I · Web viewsembollerinden biri ile ifade edilir. Bu düşünce tekrar edilerek fonksiyonunun...

I. BÖLÜMKÜMELER VE SAYILAR

1.1 Kümeler

Küme ve eleman terimleri, matematikte tanımlanmadan kabul edilen terimlerdir. Bunları,

dilimizdeki başka terimlerle anlatmak istersek; “Küme, nesneler topluluğudur.“ biçiminde

ifade edebiliriz. Kümeyi meydana getiren nesnelerin her birine kümenin elamanları denir ve

genel olarak kümeler A,B,X,Y, … gibi büyük harflerle, elamanları ise a,b,x,y, … gibi küçük

harflerle ifade edilir.

Elemanları a,b,c olan kümeyi biçiminde gösteririz. Kümenin elemanları, kapalı

bir çizgi içine alınarak Venn şeması ile de gösterilebilir.

.d

Burada , , ve ’dır.

Tanım.1.1.1: A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A kümesi B kümesi

içindedir ya da B kümesi A’yı kapsar denir. Bu ifade ya da ile gösterilir. A’ya

B’nin alt kümesi denir. Buna göre

için olur.

Örneğin çift sayılar kümesi tamsayılar kümesinin bir alt kümesidir.

Tanım.1.1.2: A=B ve olmasıdır. Bu tanıma göre A ve B eşit kümeler aynı

elemanlardan meydana gelmiştir. Eğer fakat ise A’ya B’nin bir özalt kümesi

adı verilir.

n elemanlı bir kümenin özalt küme sayısı dir.

Tanım.1.1.3: Elemanları olmayan kümeye boş küme denir ve ile gösterilir. Boş küme her

kümenin alt kümesidir.

1

.a .b .c

Tanım.1.1.4: Küme teorisinin herhangi bir uygulamasında uğraştığımız tüm kümeleri sabit

bir kümenin alt kümeleri olarak düşünebiliriz. Bu kümeye evrensel küme denir ve genelde E

ile gösterilir. Şunu belirtelim ki her şeyi içine alan mutlak bir evrensel küme yoktur.

Tanım.1.1.5: Bir A kümesinin alt kümelerinin kümesine A’nın kuvvet kümesi denir ve P(A)

ile gösterilir.

Kuvvet kümesinin elemen sayısı = (n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt

küme sayısı) olmak üzere

S(P(A))= biçiminde hesaplanır.

Tanım.1.1.6: A ve B kümelerinden en az birine ait olan elemanlardan meydana gelen kümeye

A ile B’nin birleşimi denir ve biçiminde yazılır. Buna göre

olur.

Sonlu çokluktaki , ,…, kümelerinin birleşimi

ve sayılabilir çokluktaki (k=1,2,…) kümelerinin birleşimi ise

Tanım.1.1.7: A ve B kümelerinin ortak elemanlarından meydana gelen kümeye A ile B’nin

ara kesiti veya kesişimi denir ve biçiminde yazılır. Buna göre

olur.

ise A ve B kümelerine ayrıktır denir.

Ve sayılabilir çokluktaki , ,…, ,… kümelerinin kesişimi ise

Tanım.1.1.8: A kümesinin B kümesine ait olmayan elemanlarından oluşan kümeye A ile

B’nin farkı denir ve A\B biçiminde yazılır. Buna göre

A\B=

2

kümesine ise A’nın tümleyeni adı verilir. Tümleyen tanımından A kümesi için

, ‘dır.

De Morgan kuralı kümelerle ilgili aşağıdaki eşitlikleri içerir.

Teorem.1.1.1:A ile B iki küme olsun. Bu takdirde

dir.

İspat: (i)

Bu ise ve , yani (ii)’nin sağlanması demektir.

Tanım.1.1.9:A ve B kümelerinden birine ait olup da diğerine ait olmayan elemanların

kümesine A ile B’nin simetrik farkı denir ve şeklinde yazılır. Buna göre

= (A\B) olur.

Kümelerle ilgili bazı örnekleri ele alalım.

Örnek.1.1.1: A ve B iki küme olmak üzere olduğunu gösteriniz.

Örnek.1.1.2: De Morgan kuralını kullanarak kümesini sadeleştiriniz.

Çözüm:

Zira olduğundan

1.2 Sayılar

1.2.1 Sayı Türleri

Doğal sayılar kümesi: Doğal sayılar kümesi N ile gösterilir ve dir.

Tam sayılar kümesi: Tam sayılar kümesi Z ile gösterilir ve Z= dir.

3

Rasyonel sayılar kümesi: Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir ve Q=

‘ dır. Burada paydanın sıfır olamayacağına dikkat edilmelidir.

Asal sayılar: 1 ve kendisinden başka böleni olmayan sayılara veya başka bir ifade ile sadece

iki tam böleni olan sayılara denir ve A ile gösterilir. A= pozitif asal sayılardır.

olmak üzere çift sayılar 2n, tek sayılar 2n+1 ile gösterilebilir. Ancak asal sayıları

temsil edecek şekilde bir formül henüz geliştirilememiştir.

İrrasyonel sayılar: Rasyonel olmayan sayılara yani olmak üzere şeklinde

yazılamayan sayılara denir.

Örneğin gibi sayılardır ve bu sayılar genelde I ile gösterilir.

Reel sayılar: Reel sayılar kısaca I olarak yani yukarıdaki sayıların hepsini kapsayan

sayılar olarak tanımlanabilir. Sayı ekseni üzerindeki her bir nokta ile reel sayılar arasında bire

bir eşleme yapmak mümkündür.

Komleks Sayılar (Karmaşık Sayılar) Kümesi: İleride detaylı olarak verilecektir

1.2.2 Lineer Nokta Kümeleri

Elemanları reel sayılar olan kümelere lineer nokta kümeleri denir.

Aralıklar

1) (a,b); a,b açık aralığı olarak okunur ve biçiminde

tanımlanır.

2) [a,b]; a,b kapalı aralığı olarak okunur ve biçiminde

tanımlanır.

3) (a,b]; a’ dan açık, b’ den kapalı (yarı kapalı aralık) olarak okunur ve

biçiminde tanımlanır.

4) [a,b); a’ dan kapalı, b’ den açık (yarı kapalı aralık) olarak okunur ve

biçiminde tanımlanır.

1.2.3 Reel Sayıların Mutlak Değeri

Tanım.1.2.1: a bir reel sayı olmak üzere negatif olmayan ve biçiminde

tanımlanan sayısına a reel sayısının mutlak değeri veya modülü denir.

= ifadesine mutlak değerin cebirsel tanımı denir.

4

1.2.4 Mutlak değerin özellikleri

x,y olmak üzere

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

özellikler mevcuttur.

Teorem.1.2.1: olmak üzere

Tanım.1.2.2: eşitsizliğini sağlayan tüm x noktalarının kümesine noktasının

- civarı (komşuluğu) denir.

eşitsizliğini yukarıdaki teoremden biçiminde yazarsak

’ın -civarı açık aralığı olur. Özel olarak =0 alınırsa 0’ın -

komşuluğu açık aralığı olur.

Örnek.1.2.1: eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

Örnek.1.2.2: eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

5

(1)

(2)

(3)

1.2.5 Reel Sayının Tam Değeri

Bir a reel sayısından büyük olmayan tam sayıların en büyüğüne a sayısının tam değeri

denir ve ile gösterilir. Bu tanıma göre her a reel sayısı onun tam kısmı ile

özelliğini sağlayan kesir kısmının toplamı olarak yazılabilir, yani

dir. O halde

olacaktır.

Özellik: olmak üzere

Özellik: m bir tamsayı ve için dır.

Her k tamsayısı ve a reel sayısı için eşitliği genelde doğru değildir.

Örnek.1.2.3: eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm: Tam kısmı 3 veya 3 ’den küçük olan sayılar 4 ‘den küçük olan sayılardır. O halde

6

eşitsizliğinin çözüm kümesini bulmak yeterli olacaktır. Bu eşitsizlik

çözüldüğünde Ç= bulunur.

Örnek.1.2.4: denklemini çözünüz.

Çözüm: dır.

olduğundan çözüm kümesi olarak Ç= elde edilir.

