Heurística de la afinación musical - Estudio psicoacústico y estadístico de la audición

HEURÍSTICA DE LA AFINACIÓN MUSICAL

ESTUDIO PSICOACÚSTICO Y ESTADÍSTICO

DE LA AUDICIÓN

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN

Presentado por Bartłomiej Kokot (1º de bachillerato)

Dirigido por D. Juan Jesús Yelo Cano

IES Floridablanca (Murcia), 2013-2014

Imagen de la portada: J. M. PÁRRAGA, detalle del mural en el vestíbulo del IES Floridablanca.

Error funesto es decir que hay que comprender la música para gozar de ella.

La música no se hace ni debe jamás hacerse para que se comprenda, sino para

que se sienta.

MANUEL DE FALLA

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ÍNDICE GENERAL DE CONTENIDOS

Resumen.................................................................................................................................8

1. Introducción: notas históricas y antecedentes .................................................................... 11

2. Prolegómenos ................................................................................................................... 14

2.1. Sonido, tono, nota ...................................................................................................... 14

2.2. Intervalo ..................................................................................................................... 15

2.3. Consonancia y disonancia .......................................................................................... 18

2.4. Sistema de afinación, escala, tonalidad ....................................................................... 18

3. Planteamiento del problema y objetivos ............................................................................ 24

4. Metodología ..................................................................................................................... 25

5. Sistema alternativo de afinación........................................................................................ 26

5.1. Fundamento teórico .................................................................................................... 26

5.2. Escala diatónica ......................................................................................................... 27

5.3. Escala cromática ........................................................................................................ 28

6. Construcción del generador de audiofrecuencias ............................................................... 30

6.1. Planteamiento y funcionamiento ................................................................................. 30

6.2. Materiales .................................................................................................................. 30

6.3. Documentación gráfica ............................................................................................... 31

7. Encuesta ........................................................................................................................... 33

7.1. Objetivos y diseño de la encuesta ............................................................................... 33

7.2. Estructura de la encuesta ............................................................................................ 34

7.3. Resultados obtenidos .................................................................................................. 34

8. Conclusiones .................................................................................................................... 37

9. Futuras líneas de investigación ......................................................................................... 38

10. Apéndices ....................................................................................................................... 39

10.1. Apéndice I ................................................................................................................ 39

10.2. Apéndice II ............................................................................................................... 40

10.3. Apéndice III .............................................................................................................. 41

10.4. Apéndice IV .............................................................................................................. 44

11. Agradecimientos ............................................................................................................. 47

12. Referencias bibliográficas ............................................................................................... 48

Bartłomiej Kokot ‒ Heurística de la afinación musical

6

7

ÍNDICE DE FIGURAS Y GRÁFICOS

Fig. 1.— Intervalos de quinta y cuarta en una octava. ........................................................... 16

Fig. 2.— Círculo de quintas y la quinta del lobo. (Ibáñez Barrachina, 2008: 97) ................... 21

Fig. 3.— Intervalos de las notas de la escala cromática respecto a la tónica (DO). ................. 27

Fig. 4.— Intervalos entre tonos y semitonos consecutivos, tomando como tónica DO. .......... 29

Fig. 5.— Esquema de funcionamiento del generador. ........................................................... 31

Fig. 6.— Esquema de montaje del generador. ....................................................................... 31

Fig. 7.— Montaje del prototipo en placa protoboard. ............................................................ 32

Gráfico 1.— ¿Oyes alguna diferencia entre las dos melodías?............................................... 36

Gráfico 2.— ¿Alguna de las dos suena mejor? ...................................................................... 36


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RESUMEN

Cada uno de los métodos para seleccionar los sonidos que utiliza la música de entre

todos los sonidos posibles constituye un sistema de afinación. Se trata de dividir la octava en

cierto número de sonidos de frecuencia preestablecida, las notas musicales. No obstante, debido

a las características peculiares del sonido, es imposible crear una escala perfecta, en la que todos

los intervalos y acordes sean completamente puros.

En el presente estudio se propone una escala basada en la teoría de las proporciones

relativa a la consonancia. Cada una de las doce notas de una octava guardaría una relación

exacta de frecuencia respecto a la tónica. Se trata de una escala muy similar al sistema de Aris-

tógenes, pero que presenta ciertas ventajas a la hora de su aplicación en la vida real.

En el marco del presente estudio se ha puesto en práctica este sistema de afinación al-

ternativo construyendo un generador de audiofrecuencias con la plataforma ARDUINO™. Ade-

más, se ha estudiado su eficacia mediante una encuesta a más de 170 personas, llegando a la

conclusión de que, pese a sus imprecisiones, el sistema de afinación más acertado es el tempe-

ramento igual de doce notas, que es el que se usa actualmente en todo el mundo, por la facilidad

de transposición y de aplicación en instrumentos de afinación fija que presenta.

La motivación de este trabajo ha sido la afición del autor por la música, y el interés por

la relación que existe entre esta y las matemáticas y la física. Al igual que Richart (2013), pen-

samos que arte y ciencia no son en absoluto disciplinas opuestas, sino mutuamente complemen-

tarias; por eso en este trabajo se trata de contemplar la música desde estas dos perspectivas

diferentes y así obtener una visión más amplia de la cuestión.

Palabras clave: afinación, generador electrónico de audiofrecuencias, musicología, sis-

tema de afinación, temperamento

Resumen

9

ABSTRACT

The sounds used by music selection methods are known as tuning systems. The aim is

to divide the musical octave in a certain number of pre-established frequency sounds, called

musical notes. However, due to the particular sound features, it is impossible to construct a

perfect scale in which all the intervals and chords are completely pure.

In the present research, an alternative tuning system is put forward. It is based on the

consonance ratios theory. Each note would keep an exact frequency proportion regarding to the

tonic. It is similar to Aristoxenus system, but it has some advantages when it is time to its

application in the real life.

As a part of this study I have put this alternative tuning system into practice building

and programming an digital audio frequency generator with the ARDUINO™ platform. Finally,

I have studied the effectiveness of this system, by conducting a survey to more than 170 people.

The conclusion is that the most comfortable and accurate tuning system is the equal tempera-

ment, although its small lack of precision.

Key words: electronic audio frequency generator, musicology, tuning system, temper-

ament, tuning


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1. Introducción: notas históricas y antecedentes

11

1. INTRODUCCIÓN: NOTAS HISTÓRICAS Y ANTECEDENTES

La música en la Antigua Grecia y en el Imperio Romano se basaba exclusivamente en

la melodía, se ignoraba por completo la polifonía y, en general, la armonía en el sentido mo-

derno de la palabra1 (Comotti, 1991: 13). Aunque los textos musicales antiguos que han sobre-

vivido hasta nuestros días son muy escasos y fragmentarios, sí disponemos de bastantes obras

de carácter teórico. En efecto, el interés de los griegos y de los romanos por el fenómeno musi-

cal se centraba sobre todo en el punto de vista acústico y matemático (Ibídem: 3-4). Concreta-

mente, se le atribuye a Pitágoras de Samos2 (s. VI a.C.) y a la escuela pitagórica el mérito de los

primeros estudios acerca de la consonancia y la disonancia entre diferentes sonidos. Según al-

gunos de los biógrafos de Pitágoras, este escuchó casualmente cómo el sonido de diferentes

martillos sobre el yunque de un herrero eran eufónicos. Otras fuentes cuentan que adquirió estos

conocimientos durante sus viajes por Babilonia y Egipto (Tomasini, 2003: 15).

Los pitagóricos consideraban que todo el Universo se rige por relaciones matemáticas,

desde el movimiento de los cuerpos celestes hasta la música que, de hecho, asumió una rele-

vancia especial en esta escuela filosófica (Fubini, 2012: 59; «Pitágoras» en Navarro, 1996). En

cuanto a esta última disciplina, Pitágoras llegó a una acertada conclusión, gracias a sus experi-

mentos con el monocordio: cuanto más sencillos son los números que expresan la relación entre

las frecuencias de dos sonidos, más pura es la consonancia entre ellos (Steinhaus, 1986: 40).

Esta teoría fue corroborada con el tiempo una y otra vez por otros científicos e intelectuales,

como, por ejemplo, Galileo Galilei (Galilei, 1976: 202), y es uno de los fundamentos del pre-

sente estudio.

