Hydraulik I Ideale Fluide Kontinuität Impulssatz Energiesatz W. Kinzelbach.
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Hydraulik I
Ideale Fluide
Kontinuität Impulssatz Energiesatz
W. Kinzelbach
Hydrodynamik idealer Fluide
Instationär v(x,t), p(x,t) ungleichförmigStationär v(x), p(x) gleichförmig
Stromlinie: In jedem Punkt tangential zu Geschwindigkeitsfeld Stromröhre: Mantel besteht aus StromlinienBahnlinie: Trajektorie eines FüssigkeitsteilchenStreichlinie: Verbindungslinie aller Teilchen, die einen festen
Punkt passiert haben
Differentielle Betrachtung
Betrachtung amKontrollvolumen
Hydrodynamik idealer Fluide
Bei stationärer Strömung sind Stromlinien, Bahnlinien und Streichlinien identisch.
Stromlinien in instationärer Strömung
Zeit
Geschwindigkeit
x
yt1 t2 t3
t1t2t3
Bahnlinien in instationärer Strömung
Zeit
Geschwindigkeit
x
yt1 t2 t3
t1t2t3
Streichlinien in instationärer Strömung
Zeit
Geschwindigkeit
x
yt1 t2 t3
t1t2t3
Stromlinien, laminare Strömung
Laminar-turbulent
Ablösung
Hydrodynamik idealer Fluide
Bahnlinien inWellen
Kontinuitätsgleichung(Differentiell)(1)
( )gespeicherte Masse Massenfluss Massenflussraus rein 0
0)()()(
z
v
y
v
x
v
tzyx
Kontinuitätsgleichung(Differentiell)(2)
0z
v
y
v
x
v zyx
= constant
0 v Inkompressibilitäts-
bedingung
Kontinuitätsgleichungan Kontrollvolumen
Stationäre Verhältnisse: ausauseinein vAvAQ
Kontrollvolumen (geschickte Wahl: Stromlinien senkrecht oder parallel zum Rand)
Impulssatz (Differentiell)(1)
Dv
Dta fi
Lagrange‘sche Betrachtung (im mitbewegten Koordinatensystem)
Dt
vDv
z
vv
y
vv
x
v
t
v
dt
dz
z
v
dt
dy
y
v
dt
dx
x
v
t
vtxta
eunigungBahnbeschltxta
indigkeitBahngeschwtxtv
Bahnkurvetztytxtx
zyx
))(,(
))(,(
))(,(
))(),(),(()(
Impulssatz (Differentiell)(2)
Lokale Beschleunigung
Advektive Beschleunigung zyx vz
vv
y
vv
x
v
t
v
Impulssatz (Differentiell)(3)
ifaDt
vD
fi Kraft pro Volumeneinheit
Bei idealem Fluid nur Druck- und Gewichtskraft
Druckkraft/Volumen
Schwerkraft/Volumen
pfDruck
gf tSchwerkraf
Impulssatz (Differentiell)(4)
gp
vvt
v
)(
Eulersche Bewegungsgleichung
zgg ),0,0(mit
Phgzg
pgvv
t
v
)()(
Zusammen mit Kontinuitätsbedingung 4 Gleichungen für 4unbekannte Funktionen p (bzw. hp) und vx,vy,vz
+ A.B.+ R.B.
Unterschiede in hp
treiben die Strömung an
Anwendung
Niveaufläche des Drucks:
0
sdpdzz
pdy
y
pdx
x
pdp
Mit Eulergleichung:
0)( sdzgasdp
Beispiel 1:
a
gaa
dx
dzgeneigt henNiveaufläc)0,0,(
Beispiel 2:
konstantza henNiveaufläc0
Anwendung
Beispiel 3:
Niveaufläche: Rotationsparaboloid
Impulssatz (am Kontrollvolumen)
F
dI
dti 0Newton:
Impulsfluss im Eintrittsquerschnitt
= Impulsfluss im Aus- trittsquerschnitt
Q = Durchfluss = v A
Äussere Kräfte:
pA = Druckkräfte K = Mantelkräfte G = Gewicht
1I
2I
Bernoulligleichung (verlustfrei)
Energiehöhe = Energie pro Gewichtseinheit des Fluids
Gesamtenergie eines Fluidvolumens =Lageenergie + Druckenergie + kinetische Energie
)2
(2
g
v
g
pzMgE
g
vh
g
v
g
pzH P 22
22
Satz von Bernoulli: H1 = H2
Bernoulligleichung (verlustfrei)
Herleitung aus Eulergleichung
)(2
)(2
vvv
vv
)(2
02
vvg
vz
g
pg
mit
und Stationarität der Strömung
Bernoulli gilt in rotationsfreier Strömung zwischenzwei beliebigen Punkten sonst zwischen zwei Punkten auf einer Stromlinie
Bernoulli am Kontrollvolumen
Behälterauslauf
H1 = H2
Strahl gegen Wand
Strahlumlenkung
Doppelte Kraftübertragung
Querschnittserweiterung
Borda-Öffnung
Gesucht: Kontraktionskoeffizient cc=A2/A1
Horizontaler Krümmer
Gesucht: Reaktionskraft W