Hướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấp

Hướng dẫn giải bài tập chuỗi_CBM 2009

CHUỖI

CHUỖI SỐ.

𝑢𝑛

+∞

𝑛=1

𝑆𝑛 = 𝑢𝑖

𝑛

𝑖=1

CÁC LOẠI BÀI TOÁN VỀ CHUỖI.

1.1 Tìm số hạng tổng quát.

Dựa vào các số hạng ban đầu, phân tích để tìm ra quy luật và từ đó tìm ra số hạng tổng quát

của chuỗi.

Ví dụ 1: Tìm số hạng tổng quát của các chuỗi sau:

a, 1

2+

3

4+

5

6+

7

8+ ⋯

b, 1

2+

4

4+

7

8+

10

16+ ⋯

c, 3!

2.4+

5!

2.4.6+

7!

2.4.6.8+ ⋯

Giải.

a, Tử số là các số tự nhiên lẻ, mẫu số là các số tự nhiên chẵn, tử số kém mẫu số 1 nên phần tử

tổng quát là: 𝑢𝑛 =2𝑛−1

2𝑛, 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 1,2,3, …

b, Tử số lập thành cấp số cộng với công sai là d = 3, do đó số hạng tổng quát của nó là

𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑑 𝑛 − 1 = 1 + 3 𝑛 − 1 = 3𝑛 − 2, còn mẫu số lập thành cấp số nhân với công

bội q = 2, 𝑏𝑛 = 2𝑛 . Vậy số hạng tổng quát là: 𝑢𝑛 =3𝑛−2

2𝑛 , 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 1,2,3, …

c, Ta dễ dàng thấy:

𝑢𝑛 =(2𝑛 + 1)!

2. (𝑛 + 1)!, 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 1,2,3, …

1.2 Tìm tổng của chuỗi số hội tụ.

Cách giải.

Chuỗi số chỉ có tổng khi nó hội tụ.

Phương pháp thường dùng là xác định 𝑆𝑛 sau đó tìm giới hạn: lim𝑛→∞ 𝑆𝑛

Ngoài ra có thể tìm bằng cách xác định thong qua tổng của chuỗi hàm (phần này ta sẽ đề cập

ở mục chuỗi hàm).

Tìm tổng của các chuỗi sau:(nễu có)

Ví dụ 2:

1

2𝑛 − 3 (2𝑛 − 1)

+∞

𝑛=1

Giải.

Xét tổng riêng thứ n:

𝑆𝑛 = 1

2𝑖 − 3 2𝑖 − 1

𝑛

𝑖=2

=1

2

1

2𝑖 − 3−

1

2𝑖 − 1

𝑛

𝑖=2

𝑆𝑛 =1

2 1 −

1

3+

1

3−

1

5+ ⋯ +

1

2𝑛 − 3−

1

2𝑛 − 1 =

1

2 1 −

1

2𝑛 − 1


Suy ra:

lim𝑛→+∞

𝑆𝑛 =1

2

Vậy tổng của chuỗi đã cho là: 𝑆 =1

2.

Ví dụ 3:

1

𝑛(𝑛 + 1)

+∞

𝑛=4

Giải.

Xét tổng riêng thứ n:

𝑆𝑛 = 1

𝑖(𝑖 + 1)

𝑛

𝑖=4

= 1

𝑖−

1

𝑖 + 1

𝑛

𝑖=4

𝑆𝑛 =1

4−

1

5+

1

5−

1

6+ ⋯ +

1

𝑛−

1

𝑛 + 1=

1

4−

1

𝑛 + 1

Nên

lim𝑛→+∞

𝑆𝑛 =1

4


4

Ví dụ 4:

1

2𝑛 2𝑛 + 2 (2𝑛 + 4)

+∞

𝑛=1

Giải.

1

2𝑛 2𝑛 + 2 (2𝑛 + 4)=

1

8(𝐴

𝑛+

𝐵

𝑛 + 1+

𝐶

𝑛 + 2)

Đồng nhất hệ số ta tìm được: =1

2, 𝐵 = −1, 𝐶 =

1

2 . thay vào ta có:

1

2𝑛 2𝑛 + 2 (2𝑛 + 4)=

1

8

1

𝑛−

2

𝑛 + 1+

1

𝑛 + 2 =

1

16((

1

𝑛−

1

𝑛 + 1) − (

1

𝑛 + 1−

1

𝑛 + 2))

𝑆𝑛 = 1

2𝑖 2𝑖 + 2 (2𝑖 + 4)

𝑛

𝑖=1

=1

16 ((

1

𝑖−

1

𝑖 + 1) − (

1

𝑖 + 1−

1

𝑖 + 2))

𝑛

𝑖=1

𝑆𝑛 =1

16 (

1

𝑖−

1

𝑖 + 1)

𝑛

𝑖=1

−1

16 (

1

𝑖 + 1−

1

𝑖 + 2)

𝑛

𝑖=1

𝑆𝑛 =1

16 1 −

1

𝑛 + 1 −

1

16(1

2−

1

𝑛 + 2)

lim𝑛→+∞

𝑆𝑛 =1

16−

1

32=

1

32


32

Ví dụ 5:

3𝑛2 + 3𝑛 + 1

𝑛3(𝑛 + 1)3

+∞

𝑛=1


Giải.

Bằng phương pháp phân tích như ví dụ 4 ta có thể tách 𝑢𝑛 ra hoặc có thể thực hiện:

3𝑛2 + 3𝑛 + 1

𝑛3(𝑛 + 1)3=

𝑛3 + 3𝑛2 + 3𝑛 + 1 − 𝑛3

𝑛3(𝑛 + 1)3=

1

𝑛3−

1

(𝑛 + 1)3

Nên

𝑆𝑛 = (1

𝑖3−

1

(𝑖 + 1)3)

𝑛

𝑖=1

= 1 −1

(𝑛 + 1)3

lim𝑛→+∞

𝑆𝑛 = 1

Xét sự hội tụ của chuỗi số:

Các chuỗi 𝑢𝑛+∞𝑛=1 và 𝑎𝑢𝑛

+∞𝑛=1 , (𝑎 ≠ 0) luôn cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Khi xét sự hội tụ của chuỗi số, ta cần lưu ý đến điều kiên cần để chuỗi số hội tụ, tức là

từ điều kiện lim𝑛→∞ 𝑢𝑛 ≠ 0 thì kết luận chuỗi đã cho phân kỳ, còn nếu lim𝑛→∞ 𝑢𝑛 = 0 thì ta

phải tiếp tục xét bằng các tiêu chuẩn khác.

