BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TÔN NỮ LÊ DIỆU THẢO

PHẦN MỀM TOÁN HỌC MAPLE VÀ ỨNG DỤNG NGHIÊN CỨU

ĐA THỨC NỘI SUY

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60. 46. 01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Phản biện 1: TS. Lê Hải Trung Phản biện 2: PGS. TS. Huỳnh Thế Phùng

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 27 tháng 6 năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại: − Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng − Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài

Toán học có vai trò rất quan trọng, là môn học nền tảng cho các môn học khác: Vật lý, hóa học hay trong các bài toán kinh tế… Nhưng việc dạy và học Toán là không phải dễ dàng. Vậy phải làm sao để dạy và học môn Toán có hiệu quả hơn. Trong giai đoạn hiện nay, có phần mềm Toán trong việc hỗ trợ dạy và học Toán trở nên phổ biến như Maple, Sketchpat…

Maple là một phần mềm Toán do Đại học Tổng hợp Waterloo (Canada) xây dựng và đưa vào sử dụng năm 1985. Maple hổ trợ cho cả tính toán số và tính toán hình thức, cũng như hiển thị. Với khả năng tính toán, minh họa trực quan, Maple có khả năng lập trình, các gói lệnh tự học gắn liền với toán phổ thông và đại học. Do đó, lập trình Maple là một công cụ rất tốt giúp cho người học và người dạy thuận lợi hơn. Đây là một phần mềm đa dạng và sẽ giúp ích nhiều trong quá trình dạy và học. Vì vậy, dưới sự hướng dẫn của thầy Trần Quốc Chiến, tôi chọn “ Phần mềm toán học Maple và ứng dụng nghiên cứu đa thức nội suy” làm đề tài nghiện cứu cho luận văn thạc sĩ khoa học của mình.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài: “Phần mềm toán học Maple và ứng dụng nghiên cứu đa thức nội suy” nhằm mục đích góp phần thực hiện chủ trương ứng dụng công nghệ thông tin để nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán. Hệ thống hóa lại các kiến thức về Đa thức nội suy và ứng dụng của Maple trong Đa thức nội suy.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng nghiên cứu: Đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newton và ứng dụng của chúng trong phần mền toán học maple. 3.2. Phạm vi nghiên cứu: Các khái niệm, định lý liên quan đến đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newtơn và phần mền toán học maple.

4. Phương pháp nghiên cứu Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu ( sách, báo và các tài liệu trên internet có liên quan đến đề tài luận văn ) để thu thập thông tin

2

nhằm hệ thống lại các vấn đề một cách lôgic, tìm hiểu cách sử dụng phần mền toán học maple và tìm hiểu các bài toán, các ví dụ minh họa.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Làm rõ các nghiên cứu đã có, tìm hiểu sâu hơn về phần mềm maple và các ứng dụng của nó. Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy.

6. Cấu trúc của luận văn: Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành ba chương : Chương 1: Phần mềm maple Chương này trình bày cách sử dụng phần mềm Maple, các câu lệnh toán tử, hàm, hằng, các phép toán cơ bản và các hàm dùng để tìm đa thức nội suy. Chương 2: Đa thức nội suy Chương này trình bày các định nghĩa, tính chất, định lý, ví dụ về đa thức nội suy lagrange, sai số của đa thức nội suy, sai phân và đa thức nội suy newtơn. Chương 3: Ứng dụng phần mềm Maple trong Đa thức nội suy Chương này trình bày một số ứng dụng của phần mềm Maple để tìm các đa thức nội suy lagrange và đa thức nội suy newtơn.

CHƯƠNG 1 PHẦN MỀM MAPLE

1.1. CÁC THAO TÁC ĐẦU TIÊN

1.1.1. Nhập các biểu thức Maple cho phép nhập ba loại dữ liệu là lệnh, công thức và văn bản. Mỗi lệnh trong Maple phải kết thúc bằng dấu (:) hoặc dấu (;). Để thực hiện lệnh đó ta nhấn Enter. Nếu lệnh được kết thúc bằng dấu (;) thì kết quả sẽ được hiển thị trên màn hình. Nếu lệnh được kết thúc bằng dấu (:) thì kết quả sẽ không hiển thị trên màn hình.

1.1.2. Tập ký tự Bao gồm bảng chữ cái tiếng Anh (kể cả chữ hoa và chữ

3

thường) Chữ số: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Chú ý: Maple phân biệt chữ hoa và chữ thường.

1.1.3. Toán tử, hàm và hằng 1.1.4. Tính toán các giá trị thập phân của biểu thức

1.2. PHÉP GÁN VÀ TÍNH TOÁN 1.2.1. Biến 1.2.2. Phép gán 1.2.3. Biến tự do và biến ràng buộc

1.3. CÁC HÀM TÍNH TOÁN 1.3.1. Tính toán trên số nguyên 1.3.2. Tính toán trên biểu thức

1.4. ĐỐI TƯỢNG TRONG MAPLE 1.4.1. Các biểu thức cơ bản

a. Kiểu +, * và ^ Các biểu thức gồm các hằng hữu tỉ, biến và các toán tử +, -, *, / và ^ được chia thành ba kiểu cơ bản như sau. Kiểu +: là các biểu thức dạng , ,x y x y x y z+ − + − với , ,x y z là các biểu thức. Kiểu *: là các biểu thức dạng * , * * , * /x y x y z x y z với

, ,x y z là các biểu thức.

