home/bitrix/utils/pdf for litres/temp/101262 matematika ...Признаки делимости...
Transcript of home/bitrix/utils/pdf for litres/temp/101262 matematika ...Признаки делимости...
1
— Азбука ГИА
Г.В. Сычёва, Н.Б. Гусева, В.А. Гусев
МАТЕМАТИКА
ЧИСЛАИ БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕВЫРАЖЕНИЙ
АСТ•АстрельМосква
A В С
2
УДК 373:51ББК 22.1я721
M34
Математика : Числа и буквенные выражения.Преобразование выражений / Г.В. Сычева, Н.Б. Гу-сева, В.А. Гусев. — М.: АСТ: Астрель, 2012. — 31, [1] с.(АВС — Азбука ГИА).
ISBN 978-5-17-075443-4 (ООО «Издательство АСТ»)
ISBN 978-5-271-37152-3 (ООО «Издательство Астрель»)
Настоящее пособие предназначено для подготовки девятиклас-сников к успешной сдаче ГИА. Приведен необходимый теоретичес-кий материал и задания для самостоятельного решения. Все задачидля самостоятельного решения снабжены ответами.
Пособие предназначено для учащихся общеобразовательныхшкол, а также учителей.
УДК 373:51
ББК 22.1я721
Тесты
Сычёва Галина Владимировна, Гусева Наталья БорисовнаГусев Владимир Алексеевич
МАТЕМАТИКА
Числа и буквенные выражения
Преобразование выражений
Редакция «Образовательные проекты»
Отв. редактор Г.Н. Хромова. Худ. редактор Т.Н. ВойткевичТех. редактор А.Л. Шелудченко. Корректор И.Н. Мокина
Дизайн обложки Н.А. ШармайОригинал-макет подготовлен ООО «БЕТА-Фрейм»
Подписано в печать 26.09.2011. Формат 84�108 1/32.Усл. печ. л. 1,68. Тираж 6000 экз. Заказ №0000
Общероссийский классификатор продукцииОК-005-93, том 2; 953005 — литература учебная
Сертификат соответствия № РОСС RU.АЕ51.H15301 от 04.05.2011
ООО «Издательство Астрель» 129085, Москва, пр-д Ольминского, д. 3а
ООО «Издательство АСТ» 141100, РФ, Московская обл.,
г. Щелково, ул. Заречная, д. 96
Наши электронные адреса: www.ast.ru. E-mail: [email protected]
ISBN 978-5-17-075443-4 (ООО «Издательство АСТ»)
ISBN 978-5-271-37152-3 (ООО «Издательство Астрель»)
© Сычева Г.В., Гусева Н.Б., Гусев В.А.© ООО «Издательство Астрель»
3
Содержание
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
ЧИСЛА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Множество действительных чисел. . . . . . . . . . . . . 5
Задания для самостоятельного решения . . . . . . . 7
Сравнение действительных чисел . . . . . . . . . . . . . 8
Задания для самостоятельного решения . . . . . . . 9
Признаки делимости натуральных чисел . . . . . . . 10
Задания для самостоятельного решения . . . . . . . 11
Степень с целым показателем . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Задания для самостоятельного решения . . . . . . . 12
Прямая и обратная пропорциональность величин 13
Задания для самостоятельного решения . . . . . . . 14
Приближённые вычисления . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Задания для самостоятельного решения . . . . . . . 16
БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ . . . . . . . . . . . . . 17
Числовые и буквенные выражения . . . . . . . . . . . . 17
Задания для самостоятельного решения . . . . . . . 17
Преобразование выражений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Задания для самостоятельного решения . . . . . . . 22
Преобразование дробных выражений . . . . . . . . . . 23
Задания для самостоятельного решения . . . . . . . 25
Преобразование иррациональных выражений . . . 27
Задания для самостоятельного решения . . . . . . . 30
ОТВЕТЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4
Предисловие
Данное пособие поможет подготовиться к сдаче ГИАпо трём темам: числа, буквенные выражения, преобразо-вание алгебраических выражений, которые вместе состав-ляют большую часть всех заданий и входят как в первую,так и во вторую часть итоговой аттестационной работы за9 класс. Задания относятся к базовому и высокому уров-ней сложности.
Этим темам соответствуют задания 1, 3, 4, 5, 9 и 17Части 1 и задания на преобразование выражений 19 и 21Части 2. Проверяются умения выбрать правильный ответиз 4 предложенных, решать задания с записью ответа, вкоторых ход решения не проверяется, и правильно прово-дить все вычисления в задачах Части 2.
Каждая тема разделена на небольшие разделы, в кото-рых даётся краткое изложение теоретического материала,примеры с решениями типовых задач. В конце этих разде-лов приведены задания для самостоятельного решенияразличного уровня сложности. В конце книги даны отве-ты ко всем примерам для самостоятельного решения.
5
ЧИСЛА
Множество действительных чисел
Отметим некоторые числовые множества и их обозна-чения.
N — множество натуральных чисел, N = {1, 2, 3, …}.Z — множество целых чисел, Z = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2,
3, …}.Q — множество рациональных чисел;
Q = .
При этом N � Z � Q.Всякую обыкновенную дробь можно записать в виде бес-
конечной, но обязательно периодической десятичной дро-би, и наоборот. Но кроме бесконечных периодических деся-тичных дробей существуют дроби бесконечные непериоди-ческие. Любая бесконечная непериодическая десятичнаядробь называется числом иррациональным. Например,числа 5,2020020002…, π = 3,14152… — иррациональные.Некоторые выражения, записанные с использованиемзнака корня (например, , , , , , , …), яв-ляются числами иррациональными. Но = 2, = 3,
= 4, = 5 и т.д. — числа рациональные.Объединение множества чисел рациональных (Q) и
множества чисел иррациональных (J) называется множе-ством действительных чисел R, R = Q ∪ J. Существует вза-имно однозначное соответствие между множеством дейст-вительных чисел R и множеством точек координатнойпрямой.
Как найти (хотя бы приближённо) точку координатнойпрямой, соответствующую данному иррациональному чис-лу, например, ? Для решения этой задачи полезно най-ти два рациональных числа, между которыми находитсяданное иррациональное число.
Пример 1. Одна из точек, отмеченных на координат-
ной оси, соответствует числу . Какая это точка?
Решение. Определим, между квадратами каких чиселнаходится число 90, это числа 81 и 100; 81 < 90 < 100.Значит, < < , т.е. 9 < < 10. Числу соответствует точка D. Ответ: D.
m ∈ Z, n ∈ Nm
n-----
2 3 5 7 8 104 9
16 25
5
90
3 4 5 6 7 8 9 10 11
А B С D
x
81 90 100 90 90
6
Модуль числа
Модулем положительного числа называется само эточисло. Модуль нуля равен нулю. Модулем отрицательногочисла называется положительное число, противополож-ное данному числу. Коротко это можно записать так:
|a| = (знак «–» заменяет слово «про-
тивоположное»).
Модуль числа всегда имеет неотрицательное значение.Геометрический смысл модуля числа:|a| — это есть расстояние на координатной прямой от
точки с координатой а до начала координат. Очевидно,что |a| = |–a|.
|a – b| — это расстояние на координатной прямой меж-ду точками, соответствующими числам a и b.
|a – b| = |b – a|. При этом разность, стоящая под знакоммодуля, может быть как положительной, так и от-рицательной.
Пример 2. Найдите значение выражения –5 · |x| – x, ес-ли x = –3.
Решение. |x| = |–3| = 3; –5 · |x| – x = –5 · 3 – (–3) = –15 ++ 3 = –12. Ответ: –12.
Пример 3. Найдите произведение чисел а, для которых|a – 4| = 2.
Решение. Равенство |a – 4| = 2 означает, что расстояниеот точки с координатой а до точки с координатой 4 равно2. Таких точек на координатной оси две: а = 2 и а = 6;2 · 6 = 12. Ответ: 12.
