Hvilken kunnskap m a en framtidig matematikklˆrer ha? · primtall, Euclids algoritme, geometriske...

Hvilkenkunnskap maen framtidig

matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell

Noe somkommer ognoe som gar

Hvilkenkunnskap maen framtidigmatem-atikklærerha?

Epilog

Hvilken kunnskap ma en framtidigmatematikklærer ha?

Arne B. Sletsjøe

Universitetet i Oslo

Halden18.09.2013


matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell



Epilog

Hvilken kunnskap ma en framtidig matematikklærer ha?

Akkurat det samme som garsdagens matematikklærer matteha, dvs. fagkunnskap, entusiasme, innsikt i matematikkensegenart og et vidt spekter av pedagogiske virkemidler, tilpassetelevgruppa.

Takk for oppmerksomheten!


matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell



Epilog

Historisk perspektiv

2006: Kunnskapsløftet. Matematikk er en del av den globalekulturarven var, og matematikk blir brukt for a utforskeuniverset, systematisere erfaringer og forsta sammenhenger inaturen og i samfunnet.

1997: Reform 97. Ta utgangspunkt i problemer og situasjonerfra dagliglivet og la elevene utforske og oppdage matematikken.

1987: Mønsterplanen av 1987. Problemløsing er et sentraltmoment i matematikkfaget. Matematikken kan brukes som etverktøy til a løse praktiske oppgaver i et samfunn som stillerandre krav og som har andre tekniske hjelpemidler enntidligere. Arbeidet i matematikk skal bygge pa og videreutvikleelevenes kreative og skapende evner.


matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell



Epilog


1939: Normalplanen. Elevene skal lære a løse oppgaver somde far bruk for i dagliglivet, pa en rask og sikker mate.

1922/25: Normalplanen for landsfolkeskolen (1922),normalplanen for byfolkeskolen (1925). Talleneanskueliggjøres for de yngste barna ved hjelp av steiner,knapper, pinner og lignende.

1604: Leseplan. De fire regneartene, brøk, ligninger med enukjent og litt geometri.


matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell



Epilog


Hovedomradene i faget er etter de siste planene:Tall og algebraGeometriMaling (Nytt emne i 2006)Statistikk, sannsynlighet og kombinatorikk (erstattet

behandling av data i L97)Funksjoner (ungdomstrinnet og videregaende opplæring)Økonomi (videregaende opplæring)Kultur og modellering (videregaende opplæring)Matematikk i dagliglivet (Med i L97, borte i 2006)Matematikkens historie (Med i L97, borte i 2006)


matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell



Epilog


Euklids Elementer: Læreverk i matematikk skrevet av dengreske matematikeren Euklid omkring 300 f.Kr. Det mestinnflytelsesrike verket i matematikkens historie, og troligverdens mest kjente fagbok. Boken var i den vestlige verdenlærebok i geometri i nærmere 2000 ar.

Innehold(noen stikkord):Plangeometri, vinkelsum-teoremet, Pythagoras teorem, sirkler,forhold og proporsjoner, likeformede trekanter (relasjon mellomproporsjoner og geometri), kvadratrøtter, kvadratsetninger,primtall, Euclids algoritme, geometriske rekker, irrasjonale tall,3-dimensjonal geometri, Platonske legemer.


matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell



Epilog


matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell



Epilog

Konklusjon for del 1, Historisk perspektiv :

Matematiske sannheter og kunnskap er i stor grad de samme idag, i 1604 og 300 f.Kr. De vil ogsa være den samme om N ar,der N er et vilkarlig naturlig tall.


matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell



Epilog


matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell



Epilog

Konklusjon for del 2, En viktig forskjell :

Elevene er ikke de samme 300 f.Kr, i 1604 eller i dag. De vilheller ikke være de samme om N ar, der N er et vilkarlignaturlig tall, ekte større enn 13 .


matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell



Epilog

Kvartkvadratmultiplikasjon

b(x + y)2

4c − b(x − y)2

4c

= b1

4(x2 + 2xy + y 2)c − b1

4(x2 − 2xy + y 2)c

=1

44xy = xy

Tabell over kvartkvadrater:

n 1 2 3 4 . . . 32 33 34 35

KK (n) = bn2

4 c 0 1 2 4 . . . 256 272 289 306

Eksempel: 15 · 18 = KK (33)− KK (3) = 272− 2 = 270.


matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell



Epilog

Rotutdraging

√169744 =

Grupperer i to og to siffer, 16, 97, 44. Finner største kvadratmindre enn eller lik 16, dvs. 42 = 16.

