I. részelmfiz.elte.hu/~bantay/maxwell_pres2.pdf · Maxwell-egyenletek di erenciális alakjának...
Transcript of I. részelmfiz.elte.hu/~bantay/maxwell_pres2.pdf · Maxwell-egyenletek di erenciális alakjának...
0-0
I. rész
Elektromágneses alapjelenségek
Thalész (i.e. 600 körül): gyapjúval dörzsölt borostyánk® ('élektron') azapróbb tárgyakat magához vonzza, majd eltaszítja.
Dörzsölés hatására a testek elektromos töltésre tehetnek szert (dörzsölésielektromosság, pl. van der Graaf generátor).
Elektromosan töltött testek vonzzák vagy taszítják egymást (befolyásol-ják egymás mozgását) ⇒ kétféle (pozitív és negatív) töltés.
Következmény: töltések kiegyenlít®désére irányuló folyamatok.
Kiegyenlítetlen töltések létének mikroszkopikus magyarázata: elemi ré-szek - elektron, proton, stb. - saját elektromos töltéssel rendelkeznek(elemitöltés).
Próbatöltés: pontszer¶nek tekinthet® kicsiny töltés, melynek hatása atöbbi töltésre elhanyagolható, nem befolyásolja azok mozgásállapotát.
0-1
Töltéss¶r¶ség : egységnyi térfogatban (felületen) található töltésmennyi-ség: Q =
´ρ d3~r .
Wilcke és Aepinus, 1760 körül: eredetileg semleges fémdarabot küls® töl-tések közelében két részre osztva elektromosan töltött részeket kapunk(elektromos megosztás); részek töltése azonos, de ellentétes el®jel¶ (vonz-zák egymást).
Mikroszkopikus magyarázat: a fémes kristályban az elektronok egy részeszabadon elmozdulhat a küls® er® hatására (vezetési elektronok), míg amagok helyzete rögzített, így küls® elektromos mez®ben a töltéseloszlásmár nem kiegyenlített.
Elektromos töltések áramlása jellemezhet® az árams¶r¶ség-vektorral, mely-nek iránya megegyezik az áramlás irányával, míg nagysága az áramlásirányára mer®leges egységnyi felületen egységnyi id® alatt átáramló töl-tésmennyiséget adja.
Konduktív (mikroszkopikus) és konvektív (makroszkopikus) áramok; ve-zet®k és szigetel®k.
Thalész (i.e. 600 körül): bizonyos vasércek (magnetit, akkori f® lel®he-
1. ELEKTROMOS TÉRJELLEMZ�K 0-2
lye a kisázsiai Magnesia városa) apró vasdarabokat képesek magukhozvonzani és megtartani.
Kínaiak (i.sz. 200 körül): mágnesezett vas darabkák bizonyos id® utánközelít®leg az észeki irányba mutatnak (irányt¶. Európában a 12-ik szá-zad során jelenik meg)⇒ mágneses testekre forgatónyomaték hat a Földfelszínén.
Oersted (1820): elektromos áram közelében az irányt¶ elfordul ⇒ elekt-romos áram mágneses mez®t gerjeszt⇒ Ampère (1822): mikroszkopikusmolekuláris köráramok felel®sek a mágneses viselkedésért.
1. Elektromos térjellemz®k
Töltésekre hathatnak er®k más töltések hiányában is; a töltésrendszerhatását valamely kiválasztott próbatöltésre az elektromágneses térrel,a próbatöltésre kifejtett er®k segítségével írhatjuk le. Fizikai realitás(energiával, impulzussal bír, stb.), nemcsak matematikai segédeszköz.
1. ELEKTROMOS TÉRJELLEMZ�K 0-3
Tapasztalat: két különböz® próbatöltésre egyazon helyen azonos irá-nyú, de különböz® nagyságú er®k hatnak; az er®k nagyságának há-nyadosa független a térbeli elhelyezkedést®l, csak a próbatöltéseketjellemzi, azaz
~F1(~r) = α~F2(~r) ,
ahol α független a helyt®l.
Következmény: adott próbatöltésre ható er® felbontható
~F = q~E
alakban, ahol q a próbatöltés nagyságát jellemzi, míg ~E az elekt-romos teret.
