HÌNH TRỤ - Giải bài tập, tài liệu, đề thi ...

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

HÌNH TRỤ I – LÝ THUYẾT

1/ Mặt trụ tròn xoay

Trong mp P cho hai đường thẳng và

l song song nhau, cách nhau một khoảng

r . Khi quay mp P quanh trục cố định

thì đường thẳng l sinh ra một mặt

tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay

hay gọi tắt là mặt trụ.

Đường thẳng được gọi là trục.

Đường thẳng l được gọi là đường

sinh.

Khoảng cách r được gọi là bán kính

của mặt trụ.

2/ Hình trụ tròn xoay

Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB

thì đường gấp khúc ABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay

gọi tắt là hình trụ.

Đường thẳng AB được gọi là trục.

Đoạn thẳngCD được gọi là độ dài đường sinh.

Độ dài đoạn thẳng AB CD h được gọi là chiều cao của hình trụ.

Hình tròn tâm A , bán kính r AD và hình tròn tâm B , bán kính r BC được gọi là 2

đáy của hình trụ.

Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay

kể cả hình trụ.

3/ Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ

Cho hình trụ có chiều cao làh và bán kính đáy bằng r , khi đó:

Diện tích xung quanh của hình trụ: 2xqS rh

Diện tích toàn phần của hình trụ: 22. 2 2tp xq ÐayS S S rh r

Thể tích khối trụ: 2.V B h r h

4/ Tính chất:

Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r ) bởi một mp vuông góc với trục thì ta

được đường tròn có tâm trên và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của

mặt trụ đó.



Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r ) bởi một mp không vuông góc với trục

nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r

và trục lớn bằng 2

sin

r

, trong đó là góc giữa trục và mp với 0 00 90 .

Cho mp song song với trục của mặt trụ tròn xoay và cách một khoảng d .

+ Nếu d r thì mp cắt mặt trụ theo hai đường sinh thiết diện là hình chữ nhật.

+ Nếu d r thì mp tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.

+ Nếu d r thì mp không cắt mặt trụ.

II – DẠNG TOÁN

DẠNG 1: Cho các dữ kiện như ,r h để tính ,S V hoặc ngược lại.

Phương pháp giải: Xác định các yếu tố đề bài đã cho của hình trụ, khối trụ kết hợp với

các công thức đã biết từ đó tìm các yếu tố chưa biết và giải quyết bài toán.

Cho hình trụ có chiều cao làh và bán kính đáy bằng r ( đường cao bằng đường sinh: h l )

khi đó:

Diện tích xung quanh của hình trụ: 2xqS rh

Diện tích toàn phần của hình trụ: 22. 2 2tp xq ÐayS S S rh r

Thể tích khối trụ: 2.V B h r h

I. Ví dụ điển hình:

Ví dụ 1: Một hình trụ có bán kính đáy 5 cmr , chiều cao 7 cmh . Diện tích

xung quanh của hình trụ này là:

A. 235 cm . B. 270 cm . C. 270cm

3 . D.

235cm

3

Lời giải:

Chọn B

Ta có: 22 2 .5.7 70 cmxqS rh .

Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh 8 cm . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của

AB và CD . Quay hình vuông ABCD xung quanh MN . Diện tích xung quanh của hình trụ

tạo thành là:

A. 264 cm . B. 232 cm . C. 296 cm . D.

2126 cm

Lời giải:

Chọn A



Quay hình vuông ABCD xung quanh MN ta được hình trụ như hình vẽ.

Khi đó 24; 8 . 2 64 cm2

xq d

ABr h AD S C h rh

Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB a và góc 030BDC . Quay hình chữ nhật

này xung quanh cạnh AD . Diện tích xung quanh của hình trụ được tạo thành là:

A. 23 a . B. 22 3 a . C. 22

3a . D. 2a

Lời giải:

Chọn C

Khi quay hình chữ nhật này xung quanh cạnh AD ta được hình trụ như hình vẽ. Ta có:

0; tan 30r AB a h BC CD . Suy ra 22

23 3

xq

a ah S rh

.

Ví dụ 4: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4 và có chiều cao bằng đường

kính đáy. Thể tích khối trụ tương ứng bằng:

A. 2 . B. . C. 3 . D. 4

Lời giải:

Chọn A

chiều cao bằng đường kính đáy nên 2h R



Ta có: 2 224 2 2

1xq

hS Rh h V R h

R

.