Khi áp dung tiêu chuẩn Cauchy để xét sự hôi tụ của chuỗi số, ta chú ý rằng nếu chỉ ra

rằng lim𝑛→+∞ |𝑆𝑚 − 𝑆𝑛 | ≠ 0 thì có thể kết luận chuỗi đã cho phân kỳ, còn

nếulim𝑛→+∞ |𝑆𝑚 − 𝑆𝑛 | thì chuỗi đãcho hội tụ.

Đối với chuỗi số dương có 5 tiêu chuẩn để xét sự hội tụ

Tiêu chuẩn 1.

Cho hai chuỗi số dương 𝑢𝑛+∞𝑛=1 , 𝑣𝑛

+∞𝑛=1 .Nếu 𝑢𝑛 ≤ 𝑣𝑛 , ∀𝑛 ≥ 𝑛0 thì:

Chuỗi 𝑢𝑛+∞𝑛=1 phân kỳ thì 𝑣𝑛

+∞𝑛=1 phân kỳ.

Chuỗi 𝑣𝑛+∞𝑛=1 hội tụ thì 𝑢𝑛

+∞𝑛=1 hội tụ.

Tiêu chuẩn 2.

Cho hai chuỗi số dương 𝑢𝑛+∞𝑛=1 , 𝑣𝑛

+∞𝑛=1 . Đặt 𝑘 = lim𝑛→+∞

𝑢𝑛

𝑣𝑛, nếu 0 < 𝑘 < +∞

thì hai chuỗi 𝑢𝑛+∞𝑛=1 , 𝑣𝑛

+∞𝑛=1 luôn cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Chú ý một số nhận xét:

Khi 𝑥 → 0+ thì:

tg(x)~ sin 𝑥 ~𝑥; ln 1 + 𝑥 ~𝑥; (1 + 𝑥)𝛼 − 1~𝛼𝑥; 𝑒𝑥 − 1~𝑥; 1 − cos(𝑥)~𝑥2

2

Khi 𝑥 → +∞ thì:

sin 𝑥 ≤ 𝑥; ln 𝑥 ≤ 𝑥𝛼 , 𝛼 > 0 ; 𝑒𝑥 − 1 ≤ 𝑥

Nếu 𝑢𝑛 =𝑄(𝑛)

𝑃(𝑛), với 𝑃 𝑛 , 𝑄(𝑛) là các đa thức theo n thì ta đánh giá

𝑢𝑛~1

𝑛𝛼

với 𝛼 = deg 𝑃 − deg(𝑄).

Có thể áp dụng khai triển Mac Laurin vào để dánh giá các số hạng. Đặc biệt chú ý các khai

triển

1 + 𝑥 𝛼 = 1 +𝛼𝑥

1!+

𝛼 𝛼 − 1 𝑥2

2!+ ⋯

𝑒𝑥 = 1 +𝑥

1!+

𝑥2

2!+

𝑥3

3!+ ⋯ , −∞ < 𝑥 < ∞


ln 1 + 𝑥 = 𝑥 −𝑥2

2+

𝑥3

3−

𝑥4

4+ ⋯

sin 𝑥 = 𝑥 −𝑥3

3!+

𝑥5

5!− ⋯

cos 𝑥 = 1 −𝑥2

2!+

𝑥4

4!−

𝑥6

6!+ ⋯

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 = 𝑥 −𝑥3

3+

𝑥5

5−

𝑥7

7+ ⋯

Tiêu chuẩn 3 .

Cho chuỗi số dương 𝑢𝑛+∞𝑛=1 , đặt 𝑑 = lim𝑛→+∞

𝑢𝑛+1

𝑢𝑛, nếu :

𝑑 < 1 chuỗi đã cho hội tụ.

𝑑 > 1 chuỗi đã cho phân kỳ.

Tiêu chuẩn 4.

Cho chuỗi số dương 𝑢𝑛+∞𝑛=1 , đặt 𝑐 = lim𝑛→+∞ 𝑢𝑛

𝑛, nếu :

𝑐 < 1 chuỗi đã cho hội tụ.

𝑐 > 1 chuỗi đã cho phân kỳ.

Chú ý :

Nếu lim𝑛→+∞𝑢𝑛+1

𝑢𝑛= 1 (lim𝑛→+∞ 𝑢𝑛

𝑛 = 1) và 𝑢𝑛+1

𝑢𝑛≥ 1, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 ( 𝑢𝑛

𝑛 ≥ 1) thì

chuỗi đã cho phân kỳ vì 𝑢𝑛 tăng nên lim𝑛→∞ 𝑢𝑛 ≠ 0.

Tiêu chuẩn 5.

Cho chuỗi số dương 𝑢𝑛+∞𝑛=1 , nếu tồn tại hàm 𝑓(𝑥) sao cho 𝑢𝑛 = 𝑓 𝑛 , ∀𝑛 ≥ 𝑛0 và

𝑓(𝑥) liên tục, đơn điệu giảm trên (𝑛0, +∞) thì f x dx+∞

𝑛0 và 𝑢𝑛

+∞𝑛=1 cùng hội tụ hoặc cùng

phân kỳ.

Khi ta xét sự hội tụ của một chuỗi có dấu bất kỳ 𝑢𝑛+∞𝑛=1 , ta có thể xét chuỗi

𝑢𝑛 +∞𝑛=1 bằng các tiêu chuẩn của chuỗi số dương. Nếu chuỗi 𝑢𝑛 +∞

𝑛=1 hội tụ thì kết luận

chuỗi đã cho 𝑢𝑛+∞𝑛=1 hội tụ còn nếu chuỗi 𝑢𝑛 +∞

𝑛=1 phân kỳ thì ta chưa kết luận mà phải

dùng các tiêu chuẩn khác.

Khi xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu (−1)𝑛−1𝑢𝑛+∞𝑛=1 , ta xét tiêu chuẩn Leibnitz.

