I fluidi reali - Istituto Nazionale di Fisica...
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I fluidi reali
La viscosità
Flussi laminare e turbolento
La resistenza idrodinamica
La lezione di oggi
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3
Forze di trascinamento nei fluidi
La legge di Stokes
La centrifuga
La lezione di oggi
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! Viscosità
! Flusso laminare
! Flusso turbolento
! Resistenza idrodinamica
! La legge di Stokes
! La centrifuga
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5
Δy"
Definizione operativa di viscosità Domanda: come faccio a tener conto dell’attrito
tra le molecole di un fluido?
Esperimento
Lastra in moto con velocità v
Fluido viscoso (magari miele…)
Lastra fissata a terra di area A
yvηA FΔ
Δ=
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La viscosità ! η è la viscosità
! Si misura in Pa.s (pascal x secondo)
! poise (P) = 0.1 Pa.s (è una unità c.g.s .....)
DIMENSIONALMENTE ]T[ML]/[L][LT
]]/[L[MLTyv/
F/A 111
22−−
−
−
==ΔΔ
Temperatura oC
Olio di ricino (!) Acqua Aria Sangue Plasma
20 0.986 1.005 x 10-3 1.81 x 10-5 3.015 x 10-3 1.810 x 10-3
37 - 0.695 x 10-3 1.87 x 10-5 2.084 x 10-3 1.257 x 10-3
Nota: ηsangue/ ηacqua e ηplasma/ ηacqua rimangono ~ costanti tra 0o e 37o
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! Viscosità
! Flusso laminare
! Flusso turbolento
! Resistenza idrodinamica
! La legge di Stokes
! La centrifuga
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Un fluido ideale scorre in un condotto
Pareti del condotto
In ogni punto, i vettori velocità hanno modulo uguale
Tutte le molecole viaggiano alla stessa velocità
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9
Un fluido reale scorre in un condotto
Pareti del condotto
In ogni punto, i vettori velocità hanno modulo diverso
Le molecole viaggiano a velocità diverse: " Vicino alle pareti sono ferme
" Vicino al centro del tubo sono veloci
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Il flusso laminare ! Il fluido è reale
! Non ci sono turbolenze (vedi dopo)
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Il flusso laminare
Se la velocità al centro è vmax , si trova che la vmedia = 0.5 vmax
PORTATA Q = Avmedia = 0.5Avmax
dove A è l’area della sezione del condotto
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Caduta di pressione dovuta alla viscosità
! Tubo orizzontale ! Fluido viscoso ! Lavoro per vincere le forze di viscosità ! l’energia meccanica
non si conserva ! Caduta di pressione
Fluido non viscoso Fluido viscoso
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Caduta di pressione dovuta alla viscosità
in un tubo cilindrico orizzontale
Legge di Hagen-Poiseuille
Q = ΔPπR4
8ηl
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Esercizio Una grande arteria di un cane ha raggio interno di 4.0 mm. Il
sangue scorre con una portata di 1.0 cm3/s. Si trovi:
1. Velocità media e massima del sangue
vA Q =
Max v21
v =
== AQ v =⋅
R π1Q 2
m) 10(4.0 πsm 101.0 23-
-13-6
=⋅
⋅ -1-2 ms 102.0 ⋅
-1-2 ms 104.0 ⋅== v 2 vMax
Condizioni al contorno
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15
Esercizio Una grande arteria di un cane ha raggio interno di 4.0 mm. Il
sangue scorre con una portata di 1.0 cm3/s. Si trovi:
2. La caduta di pressione in un tratto lungo 10 cm
l η 8R πP Q
4Δ=
sPa 102.084 η -3 ⋅⋅=
Condizioni a contorno
==Δ R π
lQ η 8 P 4 =⋅⋅
⋅⋅⋅⋅ m) 10(4.0π
)sm 10m)(1.0 s)(0.1Pa10(2.084843-