Komleks Sayılar (Karmaşık Sayılar) Kümesi

Olmak üzere bu sayı x ve y gibi reel sayılardan oluşan sıralı ikililer olarak z=(x,y)

biçiminde gösterilir.

(x,0) çiftine x reel sayısı gözüyle bakılacak ve dolayısıyla (x,0)=x olarak yazılacaktır.

(0,y) biçimindeki kompleks sayılara sırf imajıner sayılar denir. x ve y sayılarına sırasıyla

z=(x,y) ‘nin reel (gerçel) ve sanal (imajiner) bileşenleri denir.

Re(z)=x Im(z)=y biçiminde yazılır. (0,1) çiftini i ile göstereceğiz. Buna sanal birim denir.

iki kompleks sayı olsun.

biçiminde yazılır. Çarpım tanımı kullanarak olduğu görülebilir yani

dir.

Geometrik Yorum

z=x+iy kompleks sayısını düzlemde bir nokta olarak düşünmek doğaldır. Aynı zamanda z

sayısını başlangıç noktasından (x,y) noktasına giden yönlendirilmiş doğru parçası veya

vektör olarak da düşünmek mümkündür. z ‘nin modülü

7

arasındaki uzaklık biçiminde hesaplanır.

Ayrıca merkezi , yarıçapı R olan çemberi ifade eder.

Örnek.1.2.5: yarıçapı 6 merkezi (2,-3) olan çemberi ifade eder.

z=(x,y) için ’ye z sayısının eşleneği denir.

Eşlenik ile ilgili özellikler:

dır.

Kutupsal Gösterim

Sıfırdan farklı z=x+iy sayısına olduğu için z ’yi kutupsal formda

biçiminde ifade edilir. Burada z ‘nin argumanıdır ve eşitliği

ile hesaplanır. Genel olarak bu durum için

n=0,1,2,… dır.

Ayrıca

biçiminde yazılabilir.

Örnek.1.2.6: sayısını kutupsal formda yazalım.

8

Çözüm: buradan bulacağımız açı II.

bölgede bir açı olmalı. Bunun için önce tanjantı eden birinci bölgedeki açıyı buluruz. Bu

açı olur. İkinci bölgedeki açısını biçiminde buluruz.

O halde z ‘ nin kutupsal formda yazılışı

olur.

Not: ve olsun. Bu takdirde

olur.

De Moivre formülü denir.

olduğundan ‘dır.

Köklerin Alınması

) eşitliğinden köklerini bulmak mümkündür. Bu kökler

formülünden hesaplanır.

Örnek.1.2.7: karmaşık sayısının kareköklerini bulunuz.

Çözüm:

Üstel Form

Argumanı modülü r olan z=x+iy kompleks sayısı veya üstel

formda yazılır.

Euler Formülünü kullanarak

9

yazılabilir.

Örnek.1.2.8: karmaşık sayısını kutupsal gösterimden yararlanarak x+iy

formunda yazınız.

Çözüm: ve

ve

10

II. BÖLÜM

FONKSİYONLAR

Tanım.2.1: iki küme olsun. A’ nın her bir elemanını B’nin bir ve yalnız bir

elemanına eşleyen her f bağıntısına A’dan B’ye bir fonksiyon denir ve bu durum

veya y=f (x) şeklinde gösterilir.

Burada x değişkenine bağımsız değişken veya arguman, y değişkenine bağımlı değişken veya

fonksiyon adı verilir.

kümesine tanım kümesi, kümesine de A

kümesinin görüntü kümesi denir.

Örnek.2.2: fonksiyonu ile tanımlıdır. f fonksiyonunun değer

kümesini bulalım.

Çözüm: ‘dir.Yani f ‘ nin değer kümesi ‘dır.

11

Örnek.2.3: olmak üzere ile tanımlı fonksiyonu

veriliyor. R içindeki en geniş A tanım kümesini bulalım.

Çözüm: Fonksiyonun tanımlı olması için ve olmalıdır.

Bunun için ve olduğu da dikkate alınırsa tanım kümesi ‘dır.

Tanım.2.2: Koordinat başlangıcına göre simetrik aralıkta tanımlanmış olan f fonksiyonu için

koşulu sağlanırsa bu fonksiyona çift fonksiyon koşulu

sağlanırsa bu fonksiyona tek fonksiyon denir.

Örnek.2.4: ile tanımlı fonksiyonu veriliyor.

a) ile tanımlı fonksiyonunun tek fonksiyon olduğunu

gösteriniz.

b) ile tanımlı fonksiyonunun çift fonksiyon olduğunu

gösteriniz.

Çözüm:

a) olduğundan, g fonksiyonu tek

fonksiyondur.

b) olduğundan, h fonksiyonu çift fonksiyondur.

Örnek.2.5: fonksiyonu

olduğundan tek fonksiyondur.

Tanım.2.3: bir fonksiyon olsun. koşulunu sağlayan her noktası

için oluyorsa f fonksiyonuna A ‘da artan (azalmayan)

fonksiyon denir.

Tanım.2.4: bir fonksiyon olsun. koşulunu sağlayan her noktası

için oluyorsa f fonksiyonuna A ‘da azalan(artmayan)

fonksiyon denir.

12

aralığında fonksiyon artan , aralığında fonksiyon azalandır.

Tanım.2.5: olmak üzere A’dan alınan tüm x’ler için olacak şekilde

M>0 reel sayısı varsa f fonksiyonuna A’da sınırlı fonksiyon denir.

Tanım.2.6: fonksiyonu için f (A) , B kümesinin özalt kümesi ise f ’ye A’dan B’ye

içine fonksiyon denir.

Tanım.2.7: fonksiyon olsun. için önermesi

doğru ise f fonksiyonuna birebir fonksiyon denir. biçiminde gösterilir.

Tanım.2.8: fonksiyon olsun. için olacak şekilde bir

varsa f fonksiyonuna örten (üzerine) fonksiyon denir. (f(A)=B ise f örtendir)

Tanım.2.9: ve fonksiyonları verilmiş olsun. (

için) olacak biçimde verilen fonksiyonuna, f ile g ‘nin bileşkesi denir.

Örnek.2.6: ise ve

şeklindedir.

Örnek.2.7: ve olduğuna göre f fonksiyonunu bulunuz.

Çözüm: yazılabilir. g(x) yerine

x alınırsa elde edilir.

Tanım.2.10: ile tanımlanan fonksiyonlara kapalı fonksiyon, şeklinde

tanımlanan fonksiyonlara da açık fonksiyon denir. Örneğin

kapalı fonksiyon; açık fonksiyon

Tanım.2.11: Belli bir X kümesinde tanımlanmış fonksiyonunu göz önüne

alalım ve onun değerlerinin Y kümesini oluşturduğunu varsayalım. Eğer eşitliğinden x’ i

13

y değişkeni cinsinden tek değerli olarak hesaplamak mümkünse yani Y kümesinde

varsa fonksiyonuna fonksiyonunun ters fonksiyonu denir.

Not: ’ in ters fonksiyonu olması için gerek ve yeter şart f ‘nin birebir ve örten

olmasıdır.

Örnek.2.8: tanımlı ile verilen fonksiyonun varsa tersini bulunuz.

Çözüm: Verilen fonksiyon birebir ve örten olduğundan tersi vardır.

olur. O halde bulunur.

Örnek.2.9: ve olmak üzere fonksiyonlarının tersi yoktur.

Zira ne birebir ne de örtendir.

Örnek.2.10: tanımlı ile verilen fonksiyonun tersini bulunuz.

Çözüm: ile verilen fonksiyon birebir ve örten olduğundan tersi vardır. olur.

O halde bulunur.

2.1 Üstel Fonksiyonlar

olmak üzere şelindeki fonksiyona üstel fonksiyon denir. için x ‘in her bir

değerine y ‘nin bir tek değeri karşılık gelir.

14

tanımlı fonksiyonu biçiminde gösterilip grafiği

için gibidir.

2.2 Logaritma Fonksiyonu

ifadesinde a ‘nın x. kuvveti b ‘yi versin. Bu eşitliği sağlayan x sayısına b sayısının a

tabanına göre logaritması denir ve olarak gösterilir. Üstel fonksiyonla bu fonksiyon

arasında olacak şekilde bir ilişki vardır.

Sonuçlar:

1) Negatif sayıların sıfırın logaritması yoktur. Fakat şekilden de görüleceği üzere

için olarak alınacaktır.