Арифметический квадратный корень
Действие нахождения арифметического квадратногокорня из неотрицательного числа является обратным дей-ствию возведения в квадрат.
Определение. Арифметическим квадратным корнем изнеотрицательного числа а называется такое неотрицатель-ное число х, квадрат которого равен а.
a, если a � 0,–a, если a � 0
–a 0 ax
|–a| |a|
a b x
|b – a|
b a x
|a – b|
2 3 4 5 6 x
7
= x, a � 0 � Так как квадрат действитель-
ного числа не бывает отрицательным, то квадратный ко-рень из отрицательного числа не существует на R.
Необходимо помнить два тождества, связанных с по-
нятием квадратного корня: .
Пример 4. Упростите выражение при а < 0.
Решение. При а < 0 = |a| = –a, тогда = = –1.
Ответ: –1.Числовое выражение будем называть иррациональ-
ным, если оно содержит корень из числа, значение которо-го нельзя представить рациональной дробью (не извлекае-мый «нацело»).
Пример 5. Какое из чисел ; ; являет-ся рациональным?
Решение. = = = — число иррацио-
нальное; = = 2 · 10 = 20 —
число иррациональное; = = 2 · 10 = 20 —
число рациональное. Ответ: .
Задания для самостоятельного решения
1. Какое из чисел , , является ра-циональным?
1) ; 3) ;
2) ; 4) ни одно из этих чисел.
2. Какое из чисел , , является рацио-
нальным?
1) ; 3) ;
2) ; 4) ни одно из этих чисел.
3. Найдите значение выражения .
1) 8; 2) 1,6; 3) 4; 4) 0,8.
ax � 0,x2 = a.
( )2 = a = |a|a � 0 a — любое
a a2
a2
a----------
a2 a2
a----------
a–
a--------
0,4 4000 400
0,4 410------
4
10-----------
2
10-----------
4000 4 100 10⋅ ⋅ 10 10
400 4 100⋅
400
19,6 1,96 1960
19,6 1960
1,96
1 425------ 25
19--- 6
14---
1 425------ 6
14---
2519---
160
2 5( )2-------------------
8
4. Найдите значение выражения .
1) 1; 2) 0,5; 3) 0; 4) –1.
5. Найдите значение выражения
(3 + )2 + .
6. Упростите выражение при условии b > 0.
1) 3b; 2) 3b2; 3) 9b2; 4) –3b.
7. Найдите значение выражения 10 при х = 0,64.
1) 2; 2) 6; 3) 4; 4) 8.
8. Найдите значение выражения 2 · 5 · .
1) 10; 2) 50; 3) 100; 4) 20.
9. Найдите значение выражения .
10. Найдите значение выражения .
Сравнение действительных чисел
Определение. Число а называется большим числа b, ес-
ли разность a – b — положительное число, и число а назы-
вается меньшим числа b, если разность a – b — отрица-
тельное число.
Рассмотрим некоторые методы установления отноше-
ния «больше» или «меньше» между числами
I. Сравнение чисел по определению:
a > b тогда и только тогда, когда a – b > 0;
a < b тогда и только тогда, когда a – b < 0.
Пример 1. Сравните и .
Решение. Сравним с нулём разность данных чисел:
– = = ; > 0. Значит, > . Ответ: > .
II. Сравнение двух десятичных дробей методом сравне-
ния разрядных единиц, входящих в запись числа.
Из двух положительных десятичных дробей больше та,
у которой больше целая часть. Если целые части равны, то
больше та, в которой больше десятых долей. Если целые час-
ти и десятые доли равны, то больше та дробь, в которой боль-
ше сотых долей и т.д. Например, 5,61 > 5,603; 0,037 < 0,12.
Сравнение двух десятичных дробей можно выполнятьи первым методом, т.е. по определению.
3 2( )2 12–
6---------------------------------
2 6 2 11–( )2
18b5
2b3-----------------
1 x–
5 2 10
152 202+
292 212–
2
3---
4
7---
2
3---
4
7---
14 12–
21---------------------
2
21------
2
21------
2
3---
4
7---
2
3---
4
7---
9
III. Сравнение двух положительных чисел путём срав-нения их квадратов.
Для любых двух положительных чисел больше то,квадрат которого больше, и наоборот. Если a > 0, b > 0 и
a2 > b2, то a > b. Наоборот, если a > 0, b > 0 и a > b, то a2 > b2.
Пример 2. Сравните числа и 1,7.
Решение. > 0; 1,7 > 0; ( )2 = 3, 1,72 = 2,89, 3 > 2,89.
Ответ: >1,7.
Следует помнить, что любое отрицательное числоменьше нуля и меньше любого положительного числа.
Пример 3. Укажите наибольшее из чисел
2,39; 2 ; ; –2,459.
1) 2,39; 2) 2 ; 3) ; 4) –2,459.
Решение. Последнее число является отрицательным ионо меньше любого положительного. Число –2,459 исклю-
чаем из рассмотрения; 2 = 2,4, а потому 2,39 < 2,4 и чис-
ло 2,39 не может быть наибольшим.
Сравним числа 2,4 и . Число представим деся-
тичной дробью = 2,43…; 2,4 < 2,43… . — наиболь-
шее из этих чисел. Ответ: .
Задания для самостоятельного решения
11. Укажите наибольшее из чисел 0,25, 1,2, , .
1) 0,25; 2) 1,2; 3) ; 4) .
12. Укажите наименьшее из чисел 0,947, , , 0,9471.
1) 0,947; 2) ; 3) ; 4) 0,9471.
13. Расположите в порядке возрастания числа –0,18;–0,801; –0,098.
1) –0,18; –0,801; –0,098; 3) –0,801; –0,18; –0,098;
2) –0,098; –0,18; –0,801; 4) –0,18; –0,098; –0,801.
3
3 3
3
2
5---
73
30------
2
5---
73
30------
2
5---
73
30------
73
30------
73
30------
73
30------
73
30------
5
17------
23
26------
5
17------
23
26------
15
16------
23
22------
15
16------
23
22------
10
14. Расположите в порядке убывания числа 2 , 8, 4 .
1) 2 , 4 , 8; 3) 4 , 8, 2 ;
2) 8; 4 , 2 ; 4) 2 , 8, 4 .
15. Какая из точек, отмеченных на координатной пря-
мой, соответствует числу ?
1) A; 2) B; 3) C; 4) D.
16. Каждое из чисел ; ; соотнесите с соот-
ветствующей точкой на координатной прямой.
Признаки делимости натуральных чисел
1. На 10 делятся те и только те натуральные числа, взаписи которых последняя цифра – нуль.
2. На 5 делятся те и только те натуральные числа, в за-писи которых последняя цифра 0 или 5.
3. На 3 делятся те и только те натуральные числа, сум-ма цифр которых делится на 3.
4. На 9 делятся те и только те натуральные числа, сум-ма цифр которых делится на 9.
Натуральные числа, которые делятся нацело на 2,называются чётными.
Натуральные числа, которые не делятся на 2, назы-ваются нечётными.
Например, числа 2, 18, 54, 126 — чётные, а числа 1, 3,19, 111 — нечётные.
Чётные числа записывают с помощью выражения 2n,где n = 1, 2, 3, … . В натуральном ряду чисел чётному чис-лу всегда предшествует число нечётное и за ним следуетнечётное число, поэтому нечётное число можно записать спомощью выражения 2n – 1 (n = 1, 2, 3, …) или 2n + 1 (n == 0, 1, 2, …). 0 считают числом чётным.
5. На 2 делятся те и только те натуральные числа, в за-писи которых последняя цифра чётная.
