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Pré-Cálculo
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 13
13 de junho de 2011
Aula 13 Pré-Cálculo 1
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Funções Poligonais
Aula 13 Pré-Cálculo 2
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Função poligonal
Dizemos quem uma função f : R→ R é uma função poligonal se o seugráfico é uma linha poligonal.
x
y
0
t0t1 t2
Definição
Aula 13 Pré-Cálculo 3
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Função poligonal
Dizemos quem uma função f : R→ R é uma função poligonal se o seugráfico é uma linha poligonal.
x
y
0
t0t1 t2
Definição
Aula 13 Pré-Cálculo 4
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Observações
Assim, se f : R → R é uma função poligonal se existem t0 < t1 < · · · < tntais que, para x ≤ t0, para x ≥ tn e em cada um dos intervalos [ti−1, ti ], fcoincide com uma função afim fi . Para evitar descontinuidades, exige-seque fi(ti) = fi−1(ti−1).
x
y
0
t0t1 t2
As funções poligonais surgem naturalmente, tanto na vida cotidiana(imposto de renda como função da renda líquida, preço de uma mercadoriaque oferece descontos crescentes quando aumenta a quantidadecomprada) como em diversas áreas da matemática (análise, cálculonumérico, equações diferenciais, topologia, etc.).
Aula 13 Pré-Cálculo 5
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Observações
Assim, se f : R → R é uma função poligonal se existem t0 < t1 < · · · < tntais que, para x ≤ t0, para x ≥ tn e em cada um dos intervalos [ti−1, ti ], fcoincide com uma função afim fi . Para evitar descontinuidades, exige-seque fi(ti) = fi−1(ti−1).
x
y
0
t0t1 t2
As funções poligonais surgem naturalmente, tanto na vida cotidiana(imposto de renda como função da renda líquida, preço de uma mercadoriaque oferece descontos crescentes quando aumenta a quantidadecomprada) como em diversas áreas da matemática (análise, cálculonumérico, equações diferenciais, topologia, etc.).
Aula 13 Pré-Cálculo 6
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Observações
Assim, se f : R → R é uma função poligonal se existem t0 < t1 < · · · < tntais que, para x ≤ t0, para x ≥ tn e em cada um dos intervalos [ti−1, ti ], fcoincide com uma função afim fi . Para evitar descontinuidades, exige-seque fi(ti) = fi−1(ti−1).
x
y
0
t0t1 t2
As funções poligonais surgem naturalmente, tanto na vida cotidiana(imposto de renda como função da renda líquida, preço de uma mercadoriaque oferece descontos crescentes quando aumenta a quantidadecomprada) como em diversas áreas da matemática (análise, cálculonumérico, equações diferenciais, topologia, etc.).
Aula 13 Pré-Cálculo 7
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Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a DeduzirAté R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
.
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em funçãodo rendimento.Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =
0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.
x
y
0 900 1800 2700
135
360
.
Aula 13 Pré-Cálculo 8
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Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a DeduzirAté R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
.
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em funçãodo rendimento.Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =
0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.
x
y
0 900 1800 2700
135
360
.
Aula 13 Pré-Cálculo 9
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Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a DeduzirAté R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
.
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em funçãodo rendimento.Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =
0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.
x
y
0 900 1800 2700
135
360
.
Aula 13 Pré-Cálculo 10
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Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a DeduzirAté R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
.
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em funçãodo rendimento.Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =
0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.
x
y
0 900 1800 2700
135
360
.
Aula 13 Pré-Cálculo 11
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Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a DeduzirAté R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
.
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em funçãodo rendimento.Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =
0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.
x
y
0 900 1800 2700
135
360
.
Aula 13 Pré-Cálculo 12
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Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a DeduzirAté R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
.
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em funçãodo rendimento.Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =
0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.
x
y
0 900 1800 2700
135
360
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Aula 13 Pré-Cálculo 13
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Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a DeduzirAté R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
.
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em funçãodo rendimento.Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =
0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.
x
y
0 900 1800 2700
135
360
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Aula 13 Pré-Cálculo 14
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Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a DeduzirAté R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
.
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em funçãodo rendimento.Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =
0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.
x
y
0 900 1800 2700
135
360
.
Aula 13 Pré-Cálculo 15
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Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a DeduzirAté R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
.
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em funçãodo rendimento.Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =
0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.
x
y
0 900 1800 2700
135
360
.
Aula 13 Pré-Cálculo 16
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Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a DeduzirAté R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
.
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em funçãodo rendimento.Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =
0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.
x
y
0 900 1800 2700
135
360
.
Aula 13 Pré-Cálculo 17
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Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a DeduzirAté R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
.
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em funçãodo rendimento.Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =
0, se 0 ≤ x ≤ 900,0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,0,25 x − 315, se x > 1800.
x
y
0 900 1800 2700
135
360
.