2) a ‘nın 0 veya 1 olması durumunda logaritma tanımı mümkün değildir.

3) Taban ne olursa olsun 1 ‘in logaritması 0 ‘dır.

4) ‘in grafiği ‘in grafiğinin doğrusuna göre simetriğidir.

Tanım.2.12: ile tanımlanan logaritmaya bayağı logaritma ve

ile tanımlanan logaritmaya ise doğal logaritma denir.

Logaritmayla ilgili özellikler:

15

1) olmak üzere

2)

3) ve ‘dir.

4) ise ‘dir.

5) ise ‘dir.

6) Logaritma fonksiyonu birebir ve örtendir.

7) ‘dır.

8)

Örnek.2.11: fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.

Çözüm: Fonksiyonun tanımlı olması için gerek ve yeter şart

ve olmasıdır. Eşitlik çözülürse

bulunur.

Örnek.2.12: denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

‘dır.

Bu kökler denklemi sağladığında olur.

Örnek.2.13: reel sayılardaki çözümünü bulunuz.

Çözüm: Eşitliğin her iki tarafının logaritması alınırsa

16

ve

ve ve bulunur.

Ancak bunlardan ve denklemi sağlar.

Örnek.2.14: eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm: olup aralığıdır.

2.3 Trigonometrik Fonksiyonlar

Tanım.2.13: , fonksiyonunda için ve

koşullarını gerçekleyen sıfırdan farklı bir T reel sayısı varsa, f fonksiyonuna periyodik

fonksiyon denir. eşitliğini gerçekleyen pozitif T reel sayısının en küçüğüne

f fonksiyonunun esas periyodu denir.

Örnek.2.15: ile tanımlı fonksiyonunun periyodu 6 ‘dır.

ile tanımlı fonksiyonunun periyodu;

g ‘nin periyodu T olsun. Bu durumda

olsun.

bulunur ki bu da f ‘nin periyodunun 3T olduğunu belirtir. Oysa f ‘nin periyodu 6 idi. O halde

bulunur.

Tanım.2.14: Yarıçapı 1 ‘e eşit olan çembere birim çember denir. Bunun çevresinin uzunluğu

‘dir. Şimdi aşağıdaki çember üzerindeki fonksiyonu tanımlayalım.

17

ve ‘dir.

Tanım.2.15: P noktasının y- ekseni üzerine izdüşümünü , x- ekseni üzerine

izdüşümünü ile gösterelim. O halde

‘dir.

P noktasının bu fonksiyonlara göre izdüşümleri

ile ifade edeceğiz. ‘dir.

Tanım.2.16: fonksiyonuna sinüs fonksiyonu, fonksiyonuna da

kosünüs fonksiyonu denir. Bunlar ile tanımlı

fonksiyonlardır.

Tanım.2.17: ’e bağlı olarak

şeklinde tanımlanır.

Birim Çember

18

Trigonometrik Eşitlikler

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri

fonksiyonunun grafiği


19



2.4 Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

20

fonksiyonu birebir ve örten ise bunun ters fonksiyonundan bahsedilebilir ve

biçiminde ifade edilir. fonksiyonları

birebir olmadıklarından, bunların ters fonksiyonlarından söz edilemez. Ancak, tanım

kümelerinin bir alt kümesinde, birebir ve örten olan kısıtlanmışlarının ters fonksiyonlarından

söz edilebilir.

Yukarıdaki biçimde tanımlanan trigonometrik fonksiyonların tersleri vardır ve bu

fonksiyonların tersleri şeklinde veya sırasıyla şeklinde

gösterilir. Tanım bölgelerindeki bu ifadelerin anlamı;

, vb’ dir.

da olduğu gibidir.

Ters Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri

;

21

Tanım.2.18: çok terimliler olmak üzere;

denklemini sağlayan fonksiyonuna

cebirsel fonksiyon denir.

En basit cebirsel fonksiyonlar;

‘dir.

Tanım.2.19:Kesir rasyonel kuvvet bulunduran cebirsel fonksiyona irrasyonel fonksiyon

denir.

gibi

Tanım.2.20: Cebirsel olmayan elementer fonksiyonlara transandant fonksiyonlar denir.

Örneğin; üstel, logaritmik trigonometrik, ters trigonometrik, hiperbolik fonksiyonlar gibi.

Örnek.2.16: olduğuna göre n ‘nin m türünden değerini bulunuz.

23

Çözüm:

bulunur.

Örnek.2.17: olduğunu gösteriniz.

Çözüm: olduğundan

bulunur.

Örnek.2.18: ve fonksiyonlarının tanım ve değer

kümelerini bulunuz.

Çözüm: f ’nin tanım kümesi R ‘ dir. Değer kümesi ise

olduğundan

aralığıdır.

g’nin tanımlı olması için olmalıdır. Böylece tanım

kümesi noktalarının kümesi ve dolayısıyla değer kümesi olur.

2.5 Hiperbolik Fonksiyonlar

Simetrik bir küme üzerinde tanımlı her f fonksiyonu, biri çift biri de tek olan iki fonksiyonun

toplamı şeklinde yazılabilir. Zira her f fonksiyonu için

yazılabilir.

alınırsa

yazılabilir. ‘in çift ve tek parçalarına sırasıyla x ‘in hiperbolik

kosünüsü ve hiperbolik sinüsü denir. Buna göre

olur.

Bu fonksiyonların grafikleri aşağıdaki gibidir.

24

y=coshx y=sinhx

Diğer hiperbolik fonksiyonlar trigonometrik fonksiyonlarda olduğu gibi

tanımlanır ve grafikleri

y=tanhx ‘in grafiği y=cothx ‘in grafiği

y=cosechx ‘in grafiği y=sechx ’in grafiği

25

u=coshx ve v=sinhx için olduğu kolayca gösterilebilir. Bu denklem uv-dik

koordinat sisteminde ikizkenar hiperbol denklemi olduğundan bu fonksiyonlara hiperbolik

fonksiyonlar adı verilir.

Bu fonksiyonlarla ilgili özellikler

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Örnek.2.19: fonksiyonunun tersini bulunuz.

Çözüm: Fonksiyon birebir ve örten olduğundan tersi vardır.

Denklem çözülürse bulunur.

verildiğine göre ‘ dır.

Örnek.2.20: ifadesini sadeleştiriniz.

Çözüm: olduğunda

bulunur.

Örnek.2.21: ifadesinin x türünden değerini bulunuz.

Çözüm: ifadelerinden u yerine konulursa

26

elde edilir.


Çözüm: bulunur.

Örnek.2.23: denkleminin tanım kümesini bulunuz.

Çözüm: dersek

olduğundan

bulunur.

2.6 Parametrik Fonksiyonlar

Bir fonksiyonunun açık şekliyle verilen kuralı başka şekillerde de

verilebilir. şeklinde olduğu gibi.

Belli başlı bazı fonksiyonlar veya denklemlerin standart parametrik gösterimleri vardır.

Çember, elips, doğru vb.

Örnek.2.24: Merkezi orjin yarıçapı olan çemberin kartezyen denklemi olup

bunun parametrik gösterimi

’dır.

Örnek.2.25: Bir doğru üzerinde yuvarlanan yarıçaplı bir çemberi göz önüne alalım.

Çember üzerinde alınan bir noktasının geometrik yeri olan eğrinin (sikloid) parametrik

denklemini yazalım.

27

yayının uzunluğunu uzunluğuna eşit olup bu da ’dir. noktasının

koordinatları

olarak bulunur.

Örnek.2.26: eğrisinin kartezyen formda yazalım. ’nin her

iki tarafının karesini alıp ve iki denklemi taraf tarafa toplarsak

olur. Bu da parabol denklemidir.

Örnek.2.27: denklemi ile verilen astroidin kartezyen

formda gösterimini bulunuz.

Çözüm:

olarak düzenlenip taraf tarafa toplanırsa elde edilir.

Denklemi bu olan eğrinin grafiği aşağıdaki şekildedir.

28

2.7 Mutlak Değer Fonksiyonu

biçiminde tanımlıdır.

Örnek.2.28: ile tanımlı fonksiyonunu önce parçalı yazıp

sonra grafiğini çizelim.

Örnek.2.29: ile tanımlı fonksiyonunu önce parçalı yazıp sonra

grafiğini çizelim.