Пример 1. Какое из указанных чисел не делится на 9?1) 567; 2) 632; 3) 8721; 4) 35460.Решение. Вычисляем сумму цифр: 1) 5 + 6 + 7 = 18 —
делится на 9; 2) 6 + 3 + 2 = 11 — не делится на 9;
7 3
7 3 3 7
3 7 7 3
67
7 8 9
А B С D
x
27 15 52
27 15 52
3 4 5 6 7 8 9
M N P Q
x
11
3) 8 + 7 + 2 + 1 = 18 — делится на 9; 4) 3 + 5 + 4 + 6 + 0 == 18 — делится на 9. Ответ: 2.
Пример 2. Известно, что m и n — чётные числа. Какоеиз следующих чисел также является чётным?
1) (m + 3)(n + 1); 2) 2m + 6n + 1; 3) 5m · n.
Решение. Задачу решаем анализом данных чисел.1) m + 3 — нечётное число, n + 1 — нечётное число,
тогда в произведении (m + 3)(n + 1) нет чётных множите-лей; (m + 3)(n + 1) — число нечётное.
2) 2m + 6n — чётное число, тогда 2m + 6n + 1 — нечёт-ное число.
3) 5m · n — число чётное. Ответ: 3.
Задания для самостоятельного решения
17. На какое из данных чисел не делится число113065440?
1) на 3; 2) на 5; 3) на 6; 4) на 9.18. Какую цифру нужно поставить вместо *, чтобы по-
лучившееся число 11358904* делилось на 9?1) 0; 2) 2; 3) 5; 4) 9.19. Известно, что а — нечётное число, b — чётное чис-
ло. Какое из следующих чисел является чётным?1) a + 2b; 2) a · (b + 3); 3) a + b + 3; 4) a – b + 4.20. Известно, что а — нечётное число, b — чётное чис-
ло. Какое из следующих чисел является нечётным?1) a · b; 2) 4 · (a – b) ; 3) (a + 7) · b; 4) a + 4b.
Степень с целым показателем
Степенью числа а с натуральным показателем n, боль-
шим 1, называется выражение an, равное произведению n
множителей, каждый из которых равен а. an = a · a · ... · a.n множителей
Степенью числа а с показателем 1 называется само
число а: а1 = а.При возведении в степень положительного числа всег-
да получается положительное число; при возведении в сте-пень нуля получается нуль.
Степень отрицательного числа с чётным показателем —
положительное число; a2n � 0 при любом а.Степень отрицательного числа с нечётным показате-
лем — отрицательное число; a2n + 1 < 0, если a < 0.Степенью числа а, не равного нулю, с целым отрица-
тельным показателем, называется дробь, числитель кото-
12
рой равен 1, а знаменатель — степени числа а с целым по-ложительным показателем, противоположным данному.
Если a � 0, то a–n = . Вообще, = , если
a � 0, b � 0.Степенью числа а, не равного нулю, с показателем 0,
называется число 1; а0 = 1, если a � 0. Выражения 00, 0–n
при –n < 0 считаются не имеющими смысла.
Свойства степени (a � 0)
am · an = am + n; = am – n; (am)n = amn; (a · b)m = am · bm;
= (b � 0).
Стандартный вид числа
Стандартным видом числа называется его запись в
виде a · 10n, где 1 � a < 10, n — целое число. Число n назы-вается порядком числа, число а — значащей частью чис-
ла. Например, 1234 = 1,234 · 103; 0,068 = 6,8 · 10–2.
Задания для самостоятельного решения
21. Укажите число, равное 0,000058.
1) 5,8 · 10–4; 3) 5,8 · 10–6;
2) 5,8 · 10–5; 4) 5,8 · 10–7.
22. Укажите число, не равное 2,3 · 10–5.
1) 0,023 · 10–3; 3) 23 · 10–6;
2) 23 · 10–4; 4) 0,000023.
23. Найдите частное . Ответ запишите в виде
десятичной дроби.
24. Найдите значение выражения (17 · 10–5) · (0,3 · 103).Ответ запишите в виде десятичной дроби.
25. Вычислите значение выражения .
1) –9; 2) – ; 3) ; 4) 9.
26. Найдите значение выражения · .
1) – ; 2) –32; 3) 32; 4) .
1
an------
a
b---
n–
b
a---
n
am
an-------
a
b---
m am
bm-------
2,4 10 4–⋅4 10 2–⋅------------------------------
3 10–
3 1– 3 7–⋅---------------------------
1
9---
1
9---
1
2–( ) 3–-------------------
1
2–( ) 2–-------------------
1
32------
1
32------
13
27. Представьте в виде степени произведение 16 · 4n.
1) 64n; 2) 42n; 3) 4n + 2; 4) 16n + 2.
28. Укажите выражение, равное степени 47–n.
1) 47 – 4n; 2) ; 3) ; 4) (47)–n.
Прямая и обратная пропорциональность величин
Определение. Две величины называются прямо про-порциональными, если при увеличении одной из них в не-сколько раз другая увеличивается во столько же раз.
Формула прямой пропорциональности имеет вид у == kх, где х, у — переменные величины, k — коэффициентпропорциональности, постоянная величина.
Свойство прямо пропорциональной зависимости: есливеличины прямо пропорциональны, то отношение двухзначений одной величины равно отношению соответст-
вующих значений другой величины: = . Коэффици-
ент пропорциональности k равен отношению любых двух
соответствующих значений данных величин: k = = .
Пример 1. За t1 часов автомобиль проехал расстояние
405 км. За какое время этот автомобиль может проехать507 км?
Решение. Время движения t и пройденное расстояние sпри постоянной скорости связаны прямо пропорциональ-ной зависимостью. По свойству прямой пропорционально-
сти = . Тогда = ; t2 = = t1 (ч). От-
вет: t1 ч.
Пример 2. Для приготовления строительного растворацемент, песок и вода берутся в отношении 1 : 1 : 0,4.Сколько цемента, песка и воды требуется для приготовле-ния 48 кг раствора?
Решение. Пусть k — коэффициент пропорционально-сти. Тогда цемента надо взять k кг, песка — k кг, воды —0,4k кг. По условию масса раствора равна 48 кг. Значит,k + k + 0,4k = 48; 2,4k = 48; k = 20. Цемента и песка потре-буется по 20 кг. Воды потребуется 0,4 · 20 = 8 (кг). Ответ:20 кг, 20 кг, 8 кг.
47
4n------
47
4 n–----------
y2
y1
------
x2
x1
------
y1
x1
------
y2
x2
------
s1
s2
-----
t1
t2
-----
405
507----------
t1
t2
-----
507 t1⋅
405-----------------------
169
135----------
169
135----------
14
Определение. Две величины называются обратно про-порциональными, если при увеличении одной из них в не-
сколько раз другая уменьшается во столько же раз.
Формула обратной пропорциональности имеет вид: y =
= , где х и у — переменные величины, k — постоянная.
Свойство обратно пропорциональной зависимости: ес-
ли величины обратно пропорциональны, то отношение двух
значений одной величины равно обратному отношению со-
ответствующих значений другой величины: = .
Задача. На путь от города до посёлка велосипедист,
двигаясь со скоростью v км/час, затратил 0,7 часа. С ка-
кой скоростью он должен был ехать, чтобы преодолеть
этот путь за 0,5 часа?
Решение. Скорость движения V и время t, затраченное
на преодоление данного расстояния, связаны обратно про-
порциональной зависимостью. По свойству обратной про-
порциональности = . Тогда = ; V2 = =
= 1,4V (км/час). Ответ: 1,4V.
Задания для самостоятельного решения
29. Масса одного пакета конфет равна а граммов. По
какой формуле можно вычислить количество пакетов (N)
с конфетами, если масса всех пакетов — P килограммов.
1) N = ; 2) N = ; 3) N = ; 4) N = 1000P.
30. Длина шага человека у см. По какой формуле мож-
но вычислить расстояние S (в метрах), которое пройдет че-
ловек сделав n шагов?
1) S = y · n; 3) S = ;
2) S = 100 · y · n; 4) S = .