Los pitagóricos consideraban perfectos solo los tres intervalos formados por los cuatro

primeros números naturales: la octava, la quinta y la cuarta (Peralta, 2011: 72). La escala

1 «El concepto de armonía resulta central en la especulación de los pitagóricos, pero resulta ser un concepto mu-

sical solo por analogía o extensión, ya que su significado original era, sobre todo, metafísico. La armonía es con-

cebida por los pitagóricos como unificación de contrarios». (Fubini, 2012: 59)

2 De Pitágoras sólo se han conservado las biografías, legendarias y escritas ochocientos años después de su muerte,

de Porfirio y Jámblico. Los pitagóricos atribuyeron todos los descubrimientos de su escuela a su maestro legenda-

rio, pero es imposible corroborar la existencia histórica de Pitágoras (Tomasini, 2003: 15; cf. «Pitágoras» en

Navarro, 1996).


12

pitagórica, basada en estas tres relaciones, presentaba, sin embargo, ciertos problemas a la hora

de su aplicación en la práctica.

Aristógenes (o Aristoxenos) de Tarento (354-300 a.C.) fue un filósofo y músico griego,

discípulo de Aristóteles. Criticó la visión pitagórica de los intervalos como simples relaciones

numéricas, para él los intervalos eran entes musicales puras ligadas a la experiencia auditiva

(Bélis, 2001; Michels, 2003: 175). Propuso un sistema de afinación basado en la serie armónica,

que recibe su nombre (Calvo, 2002: 205). Este sistema, a diferencia del pitagórico, aparte de

los tres intervalos fundamentales, incorpora también el de tercera (Peralta, 2011: 77).

Durante toda la Edad Media, el sistema de afinación usado en Europa fue el de Pitágoras.

Ya en la Edad Moderna, Gioseffo Zarlino (1517-1590), maestro de la capilla de San Marcos de

Venecia y el teórico musical más destacado del Renacimiento («Zarlino, Gioseffo» en

Honneger, 1993) fue uno de los que pretendieron mejorar el sistema pitagórico. Basándose en

los fundamentos aritméticos de los pitagóricos y en experimentos acústicos, demostró la

concordancia perfecta de los seis primeros armónicos («Zarlino, Gioseffo» en Ballabriga, 1991)

y llegó así a las mismas conclusiones que Aristógenes (Calvo, 2002: 205).

Aunque el temperamento igual fue sistematizado ya en 1577 por Francisco de Salinas

(Ramstrum, 1998), tradicionalmente se le atribuye a Johann Sebastian Bach (1685-1750) el

consolidar este sistema con su obra El clave bien temperado3 (1722). En esta obra se reúnen 48

preludios y fugas, en todas las tonalidades mayores y menores, de la escala cromática (Ibáñez,

2008: 105; cf. Tomasini, 2003: 24). En realidad, Bach no hacía referencia al temperamento

igual de doce notas usado hoy en día, sino al de Werckmeister o de 1/4 de coma (Liern, 2009:

117). En los siglos XVII y XVIII se usaban también algunos sistemas semejantes a este, como el

de 1/3 de coma, el de 1/6 de coma o el de 1/7 de coma (Ibídem).

Pero lo que sí es cierto es que El clave bien temperado puso fin a las discrepancias que

existían entre los teóricos musicales acerca de cómo cerrar el círculo de quintas. El problema

era cada vez más serio, pues cada vez se usaban agrupaciones instrumentales más numerosas.

Además, la facilidad de transposición fue adquiriendo importancia debido al auge de los

instrumentos de teclado, cuya afinación es demasiado delicada para modificarse en curso de la

ejecución («Temperamento» en De Candé, 2002). Bach defendió uno de los temperamentos

3 Título original: Das wohltemperierte Klavier.

1. Introducción: notas históricas y antecedentes

13

que circulaban en Alemania, pero no se limitó a dar una demostración teórica, sino que con su

obra propuso una demostración constructiva (Liern, 2009: 117).

También vale la pena mencionar el microtonalismo como una técnica alternativa al

problema de las escalas. Ya desde la antigüedad se había empleado en músicas como la hindú

o la árabe (Calvo, 2002: 237), pero en Europa esta idea surgió hacia el siglo XVI. Fue defendida

por algunos teóricos, sin embargo no fue hasta mediados del siglo XIX cuando el microtonalismo

perdió su carácter puramente teórico (Ibáñez, 2008: 134). Fue el compositor y musicólogo

checoslovaco Alois Hába (1893-1973) quien conolidó su uso, fue autor de numerosas piezas en

tercios, cuartos, quintos y sextos de tono, aparte de obras teóricas («Hába, Alois» en Gwinn,

1989; «Hába, Alois» en Isaacs et al., 1986). A lo largo del siglo XX fueron muchos los músicos

que experimentaron con las composiciones microtonales, como Béla Bartók, Julián Carrillo,

Igor Markevitch, Ivan Vishnegradski o Pierre Boulez (Ibáñez, 2008: 134). En la segunda mitad

del mismo siglo el microtonalismo se convirtió en una corriente importante de composición,

acentuada por la aparición de los instrumentos electrónicos y digitales (Ibídem; Keislar, 1988).

En resumen, han sido muchos los que han intentado solucionar el dilema de la escala

perfecta, personajes de la ciencia y de la música desde los más grandes, como Euclides,

Christiaan Huygens, Leibniz u Euler, hasta los que son menos conocidos, como Hugo Steinhaus

(Steinhaus, 1986: 41) u otros citados anteriormente. El problema ha existido prácticamente

desde la aparición de la teoría musical y la cuestión sigue abierta.

Actualmente, el sistema de afinación usado prácticamente en todo el mundo es el

temperamento justo de doce notas (Arbonés, 2010: 30; «Temperamento» en Isaacs et al., 1986).


14

2. PROLEGÓMENOS

Para evitar ambigüedades e interpretaciones incorrectas del presente estudio, así como

hacer su contenido más claro y comprensible, a continuación se definen y explican algunos de

los conceptos relacionados con el tema.

2.1. Sonido, tono, nota

«Subjetivamente, el sonido es la sensación que experimenta el órgano del oído debido

a la vibración de algún cuerpo. Objetivamente, es el movimiento ondulatorio longitudinal que

da lugar a dicha sensación». (Gisbert et al., 2009: 69) El sonido se caracteriza por cuatro pro-

piedades fundamentales4: la altura (cuya característica subjetiva se denomina tono), la intensi-

dad (que está relacionada con la sonoridad), el timbre y la duración (Valls, 1984: 16-21). En

este trabajo, la propiedad que se va a manejar sobre todo es la altura, es decir, la frecuencia del

armónico principal de un sonido dado.

Tradicionalmente, en acústica musical, se denomina sonido a «toda sensación agradable

producida por movimientos vibratorios de altura definida y procedencia fácil de establecer»

(Calvo, 2002: 84). Todas las demás manifestaciones sonoras se clasificarían como ruido. Esta

definición puede establecerse de forma más objetiva teniendo en cuenta la ley de Fourier

(Ibáñez, 2008: 81):

Esta ley es aplicable a la vasta mayoría de los instrumentos musicales, excluyendo los

de percusión, los placófonos y los mebranófonos (González, 2004: 8; Ibáñez, 2008: 81).

Por lo tanto, un tono «natural», consta de una suma de vibraciones sinusoidales, que se

funden en un todo. Cada una de estas vibraciones constituye lo que se denomina un armónico,

sobretono, tono parcial o componente (Michels, 2003: 17; cf. Gisbert et al., 2009: 81). El ar-

mónico más grave es el fundamental o básico (González, 2004: 8). De los diferentes armónicos

4 También existen otras propiedades como el volumen o el brillo, pero que son de menor importancia y no son

objeto del presente estudio (Ibáñez Barrachina, 2008: 80).

Ley de Fourier: Un movimiento vibratorio cualquiera, de período 𝑇 y frecuencia 𝑓, es siem-

pre expresable como una suma de movimientos armónicos simples cuyos períodos son 𝑇,

𝑇 2⁄ , 𝑇 3⁄ , 𝑇 4⁄ , etc. y frecuencias 𝑓, 2𝑓, 3𝑓, 4𝑓, etc. (Calvo, 2002: 31)

2. Prolegómenos

15

que hay presentes en un sonido y de sus intensidades relativas dependerá el timbre. Un tono

«puro», una vibración sinusoidal aislada, solo puede ser generado electrónicamente o con un

diapasón (Gisbert et al., 2009: 81; Michels, 2003: 81).

El término tono también se usa para referirse simplemente a un sonido constante o a la

frecuencia de su armónico principal (Ibáñez, 2008: 77). En un contexto más musical, el término

tono puede referirse al intervalo de segunda mayor (Drabkin, 2001).

Una nota musical es un sonido afinado, es decir, aquel que está admitido por el sistema

de afinación usado (Ibáñez, 2008: 77). En el presente trabajo se indica la octava a la que perte-

nece una nota con el número correspondiente colocado como subíndice a continuación del nom-

bre de la nota, siempre tomando como referencia LA4 5.