-13-6-3
Pa 1.2
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Esercizio Una grande arteria di un cane ha raggio interno di 4.0 mm. Il
sangue scorre con una portata di 1 cm3/s. Si trovi:
3. La potenza necessaria a mantenere la portata
=⋅=ΔΔ⋅=Δ= vFtx/tL/ W F
=⋅⋅⋅ − )ms 100.2)(m )100.4(π)(Pa 1.2( -1222-3
=⋅⋅Δ v)πR(P 2
W101.2 -6⋅
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! Viscosità
! Flusso laminare
! Flusso turbolento
! Resistenza idrodinamica
! La legge di Stokes
! La centrifuga
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Il flusso turbolento
Dissipazione di energia meccanica
(maggiore rispetto al caso del flusso laminare)
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Il numero di Reynolds ! I vortici dissipano energia meccanica ! La legge di Hagen-Poiseuille non è più valida ! E’ il dominio della fisica non - lineare ! Uso regole empiriche
! Definisco il Numero di Reynolds (NR) ! Nel caso di un tubo di flusso di raggio R, NR vale:
ηRv2ρ NR =
Sperimentalmente si trova che: " NR < 2000: flusso laminare " 2000 < NR < 3000: flusso instabile (può cambiare da laminare ! turbolento " NR > 3000: flusso turbolento " esperimento: rubinetto dell’acqua
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Esercizio Nella grande arteria di un cane, il raggio è 4.0x10-3 m,
la velocità media del sangue 1.99x10-2 ms-1 e la viscosità η = 2.084x10-3 Pa.s.
La densità è ρ = 1.06x103 kg.m-3. Trovare il numero di Reynolds e stabilire
se il flusso sia o meno laminare.
==η
Rv2ρ NR
=⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
sPa102.084m) 10)(4.0ms 10(1.99)mkg 10(1.062 3-
-3-1-2-33
81 =
Il flusso è quindi laminare
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! Viscosità
! Flusso laminare
! Flusso turbolento
! Resistenza idrodinamica
! La legge di Stokes
! La centrifuga
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La resistenza idrodinamica ! Fluido viscoso
! Condotto con pareti rigide
! Se voglio una portata Q devo applicare una ΔP
! Definisco Resistenza di un condotto:
r = ΔPQ
se utilizzo Poiseuille: Q = ΔP π R4
8 η l
Analoga alla resistenza elettrica (legge di Ohm): " ΔP analoga a ΔV (differenza di potenziale) " Q analoga alla i (corrente)
r = 8 η lπR4
Unità di misura Pa.s.m-3
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Esercizio (parte I) Nell’aorta umana di raggio interno ra = 1 cm, la portata del sangue è Q = 5 l/min. La viscosità del sangue è η = 4.75.10-3 Pa.s. Se vi sono 5.109 capillari nel letto vascolare dell’aorta, e ciascuno di essi ha un raggio interno di rc = 4 µm, determinare:
1. La velocità media del sangue nell’aorta
2. La velocità massima del sangue nell’aorta
3. La velocità media del sangue nei capillari
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24
Domanda 1 La velocità media del sangue nell’aorta
mediaA v Q =
vmedia = QA
= Qπ R2 =
5 lmin
!
"#
$
%& 10-3 m3
l!
"#
$
%& 1 min
60 s!
"#
$
%&
(3.14)(10-2 )2 = 2.65 ⋅10-1 m/s
Esercizio
mediamax v2 v ⋅=
vmax = 2 ⋅vmedia = 2 ⋅ (2.65 ⋅10-1 m /s) = 5.3⋅10-1 m/s
Domanda 2 La velocità massima del sangue nell’aorta
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25
( ) 2269capillari m 0.251 m) 104(π)10(5 A =⋅⋅⋅⋅= −
L’area dei capillari si ottiene moltiplicando
l’area di 1 capillare per l’area del singolo capillare
La portata è costante per l’equazione di continuità
mediaA v Q =
vmedia = QAcapillari
= 5 l
min!
"#
$
%& 10-3 m3
l!
"#
$
%& 1 min
60 s!