Tiêu chuẩn Leibnitz.

Chuỗi đan dấu (−1)𝑛−1𝑢𝑛+∞𝑛=1 hội tụ nếu 𝑢𝑛 đơn điệu giảm và lim𝑛→+∞ 𝑢𝑛 = 0.

Xét sự hội tụ của các chuỗi :

Ví dụ 6 :

𝑎𝑛

+∞

𝑛=1

, 𝑎 > 0.

Giải.

Do lim𝑛→∞ 𝑢𝑛 = lim𝑛→∞ 𝑎𝑛

= 1 ≠ 0 nên chuỗi đã cho phân kỳ.

Ví dụ 7 :

1

𝑛

+∞

𝑛=1


Giải.

Xét 𝑆2𝑛 − 𝑆𝑛 = 1

𝑖

2𝑛𝑖=𝑛+1 ≤ 𝑛

1

2𝑛

2𝑛𝑖=𝑛+1 =

1

2⟹ lim𝑛→∞ 𝑆2𝑛 − 𝑆𝑛 ≠ 0, vậy chuỗi đã cho

phân kỳ.

Ví dụ 8 :

𝑙𝑛𝑛

𝑛3 + 𝑛2 + 2

+∞

𝑛=1

Giải.

Ta đánh giá: Do 𝑙𝑛𝑛 ≤ 𝑛, ∀𝑛 ≥ 1 nên 𝑙𝑛𝑛

𝑛3+𝑛2+2≤

𝑛

𝑛3+𝑛2+2≤

1

𝑛2 mà chuỗi 1

𝑛2+∞𝑛=1 hội

tụ nên theo chuẩn 1 thì chuỗi đã cho hội tụ.

Ví dụ 9:

𝑛𝑙𝑛𝑛

𝑛2 − 1

+∞

𝑛=1

Giải.

Ta có: 𝑛𝑙𝑛𝑛

𝑛2−1≥

𝑛

𝑛2 =1

𝑛 mà chuỗi điều hòa

1

𝑛

+∞𝑛=1 phân kỳ, vậy chuỗi đã cho phân kỳ.

Ví dụ 10:

𝑛𝑠𝑖𝑛( −1 𝑛

𝑛3)

+∞

𝑛=1

Giải.

Đây không là chuỗi số dương nhưng chuỗi |𝑛𝑠𝑖𝑛 −1 𝑛

𝑛3 |+∞𝑛=1 nên ta đánh giá:

Do 𝑠𝑖𝑛 −1 𝑛

𝑛3 ~ −1 𝑛

𝑛3 =1

𝑛3 nên |𝑛𝑠𝑖𝑛 −1 𝑛

𝑛3 |~1

𝑛2, chuỗi 1

𝑛2+∞𝑛=1 hội tụ nên chuỗi

|𝑛𝑠𝑖𝑛 −1 𝑛

𝑛3 |+∞𝑛=1 hội tụ và suy ra 𝑛𝑠𝑖𝑛(

−1 𝑛

𝑛3 )+∞𝑛=1 hội tụ.

Ví dụ 11:

(𝑛!)2

2𝑛 !

+∞

𝑛=1

Giải.

Áp dụng tiêu chuẩn D’Alembert ta xét:

lim𝑛→+∞

𝑢𝑛+1

𝑢𝑛= lim

𝑛→+∞

((𝑛 + 1)!)2

2(𝑛 + 1) !

2𝑛 !

(𝑛!)2= lim

𝑛→+∞

((𝑛 + 1)!)2

2(𝑛 + 1) !

2𝑛 !

(𝑛!)2

lim𝑛→+∞

𝑢𝑛+1

𝑢𝑛= lim

𝑛→+∞

(𝑛 + 1)2

2𝑛 + 1 (2𝑛 + 2)=

1

4< 1

Vậy chuỗi đã cho hội tụ.

Ví dụ 12:

(1 +1

𝑛)𝑛2 1

2𝑛

+∞

𝑛=1

Giải.

Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy ta xét:


lim𝑛→+∞

𝑢𝑛𝑛 = lim

𝑛→+∞ (1 +

1

𝑛)𝑛2 1

2𝑛

𝑛

= lim𝑛→+∞

(1 +1

𝑛)𝑛

1

2=

𝑒

2> 1

Vậy chuỗi đã cho phân kỳ.

Ví dụ 13:

(−1)𝑛𝑛!

𝑛𝑛𝑒𝑛

+∞

𝑛=1

Giải.

Xét chuỗi chuỗi dương : | −1 𝑛 𝑛 !

𝑛𝑛𝑒𝑛 |+∞

𝑛=1 = 𝑛 !

𝑛𝑛𝑒𝑛+∞

𝑛=1 = 𝑢𝑛+∞𝑛=1 . Nếu áp dụng tiêu

chuẩn D’Alembert thì lim𝑛→+∞𝑢𝑛+1

𝑢𝑛= 1 chưa thể kết luận nhưng ta có thể dánh giá :

𝑢𝑛+1

𝑢𝑛= 𝑒. (

𝑛

𝑛 + 1)𝑛 =

𝑒

(1 +1𝑛)𝑛

Nhưng do dãy (1 +1

𝑛)𝑛 đơn điệu tăng dần đến e nên

𝑢𝑛+1

𝑢𝑛=

𝑒

(1 +1𝑛)𝑛

≥ 1 ⇒ 𝑢𝑛+1 ≥ 𝑢𝑛 , ∀𝑛

nên 𝑢𝑛 tăng nên lim𝑛→∞ 𝑢𝑛 ≠ 0 ⇒ lim𝑛→∞(−1)𝑛𝑢𝑛 ≠ 0

Vậy chuỗi (−1)𝑛 𝑛 !

𝑛𝑛 𝑒𝑛+∞𝑛=1 = (−1)𝑛𝑢𝑛

+∞𝑛=1 phân kỳ.

Ví dụ 14:

(−1)𝑛sin(𝜋

3𝑛)

+∞

𝑛=1

Giải.