Se denominan notas enarmónicas a aquellas que, por pertenecer a tonalidades distintas,

se diferencian en su nombre y en su notación musical, aunque sus frecuencias sean muy simi-

lares o, en algunos casos6, incluso iguales (Fernández, 2010; «Enarmonía» en Valls, 1994).

2.2. Intervalo

«Subjetivamente, el intervalo es la diferencia de altura de dos notas. Físicamente, es la

proporción entre sus frecuencias». («Intervalos» en De Candé, 2002) El intervalo armónico es

aquel que se da entre dos notas interpretadas simultáneamente, en cambio el melódico es el que

se da entre dos notas consecutivas (Lindley et al., 2001).

En este estudio se va a emplear el modo más común de expresión matemática de un

intervalo, mediante una fracción que representa la razón de las frecuencias de las dos notas

(«Intervalos» en De Candé, 2002). Esto se debe a que el oído humano, al escuchar dos sonidos

al mismo tiempo o consecutivamente, lo que aprecia, aparte de la diferencia de sus frecuencias,

son los factores de proporcionalidad entre las mismas. La división de la escala en notas musi-

cales, por tanto, no es una progresión aritmética, sino geométrica (Peralta, 2003: 442). Así, por

ejemplo, si la frecuencia de LA4 es de 440 Hz, la de LA5 será de 880 Hz, la de LA6, de 1760 Hz,

y así consecutivamente.

5 Actualmente, por conveniencia LA4 se afina a 440 Hz a 20 ºC y el margen de error no debe exceder 0,5 Hz (ISO,

2011; cf. Károlyi, 1999: 17; Michels, 2003: 17).

6 Como, por ejemplo, en el sistema temperado.


16

Cuando hablamos de «sumar», «añadir» o «restar» un determinado intervalo a una nota,

en realidad nos estamos refiriendo a multiplicar o dividir su frecuencia por la fracción corres-

pondiente al intervalo en cuestión. Por ejemplo, sabemos que MI5 es la quinta justa de LA4. Si

la frecuencia de LA4 es de 440 Hz, la de MI5 será de 3

2440 𝐻𝑧 = 660 𝐻𝑧.

Se dice que dos intervalos son complementarios cuando se complementan mutuamente

para formar una octava (Michels, 2003: 85). Los intervalos complementarios se obtienen por

inversión de intervalos. «Para invertir un intervalo se añade una octava al sonido más grave,

con lo cual pasa a ser el agudo, o se quita una octava a la nota más aguda y pasa a ser la grave».

(Calvo, 2002: 180) Matemáticamente, el complementario de un intervalo 𝑓2

𝑓1 es 2

𝑓1

𝑓2 : se trata de

restar a la octava el intervalo dado. Por tanto: 2 ÷𝑓2

𝑓1= 2

𝑓1

𝑓2 .

Por ejemplo: los intervalos de quinta y cuarta justas son complementarios. La quinta de

DO1 es SOL1, y la cuarta de SOL1 es DO2. De forma analítica: 3

2∙

4

3= 2. Podemos también de-

mostrar que la cuarta es el intervalo por inversión de la quinta, porque: 2 ÷3

2=

2∙2

3=

4

3 .

FIG. 1.— Intervalos de quinta y cuarta en una octava. (Realización propia)

2. Prolegómenos

17

A continuación se detallan los intervalos musicales más importantes (Calvo, 2002: 198-

199; Michels, 2003: 85; Steinhaus, 1986: 41):

Prima o unísono: proporción de frecuencias 1 1⁄ . Más que una consonancia, se trata de

una equisonancia. Es un intervalo más bien poco práctico, relaciona dos sonidos con la

misma frecuencia.

Octava justa: proporción de frecuencia 21⁄ . Se considera la consonancia perfecta por

excelencia (cf. Landart, 2004). Un tono de frecuencia doble (2𝑓) que de otra (𝑓) da la

sensación de ser el mismo sonido, pero más agudo. Se dice que la diferencia entre estos

dos sonidos es de una octava. Como vamos a ver a continuación, la determinación de

las frecuencias de las diferentes notas de una escala se obtiene por partición de este

intervalo cerrado [𝑓, 2𝑓].

Quinta justa: proporción de frecuencia 3 2⁄ . Como veremos más adelante, es la base de

la escala pitagórica. Es el intervalo complementario de cuarta y el que se da entre la

tónica y la dominante. Se considera como consonancia perfecta.

Cuarta justa: proporción de frecuencia 4 3⁄ . Es el complementario de quinta. Es el inter-

valo que se da entre la tónica y la subdominante. Se considera como consonancia per-

fecta.

Tercera mayor: proporción de frecuencia 5 4⁄ . Es el complementario de sexta mayor. Es

el intervalo que se da entre la tónica y la mediante. Se considera como consonancia

imperfecta.

Tercera menor: proporción de frecuencia 6 5⁄ . Es el complementario de sexta menor. Se

considera como consonancia imperfecta.

Sexta mayor: proporción de frecuencia 5 3⁄ . Es el complementario de tercera mayor. Es

el intervalo que se da entre la tónica y la superdominante. Se considera como consonan-

cia imperfecta.

Sexta menor: proporción de frecuencia 8 5⁄ . Es el complementario de tercera menor.

Segunda mayor (o tono mayor o grande): proporción de frecuencia 9 8⁄ . Es el intervalo

que se da entre la tónica y la supertónica. Se considera como disonancia.

Segunda menor (o semitono diatónico): proporción de frecuencia 1615⁄ . Se considera

como disonancia.


18

Séptima menor: proporción de frecuencia 169⁄ . Se considera como disonancia.

Séptima mayor: proporción de frecuencia 158⁄ . Es el intervalo que se da entre la tónica

y la sensible. Se considera como disonancia.

Tono pequeño: proporción de frecuencia 109⁄ . Se considera como disonancia.

2.3. Consonancia y disonancia

El concepto de consonancia es muy confuso, y es complicado dar una definición gené-

rica y concreta del mismo. Además, «nunca será una definición absoluta, ya que todo cuanto

pueda decirse a este respecto tiene una validez relativa y solo para determinadas épocas de la

historia musical» («Consonancia» en Navarro, 1996). Lo que sí es seguro, es que la consonancia

está íntimamente relacionada con el ámbito de la psicología, más concretamente, con la psico-

logía de la audición. Algunos intervalos se perciben como eufónicos, caracterizados por un alto

grado de fusión, calma y distensión (consonantes), y otros como colmados de tensiones, fricción

y acritud (disonantes) (Michels, 2003: 21).

A lo largo de la historia han ido surgiendo diferentes teorías7, pero la más difundida y

aceptada actualmente es la teoría de las proporciones (también llamada teorema de Tyndall),

que fue propuesta por primera vez por Pitágoras. Es la que se va a adoptar en el presente estudio.

2.4. Sistema de afinación, escala, tonalidad

Cada uno de los métodos usados para elegir los sonidos utilizados por la música consti-

tuye un sistema de afinación (Ibáñez, 2008: 77). Solo la altura resulta determinante para la

7 En contraposición a la teoría de la proporción, podemos destacar la teoría de la afinidad sonora de Helmholtz

(cuantos más armónicos compartan dos tonos, más consonante es el intervalo), la teoría de la fusión de tonos de

Stumpf (dos tonos son tanto más consonantes, cuanto mayor sea el número de oyentes no instruidos que lo sienten

como si fuese uno solo), la teoría de los tonos parciales auditivos y residuales y la teoría de la estabilidad (Michels,

2003: 21; Károlyi, 1999: 95; «Estabilidad» en Valls, 1994). Según otros autores, no existe relación alguna entre la

consonancia y cualquier estudio cuantitativo (Eximeno, 1978: 129-137).

Teoría de la proporción: Cuanto más simple es la relación de las frecuencias de dos tonos,

más consonante será el intervalo que forman (Calvo, 2002: 198; cf. Michels, 2003: 21).

2. Prolegómenos

19

elección y el ordenamiento de los sonidos (Michels, 2003: 85). La determinación de las fre-

cuencias de las diferentes notas de una escala se obtiene por partición de la octava, o, en otros

términos, eligiendo puntos del intervalo cerrado [1, 2] (Peralta, 2003: 443; Ibáñez, 2008: 77).

Los sistemas de afinación se clasifican en afinaciones y temperamentos. La diferencia

principal entre estos dos tipos es que mientras las afinaciones se basan en las relaciones de

números racionales y, por tanto, sus intervalos son justos, en los temperamentos aparece algún

número irracional, con lo cual algunos intervalos serán «templados» o aproximados (Ibáñez,

2008: 78).