29

Örnek.2.30: fonksiyonunun grafiğinden yararlanarak ’in grafiğini çizelim.

Örnek.2.31: fonksiyonunun grafiğinden yararlanarak ‘in grafiğini çizelim.

çift fonksiyon olup fonsiyonunun grafiğine bunun y-eksenine göre

simetriği ilave edilir. Yani

Örnek.2.32: fonksiyonunun grafiğinden yararlanarak ’in grafiğini

çizelim.

2.8 İşaret Fonksiyonu

30

ile tanımlı fonksiyonuna işaret fonksiyonu

(signum fonksiyonu) denir.

Örnek.2.33: olduğuna göre, fonksiyonunu bulup

grafiğini çiziniz.

Çözüm: Önce ’nin işaretini incelemek için denklemini çözelim. Bu

denklemin kökleri ve ’dir. Dolayısıyla

ve ’nin grafiği;

2.9 Tam Değer Fonksiyon

olmak üzere , ile tanımlı

fonksiyonuna tam değer fonksiyonu denir.

Örnek.2.34: ve verilsin. grafiğini çizelim.

çift fonksiyondur. eksenine göre simetrik olduğundan fonksiyonunun

grafiğini aralığında çizip eksenine göre simetriğini almak yeterlidir.

olup ifadesi değerlerini alır.

31

Örnek.2.35: ve grafiğini çizelim.

Çözüm:

Örnek.2.36: ve fonksiyonunun en geniş tanım

kümesini bularak grafiğini çizelim.

Çözüm: veya

veya

için ve için olur.

32

Örnek.2.37: ile tanımlı fonksiyon veriliyor. fonksiyonu-

nun grafiğini çizelim.

Çözüm:

için

için

için

için

için

Örnek.2.38: ’in grafiğini aralığında çizelim.

33

Çözüm:

Örnek.2.39: denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

dersek;

o halde bulunur.

34

III. BÖLÜMLİMİT

3.1 Limit Kavramı

bir aralığında tanımlanmış bir fonksiyon olsun. Özel olarak bu aralığın

noktasında tanımlanmamış olabilir. değişkeni bu aralıkta değerine yaklaştığında

bir sayısına yaklaşıyorsa için ’in limiti ’dir denir. Bu durum

biçiminde gösterilir.

Limit tanımında değişkeni değerine yaklaşmakla birlikte ona eşit değildir. Yani

’dır. Ayrıca ’nin olduğuda söylenemez. değişkeni değerine yaklaştığında ,

fonksiyonunun buna karşılık olarak aldığı değerler herhangi bir sayıya yaklaşabilir

veya herhangi bir sayıya yaklaşmayabilir.

3.2 Sağdan ve Soldan Limit

Limit tanımında x değişkeninin değerine sağdan ve soldan yaklaşması gerektiği anlaşılır.

Her iki yaklaşma halinde de ‘nin aynı bir sayısına yaklaşması şart koşulmuştur. Sağdan

ve soldan yaklaşmalar sırasıyla gösterilip limiti var olması

için gerek ve yeter şart olmasıdır.

Yukarıdaki limitler olmak üzere dönüşümü uygulanırsa için

olur ve olarak da gösterilir.

Örnek.3.1: ile tanımlı fonksiyon için

tanımlı değildir. Ancak bu durum fonksiyonun için limitini araştırmaya engel değildir.

’in sayısına sağdan ve soldan yaklaşması halinde fonksiyonunun değerini inceleyelim.

35

olduğundan bulunur.

Örnek.3.2: fonksiyonunun için limitini hesaplayalım.

Çözüm: Fonksiyonu parçalı biçimde yazmak gerekirse

olup ve olduğu görülür. O halde

fonksiyonunun için limiti mevcut değildir.

Bundan sonra limitin mevcut olduğu ifade edildiğinde sağ ve sol limitlerin var ve birbirine

eşit olduğu anlaşılacaktır.

3.3 Limit Kuralları

ve noktasında limiti mevcut iki fonksiyon olsun.

1.

2.

3. ve ise

4. için

5.

6. olmak üzere

7. ve ’nın komşuluğunda ise

8. olmak üzere için ’dır.

3.4 Trigonometrik Fonksiyonların Limiti

için ise

ve ’dir.

36

Örnek.3.3: ve ’dir.

Örnek.3.4:

’dir.

Örnek.3.5: dır.

Örnek.3.6: yarım açı formüllerinden

‘dir.

3.5 Değişkenin sonsuza gitmesi halinde limit

Bazı durumlarda değişkenin sınırsız artması (veya sınırsız azalması) halinde değişkene

karşılık gelen fonksiyon değeri belli bir tek sayıya yaklaşabilir. Böyle durumlarda fonksiyon

( veya ) için limit söz konusudur.

Örnek.3.7: , fonksiyonunun ve için limitlerini

inceleyelim.

37

3.6 Sonsuz Limitler

Örnek.3.8: , fonksiyonunun için limitini hesaplayınız.

ve ayrıca

bulunur.

’nin grafiği

Örnek.3.9: fonksiyonu için;

38

Örnek.3.10: fonksiyonu için;

3.7 Uygulamalar

1. limitini hesaplayınız.

ve limitlerini hesaplayalım.

için

için

olduğundan limiti yoktur.


için olup

’dır.


39

için olup ’dır. ( için )


ve olduğundan ’dır.


için olup

için olup

olduğundan limiti yoktur.


için ve olup

için ve olup ’dır.

O halde bulunur.


için olup

için olup ’dır.

O halde limiti yoktur.

40

8. fonksiyonunun noktasındaki limitini hesaplayınız.

O halde limiti yoktur.


bulunur.

10. olduğunu gösteriniz.

olur.

3.8 Limit Hesaplamalarında Belirsizlikler

belirsizliklerini inceleyeceğiz.

3.9 Uygulamalar


Limit hesap edilirse belirsizliği ortaya çıkar. Bu belirsizlikten aşağıdaki düşünce ile

kurtulabiliriz.


41

Bu limitte belirsizliği vardır. Belirsizlikten kurtulmak için kesrin pay ve paydası

çarpanlarına ayrılırsa

bulunur.


belirsizliği vardır. Kesrin pay ve paydası çarpanına göre yazılırsa

bulunur.


belirsizliği vardır. eşitliği kullanılarak

bulunur.


belirsizliği vardır. Bu durumda ve özdeşlikleri

kullanılarak.

42


belirsizliği vardır.

bulunur.



bulunur.


için verilen ifadede belirsizliği vardır. O halde için

belirsizliği vardır. O halde için olduğundan dönüşümünü yapalım.

bulunur.



43

bulunur.


belirsizliği vardır. dönüşümünü uygularsak için olur. O halde

bulunur.



bulunur.

12. ve ; ve ’dir. için

ifadesinin limitini bulunuz.

, ‘dir.

bulunur. Aynı yoldan elde edilir.

44

‘dir. Aynı yoldan elde edilir. Buna göre

‘dır.

Öyleyse çok terimlisi ile tam bölünebilir olduğundan

bulunur.


için belirsizliği vardır.

bulunur.



dönüşümünü uygularsak için olup

45

bulunur.



belirsizliğine dönüşür.

bulunur.

3.10 e sayısı ile ilgili limitler

eşitliğinden yararlanıp diğer bazı limitleri hesaplayacağız.

Örnek.3.11: olduğunu gösterelim.

Bu limit şeklindeki belirsizliğin açılımıdır. Burada alırsak, iken olur

ve olur.

Örnek.3.12: olduğunu gösterelim.

( için)

Bu limitten yararlanıp,

46

olduğu gösterilir.


Bu limit şeklindeki belirsizliğin açılımıdır. dönüşümünü kullanırsak;

olduğunda olduğu açıktır. ‘den yazıp, buradan bulunan

‘yı ve dönüşümü limitte yazarsak

bulunur.

Örnek.3.14: limitin hesaplayalım.

bulunur.

Örnek.3.15: limitini hesaplayalım.


dönüşümünü kullanırsak için olup

bulunur.



bulunur.


47


yani denirse için olacağından

bulunur.

