i manga delle scienze
Transcript of i manga delle scienze
∫ d
i manga delle scienze
MATEMATiCAanalisi
Hiroyuki KojimaShin Togami
Becom Co., Ltd.
SOMMARiO
PrefaZiONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX
PrologO:
CHE COS’È UNA FUNZiONE? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Esercizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1
DERiViAMO LE FUNZiONi! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Approssimare con le funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Calcoliamo l’errore relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Derivate in azione! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Passo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Passo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Passo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Calcoliamo la derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Calcoliamo la derivata di una funzione costante, lineare e quadratica . . . . . . . 40Riassunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2
iMPARiAMO A DERiVARE! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
La derivata della somma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48La derivata del prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53La derivata dei polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Troviamo i massimi e i minimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Il teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72La derivata di un quoziente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74La derivata della funzione composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75La derivata della funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3
iNTEGRiAMO LE FUNZiONi! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Il teorema fondamentale del calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Passo 1 — Quando la densità è costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Passo 2 — Quando la densità è costante a tratti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Passo 3 — Quando la densità cambia in maniera continua . . . . . . . . . . . . . . . . 85Passo 4 — Ripassiamo le approssimazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Passo 5 — Dall’approssimazione al valore esatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Passo 6 — p(x) è la derivata di q(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Applichiamo il teorema fondamentale del calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Riassunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Una spiegazione più rigorosa del passo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Calcolare con gli integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Applichiamo il teorema fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101La curva dell’offerta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102La curva della domanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Ricapitoliamo il teorema fondamentale del calcolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Integrazione per sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Integrale di una potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4
iMPARiAMO A iNTEGRARE! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Le funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Gli integrali delle funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125L’esponenziale e il logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Generalizziamo l’esponenziale e il logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Riassunto delle funzioni esponenziale e logaritmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Altre applicazioni del teorema fondamentale del calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Integrazione per parti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5
SViLUPPi Di TAYLOR! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Approssimare con i polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Come ricavare lo sviluppo di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Sviluppi di Taylor di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Che cosa ci dicono gli sviluppi di Taylor? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6
LE DERiVATE PARZiALi! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Cosa sono le funzioni di più variabili? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Funzioni lineari in più variabili: i fondamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Derivate parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191Definizione di differenziale parziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Differenziali totali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
vi soMMario
Condizioni per gli estremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Applicazioni all’economia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202Funzione composta in più variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206Derivate delle funzioni implicite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
EpilogO:
A COSA SERVE LA MATEMATiCA? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
A
SoluZiONE DEGLi ESercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Prologo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Capitolo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Capitolo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Capitolo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226Capitolo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227Capitolo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228Capitolo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
B
principali formule, teoremi e funzioni che trovate in questo
libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Equazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231Derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231Derivate di funzioni importanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233Sviluppi di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234Derivate per funzioni di più variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
inDiCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
soMMario vii
Prefazione
Certe cose si possono fare solo con i fumetti, cioè – nel nostro caso – con i manga.
E siccome avete preso in mano questo volumetto e state leggendo queste pagine, con ogni probabilità appartenete a una delle categorie seguenti.
La prima comprende persone che semplicemente amano il fumetto e pensano “L’Analisi Matematica spiegata con i manga? Fantastico!” Se siete questo tipo di persona, dovreste precipitarvi alla cassa e comprarlo all’istante. Non ve ne pentirete. È un manga delizioso. Nulla di cui meravigliarsi, naturalmente: il disegnatore Shin Togami è un mangaka molto apprezzato, e l’idea editoriale è della Becom, uno studio molto professionale.
“Ma di solito i manga scientifici non sono particolarmente divertenti.” potreste obiettare. Vero. E in effetti, quando un editor della Ohmsha mi chiese di scrivere questo libro per poco non rifiutai. Molti dei cosiddetti “manga didattici” sono decisamente deludenti: anche se sono pieni di illustrazioni e di immagini grandi, non sono dei veri fumetti. Ma quando la Ohmsha mi mostrò un esempio (era “I manga delle scienze – Statistica”) cambiai idea immediatamente. A differenza di altre guide analoghe, si leggeva che era un piacere e l’editor mi disse che il mio libro sarebbe stato qualcosa di molto simile, così accettai. In realtà, avevo sempre pensato che usando i manga sarebbe stato più facile insegnare la matematica e mi sembrò un’ottima occasione di mettere in pratica quell’idea. Vi garantisco che più siete pazzi per i manga e più vi piacerà. Be’, cosa state aspettando? Se già non l’avete fatto, correte a comprarlo!
Un secondo tipo di lettore è quello che ha preso in mano il libro pensando “Anche se sono un disastro o proprio completamente allergico alla matematica, forse un manga mi aiuterà a capire”. Anche in questo caso, questo libro fa per voi, perché comprende deliberatamente dei passaggi pensati per chi in passato è rimasto traumatizzato dall’Analisi: non solo la spiega a fumetti ma lo fa in un modo sostanzialmente diverso dai testi tradizionali sull’argomento. Innanzitutto, proponiamo in continuazione le idee alla base dell’Analisi. Cose che non potreste mai capire limitandovi a impostazioni didattiche basate unicamente sui limiti (quella che io chiamo “la logica ε-δ”). Non potrete mai capire veramente l’Analisi, o farne uso con disinvoltura, se non avrete un’idea chiara di ciò che può veramente fare e
del perché è utile nel mondo reale. Finireste inevitabilmente in un circolo vizioso fatto di regole e formule imparate a memoria. Il libro spiega le formule sulla base di un’idea molto generale, quella di approssimazione del primo ordine, cercando di aiutarvi a visualizzare il significato delle formule, e a capirle. Si tratta di un approccio didattico unico, che vi permetterà di passare facilmente dalla derivazione all’integrazione. Ho inoltre adottato un metodo originale, che non si trova in altri testi, per spiegare l’integrazione delle funzioni esponenziali e trigonometriche, cosa che anche dopo ripetute spiegazioni di solito resta arabo per un sacco di persone. Inoltre, approfondiamo argomenti che in altri manga sullo stesso argomento non si trovano, come gli sviluppi di Taylor e le derivate parziali. Infine, ho invitato tre regolari fruitori dell’Analisi – Fisica, Statistica ed Economia – a fare parte del libro, presentando numerose applicazioni da cui è evidente quando l’Analisi possa essere indispensabile. Forti di questo armamentario, vedrete anche voi l’Analisi non come qualcosa di inarrivabile, ma come uno strumento da utilizzare.
Non lo ripeterò mai abbastanza: tutto ciò è stato possibile grazie al linguaggio dei manga. Ma perché sarebbe possibile acquisire più informazioni leggendo un manga invece che un romanzo in prosa? Perché gli elementi visivi del manga vengono presentati come una forma di animazione. L’Analisi è un ramo della matematica nato per descrivere illustrata con i manga.
E adesso voltate pagina e divertitevi anche voi con questo meraviglioso connubio tra fumetto e matematica.
Hiroyuki Kojima
NOTA – Per chiarezza, alcune figure non sono riportate in scala.
x prefazione
1
PROLOGO.CHE COS’È UNA FUNZiONE?
2
Gli ufficidi Sanda-Cho dell’Asagake
Times devono es-sere qui vicino.
Non ci posso credere... io, Noriko Hikima... una
giornalista! La miacarriera sta per
cominciare!
È solo laredazione loca-le di un piccolo
giornale, ma sono pur sempre una
giornalista!
Lavorerò come una
matta!
prologo
3
Asagake Times Distributore di Sanda-Cho
Un distributore?
Uffici diSanda-Cho... che sia sbagliata la
cartina?
È la porta a fianco.
Cercate laredazione di Sanda-Cho? Si
sbagliano tutti perché i nostri uffici sono più
grandi.
Che cos'è una funzione?
4
Asagake Timesredazione disanda-cho
prologo
Whoosh...
Oh, no!!Un prefabbricato!
M-mantieni la calma, Noriko.
È una redazione locale ma è pur
sempre l’Asagake Times.
5
Buongiorno!
[SPALANC]
S-sonos-spacciata.
Ha portato il pranzo?
Zzzzzzz...
Che cos'è una funzione?
O la vao la spacca!
6
Puòlasciarlo lì,
grazie.
Che c’è?
Oh, capisco. Lei è la nuova giornalista.
Mi chiamoNorikoHikima.
È stato unviaggio lungo, eh? Kakeru Seki, piacere. Sono il caporedattore.
il tipo grosso è Futoshi Masui, il
mio unico soldato sul caMpo.
Sono solo due...
prologo
7
È un ottimo po-sto. Un ambiente perfetto per pensare con
un po’ dicalma.
Pensare...? Sì. Pensarealle notizie.
Ai fatti.
Un fatto è una cosa collegata a
un altro fatto.
Se non capisciquesti collegamenti non diventerai unabrava giornalista.
VERO GIORNALISMO!!
Che cos'è una funzione?
8
Vedo che haifatto studiumanistici.
Sì! Hostudiato
letteraturasin dal liceo.
Allora devirecuperare un sacco di cose. Cominciamo con
le funzioni.
F-funzioni?Matematica?
C-co...?!
Quando unacosa cambia, ne
influenza un’altra.Una funzione èuna forma direlazione.
Puoi pensare al mondo stesso
come a una specie di grande funzione.
Una funzione descrive una relazione, un le-game di causalità o
un cambiamento.
il lavorodi noi giornalisti è scoprire perché le cose accadono...
le cause.
S-sì...
9
Sapevi che spesso una
funzione viene rappresentata nella forma
y=f(x)?
No!!
Supponiamo per esempio che x
e y sianoanimali.
Se x è una rana e la mettiamo nella scatola f, che la trasforma, dalla scatola esce il
girino y.
Ma, uh... che cos’è
f?
f sta per “funzione”, naturalmente.
La usiamo per indicare che la variabile y si trova in una relazio-ne ben precisa con la
variabile x.
E ovviamenteinvece di f pos-siamo usare una
lettera qualsiasi.
Animale yAnimale x f
Che cos'è una funzione? 9
10
in questo caso f descrive la relazione, o regola, traun “genitore”e un “discen-
dente”.
Genitore DiscendenteUna relazione che è vera per qualsiasi ani-
male. Se x è un uccello, y è un
uccellino.
Perfetto! Ora guarda qua.
Crisi:
calano i
consumi
di caviale
Un altro esempio: la relazione tra il reddito e le
spese può esse-re vista come una
funzione.Come quando
le vendite di una società aumenta-no e i dipendenti
ricevono dei bonus?
Jet X-43 raggiunge
Mach 9,6
Nuovo record del mondo
Anche la velocità del suono e la temperatura possono essere viste
come legate da una fun-zione. Quando la tempera-tura aumenta di un grado la velocità del suono
aumenta di 0,6 metrial secondo.
E in montagna la temperatu-ra scende di
circa 0,5 gradi ogni 100 metri d’altezza, dico
bene?Yoo-deel!
prologo
11
Chiaro no?!Siamo circondati
da funzioni.
Ora ca-pisco cosa vuoi dire!
E qui abbiamo tutto il tempo per pensare con cal-ma a queste cose.
Un giorno, le cosea cui pensiamo e che capiamo potranno
tornare utili.
È una piccolaredazione ma spe-ro che farai del
tuo meglio. Oh, sì.
Ehi?!
BUMP!
Che cos'è una funzione?
12 Prologo
Ouch...
Tutto bene...? È già ora di pranzo? Dov’è il mio manzo?
È presto per il pran-zo, Futoshi.
Lei è...
Non è ora? Sve-gliatemi quando arriva il pranzo, per favore... zzz.
Futoshi, abbiamo una
nuova...
È ora dipranzo?
No, èpresto.
zzz...
Flop
13
TABEllA 1: LE CARAttERiSTiCHE Di UNA FUNZiONe
argomento formula grafico
Relazione La frequenza del frinire del grilli dipende dalla temperatura. Indicativamente, la relazione tra y versi al minuto di ungrillo esposto alla temperatura di xgradi centigradi (°C) è
x = 27° 7 × 27 − 30
y g x x= ( ) = −7 30
Il risultato è di 159 versi al minuto.
Quando tracciamo il grafico di queste fun-zioni otteniamo una linea retta. Per questo le chiamiamo “lineari”.
x
y
0
Variazioni La velocità del suono y, espressa in metri al se-condo (m/s), nell’aria alla temperatu-ra di C, è data da
y v x x= ( ) = +0 6 331.
A 15°C,
y v= ( ) = × + =15 0 6 15 331. 340 m/s
A −5°C,
y v= −( ) = × −( ) + =5 0 6 5 331. 328 m/s
Conversioniunità di misura
Passaggio da x gradi Fahrenheit (°F) a y gradi Celsius (°C)
y f x x= ( ) = −( )59
32
Perciò 50 °F equivalgono a
59
50 32 10−( ) = °C
I computer memorizzano i numeri utilizzando un sistema binario (cioè le cifre”1” e “0”, dette anche “bit”). Un numero binario espresso da x bit può codificare y numeri
y b x x= ( ) = 2
(ulteriori dettagli su questo esempio a pagina 131)
Il grafico è una funzione esponenziale
x
y
10
1024
1
0
Che cos'è una funzione?
14 Prologo
P(x) non ha la forma di una funzione già nota ma è comunque unafunzione. Se in giugno aveste trovato il modo di predire il valore P(7) che il titolo avrebbe avuto in luglio, avreste potuto realizzare grossi guadagni.
esercizio
1. Scrivere la funzione che esprima la frequenza in frinii/minuto di un grillo alla temperatura di x °F
Il valore P del titolo di una società nel mese x nel corso del 2016 èy = P(x)
1 2 3 4 5 6
300
200
100
Mese
Yen
fx f(x) g( f(x))g
La funzione composta di f e g
Alcune funzioni non hanno grafici composti da linee rette o da curve con una forma regolare.
Quando applichiamo consecutivamente due o più funzioni parliamo di “composizione di funzioni”, una tecnica checi permette di allargare i possibili tipi di causalità.
15
1Deriviamo le funzioni!
16
Approssimare con le funzioni
Asagake Times Redazione di Sanda-Cho
Molto bene,per oggi ho
finito.
Tap-tap
Mi hanno dettoche ha aperto un ristorante italia-no proprio chic,
Noriko. Ti va?
Oh! Adoromangiare italiano...andiamo!
Ma... stacchi già? Non è
neppure mez-zogiorno.
Questa è una redazione lo-cale, abbiamo orari diversi.
capitolo 1 Deriviamo le funzioni!
17
[Sb
irc]
A: Redattori
Oggetto: Titoli del giorno
Orso irrompe nuovamente in abitazione – Nessun feritoLa reputazione dei cocomeri di Sanda-Cho inaumento in tutta la Prefettura
Ma... pubblichi sempre storie del genere?
Notizie locali come queste
non sono male. inoltre, l’aspet-
to umano può essere...
Politica,Esteri, Finanza,
Economia... io voglio trattare gli
argomenti che contano!!
Oh...quello è impossi-
bile.
Approssimare con le funzioni
[Conk]
18 capitolo 1 Deriviamo le funzioni!
[chomp][chomp]
Non è cheda queste parti
ci facciano iSummit.
Non succede mai niente d’interes-sante e il tempo scorre molto
lentamente.
LO SAPEVO!iO QUi NON Ci
LAVORO!
Noriko, ti assi-curo che un po’
d’esperienza qui ti servirà egualmente.
Non soche notiziet’interessicoprire...
...Ma ti insegnerò bene, così
potrai passarealla redazione
centrale.
19Approssimare con le funzioni
Per esempio, pensi che l’e-conomia giap-
ponese si trovi ancora in defla-
zione?
Credo di sì. Lo vedo nella vita di tutti i giorni.
il governo ha affermato ripetu-tamente che l’eco-nomia si sarebbe
ripresa.
Ma è passatomolto tempo
prima che apparis-sero dei segnali
di ripresa.prezzi
Un verogiornalista do-
vrebbe domandar-si per prima cosa “Che cosa voglio
sapere?”
Ho un brutto presenti-mento...
20
2004 2005 2006
y(Prezzi)
x(Anno)
Passaggio all’inflazione Ancora in deflazione
a > 00 a < 00
y ax b= +
capitolo 1 Deriviamo le funzioni!
Se riesci ad approssimare ciò che vedi con una funzio-ne semplice, la risposta ti apparirà più chiaramente.
Qui abbiamo usato un’e-spressione
lineare:y = ax + b
D-di nuovo matematica...? Lo sapevo!
Ora, ciò chepiù desideriamo sapere è se i
prezzi salirannoo caleranno.
Guarda.
Approssimandola fluttuazione dei prezzi con y=ax+b
otteniamo...
Perciò, se a è negativo possiamo affermare che la
deflazione è anco-ra in corso.
21Approssimare con le funzioni
Esatto. impari alla
svelta.
[Growl]
E adesso andiamo a
fare pausa al ristorante
italiano.
Fuori di qui!
Noi andiamoa pranzo,
Futoshi. Vedi di non mangiare
troppo.
A proposito dimangiare, hai presen-te Johnny Fantastic, la rockstar che ha
scritto un libro sulle diete che è diventato
un successo? Sì.
22
Peso (kg) Peso (kg)
8 9 10 11 12 8 9 10 11 12
70 70
Giorni Giorni
y ax bx c= + +2
capitolo 1 Deriviamo le funzioni!
Ma dopo che si è lasciato in malo modo con la fidanzata è
tornato improv-visamente aingrassare.
Anche se il suo agentelo aveva av-
vertito.
Sono già al massimo del
peso.
Ne era certo. Ora, quello che il suo agente
vorrebbe capire...
È severamente il
peso di Johnny ha smesso di aumentare,come luisostiene.
Esattamente.Proviamo allora a descrivere l’aumen-
to del peso cony = ax2 + bx + c
23Approssimare con le funzioni
L’aumento di peso accelera
L’aumento di peso rallenta Se a è positivo
l’aumento di peso continua ad accele-rare. Se è negativo,
rallenta.
Brava!Complimenti!
Da queste parti ci sono un
sacco di curve strette.
Supponiamo che tu voglia sape-re quanto sono
strette.
Be’, inrealtà nonm’interessa.
Possiamoapprossimare ciascuna curva con un cerchio.
...
[Vr
oom]
24
y R x a b= − −( ) +2 2
x a y b R−( ) + −( ) =2 2 2
capitolo 1 Deriviamo le funzioni!
Per farlo, usiamo la formuladel cerchio di raggio R
con centro nel punto (a,b).
E supponiamo che la curvatura sia quella
del cerchio.
Più R è pic-colo, più la curva è stretta. Ehi! At-
tento!
Stai bene?
Credo di sì...
[Vr
oom]
B a ng !
25Approssimare con le funzioni
Ecco, quello è il nostro ristorante.
È ancora molto
lontano!
Ehi, ho un’idea! indichiamo il
punto dell’in-cidente con la lettera P.
Cosa?
Ristorante italiano
Luogodell’incidente
E immaginiamoche la strada
coincida col gra-fico della funzio-
ne f(x) = x2
26
y
4
x
Ristoranteitaliano
P
x = 2
f (x) = x2
y = g(x)
Approssi-mazione cong(x) = 4x − 4
P = (2, 4)
4km
1km
Pendenza nel punto P
La funzione lineareche approssima la funzionef(x) = x2 (la strada) in x = 2 è g(x) = 4x – 4*. Possiamo usare questa espressione per cal-colare l’inclinazione in quel
punto particolare.
Nel punto Pl’inclinazione aumenta di 4 chilometri in verticale per ciascun chilometro
percorso orizzontalmen-te. in realtà, per la mag-gior parte il percorso
non è così ripido.
*il motivo è spiegato a pagina 39
Futoshi? Abbiamo avuto un incidente. Puoi venire a dar-
ci una mano?
Dove? Èsuccesso nel
punto P.
Che razza difunzione dovrei usare per ap-
prossimare quel-lo che hai dentro
la testa?
capitolo 1 Deriviamo le funzioni!
27
Errore relativo = Differenza tra f(x+h) e g(x+h)
Variazione di x (=h)
Lafunzioneoriginale
La funzionecon cui laapprossimiamo
CALCOLiAMO L’ErrORE RELATiVO
Mentre aspettiamo Futoshi, ti parlerò dell’errore re-lativo, una cosa
molto importante.Errore
relativo?
L’errore relativoè il rapporto della
differenza tra i valori di f(x) e g(x) e la varia-zione di x, quando x
cambia. in altreparole...
Facile, no?
Me ne frego della differenza relativa. io vo-glio mangiare. Guarda
là, per esempio.
Un ristorantedi ramen?
CALCOLiAMO L’ErrORE RELATiVO
28
Ramen
Ramen
capitolo 1 Deriviamo le funzioni!
Supponiamo che x sia 2 nel punto in cui ci troviamo e
che la distanza tra noi e il ristorante
sia 0,1.
Variamo x di 0,1: x=2 diventa
x=2,1
La differenzadiventa allora
f(2,1) – g(2,1) = 0,01e l’errore relativo è 0,01 / 0,1 = 0,1 (il 10%).
Supponiamo ora che il punto in cui mi trovo
disti 0,01 da P.
29
Errore
Errore relativo
Se lo scostamento tende a 0, anche l’errore relativo tende a 0.
Scostamento
di x da 2
f(x) g(x) Errore Errore
relativo
1 9 8 1 100,0%
0,1 4,41 4,4 0,01 10,0%
0,01 4,0401 4,04 0,0001 1,0%
0,001 4,004001 4,004 0,000001 0,1%
0 0
CALCOLiAMO L’ErrORE RELATiVO
Aumentiamo x di 0,01: x=2 diventa x=2,01
L’errore relativo per questo punto
è minore che per il ristorante.
in altre parole, più resto vicino al luogo dell’inci-
dente e meglio g(x) approssima f(x).
30
Non mi sembra affatto sor-prendente...
Grandioso! Capisci già le
derivate.
Perciò il ristorante con l’erro-re relativo minore è...
...quello di ramen.
Non girarci in-torno! Hai inten-zione di andare al ristorante di
ramen, vero?
Sì. È più vicino al punto P e oggi
andremo lì.
La funzione lineare che approssimaquella originale è tale che, localmente,
il suo errore relativo è zero.
Perciò, finché ci riferiamo a caratteristichelocali, possiamo ricavare risultati corretti
utilizzando l’approssimazione lineare alposto della funzione originale.
Trovate tutti i dettagli a pagina 39.
capitolo 1 Deriviamo le funzioni!
31
Ramen Sanda Perché Futoshi mangia tanto? in fondo, è solo
venutoad aiutarci.
Sigh! il ramenmi piace, ma volevo mangiare italiano.
Sai Noriko, con le funzioni appros-simanti possiamo
stimare anche l’ef-ficacia degli spot
televisivi.
Davvero?
CALCOLiAMO L’ErrORE RELATiVO
32
DERiVATE iN AZiONE!
Hai presente “MiXED Cola”,
la bibita?
Supponiamo che un loro manager abbia aumentato o diminuito il tempo
complessivo delle pubblicità televisi-ve, con lo scopo di aumentare i ricavi dei
vari prodotti.
Okay,ricevuto.
Sai...
Quando lavoravo in redazione centrale,
solo una persona riu-scì a risolvere questo
problema e oggi èun potentissimo...
Ci penso io! Lavorerò come
una pazza. Ti prego, raccon-
tami tutto.
Supponiamo chela mixed Cola
acquisti spot televisiviper x ore al mese.
Sappiamo che il guadagno derivante dall’aumento del-
le vendite in seguito a xore di spot è
f(x) = 20√x(in centinaia di milioni di yen)
capitolo 1 Deriviamo le funzioni!
33
Èbuonissima!
Attualmente, in un mese la mixed Cola
manda in ondaspot per 4 ore.
E siccomef(4) = 20√4 = 40,
la società guadagna4 miliardi di yen.
il costo de-gli spot è di 10 milioni di yen al
minuto.
Un minuto di spot =10 milioni di yen
D-diecim-milioni...?!
Un responsabile fresco di nomina ha deciso di interve-nire sui tempi degli spot. Secondo te, li aumenterà o li
diminuirà?
centinaia di milioni di yen
Un minuto di spot = 10 milioni di yen
mmm...
derivate in azione!
f x x( ) = 20
34
passo 1
centinaia di milioni di yen
*Ecco i calcoli per la retta tangente (v. anche le spiegazioni sulla derivata apagina 39).Per f x x( ) = 20 , f′(4) è data da
f f4 4 20 4 20 220
4 2 4 2
4 2
204
+( ) − ( )= + − × =
+ −( ) × + +( )× + +( )
= + −
ee
ee
e e
e e
e 44
4 2
20
4 2e e e+ +( ) = + + u
Quando e tende a 0, il denominatore di u 4 2+ +e 4. Perciò, u 20 ÷ 4 = 5.La funzione lineare che approssima f è quindi g x x x( ) = −( ) + = +5 4 40 5 20
Siccome f(x) = 20√xè una funzione com-plicata, ricaviamone una lineare che le assomigli per poi eseguire una stima
indicativa.
approssimiamolacon
Non possiamo imitare l’intera funzione con un’altra lineare, quin-di lo faremo solo nei pressi del tempo di messa in onda x=4.
Passo 2
Ora tracciamo la
tangente* al gra-
fico di f(x) = 20√x nel punto (4,40).
capitolo 1 Deriviamo le funzioni!
35
Se x cambia molto – di un’ora, per esempio – il valore g(x) sarà troppo diverso da f(x) e non po-
tremo usarlo.
in realtà, i tempi di messa in onda degli spot devo-no variare di una quantità piccola, iN Più o in meno.
Se consideriamo per esempio una va-riazione di sei minuti (0,1 ore), l’appros-simazione regge,
perché [per picco-le variazioni di x ]l’errore relativo
resta piccolo.
Passo 3
Vicino a x = 4 ore, f(x) è approssimata bene da
g(x) = 5x + 20.
il fatto chenell’espressione di g
il coefficiente sia 5 signifi-ca un aumento degli introiti di 500 milioni di yen all’ora. Perciò, se la variazione è di soli 6 minuti (0,1 ore), che
cosa succede?
Un aumento di sei minuti produce un aumento dei pro-fitti di 5 x 0,1 = 0,5 miliardi di yen, cioè
500 milioni.
Esatto. Maquanto costa
aumentare di sei minuti i tempidegli spot?
il costo dell’au-mento è di 6 x 0,1 = 0,6 centinaia di
milioni di yen.
Se invece i tempi diminuiscono, dimi-nuiranno anche gli introiti di circa 0,5 miliardi, cioè 500
milioni. Ma siccome avremo 600 milioni
di costi inmeno...
derivate in azione!
36
La risposta è... lasocietà ha deciso di diminuire gli spot!
Esatto!
Nel mondo reale usiamo le funzio-ni per risolvere i
problemi di lavoro e della vita di tutti i
giorni.
Esattamente, non importa che ne siamo consapevoli oppure no.
Per la cronaca, chi fu a risolvere que-
sto problema?
capitolo 1 Deriviamo le funzioni!
37
Oh, è statoFutoshi.
VUOI
SChERZARE?!
Ma avevi detto che era diven-
tato potentissi-mo... no?!
È un potentissi-mo giornalista di una redazione
locale.
Lo sapevo... risolvere dei problemi di matematica
non mi farà diventare una giornalista importante. ?!
Slurp
derivate in azione!
STRAP!
38
È una follia! Ma io non mi arrendo!
LA PAUSA PRANZO È FINITA! RIPA-RIAMO L’AUTO!
Futoshi, alzaladi più! Non sei un
potentissimogiornalista?
Non credo che questo c’en-tri niente col giornalismo...
capitolo 1 Deriviamo le funzioni!
