f(х) =
ln xx F(х) =
(ln x )2
2 + Сf(х) = cos 2х– sin2 х F(х) =
sin 2 x2 + С f(х) =
sin2 x1+cos x F(х) = х – sin х + С
f(х) = sin3 хF(х) =
cos3 x3 – cos х+С
f(х) = sin4 хF(х) =
3 х8−sin 2 x
4+sin 4 x
32 +С
f(х) = cos 3х F(х) = sin х – sin3 x
3 + С
f(х) = cos 4хF(х) =
3 х8+sin 2 x
4+sin 4 x
32
f(х) = tg2 х F(х) = tg х – х + Сf(х) =
1cos25 x F(х) =
15 tg 5х + С
33
ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ, ОГРАНИЧЕННОЙ ЛИНИЯМИ
У y=f(x) y=f(x)
y=q(x) 0 а у=0 b 0 a b
Sφ=∫ ab f (x ) dx=F ( x )|a
b=F (b)−F( a) Sφ=∫
a
b
( f ( x )−q ( x ))dx
ОБЪЕМ ФИГУРЫ, ОГРАНИЧЕННОЙ ЛИНИЯМИ
V φ=π∫a
bf 2( x )dx
y=f(x)
a y=0 bДЛИНА КРИВОЙ АВ ФУНКЦИИ У=f(x) МЕЖДУ ПРЯМЫМИ x=a и х=b.
В
А l=∫
a
b
√1+( f ' ( x ) )2 dx
а b
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ
Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.
Чтобы найти критические точки, надо: 1) Найти производную f
'( x )2) Производную приравнять к нулю и решить.Пример: найти критические точки:
а) f ( x )=2 x2−9 x+5 ; б) f ( x )=4
x+ x
4
Решение. 34
а)
f '( x )=4 x−9 ;4 x−9=04 x=9|:4x=2 , 25 б)
x≠0
f '( x )=−4x2 +
14
−4x2 +
14=0
−4x2 =−
14⋅(−1 )
x2=16x=±4
Критическая точка: 2, 25 Критические точки: -4; 4
Как исследовать функцию на экстремумы (т.е. найти точки максимума и минимума)
1) найти производную функции: f '( x )
2) производную приравнять к нулю: f'( x )=0
3) решить это уравнение и найти х1 и х2 – критические точки.4) отметить критические точки на числовой прямой: х1 х2
5) выяснить знак каждого промежутка путем подстановки любого числа из этого промежутка в производную. + - + х1 х2
6) если в точке х1 производная меняет знак с «+» на «-», то х1 – точка максимума, т.е. хmax = х1; если в точке х2 производная меняет знак с «-» на «+», то х2 – есть точка минимума, т.е. хmin = x2.
Как найти промежутки возрастания и убывания.
1) Найти производную функции: f'( x )
2) Найти точки, в которых производная не существует. Например, х0 – точка, в которой производная не существует.
3) Производную приравнять к нулю: f'( x )=0
4) Решить это уравнение и найти его корни: х1 и х2.5) Отметить точки х0, х1, х2 на числовой прямой: точку х0 (где производная не
существует)отметить открытой точкой; точки х1 и х2 отметить черточкой.
х0 х1 х2 f'( x )
6) Выяснить знак каждого промежутка путем подстановки любого числа из этого промежутка в производную.
35
7) Выписать промежутки возрастания (промежутки, в которых стоит знак «+»); выписать промежутки убывания (промежутки, в которых стоит знак «-»).
Пример: Найти промежутки возрастания и убывания f ( x )=3 x2−6 x .1) f
'( x )=6 x−6 2) 6 x−6=0 6 x=6|:6
1 x=1 3) - + f '(10 )=⊕ 1
Промежуток убывания (−∞:1 ]
Промежуток возрастания [1 ;+∞)
8) Если функция f непрерывна в каком либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку.
Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [ a ; b ]. 1) Найти производную функции f
'( x )
2) Производную приравнять к нулю: f'( x )=0 и решить уравнение; х1 и х2 –
критические точки.3) Выяснить, какие критические точки принадлежат отрезку [a;b], а какие – не
принадлежат: x1∈[a ;b ] ; x2∉[a ;b ]
4) Вычислить значения функции на концах отрезка: f(a), f(b); а также в критических точках, которые принадлежат отрезку.
5) Из полученных чисел (п.4) выбрать наибольшее и наименьшее:max f(x) = min f(x) =
[a; b] [a; b]Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f ( x )=x2−4 x+3 на отрезке [ 0;3 ]f '( x )=2 x−42 x−4=02 x=4 /: 2x=2
f (0)=02−4⋅0+3=3f (3)=32−4⋅3+3=0f (2)=22−4⋅2+3=−1
2∈[0 ;3 ] Ответ: Наибольшее 3 Наименьшее -1ФИЗИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ (РАССТОЯНИЕ, СКОРОСТЬ,
УСКОРЕНИЕ)
S( t ) - путь, расстояние, (или x ( t ))υ ( t )=S' ( t ) или υ ( t )=x ' ( t ) a ( t )=υ '( t )
36
.
КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ
Уравнение касательной к графику функции в точке х0
y= f ( x0 )+f ' ( x0 )⋅( x−x0 )
1) Найти f ( x0)
2) Найти производную f'( x )
3) Найти производную в точке х0: f'( x0 )
4) Записать уравнение касательной.
УГОЛ КАСАТЕЛЬНОЙ
Проведем касательные к графику функции f(x) в точках х1, х2, х3.Если f
'( x1 )≻0 , то угол α 1 острый;Если f
'( x2 )=0 , то угол α 2=0 ;Если f
'( x3 )≺0 , то угол α 3 тупой.tg α=f ' ( x0 ), где α - угол, который образует касательная с осью 0хk=f '( x0 ) - коэффициент касательной ( y=kx+b)
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
1) Логарифмической функцией называется функция вида y= loga x , где a≻0 , a≠1 и х – независимая функция.