Do sin(𝜋

3𝑛 )~𝜋

3𝑛 và chuỗi 𝜋

3𝑛+∞𝑛=1 hội tụ nên chuỗi |(−1)𝑛sin(

𝜋

3𝑛 )+∞𝑛=1 | suy ra chuỗi đã cho

hội tụ.

Hơn thế do chuỗi trị tuyệt đối |(−1)𝑛sin(𝜋

3𝑛 )+∞𝑛=1 | hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối.

Ví dụ 15:

(−1)𝑛𝑙𝑛𝑛

𝑛

+∞

𝑛=1

Giải.

Xét hàm số 𝑓 𝑥 =𝑙𝑛𝑥

𝑥, ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 =

1−𝑙𝑛𝑥

𝑥2 , ∀𝑥 ≥ 3 nên 𝑓 𝑥 đơn điệu giảm , ∀𝑥 ≥ 3 suy ra 𝑙𝑛𝑛

𝑛

đơn điệu giảm ∀𝑛 ≥ 3 và lim𝑛→+∞𝑙𝑛𝑛

𝑛= lim𝑛→+∞

1

𝑛= 0 (Áp dụng L’Hospitale)

Vậy theo tiêu chuẩn Leibnitz chuỗi đã cho hội tụ.

Do −1 𝑛 𝑙𝑛𝑛

𝑛 =+∞

𝑛=1 𝑙𝑛𝑛

𝑛

+∞𝑛=1 >

1

𝑛

+∞𝑛=1 phân kỳ nên chuỗi đã cho bán hội tụ.


CHUỖI HÀM

𝑢𝑛(𝑥)

+∞

𝑛=1

Có tổng riêng thứ n.

𝑆𝑛(𝑥) = 𝑢𝑖(𝑥)

𝑛

𝑖=1

2.1 Hội tụ đều.

Cách giải.

Sự hội tụ của chuỗi hàm 𝑢𝑛(𝑥)+∞𝑛=1 trên tập X chính là sự hội tụ của dãy hàm

{𝑆𝑛(𝑥)} trên tập X, do vậy ta có thể dùng định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm để xét trực

tiêp.

Định nghĩa sự hội tụ của dãy hàm.

Dãy hàm số {𝑆𝑛(𝑥)} được gọi là hội tụ đều trên X tới hàm số 𝑆(𝑥) (𝑆𝑛(𝑥) ⇉ 𝑆(𝑥)) nếu

với mọi số 𝜀 > 0, tìm được một số 𝑛0 𝜀 ∈ 𝑁, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 , ∀𝑥 ∈ 𝑋 sao cho 𝑆𝑛 𝑥 − 𝑆 𝑥 < 𝜀.

Điều kiện trên tương đương với điều kiện sup𝑋 𝑆𝑛 𝑥 − 𝑆 𝑥 → 0, (𝑛 → +∞).

Chú ý: Phủ định của định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm là:

Dãy hàm số {𝑆𝑛(𝑥)} không hội tụ đều trên X tới hàm số 𝑆(𝑥) nếu với tồn tại 𝜀 > 0, tìm

được 𝑥0 ∈ 𝑋 ∀𝑛0 𝜀, 𝑥0 ∈ 𝑁, ∃𝑛 ≥ 𝑛0 sao cho 𝑆𝑛 𝑥0 − 𝑆 𝑥0 ≥ 𝜀.

Hoặc ta có thể áp dụng sự hội tụ đều của chuỗi hàm liên tục là: nếu 𝑢𝑛 𝑥 liên tục trên X

và 𝑆𝑛 𝑥 ⇉ 𝑆 𝑥 trên X thì 𝑆 𝑥 liên tục trên X.

Từ đó suy ra phủ định của tính chất trên là: nếu 𝑢𝑛 𝑥 liên tục trên X và 𝑆𝑛 𝑥 → 𝑆 𝑥

trên X và 𝑆 𝑥 không liên tục trên X thì 𝑆𝑛 𝑥 không hội tụ đề đến 𝑆 𝑥 trên X.

Khi ta chưa biết 𝑆(𝑥) thì có thể áp dụng định lý Cauchy hoặc định lý Weierstrass để

đánh giá sự hội tụ đều của chuỗi hàm.

Định lý Cauchy.

Chuỗi hàm 𝑢𝑛(𝑥)+∞𝑛=1 hội tụ đều trên X khi và chỉ khi ∀𝜀 > 0, ∃𝑛0 𝜀 : ∀𝑚, 𝑛 ≥ 𝑛0

thì 𝑆𝑚 𝑥0 − 𝑆𝑛 𝑥0 < 𝜀. Điều kiện trên tương đương với sup𝑋 𝑆𝑚 𝑥 − 𝑆𝑛 𝑥 →

0, (𝑚, 𝑛 → +∞)

Vậy, nếu ta chỉ ra rằng ∃𝑥0 ∈ 𝑋, ∀𝑛0 > 0, ∃𝑚, 𝑛 ≥ 0 sao cho 𝑆𝑚 𝑥0 − 𝑆𝑛 𝑥0 ↛

0, , (𝑚, 𝑛 → +∞) thì chuỗi đã cho không hội tụ đều trên X.

Tiêu chuẩn Weierstrass:

Nếu ∃𝑛0 >: ∀𝑛 ≥ 𝑛0 thì 𝑢𝑛 𝑥 ≤ 𝑎𝑛 , ∀𝑥 ∈ 𝑋 và chuỗi số 𝑎𝑛+∞𝑛=1 hội tụ thì chuỗi

hàm 𝑢𝑛 𝑥 +∞𝑛=1 hội tụ đều trên X.

Ví dụ : Cho chuỗi hàm:

1 − 𝑥 𝑥𝑛

+∞

𝑛=1

Xét tính hội tụ đều trên [0,1]

Giải.

Ta xét tổng riêng thứ n: 𝑆𝑛(𝑥) = 1 − 𝑥 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 = 1 − 𝑥 (1 + 𝑥 + ⋯ + 𝑥𝑛)

𝑆𝑛 𝑥 = 1 − 𝑥𝑛+1, 0 ≤ 𝑥 < 1

0, 𝑥 = 1


𝑆𝑛 𝑥 → 𝑆 𝑥 = 1, 0 ≤ 𝑥 < 10, 𝑥 = 1

, (𝑛 → +∞)

Do 𝑢𝑛 𝑥 = 1 − 𝑥 𝑥𝑛 là các hàm liên tục và 𝑆𝑛 𝑥 → 𝑆 𝑥 và 𝑆 𝑥 không liên tục

nên 𝑆𝑛 𝑥 không hội tụ đều đến 𝑆 𝑥 trên [0,1] nên chuỗi đã cho hội tụ đều trên [0,1].

