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UNIVERSIDAD MARIANO GALVEZ DE GUATEMALA

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN

DIRECCIÓN GENERAL DE CENTRO UNIVERSITARIOS

CAMPUS VILLA NUEVA

CURSO MATEMATICA FINANCIERA

Lic. Manuel de Jesús Campos Boc

NOVENA UNIDAD

OPERACIONES A LORGO PLAZO

VALORES EQUIVALENTES Y DEPRECIACIÓN MONETARIA A

INTERESES COMPUESTO Y BANCARIO

1.- Ecuaciones de Equivalencia

Las ecuaciones de valores equivalentes son una de las técnicas más útiles

de las matemáticas financieras, debido a que nos permiten plantear y

resolver diversos tipos de problemas financieros, mediante los

desplazamientos simbólicos de los capitales a través del tiempo.

Es usual que deudores y acreedores hagan un convenio para refinanciar

sus deudas, es decir, para remplazar un conjunto de obligaciones que

previamente contrajeron por otro nuevo conjunto de obligaciones que le

sea equivalente, pero con otras cantidades y fechas

La solución de este tipo de problemas se plantea en términos de una

ecuación de valor que es una igualdad de valores ubicados en una sola

fecha denominada fecha focal.

FORMULAS:

1.- MONTO CON TASA EFECTIVA 2.- MONTO CON TASA NOMINALn m n

S = P ( 1 + i ) S = P ( 1 + j )

m

3.- INTERÉS CON TASA EFECTIVA 4.- INTERÉS CON TASA NOMINALn m n

I = P ( 1 + i ) - 1 I = P ( 1 + j ) - 1

m

5.- VALOR ACTUAL CON TASA EFECTIVA 6.- VALOR ACTUAL CON TASA NOMINAL

P = P =n m n

( 1 + i ) ( 1 + j )

m

SS

2

Aplicación:

PROBLEMA No. 1

En la fecha Sebastián debe Q10, 000.00 por un préstamo con vencimiento

en seis meses, contratado originalmente a un año y medio a la tasa de

12%, y debe además, Q25, 000.00 con vencimiento en nueve meses, sin

intereses. El desea pagar Q20, 000.00 de inmediato y liquidar el saldo

mediante un pago único dentro de un año. Suponiendo un rendimiento del

10% y considerando la fecha focal dentro de un año, determinar el pago

único mencionado

PASO 1

PASO 2

Ahora, en una línea de tiempo vamos a poner los siguientes datos

(representaremos con x el pago requerido):

-Q20, 000 en la fecha.

-Q11, 852.97 al final de seis meses

-Q25, 000 al final de nueve meses.

-x al final de doce meses.

DATOS:

P =

n = ( 1 + 6 / 12 )

i =

S = ?1.5

S = ( 1 + )1.5

S = ( )

S = ( )

S =

10,000.00

10,000.00

1.5

0.12

0.12

10,000.00 1.12

10,000.00 1.185297

11,852.97

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

n = 18 i = S

a) P =

b) S =

MESES

0.12

Q10,000.00

Q25,000.00

3

0 6 9 12

S

S

S25,000.00

20,000.00

MESES

11,852.97

DATOS:

P =

n = ( 1 + 0 / 12 )

i =

S = ?1

S = ( 1 + )1

S = ( )

S = ( )

S = 22,000.00

20,000.00 0.1

20,000.00 1.1

20,000.00 1.100000

20,000.00

1

0.10

DATOS:

P =

n = ( 0 + 6 / 12 )

i =

S = ?0.5

S = ( 1 + )0.5

S = ( )

S = ( )

S = 12,431.50

0.1

11,852.97 1.1

11,852.97 1.048809

11,852.97

0.5

0.10

11,852.97

DATOS:

P =

n = ( 0 + 3 / 12 )

i =

S = ?0.25

S = ( 1 + )0.25

S = ( )

S = ( )

S = 25,602.84

0.1

25,000.00 1.1

25,000.00 1.024114

25,000.00

0.25

0.10

25,000.00

1.- MONTO CON TASA EFECTIVA 2.- MONTO CON TASA NOMINALn m n

S = P ( 1 + i ) S = P ( 1 + j )

m

3.- INTERÉS CON TASA EFECTIVA 4.- INTERÉS CON TASA NOMINALn m n

I = P ( 1 + i ) - 1 I = P ( 1 + j ) - 1

m

5.- VALOR ACTUAL CON TASA EFECTIVA 6.- VALOR ACTUAL CON TASA NOMINAL

P = P =n m n

( 1 + i ) ( 1 + j )

m

SS

4

PASO 3

Ecuación de equivalencia:

PROBLEMA No.2

Juan López debe Q 18, 000.00, a cancelar dentro de dos años, y

Q10, 0000.00 a seis años, cuya sumas ya incluyen intereses. Tales

deudas fueron negociadas, conviniendo con su acreedor en efectuar un

pago único al final de cuatro años, reconociendo el 10% de interés

capitalizable semestralmente, que es la tasa vigente en el mercado.

