Homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung · wir in logarithmischen Form ln |C| Die...
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Homogene lineare Differentialgleichung 1. OrdnungSanddünen und Integralkurven
Ma 2 – Lubov Vassilevskaya1E1
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1E2 Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
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1E3 Ma 2 – Lubov Vassilevskaya
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Lineare DGL 1. OrdnungLineare DGL 1. Ordnung
Definition:
Eine Differenzialgleichung 1. Ordnung heißt linear, wennsie in der Form
darstellbar ist. Die Funktion g (x) wird als Störfunktionbezeichnet.
homogene DGL 1. Ordnung
inhomogene DGL 1. Ordnung
11
y ' f x ⋅ y = g x
g x = 0 : y ' f x ⋅ y = 0
g x ≠ 0 : y ' f x ⋅ y = g x
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Integration der homogenen linearen DGL 1. OrdnungIntegration der homogenen linearen DGL 1. Ordnung
Eine homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
lässt sich durch Trennung der Variablen wie folgt lösen. Wir trennen diebeiden Variablen
Dann werden beide Seiten integriert. Die Integrationskonstante schreibenwir in logarithmischen Form ln |C|
Die logarithmischen Terme werden noch zusammengefasst
Durch Umkehrung erhalten wir die allgemeine Lösung der homogenenlinearen Differentialgleichung in der Form
12
y ' f x ⋅ y = 0
dydx
f x ⋅ y = 0 ⇒ dyy
= − f x dx
∫ dyy
=−∫ f x dx ⇒ ln ∣ y ∣ = −∫ f x dx ln∣C ∣
ln ∣ y ∣ − ln∣C ∣ = ln∣ yC ∣=−∫ f x dx
y = C ⋅ e−∫ f x dx
C ∈ ℝ
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Lösung der homogenen linearen DGL 1. OrdnungLösung der homogenen linearen DGL 1. Ordnung
Aufgabe 1:
Lösen Sie die folgenden homogenen linearen DGL1. Ordnung
Aufgabe 2:
Aufgabe 3:
2A1
x2 y ' y = 0, y 1 = 1, y 12 = −3
y ' x y = 0, y 0 = −1, y 0 = 2
y ' 2 x3 y = 0, y 0 = −1, y 0 = 3
Aufgabe 4: y ' a x3 b x5 y = 0
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2A2
Lösung der homogenen linearen DGL 1. OrdnungLösung der homogenen linearen DGL 1. Ordnung
Aufgabe 5: y ' x2 −6 x2 x
2 x3 3 x2 y = 0
y ' x −4 x x2 1
x4 2 x2 1 y = 0Aufgabe 6:
y 1 = 2, y 1 = 1, y −2 = 1, y −3 = 1
y 1 = 2, y −2 = 1, y 1 = −1
y ' x5 −cos x
sin x 2 y = 0Aufgabe 7:
y 0 = 4, y −1 = 1, y 1 =32
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Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Lösung 1Lösung 1
x2 y ' y = 0, y 1 = 1, y 12 = −3
x2 y ' y = 0 ⇔ y ' 1
x2y = 0
y ' f x ⋅ y = 0, f x =1
x2
Wir vergleichen diese Gleichung mit der homogenen DGL 1. Ordnung:
Die allgemeine Lösung der homogenen linearen DGL hat folgende Form:
y = C ⋅ e−∫ f x dx
= C ⋅ e−∫ dx
x2= C ⋅ e
1x
21a
1 ) y (1) = 1, C1 = e−1 , y1 = C1 e
1x = e
1x− 1
2 ) y (12 ) =−3, C2 =−3 e− 2 , y2 = C2 e
1x =−3 e
1x− 2
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Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Lösung 1Lösung 1
21b
Abb. L1: Die Integralkurven der DGL
y1 = e
1x− 1, y2 =−3 e
1x− 2
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Spezielle Lösungen:
22a
Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Lösung 2Lösung 2
y ' x y = 0 ⇒ dydx
= − x y
∫ dyy
=−∫ x dx , ln ∣ y ∣ =−x2
2 ln∣C ∣ , ln ∣ yC ∣= −
x2
2
y = C e−x2
2
y 0 = −1 ⇒ C1 = −1 , y1 =−e−x2
2
y 0 = 2 ⇒ C 2 = 2 , y2 = 2 e−x2
2
Die Abbildung auf der nächsten Seite: Die Integralkurven der DGLentsprechen folgenden Werten der Integrationskonstante
yi = C i e−x2
2 : C1 = −1, C 2 = 2, C3 = 4, C4 = 5
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Abb. L2: Die Integralkurven der DGL22b
Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Lösung 2Lösung 2
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Spezielle Lösungen:
23a
Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Lösung 3Lösung 3
y ' 2 x3 y = 0 ⇒ dydx
= −2 x3 y
∫ dyy
=−2∫ x3 dx ⇒ ln | y | = −x4
2 ln |C |
y = C e−x4
2
y 0 = −1, C = −1 , y = −e−x4
2
y 0 = 3, C = 3, y = 3 e−x4
2
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Abb. L3: Integralkurven der DGL
