Historia&

Clasificación de los números

Ricardo Azuara.Septiembre 2015.

Universidad Popular Autónoma de VeracruzIngeniera industrial.

Matemáticas 1

Resumen

El presente trabajo de investigación aborda la historia de los números a través del tiempo; las diferentes maneras que utilizaron diversas culturas y civilizaciones para poder dar solución al problema de contabilizar su entorno.

A través de los años, las culturas y grandes civilizaciones se han apoyado del uso de los números exactamente de la misma manera que lo hacemos hoy en nuestros días, lo único que ha cambiado con el paso del tiempo es la manera en que estos números son representados.

Una vez entendido esto nos adentraremos a definir y dar algunos ejemplos de las clasificaciones que se les da a los números actualmente.

Números reales: a) naturalesb) enteros c) racionalesd) irracionales

Números imaginarios.

Números complejos.

Todo esto con el fin de dar a conocer las clasificaciones en las que se dividen los números, conocer su definición, saber que números entran dentro de cada clasificación, y para que nos sirven cada una de ellas.

Tabla de Contenidos

Capítulo 1 Historia de los números.................................................................................................1

Los números a través del tiempo.................................................................................................1

Culturas, civilizaciones y los números........................................................................................1

Capítulo 2 Clasificación de los números........................................................................................4

Los números y sus clasificaciones...............................................................................................4

Los números reales......................................................................................................................4

Los números imaginarios.............................................................................................................8

Los números complejos.............................................................................................................10

Capítulo 4 Resultados y discusión................................................................................................11

Lista de referencias....................................................................................................................12

Apéndice....................................................................................................................................13

Lista de tablas

Tabla 1. Composicion de un numero complejo.................................................................10

Lista de figuras

Figura 1. Forma en que los egipcios representaban los números......................................2

Figura 2. Sistema de numeración maya. 2

Figura 3. Sistema de numeración china. 3

Figura 4. Números naturales expresados en recta real. 5

Figura 5. Números enteros expresados en recta real. 5

Figura 6. Números racionales representados en recta real. 5

Figura 7. Formula del número áureo. 6Figura 8. Los números reales y sus conjuntos....................................................................7

Capítulo 1

Historia de los números

Los números a través del tiempo

Aun en la actualidad, no podemos a ciencia cierta, decir que conocemos por que

empezamos a utilizar los números. Lo que si podemos hacer, es intuir que vino de la necesidad

de encontrar un método para contabilizar nuestro entorno; ya sea para saber cuántos integran una

familia o manada, o contar posesiones, etc.

Cuando la raza humana empieza a contar, lo hace asiéndose valer de piedras, dedos,

muescas en bastones, nudos en una cuerda, etc., de echo el significado de la palabra calcular es

contar con piedras, ya que viene de la palabra en latín “calculus” que significa piedra.

Pero, si la cantidad que se requiere representar es mayor va a ser necesario un método más

práctico.

¿Pero de qué forma se solucionó este problema? La solución radico en que al alcanzar

cierto número, este se representaba con una marca distinta que representaba a todos los

anteriores; a este número se le llama base, y la base que más se utilizó por diversas culturas fue

la base 10.

Desde hace miles de años las culturas han contado valiéndose de las unidades, decenas,

centenas, etc., de la misma manera que lo hacemos hoy en día, lo que ha cambiado es la forma en

que se representan los números.

Culturas, civilizaciones y los números

Han existido muchas formas de representar los números por los pueblos y civilizaciones:

Los egipcios usaban los números antes del 3000 A.C., estos fueron necesarios en sus

ciudades para sus negocios, ellos usaban los números en base diez y utilizaban un símbolo las

veces que fueran necesarias para representar el número, además podían escribirlos de izquierda a

derecha o de arriba hacia abajo; de cualquiera de las dos formas era aceptable.

Su interés tenía que ver mucho con el Nilo, cuando llegaban las inundaciones, estas

modificaban los tamaños de los campos de labor, el Faraón mandaba a medir para distribuir

equitativamente los terrenos entre los campesinos pero la cuerda que era utilizada para medir no

era exacta para medir el tamaño de los campos así que hallaron la solución inventando el número

que resultaba de la fracción de dos números naturales, habían descubierto las fracciones.

Figura 1. Forma en que los egipcios representaban los números.

Los mayas usaban un sistema de base veinte y cinco, en sus cuentas ellos usaban el cero

y contaban del cero al diecinueve utilizando los dedos de las manos y los pies; ellos también

representaban los números por medio de jeroglíficos. Para ellos los números eran importantes

para medir el tiempo, solo necesitaban tres símbolos para representar los números, el punto con

valor uno, la raya con valor cinco, y el caracol con valor cero.

Figura 2. Sistema de numeración maya.

Los hindúes contaban con los dedos de las manos con ellas contaban del cero al nueve, su

sistema era decimal igual al nuestro hoy en día. Cada pueblo tenía sus particularidades con los

números, aunque todos apreciaron su necesidad, y muchos fueron aportando mejoras que hoy

utilizamos.