"#
$
%&
0.251 m2 = 0.33 mm/s
Domanda 3
Esercizio
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26
Nell’aorta umana di raggio interno ra = 1 cm, la portata del sangue è Q = 5 l/min. La viscosità del sangue è η = 4.75.10-3 Pa.s. Se vi sono 5.109 capillari nel letto vascolare dell’aorta, e ciascuno di essi ha un raggio interno di rc = 4 µm, determinare: 4. La perdita di carico (ΔP/l) nell’aorta
5. La perdita di carico media dei capillari nel letto vascolare dell’aorta
6. La resistenza idrodinamica per unità di lunghezza nell’aorta
7. La resistenza idrodinamica media per unità di lunghezza in ciascun capillare
Esercizio (parte II)
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27
l η 8R πP Q
4Δ=
ΔPl
= 8 η Qπ R4 =
(8)(4.75 ⋅10-3) 5 lmin
#
$%
&
'( 10-3 m3
l#
$%
&
'( 1 min
60 s#
$%
&
'(
(3.14)(10−2 )4 = 100 N/m3
Domanda 4 Applico Poiseuille per calcolare la ΔP/l nell’aorta
Esercizio
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28
l η 8R πP Q
4Δ=
3546
14-3
4 N/m 108 )104)(14.3(
)107.1)(10(8)(4.75 R π
Q η 8 lP
⋅=⋅
⋅⋅==
Δ−
−
/sm 101.7 105
s 60min 1
lm10
minl 5
Q 314-9
33-
capillare ⋅=⋅
"#
$%&
'""#
$%%&
'"#
$%&
'
=
Domanda 5 Applico Poiseuille per calcolare la ΔP/l nei capillari, sapendo che la portata in ciascun capillare è data da
Esercizio
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29
r/l = 8 ηπR4 = (8) ⋅ (4.75 ⋅10-3)
(3.14) ⋅ (10-2 )4 = 1.2 ⋅106 N ⋅s ⋅m-6
Domanda 6 Applico Poiseuille per calcolare la r/l nell’aorta
Esercizio
r =�p
Q
Q =�p⇡R4
8⌘l
r
l=
8⌘
⇡R4
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30
r = ΔPQ
r/l = 8 ηπR4e usando Poiseuille
r/l = 8 ηπR4 = (8) ⋅ (4.75 ⋅10-3)
(3.14) ⋅ (4 ⋅10-6 )4 = 4.73⋅1019 N ⋅s ⋅m-6
Domanda 7 Applico Poiseuille per calcolare la r/l, usando il
raggio del capillare
Esercizio
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Nei fluidi reali l’attrito tra le molecole causa dissipazione dell’energia meccanica che è maggiore quando si instaurano fenomeni di turbolenza
Riassumendo fin qui…
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32
! Viscosità
! Flusso laminare
! Flusso turbolento
! Resistenza idrodinamica
! La legge di Stokes
! La centrifuga
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La legge di Stokes
33
�!F
�!v�!F A
�!F
�!F
�!F A �!v
�!F
�!F A
�!v lim
�!F A +
�!F = 0
Un oggetto è immerso in un fluido viscoso, inizialmente in quiete. Se su di esso agisce una forza F, l’oggetto accelera.
Per effetto della viscosità,sull’oggetto inizia ad agire una forza di attrito viscoso FA
La velocità cresce e con essa cresce la forza di attrito viscoso
La velocità raggiunge un valore limite (e rimane costante) quando la forza di attrito viscoso eguaglia la forza esterna.
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34
La legge di Stokes
vR η π6 - FA =
Quando la particella
ha forma sferica e raggio R
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35
! Viscosità
! Flusso laminare
! Flusso turbolento
! Resistenza idrodinamica
! La legge di Stokes
! La centrifuga
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36
Velocità limite ! Moto rettilineo uniforme ! Accelerazione = 0 ! Risultante delle forze 0 !
Verso la centrifuga... Qual è la velocità massima (ovvero la velocità limite, vT) per una piccola sfera di raggio R, densità ρ che cade in
un fluido di viscosità η e densità ρo ?