IV. BÖLÜMSÜREKLİLİK

4.1 Süreklilik Kavramı

Tanım.4.1: bir fonksiyon ve olsun. ise

fonksiyonu noktasında süreklidir. Eğer fonksiyonu kümesinin her noktasında sürekli

ise fonksiyon üzerinde süreklidir denir.

Yukarıdaki tanıma göre bir fonksiyonunun bir noktasında sürekli olması için:

a) fonksiyonu noktasında tanımlı olmalıdır.

b) fonksiyonunun noktasında limiti olmalıdır.

c) Fonksiyonun noktasındaki limiti noktasındaki fonksiyon değerine eşit olmalıdır.

Örnek.4.1: şeklinde tanımlanan fonksiyonu tam sayılarda sürekli

değildir. Çünkü bu noktalarda limit yoktur.

Örnek.4.2: a) fonksiyonu ile tanımlıdır.

b) fonksiyonu ile tanımlıdır.

ve fonksiyonlarının, olmak üzere ‘da sürekli olduğunu gösterelim.

Çözüm: a)

b)

48

olduğundan ve fonksiyonları için süreklidir.

Tanım.4.2: ve olsun.

a) noktasında sağdan sürekli olması için gerek ve yeter şart

olmasıdır.

b) noktasında soldan sürekli olması için gerek ve yeter şart

olmasıdır.

Bir fonksiyonunun noktasında sürekli olması için gerek ve yeter şart noktasında

sağdan ve soldan sürekli olmasıdır.

Fonksiyon noktasında Fonksiyonunun noktasında limiti

tanımlı olmadığından bu mevcut değildir. Sağ ve sol limitler

noktada süreksizdir. birbirinden farklıdır. O halde sürekli

değildir.

Fonksiyonunun noktasında limiti

mevcut değildir. O halde sürekli değildir.

49

Örnek.4.3: biçiminde tanımlı fonksiyonunun

noktasındaki sürekliliğini araştırınız.

Çözüm: ‘nin noktasındaki sağdan ve soldan limitine bakalım. Bunun için sırasıyla

ve düşünülerek

bulunur. O halde ‘da sağdan süreklidir fakat soldan sürekli değildir. Dolayısıyla

fonksiyon bu noktada sürekli değildir.

Örnek.4.4: fonksiyonunun noktasındaki süreklilik

durumunu araştırınız.

Çözüm: ‘nin noktasındaki sağ ve sol limitleri

ve

olduğundan fonksiyonun bu noktadaki limiti ‘dir. Ayrıca olduğuna

göre fonksiyonu ‘de süreklidir.

Örnek.4.5: fonksiyonunun her ‘de sürekli olabilmesi için

ve ’de sürekli olması için

olduğundan olmalıdır.

‘de sürekli olması için

50

olduğundan olmalıdır.

ve ‘de sürekli olması için iki denklemden ve olmalıdır.

Örnek.4.6: fonksiyonu noktasında sürekli değildir. Çünkü sağ

ve sol limitler farklıdır. Ancak noktasında fonksiyon soldan süreklidir.

Örnek.4.7: fonksiyonunun sürekliliğini inceleyelim.

noktasında fonksiyonun sol taraftan ve sağ taraftan limitleri birbirine eşit

olmadığından fonksiyonunun limiti yoktur. Sonuç olarak fonksiyonu sürekli değildir.

Örnek.4.8: şeklinde tanımlanan fonksiyonun sürekli olup olmadığını

inceleyelim.

olduğundan ve olduğundan ‘da sürekli

değildir.

Örnek.4.9: fonksiyonu noktasında sürekli olup olmadığını inceleyelim.

olup olduğundan fonksiyonu noktasında süreklidir.

Örnek.4.10: için olsun. fonksiyonunun tüm ekseni boyunca

sürekli olmasını sağlayacak bir fonksiyonu var mıdır?

51

olduğundan noktasında limiti yoktur. Dolayısıyla noktasında sürekli değildir.

Yani öyle bir fonksiyonu yoktur.

Teorem.4.1: Tüm elementer fonksiyonlar kendi tanım aralıklarında süreklidirler.

Örnek.4.11: ve fonksiyonlarının sürekli olduğu aralıklar;

Her iki fonksiyon elementer fonksiyon olduğundan onların tanım bölgesi aynı zamanda

sürekli olduğu bölgedir. Bu nedenle fonksiyonu ve aralığında,

fonksiyonu ise tüm aralıklarında süreklidir.

Teorem.4.2: (Bolzana Teoremi)

fonksiyonu aralığında sürekli ve ve ters işaretli ise aralığında

öyle bir vardır ki ‘dır.

Örnek.4.12: aralığında denkleminin kökü var mıdır ?

fonksiyonu aralığında sürekli ve ve olup

ters işaretlidirler. O halde olacak şekilde aralığında çözümü vardır.

Tanım.4.3: bir fonksiyon ve olsun

1. Eğer mevcut ve bu limit değeri değerinden farklı veya

mevcut değilse fonksiyonuna noktasında kaldırılabilir süreksizliğe sahiptir denir.

Bu durumda ‘nin ‘daki değeri limit değeri olarak tanımlanarak fonksiyon bu

noktada sürekli yapılabilir.

2. Eğer ‘nin noktasındaki sağ ve sol limitleri mevcut, fakat farklı ise

fonksiyonuna ‘da sıçrama süreksizliğine sahiptir denir.

3. Eğer ‘nin noktasındaki sağ veya sol limitlerinden en az biri veya veya

mevcut değilse, fonksiyonuna ‘da sonsuz süreksizliğe sahiptir denir.

Bu fonksiyon sınıflarının birer örneğini grafik ile gösterelim.

52

Örnek.4.13: Aşağıdaki fonksiyonların süreksizlik noktalarını bulup çeşitlerini belirtiniz.

a) b) c)

Çözüm:

a) fonksiyonu noktasında tanımsız olduğundan süreksizdir ve veya

olması nedeniyle de bu noktada sonsuz sürekliğe sahiptir.

b) fonksiyonu noktasında tanımsız olduğundan bu noktada süreksizdir. Arıca

olduğuna göre ‘de kaldırılabilir

süreksizliğe sahiptir.

c) fonksiyonu ‘de tanımsız olduğundan bu noktada süreksizdir. Ayrıca

ve sol ve sağ

limitler mevcut fakat farklı olduğuna göre fonksiyonu ‘de sıçrama süreksizliğe

sahiptir.

Örnek.4.14: Aşağıdaki fonksiyonların süreksizlik noktalarını bulup çeşidini belirtiniz.

a) b)

Çözüm:

a) olsun. Eğer ‘dir. Buna göre bir tam sayı ise

ve

53

olur, yani sol ve sağ limitleri mevcut olup farklıdır. Ayrıca eğer tam sayı değil ise ‘nin

yeterince küçük komşuluğunda sabit olduğundan bu noktada süreklidir. Şu halde

fonksiyonu tam sayılarda sıçrama süreksizliğine sahiptir.

b) ‘in tanımı nedeniyle ‘dır. ‘nin için sürekli olduğu

açıktır. Ayrıca olduğundan fonksiyonu ‘da kaldırılabilir

süreksizliğe sahiptir.

Tanım.4.4: bir fonksiyon ve olsun. şartını sağlayan

her için olacak şekilde bir varsa fonksiyonu noktasında yerel

(lokal) maksimuma sahiptir denir.

olsun. şartını sağlayan her için olacak şekilde bir

varsa fonksiyonu noktasında yerel (lokal) minimuma sahiptir denir.

Yerel maksimum ve yerel minimum noktalara extramum noktalar denir.

Teorem.4.3: fonksiyonu sürekli ise fonksiyonunun bu aralıkta bir

maksimum bir de minimum değeri vardır.

4.2 Uygulamalar

1. fonksiyonunun reel sayılardaki sürekliliğini

inceleyiniz.

Çözüm: Fonksiyon tüm reel sayılarda tanımlıdır. Ancak noktasında limit var mıdır ve

bu noktadaki değerine eşit midir diye bakmak gerekir. O halde

olup olduğundan bu noktada süreklidir.

54

2. fonksiyonunun sürekli olmadığı noktaları bulup bu noktalardaki

süreksizliklerinin kaldırılıp kaldırılamayacağını inceleyiniz.

Çözüm: olduğuna göre olup ve olarak tanımlanırsa

noktasında sürekli olmayan fonksiyon sürekli yapılmış olur. Ancak noktasında

olup yeni limit mevcut olmadığından sürekli yapılamaz.