169744→ 4

16

Trekker fra og trekker samtidig ned neste par

169744→ 4

16

97

Skal finne største hele positive tall m slik at 2 · 40 + mmultiplisert med m er mindre enn eller lik 97, dvs. m = 1.Regner ut og trekker ned siste par


matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell



Epilog

169744→ 41

16

97

81

1644

Gjør det samme en gang til, finner det største tallet m slik at2 · 410 + m multiplisert med m er mindre enn eller lik 1644.Det betyr m = 2, siden 2 · 822 = 1644.

169744→ 412

16

97

81

1644

1644

0


matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell



Epilog

Rotutdraging

√169744 = 412


matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell



Epilog

Logaritmer

John Napier, baron av Murchiston (1550-1617), skotskgodseier og matematiker.

Rgnes som oppfinneren av logaritmer (av gresklogos+arithmos)

Formalet var a forenkle tidkrevende utregninger innenforbl.a. navigasjon og trigonometri

Bruker at ethvert tall kan skrives som en potens, og atf.eks. multiplikasjon kan omgjøres til sum aveksponentene i to potenser med samme grunntall.

4 · 16 = 64 kan skrives som 22 · 24 = 26, og utregningenblir da 2 + 4 = 6 med etterfølgende beregningav 26 = 64.

Henry Briggs utarbeidet logaritmetabeller for grunntall 10(praktisk i fohold til 10-tallssystemet)


matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell



Epilog

Noe som kommer og noe som gar:

10-tallsystemet gjorde det mye lettere a regne (kommetfor a bli)

Regneteknikker for a bli istand til a gjøre kompliserteberegninger (ikke lenger nødvendig)

Kalkulus/differensial- og integralregning (funnet enmengde nye anvendelser etter Newton)

Lineær algebra (kommer til a komme inn iskolematematikken)

. . .


matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell



Epilog

For grekerne var det geometri og tallteori som var matematikkog de oppfattet de to delene som uløselig knyttet til hverandre.

Araberne introduserte algebra

og Newton og Leibniz utviklet analyse som et hjelpemiddel til aforsta - og utlede viktige konsekvenser av - de fysiske lovene.

Etter den tid har det matematiske byggverket økt i omfang,drevet fram av mange menneskers ønske om - og evne til - aforsta kompliserte tankekonstruksjoner. Denne spesiellemotivasjonen, matematikerens uegennyttige, og - vil mange si -unyttige intellektuelle streben etter a forsta det Platon kalteden høyeste form for visdom, uoppnaelig for andre vitenskaper,har i sin tur ført med seg en akselerert teknologisk utvikling.


matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell



Epilog

Matematikk er ogsa et sprak, et universelt sadan. Matematiskeformuleringer er like uansett hvor i verden de formuleres.Matematikk som sprak er entydig, det er ikke rom fortvetydigheter og det er derfor det beste hjelpemiddel somfinnes til a beskrive en eksakt vitenskap.

Matematiske sannheter er det eneste i verden som varer evig,de svekkes ikke og de styrkes ikke. Euklids plangeometriskeresultater var sanne da de ble formulert og de er sanne den dagi dag. Like gamle medisinske sannheter blir nok i dag oppfattetsom et mildest talt tvilsomt grunnlag for a stille diagnoser.


matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell



Epilog

Konklusjon for del 3, Noe som kommer og noe som gar :

Enkelte sma deler av matematikken byttes ut som en følge avkortsiktige historiske utviklingstrekk. Men faget ligger i detstore og hele fast, har gjort det i flere tusen ar, og vil pa grunnav matematikkens egenart fortsatt ligge fast i N ar, igjen for etvilkarlig naturlig tall N.


matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell



Epilog

Matematikklærerens utfordring, del 1:

Det viktigste innholdet i en matematisk forstaelse pa et hvertniva er evnen til a tenke logisk stringent, evnen til a følgeresonnementer, bade muntlig og gjennom skriftligesymbolmanipulerende framstillinger. Det er a beherske en delteknikker til fingerspissene og det er evnen til a analysereproblemstillinger pa en slik mate at grunnlaget for a velgestrategier for a løse problemene ikke kun baserer seg pasynsing, men har en forankring i det rasjonelle.


matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell



Epilog


Denne kompetansen øves opp gjennom det mange vil oppfattesom hardt mentalt arbeid der ens personlige abstraksjonsnivaskrittvis flyttes oppover og det vanskelige etterhvert blir lett.Det er ingen snarveier, men for de fleste vil det være bedre a natoppen etter a ha klatret opp framfor a bli fløyet inn medhelikopter. Utsikten er den samme, men den personligeerfaringen er forskjellig.


matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell



Epilog


Matematikklærerne ma ha tilstrekklig kunnskaper i faget,god innsikt i fagets egenart, og evne til a motivere elevenetil a jobbe steinhardt med a heve sitt abstraksjonsniva. De maevne a utfordre elevene pa deres eget niva, og klare abalansere sin undervisning til pa samme tid a presenterematematikk som en kreativ prosess der valg av strategier ikkeer forutbestemt og som et regelstyrt spill der kun ett korrektsvar er akseptabelt.