2) Областью определения логарифмической функции y= loga x является множество положительных значении х:
D( x )=R+ , т.е. x≻03) Областью значений у логарифмической функции служит множество всех
действительных чисел y∈(−∞ ;+∞)График логарифмической функции
1) y= loga x , где a≻1 2) y= loga x , где 0≺a≺1
у у37
х 1 х 1
ЛОГАРИФМЫ
Определение логарифма числа х по основанию а
Если log a x=b , x≻0 , a≻0 , a≠1
то х=аb
Основное логарифмическое тождествоСвойство логарифмов log a a=1;loga 1=0 ; a≻0 , a≠1
loga xy=loga x+ loga y
log axy= loga x−loga y
log a xk=k⋅loga x
logak х=1
k⋅log a x
a≻0 , x≻0 , y≻0 ,a≠1 , k≠1Переход к другому основанию в логарифмах log a x=
logb xlogb a
ax
xa log
1log
a≻0 , a≠1 , x≻0 , x≠1 b≻0 , b≠1ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
1) log a x=b , х – неизвестное, а и b числа, a≻0 и a≠1
x=ab
2) log a x1= loga x2 , где a≻0 , a≠1 {x1=x2¿ {x1≻0 ¿¿¿ ¿
ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО
38
1) При a≻1 логарифмическая функция возрастает: тогда, если log a x1≺log a x2 , то
{x1≺x2 ¿ {x1≻0 ¿ ¿¿¿2) При 0≺a≺1 логарифмическая функция убывает, тогда, если: log a x1≺log a x2 ,
то {x1≻x2 ¿ {x1≻0 ¿ ¿¿¿
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
1)Показательная функцией переменной х называется функция y=ax, где а- данное
число, a≻0 , a≠12) Показательная функция определена при всех действительных значениях х, т.е. D( f )=R , x∈ R 3) Областью значений показательной функции служит множество всех положительных действительных чисел, т.е. y∈( 0;+∞)
График показательной функции
1) y=ax, где a≻1 2) y=ax
, где 0≺a≺1
у у
1 1 х х
Показательные уравнения
1) ax=b , где a≻0 , a≠1
Если b≻0 , то уравнение имеет единственное решение: x= loga b
Если b≤0 , то уравнение решений не имеет.
2) af 1( x )
=af 2( x )
, где a≻0 , a≠1 f 1( x )=f 2( x )
39
Показательное неравенство
1) При a≻1 показательная функция строго возрастает, т.е. ax1≺a
x2, то x1≺x2
2) При a∈(0 ;1), т.е. 0≺a≺1 , показательная функция строго убывает, т.е. ax1≻a
x2 , то x1≺x2
ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ.
Если сумма двух чисел равна 40,то эти числа есть х и 40–х. Если разность двух чисел равна 12, то эти числа есть х и х – 12.
Задачи на движение по прямой Основными компонентами этого типа задач являются: S – путь; υ – скорость; t – время.
S=υ⋅t ; υ= S
t ; t=S
υПлан решения: 1. В качестве неизвестных обычно выбирают расстояние (если оно не задано) или скорости движущихся объектов.2. Для составления уравнений в таких задачах, как правило, пользуются следующими соображениями:а) если два объекта начинают движение одновременно навстречу друг к другу, то до
момента их встречи пройдет время, равное
Sυ1+υ2 ;
б) если объекты начинают движение в разное время, то до момента встречи больше времени затрачивает тот, который выходит раньше;в) если объекты прошли одинаковое расстояние, то величину этого расстояния удобно принять за общее неизвестное этой задачи;
г) при движении объектов в одну сторону (υ1≻υ2 ) время, через которое первый
догоняет второго, равно
Sυ1+υ2 .
Задача. Расстояние между двумя станциями железной дороги 120 км. Первый поезд проходит это расстояние на 50 мин. скорее, чем второй, скорость первого поезда больше скорости второго на 12 км/ч. Определите скорость обоих поездов.Решение . Скорость первого поезда х км/ч, скорость второго (х-12) км/ч. Время
40
движения первого поезда (час), время движения второго поезда
(час). Разница во времени (часа).
Уравнение: ; умножим на .
; сокращаем на 5.
не удовлетворяет условию задачи. υ1= 48 км/ч, υ2= 48-12=36 км/ч. Ответ: 48 км/ч, 36 км/ч.
Движение по окружности
При решении задач на данную тему следует учитывать, что:а) если при одновременном движении двух объектов по окружности их одной точки, один из них догоняет первый раз другого, то разность пройденных ими к этому моменту расстояний равна длине окружности;б) если два объекта движутся по окружности радиуса R с постоянными скоростями
υ1 и υ2 в разных направлениях, то время между их встречами вычисляется по
формуле
2 πRυ1+υ2
в) если два объекта движутся по окружности радиуса R с постоянными скоростями
υ1 и υ2 в одном направлении, то время между их встречами равно:
2πRυ1−υ2
⋅(υ1≻υ2 )
Задача. По окружности, имеющей длину 1350 м, в одном направлении едут два велосипедиста. Первый обгонял второго каждые 27 мин. При движении в противоположных направлениях они встречаются каждые 3 мин. Найдите скорости велосипедистов. Решение . Скорость I велосипедиста х м/мин, скорость II велосипедиста у м/мин. Чтобы первому велосипедисту обогнать второго, он должен пройти круг и еще пройти то расстояние, которое прошел второй за 27 мин. Т.е. разница путей,
пройденных велосипедистами равна 1350 м; . (м/мин). В случае встречного движения за 3 мин I велосипедист проехал
м, второй м; сумма , , .
41
Система
, Ответ: 15 км/ч, 12 км/ч.
Движение по реке
υпотеч .=υсоб .+υтеч . υсоб .=
υпотеч .+υпротив
2 υпротивтеч .=υсоб .−υтеч. υплота=υтеч.