3. fonksiyonunun noktasındaki süreklilik

durumunu inceleyiniz.

4. Çözüm:

ve

olup fonksiyon noktasında sürekli değildir.

5. fonksiyonunun sürekliliğini inceleyelim.

Çözüm: için tanımlı değildir. Diğer taraftan ve olup

için fonksiyon süreksizdir.

6. fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaları bulunuz.

Çözüm: denklemini sağlayan noktalarda tanımsızdır ve dolayısıyla da

süreksizdir.

ve ‘dir.

‘de tanımlıdır.

55

Bu fonksiyon ‘yi bulundurduğu için ve için değişik biçimde tanımlanır.

ve tanım cümlesinde olmadığından

veya

biçiminde yeniden tanımlanır.

‘deki durum;

olduğundan ‘de süreksizdir.

Limitleri sonlu olmadığından ‘da süreksizdir.

7. şeklinde tanımlı fonksiyonunun ‘de

sürekli olması için ne olmalıdır?

Çözüm: ‘de sürekli olması için olmalıdır. Buna göre

ve

ve

56

aralığında bulunur.

8. fonksiyonunun noktasındaki süreksizliğini kaldırınız.

Çözüm:

( dönüşümü yapılırsa)

olup tanımlanırsa sürekli olur.

9. fonksiyonu ’de sürekli olması için ne olmalıdır?

Çözüm:

‘dir.

Süreklilik tanımından bulunur.

10. şeklinde tanımlanan fonksiyonunun

süreklilik durumunu inceleyiniz.

Çözüm: olduğu açıktır.

bulunur.

ve olduğuna göre noktasında

süreksizdir.

11. fonksiyonu ile tanımlıdır. Bu

fonksiyonun noktasında sürekli olması için ne olmalıdır?

57

Çözüm: olmalıdır.

‘dir. Çünkü için ‘dır.

olur. ‘den bulunur.

V. BÖLÜMTÜREV

5.1 Türev Kavramı

Tanım.5.1: , bir fonksiyon ve olsun. Eğer

limiti veya bununla eşdeğer olan limiti mevcut ise bu takdirde

fonksiyonuna noktasında türevlenebilirdir denir. Bu limit değerine ‘nin ‘daki türevi

adı verilir ve , sembollerinden biri ile ifade edilir.

Bu tanımda kullanılan limit yerine sağ ve sol limit kullanılarak sağ ve sol türev kavramları

tanımlanabilir.

Tanım.5.2: , bir fonksiyon ve olsun. Eğer

veya limiti mevcut ise bu takdirde

fonksiyonuna noktasında sağdan türevlenebilirdir denir. Bu limit değerine

fonksiyonunun noktasındaki sağ türevi adı verilir. Benzer olarak fonksiyonunun

noktasındaki sol türevi

şeklinde tanımlanır.

58

Açıktır ki biçiminde bir fonksiyon verildiğinde, fonksiyonunun uç

noktalarında sırasıyla sadece sağ ve sol türevlerinden söz edilebilir.

Bir noktasında türevinin mevcut olması için gerek ve yeter şart sağ ve sol

türevlerinin mevcut ve birbirine eşit olmasıdır.

Örnek.5.1: Türevin tanımını kullanarak

fonksiyonunun her noktada türevlenebilir olduğunu gösterip türevini bulunuz.

Çözüm: için

için olduğundan her noktada türevlenebilir ve ‘dir.

Örnek.5.2: olduğuna göre fonksiyonunun

noktasındaki türevini inceleyiniz.

Çözüm: limiti mevcut olmadığından,

‘nin türevi yoktur.

Örnek.5.3: ile verilmiştir. ‘nin ‘daki türevini

bulunuz.

Çözüm:

bulunur.

Örnek.5.4: fonksiyonun noktasındaki türevini inceleyiniz.

Çözüm:

‘dir.

Fonksiyonun sağdan türevi , soldan türevi olup birbirine eşit olmadığından ‘da

türev mevcut değildir.

59

5.2 Türev ile Süreklilik Arasındaki İlişki

Bir noktada sürekli olan fonksiyon o noktada türevlenebilir olmak zorunda değildir. Bu

durumda herhangi bir noktada türevlenebilen fonksiyonun sürekli olup olmadığını sormak

doğaldır. Aşağıdaki teorem bu soruyla doğrudan ilgilidir.

Teorem.5.1: bir fonksiyon ve olsun. Eğer fonksiyonu

noktasında türevlenebiliyorsa, aynı zamanda bu noktada süreklidir.

İspat: olmak üzere olduğuna göre

ve dolayısıyla

bulunur. Böylece , ‘da

süreklidir.

5.3 Türevin Geometrik Anlamı

denklemi ile belirtilen fonksiyonunun eğrisi , ‘nin

noktasındaki teğeti ve normali olsun. teğetinin eğimi ‘dır.

olduğundan ‘nin eğimi ‘dir. Öyleyse ‘nin denklemi bir noktası ve

60

eğimi bilinen doğru denkleminden olup ‘nin denklemi

bulunur.

Teğet uzunluğu=

Normal uzunluğu=

Teğet altı uzunluğu=

Normalaltı uzunluğu=

ve

‘dan

yukarıdaki eşitlikler düzenlenebilir.

Örnek.5.5: eğrisine çizilen teğetin eğimi olduğuna göre teğet ve normalin

denklemini bulunuz.

Çözüm:

Buradan bulunur. Bu nokta eğimi olan teğetin

eğri üzerinden geçtiği noktadır. Bu değerleri fonksiyonda yerine koyarak

bulunur.

Teğetlerin denklemi;

‘dir.

Normalin eğimi;

olup normallerin denklemi;

61

‘dır.

Örnek.5.6: Denklemi olan çembere noktasından çizilen teğetin

denklemini bulunuz.

Çözüm:

O halde teğet denklemi;

olur.

Örnek.5.7: eğrisine noktasından çizilen teğetin denklemini bularak

ekseni ile yaptığı açıyı hesaplayınız.

Çözüm: olduğundan eğrinin noktasındaki teğetinin eğimi

‘dir. Şu halde teğetin denklemi

ve bu teğetin ekeseni ile yaptığı açı ise

olur.

5.4 Türevin Fiziksel Anlamı

Hareket eden bir cismin zamanda aldığı yolu ile gösterelim. Bu durumda cismin

zaman arakığında aldığı yol ile gösterilirse,

olacağından cismin zaman aralığındaki ortalama hızı

olur. Fakat cismin değişken hızlarla hareket etmesi durumunda ortalama hızı herhangi bir

anındaki hızı ifade etmez. Ancak zaman aralığı çok küçük alınırsa ortalama hız anındaki

hıza çok yakın olur ve hatta için ortalama hız anındaki hıza dönüşür. Buna göre

cismin anındaki hızı ile ifade edilirse,

62

elde edilir. Yani hareket eden bir cismin hızı aldığı yolun zaman göre türevidir.

Benzer olarak cismin zaman aralığındaki ortalama ivmesi

ve herhangi bir anındaki ivmesi ise

olur. Demekki hareket eden bir cismin ivmesi ortalama hızın zaman göre türevidir.

Örnek.5.8: Bir cismin ekseni boyunca her için fonksiyonuna

uygun biçimde hareket ediyor. Bu cismin ve arasında aldığı yolu . saniyenin

sonundaki hızını ve ivmesini bulunuz.

Çözüm: Cisim birim yol alırken

olur.

5.5 Toplamın, çarpımın ve bölümün türevi

Bu kısımda türevlenebilen fonksiyonların toplamı, çarpımı ve bölümünün türevini

hesaplamak için çok kullanılan kuralları vereceğiz.

Teorem.5.2: fonksiyonları için türevlenebilir olsun. Bu

takdirde için ve fonksiyonları noktasında türevlenebilir

ve

a) için

b)

c)

İspat: a) ve mevcut olduğundan, limitin özelliklerinden

63

elde edilir.

b)

yazılabilir. Öte yandan ve fonksiyonları noktasında türevlenebilir olduğunda

süreklidir. Dolayısıyla ve ‘dir. Böylece limitin

özelliklerinden dolayı

bulunur.

c)

yazılabilir. fonksiyonu noktasında türevlenebilir olduğundan bu noktada süreklidir.