Aula 13 Pré-Cálculo 18
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Aplicação: aproximação no cálculo de áreas
(Ir para o GeoGebra)
Aula 13 Pré-Cálculo 19
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Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 20
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Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 21
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Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 22
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Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 23
![Page 24: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/24.jpg)
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 24
![Page 25: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/25.jpg)
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 25
![Page 26: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/26.jpg)
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 26
![Page 27: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/27.jpg)
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 27
![Page 28: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/28.jpg)
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 28
![Page 29: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/29.jpg)
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 29
![Page 30: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/30.jpg)
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 30
![Page 31: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/31.jpg)
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 31
![Page 32: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/32.jpg)
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 32
![Page 33: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/33.jpg)
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 33
![Page 34: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/34.jpg)
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 34
![Page 35: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/35.jpg)
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 35
![Page 36: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/36.jpg)
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 36
![Page 37: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/37.jpg)
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, peladefinição de módulo,
g(x) =
{x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1,
e h(x) =
{x − 2, se x ≥ 2,−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =
( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=
2 x − 3, se x ≥ 2,1, se 1 ≤ x < 2,−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 37
![Page 38: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/38.jpg)
Exemplo: o gráfico de f (x) = |x − 1|+ |x − 2|
x
y
0 1 2 3
1
3
Aula 13 Pré-Cálculo 38
![Page 39: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/39.jpg)
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
Aula 13 Pré-Cálculo 39
![Page 40: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/40.jpg)
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 40
![Page 41: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/41.jpg)
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 41
![Page 42: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/42.jpg)
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 42
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Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 43
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Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 44
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Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 45
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Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 46
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Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 47
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Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 48
![Page 49: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/49.jpg)
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 49
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Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 50
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Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 51
![Page 52: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/52.jpg)
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 52
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Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n fatores
.
Propriedades:(1) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n, m ∈ N, (xn)m = xn·m.Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 53
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Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.
(1) A função f é par.
(2) A função f é crescente em [0, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é o intervalo [0, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 54
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Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.
(1) A função f é par.
(2) A função f é crescente em [0, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é o intervalo [0, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 55
![Page 56: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/56.jpg)
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.
(1) A função f é par.
(2) A função f é crescente em [0, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é o intervalo [0, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 56
![Page 57: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/57.jpg)
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.
(1) A função f é par.
(2) A função f é crescente em [0, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é o intervalo [0, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 57
![Page 58: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/58.jpg)
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.
(1) A função f é par.
(2) A função f é crescente em [0, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é o intervalo [0, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 58
![Page 59: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/59.jpg)
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.
(1) A função f é par.
(2) A função f é crescente em [0, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é o intervalo [0, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 59
![Page 60: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/60.jpg)
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.
(1) A função f é ímpar.
(2) A função f é crescente em R = (−∞, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é R = (−∞, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 60
![Page 61: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/61.jpg)
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.
(1) A função f é ímpar.
(2) A função f é crescente em R = (−∞, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é R = (−∞, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 61
![Page 62: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/62.jpg)
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.
(1) A função f é ímpar.
(2) A função f é crescente em R = (−∞, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é R = (−∞, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 62
![Page 63: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/63.jpg)
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.
(1) A função f é ímpar.
(2) A função f é crescente em R = (−∞, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é R = (−∞, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 63
![Page 64: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/64.jpg)
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.
(1) A função f é ímpar.
(2) A função f é crescente em R = (−∞, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é R = (−∞, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 64
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Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → Rx 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.
(1) A função f é ímpar.
(2) A função f é crescente em R = (−∞, +∞).Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é R = (−∞, +∞). Prova: será feita nadisciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 65
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Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 66
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Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 67
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Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 68
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Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 69
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Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 70
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Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 71
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Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 72
![Page 73: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/73.jpg)
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 73
![Page 74: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/74.jpg)
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 74
![Page 75: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/75.jpg)
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 75
![Page 76: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/76.jpg)
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 76
![Page 77: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/77.jpg)
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 77
![Page 78: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/78.jpg)
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 78
![Page 79: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/79.jpg)
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímosque 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). Aparte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 79
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Revisão: funções da forma x elevado a n
Aula 13 Pré-Cálculo 80
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A função raiz n-ésima
Aula 13 Pré-Cálculo 81
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A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 82
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A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 83
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A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 84
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A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 85
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A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 86
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A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 87
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A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 88
![Page 89: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/89.jpg)
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 89
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A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 90
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A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 91
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A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0, +∞) → [0, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0, +∞)→ [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova destefato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞)→ [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√
a é o único número real ≥ 0que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 92
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A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√
a é o único número realque, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 93
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A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√
a é o único número realque, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 94
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A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√
a é o único número realque, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 95
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A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√
a é o único número realque, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 96
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A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√
a é o único número realque, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 97
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A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√
a é o único número realque, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 98
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A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√
a é o único número realque, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 99
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A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√
a é o único número realque, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 100
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A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√
a é o único número realque, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 101
![Page 102: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/102.jpg)
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√
a é o único número realque, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 102
![Page 103: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/103.jpg)
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞)x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞, +∞) → (−∞, +∞) é sobrejetiva (a provadeste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞, +∞)→ (−∞, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremosas notações
n√
x e x1/n
para representarf−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√
a é o único número realque, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 103
![Page 104: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/104.jpg)
A função raiz n-ésima
(Ir para o GeoGebra)
Aula 13 Pré-Cálculo 104
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Cuidado!
