Hidraulica de Las Conducciones Libres

hhhiiidddrrruuullliiicccaaa .dddeee lllaaasss.

cccooonnnddduuucccccciiiooonnneeesss.llliiibbbrrreeesss.

Dr. Ing. Alcides J. F. Len Mndez

La Habana, Junio de 2000

iii

Han colaborado en el esta primera edicin los siguientes especialistas: En el captulo 8,

MSc. Ing. Yoel Martnez Gonzlez MSc. Ing. Lester Trujillo Gonzlez

En la primera versin mecanogrfica trabajaron:

Grisell Jordn Galvez Lilian Arce Cabrera

En la revisin,

Lic. Isabel Cristina Oliver Cruz

A mi esposa, mis hijos y mis nietos

A mis alumnos de ayer, de hoy y de maana

v

INDICE TEMTICO. 1. Introduccin a las conducciones libres. 1 1.1. Clasificacin de las conducciones libres. 1 1.2. Definiciones generales. 3 1.3. Primer criterio de clasificacin del flujo: tiempo-espacio. 13 1.4 Las ecuaciones de la fsica clsica en la hidrulica 14

1.5 La ecuacin de energa aplicada a un fluido en rgimen permanente: Euler y Bernoulli.

16

1.6 La ecuacin de cantidad de movimientos aplicada a un fluido en rgimen permanente.

19

1.7 Ecuaciones para el rgimen impermanente. 1.7.1 Conservacin de masas: ecuacin de continuidad 1.7.2 Ecuacin dinmica

19 20 22

1.8 Segundo criterio de clasificacin: fuerzas dominantes. 26 1.9 Invariante en el estudio de las conducciones libres. 33 1.10 Comunicacin: subcrtico y supercrtico. 34 1.11 Flujos estratificados. 35 1.12 Modelacin matemtica y fsica de los problemas en canales. 36

2. El principio de energa y sus aplicaciones. 42 2.1 Ecuacin de energa 42 2.1.1 El valor de 43 2.1.2 Campo de aplicaciones 49 2.2 Energa especfica 50 2.3 Un anlisis de la ecuacin E=f(y): subcrtico, crtico y supercrtico. 54 2.3.1 Energa especfica mnima 55 2.3.2 Caractersticas de las ramas de la ecuacin E-y 59 2.3.3 Ecuacin y grfica Q-y: curvas ISO E 59 2.4 La profundidad crtica: su calculo. 61 2.4.1 Casos en que la solucin es directa 62 2.4.2 Casos en que la solucin no es directa 64 2.4.3 Caso especial de las secciones cerradas 85 2.5 Rgimen Crtico en secciones compuestas 87 2.5.1 El algoritmo de Blalock y Sturm para el punto de E mnima 90

2.5.2 Propuestas de Konemann y Shearmann para el punto de E mnima.

94

2.5.3 El punto de vista de Sturm y Sadiq. 95 2.5.4 Una ampliacin del anlisis sobre la ocurrencia del rgimen crtico 99

2.5.5 La propuesta del River Analisis System del Hidrologic Engineering Center.

114

2.6 Exponente hidrulico para rgimen crtico. 115 2.6 Anlisis del perfil de flujo en rgimen permanente: primera

aproximacin 117

2.8 Accesibilidad y control. 126 2.9 La ecuacin de energa especfica en forma adimensional. 134

3. El principio de momentum 138 3.1 Energa y momentum 138 3.2 Ecuacin general del momentum 139 3.3 Algunas aplicaciones del principio de conservacin del momentum 141 3.4 Ecuaciones de trabajo 144

3.5 El momentum especfico 145 3.6 La ecuacin de momentum en secciones no prismticas 149 3.7 El salto hidrulico 150 3.7.1 Clasificacin del salto hidrulico 156 3.7.2 Las profundidades al comienzo y al final: conjugadas 157 3.7.3 Ubicacin de las secciones inicial y final 169 3.7.4 Longitud del salto hidrulico 181 3.7.5 Altura del salto hidrulico 186 3.7.6 Prdidas de energa 186 3.8 Salto hidrulico en interfases de diferentes densidades 189

4. El rgimen uniforme 194 4.1 Desarrollo del rgimen uniforme 194 4.2 La capa lmite 197 4.2.1 Fronteras lisas y rugosas 199 4.2.2 Distribucin de v 201 4.3 Ecuaciones del rgimen uniforme 207 4.3.1 Ecuacin de Chezy 208 4.3.2 Ecuacin de Manning 211 4.4 Estimacin de los coeficientes de resistencia 213 4.4.1 Un primer anlisis 214 4.4.2 Mtodos prcticos para la estimacin de n 219 4.4.3 Secciones con rugosidad compuesta 237

5. Clculos asociados al rgimen uniforme 242 5.1 Factor de seccin y mdulo de gasto. 242 5.1.1 Exponente hidrulico del rgimen uniforme. 243

5.2 Clculo del gasto y la profundidad normal de circulacin en canales con geometra simple.

246

5.2.1 Clculo de la profundidad normal. 247 5.2.1.1 Un anlisis de las secciones cerradas. 263 5.2.2 Calculo de gasto. 269 5.3 Gasto y profundidad normal en secciones compuestas 270 5.3.1 Calculo de la profundidad normal 292 5.3.2 Calculo del gasto para rgimen uniforme. 292 5.4 Pendiente normal, pendiente crtica y pendiente lmite. 294 5.4.1 Pendiente normal 294 5.4.2 Pendiente crtica 294 5.4.3 Pendiente lmite 295 5.5 Aplicaciones del rgimen uniforme. 300 6. Diseo de la seccin transversal. 304 6.1 Una aproximacin al diseo de un canal 304 6.2 Introduccin al diseo de la seccin transversal 309 6.2.1 La pendiente del fondo (S0) 312 6.2.2 Geometra de la seccin 312 6.2.3 Taludes de los lados 313 6.2.4 Bordo Libre 315 6.2.5 Prdidas de agua 317 6.2.6 La velocidad mnima permisible 327 6.3 Erosin en la seccin transversal 330 6.3.1 La velocidad crtica 333 6.3.2 La velocidad mxima permisible 336

vii

6.4 Fuerza cortante o de arrastre: relaciones bsicas. 354 6.5 Estrategia de clculo: restricciones principales 372 6.6 Diseo de secciones no revestidas 375

6.6.1 Diseo de la seccin de un canal erosionable que conduce agua limpia o con finos sedimentos

376

6.6.1.1 Mtodo de la velocidad mxima permisible 376 6.6.1.2 Mtodo de la fuerza tractiva 379 6.6.1.3 Seccin hidrulicamente ms estable 381 6.6.2 Diseo de canales aluviales 385 6.6.2.1 Variante con la ecuacin de Kennedy 386 6.6.2.2 Variante con la ecuacin de Lacey 389 6.6.2.3 Variante con la ecuacin de Blench 391 6.6.2.4 Variante con la ecuacin de Simmons y Albertson 392 6.7 Clculo de secciones revestidas 394 6.7.1 El criterio del mnimo permetro 396 6.7.2 Criterio de diseo con calculo de costo 404 6.7.3 La seccin de mnimo costo. 407 6.8 Canales con vegetacin 410 6.8.1 Informacin del USSCS 412 6.8.2 El mtodo de Temple 418 6.8.3 Un diseo de Green y Garton 425 6.8.4 Las soluciones aportadas por Reza Mahboub y Suzuki 427 6.9 Canales de seccin compuesta con vegetacin. 428

7. El Rgimen Permanente y Variado. 440 7.1 Formulacin matemtica del RPGV. 441 7.1.1 Ecuacin diferencial. 441 7.1.2 Ecuacin elemental. 444 7.2 Caractersticas y clasificacin de los perfiles de flujo del RPGV. 445 7.2.1 Rasgos bsicos de las curvas superficiales. 448 7.3 Anlisis del perfil de flujo. 452 7.3.1 Canales prismticos con pendiente constante. 454 7.3.2 Canales prismticos con cambio de pendiente. 454 7.3.3 Canales prismticos con varios cambios de pendiente. 456 7.3.4 Canales prismticos con cambio de rgimen. 463 7.3.5 Canales no prismticos. 468 7.4 Clculo del perfil de flujo en canales prismticos. 470

7.4.1 Diferentes casos de clculo de curvas superficiales. 7.4.1.1 Ecuacin elemental. 7.4.1.2 Integracin directa 7.4.1.3 Solucin de Valle Cuellar

470 473 475 483

7.5 Clculo del perfil de flujo en canales no prismticos. 484 7.5.1 Estimacin de parmetros. 484 7.5.2 Algoritmo de clculo del perfil de flujo. 493 7.5.3 Consideraciones para el clculo. 500 7.6 Flujo Espacialmente Variado. 504 7.6.1 Gasto creciente. 504 7.6.2 Gasto decreciente. 511 7.7 Problemas Especiales. 513 7.7.1 Entrega de un canal. 514 7.7.2 Condiciones de entrada y salida. 520 7.7.3 Flujo dividido: bifurcacin de cauces 521 7.7.4 Flujo dividido: confluencia de cauces 531 7.7.5 Rgimen mixto en la confluencia y bifurcacin de cauces 534

8. El Rgimen Impermanente 538

8.1 El rgimen impermanente: clasificacin y generalidades. 8.1.1 Objetivo del clculo del RI 8.1.2 Las ecuaciones de Saint Venant

8.2 Simplificaciones de la ecuacin de la onda dinmica.

540 542 542 544

8.2.1 La onda de difusin u onda difusiva 544 8.2.2 La onda cinemtica 548 8.2.3 El flujo uniformemente progresivo 553 8.2.3.1 Desarrollo 554 8.2.3.2 Aplicaciones. 556 8.3 Introduccin al R. I. R. V. 560

8.3.1 Ecuacin de la velocidad absoluta de la ola. 8.3.2 Problemas especficos

561 563

8.4 Propagacin de ondas. 565 8.5 Generalidades acerca de los mtodos de solucin de las ecuaciones de Saint Venant para RIGV

569

8.5.1 Condiciones de frontera e iniciales. 572 8.5.2 Calibracin y verificacin. 8.5.3 Inestabilidad

8.6 Mtodo de los Incrementos Finitos.

574 582 583

8.7 Mtodo de las Caractersticas. 586 8.7.1 Aplicacin del mtodo de las caractersticas a las ecuaciones de

Saint Venant. 8.7.2 Mtodo de Stoker.

592

594 8.7.3 Caso de la ola simple. 596 8.7.4 Solucin mediante un mtodo explcito de las caractersticas. 604 8.7.5 El problema de la ruptura de una presa mediante el anlisis del mtodo de las caractersticas.