υтеч.=υпотеч−υпрот
2
Задача. Лодка спускается вниз по течению реки из пункта А в пункт В, находящийся в 10 км от А, затем возвращается в А. Если собственная скорость лодки 3 км/ч, то путь из А в В занимает на 2ч 30 мин меньше, чем из В в А. Какой должна быть собственная скорость лодки, чтобы поездка из А в В заняла 2 ч?Решение . Пусть х км/ч – скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению (3 + х) км/ч. Скорость лодки против течения реки (3 – х) км/ч. Время движения по
течению час, против течения час. Разница во времени составляет
2 ч 30 мин = ч.
Уравнение:
Скорость течения реки 1 км/ч. Пусть собственная скорость лодки у км/ч, тогда скорость лодки по течению составит (у + 1) км/ч. На
весь путь от А до В затрачено времени ч. км/чОтвет: Собственная скорость лодки должна быть 4 км/ч чтобы она преодолела путь из А в В за 2 часа.
Задачи на концентрацию и процентное содержание
Введем основные понятия:
Пусть даны три различных вещества с массами: mA, mB и mC.Масса смеси состоит из этих веществ: M = mA+mB+mC
42
Массовой концентрацией вещества А в смеси (доля чистого вещества в смеси),
называется величина СА, вычисляемая по формуле: C A=
mA
M=
mA
mA+mB+mC
Массовая концентрация СА+СВ+СС=1.Процентным содержанием вещества А в данной смеси называется величина РА%,
вычисляемая по формуле РА=СА⋅100 %mA=CA⋅M
Задача 1. Морская вода содержит 5% соли. Сколько пресной воды нужно добавить к 80кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 4%?Решение. Пусть добавили х кг воды
Состояние смеси
Количество чистого вещества (соли) (mA=M⋅C A )
Общее количество смеси М
Массовая концентрация (СА)
Первоначально 0 ,05⋅80 80 0, 05После добавления
0 ,05⋅80 80+х 0, 04
Исходя из второй строки таблицы, составим уравнение:
0 ,05⋅80=(80+х )⋅0 ,04 80+х=100х=20 Ответ: 20кг.
Задача 2. Смесь, состоящая из двух веществ, весит 18 кг. После того, как из нее выделили 40% первого вещества и 25% второго, в ней первого вещества стало столько же, сколько второго. Сколько каждого вещества было в смеси?
Решение . Было Выделили ( кг) Осталось (кг)
х = 8, у=10.
Ответ: 10 кг и 8 кг
43
Задача 3. 40 кг раствора соли разлили в два сосуда так, что во втором сосуде чистой соли оказалось на 2 кг больше, чем в первом сосуде. Если во второй сосуд добавить 1 кг соли, то количество соли в нем будет в два раза больше, чем в первом сосуде. Найдите вес раствора, находящегося в первом сосуде.
Решение . Пусть в первом сосуде было х кг соли, тогда во втором (х+2) кг соли. После добавления во второй сосуд соли , в нем стало (х+3) кг. Из условия задачи 2х = х + 3, х = 3.Значит, в первом сосуде было 3 кг соли, а во втором 5 кг соли. Всего в 40 кг раствора содержится 8 кг соли. Найдем процентное содержание соли в 40 кг
раствора В первом сосуде 3 кг соли, раствора будет если найдем число по величине его
процента. 20% составляет 3. (кг). Ответ: 15 кгЗадача 4. Из 22 кг свежих грибов получается 2,5 кг сухих грибов, содержащих 12% воды. Каков процент воды в свежих грибах?
Решение. Найдем сколько процентов абсолютно сухих грибов в 2,5 кг сухих грибов. 100% - 12% = 88%. Пусть абсолютно сухих грибов х кг
(кг) абсолютно сухих грибов. Следовательно, в 22 кг свежих грибов вода составляет 22 – 2,2 = 19,8 кг, что
составляет . Ответ: 90%
Задачи на сложный процентный рост
Sn=(1±P
100)n⋅S
- формула сложных процентов
Формула применима к любой ситуации, когда рассматриваемая величина за каждый заданный промежуток времени увеличивается или уменьшается на Р%, считая от предыдущего ее значения.
Задача. Какая сумма будет на счете через 4 года, если на него положены 2000 тенге под 30% годовых?
44
Решение. Sn=(1+ P
100 )n
⋅S
S4=(1+30100 )
4⋅2000=(13
10 )4⋅2000=134⋅2
10=5712 , 2
.Ответ : 5712,2 тенге.
Задачи на выполнение работы.
Объём работы принимаем за единицу: 1.I – ая бригада выполняет эту работу за х часов. Производительность (скорость)
I– ой бригады: 1х .
II – ая бригада выполняет эту работу за у часов. Производительность (скорость)
II – ой бригады: 1у .
Вместе обе бригады выполняют эту работу за t часов,
их общая производительность: 1t .
Тогда: 1х+ 1
у=1
t или (1х+ 1
у )⋅t=1.
Задача. Два каменщика сложили вместе стенку за 20 дней. За сколько дней выполнил бы работу каждый из них в отдельности, если известно, что первый каменщик должен работать на 9 дней больше второго?Решение . Всю работу обозначим за 1, за х дней должен выполнить работу отдельно II каменщик, тогда первый ту же работу должен выполнить за х + 9 дней.
Производительность I каменщика , II-го – . (работа за день) Работая вместе
20 дней они выполнят всю работу: ( 1x+ 1
x+9 ) ∙20=1 ; 20x+ 20
x+9=1
Первый каменщик выполнит работу за 45 дней, второй – за 36 дней.Ответ: 45 дней, 36 дней.
Четные, нечетные функций
45
В условиях тестирования, очень важно использовать свойства, позволяющие быстрее исследовать функции на четность, нечетность (не пользуясь определением):
1. Сумма четных функций – функция четная2. Сумма нечетных функций – нечетная3. Произведение четных функций - четная4. Произведение двух нечетных – нечетная5. Произведение четных и нечетных – нечетная
6. Если функция f четная (нечетная), то 1f четная (нечетная)
Нечетные: x2k−1
, sin x, tg x, ctg x, 2 k−1√ x ,
1х2 k−1 .
