Himpunan

Oleh :

Devie Rosa Anamisa

Pengertian

Kumpulan dari objek-objek yang berbeda Digunakan untuk mengelompokkan sejumlah objek. Objek-Objek dalam Himpunan dapat berupa:

– Elemen– Unsur– Anggota

Contoh : A= {1,2,3,4}– Menggambarkan himpunan A terdiri dari 4

anggota/unsur/elemen yaitu 1,2,3, dan 4.

Jika sebuah himpunan berukuran besar atau tak terbatas, bisa digambarkan dengan mendaftar sifat yang diperlukan untuk menjadi anggota.

Contoh:

B = { x|x bil. Bulat genap positif}

Karakteristik Himpunan

Well-defined– Sebuah himpunan dikatakan well-defined, jika

secara definitif dapat dinyatakan apakah suatu objek merupakan elemen atau bukan elemen dari himpunan tersebut.

– Misal : S = {beberapa bilangan asli}, maka S bukan merupakan

himpunan yang well-defined sebab tidak dapat dinyatakan apakah 5 Є S, ataukah 5 Є S.

S ={empat bil. Asli pertama}, maka elemen-elemen S dapat disebutkan secara definitif, yakni 1,2,3 dan 4.

Ekspresi Himpunan

Sebuah himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan sifat-sifatnya, atau dengan mendaftar elemen-elemennya.

Misalnya, himpunan bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan 5, dapat dinyatakan sebagai {2,3,5}, atau {x|x bilangan prima ≤ 5}

Sebuah himpunan S tersusun atas elemen-elemen, dan jika a merupakan salah satu elemennya, maka dapat dinotasikan a S∈

Ada tepat satu himpunan yang tidak memiliki elemen, yang disebut sebagai himpunan kosong, dan dinotasikan sebagai Ф.

Cara Penyajian Himpunan

Enumerasi Elemen– Artinya menuliskan semua elemen himpunan

yang bersangkutan, diantara 2 buah tanda kurung kerawal

– Biasanya suatu himpunan diberi nama dengan menggunakan huruf kapital maupun dengan menggunakan simbol simbol lainnya

– Contoh: Himp. A berisi 4 buah bil. Asli pertama dapat ditulis

sebagai : A = {1,2,3,4}

Simbol-simbol baku– Terdapat sejumlah simbol-simbol baku yang biasa

digunakan untuk mendefinisikan himpunan yang sering digunakan antara lain:

P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... } N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... } Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks

– Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U. Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan

bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

Notasi Pembentuk Himpunan– Notasi : {x|syarat yang harus dipenuhi oleh x}– Aturan dalam penulisan syarat keanggotaan:

Bagian dikiri tanda ‘|’ melambangkan elemen himpunan Tanda ‘|’ dibaca dimana atau sedemikian sehingga. Bagian dikanan tanda’|’ menunjukkan syarat

kenaggotaan himpunan Setiap tanda’,’ didalam syarat keanggotaan dibaca

sebagai dan.

– Contoh : A adalah himpunan bilangan bulat posistif yang kecil

dari 5, dinayatkan sebagai:– A={x|x adalah bilangan bulat positif yang kecil dari 5}– A={x|xЄP, x<5}– A={1,2,3,4}

B adalah himpunan bil. Genap positif yang lebih kecil atau sama dengan 8, dinyatakan sebagai:

– B={x|x adalah himpunan genap positif lebih kecil atau sama dari 8}

– B={x|x/2 Є P, 2 ≤ x ≤ 8}– B={2,4,6,8}

Diagram Venn– Menyajikan himpunan secara grafis– Didalam diagram venn himpunan semesta (U) digambarkan

sebagai suatu segi empat sedangkan himpunan lainnya digambarkan sebagai lingkaran didalam segi empat tersebut.

– Misal : U={1,2,...,7,8}, A={1,2,3,5}, B={2,5,6,8}

Relasi Himpunan Himpunan Bagian

– Sebuah himpunan B merupakan himpunan bagian (subset) dari himpunan A dan dinotasikan ”B A” atau ”A B”, jika setiap elemen B ⊆ ⊇merupakan elemen A.

Sejati dan Tak Sejati– Untuk setiap himpunan A, A dan Ф keduanya merupakan himpunan

bagian pada A. A disebut sebagai himpunan bagian tak sejati (improper subset), sedangkan himpunan bagian lainnya disebut himpunan bagian sejati (proper subset)

– Misalkan S ={a,b,c}, maka S memiliki 8 macam himpunan bagian yakni Ф, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}.