El material sonoro en la cultura occidental se organiza en 7 u 8 octavas (de conformidad

con el ámbito de la audición), de 12 semitonos cada una. Esta división de la octava en 12 sonidos

constituye la escala material. Esta escala material se vuelve a subdividir, determinando así el

género; en el sistema temperado distinguimos cuatro géneros fundamentales (Michels, 2003:

86):

Escala petatónica o pentáfona: escala de 5 sonidos, desprovista de semitonos, con tres

tonos enteros y dos terceras menores.

Escala por tonos: escala de 6 sonidos, desprovista de semitonos, con 5 tonos enteros.

Escala diatónica: escala de 7 sonidos, con 5 tonos enteros y 2 semitonos. En el siglo XI,

Guido d’Arezzo adoptó para nombrar las notas de la escala diatónica una serie de sílabas

que aparecen en el Himno a san Juan Bautista: UT, RE, MI, FA, SOL, LA, SI. Posterior-

mente se sustituyó UT por DO (Arbonés, 2010: 21; «Escala» en De Candé, 2002). Las

notas de la escala diatónica en relación a la tónica se denominan (en orden ascendente):

tónica, supertónica, mediante, subdominante, dominante, superdominante8, sensible

(Károlyi, 1999: 56).

Escala cromática: tiene 12 semitonos, sin tonos enteros. Es idéntica a la escala material.

El término tonalidad hace referencia a la escala mayor o menor construida a partir de

una determinada nota fundamental o tónica, que es su centro tonal, y hacia la cual tienden las

demás notas de la escala. La tonalidad toma el nombre de la tónica (Károlyi, 1999: 61;

Rodríguez, 2013).

8 Llamada también submediante.


20

La transposición es el proceso de escribir o ejecutar una pieza musical en una tonalidad

distinta a la original con el fin de facilitar su interpretación. Para ello se modifican las alturas

de las notas, manteniendo los inetrvalos («Transposición» en De Candé, 2002). La modulación

es también un cambio de tonalidad, pero que se realiza por voluntad del compositor en curso

de la obra («Modulación», ibídem).

Los sitemas de afinación microtonales son aquellos que tienen más de doce notas en

cada octava. En estos sistemas existen, por tanto, intervalos más pequeños que el semitono

(Keislar, 1988: 1).

A lo largo de la historia han ido surgiendo diferentes sistemas de afinación. Entre los

más importantes podemos destacar el sistema de Pitágoras, el de Holder, el de Aristógenes, el

temperado de Werckmeister y el temperado igual, que exponen a continuación.

Sistema pitagórico

Pitágoras comprobó con el monocordio que al dividir una cuerda en dos, tres o cuatro

partes iguales y haciéndolas sonar, se obtenían intervalos consonantes respecto a la cuerda ori-

ginal. De hecho, estos eran los únicos intervalos considerados por los pitagóricos (la octava, la

quinta y la cuarta) y en ellos se basa su sistema. Para obtener las frecuencias de las notas en

este sistema, sumamos sucesivamente quintas, a partir de la tónica, restando después las octavas

necesarias para no salir del intervalo [𝑓, 2𝑓] (la primera octava). De esta forma se obtiene una

escala en la que existe solo un tipo de tono (9 8⁄ ) y dos tipos de semitonos: el diatónico

(256243⁄ ) y el cromático ( 2187

2048⁄ ). Al ser este último más grande que el primero, las

notas enarmónicas en este sistema son diferentes (Ibáñez, 2008: 96).

El mayor inconveniente de una escala de tal forma es la llamada quinta del lobo. Puesto

que no existen números enteros 𝑛 y 𝑚 tales que 2𝑛 = 3𝑚, nunca se llega a alcanzar la octava

de la nota de partida (Arenzana et al., 1998: 28). Con otras palabras, doce quintas justas no son

iguales a siete octavas; la diferencia entre ellas es la llamada coma pitagórica, cuyo valor es

igual también a la diferencia entre un semitono cromático y otro diatónico (Calvo, 2002: 218):

𝐶𝑜𝑚𝑎 =2187

2048÷

256

243=

312

219=

531 441

524 288≈ 1,013643265 ( 1 )

2. Prolegómenos

21

Para neutralizar este error, se considera la última quinta del círculo de quintas algo me-

nor que las demás, es la quinta del lobo.

Otra desventaja de este sistema es que da lugar a pulsaciones entre los armónicos de

distintos sonidos, debido a que no está perfectamente afinado respecto a la serie armónica

(Calvo, 2002: 219-220).

Sistema de Holder

El sistema de Holder es un temperamento que surgió como adaptación del sistema pita-

górico. Consiste en dividir la octava en 53 partes iguales, denominadas comas, con las que se

van construyendo los intervalos. De esta forma, el tono contiene 9 comas, el semitono cromá-

tico, 5 y el diatónico, 4 (Calvo, 2002: 221). Aunque se basa en intervalos más pequeños que el

semitono, no se trata de un sistema microtonal, pues no se contempla la posibilidad de utilizar

dichos intervalos aislados.

El resultado es, a efectos prácticos, una escala igual a la pitagórica, solo que el error de

la quinta del lobo se reparte entre todas las notas (Ibáñez, 2008: 106).

FIG. 2.— Círculo de quintas y la quinta del lobo. (Ibáñez Barrachina, 2008: 97)


22

Sistema de Aristógenes

El sistema de Aristógenes9, consiste en elegir los sonidos de la escala diatónica de ma-

nera que cada uno de ellos guarde una proporción justa respecto a la tónica. Los intervalos son,

por tanto, los siguientes (Calvo, 2002: 205-206):

98⁄ (supertónica)

54⁄ (mediante)

43⁄ (subdominante)

32⁄ (dominante)

53⁄ (superdominante)

158⁄ (sensible)

En efecto, en el sistema de Aristógenes se obtienen dos clases de tonos: el grande (98⁄ )

y el pequeño (109⁄ ). Por lo que a los semitonos respecta, se consiguen tres tipos distintos: el

cromático (2524⁄ ), el diatónico de tono grande (27

25⁄ ) y el diatónico de tono pequeño (1615⁄ )

(Ibídem: 206-208).

Sus principales inconvenientes están ligadas con la imposibilidad de llevarlo a la prác-

tica en instrumentos de afinación fija. Por un lado, las frecuencias de las notas dependen de la

tonalidad y, por otro, existen tres tipos distintos de semitonos.

Sistema de Werckmeister

En el sistema temperado de Werckmeister, o de 1/4 de coma, el círculo de quintas se

cierra acortando 1 4⁄ de coma las quintas DO - SOL, SOL - RE, RE - LA, SI - FA# (cf. Liern, 2009:

117). El valor de estas quintas sería:

3

2÷

1

4 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑎 =

3

2÷ √

312

219

4

=3 ∙ 24 √234

2 ∙ 33=

8√84

9≈ 1,49492696 ( 2 )

9 Llamado también de Zarlino, natural, de justa entonación, de los físicos o de los geómetras (Calvo, 2002: 205;

Peralta, 2011: 77).

2. Prolegómenos

23

Temperamento igual

El temperamento igual o justo de doce notas consiste en dividir la octava en 12 semito-

nos de proporciones iguales entre sí. La razón entre dos semitonos consecutivos es, por tanto,

√212

. De este modo, se evita el problema de la quinta del lobo, pues la coma pitagórica se reparte

entre todas las quintas. Además, todos los intervalos son idénticos, pero ninguno de ellos (salvo

la octava) es puro, sino que son todos aproximados (Arbonés, 2010: 30; Arenzana et al., 1998:

28). Por ejemplo, la quinta justa en el sistema temperado sería igual a

√2712≈ 1,498307077 < 1,5 =

3

2 ( 3 )

Aun así, el oído humano parece tolerarlo bastante bien. Además, la facilidad de trans-

posición y de aplicación en instrumentos de afinación fija que presenta lo hace un sistema muy

cómodo y versátil. No obstante, la invariabilidad del sistema, sea cual sea el centro tonal, es

visto por algunos como una «pérdida de diversidad», pese a su evidente ventaja práctica. (Ar-

bonés, 2010: 30)


24

3. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y OBJETIVOS

Existen muchos más sistemas de afinación, que han ido surgiendo a lo largo de la histo-

ria en todo el mundo, pero ninguno de ellos se libra de algún tipo de imperfección (Arbonés,

2010: 28-29). La cuestión no es baladí, tengamos presente la importancia que tiene la música

para el ser humano y su abundancia en la vida cotidiana: la música se considera como el arte

que más emociones despierta (Levitin, 2008).

Aunque ciertamente este problema no ha impedido a los grandes compositores escribir

sus obras maestras que siguen gozando de popularidad en todo el mundo, el objetivo principal

de este estudio es proponer una solución constructiva. Los objetivos, por orden decreciente de

importancia, son los que siguen:

1. Establecer las bases teóricas de un sistema de afinación alternativo que, al menos a nivel

teórico, sería una solución para el dilema de la escala ideal.

2. Dar un ejemplo práctico de aplicación de dicho sistema construyendo un prototipo de

teclado electrónico.

3. Estudiar su eficacia desde el punto de vista psicoacústico y estadístico mediante una

encuesta.

4. Metodología

25

4. METODOLOGÍA

En el presente trabajo se propone un sistema de afinación alternativo, que se consiste en

construir la escala cromática caracterizada por las relaciones exactas entre las diferentes notas

que la constituyen, buscando la consonancia ideal de los intervalos.

Una vez establecidos los criterios teóricos de tal escala, se ha puesto en práctica, cons-

truyendo y programando un generador digital de audiofrecuencias. Finalmente, se ha analizado

los resultados realizando una encuesta, para comprobar que la diferencia entre el sistema de

afinación propuesto y el sistema temperado es perceptible y si, en caso afirmativo, resulta más

agradable.

Todas las tablas, gráficas y cálculos matemáticos han sido realizadas por el autor con la

hoja de cálculo de EXCEL®. La encuesta ha sido diseñada y realizada en red, por medio de

GOOGLE FORMS. Para generar las melodías empleadas en la encuesta se ha usado el programa

gratuito AUDACITY® 10, y para ponerlas a disposición de los encuestados se han subido como

vídeos en YOUTUBE. La difusión de la encuesta se ha hecho por medio de correo electrónico.

Todos estos recursos son fácilmente accesibles para la inmensa mayoría de usuarios de ordena-

dores que disponen de la plataforma WINDOWS®, LINUX

® o MACINTOSH®.

En cuanto al generador de audiofrecuencias, tanto la placa computadora como el entorno

de desarrollo empleados pertenecen a la plataforma abierta ARDUINO™. Los esquemas de mon-

taje en placa protoboard y el plano del circuito del generador se han diseñado con el programa

libre FRITZING™ 11.

Con el objeto de poder recoger todos los materiales de interés relacionados con el tra-

bajo, sobre todo los informáticos, se ha creado un portal en la red (con la tecnología de GOOGLE

SITES) que se puede acceder a través del siguiente enlace:

sites.google.com/site/heuristicadelaafinacionmusical

10 Este programa puede obtenerse gratuitamente en el portal de la red audacity.sourceforge.net.

11 Este programa puede obtenerse gratuitamente en el portal de la red fritzing.org/download.

https://sites.google.com/site/heuristicadelaafinacionmusical/home

http://audacity.sourceforge.net/?lang=es

http://fritzing.org/download/


26

5. SISTEMA ALTERNATIVO DE AFINACIÓN

5.1. Fundamento teórico

Si tenemos en cuenta que la consonancia viene dada por la relación numérica entre dos

sonidos, parece lógico que solo algún tipo de afinación podría proporcionar a la música unos

intervalos de consonancia perfecta. Los temperamentos quedan excluidos, pues por definición

se basan en los números irracionales. Lo más fácil e intuitivo, por tanto, sería plantear un sis-

tema de afinación en el cual la frecuencia de cada nota de la escala cromática se obtendría

multiplicando una frecuencia de referencia por la fracción correspondiente a la distancia a este

tono de referencia. Aquí nos encontramos con una primera dificultad. Al construir una escala

de este modo, todos los tonos guardarían una relación de consonancia o disonancia deseada

únicamente con respecto a la nota de referencia.

Por lo tanto, las frecuencias de las diferentes notas dependerían de la tonalidad en la que

se interpreta una pieza. En instrumentos de afinación libre, como el violín, esto no supondría

realmente un problema, pero sí resultaría problemático en instrumentos de afinación fija, como

el piano, o incluso imposible en instrumentos tales como los de viento o los placófonos, que no

se pueden afinar (cf. Montero, 2012). La aplicación más cómoda de dicho sistema sería en un

sintetizador o, simplemente, en un teclado electrónico que permitiría el cambio de tonalidad

con solo pulsar un botón. Es lo que se ha hecho en el marco del presente estudio.

Para evitar los problemas y complicaciones que supone el sistema de Aristógenes, y

buscando la máxima comodidad a nivel práctico de su aplicación en un teclado electrónico, se

asignará un intervalo a cada una de las doce notas de una octava. En realidad, se trata de una

adaptación de la escala de Aristógenes, la principal diferencia radica en la determinación de los

semitonos.

Así, partiendo de la tónica, las sucesivas notas de la escala cromática en orden ascen-

dente guardarían estas proporciones con ella:

16

15;

9

8;

6

5;

5

4;

4

3;

7

5;

3

2;

8

5;

5

3;

16

9;

15

8; 2

El intervalo más problemático es el séptimo semitono a partir de la tónica. Por ejemplo,

en la tonalidad de DO mayor, esta nota es FA#. Se busca la simetría de la octava a través de los

intervalos complementarios, con lo cual, al encontrarse en el medio de la octava, la distancia

5. Sistema alternativo de afinación

27

que la separa del DO por debajo y del DO por arriba debería ser la misma. Como la proporción

de frecuencia entre los dos DO es 2, la relación entre DO y FA# tendría que ser:

𝑥2 = 2 → 𝑥 = √2 ≈ 1,414213562 ( 4 )

Volvemos a encontrarnos con los números irracionales, cuyo uso iría en contra de los principios

del sistema, por tanto se adoptará la fracción teóricamente consonante más próxima: 7 5⁄ = 1,4.

5.2. Escala diatónica

De la forma descrita anteriormente, se obtiene la misma escala diatónica que en el sis-

tema de Aristógenes (Calvo, 2002: 206):

1º - 3º grado = 9

8

3º - 5º grado = 1º - 5º grado menos 1º - 3º grado = 5

4÷

9

8=

10

9


3÷

5

4=

16

15


2÷

4

3=

9

8

FIG. 3.— Intervalos de las notas de la escala cromática respecto a la tónica (DO). (Realización propia)


28


3÷

3

2=

10

9


8÷

5

3=

9

8

12º - 13º grado = 1º - 13º grado menos 1º - 12º grado = 2 ÷15

8=

16

15

Tenemos así un tono grande (98⁄ ), un tono pequeño (10

9⁄ ) y un semitono diatónico

(1615⁄ ). No existen intervalos consecutivos iguales, y en cada tritono hay tonos grandes y tonos

pequeños.

5.3. Escala cromática

A continuación se hallan los semitonos restantes con el fin de determinar todos los in-

tervalos entre notas consecutivas.

1º - 2º grado = 16

15


8÷

16

15=

135

128= 1,0546875


5÷

9

8=

16

15= 1,06


4÷

6

5=

25

24= 1,0416


5÷

4

3=

21

20= 1,05


2÷

7

5=

15

14= 1,0714265


5÷

3

2=

16

15= 1,06


3÷

8

5=

25

24= 1,0416


9÷

5

3=

16

15= 1,06


8÷

16

9=

135

128= 1,0546875

Como se puede observar, los intervalos de semitono son «simétricos» dentro de la es-

cala, a excepción de los dos semitonos centrales, por las razones ya expuestas.

5. Sistema alternativo de afinación

29

FIG. 4.— Intervalos entre tonos y semitonos consecutivos, tomando como tónica DO. (Realización propia)

De este modo se obtienen cinco tipos distintos de semitono (16 15⁄ , 135 128⁄ , 25 24⁄ ,

21 20⁄ , 15 14⁄ ). Esto no supone un problema, puesto que su distribución es fija e invariable, al

contrario de lo que sucede en el sistema de Aristógenes.

En los Apéndices I y II se pueden consultar tablas con los valores absolutos de frecuencia

de las distintas notas en función de la tonalidad, con LA4 afinado a 440 Hz.


30

6. CONSTRUCCIÓN DEL GENERADOR DE AUDIOFRECUENCIAS

6.1. Planteamiento y funcionamiento

Uno de las principales desventajas del sistema de afinación propuesto en este estudio es

su limitación a instrumentos de afinación libre. Con objeto de dar un ejemplo práctico de apli-

cación de este sistema, se ha construido y programado un prototipo de teclado electrónico que

permite la interpretación de melodías en las escalas de DO y de RE. El cambio de tonalidad es

lo suficientemente sencillo como para poder ser efectuado incluso en curso de la interpretación,

puesto que se realiza con un interruptor.

A continuación se ofrece una descripción detallada del proyecto, y en el Apéndice IV

puede consultarse el código completo del programa usado. También se ha publicado en

YOUTUBE un vídeo12 que muestra el funcionamiento de un prototipo del generador.