Calcular el valor del pago único (X).

+ X = +

+ X =

X = -

X =

38,034.34

22,000.00

22,000.00

16,034.34

22,000.00 12,431.50 25,602.84

38,034.34

1 0.5 0.25

( 1 + ) + X = ( 1 + ) + ( 1 + )

+ X = +

X = -

X =

38,034.34 22,000.00

16,034.34

25,000.00 0.10

22,000.00 12,431.50 25,602.84

20,000.00 0.10 11,852.97 0.10

DATOS: DATOS:

P = S =

n = ( 2 + 0 / 12 ) n = ( 2 + 0 / 12 )

j = j =

m m =

S = ? P = ?

0.10

10,000.00

2

0.10

2 2

18,000.00

2

0 1 2 3 4 5 6

a)

S =

b)

S =

P = S =

n = n =

i = i =

18,000.00

10,000.00

18,000.00

2

0.10

10,000.00

2

0.10

Nuevas obligaciones

2 x 2

X = ( 1 + ) + 2 x 2

( 1 + )

X = +

X =

21,879.11 8,227.02

30,106.13

0.102

10,000.00

2

18,000.00 0.10

5

PROBLEMA No.3

Se ha convenido en liquidar una deuda mediante dos pagos de

Q 5, 000.00 cada uno, incluyendo intereses, a plazos de 30 y 120 días a

partir de hoy, en su orden. Sin embargo, antes de hacer el primer abono

se decide reemplazar ambas deudas por tres pagos iguales, cuyos pagos

se harán: el primero, el día en que originalmente debería

cancelarse Q 5, 000.00, y los otros dos, a plazos de 30 y 60 días,

contados a partir de la misma fecha, reconociéndose en esta conversión la

tasa de interese del mercado, 25% anual capitalizable mensualmente. De

cuanto tendría que ser cada uno de los pago (X).

PASO 1

Condiciones originales

a)

S =

b)

S =

P = S =

n = n =

j = j =

m = m =

F F

0 30 60 90 120

PASO 1

Nuevas condiciones

n = = X

j =

m =

n = = X

j =

m =

n = = X

j =

m =

0.00

0

60

0.25

12

PAGO 230

PAGO 1

PAGO 3

0.25

12

0

5,000.00 5,000.00

60 30

12 12

0.250.25

5,000.00

5,000.00

PASO 1

Condiciones originales

DATOS: DATOS:

P = S =

n = ( 0 + 2 / 12 ) n = ( 0 + 30 / 360 )

j = j =

m m =

S = ? P = ?

12 x

S = ( 1 + ) 12 x

( 1 + )

S = P =

0.083333

5,210.50 4,897.96

12 12

5,000.00 0.25

12

0.166667 5,000.00

0.2512

P =

5,000.00 5,000.00

0.166667 0.083333

0.25 0.25

6

PROBLEMA No.4

Se tienen en venta un terreno bajo las siguientes dos ofertas:

-Q 38, 000.00 cash.

-O bien Q 20, 000.00 de enganche y el saldo en tres pagares (valor

vencimiento) de Q 10, 000.00 cada uno; los plazos son de un año, dos

año y tres años, siendo la tasa de interés del mercado del 16% anual,

capitalizable semestralmente.

¿Qué oferta sería más ventajosa para el comprador y por qué?

PASO 1

Nuevas condiciones

DATOS PAGO 1:

n = ( 0 + 2 / 12 )

j =

m

DATOS PAGO 2:

n = ( 0 + 30 / 360 )

j =

m

DATOS PAGO 2:

n = ( 0 + 0 / 360 )

j =

m

0.083333

0.25

12

0.000000

0.00

0

0.166667

0.25

12

12 x 12 x

X ( 1 + ) + X ( 1 + ) + X = +

X ( ) + X ( ) + X =

X =

X =

X = x 3 =

0.083333

0.25

0.166667

0.25

12

9,900.76

3.062934 10,108.46

10,108.46

3.062934

3,300.25

5,210.50 4,897.96

1.042101 1.020833 10,108.46

12

7

PASO 1

Condiciones originales

1.- Contado

2.- Credito

a b c d

0 1 2 3

F F

X = ?P

PASO 2

Nuevas condiciones

=

= X

n =

j =

m =

= X

n =

j =

m =

= X

n =

j =

m =

38,000.00

años

10,000.00 10,000.00 10,000.00 20,000.00

PAGO 3

3

0.16

2

Contado 20,000.00

PAGO 1

1

0.16

2

2

0.16

2

PAGO 2

X = + + +2 x 1 2 x 2 2 x 3

( 1 + ) ( 1 + ) ( 1 + )