Kiểu ^ : là các biểu thức dạng ,1 /x y x∧ với ,x y là các biểu thức. b. Các hàm whattype, op, nops Hàm ( )whattype expr : trả về kiểu biểu thức expr .

Hàm ( )op expr : trả về dãy các thành phần của biểu thức expr .

Hàm ( )nops expr : trả về các số lượng các thành phần của biểu

thức expr .

Hàm ( ),op n expr : trả về thành phần thứ n của biểu thức expr .

Hàm ( )0,op expr : trả về kiểu của biểu thức expr .

4

c. Kiểu hàm Hàm ( )0,op expr : trả tên hàm f .

1.4.2. Biểu thức dãy Hàm ( ).. ,op a b expr : trả về dãy các thành phần thứ a đến thành

phần thứ b của biểu thức expr .

[ ]s i trả về thành phần thứ i của dãy s .

[ ]..s a b trả về dãy thành phần a đến thành phần thứ b của dãy s .

1.5. GIẢI TÍCH 1.5.1. Giới hạn a. Giới hạn của biểu thức

Cho biểu thức p và tham số x .

Hàm ( ),limit p x a= : Trả về giới hạn của p khi x tiến đến a .

Hàm ( ), ,limit p x a right= : Trả về giới hạn của p khi x tiến đến

a bên phải. Hàm ( ), ,limit p x a left= : Trả về giới hạn của p khi x tiến đến a

bên trái. Hàm ( ),limit p x infinity= : Trả về giới hạn của p khi x tiến +∞ .

Hàm ( ),limit p x infinity= − : Trả về giới hạn của p khi x tiến −∞ .

Hàm ( ), ,limit p x infinity real= : Trả về giới hạn của p khi x

tiến +∞ . Hàm ( ),Limit p x a= : Trả về biểu thức giới hạn.

Hàm ( )...value : Tính giá trị giới hạn.

b. Giới hạn của biểu thức phụ thuộc vào tham số Hàm assume (<điều kiện>): thiết lập điều kiện đối với tham số.

c. Giới hạn của hàm Hàm ( )( ),limit f x x a= : trả về giới hạn của hàm ( )f x khi x

5

tiến đến a .

Hàm ( )( ),Limit f x x a= …: trả về biểu thức giới hạn.

Hàm ( )...value : tính giá trị giới hạn.

1.5.2. Đạo hàm a. Đạo hàm của biểu thức một biến

Cho biểu thức p tham số x .

Hàm ( ),diff p x : trả về đạo hàm của p theo x .

Hàm ( ),Diff p x : trả về biểu thức đạo hàm của p theo x .

Hàm ( )...value : trả về giá trị đạo hàm của p theo x .

Hàm ( ), $diff p x n : trả về đạo hàm bậc n của p theo x .

Hàm ( ), $Diff p x n : trả về biểu thức đạo hàm bậc n của p

theo x . Hàm ( )...value : trả về giá trị đạo hàm của p theo x .

b. Đạo hàm riêng của biểu thức nhiều biến Cho biểu thức p và tham số 1, 2,...,x x xn .

Hàm ( ), 1, 2,...,diff p x x xn : trả về đạo hàm riêng bậc n của p

theo 1x , 2x ,…, xn . Hàm ( ), 1, 2,...,Diff p x x xn : trả về biểu thức đạo hàm riêng bậc

n của p theo 1x , 2x ,…, xn . c. Đạo hàm của hàm một biến

Cho hàm f biến x .

Hàm ( )D f : trả về đạo hàm 'f của f theo x .

Hàm ( ),unapply p x : chuyển biểu thức p về dạng hàm theo

biến x . Hàm ( )( )@@D n f : trả về đạo hàm bậc n của f theo x .

6

1.5.3. Đồ thị hàm số a. Hàm 1 biến

Đồ thị 2D. Cú pháp: ( )( ), ..plot f x x a b= hoặc ( ), ..plot f a b .

Nếu không khai báo miền giá trị của x thì Maple mặc định là

[ ]10,10− .

b. Hàm 2 biến Đồ thị 3D. Cú pháp: ( )3 , .. , ..plot d f x a b y c d= = .

1.5.4. Tính tổng và tích a. Tính tổng

Cho hàm ( )f k tham số k .

Hàm ( )( ),sum f k k : trả về tổng bất định

( )(1) (2) ...f f f k+ + + .

Hàm ( )( ),Sum f k k : trả về biểu thức tổng bất định ( )f k∑ .

Hàm ( )...value : tính giá trị biểu thức.

b. Tính tích Cho hàm ( )f k tham số k , số nguyên m , n .

Hàm ( )( ), ..product f k k m n= : trả về tích ( ) ( ) ( ). 1 ...f m f m f n+ .

Hàm ( )( ), ..Product f k k m n= : trả về biểu thức tích ( )n

k mf k

=∏ .

Hàm ( )...value : tính giá trị biểu thức.

1.6. LẬP TRÌNH TRONG MAPLE 1.6.1. Chương trình trong maple a. Nhập dữ liệu từ bàn phím

Hàm ( )'' ''readstat prompt< > : hiện dấu nhắc prompt< > trả

về dự liệu nhập từ bàn phím.