608

8.7.6 El trnsito de avenidas analizado por las caractersticas. 613 8.8 Mtodo de diferencias finitas. 616

8.8.1 Soluciones para la onda cinemtica. 8.8.1.1 Solucin para canales anchos. 8.8.1.2 Solucin para canales con cualquier relacin b/y

8.8.2 Un esquema explcito para la onda dinmica. 8.8.2.1 La variante de Viessman

619 620 627 634 637

8.8.3 Esquema implcito de cuatro puntos para cualquier geometra 639 8.8.4 Esquema de cuatro puntos pesado. 649 8.9 Mtodo de elementos finitos. 655 8.9.1 Procedimiento general. 655 8.9.2 Variante de Szymkiewicz. 657 8.9.3 Anlisis de precisin y estabilidad. 660 8.9.4 Solucin de un problema con el MDF y el MEF. 663 8.10 Anlisis para secciones compuestas. 665 8.10.1 Relacin profundidad-caudal. 666 8.10.2 Generalizacin del esquema implcito de cuatro puntos. 670

Anexo 1. Tablas para el calculo de n. 674 Bibliografa. 678

ix

Prologo del autor a la Primera Edicin.

A partir de los aos noventa el Centro de Investigaciones Hidrulicas del Instituto Superior Politcnico Jos Antonio Echeverra comienza una segunda etapa de la Maestra en Ingeniera Hidrulica y surge la necesidad de tener un texto adecuado y actualizado para la asignatura Hidrulica de Canales.

Tomando como bases fundamentales el Open Channel Hydraulics de Ven te Chow, clsico incuestionable de la materia, el Open Channel Flow de Henderson, el Hidrulica de Canales de Julian Aguirre Pe, el Flow throughout Open Channels de K. G. Ranga Raju, el Open-channel Hydraulic de Richard French, el Erosin Hdrica de Nora Pouey, el texto existente para los cursos regulares de Ingeniera Hidrulica en nuestro pas, el Hidrulica de Canales de Alcides Len y Armando Estopian y las publicaciones de la IAHR y de la ASCE, se escribe la presente obra, tratando en la misma de profundizar en los aspectos matemticos de la solucin de los problemas, recopilando y sintetizando la bibliografa sobre los temas tratados y exponiendo estos de forma tal que el lector pueda apreciar con claridad, las diferentes versiones de soluciones que sobre un mismo problema existen, sin poder ni querer agotarlas todas, pero tratando, eso s, de presentar las clsicas, las ms novedosas y los puntos de vista propios sobre las cuestiones tratadas.

Los tres primeros captulos abarcan las frmulas y conceptos bsicos para este tipo de conduccin y los dos ltimos la teora y clculo del rgimen variado: permanente e impermanente, incluyendo como intermedios tres captulos dedicados al rgimen uniforme y su aplicacin principal en el diseo de la seccin transversal de una canal.

En cada captulo y dentro del marco que ha sido posible, se desarrollan las soluciones especficas para canales prismticos y no prismticos, haciendo nfasis en aquellas dirigidas a las conducciones naturales. Se han incluido sesenta algoritmos para generalizar las soluciones propuestas y enfocarlas desde el punto de vista computacional lo cual permite al lector profundizar en los mtodos de clculo y tener una base confiable para preparar sus propios programas de cmputo con el editor de su agrado.

Algunos resultados se presentan sobre hoja de clculo con el objetivo de establecer lo sencillo que resulta la solucin del problema, dejando para prximas ediciones del texto la presentacin de otras aplicaciones sobre hoja de clculo y programas ejecutables realizados en editores especializados.

A diferencia de su antecesor, el Hidrulica de Canales que fue dedicado a la formacin del ingeniero en sus primeros estudios universitarios, en esta obra no se incluyen problemas resueltos y propuestos y si aparece el anlisis de casos de estudio en aquellos temas que el autor ha considerado que su inclusin favorece la compresin cabal del problema que se aborda.

El agua es muy inteligente y conoce muy bien la hidrulica, nuestro reto permanente es saber tanto como ella. Si esta obra contribuye a ese fin, si llega a complacer parcialmente a sus lectores, si ayuda a la solucin de algn problema, el esfuerzo realizado para su publicacin est ms que recompensado.

1

1 INTRODUCCION A LAS CONDUCCIONES LIBRES Las conducciones libres han sido a travs de la historia de la humanidad la forma ms usual para conducir el agua. El solo efecto de la gravedad hace que la masa de agua se mueva de un nivel a otro permitiendo as a las antiguas civilizaciones crear grandes sistemas de abasto, que hoy en da an nos maravillan por la ingeniosidad de sus constructores. En Cuba, por solo citar tres casos, la Zanja Real, el Acueducto Albear y los sistemas de riego del Mayabeque, son ejemplos elocuentes del dominio del agua que se tena desde pocas remotas. En este primer captulo se presentan las caractersticas generales del estudio de las conducciones libres con el objetivo de adentrar al lector en algunas de las cuestiones bsicas, que ms adelante se aplicarn. 1.1 Clasificacin de las conducciones libres. Numerosos son los criterios de clasificacin de las conducciones libres. Las dadas por Len y Estopian (1986), son: Segn su naturaleza.

- Conduccin artificial: la formada por la mano del hombre y pueden ser indistintamente de seccin transversal abierta o cerrada.

- Conduccin natural: la formada por procesos de la naturaleza. En el caso de conducciones naturales, que no han sido modificadas sustancialmente por la mano del hombre, pueden ser de seccin transversal abierta (ros, arroyos, ....) o de seccin transversal cerrada (tneles

naturales, cavernas subterrneas, ....). Las secciones son normalmente irregulares, figura 1.1, de rugosidad variable a lo largo de su permetro y su estudio tiene una gran importancia tanto para la hidrulica, como para la hidrologa.

FIGURA 1.1 EJEMPLO DE SECCIONES TRANSVERSALES Segn su objetivo.

- para riego - para drenaje - para trasvasar agua entre dos puntos - para recolectar aguas con diferentes fines - para abasto en general - para navegacin

Segn su tamao. - Pequeas (si Q

3

- Magistrales: si son canales muy grandes que conducen todo el caudal del sistema.

- Principales: si son canales grandes, medianos o pequeos que conducen todo el caudal del sistema.

- Secundarios: canales que se derivan o tributan a los principales.

- Terciarios: canales que se derivan o tributan a los secundarios.

- Temporales: canales que se construyen por un corto periodo de tiempo, normalmente de la poca de siembra hasta la recoleccin o en pocas del ao de intensas lluvias.

Existen numerosas clasificaciones ms, que varan de acuerdo al autor que las proponga y a los fines que persiga, pero en definitiva todas, con uno u otro criterio, tratan de subdividir estas conducciones tal que el lenguaje tcnico al describirlas sea suficientemente explcito a la vez que sencillo. 1.2 Definiciones generales. Algunos parmetros que deben definirse estn asociados a la seccin transversal o al perfil de la conduccin.

FIGURA 1.2 REPRESENTACION DEL PERFIL. Representacin de la seccin y del perfil.

En el estudio de las conducciones libres, naturales o artificiales, las variables que entran en el estudio son representadas: en la seccin transversal de la conduccin y en su perfil, de forma esquemtica. En el perfil se representa, figura 1.2, el fondo de la conduccin, la superficie del agua y el perfil esquemtico de las obras que existan en el tramo de estudio. En l se representa la profundidad de circulacin, la pendiente o las cotas del fondo y cualquier otro detalle de inters. En la seccin transversal del tramo en estudio se representa: su forma geomtrica, sus dimensiones, o sus cotas si es irregular, la profundidad de circulacin y cualquier detalle de importancia, figura 1.3.

FIGURA 1.3 REPRESENTACION DE LA SECCION TRANSVERSAL. Existen dos formas tradicionales de representar la seccin transversal de un canal: la seccin vertical y la seccin normal. La seccin vertical o simplemente seccin, figura 1.4, es la contenida en un plano vertical. La seccin normal es una seccin contenida en un plano normal al vector velocidad media que pasa por el punto donde se cruzan la seccin vertical y el fondo de la conduccin. Los niveles de agua se denominan: y: profundidad de circulacin, si se mide en la seccin vertical. d: tirante de circulacin, si se mide en la seccin normal. Variables geomtricas de la seccin. En la representacin en la seccin transversal se definen un grupo de variables geomtricas que entran en los clculos hidrulicos de cualquier conduccin.

5

FIGURA 1.4 REPRESENTACION DE LAS SECCIONES DE UN CANAL. Variables bsicas: las que definen la geometra, figura 1.3.

b : ancho del fondo del canal principal (unidades de longitud) m : inclinacin del talud (tanto por uno) d : dimetro del conducto si es circular (unidad de longitud) r : radio del conducto si es circular (unidad de longitud) x,z : coordenadas de las secciones irregulares.

Variables asociadas: son las que dependen de la geometra, de las bsicas y de la profundidad o del tirante.

A: rea mojada por debajo de la superficie libre. P: permetro mojado por debajo de la superficie libre. T: ancho de la superficie libre. R: radio hidrulico (A/P). D: profundidad hidrulica (A/T). En las geometras conocidas, el clculo de A, P y T es muy sencillo ya que existen frmulas al respecto, tabla 1.1 y figura 1.6.

FIGURA 1.5 SUBDIVISION DE UNA SECCION En el caso de las secciones de geometra compuesta, figura 1.5, el clculo de A, P, T puede realizarse subdividiendo la seccin en subsecciones de figuras geomtricas conocidas, pero en algunos

casos esta subdivisin responder a criterios hidrulicos para facilitar los clculos futuros. En estas secciones y en secciones naturales con una clara definicin entre el cauce principal y las zonas ubicadas en cotas superiores con geometras diferentes, el clculo de A, P, T puede presentar saltos bruscos al pasar la profundidad de una geometra a otra, esto tendr consecuencias importantes en la solucin de los problemas relacionados a estas secciones. La solucin clsica, figura 1.5, que parte de la definicin de la seccin: (xi, zi); i=1 n, como un contorno discreto, es subdividir esta en subsecciones conocidas (triangulares y trapeciales) y calcular entonces:

=

= n1i

iAA ------------------------------------------------------------- 1.1

=

= n1i

iPP ------------------------------------------------------------- 1.2

=

= n1i

iTT -------------------------------------------------------------- 1.3

Una solucin propuesta por D.D. Franz (1982), figura 1.7, plantea las siguientes ecuaciones de clculo para el rea, el ancho superficial y la posicin del centroide del rea mojada.

