HÍRKÖZLÉSELMÉLET/3

HÍRKÖZLÉSELMÉLET/3

Frigyes István

2006-07/II.

3.Digitális jelek átvitele analóg csatornán: torzításmentes átvitel, lineáris torzítás-diszperzió hatása

Frigyes: Hírkelm 3

Bevezető megjegyzések

• Eddig egyedülálló jelek átvitelét vizsgáltuk. A valóságban, persze, mindig jelsorozatokat visznek át. Akkor egy újabb minőségrontó hatás léphet fel: a szomszédos jelek interferálhatnak egymással, (ISI: intersymbol interference, jelátlapolódás) ami megnövelheti a hibavalószínűséget

Frigyes: Hírkelm 4

Bevezető megjegyzések

• Lineáris csatornát fogunk vizsgálni: mi az ISI-mentes átvitel feltétele – az ilyen átviteli függvényű rendszert/szűrőt tekintjük torzításmentesnek. Ugyancsak megvizsgáljuk, hogy mi a hatása, ha a szűrő nem ilyen – torzít.

Frigyes: Hírkelm 5

Vizsgálat

• 1. Bináris alapsávi átvitel – Dirac-delta alakú jelek

• 2. Bináris alapsávi átvitel – általános jelalakok• 3.M-állapotú alapsávi (PAM)• 4 RF átvitel, ASK• 5.QAM-PSK• 6. Zaj figyelembevétele – adószűrő-vevőszűrő• 7. Zaj és lineáris torzítás együtt

Frigyes: Hírkelm 6

ISI-mentes átvitel: a vizsgálandó modell

• Egyelőre nem foglalkozunk a zajjal, az eredő átviteli csatornát vizsgáljuk.

• 1. Első lépésben ezt a modellt nézzük:

IMPULZUSGENE-RÁTOR

LINEÁRIS ÁTVITELI

CSATORNAFORRÁS NYELŐDÖNTŐ

Időzítés

M=2; T b(t)=δ(t) C(ω)c(t)z(t)

y(t)

Láttuk: C(ω) legalább 3 szűrő eredője: adószűrő, frekvenciaszelektív csatorna, vevőszűrő

Frigyes: Hírkelm 7

ISI-mentes átvitel: 1. a Nyquist feltétel b(t)=δ(t)

• Az eddigiektől eltérően: a forrás T- időnként egy új üzenetet ad ki. Így

• A szomszédos bitek nem zavarják egymást, ha a döntés pillanatában csak az aktuális bit válasza nem 0 (Nyquist-feltétel); a 0-indexűt véve

k kkk

kkk

kTtcatckTtaty

akTtatz

1;

kktk kTtca

;00

0

Frigyes: Hírkelm 8


t

ttc

0

0sin

Legegyszerűbb: id. aluláteresztő:C(ω)

ω0

1

De az ak-sorozat bármilyen lehet;így ez azonosságminden k-ra: c(-kT)=0, ha k0

Milyen C(ω)?

Frigyes: Hírkelm 9


kktk kTtca

;00

0

lTkTk

Tk

k

0

00

0 0sin

Nyquist:

Hz

TTk

l

Tk

l

2

1 ;1:legkisebb a ; rad/sec

00

Frigyes: Hírkelm 10

ISI-mentes átvitel: 1. a Nyquist feltétel b(t)=δ(t); kétségek

• 3 probléma:

• 1. nem kauzális – nem baj: késleltetés

• 2. szakadásos átv. függv.: approximálható; de

• 3. jitter: ha kT+ε

• Itt már az ISI, persze, 0de, nem is korlátos

kT+ε



k

Ta

kTa

kT

kTkTa

kT

kTa

k

k

k

k

kk

1sin1

sincoscossinsin

0

0

0

0000

0

0

k

kk

k k k

a

TkT

kTa

1sinÍgy

0

0

amely számsor – az ú.n. harmonikus sor - divergens



• Megoldás: lekerekítés. • Kimutatható (mindjárt látjuk): ha

az ideális Nyquist-szűrőt szimmetrikusan kerekítik le,

• a 0-helyek ott maradnak,de a sor tagjai k magasabb hatványa szerint csökkennek;az ilyen már konvergens

• Vagyis: a lekerekített szűrő (kicsit)szélesebb sávot foglal el, de az ISI – időzítési hibánál – legalább korlátos.

C(ω)

ω0

1

½=-6 dB

C(ω)

ω0

1


ISI-mentes átvitel: 1. a Nyquist feltétel b(t)=δ(t)- általános eset

TfTfC

mTm 1

;)(

Vagyis az f= 1/T-vel eltolt spektrumok összege konstans

Feltétel (a Nyquist-féle kritérium),általánosan:


A Nyquist-kritérium bizonyítása

deCtc tj)(2

1)(

deCkTc kTj)(2

1)(

m

T

T

kTj

m

Tm

Tm

kTj deT

mCdeCkTc

2/2

2/2

2/)12(2

2/)12(2

2

2

1)(

2

1)(

Felbontva 2/T széles frekvenciasávokra:

T

T

kTjT

T

kTj

m

deDdeT

mC

/

/

/

/

)(2

12

2

1


A Nyquist-kritérium bizonyítása (2)

T

T

kTjk kTTcdeD

Td

/

/

)()(2

0, 00 kdTd

k

kTjkedD 2)(

véges tartományban érdekel, 2/T széles; előállítható Fourier-sorral :

m T

mCD

2ˆ)(

Mivel volt a követelmény:0)0( kc1)0( kc

const)( TD


Koszinuszos lekerekítésű szűrő

-1 -0.5 0 0.5 1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

normalizált frekvencia, T/t

C(f

)

=0.1=0.35=0.5=0.75=1

Emelt

Emelt


Emelt koszinuszos lekerekítésű szűrő

20 40 60 80 100 120 140 160-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

=0=0.5=1


Koszinuszos lekerekítés

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Time

Am

plitu

de

Eye Diagram

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Time

Am

plitu

de

Eye Diagram

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Time

Am

plitu

de

Eye Diagram


JELGENE-RÁTOR

LINEÁRIS ÁTVITELI

CSATORNAFORRÁS NYELŐDÖNTŐ

Időzítés

M=2; T y(t)b(t) C’(ω)

c’(t)z(t)

δ(t)

IMPULZUSGENE-RÁTOR

b(t)

B(ω)

C(ω)

ISI-mentes átvitel: 2. a Nyquist feltétel, általános alapsávi b(t)

Modell:

Igy: C’(ω)=C(ω)/B(ω)


ISI-mentes átvitel: 2. a Nyquist feltétel általános alapsávi b(t)

ωC(ω) ω0

1 'C

'CC(ω)

ω0

1

2

2sin

T

TB

tb

CT

TC

2sin

2'

t

Pl: „ablakfüggv” (NRZ)


ISI-mentes átvitel: 3. a Nyquist feltétel, általános alapsávi b(t);PAM, M>2

• Ha M>2, de a jeleknek csak az amplitúdója különbözik: persze ugyanaz a szűrő jó, mert az ISI-mentesség feltétele, hogy c(kT)=0.

• (Persze: érzékenyebb az időzítési hibánál fellépő ISIre.)


ISI-mentes átvitel: 4. a Nyquist feltétel RF átvitelnél: ASK

• Tudjuk: AM-nél az amplitudó lineárisan függ a moduláló jeltől.

• Ha az ISI nélküli digitális jel,(vagyis Nyquist-aluláteresztőn ment át), az AM jelben sem lesz ISI.

• Vagyis: tekintsük ezt a szűrőt ekvivalens aluláteresztőnek; az ilyen sávátersztő is Nyquist

c

c

tqtx

ttatx

sin

vagycos

ω=0ω= ωc


ISI-mentes átvitel: 5. a Nyquist feltétel RF átvitelnél: QAM és PSK

• QAM-nél azonos kvadratúra (sin vagy cos) külön-külön ugyanilyen.

• De a két kvadratúra között sincs interf., mert aluláteresztőt transzformáltunk sávszűrővé – így az hivatalból konjugált szimmetrikus

• A PSK egy fajtája a QAMnek, csak a két kvadr. nem független egymástól – így ugyanolyan

• FSK jóval bonyolultabb – de azzal nem foglalkozunk


6. Jelsorozatok, zajban: C(ω), C’(ω) megosztása adó és vevő között

ABS

eSC

eSHtTsthTj

Tj

:Továbbá

' :Így

:Tudjuk2

JELGENE-RÁTOR

FORRÁS NYELŐDÖNTŐA(ω) H(ω)+

n(t)

b(t)

C(ω)= B(ω). A(ω). H(ω)

C’(ω)= A(ω). H(ω)s(t)

BA

C

C;CH

ésfázisú lineáris:

:is Végül


7. Ha nem Nyquist: zaj és lineáris torzítás együttes hatása

• Kisebb zaj okoz hibás döntést

• Az utána következő és az előző bitekben is

• Kauzalitás?τ


7. Zaj és lineáris torzítás együttes hatása (QAM)

ZÓNASZŰRŐ

DÖNTŐ+LOG.

H(ω)+

n(t)JEL

GENE-RÁTOR

FORRÁS A(ω)(×T(ω))

b(t) a(t) h(t)

×

×ZÓNA

SZŰRŐ

cos ωctsin ωct

z(t) y1(t)r’(t)

r(t)=y(t)+n(t)

Modell:

A feltüntetett jelek: komplex burkolók(hullám nélkül)

;

sincos

kkk

kck

kckv

kTtbjqatz

tkTtbqtkTtbatz



kkk

kk

Tkkk

kkk

kkk

jIRjqaty

thtakTtbjqaty

T

thtakTtbjqathtyty

takTtbjqatatzty

0

1

1

:ban-0 :Döntés

;

kTtk

kTtk

thtatbI

thtatbR

Imˆ

Reˆ

R-2 R-1 R0 R1

I-2 I-1 I0 I1



• Itt most 3-féle jel van

• a hasznos jel: s=a0R0+jq0R0

• ISI:(Σ’: a k=0 tagot kihagyjuk)

• zaj: N (Gauss-zaj, E(N)=0, σ2)

• Így:

kkk

kk jIRjqag

'

Ngsjrrtr IR 0



dHN

NN

N

IaRqjIqRa

g

kkk

kkk

kkk

kkk

2022

2

1

2;,0;

:serészletezé

''

:serészletezé

És mégegyszer: Ngsjrrtr IR 0

Mindegyiknek van R és I összetevője


7. Zaj és lineáris torzítás együttes hatása (QAM): hibavalószínűség

• Helyesen döntünk: ha r az si tartományában van

• De: zaj ortogonális összetevői függetlenek

• (Majdnem) független ai és qi.

• Ígysi

r

gN

D

CECICRC

iIiICIiRiRCR

PPPPP

DsrPDsrP

1;

2:;2:



• r feltételesen gaussi; így

• Segít a karakterisztikus függvény

RRgiRRCRiRCR

R

D

2

iRRRiRRCR

dggps,gPsP

drsgr

2

1exp

2

1s,gP

R

i

↓?


Közbevetőleg: val.vált. karakterisztikus függvénye

• Valószínűségi változó: x

• Karakterisztikus függvény:

• Ez x függvényének várható értéke, így

• Vagyis: ha ismerjük a kar.fv.-t:

juxx uU eE

xpdxxpuU xxjux

x Fe

uUxp xx1F


Közbevetőleg: val.vált. karakterisztikus függvénye

• Ha x véletlenül független val. vált.-ok összege:

n

iixx

1

n

ix

n

i

jux

n

i

juxn

ii

jxux

uU

xjuuU

i

i

i

11

11

Ee

eEexpEeE



• Független val. vált. összege:

• Nálunk:

• Ezek (nagyjából) függetlenek – tekintsük úgy• (Miért csak nagyjából?)

uUeeeuUxxix

i

ijux

i

ixjujuxxi EEE;

kkkkR IqRag ' Pl.