Четные: x2k
, |x|, cos x, sin x2, 1
x2 k ,tg2x, |ctgx|, sin|x|
Задание. Выясните: четность или нечетность: f ( x )=|x|⋅x4+ x2
Решение.
f ( x )=ч⋅ч⏟ч
+ч=ч
Определение. Если для любого х справедливо равенство f (−x )=f ( x ) , то функция f ( x ) называется четной.
Определение. Если для любого х справедливо равенство f (−x )=−f ( x ), то функция f ( x ) называется нечетной.
Определение. Если область определения функции не является множеством, симметричным относительно нуля, то эта функция не относится к классу четных и нечетных функций.
Например. Функция f ( x )= x
x+2 не является ни четной, ни нечетной, так как ее
область определения есть множество (−∞ ;−2 )∪(−2 ;+∞ ) , несимметричные относительно нуля. В этом случае выражение f (−2 ) не имеет смысла.
ТЕОРИЯ СОЕДИНЕНИЙ. БИНОМ НЬЮТОНА
1) Число размещений из m элементов по n в каждом:Am
n =m(m)(m−2) . .. .(m−n+1 )
2) Число перестановок из m элементов:
46
Pn=Ann=1⋅2⋅3. . ..(n−1)⋅n=n !
3) Число сочетаний из m элементов по n в каждом: Cm
n= m !n! (m−n )!
Формула замены: Cmn=Cm
m−n, замена выгодна, если m−n≺n
Бином Ньютона
(a+b )n=Cn0 an+Cn
1 an−1 b+. .. Cnk an−k bk+. .. Cn
n bn или
(a+b)n=an+nan−1 b+.. .+ n (n−1 ) .. . (n−k+1 )k
⋅an−k bk+.. .+bn
Графики
1) y=kx 2) y=kx+b
у у y=kx+b
y=kx k≻0
х х
3) y= k
x , x≠0 , k≻0 4) y=x2
у у
х
47
5) y=x3 6) y=√x
у у
y=√x
х х
ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
1) По двум углам
2) По двум сторонам и углам между ними
ka а b kb
3) По трем сторонам
ka kb a b
c kc
1) Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.
2) Сходственные (соответствующие) линейные элементы подобных треугольников пропорциональны сходственным сторонам.
48
ha hb hc
3) Периметры подобных треугольников относятся как соответствующие линейные размеры.
P1
P2=
a1
a2=
b1
b2=
c1
c2=k
4) Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих линейных размеров:
S1
S2=(P1
P2)2
=( a1
a2)2
=( b1
b2)2
=( c1
c2)2
=k2
В Высотой треугольника называется отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на прямую, содер-
жащую противолежащую сторону.1ha+ 1
hb+ 1
hc=1
r , где r – радиус вписанной окружности.
A C Точка пересечения высот – ортоцентр.
B Биссектрисой треугольника называется отрезок биссек- трисы угла треугольника (делит угол пополам). Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке -
центре вписанной в треугольник окружности. Правило биссектрисы: биссектриса делит противолежащую сто-
A C рону на отрезки, пропорциональные прилежащим
D сторонам треугольника: ADAB
=DCCB ,
BD=√BA⋅BC−AD⋅DC .
B Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с сере-
диной противолежащей стороны. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся
49
этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. A C Медиана делит треугольник на шесть равновеликих
треугольников (т.е. имеющих одинаковые площади). ma
2=2b2+2 c2−a2
4Точка пересечения медиан – центр тяжести (центр масс), гравитационный центр.
C Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. M N Средняя линия параллельна третьей стороне и равна
ее половине. MN=lср . линия; lср . л .‖AB lср . л .=
AB2
A B
C Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника φ равен сумме квадратов двух других сторон без
удвоенного произведения этих сторон на косинус b a угла между ними: a2=b2+c2−2 bc cos α A α β B
с cos α=b2+c2−a2
2bc ;
B Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих имуглов.
c a a
sin α= b
sin β= c
sin ϕ=2 R
α φ A b C
ФОРМУЛА ПЛОЩАДИ ДЛЯ ЛЮБОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
SΔ=12
aha SΔ=
12
bhb SΔ=
12
chc SΔ=
12
ab sin C
SΔ=12
ac sin B
SΔ=12
bc sin A
50
SΔ=√ p ( p−a ) ( p−b ) ( p−c ) (формула Герона) S=14 √4 a2 b2−(c2−a2−b2)2
-формула Герона, если стороны треугольника выражены иррациональными числами.
S=a4 √4 b2−a2
; а – основ, b- бок. стороны равнобедренного треугольника.
SΔ=rp SΔ=
abc4 R
p=12
( a+b+c ) - полупериметр
r – радиус вписанной окружности, R – радиус описанной окружностиS=2R2 ∙sinА∙ sinВ∙ sinС
,
– полусумма медиан,
, , – медианы, проведенные к соответствующим сторонам;
Вписанная окружность
В каждый треугольник можно вписать окружность и притом только одну. Ее центр – точка пересечения биссектрис.
Формула: радиус r вычисляется по формулам: r= 2 S
a+b+c
r=( p−a )tg A2= ( p−b )tg B
2=( p−c )tg c
2 , r=√ ( p−a ) ( p−b ) ( p−c )
p=S
p , где p – полупериметр.
Описанная окружностьОколо каждого треугольника можно описать окружность и притом только одну. Ее центр – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
R= a
2 sin A= b
2sin B= c
2sin C R= abc
4 S Δ
Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей и площадей правильных многоугольников.
n α an R r rR S
n π (n−2 )n an =2Rsin
πn .
R=
an
2sin 180°
n . r=
an
2tg 180°
n .
S=12
nR2 sin 2 πn ; S=pr
51
an =2r·tgπn .
S=nr2 tg πn ;
S= 14
na2 ctg πn
3 60ºa3=R√3 .
a3=2√3rR=
a3
√3=
a3√33 .
R=2 r.
r=a3
2√3=
a3 √36 .
r=12 R.
