IV. Precipitación en la cuenca.

Curso de Hidrología Superficial

Departamento de Ingeniería Civil y MinasDivisión de Ingeniería

Universidad de Sonora

Información requerida

Datos de estaciones climatológicas.– Rayón

– Meresichic

– Opodepe

Seleccionar la más cercana a su cuenca de estudio.

Comisión Nacional del Agua

Edificio de oficinas federales, vado del Río Sonora

4.1 Generalidades.El estudio de las precipitaciones es básico en cualquier estudio hidrológico para aprovechamiento hídrico, diseño de obras de protección, estudios científicos, entre otros, ya que constituye la única entrada de agua a una cuenca.

Como se vio anteriormente, existen distintos organismos que se encargan de recabar datos de precipitación en distintos puntos del territorio nacional. En base a estos registros se definen distintos parámetros de lluvia como los que se mencionan a continuación.

Pluviógrafo: Mide la variación de la lámina de precipitación con el tiempo.

Pluviómetro: Mide la lámina de precipitación.

Localización de estaciones dentro y fuera de la cuenca

Datos que se obtienen

-100

102030405060

00:00:00 01:12:00 02:24:00 03:36:00 04:48:00 06:00:00 07:12:00

Hora

P(m

m)

Pluviograma generado por un pluviógrafo.

Con un pluviómetro se obtendría la lámina de lluvia total acumulada = 52 mm

Hietograma de la tormenta

05

101520253035

P(m

m/h

r)

1 2 3 4 5 6 7 8

Tiempo (hr)

• Precipitación total diaria (Pd). Es la lámina total acumulada en un día de observación (de 8 a.m. de un día a 8 a.m. del siguiente).

• Precipitación total mensual. Es la lámina total acumulada en un mes, esto es:

dm, número de días del mes• Precipitación total anual. Es la total acumulada en el año.

• Precipitación media anual mensual. Es la lámina que en promedio cae al mes en la estación.

Pmi lámina del mes m del año i.• Precipitación media anual. Es la lámina que en promedio cae al año.

n, no. de años de registro.

∑=

=dm

ddPPm

1

∑=12

1ima PP

∑=

=n

imi

Pn

Pm1

1

∑=

=n

imi

Pn

Pa1

1

4.2. Unidades de precipitación.

Lámina de precipitación. Se mide en mm, que corresponde a la altura en esas unidades que alcanzaría el agua precipitada sobre una superficie. La misma cantidad de mm equivale a los litros que caen sobre un m2.

Por ejemplo P = 23 mm = 23 l/m2

Intensidad de precipitación. Es la cantidad de agua en mm que cae por unidad de tiempo, usualmente medido en horas.

Por ejemplo i = 15.3 mm/hr

4.3. Precipitación media en la cuenca.

Para distribuir los valores puntuales a cuencas u otras áreas de interés, se utilizan los siguientes métodos.

• Método del promedio.• Método de las curvas isoyetas.• Método de polígonos de thiessen.

La elección de alguno de estos método depende la disponibilidad de información y del propósito del estudio. A continuación se describe la aplicación de cada uno de estos procedimientos.

• Método del promedio. Se aplica cuando la lluvia y las estaciones están distribuidas uniformemente sobre toda la superficie de estudio. En las cuencas de montaña no da resultados muy confiables.

Procedimiento de aplicación.1. Se localizan las estaciones climatológicas cercanas a 

la cuenca de estudio, ya sea dentro o fuera de ella.2. Se obtiene el valor de precipitación que se desea 

distribuir (Precipitación, diaria, mensual, etc.)3. Se obtiene la precipitación promedio.

n, no. de puntos de medición.

∑=

=n

iai

Pn

Pmc1

1

• Método de las curvas isoyetas.Procedimiento de aplicación.Se localizan en un plano a escala conveniente las estaciones 

climatológicas dentro de la cuenca o cercanas a ella y se anota la lámina de lluvia que se pretende distribuir en el área.

1. Aplicando interpolación lineal, se trazan líneas que unan puntos de igual cantidad de precipitación (mm).

2. Se calcula la precipitación media en la cuenca (Pmc) ponderando la precipitación entre isoyetas suscesivas por el área entre las mismas, esto se expresa como:

A ‐>área entre dos isoyetas dentro de la cuenca (km2).A ‐> área de la cuenca (km2).Pi ‐> Precipitación media entre isoyetas suscesivas (mm)

Este es el método más preciso, considera el efecto de la orografía y no importa la dispersión de las estaciones climatológicas.