II. Bài tập vận dụng chia theo mức độ:

NHẬN BIẾT.

Câu 1. Cho hình trụ T có chiều cao h , độ dài đường sinh l , bán kính đáy r . Ký hiệu xqS

là diện tích xung quanh của T . Công thức nào sau đây là đúng?

A. xqS rh . B. 2xqS rl . C. 22xqS r h . D.

xqS rl .

Câu 2. Cho hình trụ T có chiều cao h , độ dài đường sinh l , bán kính đáy r . Ký hiệu tpS

là diện tích toàn phần của T . Công thức nào sau đây là đúng?

A. tpS rl . B. 2tpS rl r . C. 2tpS rl r . D.

22 2tpS rl r .

Câu 3. Cho hình trụ T có chiều cao h , độ dài đường sinh l , bán kính đáy r . Ký hiệu TV

là thể tích khối trụ T . Công thức nào sau đây là đúng?

A.

1

3TV rh . B.

2

TV r h . C.

2

NV rl . D.

22

NV r h

THÔNG HIỂU.

Câu 4. Một hình trụ có bán kính đáy r a , đồ dài đường sinh 2l a . Diện tích toàn phần

của hình trụ này là:

A. 26 a . B. 22 a . C. 24 a . D. 25 a .

Câu 5. Hình chữ nhật ABCD có 3 cmAB , 5 cmAD . Thể tích khối trụ hình thành

được khi quay hình chữ nhật ABCD quanh đoạn AB bằng:

A. 325 cmπ . B. 375 cmπ . C. 350 cmπ . D.

345 cmπ .

Câu 6. Thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông cạnh 2a . Gọi 1S và 2S lần lượt

là diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ. Chọn kết luận đúng trong các kết

luận sau.

A. 1 24 3S S . B. 1 23 2S S . C. 1 22S S . D.

1 22 3S S .



Câu 7. Một hình trụ T có diện tích toàn phần là 2120 cm và có bán kính đáy bằng

6 cm . Chiều cao của T là:

A. 6 cm . B. 5 cm . C. 4 cm . D. 3 cm .

Câu 8. Một khối trụ T có thể tích bằng 381 cm và có đường sinh gấp ba lấn bán kính

đáy. Độ dài đường sinh của T là:

A. 12 cm . B. 3 cm . C. 6 cm . D. 9 cm .

Câu 9. Khối trụ có chiều cao 3 cmh và bán kính đáy 2 cmr thì có thể tích bằng:

A. 312 cm . B. 34 cm . C. 36 cm . D.

312 cm .

Câu 10. Một hình trụ có diện tích đáy bằng 24 m . Khoảng cách giữa trục và đường sinh

của mặt xung quanh hình trụ đó bằng:

A. 4 m . B. 3 m . C. 2 m . D. 1 m

VẬN DỤNG.

Câu 11. Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn).

Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy

bằng 2a thì thể tích của nó bằng:

A. 3a

. B. 3a . C.

3

2

a

. D. 32 a .

Câu 12. Một hình tứ diện đều ABCD cạnh a . Xét hình trụ có 1 đáy là đường tròn nội tiếp

tam giác ABC và có chiều cao bằng chiều cao hình tứ diện. Diện tích xung quanh của hình trụ

đó bằng:

A. 2 3

3

a. B.

2 2

2

a. C.

2 2

3

a. D.

2 3

2

a

.

Câu 13. Một hộp sữa hình trụ có thể tích V (không đổi) được làm từ một tấm tôn có diện

tích đủ lớn. Nếu hộp sữa chỉ kín một đáy thì để tốn ít vật liệu nhất, hệ thức giữa bán kính đáy

R và đường cao h bằng:

A. h R . B. 2h R . C. 3h R . D. 2h R .

VẬN DỤNG CAO.

Câu 14. Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50 cm 240 cm , người ta làm các thùng

đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):



● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.

● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt

xung quanh của một thùng. Kí hiệu 1V là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và 2V là thể

tích của thùng gò được theo cách 2. Khi đó tỉ số 1

2

V

V bằng:.

A. 1

2. B. 1. C. 2 . D. 4 .

Câu 15. Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi

phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn

thể tích khối trụ đó bằng 31 dm và diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy

của hình trụ phải bằng bao nhiêu?