12
S = а2√3
4 S =r∙p
S=3 r2√3 ; S=3 R2√3
4
4 90º a4=R√2 .a4=2 r
R=a4
√2=
a4√22 .
R= r√2
r=a4
2 .
r=R√2
= R√22 .
√22
S=а2 S=2R2
S=4r2
6 120º
a6= R.
a6=2 r√3
=2 r √33
dбольш=AD=2 ad мальн=AC=√3 a
R= a6.
R=2r √3
3 .
r=a6 √3
2 .
r=R √3
2 .
√32
S=3 а2√3
2 S=3√3 R2
2
8 135ºа8= R√2−√2 .
R=
R=
2 r√2+√2 .
r=
r=R √2+√2
2 .
√2+√22
S=2а2 (1+√2 )
S=2R2√2
12 150º
a12= R√2−√3 .R= 2 r
√2+√3 r=R√2+√32
√2+√32
S=3 a2 (2+√3 )S=3 R2
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
гипотенуза Теорема Пифагора: c2=a2+b2; c a2=c2-b2
a b2=c2-a2
b катет Катет, лежащий против угла в 30°,
равен половине гипотенузы.
52
кате
т
Только в прямоугольном треугольнике центр описанной
A R окружности лежит на стороне треугольнике. (совпадает с серединой гипотенузы)
R R=с
2 C B Медиана проведенная к гипотенузе, равна половине
гипотенузы. mc=
c2
Площадь прямоугольного треугольника:
C SΔ=
12
ab a и b - катеты
a bSΔ=
12
ch , с - гипотенуза
h
B k A
Соотношения в прямоугольном треугольнике
α – острый угол, с - гипотенузаa – катет, противолежащий углу α
b – катет, прилежащий углу α a с a=c⋅sin α b=c⋅cos α a=b⋅tgα
α ________________________________ b
C a2=ac⋅c ; b
2=bc⋅c ; h2=ac⋅bc ;
hc=abc
ma=
12 √4b2+a2
; mb=
12 √4 a2+b2
; mc=
12
c
b a
h Если a=b ;c=a√2 ;ma=mb=
a√52
A bc k ac B a c
53
b= a mc=hc=lc=
12
c
b-r b-r 2 R=a+b−2r r=a+b−c
2=p−c
S= 1
2a2 ;S= 1
4c2
r r r r a-r 2(R+r )=a+b
r a-r
A Равнобедренный – треугольник, у которого две стороны равны.
c b Углы при основании равны.
бок.стор. бок.стор. hb=hc=
2Sb
; ha=ma=la=12 √4 b2−a2
B основание C а Правильный – равносторонний треугольник, у которого все стороны равны, углы по 60о.
ФОРМУЛЫ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА
R= a√3
r= a2√3
h=√32
a
r=13
h h=3 r
SΔ=a2√3
4 a – сторона треугольникаh=r+R h - высота
Параллелограмм
B C AC=d1 BD=d2
b d1d1
2+d22=2a2+2 b2
P=2 (a+b ) α d2
∠ A=α ; Sпарал=a⋅b⋅sin α A a D
Sпарал=a⋅ha Sпарал=b⋅hb
54
hb
b ha
a φ Sпарал=
12
d1⋅d2⋅sin ϕ
α α+β=180 ° β
Прямоугольник
У прямоугольника диагонали равны: d2=a2+b2 φ b Около прямоугольника можно описать окружность:
R=12
d=12 √a2+b2
Sпрямоуг=a⋅b S= 1
2d2 sin ϕ
a
Квадрат
Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом.
R=a √22
R=da
r=12
a dкв=a√2
а P=4 a Sкв=a2
Sкв .=12
d2
Ромб
r=12
h
r=12
a sin α
h h=a sin α h=2 r α55
a
Pромб=4 a Sp=a⋅h Sp=a2 sin α Sp=
12
d1 d2 Sp=2ar
Трапеция
B b C MN – средняя линия ℓср.л.
M h N ℓср . л .=
a+b2
Smr=a+b
2⋅h
Smp=ℓ ср . л .⋅h A a D
B b C Отрезок, параллельный основаниям, проходящий P Q через точку пересечения диагоналей:
О OQ=OP= ab
a+b PQ= 2ab
a+b
A a D
В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма оснований равна сумме боковых сторон: BC+AD=AB+CD. B b C 0 φ
M N E F A a D
Равнобедренная трапеция
B C У равнобедренной трапеции диагонали равны:AC=BD; BM=CN; AM=ND; BC=MN
A M N D56
Sтрап .=12
AC⋅BDsin ϕ
EF=a−b2
ME=NF=b2
h
r O
B C Если диагонали AC и BD равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, то Smp=h2 AK=CK
A K D К
A a B
c d
D C b
A a B
D С CH b
A a B
c
D C b
A a B
c c
D C b
A a B h
l
DB = e, AC = f,
е2+ f 2=c2+d2+2 ab .
Если AD¿ AC (трапеция равнобедренная):
h=√b2−a2
2 ; DH=b−a
2 ; HC=b+a
2
a⋅b=l2−c2
h=2 r=√a⋅b;SABCD=2c⋅r
h=√a⋅b .
57
D b C
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИСумма внутренних углов 360 о, сумма внешних углов 360о.
Сумма противоположных углов выпуклого вписанного четырехугольника равна 180о. Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны.
A
B α D
C A
D B α
C
A
b a
B D c d CПлощади правильных n – угольников
S=12
rP;
S=n⋅r2 tg πn ;
S=nR2
2sin 2 π
n ; S6=
3√3 R2
2 ; S8=2 R2√2; S12=3 R2
Стороны правильных n – угольников
ABCD – выпуклый четырехугольник.Сумма внутренних углов 360°.Сумма внешних углов 360°.