7. Zaj és lineáris torzítás együttes hatása pl. 16QAM

• De akkor:

• és így a Π k-adik tényezője, általában:

• Rk-t, Ik-t ismerjük, ak-ra, qk-ra átlagolhatunk

1,3

1, kk qa

kIkjuqkRkjuak eeuU EE

kk

kjuRkjuRkjuRkjuRkRkjua

uRuR

eeeee

cos3cos2

14

1E 33


7. Zaj és lineáris torzítás együttes hatása pl. 16QAM

dueuUuUgp

uIuIuRuRuU

uRjggRgRRRg

kkk

kkk

gR

2

1

és

cos3cos2

1cos3cos

2

1'

1F

dudgdrjuguU

sgrsP

RRRRg

iDiRRR

N

iCR

exp

2

1exp

2

1

2

1

végülÉs

2

2


7. Zaj és lineáris torzítás együttes hatása – QAM

• Az utóbbi (szép) formulában a gc-szerinti integrál zárt alakban is elvégezhető: g csak a kitevőben van, így az kiegészíthető teljes négyzetté és integrálható (-, határok között). Így legvégül

• ami egy szép formula, de numerikusan integrálni kellene. Numerikusan nem nagyon előnyös, vannak jobb módszerek is, de azok nem ilyen szépek. (Longitudinális transzverzális)

dudruUsrju

sP RRg

iDiRR

N

iCR

2

2

2exp

2

1


7. Zaj és lineáris torzítás együttes hatása

• A zajjal persze nem tudunk mit csinálni – a torzítást szeretnénk elkerülni

• A szűrőket tudjuk (megpróbálhatjuk) jóra csinálni (A(ω) és H(ω)), de a közeg (esetleges) torzítását nem.

• Csatornakiegyenlítés

• EDDIG

4. Analóg jelek átvitele – analóg modulációs eljárások


Analóg jelek

• Analógnak nevezett jel olyan s(t) időfüggvényt-folyamatot reprezentál, amely bizonyos specifikáción belül tetszőleges lehet. Ilyen specifikációs adat lehet a jel tartója vagy Fourier-transzformáltjának tartója, teljesítménye, dinamika-tartománya vagy hasonlók.


Kétoldalsávos el-nem-nyomott vivőjű AM (AM-DSB-NSC)

• Az amplitúdó a modulált jel lineáris függvénye:

• (lineáris moduláció, mert…; (történetesen inhomogén lineáris))

• Ennek a Fourier-transzformáltja:

• Az analitikus jelé:

01

1~cos12

ths

tshtxttshAtx c

F 1 hs t hS

cc hSAX 2


Kétoldalsávos el-nem-nyomott vivőjű AM (AM-DSB-NSC)

• Amiből a modulált jel

• Van: vivőfrekvenciás vonalalatta-fölötte egy-egy oldalsáv

• (Ilyet már láttunk:

)

X A h S h Sc c c c 2

2. .

(kétszeresen pazarló)

S(ω)

x(ω)=F[s(t)cosωct]


Kétoldalsávos elnyomott vivőjű AM (AM-DSB-SC)

• Ez ilyen:

• (Tk. Ilyet láttunk QAMnél, PSKnál)

• Analitikus jelének Fou-trszf.-ja:

x t A s t tc 2 . cos

cASX 2


Egyoldalsávos elnyomott vivőjű AM (AM-SSB-SC)

• Minthogy az átviendő információt egy oldalsáv is teljes egészében tartalmazza, indokolt, a frekvencia-takarékosság érdekében, nem elfoglalni a másodikat.

• Az eddigiek ismeretében ilyen egy-oldalsávos AM-hez jutunk, ha a vivőt nem a moduláló jellel, hanem annak analitikus jelével moduláljuk

• (so(t)-nek nincs negativ frekvenciájú összetevője, így x(t)-nek csak az egyik oldalsávja lesz meg.)

x t A s t js t tc 2 . cos


Egyoldalsávos elnyomott vivőjű AM (AM-SSB-SC)

• Mi is ez?:• Persze, az így előállított moduláló jel nem valós,

így nem létezik. De az AM jel:• analitikus: szorozva ejωct-vel• modulált jel:

• De hogy csináljuk a H[x]-et? Szűrő vagy (frekifüggetlen) 90o-os fázistoló (Hilbert szűrő) (áramkörrel nem triviális megcsinálni)

tsjtsAts ˆ.2

ttsttsetsjtstx cctj c sinˆcosˆRe


AM demodulálsa – AM-DSB-NSC

• Burkolódetektor kimenő jele: a komplex burkoló absz. értéke.