X = + + +

X =

2

42,225.38

20,000.00 10,000.00

0.16

2

20,000.00 8,573.39

10,000.00

0.16

2

7,350.30 6,301.70

10,000.00

0.16

8

2.- Impacto de la desvalorización monetaria

En las operaciones de intereses compuesto o sea largo plazo, se presenta

el fenómeno de la desvalorización monetaria por efectos de la inflación.

Si en una operación de largo plazo se ven con anticipación variaciones

sensibles en el nivel general de precios entre las fechas de suscripción y

de vencimiento de un préstamo, para el monto compuesto deben de ser

corregidas por inflación.

FORMULAS

APLICACIÓN

PROBLEMA No.1

Cuanto recibirá en total un acreedor que dio en préstamo Q 5, 000.00, a

seis años plazo, al 6% de interese anual, bajo los siguientes supuestos.

a) Que no se registraran variaciones sensibles en los precios.

b) Si el índice de precios en la fecha de suscripción está al 130% y se

estima que en la fecha de vencimiento llegará al nivel de 220%.

TASA EFECTIVA TASA NOMINAL

n m n

S = P ( 1 + i ) I o S = P ( 1 + j ) I o

I n m I n

DONDE:

I o = Índice de precios en la fecha de suscripción del préstamo

I n = Índice de precios en la epoca de vencimiento del prestamo

TASA EFECTIVA

Bajo el supuesto "a"

DATOS:

P =

n =i =

S =n

S = P ( 1 + i )6

S = ( 1 + )

S = ( )

S =

5,000.00

?

6

0.06

5,000.00 0.06

5,000.00 1.418519

7,092.60

9

COMENTARIO: al finalizar el plazo de seis años, el acreedor recibiría

moneda por Q 7, 092.60; suma que en términos de poder de comprar

equivale a Q 4, 191.08, expresado a los precios vigentes en La fecha en

que se suscribió el préstamo, o sea en función de moneda del año inicial.

El poder adquisitivo monetario tuvo una contracción de 100-59.0909= o

sea 40.9091%. Y en efecto.

Bajo el supuesto "b"

DATOS:

P =n =i =

Io =In =S =

n

S = P ( 1 + i ) I o

I n

6

S = ( 1 + )

S = ( )

S =

130

220

0.590909

5,000.00

6

0.06

?

130

220

5,000.00 0.06

5,000.00 1.418519

4,191.08

Moneda con valor constante

(-) Merma en poder adquisitivo

=

DEMOSTRACIÓN

Monto equivalente a precios del año inicia, fecha de

suscripción del prestamo

0.409091

7,092.60

2,901.52

4,191.08

10

3.- Ajustes de renta por desvalorización monetaria

Al igual que todos los ingresos fijos, la renta proveniente del

arrendamiento de inmuebles a largo, sufre merma en su poder de compra,

dados los incrementos constantes y generalizados de los precios,

derivados de la inflación.

Esta situación favorece a los deudores y afecta a los acreedores, por lo

cual debe aplicarse “un compensador” de la desvalorización monetaria

en el tiempo, tratando de mantener el poder adquisitivo de los alquileres a

percibirse en el futuro.

Esta es una práctica común llamada “indexación”, para proteger los

ahorros y las inversiones, ya que el valor de compra de la moneda es

inversamente proporcional al nivel de los precios. Y para ello, entre otras,

hay varias alternativas:

a) Corrección según la inflación del pasado

b) Corrección por inflación pasada y la futura

4.- Corrección por inflación del pasado: la renta se revaloriza de

acuerdo al nivel inflacionario de un periodo ya transcurrido (mes o año

anterior), lo cual permite recuperar transitoriamente el poder de compra

en la fecha en que se da el ajuste (mensual, trimestral o anual), de

acuerdo a lo que convengan las partes contratantes, pero no más allá.

La fórmula para este ajuste es:

FORMULA: DONDE:

=

K = n X n =

O

O =

Variación porcentual del índice

de precios

100

I

Índice de precios en la fecha

convenida de la revaluación

Índice de precios vigente al suscribir

el contrato (o en caso el de la

ultima revaluación)

I I

k

I

11

APLICACIÓN:

PROBLEMA No. 1

De acuerdo a un contrato de arrendamiento por tres años, se ha

convenido en cobrar la suma de Q 10, 000.00 anuales, anticipados, sujeta

a ajuste anuales según el índice de precios vigentes al inicio de cada año.