Dolayısıyla olduğuna göre yeterince küçük için ve

‘dir. Böylece limitin özelliklerinden

64

sonucuna ulaşılır.

5.6 Sabit, Kuvvet ve Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

1) Sabit fonksiyonunun türevi sıfırdır.

Çünkü bir sabit olmak üzere ile tanımlı herhangi bir sabit fonksiyon için

bulunur.

Buna göre sabit çarpanı türev işaretinin dışına çıkarılabilir, yani ‘dir.

2) Her doğal sayısı için ile tanımlanan fonksiyonu her

noktada türevlenebilirdir ve ‘dir.

Gerçekten, Newton binom formülünden

elde edilir.

3) Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

a) fonksiyonu her noktada türevlenebilir ve ‘dir.

Çünkü

65

b) Benzer şekilde elde edilir

c) olmak üzere ‘dir. Çünkü

d) olmak üzere ‘dir. Çünkü

5.7 Ters Fonksiyonların Türevi

Teorem.5.3: fonksiyonu bire bir ve örten olsun. Eğer fonksiyonu

noktasında türevlenebilir ve ise bu takdirde ters fonksiyonu

noktasında türevlenebilirdir ve

‘dır.

İspat: denirse ve olduğuna göre olur. Bu

durumda olması nedeniyle yeterince küçük bir komşulugunda

olacağından

66

yazılabilir. fonksiyonu ‘da

sürekli olduğundan için olur.

Böylece elde edilir.

Örnek.5.9: olduğuna göre ters fonksiyonunun türevini ve

hesap ediniz.

Çözüm: olduğu açıktır.

bulunur. Ayrıca olduğundan

‘dir.

5.8 Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

1) ile tanımlı fonksiyonun türevini hesaplayınız.

Çözüm: fonksiyonunun ters fonksiyonu olduğuna göre ters

fonksiyonların türevi nedeniyle için

‘dir.

Fakat aralığında pozitif olduğundan bulunur.

2) Benzer olarak fonksiyonunun için

‘dir.

3) fonksiyonunun türevini hesaplayınız.

Çözüm: ‘in ters fonksiyonu olduğuna göre ters fonksiyonun

türevi nedeniyle her için

67

bulunur.

4) Benzer olarak fonksiyonunun türevi

‘dir.

5.9 Bileşke Fonksiyonun Türevi

Bileşke fonksiyonun türevi bütünüyle aşağıdaki teoreme dayanır.

Teorem.5.4: Eğer fonksiyonu noktasında ve fonksiyonu noktasında

türevlenebilir ise bu takdirde bileşke fonksiyonu noktasında türevlenebilirdir ve

‘dir.

İspat: olduğunu göstermek yeterlidir.

Önce yardımıyla tanımlanan

fonksiyonunu göz önüne alalım. fonksiyonu noktasında türevlenebilir olduğundan

olur, yani fonksiyonu

noktasında süreklidir. Öte yandan için

Yazılabilir. Çünkü ise eşitliğin her iki tarafı sıfır ve ise ‘nin

tanımından bulunur. Bu da ifadesinin doğru olduğunu

gösterir. Şimdi fonksiyonu fonksiyonu da noktasında sürekli olduğundan

bileşke fonksiyonu noktasında süreklidir ve dolayısıyla

bulunur. Bu ise ile birlikte

eşitliğini verir. Böylece ispat tamamlanmış olur.

68

eşitliği şeklinde de ifade edilebilir. Buna göre fonksiyonunun türevini

hesap etmek için önce ‘nin ‘ye göre türevini alıp sonra bunu ’nin türevi ile

çarpmak yeterlidir. Bileşke fonksiyonunun bu türev alma kuralına zincir kuralı adı verilir.

Zincir kuralı ikiden fazla bileşik fonksiyonlar için de kullanılır. Örneğin bileşik fonksiyon

biçiminde verilmişse bu durumda olur.

Örnek.5.10: Aşağıdaki bileşik fonksiyonlarının türevlerini bulunuz.

a) b)

c) d)

Çözüm:

a) dersek olur. Zincir kuralından

bulunur.

b) denirse olacağından zincir kuralından

olur.

c) denirse olacağından, zincir kuralından

d) alınırsa olacağından, zincir kuralından

elde edilir.

5.10 Logaritma Fonksiyonunun Türevi

69

ve olmak üzere ile tanımlanan fonksiyonu

için türevlenebilir ve ‘dir.

İspat: Logaritmik fonksiyonun sürekliliğinden

yazılabilir.

denirse , olacağına göre

elde edilir.

Bununla birlikte bileşik fonksiyonların zincir kuralı göz önüne alınarak;

eşitliği bulunur.

5.11 Üstel Fonksiyonun Türevi

ve olmak üzere üstel fonksiyonu için

türevlenebilirdir ve ‘dır. Gerçekten fonksiyonu logaritma

fonksiyonunun ters fonksiyonu olduğundan ‘dir. Ters fonksiyonun

türevi ve eşitliği nedeniyle

olur. Özel olarak ‘dir ve bileşik

fonksiyonların türevinden de ve olduğu açıktır.

Örnek.5.11: herhangi bir sabit olmak üzere için olduğunu gösteriniz.

Çözüm: dersek olduğundan bulunur. Böylece yukarıdaki

açıklama nedeniyle

70

elde edilir.

5.12 Hiperbolik Fonksiyonların Türevi

5.13 Logaritmik Türev

Kabul edelim ki ve fonksiyonları türevlenebilir olsun. Bu durumda

biçiminde tanımlanan bir fonksiyonun türevi önce önce eşitliğin her iki

tarafının türevi, logaritma, bileşke fonksiyonların türevleri kullanılarak hesaplanır. Sonra

eşitlikten türevi çekilerek türev alma işlemi tamamlanır;

Örnek.5.12: fonksiyonunun türevini hesaplayınız.

Çözüm: Önce dersek logaritmik türev nedeniyle

bulunur. Tekrar aynı kural

fonksiyonuna uygulanırsa

elde edilir.

5.14 Parametrik Fonksiyon Türevi

71

Kabul edelim ki fonksiyonu parametrik denklemi ile verilmiş olsun.

Biliyoruz ki ve denklemlerinden parametrisi yok edilerek

elde edilebilir. Bu durumda parametrik fonksiyonun türevi aşağıdaki teoremle ifade edilir.

Teorem.5.5: ve fonksiyonları noktasının bir komşuluğunda

türevlenebilir olsunlar. Eğer bu komşulukta veya ise

fonksiyonu noktasında türevlenebilir ve ‘dir.

İspat: fonksiyonunun söz konusu komşulukta tersi vardır. Bu ters fonksiyon ile

gösterilirse, ve ters fonksiyonun türevinden yazılabilir.

Bileşke fonksiyonun türevi nedeniyle

bulunur.

Örnek.5.13: fonksiyonu ile tanımlandığına göre türevini

hesap ediniz.

Çözüm:

Örnek.5.14: fonksiyonu ile tanımlandığına göre

türevini hesap ediniz.

Çözüm: için

5.15 Kapalı Fonksiyonların Türevi

Diyelim ki ‘in fonksiyonu denklemi ile verilmiş olsun. Bu durumda

denkleminden değişkenlerden herhangi birini çekmek her zaman mümkün

olmayabilir. Böyle durumlarda kapalı türevler son derece faydalıdır. Bu metod , ‘nin ‘in

bir fonksiyonu olduğu göz önüne alınarak zincir kuralını uygulamaktan ibarettir. Yani

72

denkleminin her iki tarafının ‘e göre türevi alınıp elde edilen denklemden

türevi çekilir.

Örnek.5.15: fonksiyonu denklemi ile verildiğine göre


Çözüm: Denkleminin her iki tarafının ‘e göre türevi alınır ve çekilirse

bulunur.

Örnek.5.16: olduğuna göre türevini hesap ediniz.

Çözüm: Önce denklemin her iki tarafının logaritmasını alalım. Sonra ‘i , ‘nin

fonksiyonu olarak düşünerek her iki tarafın ‘e göre türevini alırsak

bulunur.

Örnek.5.17: fonksiyonu ile verildiğine göre

noktasındaki türevini bulunuz.