7

b. Xuất dữ liệu ra màn hình Hàm ( )1, 2,...print data data hiện thỉ dữ liệu ra màn hình. Lưu

ý: xâu ký tự đặt trong dấu ‘’. Chương trình là tập hợp nhiều lệnh thực hiện một công việc phức tạp. Để tạo chương trình trong maple ta có thể làm theo các cách sau

c. Gộp lệnh sau (1) Viết và thực hiện từng lệnh, (2) Đánh dấu (bôi đen) các lệnh rồi (3) ghép các lệnh lại thành chương trình bằng thực hiện các lệnh thực đơn Edit\Split or Join\Join Execution Groups ( phím tắt F4). Để thực hiện chương trình, đưa con trỏ vào bất cứ chỗ nào trong đoạn chương trình và gõ ENTER.

d. Gộp lệnh trước Viết các lệnh kế tiếp nhau nhưng không thực hiện, sử dụng tổ hợp SHIFT + ENTER để xuống dòng. Để thực hiện chương trình, đưa con trỏ vào bất cứ chỗ nào tỏng đoạn chương trình và gõ ENTER.

1.6.2. Các cấu trúc điều khiển a. Lệnh rẽ nhánh

Cú pháp: if thencondition expression statement sequence

elif thencondition expression statement sequence

else statement sequence

endif Chức năng: Nếu điều kiện condition expression đúng thì thực hiện các câu lệnh sau then hoặc sau else tương ứng.

b. Vòng lặp for Cú pháp:

8

for from 1 by 0 to 2 whilename expr expr expr condition

do enddo;statement sequence

hoặc for in whilename exprL condition

do enddo;statement sequence

Chức năng: Vòng lặp for được sử dụng để thực hiện dãy các lệnh statement sequence . Mỗi lần lập tương ứng một giá trị của biến name

sau for. Trong dạng thứ nhất, biến name xuất phát từ 1expr , mỗi lần

tiếp theo cộng thêm bước nhảy 0expr , cho tới khi vượt quá cận trên

2expr hoặc không thỏa điều kiện condition thì kết thúc. Trong

dạng thứ hai, biến name lần lượt lấy các phần tử trong danh sách exprL và thỏa điều điện condition .

1.6.3. Thủ tục và hàm a. Khái niệm thủ tục trong maple

Chương trình trong maple có nhiều bất tiện, như phải mở chương trình nguồn, đưa con trỏ vào chương trình gõ ENTER, dễ làm hỏng chương trình. Maple cho tạo lập và sử dụng chương trình linh hoạt hơn bằng thủ tục (procedure). Thủ tục là chương trình được truy xuất thông qua định danh. Ngoài các thủ tục của Maple trong các gói (package), thủ tục có thể được tạo lập, biên dịch, được nạp vào bộ nhớ để sử dụng.

b. Xây dựng thủ tục Khai báo thủ tục:

( )_ : proc _procedure name parameter sequence=

[ ]local _local sequence

[ ]global _global sequence

9

[ ]options _options sequence _statements sequence

end; trong đó _procedure name là tên thủ tục _parameter sequence là dãy các tham số truyền cho thủ tục. local _local sequence là dãy các biến cục bộ, chỉ có giá trị sử dụng trong phạm vi thủ tục. global _global sequence là dãy các biến toàn cục, có giá trị sử dụng trong và ngoài phạm vi thủ tục. _statements sequence là dãy các câu lệnh của thủ tục. Nạp thủ tục: Sau khi viết xong thủ tục, ta để con trỏ vào thủ tục và gõ ENTER. Thực hiện thủ tục Gọi tên thủ tục ( )_ ...proceduce name với các tham biến đặt trong dấu ngoặc, nếu

có, hoặc. ( )_ : _ ...proceduce value proceduce name= với các tham biến đặt

trong dấu ngoặc, nếu có. Lưu ý: Thủ tục trả về giá trị cuối cùng trước khi kết thúc thủ tục.

c. Tham số Thủ tục _ 1proc eq ở trên còn bất tiện vì muốn giải phương trình khác ta lại phải nhập các hệ số , ,a b c . Maple cho phép truyền tham số cho thủ tục. Có hai loại tham số: Tham trị chỉ đơn giản truyền giá trị cho thủ tục, còn tham biến, ngoài khả năng truyền giá trị nó còn có thể lưu kết quả tính toán của thủ tục, sử dụng cho công việc ngoài thủ tục. Tham biến được khai báo trong thủ tục như sau: <tham biến> :: <kiểu dữ liệu>.

10

CHƯƠNG 2 ĐA THỨC NỘI SUY

2.1. BÀI TOÁN NỘI SUY 2.1.1. Vấn đề nội suy Trên đoạn a x b≤ ≤ cho một lưới các điểm chia ( điểm nút ) ix ,

0, 1, 2, ...,i n= : 0 1 2, , ,..., na x x x x b≤ ≤ và tại các nút ix cho các giá trị của hàm số ( )y f x= là ( )i iy f x= , 0, 1, 2, ...,i n= viết thành bảng sau:

X 0x 1x 2x … 1nx − nx

Y 0y 1y 2y … 1ny − ny

Hãy xây dựng một đa thức bậc n: 1

0 1 1( ) a a ... a an nn n nP x x x x−

−= + + + + Sao cho ( )nP x trùng với ( )f x tại các nút ix , nghĩa là : ( )n iP x y= , 0, 1, 2, ...,i n= (2.1) Đa thức ( )nP x gọi là đa thức nội suy của hàm ( )f x . 2.1.2. Sự duy nhất của đa thức nội suy Định lý: Đa thức ( )nP x ( bậc n≤ ) sinh ra từ bảng sau thỏa mãn

điều kiện (2.1) là duy nhất. 2.2. ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE 2.2.1. Đa thức nội suy Lagrange Xét hàm số ( )y f x= trên đoạn [ ],a b và giả sử tại 1n + mốc

[ ],ix a b∈ ta đã biết giá trị ( )i iy f x= ( )0,i n=

Từ bảng số trên ta xây dựng đa thức ( )nP x bậc không quá n sao

cho thỏa mãn điều kiện:

( )n i iP x y= ( )0,i n= (2.2)

Theo cách của Lagrange, trước hết lập các đa thức bậc n , ( )L xi

thỏa mãn điều kiện:

11

( ) 10i j

i jL x

i j=

= ≠ ( ), 0,i j n= (2.3)

Ta có: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )0 1 1 1... ...i i i i nL x A x x x x x x x x x x− += − − − − −

Mà ( ) ( )( ) ( )( ) ( )0 1 1 11 ... ...i i i i i i i i i i nL x A x x x x x x x x x x− += = − − − − −

( )( ) ( )( ) ( )0 1 1 1

1... ...i

i i i i i i i n

Ax x x x x x x x x x− +

⇒ =− − − − −

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

0 1 1 1

0 1 1 1

... ...... ...

i i ni

i i i i i i i n

x x x x x x x x x xL x

x x x x x x x x x x− +

− +

− − − − −⇒ =

− − − − − (2.4)

là đa thức bậc n và thỏa mãn điều kiện (2.3)

Ta chọn ( ) ( )0

n

n i ii

P x L x y=

= ∑ (2.5)

Ta có ( ) ( )0

n

n j i j i jj

P x L x y y=

= =∑

Do ( )i iy f x= , 0,i n= đã có nên ( )nP x là đa thức bậc n , và từ

(2.3) , (2.4) ta suy ra ( )nP x thỏa mãn điều kiện (2.2).

Đa thức dạng (2.5) gọi là đa thức nội suy Lagrange, còn đa thức dạng (2.4) gọi là đa thức cơ sở của Lagrange. Để cho gọn trong cách viết, ta đưa vào ký hiệu:

( ) ( )( ) ( ) ( )0 10

...n

n ii

x x x x x x x x xω=

= − − − = −∏ (2.6)

Thì ( ) ( )( ) ( )( ) ( )0 1 1 1' ... ...i i i i i i i nx x x x x x x x x x xω − += − − − − − là

đạo hàm của ( )xω tại điểm ix và chính là mẫu số trong công thức (2.4) . Vì vậy (2.5) được viết lại:

( ) ( ) ( ) ( )0 '

ni

ni i

yP x xx x x

ωω=

=−∑ (2.7)

12

2.2.2. Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều Giả sử hàm số ( )f x nhận giá trị iy tại các điểm tương ứng

ix ( )0,i n= cách đều một khoảng h .

Các mốc nội suy cách đều 1i ix x h+ − = , 0,i n=

Đặt 00

x xt x x thh−

= ⇒ = + .

Ta có: 0 1 1 1

0 1 1 1

( )( )...( )( )...( )( )

( )( )...( )( )...( )i i n

ii i i i i i i n

x x x x x x x x x xL xx x x x x x x x x x

− +

− +

− − − − −=

− − − − −

( )...( ( 1) )( ( 1) )...( )( )...( ( 1) )( ( 1) )...( )

th th h th i h th i h th nhih ih h ih i h ih i h ih nh

− − − − + −=

− − − − + −

( )1 ( 1)...( )!( )!( )

n i t t t ni n i t i

−− − −=

− −

( )1 ( 1)...( )( ) !

n i inC t t t n

t i n

−− − −=

−

( )( )0

1( 1)...( )( )!

n i inn

n ii

Ct t t nP x yn t i

−

=

−− −⇒ =

−∑ (2.8)

2.2.3. Sai số của đa thức nội suy Giả sử ( )nP x là đa thức nội suy của hàm số ( )f x trên đoạn

[ ],a b : ( ) ( )n i i iP x f x y= = ( )0,i n=

Với các mốc nội suy là 0 1 2 ... na x x x x b≤ < < < < ≤ .

Cố định [ ],x a b∈ , ix x≠ ( )0,i n= , ta gặp sai số tại điểm x là:

( ) ( ) ( )nR x f x P x= − (2.9) Để đánh giá sai số đó, ta đặt ( ) ( ) ( )F x R x k xω= − . Trong đó k là hằng số sẽ được chọn sao cho ( ) 0F x = .

Nghĩa là ( ) ( )( )( ) ( )

nf x P xR xkx xω ω

−= = .