31. Длина прыжка кенгуру b см. По какой формуле
можно вычислить число прыжков N, которые надо сде-
лать кенгуру, чтобы преодолеть l метров?
1) N = ; 2) N = ; 3) N = ; 4) N = 100b · l.
k
x---
y2
y1
-----x1
x2
------
V1
V2
------t2
t1
-----V
V2
------0,5
0,7---------
0,7 V⋅
0,5-------------------
P
1000a-----------------
1000P
a------------------
P
a----
100 y⋅
n---------------------
y n⋅
100--------------
l
100 b⋅--------------------
l
b---
100 l⋅
b-------------------
15
32. Один килограмм печенья стоит p рублей. Составьтевыражение для вычисления стоимости x грамм этого пече-нья (в рублях).
1) 1000 · p · x; 2) ; 3) ; 4) .
33. Один килограмм печенья стоит p рублей. Составьтевыражение для вычисления количества печенья (в грам-мах), которое можно купить за x рублей.
1) ; 2) ; 3) ; 4) 1000 · p · x.
Приближённые вычисления
Приближённые значения используются при измере-нии различных величин (расстояние, скорость, темпера-тура, масса, время и т.д.) и при округлении чисел.
Правило округления целых чисел
и десятичных дробей
Для округления числа до определённого разряда необ-ходимо знать, какая цифра следует за этим разрядом: еслиза разрядом стоит цифра, меньшая 5, то все цифры, сле-дующие за разрядом, отбрасывают, если они стоят послезапятой (например, 2,3748 � 2,37), или заменяют нулями,если они входят в целую часть числа (например, 1928 �� 1900); если за разрядом стоит цифра 5 или большая, чем5, то цифру разряда увеличивают на единицу, а все сле-дующие за ней цифры отбрасывают или заменяют нулями(например, 15,2654 � 15,27; 3719,61 � 3720).
Приближённые значения обычно записывают так, что-бы по записи можно было судить о точности приближе-ния. Например, если на мешке с сахаром написано, чтомасса нетто 50�0,2 (кг), то эта запись означает, что массасахара в мешке не может отличаться от 50 кг более, чем на0,2 кг: 49,8 � m � 50,2 (кг). Число 0,2 называют границейабсолютной погрешности приближённого числа 50. Еслиже на мотке проволоки указано 300 (�1%) м, то запись го-ворит о том, что истинная длина проволоки в мотке не мо-жет отличаться от 300 м более, чем на 1% от 300 м, т.е. бо-лее, чем на 3 м: 297 м � L � 303 м. 1% — это границаотносительной погрешности приближённого числа 300.
Границей относительной погрешности приближённогочисла называется отношение границы абсолютной погреш-ности этого числа к самому числу, выраженное в процентах.
В математических таблицах и справочниках прибли-жённые значения величин записываются так, чтобы абсо-
p x⋅
1000--------------
p
1000 x⋅------------------------
x
1000 p⋅------------------------
p
x---
x
p---
1000 x⋅
p------------------------
16
лютная погрешность не превосходила единицы последнегоразряда. В таких случаях говорят, что число записано вер-ными цифрами.
Пример 1. В таблице плотности вещества указано, что
плотность ртути (в г/см3) равна 13,55. Это означает, что аб-солютная погрешность указанного значения не превосходит
0,01: ρ = 13,55 � 0,01 (г/см3) или 13,54 � ρ � 13,56 (г/см3).
Пример 2. В таблице массы вещества записано, что
масса электрона (в кг) равна 9,1 · 10–31. Это означает, чтоабсолютная погрешность данного приближённого числа
не превышает 0,1 · 10–31: m = (9,1 � 0,1) · 10–31 (кг), или
9 · 10–31 � m � 9,2 · 10–31 (кг).
Пример 3. На пачке с солью написано: масса нетто1000 � 30 г. Укажите, какой не может быть масса соли впачке:
1) 980 г; 2) 1050 г; 3) 1030 г; 4) 1000 г.
Решение. Запись на коробке означает, что масса солине может отличаться от 1000 более, чем на 30 г: 970 г �� m � 1030 г. Из данных ответов в этот промежуток невходит только число 1050 г. Ответ: 2.
Задания для самостоятельного решения
34. Какое значение может принимать число а, если из-вестно, что а = 0,879 � 0,022.
1) 0,855; 2) 0,9; 3) 0,902; 4) 0,849.35. Какое значение не может принимать число а, если
известно, что а = 30,48 � 0,15.1) 30,33; 2) 30,4; 4) 30,61; 4) 30,64.36. Укажите границы, в которых заключена масса m
товара в граммах, на упаковке которого указано, что m == 600 � 2%.
1) 598 � m � 602; 3) 594 � m � 604;2) 588 � m � 612; 4) 590 � m � 610.37. Укажите границы, в которых заключена масса m
товара в граммах, на упаковке которого указано, что m == 60 � 0,1%.
1) 59,9 � m � 60,1; 3) 59,94 � m � 60,06;2) 55 � m � 65; 4) 59,5 � m � 60,5.38. Укажите границы, в которых заключена масса m
товара в граммах, на упаковке которого указано, что m == 80 � 0,5%.
1) 79,5 � m � 80,5 ; 3) 79,6 � m � 80,4;2) 75 � m � 85; 4) 76 � m � 84.
17
Буквенные выражения
Числовые и буквенные выражения
Выражения, составленные из чисел с помощью знаковдействий и скобок, называются числовыми выражениями.
Число, которое получается в результате выполнениядействий в числовом выражении, называется значениемвыражения.
Выражения, составленные из чисел и переменных,обозначенных буквами, с помощью знаков действий и ско-бок, называются буквенными выражениями. Если в бук-венное выражение вместо каждой переменной подставитькакое-либо её значение, то получится числовое выраже-ние. Его значение называется значением буквенного выра-жения при выбранных значениях переменных.
Областью определения буквенного выражения называ-ется множество числовых значений переменных, при кото-рых это выражение имеет смысл. Многочлен имеет смыслпри всех значениях входящих в него переменных. Дробьимеет смысл при всех значениях переменных, при которыхзнаменатель не обращается в нуль. На нуль делить нельзя!
Квадратный корень на множестве действительных чи-сел имеет смысл при всех значениях переменных, при ко-торых подкоренное выражение положительно или равнонулю, то есть является неотрицательным числом.
Задания для самостоятельного решения
39. Вычислите значение выражения при a = 1,8;
b = –1,5; c = –0,9.
40. Вычислите значение выражения при a =
= –24; b = –7.
41. Вычислите значение выражения при x == –17; y = 15.
42. При каком из указанных значений х выражение
не имеет смысла?
1) при х = –1; 3) при х = –3;2) при х = 0; 4) при х = 3.43. Даны выражения:
А) ; Б) ; В) x + .
Какие из этих выражений не имеют смысла при х = 4?
1) Только Б; 2) Только А; 3) Б и В; 4) А и Б.
a
b + c
a2 b2+
�x2 – y2
1
3x 9+---------------------
x + 2
x – 4
x – 4
x + 4
4 – x
x – 1
18
44. Выразите из формулы пути равномерного движе-ния S = S0 + Vt
скорость V.
1) V = ; 3) V = ;
2) V = (S – S0)t; 4) V = .
45. Выразите из формулы кинетической энергии дви-
жущегося тела E = массу m.
1) m = ; 2) m = ; 3) m = ; 4) m = 2V2E.
46. Водоём наполняется водой за 8 часов. Какая частьводоёма наполнилась за n минут?
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Преобразование выражений
Одночленом называется произведение чисел, перемен-ных и их степеней. Одночленами считаются также числа,
переменные и их степени. Например, выражения 4m3n,
3ab2 · 2a3bc, –5, a, b7, 32 — одночлены. Если одночлен за-писан в виде произведения числового множителя (коэф-фициента), стоящего на первом месте, и степеней различ-ных переменных, то говорят, что одночлен имеет стан-дартный вид. Числа, переменные, их степени такжесчитаются одночленами стандартного вида. Например,
pq8, 1, 3c, –7, b, a9 — одночлены стандартного вида.