Hoặc ta có thể lập luận như sau: Lấy 𝑥 = 1 −1

𝑛+1∈ [0,1], xét hiệu 𝑆𝑛 𝑥 − 𝑆 𝑥 =

(1 −1

𝑛+1)𝑛+1 →

1

𝑒≠ 0(𝑛 → ∞) nên chuỗi đã cho hội tụ đều.

Nếu 𝑥 ∈ 0, 𝑎 , 0 < 𝑎 < 1 thì 𝑆𝑛 𝑥 ⇉ 𝑆 𝑥 vì 1 − 𝑥 𝑥𝑛 ≤ 𝑎𝑛 và chuỗi 𝑎𝑛+∞𝑛=1 hội

tụ nên theo tiêu chuẩn Weierstrass chuỗi đã cho hội tụ đều trên [0,1].

Hoặc ta có thể áp dụng phủ định của định lý Cauchy để đánh giá

Đặt 𝑓 𝑥 = 𝑆2𝑛 𝑥 − 𝑆𝑛 𝑥 = 𝑥2𝑛+1 − 𝑥𝑛+1, 𝑥 ∈ 0,1

𝑓 ′ 𝑥 = 2𝑛 + 1 𝑥2𝑛 − 𝑛 + 1 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛 2𝑛 + 1 𝑥𝑛 − 𝑛 + 1

𝑓 ′ 𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝑛 + 1

2𝑛 + 1

1𝑛

, 𝑓 𝑛 + 1

2𝑛 + 1

1𝑛 = −

𝑛 + 1

2𝑛 + 1

𝑛+1𝑛 𝑛

2𝑛 + 1

Bảng biến thiên:

x 0 𝑛 + 1

2𝑛 + 1

1𝑛

1

𝑓 ′ (𝑥) 0

𝑓(𝑥)

0

𝑓 𝑛 + 1

2𝑛 + 1

1𝑛

0

sup 0,1

𝑓𝑥 | = 𝑓 𝑛 + 1

2𝑛 + 1

1𝑛 =

𝑛 + 1

2𝑛 + 1

𝑛+1𝑛 𝑛

2𝑛 + 1→

1

4, (𝑛 → +∞)

Ví dụ: Xét tính hội tụ đều của chuỗi hàm sau trên R.

𝑥𝑛

𝑛2

+∞

𝑛=1

Giải.

Do 𝑢𝑛 𝑥 =𝑥𝑛

𝑛2≤

1

𝑛2, ∀𝑥 ∈ [−1,1], chuỗi Riemann

1

𝑛2+∞𝑛=1 hội tụ nên theo tiêu chuẩn

Weierstrass chuỗi 𝑥𝑛

𝑛2+∞𝑛=1 hội tụ đều trên [−1,1].

Nếu |𝑥| ≥ 1 thì lim𝑛→+∞ |𝑢𝑛 𝑥 | = ∞ ≠ 0 chuỗi đã cho phân kỳ.

Vậy chuỗi đã cho hội tụ đều trên [−1,1].

Ví dụ: Xét tính hội tụ đều của chuỗi hàm sau trên R.

−1 𝑛 sin 𝑛𝑥

2𝑛2 + 1

+∞

𝑛=1

Giải.

Với mỗi x cố định, để chuỗi đang xét là chuỗi đan dấu thì sin 𝑛𝑥

2𝑛2+1 ≥ 0. Do vậy ta xét:


Với 𝑥 ∈ 0, 𝐴 , 𝐴 > 0 thì đây là chuỗi đan dấu có sin 𝑛𝑥

2𝑛2+1 đơn điệu giảm (do

𝑛𝑥

2𝑛2+1 đơn

điệu giảm trong (0,𝜋

2)) và lim𝑛→+∞ sin

𝑛𝑥

2𝑛2+1 = 0 nên theo tiêu chuẩn Leibnitz chuỗi đã

cho hội tụ. Gọi 𝑆(𝑥) là tổng, khi đó ta có:

𝑆𝑛 𝑥 − 𝑆 𝑥 = −1 𝑖𝑢𝑖

∞

𝑖=𝑛+1 ≤ 𝑢𝑛 = sin

𝑛𝑥

2𝑛2 + 1 ≤

𝑛𝑥

2𝑛2 + 1≤

𝑛𝐴

2𝑛2=

𝐴

2𝑛

𝑆𝑛 𝑥 − 𝑆 𝑥 ≤𝐴

2𝑛→ 0, 𝑛 → +∞ , ∀𝑥 ∈ [0, 𝐴]

Nên chuỗi đã cho hội tụ đều trên 0, 𝐴 , 𝐴 > 0.

Nếu 𝑥 > 𝐴 > 0 thì chuỗi đang xét không hội tụ đều vì:

𝑆𝑛 𝑛𝜋 − 𝑆𝑛−1 𝑛𝜋 = sin 𝑛2𝜋

2𝑛2 + 1 → 1 ≠ 0, (𝑛 → +∞)

Với 𝑥 ∈ −𝐴, 0 , 𝐴 > 0 thì ta biến đổi −1 𝑛 sin 𝑛𝑥

2𝑛2+1 +∞

𝑛=1 = − −1 𝑛 sin 𝑛 |𝑥|

2𝑛2+1 +∞

𝑛=1 ,

với |𝑥| ∈ 0, 𝐴 , 𝐴 > 0 nên theo chứng minh thì chuỗi hội tụ đều.

Vậy chuỗi đã cho hội tụ đều trên −𝐴, 𝐴 , 𝐴 > 0 hữu hạn.

2.2 Miền hội tụ của chuỗi hàm:

a, Miền hội tụ của chuỗi bất kỳ.

𝑢𝑛(𝑥)

+∞

𝑛=1

Cách giải.