• De tudjuk: a burkoló valós; és

01 tsh


AM demodulálsa – AM-DSB-SC

• A burkoló absz. értéke most nem jó: koherens referenciajellel kell szorozni

• Ha a referencia fázisa δ-val eltér: meg van szorozva cosδ val (pl cos[(Δω)t] vel). Koherensnek kell lenni! (nem könnyű –ellentétben a digitálissal)

ttARhstRttAhsts cccd 2cos1cos2cos2

kiszűrhető

ttARhspltARhs

tRttAhstslp

ccd

cos:.;cos

cos2cos2


AM demodulálsa – AM-SSB-SC

• Ehhez is kell referencia (szorozni a vivővel)

• Ha most nem egészen koherens:

• Ennek az absz négyzete (telj.) nincs eltorzítva:; (beszédhez jó)

tsARhtttsttsARh

tRttsttsAhts

lpccc

lpcccd

cossinˆcos

cos2sinˆcos2

2

signsinsigncos

áltjatranszform-Fourier aaminek

sinˆcos

j

lpd

lpd

eAhRSSjSAhRS

tstsAhRts

eredeti az 2S


Szögmoduláció

• Emlékeztető:

• Szögmodulációnál d(t) = 1 és θ elvileg tetszőlegesen, a gyakorlatban lineáris módon függ az s(t) moduláló jeltől. Gyakorlati alkalmazásban háromféle (t) függvény fordul elő:

• Fázismoduláció:

tttAdtx c cos2

t hs t x t A t hs tc 2 2 2; cos


Szögmoduláció• Frekvenciamoduláció (FM):

• FM preemfázissal:

t

dttsFt 2

dttstpFtA

txdttstpFt

t

c

t

..2cos2

;..2

Általában: P(ω) kiemeli a nagyfrekvenciákat

Célszerű normalizálás:

1E 2 ts


Szögmoduláció; spektrális tulajdonságok – példák

• Láttuk: x(t) nemlineáris függvénye s(t)-nek

• Spektrum: bonyolult meghatározni

Példa: i. Frekvenciamoduláció egyetlen szinusszal: s(t)=cos mt;

Periódikus jel – Fourier-sor (t) = F/fm.sin mt

mcmcn m

n nnf

FAX

J8

xy sincos


Szögmoduláció; spektrális tulajdonságok – példák

• ii. Keskenysávú FM tetszőleges jellel• Ha a frekvencialöket a moduláló spektrum

felső határfrekvenciájához képet kicsi, a moduláció lineárisnak tűnik: a két oldalsáv alakja megegyezik (t)-ével.

• iii. Szélessávú FM véletlenszerű jellel• Elég érdekes eredmény: a spektrális

sűrűségnek két oldalsávja van, melyek alakja megegyezik a moduláló jel valószínűségi sűrűségével.


Szögmodulált jel előállítása

• Legplauzibilisebb: VCO

VCO

s(t))

x(t))FM:

x(t))VCO

s(t))

PM:

d/dt

tekinteni

x(t))

VCO

s(t))

FM+preemfázis:

p(t)



• „Indirekt” (vagy Armstrong) módszer:

• Így: kis-löketű PM

ttAhtAtxh

thtA

thtAthtAtx

cc

c

cc

sin2cos2 :kicsi ha

sinsin2

coscos2cos2)(

OSZC.π/2

×× ×+x(t)s(t)



• Kis löketű FM(indirekt):

• Akármilyen löketű FM:

OSZC.π/2

×× ×+x(t)s(t)

t

dt

OSZC.π/2

×× ×+x(t)s(t)

t

dt FREKV.SOKSZ (n).

FREKV.SOKSZ.(m)

KEVERŐ


FM demodulálása

• Elv lehet: átalakítani AMmé majd AM dem.

• 1. félrehangolt rezgőkör:

• 2. jobb: két félrehangolt rezgőkör különbsége (frekv. diszkriminátor):

f

s


FM demodulálása

• Persze: ez a vett jel amplitúdójával (zajával) arányos lesz: így legyen attól független. U.n. „frekv. detektor”:

SÁVÁT.LIMITER

FREKV.DISZKR.

