HFF Kis-Zombori - Valószínűségszámítás feladatok, megoldással (2009, 22 oldal)

Heller Farkas Gazdasági és Turisztikai Szolgáltatások Főiskolája

Levelező tagozat

GAZDASÁGI MATEMATIKA II. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS

Gyakorló feladatok

Összeállította: Kis Márta és Zombori Natasa

Heller Farkas Főiskola Levelező tagozat Valószínűség-számítás

2

Kedves Hallgatók! A példatárban megjelölt feladatokon kívül az alábbi gyakorló feladatok segítik a gazdasági matematika II. vizsgára a felkészülést. A feladatok témakörönkénti csoportosítása lehetővé teszi, hogy folyamatosan, a tanult anyagot követően oldják meg a példákat. Az összeállításnál a saját példáinkon kívül felhasználtuk a következő példatárak feladatait is:

Feladatgyűjtemény a gazdasági matematikához I. BGF KVIF, Budapest, 2003. (Szer-zők: Czétényi-Felber-Rejtő-Zimányi)

Feladatgyűjtemény a gazdasági matematikához II. BGF KVIF, Budapest, 2002. (Szerzők: Czétényi-Ligeti-Lőrincz)

Valószínűségszámítás Példatár, Tatabánya, 2002. (Szerző: Nagyné Csóti Beáta) Operációkutatás Példatár, Budapest, 2002. (Szerzők: Brunner, Kis, Dr. Kovács, Dr.

Máté) 2009. febr.1. Kis Márta és Zombori Natasa

Valószínűség-számítás

Gyakorló feladatok Mátrixok 1. Egy bevásárló központban négy napon át felmérést végeztek, három újonnan bevezetett

termék: konzerv, csokoládé, kávé forgalmáról. A fenti termékek eladott darabszámát az alábbi táblázat tartalmazza.

A Konzerv Csokoládé Kávé

Hétfő 250 180 160 Kedd 180 120 110

Szerda 50 150 30 Csütörtök 70 210 140

Mártixműveletekkel számítsa ki és értelmezze a kapott eredményt! a. ( ) Aee ⋅− *

2*1

b. 1⋅A Írja le mátrixműveletekkel és számítsa ki, hogy c. hány darabot adtak el a különbözó fajta termékekből! d. hány doboz csokoládét adtak el szerdán!

2. Egy iskolai büfé napi gyümölcs-forgalma a diákok körében a következőképpen alakult:

A alma körte mandarin alsósok 10 30 55 felsősök 40 20 15

gimnazisták 33 33 33

A gyümölcsök árat a fenti sorrendben az ( )20,15,10* =a árvektor tartalmazza. Mártixműveletekkel számítsa ki és értelmezze a kapott eredményt!


3

a. 1*1 eA ⋅⋅

b. aAe ⋅⋅*1

c. aA ⋅⋅*1 Írja le mátrixműveletekkel és számítsa ki, d. hogy fajtánként mennyi gyümölcs fogyott! e. hogy mennyit költöttek a gimnazisták körtére!

Kombinatorika 1. Egy cégnél három osztályvezető, hat csoportvezető és harminc beosztott dolgozik. Hányfé-

leképpen választhatunk ki közülük egy küldöttséget, melyben egy osztályvezető, két cso-portvezető és tíz beosztott szerepel? Hányféleképpen tehetjük ezt, ha a kereskedelmi osz-tály vezetője és az áruforgalmi csoport vezetője mindenképpen a küldöttek között kell, hogy legyenek?

2. Hány „szót” képezhetünk az A, E, I, O, Ü magán- és B, C, D, F mássalhangzókból úgy,

hogy minden „szóban” 4 magán- és 4 mássalhangzó legyen, két magán- illetve két mással-hangzó egymás mellé ne kerüljön, és minden mássalhangzó csak egyszer szerepeljen?

3. a. Hányféleképpen osztható ki 10 személy között 2 db 5000 Ft-os, 3 db 2000 Ft-os és 4 db

500 Ft-os jutalom? b. Egy önkiszolgáló étterem pultján 6 tányér leves és 9 tányér főzelék áll. (Mind különbö-

ző.) Hányféle lehet egy 4 fős társaság együttes fogyasztása, ha mindenki eszik levest is, fő-zeléket is?

4. Egy üzletlánc 10 fős reklámrészlege olyan feladatot kap, hogy a cég 3 arculatváltozásával

ismertesse meg a közönséget. Hányféleképpen oszthatják ki maguk között a három mun-kát, ha a. egy fő legfeljebb egy arculatváltozással kapcsolatos reklámon dolgozhat, b. egy fő több arculatváltozást bemutató reklámon is kidolgozhat, c. minden arculatváltozást bemutató reklámon kétfős munkacsoport dolgozik, és egy em-

ber legfeljebb egy munkacsoportban lehet? 5. Öt házaspár foglal helyet egy padon. Hányféleképpen helyezkedhetnek el, ha a házastár-

sak egymás mellett akarnak ülni, de sem két nő, sem két férfi nem ülhet egymás mellé? Eseményalgebra 1. Két helység között három távbeszélővonalon folyhat beszélgetés. Jelentse „A” azt, hogy az

első vonal hibás, „B” azt, hogy a második, a „C” pedig azt, hogy a harmadik. Fejezze ki A, B, C segítségével a következő eseményeket: a. csak az első vonal hibás b. az első kettő hibás, a harmadik nem c. legalább az egyik hibás d. mindhárom vonal hibás e. legalább két vonal hibás f. pontosan egy vonal hibás g. pontosan két vonal hibás h. egyik vonal sem hibás i. legfeljebb egy vonal hibás j. legfeljebb két vonal hibás


4

k. a második nem hibás, de az első és a harmadik közül legalább az egyik hibás.