- Trước tiên ta tìm miền xác định D của hàm 𝑢𝑛(𝑥)

- Tìm lim𝑛→+∞ |𝑢𝑛+1(𝑥)

𝑢𝑛 (𝑥)| = |𝜑 𝑥 |(lim𝑛→+∞ |𝑢𝑛(𝑥)| 𝑛 = |𝜑 𝑥 |)

- Giải bất phương trình 𝜑 𝑥 < 1 ta tìm được tập nghiệm A

- Xét tính hội tụ của chuỗi số tại các điểm biên (Điểm biên là nghiệm của phương trình

𝑢𝑛 𝑥 = 0)

- Miền hội tụ của chuỗi chính là các điểm thuộc giao của D, A và hợp với các điểm hội tụ

trên biên.

b, Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

𝑎𝑛𝑥𝑛

+∞

𝑛=1

Cách giải.

Do các phần tử của chuỗi lũy thừa có tập xác định là R và miền xác định có tính “đối xứng”

chuỗi nên:

- Trước hết ta tìm bán kính hội tụ R.

𝑅 =

1

𝜌 ,0 < 𝜌 < +∞

0 𝜌 = +∞+∞ 𝜌 = 0

𝑣ớ𝑖 𝜌 = lim𝑛→+∞

𝑎𝑛+1

𝑎𝑛 , (𝜌 = lim

𝑛→+∞ 𝑎𝑛

𝑛)

- Xét sự hội tụ của chuỗi tại 2 điểm biên 𝑥 = ±𝑅

- Kết luận miền hội tụ chuỗi là khoảng (−𝑅, 𝑅) hợp với các điểm biên hội tụ.

Chú ý:


Nếu chuỗi hàm dạng 𝑎𝑛[𝑓 𝑥 ]𝑛+∞𝑛=1 ta đặt 𝑦 = 𝑓(𝑥) thì chuỗi đã cho đưa về được chuỗi lũy

thừa. Giả sử tìm được miền hội tụ 𝑦 ∈ [𝑎, 𝑏]. Giải hệ bất phương trình : 𝑎 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑏 ta tìm

được tập nghiệm X chính là miền hội tụ của chuỗi ban đầu.

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa.

Ví dụ :

1

𝑛(𝑙𝑛𝑥)𝑛

+∞

𝑛=1

Giải.

Hàm 𝑢𝑛(𝑥) =1

𝑛(𝑙𝑛𝑥 )𝑛 xác định ∀𝑥 ∈ (0, +∞).

Ta xét lim𝑛→+∞ |𝑢𝑛 +1

𝑢𝑛| = lim𝑛→+∞ |

1

(𝑛+1)(𝑙𝑛𝑥 )𝑛+1

𝑛(𝑙𝑛𝑥 )𝑛

1| =

1

|𝑙𝑛𝑥 |< 1 ⇒

𝑥 > 𝑒

0 < 𝑥 <1

𝑒

Tại 𝑥 = 𝑒 chuỗi đã cho là chuỗi điều hòa 1

𝑛

+∞𝑛=1 nên phân kỳ.

Tại 𝑥 =1

𝑒 chuỗi đã cho là (−1)𝑛 1

𝑛

+∞𝑛=1 hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.

Vậy miền hội tụ là: 0,1

𝑒 ∪ (𝑒, +∞)

Hoặc ta có thể đưa chuỗi đã cho về chuỗi lũy thừa bằng cách đặt: 𝑦 =1

𝑙𝑛𝑥. Khi đó, chuỗi đã

cho có dạng:

1

𝑛𝑦𝑛

+∞

𝑛=1

𝜌 = lim𝑛→+∞

|𝑎𝑛+1

𝑎𝑛| = lim

𝑛→+∞|

1

𝑛 + 1

𝑛

1| = 1

Suy ra bán kính hội tụ của chuỗi là R = 1.

Xét với y = 1 ta có chuỗi điều hòa 1

𝑛

+∞𝑛=1 nên phân kỳ.

Xét với y = -1 ta có chuỗi (−1)𝑛 1

𝑛

+∞𝑛=1 hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.

Vậy chuỗi đã cho có miền hội tụ là ∀𝑦 ∈ −1,1 ⇒ −1 ≤1

𝑙𝑛𝑥< 1 ⇒

𝑥 > 𝑒

0 < 𝑥 ≤1

𝑒

Vậy miền hội tụ của chuỗi là : 0,1

𝑒 ∪ (𝑒, +∞)

Ví dụ :

4𝑛

𝑛

+∞

𝑛=1

𝑥2𝑛sin(𝑥 + 𝑛𝜋)

Giải.

Với 𝑥 = 𝑘𝜋 thì 𝑢𝑛 𝑘𝜋 = 0 nên chuỗi đã cho hội tụ.

Với 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, chuỗi có dạng: (−1)𝑛 4𝑛

𝑛

+∞𝑛=1 𝑥2𝑛sin(𝑥)

lim𝑛→+∞

𝑢𝑛+1 𝑥

𝑢𝑛 𝑥 = lim

𝑛→+∞|

4𝑛

𝑛 + 1𝑥2| = 4𝑥2 < 1 ⟺ −

1

2< 𝑥 <

1

2


Tại 𝑥 = ±1

2 ta có chuỗi sin(±

1

2) (−1)𝑛 1

𝑛

+∞𝑛=1 , đây là chuỗi đan dấu hội tụ ( do

1

𝑛 đơn điệu

giảm và dần về 0).

Vậy chuỗi đã cho hội tụ trên đoạn [-1,1] và các điểm 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍

2.3 Tìm tổng của một chuỗi hàm va áp dụng tìm tổng của một chuỗi số.

a, Tổng của một chuỗi hàm.

Tổng của chuỗi hàm chỉ có nghĩa trên miền hội tụ nên trước khi đi tìm tổng, ta phải xác định

được miền hội tụ của chuỗi lũy thừa. Ta thường sử dụng các phương pháp sau:

- Phân tích thành những chuỗi dễ tìm tổng.