Степенью одночлена называется сумма показателейстепеней всех входящих в него переменных. Например,
степень одночлена 9a5b6c равна 12. Если одночлен не со-держит переменных (т.е. является числом), то его степеньсчитается равной нулю.
Одночлены называются подобными, если они имеютодинаковую буквенную часть, а отличаются, быть может,только коэффициентами. Подобными называются и одно-
члены, не имеющие буквенной части. Например, 6x5yz2,
–6x5yz2, 4x5yz2 и –x5yz2 — подобные одночлены; 5, 9, 1 —подобные одночлены.
Многочленом называется сумма одночленов. Подобны-ми членами многочлена называются подобные одночлены.
S0 S–
t------------------
t
S0 S–------------------
S S0–
t------------------
mV2
2------------
E
2V2
----------
V2
2E--------
2E
V2--------
n
8 60⋅-----------------
8
n---
n
8---
8 n⋅
60--------------
1
2---
19
Приведением подобных слагаемых называется замена
суммы подобных членов одночленом. Многочленом стан-дартного вида называется многочлен, в котором выполне-
но приведение подобных слагаемых, и все члены являют-
ся одночленами стандартного вида.
Степенью многочлена стандартного вида называется
наибольшая из степеней входящих в него одночленов. На-
пример, 6х3у – ху2 + 1 — многочлен стандартного вида
четвёртой степени. Степенью произвольного многочлена
называется степень тождественно равного ему многочлена
стандартного вида.
Дробью называется выражение вида , где буквами
обозначены числовые выражения или выражения, содер-жащие переменные; выражение a называется числителем,
b — знаменателем дроби . Например, , ,
— числовые дроби; , , — дро-
би с переменными.Рациональным выражением называется выражение, со-
ставленное из чисел и переменных с помощью действий сло-
жения, вычитания, умножения, деления и возведения в сте-
пень. Рациональные выражения делятся на целые и дробные.
Целым называется рациональное выражение, котороене содержит операции деления на выражение с перемен-ными. Например, любые многочлены и одночлены явля-
ются целыми выражениями. Выражение —
также является целым.Дробным называется рациональное выражение, кото-
рое содержит операцию деления на выражение с перемен-
ными. Например, , – 2,5, — дробные ра-
циональные выражения. Следует обратить внимание насущественное различие в понятиях «дробь» и «дробное
выражение». Например, и — это дроби, но — целое
выражение, его можно записать в виде одночлена a, —
дробное выражение.
a
b---
a
b---
3
5---
2 6,7⋅ 4– 1,2⋅
7,4-----------------------------------------------
4
2
5---
1
3---–
--------------
6
x---
m2 2,1m– 2+
n 3–-----------------------------------------
0,5
c---------
2
b---–
b 0,3c+----------------------
x 4,5y+
9 7– 0,3⋅------------------------------
t
p x–--------------
a 1–
a 3+--------------
1
m-----
3
n---+
6-----------------
a
7---
7
a---
a
7---
1
7---
7
a---
20
Областью допустимых значений переменных дробно-го выражения (областью определения) называется множе-ство числовых значений переменных, при которых это вы-ражение имеет смысл (то есть знаменатель не обращаетсяв нуль). Например, областью допустимых значений пере-
менной выражения является множество действи-
тельных чисел, не равных 7 (х ≠ 7). Областью допустимых
значений переменных дроби являются все пары
чисел (х; у), в которых х ≠ у.
Тождественные преобразования выражений
Выражения называются тождественно равными, ес-ли равны их соответствующие значения при любых допус-тимых значениях переменных, входящих в эти выраже-ния. Например, выражения (х2)3 и х6, 2ab2a3b и 2a4b3,
и m4 (при m ≠ 0) являются тождественно равными.
Тождественным преобразованием (или просто преоб-разованием) называется замена одного выражения дру-гим, тождественно равным ему.
Преобразование одночленов и многочленов
Тождественные преобразования одночленов и много-членов выполняются на основе свойств (законов) действийнад числами.
1. Переместительный закон: a + b = b + a; a · b = b · a.2. Сочетательный закон: (a + b) + c = a + (b + c);
(a · b) · c = a · (b · c).3. Распределительный закон: a · (b + c) = a · b + a · c.
Правила действий с одночленами и многочленами
1). При умножении одночленов и возведении одночле-на в степень используются правила действий со степеня-ми. Чтобы умножить одночлен на одночлен, надо перем-ножить их коэффициенты и сложить показатели степенейс одинаковыми основаниями.
Пример 1. 3a3b2c · 2ab = 6a4b3c. Чтобы возвести одно-член в степень, надо коэффициент возвести в эту степень,а показатели букв умножить на показатель степени.
Пример 2. (3x5y2t)2 = 9x10y4t2.2). Складывать или вычитать можно только подобные
одночлены. Чтобы сложить или вычесть подобные одно-члены, надо сложить или вычесть их коэффициенты, оста-вив без изменения буквенную часть.
7 + x
7 – x
5x + 3y
x – y
m3 m2⋅m
----------------------
21
Пример 3. 4a10bc3 + 2a10bc3 – a10bc3 + 2a10bc3 =
= 7a10bc3 (4 + 2 – 1 + 2 = 7).Если сумма двух или нескольких подобных членов
равна нулю, то говорят, что эти члены «взаимно уничто-
жаются». Например, .
3). Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо ум-ножить этот одночлен на каждый член многочлена и полу-ченные произведения сложить.
Пример 4. 4mn2 · (2m3n – q) = 8m4n3 – 4mn2q.4). Чтобы сложить или вычесть многочлены, надо вос-
пользоваться правилом раскрытия скобок и привести по-добные слагаемые (если они есть).
Пример 5. (12x2y – 5x + y) + (3x2y – 4y) – (7x – y) =
= 12x2y – 5x + y + 3x2y – 4y – 7x + y = (12x2y + 3x2y) +
+ (–5x – 7x) + (y – 4y + y) = 15x2y – 12x – 2y.5). Иногда требуется решить обратную задачу — пред-
ставить многочлен в виде суммы или разности многочле-нов. В этом случае пользуются правилом заключенияслагаемых в скобки.
Пример 6. a5 – 2a2 – a + 1 = (a5 – 2a2) + (–a + 1) =
= (a5 – 2a2) + (1 – a); но a5 – 2a2 – a + 1 = (a5 – 2a2) – (a –
– 1); a5 – 2a2 – a + 1 = –(–a5 + 2a2) + (–a + 1) = –(2a2 – a5) +
+ (1 – a); a5 – 2a2 + 1 = –(2a2 – a5) – (a – 1).6). Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо
каждый член одного многочлена умножить на каждый члендругого многочлена и полученные произведения сложить.
Пример 7. (3a + 4b2)(a – b) = 3a · a + 4b2 · a + 3a · (–b) +
+ 4b2 · (–b) = 3a2 + 4ab2 – 3ab – 4b3.7). На практике при умножении многочлена на много-
член часто используют формулы сокращённого умножения.
1. (a + b)(a – b) = a2 – b2.
2. (a � b)2 = a2 � 2ab + b2.
3. (a � b)(a2 � ab + b2) = a3 � b3.
4. (a � b)3 = a3 � 3a2b + 3ab2 � b3.
Основные способы разложения многочлена на мно-жители
1. Способ вынесения общего множителя за скобки.
Метод основан на применении распределительного за-кона умножения, прочитанного «справа – налево».
Пример 8. 6m3n + 2mn2 = 2mn(3m2 + n). Чтобы прове-рить правильность разложения, можно выполнить обрат-
ное действие: 2mn(3m2 + n) = 6m3n + 2mn2.
9a3 + 4b – 6a3 – 3a3 = 4b
22
2. Способ группировки (с последующим вынесениемобщего множителя за скобки).