α=∠В +∠С2
SABCD=12
AC⋅BD⋅sin α
a2+c2=b2+d2
SABCD=12
AC⋅BD
58
an=2 R sin 180 °n ;
bn=2 R⋅tg180 °n ; Внешний угол равен
360 °n ; Внутренний угол
180 °−360 °n
А2 А1 А3
А4
Число диагоналей выпуклого n – угольника (n≥4 ) равно 12
n (n−3 )
Сумма внутренних углов выпуклого n – угольника (n≥3) равна (n−2)π
S=n⋅ar2=n⋅R2 sin2 β
2
ОКРУЖНОСТЬхорда
диаметр C=2πR - длина окружности
no ℓдуги=αR , где α - радианный угол
B
A дуга ℓдуги=
πR180 °
⋅n°- длина дуги AB
С B Если две хорды AB и CD имеют общую точку M, то: AM⋅MB=CM⋅MD M A D
A B MA⋅MB=MC⋅MD M 0 D
CB
∠ AOC=α - центральный угол α2
59
¿ AC=α - дуга AC 0 α
∠ ABC - угол, вписанный в окружность CA
∠ ABC=α2
Вписанный треугольник, опирающийся на диаметр, прямой.Вписанные углы, опирающие на одну и ту же дугу, равны.
КРУГ, КРУГОВОЙ СЕКТОР, КРУГОВОЙ СЕГМЕНТ
Sкруга=πR2; d=2R
0 0 Круговой сектор
круг α Sкр . сект .=
πR2
360 °⋅α °
Круговой сегмент
Sкр . сегм.=
πR2
360°α °±SΔ
ПРИЗМА
Правильная 4-угольная пирамида(в основании квадрат)
Н
Прямоугольная призмаSбок . пов .=Pосн .⋅Н ; Росн. – периметр основания Sполн .пов .=Sбок .+2 Sосн . V призмы=Sосн.⋅H
60
Около призмы можно описать шар тогда и только тогда, когда она прямая и около ее основания можно описать окружность. Rшара
2 =Rокруж2 +0 ,25 Н2
В призму можно вписать шар тогда и только тогда, когда в ее перпендикулярное сечение можно вписать окружность, и диаметр этой окружности равен высоте призмы.
R=r=0,5 H R=2S⊥ ¿
P⊥¿¿¿
R - радиус вписанного шараr - радиус вписанной окружности S⊥¿ ¿ - площадь перпендикулярного сеченияP⊥¿ ¿ - периметр перпендикулярного сечения
В прямую призму можно вписать цилиндр, если в ее основании можно вписать окружность. Около прямой призмы можно описать цилиндр, если около ее основания можно описать окружность.
A׀ B׀
ABCA׀B׀C׀ – наклонная треугольная призма
M C׀ N AA׀=ℓ - длина бокового ребра
K
A B
C
КУБ
B׀ C׀
61
V накл .приз .=Sсеч . MNK⋅ℓ
Sбок . пов . накл.=Pсеч. MNK⋅ℓ
Sполн . повер .=6 a2
V куба=a3
AC1 - диагональ куба
A C ¿=AC 2+C C¿ , AC=a√2
A׀ D׀ a
B C a A D
A C ¿=(a√2 )2+a2=2 a2+a2=3a2 A C'=a√3
R=a √32 - для куба, вписанного в сферу R – радиус описанной сферы
a – ребро кубаr=1
2a
- (r - радиус вписанной сферы (шара), a – ребро куба)
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
Параллелепипедом называется призма, в основании которой лежит параллелограмм.
Прямым называется параллелепипед, у которого боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.
Диагонали прямого параллелепипеда вычисляются по формулам:
С Н α b
aV парал .=Sосн.⋅Н
Прямоугольный параллелепипед
Прямоугольным называется прямой параллелепипед, в основании которой лежит прямоугольник.
с
62
d12=a2+b2+c2+2ab cos α
d22=a2+b2+c2−2ab cosα
Sполн .=2Sосн.+Sбок . Sбок .=Pосн .⋅Н
Все диагонали прямоугольника параллелепипеда равны:d2=a2+b2+c2
ba Sполн .=2 ab+2 bc+2 ac V прямоуг .=abc
ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА
S S
C
D C A O M
O M B Правильная треугольная пирамида A B (∆ ABC - равносторонний)
Правильная четырехугольная пирамида; ABCD - квадрат SO – высота пирамиды, SO=HOC – радиус описанной окружности;
OC=R= a√2 (для квадрата);
OC=R= a√3 (для равностороннего треугольника).
ОМ = r = а2 (для квадрата); ОМ = r =
а2√3 (для равностороннего треугольника).
SM=k – апофема, т.е. высота боковой грани
Sбок .пов .=12
Pоснов .⋅k; SC2=SO2+OC 2
; Sполн . пов.=Sосн .+Sбок ; V пирам .=
13
Sосн .⋅Н
Все боковые ребра равны. Все боковые грани – равные равнобедренные треугольники. Все плоские углы при вершине равны.
Sбок=Sосн.
cosα , где Sосн. – площадь основания; α – угол при ребре двугранного основания.
Площадь ортогональной проекции многоугольника.
63
Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника иплоскостью проекции.
Правильная усеченная пирамида
M1
Правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, все грани которого правильные треугольники. Его основные формулы:
S R=3
4H
H=a√ 2
3 a=H √ 3
2
OC=Rосн = SM=h=a √3
2
О C OM=rосн=
√24
H=a√36
rшара=14
H=a√612 R+r=H
М
S Для пирамиды, все двугранные углы при основании
которой равны между собой (все высоты боковых граней, проведенные к ребрам основания, равны):
φ Sбок=
Sосн .
cosϕ
ЦИЛИНДР
64
Sбок . повер . усеч .пир .=12(Pосн. 1+Росн . 2 )⋅k ус.
MM1=kус. – апофема усеч.пир.
V ус. пир .=13
hус⋅( Sосн .1+√Sосн. 1⋅Sосн .2+Sосн. 2 )
, .
B O׀ C ABCD – осевое сечение (прямоугольник)AC – диагональ осевого сеченияOO׀=СD=H – высота цилиндра
H OA=OD=R – радиус основания
A O D
Около цилиндра всегда можно описать шар. Его центр лежит на середине высоты.