Chú ý về việc đổi chỉ số của chuỗi:

𝑢𝑘

+∞

𝑘=1

= 𝑢𝑘−1

+∞

𝑘=0

= 𝑢𝑛−1

+∞

𝑛=0

= 𝑢𝑚−𝑝

+∞

𝑚=𝑝

Ví dụ: Tìm tổng chuỗi hàm:

𝑛 − 1

(2𝑛)‼𝑥𝑛+1

+∞

𝑛=1

Chú ý: 2𝑛 ‼ = 2.4.6 … .2𝑛

Giải.

Do lim𝑛→+∞ 𝑎𝑛+1

𝑎𝑛 = lim𝑛→+∞ |

𝑛

𝑛−1

1

4𝑛| = 0 nên miền hội tụ của chuỗi đã cho là R.

∀𝑥 ∈ 𝑅 đặt:

𝑆 𝑥 = 𝑛 − 1

2𝑛 ‼𝑥𝑛+1

+∞

𝑛=1

= 𝑛 − 1

2𝑛𝑛!𝑥𝑛+1

+∞

𝑛=1

= 2 𝑛 − 1

𝑛! 𝑥

2

𝑛+1+∞

𝑛=1

𝑆 𝑥 = 2 1

𝑛 − 1 !−

1

𝑛!

𝑥

2

𝑛+1+∞

𝑛=1

=𝑥2

2

1

𝑛 − 1 ! 𝑥

2

𝑛−1+∞

𝑛=1

− 𝑥 1

𝑛! 𝑥

2

𝑛+∞

𝑛=0

+ 𝑥

𝑆 𝑥 =𝑥2

2𝑒

𝑥2 − 𝑥𝑒

𝑥2 + 𝑥

- Dùng đạo hàm và tích phân để tìm tổng.

Chú ý: Khi tìm tổng của chuỗi hàm dạng:

𝑃 𝑛 𝑥𝑄(𝑥)

+∞

𝑛=1

Ta biến đổi 𝑄 𝑥 = 𝑃 𝑥 − 1 + 𝑐, chuỗi được biến đổi về dạng :

𝑥𝑐 𝑃 𝑛 𝑥𝑃 𝑛 −1

+∞

𝑛=1

= 𝑥𝑐 (𝑥𝑃 𝑛 )′

+∞

𝑛=1

= 𝑥𝑐( 𝑥𝑃 𝑛

+∞

𝑛=1

)′

Khi tìm tổng của chuỗi hàm dạng:

𝑥𝑄(𝑥)

𝑅(𝑥)

+∞

𝑛=1

Ta biến đổi 𝑄 𝑥 = 𝑅 𝑥 + 𝑐, chuỗi được biến đổi về dạng :

𝑥𝑐 𝑥𝑅(𝑥)

𝑅(𝑥)

+∞

𝑛=1

= 𝑥𝑐 𝑥𝑅(𝑥)𝑑𝑥

+∞

𝑛=1

= 𝑥𝑐 𝑥𝑅(𝑥)

+∞

𝑛=1

𝑑𝑥



𝑥2𝑛+5

32𝑛(2𝑛 + 1)

+∞

𝑛=0

Giải.

Do lim𝑛→+∞ 𝑢𝑛+1(𝑥)

𝑢𝑛 (𝑥) = lim𝑛→+∞ |

2𝑛+1

9(2𝑛+3)𝑥2| =

𝑥2

9< 1 ⇔ −

1

3< 𝑥 <

1

3 và tại

𝑥 = ±1

3 chuỗi phân kỳ nên miền hội tụ của chuỗi đã cho là (−

1

3,

1

3). ∀𝑥 ∈ (−

1

3,

1

3) đặt:

𝑆 𝑥 = 𝑥2𝑛+5

32𝑛(2𝑛 + 1)

+∞

𝑛=0

= 𝑥4 𝑥2𝑛+1

32𝑛(2𝑛 + 1)

+∞

𝑛=0

= 𝑥4 . 𝑓(𝑥)

Khi đó, 𝑓 ′(𝑥) = 𝑥2𝑛

32𝑛+∞𝑛=0 = (

𝑥2

9)𝑛 =+∞

𝑛=01

1−𝑥2

9

=9

9−𝑥2 nên 𝑓 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑡 𝑑𝑡𝑥

0=

3

2ln|

3+𝑥

3−𝑥|

Vậy tổng của chuỗi đã cho là:

𝑆 𝑥 = 𝑥4 . 𝑓 𝑥 =3

2𝑥4ln|

3 + 𝑥

3 − 𝑥|


𝑛 𝑛 + 1 𝑥𝑛−2

+∞

𝑛=2

Giải.

Dễ thấy miền hội tụ của chuỗi đã cho lũy thừa là (-1,1)

Với 𝑥 ≠ 0, 𝑥 ∈ (−1,1) ta có:

𝑆 𝑥 = 𝑛 𝑛 + 1 𝑥𝑛−2

+∞

𝑛=2

= 𝑥 𝑛 𝑛 + 1 𝑥𝑛−1

+∞

𝑛=2

= 𝑥 ( 𝑛 + 1 𝑥𝑛)′

+∞

𝑛=2

= 𝑥 (𝑥𝑛+1)′′

+∞

𝑛=2

𝑆 𝑥 = 𝑥 𝑥𝑛+1

+∞

𝑛=2

′′

= 𝑥 𝑥3 𝑥𝑛−1

+∞

𝑛=2

′′

= 𝑥 𝑥3

1 − 𝑥

′′

𝑆 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 3

(1 − 𝑥)3

Với 𝑥 = 0 ⇒ 𝑆 𝑥 = 6 vậy:

𝑆 𝑥 = 2

𝑥2 − 3𝑥 + 3

(1 − 𝑥)3, 𝑥 < 0, 𝑥 ≠ 0

6, 𝑥 = 0


(−1)𝑛−1(1 + 2𝑛

𝑛 + 𝑛2)𝑥𝑛

+∞

𝑛=1

Giải.