6.2. Materiales

Los componentes eléctricos y electrónicos empleados son los que siguen, pero pueden

usarse otros de características similares:

Placa Arduino Uno rev.3 (ATmega328)

Altavoz de 8 Ω y 0,25 W

Interruptor

12 pulsadores normalmente abiertos

13 resistores fijos de 1 kΩ ± 5%

Dos diodos LED de 5 mm, de colores distintos

Potenciómetro de 10 kΩ

12 El enlace de dicho vídeo es el que sigue: www.youtube.com/watch?v=Llf3D1xSo5I&feature=youtu.be.

https://www.youtube.com/watch?v=Llf3D1xSo5I&feature=youtu.be

6. Construcción del generador de audiofrecuencias

31

6.3. Documentación gráfica

FIG. 5.— Esquema de funcionamiento del generador. (Realización propia)

FIG. 6.— Esquema de montaje del generador. (Realización propia)


32

FIG. 7.— Montaje del prototipo en placa protoboard. (Realización propia)

7. Encuesta

33

7. ENCUESTA

7.1. Objetivos y diseño de la encuesta13

La realización de una encuesta es de vital importancia para el presente estudio, pues

permite estudiar la eficacia del sistema de afinación propuesto. Se trata de averiguar si la dife-

rencia respecto al sistema temperado es perceptible y si, en caso afirmativo, es realmente más

agradable para el oído. Para eso es importante hacer una distinción entre los encuestados ins-

truidos y no instruidos en este tema, es decir, discriminar las personas que han recibido una

educación musical media o avanzada.

Aprovechando la ocasión, también se ha seguido una línea de investigación correlacio-

nada, para estudiar la precisión del oído humano. Se trata de averiguar si es posible diferenciar

dos tonalidades con notas fundamentales enarmónicas, aplicando el sistema de afinación pita-

górico.

Las melodías que son objeto de la encuesta se ponen a disposición de los encuestados

como dos vídeos publicados en internet. En el primero, se incluyen dos interpretaciones de la

conocida melodía del último movimiento de la novena sinfonía de Beethoven. Mientras que en

la primera se usa el sistema temperado, en la segunda se emplea el sistema de afinación pro-

puesto en el presente estudio. En el segundo vídeo también se incluye dos veces la misma me-

lodía, pero mientras la primera se interpreta en FA#, en la segunda se interpreta en SOL

, apli-

cando el sistema de Pitágoras14, que en el sistema temperado serían exactamente iguales. Ob-

viamente, los encuestados ignoran todas estas informaciones.

13 La encuesta está disponible en: docs.google.com/forms/d/1DCinUE9IyPu-nJPyzASVEOWtS6-FRItity2eqC6U

UxI/viewform.

14 La diferencia de altura entre las dos sería, por tanto, de una coma pitagórica.

https://docs.google.com/forms/d/1DCinUE9IyPu-nJPyzASVEOWtS6-FRItity2eqC6UUxI/viewform

https://docs.google.com/forms/d/1DCinUE9IyPu-nJPyzASVEOWtS6-FRItity2eqC6UUxI/viewform


34

7.2. Estructura de la encuesta

1. Datos generales del sujeto.

1.1. ¿Te gusta escuchar música? El objetivo de esta pregunta es puramente psicológico,

se pretende inspirar confianza al encuestado.

1.2. ¿Has recibido instrucción musical, aparte de la de la enseñanza obligatoria? Con

esta pregunta, al igual que con las dos siguientes, se averigua la relación del en-

cuestado con la música.

1.3. ¿Crees que tienes un «buen oído»?

1.4. ¿Tocas algún instrumento musical?

2. Vídeo 1.

2.1. ¿Aprecias alguna diferencia entre ellas? En caso negativo se salta directamente al

segundo vídeo.

2.2. En caso afirmativo, ¿alguna de las dos suena mejor, o más agradable?

3. Vídeo 2.

3.1. ¿Aprecias alguna diferencia entre ellas?

3.2. En caso afirmativo, ¿alguna de las dos suena mejor, o más agradable?

No se ha limitado ni el tiempo para realizar la encuesta ni el número de veces de repro-

ducción de los vídeos. También cabe destacar que el formulario se ha realizado en español,

polaco e inglés, pero no se ha discriminado los resultados en función del idioma, considerando

que la música es un lenguaje universal. Tampoco se ha tenido en cuenta el sexo ni la edad de

los encuestados.

7.3. Resultados obtenidos

Se han registrado en total 173 respuestas, entre el 1 y el 29 de abril de 2014.

A la gran mayoría de los encuestados (92%) le agrada escuchar música. La quinta parte

de los encuestados (20%) afirma haber recibido clases de música, mientras que más de dos

tercios (72%) no las ha recibido. Casi la mitad (48%) considera que tiene un buen oído, más de

la cuarta parte (28%) cree que tiene un oído poco desarrollado y casi la cuarta parte (24%) duda.

7. Encuesta

35

Por lo que a las habilidades musicales respecta, poco más de la cuarta parte (26%) afirma saber

tocar algún instrumento, otros tantos (28%) tocan un poco solo algún instrumento y el resto

(48%) no toca ninguno.

Más de la mitad de los encuestados (54%) aprecia la diferencia entre las dos grabaciones

del primer vídeo y el 37% no la aprecia. De las personas que sí oyen la diferencia o están

dudosas, el 42% considera que la segunda melodía resulta más agradable, lo cual representa un

19% del total. El 30% considera que es la primera la que suena mejor y el 19% piensa que las

dos suenan igual de bien.

En el segundo vídeo, el porcentaje de encuestados que oyen la diferencia entre las dos

melodías se reduce a 39%, mientras que poco más de la mitad (52%) no la aprecia. De las

personas que sí oyen la diferencia o están dudosas, un tercio (33%) considera que la primera

melodía es más agradable, más de otro tercio (34%) considera que es la segunda la que suena

mejor y un grupo reducido de personas (13%) piensa que las dos grabaciones suenan igual de

bien.

Para poder establecer una relación entre las respuestas a las preguntas de la primera

parte con las de la segunda y de la tercera, y presentar los datos de forma clara y ordenada, se

ha construido una tabla (vid. Apéndice III) que recoge todos estos datos. Los archivos con todos

los resultados y los diagramas de sectores de los porcentajes pueden consultarse en el apartado

Encuesta del portal en la red del trabajo.

Analizándolos, se observan algunas tendencias interesantes. En el segundo vídeo, el

porcentaje de encuestados que han sido capaces de diferenciar las dos tonalidades es mucho

menor que en el primer caso. Pero también merece la pena destacar que las respuestas de las

personas que consideran tener un buen oído o tocar algún instrumento musical cumplen más las

expectativas que, por ejemplo, las de las personas instruidas. Curiosamente, también las res-

puestas de las personas que no han recibido clases de música son más «acertadas» que las de

las personas instruidas en el primer vídeo. En el segundo son prácticamente iguales. Tal y como

era de esperar, la mayoría de las personas que han sido capaces de percibir la diferencia del

segundo vídeo también lo han sido en el primero. Por último, la mayoría (73%) de las personas

que perciben la diferencia entre las dos interpretaciones del segundo vídeo y piensan que ambas

suenan igual de bien (que es lo correcto a nivel teórico) también oyen la diferencia del primer

https://sites.google.com/site/heuristicadelaafinacionmusical/encuesta


36

vídeo. Pero mientras que el 56% considera que de este último suena mejor la primera inter-

pretación, el 44% encuentra las dos melodías del segundo vídeo igual de agradables.

Sí No No sé

GRÁFICO 1.— ¿Oyes alguna diferencia entre las dos melodías?

Pregunta del primer vídeo, en el que se compara el sistema temperado con el alternativo.

Sí: temp. Sí: afin. No No sé

GRÁFICO 2.— ¿Alguna de las dos suena mejor?

Pregunta hecha solo a las personas que habían respondido «Sí» o «No sé» en la pregunta anterior. Las perso-

nas que consideran más agradable el sistema de afinación alternativo («Sí: afin.») es el 42%, que representa el

19% del total.

8. Conclusiones

37

8. CONCLUSIONES

En las respuestas de la encuesta es difícil percibir una tendencia general clara, y los

resultados no son del todo satisfactorios. Solo una pequeña porción de los encuestados ha en-

contrado más agradable la melodía basada en el sistema de afinación alternativo propuesto en

el presente estudio, al contrario de lo que se esperaba. El hecho de que las personas sin una

educación musical sólida hayan obtenido, por lo general, unos resultados «mejores» que las

personas que sí han estudiado música no hace sino confirmar las palabras de Manuel de Falla.

