I Vettori Caratteristiche Operazioni Prof. A. Sala Uscita.
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I Vettori
• Caratteristiche
• Operazioni
Prof. A. SalaUscita
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Caratteristiche dei vettori
• Teoria
• Esercizio guidato
• Esercizi
Prof. A. Sala
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Vettore è una grandezza caratterizzata da
Punto di applicazione
Modulo o intensità
Direzione
Verso
Per indicare che la grandezza è un vettore si pone una
freccia sopra la lettera che lo definisce:
A
La lettera senza la freccia, cioè A, indica il modulo di
tale vettore
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Un vettore viene rappresentato mediante un segmento orientato come quello
disegnato qui sotto
coda
testa o punta
Tale segmento non può essere disegnato a caso ma deve rispettare le quattro
caratteristiche del vettore che rappresenta:
• la coda del vettore viene fatta coincidere con il punto di applicazione;
• la lunghezza del segmento rappresenta, in scala, il modulo del
vettore;
• l’inclinazione del segmento rappresenta la direzione;
• la freccia del segmento rappresenta il verso.
A
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La direzione ed il verso vengono definite contemporaneamente utilizzando un
angolo, come nel disegno sottostante:
A
Questo è il vettore A rappresentato nella precedente diapositiva
A
Nota bene: – la linea rossa tratteggiata deve • essere orizzontale • iniziare dalla coda del vettore • essere diretta verso destra – l’angolo è antiorario
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Esercizio guidatoRappresentare i seguenti vettori:
A A= 120 N angolo 90°
B B = 120 N angolo 180°
C C = 120 N angolo 0°
D D = 120 N angolo 270°• Fissiamo per prima cosa un’opportuna scala di rappresentazione, in funzione delle dimensioni del foglio su cui dobbiamo disegnare i quattro vettori; • evitiamo di utilizzare il quadretto come unità di scala poiché risulta difficile misurare in quadretti un segmento inclinato.Utilizzando un foglio di formato A4, quello del vostro quadernone, scegliamola seguente scala: 20 N 1 cm
Con la seguente proporzione ricaviamo la lunghezza del vettore che andiamo a
rappresentare: 20 N : 1 cm = 120 N :
da cui = = 6 cmN
cmN
20
1120
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Uscita
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EserciziRappresenta i seguenti vettori:
A A = 20 N angolo 30°
B B = 40 N angolo 45°
C C = 30 N angolo 60°
E E = 50 N angolo 120°
F F = 65 N angolo 135°
G G = 72 N angolo 150°
H H = 32 N angolo 210°
I I = 36 N angolo 240°
L L = 25 N angolo 315°
M M = 30 N angolo 330°
Alle pagine successive troverai le soluzioni
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Operazioni con i vettori
Prof.. A. Sala
• Somma di vettori
• Scomposizione di un vettore
• Moltiplicazione di un vettore per un numero
• Differenza di vettori
• Prodotto scalare di vettori
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Somma di vettori
Vogliamo eseguire la seguente operazione:
A + B = R
Poiché i due addendi A e B sono vettori, l’operazione da eseguire deve tener conto
di tutte le caratteristiche dei vettori e non solamente delle quantità numeriche che
rappresentano il loro modulo.