13

Theo (2.9) thì ( ) ( ) ( )i i n iR x f x P x= − 0,i n∀ = và ( ) 0xω =

0,i n∀ = nên ( ) 0iF x = 0,i n∀ = , ta suy ra ( ) 0F x = có 2n + nghiệm là

0 1, , ,..., nx x x x . Theo định lý Ron thì '( )F x có 1n + nghiệm …, ( )1 ( )nF x+ có một nghiệm ,a bξ ∈ , nghĩa là:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)!n n n nF R k f k nξ ξ ω ξ ξ+ + + += = − = − +

Từ đó ta suy ra ( )1 ( )

( 1)!

nfkn

ξ+

=+

Vậy ( )1 ( )( ) ( )

( 1)!

nfR x xn

ξω

+

=+

(2.10)

Gọi ( )1 ( )n

a x bM Sup f x+

≤ ≤= thì từ (2.10) ta có:

( ) ( ) ( ) ( )( 1)!n

MR x f x P x xn

ω= − ≤+

(2.11)

2.2.4. Chọn mốc nội suy tối ưu a. Đa thức Chebysev

[ ] ( )( ): cos arccos 1nT x n x x= ≤

Đặt arccos xθ = và để ý rằng cos( 1) cos cos sin sinn n nθ θ θ θ θ± = m , ta đặt cos( 1) cos( 1) 2 cosn n nθ θ θ θ+ + − = hay:

1 1( ) 2 ( ) ( )n n nT x xT x T x+ −= − . (2.12) Định lý: Trong tất cả các đa thức bậc n với hệ số đầu bằng 1, đa thức Chebysey 1( ) / 2n

nT x − có độ lệch ( so với 0 ) nhỏ nhất trên đoạn

[ ]1,1− . Nghĩa là, nếu:

11 0( ) ...n n

nP x x a x a−−= + + +

Thì 1 11 1

( ) 1max ( ) max2 2n

n nx x

T xP x − −≤ ≤

≥ = .

b. Chọn mốc nội suy Trong trường hợp 1a =− , 1b= ta lấy mốc nội suy ix là nghiệm

14

của đa thức Chebysev 1( )nT x+ nghĩa là: 2 1cos2( 1)i

ixn

π+

=+

( )0,i n= .

Khi đó ( )( ) ( ) 10 1

( )( ) ...2

nn n

T xx x x x x x xω += − − − = có độ lệch nhỏ nhất

và ước lượng tốt nhất của phép nội suy là:

( ) ( ) ( )( 1)! 2 ( 1)!n

M MP x f x xn n

ω− ≤ ≤+ +

Trong trường hợp a b< bất kỳ, ta dùng phép biến đổi

2x b atb a− −

=−

trên [ ],a b về đoạn [ ]1,1− . Các mốc nội suy tối ưu là

nghiệm của đa thức Chebysev:

( ) 2 1cos ( )2( 1)i

ix b a b an

π +

= − + + +

( )0,i n=

Ước lượng tốt nhất của phép nội suy trong trường hợp này là: 1

2 1

( )( ) ( )( 1)! 2

n

n

M b aP x f xn

+

+

−− ≤

+

2.3. ĐA THỨC NỘI SUY NEWTƠN 2.3.1. Đa thức nội suy Newtơn

a. Tỷ sai phân: Xét hàm số ( )y f x= trên đoạn [ ],a b

Định nghĩa: Từ bảng số ( )i iy f x= , ( )0,i n= .

Các mốc nội suy: 0 1 2 ... na x x x x b≡ < < < < ≡ .

Ta gọi [ ] 11

1

( ) ( ), i ii i

i i

f x f xf x xx x

−−

−

−=

−, ( )1,i n= là tỷ sai phân cấp

một của hàm ( )f x . Tỷ sai phân cấp hai là tỷ sai phân của tỷ sai phân cấp một, ký hiệu là:

[ ] [ ] [ ]1 11 1

1 1

, ,, , i i i i

i i ii i

f x x f x xf x x x

x x+ −

+ −+ −

−=

−, 1, 1i n= −

15

Tỷ sai phân cấp n là tỷ sai phân của tỷ sai phân cấp 1n − , ký hiệu là:

[ ] [ ] [ ]1 1 1 1 01 1 0

0

, ,..., ,..., ,, ,..., , n n n

n nn

f x x x f x x xf x x x x

x x− −

−

−=

−

Ta thấy tỷ sai phân cấp một cần hai mốc nội suy, cấp hai cần ba mốc, …, cấp n cần 1n + mốc. Các tỷ sai phân định nghĩa như trên được cho trong bảng:

x y [ ]., .f [ ]., ., .f [ ]., ., ., .f [ ]., ., ., .f

0x

1x

2x

3x

4x

0y

1y

2y

3y

4y

[ ]1 0,f x x

[ ]2 1,f x x

[ ]3 2,f x x

[ ]4 3,f x x

[ ]2 1 0, ,f x x x

[ ]3 2 1, ,f x x x

[ ]4 3 2, ,f x x x

[ ]3 2 1 0, , ,f x x x x

[ ]4 3 2 1, , ,f x x x x [ ]4 3 2 1 0, , , ,f x x x x x

b. Các tính chất của tỷ sai phân

Tính chất 1: Tỷ sai phân cấp k của một tổng bằng tổng các sai phân cùng cấp.