∑ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= i

i PAA

Pmc

• Método de polígonos de thiessen.En este método se define una zona de influencia para cada estación en base de acuerdo al procedimiento siguiente:

1. Se localizan las estaciones climatológicas dentro y cercanas a la cuenca.

2. Se unen con rectas todas las estaciones formando triángulos entre sí.

3. Se trazan mediatrices a cada uno de los triángulos, las cuales definen los polígonos que encierran a cada una de las estaciones (polígonos de thiessen).

4. Se aplica la relación siguiente, con la que se obtiene la precipitación media en la cuenca.

Ai, área de cuenca, km2.Pi, precipitación en estación i, mm.n, no. De estaciones pluviométricas.

El método es relativamente fácil de aplicar cuando ya están definidos los polígonos. Su principal desventaja es que no toma en cuenta la influencia de la orografía en la precipitación.

∑=

=n

iii PA

APmc

1

1

Rectas entre sitios de medición de precipitación

Trazo de mediatrices

Polígonos de thiessen

4.4. Análisis estadístico de la precipitación máxima diaria anual.

El análisis estadístico de la precipitación es utilizado en Hidrología con la finalidad de predecir tormentas y relacionarlas con escurrimientos. Se aplica a registros pluviométricos (con variable P, mm de precipitación) o en datos de pluviógrafos (con variables P y D, lámina de precipitación en mm y duración de la tormenta, en hr).El tratamiento estadístico de la información tiene como objeto determinar un período de retorno Tr de un evento, el cual se define como el intervalo promedio de tiempo en el cual un evento de magnitud dada “x” puede ser igualado o excedido por lo menos una vez en promedio.

Período de retorno (Tr)

El perEl perííodo de retorno de un evento, se define como el odo de retorno de un evento, se define como el intervalo promedio de tiempo en el cual un evento de intervalo promedio de tiempo en el cual un evento de magnitud dada magnitud dada ““xx”” puede ser igualado o excedido por lo puede ser igualado o excedido por lo menos una vez en promedio.menos una vez en promedio.

P P P PP

1970 1980 1990 2000 2010 2020

Si un evento mayor o igual a “x” ocurre una vez en Tr años, su probabilidad de recurrencia es

Por lo que

La serie a analizar puede ser de máximos anuales, en la que el valor máximo de cada año conforma la serie o bien, de excedentes anuales, integrados por datos cuya magnitud es mayor a cierto valor base, el cual es determinado de manera que el número de eventos de la serie sea igual al número de años de registro.

rTxXP 1)( =≥

)(11

)(1

xXPxXPTr ≤−

=≥

=

En la serie anual de máximos anuales, también denominada serie de valores extremos, la probabilidad de que un evento ocurra y no sea excedido P(X≤x), se calcula de acuerdo con el criterio de Weibull, que se expresa como:

Por lo que el período de retorno estará dado por:

n, número de años de registro.m, lugar que ocupa el evento en los datos ordenados 

decrecientemente.

11)(

+−=≤

nmxXP

mnTr 1+

=

¿Cómo determinamos el Tr de un evento?• Aplicando la relación de Weibull a los datos de lluvias máximas 

diarias.Orden Año P (mm) Tr

1 1977 152 35.00

2 1980 142 17.50

3 1958 105.5 11.67

4 1963 98.5 8.75

5 1959 78.5 7.00

6 1968 78 5.83

7 1960 73 5.00

8 1981 72 4.38

9 1966 68 3.89

10 1957 65 3.50

11 1978 64.6 3.18

12 1952 63.5 2.92

13 1965 59 2.69

14 1954 58.5 2.50

15 1961 53.5 2.33

16 1969 51.5 2.19

17 1974 51.5 2.06

18 1953 50.5 1.94

19 1962 47 1.84

20 1983 46 1.75

21 1971 45.5 1.67

22 1975 45.5 1.59

23 1972 44.9 1.52

24 1973 43.5 1.46

25 1984 38 1.40

26 1970 34.5 1.35

27 1976 33.9 1.30

28 1967 33.2 1.25

29 1979 30 1.21

30 1955 29 1.17

31 1956 28.5 1.13

32 1964 28 1.09

33 1982 24.5 1.06

34 1985 20 1.03

Períodos de retorno para distintas obras de ingeniería

Tipo de estructuraTipo de estructura Tr (aTr (añños)os)Drenaje en carreteras en las que circulanDrenaje en carreteras en las que circulan

0 a 400 veh0 a 400 vehíículos por dculos por dííaa 1010400 a 1700 veh400 a 1700 vehíículos por dculos por dííaa 10 a 2510 a 25

1 700 a 5 000 veh1 700 a 5 000 vehíículos por dculos por dííaa 2525Mas de 5 000 vehMas de 5 000 vehíículos por dculos por dííaa 5050

Drenajes de aeropuertosDrenajes de aeropuertos 55Drenajes pluvialesDrenajes pluviales 2 a 102 a 10DiquesDiques 2 a 502 a 50Zanjas de drenajeZanjas de drenaje 2 a 502 a 50

Períodos de retorno propuestos por W. Viessman, J.W. Knapp y E. Harbough, 1977).

