HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ...
Transcript of HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ...
![Page 1: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/1.jpg)
HOÀNG NGỌC ANH
Tài liệu này được viết dành cho các bạn học sinh chuyên Toán, Toán‐Tin, các thầy cô giáo
dạy Toán và các bạn sinh viên Đại học, Cao Đẳng, các bạn trẻ yêu Toán.
![Page 2: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/2.jpg)
www.VNMATH.com
1
VẤN ĐỀ 1: ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC AM‐GM
AM‐GM hay còn có tên gọi là bđt Cô‐Si! Ứng dụng của bđt này rất đa dạng và
phương pháp sử dụng bđt này khá hiệu quả trong việc chứng minh các bài toán bđt
hai biến số hoặc ba biến số. Sau đây, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu những ích lợi của bđt
được xem là một công cụ mạnh này.
Ví dụ 1.
![Page 3: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/3.jpg)
www.VNMATH.com
2
Ví dụ 2:
![Page 4: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/4.jpg)
www.VNMATH.com
3
![Page 5: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/5.jpg)
www.VNMATH.com
4
![Page 6: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/6.jpg)
www.VNMATH.com
5
![Page 7: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/7.jpg)
www.VNMATH.com
6
![Page 8: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/8.jpg)
www.VNMATH.com
7
Ví dụ 3.(Võ Quốc Bá Cẩn)
![Page 9: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/9.jpg)
www.VNMATH.com
8
![Page 10: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/10.jpg)
www.VNMATH.com
9
Ví dụ 4. TST‐2001
![Page 11: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/11.jpg)
www.VNMATH.com
10
![Page 12: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/12.jpg)
www.VNMATH.com
11
![Page 13: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/13.jpg)
www.VNMATH.com
12
VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là bất đẳng thức
Bunhiacôpxky, là một bất đẳng thức thường áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác
nhau của toán học, chẳng hạn có trong đại số tuyến tính dùng cho các vector, trong
giải tích dùng cho các chuỗi vô hạn và tích phân của các tích, trong lý thuyết sác
xuất dùng cho các phương sai và hiệp phương sai. Bất đẳng thức này có rất nhiều
cách chứng minh, nhưng tôi không đi sâu vào phần này mà chỉ khai thác triệt để
công dụng của nó. 1. Những kĩ thuật sử dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu số Bài toán 1: Cho a, b, c là các số thực dương. CMR:
a2
b+c + b2
a+c + c2
a+b
a+b+c2
Lời giải: Cách 1: Dùng bđt cauchy-schwarz dạng cộng mẫu số ta được
VT (a+b+c)2
2(a+b+c) =
a+b+c2
ĐPCM
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c.
![Page 14: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/14.jpg)
www.VNMATH.com
13
Cách 2: Dùng bđt Cô-si ta có
a2
b+c +
b+c4
a. Tương tự ta cũng có:
b2
a+c +
a+c4
b
c2
a+b +
a+b4
c. Cộng 3 bđt này lại ta được ĐPCM.
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c. Tuy nhiên nhìn qua bđt ở đề bài, ta nên nghĩ ngay cách 1! Bài toán 2: CMR: Nếu a, b, c là các số thực dương thì
ab+2c
+ b
c+2a +
ca+2b
1. (CSM-1999)
Lời giải: Khi đọc lướt qua bài trên ta cảm thấy không giống với dạng toán bài 1 vì trên tử không có bình phương. Nhưng ta có thể giải quyết gọn gàng thông qua việc làm cho tử số của bài toán xuất hiện bình phương:
Ta có: VT = a2
a(b+2c) + b2
b(c+2a) + c2
c(a+2b)
Áp dụng bđt cộng mẫu số ta có: VT (a+b+c)2
3(ab+bc+ca)
Đến đây ta cần chứng minh: (a+b+c)2 3(ab+bc+ca). Đây là một kết quả quen biết! Dấu “=” xảy ra khi a=b=c. 2. Mộ số kỹ thuật khác
![Page 15: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/15.jpg)
www.VNMATH.com
14
![Page 16: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/16.jpg)
www.VNMATH.com
15
![Page 17: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/17.jpg)
www.VNMATH.com
16
![Page 18: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/18.jpg)
www.VNMATH.com
17
![Page 19: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/19.jpg)
www.VNMATH.com
18
![Page 20: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/20.jpg)
www.VNMATH.com
19
Vấn đề 3. BẤT ĐẲNG THỨC THUẦN NHẤT
![Page 21: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/21.jpg)
www.VNMATH.com
20
![Page 22: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/22.jpg)
www.VNMATH.com
21
![Page 23: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/23.jpg)
www.VNMATH.com
22
![Page 24: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/24.jpg)
www.VNMATH.com
23
![Page 25: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/25.jpg)
www.VNMATH.com
24
![Page 26: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/26.jpg)
www.VNMATH.com
25
![Page 27: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/27.jpg)
www.VNMATH.com
26
![Page 28: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/28.jpg)
www.VNMATH.com
27
![Page 29: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/29.jpg)
www.VNMATH.com
28
Vấn đề 4. ỨNG DỤNG CỦA BĐT CÔ‐SI VÀO ĐẠI SỐ
![Page 30: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/30.jpg)
www.VNMATH.com
29
![Page 31: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/31.jpg)
www.VNMATH.com
30
![Page 32: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/32.jpg)
www.VNMATH.com
31
![Page 33: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/33.jpg)
www.VNMATH.com
32
![Page 34: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/34.jpg)
www.VNMATH.com
33
Vấn đề 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN BĐT TRONG CÁC KỲ THI
CHỌN HSG
![Page 35: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/35.jpg)
www.VNMATH.com
34
![Page 36: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/36.jpg)
www.VNMATH.com
35
![Page 37: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/37.jpg)
www.VNMATH.com
36
![Page 38: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/38.jpg)
www.VNMATH.com
37
![Page 39: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/39.jpg)
www.VNMATH.com
38
![Page 40: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/40.jpg)
www.VNMATH.com
39
![Page 41: HOÀNG NGỌC ANH · PDF file 12 VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020803/5abc77517f8b9a441d8e1f7a/html5/thumbnails/41.jpg)
www.VNMATH.com
40