Se n é par,o domínio de f (x) = n
√x = x1/n é [0, +∞).
Se n é ímpar,o domínio de f (x) = n
√x = x1/n é R.
Aula 13 Pré-Cálculo 105
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Cuidado!
Se n é par,o domínio de f (x) = n
√x = x1/n é [0, +∞).
Se n é ímpar,o domínio de f (x) = n
√x = x1/n é R.
Aula 13 Pré-Cálculo 106
![Page 107: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/107.jpg)
Cuidado!
Se n é par,o domínio de f (x) = n
√x = x1/n é [0, +∞).
Se n é ímpar,o domínio de f (x) = n
√x = x1/n é R.
Aula 13 Pré-Cálculo 107
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Propriedades da função raiz n-ésima para n par
Se n é par, ∀a ∈ R,n√
an = |a|.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a · b = n√
a · n√
b e ∀a, b ≤ 0,n√
a · b = n√−a · n√−b.
Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n
√ab
=n√
an√
be ∀a ≤ 0,∀b < 0, n
√ab
=n√−a
n√−b
.
A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 108
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Propriedades da função raiz n-ésima para n par
Se n é par, ∀a ∈ R,n√
an = |a|.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a · b = n√
a · n√
b e ∀a, b ≤ 0,n√
a · b = n√−a · n√−b.
Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n
√ab
=n√
an√
be ∀a ≤ 0,∀b < 0, n
√ab
=n√−a
n√−b
.
A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 109
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Propriedades da função raiz n-ésima para n par
Se n é par, ∀a ∈ R,n√
an = |a|.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a · b = n√
a · n√
b e ∀a, b ≤ 0,n√
a · b = n√−a · n√−b.
Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n
√ab
=n√
an√
be ∀a ≤ 0,∀b < 0, n
√ab
=n√−a
n√−b
.
A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 110
![Page 111: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/111.jpg)
Propriedades da função raiz n-ésima para n par
Se n é par, ∀a ∈ R,n√
an = |a|.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a · b = n√
a · n√
b e ∀a, b ≤ 0,n√
a · b = n√−a · n√−b.
Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n
√ab
=n√
an√
be ∀a ≤ 0,∀b < 0, n
√ab
=n√−a
n√−b
.
A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 111
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Propriedades da função raiz n-ésima para n par
Se n é par, ∀a ∈ R,n√
an = |a|.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a · b = n√
a · n√
b e ∀a, b ≤ 0,n√
a · b = n√−a · n√−b.
Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n
√ab
=n√
an√
be ∀a ≤ 0,∀b < 0, n
√ab
=n√−a
n√−b
.
A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 112
![Page 113: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/113.jpg)
Propriedades da função raiz n-ésima para n par
Se n é par, ∀a ∈ R,n√
an = |a|.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a · b = n√
a · n√
b e ∀a, b ≤ 0,n√
a · b = n√−a · n√−b.
Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n
√ab
=n√
an√
be ∀a ≤ 0,∀b < 0, n
√ab
=n√−a
n√−b
.
A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é par, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 113
![Page 114: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/114.jpg)
Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar
Se n é ímpar, ∀a ∈ R,n√
an = a.
Se n é ímpar, ∀a, b ∈ R,n√
a · b = n√
a · n√
b.
Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n
√ab
=n√
an√
b.
A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é ímpar, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 114
![Page 115: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/115.jpg)
Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar
Se n é ímpar, ∀a ∈ R,n√
an = a.
Se n é ímpar, ∀a, b ∈ R,n√
a · b = n√
a · n√
b.
Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n
√ab
=n√
an√
b.
A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é ímpar, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 115
![Page 116: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/116.jpg)
Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar
Se n é ímpar, ∀a ∈ R,n√
an = a.
Se n é ímpar, ∀a, b ∈ R,n√
a · b = n√
a · n√
b.
Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n
√ab
=n√
an√
b.
A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é ímpar, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 116
![Page 117: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/117.jpg)
Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar
Se n é ímpar, ∀a ∈ R,n√
an = a.