Miền hội tụ của chuỗi hàm là (-1, 1]

𝑆 𝑥 = (−1)𝑛−1(1 + 2𝑛

𝑛 + 𝑛2)𝑥𝑛

+∞

𝑛=1

= −1 𝑛−1(1

𝑛+

1

𝑛 + 1)𝑥𝑛

+∞

𝑛=1


𝑆 𝑥 = −1 𝑛−11

𝑛𝑥𝑛

+∞

𝑛=1

+ −1 𝑛−11

𝑛 + 1𝑥𝑛

+∞

𝑛=1

Với 𝑥 ≠ 0, 𝑥 ∈ (−1,1] ta có:

𝑆 𝑥 = −1 𝑛−11

𝑛𝑥𝑛

+∞

𝑛=1

+1

𝑥 −1 𝑛−1

1

𝑛 + 1𝑥𝑛+1

+∞

𝑛=1

𝑆 𝑥 = −1 𝑛−1 𝑥𝑛−1𝑑𝑥𝑥

0

+∞

𝑛=1

+1

𝑥 −1 𝑛−1 𝑥𝑛𝑑𝑥

𝑥

0

+∞

𝑛=1

𝑆 𝑥 = −1 𝑛−1𝑥𝑛−1

+∞

𝑛=1

𝑑𝑥𝑥

0

+1

𝑥 −1 𝑛−1𝑥𝑛

+∞

𝑛=1

𝑑𝑥𝑥

0

𝑆 𝑥 = 1

1 + 𝑥𝑑𝑥

𝑥

0

−1

𝑥 ( −1 𝑛𝑥𝑛

+∞

𝑛=0

− 1)𝑑𝑥𝑥

0

𝑆 𝑥 = 1

1 + 𝑥𝑑𝑥

𝑥

0

−1

𝑥 (

1

1 + 𝑥− 1)𝑑𝑥

𝑥

0

𝑆 𝑥 = ln 1 + 𝑥 + (1

1 + 𝑥)𝑑𝑥

𝑥

0

𝑆 𝑥 = ln 1 + 𝑥 + ln 1 + 𝑥 = 2ln(1 + 𝑥)


𝑒−𝑛𝑥

𝑛

+∞

𝑛=1

Giải.

Miền hội tụ của chuỗi hàm này là 0, +∞

𝑆 𝑥 = 𝑒−𝑛𝑥

𝑛

+∞

𝑛=1

= − 𝑒−𝑛𝑥 𝑑𝑥𝑥

0

+∞

𝑛=1

= − 𝑒−𝑛𝑥

+∞

𝑛=1

𝑑𝑥𝑥

0

𝑆 𝑥 = − (𝑒−𝑥)𝑛

+∞

𝑛=1

𝑑𝑥𝑥

0

= − 1

1 − 𝑒−𝑥𝑑𝑥

𝑥

0

= 1

𝑒−𝑥 − 1𝑑𝑥

𝑥

0

𝑆 𝑥 = − 𝑒𝑥

𝑒𝑥 − 1𝑑𝑥

𝑥

0

= −ln(𝑒𝑥 − 1)

- Đưa về nghiệm của phương trình vi phân:


𝑥𝑛+1

2𝑛 ‼

+∞

𝑛=0

Giải.

Miền hội tụ của chuỗi hàm này là −∞, +∞

𝑆 𝑥 = 𝑥 𝑥𝑛

2𝑛𝑛!

+∞

𝑛=0

= 𝑥𝑓(𝑥)


𝑓 ′ 𝑥 = 𝑥𝑛−1

2𝑛 𝑛 − 1 !

+∞

𝑛=1

=1

2

𝑥𝑛−1

2𝑛−1 𝑛 − 1 !

+∞

𝑛=1

=1

2

𝑥𝑛

2𝑛𝑛!

+∞

𝑛=0

=1

2𝑓 𝑥

Vậy 𝑓 ′ 𝑥 =1

2𝑓 𝑥 ⇒

𝑓 ′ 𝑥

𝑓 𝑥 =

1

2⇒ ln 𝑓 𝑥 =

1

2𝑥 + 𝐶

Do 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛

2𝑛𝑛 !

+∞𝑛=0 nên 𝑓 0 = 1 ⇒ ln 𝑓 0 = 0 = 𝐶

Suy ra:

ln 𝑓 𝑥 =1

2𝑥

Hay

𝑓 𝑥 = 𝑒12𝑥

𝑆 𝑥 = 𝑥𝑒12𝑥

Ta cũng có thể thực hiện bằng cách:

𝑆 𝑥 = 𝑥 𝑥𝑛

2𝑛𝑛!

+∞

𝑛=0

= 𝑥 (𝑥2)𝑛

𝑛!

+∞

𝑛=0

= 𝑥𝑒𝑥2


𝑎𝑛𝑥𝑛

+∞

𝑛=0

, 𝑣ớ𝑖 𝑎0 = 𝑎1 = 1, 𝑎𝑛+1 =𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛

𝑛 + 1

Giải.

𝑎𝑛 = 𝑛 + 1 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛−1

𝑆 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛

+∞

𝑛=0

= 𝑎0 + 𝑎𝑛𝑥𝑛

+∞

𝑛=1

= 𝑎0 + (𝑛 + 1)𝑎𝑛+1𝑥𝑛

+∞

𝑛=1

− 𝑎𝑛−1𝑥𝑛

+∞

𝑛=1

𝑆 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎𝑛+1𝑥𝑛+1 ′

+∞

𝑛=1

− 𝑥 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1

+∞

𝑛=1

𝑆 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎𝑛+1𝑥𝑛+1 + 𝑎0 + 𝑎1𝑥 − 𝑎0 − 𝑎1𝑥 ′

+∞

𝑛=1

− 𝑥 𝑎𝑛𝑥𝑛

+∞

𝑛=0

𝑆 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎𝑛𝑥𝑛

+∞

𝑛=0

′ − 𝑎1 − 𝑥 𝑎𝑛𝑥𝑛

+∞

𝑛=0

𝑆 𝑥 = 𝑆′ 𝑥 − 𝑥𝑆 𝑥 ⇔ 𝑆′ 𝑥 = 1 + 𝑥 𝑆 𝑥 ⇒𝑆′ 𝑥

𝑆 𝑥 = (1 + 𝑥)

𝑆 𝑥 = 𝐶𝑒 (1+𝑥)𝑑𝑥 = 𝐶𝑒𝑥+𝑥2

2

Do 𝑆 𝑜 = 𝑎0 = 1 = 𝐶 nên:

𝑆 𝑥 = 𝑒𝑥+𝑥2

2

Hướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấp

Education

Transcript of Hướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấp