DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 1 JUAN CARLOS BRONCANO TORRES

CÁLCULO 3

UNIDAD I: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

SESIÓN 02: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. MODELOS MATEMÁTICOS

NIVEL I:

1. Se va a construir un conducto para agua que va del punto P al punto S y que debe atravesar por regiones donde los costos de construcción difieren. Si el costo por kilometro en dólares es 3k de P a Q. 2k de Q a R y k de R a S. Determinar la función de costo total.

2. Mostrar que la función de producción de Cobb-Douglas aa yCxz 1 puede reescribirse

como )ln(ln)ln(y

xaC

y

z

3. Un fabricante está planeando vender un nuevo producto al precio de A dólares por unidad y estima que si x miles de dólares se gastan en su perfeccionamiento y y dólares en su

promoción, los consumidores compraran aproximadamente 4

160

2

320

x

x

y

y unidades del

producto. Si los costos de fabricación son de 50 dólares por unidad, exprese la utilidad en términos de x e y .

4. Una ventana de perímetro p dado tiene la forma de la figura. La parte rectangular es de cristal transparente y la semicircular de cristal coloreado. Esta

ultima permite pasar por 2m de superficie, solo la mitad de la luz que permite la parte rectangular. Bajo estas condiciones determine la iluminación total NIVEL II:

1. Una compañía fabrica una caja rectangular cerrada de modo que su volumen sea de 36 3m .el

material para la base y la tapa cuesta $12 el 2m ; para los lados de frente y de atrás $10 el

2m ; y los otros lados $8 el 2m Determine el costo total de la caja.

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2. Si ),( yxT es la temperatura en un punto ),( yx de una placa de metal ligero en el plano XY

entonces a las curvas de nivel de T se les llama curvas isotérmicas. Todos los puntos de una de estas curvas están a la misma temperatura. Suponga que una placa ocupa el primer

cuadrante y que xyyxT ),( . Una hormiga que parte del punto (1,4) quiere caminar sobre

la placa de modo que la temperatura en su trayectoria permanezca constante ¿Cuál debe ser la trayectoria de la hormiga? 3. Se fabrica un recipiente sin tapa que tiene la forma de un tronco de cono circular con base una semiesfera, tal como se muestra en la figura adjunta. Si las dimensiones del recipiente

son R y r Estime el volumen aproximado del recipiente. 4. Un filtro cónico de 18 cm de profundidad y 6 cm de radio en la parte superior, se encuentra llena de una solución. La solución va pasando a un vaso cilíndrico de 3 cm de radio. Halle la altura de la solución en el vaso cilíndrico. 5. Un fabricante que posee derechos exclusivos sobre una nueva y completa maquinaria industrial planea vender una cantidad limitada de las máquinas tanto a empresas nacionales como extranjeras. El precio que el fabricante espera fijar a las máquinas dependerá del número de máquinas disponibles. (Por ejemplo, si sólo unas cuantas máquinas se ponen en el mercado, las ofertas de los compradores potenciales que compiten entre sí tenderán a subir el precio). Se calcula que si el fabricante suministra x máquinas al mercado nacional

e y máquinas al mercado extranjero, éstas se venderán 2010

60yx

miles de dólares cada

una en el mercado local y a 205

70xy

miles de dólares en el exterior. Si el fabricante

puede producir las máquinas a un costo de US$ 20000 cada una. Indique cual es la utilidad que obtendrá este empresario según los datos presentados. 6. Un corredor va por una pista circular de r metros de radio. En el centro de ésta hay una luz, la sombra del corredor se proyecta sobre un muro recto tangente a la pista en el punto de partida. Determine el espacio recorrido en función a la sombra del atleta. NIVEL III: 1. Se construye un tanque que tiene la forma de un paralelepípedo rectangular abierto de modo que albergue 1000 metros cúbicos de agua. Los costos de los materiales son: SI. 20 el metro cuadrado de la base y de SI. 10 el metro aladrado para las paredes verticales. a) Determine el costo total C de construir el tanque como función de las dimensiones de la base del tanque, b) Calcule el costo total de construir un tanque cuyas dimensiones de la base son: largo 50 metros y ancho 30 metros.

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m

2. Una fábrica de pinturas vende dos marcas de pintura. Las cifras de venta indican que si la primera marca se vende a x nuevos soles por galón y la segunda a y nuevos soles por galón,

la demanda de la primera marca será yxyxD 2010200),(1 ; galones por mes y la

demanda de la segunda marca será yxyxD 105100),(2 ; galones por mes.

a) Exprese el ingreso total mensual de la fábrica de pinturas, obtenido de la venta de la pintura, como una función de los precios x e y. b) Calcule el ingreso de la fábrica si la primera marca se vende a S/. 20 el galón y la segunda a S/. 15 el galón. 3. Una tapa cónica descansa sobre la parte superior de un cilindro circular recto, como se muestra en la figura adjunta. Si la altura de la tapa es dos tercios de la altura de! cilindro, exprese el volumen del solido como función de las variables indicadas. 4. Dos tanques A y B situados entre sí a una distancia de d Km. se encuentran ubicados a un mismo lado de la orilla rectilínea de un río y a una distancia de éste de a Km y b Km respectivamente como se puede observar en la figura: k Se desea ubicar sobre la orilla una bomba para alimentar de agua a los tanques mediante tuberías rectilíneas PA y PB. Calcula la longitud total de la tubería que permite unir A y B en función de a, k,m y b. |

Bibliografía:

# CÓDIGO-L AUTOR TÍTULO PÁGINAS

[1] 515 THOM

2007 THOMAS Calculo en Varias Variables 973-974

[2]

515 CLA PITA 2009

CLAUDIO PITA. Cálculo Vectorial

111-112

[3] 515 LARS

2008 LARSON, RON Cálculo II 895-896