[ ] [ ] [ ]1 0 1 0 1 0( ) , ,..., , ,..., , ,...,k k k k k kf g x x x f x x x g x x x− − −+ = +

Hằng số nhân được đưa ra ngoài tỷ sai phân: [ ] [ ]1 0 1 0(c ) , ,..., . , ,...,k k k kf x x x c f x x x− −= .

Tính chất 2: [ ]00

( ),...,'( )

ki

ki i

f xf x xxω=

=∑

Trong đó ( )0

( )k

jj

x x xω=

= −∏ .

16

Hệ quả 1: Tỷ sai phân là toán tử tuyến tính.

Ta có: ( )[ ] ( )( )1 0

0,..., ,

'( )i

ni i

f g xf g x x x

xα β

α βω=

++ = ∑

( ) ( )0 0'( ) '( )

i i

i ii i

f x g xx x

α βω ω= =

= +∑ ∑

[ ] [ ]1 0 1 0,..., , ,..., ,n nf x x x g x x xα β= +

Hệ quả 2: Tỷ sai phân có tính chất đối xứng:

[ ] [ ]1 1, ,i i i if x x f x x− −= , 1,i n=

[ ] [ ]1 1 1 1, , , ,i i i i i if x x x f x x x− + + −= , 1, 1i n= −

[ ] [ ]0 1 1 1 1 0, ,..., , , ,..., ,n n n nf x x x x f x x x x− −=

Tính chất này được suy ra từ định nghĩa. Tính chất 3: Tỷ sai phân của hằng số thì bằng không. Tỷ sai phân cấp m của đa thức bậc n có tính chất: Nếu m n= thì tỷ sai phân cấp n là hằng số. Còn m n> thì tỷ sai phân cấp n> là bằng không.

c. Đa thức nội suy Newtơn

Xuất phát từ bảng số ( )i iy f x= ( )0,i n= với các mốc nội suy là

0 1, ,..., nx x x , [ ],ix a b∈ .

Dựa vào định nghĩa của tỷ sai phân Newtơn xây dựng đa thức nội suy như sau: cùng với các mốc nội suy ix , 0,i n= , đưa thêm vào mốc x bất kỳ.

Ta có: [ ] 00

0

( ) ( ),

f x f xf x xx x

−=

−

Do đó ( ) [ ]0 0 0( ) ( ) ,f x f x x x f x x= + − (2.13)

Ta lại có [ ] [ ] [ ]0 0 10 1

1

, ,, ,

f x x f x xf x x x

x x−

=−

17

Từ đó ta có: [ ] [ ] ( ) [ ]0 0 1 1 0 1, , , ,f x x f x x x x f x x x= + −

Và cứ thế tiếp tục, cuối cùng ta thu được: ( ) [ ] ( )( )[ ]0 0 0 1 0 1 0 1 2( ) ( ) , , ,f x f x x x f x x x x x x x x x= + − + − − +

( )( ) ( ) [ ]0 1 1 0 1... ... , ,..., ...n nx x x x x x f x x x−+ − − − +

( )( ) ( )( ) [ ]0 1 1 0 1... , , ,...,n n nx x x x x x x x f x x x x−+ − − − − (2.14)

Trong công thức (2.14) nếu đặt:

( ) [ ]

( )( ) ( ) [ ]0 0 0 1

0 1 1 0 1

( ) ( ) , ...

... , ,...,n

n n

P x f x x x f x x

x x x x x x f x x x−

= + − +

+ − − − (2.15)

Và ( )( ) ( ) [ ]0 1 0 1( ) ... , , ,...,n nR x x x x x x x f x x x x= − − − (2.16)

Thì ( ) ( ) ( )nf x P x R x= + (2.17)

nP - là đa thức bậc n . Ta chỉ cần chỉ ra ( )nP x thỏa mãn điều kiện

( )n i iP x y= , 0,i n= .

Thật vậy, từ (2.17) ta có: ( ) ( ) ( )i i n i if x y P x R x= = + , 0,i n=

Nhưng rõ ràng ( ) 0iR x = , 0,i n= nên ( )n i iP x y= , 0,i n= . Công thức (2.15) được viết lại như sau:

( ) ( ) [ ] ( )1

0 1 1 00 0

, ,...,in

n i i ji j

P x f x f x x x x x−

+ −= =

= + −∑ ∏

Công thức trên là đa thức nội suy Newton tiến (do xuất phát từ mốc 0x ) Do tỷ sai phân có tính chất đối xứng, nên nếu ta sắp xếp lại các mốc nội suy theo thứ tự :

1 2 1 0, , ,..., ,n n nx x x x x− −

Và xây dựng tương tự như trên, ta có công thức:

( ) ( ) ( ) [ ]

( ) ( ) [ ]1

1 1 0

, ...

... , ,...,n n n n n

n n n

P x f x x x f x x

x x x x f x x x−

−

= + − + +

+ − − (2.18)

Đây là đa thức nội suy Newton lùi (do xuất phát từ mốc nx ).

18

d. Sai số Theo công thức (2.17) ta có:

[ ]0 1( ) ( ) ( ) , , ,...,n nR x f x P x f x x x xω= − =

Trong công thức (2.10) ta lại có: ( )1 ( )( ) ( )

( 1)!

nfR x xn

ξω

+

=+

Vậy [ ]( )1

0 1( ), , ,...,

( 1)!

n

nff x x x x

nξ+

=+

, [ ],a bξ ∈

2.3.2. Đa thức nội suy Newtơn với các mốc cách đều a. Sai phân hữu hạn

Cho hàm số ( )f x xác định trên [ ],a b . Giả sử ix là các mốc nội

suy cách đều: 0ix x ih= + , 0,i n=

h gọi là bước sai phân ( )0h > .