Rш2 =Rосн .ц.
2 +0 , 25 H 2
В цилиндр можно вписать шар, если диаметр основания цилиндра равен его высоте:Rш=Rосн . ц.=0,5 H
C Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра на расстоянии OK=h от центра (от оси) -
D - прямоугольник ABCD.
B O K A
КОНУС
S образующая ℓ α
H
φ A 0 R B
65
Sбок . ц .=2 π RHSполн .=Sбок .+2Sосн.=2 π RH +2 πR2=2πR⋅(H+R )V цил .=πR2⋅H Sосев . сеч.=AD⋅CD=2 R⋅H
Δ ASB - осевое сечение.∠ SAB=ϕ - угол наклона образующей к плоскостиоснования.∠ ASB=α - угол при вершине осевого сечения
Sбок . пов .=πRℓ ; Sосн .к .=πR2
Sполн .пов.=πRℓ+πR2=πR (ℓ+R )
V конуса=13
πR2 H
α развертки=2 πR
ℓ=
Cокр .
ℓ
S Δ SAB - сечение конуса плоскостью, проходящей через
вершину конуса, - равнобедренный треугольник.
В конус всегда можно вписать шар. Его центр лежит на оси конуса и совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник, являющийся осевым
сечением конуса.B
Около конуса всегда можно описать шар. Его центр 0 лежит на оси конуса и совпадает с центром
окружности, описанной около треугольника, A являющегося осевым сечением конуса.
УСЕЧЕННЫЙ КОНУС
R׀
O׀ A׀
Hус. ℓус.
R A O
ШАР И СФЕРА
D
0 R
C
66
Sбок . ус .к .=π (R+R' )⋅ℓ ус
Sполн . ус .к .=π (R+R ' )⋅ℓ ус .+πR2+π R¿
V ус.к .=13
π (R2+R¿+R⋅R ' )⋅H ус .
Sповер .шара .=4 πR2=πD2
(сфера – это поверхность шара)
V шара=4 πR3
3=1
6πD3
CD=D – диаметр шара
Шаровой сегмент r H
Радиус основания сегмента: r=√H (2 R−H ) R Площадь сферической поверхности шарового 0 сегмента: Sбок .=2 π RH
Площадь полной поверхности сферического сегмента: Sполн .=Sбок .+πr2=2 π RH+πr2
V шар .сегм .=πH 2(R−13
H )
Шаровой сектор
Объем шарового сектора:
H
R 0
Полый шар
Поверхность полого шара: S=4 π (R12+R2
2 ), гдеR1 и R2 – радиусы внешней и внутренней шаровыхповерхностей.
Объем полого шара: V= 4
3π (R1
3−R23 )
ПИРАМИДА И ШАР (ОПИСАННЫЙ)
S Шар называется описанным около пирамиды, если всевершины пирамиды лежат на его поверхности. Шар можноописать около любой правильной пирамиды. Рассмотрим
O те, у которых все боковые ребра равны. В таких пирамидах B боковые ребра одинаково наклонены к плоскости A O1 основания. У этих пирамид высота пересекает основание C в центре описанной окружности и центр описанного шара лежит на высоте пирамиды или на ее продолжении за
67
V шар . сек .=23
πR2 H
Sсфер . поверх .=2 π RHSполн .повер . сект .=πR(2 H+√2 RH−H2 )
плоскость основанияSO1=H - высота пирамиды.AS=ℓ - боковое ребро пирамиды.AO=Rшара - радиус шара
∠ SAO1=α - угол наклона бокового ребра к плоскости основания пирамиды. Уравнения связи для вписанной в шар пирамиды, у которой все ребра равны:
ℓ=2 Rшара⋅sin α ; ℓ2=2 Rшара⋅H
ПИРАМИДА И ШАР (ВПИСАННЫЙ)S Шар называется вписанным в пирамиду, если он
касается всех граней пирамиды. Шар можно вписать в любую правильную пирамиду. Рассмотрим те, у которой все боковые грани одинаково
наклонены к плоскости основания. В такой пирамиде высота падает в центр вписанной в
O основание окружности и высоты всех боковых граней C равны. A α Шар касается основания пирамиды в центре вписанной O1 окружности, а боковых граней – в точках, принадлежа-
B щих высотам боковых граней.
SO1=H - высота пирамиды OO1=r шара - радиус шараSM=m - апофема (высота боковой грани) ∠ SMO1=α - двугранный угол при основанииO1 M=r - радиус вписанный в основание окружности. Уравнение связи для шара, вписанного в пирамиду, у которой все боковые грани одинаково наклонены к плоскости основания:
rшара=r⋅tg α
2 ; rшара=
H⋅rr+m
КОНУС И ШАР (ОПИСАННЫЙ)
Для конуса, вписанного в шар, имеют те же соотношения, Н ℓ что и для пирамиды, вписанный шар. О Rш Уравнение связи для конуса, вписанного в шар: α
68
ℓ=2 Rшара⋅sin α ; ℓ2=2 Rшара⋅H
КОНУС И ШАР (ВПИСАННЫЙ)
H m Для шара, вписанного в конус, имеют место соотношения, rш аналогичные тем, которые были получены для шара O вписанного в пирамиду. α
r Уравнения связи для шара, вписанного в конус:
rшара=r⋅tg α
2 ; rшара=
H⋅rr+m
Уравнение прямой
1) y=kx+b , где k и b – числа.
2) Общее уравнение прямой: ax+by+c=0 , где a, b и с – числа.3) Если известны две точки линии. Пусть точками будут А(х1;у1) и В(х2;у2), тогда
уравнение прямой:
у− у1
у1− у2=
х−х1
х1−х2.
Например: y=2
3x−7
- уравнение прямой
Тогда, y=2
3x−7|(⋅3 )
3 y=2 x−21 −2 x−3 y−21=0|⋅(−1 )2 x−3 y−21=0 - общее уравнение прямой.
