สัมมนาฟสิกส 2553เร่ือง ตึกถลมใชความเร็วเทาไหร

(How fast does a building fall?)

จัดทําโดย

นางสาว กมลรัตน พรหมเสนา รหัส 07500214

อาจารยที่ปรึกษา

อาจารย อรทัย เขียวพุม

เพื่อศึกษาวาตึกถลมแบบแพนเคกใชเวลามากหรือนอย

กวาการตกอยางอิสระของวตัถุ

จุดประสงค

บทนํา

ขอบเขตการศึกษา

การคํานวณหาเวลาในการถลม

สรุป

บทนํา

การคํานวณหาเวลาในการถลม

พิจารณารูปท่ี 1 ท่ีแทนดวยตึกท่ีมี K ชั้น

เม่ือ k คือ เลขระบุชั้นของตึกโดย k= 1 , 2 , 3 ,…, K

h คือ ความสูงของตึกแตละชั้น

m คือ มวลของตึกแตละชั้น

รูปที่ 1. แสดงแบบจําลองของอาคารท่ีมี K ช้ัน

จากรูปจะเห็นวาถาไมคิดแรง

ตานอากาศ จะไดวา อัตราเร็ว v1 และ

เวลา t1 มีคาเทากับ

ghtghv /2,2 11 ==

เม่ือ g คือ ความเรงเนื่องจากแรงโนมถวง

ของโลก

เม่ือกําหนดให

คือ พลังงานของซากตึกชั้นท่ี k

กอนตกกระทบกับพื้นชัน้ท่ี k+1

คือ พลังงานท่ีเกิดขึน้ทันทีหลังตึก

ชั้นท่ี k เร่ิมถลม

E คือ พลังงานท่ีแตละชั้นสามรถ

ดดูกลืนไดกอนการถลม

)( kvE −

)( kuE +

จะได

EvEuE kk −= −+ )()(

จะเกิดการถลมเม่ือ 0)( 1 >+ uE

ดังนั้น )()( 1uEuE k++ >

และ

( 2 )mghkuEvE kk )1()()( 1 ++= ++

−

(1)

)( kvE −

))(( kuE +

ดังนั้นสามารถเขียนพลังงานของซากตึกชัน้ท่ี k กอน

ตกกระทบกับพื้นชั้นท่ี k+1 ( ) และพลังงานท่ีเกิดขึ้น

ทันทีหลังตึกชัน้ท่ี k เร่ิมถลม

kkk VkmvvE +=− 2

21)(

kkK VmukuE ++=+ 2)1(21)( ( 3 )

( 4 )

นําสมการท่ี (3) และ (4) แทนในสมการท่ี (2) จะได

21

221 vuv kk +=+

kkk VkmvvE +=− 2

21)( kkK VmukuE ++=+ 2)1(

21)(

mghkuEvE kk )1()()( 1 ++= ++

−

( 5 )

นําสมการท่ี (3) และ (4) แทนในสมการท่ี (1) จะได

kkk VkmvvE +=− 2

21)( kkK VmukuE ++=+ 2)1(

21)(

( 6 )mEkvuk kk

2)1( 22 −=+

EvEuE kk −= −+ )()(

EvEuE kk −= −+ )()(พิจารณาสมการท่ี (1)

โดยให k=1

ดังนั้นจะเกิดการถลมตอไปเร่ือยๆ เม่ือ

จึงนิยามให (7)

เม่ือ r เปนตัววัดคาพลังงานท่ีแตละชั้นสามารถดดูกลืนไดกอนการถลม

ซ่ึงการถลมจะเกิดขึ้นไดเม่ือ

EvEuE −= −+ )()( 11

rmghmvrE =≡ 212

1

1≤r

211 2

1)( mvvEE =≤ −

นิยาม โดยกําหนดให (8) kε 1vv kk ε=

นําสมการท่ี (6) , (7) และ (8) แทนในสมการท่ี (5)

mEkvuk kk

2)1( 22 −=+212

1 mvrE ≡ 21

22)1( rvkvuk kk −=+

และนําสมการ (a) แทนในสมการท่ี (8) จะได (b)

(a)

21

22

1

)(v

k

rku k

k +

−=

ε

นํา (8) และ (b) แทนในสมการท่ี (5) จะได21

221 vuv kk +=+

11

12

1 +−+

+=+ k

rk

kkk εε (9)