Çözüm: Denkleminin her iki tarafının ‘e göre türevi alınır ve çekilirse

bulunur. eğri üzerinde olduğundan denklemi sağlar. Bu durumda

olur. Yani , için türevinin iki değeri vardır. Bu değerler

ve ‘dır.

5.16 Yüksek Mertebeden Türevler

kümesi üzerinde tanımlı türevlenebilir fonksiyonu verildiğinde yeni bir fonksiyon

tanımlar. Eğer bu fonksiyonu noktasında türevlenebilir, yani

limiti mevcut ise bu durumda ‘ye noktasında ikinci mertebeden türevlenebilirdir ve

değerine de ikinci mertebeden türevi adı verilir. İkinci mertebeden türev

73

sembollerinden biri ile ifade edilir. Bu düşünce tekrar edilerek fonksiyonunun

mertebeden türevi tanımlanabilir.

Tanım.5.3: fonksiyonu noktasında mertebeden türevlenebilir olsun.

Eğer

limiti mevcut ise bu limit değerine ‘nin noktasındaki mertebeden türevi denir ve

ile gösterilir. Burada olduğu açıktır.

Örnek.5.18: fonksiyonunun noktasında mertebeden türevlenebilir olup

olmadığını inceleyeniz.

Çözüm: Açıktır ki

Öte yandan türevin tanımından

olduğuna göre her için bulunur. Ayrıca

fakat

mevcut değildir. Dolayısıyla verilen fonksiyon noktasında türevlenebilirdir olmasına

karşın fonksiyonu türevlenebilir değildir. Bu örnek gösteriyor ki

fonksiyonun birinci mertebeden türevinin mevcut olması yüksek mertebeden türevlerin

mevcut olmasını gerektirmez.

Örnek.5.19: Aşağıdaki fonksiyonların mertebeden hesap ediniz.

a)

b)

74

c)

Çözüm:

a) , , … ,

Özel olarak , ve ise için ve

için olur.

b)

Özel olarak , ise ‘dir.

c)

Benzer olarak bulunur.

Örnek.5.20: Parametrik denklemi , olan fonksiyonunun


Çözüm:

Teorem.5.6: ( Leibnitz Teoremi )

Eğer bir kümesinde ve fonksiyonları mertebeden türevlenebilirse bu

takdirde fonksiyonu mertebeden türevlenebilir ve ve olmak üzere

‘dır.

Örnek.5.21: fonksiyonunun mertebeden türevini hesap

ediniz.

Çözüm: ve denirse , , ve

olduğundan Leibnitz teoreminden

75

bulunur.

Örnek.5.22: fonksiyonunun için mertebeden türevini bulunuz.

Çözüm: ve denirse ve

olur. Böylece Leibnitz teoreminden

elde edilir.

5.17 Diferansiyel

Kabul edelim ki ile tanımlı fonksiyonu kümesinde türevlenebilir olsun. ‘e

artması verildiğinde ‘nin aldığı artma miktarını ile gösterelim. Bu durumda

olur. fonksiyonu noktasında türevlenebilir olduğundan

olmak üzere

veya

eşitliği yazılabilir. Böylece aşağıdaki tanım verilebilir.

Tanım.5.4: ifadesindeki terimine fonksiyonun sabit noktasına ve

değişken artmasına göre diferansiyeli denir ve

veya

ile ifade edilir.

Bu tanıma göre fonksiyonun diferansiyeli hesap edilirse olduğundan

yani bulunur. Şu halde olur.

76

Görüldüğü üzere türevi sadece ‘e bağlı olmasına rağmen

diferansiyeli ve ‘e bağlıdır.

Örnek.5.23: ile tanımlı fonksiyonunun noktasındaki

diferansiyelini bulunuz.

Çözüm: eşitliğinde yerine konularak ,

bulunur.

Örnek.5.24: Bir küpün bir ayrıtının uzunluğunu ölçen kimse , cm hata ile ölçtüğünü

söylemektedir. Küpün bir kenarı cm olduğuna göre, küpün hacminde yapılan hata ne olur?

Çözüm: Küpün bir kenarının uzunluğu cm olursa hacmi , olur. Hacimde

yapılan hatayı , ile gösterelim. olduğundan, yazılır.

cm , cm değerleri göz önüne alınırsa , elde edilir.

5.18 Limitlerde Belirsiz Şekiller

Fonksiyonların limitleri hesap edilirken belirsiz şekiller denilen

ifadeleri ile karşı karşıya gelinir. Bu belirsizlik durumları önce veya biçimine

dönüştürülür sonra aşağıda ifade edilen L ‘Hospital Kuralı uygulanarak, limit kolayca hesap

edilir.

a) ve Belirsizlik Durumları

Bu durumda aşağıdaki teorem uygulanabilir.

Teorem: (L ‘Hospital Kuralı )

Kabul edelim ki ve bir noktasının komşuluğunda ( a ‘da tanımlı olmak zorunda değil)

tanımlanmış türevlenebilen fonksiyonlar olsun. Ayrıca bu komşuluktaki her için

bulunsun.

a) Eğer ve limiti mevcut ise bu takdirde

77

b) Eğer ve limiti mevcut ise bu takdirde

Uyarı: L ‘Hospital Kuralı limite ulaşılıncaya kadar birden fazla uygulanabilir. Örneğin

limiti hesap edildiğinde veya belirsizliği elde ediliyorsa bir kez daha

uygulanabilir ve bu belirsizlik durumlarından kurtuluncaya kadar devam edilebilir.

Uyarı: L ‘Hospital Kuralı sadece için değil aynı zamanda ve

olduğunda da geçerlidir. Örnek olarak için ispat edelim. dönüşümü yapılırsa

için olacağından

,

bulunur. Bu durumda belirsizliği ortaya çıktığından L ‘Hospital Kuralı nedeniyle

elde edilir.

Örnek: limitini hesap ediniz.

Çözüm: için belirsizliği vardır. L ‘Hospital Kuralından

bulunur.



bulunur.


78


bulunur.


Çözüm: belirsizliği vardır. L ‘Hospital Kuralı defa uygulanarak

bulunur.

b) Belirsizlik Durumu

Bu belirsizlik durumu

ve

Eşitlikleri yardımıyla sırasıyla ve belirsizliklerine dönüştürülür.


Çözüm: belirsizliği vardır. Verilen ifade

Şeklinde yazılırsa belirsizliği ortaya çıkar. L ‘Hospital Kuralı 2 kez uygulanarak

elde edilir.


79

Çözüm: belirsizliği vardır. Bu belirsizlik biçimine getirilip L‘Hospital Kuralı

uygulanırsa

‘dır.

c) Belirsizlik Durumu

Bu belirsizlik veya eşitlikleri yardımıyla sırasıyla veya

belirsizlik biçimine dönüştürülüp L ‘Hospital kuralı uygulanır.

Örnek: limitini hesaplayınız.

Çözüm: belirsizliği vardır. Verilen ifadeyi biçimine dönüştürelim.


Çözüm: belirsizliği vardır. Buna göre

d) ve Belirsizlik Durumları

Bu belirsizlik durumları biçimine getirilebilir. Örneğin , için ve

ise bu takdirde fonksiyonunda belirsizlik durumu ortaya

çıkar. Bu eşitliğin her iki tarafının logaritması alınırsa

80

bulunur. Bu durumda ifadesindeki belirsizlik belirsizliği olur. Dolayısıyla

c-) de olduğu gibi limiti hesap edilir ve sonra

Eşitliğinden istenen limit elde edilir.


Çözüm: belirsizliği vardır. denirse, olur.

yazılabilir. Diğer taraftan

olduğuna göre



Çözüm: belirsizliği vardır. denirse, olacağına göre

81

bulunur.


Çözüm: belirsizliği vardır.


KAYNAKLAR1. Aydın S., Analize Giriş, Cilt-I, Hacettepe Üniversitesi, Beta Basım, İstanbul-1999

2. Sarıgöl M.A., Jafarov S., Analiz-I, Ekin Basım, Ankara–2007

3. Çakan H., Genel Matematik Ders Notları Cilt-I.

82

I · Web viewsembollerinden biri ile ifade edilir. Bu düşünce tekrar edilerek fonksiyonunun...

Documents

Transcript of I · Web viewsembollerinden biri ile ifade edilir. Bu düşünce tekrar edilerek fonksiyonunun...