I metodi grafici utilizzati sono:
• metodo del parallelogramma
• metodo punta - coda
Casi particolari
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Metodo del parallelogramma
• Fase 1 : si rappresentano i due vettori da sommare con
• la medesima scala
• la coda in comune
A
B
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Metodo del parallelogramma
• Fase 2 : dalla punta del vettore A si manda la parallela al vettore B
A
B
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Metodo del parallelogramma
• Fase 3 : dalla punta del vettore B si manda la parallela al vettore A
A
B
Si è costruito così un parallelogramma, ossia un quadrilatero avente i lati opposti paralleli ed uguali
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Metodo del parallelogramma
• Fase 4 : il vettore somma R = A + B unisce i vertici O e K del paralle =
logramma
A
B
O
KR
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Metodo del parallelogramma
• Fase 5 : si determina il modulo del vettore R moltiplicando la sua lunghezza
in cm per il relativo fattore di scala
A
B R
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Metodo del parallelogramma
• Fase 6 : utilizzando un goniometro si misura l’angolo che indica la
direzione
ed il verso del vettore R
A
B R
Esercizio guidato
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Esercizio guidato
Sono dati i seguenti vettori:
A A= 60 N angolo 0°
B B= 42 N angolo 45°
Determinare con il metodo del parallelogramma
R = A + B
Scegliamo la seguente scala di rappresentazione per entrambi i vettori:
10 N 1 cm
Ricaviamo la lunghezza A del vettore A da rappresentare con la seguente
proporzione
10 N : 1 cm = 60 N : A da cui A = ( 60 N • 1 cm ) : 10 N = 6 cm
Ricaviamo la lunghezza B del vettore B da rappresentare con la seguente
proporzione
10 N : 1 cm = 42 N : B da cui B = ( 42 N • 1 cm ) : 10 N = 4,2 cm
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Metodo punta - coda
• Fase 1 : si rappresentano i vettori da sommare
• con la medesima scala
• la punta del primo vettore coincide con la coda del secondo vettore
A
B
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Metodo punta - coda
• Fase 2 : il vettore R = A + B unisce la coda del primo vettore con la punta
dell’ultimo vettore disegnato
A
B
R
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Metodo punta - coda
• Fase 3 : si determina il modulo del vettore R moltiplicando la sua lunghezza
in cm per il relativo fattore di scala
A
B
R
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Metodo punta - coda
• Fase 4 : utilizzando un goniometro si misura l’angolo che indica la
direzione
ed il verso del vettore R
A
BR
Esercizio guidato
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Esercizio guidato
Sono dati i seguenti vettori:
A A= 60 N angolo 0°
B B= 42 N angolo 45°
Determinare con il metodo punta - coda
R = A + B
Scegliamo la seguente scala di rappresentazione e per entrambi i vettori:
10 N 1 cm
Ricaviamo la lunghezza A del vettore A da rappresentare con la seguente proporzione
10 N : 1 cm = 60 N : A da cui A = ( 60 N • 1 cm ) : 10 N = 6 cm
Ricaviamo la lunghezza B del vettore B da rappresentare con la seguente proporzione
10 N : 1 cm = 42 N : B da cui B = ( 42 N • 1 cm ) : 10 N = 4,2 cm
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![Page 27: I Vettori Caratteristiche Operazioni Prof. A. Sala Uscita.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062404/5542eb64497959361e8cd72a/html5/thumbnails/27.jpg)
• Somma di più vettori
• Somma di vettori equiversi
• Somma di vettori di verso opposto
• Somma di vettori paralleli equiversi
• Somma di vettori paralleli di verso opposto
Casi particolari
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Somma di più vettori
Se i vettori da sommare sono più di due viene utilizzato il metodo punta - coda.
Si dispongono i vettori, tutti con la medesima scala di rappresentazione, uno di
seguito all’altro: il vettore somma R unisce la coda del primo vettore con la
punta dell’ultimo.
A
B
C
D
R
R = A + B + C + D
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Somma di vettori equiversi con medesimo punto di applicazione
Due vettori si dicono equiversi se hanno medesimo angolo.
Dati i vettori: A A = 10 N angolo 0°
B B = 5 N angolo 0°
ricaviamo il vettore R = A + B
Utilizziamo il metodo punta - coda:
A B N.B.: il vettore R è sovrapposto
ai due vettori A e B
2 N
R
Si può quindi affermare che il vettore R ha
• per modulo la somma dei moduli, ossia R = A + B = 10 N + 5 N = 15 N
• lo stesso angolo dei due vettori A e B, cioè 0°
A B
![Page 30: I Vettori Caratteristiche Operazioni Prof. A. Sala Uscita.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062404/5542eb64497959361e8cd72a/html5/thumbnails/30.jpg)
Somma di vettori di verso opposto e con medesimo punto di applicazione
Dati i vettori: A A = 10 N angolo 0°
B B = 5 N angolo 180°
ricaviamo il vettore R = A + B
Utilizziamo il metodo punta - coda:
A
B
N.B.: i vettori R e B sono
sovrapposti ad A
1 N
R
Si può quindi affermare che il vettore R ha
• per modulo la differenza dei moduli, ossia R = |A - B| = 10 N - 5 N = 5 N
• l’angolo del vettore che ha modulo maggiore, cioè 0°
A
B
![Page 31: I Vettori Caratteristiche Operazioni Prof. A. Sala Uscita.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062404/5542eb64497959361e8cd72a/html5/thumbnails/31.jpg)
Somma di vettori paralleli equiversi
Sono dati i seguenti vettori paralleli:
A A = 10 N angolo 270°
B B = 20 N angolo 270°
posti a distanza: d = 60 cm
determinare R = A + B
Risultano inapplicabili sia il metodo del parallelogramma che il metodo
punta - coda.