= dTA y0 ----------------------------------------------------------- 1.4 ( ) == y0y0 dAdTyAz ------------------------------------- 1.5

( ) == y0y0 2 dAz2dTyI ----------------------------------- 1.6 donde: es una falsa variable de integracin T es el ancho superficial a una distancia z es la distancia del fondo de la seccin al centroide del rea I es el segundo momento del rea Franz define la interpolacin de los valores buscando sobre tablas preparadas al efecto de T y A como funciones de y, tal que: yi y yi + 1 para i = 0, 1, 2, ..., n 1, n+1.

7

FIGURA 1.7 FIGURA DE REFERENCIA PARA LAS FORMULAS DE FRANZ Entonces para interpolar se emplear:

)TT(yy

yyTT i1i

i1i

iiy

+= ++

------------------------------------------- 1.7

)TT)(yy(21AA iyiiy += ----------------------------------------- 1.8

)TT()yy(121)AA)(yy(

21AzAz iy

2iiyii ++= ------------ 1.9

( )( ) ( ) ( )iy2iiyiiy AAyy61AyAyyyII ++= ---------------- 1.10 Los valores interpolados tendrn tanta exactitud como lo tenga el clculo de T, ya que los otros valores son exactos.

FIGURA 1.8 EJES COORDENADOS PARA EL TRATAMIENTO DEL VECTOR V

La secuencia de clculo que aparece a continuacin demuestra lo simple que es la utilizacin de estos grficos adimensionales. Algoritmo. 1. Verificar que se este en presencia de una seccin trapecial

para los taludes graficados o una seccin circular.

2. Calcular 5.2bgQ

en caso de una seccin trapecial

o, 5.2dgQ

si la seccin es circular.

3. Ir al grfico correspondiente y calcular y/b o y/d, segn sea el caso y calcular el valor de y.

4. Con el valor de y calcular A y D. 5. Si )Q*01,0(QgDA = entonces se

habr llegado a la solucin con un error igual o menor que el 1%.

6. Si el valor no satisface la restriccin del punto 5, entonces se debe buscar el valor correcto a partir de la aproximacin ya realizada utilizando uno de los mtodos anteriores.

Las ecuaciones semiempricas de Straub. Propuestas en 1982, estas ecuaciones proporcionan una va fcil para la obtencin de la profundidad crtica en algunas secciones transversales. El parmetro bsico es = *Q2 / g. Si la seccin es rectangular entonces: y

bc=

2

13 --------- 2.51

Si la seccin es triangular entonces: ymc

=

22

0 20 . ----- 2.52

9

Estas dos primeras ecuaciones, propuestas por Straub son innecesarias, ya que, tal como se demostr anteriormente, la solucin en estos casos es directa, por simple despeje de la ecuacin fundamental de clculo del rgimen crtico. Si la seccin es trapecial entonces:

ym b

bmc

= 0 81 300 75 1 25

0 27

.*. .

. ----------------------------- 2.53 para 4.0bQ1.0 5.2

FIGURA 2.13 MOVIMIENTO DEL ERROR ENTRE LOS LIMITES ESTABLECIDOS POR STRAUB PARA SU FORMULA PARA CANALES TRAPECIALES. a. secciones trapeciales.

solucin inicial: yb

Qmc

= +

07421850 551

0 620...

.

------------------- 2.57

ecuacin para iterar: ( )( ) 3/1

i,c

i,c

31

2

1i1i,c y*mb

my2b*gQ

y ++

=+ + -------2.58 b. secciones circulares. Si 5.2d*042595.2Q , entonces puede calcularse el valor y la solucin inicial ser: 258,0

503,0

i,c dQ*561,0y = -------------------- 2.59

y la ecuacin para iterar: gDvFroude de nmero =

c. secciones tipo U (rectangular y semicircular). Si Q 4,36012883 * ru2.5 entonces:

3/12

Uc r2

Qg1

41ry

+

= ----------------------------------- 2.60

Si Q < 4,361 * ru2.5 entonces,

-4-3-2-10123

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Q/b 2^.5

Erro

r %

11

solucin inicial: 292.0U

517,0

c rQ*475,0y = -------------------------- 2.61

ecuacin para iterar: gDvFroude de nmero =

FIGURA 2.14 SECCION U Y PORTAL d. secciones tipo Portal (semicircular y rectangular), capacidad mxima para y/H = 0,9395257 ------------------ 2.62

siendo 2/13/8max S*H*n37736438,0Q = --------------------- 2.63

para condicin de rgimen crtico, 5,2

gularcionrectansec.max H*10736173,1Q = ------------------------ 2.64 y para evitar el ahogo de la seccin se da como mximo,

5,2cionsec.max H*555009128.2Q = ------------------------------ 2.65

solucin inicial: 4988,05995,0

c HQ*475,0y = ------------------------- 2.66

ecuacin para iterar: gDvFroude de nmero =

En estas propuestas debe sealarse que las ecuaciones para iterar son insuficientes para llegar a una solucin ingenieril. En todos los casos se sugiere que la iteracin sea verificando el gasto obtenido para cada nueva profundidad probada y calcular el error que se comete respecto al gasto de dato, hasta lograr una exactitud aceptable en el resultado.

Como ejemplo de lo dicho se presenta la secuencia de clculo de la seccin trapecial y de una seccin circular. Algoritmo: para secciones trapeciales. 1. Calcular yC segn 2.57. 2. Calcular A, T y D con los datos y ecuaciones de la seccin

trapecial. 3. Si )Q*01,0(QgDA = entonces se

habr llegado a la solucin con un error igual o menor que el 1%.

4. Si no es satisfactoria la comprobacin del paso 2, calcular la nueva yC segn 2.58. Regresar al paso 2.

Algoritmo: para secciones circulares de dimetro d. 1. Comprobar si QC_MAX. QCALCULO , donde,

5.2.MAX_C d*042595.2Q =

2. Si es satisfactoria la comprobacin del paso 1, calcular yC segn 2.59.

3. Calcular A, T y D segn,

)yd(y2T

d*)sen(81A

)dy21(cos2

2

1

==

=

Si )Q*01,0(QgDA = entonces se habr llegado a la solucin con un error igual o menor que el 1%.

4. Si no se satisface el paso 3, se debe emplear un mtodo iterativo con la solucin inicial calculada en el paso 2.

Soluciones aproximadas para secciones trapeciales basadas

en calcular yC como funcin de la profundidad crtica de un canal rectangular.

13

Una tendencia reflejada en la literatura, desde la dcada de los aos 50, es la de presentar soluciones basadas en una remodelacin de la ecuacin bsica. Tmese la ecuacin 2.43 y transfrmese as,

c

c32

TA

gQ = ----------------------------------------------------------- 2.67 para una seccin trapecial se cumple que,

2CCc y*my*bA +=

CC y*m*2bT += sustituyendo en 2.67 las expresiones de A y T queda, ( )

C

32CC

2

my2bmyby

gQ

++= ----------------------------------------------- 2.68

o lo que es igual,

+

+=

bmy21*b

bmy1*yb

gQ

C

3C3

C3

2

y despejando y3c,

3C

C

2

23C

bym1

bym21

*gbQy

+

+= ------------------------------------------ 2.69

y como la profundidad crtica de una seccin rectangular es: 3/1

2

2

R_C )gbQ(y =

entonces,

3C

C

R_C3

T_C3

bym1

bym21

*yy

+

+=

y entonces la profundidad crtica de un canal trapecial ser,

+

+

=b

ym1

by

m21*yy

T_C

3/1T_C

R_CT_C ------------------------------- 2.70

El investigador ruso I. Agroskin (1972) y el cubano Velazco Davis (1994) hacen la siguiente sustitucin,

R_C

T_C

yy

K = ------------------------------------------------------------ 2.71 y

bmy

a R_C= --------------------------------------------------------- 2.72 entonces la expresin 2.70 queda de la forma siguiente,

aK1aK21K

3

++= ------------------------------------------------------ 2.73

donde K es funcin solo de a. Por tanto, dando valores a la variable a, se pueda obtener una serie de datos de a vs K, los cuales al someterse a un proceso de ajuste matemtico se obtiene una relacin funcional prctica de trabajo. En el caso de Agroskin la funcin de relacin entre K y a es,

segn Agroskin: 2a*105,03a1K += -------------------- 2.74

El Dr. Velazco Davis (1994), del Instituto Nacional de Recursos Hidrulicos, de Cuba, mejora las soluciones brindada por Kostin e I. Agroskin presentando una nueva relacin entre K y a. La relacin propuesta es,

15

segn Velazco: 3724,0

a11K

+= --------------------------- 2.75 La frmula prctica es:

372,0rrectangula_c

rrectangula_ctrapecial_c

by*m

1

yy

+

= ------------------------- 2.76

donde la yC_rectangular se calcula por la frmula 32

c )gbQ(y =

Por su parte y haciendo una sustitucin similar a la anterior, el mejicano Martnez Martnez resume los trabajos realizados por l, Swamee, P.K. y Straub proponiendo las siguientes relaciones,

para Straub:

=301a*y*81,0*

a1K 7975,0R_C0125,0 --- 2.77

para Swamee: 476,042,022a1

1K

+

= ---------------------- 2.78

para Martnez Martnez: a4.111

2K ++= ------------------ 2.79 La grfica con los errores de las mejores soluciones, aparece en la figura 2.15. En la misma se evidencia la gran precisin de la formula propuesta por Velazco. Un anlisis exhaustivo de la base de datos y las formas de correlacionar K vs a o K vs (1/(1+a)), arroja ecuaciones ms complejas que la expuesta por Velazco sin que la ganancia en exactitud sea apreciable ya que la referida tiene un alto acercamiento con el valor real.

Sin pretender agotar el tema del uso de la computacin en el clculo numrico en ingeniera, se presenta una tabla realizada con el EXCEL v7.0 utilizando la herramienta SOLVER.