2. Egy nehéz anyagi körülmények között élő család egy év alatt – egymástól függetlenül – 0,3 valószínűséggel kap az önkormányzattól, 0,4 valószínűséggel valamely egyházi szervezettől segélyt, és 0,1 valószínűséggel nyer egy szerencsejátékon. Vezesse be a fent megfogalmazott három eseményre rendre az A, B, illetve C jelölést! Adja meg eseményalgebrai műveletek-kel a következő összetett eseményeket, majd számolja ki az események valószínűségét! a. Csak szerencsejátékon nyeréssel tesz szert kiegészítő összegre a család a fenti három

pénzforrás közül. b. A fentiek közül pontosan két pénzforrás által jut plusz pénzforráshoz a család egy év

alatt.

3. Egy brókercégnél egy alkalmazott háromféle részvénnyel kereskedik egy adott napon. Je-lentse az „A” azt, hogy az adott napon kötött üzletet az első fajta, „B” azt, hogy kötött üz-letet a második fajta, „C” azt, hogy kötött üzletet a harmadik fajta részvényre. Fogalmaz-za meg, hogy mit jelentenek az alábbi események: a. BA∪ b. CBA ∩∪ c. CBA ∩∩ d. CBA ∩∩ e. CBA ∩∪ f. )( CBA ∪∪ \ )( CBA ∩∩ g. )()()( CBCABA ∩∪∩∪∩ h. CBA ∪∪ i. CBA ∩∩ j. A k. CBA ∩∩ l. )()()()( CBACBACBACBA ∩∩∪∩∩∪∩∩∪∩∩ Formalizálja a következő eseményeket: a. az adott napon nem mindegyik fajta részvényre kötött üzletet, b. pontosan kétféle részvénnyel kereskedett az adott napon,

c. volt üzletkötés az adott napon ennél az alkalmazottnál.

Klasszikus képlettel megoldható feladatok 1. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen kitöltött totószelvény 10,11,12,13

találatos lesz? 2. Egy értekezleten tízen kérnek feketekávét. A titkárnő a 10 csészébe összesen 6 darab koc-

kacukrot tett úgy, hogy minden csészébe legfeljebb egy cukrot dobott. Mi a valószínűsége annak, hogy négy személy, aki keserűen szereti a kávét, véletlenül a négy cukor nélküli kávét választja?

3. Elhelyezünk 3 dobozba 8 tárgyat úgy, hogy az egyes tárgyakat megkülönböztethetőnek

tekintjük. Mennyi a valószínűsége, hogy: a. az egyes dobozokba rendre 2,4,2 tárgy kerül;

b. az egyes dobozokba rendre 0,3,5 tárgy kerül;


5

c. mind a 8 tárgy egy dobozba kerül? 4. Egy mozi utolsó sorában, ahol 20 szék van, 5 néző ül. Tegyük fel, hogy az 5 néző minden

lehetséges elhelyezkedése azonos valószínűségű. Számítsuk ki, mi annak a valószínűsége, hogy: a. az öt néző egymás mellett ül; b. az öt néző nem ül egymás mellett?

5. Egy üzletben három pénztárhoz véletlenszerűen 10 vásárló érkezik. Mennyi annak a való-színűsége, hogy: a. az első pénztárhoz 4 , a második és harmadikhoz 3-3 vásárló kerül; b. az egyik pénztárhoz 4 , a másik kettőhöz pedig 3-3 vásárló kerül?

Mintavétel 1. A mostani influenzajárvány mutatói szerint a lakosság 15 %-a betegedett meg. Mennyi

annak a valószínűsége, hogy a 18 fős csoportban legfeljebb 3 influenzás beteg van? 2. Egy 20 elemű alkatrészhalmazban 8 selejtes van. Visszatevés nélkül hatelemű mintát ve-

szünk belőle. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a. legalább egy selejtes lesz, b. legalább annyi selejt van, mint jó, c. legfeljebb kettő selejtes lesz?

3. Öt fiú és öt leány együtt mennek moziba. Kiválasztunk közülük hat főt. Mekkora a való-

színűsége, hogy közöttük a. háromnál kevesebb a leány? b. ugyanannyi a fiú, mint a leány? c. egy leány sincs?

4. Egy képviselő egy napon 10 interpellációt hallgatott meg, ebből hatot elfogadott. Tetszőle-gesen kiválasztottunk három interpellációt. a. Hányféleképpen tehetjük ezt meg? b. Hány különböző olyan kiválasztás van, amelyek közül pontosan kettőt fogadott el a

képviselő? c. Mennyi annak a valószínűsége, hogy közülük legalább két interpellációt fogadott el az

adott képviselő?

5. A lakosság 30%-a szenved valamilyen allergiás betegségben. Munkatársaink közül tetsző-legesen kiválasztva 12 főt, mennyi annak a valószínűsége, hogy háromnál több szenved al-lergiás betegségben?

6. Egy gyógyszergyárban minőség-ellenőrzés során 10 kapszulát vizsgálnak meg. Annak a

valószínűsége, hogy egy adott kapszula nem a megfelelő mennyiséget tartalmazza a ható-anyagból: 0,05. Adja meg a következő valószínűségeket: a. a megvizsgált 10 kapszula mindegyike megfelelő mennyiséget tartalmaz a hatóanyagból, b. háromnál kevesebb kapszula van a tízben, amelyben nem megfelelő a hatóanyag meny-

nyisége, c. a tíz kapszulának pontosan a felében lesz megfelelő a hatóanyag mennyisége.