Sai phân cấp 1 của ( )f x tại x : ( ) ( ) ( )f x f x h f x∆ = + −

Sai phân cấp 2 của ( )f x tại x :

( ) [ ] [ ]2 ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( )f x f x f x h f x h f x h f x∆ = ∆ ∆ = + − + − + − 2 ( ) ( 2 ) 2 ( ) ( )f x f x h f x h f x⇒ ∆ = + − + +

………………. Tương tự ta có sai phân cấp n của ( )f x tại x :

[ ]0

( ) ( 1) ( )n

m k kn

kf x C f x n k h

=

∆ = − + −∑

b. Tính chất cơ bản của sai phân hữu hạn Tính chất 1: ∆ là toán tử tuyến tính. ( ), ; , . .R y z y z y zα β α β α β∀ ∈ ∀ ⇒ ∆ + = ∆ + ∆

Và 0C∆ = với C const=

( ) ( )!n n nx n h h x∆ = = ∆

19

( ) ( )0n nx m n∆ = >

( )m k m ky y+∆ ∆ = ∆ với 0 y y∆ = .

Tính chất 2: Giá trị của hàm số ( )f x được biểu diễn qua sai phân hữu hạn các cấp của nó:

0

( ) ( )m

k km

kF x m x C f x

=

+ ∆ = ∆∑ (2.19)

Trong đó ( 1)...( 1) !! !( )!

km

m m m k mCk k m k

− − += =

−

Tính chất 3: Sai phân hữu hạn cấp m của hàm ( )f x được biểu diễn qua các giá trị liên tiếp của nó:

( )

( )

1

2

( ) ( ) C ( 1 )

C ( 2 ) ... ( 1) ( )

mm

mm

f x f x m x f x m x

f x m x f x

∆ = + ∆ − + − ∆ +

+ − ∆ − + − (2.21)

Tính chất 4: Giả sử hàm số ( )f x có đạo hàm liên tục đến cấp m

trên đoạn [ ],x x m x+ ∆ thì ta có:

( ) ( )( ) ( )m mm f x x f x m xθ∆ = ∆ + ∆ (2.22)

Trong đó 0 1θ< < . c. Bảng sai phân Giả sử hàm số ( )y f x= được cho trong dạng bảng số ( )i iy f x= ,

0,i n= , các mốc nội suy 0ix x ih= + ( )0,i n= ( )1i ih x x x i−= ∆ = − ∀

Sai phân hữu hạn các cấp được xác định theo công thức:

1i i iy y y+∆ = − , 0, 1i n= −

( )21i i i iy y y y+∆ = ∆ ∆ = ∆ − ∆ , 0, 2i n= −

( )3 2 21i i i iy y y y+∆ = ∆ ∆ = ∆ − ∆ , 0, 3i n= −

…...

( )1 1 11

m n n ni i i iy y y y− − −

+∆ = ∆ ∆ = ∆ − ∆ , 0i =

20

Công thức trên được mô tả theo bảng sau: x y y∆ 2 y∆ 3 y∆ 4 y∆ ……

0x

1x

2x

3x

4x

5x

…

nx

0y

1y

2y

3y

4y

5y

…

ny

0y∆

1y∆

2y∆

3y∆

4y∆

…

1ny −∆

20y∆

21y∆

22y∆

23y∆

… 2

2ny −∆

30y∆

31y∆

32y∆

…

33ny −∆

40y∆

41y∆

…

44ny −∆

d. Đa thức nội suy Newtơn với mốc cách đều

Trước hết ta viết lại đa thức nội suy newtơn tiến xuất phát từ

0x (các mốc sắp xếp theo thứ tự 0 1, ,..., nx x x ). Theo công thức (2.14) ta có:

( ) [ ] ( )( ) [ ]( )( ) ( )

0 0 0 1 1 0 0 1 2

0 1 1 1

( ) ( ) , , ,

... ... , ,...,0

n

n n

P x f x x x f x x x x x x f x x x

x x x x x x f x x x−

= + − + − − +

+ + − − −

Đặt 0 0x x ht x x ht= + ⇒ − = . Ta có:

[ ] 1 0 00 1

1 0

,y y yf x xx x h

− ∆= =

−

[ ] [ ] [ ]0 1 1 20 1 2

0 2

, ,, ,

f x x f x xf x x x

x x−

=−

21

1 0 2 1

1 0 2 1

0 2

y y y yx x x x

x x

− −−

− −=

−

20 1 2

2 2

22 2

y y y yh h

− + ∆= =

[ ]0 1, ,...,!

n

n n

yf x x xn h∆

=

Từ đó:

0

0 00

( ) ( )

( 1) ... ( 1)( 2)...( 1)1! !

n nn

P x P x hty yy t t t t t t n

n

= +

∆ ∆= + − + + − − − +

(2.23)

(2.23) còn gọi là đa thức nội suy Newtơn tiến có mốc cách đều. Bây giờ xét công thức nội suy Newtơn lùi có mốc xuất phát là

nx ( các mốc sắp xếp theo thứ tự 1 1 0, ,..., ,n nx x x x− )

Theo công thức (2.18) ta có:

1 1 1 2

1 1 0

( ) ( ) ( ) [ , ] ( - )( - ) [ , , ]... ( - )...( - ) [ , ,..., ]

n n n n n n n n n n

n n n

P x f x x x f x x x x x x f x x xx x x x f x x x

− − − −

−

= + − + +

+ +

Đặt nx x ht= + , tương tự như trên ta được:

2

( ) ( ) ( 1) ...1! 2!