39
CALCOLiAMO LA DERiVATA
Per determinare la funzione lineare g(x) = kx + l che approssima la funzione f(x) nel punto x=a dobbiamo trovarne la pendenza k.
u g x k x a f a( ) = −( ) + ( ) (g(x) coincide con f(a) quando x = a)
E adesso calcoliamo l’errore relativo quando x passa da x = a a x = a + e.
Errore relativo = Scostamento di x da x = a
Differenza tra f e g dopo la la variazione di x
Quando ε tende a 0, anche l’errore relativova a 0.
tende a kper ε � 0.
=+( ) − +( )f a g aε ε
ε
=+( ) − + ( )( )f a k f aε ε
ε
=+( ) − ( )
− →→f a f a
kεε ε 0 0
kf a f a
=+( ) − ( )
→limε
εε0
g a k a a f a
k f a
+( ) = + −( ) + ( )= + ( )
ε ε
ε
f a f a+( ) − ( )εε
(Il simbolo “lim” rappresenta il procedimento che produce il valore a sinistra del segno di uguaglianza quando e si avvicina a 0.)
Con questo valore di k, la funzione lineare u, o g(x), è un’approssimazione di f(x).k viene chiamato coefficiente angolare (o differenziale) di f(x)nel punto x = a.
lime
ee→
+( ) − ( )0
f a f a Pendenza della retta tangente a y=f(x) in un qualsiasi punto (a,f(a)).
Lo indichiamo con un apostrofo dopo la f.
′ ( ) = +( ) − ( )→
f af a f a
lime
ee0
f’(a) è la pendenza della retta tangente a y=f(x) in x=a.
Poiché a è un valore generico, possiamo sostituirlo con la lettera x e ora f’(x) può essere vista come una funzione di x, che chiamiamo “funzione deri-vata della funzione f”, o semplicemente derivata di f.
CALCOLiAMO LA DERiVATA
calcoliamo la derivata
40
CALCOLiAMO LA DERiVATA Di UNA FUNZiONE COSTANTE, LiNEARE EQUADRATiCA
1. Troviamo la derivata di una funzione costante f(x) = α. Il coefficiente angolare di f(x) at x = a è
lim lim limε ε ε
εε
α αε→ → →
+( ) − ( )= − = =
0 0 00 0
f a f a
Quindi la derivata di f(x) è f’(x)=0. Questo è ragionevole, perché il tasso di variazione di una funzione costante è 0.
Nota Spesso il coefficiente angolare di f(x) in x=a viene chiamato derivata di f(x) in x=a, o semplicemente f’(a).
2. Calcoliamo la derivata di una funzione lineare f(x) = α x + β. La derivata di f(x) at x = a è
lim lim limε ε ε
εε
α ε β α βε
α α→ → →
+( ) − ( )=
+( ) + − +( )= =
0 0 0
f a f a a a
Perciò la derivata di f(x) is f′(x) = α, cioè un valore costante. Anche questo dovrebbe essere intuitivo: il tasso di variazione delle funzioni lineari è costante per definizione.
3. Troviamo ora la derivata della funzione f(x) = x2, che appare nella storia. Il coefficiente angolare in f(x) at x = a è
lim lim lim lime e e e
ee
ee
e ee→ → → →
+( ) − ( )=
+( ) −= + =
0 0
2 2
0
2
0
22
f a f a a a aa ++( ) =e 2a
Il coefficiente angolare di f(x) in x=a è 2a, o anche f’(a) = 2a.La derivata di f(x) è quindi f’(x) = 2x.
riassunto
• Il calcolo di un limite è semplicemente una formula per il calcolo di un errore.
• Da un limite otteniamo una derivata.
• La derivata è la pendenza della retta tangente al grafico della funzione in un dato punto.
• La derivata è semplicemente il tasso di variazione.
capitolo 1 Deriviamo le funzioni!
41
La derivata di f(x) in x=a è data da
lime
ee→
+( ) − ( )0
f a f a
g(x) = f′(a) (x − a) + f(a) è quindi l’approssimazione lineare di f(x).f’(x) rappresenta la pendenza della retta tangente al grafico di f nel punto
(x,f(x)) e viene chiamata la derivata di f(x). Oltre a f’(x), per indicare la deri-vata di una funzione y=f(x) si usano anche i seguenti simboli
′ydydx
dfdx
ddx
f x, , , ( )
ESERCiZi
1. Sia data una funzione f(x) e una funzione lineare g(x)=8x+10. Sappiamo che l’errore relativo tra le due funzioni tende a 0 per x che tende a 5.
1. Calcolare f(5).1. Calcolare f′(5).
2. Data f(x) = x3, calcolare la derivata f′(x).
A.
B.
esercizi
42
43
2 impariamo a derivare!
44 Capitolo 2 impariamo a derivare!
!!!
Wow! Megatroxè una società enorme!
Non è uno scoop grandioso? ...
Accuse di rilevanza penale controMegatroxLeggi antitrust violate da contratto edilizio
45
immagino che un giorno tu voglia
scrivere un grande servizio, no?
Ovviamente!
immagino che quando eravate
in redazione centrale vi sia-te imbattuti inscoop incredi-
bili... non èvero?
Be’, nonproprio.
[uff]
Mi capitava di mancare le notizie importanti. Una volta ho anche
scritto una lettera di scuse per avereutilizzato notizie
false.
ah ah ah
Non c’è nulla di cui vantarsi!
Calmati,Noriko!
Capisco le tue aspettative sul
giornalismo d’in-chiesta, ma la cosa
più importante sono le basi.
Noriko vuole uno scoop!
46 Capitolo 2 impariamo a derivare!
Scrivi sempre inmaniera chiara e
semplice, senza pa-roloni o espressioni
oscure.
Non dimenticarti mai dell’uomo della strada.
Okay.
inoltre, non farefinta di sapere tutto. Se ti imbatti in qual-
cosa che non conosci, chiedi sempre adaltri o fai le tue
verifiche.
Futoshi èancora giovane ma ha capacità
investigative stu-pefacenti.
[orgoglio]
Uff
io non faccio finta di sapere
tutto!
Per lacronaca...
Che cos’èla leggeantitrust?
Eek!!
Thump
47Noriko vuole uno scoop!
Be’, la commissione fe-derale per il commercio controlla sempre che le imprese non faccia-
no qualcosa contro la libera concorrenza...
questo losai, no?
certamente!
[seeee!]
Aziende ed esercizi cercano sempre di fornire ai consuma-
tori le merci migliori ai prezzi più
bassi.
E proprio questo dovrebbe essere il
risultato della concor-renza: qualità maggiore
e prezzi inferiori.
Ma se delle società si mettono d’accordo per non essere concorrenti, o qualche altro fattore ostacola la concorren-za, ne risulterà uno svan-taggio per i consumatori. Lo scopo della commis-
sione federale per il commercio è monitora-
re queste attività.
Capisco.
Per spiegarti perché dovremmo pensare
alla legge antitrustin termini di analisi matematica, ti farò l’esempio del tapis
roulant.
Cosa?
Parleremodella regola di
derivazione della somma. Stai at-tenta, perchéti sarà molto
utile.
48
Formula 2.1
La derivata della somma
sia h x f x g x( ) ( ) ( )= +
′ = ′ + ′( ) ( ) ( )h x f x g x
approssimando
u
v
w
approssimando
approssimando
LA DERiVATA Della SOmmA
in altre parole, la derivata della som-ma di due funzioni è uguale alla somma delle derivate del-le singole funzioni.
Checosa vuol
dire?
Cerchiamo di capirlo appros-simando le cose
nei dintorni dix = a.
Lo abbia-mo già fatto.
Dato che
Vogliamotrovare k.
Poiché h(x) = f(x) + g(x), sostituiamo u e v
in questaequazione
uh-oh
Squeak
Squeak
Squeak
Capitolo 2 impariamo a derivare!
49
k = f ′(a) + g′(a) !
x
inoltre sap-piamo che...
Risistemando i
termini di x, l’equa-
zione w dice che il coefficiente di
(x - a) sarà k.
Vediamo...
Esatto!
Siccome ilcoefficiente an-golare coincide con la derivata,
abbiamo k = h’(a) =f’(a) + g’(a).
Parliamo ora un attimo del tapis
roulant.
Supponiamo che Futoshi stia
camminando sul marciapiede.
Preferirei non pensarci, ma immagino che
mi tocchi.
LA DERiVATA della SOmmA
50
f x f a x a f a( ) ( ) ( ) ( )≈ ′ − +
f x f a
x af a
( ) − ( )−
≈ ′ ( )
Supponiamo che in x minuti percorra f(x) metri a partire dall’origine O del
riferimento.a minuti
dopo si trovanel punto A.
Supponiamo che altri x minuti dopo sia nel
punto P.
Questosignifica che è
passato da A a P in(x - a) minuti.
Okay. Ma cosa vuol
dire?
Supponiamo che questo tempo
(x – a) siaestremamente
breve.
Allora l’e-spressione
diventa...
Mr. Seki, il membro di sinistra è la
distanza percorsa diviso il tempo im-
piegato... quindi è la velocità, giusto?
Precisamente! Quindi f’(a) rappre-senta la velocità di Futoshi quando
transita per il punto A.
Capitolo 2 impariamo a derivare!
51
Perciò derivare f significa trovare la velocità quan-
do f(x) rappresentala distanza in funzione
del tempo!
Esatto. E seh(x) = f(x) + g(x)
allora h’(x) = f’(x) + g’(x) significa quanto segue.
Supponiamo cheFutoshi cammini su un tapis roulant,
come negliaeroporti.
il nastro avanza di f(x) metri in x minuti. Rela-tivamente al nastro, nello stesso tempo Futoshi percorre g(x)
metri.
percorre g(x) metri in x minuti
avanza di f(x) metri in x minuti Quindi la distanza
totale percorsa da Futoshi in xminuti diventa
h(x) = f(x) + g(x).
LA DERiVATA Della SOmmA
52 Capitolo 2 impariamo a derivare!
Cosa significa allora h’(x) = f’(x) + g’(x)?
Vuol dire che la veloci-tà di Futoshi, misurata da
una persona che non è sul tapis roulant, è la somma della sua velocità rispet-
to al tapis roulant edi quella del tapisroulant, giusto? Giusto.
Ma cosa c’è di speciale, in tut-to ciò? E che cosa c’entra con la legge
antitrust?
Abbi un altro po’ di pazienza, cara
la mia cicala. Come ti ho det-to, le basi sono
importanti.
Anche laprossima regola è fondamentale,
quindi vedi diimpararla,
okay?
Ma certo!
[Pant, pant]
[uff uff]
53
Formula 2.2
LA DERiVATA DEL PRODOttO
Sia h x f x g x( ) = ( ) ( )
′ ( ) = ′ ( ) ( ) + ( ) ′ ( )h x f x g x f x g x
La derivata di un prodotto è la somma dei prodotti di ciascuna funzione per la derivata dell’altra.
f x f a x a f a( ) ≈ ′ ( ) −( ) + ( )
g x g a x a g a( ) ≈ ′ ( ) −( ) + ( )
h x f x g x k x a l( ) = ( ) ( ) ≈ −( ) +
h x f a x a f a g a x a g a( ) ≈ ′ ( ) −( ) + ( ){ }× ′ ( ) −( ) + ( ){ }h x f a g a x a f a g a x a f a x a g a f a g a( ) ≈ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ ′ − + ′ − + ′ − +2 (( )
h x f a g a f a g a x a f a g a( ) ≈ ′ ( ) ( ) + ( ) ′ ( ){ } −( ) + ( ) ( )k f a g a f a g a= ′ ( ) ( ) + ( ) ′ ( )
LA DERiVATA Del prodotto
LA DERiVATA DEL PRODOTTO
Davvero?
Sì.Consideriamo
x = a.
(x - a) è unavariazione piccola. Que-sto significa che (x - a)2
è ancora più piccola e
ragionando per appros-simazione possiamo
trascurarla.
Ecco ilrisultato.
54
*in realtà, normalmente per ogni prodotto vi sono grossi marchi di riferimento. Nel mercato del videonoleggio esistono catene famose di negozi. Nessun mercato può essere perfettamente concorrenziale, perciò stiamo parlando di una situazione ideale.
Capitolo 2
Ora useremo le derivate per capi-re perché bisogna evitare situazioni di
monopolio.
Cosa c’entra la derivazione con un pro-blema socia-
le?
Non dovrebbe essere una que-stione di mora-le, giustizia e
verità?
Proviamo a guardare il
mondo dal pun-to di vista degli
affari.
Un mercato incui non è possibile
discriminare prodot-ti forniti da aziende diverse viene detto “perfettamente con-
correnziale”.
Peresempio?
MERCATO PERFEttAMENTE CONCOrrENZiALE
Vediamo...il videono-
leggio?
Esatto.* in un mercato perfettamente con-
correnziale le aziende accettano per il bene il prezzo determinato dal mercato stesso e continuano a produrlo e a distribuirlo finché riescono a ricavarne
un profitto.
55la derivata del prodotto 55
Supponiamo per esempio che una società che produce dei
lettori CD, al prezzo unitario di mercato di 12.000 yen, valuti la possibilità di aumentare la
produzione.
Se il costo di produ-zione di una unità in più è 10.000 yen, l’azienda aumenterà sicuramente la produzione, perché in questo modo aumen-
terà anche iguadagni.
Aumento diproduzione
Siccome anchealtri concorrenti
producono lo stesso bene, l’azienda pensa che l’aumento di produzione produrrà una diminuzione
del prezzo di vendita.
Potrebbe quindi decidere di produrre di più, ma que-
sto farà variare il costo di produzione di ogni unità in più, e con esso la produt-tività. Alla fine, il costo di produzione dell’unità in più raggiungerà il prezzo di mercato di 12.000 yen. A
questo punto, i costi non giustificherebbero
l’aumento di produzione.
in breve, il mercato si stabilizza quando il prezzo di merca-to di una unità in più raggiunge il costo
di produzione di quell’unità.
Uh-uh
D’altra parte in un mono-polio, dove il bene è di-
sponibile presso un unico produttore, le cose vanno
diversamente. in quelcaso l’intero mercatocoincide con un’unica
azienda.
Mercato monopolistico
Se guardiamo al mercato come a un tutt’uno, un
aumento dell’of-ferta provocherà una diminuzione dei prezzi. La legge della domanda e dell’offerta.
56
Ricavo = R(x) = prezzo × quantità = p(x) × x
Formula 2.3 il RiCAVo AZiENDALe
Da R x R a x a R a( ) ≈ ′ ( ) −( ) + ( ) ricaviamo
R x R a R a x a( ) − ( ) ≈ ′ ( ) −( )
variazione della
produzione
variazione del ricavo
Capitolo 2 impariamo a derivare!
Supponiamo ora che il prezzo che consente
alla società di vendere l’intera quantità x della produzione sia una fun-zione di x, che chiamere-
mo p(x).
Per la cronaca, la va-riazione p’(x) del prez-zo è negativa, perché all’aumentare di x il
prezzo unitariodiminuisce.
Precisamente. i ricavi della società sono
quindi...Da cui si vede
che il ricavo ag-giuntivo derivato da una variazione nella produzione è R’(a) per ogni
unità.
Ho capito! Per deci-dere se aumentare la produzione, l’a-
zienda dovrà calco-lare R’ e confron-tarlo coi costi di
produzione.
Proprio così. E siccome R(x)=p(x)×x,
ricordiamoci della regola di derivazione del
prodotto.
Certo...
Squeak squeak
57
...quindi Otteniamo* R ′(a) = p ′(a) × a + p(a) × 1
LA DERiVATA Del prodotto
Esatto. La produ-zione va interrot-
ta esattamente quando questa quantità diventa inferiore al co-sto dell’aumento della produzione
di un’unità.
*La derivata di x è 1 (v. pagina 40 per i dettagli sulla derivazione delle funzioni lineari)
in altre parole, la produ-zione si fermerà quando p’(a) × a + p(a) = costo di produzione. Sappiamo che il primo termine è nega-tivo e questo garantisce che il prezzo di mercato
sia maggioredel costo.
Ma quando èun monopolista a interrompere la produzione, il
prezzo in realtà è maggiore dei costi
di produzioneaddizionali.
Cioè unamanipolazio-ne indebita dei prezzi, giusto? Oh.
Giusto. Ma diamoun’occhiata più da vi-cino. Si tratta di una
decisione presa su una base razionale.
Consideriamo nuovamente l’e-spressione dei
ricavi.
58
Le vendite aumentano quando la produzione aumenta ancora un po’:
′ ( ) = ′ ( ) + ( )R a p a a p a
I due termini hanno il seguente significato:
p(a) è il ricavo dalla vendita di a unitàp ′(a) a = Tasso di aumento del prezzo × produzione
= Gravi perdite a causa della diminuzione di prezzo di tutte le unità
Capitolo 2 impariamo a derivare!
Che ne pensi, Noriko?
Che ne penso?
il monopolistainterrompe la pro-duzione conside-
rando sia il ricavo della vendita di un
un’ulteriore unità che le perdite dovute alla diminuzione
del prezzo.
!!
Di per sé, non è nul-la di “cattivo”. Sem-plicemente, agisce in base al principio della ricerca di un
profitto. Da questo punto di vista, non
ha molto senso ac-cusare l’azienda di
immoralità.
Ma per i consumato-ri e per la società nel suo complesso
questo compor-tamento produce prezzi elevati, che non sono auspica-bili. Per questo la legge proibisce i
monopoli.
59LA DERiVATA Del prodotto
incredibile!! ?? Ma è grandioso, Mr. Seki!! Le derivate possono ri-solvere tutti i problemi
sociali, dico bene?
ME LODEVEDiRE!
L’AMORE?CHE Mi DiCE
DEll’AMORE?
Stai scherzando, vero?Non ha senso. ARGHH! Vi
DETESTO!!
60 Capitolo 2 impariamo a derivare!
Asagake Times, redazione di di
Sanda-Cho.
Oh,b-buongiorno
capo!
Asagake Times,redazione centrale. Vorremmo chieder-
le qualche spie-gazione su un suo
articolo.
Sì...
61Mr. Seki riceve una telefonata
Dovrebbe fornirci al-cuni dettagli sulle sue fonti e sulle informa-zioni che ha raccolto. Potrebbe essere una buona occasione per
ristabilire il suoonore.
Sì... capisco.
Grazie per avermi chiamato. Racco-glierò tutto il
materiale.
...
Che cosasuccede? Non hai un bell’a-
spetto.
Santo cielo.
!!!
Oh, no,niente digrave.
62
Come ricaviamo questa regola generale? Applichiamo più volte la regola per la derivata del prodotto.
Per h x x( ) = 2, si ha h x x x h x x x x( ) = × ′ ( ) = × + × =, 1 1 2
Ed è questa la formula
Per h x x( ) = 3, si ha h x x x( ) = ×2 , ′ ( ) = ( )′ × + × ( )′ = ( ) + × =h x x x x x x x x x2 2 22 1 32
Anche in questo caso la formula è di nuovo giusta.
Per h x x( ) = 4, si ha h x x x( ) = ×3 , ′ ( ) = ( )′ × + × ( )′ = × + × =h x x x x x x x x x3 3 2 3 33 1 4
E la formula è di nuovo quella giusta, per n=3. E così via: combinando queste tre formule possiamo derivare qualsiasi polinomio.
usiamo questo risultato
y ax=
y ax bx c= + +2
Monomio
termini
Polinomio
Formula 2.4 – la derivata di una funzione di grado N
La derivata di h x xn( ) = è ′ ( ) = −h x nxn 1
Formula 2.5 – lA derivatA della somma,della moltiplicazione per una costante e di xn
u
v Moltiplicazione per una costante: α αf x f x( ){ }′ = ′ ( )
w x nxn n{ }′ = −1
E adesso applichiamole tutte! Deriviamo h x x x x( ) = + + +3 22 5 3
regola �
regola � regola �
′ ( ) = + + +{ }′ = ( )′ + ( )′ + ( )′ + ( )′
= ( )′ + ( )′ +
h x x x x x x x
x x
3 2 3 2
3 2
2 5 3 2 5 3
2 55 3 2 2 5 1 3 4 52 2x x x x x( )′ = + ( ) + × = + +
Regoladella somma: f x g x f x g x( ) + ( ){ }′ = ′ ( ) + ′ ( )
Regola delle potenze:
Capitolo 2 impariamo a derivare!
LA DERiVATA DEi POLiNOMi
E ora cambiamo argomento.
Per conclude-re, ricaviamo una formula per deriva-
re i polinomi. La derivata di
qualsiasi poli-nomio si ottie-ne combinando tre formule.
E adesso applichiamole tutte! Deriviamo @@@ /// regola (1) /// @@@ regola (2) /// @@@ regola (3)
63la derivata dei polinomi
Esco unattimo.
...
Non devipreoccuparti
per lui.
Voglio che tu esca di qua e vada a fare delle
inchieste!
Davvero?
si, ho sentito direche hanno appena
rimesso a nuovo le montagne russe del parco divertimenti
di Sanda-Cho.
Le montagne russe di un paesino...
Sigh
64
y
x
Massimo
Minimo
I punti di massimo e di minimo sono punti in cui la funzione smette di crescere e comincia a diminuire, e viceversa. Quindi sono importanti nell’analisi del comportamento della funzione
Siccome un massimo o un minimo potrebbe essere un massimo o un minimo assoluto, è un punto importante nella ricerca di una soluzione ottimale.
Questo significa che troveremo i punti di massimo e di minimo tra quelli a per cui f ′(a) = 0. Questi valori sono chiamati estremanti.
TEOREMA 2.1: CONDiZiONi PER PUNTi ESTREMANTiSe in x=a la funzione y = f(x) è derivabile e ha un massimo o un minimo, allora f ′(a)=0.
TROViAMO i MASSiMi E i MiNiMi
AaaHHh!
OooHHh!
Ècome le
montagne russe
*
*ParcodivertimentiSandaland diSanda-Cho
E adessoche cosa...? io odio le monta-
gne russe...
Clickety-clack
clack
clack
Capitolo 2 impariamo a derivare!
65
f ′(a) = 0
f ′(a) = 0
(a, f(a))
(a, f(a))
teorema 2.2 – criteri per funzioni crescenti o decrescenti
Se f’(a)>0 allora y=f(x) è crescente in un intorno di x=a
Se f’(a)<0 allora y=f(x) è decrescente in un intorno di x=a
Supponiamo che f ‘(a) > 0.
Poiché in un intorno di x=a si ha f(x) ≈ f’(a)(x-a)+f(a), f’(a)>0 implica che in x=a l’approssimazione lineare di f – e quindi f – aumenta.
In altre parole, le montagne russe sono in salita e non si tro-vano né in una cima (massimo) né in un avvallamento (minimo).
Analogamente, se f’(a)<0 allora f(x) è decrescente e i valori che assume non sono né di massimo né di minimo.
Ne segue che se f(x) è crescente o decrescente – per f’(a)>0 e f’(a)<0, risp-ettivamente – in un avvallamento o in una cima si può solo avere f’(a)=0.
Infatti, questo implica che l’approssimazione lineare y=f’(a)(x-a)+f(a) si riduca alla costante y=f(a), il cui grafico è una retta orizzontale, in accordo con la nostra idea di massimo o minimo.
Possiamoriassumere l’in-tera discussione
col seguente teorema.
troviamo i massimi e i minimi
66 Capitolo 2 impariamo a derivare!
Bar Sandaya La, la, la! Ado-ro le derivate! Mi fanno capi-re la societa!
Eh, eh, eh! Quindi oracapisci!
Che cosa?Non hai altro da
dire? Soloderivare, deriva-
re, derivare!
Co...?! Ma hai appena detto
che...
Mi fa male la testa.
Un altrobicchiere, Mr.
Seki?
No, grazie.Stasera non voglio
bere troppo.
È quella telefonata, vero? Che
cos’ha detto il capo?
67troviamo i massimi e i minimi
...Buonissima!
La birra allaspina è lamigliore!
Ecco qua un bel proble-ma! Nella birra ci sono due tipi di bolle. Quelle relativamente piccole, che rimpiccioliscono sempre di più fino a
scomparire...
E quelle relativamente grandi, che rapidamen-te diventano ancora più grandi, emergono in su-
perficie e scoppiano.E adesso provaa spiegarmelo!
68
E r a r b r( ) = −
+ ( )4
343 2π π
Capitolo 2 impariamo a derivare!
Ah!
Conpiacere!
L’anidride carbonica presen-te nelle bevande, come per esempio la birra, è sovra-
satura ed è quindi più stabile come gas che sciolta in un
fluido.
Perciòl’energia di unabolla diminuisce
col volume(dove rè il raggio).
Gas (bolla)
Tensione superficiale
Fluido
D’altra parte, la tensione superficiale preme sulla
superficie di confine tra la bolla e il fluido, cercando
di ridurre l’areasuperficiale.
il contributo all’energia della bolla dovuto a que-
sta azione pertanto aumenta proporzionalmente all’a-
rea, che è data da 4r2
Sommando i due ef-fetti, possiamo scri-vere così l’energia E(r) di una bolla di
raggio r.
Volume dellasfera
Area della superficie sferica
Contributo del volume
Contributo dell’area
Ecco qua!
43
3πr
69
E(r)
MP
N
m n
r
2
′ ( ) = −( )′ + ( )′= − += − −( )
E r r r
r r
r r
3 2
2
3
3 6
3 2
troviamo i massimi e i minimi
La bolla cerca diridurre il più possibi-le la propria energia.
Se capiamo l’anda-mento di E(r) avremo risolto il mistero
della birra.
Capisco.Davvero
notevole,Futoshi!
Per semplificare i calcoli, supponiamo che a e b val-gano 1 e cambiamo il valo-re di r in modo da avere
E r r r( ) = − +3 23 *. È sufficien-te per valutare l’espressio-
ne generale di E(r).
*Si chiama rinormalizzazione di una variabile. Abbiamo semplicemente moltiplicato ciascun termine per 3/(4)
Per prima cosa tro-viamo gli estremi.
Poiché
per r = 2 abbiamo E’(r) = 0.Per 0<r<2 abbiamo invece
E’(r)>0 e la funzione è cre-scente. Per 2<r, E’(r)< 0 e la
funzione è decrescente. Ora vediamo quanto vale E(r) nel
punto di massimo r=2.
Ora sappiamo che il gra-fico di E(r) ha quest’an-
damento, e ci dice che da lati opposti del punto di massimo P la bolla si comporta in maniera
diversa.
70
P
N
n2
E(r)
MP
m 2La bollarimpicciolisce
La bolla aumenta
Capitolo 2 impariamo a derivare!
Per ridurre la propria energia E(r), una bolla di raggio ed energia corri-
spondenti al punto M dovrà ridurre il proprio raggio al di sotto di m. La bolla diventerà quindi sempre
più piccola, fino ascomparire.
D’altra parte, per ridurre la propria energia E(r), una bolla
di raggio ed energia corrispon-denti al punto N dovrà aumen-tare il proprio raggio al di
sopra di n. E diventerà sempre più grande, galleggiando
fino alla superficiedella birra.
?!
[rasp]
Eh, eh, eh...Futoshi...
N-Noriko...!
Bravo!
Clap
clap
71troviamo i massimi e i minimi
Non sbattermiin faccia grafici
e teoremi!!
Ouch! Certo che quando non sei in
ufficio ti comporti in maniera comple-tamente diversa!
Chiudi il becco! Sakè! Portatemi
del sakè!
A quanto pare, è arrivata al suo
massimo.
Aiuto!
72
il teorema del valor medio
Sappiamo che la derivata è il coefficiente della x nell’approssimazione line-are in un intorno di x=a. In altro parole,
f x f a x a f a( ) ≈ ′ ( ) −( ) + ( ) (con x molto vicino ad a)
Ma l’approssimazione, appunto, è solo una “imitazione” di f(x) e, in gene-rale, per un valore b vicino a (ma diverso da) x si avrà
u f b f a b a f a( ) ≠ ′ ( ) −( ) + ( )
Che non è un’equazione!