7. Egy urnában 4 piros, 1 zöld és 1 fekete golyó van. Ebből húzunk három golyót visszatevés

nélkül. Rendezzük a következő eseményeket csökkenő valószínűségek szerint:


6

a. mindegyik golyó piros, b. kettő piros, egy más, c. van zöld vagy fekete golyó a kihúzottak között, d. van piros a kihúzottak között.

8. Egy üzemben a napi nyersanyagellátás – egymástól függetlenül – 0,75 valószínűséggel za-

vartalan. Mennyi a valószínűsége, hogy a. egy hét alatt (5 nap) pontosan háromszor zavartalan az ellátás, b. legalább háromszor akadozik az ellátás? 9. Három darab pénzérmét egyszerre feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy

a. legalább 1 fejet dobunk, b. pontosan 2 írást dobunk, c. több írást dobunk, mint fejet, d. nem dobunk más, csak írást vagy csak fejet?

10. Egy kiskereskedő minden 20000 Ft feletti összegben vásárló vevőjének nyereményszel-

vényt ad. Ezekből havonta véletlenszerűen kiválasztanak négyet. Az elmúlt hónapban 35-en vásároltak 20000 Ft-ot meghaladó összegben. Ezek között öt ismerősöm van. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a. lesz a kiválasztott négy fő között ismerősöm, b. legalább két ismerős lesz közte, c. több lesz olyan, akit nem ismerek, mint akit ismerek?

11. Egy autószalonban 100 érdeklődő közül átlagosan öten vásárolnak új autót a tapasztalatok

alapján. Egy napon 20 érdeklődő kereste fel az autószalont, további információt nem tu-dunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a. adtak el új autót az adott napon a szalonban, b. legfeljebb három autót adtak el az autószalonban az adott napon, c. válaszoljon az a) és b) részben megfogalmazott kérdésekre, ha feltételezzük, hogy a ve-

vők száma Poisson eloszlást követő valószínűségi változó! Független események valószínűsége 1. Egy gyár három szerelőcsarnokában végzett statisztikai vizsgálat szerint az első szerelő-

csarnokban a munkaidő 85 %-ában, a második szerelőcsarnokban a munkaidő 90 %-ában, a harmadik csarnokban pedig a munkaidő 80 %-ában zavartalan a termelés. A ter-melés zavartalansága az egyes csarnokokban egymástól független. Mennyi annak a való-színűsége, hogy a munkaidő egy adott időpontjában: a. mind a három csarnokban zavartalan a termelés, b. legalább az egyik csarnokban zavartalan a termelés, c. csak az egyik csarnokban zavartalan a termelés?

2. A harmadéves főiskolai hallgatók 40 %-a rendelkezik német nyelvből középfokú nyelv-

vizsgával, 10 %-ának nincsen utóvizsgája és 20 %-ának 4,00-t meghaladó az elmúlt félévi tanulmányi átlaga. A főiskola egy németországi céghez küldhet egy hallgatót féléves gya-korlatra. Azok jelentkezhetnek a pályázatra, akik legalább kettőnek eleget tesznek a fenti három követelmény közül, továbbá a német nyelvvizsgával rendelkezés elengedhetetlen. Jelölje az „A” azt az eseményt, hogy egy harmadéves hallgató rendelkezik nyelvvizsgával, „B” azt, hogy nincsen utóvizsgája és „C” azt, hogy 4-nél jobb a tanulmányi átlaga!

Mennyi annak a valószínűsége, hogy véletlenszerűen kiválasztva egy harmadéves hallgató a. jelentkezhet a német céghez erre a gyakorlatra,


7

b. pontosan egy követelménynek tesz eleget a három közül. Feltételes valószínűség 1. Egy könyvkiadó két nyomdával dolgozik. Az első nyomda a kiadványok ¼ részét, a mara-

dék részt a második nyomda készíti. Az első nyomdában elkészültek 5 %-a, a másodikban készültek 1 %-a szépséghibás. A raktárban a két nyomda termékei összekeveredtek. Je-lentse „A” esemény a következőt: egy találomra kiválasztott kiadvány szépséghibás. a. Adja meg a ( )AP valószínűséget! b. Adja meg, mekkora a valószínűség, hogy egy kiadványt az első nyomdában nyomtattak,

ha az nem szépséghibás! 2. Egy forgácsoló üzemben 3 esztergagép működik. Az elkészült munkadarabokat a minő-

ségellenőrzésen I, II, illetve III. osztályba sorolják.

B1 : I.o. B2 : II.o. B3 : III.o.A1 : 1.gép 500 510 415 A2 : 2.gép 440 390 275 A3 : 3.gép 320 300 190

A napi össztermékből véletlenszerűen kiválasztunk egyet. a. Írjuk fel szimbólumokkal és számoljuk ki:

- mennyi a valószínűsége, hogy a 2. gép készítette a munkadarabot, feltéve, hogy első osz-tályú, - mennyi a valószínűsége, hogy másodosztályú a munkadarab, feltéve, hogy nem a 3. gép

készítette? b. Számítsuk ki és fogalmazzuk meg szavakkal az alábbiak jelentését:

( )12 | ABP ( )23 BAP

3. Egy tőzsdei elemző a recessziós időszakok elemzésének a specialistája. Előrejelzései az ár-

folyamok alakulására 80 %-ban helytállóak ilyen periódusokban. Ha a gazdaság erős fel-lendülést mutat, akkor előrejelzései csak 60 %-ban helytállóak, míg ha a gazdaság normál állapotban van, akkor ez az arány 70 %. Tegyük fel, hogy a gazdaságot 25 %-ban recesz-szió, 35 %-ban erős fellendülés jellemzi, a maradék időszak normál állapotú. a. Mennyi annak a valószínűsége, hogy kiválasztva ezen elemző egy tetszőleges előrejelzé-

sét, az helytálló? b. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ha az elemző helytálló előrejelzései közül kiválasz-

tunk egyet, akkor azt recessziós periódusban jósolta? 4. Egy használtautó-kereskedő többfajta megfigyelést végez az eladásait illetően. Például fi-

gyeli, hogy befolyásolja-e a kocsi fényezése az eladási árat. Megfigyelései a következők: az eladott autók 35 %-át megvették katalógusár felett, 25 %-át katalógusár alatt, a többiért katalógusárat adtak. A katalógusár felett megvásárolt gépkocsik 70 %-a volt metálfénye-zésű, a katalógusár alatt eladott 30 %-a volt metálfényezésű, míg a katalógusáron eladott autóknál ez az arány 45 %. Kiválasztunk tetszőlegesen egy eladott autót. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a. metálfényezésű? b. ha metálfényezésű, akkor katalógusár felett kelt el?


8

5. Egy közúti ellenőrzés és felmérés alapján a következő adataink állnak rendelkezésre: a közlekedő járművek 40 %-a személyautó, 35 %-a teherautó, a fennmaradó rész az egyéb kategóriába sorolt. A személyautók 15 %-ában, a teherautók 20 %-ában, az egyéb kategó-ria 35 %-ában valami műszaki hiányosság fedezhető fel. Az éppen közlekedő járművet megállítva, mennyi annak a valószínűsége, hogy a. műszaki állapota kifogásolható, b. ha műszaki állapota kifogásolható, akkor teherautó, c. ha műszaki állapota tökéletes, akkor nem személyautó.

6. Egy ingatlanközvetítő által 2000-ben közvetített ingatlanokat a következő szempontok alapján osztályozták: - fővárosi, vidéki; - 5 millió Ft alatt, 5 és 10 millió Ft közötti, 10 mil-lió Ft feletti. A fővárosi ingatlanok a kereslet 60 %-át adták, melyeknek negyedrésze 5 mil-lió Ft alatt, harmadrésze 5 és 10 millió Ft közötti. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ha a fővárosi ingatlanok közül választunk, akkor 10 millió Ft feletti az érték?

Eloszlások 1. Egy kozmetikai cég három új terméket vezet be a piacra. A felkeresett üzletek 80 %-a ren-

delt az első termékből, 40 %-a a második termékből, 20 %-a a harmadik termékből. (Az egyes üzletekben az egyes termékekre vonatkozó megrendelések egymástól függetlenek.) Egy felkeresett üzletet vizsgálva, a ξ valószínűségi változó jelentse azt a számot, ahányféle terméket rendelt az üzlet a kozmetikai cég három új készítményéből! Adja meg a ξ valószínűségi változó eloszlását és várható értékét és a szórást!

2. Egy képviselő egy napon 10 interpellációt hallgatott meg, ebből hatra adott választ foga-

dott el. Tetszőlegesen kiválasztunk egyszerre három interpellációt. Legyen a valószínűségi változó a kiválasztott interpellációk között azok száma, amelyet a képviselő nem fogadott el! a. Adja meg a valószínűségi változó eloszlását és eloszlásfüggvényét! b. Mennyi annak a valószínűsége, hogy közülük legalább két interpellációt fogadott el az

adott képviselő? 3. Egy üzlethálózat egy nagy vásárlási akciója során három személygépkocsi a három főnye-

remény. Tegyük fel, hogy a lakosság 20 %-ának van gépkocsijuk. A vásárlási akció na-gyon sikeres volt, mivel rengeteg nyereményszelvény érkezett be. A ξ valószínűségi változó legyen azon autó nyertesek száma, akiknek már van gépkocsijuk! a. Adja meg a ξ valószínűségi változó eloszlását, várható értékét és szórását! b. Adja meg az eloszlásfüggvényt! c. Mely esemény valószínűségét adja meg a ( )3F függvényérték? Fogalmazza meg szavak-

kal is és a valószínűségi változót felhasználva formalizmussal is! 4. A Danone Túró Rudi tömege ξ-vel jelölt, normális eloszlást követő valószínűségi változó 25

gramm várható értékkel, és 1,5 gramm szórással. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a. egy Túró Rudi tömege több mint 22 gramm? b. egy Túró Rudi tömege 23,5 gramm és 28 gramm közé esik? c. Adjon alsó becslést a következő valószínűségre: P(23<ξ<27), ha valószínűségi változó el-

oszlása nem ismert, de várható értéke és szórása a feladat szövege szerinti!

5. Egy rendezvényszervező iroda heti megrendeléseinek száma Poisson eloszlású valószínű-ségi változó 5 várható értékkel. Ha az irodához heti 10 vagy annál több megrendelés érke-zik, külső munkatársat is alkalmaznak. Mi a valószínűsége, hogy a. az adott héten külső munkatársat is kell alkalmaznia az irodának?


9

b. heti megrendelések száma 4-nél kisebb vagy 6-nál nagyobb? c. a várható értéktől a szórás kétszeresénél kisebb mértékben tér el?

6. A megfigyelések alapján a munkanélkülieknek átlagban fél év alatt sikerült elhelyezked-

niük valahol. Tegyük fel, hogy a munkanélküliségben eltöltött idő exponenciális eloszlást követő valószínűségi változó! Véletlenszerűen kiválasztunk egy munkanélküli személyt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a. egy éven belül el tud helyezkedni, b. egy évnél több, de 1,5 évnél kevesebb ideig lesz munkanélküli, c. a várható értéknél hosszabb ideig lesz munkanélküli?