La risultante R ha le seguenti caratteristiche:
• modulo uguale alla somma dei moduli; cioè R = A + B = 30 N
• angolo uguale a quello dei vettori A e B, cioè 270°
• punto di applicazione
![Page 32: I Vettori Caratteristiche Operazioni Prof. A. Sala Uscita.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062404/5542eb64497959361e8cd72a/html5/thumbnails/32.jpg)
Il vettore R è posizionato tra i due vettori A e B ad una distanza inversamente
proporzionale ai moduli dei vettori stessi
5 N d = 60 cm
xd - x
A
R
B
B • x = A • ( d - x ) B • x = A • d - A • x B • x + A • x = A • d ( B + A ) • x = A • d ( 20 N + 10 N ) • x = 10 N • 60 cm 30 N • x = 600 N•cm x = 600 N•cm : 30 N = 20 cm
![Page 33: I Vettori Caratteristiche Operazioni Prof. A. Sala Uscita.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062404/5542eb64497959361e8cd72a/html5/thumbnails/33.jpg)
Somma di vettori paralleli di verso opposto
Sono dati i seguenti vettori paralleli:
A A = 10 N angolo 270°
B B = 20 N angolo 90°
posti a distanza: d = 60 cm
determinare R = A + B
Risultano inapplicabili sia il metodo del parallelogramma che il metodo punta -
coda.
La risultante R ha le seguenti caratteristiche:
• modulo uguale alla differenza dei moduli; cioè R = |A - B| = |10N - 20N| = 10N
• angolo uguale a quello del vettore di modulo maggiore , cioè 90°
• punto di applicazione
![Page 34: I Vettori Caratteristiche Operazioni Prof. A. Sala Uscita.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062404/5542eb64497959361e8cd72a/html5/thumbnails/34.jpg)
Il vettore R non si trova tra i due vettori A e B ma è posizionato dalla parte del
vettore di modulo maggiore , ad una distanza inversamente proporzionale ai
moduli dei vettori stessi
5 N
d = 60 cm
xd + x
A
B
B • x = A • ( d + x ) B • x = A • d + A • x B • x - A • x = A • d ( B - A ) • x = A • d ( 20 N - 10 N ) • x = 10 N • 60 cm 10 N • x = 600 N•cm x = 600 N•cm : 10 N = 60 cm
R
![Page 35: I Vettori Caratteristiche Operazioni Prof. A. Sala Uscita.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062404/5542eb64497959361e8cd72a/html5/thumbnails/35.jpg)
Scomposizione di un vettore secondo due direzioni
• Fase 1 : si rappresenta in scala il vettore A da scomporre e si tracciano, par =
tendo dalla sua coda, le due semirette di direzione assegnata
A
1
2
![Page 36: I Vettori Caratteristiche Operazioni Prof. A. Sala Uscita.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062404/5542eb64497959361e8cd72a/html5/thumbnails/36.jpg)
Scomposizione di un vettore
• Fase 2 : a partire dalla punta del vettore A si traccia la parallela alla direzione 1
A
1
2
![Page 37: I Vettori Caratteristiche Operazioni Prof. A. Sala Uscita.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062404/5542eb64497959361e8cd72a/html5/thumbnails/37.jpg)
Scomposizione di un vettore
• Fase 3 : a partire dalla punta del vettore A si traccia la parallela alla direzione 2
A
1
2
![Page 38: I Vettori Caratteristiche Operazioni Prof. A. Sala Uscita.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062404/5542eb64497959361e8cd72a/html5/thumbnails/38.jpg)
Scomposizione di un vettore
• Fase 4 : si è costruito così un parallelogramma di vertici O H K L.