Además, resulta que la coma pitagórica ligada con la quinta del lobo es una imprecisión muy

sutil, aunque no imperceptible.

La conclusión final es que el temperamento igual de doce notas empleado en la cultura

occidental es la mejor solución al dilema de las escalas. Es el sistema más cómodo y, al fin y al

cabo, las imprecisiones de las relaciones de frecuencia originadas por los números irracionales

resultan a efectos prácticos inaudibles, por tanto no suponen un problema real. No obstante,

otros sistemas de afinación, como el propuesto, el de Aristógenes o el de Pitágoras, podrían

usarse ocasionalmente, por ejemplo en el proceso de producción de música electrónica.


38

9. FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN

El estudio del sonido, tanto de su faceta científica como de la artística, es una disciplina

que abarca innumerables conceptos, temas relacionados, etc. Entre otras líneas de investigación

interesantes destacan las siguientes:

Psicoacústica. Sin duda el tema más apasionante, aunque tiene más que ver con la psi-

cología que con la musicología o física de las ondas. ¿Por qué determinados sonidos o

melodías son capaces de transmitir emociones tan diversas y tan fuertes?

Afinación a 440 Hz. ¿Hay alguna razón por la que en la cultura occidental se afine LA4

a 440 Hz? ¿Será verdad que existen otras afinaciones más «armoniosos con el ser hu-

mano y con el planeta»? (cf. Narejos, 2013)

Desarrollo de la encuesta. También habría sido interesante clasificar los resultados de

la encuesta en función de la edad de los encuestados, para poder analizar así la evolución

de la capacidad de audición humana a lo largo de la vida.

Evolución a lo largo de la historia de los sistemas de afinación. Se trataría de un estudio

cuyo objeto sería comparar, desde el punto de vista histórico, los diferentes sistemas

empleados en los diferentes lugares del mundo y su evolución.

Relación entre la altura y la intensidad. En el presente trabajo se ha tratado la afinación

de forma completamente independiente de la intensidad sonora, aunque hay una rela-

ción clara entre ambas características (Ibáñez, 2008: 292).

Estudio del timbre. El análisis del timbre de los sonidos es uno de los aspectos de la

acústica más complejos y problemáticos, puesto que su estudio supone dificultades téc-

nicas y conceptuales (Ibídem).

10. Apéndices

39

10. APÉNDICES

10.1. Apéndice I

Nota Frecuencia (Hz)

Tónica II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII

La4 440 469,33 495,00 528,00 550,00 586,67 616,00 660,00 704,00 733,33 782,22 825,00 880,00

La#/Sib 469,333 500,62 528,00 563,20 586,67 625,78 657,07 704,00 750,93 782,22 834,37 880,00 938,67

Si 495 528,00 556,88 594,00 618,75 660,00 693,00 742,50 792,00 825,00 880,00 928,13 990,00

Do 528 563,20 594,00 633,60 660,00 704,00 739,20 792,00 844,80 880,00 938,67 990,00 1056,00

Do#/Reb 550 586,67 618,75 660,00 687,50 733,33 770,00 825,00 880,00 916,67 977,78 1031,25 1100,00

Re 586,667 625,78 660,00 704,00 733,33 782,22 821,33 880,00 938,67 977,78 1042,96 1100,00 1173,33

Re#/Mib 616 657,07 693,00 739,20 770,00 821,33 862,40 924,00 985,60 1026,67 1095,11 1155,00 1232,00

Mi 660 704,00 742,50 792,00 825,00 880,00 924,00 990,00 1056,00 1100,00 1173,33 1237,50 1320,00

Fa 704 750,93 792,00 844,80 880,00 938,67 985,60 1056,00 1126,40 1173,33 1251,56 1320,00 1408,00

Fa#/Solb 733,3 782,22 825,00 880,00 916,67 977,78 1026,67 1100,00 1173,33 1222,22 1303,70 1375,00 1466,67

Sol 782,222 834,37 880,00 938,67 977,78 1042,96 1095,11 1173,33 1251,56 1303,70 1390,62 1466,67 1564,44

Sol#/Lab 825 880,00 928,13 990,00 1031,25 1100,00 1155,00 1237,50 1320,00 1375,00 1466,67 1546,88 1650,00

TABLA 1.— Frecuencias absolutas (expresadas en hercios) de las notas de una octava a partir de la nota tónica según el sistema propuesto en el presente estudio, afinación

LA4 a 440 Hz.


40

10.2. Apéndice II

Tonalidad Frecuencia (Hz)

Do4 Do#/Reb Re Re#/Mib Mi Fa Fa#/Solb Sol Sol#/Lab La La#/Sib Si Do5

La 264,00 275,00 293,33 314,29 330,00 352,00 366,67 391,11 412,50 440,00 469,33 495,00 528,00

La#/Sib 264,00 281,60 293,33 312,89 335,24 352,00 375,47 391,11 417,19 440,00 469,33 500,62 528,00

Si 264,00 278,44 297,00 309,38 330,00 346,50 371,25 396,00 412,50 440,00 464,06 495,00 528,00

Do 264,00 281,60 297,00 316,80 330,00 352,00 369,60 396,00 422,40 440,00 469,33 495,00 528,00

Do#/Reb 257,81 275,00 293,33 309,38 330,00 343,75 366,67 385,00 412,50 440,00 458,33 488,89 515,63

Re 260,74 275,00 293,33 312,89 330,00 352,00 366,67 391,11 410,67 440,00 469,33 488,89 521,48

Re#/Mib 261,90 279,37 294,64 314,29 335,24 353,57 377,14 392,86 419,05 440,00 471,43 502,86 523,81

Mi 264,00 275,00 293,33 309,38 330,00 352,00 371,25 396,00 412,50 440,00 462,00 495,00 528,00

Fa 264,00 281,60 293,33 312,89 330,00 352,00 375,47 396,00 422,40 440,00 469,33 492,80 528,00

Fa#/Solb 260,74 275,00 293,33 305,56 325,93 343,75 366,67 391,11 412,50 440,00 458,33 488,89 521,48

Sol 260,74 279,37 293,33 312,89 325,93 347,65 366,67 391,11 417,19 440,00 469,33 488,89 521,48

Sol#/Lab 257,81 275,00 294,64 309,38 330,00 343,75 366,67 386,72 412,50 440,00 464,06 495,00 515,63

TABLA 2.— Frecuencias absolutas (expresadas en hercios) de las notas de la octava comprendida entre DO4 y DO5, afinación LA4 a 440 Hz. Los valores en negrita son las

tónicas.

10. Apéndices

41

10.3. Apéndice III

Leyenda:

Todos: la totalidad de los encuestados.

Instruidos: personas que han recibido, al menos un poco, clases de música.

No instruidos: personas que no han recibido clases de música.

Buen oído: personas que consideran tener un buen oído.

Mal oído: personas que no consideran tener un buen oído.

Instrumento: personas que tocan algún instrumento, al menos un poco.

No instrumento: personas que no tocan ningún instrumento.

1. diferencia: personas que distinguen entre las dos melodías del primer vídeo, o están

dudosas.

1. no diferencia: personas que no distinguen entre las dos melodías del primer vídeo.

1. mejor 1ª: personas que consideran más consonante la primera melodía del primer

vídeo.

1. mejor 2ª: personas que consideran más consonante la segunda melodía del primer

vídeo.

1. Iguales: personas que consideran igual de consonantes las dos melodías del primer

vídeo.

2. diferencia: personas que distinguen entre las dos melodías del segundo vídeo.

Ídem para el segundo vídeo.

Por ejemplo, si queremos saber qué porcentaje de las personas que saben tocar algún

instrumento consideran tener un buen oído, miramos la celda común de la columna «Instru-

mento» y de la fila «¿Crees que tienes un buen oído? ‒ Sí». Averiguamos así que dicho porcen-

taje es del 65%.


42

Pregunta To-dos

Ins-trui-dos

No ins-truidos

Buen oído

Mal oído

Instru-mento

No ins-tru-

mento

1. Dife-rencia

1. No di-ferencia

¿Has recibido clases de música?

Sí 20 71 0 27 18 29 8 18 22

No 72 0 100 62 76 59 89 73 71

Un poco solo 8 29 0 11 6 12 4 8 8

¿Crees que tienes un buen oído?

Sí 48 65 42 100 0 65 28 50 45

No 28 26 29 0 100 16 43 26 32

No sé 24 9 29 0 0 19 29 24 23

¿Sabes tocar algún in-struemento?

Sí 26 48 17 39 16 48 0 30 20

No 46 19 56 27 69 0 100 41 52

Un poco solo 28 33 27 35 14 52 0 28 28

Vídeo 1 ¿Oyes alguna diferencia?