~E(~r) vektormez® elnevezése: elektromos térer®sség, míg a q skalár a pró-batest (elektromos) töltése.
Kiterjedt, ρ(~r) térfogati töltéss¶r¶séggel jellemezhet® töltésrendszerreható er®
~F =
ˆρ(~r) ~E(~r) d3~r
1. ELEKTROMOS TÉRJELLEMZ�K 0-4
ahol az integrálás a test egész térfogatára értend®.
Dipólusnak nevezzük a két azonos nagyságú, de ellentétes el®jel¶, egy-máshoz közeli töltésb®l álló rendszert (töltéssemleges, küls® er®k stabili-zálják). Pontszer¶ határesetben jellemezhet® a
~p = q~a
dipólmomentum-vektorral, ahol q a töltések nagysága, míg ~a az ®ketösszeköt® vektor. Amennyiben ~r jelöli a két töltést összeköt® szakaszfelez®pontjának helyvektorát, míg ~r±=~r±1/2~a az egyes töltésekét, akkora dipólusra ható er®
~F = q~E(~r+)− q~E(~r−) .
A pontszer¶ határesetben |~a| � |~r|, ezért els® rendben sorba fejtve
Fx = q
(Ex(~r) +
~a
2· gradEx − Ex(~r)−
(−~a)2
· gradEx)
= ~p·gradEx,
és hasonló kifejezés adódik az er® többi Descartes-komponensére is.
1. ELEKTROMOS TÉRJELLEMZ�K 0-5
A fentiek alapján homogén elektromos mez®ben nem hat er® a dipó-lusra, ellenben hat rá forgatónyomaték, melynek kifejezése (a dipólusközéppontjára vonatkoztatva)
~M = (~r+ −~r)× q~E(~r+) + (~r− −~r)× (−q) ~E(~r−)
=q~a
2× ~E(~r) +
(−q) (−~a)2
× ~E(~r) = ~p× ~E(~r) ,
a sorfejtés legalacsonyabb el nem t¶n® rendjében. Ennek alapján azelektromos mez® mindaddig forgatja a dipólust, míg annak dipólmomen-tuma párhuzamos nem lesz a térer®sség adott pontbeli irányával.
Tapasztalat: elektromos megosztás során keletkez® töltések nagyságaarányos az elválasztó felület nagyságával, és függ annak irányától.
Következmény: megosztás során keletkez® töltés
Q = ~D · d~f
alakú, ha az elválasztó felület elég kicsiny; itt ~D az elektromosmez® megosztási képességét jellemz® eltolási vektor.
2. MÁGNESES TÉRJELLEMZ�K 0-6
~E és ~D együtt teljes mértékben jellemzik az elektromos teret.
2. Mágneses térjellemz®k
Alapvet® tapasztalat: mágnest¶ elfordul mágneses térben, illetve mozgótöltések (elektromos áram) eltérülnek.
Tapasztalat: különböz® mágnest¶kre ható forgatónyomatékok a tér egy-azon pontjában azonos irányúak, de különböz® nagyságúak; nagy-ságuk aránya a helyt®l független, de függ a mágnest¶ irányától(bizonyos irányokban zérus, bizonyosakban pedig maximális).
Következmény: adott mágnest¶re ható forgatónyomaték felírható
~m× ~H
alakban, ahol ~m csak a mágnest¶ jellemz®je (mágneses momen-
tum), míg ~H a mágneses mez®t jellemz® mágneses térer®sség vek-
tora.
2. MÁGNESES TÉRJELLEMZ�K 0-7
Tapasztalat: mágneses mez®ben mozgó elektromos töltésre er® hat,amelynek nagysága arányos a töltés nagyságával és sebességével,míg iránya mer®leges ez utóbbira, de egyébként csak a térbeli hely-zett®l függ.
Következmény: mozgó elektromos töltésre ható er®
~F =q
c~v × ~B
alakú, ahol q és ~v a próbatöltés nagysága és sebessége, c ≈ 3 ·1010m/s a fénysebesség, míg ~B a mágneses mez®t jellemz® mágne-
ses indukció vektora.