( 1)( 2)...( 1)!

n nn n n n

nn

y yP x P x ht y t t t

y t t t t nn

∆ ∆= + = + + + + +

∆+ + + + −

(2.24)

(2.24) còn gọi là đa thức nội suy Newtơn lùi có mốc cách đều. e. Sai số

Từ công thức (2.10) ta có: ( )1 ( )( ) ( )

( 1)!

nfR x xn

ξω

+

=+

,

mà 0

( ) ( )n

kk

x x xω=

= −∏ 1 1

0

( 1)( 2)...( ) ( )n

n n

kh t t t t n h t k+ +

=

= − − − = −∏ .

Do sai phân hữu hạn cấp n là hằng số nên:

( )1

1 010

( ) limn

nnh

yf xh

++

+→

∆=

22

Nên nếu xem ( )1

1 01( )

nn

nyf

hξ

++

+∆

≈ thì: 0

10( ) ( )

( 1)!

n

k

nR x t k

ny

=

+≈ −

+

∆∏ .

là sai số trong công thức nội suy Newtơn tiến. Hoàn toàn tương tự ta cũng có công thức đánh giá sai số đối với công thức nội suy Newtơn lùi:

0

10( ) ( )

( 1)!

n

k

nR x t k

ny

=

+≈ +

+

∆∏ .

CHƯƠNG 3

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE TRONG ĐA THỨC NỘI SUY

3.1. ỨNG DỤNG PHẦN MỀM ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE Cách 1: Ta sẽ dùng hàm trong phần mềm maple: Để giải các bài toán về đa thức nội suy Lagrange, ta sẽ dùng gói lệnh CurveFitting[Polynomiallnterpolation]. Vẽ đồ thị so sánh. Cách 2: Ta tự xây dựng bằng các câu lệnh sau: - Trả về hàm được gán giá trị biểu thức p theo biến x .

unapply(p, x ,..) - Trả về số lượng các thành phần của biểu thức expr.

nops(expr) - Gán giá trị biểu thức x a= cho biểu thức p , trong đó p là

biểu thức theo biến tự do x : ( ),xsu s ab p=

- Trả về đạo hàm của p theo x : ( ),diff p x

- Trả về tích ( ). ( 1)... ( )f m f m f n+ : ( )( ), ..product f k k m n=

Ta xây dựng như sau:

23

[ ][ ] ( )( )( ): 1 , 1.. , ;w unapply product x points i i nops points x> = − =

( ) ( ) [ ][ ]( ) [ ][ ] ( )( )( ): , / 1 / 1 , , ;L i x w x x points i subs x points i diff w x x> = → − =

( ) : ( [ ][2]* ( , ), 1.. ( ));f x sum points i L i x i nops points> = =

( ) ( )( ): ;f x simplify f x> =

3.2. ỨNG DỤNG PHẦN MỀM ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC NỘI SUY NEWTƠN Ta tự xây dựng bằng các câu lệnh sau: > # tính tỷ sai phân f:=proc(x,y) # x, y là các dãy điểm option remember; if nops (x)=1 then return y[1]; else return (f (x[2..nops(x)], y[2..nops(y)]) – f (x[1..nops(x) – 1], y[1..nops(y) – 1]) ) / (x[nops(x)] – x[1]); end if; end proc: > # Nội suy tiến # gtx, gty : các dãy giá trị của x và y # x : tên biến NST :=proc (gtx, gty, x) local i, j, n, s; s:=gty [1] ; n:=nops(gtx) ; for i from 2 to n do s :=s+f (gtx [1..i], gty [1..i])*product (x-gtx[j], j=1..i – 1); end; return s; end proc: > # Nội suy lùi # gtx, gty : các dãy giá trị của x và y # x : tên biến

24

NSL :=proc (gtx, gty, x) return NST (ListTools [Reverse] (gtx), ListTools [Reverse] (gty), x); end proc: Vẽ đồ thị so sánh.

KẾT LUẬN

Luận văn“ Phần mềm toán học Maple và ứng dụng nghiên cứu

đa thức nội suy ”đã thu được kết quả sau:

1. Trình bày một cách có hệ thống tổng quan về phần mềm maple

và một số ví dụ minh họa cụ thể.

2. Đưa ra các định nghĩa, định lý, tính chất và một số ví dụ minh

họa của đa thức nội suy.

3. Đưa ra khá đa dạng ứng dụng phần mềm Maple để tìm các bài

toán về đa thức nội suy.

Kết quả của luận văn nhằm nâng cao chất lượng dạy và học Đa

thức nội suy nói chung, nhằm phát triển tư duy toán cho học sinh, sinh

viên và đặc biệt là cho học sinh, sinh viên chuyên Toán có một tư liệu

tham khảo bổ ích.