Пример 9. ab2 – ax – b2y + xy + b2 – x = (ab2 – ax) – (b2y –
– xy) + (b2 – x) = a(b2 – x) – y(b2 – x) + (b2 – x) = (b2 – x)(a –– y + 1).
Можно было группировать члены иначе: ab2 – ax – b2y +
+ xy + b2 – x = (ab2 – b2y + b2) – (ax – xy + x) = b2(a – y + 1) –
– x(a – y + 1) = (a – y + 1)(b2 – x).3. С помощью формул сокращённого умножения (про-
читанных формул 7) «справа – налево»):Пример 10. Разложите на множители выражение
4(2а + 9)2 – 9(а – 7)2.
Решение. 4(2а + 9)2 – 9(а – 7)2 = (2(2а + 9))2 – (3(а – 7))2 =
= (4а + 18)2 – (3а – 21)2 = (4а + 18 + 3а – 21)(4а + 18 – 3а ++ 21) = (7а – 3)(а + 39).
4. С помощью формулы разложения квадратного трёх-члена на множители:
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2), где а ≠ 0, D = b2 – 4ac �
� 0, x1 и х2 — корни уравнения ax2 + bx + c = 0.
Пример 11. Разложите на множители –х2 – х + 2.
Решение. –х2 – х + 2 = –1 · (x – x1)(x – x2); –х2 – х + 2 =
= 0; х2 + х – 2 = 0; х1 = –2, х2 = 1; –х2 – х + 2 = –(x + 2)(x –
– 1). Ответ: –(x + 2)(x – 1).
Задания для самостоятельного решения
47. Найдите значение выражения –24c3d2 при c = – ;
d = .
48. Haйдите значение выражения (b – c)2 при b = 1,6;c = –1,4.
1) 0,04; 2) 0,4; 3) 9; 4) другой ответ.49. Известно, что х = –2, у = –3. Значение каждого из
данных выражений соотнесите с ответом и заполните таб-лицу.
А. (х + у)2; В. х2 + у2; С. х2 – у2.1) –5; 2) 13; 3) 25.
50. Известно, что m = –5, p = 3. Значение каждого из дан-ных выражений соотнесите с ответом и заполните таблицу.
A. m2 + p2; B. (m – p)2; C. m2 – p2.1) 16; 2) 34; 3) 64.
1
2---
1
5---
A B C
A B C
23
51. Упростите выражение 7c – 6 b – c + (b – c) и вы-
числите его значение при b = ; с = –0,5.
1) –6; 2) –2; 3) –8,5; 4) другой ответ.52. Преобразуйте выражение (2a – 3x)(x + 6a) – (3a –
– x)(4a + 3x) + a в многочлен и вычислите его значениепри a = 0,1, x = –0,02.
53. Найдите значение выражения |–a – b| + 2, если6(a + b) = 24.
1) –2; 2) 6; 3) –6; 4) другой ответ.54. Укажите (не выполняя умножения) те произведе-
ния, которые тождественно равны между собой.А. 4(х + у)(х – у). С. 4(–х – у)(х – у).В. 4(у + х)(у – х). D. (4х + 4у)(4х – 4у).1) В и С; 2) А и В; 3) А и D; 4) В и D.55. Разложите на множители многочлены:а) m2n2 + c + cmn + mn; б) 5p – k – pk + 5p2 .56. Укажите произведение, тождественно равное мно-
гочлену m2 + mn – bm – bn.1) (m + n)(m + b); 3) (m + n)(m – b);2) (m – n)(m + b); 4) (m – n)(m – b).
57. Упростите выражение (–c2 – 1)(1 – c2).1) (1 – c2)2; 2) 1 – с4; 3) с4 – 1; 4) другой ответ.58. Для каждого многочлена найдите тождественно
равное ему произведение. В таблице укажите номерправильного ответа.
А. х3 + 64; В. х2 – 64; С. х3 – 64.1) (x – 8)(х + 8);2)(х + 4)(х2 – 4х + 16);3) (х – 4) (х2 + 4х + 16).
Преобразование дробных выражений
1. Свойства дробей.1) Основное свойство дроби.Если числитель и знаменатель дроби умножить или
разделить на одно и то же выражение, не равное нулю, тополучится дробь, тождественно равная данной.
2) Если у дроби изменить знак числителя (знаменате-ля) и знак перед дробью, то получится дробь, тождествен-но равная данной.
2
3---
15---
A B C
24
2. Правила действий с дробями.1) Сократить дробь — это значит разделить числитель
и знаменатель дроби на одно и то же число или выраже-ние, не равное нулю.
Сокращение дроби выполняется согласно основномусвойству дроби и правилу деления произведения на числоили выражение. (Чтобы произведение нескольких множи-телей разделить на число или выражение, достаточнотолько один из множителей разделить на это число иливыражение).
Чтобы сократить дробь, необходимо её числитель изнаменатель разложить на множители и лишь после этогопроизвести сокращение на одинаковые множители. Еслиобщих множителей нет, то сокращение дроби невозможно.
Пример 1. а ≠ 0.
= =
2) Чтобы сложить (вычесть) дроби с одинаковымизнаменателями, нужно сложить (вычесть) их числители, азнаменатель оставить прежним.
Пример 2. – = =
= = , 5х – 1 ≠ 0.
Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменате-лями, нужно привести дроби к общему знаменателю, а за-тем применить правило сложения (вычитания) дробей содинаковыми знаменателями.
Приведение дробей к общему знаменателю выполняет-ся путём умножения числителя и знаменателя каждойдроби на такое число или выражение (называемое допол-нительным множителем), чтобы знаменатели у всех дро-бей стали одинаковыми.
Чтобы найти общий знаменатель нескольких дробей,надо знаменатель каждой дроби разложить на множители,затем выписать знаменатель одной из дробей и приписатьк нему недостающие множители из других знаменателей.
Пример 3. + – = +
+ – = + – =
2a3 6ab+
6a----------------------------
2 a a2 3b+( )⋅ ⋅2 3 a⋅ ⋅
-----------------------------------------------
1 1
11
a2 3b+
3--------------------
2x2 y–
5x 1–---------------------
4y x–
5x 1–------------------
2x3 y–( ) 4y x–( )–
5x 1–--------------------------------------------------------
2x3 y– 4y– x+
5x 1–-----------------------------------------------
2x3 5y– x+
5x 1–------------------------------------
3a b+
a3 ab2–-----------------------
2
ab2 a2b+---------------------------
ba b–--------------
3a b+
a a2 b2–( )----------------------------
2
ab b a+( )--------------------------
ba b–( )------------------
3a b+
a a b+( ) a b–( )-----------------------------------------
�b
2
ab b a+( )--------------------------
�a–b
ba b–( )------------------
�ab(a+b)
25
= =
= ;
3) Чтобы умножить дроби, нужно перемножить их
числители и их знаменатели, первое произведение запи-
сать числителем, а второе — знаменателем дроби.
Пример 4. · = = ,
4) Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в
эту степень числитель дроби и знаменатель, первый ре-
зультат записать в числитель, а второй — в знаменатель
дроби.
Пример 5. = = = , b ≠ 0.
5) Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую
дробь умножить на дробь, обратную второй.
Пример 6. : (y2 + 5y) = · =
= = ;
Задания для самостоятельного решения
59. При каких значениях t выражение не
имеет смысла?
1) 1; 2) 5; 3) 10; 4) другой ответ.
60. Какие из следующих выражений определены для
любого положительного х?
А. ; В. ; С. .
1) А и В; 2) В и С; 3) только В; 4) только А.
61. Какие из следующих выражений определены для
любого р?
А. ; В. ; С. .