FIGURA 2.15 COMPARACIN ENTRE FORMULAS

S O L V E R CALCULO DE LA PROFUNDIDAD CRITICA PARA SECCIONES TRAPECIALES

b (m) m Q (m3/s) Area (m2) D (m) AgD yc(m) 4 1 5 2.3415 0.4649 5.0005 0.518234 4 1 10 3.8516 0.6873 10.001 0.802073 4 1 15 5.1803 0.8549 15.002 1.029897 4 1 20 6.4081 0.9932 20.002 1.226164

TABLA 2.2 EJEMPLO DE CALCULO REALIZADO EN EXCEL DEL MS OFICCE. Las tres primeras columnas se dedicaron a la informacin de dato, las dos siguientes a los clculos necesarios para resolver la ecuacin bsica, mientras que la sexta columna se dedica al

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1/1+a

Erro

r %

MARTINEZ VELAZCO SWAMEE

17

resultado del clculo del gasto (celda objetivo) y la sptima al valor de la yC calculada (celda cambiante). Las restricciones utilizadas para el clculo fueron referidas a las columnas 3 y 6 con una diferencia de 0.001. La solucin por esta va de un valor de gasto que se obtiene a los dos segundos de ejecucin, una vez preparada la informacin a procesar. Al igual que esta solucin se han generado un gran nmero de soluciones desde el advenimiento de las computadoras. Ms an en estos ltimos aos, en que las facilidades que brindan las PC y los lenguajes como el Fortran, Basic, Pascal o C, en cualquiera de sus versiones, hacen de estos clculos una simple rutina computacional. A esto debe sumrsele las facilidades que han surgido en los aos 90 con las calculadoras programables de bolsillo, con las que en nunca ms de 50 pasos programados se obtiene la solucin de estos algoritmos. 2.3.1 Caso especial de las secciones cerradas. En las secciones cerradas cuya parte superior se cierra con una curvatura dada, aparece un problema prctico de inters.

FIGURA 2.16 RELACION ENTRE Q Y LA PROFUNDIDAD CRITICA RELATIVA AL DIAMETRO PARA UNA SECCION DE 2 METROS DE DIAMETRO. Al entrar en el clculo de la profundidad crtica la relacin entre A y T, denominada D, al crecer la profundidad de circulacin

0.50.60.70.80.9

1

0 100 200 300 400 500 600

Q (m3/s)

y/d

aumenta A pero disminuye T lo cual hace que D comience a crecer fuertemente y con l crece tambin el gasto: gDAQ = .

FIGURA 2.17 CURVAS DE ENERGIA ESPECIFICA ISO-Q PARA UNA SECCIN CIRCULAR DE 1 METRO DE DIAMETRO. Tmese como ejemplo una seccin circular, en la figura 2.16 aparece graficado el gasto crtico versus la profundidad crtica con relacin al dimetro. Ntese que a partir de profundidades mayores que 0.8d el gasto se incrementa de forma inusual. Esta particularidad repercute en los grficos E-y para estas geometras, ya que la caracterstica del crecimiento de D, a partir de un cierto valor de y, hacen que la profundidad crtica siempre exista, aun para gastos extremadamente altos e ilgicos, desde el punto de vista prctico y exista siempre un tramo en la curva E-y en la rama subcrtica, figura 2.17. En esta figura puede notarse como al aumentar el gasto la curva de profundidades supercrticas prevalece dentro

4 m3/s 2 m3/s 1 m3/s

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0E (m)

y (m

)

19

de la conduccin escapndose la posibilidad de obtener el rgimen subcrtico en ella para gastos altos. Caractersticas del vector velocidad. En la mayora de los canales el flujo es de caractersticas turbulentas. El aparentemente comportamiento aleatorio del movimiento turbulento lleva a numerosos investigadores a describirlo en trminos estadsticos. Sobre esta base es conveniente definir la velocidad instantnea en trminos de velocidad promedio en el tiempo ms una componente aleatoria. Sobre los ejes de coordenadas, figura 1.8, la velocidad instantnea es:

xxx 'vvv += ------------------------------------------------------ 1.11 yyy 'vvv += ------------------------------------------------------ 1.12 zzz 'vvv += ------------------------------------------------------ 1.13

donde v es la velocidad promedio en el espacio para un instante de tiempo dado. La velocidad promedio en el espacio viene dada por:

=A

vdAA1v ------------------------------------------------------- 1.14

y las fluctuaciones turbulentas aleatorias de la velocidad en trmino de promedio de tiempo son:

dt'vT1v

T

0= ------------------------------------------------------- 1.15

Los parmetros estadsticos de inters para cuantificar las fluctuaciones de la velocidad son: a) La RMS de las fluctuaciones de la velocidad (desviacin media

cuadrtica)

21

dt)'v(T1)'v(RMS 2

T

0

= -------------------------------------- 1.16

b) La energa cintica media de la turbulencia por unidad de masa: (ECM). [ ]2z2y2x21 )'v()'v()'v(ECM ++= --------------------------- 1.17

Y por la importancia relativa de las componentes de la velocidad en los ejes X y Y tambin se utiliza: c) Medicin del grado de correlacin de la interdependencia de

dos variables, que aplicada a los vectores vx y vy queda:

dt'v'vT1vv

T

0yxyx = --------------------------------------------- 1.18

Muchos de los problemas en las conducciones libres pueden resolverse simplificando el campo de velocidades, a un campo unidireccional y en otros casos a campos bidimensionales, por lo cual formas ms simples de las ecuaciones bsicas del flujo son comnmente empleadas con acierto sin tener que tomar en cuenta las componentes de la velocidad en los tres ejes de coordenadas. 1.3 Primer criterio de clasificacin del flujo: tiempo-espacio. El nivel del agua en una conduccin libre puede variar respecto al tiempo y al espacio. Si denominamos y a la profundidad de circulacin del agua en una seccin de una conduccin libre, se puede escribir que,

)x,t(fy = ---------------------------------------------------------- 1.19 El primer criterio de clasificacin del flujo en una conduccin libre es el de: tiempo-espacio. Criterio de tiempo, figura 1.9. Si 0

dtdy = el rgimen se clasifica como permanente.

21

Si 0dtdy el rgimen se clasifica como impermanente.

Criterio de espacio, figura 1.9. Si 0

dxdy = el rgimen se clasifica como uniforme.

Si 0dxdy el rgimen se clasifica como variado.

- gradualmente variado si el cambio es lento. - rpidamente variado si el cambio es brusco.

FIGURA 1.9 ESQUEMA DE DIFERENTES ALTERNATIVAS DE CLASIFICACIN. 1.4 Las ecuaciones de la fsica clsica en la hidrulica. Conservacin de masas. Independiente de cualquier estado (laminar o turbulento) el fluido debe satisfacer la ecuacin de conservacin de masa (ecuacin de continuidad).

Tanto para el flujo permanente como impermanente en una seccin de canal se cumple que: Q = v.A -------------------------------------------------------------- 1.20 donde: v es la velocidad media de la seccin normal. A es el rea de la seccin. Q es el gasto. En los flujos permanentes en un canal, sin entradas ni salidas laterales, se cumple que: V1.A1 = V2.A2 = ... = Vn.An ---------------------------------------- 1.21 en este caso se dice que el flujo es continuo y la ecuacin que gobierna al flujo desde el aspecto de conservacin de la masa se denomina ecuacin de continuidad. Este concepto es aplicable a tramos con entradas o salidas, en los cuales se dice que el flujo es discontinuo, agregndose en la ecuacin el valor de estos aportes, tomando la ecuacin la siguiente forma, por ejemplo, Q1 = Q2 + Q3 o sea: A1.V1 = A2.V2 + A3.V3. En el caso anterior el gasto de Q1 se ramifica en Q2 y Q3. Ecuaciones de movimiento.

Basando el anlisis en la segunda ley del movimiento, se tiene:

F = m.a ---------------------------------------------------------------- 1.22 si a ambos lados de la ecuacin se integra a lo largo de la longitud de recorrido S paralela a la direccin de la fuerza y la aceleracin, queda,

== 21

2

1

s

s

21

222

1s

s)vv(madsmFds ------------------------------------- 1.23

que es la ecuacin de la energa, que establece que el trabajo realizado por un cuerpo al moverse de S1 a S2 es igual a la energa cintica adquirida por el cuerpo.

23

La diferencia entre las ecuaciones 1.22 y 1.23 es que mientras la primera es una ecuacin vectorial, la segunda al ser el resultado de un producto vectorial es un escalar, lo cual establece que la energa es una magnitud escalar. Si de nuevo se parte de la ecuacin 1.22 y se integra respecto al tiempo, queda,

== 21

2

1

t

t12

t

t)vv(madtmFdt -------------------------------------- 1.24

que es la ecuacin de momentum y establece que el impulso (fuerza x tiempo) aplicado a un cuerpo es igual al cambio de momentum (masa x velocidad) que experimenta el cuerpo. El multiplicar un vector por un escalar produce otro vector, por lo cual el momentum es una magnitud vectorial. Estas ecuaciones son las fundamentales en el estudio del movimiento de un fluido y sern empleadas para la solucin de los problemas de las conducciones libres. Las tres ecuaciones extradas de la fsica clsica unidas a numerosas ecuaciones empricas y semiempricas, desarrolladas, fundamentalmente, a lo largo de los ltimos trescientos aos, son hoy la base de la solucin de los problemas de la hidrulica de los canales. 1.5 La ecuacin de energa aplicada a un fluido en rgimen permanente: Euler y Bernoulli. Segn plantea Henderson (1966), si se aplica la ecuacin 1.22 a un elemento de rea unitaria (dA=1) y que se mueve a lo largo del eje S, figura 1.10, se tiene que, (p - (p + p/s s)) n .1 + s . n .1 . sen = m.a, o lo que es lo mismo, -/s . s . n + s . n . sen = . s . n . as, y a su vez, sen = - z/s, entonces queda, -/s - z/s = p . as, de donde,

/s (p + z) + .as = 0 ------------------------------------------- 1.25 que es la conocida ecuacin propuesta, en el siglo XVIII, por el matemtico suizo Leonardo Euler y reconocida universalmente como la ecuacin de Euler.

FIGURA 1.10 DEFINICION DE LAS FUERZAS SOBRE UN ELEMENTO DE UN FLUIDO. Esta ecuacin no es rica en aplicaciones como su forma integrada, pero ayuda al conocimiento del fenmeno bsico y sobre todo aclara el alcance y significado de la ecuacin de Bernoulli. El trmino ( + z) es llamado carga piezomtrica y segn la hidrosttica es constante en aguas tranquilas, esto es: /s (p + z) = 0 ------------------------------------------------------ 1.26 La presencia de as indica que el agua est en movimiento, la distribucin de presiones se disturba y (p + z) no es constante. Al evaluar el trmino de as debe notarse que la velocidad vara simultneamente en tiempo y espacio. Segn la teora de la diferenciacin parcial se puede escribir, dv/dt = ds/dt . v/s + v/t --------------------------------------- 1.27 la cual indica la razn de cambio de la velocidad v que aparece frente a los ojos de un observador que se mueve a lo largo del eje S con una velocidad igual a ds/dt. Si se interpreta la derivada dv/dt como la aceleracin del fluido, se puede escribir,

25

as = v v/s + v/t -------------------------------------------------- 1.28 Y si el flujo es irrotacional, entonces, sea o no S en la direccin del movimiento, puede escribirse,

tv

svva ss

+= ---------------------------------------------------- 1.29

donde v es la resultante de la velocidad y vs es la componente en la direccin S. Los dos trminos de la ecuacin se denominan aceleracin convectiva y aceleracin local, respectivamente. Sustituyendo 1.29 en 1.25 se obtiene una ecuacin para rgimen impermanente que se escribe as,

0)tv

svv()zp(

s=

+++

------------------------------------- 1.30 Concentrando la atencin en el rgimen permanente queda,

0svv)zp(

s=

++ --------------------------------------------- 1.31

que puede ser integrada directamente, constantevzp 221 =++ , o lo que es igual,

Hg2

vpz2

=++ ----------------------------------------------------- 1.32 que es una de las formas alternativas de la ecuacin de Bernoulli. Esta ecuacin puede aplicarse a lo largo de una lnea de corriente, en un fluido ideal sin rozamiento, pero la aplicacin de la misma en otra direccin exige que el fluido sea irrotacional. En canales el flujo irrotacional no se produce en condiciones normales y por consiguiente la ecuacin descrita no debe aplicarse entre distintos puntos de una seccin transversal. . . . 1.6 La ecuacin de cantidad de movimientos aplicada a un fluido en rgimen permanente.