(Kanskje ikke verdens enkleste oppgave, men desto mertilfredstillende nar lærerens entusiasme nesten umerkeligkonverteres til en opplevelse hos eleven av a forsta, av a mestreog av a evne a bruke kunnskapen til a takle nye utfordringer.)


matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell



Epilog

Aksiom. Lærerene ma være gode pa det vi ønsker at eleveneskal bli gode pa.

Korollar. Dersom lærerne ikke behersker et emne, en metodeeller en teknikk, sa vil heller ikke elevene komme til a gjøre det.


matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell



Epilog

Noen erfaringer med nye studenter ved Universitetet i Oslo:

Mangelfull automatisering mht. symbolmanipulering.

• Enkel brøkregning; 12 + 2

3 , eller 12 ·

23

• Elementær algebra, f.eks. 1. kvadratsetning,(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 eller baklengs,

√x2 + y 2 er ikke

det samme som x + y (selv om mange apenbart tror det).


matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell



Epilog

Logisk stringens ved løsning av likninger

• 2x = 1 betyr ikke at x = 2

• Hvis x2 = 1, sa er x = 1.

• Hvis vi kjører fra A til B med hastighet 60 km/t, ogtilbake med hastighet 80 km/t. hva ergjennomsnittshastigheten pa hele turen?(Umulig a svare pa, men aldri 70 km/t)


matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell



Epilog

”Følelse” for tall

• Hvilket tall er størst, 0.3 eller 2471 ?

• Primtallsfaktorisering; 63 =, 225 = ?


matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell



Epilog

Innsikt i matematisk modellering

• Tekstoppgaver eller uoppstilte likninger, oversette tilmatematisk sprak


matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell



Epilog

Matematikkundervisningens paradoks: Matematikk dreierseg ikke i størst grad om a finne svar, men om a finne metoderfor a finne svar. Men hva skal du med metoder for a finne svarnar du ikke er interessert i svaret?


matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell



Epilog

Oppgave. Fire naboer har 6 ting hver, men de har alle 2 tingfelles med hver nabo de har felles gjerde med. I hjørner der treeiendommer møtes vil de tre naboene ha en av tingene sinefelles. Ellers har ingen ting mer enn to eiere. Dersomeiendommene ser ut som pa figuren, hvor mange ting har defire naboene til sammen?

66

66


matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell



Epilog

Svar. De har 16 ting til sammen.Hvorfor? Legger vi sammen de fire antallene, far vi 24. Menda har vi talt med alle fellestingene flere ganger, 10 ting, for avære presis, 2 for hvert fellesgjerde. Dermed ma vi trekke fra10 og far 14. Men siden vi har to 3-riks-grenser betyr dette atvi trekker fra 2 ting en gang for mye, og vi ma legge til 2 for afa det rette svaret, altsa 4 · 6− 5 · 2 + 2 · 1 = 16.

Svaret pa denne oppgaven er totalt uinteressant, men maten vifinner løsningen apner et lite univers for oss, den antyder engenerell formel med mye større nedslagsfelt enn dette lilleeksemplet.

Neste time: Splines - grunnleggende teori og anvendelser.


matem-atikklærer

ha?

A.B. Sletsjøe

Prolog

Historiskperspektiv

En viktigforskjell



Epilog

Hvilken kunnskap ma en framtidig matematikklærer ha?

Akkurat det samme som garsdagens matematikklærer matteha, dvs. fagkunnskap, entusiasme, innsikt i matematikkensegenart og et vidt spekter av pedagogiske virkemidler, tilpassetelevgruppa.

Takk for oppmerksomheten!

Hvilken kunnskap m a en framtidig matematikklˆrer ha? · primtall, Euclids algoritme, geometriske...

Documents

Transcript of Hvilken kunnskap m a en framtidig matematikklˆrer ha? · primtall, Euclids algoritme, geometriske...