In altre parole, da qualche parte tra a e b* esiste un valore c per cui nell’espressione u vale il segno di uguaglianza.
teorema 2.3 – teorema del valor medio
Se f è derivabile per tutti i valori compresi tra a e b, con a<b, allora esiste un numero c per cui
f b f c b a f a( ) = ′ ( ) −( ) + ( )
Capitolo 2 impariamo a derivare!
il seguente teorema è per tutti quelli che non sopportano tanta imprecisione.
Come mai?
*Geometricamente: tra a e b esiste un punto nel quale la retta tangente al grafico di f è parallela alla retta che congiunge i punti A=f(a) e B=f(b).
73
Consideriamo il segmento di retta che unisce i punti A=(a,f(a)) e B=(b,f(b)).
Sappiamo che la pendenza è semplicemente Δy / Δx:
v Pendenza di ABf b f a
b a=
( ) − ( )−
Ora spostiamo la retta del segmento AB parallelamente a se stessa, verso il basso, come in figura, finché avrà in comune col grafico un unico punto. Indichiamolo con (c,f(c)).
In questo punto, la retta è diventata la tangente al grafico e la sua pen-denza è f’(c).
Per costruzione, la sua pendenza non è cambiata e sarà uguale a quella del segmento AB.
y = f(x)
B = (b, f(b))
Pendenza f ′(c)
a bc
Pendenza f b f a
b a
( ) − ( )−
A = (a, f(a))
Perciò
f b f a
b af c
( ) − ( )−
= ′ ( )
Da cui ricaviamo
f b f c b a f a( ) = ′ ( ) −( ) + ( )
Consideriamo il segmento di retta che unisce i punti A=(a,f(a)) e B=f(b,f(b)).
il teorema del valor medio
74
la derivata di un quoziente
Troviamo la formula per la derivata di h xg x
f x( ) = ( )
( )Per cominciare, limitiamoci a p x
f x( ) = ( )
1, cioè il reciproco di f(x).
Una volta trovata la sua derivata, potremo applicare alla funzione h(x) la regola per la derivazione di un prodotto.
Siccome per ogni x vale l’identità f(x) p(x) = 1 otteniamo
1 = ( ) ( ) ≈ ′ ( ) −( ) + ( ){ } ′ ( ) −( ) + ( ){ }f x p x f a x a f a p a x a p a
Derivando quindi i due membri, otteniamo.
0 = ( ) ′ ( ) + ′ ( ) ( )p x f x p x f x
Abbiamo quindi ′ ( ) = −( ) ′ ( )
( )p xp x f x
f x.
Siccome p af a
( ) = ( )1
, sostituendo nell’espressione precedente otteniamo
.
Data h xg x
f x( ) = ( )
( ) consideriamo in generale h x g xf x
g x p x( ) = ( ) × ( ) = ( ) ( )1
e applichiamo a questa espressione la regola di derivazione del prodotto.
′ ( ) = ′ ( ) ( ) + ( ) ′ ( ) = ′ ( ) ( ) − ( )′ ( )( )
=′ ( )
h x g x p x g x p x g xf x
g xf x
f x
g x f
12
xx g x f x
f x
( ) − ( ) ′ ( )( )2
Otteniamo quindi
FORMULA 2.6 – LA DERiVATA Di UN QUOZiENTE
′ ( ) =′ ( ) ( ) − ( ) ′ ( )
( )h x
g x f x g x f x
f x2
Capitolo 2 impariamo a derivare!
′ ( ) = − ′ ( )( )
p af a
f a2
75
la derivata della funzione composta
Troviamo la formula per la derivata di h(x) = g( f(x)).In un intorno di x = a,
f x f a f a x a( ) − ( ) ≈ ′ ( ) −( )
Mentre in y = b,
g y g b g b y b( ) − ( ) ≈ ′ ( ) −( )
Sostituiamo ora b=f(a) e y=f(x) nell’ultima espressione.In un intorno di x=a abbiamo
g f x g f a g f a f x f a( )( ) − ( )( ) ≈ ′ ( )( ) ( ) − ( )( )Sostituiamo f(x) – f(a) nel membro destro con quello della prima
espressione:
g f x g f a g f a f a x a( )( ) − ( )( ) ≈ ′ ( )( ) ′ ( ) −( )
Poiché g(f(x))=h(x), il coefficiente di (x-a) risulta essere h'(a) = g'( f(a)) f'(a).
Otteniamo così la formula
la derivata della funzione inversa
Usiamo la formula appena trovata per calcolare la derivata di x=g(y), la fun-zione inversa di y=f(x).Poiché x=g(f(x)) per ogni x, derivando i due membri otteniamo 1=g’(f(x))f’(x).Quindi 1=g’(y)f’(x) e quindi
formula 2.7 – derivata della funzione composta
′ ( ) = ′ ( )( ) ′ ( )h x g f x f x
FORMULA 2.8 – DERiVATA DEllA FUNZiONE iNVERSA
′ ( ) = ′ ( )g yf x
1
il calcolo delle derivate
76
le FORMULE DEllE DERiVATE
Formula PRO MEMORiA
Moltiplicazione per una costante α αf x f x( ){ }′ = ′ ( ) La costante “passa
attraverso” la derivazione.
xn (Potenza)x nxn n( )′ = −1 L’esponente diventa il
coefficiente, e il grado si riduce di 1.
Sommaf x g x f x g x( ) + ( ){ }′ = ′ ( ) + ′ ( ) La derivata di una
somma è la somma delle derivate.
Prodottof x g x f x g x f x g x( ) ( ){ }′ = ′ ( ) ( ) + ( ) ′ ( ) La somma dei prodotti di
ciascuna funzione per la derivata dell’altra.
Quozienteg x
f x
g x f x g x f x
f x
( )( )
′=
′ ( ) ( ) − ( ) ′ ( )( )2
Il denominatore elevato al quadrato. Il numera-tore è la differenza tra i prodotti di ogni funzione per la derivata dell’altra.
Funzionecomposta g f x g f x f x( )( ){ }′ = ′ ( )( ) ′ ( ) Prodotto delle derivate
della funzione esterna e di quella interna.
Funzioneinversa ′ ( ) = ′ ( )g y
f x1 Il reciproco della
funzione originale.
Esercizi
1. Per ogni numero naturale n, calcolare la derivata f’(x) di f(x) = 1—xn
.
2. Trovare gli estremi di f(x) = x3 − 12x.
3. Calcolare la derivata di f ′(x) of f(x) = (1 − x)3.
4. Calcolare il massimo valore di g(x) = x2(1 − x)3 sull’intervallo 0 ≤ x ≤ 1.
Capitolo 2 impariamo a derivare!
La derivata di una somma è la somma delle derivate
77
3integriamo le funzioni!
78 Capitolo 3 integriamo le funzioni!
**
Ehi, l’aveteletto l’articolo sul giornale di
oggi?
*Asagake Times
Quale artico-lo?
Studente univer-
sitario analizza
“la via del vento”
Potrebbe contribuire
a ridurre il fenomeno
delle isole di calore
nelle aree urbane.
Questo! Lo studente frequenta la mia università!
Sulla base dellescoperte dello
studente, la municipa-lità metropolitana di Tokyo sta finanziando
provvedimenti per contrastare il riscal-damento globale. È
fantastico!
La nostra università va forte in
scienze.
[Orgoglio]
Laurea in
lett
ere.
79iL RiSCALDAMENTO GLOBALE
Si sospetta che la causa del ri-
scaldamento glo-bale sia l’anidride
carbonica.
Calore
Viene chiamataanche gas serra e ha l’effetto di
mantenere calda la terra, impedendo al calore di lasciare
l’atmosfera.
Se il calore nonpuò disperdersioltre l’atmosfe-
ra, la terra diventa troppo calda, conconseguenze ano-male sul clima.
Lo studente ha analizzato l’influen-za del vento sulla
temperatura.
Ha propostodi limitare la
costruzione di edifici di grandi dimensioni che si trovino sul cam-mino del vento.
La speranza è che soffiando libe-
ramente sopra le coste e i fiumi, il
vento rallentereb-be l’aumento della
temperatura.
Per le società moderne è dura ridurre le emis-
sioni di CO2.
in realtà,tutti noi
dovremmo provarci.
80 Capitolo 3 integriamo le funzioni!
Ma come faccia-mo a sapere se la quantità di
CO2 nell’aria sta aumentando?
[smorfia]
Oh, no...derivando?
No. integrando, questa volta. Ma
anche per questo serve una funzione.
INTEGRAZIONE
L’integrazione ci consente di determinare la quantità totale di CO2 nell’aria.
Conoscendola, possiamo stima-re questi altri
fattori.
1. incidenza della CO2 sul riscaldamento globale.
2. Quantità di CO2 prodotta dalle attività umane, come automobili e industrie.
Uh...
Ma si tratta di un problema difficile.
81iL RiSCALDAMENTO GLOBALE
Se laconcentrazione di CO2 fosse uniforme ovunque, saremmo in grado di calcolarne la quantità totale: la concentrazione mol-tiplicata per il volume
dell’aria.
Ma la concentra-zione di CO2 cambia da luogo a luogo, in maniera gradua-
le e continua.
Cerchiamo di capire come si
potrebbe fare a calcolare questa
variazionecontinua.
Uh... non ci sarebbe
qualcosa di più semplice?
Okay. Allora prendiamo il
prezioso sho-chu* di Futoshi!
Oh, no! Ma perché?!
* distillato giapponese
È per la forma-zione di Noriko. Peggio per teche lo tieni in
ufficio.
No! È il “Sonno lun-go mille anni”, un rarissimo shochu
di Sanda-Cho. Forse è per questo che
dorme sempre.
82
...
Capitolo 3 integriamo le funzioni!
iL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO
Altezza: 9 cmarea di base: 20 cm2
Verseremo dell’ac-qua bollente in
questo bicchieredi shochu.
Acqua bollente
...
Naturalmente, quando versiamo l’acqua, in
basso il liquore è più forte, mentre in alto la concentrazione è
minore.
inoltre, laconcentrazione varia in maniera
regolare, a poco a poco, dall’alto verso il basso.
Ora, usando lafunzione p(x), esprimiamo la
densità di shochu a x centimetri dal fondo, in g/cm3.
83
Densitàp(x)
2
0.02
0 9 xAltezza
p(x)
0.1
9 x
p(x)
0.1
9 x
iL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO
Supponiamo che p(x) sia della forma
Dimmi, Noriko. Qual è la quantità di alcool in grammi contenu-ta in questo shochu
diluito in acqua?
E io come faccio a
saperlo?!
Passo 1 – Quando la densità è costante
Be’, sela densità ècostante, è
facile. La quan-tità totale di
alcool è ugua-le alla densità moltiplicata per
il volume del contenitore.
Se la densità è di0,1 g/cm3, come nel
grafico, basta calco-lare la densità e molti-plicarla per l’altezza e per l’area di base: 0,1 x 9 x 20 = 18 grammi, che
è la quantità dialcool.
Se calcoliamo l’area della parte grigia del grafico,
non è la stessa cosa?
Hai proprio ragio-ne! Per ottenere il volume dobbiamo
poi moltiplicare an-che l’altezza x per
l’area di basedi 20 cm2.
p xx
( ) =+( )2
12
84
x
0.1
0
0.2
0.3
6 92
2 4 3
Densitàp(x)
0,3 × 2 × 20 + 0,2 × 4 × 20 + 0,1 × 3 × 20
= (0,3 × 2 + 0,2 × 4 + 0,1 × 3) × 20 = 34
alcoolnel tratto0 ≤ x ≤ 2( ) alcool
nel tratto2 < x ≤ 6( ) alcool
nel tratto6 < x ≤ 9( )
Capitolo 3 integriamo le funzioni!
Passo 2 – Quando la densità è costante a tratti
Adesso immaginiamo un bicchiere di shochu dove la densità cambi
in maniera diversa.
Come illu-strato da
questo grafi-co, per esem-
pio.
Perché nonla calcoli tu,
Noriko?
Vediamo, separando il grafico nei vari tratti... l’area di base è 20 cm2...
Quindi...
85
Densitàp(x)
2
0.02
0 9 x
. . .
p(x)
p(x0)p(x1)p(x2)
p(x6)
x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6
iL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO
La soluzione è 34 grammi,
giusto?
Giusto.
Passo 3 – Quando la densità cambia in maniera continua
Che cosa possia-mo fare quando
p(x) varia concontinuità?
Oh, che scocciatura!!
Ma no, dai. Guarda!
Oh, ora capisco. Per cominciare, possiamo imitare il comporta-mento della funzio-ne con una funzione costante a tratti, e usare lo stesso
metodo delPasso 2.
86
p x x x
p x x x
p x x x
p x x x
0 1 0
1 2 1
2 3 2
3 4
20
20
20
( ) × −( ) ×( ) × −( ) ×( ) × −( ) ×( ) × − 33
4 5 4
5 6 5
20
20
20
( ) ×( ) × −( ) ×
+ ( ) × −( ) ×p x x x
p x x x
Quantità approssi-mativa di alcool
p(x)
. . .
p(x0)p(x1)
p(x6)
x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6
Capitolo 3 integriamo le funzioni!
Esatto!Scegliendo
sull’asse dellex dei punti x0,x1, x2... e x6.
La densità è costante tra x0 e x1 e vale p(x0).La densità è costante tra x1 e x2 e vale p(x1).La densità è costante tra x2 e x3 e vale p(x2).
in questo modo,simuliamo p(x) con
una funzione costan-te a tratti.
La quantità di al-cool calcolata
in questo modo è un’approssimazio-ne del quantitativo
esatto.
E questi sono i calcoli com-pleti, vero?
Esatto. L’area gri-gia della funzione costante a tratti è la somma di queste quantità (ma senza moltiplicare per l’area di base di
20 cm2).
87
p x x x3 4 3( ) × −( )
iL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO
Quindi se proseguia-mo all’infinito con questa suddivisione, alla fine otterremo
la giusta quantitàdi alcool, dico
bene?
Be’, ècorretto,
ma non reali-stico.
Dovresti sommare un numero infinito di fette
infinitamente sottili.
Ca...
capisco.
Guarda questa espressione. Ti ri-
corda niente?
Ah! Assomiglia aun’approssimazione
lineare!
88
PAssO 4 – RiPAssiAMO LE AppROssiMAZiONi LiNEARi
Se f’(x) è la derivata di f(x), allora in un intorno di x = a abbiamof(x) ≈ f’(a)(x – a) + f(a).
Possiamo scriverlo come
u f x f a f a x a( ) − ( ) ≈ ′ ( ) −( )ovvero (variazione di f) ≈ (derivata di f) × (variazione di x)
Se l’intervallo tra due valori consecutivi come x0, x1, x2, x3, ..., x6 è abbastanza piccolo, allora x1 è vicino a x0, x2 è vicino a x1, e così via.
Introduciamo ora una nuova funzione, q(x), la cui derivata è p(x):
q′ (x) = p(x).Applicando u a q(x), abbiamo
(Variazione di q) ≈ (derivata di q) x (variazione di x)
q x q x p x x x1 0 0 1 0( ) − ( ) ≈ ( ) −( )q x q x p x x x2 1 1 2 1( ) − ( ) ≈ ( ) −( )
Se sommiamo membro a membro le varie espressioni, vediamo che ivari termini si semplificano a due a due.
q x q x p x x x
q x q x p x x x
q x q x
1 0 0 1 0
2 1 1 2 1
3 2
( ) − ( ) ≈ ( ) −( )( ) − ( ) ≈ ( ) −( )( ) − ( )) ≈ ( ) −( )( ) − ( ) ≈ ( ) −( )( ) − ( ) ≈ ( )
p x x x
q x q x p x x x
q x q x p x x
2 3 2
4 3 3 4 3
5 4 4 5 −−( )+ ( ) − ( ) ≈ ( ) −( )
x
q x q x p x x x4
6 5 5 6 5
q x q x6 0( ) − ( ) ≈ La somma
Sostituendo x6 = 9 and x0 = 0, otteniamo
Quantità approssimativa di alcool = somma x 20
q x q x6 0 20( ) − ( ){ }×q q9 0 20( ) − ( ){ }×
Capitolo 3 integriamo le funzioni!
ovvero (variazione di f) ≈ (derivata di f) × (variazione di x)
Quindi dobbiamo trovare una fun-zione tale che
q’(x)=p(x)
89
Passo 5 — DALL’APPROSSiMAZiONE al VALORE ESATTO
�
�La quantità di alcool approssimata(÷ 20) data dalla funzione a tratti:
(Costante)
La quantità esattadi alcool (÷ 20)
≈
≈
Quantità esattadi alcool (÷ 20)
==
=La somma diPer un numero infinito di xi
p x x xi i i( ) −( )+1 q q9 0( ) − ( )
p x x x p x x x0 1 0 1 2 1( ) −( ) + ( ) −( ) + ...
q q9 0( ) − ( )
iL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO
Abbiamoappena ottenu-to la seguente
relazione tra le espressioni ripor-tate nella pagina
precedente.
Ma seaumentiamo il
numero dei punti x0, x1, x2, x3
e così via,all’infinito...
Possiamodire che
l’espressione u da “approssimata” diventa “esatta”.
Ma poiché la somma delle espressioni
approssima il valo-re costante
q(9) − q(0)
Otteniamo l’e-spressione che
abbiamo scritto*.
*A pagina 94 la ricaveremo in maniera più rigorosa.
ovvero (variazione di f) ≈ (derivata di f) × (variazione di x)
90
Passo 6 — p(x) è la derivata di q(x)
Supponiamo che q xx
( ) = −+2
1, allora ′ ( ) =
+( )= ( )q x
xp x
2
12
In altre parole, p(x) è la derivata di q(x).q(x) viene chiamata la primitiva di p(x).
Quantità di alcool
= q q9 0 20( ) − ( ){ }×
= −+
− −+
×2
9 12
0 120
= 36 grammi
Capitolo 3 integriamo le funzioni!
Questa è la prossima
espressione che studieremo,
Noriko.
Allora la fun-zione che vole-vamo è questa
q(x).
Normalmente, la quantità di alcool in un bicchiere di sho-chu con acqua calda
è di 24,3 grammi.
Uh, roba forteallora.
La somma infini-ta che abbiamo
svolto...
...richiederebbe un sacco di tempo. Perciò la indi-
cheremo con un simbolo.
91AppLiCHiAMO iL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO
AppLiCHiAMO iL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO
L’espressione precedente...
Può essere scritta così. Oh, è
semplice.
Ma checos’è ∆?
∆ è una lettera gre-ca, si legge “delta”
e di solito viene usata per indicare
una differenza.Delta
Perciò ∆x indica la distanza che manca
al punto successivo. in altre parole, per esempio, rappresen-
ta (x1 – x0), oppure (x2 – x1).
E ∑...?
92 Capitolo 3 integriamo le funzioni!
È un’altra lette-ra greca, si legge “sigma” e usata in
questo modo
indica l’operazione “somma da x0=0
a x5=9”.
Perciò,che cosa significa
p x xx x x x
( ) ∆=∑
0 1 5, ,...,
Noriko?
indica la somma dei pro-dotti tra valori di p nei
punti x per la distanza di x dal punto successivo.
Esatto. Ed è l’equazione che abbiamo visto in fondo a pagina
89.
il prossimo simbo-lo ci servirà per semplificare ulte-riormente questa
equazione.
Siccome rappresenta la somma di un nume-ro finito di termini,
passando all’infinito lo arrotondiamo.
Ar... ro-tondiamo?
Sì, così...
Oh![s
tira
cchio!]
Clap clap
nnngg-gHHh!!!
x x x x=∑
0 1 5, ,...,
93
p(x)
0 9 x
� ∫09p(x)dx
riassunto
a b
…
a b
p x p x dx p x x q b q aa
b
x x x x
( ) = ( ) ≈ ( ) ∆ = ( ) − ( )∫ ∑= 0 1 5, ,...,
Dobbiamo trovare una q(x) tale che ′ ( ) = ( )q x p x a
AppLiCHiAMO iL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO
AllUNGO ∑,lo faccio
diventare ∫ e...Tiro
...sostituisco∆ con d.
Oh!
L’espressione w indica la somma quando gli interval-li divengono infinitamente brevi, e rappresenta l’area
tra il grafico e l’asse delle x.
Viene chiamatA inte-grale definito.
Se p(x) è la deri-vata di q(x)... Abbiamo calcolato la
somma con grande faci-lità, non trovi?
integrale definito, ti
amo!
Nonproprio
entusiasta
...
QUESTO È iL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO!
p x dx q b q aa
b ( ) = ( ) − ( )∫
94
una spiegazione più rigorosa del passo 5
Nella spiegazione a pagina 89 abbiamo usato l’espressione q x q x p x x x1 0 0 1 0( ) − ( ) ≈ ( ) −( ), una stima “rozza” del valore esatto. Per chi non fosse soddisfatto da tanta approssimazione, ora saremo un po’ più pre-cisi e, grazie al teorema del valor medio, otterremo il medesimo risultato.
Per cominciare, troveremo una funzione q(x) tale che q’(x)=p(x).Fissiamo sull’asse delle x dei
punti x0 (= a), x1, x2, x3, ..., xn (= b) Poi consideriamo il
punto x01 tra x0 e x1 per cui q x q x q x x x1 0 01 1 0( ) − ( ) ≈ ′ ( ) −( ).
Questo punto esiste per il teo-rema del valor medio.
Analogamente, consideriamo il punto x12 tra x1 e x2 per cui
q x q x q x x x2 1 12 2 1( ) − ( ) ≈ ′ ( ) −( )
Proseguendo con questa operazione, otteniamo
y
x
...
p(x)
x0 x1 x2 x3 x4 xn−1 xn
x01 x12 x23 x34 xn−1n
[xn = b][x0 = a]
Approssimazione dell’area
Area esatta
Sezioni infinitamente sottili
Sempre uguali
Uguali
+
... ... ...
q x q x
q x q x
q x q x
q x q xn n
1 0
2 1
3 2
1
( ) − ( ) =( ) − ( ) =( ) − ( ) =
( ) − ( ) =−
′ ( ) −( )′ ( ) −( )′ ( ) −( )
′ ( ) −− −
q x x x
q x x x
q x x x
q x x xn n n n
01 1 0
12 2 1
23 3 2
1 1(( )
= ( ) −( )= ( ) −( )= ( ) −( )
= ( ) −− −
p x x x
p x x x
p x x x
p x x xn n n n
01 1 0
12 2 1
23 3 2
1 1(( )q x q xn( ) − ( )0
q b q a( ) − ( )
So
mm
e
Aree
Capitolo 3 integriamo le funzioni!
Questo schema è equivalente a quello del Passo 5
95
CALCOLARE CON GLi iNTEGRALi
Le espressioni da u a w diventano intuitive se ne rappresentiamo i grafici.
FORMULA 3.1 – LE FORMULE PRiNCiPALi
u f x dx f x dx f x dxa
b
b
c
a
c( ) + ( ) = ( )∫ ∫ ∫Possiamo unire intervalli adiacenti degli integrali definiti della
stessa funzione.
v f x g x dx f x dx g x dxa
b
a
b
a
b( ) + ( ){ } = ( ) + ( )∫ ∫ ∫L’integrale definito di una somma di funzioni è uguale alla
somma degli integrali definiti delle singole funzioni.
w α αf x dx f x dxa
b
a
b( ) = ( )∫ ∫Una costante moltiplicativa può essere “portata fuori” dal sim-
bolo di integrale.
�
�
�
a b c
+ =
+=
a b c a b c
a b a b a b
f(x) g(x)Area di g
Area di f
f(x)
AppLiCHiAMO iL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO
Oh, capisco.
96 Capitolo 3 integriamo le funzioni!
Wow! Ora siamo tutti stanchi.
Futoshi, serviti pure un po’ di
shochu.
Bah! Questoera comunque il
mio shochu.
La spiegazione è stata un po’ impe-gnativa ma l’hai capita, vero?
[sbronz]
Lo sento persino io...
uh-oh!!
Mi sono appena ricordato di una
cosa che devi fare. Ci spostiamo in
archivio?
97in archivio
Archivio
Ciao Noriko. Se ricordo bene, circa un anno fa dei ricerca-tori del Dipartimento di inge-gneria dell’Università di Sanda
analizzarono le caratteri-stiche del vento e usarono i risultati nella progettazio-ne dei nuovi edifici. Potresti cercare di capire quali pro-gressi ci sarebbero stati da
allora?
Perchécontinuano a snobbarmi?
Cosa?
Kakeru S
eki
Kakeru Seki... un articolo di Mr. Seki.
Di che cosa
parlerà mai?
98 Capitolo 3 integriamo le funzioni!
Baia
Inquinata
La causa: un
versamento di scorie
della Burnham
Chemical Products
Burnham... uno degli inserzioni-sti dell’Asagake
Times.
Tra tutte le grandi società giappo-nesi... Mr. Seki ha
scritto un artico-lo accusando il
nostro maggiore inserzionista.
Per questo devono averlo trasferito in una redazione
locale.
99in archivio
Hai scoperto niente?
No, be’... ecco... han-no fatto proposte
interessanti...
Come per esempio costruire un edificio che convogli il vento in modo da diminuire l’effetto “isola di
calore”... quello per cui le aree urbane
trattengono più ca-lore di quelle rurali.
Molto bene.
E di che tipo di progetto si
tratta?
io... non lo so.
Li chiameròimmediatamente per chiederlo, giuro.
Chiamarli?Chiamarli?
100 Capitolo 3 integriamo le funzioni!
Scordatelo!Gli articoli non siscrivono coi piedi!
Vai eintervistali!
E per punizione dovrai stabilire se la loro teoria può essere descritta
da delle equazioni!!
Sì, signore! Vado subito.
101Applichiamo il teorema fondamentale
AppLiCHiAMO iL TEOREMA FONDAMENTALE
...quindi, stiamo parlando di
domanda e of-ferta, giusto?
Precisamente.in economia, si ritiene che l’in-tersezione tra la curva della
domanda e quella dell’offerta...
...determiniprezzo e
quantità a cuile aziende produ-
cono i beni.
Certo, l’i-dea di base
è chiara.
Questo non vuol dire che le attività si svolgano
effettivamente nel punto
d’intersezione.
Anche se in real-tà, la società ne ricava i maggiori benefici se i com-merci rispettano queste situazioni
ideali.
Fantastico!
E possiamo capirlo meglio usando il teore-ma fondamentale
del calcolo.
102
LA CURVA DELL’OFFERTA
L’utile P(x) derivante dalla produzione di x unità di un bene è dato dalla fun-zione seguente:
dove C(x) sono i costi di produzione.Supponiamo che il valore x per cui l’utile P(x) è massimo sia la quantità
prodotta s.Lo scopo di un’azienda è quello di massimizzare il proprio utile.
Ricordiamo che per trovare gli estremi di una funzione poniamo a zero la sua derivata: questo significa che per la produzione s di eventuale massimo dell’utile abbiamo
Il prezzo p1 corrisponde al valore ottimale di produzione s1.
P(x) p x C(x)
(Profitto) = (Prezzo) × (Quantità prodotta) − (Costo) = px − C(x)
p (Prezzo)
A
s0
(Volume ottimale diproduzione per l’azienda)
�
�
p C s= ′ ( )p1
s1
il grafico della funzionep = C′ (s) viene chiamatocurva dell’offerta.
Capitolo 3 integriamo le funzioni!
′ ( ) = − ′ ( ) =P s p C s 0
LA CURVA DELL’OFFERTA
Per cominciare, vediamo come le imprese cerchino di massimizzare il profitto in un mercato perfettamente
concorrenziale. cominciamo con la curva dell’offerta.