LIMITERSÁV

SZŰRŐ

Ideális limiter: amplitúdó konstansfázis: változatlan

x(t)) txjeconstty ~

tdt

dtz x2

1~


FM (vagy PM) demodulálása

• Eltérő alapelv: PLL:

VCO

frequ

phase

Megjegyzés: a PLL ideális limiter


Szögmoduláció; az elfoglalt frekvenciasáv

• Közelítő (u.n. Carson) formula:

max2 fFB


Zaj hatása

• Pl. FM:

• Tulajdonképpen: becslési feladat: ismeretlen függvény becslése zajban, csak a fv. nemlin. függvényét ismerjük.

• De: két okból egyszerűsíthető: a S/N jó mértéke a minőségnek

• és: túl bonyolult

• Ezért: csak jel/zaj viszonnyal foglalkozunk.

tndttsFtAtx c 2cos2


×H(ω)+

n(t)cos ωct

x(t)) ALULÁTs(t))

Zaj hatása – AM-DSB-SC

• A vizsgált (egyszerű) modell

• Az (ideális) szűrők a moduláló jelet nem befolyásolják.

• Tudjuk: a referenciajellel való szorzás a (komplex) burkolót állítja elő.

×


Zaj hatása – AM-DSB-SC

• Láttuk: a modulált jel• (s(t) sztoh foly

mintafüggvénye)• Ennek teljesítménye• A zajteljesítmény és S/N:• A demodulátor jele:

• A teljesítmény az RF telj. fele – de ugyanígy a zaj is. Így

x t A s t tc 2 . cos

ttARhstRttAhsts cccd 2cos1cos2cos2

dSAS s2

12

BN

N 22

0BN

S

N

S

RF 0

RFd N

S

N

S


Zaj hatása – AM-SSB-SC

• Ugyanilyen megfontolás alapján: a S/N ugyanannyi

• (AM-DSB-NSC: bonyolultabb: a detektor (egyenirányító) nemlineáris


Zaj hatása – FM, kis zaj

tntxq

tntxa

a

q

a

q

SjS

nx

nx

nx

nx

nx

nx

z

~~Im

~~Re

arctan

22

Az korábbiaknak megfelelően:

Egyszerűsítések: i. eltekintünk x modulációs tartalmától ii. feltesszük, hogy n << x.Akkor

SÁVÁT.LIMITER

FREKV.DISZKR.

n(t))

+x(t))

z(t))

ALULÁT(Ba)

24

12

1

1

0222

022

N

AS

N

AS

AS

A

q

aA

q

z

n

n

n

n


Zaj hatása – FM, kis zaj

• Zajteljesítmény a kimeneten:

• Jelteljesítmény (a normalizálás miatt nem kell részletezni): ΔF2

• Így a jel/zaj viszony:

3322

1

2

1 2

20

3

20

2

2

202

aaaaB

aB

B

A

BNB

A

Nd

N

AN

2

,

3

aaBRF B

F

N

S

N

S


Megjegyzés.

• A demod utáni aluláteresztő szűrő sávszélessége általában a moduláló alapsávi jel legfelső frekvenciája


Zaj hatása – FM, kis jel, csak kvalitativ

ΔΦΔΦ >2π

f

Φ

2π

0

FM küszöb

kb 10 dB (S/N)RF

S/N

f

Φ

2π

0

π


Zaj hatása – FM, kis jel, küszöb csökkentés: PLL

• Nagy jel/zajnál: fr. detektor és PLL minősége (kb) egyforma

• De kicsinél – fr. detektor: • RF sávszélesség: 2(ΔF+Ba) (Carson)• itt kell >10dB S/N• Kicsi – PLL :• a küszöb itt is kb. 10 dB• de a PLL követi a modulált frek-t• zaj-sávszélessége kb Ba – vagyis az RF

S/Nkb.10×lg 2(1+ΔF/Ba) dB-lel nagyobb


Preemfázis

• Említettük: FM+preemf (elő-kiemelés):

• mivel a zaj nagyobb frekvencián nagy, 0 körül 0: a mod. előtt a nagyfrekit kiemeljük – a demod után elnyomjuk; ezzel elnyomódik a nagyobb zaj is, a ≈0 kicsit kiemelődik

dttstpFtAtx

dttstpFt

t

c

t

..2cos2

;..2

HÍRKÖZLÉSELMÉLET/3

Documents

Transcript of HÍRKÖZLÉSELMÉLET/3