Se n é ímpar, ∀a, b ∈ R,n√
a · b = n√
a · n√
b.
Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n
√ab
=n√
an√
b.
A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é ímpar, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 117
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Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar
Se n é ímpar, ∀a ∈ R,n√
an = a.
Se n é ímpar, ∀a, b ∈ R,n√
a · b = n√
a · n√
b.
Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n
√ab
=n√
an√
b.
A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é ímpar, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 118
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Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar
Se n é ímpar, ∀a ∈ R,n√
an = a.
Se n é ímpar, ∀a, b ∈ R,n√
a · b = n√
a · n√
b.
Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n
√ab
=n√
an√
b.
A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a, b ∈ R, a < b ⇒ n√
a <n√
b.
Se n é ímpar, ∀a, b ≥ 0,n√
a + b ≤ n√
a +n√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 119
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Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:
(a + b)n =n∑
i=0
(ni
)an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√a + b ≤ n
√a + n
√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3
√2 > −2 = 3
√−1 + −3
√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 120
![Page 121: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/121.jpg)
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:
(a + b)n =n∑
i=0
(ni
)an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√a + b ≤ n
√a + n
√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3
√2 > −2 = 3
√−1 + −3
√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 121
![Page 122: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/122.jpg)
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:
(a + b)n =n∑
i=0
(ni
)an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√a + b ≤ n
√a + n
√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3
√2 > −2 = 3
√−1 + −3
√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 122
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Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:
(a + b)n =n∑
i=0
(ni
)an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√a + b ≤ n
√a + n
√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3
√2 > −2 = 3
√−1 + −3
√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 123
![Page 124: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/124.jpg)
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:
(a + b)n =n∑
i=0
(ni
)an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√a + b ≤ n
√a + n
√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3
√2 > −2 = 3
√−1 + −3
√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 124
![Page 125: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/125.jpg)
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:
(a + b)n =n∑
i=0
(ni
)an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√a + b ≤ n
√a + n
√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3
√2 > −2 = 3
√−1 + −3
√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 125
![Page 126: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/126.jpg)
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:
(a + b)n =n∑
i=0
(ni
)an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√a + b ≤ n
√a + n
√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3
√2 > −2 = 3
√−1 + −3
√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 126
![Page 127: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/127.jpg)
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:
(a + b)n =n∑
i=0
(ni
)an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√a + b ≤ n
√a + n
√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3
√2 > −2 = 3
√−1 + −3
√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 127
![Page 128: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/128.jpg)
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmastécnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula dobinômio de Newton pode ser útil:
(a + b)n =n∑
i=0
(ni
)an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejammaiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√a + b ≤ n
√a + n
√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então3√−1− 1 = − 3
√2 > −2 = 3
√−1 + −3
√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 128
![Page 129: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/129.jpg)
Mais propriedades
Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n√
xm = ( n√
x)m.
Se n é ímpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n√
xm = ( n√
x)m.
Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n√
m√
x = n m√
x .
Se m e n são ímpares, então ∀x ∈ R, n√
m√
x = n m√
x .
Aula 13 Pré-Cálculo 129
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Mais propriedades
Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n√
xm = ( n√
x)m.
Se n é ímpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n√
xm = ( n√
x)m.
Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n√
m√
x = n m√
x .
Se m e n são ímpares, então ∀x ∈ R, n√
m√
x = n m√
x .
Aula 13 Pré-Cálculo 130
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Mais propriedades
Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n√
xm = ( n√
x)m.
Se n é ímpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n√
xm = ( n√
x)m.
Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n√
m√
x = n m√
x .
Se m e n são ímpares, então ∀x ∈ R, n√
m√
x = n m√
x .
Aula 13 Pré-Cálculo 131
![Page 132: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/132.jpg)
Mais propriedades
Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n√
xm = ( n√
x)m.
Se n é ímpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n√
xm = ( n√
x)m.
Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n√
m√
x = n m√
x .
Se m e n são ímpares, então ∀x ∈ R, n√
m√
x = n m√
x .
Aula 13 Pré-Cálculo 132
![Page 133: Humberto José Bortolossi - professores.im-uff.mat.br · Aula 13 Pré-Cálculo 1. Funções Poligonais Aula 13 Pré-Cálculo 2. Função poligonal Dizemos quem uma funçãof: R !Ré](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050101/5f408b6e37becc13f452346e/html5/thumbnails/133.jpg)
Mais propriedades
Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n√
xm = ( n√
x)m.
Se n é ímpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n√
xm = ( n√
x)m.
Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n√
m√
x = n m√
x .
Se m e n são ímpares, então ∀x ∈ R, n√
m√
x = n m√
x .
Aula 13 Pré-Cálculo 133