103
L’area del rettangolo delimitato dai quattro punti (p1, A, s1) e l’origine equivale al prezzo unitario moltiplicato per la quantità prodotta. In teoria, questo rappresenta il ricavo lordo dell’azienda, prima di sottrarre i costi di produzione, ma guardiamo bene: la porzione u del grafico corrisponde ai costi di produzione, che possiamo ricavare con un integrale.
Qui applichiamoil teorema
fondamentale.
Assumiamoper semplicità
C(0) = 0.
Questo significa che l’utile netto è rappresentato dall’area dellaregione v, cioè l’area dell’intero rettangolo meno u.
Curva della domanda
Ora prendiamo in considerazione le esigenze dei consumatori.Quando un consumatore acquista x unità di un bene, i vantaggi B(x) sono
espressi dall’equazione
B(x) = Valore totale dei consumi – (Prezzo × Quantità) = u(x) – px
Dove u(x) è una funzione che descrive il valore dei beni per tutti iconsumatori.
Questi ultimi, acquisteranno la massima quantità di beni quando saràmassimizzata anche B(x).
Se t è il valore dei consumi che annulla la derivata B’(t), otteniamol’equazione*
′ ( ) = ′ ( ) − =B t u t p 0
′ ( ) = ( ) − ( ) = ( ) =∫ C s ds C s C C ss
0 1 1
10 Costi
Applichiamo il teorema fondamentale
L’area del rettangolo delimitato dai quattro punti p1, A, s1 e l’origine equivale al prezzo unitario moltiplicato per la quantità prodotta. In teoria, questo rappresenta il ricavo lordo dell’azienda, prima di sottrarre i costi di produzione, ma guardiamo bene: la porzione u del grafico corrisponde ai costi di produzione, che possiamo ricavare con un integrale.
La funzione p=u’(t) viene chiamatacurva della domanda.
* Notiamo ancora una volta che siccome i consumatori desiderano massimizzare i propri benefici, stiamo cercando dei punti di estremo (quelli per cui B’(t)=0).
104
Consideriamo ora l’area del rettangolo w: essa è data dal prezzo moltipli-cato per i consumi. In altre parole, si tratta della spesa totale effettuata dai consumatori in cambio del prodotto.
La somma delle aree w e x si può ottenere per integrazione.
= Valore totale dei consumi
Per semplificare,supponiamo che
u(0) = 0.
Sottraendo l’area del rettangolo w dall’integrale da 0 a t1 determiniamo l’area di x, cioè i vantaggi dei consumatori.
B
t (Consumi ottimali)
�
�p u t= ′ ( )
p (Prezzo)
0
p1
t1
′ ( ) = ( ) − ( ) = ( )∫ u t dt u t u u tt
0 1 1
10
Capitolo 3 integriamo le funzioni!
Quindi x è dato dal valore totale dei consumi meno la cifra pagata w, dico bene?
Esattamente. E ades-so diamo un’occhiata alle curve della do-manda e dell’offerta
prese insieme.
105
p (Prezzo)
pe
Quantità
Utile delleaziende
Vantaggiodei consumatori
Curva della domanda
Curva dell’offerta
E
E
G
F
Perditaper lasocietà
xe
pf
xf
Applichiamo il teorema fondamentale
Possiamo dire che gli utili dell’a-zienda uniti ai vantaggi dei consuma-tori producono il vantaggio della società nel suo complesso, rap-presentato dall’area in grigio.
Ma che cosa succede se la transazione non avviene al prezzo e per la quantità corrispondenti al punto
d’intersezione?
i benefici complessivi per lasocietà si riducono dellaquantità corrispondenteall’area vuota in figura.
Tutto chiaro?
Sì, e useròl’analisi mate-
matica anche nei miei articoli.
Trovo che an-che velocità e caduta dei gra-vi siano buoni argomenti di cui scrivere.
Vado subito a documentarmi!
106
È matematico: l'integrale della velocità (nel tempo) è la distanza!
L’integrale della velocità = variazione della posizione nel tempo = distanza percorsa
Ci hanno sempre detto che capendo questa formula saremo in grado di calcolare la distanza percorsa da corpi la cui velocità cambia in maniera costante. Ma sarà vero?
Il nostro promettente neo-acquisto Noriko Hikima ci spiega come stanno le cose nel suo sconvolgente servizio.
Sanda-Cho – Alcuni lettori ricorderanno un nostro precedente esempio, nel quale Futoshi si spostava sopra un tapis-roulant. Altri avranno cercato di rimuovere al più presto la sua imma-gine sudata e affannata. Ma sicuramente ricor-derete che la derivata della distanza è la velocità.
u y F x= ( )
v v x dx F b F aa
b ( ) = ( ) − ( )∫L’equazione u descrive la posizione del
nostro sudaticcio, sgradevolissimo Futoshi. In altre parole, dopo x secondi, si sarà trascinato per una distanza y.
Integrale della velocità = variazione della posizione
La derivata F′ (x) rappresenta la “velocità istantanea” al secondo x. Se riscriviamo F ′ (x) come v(x), (“v” come “velocità”), il Teorema Fondamentale del Calcolo ci permette di trovare l’espressione v! Diamo un’occhiata al grafico di v(x) nella figura 2-A: la velocità di Futoshi nel tempo. L’area grigia rappresenta l’integrale, cioè l’espressione v.
Ma guardiamo anche la figura 2-B, che rappresenta la distanza percorsa da Futoshi nel tempo. Se accostiamo le due figure, notiamo
che l’integrale della velocità è uguale alla dif-ferenza nella posizione (cioè alla distanza per-corsa)! Osservate attentamente i due grafici: quando la velocità di Futo-shi è positiva, la distanza aumenta, e viceversa.
y
x
y3
y2y1
x3x2x1
Figura 1: il grafico rappresenta ladistanza percorsa nel tempo da Futoshi. Mentre il tempo passa attraverso gli istanti y1, y2, y3... il nostro amico si sposta nelle posizioni x1, x2, x3...
y
x
y
x
=Area Differenza
+ +
−
A BVelocità Distanza
y3
y1
x3x1x3x1x0
y = F(x)
Figura 2
IL CORRIERE DELL’ANALISI Vol. 150¥
IL CORRIERE DELL’ANALISI
107
In caduta libera dalla Torre di TokyoIn quanti secondi a terra?
È facile dare tutto per scontato. Prendiamo per
esempio la gravità. Se un oggetto vi sfugge di mano,
cadrà a terra. Possiamo dire che il suo moto cambia
a ogni istante: accelera a causa dell’attrazione gravi-
tazionale della Terra. Un moto che possiamo descri-
vere facilmente con un po’ di Analisi.
Ma consideriamo una caduta un po’ più impe-
gnativa – dalla cima della torre di Tokyo – e vediamo
di rispondere alla domanda “quanto tempo impiega
un oggetto per arrivare a terra?” (ignorando l’osser-
vazione di Futoshi: “Perché non salite in cima alla
torre con un cronometro e lo scoprite da soli?”).
L’aumento della velocità quando un oggetto si
trova in caduta libera viene detto accelerazione gra-
vitazionale ed è di 9,8 m/sec2. In altre parole, ogni
secondo la velocità di un oggetto aumenta di 9,8 m/
sec. Perché l’accelerazione è questa? Be’, diciamo
che per oggi ci limiteremo ad accettare quello che ci
dicono gli scienziati.
L'espressione u esprime la distanza percorsa
da un oggetto che cade per T secondi. Poiché l’in-
tegrale della velocità è la differenza tra posizione
iniziale e posizione finale, cioè la distanza percorsa
dall’oggetto, possiamo ricavare l’espressione v. Date
un’occhiata alla figura 3: abbiamo calcolato l’area
come metà del prodotto dei valori di x e di y (in que-
sto caso, ½ x 9,8t × t). Inoltre, sappiamo che l’altezza
della torre di Tokyo è 333 metri. La radice quadrata
di (333/4,9) è circa 8,2, che sono i secondi impiegati
da un oggetto per raggiungere il suolo (per sempli-
cità, abbiamo trascurato la resistenza dell’aria).
u F T F v x dx x dxT T( ) − ( ) = ( ) = ( )∫ ∫0 9 80 0
,
v 4 9 4 9 0 4 92 2 2, , ,T T− × =
333 4 93334 9
8 22= ⇒ = =,,
,T T secondi
Figura 3
v(x) = 9,8xVelocità Distanza 4,9t2
t
TempoTempot
Distanzain caduta
9,8t
Area della velocità9,8t × t × ½ = 4,9t2
Il corriere dell’analisi Inchiesta
108
Il dado è tratto!Il Teorema Fondamen-tale del Calcolo vale anche per i dadi!
Ricordiamo tutti quando da ragazzi giocavamo coi dadi. Sin dall’antichità questi speciali esaedri sono stati lanciati un po’ in tutto il mondo, non solo per giocare, ma anche per predire la sorte e per scommessa.
Da un punto di vista mate-matico, possiamo dire che i dadi sono i più piccoli generatori di numeri casuali. E sono davvero meravigliosi... ora li lanceremo per fare degli esperimenti! Su ogni faccia c’è un numero da 1 a 6 e la probabilità che ha ciascun numero di uscire è di una su 6. Lo vediamo bene con un istogramma (Figura 4), dove i numeri sono sull’asse delle x e le probabilità su quello delle y.
L’equazione u si legge così: “f(x) = probabilità che esca il numero x”. Nel caso che tentiamo di predire uno specifico risultato per esempio che esca 4diventa la v.
u f x( ) = Probabilità che esca x
v f 416
( ) = = Probabilità che esca 4
Ora diamo un’occhiata alla figura 5, che descrive una funzione di distribuzione. Comin-ciamo da 1, sull’asse delle x. Siccome su un dado non esiste nessun numero inferiore a 1, la proba-bilità associata a questa regione è 0. In x=1 il gra-fico balza a 1/6, perché è questa la probabilità che esca un qualsiasi numero minore o uguale a 1. Lo stesso vale per un numero maggiore o uguale a 1 e inferiore a 2. Questo è abbastanza intuitivo. In 2 la probabilità sale a 2/6, nel senso che è que-sta la probabilità che esca un numero inferiore o uguale a 2, e resta tale fino a prima di 3.
w f x dx F b F aa
b ( ) = ( ) − ( )∫ = Probabilità che esca x con a ≤ x ≤ b
Analogamente, vediamo che la probabilità che esca 6 o un qualsiasi numero inferiore a 6 (cioè un qualsiasi numero presente sul dado) è 1. Dopotutto, un dado non può restarsene in equi-librio su un vertice. Ora diamo un’occhiata alla probabilità che escano numeri inferiori o uguali a 5. La situazione è illustrata nella figura 6.
Notiamo che l’equazione w illustra ciò che ben sappiamo: “L’integrale definito su un inter-vallo di una funzione derivabile = differenza negli estremi della funzione derivata”. Nient’al-tro che il Teorema Fondamentale del Calcolo! Ma quanto sono belli i dadi?
Figura 4: Funzione densità
1 ⁄6
1 2 3 4 5 6
f(x)
Figura 5: Funzione distribuzione
1 ⁄6
1 2 3 4 5 6
F(x)
1
Funzione distribuzioneFunzione densità
1
Figura 6: Derivata della funzione distribuzioneF(x) = Funzione densità f(x)
f f f F F3 4 5 5 2( ) + ( ) + ( ) = ( ) − ( )
1 ⁄6
1 2 3 4 5 6
F(x)
1 ⁄6
1 2 3 4 5 6
f(x)
Il corriere dell’analisi Inchiesta
109Applichiamo il teorema fondamentale
ooops!
ooops!
[Flop]
Ouch...era soloun sogno.
ArgHHh!
Mi restanosolo 15 minuti!
Devo fare un servizio sul San-da-Cho Summer
Festival.
Arrivo,Mr. Seki!
110
RiCAPiTOLiAMO iL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO
Se la derivata di F(x) è f(x), cioè f(x) = F ′ (x), allora
f x dx F b F aa
b ( ) = ( ) − ( )∫Possiamo anche scrivere così
′ ( ) = ( ) − ( )∫ F x dx F b F aa
b
Il significato di queste espressioni è il seguente:
(Funzione derivata)dx
= Variazione della funzione originale tra a e b
L’interpretazione grafica è questa:
l’area compresa tra la funzione derivata el’asse delle x, tra x = a e x = b
variazione della funzioneoriginale tra a e b( = () )
y
a bx
y
a bx
F(b)
Teoremafondamentaledel calcolo
Variazione dellafunzione originale
y f x F x= ( ) = ′ ( )
y F x= ( )
f x dxa
b ( )∫
F(a)
Capitolo 3 integriamo le funzioni!
111
integrazione per sostituzione
Quando effettuiamo un cambio di variabile, nella forma x=g(y), ci chiediamo come fare a calcolare
S f x dxa
b= ( )∫
cioè l’integrale definito rispetto a x, però rispetto a y.Per cominciare esprimiamo l’integrale definito, in maniera approssimata, in termini di una funzione a tratti
S f x x x x a x bkk n
k k n≈ ( ) −( ) = =( )= −
+∑0 1 2 1
1 0, , ,...,
,
Col cambio di variabile x=g(y), otteniamo
y y y yn0 1 2= =α β, , ,...,
e di conseguenza
a g x g y x g y b g= ( ) = ( ) = ( ) = ( )α β, , ,...,1 1 2 2
Notiamo ora che usando l’approssimazione lineare
x x g y g y g y y yk k k k k k k+ + +− = ( ) − ( ) ≈ ′ ( ) −( )1 1 1
e sostituendo queste espressioni in S, otteniamo
S f x x x f g ykk n
k k kk n
≈ ( ) −( ) ≈ ( )( ) ′= −
+= −
∑ ∑0 1 2 1
10 1 2 1, , ,..., , , ,...,
gg y y yk k k( ) −( )+1
L’ultima espressione è un’approssimazione di
f g y g y dy( )( ) ′ ( )∫αβ
Passando al limite sull’ampiezza degli intervalli otteniamo la formula seguente
FORMULA 3.2 – iNTEGRAZiONE PER SOSTiTUZiONE
f x dx f g y g y dya
b ( ) = ( )( ) ′ ( )∫ ∫αβ
integrazione per sostituzione
iNTEGRAZiONE PER SOSTiTUZiONE
112
ESEMPiO:
Calcoliamo:
10 2 14
0
1x dx+( )∫
Per prima cosa, effettuiamo la sostituzione di variabile
y = 2x + 1, cioè x g yy= = −
( )1
2.
La derivata della nuova funzione è g'(y) = 12
.
Integrando rispetto a y, gli estremi del nuovo intervallod’integrazione diventano 0=g(1) e 1=g(3)*, da cui
10 2 1 1012
5 3 1 2424
0
1 4
1
3 4
1
3 5 5x dx y dy y dy+( ) = = = − =∫ ∫ ∫
iNTEGRALE Di UNA POTENZA
Nell’esempio precedente, per concludere l’esercizio abbiamo sfruttato il fatto che la derivata di y5 è 5y4. Se F(x) = xn, allora se F′ (x) = f(x) = nx(n + 1), dovremmo essere in grado di trovare una formula generale per la funzione F(x) data f(x) = xn.
Sappiamo che nell’espressione di F(x) deve comparire x(n + 1) ma cosa possiamo dire del coefficiente? Nella derivata non c’è nessun coefficiente e siccome derivando otteniamo il fattore (n+1), ne segue che per semplificarlo dovrà esserci 1 / (n + 1). Abbiamo quindi che la formula generale per la primitiva F(x) of f(x) = xn è
F xn
xxn
nn
( ) =+
× =+
+( )+( )1
1 11
1
Capitolo 3 integriamo le funzioni!
Per prima cosa, effettuiamo la sostituzione di variabile y = 2x + 1, cioè x=g(y)=(y-1)/2
*In altre parole, quando x=0 si ha y=1 e quando x=1 si ha y=3. Ed è questo il nuovo intervallo d’integrazione.
113
Esercizi
1. Calcolare i seguenti integrali definiti
u 3 2
1
3x dx∫
v x
xdx
3
22
4 1+∫
w x x dx x x dx+ +( ) + − +( )∫ ∫1 12 7
0
5 2 7
0
5
2. Rispondere alle seguenti domande:
A. Scrivere lo sviluppo di un integrale definito per
calcolare l’area compresa tra il grafico di y=f(x)=x2-3x
e l’asse delle x.
B. Calcolare l’area risultante dall’espressione.
Esercizi
ESERCiZiPer prima cosa, effettuiamo la sostituzione di variabile y = 2x + 1, cioè x=g(y)=(y-1)/2
114
115
4impariamo a integrare!
116 Capitolo 4 impariamo a integrare!
LE FUNZiONi TRiGONOMETRiCHE
Fiuuu! Hofatto appena
in tempo!
La vita è bella a
Sanda-Cho!
Uff... che caldo che
fa!
in quale altro
posto
Dovrei mettere
anch’io uno yukata*
Vorresti mai
andare?
*lo yukata è il tradizionale abito estivo giapponese.
Ciao, Noriko. Sei stata gentile
a chiamare per dirmi che avresti
fatto tardi.
Be’... a causa di questo bel cel-lulare non è che possa sfuggirti.
ThumpaThumpa
Thump
117le funzioni trigonometriche
Quand’ero io un reporter alle prime armi cer-te comodità non
c’erano.Spesso, quando avevo una sca-
denza, per inviare un pezzo usavo un telefono a
gettone.
Dettavo l’articolo al telefono al mio assistente, parola
per parola.
Wow, roba da matti!
Grazie alle onde radio non è più necessa-
rio.
in natura esistono onde di ogni tipo.
Già! Le onde dell’oceano, i terremoti, le
onde sonore... e la luce.
118
1
−1
�3
2
32
52
2
Capitolo 4 impariamo a integrare!
Possiamo descri-vere le onde con delle funzioni, per esempio col cose-no di theta, cioè di un angolo (cosθ).
Lo sapevi?
Uh... devotornare al
lavoro.
Noriko! Si dà il caso, che se stacchiamo la manica di una ca-
micia, la sezione è Un grafico di cosθ.
Le funzioni tri-gonometriche sono molto im-
portanti nell’ab-bigliamento.
OccAVOLO!
frittelle
Pop corn
Crèpes
119
y
P
A
1
−1
�
1−1x
le funzioni trigonometriche
Noriko... là! Scat-ta una foto! Quel-
lo è cosθ.
Cosa!?Guarda le danza-trici. Questa è una splendida occa-sione per stu-
diare le funzioni mentre facciamo
il servizio.
Tu e le tue funzioni!!
L’unità di misura degli
angoli si chiama ra-
diante.
Radiante...
accidenti! Prendo sem-pre appunti... per abitudine.
[Shock!]
Consideriamo un cerchio di raggio 1 con il centro in
(0,0). Supponiamo di partire dal punto A e di spostarci sul-la circonferenza fino raggiungere il punto P, corri-spondenteall’an-
golo θ.
Per un cerchio di raggio 1, l’am-piezza dell’an-
golo in radianti è per definizione
la lunghezza dell’arco AP!
120 Capitolo 4 impariamo a integrare!
Siccome la misura della lunghezza della circon-ferenza è 2π, possiamo dire che 90 gradi equi-valgono a π/2 radianti, e che 180 gradi corrispon-
dono a π radianti.Un radiante equivale a circa 57,2958 gradi.
Da questo momento, per misurare gli
angoli usere-mo i radianti.
Definiamo poi il cose-no come una funzione dell’angolo: x = cosθ. il coseno è la posizio-ne orizzontale di una danzatrice che abbia ruotato di θ radianti.
Vedi di ricor-dartelo!
Oh, ecco perché avevi urlato
“Quello è cosθ”.
Che cosa gli passa per la
testa?
Allo stesso modo, la po-sizione ver-ticale della danzatrice definisce la
funzionesenθ = y.
Uh, okay... Guarda, Noriko!!
STRAP!!
121
�
��
�
�
��
y
1
−1
1−1x
0
�� �
le funzioni trigonometriche
Stupendo!
Cosa?
Stupendo?
[arross]
Sì! A mano a mano che θ aumenta, il valore di cosθ diminuisce gradualmen-te, passando da 1 a 0 e poi fino a -1, di
nuovo a 0 e poi ancora a 1!
Quindi cosθ varia tra -1 e
1, giusto?
Giusto. E sicco-me le funzioni
trigonometriche rappresenta-
no delle onde, possiamo usarle per studiare un sacco di cose
in natura.
Aww! Le vecchie signore pensano che stia parlando di loro e sono
raggianti!
Stupendedavvero!
122 Capitolo 4 impariamo a integrare!
Piuttosto grande come festival, non
trovi?
Sì, maperché quelle
bacchette?
Perché èun festival!
Capisco...
Lo sapevi che l’om-bra di una bacchetta è lunga quanto la
bacchetta moltipli-cata per cosθ?
Sì, vagamen-te... è dav-vero sor-prendente.
Cerchiamo allora di
essere un po’ più precisi.
ThUNK
Clack
clackclack
123
y
B
1
xA C
le funzioni trigonometriche
il sole risplende sulla bacchetta AB, che rispetto al ter-reno è inclinata di un
angolo θ.
Se chiamiamoAC l’ombra (la proie-zione ortogonale), la sua lunghezza è uguale a quella del segmento AB moltiplicata per cosθ.
Anzi, possiamo porre per definizione
ed è per questo che la lunghezza
dell’ombra diventa AB × cosθ,giusto?
Giusto! ilcoseno ci dice
di quanto l’ombra è più corta della bacchetta.
cosθ = ACAB
(ombra) (bastone)
124
y
x
2
Oops!
Capitolo 4 impariamo a integrare!
in altre parole
Sì? Uh... potrebbe ri-darci le nostre
bacchette?
Ora siamo pronti per la parte più im-portante del Sanda Summer festival!!
Per la cronaca, poiché se ruotiamo
l’asse x di 90 gradi (
π2 radianti),
possiamo dire che la funzione senθ
fornisce gli stessi valori di cosθ , con
un ritardo di π2.
125gLi iNTEGRALi DEllE funzioni trigonometriche
GLi iNTEGRALi DEllE FUNZiONi TRiGONOMETRiCHE
Questi sono i vo-stri posti, signori giornalisti. state
attenti a noncadere.
Certo, grazie.
Ora daremo un’oc-chiata a cosθ dal punto di vista dell'analisi.
Mr. Seki! Quel-lo che dice è
completamente diverso da quel-
lo che fa!
in effetti, è più facile calcolarne l’integrale
che la derivata.
Si capisce bene se osserviamo il cerchio del-le danzatrici
dall’alto.
126
1
−1
2 32
52
2
0
y
P
1
θx
Q
θ
0 1
y
A′1
x0
A1
A′2A2
A0
A3
θ2 − θ1
θ3 − θ2
θ1 − θ0
Angolo θ1 con l’asse delle y
Lunghezza θ2 − θ1
La variazione di cos θ è la lunghezza A′1A′2, cioè la proiezione ortogonale di A1A2. Lunghezza di A′1A′2 ≈ arc A1A2 × cos θ1 = (θ2 − θ1) × cos θ1
Capitolo 4 impariamo a integrare!
il nostro scopo è determinare quanto vale ∑ cos θ × ∆θ = cos θ0 (θ1 − θ0) + cos θ1 (θ2 – θ1) + ...
+ cos θn−1 (θn – θn−1)
Misi annebbiala vista.
Guarda questa figura. Non ti fa
venire un’idea? Mo-stra che se P è il punto che ruota di θ a partire da (1,0), l’angolo formato dall’asse delle y e dalla tangente PQ
è ancora θ.
?Chow mein Futoshi! Perché lui
può ingozzarsi di chow mein mentre io devo imparare
gli integrali?
127
A1 (cos θ1, sen θ1)
A2
An (cos θn, sen θn) = (cos α, sen α)sen α = sen θn
A0 (cos θ0, sen θ0) = (1, 0)
α
y
A′1
x0
A′2
∑ cos θ∆θ quando θ cambia da 0 a α
cos θ0 (θ1 − θ0) + cos θ1 (θ2 − θ1) + ... + cos θn−1 (θn − θn−1)
≈ A′0 A′1 + A′1 A′2 + ... + A′n−1 A′n = A′0 A′n = sen α
gLi iNTEGRALi DEllE funzioni trigonometriche
Sfruttiamo questo fatto per integrare
da 0 ad α,Uh...
Giusto?
Giusto! Se rendiamo le differenze
tra gli ango-li sempre più
piccole...
Scopriamo che l’inte-grale del
coseno è il seno.
Quindi, per dirla in un altro modo, la
derivata del seno è il coseno?
Esatto!
E adesso cerchiamo di ricordarci
queste for-mule.
128
formula 4.1 – derivazione e integrazione di funzioni trigonometriche
Da u cos sen senθ θ αα
d = −∫ 00
, sappiamo che il seno è la derivata del coseno.
v sen cosθ θ( )′ =
Ora in v sostituiamo θ + π2 con θ. Otteniamo sen cosθ
πθ
π+
′= +
2 2
.
Dalle equazioni di pagina 124 concludiamo che
w cos senθ θ( )′ = −
Quindi derivando o integrando il seno otteniamo il coseno,e viceversa (a meno del segno).
Capitolo 4 impariamo a integrare!
[BALL
!]Oookay! E adesso, il
ballo dell’A-nalisi... tutti
insieme!!
Ball...?! che
razza di suono!
il ballo dell’analisiversione trigonometrica
Balla
Entrambe le braccia in alto a destra
A sinistra con un sal-
tello
A-na-li-si
Un altro salto, batti le mani due
volte.
A-na-li-si
A-na-li-si
129
deriva-
zione
sen cosθ θ( )′ =
Coseno
integra-zione
derivazione
inte
gra
zione
cos senθ θd xx
=∫0
gLi iNTEGRALi DEllE funzioni trigonometriche
in questo modoanche la logica più noiosa è divertente!
A-an A-na-li-si
Un cerchio di seni, da integra-re col coseno!
Entrambe le braccia a forma-
re un cerchio.
La derivata del seno è il co-seno. Formate una “s” con le
braccia.
Seno!
L’integrale del coseno è il
seno. Formate una “c” con le
braccia.
Derivazione e integrazione scambiano
seno e cose-no. Alzate e abbassate le
braccia.
A-na-li-si A-na-li-si
A-na-li-si
130 Capitolo 4 impariamo a integrare!
Balliamo,Futoshi!
Non posso. Non ho assag-giato neanche
metà della roba che c’è nei banchetti.
Siamo qui per fare un servizio!
Be’, sei tuquella in tenuta
da ballo!
Dateci un taglio! Voi due non avete
neanche cominciato a lavorare. Non ci resta molto tempo prima dell’edizio-ne del mattino di
domani!
Mi sa che ilfestival vi piaceun po’ troppo!
Anche a te...
Oh, no!
131l’esponenziale e il logaritmo
l’esponenziale e il logaritmo
Okay,spedito!
Wow! Ho mandato l’articolo!
i computer e internet hanno cambiato molto il lavoro dei giornalisti.
Per lacronaca...
L’informazione ela-borata dai computer è codificata come una
successione di bit, cioè per mezzo di due sole
cifre: 0 e 1.
Oh, sui computer qualcosina
la so.
D-davvero...?Be', ecco...
appena un po'...
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132
i computermanipolano l’infor-mazione in formato binario e un bit può quindi rappresenta-re due numeri (0 e 1). Due bit ne rappre-
sentano quattro (00, 01, 10, 11). Tre bit ne rappresentano otto e in generale n bit rappresentano 2n
numeri.
Se f(x) è il nu-mero dei valori codificabili con x bit, allora f(x) = 2x, cioè una fun-zione esponen-
ziale.
FUNZiONEESPONENZiALE
Funzioneesponenziale? Una funzione
esponenziale esprime una for-ma di crescita,
come per esem-pio quella eco-
nomica.
Vediamo... un esempio...
Uh...
Negli anni Cinquan-ta, in Giappone ci fu un tasso di cresci-ta molto elevato:
circa il 10%all’anno.
Un reddito annuale di 5 milioni di yen di-ventava di 5,5 milioni l’anno successivo.
Questo aumento permetteva di ac-quistare il 10% in
più di beni e servizi rispetto all’anno
precedente.
Capitolo 4 impariamo a integrare!
133
G1 = G0 × 1,1 Prodotto interno lordo dopo 1 anno
G2 = G1 × 1,1 = G0 × 1,12
Prodotto interno lordo dopo 2 anni
G3 = G0 × 1,13
Prodotto interno lordo dopo 3 anni
G4 = G0 × 1,14 Prodotto interno lordo dopo 4 anni
G5 = G0 × 1,15
Prodotto interno lordo dopo 5 anni
Che bei tempi! Mi sarei comprata un
intero guardaroba e un sacco di altre
cose!
Manteniamo la calma.
Supponiamo quindi che la crescita economica sia del 10% e che all’ini-zio il prodotto interno lordo sia G0. Nel giro di
qualche anno saràaumentato in questo
modo.
in generale, quale sarà il PiL
dopo nanni?
Facile! Gn = G0 × 1,1n
G7 = G0 × 1,17cioè 1,95 volte G0. in altre pa-
role, il PiL sarà quasi raddoppiato in soli 7
anni.
Raddoppiato? Wow! Cosa potrei com-prare con il doppio dello
stipendio?
Chiamiamo quindi esponenziale
una funzione della forma
f(x) = a0ax.
il PiL di un’economia con un tasso di cre-scita α è espresso
dalla funzione espo-nenziale
f(x) = a0(1 + α)x.
l’esponenziale e il logaritmo
134
2 configurazioni
4 configurazioni
8 configurazioni
1 bit
2 bit
3 bit
log
Capitolo 4 impariamo a integrare!
Dicevamo prima che i bit sono codici che rap-presentano l’in-
formazione.
Sì, 1 bit per 2 confi-gura-zioni, 2 bit per
4.
Abbiamo visto che questo numero è dato da f(x) = 2x.
Esiste una funzio-ne, detta funzione inversa, che torna a trasformare in
bit quelle chehai chiamato
configurazioni.
La funzione inversa
Non è difficile,basta ragionare al
contrario.
in altre paro-le, possiamo rappresen-tare 2n pos-sibili numeri usando n bit.
Chiamiamo g(y) questa “funzio-ne inversa” di
f(x): una funzione che trasforma
y configurazioni in x bit.Prova!
Otteniamo g(2) = 1, g(4) = 2, g(8) = 3,
g(16) = 4...
il rapportotra f e g puòquindi essere
rappresentato comeg(f(x)) = x e f(g(y)) = y.
L’inversa dell’esponen-
ziale viene chia-mata funzione logaritmica e si indica col simbolo log.
Nel casoprecedente, possiamo scrivere
g(y) = log2y.
Esatto! E abbiamo così log22 = 1, log24 = 2,
log28 = 3, log216 = 4...
135
Tasso di crescita annuo = = Valore dopo 1 anno − Valore attuale
Valore attuale
f x f x
f x
+( ) − ( )( )
1
l’esponenziale e il logaritmo
generalizziamo l’esponenziale e il logaritmo
Le funzioni esponenziale e logaritmica sono già molto utili, ma per ora leabbiamo definite solo nel caso che
la x in f(x) = 2x e lA y in g(y) = log2y siano
esclusivamente numeri naturali.
Ora con degli esempi vedremo come definire
l’esponenziale e il loga-ritmo più in generale.Ummm... e come
facciamo?
Lieto che abbia chiestosono io. La potenza dell’Analisi
useremo noi. Oh, sì.
Per cominciare, partendo dal nostro esempio, dal tasso di crescita annuo passiamo al tasso istantaneo.
Partiamo da questa espressione!
136
Tasso di crescita istantaneo=
Idealizzazione di Valore leggermente successivo Valore attuale =
Valore attualeTempo trascorso
− ÷
= →+( ) − ( )
( )
Risultato per in ε
ε0
f x f x
f x 1ε
= ( )+( ) − ( )
= ( )
′ ( )→
lime
ee0
1 1f x
f x f x
f xf x
Supponiamo ora che esista una funzione f con tasso di crescita istanta-neo costante, cioè
′ ( )( ) =
f x
f xc dove c è una costante.
Supponendo che c = 1, troveremo una f(x) per cui
′ ( )( ) =
f x
f x1
1. Per cominciare ipotizzeremo che abbia una forma esponenziale. Vediamo perché...
′ ( )( )
f x
f x
intanto, se ′ ( ) = ( )f x f x u, allora ′ ( ) = ( )f f0 0
poi, ricordiamo che per h vicino allo 0, abbiamo
f h f h f( ) ≈ ′ ( ) −( ) + ( )0 0 0
Capitolo 4 impariamo a integrare!
Ne ricaveremo il tasso istantaneo nelmodo seguente.
Definiamo quindi il tasso di crescita istantaneo come
Trovarla? Ecome facciamo?
137
Da u, abbiamo f h f h f( ) ≈ ( ) + ( )0 0 e quindi
v f h f h( ) ≈ ( ) +( )0 1
Se x è sufficientemente vicino ad h, otteniamo
f x f h x h f h( ) ≈ ′ ( ) −( ) + ( )
Sostituendo x con 2h e ricordando che f ′(h) = f(h),
f h f h h h f h2 2( ) ≈ ′ ( ) −( ) + ( )
f h f h h f h2( ) ≈ ( ) ( ) + ( )
f h f h h2 1( ) ≈ ( ) +( )
Sostituiamo ora f h f h( ) ≈ ( ) +( )0 1 nell’equazione.
f h f h h2 0 1 1( ) ≈ ( ) +( ) +( )
f h f h2 0 12( ) ≈ ( ) +( )
Analogamente, sostituiamo 3h, 4h, 5h, ..., e così via al posto di x, eprendiamo m in modo che mh = 1.
f f mh f hm
1 0 1( ) = ( ) ≈ ( ) +( )
Allo stesso modo,
f f mh f h f hm m
2 2 0 1 0 12 2
( ) = ( ) ≈ ( ) +( ) = ( ) +( ){ }f f mh f h f h
m m3 3 0 1 0 1
3 3
( ) = ( ) ≈ ( ) +( ) = ( ) +( ){ }Così otteniamo
f n f an( ) ≈ ( )0 osservando che a = (1 + h)m
e in effetti questa ricorda molto da vicino una funzione esponenziale*.
* Poichè mh = 1, h = f fm
m
1 0 11( ) ≈ ( ) +
. Abbiamo quindi, f f
m
m
1 0 11( ) ≈ ( ) +
. per m → ∞, 11+
→m
em
, un numero
detto costante di Eulero, pari a circa 2.718. Perciò, f(1) = f(0) × e, coerentemente con la discussione che
vedremo a pagina 141.
l’esponenziale e il logaritmo
138
2. Ora vedremo che f(x) esiste e quale forma ha.
w ′ ( ) = ′ ( )g yf x
1
x ′ ( ) = ′ ( ) = ( ) =g yf x f x y
1 1 1
Adesso, col Teorema Fondamentale del Calcolo, abbiamo
y 1
11 y
dy g g= ( ) − ( )∫ αα
Poniamo g(1) = 0 e...1
*Come abbiamo visto a pagina 75, se g(y) è l’inversa di f(x), allora f’(x) g’(y) = 1
Scriviamo la funzione inversa di y = f(x) as x = g(y).
A pagina 136 abbiamo visto che f ′(x) = f(x) coincide con la sua derivata. Questo però non ci aiuta molto:
quale sarà mai la derivata di g(y)?
In generale vale questa uguaglianza,*
da cui vediamo che laderivata della funzione inversa g(y) è 1
y.
Siccome g ′(y) = 1y
, integrando 1y
da 1 ad α otteniamo g(α).
Otteniamo gy
dyαα( ) = ∫
11
Brava! E adesso tracciamo il grafico di
zy
= 1
!
Capitolo 4 impariamo a integrare!
139
zy
= 1z
yα
g(α)
1
Poiché
zy
= 1
è una funzione in forma esplicita, possiamo
calcolare l’area in maniera esatta.
Poiché gy
dyy
dy g g11
01
111
1( ) = = = ( ) − ( )∫∫ , αα
che soddisfa la y.
Abbiamo quindi trovato la funzione inversa g(y), cioè l’area sotto la curva, che esprime anche la funzione originale f(x).
l’esponenziale e il logaritmo
È il grafico della pro-porzionalità inversa.
Ora definiamo g(α) come l’area della superficie com-presa tra il grafico, l’asse delle y nell’intervallo
da 1 a α. Questa funzione è ben definita, cioè, in altre parole, g(α) assume un valore ben preciso per ogni
valore di α, anche se fosse una frazione o √2.
A proposito, che mi dice del tasso di cre-scita dell’Asa-gake Times?
...La prego, mi dica la
verità!
Ma lei pian-ge! È così
grave?
140
riassunto delle funzioni esponenziale e logaritmica
u ′ ( )( )
f x
f x è il tasso di crescita.
v una y = f(x) che soddisfa ′ ( )( )
f x
f x = 1 è una funzione con tasso di
crescita costante uguale a 1.
Si tratta della funzione esponenziale, che quindi soddisfa la condizione
′ ( ) = ( )f x f x
w Se x= g(y) è la funzione inversa di y=f(x), allora
′ ( ) =g yy1
x Definiamo g(α), come l’area delimitata dal grafico h(y) = 1y
,
gy
dyαα( ) = ∫
11
La funzione inversa di f(x) è la funzione che soddisfa e g(1) = 0.
y
z
e
zy
= 1
Area = 1
1
�
e è un numero irrazionaleche vale circa 2,7178.
Definiamo e (la base dei logaritminaturali) come il valore y per cui g(y) = 1. In altre parole, queldeterminato valore per cui vale 1l’area tra la curva e l’asse delle y nell’intervallo da 1 a e.
Capitolo 4 impariamo a integrare!
141
Siccome f(x) è una funzione esponenziale, usando la costante a0possiamo scriverla come
f x a ax( ) = 0
Poiché f(g(1)) = f(0) = a0a0 = a0 and f(g(1)) = 1, abbiamo
f g a1 1 0( )( ) = =
Quindi
f x ax( ) =
Analogamente, poiché
f g e f a( )( ) = ( ) =1 1 e
f g e e( )( ) =e a= 1
Abbiamo quindi f x ex( ) = .La funzione inversa g(y) è logey che chiameremo “logaritmo naturale” e
che scriveremo semplicemente come “ln y”. Ora riscriviamo v usando la x in termini di ex e ln y.
z ′ ( ) = ( ) ⇔ ( )′ =f x f x e ex x
{ ′ ( ) = ⇔ ( )′ =g yy
yy
1 1ln
| gy
dy yy
dyy
αα( ) = ⇔ =∫ ∫
1 11 1
ln
} Per definire 2x, che nasce come funzione dei bit, per ogni numero reale x, partiamo da
f x e x( ) = ( )ln2 (dove x è un numero reale qualunque)
Il motivo è il seguente. Poiché ex e ln y sono funzioni inversa l’una dell’altra,
eln2 2=
Pertanto, per ogni numero naturale x abbiamo che
f x ex x( ) = ( ) =ln2 2
riassunto delle funzioni esponenziale e logaritmica
Siccome f(x) è una funzione esponenziale, usando la costante a0 possiamo scriverla come
142
altre applicazioni del teorema fondamentale del calcolo
Possiamo rappresentare anche altre funzioni nella forma f(x) = xα. Eccone alcune
1 1 112
23
3
xx
xx
xx= = =− − −, , ,...
In generale, continua a valere la formula che abbiamo già trovato.
Esempio:
Sia f xx
f x x xx
( ) = ′ ( ) = ( )′ = − = −− −13
33
3 44
,
Sia f x x f x x xx
( ) = ′ ( ) =
′= =
−4
14
34
34
14
1
4,
dimostrazione:
Scriviamo f(x) in termini di e. Osserviamo che eln x = x, e che quindi
f x x e ex x( ) = = ( ) =α α αln ln
Perciò,
ln lnf x x( ) = α
Derivando ambo i membri, ricordando che ln w = 1w , e applicando la
regola per la derivata della funzione composta, otteniamo
1 1f x
f xx( ) ×
′ ( ) = ×α
Quindi,
′ ( ) = × × ( ) = × × = −f xx
f xx
x xα α αα α1 1 1
formula 4.2 – derivata di una potenza
f x x( ) = α
′ ( ) = −f x xα α 1
Capitolo 4 impariamo a integrare!
Possiamo rappresentare anche altre funzioni nella forma f(x)=xα. Eccone alcune:
143
integrazione per Parti
Se h(x) = f(x) g(x), calcolando la derivata del prodotto otteniamo,
′ ( ) = ′ ( ) ( ) + ( ) ′ ( )h x f x g x f x g x
Poiché f(x) g(x) è la funzione la cui derivata è f’(x)g(x) + f(x)g’(x), per il Teorema Fondamentale del Calcolo abbiamo
′ ( ) ( ) + ( ) ′ ( ){ } = ( ) ( ) − ( ) ( )∫ f x g x f x g x dx f b g b f a g aa
b
Per integrazione della somma, otteniamo:
A titolo di esempio, calcoliamo
Ponendo f(x)=x e g(x)=cosx, otteniamo
′ + ( )′ = ( ) ( )∫ ∫x x dx x x dx f x g xcos cos0 0 0
π π π
Ora possiamo valutare
= ( ) ( ) − ( ) ( )f g f gπ π 0 0
Sostituendo le funzioni originali f(x) e g(x) otteniamo
= − = −( ) − = −π π π πcos cos0 0 1 0
Per la prima equazione, abbiamo quindi
′ + ( )′ = −∫ ∫x x dx x x dxcos cos0 0
π ππ
formula 4.3 – integrazione per parti
′ ( ) ( ) + ( ) ′ ( ) = ( ) ( ) − ( ) ( )∫∫ f x g x dx f x g x dx f b g b f a g aa
b
a
b
x x dxsen0
π
∫
altre applicazioni del teorema fondamentale del calcolo
144
Perciò:
cos senx dx x x dx0 0
π ππ∫ ∫+ −( ) = −
che possiamo riscrivere anche come
cos senx dx x x dx0 0
π ππ∫ ∫− = −
Ed ecco che ritroviamo l’integrale di partenza, ma in una forma che ora possiamo risolvere! Ricaviamo quindi la funzione originale:
x x dx x dxsen cos0 0
π ππ∫ ∫= +
Ricordiamo che ∫ cos x dx = sen x, e che quindi
x x dx xsen sen0 0
π π π∫ = +
= − +sen senπ π0
= − + =0 0 π π
Trovato!
Esercizi
1. La funzione tan x è definita come sen x / cos x. Calcolate la derivata di tan x.
2. Calcolare
120
4
cos xdx
π
∫3. Determinare x tale che f(x) = xex abbia un minimo.
4. Calcolare
21
x x dxe
ln∫Suggerimento: ponete f(x) = x2, g(x) = ln x, e integrate per parti.
Capitolo 4 impariamo a integrare!
145
5Sviluppi di taylor!
146 Capitolo 5 sviluppi di taylor!
Redazione centrale dell’Asagake Times.
Wow! Che razza di ufficio!
Come vorrei lavorare
qui!Ho una riunione. Mi aspetteresti all’ingresso?
Co... e io cosa sarei, ditroppo?
[Smile]
147
Reception
AppROssiMARE CON i POLiNOMi
AppROssiMARE CON i POLiNOMi
Piacere diconoscerla.
Ho sentito parlare molto di lei, Mr.
Seki.
Gradirei che desse un’occhiata aquesti dati.
Conpermesso.
Oh, grazie...
TU?!
Grazie.
148 Capitolo 5 sviluppi di taylor!
Che intenzioni hai, Noriko? Questo
comportamento è sospetto.
Uh, quanta polvere...
[Strofin] [strofin]
Sono gli stessi che ha usato per il suo
articolo, vero?
be’, sì.dove... dove
li avete presi?
vengono dalla Burnham Chemical. Li abbiamo ricevuti da una talpa e abbia-mo già verificato l’attendibilità con
altre fonti.
Non posso ancora pubbli-care il nuovo
servizio.
Ma vi daròi dati raccolti
finora.
si tratta di cor-rispondenze
incoraggianti.
149AppROssiMARE CON i POLiNOMi
Non ti avrei mai pensata così sfron-
tata.
io... non ve-devo l’ora
di sapere. Mi dispiace...
Diciamo che sei molto, molto
curiosa.
Sono preoccupata, Mr. Seki. La Burnham Chemical è un impor-tante inserzionista
dell’AsagakeTimes.
Se portiamoalla luce i loro illeciti, ritireran-no i loro finan-
ziamenti.
Ci hopensato.
È comeuno sviluppo di
Taylor.Cosa?
150
1 1 1 22
33+( ) = + + + + +x C x C x C x C x
n
n n n n nn...
*È la formula dello sviluppo binomiale, dove n rCn
r n r=
−( )!
! ! e n C n1 =
n n n rCn n
Cn n n
Cn n n r
r2 3
1
2
1 2
6
1 1=
−( )=
−( ) −( )=
−( ) − −( ){ }, ,...,
...
!
Capitolo 5 sviluppi di taylor!
Derivare signifi-ca semplicemente approssimare con
una funzionelineare.
Abbiamo appros-simato le funzio-ni per ricavare informazioni di
massima da situa-zioni semplifica-te, dico bene?
Data la funzione f(x), se po-niamo p=f’(a) e q=f(a), vicino al
valore x=a possiamo ap-prossimarla con la funzione
lineare f(x) ≈ q + p(x-a).
in altri casi,invece, abbiamo
usato una funzione quadratica o
cubica.
Sì, per esempio nel caso di John-ny Fantastic, che
aveva cominciato a ingrassare dopo avere rotto con
la fidanzata.
È un po’ che non lo faccio, quindi ecco un altro
esempio.
Supponi di pren-dere in prestito M yen al tasso d’interesse an-
nuo x.
Se ripaghi il denaro dopo un anno, pagherai la cifra M(1+x). Se ci metterai due anni, pagherai M(1+x)(1+x).
Dopo n anni, abbiamo M(1+x)n. Ora, se vogliamo“sviluppare” questa
funzione*...
Otteniamoquesto.
151
1 1+( ) ≈ +x nxn
AppROssiMARE CON i POLiNOMi
Prendere solo i primi termini
significaapprossimare (1+x)n con la
funzione lineare 1+nx.
Ma...
in effetti, è un’approssima-zione troppo
rudimentale per servire a qual-
cosa.
Se usassi que-sta espressione, prenderesti in
prestito troppi soldi e finire-sti dentro per
debiti.Verg
ogna!
Paga!
Oh, no! Mi aiuti!Perciò useremo un’approssima-
zione qua-dratica...
A-aspetti un attimo! Credevo che gli sviluppi di Taylor riguardassero
il nostrogiornale!
Ti dispiace pa-zientare solo
un altro un minuto?
152
Per ogni coppia di numeri n e x per cui nx = 0,7 abbiamo
è quasi 0, quindi lo trascuriamo≈ + + × = ≈1 0 712
0 7 1 945 22. . .
1 11
21
12
12
2 2 2+( ) ≈ + +−( )
≈ + + ( ) −x nxn n
x nx nx nxn
In breve, se nx = 0,7 allora (1+x)n vale quasi 2.Possiamo scriverlo così:
Formula 5.1 – l’approssimazione quadratica
1 11
22+( ) ≈ + +
−( )x nx
n nx
n
LA LEggE DEll’iNFERNO DEL DEBiTORE
Se numero degli anni × il tasso d’interesse = 0,7ripagherete circa il doppio di quanto preso in prestito.
if we modify this expression a little, we get a very
interesting law.
Oh, no!! This is terrible!!
Capitolo 5 sviluppi di taylor!
Modificando leggermente que-sta espressione otteniamo una
regola molto interessante.
Circa il doppiodopo 35 anni al 2%
Circa il doppio dopo7 anni al 10%
Circa il doppio dopo 2anni al 35%
Oh, no!!Ma è terribile!!
153
Se per esempio f xx
( ) =−1
1, abbiamo
� (all’infinito)
Attenzione! c’è scritto = invece di ≈.
f xx
x x x x( ) =−
= + + + + +11
1 2 3 4 ...
Supponiamo che x = 0,1. Allora
f 0 11
1 0 11
0 9109
,, ,
( ) =−
= =
Membro destro = + + + + += + + + + +=
1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 01 0 001 0 0001
1 11
2 3 4, , , , ...
, , , , ...
, 1111...
Se calcoliamo 10/9 facendo la divisione, otte-niamo il medesimo risultato.
91.111...
109
109
109
109
AppROssiMARE CON i POLiNOMi
i termini xn per cui n è maggiore di 1 ven-
gono detti termini di ordine superiore.
Approssimare una funzione con una curva quadratica (di secondo grado) spesso ci permette di fare alcune scoperte interessanti. Proviamo adesso a farlo con un
polinomio di ordine superiore. in effetti, è ben noto che è possibile ricostruire esattamente la funzione originale
con un polinomio di ordine infinito.
Com’è possibi-le? Dev’essere un errore, non
può essere uguale!
Sapevo che l’avresti detto.
Proviamoa svolgere i
calcoli.
154
Quando una funzione generica f(x) (che sia però derivabile un numero qualsiasi di volte) può essere scritta nella forma
f x a a x a x a x a xnn( ) = + + + + + +0 1 2
23
3 ... ...
Il membro destro viene chiamato sviluppo di Taylor di f(x) (in un intorno di x=0).
A sinistra =−
= −11 2
1
A destra = + + + + +1 2 4 8 16 ...
Si può dimostrare che l’espressione u ha senso per -1<x<1, che è l’insieme dei valori ammissibili per lo sviluppo di Taylor (in x=0). Questo insieme viene chiamato intervallo di convergenza.
Capitolo 5 sviluppi di taylor!
Quando una funzione generica f(x) (che sia però derivabile un numero qualsiasi di volte) può essere scritta nella forma
Questo vuol dire che f(x) coincide esattamente con un polinomio di grado infinito in un de-
terminato intervallo contenente x=0. Notiamo però che il membro di destra può perdere di significato e non avere un valore ben definito
al di fuori dell’intervallo in questione.
Per esempio, sostituiamox=2 in entrambi i membri
dell’espressione u
Visto?Non sono uguali.
Si può dimostrare che l’espressione (1) ha senso per -1<x<1, che è l’insieme dei valori ammissibili per lo sviluppo di Taylor(in x=0). Questo insieme viene chiamato intervallo di convergenza.
155
COME RiCAVARE LO SViLUPPO Di TAYLOR
Dato lo sviluppo
v f x a a x a x a x a xnn( ) = + + + + + +0 1 2
23
3 ... ...
cerchiamo di trovare il coefficiente an.Sostituendo x = 0 nell’espressione e osservando che f(0) = a0, vediamo
che il coefficiente di grado 0 a0 è f(0).Ora deriviamo v.
w ′ ( ) = + + + + +−f x a a x a x na xnn
1 2 32 12 3 ... ...
Sostituendo x = 0 in w e osservando che f ′(0) = a1, Abbiamo determinato il coefficiente di primo grado.
Ora deriviamo w e otteniamo
x ′′ ( ) = + + + −( ) +−f x a a x n n a xnn2 6 12 3
2... ...
Sostituendo x = 0 in x, vediamo che il coefficiente di secondo grado
a2 è
12
0′′ ( )f .
Derivando x, otteniamo
′′′ ( ) = + + −( ) −( ) +−f x a n n n a xnn6 1 23
3... ...
Da cui il coefficiente di terzo grado, che è a3 is 16
0′′′ ( )f .
Ripetendo l’operazione e derivando n volte, otteniamo
f x n n ann
( ) ( ) = −( ) × × +1 2 1... ...
dove f (n)(x) è quello che si ottiene derivando n volte f(x).Da qui è facile trovare il coefficiente di grado n:
an
fnn= ( )( )1
0!
n! si legge “n fattoriale” e indica il numero n n n× −( ) × −( ) × × ×1 2 2 1... .
cerchiamo di trovare il coefficiente an. /// Sostituendo x=0 nell’espressione e osservando che f(0)= a0, vediamo che il coefficiente di grado 0 a0 è f(0). /// Ora deriviamo (2)
come ricavare lo sviluppo di taylor
156 Capitolo 5 sviluppi di taylor!
Uh... forse è stata un’intro-duzione un po’
troppolunga...
Si può sapere perché il gior-nale dovrebbe preoccuparsi
dello sviluppo di Taylor?
Se f(x) rappresenta l’im-porto delle inserzioni della Burnham Chemical, il contributo al nostro
giornale può essere considerato il terzo
termine dello sviluppo di Taylor. f(x) = The JapanTimes + The Kyodo News +
The Asagake Times
il ter-zo...?
Esatto.
il punto è chequello che la
Burnham Chemical spende per noi è un importo molto pic-colo... il termine di terzo grado, cal-colato dopo avere
derivato trevolte.
Siccome per loro è insignificante, probabilmente continueranno a finanziarci come in passato, anche cambiando diri-
genza.
in quale bar andava quan-do lavorava in redazione centrale, Mr.
Seki?
Co...?
157come ricavare lo sviluppo di taylor
Voglio dire, un goccio con i col-leghi a fine gior-
nata, parlando dei servizi, degli
articoli...
Oh.
Per oggi ab-biamo finito. Che ne dice di andare a bere
qualcosa?
Okay, andiamo.
Sì!
Headliners’ Pub (24 ore su 24)
158 Capitolo 5 sviluppi di taylor!
Bel posto, no?
Oh, sì. Sono tutti giornalisti?
Quello è ishizuka, il più giovane vincitore del principale premio
fotograficoGiapponese.
Poi c’è Mr. Nakata,un pezzo grosso
tra i direttoriartistici.
i ragazzi làin fondo sono del Sanda City Post.
Mr. Analisi?!
Ehilà, Analisi, quanto tem-
po! Dai, prendi qualcosa!
Salve!
Che razza di soprannome! Ma gli sta a pennello.
Vediamo... ma-gari riesco ad ascoltare le loro conver-
sazioni.
Ultimamente Bitterman hail diabete.
Stack è sot-to control-lo medico... problemi di pressione.
Forse dovrei fare qualche controllo
anch’io.
solite chiacchiere tra cinquantenni! Non
mi serve a niente!
159
Per ora, non preoccupiamoci delle condizioni sotto cui lo sviluppo esistein un certo intervallo di convergenza.
Usando questa formula, verifichiamo la u a pagina 153.
f xx
f xx
f xx
f xx
( ) =−
′ ( ) =−( )
′′ ( ) =−( )
′′′ ( ) =−( )
11
1
1
2
1
6
12 3 4
, , , ,...
ff f f f f nn0 1 0 1 0 2 0 6 0( ) = ′ ( ) = ′′ ( ) = ′′′ ( ) = ( ) =( ), , , ,..., !
Perciò abbiamo
f x f f x f x f xn
f n( ) = ( ) + ′ ( ) + ′′ ( ) + ′′′ ( ) + + (( )011
012
013
01
02 3
! ! !...
!)) +
= + + × + × + + +
= + + + +
x
x x xn
n x
x x x
n
n
...
! !...
!! ...
...
112
213
61
1
2 3
2 3 xxn + ...
f x f a f a x a f a x a
f a x a
( ) = ( ) + ′ ( ) −( ) + ′′ ( ) −( )
+ ′′′ ( ) −( ) +
11
12
13
2
3
! !
!....
!...+ ( ) −( ) +( )1
nf a x an n
FORMULA 5.2 – LO SViLUppO Di TAYLOR
Se f(x) possiede uno sviluppo di Taylor in x = 0, allora è dato da
f x f f x f x f xn
f n( ) = ( ) + ′ ( ) + ′′ ( ) + ′′′ ( ) + + (( )011
012
013
01
02 3
! ! !...
!)) +xn ...
Da cui discende
f
f x
f x
f x
0
0
12
0
13
0
2
3
( )′ ( )
′′ ( )
′′′ ( )!
!
Termine costante di grado 0
Termine di grado 1
Termine di grado 2
Termine di grado 3
a f
a f
a f
a f
0
1
2
3
0
0
12
0
16
0
= ( )= ′ ( )= ′′ ( )
= ′′′ ( )
They coincide!
come ricavare lo sviluppo di taylor
Coincidono!
La formula rappresenta un polinomio di grado infinito che coincide con la funzioneoriginale in un intorno di x=0. La formula per un polinomio in un intorno di un generico
punto x=a è la seguente. Provate a verificarla con l’esercizio a pagina 178!
Lo sviluppo di Taylor di una funzione è un’eccellente approssimazione.
160
sviluppi di taylor di funzioni
[1] Sviluppo di Taylor della radice quadrata
Poniamo
f x x x( ) = + = +( )1 112.
Per cui, da
′ ( ) = +( )−f x x12
112
′′ ( ) = − × +( )
′′′ ( ) = × × +( )
′ ( ) =
−
−
f x x
f x x
f
12
12
1
12
12
32
1
012
32
52 ,...
, ′′′ ( ) = − ′′′ ( ) =
( ) = +
= + + × −
+
f f
f x x
x x
014
038
1
112
12
14
12
, ,...
! 3338
3
!...× +x
1 112
18
116
2 3+ = + − +x x x x ...
[2] Sviluppo di Taylor della funzione esponenziale ex
Se poniamo f x ex( ) = ,
′ ( ) = ′′ ( ) = ′′′ ( ) =f x e f x e f x ex x x, , ,...
Perciò, da
e x x x x
nx
x
n
= + + + + +
+ +
111
12
13
14
1
2 3 4
! ! ! !...
!...
Sostituendo x = 1, otteniamo
en
= + + + + + + +111
12
13
14
1! ! ! !
...!
...
[3] Sviluppo di Taylor della funzione logaritmo ln (1 + x)
Poniamo f x x( ) = +( )ln 1
′ ( ) =+
= +( )′′ ( ) = − +( ) ( ) = +( )
( )
−
− ( ) −
( )
f xx
x
f x x f x x
f x
11
1
1 2 1
1
2 3 3
4
, ,
== − +( )( ) = ′ ( ) = ′′ ( ) = − ( ) =( )
−
( )
( )
6 1
0 0 0 1 0 1 0 2
0
4
3
4
x
f f f f
f
,...
, , , !,
== −3!,...
Abbiamo quindi
ln
!! ! ...
1
012
13
214
32 3 4
+( ) =
+ − + × − +
x
x x x x
ln
... ...
1
12
13
14
112 3 4 1
+( ) =
− + − + + −( ) ++
x
x x x xn
xn n
[4] Sviluppo di Taylor di funzioni trigonometriche
Sia f(x) = cos x.
′ ( ) = − ′′ ( ) = − ( )= ( ) =
( )
( )
f x x f x x f x
x f x x
sen , cos ,
sen , cos ,...
3
4
Da cui
f f f
f f
0 1 0 0 0 1
0 0 0 13 4
( ) = ′ ( ) = ′′ ( ) = −
( ) = ( ) =( ) ( )
, , ,
, ,...
Perciò,
cos! ! !
...x x x x x= + − × × + × × + × × +1 012
113
014
12 3 4
cos! !
...!
...x x xn
xn n= − + + + −( ) ( ) +1
12
14
11
22 4 2
Analogamente
sen! !
...!
...x x x xn
xn n= − + + + −( )
−( ) +− −13
15
11
2 13 5 1 2 1
Capitolo 5 sviluppi di taylor!
Nel capitolo 4 abbiamo visto che e vale circa 2,71. Ora abbiamo ricava-to un’espressione per calcolar-
lo con precisione maggiore.
161
che cosa ci dicono gli sviluppi di taylor?
y
x
0
y = x
Appross. lineare
Appross.di grado 0 Appross. quadratica
Appross. cubica
y = f(x)
ln ...1 012
13
14
2 3 4+( ) = + − + − +x x x x x
Esatto. consideriamo ln ...112
13
14
2 3 4+( ) = − + − +x x x x x
uno degli esempi di cui sopra, per capire
quanto possono essere utili gli sviluppi di taylor.
che cosa ci dicono gli sviluppi di taylor?
Sono un modo per sostituire funzioni complicate con un polinomio. Per esempio, sapresti disegnare
il grafico di ln (x+1)?
il punto è che per capire il mondo invisibileche si cela dietro una funzione dobbiamo prima
approssimarla, dico bene?
Per cominciare, un’approssimazione digrado zero. ln(1+x) ≈ 0 in un intorno di x=0.
Che cosa vuol dire, Noriko?
Uh... ecco... che in x=0 il valore di f(x) è 0e quindi il grafico passa per il punto (0,0).
Esattamente. Poi è il momento dell’approssimazione lineare.
Vedi che vicino a x=0 la funzione y=f(x) ricorda approssimativa-
mente y=x? Questo vuol dire che in x=0 la funzione cresce.
162
E ora, un passo in avanti con l’approssimazione
quadratica. Consideriamo il grafico di
ln 1
12
2+( ) ≈ −x x x
in un intorno dello 0.Che cosa significa,
Noriko?
y
x
0−1
y f x= ( )
y x x= − 12
2
Vuol dire che vicino allo 0 y=f(x) assomiglia
approssimativamente a
e che in x=0 il grafico è rivolto verso il basso (l’approssimazione quadratica ci permette di stimarne
la curvatura in un punto x=a )
infine, spingiamoci fino all’approssimazione cubica! Vicino a x=0,
ln 112
13
2 3+( ) ≈ − +x x x x
(l’approssimazionecubica corregge ulte-riormente l’errore di
quella quadratica).
y
x
0
y f x= ( )
y x x x= − +13
12
3 2
E adesso tutti alprossimo pub, Mr. Seki!
!
y x x= − 12
2
Capitolo 5 sviluppi di taylor!
!
163che cosa ci dicono gli sviluppi di taylor?
Ora va meglio! Qui possiamo parlare con
più calma.
Dovevamo venircisubito.
Prima, al pub, avresti potuto parlare molto
di più coiragazzi.
Be’, sembravanotutti così... brillanti.
Non mi sentivo... ecco...alla loro altezza.
A che giocosta giocando,
Mr. Seki?
Quei tipi erano tutti famosi...
vincitori di premi giornalistici.
Ma ho capito subito che la rispettavano.
164 Capitolo 5 sviluppi di taylor!
Come può essere felice di restarse-ne rintanato in una redazione locale?
Ormai scri-ve solo
assurdità!
Basta alcool per lei.
[sniff]
Mi chiedo che probabilità ab-bia veramente
di diventare una star del gior-nalismo, come
quelli delpub.
Se l’unica cosa che ti interessa è la pro-babilità di diventare importante, non di-venterai niente. Non arriverai da nessuna parte continuando ad
aspettare.
165che cosa ci dicono gli sviluppi di taylor?
Anche sechiacchieravano di
frivolezze...
...tutti sisforzano di dare
il massimo nel loro lavoro.
Semplicemente, fanno ciò che desiderano fare. Nessuno di loro si ar-
renderebbe mai al loro “destino”. E neanch’io.
[sob]
Ehi, aproposito diprobabilità!
Cosa? No,eh? Dovremmo
studiareancora?
Naturalmente! Sono il tuo istruttore e tu sei una risorsa
preziosa.
166 Capitolo 5 sviluppi di taylor!
Quandoanalizziamo gli even-ti incerti usando la
probabilità, spessis-simo usiamo la distri-
buzione normale.Uh-uh...
La distribuzione è caratterizzata da una funzione di densità di probabilità, propor-
zionale a
a meno di un fattoredi scala. Dalla figura,
è chiaro che il grafico è simmetrico rispetto
all’asse delle y e ha la forma di una campana.
scratch
scratch
Me lo scusino, mi sa che scriverà un sacco. Avete mica degli altri sotto-
bicchieri?
oplà!
È una distribuzione tipica di un sacco di fenomeni. Per esem-pio, l’altezza degli esseri umani o degli
animali.
O gli errori di misura negli esperimenti.
BONKNegli ambienti
finanziari, si pensa che i tassi degli
utili generati dalle azioni seguano una
distribuzionenormale.
i sistemi divotazione per glistudenti spesso si
basano sulla distribu-zione normale, perché ci si aspetta che venga
seguita dai risultatidegli esami.
f x ex( ) = −1
22
167
0
0.05
0.10
0.15
0.20
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Numero di “testa” lanciando20 monete tutte insieme(distribuzione binomiale).
g (x )
0
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0 1 2 3 4−1−2−3−4
f x ex( ) =
−1
2
12
2
π
Distribuzione normale standard
che cosa ci dicono gli sviluppi di taylor?
Grazie a uno sviluppo di
Taylor, ti mo-strerò come
il lancio di una moneta segua la distribuzio-ne normale.
Qual è la pro-babilità che esca testa?
flip
Non mi tratti da stupida!
È 0,5.
Esatto. Non sap-piamo quale faccia uscirà ma sappiamo che la probabilità di una particolare faccia è di 1 su 2.
il primo grafico mostra la probabilità che esca “testa” lanciando 20 monete tutte insieme: sull’asse delle x abbiamo il numero delle uscite, su quello delle y abbiamo la probabilità.
Oh… assomiglia al secondo.
Sì, si sovrappone quasi perfetta-
mente al grafico di una distribuzio-
ne normale.
168
* La distribuzione della probabilità di ottenere x “testa” lanciando n monete, di solito viene chiamata distribuzione binomiale. Troviamo per esempio la probabilità di ottenere 3 volte testa lanciando 5 monete. Se T=testa e C=coda, la probabilità di ottenere TTCTC è
12
12
12
12
12
12
5
× × × × =
Siccome esistono 5C3 modi di ottenere 3 volte testa e 2 volte croce, la
probabilità è 5 3
512
C
. L’espressione generale è n x
n
C12
. Ora mostreremo che
per n molto grande la distribuzione binomiale si avvicina a quella normale.
Capitolo 5 sviluppi di taylor!
in effetti, se defi-niamo gn(x) come la “probabilità di ot-
tenere testa x volte lanciando n mone-te tutte insieme”*, e facciamo tendere n
all’infinito…
Quell’equazione l’ha già scritta!
Perché continua a consumare i miei sottobicchieri?
Calma,emh…
...la possiamo riscrivere e vedere che è
proporzionale alla funzione
normale.
169
g x C
C
n n x
x n x
n x
n
( ) =
=
−12
12
12
gn
Cn n
n
n
2122
=
h xg x
gCCn
n
nn
n x
n n
( ) = ( )( ) =2
2
h xn
x n x n xn
n n n n
( ) =−( )
×
( ) ( )
=
( ) ( )!! !
! !
!
! !
!2 2 2 2
nn x−( )!
[scrib]
[sc
rib]
n xCn
x n x=
−( )!
! !
n n nC
nn2
2 2
= ( ) ( )!
! !
che cosa ci dicono gli sviluppi di taylor?
Usando la distri-buzione binomiale,
abbiamo
gn(x) la possiamo scrivere così.
Poiché il grafico di f(x) è simmetrico rispetto all’asse
x=0 e gn(x) rispetto a x=g
nCn n
n
n
2122
=
…
i miei poverisottobicchieri…
invece di gn(x) possiamo consi-derare gn(n/2)
Quindi…
Dividiamo gn(x) per il risultato
E otteniamo hn, la funzio-ne scalata.
Poiché
Abbiamo che
E dividen-do…
CHE COSA Ci DiCONO GLi SViLUppi Di TAYLOR?
170
[si
gh]
Abracadabra!
Capitolo 5 sviluppi di taylor!
Tutti… tuttiquei bei sotto-
bicchieri…
è la deviazionestandard. Se non sai
nulla di statistica, puoi semplicemente conside-rarla come una specie
di parola magica*!
*La deviazione standard è una mi-sura della dispersione dei dati.
poiché x è lontana dall’asse disimmetria
n2,
cambiamo unità
di misura in n2
n2
171
* ricordiamo la proprietà
ln ln ln
ln ln ln
ab a b
dc
d c
= +
= −
h z
n n
n nz
n nz
n ( ) =
+
−
2 2
2 2 2 2
! !
! !
nn n
z− +
2 2
ln
ln ! ln ! ln
h z
n n n nz
n ( )
=
+
− +
2 2 2 2
− −
! ln !n n
z2 2
che cosa ci dicono gli sviluppi di taylor?
in altreparole
in questo modo, abbiamo cambiato variabile. Quella
nuova, la z, rappre-senta il numero di
deviazioni standard dall’asse di simmetria.
Otteniamo
Passiamo poi al logaritmo ln di ciascun membro*
Ora dobbiamo calcolare questa espressione… ma
forse sarà meglio cambiare bar.
poniamo n n
z x2 2+ =
e sostituiamo z in hn .
172
Approssimiamo ln(m!)
ln ! ln ln ln ... lnm m= + + + +1 2 3
Se nel grafico di ln x consideriamo dei rettangoli come in figura, otteniamo
ln ... ln ln21
+ + ≈ ∫m xdxm
x x x x xx
xln ln ln−( )′ = + × − =11
Quindi,
ln ln ln
ln
xdx m m m
m m m
m
11 1 1
1∫ = −( ) − −( )
= − +
Siccome faremo uso di questa formula per m molto grande, il termine più importante è m ln m, mentre −m+1 è molto più piccolo, e lo ignoriamo. Indicativamente, possiamo quindi usare l’approssimazione m! ≈ m ln m
Area = ln m
ln mArea = ln 2
. . . . . .
2 3 m−1 m
y = ln x
Capitolo 5 sviluppi di taylor!
Grazie! Dovremmo avere finito.
fiuuuNe sono rimasti
pochissimi!
Andiamo? immagino che dovrei essere felice che ne siano rimasti…
Pensiero positivo
Siccome faremo uso di questa formula per m molto grande, il termine più importante è mln, mentre -m+1 è molto più piccolo, e lo ignoriamo. Indicativa-mente, possiamo quindi usare l’approssimazione m! ≈ mlnm
173
ln ln ln lnn n
zn n
nz
n nn
z2 2 2
12
1+
= +
= + +
che cosa ci dicono gli sviluppi di taylor?
ci Siamo quasi! Se m! ≈ m ln m
(v. pagina prece-dente)…
Presto!Degli altri…!
AHHh!
dopo un sacco di passaggi, otteniamo
Tra l’altro, abbiamo usato l’uguaglianza
E ora usiamo uno sviluppo di Taylor… so che non vedevi
l’ora.
Sì, non vedevo l’ora.
…
Okay, prendeteli
pure
Squeak
Squeak
174
Quando t si avvicina a
zero
(approssimazione quadratica, o del second’ordine*)
Per n abbastan-za grande, √n/n = 1/√n è vicino
allo zero.
Pertanto,
Possiamo so-stituirlo nell’e-
spressione
Per n abbastanza
grande, nn n
= 1
è
vicino allo zero.
quindi lo è anche
nn
z
per ogni z fissato.
Capitolo 5 sviluppi di taylor!
*v. pagina 161
175
Otteniamo hn(x) ≈ -e-z2/2
Se pensi che i termini di ordine superiore dello sviluppo di Taylor del logaritmo, da x3 in poi, possano influenzare la forma di hn(x) (per n
abbastanza grande), calcoliamo hn(x) usando lo sviluppo
Scopriremo che il coefficiente del termine z4 ha n al denominatore e converge quindi a
zero per n → ∞.
E le distribuzioni normali? Possiamo applicarle a cose diverse dal lancio
delle monete?
che cosa ci dicono gli sviluppi di taylor?
poiché
lnh z zn ( ) ≈ − 12
2 ,
Otteniamo
h z en
z( ) ≈ −−1
22.
ln 112
13
2 3+( ) ≈ − +t t t t
176
Stai di nuovo pensando di applicare all’amore i nostri studi? Probabil-mente può funzionare
solo per fenomeni del tutto non intenzionali e
puramente casuali.E se fosse
questo il caso dell’amore?
Non si discute neppure!
Ascolta! Se anchesolo ipotizzassimo, deltutto indicativamente, che l’innamoramento di due
persone è assimilabile alla combinazione dei risultati del lancio di un numero
infinito di monete…
…
Be’, siccome ora sappiamo che la distribuzione di
quei risultati segue approssimativamen-te la distribuzione
normale, non ci sarebbe da stupirsi se fosse possibile calcolare una di-
stribuzione normale per l’amore.
Davvero?
Capitolo 5 sviluppi di taylor!
177
Però!
il calcolo delleprobabilità si applica solo ai fenomeni non certi da cui è esclusa ogni intenzionalità. E scusa la pignoleria.
uh-oh
Ma supponiamodi avere una ragazza totalmente ingenua,
Mr. Seki…
Proprionon mi vuoi dare
retta?
che cosa ci dicono gli sviluppi di taylor?
178
esercizi
1. Calcolare lo sviluppo di Taylor di f(x) = e−x in x = 0.
2. Calcolare l’approssimazione quadratica di f xx
( ) = 1cos
in x = 0.
3. Derivare lo sviluppo di Taylor di f(x) in x=1 di pagina 159. In altre parole, ricavate l’espressione dei coefficienti cn nell’espressione:
f x c c x a c x a c x an
n( ) = + −( ) + −( ) + + −( )0 1 2
2...
ESERCiZi
Capitolo 5 sviluppi di taylor!
179
6Le derivate parziali!
180 Capitolo 6 LE DERiVATE PARZiALi!
che cosa sono le funzioni di più variabili?
Cosa???
Mr. Seki…tornerà inredazionecentrale?
Cos’è succes-so? L’hanno promossa?
Non so…
181
Lei mi ha sempre detto “ogni effet-to ha una causa”.
Me lo ripeteva ogni giornO! Mi sono anche ve-nuti gli incubi!
Causa ed effetto...me lo ricordo bene. Ne abbiamo parlatoin una delle prime
lezioni.
È vero, abbiamo studiato semplici
funzioni che rappre-sentavano una causa
e un effetto.
Una relazione che possiamo
esprimere
Causa EffettoCon un diagramma
come questo.
Ma il trasferimento mi ha ricordato che il mondo non è poi
così semplice,dopotutto.
slurp
Già.
Credo che il mio tra-sferimento sia la ri-
sultante di una serie di cause combinate.
che cosa sono le funzioni di più variabili?
182 Capitolo 6 LE DERiVATE PARZiALi!
Possiamo rappresen-
tarlo
in questo modo
Nel caso di Mr. Seki, la x è lo stile eccellen-te, y è il suo giornali-smo d’inchiesta senza compromessi e z è il trasferimento alla redazione centrale,
dico bene?
Be’, in realtà ancora non co-nosco i motivi del trasferi-
mento.
Nel caso di Noriko, x1 sono le cantonate del mese scorso, x2 quelle di questo mese e x3 e
x4 sono trascuratezza e scarsa igiene perso-nale, il che spiega ilconfinamento ai
necrologi.
Chiudi ilbecco, razza
di bue!Basta così,
Noriko. Non ci resta molto tempo.
Dobbiamoimparare le
nozioni fonda-mentali.[STRIZZ]
183
Esempio 1
Supponiamo che un oggetto si trovi all’altezza di h(v,t) metri dopo che sono trascorsi t secondi da quando è stato gettato verticalmente verso terra con la velocità v. Allora h(v,t) è data da
h v t vt t, ,( ) = − 4 9 2
eSEMPiO 2
La concentrazione f(x,y) di sciroppo di glucosio che si ottiene sciogliendo y grammi di zucchero in x grammi di acqua è data da
f x yy
x y,( ) =
+×100
eSEMPiO 3
Sia K la quantità (detta capitale) di attrezzature e macchinari a disposizione in un paese, e L il lavoro. Supponiamo che la produzione complessiva di beni (o PIL, Prodotto Interno Lordo) sia data da Y(K,L).
Esempio 4
In fisica, se P è la pressione di un gas ideale e V il suo volume, sappiamo che la temperatura T è una funzione di P e di V, ed è data da
T P V PV,( ) = γ
che cosa sono le funzioni di più variabili?
Ore vedremoalcuni esempi di funzioni in cui il
valore, cioè l’ef-fetto, dipende dadue cause, cioè funzioni di due
variabili.
La funzione a di sinistra si
scrive z=g(x,y), e quella di destra
y=h(x1,x2,x3,x4).
in teoria economica si usa la funzione Y L K L K,( ) = −β α α1
detta “funzione di Cobb-Douglas”), dove α e β sono costanti, come approssimazione di Y(L, K). (v. a pagina 203).
184
z =x
yf ax by c+ +
mmm
Capitolo 6 LE DERiVATE PARZiALi!
funzioni lineari in più variabili: i fondamenti
Che ne dicidi dare un’occhiata alle proprietà di queste funzioni in
due variabili?
Useremo delle approssimazioni
lineari?
Be’, sì. Ma siccome ora la-voriamo con due variabili, dovrà essere così anche
per le funzioni lineari.
Le funzioni lineari in due variabili hanno la forma z = f(x,y) = ax + by + cdove a, b e c sono
costanti. Per esempio, z = 3x + 2y + 1
oppure z = −x + 9y − 2. Semplice, no?
Vediamo adesso che aspetto può avere il loro grafico. Sicco-me hanno due valori in ingresso (x e y) e uno
solo in uscita (z) è natu-rale usare coordinate
tridimensionali.
mmm
Pensa al pia-no x-y come al pavimento e all’asse z come a unacolonna.
Una co-lonna…
185
2
3
5
P = (2, 3, 5)z
y
x
8
2
1
4
3
19
(4, 3)(1, 2)
y
x
funzioni lineari in più variabili: i fondamenti
Qualcosa non va?
No, no!Andiamo avanti.
Come puoi vedere, il punto P di coor-dinate (2,3,5) è il
punto in cima a una colonna di altezza 5 posizionata nel
punto sul pavimento di coordinate (2,3).
E ora, che aspetto pensi che potrà ave-re il grafico di una funzione lineare?
Comeesempio, tracciamo
quello diz = f(x, y) = 3x + 2y + 1.
Per prima cosa, collochia-mo nel punto (1,2) sul pavimen-to una colonna di lunghezza
f(1, 2) = 3 × 1 + 2 × 2 + 1 = 8.Analogamente, l’altezza delgrafico nel punto (4,3) sarà f(4, 3) = 3 × 4 + 2 × 3 + 1 = 19 *.
*in realtà dovremmo scrivere (1,2,0) e (4,3,0) ma persemplicità omettiamo la terza coordinata.
186
20
15
10
5
01 2 3 4
12
34
Capitolo 6 LE DERiVATE PARZiALi!
Nello stesso modo, collochiamo 16 colonne nei 16
punti (x,y) per cui 1≤x≤ 4 e 1≤y≤4, come in figura.
Possiamo già vedere che il gra-fico comincia ad assomigliare a un piano, non trovi?
Sì, è vero!
Diamo ora un’occhia-ta alle colonne sul
lato più vicino.
Cominciando da sinistra, le altezze hanno i va-lori f(1,1) = 6, f(2,1) = 9, f(3,1) = 12, e f(4,1) = 15.
È intuitivo vedere che questi punti giacciono su una retta di penden-za 3. infatti, se y
è costante (y=1) in z = f(x,y) = 3x + 2y + 1 , abbiamo z = 3x + 2 ×
1 + 1 = 3x + 3 .
Adesso passiamo alle altez-ze delle colonne dietro le prime. i valori sono f(1,2) = 8,
f(2,2) = 11, f(3,2) = 14e f(4,2) = 17, ciascuno dei quali è maggiore di 2
dell’altezza della colon-na che ha davanti.
inoltre, le altezze delle colonne
ancora posteriori sono f(1,3) = 10, f(2,3) = 13, f(3,3) = 16, e
f(4,3) = 19 e anche ciascuna di queste è maggiore di 2 dell’altezza della
colonna che ha davanti.
20
15
10
5
01 2 3 4
12
34
187
z
C
B
(x, y)
byy
y
A
ax
xx
O
ax + by
z = by
z = ax
(x, y)
z
c
y
y
xx
O
by + c
ax + by + c
ax + c
funzioni lineari in più variabili: i fondamenti
mano a mano che le colonne si allonta-nano da noi, la loro
altezza aumenta sempre di 2…
...perciò lecime delle colonne
giacciono tutte su un unico piano. Ora pos-siamo generalizzare.
Per prima cosavediamo come trac-ciare il grafico di z = f(x,y) = ax + by (con la costante
c=0).
Cominciamo dal punto O(0,0,0), cioè dall’origine, e consideriamo il seg-
mento di retta OA: otte-niamo una funzione che lo rappresenti ponendo y=0. Questo è come dire che la retta è rappresentata da
z=ax, e ha pendenza a. Ana-logamente, ponendo x=0, il segmento di retta OB
del piano è rappresentato da z=by e ha pendenza b. il punto C sul piano OACB ha altezza uguale a ax + by. Se volessimo rappresentare fisicamente questo piano, potremmo attaccare un
lenzuolo ai segmenti OA e OB, e tirarlo.
Dovendo ora considerare anche la costante c,
semplicemente adattiamo il grafico elevando il
piano all’altezza c. Ora il punto O sul piano si trova
in (0,0,c), il punto A ha un’altezza ax + c
e così via.
188 Capitolo 6 LE DERiVATE PARZiALi!
Noriko!Sì!?!
Per oggi può ba-stare. Non mi sembri molto presa dalla
lezione.
HO UN SAccO DA FARE Prima di andarmene, tra cuiimpacchettare tutte
le mie cose.Ti andrebbe di vederci
domenica?
Lo so che la vorrestilibera, ma cerchiamo difare un’ultima lezione.
Alla fine sarai miaospite a cena.
Uh, certo…
Cena??
ufff
non è vero!
189scuola tanaka
Scuola Tanaka,Domenica
Hanno chiusoquesta scuola
qualcheanno fa.
Sul serio?E Vorrebbe farci
sopra un servizio?
No. Mi piaceperché è qui che ho imparato la
matematica.
Wow!
in effetti,questa è lamia città.
Era una piccolascuola. Ma avevo unodei migliori insegnanti
del mondo.
190 Capitolo 6 LE DERiVATE PARZiALi!
Se tracciamo ilgrafico della fun-
zione di due variabili z = f(x,y) = 3x + 2y + 1
in un sistema di coordi-nate tridimensionali, che aspetto avrà, Kakeru?
Supponiamo che questo vecchio
sacco sia il piano OACB…
Maestro, c’era-no ancora den-
tro delle patate. Che cosa ne facciamo?
Se sai risolvere il problema, bolliamole e mangiamole…
oh, oh, oh!
Mr. Kinjiro Bun-da era un ottimo
insegnante.
E adesso,Noriko, l’ultima
lezione. Okay!
191
z y
y
x
x
O
f(x, y)
(x, y)
derivate parziali
derivate parziali
Oh, la campana della prima ora! Ora parleremo
della derivazione in due variabili.
Programma
Derivate parziali
Ora che sappiamoche in due variabili il
grafico di una funzio-ne lineare è un piano,
possiamo approssimare funzioni piùcomplesse.
La nostra funzione as-
somiglia a una specie di tenda,
non trovi?
A me sembra più una torta!
in definitiva, non è molto importante. Ora troviamo una funzione lineare in due
variabili che approssimi f(x,y) in un intorno
del punto (a,b).
192
Costruiremo una funzione lineare con la medesima altezza di f(a,b) nel punto (a,b). La formula è L(a,b)=p(x-a)+q(y-b)+f(a,b).
Sostituendo x=a e y=b otteniamo L(a,b)=f(a,b).