Tipo de embalseTipo de embalse Tr (aTr (añños)os)

Grandes embalses cuya falla causarGrandes embalses cuya falla causaríía a ppéérdidas de vidas humanasrdidas de vidas humanas

Cortinas de tierra.Cortinas de tierra.Cortinas de concreto o mamposterCortinas de concreto o mamposteríía.a.

1 0001 000500500

Embalses que al fallar no causarEmbalses que al fallar no causaríían an ppéérdidas de vidas humanas.rdidas de vidas humanas.

Embalses costosos.Embalses costosos.Embalses moderadamente costosos.Embalses moderadamente costosos.Embalses pequeEmbalses pequeñños.os.

5005001001002020

Períodos de retorno mínimos (años) requeridos para el diseño de embalses, Schnackenberg, 1949).

Tipo de estructuraTipo de estructura Tr (aTr (añños)os)

Grandes puentesGrandes puentes 100100PequePequeñños puentesos puentes 5050AlcantarillasAlcantarillas 2525

Periodos de retorno para puentes (V. Yevjevich y J.D. Salas, 1980)

Tipo de Tipo de áárea a protegerrea a proteger Tr (aTr (añños)os)

Zonas urbanas importantes, redes Zonas urbanas importantes, redes de transporte y plantas de transporte y plantas industriales.industriales.

100100

Regiones agricolaRegiones agricola--industrialesindustriales 5050

Zonas agrZonas agríícolascolas 7 a 207 a 20

ÁÁreas forestales y planicies de reas forestales y planicies de inundaciinundacióónn

1 a 101 a 10

Períodos de retorno propuestos por E. Masany y W. Buck, 1977)

Las obras se diseñan para eventos con períodos de retorno, según se aprecia en las tablas mostradas, de 5, 10, 15, 20, 25, 50, 100, 500, 1000 o más años; sin embargo, el criterio de Weibull no permite tener estos valores enteros, además de que la longitud de los registros, en las estaciones con más datos, apenas tendrá poco más de 60 años en Sonora.

Debido a ésto, es necesario interpolar (Cuando el evento sea de Tr menor o igual a la longitud del registro) o extrapolar (cuando el evento sea de Tr mayor que la longitud del registro.

Criterio de interpolación• Los valores de la lluvia están determinados por:

)(logTrBAPTr +=Donde PTr es la lluvia máxima diaria con período de retorno Tr, en mm.

A y B son parámetros de ajuste de regresión lineal y se estiman con las relaciones siguientes:

)log(111∑∑==

−=n

ii

n

ii Tr

nBP

nA

∑ ∑

∑ ∑∑

= =

= ==

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

n

i

n

iii

n

i

n

iii

n

ii

Trn

Tr

PTrn

TrPB

1

2

1

2

1 11

)log(1))(log(

)log(1log

Criterio de extrapolación

La literatura especializada sugiere que las distribuciones que mejor se ajustan a los registros de lluvia máxima diaria son: distribución de gumbel, log‐pearson tipo III y la gama incompleta. En este curso se aplicará la distribución de gumbel.Toda variable X de una serie hidrológica puede ser expresada en la forma:

)(_

sKX x +=

Donde

X, variable aleatoria.

x, valor medio de la serie.

s, desviación típica de la serie.

K, factor de frecuencia.

Según la ecuación anterior, la distribución de gumbel, toma la forma:

sy

Xn

nyx )(

_

_

σ

−+=

X, es el valor buscado de un determinado Tr.

x, S, son la media y la desviación estándar de los datos, respectivamente.

yn, σn, constantes teóricas, función del tamaño n de la muestra. Se obtienen de la tabla que se muestra a continuación.

y, variable reducida, función de la probabilidad, se calcula con la relación

)]([ xXLnPLny ≤−−=

Constantes función del tamaño de la muestra n en la distribución de gumbel.

Criterio de Extrapolación.

Las distribuciones de probabilidad más apropiadas a los registros de lluvias máximas diarias son la log-pearson tipo III, la gamma incompleta y la de gumbel simple. Esta última se presenta a continuación.