7. Egy üzlet napi forgalma a különböző sajtkészítményekből 150 kg várható értékű, 15 kg

szórású, normális eloszlást követő valószínűségi változó. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy napon a forgalom a. meghaladja a 140 kilogrammot, b. 120 kg és 180 kg közé esik, c. becsülje alulról a b. részben meghatározott esemény valószínűségét, ha a valószínűségi

változó eloszlása nem ismert! 8. Egy orvosi rendelő várószobájában a betegek várakozással eltöltött ideje exponenciális

eloszlást követő valószínűségi változó, melynek várható értéke negyed óra. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy tetszőlegesen kiválasztott beteg a. 15 percen belül sorra kerül, b. várakozási ideje legalább 30 perc, de legfeljebb 45 perc, c. a várható értéke kétszeresénél többet várakozik?

9. Egy szövőgép 500 szállal dolgozik. Annak valószínűsége, hogy egy szál meghatározott idő-

tartam alatt elszakad: 0,012 minden szálra. Feltételezzük, hogy a szálszakadások száma Poisson- eloszlást követő valószínűségi változó. a. Az adott időtartam alatt mennyi a szálszakadások várható értéke? b. Mennyi annak a valószínűsége, hogy legalább 4, de 7-nél kevesebb szál szakad el?

10. Egy 500 oldalas könyvben 200 sajtóhiba található. Feltételezhető, hogy a sajtóhibák száma

Poisson eloszlást követő valószínűségi változó. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a. 10 véletlenszerűen kiválasztott oldalon nem lesz sajtóhiba, b. 25 véletlenszerűen kiválasztott oldalon legalább 8, de 12-nél kevesebb sajtóhiba találha-

tó? Csebisev-egyenlőtlenség 1. Egy textilgyárban előállított vég szövet hosszának várható értéke 35 m, szórása 0,3 m.

a. Legfeljebb mennyi annak a valószínűsége, hogy a vég hossza legalább 1 m-rel eltér a várható értéktől?

b. Legalább 95 %-os valószínűséggel milyen határok közé esik a vég szövet hossza?

2. Egy strandon a nyári melegben a naponta fagyit vásárlók számának várható értéke 600, a szórása pedig 100. Legfeljebb mennyi a valószínűsége annak, hogy a naponta fagyit vásár-lók száma 200 vagy annál kevesebb, illetve 1000 vagy annál több?

3. Egy tábla csokoládé átlagos tömege: 15 dkg, a szórás 15 g. Legfeljebb mennyi annak a va-

lószínűsége, hogy a csoki tömege a várható értéktől 2 dkg-nál nagyobb mértékben tér el?


10

Nagy számok törvénye 1. Egy csillagászati megfigyelés lehetőségének valószínűsége: 0,3

a. Hányszor tegyünk kísérletet a megfigyelésre ahhoz, hogy a kapott relatív gyakoriságnak a valószínűségétől mért 0,02-nél kisebb eltérése legalább 0,9 valószínűségű legyen?

b. Hányszor próbálkozzunk a megfigyeléssel akkor, ha a megfigyelés lehetőségének való-színűsége nem ismert?

2. Egy gyár tapasztalatai alapján az általa előállított gyártmányok 10 %-a hibás. A minőségi

ellenőrzés csak akkor találja elfogadhatónak a tételt, ha abban legfeljebb 12 % hibás. Mekkora legyen a tételben a gyártmányok darabszáma, hogy a hibás áruk relatív gyakori-sága a megfelelő valószínűségtől legalább 0,95 valószínűséggel ne térjen el 0,02-nél na-gyobb értékkel?

3. Egy gyárban tömegesen gyártanak írható CD-ket. Egy gép ezeket kis tartókba helyezi. Annak a valószínűsége, hogy egy tartó üresen marad, és így kerül a vásárlókhoz: p=0,03. Az elkészült tartókból 600 db-os mintát vesznek, és maghatározzák a selejt előfordulásá-nak relatív gyakoriságát. Legalább mennyi annak a valószínűsége, hogy a relatív gyakori-ságnak a selejt valószínűségétől való eltérése kisebb mint 0,04?


11

MEGOLDÁSOK

Mátrixok 1. a. ( ) ( ) ( ) ( )506070110120180160180250*

2*1

*2

*1 =−=⋅−⋅=⋅− AeAeAee

A hétfői és keddi eladás közötti különbség. b. ( )*4202304105901 =⋅A

Naponkénti eladás a harom termékből. c. ( )4406605501* =⋅ A

d. ( ) ( ) 1500103015050 *

2*3 =⋅=⋅⋅ eAe

2. a. ( ) ( ) 833340101111 *

1* =⋅=⋅⋅ eA

Egész nap 83 db alma fogyott el. b. ( ) ( ) 1650201510553010 *

1 =⋅=⋅⋅∗ aAe Az alsósok 1650 Ft-ot költöttek gyümölcsre.

c. ( ) ( )1038383333333152040553010

111 =

⋅ ( ) ( ) 41352015101038383 * =⋅

A büfé napi összbevétele gyümölcsből.

d. ( ) ( )1033383333333152040553310

1111 =

⋅=⋅∗ A

e. ( ) ( ) 49515332*

2*3 =⋅=⋅⋅⋅⋅ eaeAe

Kombinatorika

1. a. 513520256671030

26

13

=

⋅

⋅

b. 1502250751030

15

02

=

⋅

⋅

2. Magánhangzóval kezdődik:

15253545 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

Mássalhangzóval kezdődik:

51525354 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 30000!452 4 =⋅⋅

3. a. 1260045

38

210

=

⋅

⋅

b. 108864063748596 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅


12

4. a. 7208910 =⋅⋅ b. 1000101010 =⋅⋅

c. 1890026

28

210

=

⋅

⋅

5.

f n f n f n f n f n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) !51112131415 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

n f n f n f n f n f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) !51112131415 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

240!52 =⋅ Eseményalgebra 1. a. csak az első vonal hibás CBA ∩∩

b. az első kettő hibás, a harmadik nem CBA ∩∩ c. legalább az egyik hibás CBA ∪∪ d. mindhárom vonal hibás CBA ∩∩ e. legalább két vonal hibás )()()( CBCABA ∩∪∩∪∩ vagy ( ) ( ) ( ) ( )CBACBACBACBA ∩∩∪∩∩∪∩∩∪∩∩ f. pontosan egy vonal hibás )()()( CBACBACBA ∩∩∪∩∩∪∩∩ g. pontosan két vonal hibás )()()( CBACBACBA ∩∩∪∩∩∪∩∩ h. egyik vonal sem hibás CBA ∩∩ i. legfeljebb egy vonal hibás )()()()( CBACBACBACBA ∩∩∪∩∩∪∩∩∪∩∩ j. legfeljebb két vonal hibás CBA ∩∩ k. a második nem hibás, de az első és a harmadik közül legalább az egyik hibás. )( CAB ∪∩

2. a. ( ) 3,0=AP ( ) 4,0=BP ( ) 1,0=CP ( ) 042,01,06,07,0 =⋅⋅=∩∩ CBAP

b. ( ) ( ) ( )( ) 154,01,04,07,01,06,03,09,04,03,0 =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=∩∩∪∩∩∪∩∩ CBACBACBAP 3. a. BABA ∩=∪ Az első kettőre nem kötnek üzletet.

b. CBACBACBA ∩∩=∪∪=∩∪ Csak az elsőre nem kötnek üzletet. c. CBACBA ∪∪=∩∩ Legalább egyre nem kötnek üzletet. d. CBA ∩∩ Egyikre sem kötnek üzletet. e. CBACBACBA ∩∩=∪∪=∩∪ Mindre kötnek üzletet. f. )( CBA ∪∪ \ )( CBA ∩∩ Legalább egyre kötöttek, de nem mindre. g. )()()( CBCABA ∩∪∩∪∩ Legalább kettőre nem kötöttek. h. CBA ∪∪ Legalább az egyikre megkötik.


13

i. CBA ∩∩ Az első kettőre kötöttek, de a harmadikra nem. j. A Az elsőre nem kötöttek üzletet. k. CBACBA ∩∪=∩∩

Az első kettő közül legalább az egyikre nem, de a harmadikra kötnek üz-letet.

l. )()()()( CBACBACBACBA ∩∩∪∩∩∪∩∩∪∩∩ Legalább kettőre nem kötnek üzletet. Formalizálja a következő eseményeket: a. az adott napon nem mindegyik fajta részvényre kötött üzletet, CBA ∩∩ b. pontosan kétféle részvénnyel kereskedett az adott napon, )()()( CBACBACBA ∩∩∪∩∩∪∩∩ c. volt üzletkötés az adott napon ennél az alkalmazottnál. CBACBA ∪∪=∩∩

Klasszikus képlettel megoldható feladatok

1. 0014,03

21013

13

3

10 =⋅

=p 0002,03

21113

13

2

11 =⋅

=p

000016,03

21213

13

1

12 =⋅

=p 00000063,03

21313

13

0

13 =⋅

=p

2. 0048,0

4101

=

=p

3. a. 0640,03

22

46

28

8 =

⋅

⋅

=p

b. 0085,03

55

38

08

8 =

⋅

⋅

=p

c. 00046,0338 ==p

4. a. 0010,0

5201

16

=

=p


14

b. 0090,0

5201

16

1 =

−=p

5. a. 0711,03

33

36

410

10 =

⋅

⋅

=p

b. 2133,03

33

36

410

3

10 =

⋅

⋅

⋅

=p

Mintavétel

1. 0,7202 85,015,0183

0

183210 =⋅⋅

=+++= ∑

=

−

k

kk

kppppp

2. a. 9762,0

6206

12

1 =

−=p

b. 4552,0

620

012

68

112

58

212

48

312

38

6543 =

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

=+++= ppppp

c. 5449,0

620

412

28

512

18

612

08

210 =

⋅

+

⋅

+

⋅

=++= pppp

3. a. 2619,0

610

45

25

55

15

=

⋅

+

⋅

=p

b. 4762,0

610

35

35

=

⋅

=p

c. 0=p

4. a. 1203

10=


15

b. 6026

14

=

⋅

c. 6667,0

310

36

04

26

14

32 =

⋅

+

⋅

=+= ppp

5. ( ) 5075,07,03,012

113

0

123210 =⋅

−=+++− ∑

=

−

k

kk

kpppp

6. a. 5987,095,005,00

10 1000 =⋅⋅

=p

b. 9884,095,005,0102

0

10 =⋅⋅

= ∑

=

−

k

kk

kp

c. 0001,095,005,05

10 555 =⋅⋅

=p

7. a. 2,0

3634

=

=ap

b. 6,0

36

12

24

=

⋅

=bp

c. 8,0

3634

1 =

−=cp

d. 1=dp

abcd pppp >>>

8. a. 2637,025,075,035 23

3 =⋅⋅

=p

b. 1035,075,025,055

3

5 =⋅⋅

= ∑

=

−

k

kk

kp

9. a. 875,05,05,033

1 03 =⋅⋅

−=p


16

b. 375,05.05,023 12 =⋅⋅

=p

c. 5,05.05,033

5.05,023 0312 =⋅⋅

+⋅⋅

=p

d. 25,05,05,033

2 03 =⋅⋅

⋅=p

10. a. 4766,0

435

05

430

1 =

⋅

−=p

b. 0889,0

435

15

330

05

430

1 =

⋅

+

⋅

−=p

c. 9110,0

435

15

330

05

430

=

⋅

+

⋅

=p

11. a. ( ) 05,0=vásárolp 6415,095,005,0020

1 200 =⋅⋅

−=ap

b. 9842,095,005,0203

0

20 =⋅⋅

= ∑

=

−

k

kkb k

p

c. 1)( == λξM

6321,0!0

11 10

=−= −epa 981,0!