4) Уравнение прямой, проходящей через точку M (x0; y0) с угловым
коэффициентом k: y= y0+k⋅(x−x0 )
5) Условие параллельности двух прямых: k1=k2
6) Условие перпендикулярности двух прямых : k1⋅k 2=−1
69
7) Расстояние от точки M ( x 0; y 0) до прямой ax+by+c=0: ρ – расстояние.
Угол между пересекающимися прямыми и
Пример. Чему равен угол между прямыми у = 3х – 6 и у = – 2х + 5?
Решение.
Уравнение окружности:
а) с центром в начале координат: x2+ y2=R2
б) с центром в точке A(a;b): ( x−a )2+( y−b )2=R2
Метод координат
Координаты середины отрезка AB – точки 0:
0 B(x2; y2) x0=
x1+x2
2; y0=
y1+ y2
2A(x1; y1)
Длина отрезка АВ: d AB=√ (x2−x1 )2+( y2− y1)
2
Координаты вектора A⃗B : B(x2; y2)
A⃗B {x2−x1 ; y2− y1 } A(x1; y1)
Деление отрезка в отношении mn :
M (x, y) B(x2; y2) n 70
x=nx1+mx2
n+m
y=ny1+my2
n+m
m
A(x1; y1) y=
ny1+my2
n+m
Длина вектора a⃗ {a1 ; a2 ;a3 }|⃗a|=√a1
2+a22+a3
2
Если векторы a⃗ {a1 ; a2 ;a3 } и b⃗ {b1 ;b2 ;b3 } ортогональны, т.е. перпендикулярны, то
a1⋅b1+a2 b2+a3 b3=0
|a⃗+b⃗|2+|a⃗−b⃗|2=2|a⃗|2+2|b⃗|2
Скалярное произведение векторов
a⃗⋅⃗b=|⃗a|⋅|⃗b|⋅cos∠ ( a⃗ , b⃗ ) ; cos∠ ( a⃗ , b⃗ )= a⃗⋅⃗b
|⃗a|⋅|⃗b|; a⃗⋅⃗b=a1b1+a2 b2+a3 b3
|⃗a|=√a12+a2
2+a32
; |⃗b|=√b12+b2
2+b32
M(xm; ym) Точка М прямой АВ делит отрезок АВ в B(x2; y2) отношении λ, считая от А, если
A(x1; y1) A⃗M= λ A⃗M ( λ≠−1) .Координаты точки, делящей отрезок АВ в отношении λ:
xm=x1+λx2
1+λ ym=
y1+ λy2
1+λ
Два вектора a⃗ {a1 ; a2} и b⃗ {b1 ;b2} коллинеарны, если:
a1
b1=
a2
b2
Если a⃗=a1 i⃗+a2 j⃗+a3 k⃗ , то a⃗ {a1 , a2 , a3 }
Например, a⃗=2 i⃗− k⃗ , то a⃗ {2;0 ;−1 } .
Например, a⃗=− i⃗ +2 j⃗+3 k⃗ , то a⃗ {−1;2 ;3 }ФОРМУЛА СВЯЗИ МЕЖДУ КООРДИНАТАМИ ТОЧЕК
ПАРАЛЛЕЛОГРАММА.
71
Если АВСD – параллелограмм с А(х1;у1), В(х2;у2), С(х3;у3), D(х4;у4), то х1 + х3 = х2 + х4; у1 + у3 = у2 + у4.
Пример. Найдите a + b, если А(а; 3), В(3; 2), С(2; b) и D(1; 4) – вершины параллелограмма.
Решение.
Формула связи между координатами вершин треугольника А(x1 ; y1) , В(x2 ; y2 ) С(x3 ; y3 )
.
Пример. Треугольник с вершинами А(-2; 0), В(14; 12) и С(; 14). Найдите площадь этого треугольника.
Решение.
Формула гравитационного центра.
АВС – треугольник с вершинами , и ,
то гравитационный центр .
Пример. Чему равен гравитационный центр (точка пересечения медиан) треугольника с вершинами А(1; 3), В(-1; -2) и С(0; 3)?
Решение.
Примеры решений
Решить уравнение:
2 sin(3 x−π6 )=√2
|( :2 ) 3 x−π
6= (−1 )n arcsin √2
2+πn ,n∈Z
3 x=(−1 )n π
4+ π
6+πn
|⋅1
3
sin(3 x− π6)=√2
2 3 x−π
6= (−1 )n⋅π
4+πn
x=(−1 )n π
12+ π
18+ πn
3Средние величины
72
Среднее арифметическое Среднее геометрическое
а) двух величин: x=a+b
2
б) трех величин: x=a+b+c
3
а) двух величин: x=√a⋅b
б) трех величин: x=3√a⋅b⋅c
Среднее пропорциональноечисел а, b и с равно
b⋅ca
Как найти наибольшее или наименьшее значения для функции у(х)=ах2+вх+с.
Пусть А(х0;у0) – вершина параболы, где х0=−b2а , у0= -ах0
2+с.
1) Если а>0, то унаим=у0, где у0- число, найденное по выше указанной формуле.2) Если а<0, то унаиб=у0, где у0- число, найденное по выше указанной формуле.
Как построить график функции у(х)=ах2+вх+с.
-Находим вершину параболы : А(х0;у0) – вершина параболы, где х0=−b2а ,
у0= -ах02+с.
-Находим точки пересечения графика с осью Ох. Для этого данное ах2+вх+с=0 и находим корни х1 и х2 . - Находим точки пересечения графика с осью Оу. Для этого в данное у=ах2+вх+с
Как найти область значения для функции у(х)=ах2+вх+с.
Пусть А(х0;у0) – вершина параболы, где х0=−b2а , у0= -ах0
2+с.
1) Если а>0, то Е(у)=[ у0; ), где у0- число, найденное по выше указанной формуле.
2) Если а<0, то Е(у)=( ; у0;), где у0- число, найденное по выше указанной формуле.
73
74
75
76
77
78
79