Distribución de gumbel simple.

Esta distribución de probabilidades se expresa como:

Donde

x, es cualquier evento.

1/a, expresa el incremento en magnitud del evento x con respecto al Tr.

m*, es la moda.

Se ha observado que la mayoría de las distribuciones de probabilidad aplicadas en Hidrología para análisis de eventos extremos, pueden describirse como

)*(

)(µα −−

=≤xeexXP

xTr kSXX +=

Donde

, es la media de la muestra

Sx, es la desviación estándar de la muestra.

K, es un factor de frecuencia que indica el número de desviaciones estándar que el valor extremo excede a la media.

XTr, es una variable hidrológica con período de retorno Tr

Para escribir la distribución de gumbel de la forma lineal anterior, el valor de K se obtiene con la expresión

En la que

, es la media reducida

Sn, es la desviación estándar reducida

YTr, es la variable reducida, que puede estimarse como

X

n

Tr

SyyK −

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−∗∗+−=

1loglog303.2834.0

TrTrYTr

ny

Los valores de y Sn están en función del tamaño n de la muestra y se obtienen a partir de las tablas siguientes.

Correcciones al valor de la lluvia máxima adoptado.

La lluvia máxima diaria de determinado período de retorno adoptada para un estudio hidrológico, debe ser corregida para acercarlo más al valor real.

Corrección por intervalo fijo de observación.

En base a estudios estadísticos, L. L. Weiss encontró que los valores máximos de lluvias diarias anuales tomadas en un único y fijo intervalo de observación, para cualquier duración comprendida entre 1 y 24 horas, al incrementarse un 13 % conducían a magnitudes más aproximadas a las obtenidas en un análisis basado en lluvias máximas verdaderas.

Tomando en cuenta lo anterior, los registros de lluvias máximas diarias, deberán multimplicarse por 1.13 para su ajuste por intervalo fijo, puesto que las observaciones se hacen a las 8:00 A.M. de cada día. Con esta corrección, la lluvia máxima diaria se convierte en lluvia máxima en 24 horas del período de retorno correspondiente.

Se considera que los registros de una estación climatológica son representativos de solo 25 km2 y para hacerlos válidos en superficies mayores, es necesario aplicarles un factor de corrección.

Para esto, puede utilizarse la gráfica elaborada por el U.S. Weather Bureau, recomendada para cuencas pequeñas.

CorrecciCorreccióón por magnitud de cuenca.n por magnitud de cuenca.

La lluvia máxima diaria se corregirá con estos dos factores

Curvas precipitación, duración, período de Retorno

(P-D-Tr).

La lluvia es definida por tres variables: magnitud o lámina, duración y frecuencia. Las curvas P-D-Tr son una representación gráfica en la cual se concentran estas tres carácterísticas.

Secuela para obtener las curvas P-D-Tr

Seleccionar los períodos de retorno que tendrán las curvas.

• Calcular los valores representativos para la cuenca de estudio, de la lluvia máxima en 24 horas para los períodos de retorno de las curvas y para el de 2 años.

• Calcular, si no se conoce, la lluvia en una hora y período de retorno 2 años, o bien, seleccionar el cociente entre tal lluvia y la de 24 horas, también de 2 años de Tr.

( )14402

602 PfactorP =

Se utilizara la ecuación siguiente (aplicable para duraciones de lluvia de 2 horas o menores) para determinar las lluvias necesarias para definir las curvas.

Finalmente se dibujan las curvas P-D-Tr en papel natural

602

25.0 )50.054.0)(76.0)(35.0( PtTrLnPtT −+=

No. Medio de dNo. Medio de díías con lluvia por aas con lluvia por aññoo 11 88 1616 2424

(P1h/P24h) (P1h/P24h) Tr=2 aTr=2 aññosos(Factor a aplicar)(Factor a aplicar)

0.200.20 0.300.30 0.400.40 0.500.50

Tabla auxiliar para la construcción de las curvas P-D-Tr

Tr (años) Duración (minutos)5 10 20 40 60 100 120

2 6.8 10.2 14.2 18.9 22 26.6 28.45 9 13.4 18.7 25 29.2 35.2 37.510 10.6 15.9 22.1 29.6 34.5 41.6 44.325 12.8 19.1 26.6 35.6 41.6 50.1 53.450 14.4 21.6 30.1 40.2 47 56.6 60.3

0

10

20

30

40

50

60

70

0 50 100

Duración (horas)

Prec

ipita

ción

(mm

)

Tr = 2 Tr = 5 Tr = 10 Tr = 25

Curvas P-D-Tr