Faraday, 1831: id®ben változó mágneses tér elektromos teret kelt (elekt-romágneses indukció).
~H és ~B együtt teljes mértékben jellemzik a mágneses mez®t.
Gyakran~B = µ~H
2. MÁGNESES TÉRJELLEMZ�K 0-8
lineáris kapcsolat, ahol µ a közeget jellemz® mennyiség (mágneses per-
meabilitás); vákuumban µ = 1, azaz ~B = ~H.
Általában ~B = ~H+4π ~M, ahol ~M a küls® mágneses tér által a közegbenindukált mágneses dipólusok s¶r¶sége.
3. A MAXWELL-EGYENLETEK 0-9
3. A Maxwell-egyenletek
Elektromágneses térjellemz®k közötti alapvet® összefüggések, amelyekminden körülmények között teljesülnek. Szokásos megfogalmazásban (el-s®rend¶, lineáris) parciális di�erenciálegyenlet-rendszert alkotnak.
Konkrét meg�gyeléseken alapulnak, ezért eredend®en véges kiterjedés¶tartományokra vonatkoznak (integrális alak).
Térjellemz®k lassú, folytonos változása makroszkopikus tartományokban(közelhatás) ⇒ lehetséges lokális, pontonkénti leírás.
Maxwell-egyenletek di�erenciális alakjának származtatása integráltéte-lek alkalmazásával.
Jelölések: F egy felület, ∂F annak határoló görbéje, c a fénysebesség,míg V a ∂V zárt felület által határolt térrész.
3. A MAXWELL-EGYENLETEK 0-10
A Gauss-törvény
ˆ∂V
~D · d~f = 4πQ
ahol Q jelöli a ∂V zárt felület által határolt V térrészben foglalt teljestöltés mennyiségét.
A töltések a ~D eltolási vektort gerjesztik, amely ezek szerint nem függ aközeg milyenségét®l.
Mivel Q =´V ρ d
3~r, ahol ρ a térfogati töltéss¶r¶ség, és a Gauss-tételszerint ˆ
∂V~D · d~f =
ˆVdiv ~D d3~r
ezért a di�erenciális alak
div ~D = 4πρ
3. A MAXWELL-EGYENLETEK 0-11
A mágneses Gauss-törvény
A tapasztalat szerint nincsenek önálló mágneses töltések (monopólusok),ezért a mágneses indukciónak nincs forrása, azaz egy adott térrész hatá-rára vett integrálja elt¶nik (vesd össze a Gauss-törvénnyel):
ˆ∂V
~B · d~f = 0
bármely V térrészre (integrális alak).
A Gauss-tétel miatt ˆ∂V
~B · d~f =ˆVdiv ~B d3~r
ezért
div ~B = 0
3. A MAXWELL-EGYENLETEK 0-12
Az Ampère-törvény
Oersted (1820): mozgó töltések mágneses mez®t keltenek.ˆ∂F
~H(~r) · d~r =4π
c
ˆF~(~r) · d~f + 1
c
d
dt
(ˆF~D(~r) · d~f
)Stokes�tétel:
´∂F
~H(~r) · d~r =´F rot ~H · d~f
F id®ben állandó ⇒ ddt
(´F~D(~r) · d~f
)=´F∂ ~D
∂t· d~f
ˆF
(rot ~H− 4π
c~− 1
c
∂ ~D
∂t
)· d~f = 0
Az F felületet egy pontra összehúzva:
rot ~H =4π
c~+
1
c
∂ ~D
∂t
Jobb oldal második tagja (Maxwell): eltolási áram!
3. A MAXWELL-EGYENLETEK 0-13
A Faraday-törvény
Id®ben változó mágneses mez® örvényes elektromos mez®t gerjeszt (mág-neses �uxus változási sebessége arányos a gerjesztett elektromos mez®cirkulációjával).
ˆ∂F
~E · d~r = −1
c
d
dt
(ˆF~B · d~f
)Id®ben nem változó felület esetén, a Stokes�tételt felhasználva
ˆF
(rot ~E+
1
c
∂~B
∂t
)· d~f = 0
Az F felületet egy pontra zsugorítva kapjuk, hogy
rot ~E = −1
c
∂~B
∂t
4. KONTINUITÁSI EGYENLET 0-14
4. A kontinuitási egyenlet és a töltésmegma-
radás
Maxwell-egyenletekben az ~E, ~H, ~D és ~B elektromágneses térjellemz®k azismeretlenek, míg ρ és ~ az (elvileg) ismert forrásai az elektromágnesesmez®nek, melyek a peremfeltételekkel közösen meghatározzák azt.