Considrese, el elemento de fluido de la figura 1.10. Como el momentum y el impulso son cantidades vectoriales a lo largo de un eje x, ubicado en la horizontal, se tendr, Fxdt = mdv ---------------------------------------------------------- 1.33 que es una forma de escribir la segunda ley de Newton. Considrese que el rea transversal del elemento es dA con un valor diferente a la unidad. Si dFx representa la fuerza diferencial que acta sobre el elemento de fluido y es constante en un flujo que se comporta como permanente, entonces, dFx dt = d ( ds dA V)x --------------------------------------------- 1.34 dividiendo entre dt y multiplicando por ds/ds se obtiene,

dQ.dsds

dvdF xx = -------------------------------------------------- 1.35 como dQ es constante a lo largo de un tubo de corriente la integracin entre 1 y 2 conduce a, Fx = dQ (vx,2 vx,1) ---------------------------------------------- 1.36 y aplicando esta ultima expresin a la seccin de un canal considerada como un gran tubo de corriente se obtiene, Fx = (vx,2 vx,1) Q ------------------------------------------------ 1.37 que es la expresin simple de la ecuacin de impulsocantidad de movimiento aplicada a un fluido. 1.7 Ecuaciones para el rgimen impermanente. El rgimen impermanente al variar respecto al tiempo crea una complicacin adicional al formular la ecuacin de conservacin de la masa y la ecuacin del movimiento. Barre de Saint Venant, en 1871, desarroll por vez primera, las ecuaciones que describen este rgimen. Las suposiciones para el desarrollo de estas ecuaciones fueron: 1. flujo unidimensional, la profundidad y la velocidad varan

solamente en la direccin longitudinal del canal. Esto implica que la velocidad es constante en la seccin y que la superficie del agua es horizontal en cualquier seccin transversal perpendicular al eje longitudinal del canal.

27

2. flujo gradualmente variado de forma tal que la distribucin hidrosttica de presiones prevalece y las aceleraciones verticales pueden despreciarse.

3. El eje longitudinal del canal es casi una lnea recta. 4. La pendiente del fondo del canal es pequea y el lecho del

canal es de fondo fijo, es decir los efectos de socavacin y deposicin son despreciables.

5. Los coeficientes de resistencia para el rgimen uniforme turbulento son aplicables de tal forma que la ecuacin de Manning puede emplearse para tales fines.

6. El fluido es incompresible y de densidad constante en el tramo analizado.

1.7.1 Conservacin de la masa: ecuacin de continuidad.

FIGURA 1.11 ESQUEMA PARA LA SOLUCION DE LA ECUACION DE CONTINUIDAD EN REGIMEN IMPERMANENTE Considerando la conservacin de la masa en un espacio infinitesimal entre dos secciones de canal, figura 1.11, se tiene que, el caudal cambia segn Q/x, la profundidad segn y/t. entonces el cambio de volumen en el espacio y en el tiempo ser: [(Q/x) dx dt] -------------------------------------------------------- 1.38 y el cambio correspondiente al almacenamiento en un tramo de canal es: [Tdx (y/t) dt ] ------------------------------------------------------ 1.39 o sea, [dx (A/t) dt] ----------------------------------------------------- 1.40

como el fluido es incompresible, el cambio neto del volumen ms el cambio del almacenamiento debe ser cero. Debe tenerse en cuenta que si el gasto de entrada es mayor que el de salida, entonces (Q/x) es negativo y el almacenamiento positivo y viceversa. Al final puede plantearse que,

0dttyTdxdt.dx

xQ =

+

o sea que,

0tyT

xQ =

+ , pero se sabe que:

tA

tyT

= , y entonces,

0tA

xQ =

+ -------------------------------------------------------- 1.41 que es la primera forma de presentacin de la ecuacin de continuidad en forma conservativa del rgimen impermanente. Para algunos mtodos de solucin donde se emplean las ecuaciones que modelan el rgimen impermanente se utiliza la forma conservativa en que Q aparece como variable independiente, mientras que la forma no conservativa de estas ecuaciones es aquella donde v es la variable independiente. Como Q = vA en una seccin dada, entonces se puede transformar la ecuacin en, ( ) 0

tA

xvA =

+ , o lo que es igual a :

0tA

xvA

xAv =

++

, que a su vez se puede transformar en:

0tyT

xvA

xAv =

++

, que dividiendo entre T queda:

0ty

xvD

xyv =

++

----------------------------------------------- 1.42 que es otra de las expresiones muy empleadas de esta ecuacin de continuidad ahora presentada en su forma no conservativa. Para un canal rectangular de ancho de plato igual a b, la ecuacin 1.41 puede transformarse dividindola entre b y quedar:

29

0ty

xq =

+ -------------------------------------------------------- 1.43 Si el canal tiene una descarga lateral q (m2/s) la ecuacin 1.41 aparecer expresada as:

0'qtA

xQ =+

+ ---------------------------------------------------- 1.44 1.7.2 Ecuacin dinmica. Partiendo de la segunda ley de Newton y asumiendo que la pendiente es pequea, la distribucin de presiones es hidrosttica. La diferencia de presiones a lo largo de cualquier lnea horizontal tiene una magnitud igual a ( h) donde h es la diferencia entre las cotas del agua de las caras aguas arriba y aguas abajo del elemento.

FIGURA 1.12 ESQUEMA PARA EL DESARROLLO DE LA ECUACION DINAMICA La fuerza total sobre el elemento de ancho b tomando como positiva la direccin agua abajo, es: ( ) hbyF b = ---------------------------------------------------- 1.45 ntese que si el rgimen fuera uniforme las fuerzas fueran iguales y de sentido contrario, pero en el caso ejemplificado no solo son diferentes sino que adems la de aguas arriba es mayor que la que acta desde aguas abajo. Las fuerzas actuantes sobre el elemento, considerando toda la seccin de rea A, arroja como resultado: FA = -A h ----------------------------------------------------------- 1.46

La fuerza resistente dada por los esfuerzos a lo largo del permetro mojado de la seccin en el tramo de longitud x y que acta en direccin contraria a la direccin del flujo, es igual a, FR = 0 P x -------------------------------------------------------- 1.47 donde (P x) es el rea de actuacin de 0. Estas dos fuerzas no son en realidad paralelas pero puede asumirse as y entonces la fuerza neta en la direccin del flujo es: F = FA+ FR = -A h - 0 P x ---------------------------------- 1.48 por tanto la ecuacin de movimiento de Newton quedar, -A h - 0 P x = ma, que puede descomponerse en: -A h - 0 P x = (A x) (v t

vxv

+

) y al despejar 0 quedar:

xhR

tv

xvvR

xP

hAtv

xvvxA

0 +

+

=+

+

=

+

+=

tv

g1

xv

gv

xhR0 -------------------------------------- 1.49

La ecuacin de energa puede expresarse as,

g2vhH

2

+= y si se deriva respecto a x se tendr,

xv

gv

xh

g2vh

xxH 2

+

=

+

= ----------------------------------- 1.50 entonces la ecuacin 1.49 queda,

+

=tv

g1

xHR0 ---------------------------------------------- 1.51

Pero tambin puede escribirse de acuerdo a las hiptesis del rgimen variado (captulo 6) y empleando la ecuacin de Chezy (captulo 4), que,

RS 0f

= --------------------------------------------------------------- 1.52

31

por tanto podr escribirse que:

+

=tv

g1

xHSf

que una vez reubicados los trminos queda,

0Stv

g1

xH

f =++

------------------------------------------------- 1.53 que puede escribirse as, SE + SA +Sf = 0 ----------------------------------------------------- 1.54 donde SE es la pendiente de la rasante de energa SA es la pendiente de la aceleracin Sf es la pendiente friccional En el rgimen permanente el gradiente H/x es igual y de signo contrario a la pendiente de la rasante de energa, de hecho esta es su definicin. En el rgimen impermanente hay dos definiciones independientes y una viene dada por la ecuacin 1.50 y la otra por la 1.52. Como H = z + y +v2/2g el trmino H/x puede reescribirse as,

xv

gv

xyS

xv

gv

xy

xz

xH

0 +

+=+

+

= que ordenando convenientemente y sustituyendo H/x por la ecuacin 1.53, se convierte en:

0xv

gv

xyS

xH

0 =+

+

0Stv

g1

xv

gv

xyS f0 =+

++

+ , o lo que es igual,

tv

g1

xv

gv

xySS 0f

= ---------------------------------------- 1.55 ecuacin que describe al rgimen impermanente y variado, en su forma no conservativa, tal como la plantea Henderson (1966). En la ecuacin 1.55 el significado de cada agrupacin de trminos es:

0f SS = rgimen uniforme y permanente

xv

gv

xySS 0f

= rgimen variado y permanente

La forma conservativa de la ecuacin 1.55 es, ( )f0

2

SSxv

xA/Q

gA1

tQ

gA1 =+

-------------------------- 1.56 Chow (1959) llega al mismo resultado, que a su vez fue propuesto por Saint Venant, pero empleando la ecuacin de energa de otra forma. Otras formas de la ecuacin dinmica o de momentum para este rgimen lo son: forma conservativa.

0)SS(gxyg

AQ

xA1

tQ

A1

f0

2

=+

+

--------------------- 1.57 donde la interpretacin fsica de los trminos que gobiernan el flujo en la ecuacin de momentum es:

tQ

A1

Aceleracin local, la cual describe el cambio de momentum debido al cambio de la velocidad con el tiempo.