I grafici di z=f(x,y) e di z=L(x,y) passano per lo stesso punto al di sopra di A(a,b) ma hanno altezza diversa in P(a+e,b+δ). In questo caso l’errore è f(a+e,b+δ) – L(a+e,b+δ) = f(a+e,b+δ) – f(a,b) – (pe+qδ) e l’errore relativo esprime il rapporto tra l’errore e la distanza AP.
Errore relativo = differenza tra f e L
distanza AP
u =+ +( ) − ( ) − +( )
+
f a b f a b p qε δ ε δ
ε δ
, ,2 2
Vediamo ora il comportamento di L(x,y) quando la sua differenza con f tende a 0 (questo avviene quando P tende ad A), in qualità di approssima-zione lineare. Vediamo che ne ricaveremo p e q. In figura, p è la pendenza di DE e q è quella di DF. Siccome e e δ sono arbitrari, poniamo per cominciare δ=0 e vediamo che u diventa
Errore relativo =+ +( ) − ( ) − + ×( )
+
=+( ) −
f a b f a b p q
f a b f a
ε ε
εε
, ,
,
0 0
02 2
,,bp
( )−
ε
ε
δ
CD E
B
GFH(funzione
lineare diapprossimazionein due variabili)
z L x y= ( ),
z f x y= ( ),
f a b+ +( )ε δ,
P a b= + +( )ε δ,f a b,( )
A a b= ( ),ε δ2 2+
Capitolo 6 LE DERiVATE PARZiALi!
Costruiremo una funzione lineare con la medesima altezza di f(a,b) nel punto (a,b). La formula è L(a,b)=p(x-a)+q(y-b)+f(a,b).Sostituendo x=a e y=b otteniamo L(a,b)=f(a,b).
193
Perciò l’affermazione “l’errore relativo tende a 0 per e che tende a 0” significa che:
v lim, ,
e
ee→
+( ) − ( )=
0
f a b f a bp
Questa è la pendenza di DE.Dev’essere chiaro che il membro di sinistra di (2) è lo stesso che avremmo per
la derivata di una funzione di una sola variabile. In altre parole, se a y sostitu-iamo b e lo manteniamo costante, otteniamo f(x,b), che è una funzione della sola x. Il membro sinistro di (2) è a questo punto la definizione di derivata di questa funzione in x=a.
La tentazione di scrivere il membro di sinistra come f’(a,b) è fortissima: in fondo di tratta di una derivata, ma non sarebbe chiaro rispetto a quale variabile abbiamo derivato.
Scriviamo quindi “la derivata di f in x=a con y costante uguale a b” col sim-bolo fx(a,b).
Questa funzione fx è detta “derivata parziale di f nella direzione x” ed è l’equi-valente della notazione con l’apostrofo nella derivazione di un’unica variabile
Si usa anche la notazione df—dx (a, b), che corrisponde a
∂ f—∂ x . In breve,
abbiamo:“La derivata di f nella direzione x in x=a con y=b”
f a bfx
a bx , ,( ) = ∂∂
( )
=
o anche
Pendenza di DEEsattamente allo stesso modo, otteniamo
“La derivata di f nella direzione y in y=b con x=a”
f a bfy
a b
DF
y , ,( ) = ∂∂
( )
= Pendenza di
∂ si legge “derivata parziale”.
derivate parziali
194
Abbiamo quindi stabilito quanto segue.Se z = f(x, y) ammette un’approssimazione lineare in un intorno di (x, y) =
(a, b), questa è data da
w z f a b x a f a b y b f a bx y= ( ) −( ) + ( ) −( ) + ( ), , ,
ovvero* zfx
a b x afy
a b y b f a b= ∂∂
( ) −( ) + ∂∂
( ) −( ) + ( ), , ,
Consideriamo il punto (α, β) su un cerchio di raggio 1 con centro nell’origine del piano x − y (il pavimento). Abbiamo allora α 2 + β 2 = 1 (questo perché α = cosθ and β = senθ). Calcoliamo ora la derivata nella direzione che va da (0, 0) a (α, β). Uno spostamento lungo t in questa direzione è espresso da (a, b) → (a + α t, b + β t). Se in u poniamo e = α t e δ = β t otteniamo
Errore relativo =+ +( ) − ( ) − +( )
+
=+
f a t b t f a b p t q t
t t
f a
α β α β
α β
α
, ,2 2 2 2
tt b t f a b
tp q
f a t b t f a b
tp q
, ,
, ,
+( ) − ( )+
− −
=+ +( ) − ( )
− −
β
α βα β
α βα β
2 2
x Poiché α β2 2 1+ =
Ponendo p = fx(a, b) and q = fy(a, b), modifichiamo x come segue:
y f a t b t f a b t
t
f a b t f a b
tf a b f a bx y
+ +( ) − +( )+
+( ) − ( )− ( ) − ( )α β β β
α, , , ,
, , ββ
Siccome la derivata di f(x, b + βt), come funzione della sola x in x = a è
f a b tx , +( )β
dall’approssimazione lineare in una sola variabile otteniamo,
f a t b t f a b t f a b t tx+ +( ) − +( ) ≈ +( )α β β β α, , ,
*Abbiamo calcolato l’approssimazione lineare in modo che l’errore relativo tenda a 0 per AP che va a 0 nella direzione x o y. Non è però ovvio se l’errore relativo vada a 0 quando AP va a zero lungo una direzione qualsiasi per un’approssimazione lineare costruita a partire dalle derivate fx(a, b) e fy(a, b). Ora approfondiremo questo punto, anche se non in maniera rigorosissima.
−1
−1
1
1
y
x
θ(α, β)
Capitolo 6 LE DERiVATE PARZiALi!
195
Analogamente,
f a b t f a b f a b ty, , ,+( ) − ( ) ≈ ( )β β
Sostituendo in y,
≈ +( ) + ( ) − ( ) − ( )= +( ) − ( )
f a b t f a b f a b f a b
f a b t f a b
x y x y
x x
, , , ,
, ,
β α β α β
β(( )αy
Poiché per t abbastanza piccolo fx(a, b + βt) − fx(a, b) ≈ 0, per l’errore rela-tivo abbiamo = y ≈ 0. Abbiamo quindi dimostrato che “l’errore relativo tende a 0 quando AP tende a 0 in qualsiasi direzione.”
Notiamo anche che per potere affermare fx(a, b + β t) − fx(a, b) ≈ 0 (t ≈ 0) fx dev’essere continua. Se non fosse continua, non potremmo dire che la derivata esiste in ogni direzione, anche se fx e fy esistono. Questo può capi-tare per funzioni piuttosto strane ed “esotiche” e in questo libro non ne parleremo.
ESEMPi (FUNZiONE DELL’ESEMPiO 1 A PAGiNA 183)
Troviamo le derivate parziali di h(v, t) = vt − 4,9t2 in (v, t) = (100,5).Nella direzione v deriviamo h(v,5) = 5v − 122,5 e
otteniamo
∂∂
( ) =hv
v,5 5
Perciò,
∂∂
( ) = ( ) =hv
hv100 5 100 5 5, ,
Nella direzione t deriviamo h(100, t) = 100t − 4,9t2 e otteniamo
∂∂
( ) = −ht
t t100 100 9 8, ,
∂∂
( ) = ( ) = − × =ht
ht100 5 100 5 100 9 8 5 51, , ,
E l’approssimazione lineare è quindi
L x y v t, ,( ) = −( ) + −( ) −5 100 51 5 377 5
derivate parziali
196
In generale,
∂∂
= ∂∂
= −hv
tht
v t, ,9 8
Quindi, dalla w a pagina 194, in un intorno di (v, t) = (v0, t0),
h v t t v v v t t t h v t, , ,( ) ≈ −( ) + −( ) −( ) + ( )0 0 0 0 0 0 09 8
Ora cercheremo di approssimare la concentrazione di sciroppo di glu-cosio dati y grammi di zucchero in x grammi di acqua.
f x yy
x y
fx
fy
x y
fy
fx y y
x
x
y
,( ) =+
∂∂
= = −+( )
∂∂
= =+( ) − ×
+
100
100
100 100 1
2
yy
x
x y( )=
+( )2 2
100
Pertanto, in un intorno di (x, y) = (a, b), abbiamo
f x yb
a bx a
a
a by b
ba b
,( ) ≈ −+( )
−( ) ++( )
−( ) ++
100 100 1002 2
definizione di differenziale parziale
Se z=f(x,y) è parzialmente derivabile rispetto a x in ogni punto (x,y) di una certa regione, la funzione (x,y) → fx(x,y) che a (x,y) associa fx(x,y), cioè la deri-vata parziale rispetto a x in quel punto, viene detta il differenziale parziale di z=f(x,y) rispetto a x e si indica con una qualunque delle seguenti notazioni
f f x yfx
zxx x, , , ,( ) ∂
∂∂∂
Analogamente, se z=f(x,y) ammette derivata parziale rispetto a y per ogni punto (x,y), la funzione
x y f x yy, ,( ) → ( )
Capitolo 6 LE DERiVATE PARZiALi!
197
viene detta differenziale parziale di z=f(x,y) rispetto a y e si indica con una qualunque delle seguenti notazioni:
f f x yfy
zyy y, , , ,( ) ∂
∂∂∂
L’operazione di calcolo delle derivate parziali di una funzione viene detto derivazione parziale.
Dall’approssimazione lineare di z=f(x,y) in (x,y)=(a,b) abbiamo determinato
f x y f a b x a f a b x b f a bx y, , , ,( ) ≈ ( ) −( ) + ( ) −( ) + ( )
Che possiamo scrivere così
z
f x y f a bfx
a b x afy
a b y b, , , ,( ) − ( ) ≈ ∂∂
( ) −( ) + ∂∂
( ) −( )
Siccome f(x,y) − f(a,b) rappresenta l’incremento di z=f(x,y) quando un punto si sposta da (a,b) a (x,y), possiamo rappresentarlo come ∆z, proprio come abbiamo fatto per le funzioni di una sola variabile.
Inoltre, (x−a) è ∆x e (y−b) è Δy.Possiamo quindi riscrivere l’espres-
sione z come
{ ∆ ≈ ∂∂
∆ + ∂∂
∆zzx
xzy
y
L’espressione si può leggere come “se x varia di ∆x rispetto ad a e y di ∆y rispetto a b in z=f(x,y), z varia di”
∂∂
∆ + ∂∂
∆zx
xzy
y
differenziali totali
secondaora
differenziali totali
∂z∂y∆y
∆z
∆y
∆x
∂z∂x∆x
∂z∂x∆x
∂z∂y∆y= +
differenziali totali
198
Poiché ∂z—∂x
∆x è “l’incremento di z nella direzione x in y=b”
e ∂z—∂y
∆y è “l’incremento nella direzione y in x=a”, l’espressione { può
anche essere intepretata come “l’incremento di z = f(x, y) è la somma dell’in-
cremento nella direzione x e di quello nella direzione y.”
Quando in { passiamo al limite facendo tendere ∆x e ∆y a 0, otteniamo
| dzzx
dxzy
dy= ∂∂
+ ∂∂
o
} df f dx f dyx y= +
(al posto di “∆” abbiamo una “d”).Il significato è il seguente:
Variazione in altezza di una superficie =
Incremento nella direzione y
Derivata parziale nella direzione x
× Incremento nel-la direzione x
+ Derivata parziale nella direzione y
×
E ora diamo un’occhiata all’espressione di un differenziale totale a par-tire dall’esempio 4 di pagina 183.
Convertendo opportunamente l’unità di misura, riscriviamo l’equazione della temperatura come T=PV
∂∂
=∂ ( )∂
= ∂∂
=∂ ( )∂
=TP
PV
PV
TV
PV
PP and
Il differenziale totale può quindi essere scritto come dT = VdP + PdV.In maniera approssimata, diventa ∆T ≈ V∆P + P∆V.
Temperature maggiori
Volume
Pre
ssio
ne
T = costante
P
V
Le espressioni | o }vengono dette differen-
ziale totale.
Questo vuol dire che per un gas ideale l’in-cremento di temperatura può essere calco-lato moltiplicando il volume per l’incremen-
to di pressione e sommando la pressione moltiplicata per l’incremento di volume.
Pressione /// Temperature maggiori /// T=costante /// volume
Capitolo 6 LE DERiVATE PARZiALi!
199
condizioni per gli estremi
Terza ora.
Che panorama! Sanda è sempre
la stessa!!
Massimo
Se pensiamo allamontagna come a una fun-zione di due variabili, la
cima è il massimo.
Oh, no, sarebbe già la lezione?
condizioni per gli estremi
200
Gli estremi di una funzione di due variabili f(x,y) sono punti in cui il grafico raggiunge “la cima di una montagna” o “il fondo di una vallata”.
f x y p x a q y b f a b, ,( ) ≈ −( ) + −( ) + ( )
con p = q = 0 nell’approssimazione lineare.Inoltre
pfx
f qfy
fx y= ∂∂
=( ) = ∂∂
=( )
quindi, se f(x,y) possiede un estremo in (x,y)=(a,b), una condizione necessaria* è
f a b f a bx y, ,( ) = ( ) = 0
cioè
∂∂
( ) = ∂∂
( ) =fx
a bfy
a b, , 0
Massimo
Minimo
Punto di massimo
Piano tangente
z
x
y
0
z
x
y
0
z
x
y
0
Q
P
P
Poiché il piano tangente al grafico nei punti P o Q è parallelo al piano x-y, abbiamo
*Non è vero il contrario: anche se fx(a,b) = fy(a,b) = 0, f potrebbe non avere un estremo in (a,b). In altre parole, questa condizione serve per selezionare i candidati a essere dei punti estremanti.
Capitolo 6 LE DERiVATE PARZiALi!
201
Esempio
Troviamo il minimo di f(x,y) = (x − y)2 + (y − 2)2.Per prima cosa, facciamolo algebricamente: abbiamo quindi
x y y−( ) ≥ −( ) ≥2 20 2 0
f x y x y y,( ) = −( ) + −( ) ≥2 22 0
Sostituendo x = y = 2,
f 2 2 2 2 2 2 02 2
,( ) = −( ) + −( ) =
Da qui, vediamo che f(x,y) ≥ f(2,2) per tutte le coppie (x,y). In altre parole, f(x, y) nel punto (2,2), la funzione f ha un minimo, che vale 0.
D’altra parte, ∂∂
= −( )fx
x y2 e ∂∂
= −( ) −( ) + −( ) = − + −fy
x y y x y2 1 2 2 2 4 4 . Se poniamo
∂∂
= ∂∂
=fx
fy
0
e risolviamo il sistema di equazioni,
2 2 0
2 4 4 0
x y
x y
− =− + − =
troviamo nuovamente (x,y) = (2,2).
Nei punti di estremo di una fun-zione di due variabili, le deri-vate parziali nelle direzioni x
e y sono entrambe zero.
le due soluzionisono uguali!
condizioni per gli estremi
202 Capitolo 6 LE DERiVATE PARZiALi!
applicazioni all’economia
Paul Douglasera un senatore
dell’illinois elettoin parlamento dal
1949 al 1966.
Era stato un eco-nomista e nel 1927
si era posto il pro-blema della distri-
buzione del PiLtra capitale e
lavoro.
in quale modo?
Ci sono sostanzial-mente due modi per
dividere il Prodotto interno Lordo, cioè la produzione com-
plessiva di unpaese, tra i suoi
abitanti.
il primo è pagando gli stipendi!
il secondo è sotto for-ma di dividendi agli azio-nisti e beni strumentali, come apparecchiature e
macchinari.
203
f L K L K,( ) = −β α α1
Applicazionii all’economia
Douglas studiò il rap-porto tra lavoro e
quote di capitale negli Stati Uniti e scoprì che era rimasto costante
per circa 40 anni.
Circa il 70% (0,7) del PiL veniva distribuito sotto forma di retribuzione
del lavoro e il 30% (0,3) come dividendi azionari
ai proprietari.
Strano che questo rapporto non fos-se cambiato, con una situazione economica in continua trasfor-
mazione.
Ti piacerebbe sapere com’è fatta la funzio-ne f(L,K) che fornisce
un simile risultato, vero?
AncheDouglas era
perplesso, così si consultò col matema-
tico Charles Cobb.
La funzione che trovarono, fu la celebre funzione di Douglas-Cobb. L rappresenta il lavoro, K il capi-tale e β e α sono
costanti.
Funzione di Douglas-Cobb
Quindi adessoparleremo unpo’ del miostipendio?
Okay, è un’ottimaapplicazione delle fun-
zioni di due variabili.
204
Per prima cosa, supponiamo che gli stipendi si misurino in unità w, e il capitale in unità r. Ipotizziamo che la produzione del paese sia rappresentata dalla funzione f(L,K) e che il paese agisca in modo da massimizzare il prof-itto. L’utile (o profitto) P è allora dato dall’equazione:
P f L K wL rK= ( ) − −,
Siccome i valori di L e K vengono selezionati dall’attività d’impresa in modo da massimizzare P, otteniamo le seguenti condizioni per gli estremi:
∂∂
= ∂∂
=
= ∂∂
= ∂∂
−∂ ( )∂
−∂ ( )∂
= ∂∂
− ⇒ = ∂∂
= ∂∂
PL
PK
PL
fL
wL
L
rK
LfL
w wfL
PK
0
0
0 == ∂∂
−∂ ( )∂
−∂ ( )∂
= ∂∂
− ⇒ = ∂∂
fK
wL
K
rK
KfK
r rfK
u
v
Le relazioni all’estrema destra significano quanto segue:
w = stipendi = derivata parziale della funzione di produzione rispetto a L
r = quota di capitale = derivata parziale della funzione di produzione rispetto a K
Il compenso complessivo che la popolazione riceve è stipendi × lavoro = wL. Se questo valore rappresenta il 70% del PIL abbiamo
w wL f L K= ( )0 7, ,
Analogamente, l’introito complessivo incamerato dagli azionisti del capitale è
x rK f L K= ( )0 3, ,
Da u e w,
y ∂∂
× = ( )fL
L f L K0 7, ,
Da v e x,
z ∂∂
× = ( )fK
K f L K0 3, ,
Capitolo 6 LE DERiVATE PARZiALi!
205
Cobb determinò una f(L,K) che soddisfa queste equazioni:
f L K L K, , ,( ) = β 0 7 0 3
dove β è un parametro positivo che fotografa il livello tecnologico.Vediamo se soddisfa le condizioni.
∂∂
× =∂ ( )
∂× = ×
==
−( )fL
LL K
LL L K L
L K
ββ
β
0 7 0 30 3 0 3 1
0 7 0 3
0 7
0 7
0
, ,. .
, ,
,
,
,7
0 3
0 3
0 7 0 3
0 7 0 7 1
0
f L K
fK
KL K
KK L K K
L
,
,
,
, ,
, ,
,
( )
∂∂
× =∂ ( )
∂× = ×
=
−( )ββ
β 77 0 3
0 3
K
f L K
,
, ,= ( )
Applicazionii all’economia
Direi proprio di sì.
in questo modo, le deri-vate parziali svelarono una legge misteriosa
nascosta tra le pieghe dell’economia su larga scala che governa la ricchezza di un paese.
Dietro le quinte le derivate par-ziali si danno da
fare, eh?
206
funzione composta in più variabili
A pagina 14 abbiamo visto la regola per la derivata della funzione composta di funzioni di una variabile
y f x z g y z g f x
g f x g f x f x
= ( ) = ( ) = ( )( )( )( )′ = ′ ( )( ) ′ ( )
, , ,
Supponiamo che z sia una variabile delle due funzioni x e y, nella forma z=f(x,y), e che sia x che y siano funzioni di un’unica variabile t, nella forma x=a(t), y=b(t). Allora possiamo esprimere z come funzione dellasola variabile t.
La relazione avrà la forma
z f x y f a t b t= ( ) = ( ) ( )( ), ,
Cosa sarà allora dz—dt ?
Poniamo a(t0) = x0, b(t0) = y0 e f(x0, y0) = f(a(t0), b(t0)) = z0 per t = t0, e con-sideriamo solo intorni di t0, x0, y0, and z0.
Se trovassimo un α per cui
u z z t t− ≈ × −( )0 0α
Allora sarebbe un candidato per dz—dt (t0).
t
a
b
x
y
f z
Capitolo 6 LE DERiVATE PARZiALi!
funzione composta in più variabili
Ora ricaveremo la formula per le derivate parziali di funzioni compo-
ste in più variabili.
207
Intanto, dall’approssimazione di x = a(t),
v x xdadt
t t t− ≈ ( ) −( )0 0 0
Analogamente, per y = b(t),
w y ydbdt
t t t− ≈ ( ) −( )0 0 0
Ora, per la formula del differenziale totale di una funzione di due variabili, f(x,y),
x z zfx
x y x xfy
x y y y− ≈ ∂∂
( ) −( ) + ∂∂
( ) −( )0 0 0 0 0 0 0, ,
Sostituendo v e w in x,
y z zfx
x ydadt
t t tfy
x ydbdt
t t t− ≈ ∂∂
( ) ( ) −( ) + ∂∂
( ) ( ) −( )
= ∂
0 0 0 0 0 0 0 0 0, ,
ffx
x ydadt
tfy
x ydbdt
t t t∂
( ) ( ) + ∂∂
( ) ( )
−( )0 0 0 0 0 0 0, ,
Dal confronto tra u e y, ricaviamo
α = ∂∂
( ) ( ) + ∂∂
( ) ( )fx
x ydadt
tfy
x ydbdt
t0 0 0 0 0 0, ,
Che è quello che volevamo!Da cui la formula:
formula 6.1 – derivata della funzione composta
Se z f x y x a t y b t= ( ) = ( ) = ( ), , ,
dzdt
fx
dadt
fy
dbdt
= ∂∂
+ ∂∂
derivata della funzione composta
208 Capitolo 6 LE DERiVATE PARZiALi!
che ne dice se adesso facessi lezione io, Mr.
Seki?
Uh, okay. Sarà divertente
tornare die-tro i banchi.
Okay! Useremo una funzione in più varia-bili per studiare…
...un problemaambientale!
!
Supponiamo di avere una fabbrica che emette sco-rie come sottoprodotto della produzione di beni di consumo. Le scorie inquina-no il mare, provocando una
diminuzione della pesca.
impianto
Le ricadute di un’attività produttiva su altri settori,
senza transitare attra-verso il mercato, come in questo caso, vengono chiamate esternalità. in
particolare, le esternalità dannose, come l’inquina-
mento, sono detteesternalitànegative.
impianto
Supponiamo che x lavoratori producano una quantità f(x) di beni. Durante il processo produttivo, gli impianti rila-sciano scorie, con ricaduta sulla pescosità nell’area.
Sia b=b(f(x))la quantità discorie. Ora…
209Noriko sale in cattedra!
Supponiamo che il pescato sia espresso da una funzione di due variabili g(y, b) della quantità di lavoro y di scorie b.
(la pescosità diminuisce con l’aumento di b, quindi, ∂g—∂b
è negativa.)
Poiché dipende dalla variabile x nella forma g(y, b) = g(y, b( f(x)), la produzione dell’impianto influenza direttamente l’attività dell’industria ittica, senza passare per il mercato. Si tratta quindi di un’esternalità.
Per cominciare, vediamo cosa succede quando sia l’impianto industriale che il comparto dell’ittico agiscono (egoisticamente) unicamente per il proprio torna-conto. Se per entrambi il costo del lavoro è w, il prezzo del bene prodotto dall’im-pianto è p e il prezzo del pesce è q, l’utile per l’impianto è dato da
P x pf x wx1 ( ) = ( ) −L’industria vuole quindi massimizzare questa funzione, e le condizioni
per gli estremi sono
dPdx
pf x w pf x w1 0= ′ ( ) − = ⇔ ′( ) =
Sia s una soluzione dell'equazione:
pf s w′ ( ) =Questa s è quindi la quantità di lavoro utilizzata dall’impianto, la produ-
zione è f(s) e la quantità delle scorie è data da
b b f s* = ( )( )L’utile per l’industria ittica è dato da
P qg y b wy2 = ( ) −,
Siccome la quantità di scorie industriali è data da b* = b( f(s)),
P qg y b wy2 = ( ) −, *
che in pratica è una funzione in y di una sola variabile. Per massimizzare P2, imponiamo la condizione per gli estremi di una funzione di due variabili solo nella variabile y
∂∂
= ∂∂
( ) − = ⇔ ∂∂
( ) =Py
qgy
y b w qgy
y b w2 0, * , *
La quantità ottimale di lavoro t sarà quindi
qgy
t b w∂∂
( ) =, *
210
La produzione industriale e la quantità di pescato quando entrambi i settori agiscono liberamente secondo questo modello è data da f(s) e g(t,b*), rispettivamente, dove s e t soddisfano le condizioni
pf s w
b b f s qgy
t b w
′ ( ) =
= ( )( ) ∂∂
( ) =* , , *
P3 è una funzione di due variabili in x e y, perciò la condizione per gli estremi è data da
La prima derivata parziale si calcola così
∂∂
= ′ ( ) +∂ ( )( )( )
∂−
= ′ ( ) + ∂∂
( )( )( ) ′
Px
pf x qg y b f x
xw
pf x qgb
y b f x b f
3,
, xx f x w( )( ) ′ ( ) −
(abbiamo usato la regola della funzione composta)
∂∂
=∂∂
=Px
Py
3 3 0
Capitolo 6 LE DERiVATE PARZiALi!
Riassumendo
E adesso, Mr. Seki, verifichiamo se questo sia il risultato ideale per la società nel suo complesso. Pren-dendo in considerazione entrambi i
comparti, quello che vogliamo fare è massimizzare il profitto di entrambi.
P pf x qg y b f x wx wy3 = ( ) + ( )( )( ) − −,
211Noriko sale in cattedra!
Quindi,
∂∂
= ⇔ + ∂∂
( )( )( ) ′ ( )( )
′ ( ) =Px
p qgb
y b f x b f x f x w3 0 ,
Analogamente,
∂∂
= ⇔ ∂∂
( )( )( ) =Py
qgy
y b f x w3 0 ,
Se i valori ottimali del lavoro per il comparto ittico e per l’industria sono T ed S rispettivamente, soddisferanno le condizioni
p qgb
T b f S b f S f S w
qgy
T b f S w
+ ∂∂
( )( )( ) ′ ( )( )
′ ( ) =
∂∂
( )( )( ) =
,
,
Queste equazioni hanno un aspetto complicato ma in realtà solo solo equazioni simultanee in due variabili.
Se le confrontiamo con e , vediamo che e sono diverse, mentre e sono la stessa equazione. In che cosa sono diverse, allora?
p f s w
p f S w
× ′ ( ) =+( ) × ′ ( ) =
E come vedete, nell’espressione ha fatto la sua comparsa .
Dato che = ∂∂
′ ( )( )
qgb
b f S è negativo, p + è minore di p.
Quindi da e ricaviamo che f’(S) è maggiore di f’(s).
f(x)
xsS
Pendenza f ′ grande.
Pendenza f ′ piccola.
Supponiamo che il grafico
di f abbia que-sto andamento
Se i valori ottimali del lavoro per il comparto ittico e per l’industria sono T ed S rispettivamente, soddisferanno le condizioni
212
A beneficio della società, l’industria dovrebbe ridurrela produzione daS a s, nel caso diattività puramente
egoistica.
Se da un lato ilvantaggio sociale
raggiunge un massimo all’intersezione della curva della domanda e
dell'offerta*, che rappre-senta le attività egoistiche, questo non accade in pre-
senza di esternalità negati-ve, come per esempio
– in questo caso –l'inquinamento.
*come visto a pagina 105
Esistono quindimezzi praticabili per indurre l’a-zienda a ridurre spontaneamentela produzione
da S a s?in un’economia
pianificata, o socia-lista, il governo può costringere l’azienda a farlo
per legge.
Un altrostrumento è la
tassazione.
il governo tassa l’azienda propor-zionalmente alla
produzione.