13

0

1 == ∑=

−

k

k

b ek

p

Független események valószínűsége

1. a. 612,08,09,085,0 =⋅⋅=p

b. 997,02,01,015,01 =⋅⋅−=p c. 056,08,01,015,02,09,015,02,01,085,0 =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=p

2.

a. ( ) 4,0=AP ( ) 1,0=BP ( ) 2,0=CP ( ) 112,08,01,04,02,09,04,02,01,04,0)()()( =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=∩∩∪∩∩∪∩∩ CBACBACBAP

b. ( ) 444,02,09,06,08,01,06,08,09,04,0)()()( =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=∩∩∪∩∩∪∩∩ CBACBACBAP

Feltételes valószínűség 1. a. B1: első nyomda készíti B2: második nyomda készíti


17

( ) ( )( ) ( ) 01,0 75,0

05,0 25,0

12

11

==

==

BAPBP

BAPBP

( ) 02,001,075,005,025,0 =⋅+⋅=AP

b. ( ) 2423,002,01

95,025,01 =

−⋅

=ABP

2. a. ( ) 3492,0320440500

44012 =

++=BAP

( ) ( ) ( ) 3557,0275390440415510500

39051032 =

++++++

=ABP

b. ( ) ( ) ( )( ) ( ) 6397,0

19151225

190300320275390440190320275440| 12 ==

++++++++

=ABP

A második és harmadik gép által készített termékek között az első- és harmadosztályú-ak valószínűsége.

( ) 25,0300390510

30023 =

++=BAP

A másodosztályú termékek között azok valószínűsége, melyet a harmadik gép készített. 3. a.

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 7,0 4,0

6,0 35,0

8,0 25,0

==

==

==

NiPNP

EiPEP

RiPRP

( ) 69,07,04,06,036,08,025,0 =⋅+⋅+⋅=iP

b. ( ) 2899,069,0

8,025,0=

⋅=iRP

4. a. A: metálfényezésű B1: katalógusár felett B2: katalógusár alatt B3: kataló-

gusáron ( ) 35,01 =BP ( ) 7,01 =BAP

( ) 25,02 =BP ( ) 3,02 =BAP

( ) 4,03 =BP ( ) 45,03 =BAP ( ) 5,045,04,03,025,07,035,0 =⋅+⋅+⋅=AP

b. ( ) 49,05,0

7,035,01 =

⋅=ABP

5. a. A: műszaki hiányosság B1: személyautó B2: teherautó B3: egyéb

( ) 4,01 =BP ( ) 15,01 =BAP

( ) 35,02 =BP ( ) 2,02 =BAP

( ) 25,03 =BP ( ) 35,03 =BAP ( ) 2175,035,025,02,035,015,04,0 =⋅+⋅+⋅=AP


18

b. ( ) 3218,02175,0

2,035,02 =

⋅=ABP

c. ( ) 5655,02175,01

65,025,08,035,01 =

−⋅+⋅

=ABP

6. A: fővárosi B1: <5 B2: 5-10 B3:>10

( ) 6,0=AP ( )41

1 =ABP

( )31

2 =ABP

( ) 4167,0125

31

4113 ==

+−=ABP

Eloszlások 1.

kx kp kk px ⋅ kk px ⋅2

0 096,08,06,02,00 =⋅⋅=p 0 0 1 472,02,06,02,08,04,02,08,06,08,01 =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=p 0,472 0,472 2 368,08,04,08,02,06,08,02,04,02,02 =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=p 0,736 1,472 3 064,02,04,08,03 =⋅⋅=p 0,192 0,576 ∑ =

3

01kp ∑ =⋅

3

04,1kk px ∑ =⋅

3

0

2 52,2kk px

( ) ∑ =⋅=3

04,1kk pxM ξ

( ) ( ) ( ) 7483,04,152,2 222 =−=−= ξξξ MMD

2. a.


19

F(x)=

<≤<≤<≤<≤

x3 ha 1,3x2 ha 0,9667,2x1 ha 0,6667,1x0 ha 0,1667,0 xha 0,

b. 6667,0

310

04

36

14

26

=

⋅

+

⋅

3. a.

kx kp kk px ⋅ kk px ⋅2

0 512,08,02,0

03 30

0 =⋅⋅

=p

0 0

1 3840,08,02,0

13 21

1 =⋅⋅

=p

0,3840 0,384

2 0960,08,02,0

23 12

2 =⋅⋅

=p

0,192 0,384

3 0080,08,02,0

33 03

3 =⋅⋅

=p

0,0240 0,072

∑ =

3

01kp ∑ =⋅

3

06,0kk px ∑ =⋅

3

0

2 84,0kk px

( ) ∑ =⋅=3

06,0kk pxM ξ

( ) ( ) ( ) 6928,06,084,0 222 =−=−= ξξξ MMD

kx kp 0

1667,0

310

36

04

=

⋅

1

5,0

310

26

14

=

⋅

2

3,0

310

16

24

=

⋅

3

0333,0

310

06

34

=

⋅

⋅


20

b. F(x)=

<≤<≤<≤<

≤

xhaxhaxhaxha

xha

3,132,992,021,896,010,512,0

0,0

c. ( ) ( )33 <= ξpF A három nyertes között van olyan, aki nem rendelkezik gépkocsi-

val. 4. a. 5,1 25 == σm

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 9772,02211215,12522122122122 =Φ=Φ−−=−Φ−=