Archimede g ρ R π34 A 0
3=
Stokes vη R π6 F Td =
peso g ρ R π34
w 3=
Fd A
w
y
g ρ R π34
g ρ R π34
vη R π6 3o
3T =+
)ρ - (ρ gη
R
92
v o
2
T =Velocità limite
0 wA Fd =−+
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37
Esercizio Un globulo rosso del sangue può essere approssimato a una sfera di raggio 2.0 µm e densità 1.3.103 kg m-3. Quanto tempo ci vuole
per ottenere un sedimento di 1.0 cm:
1. Sotto l’azione dell’accelerazione di gravità della terra ?
Condizioni a contorno
== )ρ - (ρ aη
R
92
v o
2
T
=⋅⋅⋅⋅⋅
⋅ mkg 10)1.056 - (1.3 )sm (9.81 s)Pa 10(2.084
m) 10(2 92 3-32-
3-
2-6
-1-6 sm 101.0 ⋅⋅=
3hr~s 101.0 sm 101.0
m 10 vs t 4
1-6-
2
⋅=⋅⋅
==−
Tempo di sedimentazione
" R = 2.0 µm = 2.0.10 -6 m " S = 1.0 cm = 1.0.10-2 m " a = 9.81 m s-2
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38
La centrifuga ! Grandi accelerazioni
! Velocità della molecola dipende da: ! forza di trascinamento viscoso ! massa della molecola m ! fattore geometrico φR della molecola (per la sfera φ=6π)* ! densità della molecola ρ e del mezzo ρ0 ! velocità angolare della centrifuga ω ! accelerazione centripeta a = ω2 r (a>>g)
vs = mϕRη
a (1- ρ0
ρ)Velocità limite
" Moto rettilineo uniforme " Spessore del sedimento x = vs ⋅ tcentrifugazione
" dimostrate la relazione *
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Sfera: fattore geometrico
39
vs =m
�R⌘a
✓1� ⇢0
⇢
◆
=) 4⇡
3�=
2
9=) � = 6⇡
=⇢V
�R⌘a
✓1� ⇢0
⇢
◆
Per una sfera
=4⇡
3�
R2
⌘a (⇢� ⇢0) ⌘
2
9
R2
⌘a (⇢� ⇢0)
vs =4⇡R3
3�R⌘a (⇢� ⇢0)
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40
Esercizio
Condizioni a contorno " R = 2.0.10 -6 m " S = 1.0 cm = 1.0.10-2 m " a = 9.81.105 m s-2
== )ρ - (ρ aη
R
92
v o
2
T
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅ mkg 10)1.056 - (1.3 )sm 10(9.81 s)Pa 10(2.084
m) 10(2 92 3-32-5
3-
2-6
-1-1 sm 101.0 ⋅⋅=
s 101.0 sm 101.0
m 10 vs t 1-
1-1-
2
⋅=⋅⋅
==−
Tempo di sedimentazione
Un globulo rosso del sangue può essere approssimato a una sfera di raggio 2.0 µm e densità 1.3.103 kg m-3. Quanto tempo ci
vuole per ottenere un sedimento di 1.0 cm: 2. In una centrifuga con accelerazione uguale a 1.0.105g ?
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Con la legge di Stokes spieghiamo il funzionamento
della centrifuga
Prossima lezione: I fenomeni molecolari
Riassumendo
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A un paziente viene fatta un’iniezione con un ago ipodermico
lungo 3.2 cm e di diametro 0.28 mm. Assumendo che la soluzione iniettata abbia la stessa densità e viscosità dell’acqua a 20 oC, trovare la differenza di pressione necessaria per iniettare la
soluzione a 1.5 g/s
Esercizio
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A un paziente viene fatta un’iniezione con un ago ipodermico lungo 3.2 cm e di diametro 0.28 mm. Assumendo che la soluzione
iniettata abbia la stessa densità e viscosità dell’acqua a 20 oC, trovate la differenza di pressione necessaria per iniettare la
soluzione a 1.5 g/s
1-36-3-3
-1-3
sm 101.5 mkg 10
skg 101.5t
Δmρ1
tΔV Q ⋅=
⋅
⋅⋅=
Δ=
Δ=
Pa 103.2 R π
Q l η 8 P 54 ⋅==Δ
Esercizio
Quale sarà la forza esercitata sullo stantuffo?