Maxwell-egyenletek alapján
∂ρ
∂t=
1
4π
∂
∂tdiv ~D = div
(1
4π
∂ ~D
∂t
)= div
( c
4πrot ~H−~
)= −div~
Valós �zikai szituációban ρ és ~ nem független, ki kell hogy elégítsék a
∂ρ
∂t+ div~ = 0
kontinuitási egyenletet.
4. KONTINUITÁSI EGYENLET 0-15
V egy id®ben nem változó térrész, Q=´V ρ(~r) d
3~r a térrészben találhatóteljes töltés mennyisége.
Kontinuitási egyenlet + Gauss-tétel
dQ
dt=
d
dt
(ˆVρ(~r) d3~r
)=
ˆV
∂ρ
∂td3~r
=
ˆV(−div~) d3~r = −
ˆ∂V~(~r) · d~f
Itt´∂V ~(~r) · d~f a V térrész határán id®egység alatt kiáramló töltés
mennyisége.
Adott térfogatban található töltés megváltozása egyenl® a térrészt hatá-roló felületen átfolyó töltés mennyiségével: lokális töltésmegmaradás.
5. ANYAGI ÖSSZEFÜGGÉSEK 0-16
5. Anyagi összefüggések
A Maxwell-egyenletek rendszere
skaláris vektoriális
div ~D = 4πρ rot ~E = −1
c
∂~B
∂t
div ~B = 0 rot ~H =4π
c~+
1
c
∂ ~D
∂t
8 egyenlet 12 ismeretlen függvényre⇒ közegre jellemz® anyagi összefüg-
gések ismerete szükséges a megoldásukhoz.
Vákuumban ~D = ~E és ~B = ~H.
Általában ~D = ~E+ 4π~P és ~B = ~H+ 4π ~M.
~P a közeg polarizációs vektora, míg ~M a közeg mágnesezettsége.
5. ANYAGI ÖSSZEFÜGGÉSEK 0-17
Mikroszkopikus eredet
Küls® elektromos mez® hiányában a közeget alkotó mikroszkopikus töl-tések (atommagok és elektronok) általában semlegesítik egymást mak-roszkopikus méretekben (kivéve ionizált közegek).
Küls® mez® hatására új er®egyensúly alakul ki, töltések relatív helyzetemegváltozik, a közeg polarizálódik.
~P polarizációs vektorral jellemzett dipólmomentum-s¶r¶ség indukálódika közegben.
Mivel vákuumban nincs polarizálható közeg, ezért ott ~P=~0.
Küls® tér hiányában általában nem lép fel polarizáció (kivételt képeznekaz elektrétek), azaz ~P=~0 ha ~E=~0, ezért nem túl er®s mez®k esetén jóközelítéssel
~P=χ~E
lineáris kapcsolat (kivéve lézerek, stb.), ahol χ a közeg (elektromos)szuszceptibilitása.
5. ANYAGI ÖSSZEFÜGGÉSEK 0-18
Fentiek alapján~D = ε~E
ahol ε= 1+4πχ a közeget jellemz® mennyiség, a permittivitás vagy di-
elektromos állandó (vákuumban ε=1).
Hasonló meggondolásból ~M = χm ~H és
~B = µ~H
ahol χm a közeg mágneses szuszceptibilitása, míg µ=1+4πχm a perme-abilitása (kivétel: permanens mágnesek).
Izotrop közegben az anyagi állandók skalárok, míg anizotrop közegben(kristályok) tenzorok.
Fentiek �gyelembe vételével 8 egyenletet kapunk 6 ismeretlenre (túlha-tározott rendszer).
De: két skalár egyenlet mindig teljesül, ha egy adott kezdeti id®pontbanteljesülnek � kezdeti feltételek szerepét játsszák.