AQ

xA1 2

aceleracin convectiva, que describe el cambio de momentum debido al cambio de la velocidad a lo largo del canal.

xyg

fuerza de presin, proporcional al cambio de la profundidad. )SS(g f0

es la diferencia entre fuerza gravitacional y fuerza de friccin, proporcionales a la pendiente del fondo y a la pendiente de friccin respectivamente.

forma no conservativa para un elemento de ancho unitario.

0)SS(gxyg

xvv

tv

f0 =+

+ -------------------------------- 1.58 los trminos, de esta forma de la ecuacin, se interpretan as,

0)SS(g f0 = Onda cinemtica. Es el modelo ms simple, las fuerzas gravitacionales y de friccin se balancean unas a otras.

33

0)SS(gxyg f0 =

Onda de difusin. Es un modelo incompleto que incorpora al modelo anterior el trmino de presin.

El modelo completo que representa la ecuacin 1.57, 1.58 u otra, modelo de onda dinmica, junto a la ecuacin de continuidad, en cualquiera de sus formas (1.41, 1.42, etc), es el conjunto de ecuaciones que es capaz de representar con fidelidad el rgimen impermanente variado. Los modelos alternativos ms simples, formados por las variantes de la ecuacin dinmica y la ecuacin de continuidad, se emplean en casos particulares, en que no es necesario tener en cuenta todos los trminos de la onda dinmica. Los efectos tales como el de remanso, que implican una transmisin de informacin hacia aguas arriba, necesitan la onda dinmica para poder modelar el fenmeno, mientras que casos del rgimen supercrtico con propagacin aguas abajo, se modelan muy bien con la onda cinemtica. 1.8 Segundo criterio de clasificacin: fuerzas dominantes. El segundo criterio de clasificacin est en dependencia de la relacin entre las fuerzas: viscosidad, densidad y gravedad, de una masa de fluido. Efectos de la viscosidad. La relacin entre las fuerzas de inercia y viscosidad se representa por el nmero adimensional propuesto por Reynolds:

=== vL

vLLv

FVFINR

22

------------------------------------------- 1.59

donde: v est expresada en m/s, est expresada en m2 /s, L es una longitud caracterstica expresada en m.

FIGURA 1.13 RESULTADOS PARA CANALES LISOS EXPRESADOS GRAFICAMENTE DE FORMA SIMPLE RESPECTO A LOS ORIGINALES EXPUESTOS POR CHOW. De acuerdo e esta clasificacin el flujo ser laminar, transicional o turbulento, de acuerdo a los lmites que aparecen en la tabla 1.2.

Tuberas Clasificacin Canales NR 500 laminar NR 500

500 2 000

TABLA 1.2 LIMITES DE CLASIFICACION RESPECTO A NR. Estos tipos de flujo pueden expresarse grficamente en funcin del nmero de Reynolds y el factor de friccin, conocido usualmente como el diagrama de Stanton (1914), que fue desarrollado para el

35

flujo en tuberas. Utilizando el factor de friccin de la frmula de Darcy-Weibach, f, se puede escribir,

hfLv

g2df 2

0= --------------------------------------------------------- 1.60 si se sustituye d0 = 4R y hf/L Se = S, entonces:

2vgRS8f = -------------------------------------------------------- 1.61

que s puede aplicarse al flujo uniforme en canales. Numerosos experimentos de la relacin f-NR en canales realizados por la Universidad Illinois y Minnesota proveen un diagrama para definir la ocurrencia de uno u otro estado del flujo, figura 1.13. En el caso de los canales con superficie lisa se pueden obtener las siguientes conclusiones: - El rgimen transicional no esta tan bien definido como en

tuberas y se acepta entre 500 y 2000. - Los datos de la regin laminar conducen a una relacin tal

como

NRkf = ----------------------------------------------------------- 1.62

donde:

vSgR8k

2

= ------------------------------------------------------ 1.63 Como v y R tienen valores especficos para una geometra de canal dada, k es un factor dependiente solo de la seccin transversal del canal.

FIGURA 1.14 RESULTADOS PARA CANALES RUGOSOS DADOS POR CHOW. Para flujo laminar en canales lisos el valor de k puede hallarse tericamente en el diagrama f NR, k 24 para secciones rectangulares y k 14 en triangulares. Los datos del flujo turbulento en canales lisos coinciden con la ley de distribucin en el caso de tuberas lisas y demuestran adems que la seccin no tiene un papel significativo.

37

En el caso de canales rugosos, figura 1.14, los datos recolectados en la Universidad de Minnesota y los colectados por Kirchmer, Eissner, Kozeny y otros muestran otro comportamiento: - En la regin laminar NR/kf = sigue siendo vlida slo que k es

ms alto que en canales lisos (60 a 33) indicando la influencia de la rugosidad en el factor de friccin.

- En la regin turbulenta la geometra de la seccin tiene un

pronunciado efecto en f. Para un grado de rugosidad constante f decrece si la seccin es rectangular, triangular, trapecial y circular. Esto lo explican Prandtl y Kirschmer por la aparicin del flujo secundario.

- En la regin turbulenta muchos puntos aparecen en tendencias

paralelas a la curva de Prandtl Von Karman. - Cuando NR es muy alto, las curvas tienden a la horizontal

llegando al estado denominado turbulencia total. Entonces f es independiente de NR y slo es funcin de f = f (rugosidad, R y geometra).

En muchos canales el flujo laminar nunca ocurre, si la superficie del agua aparece suave y lisa a un observador no indica que el flujo sea laminar, probable es que la velocidad superficial sea ms baja que la requerida para que se formen ondas superficiales. Efecto de la gravedad. La relacin entre inercia y gravedad se cuantifica con el nmero de Froude (NF).

gLv

gLLv

FGFI 2

3

22

== -------------------------------------------------- 1.64

en este caso,

gLv

gLv

FGFINF

2

=== ----------------------------------------- 1.65

donde: v en m/s g en m2/s L longitud caracterstica en m. Cuando NF=1 hay equilibrio entre FI y FG y se dice que el

flujo es crtico. Cuando NF1 hay predominio de la FI y se denomina

supercrtico. El denominador del NF es la celeridad (c) de una onda elemental gravitacional movindose en aguas poco profundas. Para este caso, figura 1.15, una onda impermanente es creada por el movimiento de la pared y el observador ve su traslado de izquierda a derecha.

FIGURA 1.15 ESQUEMA DE LA GENERACION DE UNA ONDA DE GRAVEDAD. En la figura de la derecha, el observador se mueve de izquierda a derecha a velocidad igual a c y por tanto respecto a ese sistema de coordenadas las velocidades cambian y el flujo se hace permanente. Si se aplica la ecuacin de Continuidad para flujo permanente y unidimensional se tiene, cy = (y + y) (c - v) ------------------------------------------------ 1.66 simplificando:

yvyc

= ------------------------------------------------------------- 1.67

39

Segn el principio de momentum para flujo permanente unidimensional, se tiene que: FEXTERNAS = momentum que aplicndolo al caso de estudio se obtiene lo siguiente,

[ ]c)vc(cy)yy(21y

21 22 =+ o sea que:

cg

yv =

-------------------------------------------------------------- 1.68 sustituyendo 1.10 en 1.11, queda c/gyc = , o sea,

gyc = ------------------------------------------------------------ 1.69 Si asumimos que D y lo cual es especialmente cierto en canales anchos, entonces la celeridad de una onda de gravedad es igual al denominador del nmero de Froude. Esta ocurrencia es especialmente importante para el conocimiento e interpretacin de los flujos subcrticos y supercrticos. Otros nmeros adimensionales utilizados para propsitos similares son:

Factor cintico: gLvNF

22 = (Rehbock 1919, Bakhmeteff 1932)

nmero de Boussinesq: gR2

vB = (Engel 1933)

Razn velocidad carga: gL2vk

2= (Stevens 1944, Posey 1944) 1. 9 Invariante en el estudio de las Conducciones Libres. En la clasificacin del flujo en canales, en funcin del espacio y del tiempo, surgen cuatro alternativas de flujo. De ellas la prcticamente improbable es el uniforme impermanente, mientras que las otras tres estn presentes en muchas conducciones libres, a

veces dominando toda la conduccin, a veces establecindose transitoriamente en un tramo. El estudio y clculo del rgimen permanente y uniforme y del rgimen variado, permanente o impermanente, presenta una caracterstica peculiar, un rasgo distintivo y es la invariante de estos regmenes de flujo. Aquello que se presenta en todos y que representa el objetivo esencial del clculo: la superficie del flujo. Esto es, cuando se conozca la superficie del flujo cualitativa y cuantitativamente el problema que se enfrenta estar resuelto. De ella dependen las otras variables y hacia ella van dirigidos todos los clculos. An en aquellos casos particulares, como las transiciones en rgimen subcrtico, donde el final del clculo son las cotas del perfil del fondo, la definicin de la superficie del flujo es de vital importancia para conseguir el objetivo final. Por esta razn las estrategias para el clculo y los algoritmos especficos para su desarrollo irn dirigidos a: calcular la profundidad normal si el rgimen es uniforme. calcular las profundidades de circulacin en cada seccin si el

rgimen es variado permanente. calcular las profundidades de circulacin y la velocidad en

cada seccin si el rgimen es variado impermanente. Conocido lo anterior el problema en cuestin estar resuelto, o, si es un diseo de la conduccin, o de una obra, o una comprobacin de operacin estar en vas de segura solucin. 1.10 Comunicacin: subcrtico y supercrtico. En el caso de NF

41

El anlisis del fenmeno fsico de la propagacin da los siguientes esquemas, figura 1.16, posibles: a) Propagacin en aguas tranquilas. b) Propagacin en flujo subcrtico. c) Propagacin en flujo crtico. d) Propagacin en flujo supercrtico. En el caso del flujo supercrtico el valor de es:

NF1

vcsen == ------------------------------------------------ 1.70

FIGURA 1.16 CASOS DE PROPAGACION La celeridad c debe ser distinguida de la velocidad absoluta de la onda (v c). La celeridad es la velocidad de la onda relativa a la velocidad del flujo. 1.11 flujos estratificados. French (1985) plantea que los flujos estratificados son aquellos en que por el rea mojada circulan lquidos de diferentes densidades, figura 1.17. En el caso del flujo estratificado se utiliza el concepto de nmero de Froude densimtrico segn:

L g

vNFD

= ------------------------------------------------ 1.71

donde: v en m/s g en m2/s = 1 - 2 en cualquier unidad L: longitud caracterstica, usualmente menor de y1 y y2

FIGURA 1.17 ESQUEMA DE UN FLUJO ESTRATIFICADO. La interpretacin de NFD es anloga a la anterior. Como el flujo en muchos canales est gobernado por los efectos de la gravedad, un modelo utilizado para simular un prototipo debe ser diseado con igual NFD que el prototipo. En el caso de flujos estratificados sobre la base de la variacin de la densidad;

- Si la densidad es constante el flujo es homogneo. - Si no lo es (vara en alguna direccin) es estratificado.