A. 3

1dm

. B.

3

1dm

2. C.

1dm

2. D.

1

dm

BẢNG ĐÁP ÁN

1.B 2.D 3.B 4.A 5.B 6.B 7.C 8.D 9.A 10.C 11.A 12.C 13.A 14.C 15.B

Hướng dẫn giải chi tiết các câu khó:.

Câu 11. Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn).

Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy

bằng 2a thì thể tích của nó bằng:

A. 3a

. B. 3a . C.

3

2

a

. D. 32 a .

Lời giải

Chọn A

Gọi bán kính đáy là R . Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có 2 2a

R a R

.



Suy ra hình trụ này có đường cao .h a Vậy thê tích khối trụ 2 3

2 a aV R h a

(đvtt).

Câu 12. Một hình tứ diện đều ABCD cạnh a . Xét hình trụ có 1 đáy là đường tròn nội tiếp

tam giác ABC và có chiều cao bằng chiều cao hình tứ diện. Diện tích xung quanh của hình trụ

đó bằng:

A. 2 3

3

a. B.

2 2

2

a. C.

2 2

3

a. D.

2 3

2

a.

Lời giải

Chọn C

Gọi O là tâm của tam giác ABC và M là trung điểm BC .

Chiều cao tứ diện 2 2 6

3

ah DO DA AO

Bán kính đường tròn nội tiếp đáy ABC : 3

3 6

AM aR

2 22

3xq

aS Rh

.

Câu 13. Một hộp sữa hình trụ có thể tích V (không đổi) được làm từ một tấm tôn có diện

tích đủ lớn. Nếu hộp sữa chỉ kín một đáy thì để tốn ít vật liệu nhất, hệ thức giữa bán kính đáy

R và đường cao h bằng:

A. h R . B. 2h R . C. 3h R . D. 2h R .

Lời giải

Chọn A

Công thức tính thể tích 2V R h , suy ra 2

.V

hR

Hộp sữa chỉ kín một đáy nên diện tích tôn cần dùng là:



2 2day

22 .tp xq

VS S S Rh R R

R

Xét hàm 22Vf R R

R trên 0; , ta được

0;min f R

đạt tại .R h

Câu 14. Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50 cm 240 cm , người ta làm các thùng

đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):

● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.

● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt

xung quanh của một thùng. Kí hiệu 1V là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và 2V là thể

tích của thùng gò được theo cách 2. Khi đó tỉ số 1

2

V

V bằng:.

A. 1

2. B. 1. C. 2 . D. 4 .

Lời giải

Chọn C

Công thức thể tích khối trụ 2V R h .

● Ở cách 1, suy ra 50 cmh và 1 1

1202 240 .R R

Do đó

2

1

120. .50V

(đvtt).

● Ở cách 2, suy ra mỗi thùng có 50 cmh và 2 2

602 120 .R R

Do đó 2

2

602 . .50V

(đvtt). Suy ra 1

2

2.V

V

Câu 15. Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi

phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn

thể tích khối trụ đó bằng 31 dm và diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy

của hình trụ phải bằng bao nhiêu?



A. 3

1dm

. B.

3

1dm

2. C.

1dm

2. D.

1

dm

Lời giải

Chọn B

+ Đặt bán kính đáy, chiều cao của lon sữa bò hình trụ lần lượt là ,r h (đơn vị dm)

+ Theo đề ra ta có: 2

2

11h r h

r

(dm)

+ Diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất khi: 22 2S r rh nhỏ nhất.

+ Ta có: 2 2 2 332

2 1 1 12 2 2 2 . 3 2S r r r

r r r r .

Dấu "=" xảy ra khi: 2

3

1 12

2r r

r

(dm)



DẠNG 2: Tương giao giữa hình trụ và mặt phẳng, đường thẳng

Phương pháp giải

- Thiết diện qua trục là Hình chữ nhật hoặc Hình vuông có 1 cạnh bằng chiều cao của hình

trụ và 1 cạnh bằng 2 lần bán kính của đáy trụ.

- Cách xác định góc giữa đường thẳng và trục của hình trụ.