Di solitosi parla di
tassa ambien-tale.
impianto
Tasse
Per porre rimedio al riscaldamento globale,
per esempio, si è discusso di una carbon tax sulle emissioni di carbonio.
Carbonio
Carbonio
impianto
Tasse
Tasse
Capitolo 6 LE DERiVATE PARZiALi!
213
− = − ∂∂
′ ( )( ) qgb
b f S
P x pf x wx f x1 ( ) = ( ) − − − ( )( )
∂∂
= ′ ( ) − + ′ ( ) = ⇔ +( ) ′ ( ) =Px
pf x w f x p f x w1 0
Supponiamo che la tassa sull’unità di bene pro-
dotto dalla fabbrica sia-
Questa è unacostante positiva.
Perciò il profitto , nel caso di attività EGOiSTiCHE, assume
questa forma:
La condizione per massimizzarlo è
Ora, e sono la stessa equazione e la produzione
massimizza il vantaggio sociale.
La tassazione ordi-naria (imposta sul reddito, sui consu-mi, eccetera) serve per gli investimenti
pubblici...
Una tassa ambienta-le è finalizzata alla tutela dell’ambiente attraverso il con-trollo dell’eco-
nomia.
Tutto chiaro, Mr. Seki?
Noriko sale in cattedra!
214
Sì...
Maestro.
La matematicaè bellissima.
Capitolo 6 LE DERiVATE PARZiALi!
215
Appartamento di Noriko, alcuni giorni dopo.
Fiuuu.
Direi che conle scatole hoquasi finito.
Eccoti qua,Noriko! incarico
Una lettera d’incarico...
anche per me? Non se ne va solo lei?
AncheFutoshi.
Gliel’ho già detto.
il giornaleha deciso di
chiudere la reda-zione di Sanda.
un nuovo incarico
SOGG I O RNO
CAME RA
DA L ET TO
216
Ti farannosapere presto
la tuadestinazione.
Non avrei mai pensato di an-dare a lavora-re a Okinawa.
TRASFERiMENTO
A OKiNAWA
Non sapevo neppure che a
Okinawa avessimo una redazione.
Un regalo per te. Usala per scrivere dei buoni servizi.
Capitolo 6 LE DERiVATE PARZiALi!
217
Serv
izio
: am
bie
nte
ed
eco
no
mia
Le scuse dellaBurnham Chemical L’inquinamento di Ox Bay
Imminente unaccordo con le
cooperativedei pescatori.
Addio...
un nuovo incarico
CUC INA
CUC INA
218
derivate delle funzioni implicite
Consideriamo i punti di coordinate (x,y) nei quali una funzione di due variabili f(x,y) assume il valore costante f(x,y)=c. Quando una parte di questi punti può essere vista come il grafico di una funzione di una singola variabile y=h(x), la h viene detta funzione implicita. Per una funzione implicita vale la relazione f(x,h(x))=c per tutti gli x per cui è definita. Ora cercheremo di ricavarla.Data z=f(x,y), per la formula dei differenziali totali abbiamo dz = fxdx +fydy. Nell’insieme dei valori (x,y) per cui f(x,y)=c il valore di f non cambia, l’incre-mento di z è 0 e quindi anche il suo differenziale dz=0. Abbiamo quindi 0=fxdx + fydy. Se richiediamo che fy ≠ 0, operando formalmente otteniamo
dydx
ffx
y
= −
Il membro sinistro è l’espressione formale dell’incremento di f diviso per quello di x nel punto (x,y). Per definizione, è la derivata di h in x. Quindi
′ ( ) = −h xffx
y
ESEMPio
f(x,y) = r2, dove f(x, y) = x2 + y2, rappresenta un cerchio di raggio r con centro nell’origine. In un intorno di un punto per cui x2 ≠ r2, possiamo risolvere l’equazione f(x, y) = x2 + y2 = r2 e determinare la funzione impli-cita y = h(x) = r2 − x2 oppure y h x r x= ( ) = − −2 2 . Poi, grazie alla formula, la derivata sarà data da
′ ( ) = − = −h xff
xy
x
y
Esercizi
1. Ricavare fx e fy per f(x, y) = x2 + 2xy + 3y2.
2. Data l’accelerazione gravitazionale g, il periodo T di un pendolo di lun-ghezza L è dato da by
TLg
= 2≠
(l’accelerazione gravitazionale g varia a seconda della distanza dal suolo).Ricavare l’espressione per il differenziale totale di T.Se L aumenta dell’1% e g diminuisce del 2%, di quale percentuale aumen-terà T?
3. Usando la regola della funzione composta, ricavare in maniera diversa il differenziale della funzione implicita h(x) di f(x,y)=c.
Capitolo 6 LE DERiVATE PARZiALi!
219
Epilogo. A cosa serve la matematica?
220
Aeroporto Naha Fiuuu, che caldo!
Dovunque mi man-dino, farò sempre del mio meglio.
Vediamo, dov’è la redazione dell’Asagake
Times?
epilogo
221a cosa serve la matematica?
Redazione di Okinawa dell’Asagake Times.
Questa situazione non mi è per niente
nuova!
TU?!?
Non sarai mica tu il
redattore capo,
vero?!?
Ci manche-rebbe! An-ch’io sono appena arri-vato dall’ae-
roporto.
Oh,stupendo!
Ma non sei qui
da abbastanza tem-
po per metterti a
dormire!! Razza di
pigrone!
iiik!
Chi è il responsa-bile della reda-
zione?
trot
trot
G o n n n g !
222 epilogo
Mi scusi, sa dov’è il respon-
sabile?
Oh, non fa altro che nuotare.
Sei arrivata!
Pat
Pat
Pat
223a cosa serve la matematica?
Mr. Seki!!! Mr. Seki!!
Ho deciso di trascorrere un altro anno in un posto caldo a
pensare alle mie cose.
Wow!Mangerò tutta
Okinawa!
Ho scoperto a cosa serve la matematica, Mr.
Seki!
Davvero?
224 epilogo
Serve a esprimere quello che non può essere detto con
le parole.
Molto bene, Noriko, supponiamo che l’o-rizzonte sia l’asse
delle x... Cosa?! Cosa c’è per cena? Mmm... gli spaghetti vanno
benissimo.
Domani sarà un’altra giornata
meravigliosa.
Eh eh eh
225
ASoluzione degli esercizi
Prologo
1. Sostituendo
y x z y z x= −( ) = − = −( ) −59
32 7 30359
32 30in ,
Capitolo 1
1. a. f(5) = g(5) = 50 b. f ′(5) = 8
2. lim lim lim
li
e e e
ee
ee
e e ee→ → →
+( ) − ( )=
+( ) −= + +
=
0 0
3 3
0
2 2 33 3f a f a a a a a
mme
e e→
+ +( ) =0
2 2 23 3 3a a a
Perciò la derivata di f(x) è f′(x) = 3x2.
Capitolo 2
1. La soluzione è
′ ( ) = −( )′( )
= − = −−
+f xx
x
nxx
nx
n
n
n
n n2
1
2 1
soluzione degli esercizi
A SOLUZiONi DEGLi ESERCiZi
226
2. ′ ( ) = − = −( ) +( )f x x x x3 12 3 2 22
Per x < −2, f ′(x) > 0, per −2 < x < 2, f ′(x) < 0, e per x > 2, f ′(x) > 0. Quindi per x = −2, abbiamo il massimo f(−2) = 16, e in x = 2, il minimo f(2) = −16.
3. Poiché f(x) = (1 − x)3 è una funzione g(h(x)) composta di g(x) = x3 e h(x) = 1 − x abbiamo.
′ ( ) = ′ ( )( ) ′ ( ) = −( ) −( ) = − −( )f x g h x h x x x3 1 1 3 12 2
4. Derivando g(x) = x2(1 − x)3 otteniamo
′ ( ) = ( )′ −( ) + −( )( )′= −( ) + − −( )( )= −( )
g x x x x x
x x x x
x x
2 3 2 3
3 2 2
1 1
2 1 3 1
122
2
2 1 3
1 2 5
025
1 1 0
−( ) −( )= −( ) −( )′ ( ) = = ( ) =
x x
x x x
g x x x gquando o , e .=
Ha quindi il massimo g x25
1083125
25
= =in
CAPitolo 3
1. Le soluzioni sono
u 3 3 1 262
1
3 3
1
33 3x dx x∫ = = − =
v x
xdx x
xdx xdx
xdx
3
22
4
22
4
22
4
2
4
2 2
1 1 1
12
4 21
+ = +
= +
= −( ) −∫ ∫ ∫∫
4424
254
−
=
w x x dx x x dx xdx+ +( ) + − +( ) = = − =∫ ∫ ∫1 1 2 5 0 252
0
5 72
0
5 72 2
0
5
appendice a
227
a. L’area tra il grafico di y = f(x) = x2 − 3x e l’asse delle x è data da
− −∫ x xdx2
0
33
b. − − = − −
= − −( ) + −( ) =∫ x xdx x x2
0
3 3 2
0
33 3 2 23
13
32
13
3 032
3 092
capitolo 4
1. La soluzione è
tansencos
sen cos sen cos
cos
cos
xxx
x x x x
x
x
( )′ =
′=( )′ − ( )′
=
2
2 + =sencos cos
2
2 2
1xx x
2. Poiché
tancos
costan tan
xx
xdx
( )′ =
= − =∫
1
14
0 1
2
20
4≠ ≠
3. Da
′ ( ) = ( )′ + ( )′ = + = +( )f x x e x e e xe x ex x x x x1
il minimo è
fe
−( ) = −11
4. Ponendo f(x) = x2 e g(x) = ln x, integrando per parti.
x xdx x x dx e ee e2
1
2
1
2 1( )′ + ( )′ = −∫ ∫ln ln ln ln
soluzione degli esercizi
2.
L’area tra il grafico di y=f(x)=x2-3x e l’asse delle x è data da
228
Da cui,
21
1
2 2
1x xdx x
xdx e
e eln + =∫ ∫
212
1
12
1
2
1
2 2 2
2
x xdx xdx e e e
e
e eln = − + = − −( ) +
=
∫ ∫ ++ 1
2
capitolo 5
1. Per
f x e f x e f x e f x e
f f
x x x x( ) = ′ ( ) = − ′′ ( ) = ′′′ ( ) = −
( ) = ′ (
− − − −, , ,
,
0 1 0)) = − ′′ ( ) = ′′′ ( ) = −
( ) = − + − +
1 0 1 0 1
112
13
2 3
, , ...
! !...
f f
f x x x x
2. Deriviamo
f x x f x x x
f x x x
( ) = ( ) ′ ( ) = ( )′′ ( ) = ( ) ( ) +
− −
−
cos , cos sen
cos sen co
1 2
3 22 s cos
cos sen cos
x x
x x x
( )= ( ) ( ) + ( )
−
− −
2
3 2 12
Da cui f f f0 1 0 0 0 1( ) = ′ ( ) = ′′ ( ) =, ,
3. Procedere esattamente come a pagina 155, derivando più volte f(x). Poiché lo sviluppo è centrato in x = a, sostituendo a troverete i cn. Dovete ritrovare cn = 1/n! f (n)(a), come nella formula di pagina 159.
appendice a
229
Capitolo 6
1. Per f(x, y) = x2 + 2xy + 3y2, fx = 2x + 2y, e fy = 2x + 6y.
2. Il differenziale totale di
TLg
g L= =−
2 212
12π π
è dato da
dTTg
dgTL
dL g L dg g L dL= ∂∂
+ ∂∂
= − +− − −
π π32
12
12
12
Perciò,
∆ ≈ − ∆ + ∆− − −
T g L g g L Lπ π32
12
12
12
Sostituendo Δg = −0,02g, ΔL = 0,01L, abbiamo
∆ ≈ +
= = =
− − −
−
T g L g g L L
g LT
T
0 02 0 01
0 03 0 032
0 015
32
12
12
12
12
12
, ,
, , ,
π π
π
Quindi T aumenta dell’1,5%.
3. Supponiamo che y = h(x) sia la funzione implicita di f(x, y) = c.
4. Poiché il membro destro è costante per tutti i valori di (x,y) in esame, in un intorno di x abbiamo f(x,h(x))=c.
dfdx
dfdx
f f h xx y= = + ′ ( ) =0 0,
Perciò
′ ( ) = −h xffx
y
soluzione degli esercizi
Per la formula della funzione composta
230
231
Bprincipali formule, teoremi e funzioni
che trovate in questo libro
equazioni lineari
L’equazione di una retta di pendenza m passante per il punto (a,b):
y m x a b= −( ) +
derivazione
coefficienti di derivazione
′ ( ) = +( ) − ( )→
f af a h f a
hhlim
0
Derivata
′ ( ) = +( ) − ( )→
f xf x h f x
hhlim
0
Altri simboli per la derivata
dydx
dfdx
ddx
f x, , ( )
derivata del prodotto per una costante
α αf x f x( ){ }′ = ′ ( )
DERiVATA DELLA POTENZA N-ESiMA
x nxn n{ }′ = −1
232
DERiVATA DELLA SOMMA
f x g x f x g x( ) + ( ){ }′ = ′ ( ) + ′ ( )
derivata del prodotto
f x g x f x g x f x g x( ) ( ){ }′ = ′ ( ) ( ) + ( ) ′ ( )
derivata del quoziente
g x
f x
g x f x g x f x
f x
( )( )
′=
′ ( ) ( ) − ( ) ′ ( )( ){ }2
Derivata della funzione composta
g f x g f x f x( )( ){ }′ = ′ ( )( ) ′ ( )
derivata della funzione inversa
Con y = f(x) e x = g(y)
′ ( ) = ′ ( )g yf x
1
Estremi
Se y=f(x) ha un massimo o un minimo in x=a, allora f’(a)=0 Se f’(a)>0, allora y=f(x) aumenta in un intorno di x=aSe f’(a)<0, allora y=f(x) diminuisce in un intorno di x=a
Teorema del valor medio
Dati a, b (a < b), allora esiste c con a < c < b, e tale che
f b f c b a f a( ) = ′ ( ) −( ) + ( )
derivate di funzioni importantifunzioni trigonometriche
cos sen , sen cosθ θ θ θ{ }′ = − { }′ =
appendice b
233
funzioni esponenziali
e ex x{ }′ =
funzioni logaritmiche
log xx
{ }′ = 1
integrali
integrali definiti
Se F′(x) = f(x)
f x dx F b F aa
b ( ) = ( ) − ( )∫
integrazione sull’unione degli intervalli
f x dx f x dx f x dxa
b
b
c
a
c( ) + ( ) = ( )∫ ∫ ∫
integrale della somma
f x g x dx f x dx g x dxa
b
a
b
a
b( ) + ( ){ } = ( ) + ( )∫ ∫ ∫
integrale del prodotto per una costante
α αf x dx f x dxa
b
a
b( ) = ( )∫ ∫
integrale per sostituzione
Se x = g(y), b = g(β ), a = g(α )
f x dx f g y g y dya
b ( ) = ( )( ) ′ ( )∫ ∫αβ
integrale per parti
′ ( ) ( ) + ( ) ′ ( ) = ( ) ( ) − ( ) ( )∫ ∫f x g x dx f x g x dx f b g b f a g aa
b
a
b
principali formule teoremi e funzioni che trovate in questo libro
234
Sviluppi di taylor
Se f(x) ammette uno sviluppo di Taylor in un intorno di x = a, allora
f x f a f a x a f a x a
f a x a
( ) = ( ) + ′ ( ) −( ) + ′′ ( ) −( )
+ ′′′ ( ) −( ) +
11
12
13
2
3
! !
!....
!...+ ( ) −( ) +( ) ( )1
nf a x an n
sviluppo di taylor di varie funzioni
cos! !
...!
...
sen! !
x x xn
x
x x x x
n n= − + + + −( ) ( ) +
= − +
112
14
11
2
13
15
2 4 2
3 55 1 2 1
2 3 4
11
2 1
111
12
13
14
+ + −( )−( ) +
= + + + +
− −...!
...
! ! ! !
n n
x
nx
e x x x x ++ + +
+( ) = − + − + + −( ) ++
...!
...
ln ... ..
1
112
13
14
112 3 4 1
nx
x x x x xn
x
n
n n ..
derivate per funzioni di più variabili
Derivate parziali
∂∂
=+( ) − ( )
∂∂
=+( ) − ( )
→
→
fx
f x h y f x y
h
fy
f x y k f x y
k
h
k
lim, ,
lim, ,
0
0
differenziali totali
dzzx
dxzy
dy= ∂∂
+ ∂∂
derivata parziale della funzione composta
Se z = f(x, y), x = a(t), y = b(t)
dzdt
fx
dadt
fy
dbdt
= ∂∂
+ ∂∂
appendice b
indice
Aalgebra, 74, 173, 201antitrust (leggi), 44,
46–47, 52, 58approssimare le
funzioni lineari, 26, 30, 34, 39, 41, 65, 72, 111, 161
approssimazione - con le funzioni, 16–26,
48- cubica, 161–162- lineare, 161- quadratica, 152,
161–162, 174, 178- valore esatto, 89–94
Bballo dell'analisi,
128–129binomiale, - distribuzione, 167–169- sviluppo, 150bit, 131–132
Ccalcolo, teorema
fondamentale del. (v. teorema fondamentale del calcolo)
causalità, 8, 13, 14causa ed effetto, 181convergenza (intervallo
di), 154, 159circonferenza, 24,
119–120Cobb-Douglas, - funzione di, 183, 203coefficienti, 35, 49, 72,
75, 76, 112, 155, 175- differenziali di, 39–40,
49, 231
computer, bit, 131–132condizioni per gli
estremi, 64, 199–201 (v. anche punti estremanti)
conversioni unità di misura, 13
costante (moltiplicazione per una), 62, 76, 231, 233
costante di Eulero, 137n
costante positiva, 213coseno,- funzioni, 118, 122–129criteri per funzioni
crescenti o decrescenti, 65–71
cubica, - approssimazione,
161–162- funzione, 150curva della domanda,
101, 103–105, 212curva dell'offerta, 101,
102–103, 105, 212
Ddeflazione, 19–20delta (simbolo), 91domanda (curva della),
101, 103–105, 212densità (funzione di),
108, 166densità costante, 82–86derivata di una potenza,
142derivata di un prodotto,
53–59, 62, 74, 143, 232
derivate,- calcolo delle, 39–41,
75, 76, 231- definizione di, 39
- di funzioni di grado N, 62–63, 155, 231
- primitive, 90, 112, 143derivate parziali, 193,
195–198, 201, 204, 210, 234
- cenni introduttivi, 191–198
- condizioni per gli estremi, 199–201
- definizione, 196–198- differenziale totale,
197–198, 207, 218, 229, 234
- di funzioni implicite, 218
- di funzioni composte, 142, 206–211, 218, 229, 234
- economia (applicazioni in), 202–205
derivazione,- coefficienti di, 39–40,
49, 231- formule di, 74–76,
231–232- funzione composta
(derivata della), 75, 76, 142, 206–211, 218, 229, 234
- funzione di grado N (derivate di), 62–63, 155, 231
- funzioni inverse, 75, 76
- integrale di funzioni trigonometriche, 128, 129, 232
- moltiplicazione per una costante, 62, 76, 231, 233
- polinomi (derivata dei), 62
236 indice
- potenza (derivata di), 142
- prodotto (derivata di), 53–59, 62, 74, 143, 232
- punti estremanti, 64, 78, 102, 103n, 199–201, 200n, 204, 209–210, 213, 232
- quoziente (derivata di) 74, 76
- somma (derivata di) 47, 48–52, 62, 76, 232
deviazione standard, 169–170
differenziali totali, 197–198, 207, 218, 229, 234
distribuzione- binomiale, 167–169- normale, 166–168,
175, 176domanda.- curva della, 101,
103–105, 212- e offerta, 55, 101, 104
Eeconomia, 101, 132–
133, 183, 202–205errore relativo, 27–30,
35, 39, 41, 192–195, 194n
esercizi- calcolare le derivate,
41- derivate parziali, 218- formule delle derivate,
76- funzioni (sostituzione
di), 14- integrali, 113, 144- soluzioni, 225–229- sviluppo di Taylor, 178
Fformule e regole (v.
anche teoremi),- approssimazione
quadratica, 161–162, 174, 178
- derivata della somma, 47, 48–52, 62, 76, 232
- derivate delle funzioni composte, 142, 206–211, 218, 229, 234
- derivate di funzione di grado N, 62–63, 155, 231
- derivata di un prodotto, 53–59, 62, 74, 143, 232
- derivata di un quoziente, 74, 76
- derivata di una potenza, 142
- di derivazione, 74–76, 231–232
- funzione composta, 75, 76
- funzioni esponenziali, 133–135, 140–141, 160, 233, 234
- funzioni inverse, derivate di, 75, 76
- funzioni logaritmiche, 134, 140, 160, 233, 234
- integrale di una potenza, 112
- integrali, 95, 106–107, 111–112
- integrali della somma, 95, 233
- integrali definiti, 233- integrazione per parti,
143–144, 233- integrazione per
sostituzione, 111–112, 233
- moltiplicazione per una costante, 62, 76
- sviluppo binomiale, 150
- sviluppo di Taylor, 159, 234
- funzioni trigonometriche (derivate e integrazioni di), 128, 129, 232
funzioni, 32–38, 183–185, 191–192, 200, 206, 207, 209–211, 218.
(v. anche funzioni a due variabili; funzioni esponenziali; funzioni lineari; funzioni logaritmiche; funzioni trigonometriche)
- approssimare con, 16–26
- approssimate lineari, 26, 30, 34, 39, 41, 65, 72, 111, 161
- caratteristiche di, 13- cenni introduttivi,
8–14- Cobb-Douglas, 183,
203- complesse in più
variabili, 184, 191- composizione di, 14- composte, 75, 76- coseno, 118, 122–129- costanti, 40, 65- cubica, 150- curva della domanda,
101, 103–105, 212- curva dell'offerta, 101,
102–103- densità, 108, 166- di distribuzioni, 108
237
- di grado N, 62–63, 155, 231
- di più variabili, 180–183, 206, 208
- esponenziali, 13, 131–132, 140–141, 160, 233, 234
- implicite, 218- inverse, 75, 76, 134,
138–141, 138n, 232- lineari approssimanti,
39, 87, 88, 150–151, 184, 192, 194–195, 194n, 197, 200
- logaritmiche, 131, 134–135, 140–141, 160, 233, 234
- quadratica, 40, 150, 151–153
- seno, 127–129funzioni a due variabili,
183–185, 191–192, 200, 206, 207, 209–211, 218
funzioni esponenziali, 13, 131–132, 140–141, 160, 233
- sviluppo di Taylor, 160, 234
funzioni lineari - a due variabili, 184–
187, 190–192- a più variabili, 184,
191- approssimare, 39, 87,
88, 150–151, 184, 192, 194–195, 194n, 197, 200
- approssimate, 30, 34, 39, 41, 65, 72, 111
- calcolare la derivata di, 40
- cenni introduttivi, 13, 34, 39–41
- variabili, 184–192
funzioni logaritmiche, 131, 134–135, 140–141, 160, 233, 234
- sviluppo di Taylor delle, 160, 234
funzioni trigonometriche
- derivazione e integrazione di, 128, 129, 232
- integrali con, 125- sviluppo di Taylor di,
160, 234- utilizzo di, 116,
118–124
Ggas serra, 79–81
Iinfinito - polinomi di ordine,
153–154, 159- tendere a, 168integrali (formule), 95,
106–107, 233integrali- definiti, 93, 95, 108,
111, 113, 154, 233- di funzioni
trigonometriche (derivazione e integrazione di), 128, 129, 232
- di potenze, 112- di somme, 95, 233- formule di, 233integrazione - per parti, 143–144, 233- per sostituzione,
111–112, 233intervallo di
convergenza, 154, 159
inversa
- funzione, 75, 76, 134, 138–141, 138n, 232
- proporzione, 139
Lleggi antitrust, 44,
46–47, 52, 58lineare - approssimazione, 161- equazioni, 231- espressioni, 20, 26- funzione (v. funzioni
lineari)log (simbolo), 134logaritmo naturale, 140,
141
Mmassimi/minimi,
64–65. (v.anche punti estremanti)
monopolio, 54–58
Oofferta- curva della, 101,
102–103, 105, 212- e domanda, 55, 101,
104
Ppendenza, 26, 39–40,
72–73, 186–187, 192–193, 211, 231
polinomi- derivata dei, 62- di ordine infinito,
153–154, 159- di ordine superiore,
153, 175potenza (integrale di
una), 112primitive, 90, 112, 143probabilità
(distribuzione delle), 165–168, 177
indice
238 indice
prodotto (derivata del), 53–59, 62, 74, 143, 232
prodotto interno lordo (PIL), 202
proporzioni proporzioni, 139
punti estremanti, 64, 78, 102, 103n, 200n, 204, 209–210, 213, 232
- condizioni per il teorema, 64, 199–201
- massimo/minimo, 64–65
Qquadratica - approssimazione, 152,
161–162, 174, 178- funzione, 40, 150,
151–153quoziente (derivata di
un), 74, 76
Rradiante, 119–120, 124radice quadrata, 107- sviluppo di Taylor di,
160, 234regole. (v. formule e
regole)relazione, 9–10, 13, 89,
134, 181, 206
Sseno (funzioni),
127–129sigma (simbolo), 91-92somma - derivata della, 47,
48–52, 62, 76, 232- integrale della, 95, 233sostituzione
(integrazione per), 111–112, 233
sviluppo binomiale, 150sviluppo di Taylor- cenni introduttivi,
149–156, 161–162- come ricavarlo, 155- della radice quadrata,
160, 234- di funzioni
esponenziali, 160- di funzioni
logaritmiche, 160, 234
- di funzioni trigonometriche, 160, 234
- formule di, 159, 234
Ttangenti (linee), 34, 40,
72n, 73, 126, 161tasse ambientali, 212tasso di variazione, 40Taylor (sviluppo di),- cenni introduttivi,
149–156, 161–162- come ricavarlo, 155- della radice quadrata,
160, 234- di funzioni
esponenziali, 160- di funzioni
logaritmiche, 160, 234
- di funzioni trigonometriche, 160, 234
- formule di, 159, 234teorema fondamentale
del calcolo- applicazioni, 101–108- spiegazione, 82–90- riassunto del, 110–112- utilizzi, 91–93,
142–144teoremi
- condizioni per punti estremanti, 64, 199–201
- criteri per funzioni crescenti o decrescenti, 65–71
- punti estremanti, 64, 78, 102, 103n, 199–201, 200n, 204, 209–210, 213, 232
- valor medio, 72–73, 94, 232
termini di ordine superiore, 153
Uunità di misura
(conversioni), 13
Vvalor medio (teorema
del), 72–73, 94, 232variazione, 27, 29velocità, 105, 106–107,
183
Xx (asse delle), 86, 93,
94, 108, 110, 113, 124, 224, 227
xn (potenza), 76
iL BAllO DEllE DERiVATE E DEGLi iNTEGRALi PER LE FUNZiONi TRiGONOMETRiCHE
Potrà sembrarvi pedan-tino e poco praticabile ma con questa canzone
diventerà facile!
Seno e coseno sono come un vortice! Di de-rivate e integrali sarò
l’ambasciatrice!
Da seno a coseno con la derivata!
Da coseno e seno con l’integrale!
Seno e coseno sono come un vortice, è così naturale!
Lo dice il calcolo inte-grale e differenziale.
L’AUTORE
Hiroyuki Kojima è nato nel 1958 e ha conseguito un dottorato di ricerca in Economia presso l’Università di Tokyo.È stato un apprezzato conferenziere e ora è Professore Associato presso la Facoltà di economia dell’Università Teikyo di Tokyo.È un economista di fama e un saggista prolifico, con al suo attivo un gran numero di pubblicazioni di matematica ed economia a livello base, divulgativo e accademico.