จากสมการท่ี (9) กําหนดให rkkk kk −++=+ + )1()1( 221 εε 11 =ε

โดยใหคําตอบ เขียนในรูป (c)kε kba k+

จาก จะได เม่ือ k=1 11 =ε ab −=11

แทนสมการ (c) ลงใน (9) จะได

ท่ี k=0 จะได เพื่อใหเงื่อนไขนี้เปนไปได

rkbb kk −++=+ 11rbb −+= 101

กําหนดให และ 00=b ra =

จึงพบวา (d)rkkkrnbn

kk −+=−= ∑

=)1(

21)(

1

นําสมการ (d) แทนในสมการ (c) จะได

rkkkrnbn

kk −+=−= ∑

=)1(

21)(

1

kba k+

rkrkk −++= )1(

21ε (10)

สามารถคํานวณหาเวลาท่ีใชสําหรับตึกแตละชั้นถลมลงสูชั้นลางได

212

1++= kkk gttuh (11)

จะแกสมการหาคําตอบโดยใชกําลังสองสมบูรณ a

acbbx2

42 −±−=

จะได (e) g

ghuut kk

k

22

1

++−=+

จากสมการท่ี (5) และ ghv 221 =22

1 1vvu kk −= +

จะได (f) g

vvvt kk

k

21

21

21

1++

+

+−=

และจาก (8) 1vv kk ε= 111 vv kk ++ = εgvt 1

1 =

จะได (12))1( 21111 −−= +++ kkk tt εε

แทนในสมการ (F)g

vvvt kk

k

21

21

21

1++

+

+−=

ดังนั้น เวลาท้ังหมดท่ีตึกใชถลมมีคาเทากับ

∑=

=K

kkK tT

1

(13)

,

และเวลาในการตกอยางอิสระของวัตถุท่ีระยะความสูง Kh จากพื้น

1tKTf = (g)

ดังนั้นจะไดอัตราสวนระหวางเวลาท่ีตึก K ชั้นถลมกับเวลา

การตกอยางอิสระของวัตถุ

∑=

−−=K

kkk

f

K

KTT

1

2 )1(1 εε (14)

เม่ือ )1( 21 −−= kkk tt εε

รูปท่ี 2 กราฟแสดงเวลาในการถลม ( ) เทียบกับจํานวนชั้นของ

ตึกท่ีมี K ชั้นfK TT /

ถาใหมวลเร่ิมตนของชั้นท่ี k=1 มีคาเทากับ Rm เม่ือ

R>1 พบวา จะเกิดการถลมเม่ือ Rr ≤≤0

ซ่ึงถาทําการคาํนวณเชนเดียวกับท่ีกลาวมาท้ังหมดขางตนแลว

จะไดอัตราสวนระหวางเวลาท่ีตึก K ชั้นถลมกับเวลาการตก

อยางอิสระของวัตถุดังสมการท่ี (14)

∑=

−−=K

kkk

f

K

KTT

1

2 )1(1 εε

โดยท่ี มีคาเทากับkε

1

)1()1(21

−+

+−−++=

Rk

rkrRkkkε

(15)

รูปท่ี 3 กราฟแสดงเวลาในการถลม ( ) เทียบกับจํานวนชั้นของ

ตึกท่ีมี K ชั้นfK TT /

r=1.5

สรุป

การถลมแบบแพนเคกใชเวลาชากวาการตกอยางอิสระของวัตถุ

การคํานวณเวลาการถลมของตึกเปนการคาํนวณอยางงาย และไม

คํานึงถึงปจจัยภายนอกเพราะผลกระทบเหลานั้นเปนผลเพียงเล็กนอย

ลักษณะการถลมแบบแพนเคกเปนแบบไมยืดหยุน ดงัแสดงใน

สมการท่ี (1)ซ่ึงอัตราสวนของพลังงานของซากตึกท่ีถลมลงจะหายไป

ในแตละคร้ังท่ีซากตึกกระทบกับพื้น

การถลมแบบแพนเคกของตึกกับปรากฎการณแบบโดมิโนมีความ

คลายคลึงกัน

2)( kkk k

rvE

Efε

== − (16)