¿Qué renta corresponderá cobrar para el segundo año, si el índice de

precios al firmarse era 388, el que durante el año llegó a 420?

DATOS:

=

n =

O =

=

=

= - = %

K

COEFICIENTE O

ÍNDICE

INFLACIONARIO

108.25 100 8.25

388X

100 108.25=

420

I

I

R 10,000.00

420

388

R₁ ?

FORMULA

W = ( X P₁ ) + ( X P₂ )

DONDE:

W = El porcentaje de corrección

P₁ = Tasa inflacionaria del año anterior a la fecha de revaluación

P₂ = Tasa inflacionaria estimada para el siguiente periodo

El 0.5 indica el porcentaje de participación de cada una de las tasas en el cálculo

(50% cada una), como un criterio ecuánime.

0.5 0.5

RESOLUCIÓN:

RENTA =

O =

FECHA DEL CONTRATO n =

FECHA DE REVALUACIÓN

AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3

10,000.00

I 388I

420

P A S A D O F U T U R O

12

5.-Corrección por inflación pasada y futura: el sistema anterior de

indexación es simple. Sin embargo, este ajuste va perdiendo vigencia en

el tiempo hasta anularse, ante los nuevos incrementos de precios que se

dan en el tiempo.

Esto hace reflexionar sobre que también deben considerarse los

incrementos de los precios que se darán en el periodo subsiguiente a la

fecha del ajuste.

La conservación del ingreso real del propietario del inmueble dado en

arrendamiento, dependerá más bien de las alzas de precios que se darán

en el periodo en que se está recibiendo las rentas y no tanto del periodo

pasado. Ambos criterios deben considerarse simultáneamente para la

resolución de las rentas de inmuebles.

La fórmula siguiente produce un efecto compensatorio de la pérdida del

poder de compra monetario, conservando el rendimiento del capital

invertido, mediante la corrección periódica de las rentas.

LA REVALORIZACIÓN DE LA RENTA

X =

X =

= +

= +

=

AJUSTE POR INFLACIÓN

10,000.00 0.0825 824.74

824.74

AJUSTE POR INFLACIÓN

RENTA INICIAL % DE ACTUALIZACIÓN

R₁ 10,000.00

R₁ 10,824.74

R₁ R

FORMULA

W = ( X P₁ ) + ( X P₂ )

DONDE:

W = El porcentaje de corrección

P₁ = Tasa inflacionaria del año anterior a la fecha de revaluación

P₂ = Tasa inflacionaria estimada para el siguiente periodo

El 0.5 indica el porcentaje de participación de cada una de las tasas en el cálculo

(50% cada una), como un criterio ecuánime.

0.5 0.5

13

APLICACIÓN

PROBLEMA No. 1

Supóngase que se hizo un contrato de arrendamiento de una propiedad

por el término de dos años por Q 20, 000.00 y que al final del primer año

se deberá actualizar dicha renta para el año siguiente. El índice promedio

del año 1 era del 10%, estimándose para el año 2 en 18%.

¿Qué renta deberá estar vigente para el segundo año?

RESOLUCIÓN:

R =

P₁ = P₂ =

CONTRATACIÓN

20,000.00

0.10

AÑO 1 AÑO 2

P A S A D O F U T U R O

ÉPOCA DE

ACTUALIZACIÓN

0.18

R₁ = ?

DATOS:

R =

P₁ =

P₂ =

R₁ =

W = ( X ) + ( X

W = ( ) + ( )

W = %

?

0.10

0.18

20,000.00

0.5 0.10 0.18

0.05 0.09

0.14

0.5

AJUSTE DE LA RENTA PARA EL AÑO 2

R₁ = R X W

R₁ = X

R₁ =

20,000.00 0.14

2,800.00

RENTA CORREGIDA PARA EL AÑO 2

R₁ = R +

R₁ = +

R₁ =

AJUSTE

20,000.00 2,800.00

22,800.00

14

NOTA: También podría darse mayor peso a la inflación futura como

(60%), y entonces la inflación del pasado tendría (40%).

-Este sistema tiene las siguientes ventajas:

-Su metodología es sencilla.

-Está en función de los índices inflacionarios del pasado y de los

previstos para el futuro.

-Conserva el poder de compra del contrato original a la vez que

anticipa al grado futuro de inflación.

-Es consistente y justo, porque concilia los intereses de arrendante y

arrendatario, situando el nivel de ajuste en un promedio ecuánime.