Sí 54 54 54 60 43 58 49 86 0

No 37 40 37 35 43 33 43 0 100

No sé 9 6 10 6 14 9 8 14 0

Vídeo 1 ¿Alguna de las dos suena mejor?

Sí: la primera 30 35 43 47 43 38 49 42 -

Sí: la segunda 43 40 29 33 21 34 24 30 -

No 19 20 19 18 18 22 16 19 -

No sé 8 5 10 2 18 6 11 8 -

Vídeo 2 ¿Oyes alguna diferencia?

Sí 39 41 38 48 24 49 26 43 31

No 52 47 52 49 57 44 61 45 65

No sé 9 12 10 4 18 6 13 12 5

Vídeo 2 ¿Alguna de las dos suena mejor?

Sí: la primera 33 33 33 37 13 48 23 30 39

Sí: la segunda 38 38 37 47 46 40 37 35 48

No 13 18 12 7 17 13 13 15 9

No sé 16 12 18 9 25 9 27 20 4

TABLA 3.— Desarrollo de los resultados de la encuesta. Porcentajes de las respuestas marcadas en función de las

demás respuestas de los encuestados.

10. Apéndices

43

1. Mejor 1ª

1. Mejor 2ª

1. Igua-les

2. Diferen-cia

2. No diferen-cia

2. Mejor 1ª

2. Mejor 2ª

2. Igua-les

17 21 18 22 18 19 25 27

74 70 73 72 73 74 69 64

9 9 9 6 10 7 6 9

57 55 45 52 45 59 63 27

26 18 27 25 31 11 25 36

17 27 27 23 24 30 13 36

22 42 36 35 19 33 47 18

48 33 32 36 54 26 34 36

30 24 32 29 27 41 19 45

96 88 51 59 49 63 59 73

0 0 0 28 46 33 34 18

4 12 9 13 4 4 6 9

100 0 0 38 47 50 29 56

0 100 0 27 35 22 48 0

0 0 100 13 16 28 14 44

0 0 0 13 2 0 10 0

41 42 55 85 0 96 97 73

50 52 36 0 100 0 0 0

9 6 9 15 0 4 3 27

39 25 36 33 - 100 0 0

26 63 21 39 - 0 100 0

22 0 36 13 - 0 0 100

13 13 7 16 - 0 0 0


44

10.4. Apéndice IV

A continuación se incluye el código del programa usado en el generador digital de au-

diofrecuencias. El programa completo, con todos sus comentarios aclaratorios, está disponible

en el apartado Generador digital del portal en la red del trabajo.

float semitono = 1.06667 // declaración de los valores de los intervalos

float tono = 1.125;

float terceraMenor = 1.2;

float terceraMayor = 1.25;

float cuarta = 1.33333;

float cuartaAumentada = 1.4;

float quinta = 1.5;

float sextaMenor = 1.6;

float sextaMayor = 1.66667;

float septimaMenor = 1.77778;

float septimaMayor = 1.875;

int DO = 528; // declaración del valor de frecuencia de las tónicas

float RE = 586.66667;

int ledRojo = 16; // pines de salida

int ledVerde = 17;

int altavoz = 13;

int escala = 15; // pines de entrada

int tecla01 = 14;

int tecla02 = 2;

int tecla03 = 3;

int tecla04 = 4;

int tecla05 = 5;

int tecla06 = 6;

int tecla07 = 7;

float semitono = 1.06667 // declaración de los valores de los intervalos

float tono = 1.125;

float terceraMenor = 1.2;

https://sites.google.com/site/heuristicadelaafinacionmusical/generador-digital

10. Apéndices

45

int tecla08 = 8;

int tecla09 = 9;

int tecla10 = 10;

int tecla11 = 11;

int tecla12 = 12;

void setup() // función principal

pinMode(altavoz,OUTPUT); // configuración de las salidas

pinMode(ledRojo,OUTPUT);

pinMode(ledVerde,OUTPUT);

pinMode(escala,INPUT); // configuración de las entradas

pinMode(tecla01,INPUT);













void loop() // función cíclica

if (digitalRead(escala)==1) // escala de Do

digitalWrite(ledRojo,0);

digitalWrite(ledVerde,1);

int tecla08 = 8;

int tecla09 = 9;


46

if (digitalRead(tecla01)==1) tone(altavoz, DO);

else if (digitalRead(tecla02)==1) tone(altavoz, DO*semitono);

else if (digitalRead(tecla03)==1) tone(altavoz, DO*tono);

else if (digitalRead(tecla04)==1) tone(altavoz, DO*terceraMenor);

else if (digitalRead(tecla05)==1) tone(altavoz, DO*terceraMayor);

else if (digitalRead(tecla06)==1) tone(altavoz, DO*cuarta);

else if (digitalRead(tecla07)==1) tone(altavoz, DO*cuartaAumentada);

else if (digitalRead(tecla08)==1) tone(altavoz, DO*quinta);

else if (digitalRead(tecla09)==1) tone(altavoz, DO*sextaMenor);

else if (digitalRead(tecla10)==1) tone(altavoz, DO*sextaMayor);

else if (digitalRead(tecla11)==1) tone(altavoz, DO*septimaMenor);

else if (digitalRead(tecla12)==1) tone(altavoz, DO*septimaMayor);

else noTone(altavoz);

else // escala de Re

digitalWrite(ledRojo,1);

digitalWrite(ledVerde,0);

if (digitalRead(tecla01)==1) tone(altavoz, RE*(septimaMenor/2));

else if (digitalRead(tecla02)==1) tone(altavoz, RE*(septimaMayor/2));

else if (digitalRead(tecla03)==1) tone(altavoz, RE);

else if (digitalRead(tecla04)==1) tone(altavoz, RE*semitono);

else if (digitalRead(tecla05)==1) tone(altavoz, RE*tono);

else if (digitalRead(tecla06)==1) tone(altavoz, RE*terceraMenor);

else if (digitalRead(tecla07)==1) tone(altavoz, RE*terceraMayor);

else if (digitalRead(tecla08)==1) tone(altavoz, RE*cuarta);

else if (digitalRead(tecla09)==1) tone(altavoz, RE*cuartaAumentada);

else if (digitalRead(tecla10)==1) tone(altavoz, RE*quinta);

else if (digitalRead(tecla11)==1) tone(altavoz, RE*sextaMenor);

else if (digitalRead(tecla12)==1) tone(altavoz, RE*sextaMayor);

else noTone(altavoz);

if (digitalRead(tecla01)==1) tone(altavoz, DO);

else if (digitalRead(tecla02)==1) tone(altavoz, DO*semitono);

10. Apéndices

47

11. AGRADECIMIENTOS

Una vez acabado el trabajo, lo único que me queda por hacer es expresar una vez más

mi agradecimiento, en esta ocasión por escrito, a todas las personas gracias a las cuales me ha

sido posible llevar a cabo este estudio.

En primer lugar, debo dar las gracias a mis padres. He contado siempre con su respaldo,

han sido los que me han apoyado en todo momento y puesto los medios para la realización de

este trabajo.

A continuación, agradezco la ayuda de mi profesor de música, Juan Jesús Yelo, que ha

demostrado un verdadero interés por el éxito de la investigación y no ha dudado en asesorarme

con su larga experiencia y conocimientos en el ámbito de la musicología, sacrificando a menudo

su tiempo libre.

La revisión de la redacción del trabajo y su corrección es mérito de uno de los mejores

lingüistas del mundo y mi buen amigo, Paco Campillo. También debo dar las gracias a mi pro-

fesora de lengua castellana, Mª Dolores Muñoz.

Asimismo me reconozco obligado al Departamento de Tecnología de mi instituto, en

particular a Pedro Saura y a Pepe Valverde, pues gracias a ellos mis colegas tecnólogos y yo

tuvimos la oportunidad de iniciarnos en el mundo de ARDUINO. Además, fue Pedro quien me

facilitó parte de los materiales necesarios para la construcción del generador y me ayudó en los

aspectos técnicos de su programación.

Finalmente, pero no por eso de menor importancia, agradezco de todo corazón la ayuda

desinteresada de todas las personas que, de una manera o de otra, han contribuido en la realiza-

ción de este trabajo: Vicente Cotanda, la tita Ana, Santiago Orellana, Salvador Olivares, Anto-

nio López, Iván Moreno, Dr. Juan Suardíaz, Dr. Sebastián Martín Balbuena, Dr. Rafael Richart

y todos aquellos que han tenido la amabilidad de sacrificar un rato libre para rellenar la encuesta.

A todas estas personas y a cada una en particular, mil gracias.


48

12. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Heurística de la afinación musical - Estudio psicoacústico y estadístico de la audición

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