6. VEZET�K ÉS SZIGETEL�K 0-19
6. Vezet®k és szigetel®k
Szigetel® közegben (dielektrikum) nincsenek szabad mikroszkopikus töl-téshordozók, ezért nem folynak bennük konduktív áramok (legfeljebbnagyon rövid ideig)
~kond = ~0
Ha nincs makroszkopikus töltésáramlás (konvektív áram), akkor a kon-tinuitási egyenlet alapján ∂ρ
∂t = 0, azaz ρ id®ben állandó.
Vezet®ben a mikroszkopikus töltések szabadon áramolhatnak küls® elekt-romos tér hatására, így kialakulhatnak konduktív áramok.
Nem túl nagy térer®sség esetén lineáris közelítés (Ohm-törvény)
~kond = σ~E ,
ahol σ a vezet®t jellemz® skalár- (kristályokban tenzor-)mennyiség, aközeg vezet®képessége; szigetel®k � köztük a vákuum � vezet®képességezérus.
6. VEZET�K ÉS SZIGETEL�K 0-20
~D = ε~E lineáris anyagi összefüggés + Ohm-törvény + kontinuitási egyen-let ⇒ homogén, izotrop vezet® belsejében
∂ρ
∂t= −div~ = −div
(σ~E)= −σ
εdiv ~D = −4πσ
ερ
amib®l
ρ(~r, t) = ρ(~r, 0) exp
(− t
tr
)tr =
ε4πσ a relaxációs id® (értéke réz esetén kb. 10−19s)
Vezet®k belsejében exponenciális gyorsasággal csökken a töltéss¶r¶ség.
A töltések a vezet® belsejéb®l gyakorlatilag azonnal kiszorulnak a vezet®felületére, és úgy oszlanak ott el, hogy a vezet® belsejében leárnyékoljáka teret, ott ~E = ~0 legyen (Faraday-ketrec elve).
7. ILLESZTÉSI FELTÉTELEK 0-21
7. Illesztési feltételek közegek határán
Adott közeg belsejében a térjellemz®k folytonosan változnak, de két kü-lönböz® közeg határán egyesek ugrást szenvedhetnek.
Ha minden térjellemz® folytonosan változna, akkor mindkét közegbenugyanazon anyagi összefüggések teljesülnének.
Érintkezési felületen töltések halmozódhatnak fel, illetve áramolhatnakannak mentén (felületi töltések és áramok kialakulása).
Határfelület egy adott pontjában a térjellemz®k értéke attól függ, hogya felület melyik oldalán (melyik közegben) vizsgáljuk.
Térjellemz®k ugrásának jellemzése a Maxwell-egyenletek integrális alak-jából származtatott illesztési feltételek segítségével.
~X1 illetve ~X2 az ~X térjellemz® értéke a határfelület egy pontjában attólfügg®en, hogy melyik térrészb®l közelítjük meg a határfelületet.
~X vektormennyiség normális és tangenciális komponensei: Xn= ~X·~n és~Xt= ~X−Xn~n, ahol ~n a felület normális egységvektora.
7. ILLESZTÉSI FELTÉTELEK 0-22
Az eltolási vektor és a mágneses indukció vektorának
illesztési feltétele
Tekintsük a határfelület egy F darabját, és jelölje V határfelületet mer®-legesen metsz®, mindkét közegbe h távolságra benyúló, F alapú hengerestestet
F1 és F2 a hengerfelület alap és fed®lapja, míg P a palástja.
Q jelöli a V térrészben található összes töltést.
Gauss-törvény szerint
4πQ =
ˆ∂V
~D · d~f =ˆP~D · d~f +
ˆF1
~D · d~f +ˆF2
~D · d~f
A hengert a felületre lapítva (h→0 határeset) a P palástra vett integrálnullához tart (mert felülettel arányos),
ˆP~D · d~f → 0
7. ILLESZTÉSI FELTÉTELEK 0-23
mígˆF1
~D · d~f → −ˆF~D1 · d~f
ˆF2
~D · d~f →ˆF~D2 · d~f
mert a d~f felületelem a ∂V küls® normálisának irányába mutat.