Himpunan Sama– Himpunan A dan B dikatakan sama (dinotasikan A=B) jika dan hanya

jika A B dan B A, atau A=B⊆ ⊆ ↔ A B dan B A.⊆ ⊆– Contoh : Himpunan A={1,2,3,4} dan B={3,2,4,1} adalah himpunan yang

sama

Kardinalitas

A merupakan himpunan yang elemen-elemennya berhingga banyaknya.

Jumlah elemen A disebut kardinal dari himpunan A

Notasi : n(A) atau |A| Contoh :

– B={x|x merupakan bil. Prima yang lebih kecil dari 20}, maka B={2,3,5,7,11,13,17,19}, n(B)=8

Himpunan Kosong

Himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinal =0 disebut himpunan kosong

Notasi : Ф atau { } Contoh :

– E = {x|x<x}, maka n(E)=0– P={orang indonesia yang pernah ke bulan}, maka

n(P)=0

Himpunan Yang Ekiuvalen

Himpunan A dikatakan ekiuvalen dengan himpunan B – Jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan

tersebut sama.

Notasi : A~B ↔ |A| = |B| Contoh :

– Jika A ={1,3,5,7} dan B={a,b,c,d}, maka A~B

Himpunan Saling Lepas

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (Disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

Notasi : A ⁄⁄ B Contoh: A={x|x Є P, x <8} dan B {20,30,...}

maka A ⁄⁄ B.

Himpunan Kuasa

Disebut powerset Suatu himpunan A yang elemen merupakan

semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.

Notasi: P(A) atau 2^A Contoh: A ={1,2} maka

P(A)={{ },{1},{2},{1,2}} n(A)=4

Operasi Terhadap Himpunan

Irisan (intersection)– Adalah himpunan yang setiap elemennya merupakan

elemen dari himpunan A dan himpunan B.– Notasi : A ∩ B = { x | x Є A dan x Є B}

Gabungan (union)– Adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan

anggota himpunan A atau himpunan B– Notasi : AUB = {x|xЄA atau xЄB}

Komplemen (-)– Adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan

elemen U yang bukan himpunan A dan bukan himpunan B.– Notasi : Â = { x | x Є U dan x Є A dan x Є B}

Selisih (A-C)– Adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan

elemen A dan bukan elemen C.– Notasi : A –C = {x|xЄA dan x ЄC}=A ∩Ĉ

Beda Setangkup (Symmetric Difference)– Adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada

himpunan A atau B tetapi tidak pada keduanya.– Notasi : A Θ B = (A U B) – (A ∩ B)= (A-B) U (B-A)

Perkalian Kartesian– Himpunan yang elemennya semua pasangan

berurutan (ordered pairs) yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan kedua dari himpunan B.

– Notasi : A x B = {(a, b)| a Є A dan b Є B}– Misal : C ={1,2,3} dan D ={a,b} maka

C x D ={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}

Sifat-sifat operasi Himpunan

Hukum identitas :– A U Ф = A– A ∩ U = A

Hukum komplemen :– A U Â = U– A U Â = Ф

Hukum Involusi = (Ā) A

Hukum Null– A ∩ Ф = Ф– A U U = U

Hukum Idempoten– A U A = A– A ∩ A = A

Hukum Penyerapan– A U (A ∩ B) = A– A ∩ (A U B) = A

Hukum demorgan : (AUC) = Ā ∩ Ĉ

Soal

1. Jika A={1,3,5} dan B={4,5,6}, maka:a. A U Bb. A ∩ Bc. A – Bd. B – A

2. A={a,b,c} maka berapa P(A)!3. Jika x ={1,2,3} dan y ={a,b} maka perkalian

kartesiannya:a. x.yb. y.xc. y.yd. |x|.|y|

4. Jika A={1,4,7,10},B={1,2,3,4,5}, C={2,4,6,8}a. A ∩ B U C

b. B ∩ U

c. (AUB) - (C-B)

d. A ∩ (B U C)

5. A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri

B = himpunan semua mobil import

E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu, maka (E ∩ A) U (E ∩B)!

6. Jika A = {(x, y) | x + y=7,x,y Є R}

B = {(x, y) | x - y=3,x,y Є R}

maka A x B x C !

7. A ={1,2}, B={a,b}, C={α,β}

maka A x B x C!