Sin embargo, tiene dos limitantes: tiene dos ingredientes de libertad que

son: el grado de inflación futura que debe ser sólido, transparente y

confiable y no estar sujeto a ninguna manipulación para NO afectar a

ninguno de los contratantes; y depende de la selección del periodo que se

convenga para revalorizar las rentas.

CONCLUSIÓN: de no adoptarse un sistema de actualización de las

rentas en el largo plazo, se estaría favoreciendo al arrendatario en

perjuicio del propietario del inmueble, ya que el primero cancelaría

periódicamente sus rentas con moneda de menor capacidad de compra.

De allí que en un contrato de arrendamiento de largo plazo, es

conveniente que el pago de la renta periódica sea fluctuante y sujeta a los

niveles que señale un índice general de precios, como el de precios al

consumidor (IPC) y las estimaciones del índice inflacionario del Instituto

Nacional de Estadística (INE) o del Banco de Guatemala.

6.- Descuento Bancario

El descuento es la rebaja que se hace sobre una suma de dinero pagada

antes de su vencimiento.

Si una persona necesita disponer de efectivo, del valor de un documento

de crédito antes de su vencimiento, puede venderlo a un banco, operación

llamada Descuento Bancario. En el momento de descontar el

documento, se deduce del valor al vencimiento los intereses desde la

fecha del descuento hasta su vencimiento. El descuento sobre el

documento de crédito, es el interés que cobra el banquero sobre el dinero

que anticipa.

15

-Cálculo: para calcular el descuento compuesto debe conocerse al valor

al vencimiento. Cuando la deuda “NO” devenga intereses, el valor al

vencimiento es el mismo valor nominal. Si la deuda devenga intereses,

antes de aplicar la fórmula del descuento, debe calcularse el Monto.

APLICACIÓN

PROBLEMA No. 1

El banco la Esperanza descontó un pagare de Q 4, 000.00, que ya incluye

interese, que vencerá dentro de tres años a la tasa del 20% anual.

¿Cuál fue el descuento y cuanto recibió el tenedor del documento?

FORMULAS

TASA EFECTIVA

n

DESCUENTO D = S 1 - ( 1 - d )

VALOR LÍQUIDO V₁ = S - D

TASA NOMINAL

m n

DESCUENTO D = S 1 - ( 1 - f )

m

VALOR LÍQUIDO V₁ = S - D

DONDE:

D = Descuento Bancario d = Tasa efectiva de descuento

S = Valor al vencimiento f = Tasa nominal de descuento

n = Tiempo y plazo m = Capitalizaciones por año

DESCUENTO BANCARIO QUE NO GENERA INTERESES

TASA EFECTIVA

DATOS

S =

d =

n =

D =

4,000.00

0.20

3

?

16

PROBLEMA No. 2

La empresa Cortijo, S. A., contrajo una obligación, generando un

documento con valor nominal de Q 10, 000.00, al 10% de interés

compuesto, capitalizable semestralmente durante 10 años. La empresa

quien es tenedor del documento por falta de liquides decide negociar el

documento con una institución financiera, cuatro años ante de su

vencimiento, a una tasa del 15% capitalizable semestralmente.

¿Cuál fue el descuento y cuanto recibió el tenedor del documento?

DESCUENTO n

D = S 1 - ( 1 - d )

3

D = 1 - ( 1 - )

3

D = 1 - ( )

D = 1 -

D =

D =

VALOR LÍQUIDO

V₁ = S - D

V₁ = -

V₁ =

1,952.00

4,000.00 1,952.00

2,048.00

4,000.00 0.80

4,000.00

4,000.00

0.512000

0.488000

4,000.00 0.20

DESCUENTO BANCARIO QUE GENERA INTERESES

TASA NOMINAL

DATOS

P =

j =

n =

m

S =

10

?

2

10,000.00

0.10

17

DETERMINAR MONTOm n

S = P ( 1 + )

2 x 10

S = ( 1 + )

20

S = ( )S = ( )

S = 26,532.98

0.10

2

10,000.00 1.05

10,000.00 2.653298

10,000.00

j

m

DATOS

S =

f =

m =

n

D =

26,532.98

0.15

2

4

?

m n

DESCUENTO D = S 1 - ( 1 - f )

m2 X 4

D = 1 - ( 1 - )

8

D = 1 - ( )

D = 1 - ( )

D =

D =

VALOR LÍQUIDO V₁ = S - D

V₁ = -

V₁ = 14,220.66

26,532.98 0.535962

26,532.98 0.464038

12,312.31

26,532.98 12,312.31

0.15

26,532.98 0.925000

2

26,532.98