4πQ =
ˆF
(~D2 − ~D1
)· d~f
Ahogy a henger magassága nullához tart, a belsejében elhelyezked® töl-tések a határfelületre koncentrálódnak
Q=
ˆFη(~r) ~n(~r) · d~f
ahol η(~r) a felületi töltéss¶r¶ség, míg ~n(~r) a határfelület ~r pontbeli nor-málisa.
7. ILLESZTÉSI FELTÉTELEK 0-24
Fentiek szerint a határfelület bármely F darabjára
ˆF
(~D2 − ~D1 − 4πη~n
)· d~f=0
Az F felületet egy pontra összehúzva (mivel d~f párhuzamos az ~n normálisegységvektorral)
~n · ~D2 − ~n · ~D1=4πη
Eltolási vektor normális komponensének ugrása a felületi töltéss¶r¶ségetadja (4π szorzó erejéig).
Mivel nincsenek mágneses töltések, ezért hasonló gondolatmenettel amágneses Gauss-törvényb®l
~n · ~B2=~n · ~B1
A mágneses indukció vektor normális komponense folytonos.
7. ILLESZTÉSI FELTÉTELEK 0-25
A mágneses és az elektromos térer®sségek illesztési
feltétele
F egy h magasságú, a határfelületet mer®legesen metsz® téglalap, mely-nek alsó oldala L1, fels® oldala L2, és metszete a határfelülettel L.Az Ampère-törvény szerint
ˆ∂F
~H · d~r =4π
cIF +
1
c
ˆF
∂ ~D
∂t· d~f ,
ahol IF az F téglalapon átfolyó áram.
A téglalapot összenyomva a felületre (h→0)ˆF
∂ ~D
∂t· d~f → 0
mivel az integrál a téglalap területével arányos, és mivel az érintett ol-dalak hossza szintúgy elt¶nik, ezértˆ
∂F−L1−L2
~H · d~r→ 0
7. ILLESZTÉSI FELTÉTELEK 0-26
Innenˆ∂F
~H·d~r=ˆL2
~H·d~r+ˆL1
~H·d~r+ˆ∂F−L1−L2
~H·d~r→ˆL
(~H2 − ~H1
)·d~r
�gyelembe véve az irányítást ∂F körbejárásánál.
L mentén d~r érint® irányú (tangenciális), így amennyiben az L görbétegy ~r pontra húzzuk össze, a limesbenˆ
∂F~H · d~r→
(~H2(~r)− ~H1(~r)
)·~t
ahol ~t jelöli az L érint®vektorát az ~r pontban, míg |L| az L hossza.
Fenti gondolatmenet tetsz®leges, a határfelület belsejében haladó L gör-bére alkalmazható ⇒ fenti összefüggés igaz bármely ~t érint® irányú (~nnormálisra mer®leges) vektorra .
Végül h→0 esetén IF a határfelület belsejében, az L-re mer®leges irány-ban id®egység alatt átáramló töltés mennyisége (felületi áramer®sség),azaz
IF=
ˆL(if (~r)× ~n(~r)) · d~r
7. ILLESZTÉSI FELTÉTELEK 0-27
ahol if a felületi árams¶r¶ség (a felület mentén, az áramlás irányáramer®leges egységnyi hosszú szakaszon id®egység alatt átáramló töltés),és ~n a felület normális egységvektora.
Következésképpen(~H2(~r)− ~H1(~r)−
4π
cif (~r)× ~n(~r)
)·~t = 0
minden ~n-re mer®leges ~t vektor esetén. Innen(~H2(~r)− ~H1(~r)
)t=
4π
cif (~r)× ~n(~r)
Mivel nincsenek mágneses áramok, ezért hasonló gondolatmenet alapján
~E2(~r)t =~E1(~r)t
Az elektromos térer®sség tangenciális és a mágneses indukció normáliskomponense folytonosan változik két közeg határán.
8. EM MEZ� ENERGIÁJA 0-28
8. Az elektromágneses mez® energiája és a
Poynting�vektor
ρ(~r) töltéss¶r¶séggel jellemzett töltött test(ek) mozgása elektromágnesesmez® hatására vákuumban, más er®forrásoktól távol.
EM mez® hiányában szabad mozgás: impulzus, energia (kinetikus), im-pulzusmomentum megmarad.