La velocidad del flujo en canales es suficientemente compleja para no permitir con facilidad flujos estratificados, o sea, en flujos estratificados la efectividad del mezclado disminuye. La estratificacin se mide con el nmero de Richarson:

)yv()y(gRi

= ----------------------------------------------------- 1.72 donde, g en m2/s en kg/m3

43

Cuando v/y < /y ; Ri es grande y la estratificacin es estable.

Cuando v/y > /y ; Ri es pequeo, o sea, Ri 0 y el flujo se acerca al homogneo.

1.12 Modelacin matemtica y fsica de los problemas en canales. Para la solucin numrica de los problemas de la hidrulica de canales se tiene como base fundamental los tres principios derivados de la fsica: Conservacin de la masa Conservacin de la energa. Impulsocantidad de movimiento: conservacin del

momentum. Adems de lo anterior, se cuenta con una ampla gama de ecuaciones obtenidas como resultados de la observacin y la medicin de experimentos de laboratorio y en proceso de la vida real, con lo cual, los modelos matemticos pueden ser preparados para solucionar muchos de los problemas que se presentan cotidianamente. No obstante, an no es suficiente los estudios experimentales, ni los resultados de las mediciones de campo y alguno de los problemas en canales, ms que en otras ramas de la hidrulica, deben ser reproducidos en laboratorio, a escala reducida, para su estudio y adecuacin del modelo matemtico a las condiciones reales de comportamiento del objeto de estudio o para complementar el estudio previo realizado numricamente De esta forma, problemas relacionados con el transporte y la erosin, los flujos curvilneos, el rgimen impermanente, los fenmenos de dispersin y difusin, problemas asociados a canales no prismticos y otros muchos deben ser modelados fsica y matemticamente. Es un modelo fsico dos criterios deben cumplirse: Modelo y prototipo sern geomtricamente similares.

Modelo y prototipo sern dinmicamente similares. Los requerimientos de similitud geomtrica establecen una relacin de escala de longitudes entre modelo y prototipo. Los de similitud dinmica requieren que ambos, modelo y prototipo, tengan patrones similares de flujo. O sea, que las fuerzas que actan sobre cada elemento del fluido estn en la misma proporcin. Una aproximacin al desarrollo de parmetros apropiados que aseguren la similaridad dinmica es el escalado de las ecuaciones gobernantes. La igualdad del nmero de Froude requiere que:

pp

p

MM

M

Lgv

Lgv = --------------------------------------------------- 1.73

RRR Lgv = -------------------------------------------------------- 1.74

donde el subndice M designa al modelo, P al prototipo y R a la relacin prototipo-modelo. El requerimiento de igualdad en el nmero de Reynolds hace que:

RR

RR L

v = ----------------------------------------------------------- 1.75

Si suponemos que gR = 1, entonces combinando 1.72 y 1.73, se obtiene,

32

32

RR

RRL =

= -------------------------------------------------- 1.76

donde es la viscosidad cinemtica. De esta forma puede estimarse un modelo fsico exacto de una conduccin libre y por tanto slo hay un grado de libertad para el diseador: escoger el fluido del modelo.

45

Como los valores de , para los fluidos comnmente asequibles, son muy limitados, usualmente resulta el modelo y el prototipo de igual dimensin. Y como conclusin : un modelo fsico exacto de un flujo en conducciones libres es virtualmente imposible. De esta forma en muchos casos se desprecia, sin incurrir en errores importantes, el efecto de la viscosidad y los modelos se construyen slo con la igualdad del nmero de Froude. Entonces:

RRR Lgv = --------------------------------------------------------- 1.77 donde, TR es la razn de la escala de tiempos. En este caso deben vigilarse dos cuestiones: 1. Que en el modelo los efectos de viscosidad sean dominantes, o

sea, si NRp turbulento, NRM turbulento. 2. En los casos en que los efectos friccionales sean importantes

entonces se simularn los efectos de la rugosidad perifrica en vez de simular la igualdad de los nmeros de Reynolds.

Por ejemplo, en la similitud respecto al nmero de Froude, las relaciones prototipo-modelo dan los siguientes resultados, tal como lo plantea Henderson, Velocidad: 21RR Lv = ------------------------------------------------ 1.78 Gasto: 25R

2RRR LLvQ == --------------------------------------------- 1.79

Masa: 3RRR Lm = --------------------------------------------------- 1.80 Longitud: LR = LR -------------------------------------------------- 1.81 Tiempo: 21R

1RRR LvLT == ------------------------------------------- 1.82

Fuerza: 3RR2RRRR LTLmF == ----------------------------------- 1.83 Presin: RR2RRr LLFp == ----------------------------------------- 1.84 En el caso del flujo estratificado el modelo se har en funcin del nmero de Froude densimtrico (NFD).

=gL

vNFD ---------------------------------------------------- 1.85

donde, es la diferencia entre las densidades de las capas. L es usualmente la profundidad del flujo de la capa

inferior, figura 1.17. Entonces puede escribirse:

1D yg

vNF = ------------------------------------------------------- 1.86 donde, g = g(1 - 2)/ . Y entonces su empleo es similar al nmero de Froude clsico. En los casos especiales donde se generen pequeas ondas en el modelo la tensin superficial debe considerarse y el parmetro que mide la magnitud relativa entre la fuerza de inercia y capilaridad es el nmero de Weber.

= LvW

2

e -------------------------------------------------------- 1.87

donde, es la tensin superficial por unidad de longitud. Otras fuerzas que diferentes a la gravedad y que pueden influir en los modelos de conducciones libres son la tensin superficial y la capilaridad, pero si las profundidades y el ancho de los canales no son menores de 25 mm, esto no tiene efectos apreciables. El trmino efecto de escala se introduce en esta especialidad, para nombrar las pequeas distorsiones introducidas por fuerzas no tomadas en cuenta en el modelo y que afectan no aproximadamente el comportamiento del mismo. Por ltimo, como cuestin general, debe sealarse que en canales existen dos tipos de modelos bien diferentes en cuanto a diseo y respuesta que se buscan de l: los modelos de fondo mvil y los modelos de fondo fijo.

47

Adems, deben tomarse en consideracin al disear y construir un modelo la posible distorsin de escalas (horizontal y vertical) en modelos tales como los necesarios para un ro (ancho y relativamente poco profundo). En estos casos el tratamiento del escalado respecto al nmero de Froude difiere de lo clsico y necesita un estudio especfico.

VISTA AEREA DE UN TRAMO DE UNA CONDUCCION LIBRE EN EL CRUCE CON UN VIAL DE VARIAS SENDAS.

________________________________________________________________________El Principio de energa y sus aplicaciones 49

2 EL PRINCIPIO DE ENERGA Y SUS APLICACIONES

Se destacan en este tema los aspectos importantes en la obtencin de las ecuaciones derivadas de la aplicacin de este principio al flujo en canales. A partir de la ecuacin de Bernoulli y de la utilizacin de la ecuacin de energa en su forma diferencial se llegan a obtener interesantes conclusiones respecto al comportamiento de la superficie del agua en rgimen permanente. Poco a poco se van haciendo visibles algunas de sus aplicaciones, aunque una de las ms importantes, referente al anlisis cualitativo y clculo del rgimen gradualmente variado, se estudiaran en un tema aparte. Se aborda en este captulo lo referente a la importancia, las propiedades y clculo del rgimen crtico. 2.1 La ecuacin de energa. El principio de conservacin de la energa es el eje central de muchos de los tratamientos numricos que se establecen para solucionar los problemas relacionados con el flujo del agua en canales. La energa total (H) de una masa de agua circulando por un canal, viene dada por:

g2vpzH

2

++=

--------------------------------------------------- 2.1

________________________________________________ 50 Hidrulica de las Conducciones Libres

que aplicada entre dos secciones de un canal aparece como la conocida ecuacin de Bernoulli o principio de conservacin de la energa,

2121 hfHH += -------------------------------------------------------- 2.2

FIGURA 2.1 PERFIL DE UN CANAL ENTRE DOS SECCIONES.

En la ecuacin de la energa la suma de (z+p/) define la cota de la rasante piezomtrica sobre el datum y es un coeficiente de correccin de la carga a velocidad, que surge para eliminar el error que se produce al considerar el trmino v como representativo de la media de la distribucin real de velocidades que existe en la seccin. 2.1.1 El valor de . Citado por Chow (1959), el coeficiente de correccin fue originalmente introducido por G. Coriolis, en 1836. Basado en la ecuacin de momentum, J. Boussinesq, en 1877, propone un coeficiente semejante denominado cumplindose que 1 . Para canales de seccin transversal simple, la determinacin de este coeficiente se realiza sobre la base de consideraciones tericas.


Si se considera Ec como la energa del agua (peso de la masa de agua * carga a velocidad), entonces,

g2v*dA*v*

g2v*dQ*dE

22

c == .

o lo que es lo mismo,

dA*g2

v*dE3

c = y la energa cintica total ser:

= dAvg2E 3c ------------------------------------------------------- 2.3 Tambin puede escribirse que,

vvc h*A*v*h*Q*E == --------------------------------------- 2.4 Entonces igualando las expresiones 2.3 y 2.4 se tiene,

)g2

v(Av

dAv

Avg2

dAvh

2

3

33

v ==

o sea,

g2vh

2

v = ------------------------------------------------------------- 2.5

y de ah que la ecuacin de clculo de sea,

Av

dAv3

3=

que expresada en incrementos finitos, se convierte en la ecuacin de trabajo,

Av

A*v

3

n

1i

3i

=

= ------------------------------------------------------ 2.6

donde n representa el nmero total de puntos en que se discretiz la seccin transversal.