1) Только А; 2) А и С; 3) В и С; 4) только С.
b 3a b+( )⋅ 2 a b–( ) ab a b+( )–+ b⋅a a b+( ) a b–( ) b⋅
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
3ab b2 2a 2b– a2b2– ab3–+ +
a b a2 b2–( )⋅ ⋅-------------------------------------------------------------------------------------------
a ≠ 0,b ≠ 0,a ≠ �b.
m4
16n-----------
8n3
m5----------
m4 8n3⋅16n m5⋅--------------------------
n2
2m---------
m ≠ 0,
n ≠ 0.
3a2
5b4----------
3 3a2( )3
5b4( )3------------------
33 a2( )3⋅53 b4( )3⋅----------------------------
27a6
125b12-------------------
y2 10y 25+ +
y 3–--------------------------------------
y 5+( )2
y 3–----------------------
1
y y 5+( )----------------------
y 5+( )2 1⋅y 3–( ) y y 5+( )⋅ ⋅--------------------------------------------------------
y 5+
y y 3–( )----------------------
y ≠ 0,
y ≠ 3,
y ≠ –5.
t 1–( ) t 5–( )t 10–
------------------------------------
x2
x2 1–-----------------
x 2+
x 4+--------------
2x
2x 1–------------------
p
p2 1–
-----------------
p 1+
p 5+--------------
p p2–
20----------------
26
62. Какие из следующих выражений определены длялюбого отрицательного у?
А. ; В. ; С. .
1) А и В; 2) только С; 3) А и С; 4) только А.
63. Из выражений
А. ; В. ; С. .
Выберите те, которые не имеют смысла при у = –10.
1) Только В; 2) только А; 3) А и С; 4) только С.
64. Расположите в порядке возрастания значения вы-
ражений А = –0,2х; B = ; С = –2х2, если х = –0,1.
1) А, В, С; 2) В, С, А; 3) А, С, В; 4) С, А, В.65. Расположите в порядке убывания значения выра-
жений A = ; B = – ; C = – , если у = –3.
1) А, В, С; 2) В, А, С; 3) С, В, А; 4) С, А, В.
66. Какое из выражений тождественно равно дроби
?
А. – ; Б. ; В. ; Г. .
Упростите выражение на области его определения.
67. + .
А. х + у; Б. –х – у; В. ; Г. у – х.
68. – . 69. 3x – .
70. – . 71. · .
72. : (2a – 4b). 73. : .
Сократите дробь.
74. . 75. . 76. .
77. . 78. . 79. .
y
10 y–-----------------
10
y2 10–--------------------
y2
y 7+--------------
y 10+
y 10–-----------------
y
y 10+-----------------
y 10–
10 y2–--------------------
2
x---
4 y–
y--------------
1
2y2----------
3y
2 y–--------------
x 2y–( )2
3y x–--------------------------
2y x–( )2
3y x–--------------------------
2y x–( )2
3y x–--------------------------
2y x–( )2
x 3y+--------------------------
1 2y–
1 3y–------------------
y2
x y–--------------
x2
y x–--------------
x2y2
x y–--------------
6x
x2 y2–
--------------------
3
x y–--------------
1 3x2+
x 1+---------------------
7a 4+
12a------------------
2a 3+
9a------------------
x2 x–
4xy-----------------
2y
x2 1–-----------------
a2 4b2–
a2-----------------------
m
m2 mn–-------------------------
m2
m2 n2–----------------------
6x2 2x–
4x-------------------------
6a 14b2–
9a2 49b4–
-------------------------------
xy2 x2y–
x2 y2–
----------------------------
4x2 4x– 1+
4x2 1–
------------------------------------
9a2 12a 4+ +
4 9a2–
---------------------------------------
25a2 10a– 1+
10ab 2b–-------------------------------------------
27
Преобразование иррациональных выражений
Алгебраическое выражение называется иррациональ-ным, если в нём содержатся операции извлечения корняиз переменных или возведения переменных в степень сдробным показателем.
Напомним основные положения теории.I) Определение квадратного корня:
= x, a � 0 �
Квадратный корень из отрицательного числа не су-ществует на R.
II) Свойства корня.
1. = a; 3. = ; a � 0, b � 0, c � 0;
2. = |a|; 4. = , a � 0, b > 0;
III) Правила действий с корнями.
1. = ; a � 0, b � 0, c � 0;
2. = , a � 0, b > 0.
Начинать преобразование иррациональных выраже-ний необходимо с нахождения области определения выра-жения.
Напомним, что значения переменных, при которыхалгебраическое выражение имеет смысл, называют допус-тимыми значениями переменных. Множество всех допус-тимых значений переменных называют областью опреде-ления алгебраического выражения.
Квадратный корень теряет смысл, если подкоренноевыражение отрицательно.
Пример 1. Определите, при каких значениях х имеетсмысл выражение:
1) . Ответ: х — произвольное число.
2) . Ответ: x � 2.
3) . Ответ: x < 0.
4) . Ответ: х > –3.
ax � 0,x2 = a.
a( )2
a 0≥abc a b c
a2
a R∈
a
b---
a
b-------
a b c abc
a
b-------
a
b---
x–( )2
2 x–
1
8x–
----------------
x 3–
3 x+
------------------
28
5) + . Ответ: х = 2.
6) . Ответ: [5; 6) � (6; +�).
7) . Ответ: [0; 1) (1; +�).
Рассмотрим примеры тождественных преобразованийвыражений, содержащих квадратные корни.
1. Вынесение множителя за знак корня.Если подкоренное выражение можно разложить на не-
отрицательные множители, а затем из одного или не-скольких множителей извлечь корень, то говорят, что зазнак корня вынесен множитель. Цель преобразования —упростить подкоренное выражение.
Пример 2. Упростите выражение + 3 – 2 .
Решение. + 3 – 2 = + 3 –
– 2 = 4 + 6 – 16 = 10 – 16 . Ответ: 10 –
– 16 .Пример 3. Упростите выражение
3 – 2 + .Решение. Данное выражение имеет смысл, если х � 0.
3 – 2 + = 3 –
– 2 + = 3 · 2x3 – 2 · 3x3 +
+ x = x . Ответ: x , x � 0.Пример 4. Вынесите множитель за знак корня
.Решение. Корень имеет смысл на R, если у � 0, х и
t — любые действительные числа. =
= = 2|x2| · |y| · |t| = 2x2y · |t| ,|x2| = x2, так как x2 � 0, |y| = y, так как y � 0. Ответ:
2x2y · |t| , y � 0.2. Внесение множителя под знак корня.Внесением множителя под знак корня называется пре-
образование, в результате которого произведение множи-теля на корень заменяют корнем из произведения соответ-ствующих множителей.
Пример 5. 3 = · = = .
3x 6– 6 3x–
x 5–
x 6–------------------
7
x 1–------------------
32 8 192
32 8 192 16 2⋅ 4 2⋅
64 3⋅ 2 2 3 3
3
12x7 27x7 x3
12x7 27x7 x3 4 3 x3( )2 x⋅ ⋅
9 3 x( ) x3( )2⋅ ⋅ x2 x⋅ 3x 3x
x x x
8x4y3t2
8x4y3t2
4 2 x2( )2 y2 y t2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2y 2y
2y
10 9 10 9 10⋅ 90
29
Под знак квадратного корня можно вносить только
неотрицательный множитель!
a = , если a � 0 и a = – , если a < 0.
Пример 6. –2 = – · = – = – .
Пример 7. Внесите множитель под знак корня –a .
Решение. Корень существует, если а � 0, тогда
–а � 0, под знак корня вносим неотрицательный множи-
тель а. (Полезно проверить знак данного выражения до
внесения множителя под знак корня и после преобразова-
ния, он не должен меняться в результате преобразования).
–a � 0, так как а � 0; –a = – · = – .
(Знак выражения не изменился). Ответ: – , а � 0.
Пример 8. Внесите множитель под знак корня:
а) 7t ; б) –3c ; в) 6y3 .
Решение. а) Выражение 7t имеет смысл при t < 0;
7t = – · = – = – . Ответ:
– , t < 0.