I. Ví dụ điển hình

Ví dụ 1: Khối trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2 cma có thể tích là:

A. 3cm . B. 32 cm . C. 33 cm . D. 34 cm .

Lời giải

Chọn B

Thiết diện qua trục của khối trụ là hình vuông ABCD

như hình vẽ. Hình vuông cạnh 2 cma nên

2 2 1 cmAB r r

2 32 cm 2 cmAD h V r h



Ví dụ 2: Cho hình trụ có trục 'OO , thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh

2a . Mặt phẳng P song song với trục và cách trục một khoảng 2

a. Tính diện tích

thiết diện của trụ cắt bởi P .

A. 2 3a . B. 2a . C. 22 3a . D. 2a .

Lời giải

Chọn A

Mặt phẳng P song song với trục nên cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật có một

kích thước là 2a . Kích thước còn lại là 2

2 2 22 2 32

ar d a a , trong đó r a

bán kính đáy và 2

a

d là khoảng cách từ trục đến mặt phẳng P .

Diện tích thiết diện là 22 3a .

Ví dụ 3: Cho hình trụ có các đường tròn đáy là O và O , bán kính đáy bằng chiều

cao và bằng a . Các điểm , A B lần lượt thuộc các đường tròn đáy O và O sao cho

3AB a . Thể tích của khối tứ diện ABOO là :

A. 3

2

a. B.

3

3

a. C.

3

6

a. D. 3a .

Lời giải

Chọn C



Tam giác AA B vuông tại A suy ra 2 2' 2.A B AB AA a

Suy ra tam giác O A B vuông tại O . Suy ra BO vuông góc với O A

Suy ra BO vuông góc với AOO . 3

21 1 1. . . .

3 3 2 6AOA O OBO

aBO S aV a .

Ví dụ 4: Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn O và O . Trên hai đường tròn lấy hai

điểm A , B sao cho góc giữa AB và mặt phẳng chứa đường tròn đáy bằng o45 và khoảng

cách đến trục 'OO bằng 2

2

a. Biết bán kính đáy bằng a , tính thể tích của khối trụ theo a .

A. 3 2

6

aV

. B. 3 2V a . C.

3 2

2

aV

. D.

3 2

3

aV

.

Lời giải

Chọn B



Đặt OO h . Gọi , ,I E D lần lượt là trung điểm của , ,BC BA OO . Ta có:

2

; '2

ad AB OO ED IO

Tam giác ABC vuông tại C có 45B vuông cân BC AC h

Ta có:

22

2 2 2 2 2' ' 2

2 2

h aCO CI IO a h a

Thể tích khối trụ là: 2 3. 2 2V a a a

Ví dụ 5: Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn ;O R và ;O R .

Tồn tại dây cung AB thuộc đường tròn O sao cho O AB là tam giác đều và

mặt phẳng ( )O AB hợp với mặt phẳng chứa đường tròn O một góc o60 . Khi đó,

diện tích xung quanh xqS hình trụ và thể tích V của khối trụ tương ứng là:

A. 2 34 2 7

;7 7

xq

R RS V

. B.

2 36 7 3 7;

7 7xq

R RS V

.

C. 2 33 2 7

;77

xq

R RS V

. D.

2 33 7 7;

7 7xq

R RS V

.

Lời giải

Chọn B



Ta có: OO OAB . GọiH là trung điểm của AB thì , OH AB O H AB

060OHO .

Giả sử OH x . Khi đó: 0 x R và 0tan 60 3OO x x .

Xét OAH , ta có: 2 2 2AH R x .

Vì O AB đều nên: 2 22 2 1O A AB AH R x .

Mặt khác, AOO vuông tại O nên:

2 2 2 2 23 2AO OO R x R .

Từ 1 , 2 2

2 2 2 2 2 34 3

7

RR x x R x .

3 73

7

Rh OO x .

Vậy nếu kí hiệu S là diện tích xung quanh và V là thể tích của hình trụ thì, ta có: 2 3

26 7 3 72 ;

7 7

R RS Rh V R h

.

II. Bài tập vận dụng có chia mức độ

NHẬN BIẾT.

Câu 1. Tính thể tích V của khối trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh

4 cma

A. 38 cmV . B. 34 cmV . C. 316 cmV . D.

32 cmV .

HÌNH TRỤ - Giải bài tập, tài liệu, đề thi ...

Documents

Transcript of HÌNH TRỤ - Giải bài tập, tài liệu, đề thi ...