A
1
2
O
H K
L
![Page 39: I Vettori Caratteristiche Operazioni Prof. A. Sala Uscita.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062404/5542eb64497959361e8cd72a/html5/thumbnails/39.jpg)
Scomposizione di un vettore
• Fase 5 : la componente del vettore A secondo la direzione 1, ossia A1, unisce i
vertici O L; la componente del vettore A secondo la direzione 2, ossia
A2, unisce i vertici O H .
A
1
2
O
H K
LA1
A = A1 + A2
A2
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Scomposizione di un vettore
• Fase 6 : si determina il modulo A1 del vettore A1 moltiplicando la sua lunghezza
1 in cm per il relativo fattore di scala; si determina il modulo A2 del
vettore A2 moltiplicando la sua lunghezza 2 in cm per il relativo fattore
di scala.
A
A1
A2
1 Esercizio guidato
2
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![Page 42: I Vettori Caratteristiche Operazioni Prof. A. Sala Uscita.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062404/5542eb64497959361e8cd72a/html5/thumbnails/42.jpg)
Moltiplicazione di un vettore per un numero
Dato il vettore A di modulo A=20 N e angolo 0°, determinare :
B = 2 • A e C = ( -2 ) • A
Numero positivo Numero negativo 5 N
A A
B C
• Modulo
B = 2 • A = 2 • 20N = 40N C = | -2 | • A = | - 2 | • 20N = 40N
• Angolo
Medesimo angolo del vettore A Stessa direzione del vettore A ma
cioè 0° verso opposto, angolo di 180°
![Page 43: I Vettori Caratteristiche Operazioni Prof. A. Sala Uscita.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062404/5542eb64497959361e8cd72a/html5/thumbnails/43.jpg)
Differenza di vettori
La differenza tra due vettori si esegue sommando al primo vettore l’opposto del
secondo, ossia: A - B = A + ( - B)
Dati i vettori : A A = 10N angolo 0° e B B = 5N angolo 90°
determinare D = A - B
Dato che il vettore - B = ( - 1 ) • B, esso avrà le seguenti caratteristiche:
- B modulo - B = 5N angolo 270°
Applicando il metodo punta - coda si determina il vettore D :
1N
A
- B
D
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Prodotto scalare di vettori
Il prodotto scalare di due vettori A x B ( si legge A scalar B ) da come risultato
una grandezza scalare :
A x B = C
Il valore di C si ricava applicando la seguente formula
C = AB • B
dove AB è il modulo della componente del vettore A secondo la direzione di B.
• AB si considera positivo se il verso di AB coincide con il verso di B
• AB si considera negativo se il verso di AB è opposto al verso di B Esercizi guidati
![Page 45: I Vettori Caratteristiche Operazioni Prof. A. Sala Uscita.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062404/5542eb64497959361e8cd72a/html5/thumbnails/45.jpg)
Esercizi guidati
1) Dati i vettori: A A = 5N angolo 0° , B B = 3m angolo 0°
determinare : C = A x B
La direzione del vettore A coincide con quella del vettore B, quindi AB = A;
il verso del vettore AB coincide con quello del vettore B, quindi AB = 5N
C = AB x B = 5N • 3 m = 15 N•m
2) Dati i vettori: A A = 5N angolo 180° , B B = 3m angolo 0°
determinare : C = A x B
La direzione del vettore A coincide con quella del vettore B, quindi AB = A;
il verso del vettore AB è opposto a quello del vettore B, quindi AB = - 5N
C = AB x B = ( - 5N ) • 3 m = - 15 N•m
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Esercizi guidati
3) Dati i vettori: A A = 5N angolo 90° , B B = 3m angolo 0° determinare : C = A x B La componente del vettore A lungo il vettore B è nulla, quindi AB = 0
C = AB x B = 0 • 3 m = 0
4) Dati i vettori: A A = 5N angolo 45° , B B = 3m angolo 0° determinare : C = A x B Si scompone il vettore A secondo due componenti: la prima parallela al vettore B, la seconda perpendicolare a B.
1 N
A
AB
A |
3,5 cm
AB = 3,5 cm • 1 N = 3,5 N 1 cm
1 cm
Il verso del vettore AB coincide con quello del vettore B, quindi AB = 3,5N
C = AB x B = 3,5N • 3 m = 10,5 N•m