б) Данное выражение имеет смысл, если с � 0, d — лю-
бое число, тогда –3с � 0; –3c = =
= . Ответ: , с � 0.
в) Выражение 6y3 существует при у � 0; 6y3 =
= = . Ответ: , у � 0.
3. Освобождение от иррациональности в знаменателе
или числителе дроби.
В основе преобразования лежит основное свойство дро-
би, позволяющее умножать одновременно числитель и
знаменатель на одно и то же число или выражение, не рав-
ное нулю, а также тождества ( )2 = a (a � 0), ( +
+ )( – ) = a – b (a � 0, b � 0).
b a2b b a2b
13 4 13 4 13⋅ 52
5a
5a
5a 5a a2 5a 5a3
5a3
1
7t------– c3d8– 2y
1
7t------–
1
7t------– 7t–( )2 1
7t------–
49t2
7t------------– 7t–
7t–
c3d8– 3c–( )2 c3d8–( )⋅
9c5d8– 9c5d8–
2y 2y
6y3( )2 2y⋅ 72y7 72y7
a a
b a b
30
Пример 9. Найдите наименьшее значение дроби
. При каком значении а оно достигается?
Решение. a ∈ [0; 9) � (9; +�).
Способ 1. = = =
= + 3. Сумма + 3 имеет наименьшее значение, рав-
ное 3, при а = 0.
Способ 2. = = + 3. Ответ: 3;
а = 0.Пример 10. Вычислите
– – · (4 – 21).
Решение. – – · (4 – 21) =
= – – · (4 – 21) = (3 –
– 3 – 3 – 6 – 12 – 4 )(4 – 21) = –(4 + 21)(4 –
– 21) = 345. Ответ: 345.
Задания для самостоятельного решения
(эти задания относятся ко второй части экзаменацион-ной работы)
Сократите дробь.
80. . 81. . 82. .
83. . 84. .
85. . 86. . 87. .
88. . 89. .
Вычислите.
90. . 91. .
a 9–
a 3–
------------------
a 9–
a 3–------------------
a 9–( ) a 3+( )a 3–( ) a 3+( )
-----------------------------------------------
a 9–( ) a 3+( )a 9–
-------------------------------------------
a a
a 9–
a 3–------------------
a 3+( ) a 3–( )a 3–
----------------------------------------------- a
15
6 1+------------------
6
6 2–------------------
12
3 6–
------------------ 6
15
6 1+
------------------
6
6 2–
------------------
12
3 6–
------------------ 6
15 6 1–( )
6 1–------------------------------
6 6 2+( )6 4–
---------------------------
12 3 6+( )9 6–
------------------------------ 6 6
6 6 6 6 6
4x2 7x– 3+
8x 6–------------------------------------
5x2 9x 4+ +
15x 12+------------------------------------
3x2 8x– 5+
1 2x– x2+
------------------------------------
7x2 9x– 2+
49x2 28x– 4+
-------------------------------------------
25x2 10x– 1+
1 5x– y 5xy–+-----------------------------------------------
7a 1– b– 7ab+
1 14a– 49a2+-----------------------------------------------
2 2+
1 2+
------------------
5 1–( )2
5 3–
--------------------------
10 10–
20 10 2–
---------------------------------
14 8+
7 2+
--------------------------
13 2– 13 2+⋅3
------------------------------------------------------------
2 3+ 3 2–⋅28
-----------------------------------------------------
31
92. ( – 3 )( + ) + – 1.
93. – .
94. ( + 2)(2 – ) + (2 – )2 + .
95. ( – 2)2 – (2 – 1)( – 1).
Разложите многочлен на множители.
96. 5c + cy2 – c2y – 5y. 97. 3m2 – 3n2 – m + n.
98. 1 – a2 + 2ab – b2. 99. 2b2 – 20bc + 50c2 – 2.
100. 6x2 + 24y2 + 24xy – 24.Найдите значение выражения.
101. 9y2 – 12xy + 4x2 – 2x + 3y, если x = .
102. 9a2 – 24ab + 16b2 – 3a + 4b, если a = .
103. Найдите все пары чисел m и n, для каждой из ко-
торых значение выражения (m + n)2 + 8m – 4n – 2mn + 20равно нулю.
104. Найдите все пары чисел a и b, для каждой из кото-
рых значение выражения (a – b)2 – 6a + 10b + 2ab + 34 рав-но нулю.
105. Найдите наименьшее значение выражения
9х4 – 6х3 + х2. При каких значениях х оно достигается?
106. Найдите наибольшее значение выражения –4х4 +
+ 20х3 – 25х2. При каких значениях х оно достигается?107. При каких значениях коэффициента b выражение
(2x + b)2 – 4x(x + 2b) – b2 – х равно нулю при любыхзначениях х?
108. При каких значениях коэффициента m выраже-
ние (3x + 2m)2 + 9x(m – х) – 4m2 + 1 не обращается в нульни при каких значениях х?
109. При каких значениях коэффициента с многочлен,
тождественно равный произведению (x3 + 4 – c)(2x – с), несодержит свободного члена?
110. При каком значении коэффициента а многочлен,
тождественно равный произведению (2x2 – 4x + 5)(3x – а),
имеет равные коэффициенты при х3 и при х?111. При каком значении коэффициента р многочлен,
тождественно равный произведению (6х2 + 24х + р)(х –
– 2р), не содержит х2?
15 2 15 181
4---
7 5–
7 5+
----------------------
7 5+
7 5–
----------------------
7 7 3 48
3 3 3
3y 1–
2------------------
4b 2+
3-----------------
32
Ответы
№ задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Ответ 2 3 1 1 22 1 2 3 25 20 2 2 3 2 3
№ задания 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Ответ 4 3 3 4 2 2 0,006 0,051 3
№ задания 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
Ответ 2 3 2 2 4 3 2 3 2 4 2 3 3 –0,75
№ задания 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51
Ответ 25 8 3 2 4 3 1 0,12 3 1
№ задания 52 53 54 55 57 56 58 59
Ответ 0,142 2 1а) (mn + c)(mn + 1)б) (5p – k)(1 + p)
3 3 3
№ задания 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71
Ответ 3 4 4 1 2 3 Б Б
№ задания 72 73 74 75 76 77 78
Ответ
№ задания 79 80 81 82
Ответ , x � , x � – , x � 1
№ задания 83 84 85
Ответ , x � , x � 0,2, y � –1 , a �
№ задания 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95
Ответ –2 – 1 0,5 –3,5 –2 4 –
№ задания 96 97 98
Ответ (c – y)(5 – cy) (m – n)(3m + 3n – 1) (1 + a – b)(1 – a + b)
№ задания 99 100 101 102
Ответ 2(b – 5c + 1)(b – 5c – 1) 6(x + 2y + 2)(x + 2y – 2) 2 2
№ задания 103 104 105
Ответ m = –4, n = 2 а = 3, b = –5 0; x = 0, x = 1/3
№ задания 106 107 108
Ответ 0; x = 0, x = 2,5 b = –0,25 m = 0
№ задания 109 110 111
Ответ c = 0, c = 4 a = –2,25 p = 2
N M P
27 15 52
А В С
3 2 1
А В С
2 3 1
А В С
2 1 3
3
x y–--------------
3x 1–
x 1+------------------
13
36------
1
2 x 1+( )-----------------------
a 2b+
2a2-----------------
m n+
m2----------------
3x 1–
2------------------
2
3a 7b2+
-------------------------
xy–
x y+--------------
2x 1–
2x 1+------------------
2 3a+
2 3a–------------------
5a 1–
2b------------------
x 1–
2--------------
3
4---
x 1+
3--------------
4
5---
3x 5–
x 1–------------------
x 1–
7x 2–------------------
2
7---
1 5x–
1 y+------------------
1 b+
7a 1–------------------
1
7---
22
2------- 2 35 3