23b
Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Lösung 3Lösung 3
y = C e−x4
2
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Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Lösung 4Lösung 4
24a
y ' a x3 b x5 y = 0 ⇒ dydx
= −a x3 b x5 y
∫ dyy
=−∫a x3 b x5 dx , ln ∣ y ∣=−a4x4 −
b6x6 ln ∣C ∣
ln ∣ yC ∣=−a4x4
−b6x6 , y = C e
−a4x4 −
b6x6
Die Abbildung auf der nächsten Seite: Die Integralkurven der DGL entsprechen folgenden Werten der Integrationskonstante und der Parameter
1 ) C =−1, a = 1, b = 1
2 ) C = 2, a = 2, b = 2
3 ) C = 3, a = −13, b =
12
4 ) C = 4, a = −12, b =
13
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Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Lösung 4Lösung 4
24b
Abb. L4: Integralkurven der DGL
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Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Lösung 5Lösung 5
25a
y ' x2 −6 x2 x
2 x3 3 x2 y = 0
dydx
= − x2
6 x2 x
2 x3 3 x2 y , ∫ dyy
=∫ − x2
6 x2 x
2 x3 3 x2 dx
ln ∣ y ∣= −x2
4 6 ∫ x2 x
2 x3 3 x2dx = −
x2
4 ∫ du
u=
u = 2 x3 3 x2 , du = 6 x2 x dx
ln ∣ y
C 2 x3 3 x2 ∣=−x2
4
y = C x2 2 x 3 e−x2
4Allgemeine Lösung:
= −x2
4 ln ∣ u ∣ ln ∣C ∣= −
x2
4 ln ∣C u ∣
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Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Lösung 5Lösung 5
25b
y = C x2 2 x 3 e−x2
4
1 ) y 1 = 2, y1 x =25x2 2 x 3 e
−x2
4
14
Spezielle Lösungen:
2 ) y 1 = 1, y2 x =15x2 2 x 3 e
−x2
4
14
3 ) y −2 = 1, y3 x = −14x2 2 x 3 e
−x2
4 1
4 ) y −3 = 1, y4 x = −1
27x2 2 x 3 e
−x 2
4
94
Eine graphische Darstellung der Integralkurven, die diesen Lösungenentsprechen, folgt.
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Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Lösung 5Lösung 5
25cAbb. L5 Die speziellen Lösungen der DGL
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Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Lösung 6Lösung 6
26a
y ' x −4 x x2 1
x4 2 x2 2 y = 0
dydx
= − x 4 x x2 1
x4 2 x2 2 y , ∫ dyy
=∫ − x 4 x x2 1
x4 2 x2 2 dx
ln ∣ y ∣= −x2
2 4 ∫
x x2 1
x4 2 x2 2dx =−
x2
2 ∫ du
u=
u = x4 2 x2 2, du = 4 x x2 1 dx
ln ∣ y
C x4 2 x2 2 ∣=−x2
2
y = C x4 2 x2 2 e−x2
2Allgemeine Lösung:
= −x2
2 ln ∣ u ∣ ln ∣C ∣= −
x2
2 ln ∣C u ∣
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Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Lösung 6Lösung 6
26b
1 ) y 1 = 2, y1 x =25
x4 2 x2 2 e−x 2
2
12
Spezielle Lösungen:
2 ) y −2 = 1, y2 x =126
x4 2 x2 2 e−x 2
2 2
3 ) y 1 = −1, y3 x = −15
x4 2 x2 2 e−x2
2
12
y = C x4 2 x2 2 e−x2
2
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26c
Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Lösung 6Lösung 6
Abb. L6: Die speziellen Lösungen der DGL
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Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Lösung 7Lösung 7
27a
y ' x5 −cos x
sin x 2 y = 0
∫ dyy
=∫ − x5
cos xsin x 2 dx
ln ∣ y ∣= −x2
10∫ du
u=−
x2
10 ln ∣C u ∣
ln ∣ yC u ∣=−
x2
10, y = C u e
−x2
10 = C sin x 2 e−x2
10
u = sin x 2
Allgemeine Lösung:
y = C (2 + sin x) e−x2
10
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27b
Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Lösung 7Lösung 7
y = C (2 + sin x) e−x2
10
1 ) y (0) = 4, y1 = 2 (2 + sin x) e−x2
10
2 ) y (−1) = 1, y2 =2 + sin x
2 − sin (1)e−
110
(x2 − 1)
Eine graphische Darstellung der Integralkurven, die diesen Lösungenentsprechen, folgt.
3 ) y (1) = 3, y3 =32⋅
2 + sin x2 + sin (1)
e−
110
(x2 − 1)
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Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Lösung 7Lösung 7
27c
Abb. L71: Die speziellen Lösungen der DGL
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Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Homogene lineare DGL 1. Ordnung: Lösung 7Lösung 7
27d
Abb. L72: Eine mit GIMP verarbeitete Darstellung von Integralkurven der Aufgabe 7. Der optische Eindruck von Sanddünen der Sahara
Sternenhintergrund: http://www.awesomestories.com/images/user/65e38ed5d5.jpg
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