En la antigüedad cuando las operaciones matemáticas daban un resultado negativo decían

que eran soluciones imposibles. Sin embargo los chinos (comerciantes) usaban dos colores para

llevar las cuentas de sus negocios las deudas las registraban en color rojo y las que no lo eran en

color negro.

Figura 3. Sistema de numeración china

El sistema que usamos actualmente es invención de los hindúes, de ahí lo aprendieron los

árabes que lo introdujeron en Europa, posiblemente desde Italia. Este sistema nos permite

actualmente, que con solo diez símbolos pueda representarse cualquier número por muy grande

que sea.

Capítulo 2

Clasificación de los números.

Los números y sus clasificaciones

Para abordar este tema vamos a separar los números en tres grupos que vamos a dejar de

la siguiente manera:

1. Números reales:

a) Naturales

b) Enteros

c) Racionales

d) Irracionales

2. Números imaginarios.

3. Números complejos.

A continuación vamos a definir cada grupo y subgrupo; a establecer que números entran

dentro de cada uno de ellos y conocer y/o identificar para que nos sirven cada uno de ellos.

Los números reales

Los números reales se definen como todos los números que pueden expresarse en una

línea continua, ya que a todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la

recta le corresponde un número real, dicho de otra manera es el conjunto de los números

naturales, enteros, racionales, e irracionales.

En matemáticas se representan por el símbolo   o de otra forma R (la letra R en negrita).

A continuación se define y describe cada subgrupo de los números reales:

Los números naturales están representados por “N” y son todos los números mayores de

cero incluyendo el mismo cero, que sirven para contar. No pueden tener parte decimal,

fraccionaria, ni imaginaria. N = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9…] (saberes practico.com, 2014)

Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (numero cardinal). O

bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).

Figura 4. Números naturales expresados en recta real

Los números enteros “Z” incluyen al conjunto de los números naturales, y a sus opuestos

los números negativos. Es decir: Z = […-2, -1, 0, 1, 2…]

Figura 5. Números enteros expresados en recta real

¿Pero para que nos sirven? Bueno pues este grupo de números aparte de lo que ya nos

permiten los números naturales nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo

cero, las profundidades con respecto al nivel del mar, etc. (ditutor.com, 2015)

Los números racionales “Q” se llaman números racionales a todos los números que

pueden representarse como el cociente (resultado de la división) de dos enteros. Por

ejemplo: Q = [¼, ¾, etc.] (ditutor.com, 2015)

Figura 6. Números racionales representados en recta real

Los números decimales como los decimales exactos, periódico puro y periódico mixto;

también son números racionales; pero los números decimales ilimitados no. Pero vamos a dejar

en claro los tipos de decimal definiéndoles brevemente:

Decimal exacto: es aquel que tiene un número definido de decimales. Ej. 1.1234

Periódico puro: es aquel que tiene una o más cifras decimales que se repiten

indefinidamente desde el propio punto decimal. Ej. 1.12121212…12 o 1.3333…33

Periódico mixto: número con decimales que se repiten periódicamente después de un

grupo de decimales que no forma parte de la repetición. Ej. 1.234121212…12

Todos estos números y los anteriores entran en el conjunto de los números racionales.

Los números irracionales “I” son aquellos que poseen infinitas cifras decimales no

periódicas, por lo tanto no es posible expresarlos en forma de fracción. El número irracional más

conocido es que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su

diámetro. = 3.141592653589...

Otros números irracionales son:

El numero e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la

fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.

e = 2.718281828459...

El número áureo, utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci,

Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.

Figura 7. Formula del número áureo.

Figura 8. Los números reales y sus conjuntos

Con los números reales podemos realizar casi todas las operaciones matemáticas, las

excepciones que se encuentran son: la radicación de índice par y radicando negativo; y la

división por cero.

Los números imaginarios

Los números imaginarios son un tipo de número cuyo origen gira en torno a la raíz

cuadrada de menos 1. Para entender este concepto hay que explicar un poco qué son las raíces

cuadradas.

Ahora sabemos qué; con los números reales, cualquier número elevado por sí mismo (a

excepción del cero) nos arroja un resultado positivo; a esta operación se le llama elevar al

cuadrado, por ejemplo elevar dos al cuadrado sería: 2 · 2 = 2² = 4.

La raíz cuadrada es precisamente el proceso matemático opuesto a elevar al cuadrado, es

decir: √4 = √2² = 2.

Tomando en cuenta esto, podemos decir que; cuando elevamos al cuadrado un número y

a ese resultado le sacamos la raíz cuadrada, lo que vamos a obtener es el número original:

3 –> 3² –> √3² –> 3.

Viendo esto de manera lógica tomando en cuenta el razonamiento anterior, si la raíz

cuadrada es la operación inversa a elevar el cuadrado de cualquier número y como resultado de

estos tenemos siempre resultados positivos, las raíces cuadradas solo pueden realizarse en

números positivos.