Th. Rehbock, Berln 1922, suponiendo una distribucin de velocidades lineales en la vertical, aproxima el clculo de los coeficiente y con: = 1+2 y en el otro caso con = 1 + 2/ 3. El valor del coeficiente se determina segn: = (vMAX / v)-1, donde v es la velocidad media y vMAX la velocidad mxima de la seccin estudiada. Chow, en 1959, empleando una distribucin logartmica de velocidades en la vertical, recomienda para: = 1 +32 - 23 y para = 1 + 2. Estas mismas expresiones pero con el clculo de empleando la velocidad cortante (captulo 4): = 2.5 (v* / v), siendo para el rgimen uniforme: v* = (gRS0)1/2, son empleadas por Damei Li y Hager en 1990. Watts, en 1967, estudiando seis ramales del proyecto Colorado Big Thompson, concluye su trabajo exponiendo que ambos coeficientes pueden considerarse constantes, para propsitos prcticos, e iguales a: = 1.04 y = 1.02. Hulsing y sus colaboradores, recomiendan en un reporte del Geological Survey, en 1966, que se considere el valor de con incrementos lineales de acuerdo a la variacin del coeficiente de rugosidad de Manning (captulo 5). Adicionalmente los experimentos realizados recomendaron una relacin entre coeficientes de,

35

1=

Esta ltima suposicin fue confirmada por Jaeger en 1949 y posteriormente en 1968, pero solo para rgimen uniforme. Posterior a esto, en 1971, Mazumder propone un resultado para expansiones subcrticas, siempre que < 1.65,

===)*48,0exp(

)*96,0exp(


Ya en 1983, en el Congreso de la IAHR celebrado en Mosc, los blgaros Ivanov y Bocheva, asumiendo que la velocidad mxima se encuentra en la superficie, proponen el clculo de segn, = a + (1-a)(vMAX/v)3 siendo a un coeficiente emprico. Para ros de los Estados Unidos de Norteamrica se encontr un valor de a = 0,911 mientras que para ros blgaros a = 0,865. En el trabajo se plantea emplear valores de: a = 0,935 para canales con (vMAX/v) 1,2. a = 0,920 para canales y ros con (vMAX/v) 1,3. En 1990, Damei Li y H.Hager empleando las propuestas de Chow y el clculo de segn se expreso anteriormente, proponen un coeficiente , que se expresa en trminos exclusivos de rugosidad relativa como = /2,5 = ng1/2R-1/6. De esta forma se puede relacionar , y , segn aparece reflejado en la figura 2.2 y queda esclarecido la fuerte dependencia de y con el coeficiente n de la frmula de Manning y la pobre dependencia con el valor del radio hidrulico de la seccin. Por ltimo ratifican el uso de los coeficientes como valores constantes para cada caso particular de rugosidad.

FIGURA 2.2 RELACIONES ENTRE , Y .

1

1.05

1.1

1.15

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1


. MATERIAL vMAX/v Cemento 1.2 Madera en duelas 1.2 Grava fina 1.3 Grava gruesa 1.41 Roca con grandes cantos 2.5 a 1.92 Grava con pasto y arbustos 2.17 a 1.33 Grava gruesa y piedra 1.72 a 1.43 Grava 1.61 a 1.33 Limo y arena 1.54 a 1.21 Madera, concreto y ladrillo 1.43 a 1.09

TABLA 2.1 VALORES OBTENIDOS POR REHBOCK. En la frmula de Ivanov-Bosheva la determinacin de la velocidad mxima del flujo de agua implica mediciones in situ en las condiciones iguales o semejantes en que va a operar la obra. Esto en el mbito de clculo de gabinete es difcil, por lo que la tabla 2.1 puede ayudar a resolver algunas situaciones especficas. La frmula de Bazin, referenciada por Sotelo (1989), para calcular el valor de , es la siguiente,

2C2101+=

donde C representa la C de Chezy calculada segn la frmula de Bazin para el rgimen uniforme (Captulo 5).

VALORES DE VALORES DE CANALES Min. Med. Max. Min. Med. Max.

Acueductos 1.10 1.15 1.20 1.03 1.05 1.07 Canales regulares 1.10 1.15 1.20 1.03 1.05 1.07 Ros en llano y montaa 1.15 1.30 1.50 1.05 1.10 1.17 Ros cubiertos de hielo 1.20 1.50 2.00 1.07 1.17 1.33 Ros de valle 1.50 1.75 2.00 1.17 1.25 1.33

TABLA 2.2 DATOS DE Y PARA ALGUNOS CANALES OBTENIDOS POR KOLUPAILA Y REFERENCIADOS POR CHOW (1959).


Algunos datos acerca de y valores del coeficiente para la correccin del momentum (Captulo 3) aparecen en la tabla 2.2 como indicativos de los valores que se pueden encontrar en la prctica. En el caso de las secciones compuestas el valor de estos coeficientes implica subdividir la seccin en subsecciones de igual valor del coeficiente n de Manning, figura 2.3, y entonces el clculo se realiza de forma diferente. Chow (1959), propone calcularlos as,

23

m

1i2i

3i

AKA

K== ---------------------------------------------------------- 2.7

donde Ai son las reas parciales en que se divide la seccin Ki son los mdulos de gastos correspondientes a cada rea parcial (captulo 5).

i

3/2ii

i nRAK =

m son las subdivisones de la seccin.

FIGURA 2.3 ESQUEMA DE UNA SECCION COMPUESTA CON SUS SUBDIVISIONES. Esta frmula fue ratificada en 1966 por Henderson (1966) y se utiliza por numerosos autores. El HEC-RAS (1997), programa del Hydrologic Engineering Center, plantea emplearla determinando los mdulos de gasto de


cada margen y del cauce principal y al final componerlos para el clculo de , segn:

++=

=

=2m

1ii

3m

1ii

2md

3md

2cp

3cp

2mi

3mi

A

K

)AK

A

K

AK

(

------------------------------------------ 2. 8

donde el clculo de K y A para las mrgenes y el cauce principal se realiza primero,

==

==q

1jjmd

p

1jjmi AAAA

==

==q

1jjmd

p

1jjmi KKKK

2.2.2 Campo de aplicaciones. La ecuacin de energa (ecuacin 2.2) expuesta en la forma que ms til sea para su aplicacin, representa la posibilidad de resolver numricamente una sola incgnita y por tanto su aplicacin se limita a aquellos casos en que: se conocen todas las incgnitas de las secciones y el objetivo

del clculo es el trmino de las prdidas de energa. se conocen cinco de las incgnitas del flujo y por alguna

formulacin emprica, las prdidas de energa para el suceso que se est analizando y de esta forma la ecuacin nos posibilita conocer la incgnita restante.

En las aplicaciones de esta ecuacin debe asegurarse que:


las fluctuaciones provocadas por la turbulencia sean despreciables

que no existan componentes apreciables de la aceleracin el plano de la seccin transversal.

que las lneas de corriente no tengan ni curvatura ni divergencia.

que la presin hidrosttica prevalezca. En la prctica la mayora de los flujos uniformes y variados cumplen con estas condiciones. 2.2 La energa especfica. El trmino p/ en los canales y conducciones libres representa la carga de agua que se elevara en un piezmetro, colocado verticalmente en el fondo de la seccin que se analiza y puede representarse entonces por la letra h,

h/p = ----------------------------------------------------------------- 2.9 quedando la ecuacin de la energa expresada as,

g2vhzH

2

++= ---------------------------------------------------- 2.10 En la prctica si la inclinacin del fondo del canal es 100 o sea S0 0,1763; el valor del coseno del ngulo es muy semejante a la unidad (cos 100 = 0.9848...) y entonces, haciendo las relaciones geomtricas necesarias, podra escribirse,

= cos*dh --------------------------------------------------------- 2.11 = cos*yd ---------------------------------------------------------- 2.12

por tanto, = 2cos*yh -------------------------------------------------------- 2.13

y para este caso, h d y. En este caso la distribucin de presiones en la seccin puede aceptarse como hidrosttica.


Hay autores que son ms exigentes con la similitud y solo aceptan valores de menores que 60 (cos 60 = 0.9945...) o lo que es igual S0 0,1051. Si en estas condiciones se hace coincidir el datum con el fondo del canal, queda la ecuacin de la energa como,

g2vhE

2

+= -------------------------------------------------------- 2.14

FIGURA 2.4 PERFIL DEL CANAL EN UN TRAMO CON PENDIENTE DE FONDO SUAVE. y para el caso particular de inclinaciones pequeas respecto a la horizontal,

g2vyE

2

+= ------------------------------------------------------- 2.15 que es la denominada ecuacin de la energa especfica. Si la pendiente del fondo del canal es fuerte, 100, la profundidad medida en el piezmetro es significativamente diferente a la profundidad medida en la vertical y a la profundidad medida en la seccin transversal del canal. En este caso, cos 1, entonces:

= cos*yd ---------------------------------------------------------- 2.16 == 2cosycosdh ----------------------------------------------- 2.17


la distribucin de presiones ser lineal, figura 2.3 y la ecuacin de la energa especfica se escribir as,

g2vcos*yE

22 += --------------------------------------------- 2.18

FIGURA 2.4 b PERFIL DE UN CANAL EN UN TRAMO CON PENDIENTE DE FONDO FUERTE En el caso de los canales con curvatura en el fondo, en que las lneas de corriente tienen un grado considerable de curvatura el flujo se denomina curvilneo, la distribucin de presiones es afectada por las fuerzas de Coriolis, reforzndose en el caso de fondos cncavos, figura 2.4 c, y disminuyndose en el caso de fondos convexos, figura 2.4 d.

( c ) d )


FIGURA 2.4 c, d. PERFIL DE UN TRAMO DE CANAL CON PENDIENTE DE FONDO CURVILINEA. La distribucin de presiones se puede calcular segn la expresin, h h cci i i= --------------------------------------------------------- 2.21 donde ci es un factor de correccin para el clculo de la carga a presin. Segn la segunda ley del movimiento de Newton, la presin centrifuga puede calcularse como el producto de la masa de altura hi y ancho unitario por la aceleracin, o sea,

c hg

vri

i i

i

= *2

--------------------------------------------------------- 2.22

siendo, ci el factor de correccin para el punto i hi la profundidad del punto i ri el radio de curvatura hasta el punto i vi la velocidad puntual, que en caso de no conocerse se utiliza la velocidad media ( v ) Se puede llegar a la conclusin, que para un canal, la frmula general para la determinacin de la altura que alcanza el agua en un piezmetro colocado en una seccin vertical hasta tocar el fondo del canal, es: p y y

gvr

= * cos * cos *22 2

------------------------------- 2.23

aproximndose la velocidad del fondo a la velocidad media del flujo. De aqu puede deducirse que la frmula de la energa especfica para un canal de fondo curvilneo ser:

E y yg

vr

vg

=

+* cos * cos *22 2 2

2 --------------------- 2.24

La frmula general anterior es aplicable a cualquier caso de canal de fondo plano o curvo, con mucha o poca pendiente. Su empleo


proporciona la posibilidad de estimar el error que se producir al emplear una frmula simplificada. 2.3 Un anlisis a la ecuacin E=(y): subcrtico, crtico y supercrtico. Si para simplificar la obtencin del resultado se considera cos 1 y 1, entonces la ecuacin de la energa especfica se simplifica a:

E y vg

y QgA

= + = +2 2

22 2 ------------------------------------------ 2.25

esta ecuacin puede enunciarse as: E

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