EM mez® er®t gyakorol a testre ⇒ sebessége megváltozik ⇒ impulzusa,kinetikus energiája, stb. megváltozik.
Lokális energiamegmaradás: adott térrészben fellelhet® összes energia-fajta összege csak úgy változhat, ha energia áramlik át a határon.
Közeg hiányában csak EM mez® energiája kompenzálhatja kinetikusenergia változását (hasonlóan impulzusra és impulzusmomentumra) ⇒
EM mez® az anyag egyik megjelenési formája: bár nem áthatolhatatlan,de rendelkezik az alapvet® attribútumokkal (energia, impulzus, impulzus-momentum), közegt®l függetlenül.
8. EM MEZ� ENERGIÁJA 0-29
EM mez® folytonos változása⇒ energia (impulzus, impulzusmomentum)folytonos eloszlása ⇒ térfogati energias¶r¶ség.
~r középpontú egységnyi térfogatra ható er® ρ(~r)(~E(~r) + 1
c~v(~r)× ~B(~r)
)Egységnyi id® alatt végzett munka = ρ~E·~vKinetikus energia megváltozása = testen végzett munka
dK
dt=
ˆVρ(~r) ~E(~r) · ~v(~r) d3~r
V: a töltéseloszlást és az EM mez®t végig magában foglaló térrész.
Energiamegmaradás (izolált rendszer):
dEemdt
= −dK
dt
Eem nem függhet a vizsgált test tulajdonságaitól, csak a térjellemz®kt®l!
Vákuumban nincsenek konduktív áramok (~=~konv=ρ~v)
dK
dt=
ˆV~E ·~ d3~r
8. EM MEZ� ENERGIÁJA 0-30
Ampère- és Faraday-törvények szerint
1
4π~E · ∂
~D
∂t− c
4π~E · rot ~H = −~E ·~
1
4π~H · ∂
~B
∂t+
c
4π~H · rot ~E = 0
ezért
− ~E ·~ = 1
4π
(~E · ∂
~D
∂t+ ~H · ∂
~B
∂t
)+
c
4π
(~H·rot ~E−~E·rot ~H
)=
1
4π
(~E · ∂
~D
∂t+ ~H · ∂
~B
∂t
)+
c
4πdiv
(~E× ~H
)kihasználva, hogy ~H · rot ~E− ~E · rot ~H = div
(~E× ~H
).
Mivel vákuumban ~D= ~E és ~B= ~H, végül
−~E ·~ = ∂w
∂t+ div ~S energiamérleg
8. EM MEZ� ENERGIÁJA 0-31
ahol
w =1
8π
(~D · ~E+ ~B · ~H
)és
~S =c
4π~E× ~H
~S elnevezése: Poynting-vektor.
V-re integrálva, és felhasználva, hogyˆVdiv ~S d3~r =
ˆ∂V~S · d~f = 0
mivel V határán ~E és ~H (és így ~S is) elt¶nik:
d
dt
(ˆVw(~r) d3~r
)=
ˆV
(∂w
∂t+div ~S
)d3~r=−
ˆV~E·~ d3~r=−dK
dt
w(~r) az EM mez® energias¶r¶sége, és Eem =´V w(~r) d
3~r a V térrészbentalálható EM energia.
8. EM MEZ� ENERGIÁJA 0-32
Ha a V térrészen kívül is van EM mez® (de nincsenek töltések), akkorbels® és küls® mez® kölcsönhatása miatt energiaáram:
d(K+Eem)dt
= −ˆ∂V~S · d~f
~S az energiaáram-s¶r¶ség vektora (iránya párhuzamos az energiaáramirányával, nagysága az egységnyi id® alatt az irányára mer®leges egység-nyi felületen átáramló energia mennyisége).
Anyagi közegben
d(K+Eem)dt
= −ˆ∂V~S · d~f −
ˆV~E ·~kond d3~r
Joule-h®: −~E ·~kond disszipatív tag (em energia termikus energia).
Csak az összenergia (mechanikai + elektromágneses + termikus) maradmeg, az egyes energiafajták átalakulhatnak egymásba.
Impulzuss¶r¶ség = 1c2~S (fénynyomás).