¿Entonces como darle solución a la siguiente ecuación: x² = -1? Siguiendo las reglas de

los números reales no se puede resolver ya que x sería igual a √-1. Una operación que hemos

visto que no puede existir; para enfrentar esta situación, se propuso como solución sustituir ese

valor por un número: el número i. (en algunas ocasiones donde se resuelvan problemas donde

alguno de los símbolos que se incluyan también sea i, se puede representar con la letra “j”)

¿Y estos números imaginarios para que nos sirven?

En primer lugar para dar solución a la problemática de las raíces cuadradas negativas

x² = -1, en la que x = √-1

Para dar solución a determinados problemas cotidianos en los que aparecen

intermediarios con raíces negativas. Estos casos aunque no lo parezca son muy

frecuentes en los campo de la electricidad y la temática; aunque también aparecen

menudo en la mecánica cuántica. (saberespráctico.com, 2012)

Vamos a ejemplificar esto en una ecuación de tres incógnitas en la que se ha conseguido

llegar a los siguientes resultados: (X = √-9); (Y = √-4): (X · Y) + 7 = Z

Mediante operaciones reales, esta ecuación no se podría resolver por el simple hecho de

que las raíces negativas no existen. Ahora bien, haciendo uso del número i, la ecuación quedaría

de la siguiente manera:

[(√9 · √-1) · (√4 · √-1)] + 7 = Z

Sustituyendo √-1 por i:

(3i · 2i) + 7 = Z

6i² + 7 = Z

Sustituyendo i² por -1:

-6 + 7 = Z

Z= 1

Los números complejos

Un número complejo es una combinación de un número real y un número imaginario.

(Rod Pierce, 2011). Ejemplos:

1 + I 12 - 3.1i -0.85 - 2i π + πi √2 + i/2

Aunque suene un poco descabellado así es; la combinación de dos números, da como

resultado un número complejo, siempre y cuando se combinen un número real y uno imaginario.

Entonces un número complejo tiene una parte real y una imaginaria. Pero cualquiera de

las dos puede ser cero, así que los números reales y los imaginarios son también números

complejos.

Tabla 1. Composición de un número complejo

Número complejo

Parte realParte

imaginaria

3 + 2i 3 2

5 5 0

-6i 0 -6

Pero veamos ahora algunos ejemplos de cómo sumar y multiplicar estos números

complejos.

Para sumar; se suman los dos partes por separado: (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)

Ejemplo: (3 + 2i) + (1 + 7i) = (4 + 9i)

Pero para multiplicar seguimos la siguiente regla: (a,b)(c,d) = (ac-bd, ad+bc)

Ejemplo: (3 + 2i) (1 + 7i) = ((3×1 - 2×7) + (3×7 + 2×1) i) = -11 + 23i

Capítulo 4

Resultados y discusión.

Después de llevar a cabo todo este viaje, a través de cómo se fue desarrollando a lo largo

de la historia el sistema que utilizamos actualmente; y de cómo se le fueron sumando mejoras

hasta llegar a estar como lo conocemos actualmente, podemos deducir que precisamente fue la

necesidad de registrar lo que sucede a nuestro alrededor, lo que ocasionó la invención de los

números.

Clasificarlos en los diferentes conjuntos que existen actualmente es una manera de

simplificar su estudio. Ya que al final se puede deducir que todos son parte de un todo donde se

encierran todas las características de los números.

A manera personal; el delimitar cada grupo, definirlo y ver para que sirve cada conjunto,

me ha servido en gran manera para entender mejor el mundo de las matemáticas.

Lista de referencias

CNMV y Banco de España. (2011). Portal educativo para la educación financiera en educación secundaria obligatoria. España. Gepeese. Recuperado de: http://www.finanzasparatodos.es/gepeese/es/inicio/laEconomiaEn/laHistoria/historia_numeros.html

Saber es práctico. Tipos de números (clasificación). Recuperado de: http://www.saberespractico.com/estudios/secundaria-bachiller/matematicas-secundaria-bachiller/tipos-de-numeros-clasificacion/

Diccionario de matemáticas. Clasificación de los números. Recuperado de: http://www.ditutor.com/numeros_naturales/clasificacion_numeros.html

Saber es práctico. Los números imaginarios (utilidad). Recuperado de: http://www.saberespractico.com/estudios/secundaria-bachiller/matematicas-secundaria-bachiller/los-numeros-imaginarios-utilidad/

Rod Pierce. (2011). Disfruta las matemáticas. E. U. Rod Pierce. Recuperado de: http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/numeros-complejos.html

Apéndice

Figura 1. Forma en que los egipcios representaban los números.

Figura 2. Sistema de numeración maya.

Figura 3. Sistema de numeración china

Figura 4. Números naturales expresados en recta real

Figura 5. Números enteros expresados en recta real

Figura 6. Números racionales representados en recta real

Figura 7. Formula del número áureo.

Figura 8. Los números reales y sus conjuntos

Tabla 2. Composición de un número complejo

Número complejo

Parte realParte

imaginaria

3 + 2i 3 2

5 5 0

-6i 0 -6