−Φ−=−=≤−=> Fpp ξξ

b.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) 8185,018413,09772,0112

112125,1

255,235,125285,2328285,23

=−+=−Φ+Φ

=Φ−−Φ=−Φ−Φ=

−Φ−

−Φ=−=<< FFp ξ

c. ( ) ( )( ) 211t

DtMP −≥⋅<− ξξξ ( ) 2

115,125t

tP −≥⋅<−ξ

4375,0167

1691

34 5,12 ==−≥→=→⋅= Ptt

4375,0≥P A valószínűség legalább 0,4375.

5. a. ( ) ( ) ( ) 0318,00363,0...0337,00067,01,9,...1,0110110 5 =−−−−====−=<−=≥= ξξξξξλ PPP

b. ( ) ( ) ( ) 5028,01462,01755,01755,016,5,41,...8,7 ,3,2,1,06 , 4 =−−−==−===>< ξξξξ PPP

c. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9615,09...2,19147,455252 ===≤≤=<−=⋅<−=⋅<− ξξξξξξξ PPPPDMP

6. a. ( ) 2 5,0 =→= λξM ( ) 8647,01)1(1 2 =−==< −eFp ξ

b. ( ) ( ) 0855,011)1()5,1(5,11 3223 =−=−−−=−=<< −−−− eeeeFFp ξ c. ( ) ( ) 3679,011)5,0(15,0 11 ==−−=−=> −− eeFp ξ

7. a. 15 150 == σm

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) 7486,06667,0

6667,0116667,0115

150140114011401140

=Φ

=Φ−−=−Φ−=

−

Φ−=−=≤−=> Fpp ξξ

b.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) 9544,0122212

2215

15012015

150180120180180120

=−Φ⋅=Φ−−Φ

=−Φ−Φ=

−

Φ−

−

Φ=−=<< FFp ξ


21

c. ( ) 2

1115150t

tP −≥⋅<−ξ

75,043

411 2 1530 ==−≥→=→⋅= Ptt A valószínűség legalább 0,75.

8. a. ( )151 15 =→= λξM

( ) ( ) 6321,011515 1 =−==< −eFp ξ b. ( ) ( ) ( ) ( ) 0855,01130454530 3223 =−=−−−=−=≤≤ −−−− eeeeFFp ξ

c. a várható értéke kétszeresénél többet várakozik? ( ) ( ) ( ) ( ) 1353,01130130130 22 ==−−=−=≤−=> −− eeFpp ξξ 9. a. 500-nak az 1,2%-a: 6 → ( ) 6=ξM

b. ( ) 4551,01606,01606,01339,0!

6746

4

6654 =++===++=<≤ ∑

=

−

k

k

b ek

ppppp ξ

10. a. ( ) λξ ==→= 4 t oldalankén hiba 4,0500200 M 0183,0

!04 4

0

0 =⋅= −ep

b. ( ) λξ ==⋅= 104,025M

( ) 4765,01137,01251,01251,01126,0!

1012811

8

10 =+++==<≤ ∑=

−

k

k

ek

p ξ

Csebisev-egyenlőtlenség

1. a. ( ) ( ) 3,0 35 == ξξ DM ( ) ( )( ) 21t

DtMP ≤⋅≥− ξξξ

( ) 2

13,035t

tP ≤⋅≥−ξ

09,0 3

10 13,0 ≤→=→=⋅ Ptt A valószínűség legfeljebb 0,09.

b. ( ) ( )( ) 211t

DtMP −≥⋅<− ξξξ

( ) 34,1203,0 20 1195.0 2 =⋅=⋅→=→−= ξDttt

( ) ( ) 34,3633,66 34,135 <<→<−→⋅<− ξξξξξ DtM

2. ( ) 2

1400600t

P ≤≥−ξ

0625,0 4 400100 ≤→=→=⋅ Ptt A valószínűség legfeljebb 0,0625.

3. ( ) 2

120150t

P ≤≥−ξ

5625,0 34 2015 ≤→=→=⋅ Ptt

A valószínűség legfeljebb 0,5625.


22

Nagy számok törvénye 1. a. 02,0 0,7 3,0 9.0 ==== εqpP

5250 02,0

7,03,01 9,0 2 ≥→⋅

−≥ nn

Legalább 5250. b. 02,0 5,0 5,0 9,0 ==== εqpP

6250 02,0

5,05,01 9,0 2 ≥→⋅

−≥ nn

Legalább 6250.

2. 02,0 9,0 1,0 95,0 ==== εqpP

4500 02,0

9,01,01 95,0 2 ≥→⋅

−≥ nn

Legalább 4500.

3. 600 04,0 97,0 03,0 ==== nqp ε

9697,0 60004,097,003,01 2 ≥→

⋅⋅

−≥ PP

A valószínűség legalább 0,9697.

HFF Kis-Zombori - Valószínűségszámítás feladatok, megoldással (2009, 22 oldal)

Documents

Transcript of HFF Kis-Zombori - Valószínűségszámítás feladatok, megoldással (2009, 22 oldal)