HỆ THỐNG HÓA CÁC BÀI TẬP HÓA LƯỢNG TỬ - NGUYỄN THỊ PHI (TRÍCH ĐOẠN)

8/9/2019 HỆ THỐNG HÓA CÁC BÀI TẬP HÓA LƯỢNG TỬ - NGUYỄN THỊ PHI (TRÍCH ĐOẠN)

http://slidepdf.com/reader/full/he-thong-hoa-cac-bai-tap-hoa-luong-tu-nguyen-thi-phi-trich 1/46

M Ụ C L Ụ C

M Ở Đ Ầ ư . Tra ng

Chương I: C ơ SỞ C ơ H Ọ C LƯ Ợ N G t ử

I. T ó m t ắ t lý t h u y ế t .................................................................................................................... 2

1. M ột sô" biểu thức cần ghi nhớ thời kỳ tiền lưựns: t ử .............................. .....2

2. Cơ sở toán học của cơ học lượng tử ...........................................................................2

II. P h â n loại bài t ộ p ....................................................................... .................................................9

1. B ài tập về cơ sở vật lý của cơ họ c lư ợn g t ử .................... \ .......................................9

a. Bà i tập về bản chất sông và độ bất định của hạt vi mô :........... :....... ......... 9

Jb. Bài tập về hiệu ứng quang đ iệ n ......................................................!.................. 12

2. Bài tập về cơ sở toán học của hóa học lượ nc tử ................................ ................. ] 6

a. Bà i tập về toá n tử, tính ch ất củạ toá n Lử.......... ........ \ ..................................... 16

b. B ăi tập về g iao hoán t ử ..................ì...............;......................................................’19

c. Bài tập về trị riêng, hàm riêng của toán t ử ................................................ 23I

d. Bà i tập về hệ tiên đề cđ học lượ ng tử ............................. ...!.............. .................26

e. Bài tập ứng dụng phươn g trình Schro cỉinser cho hệ lưựnơ tử điển hình 30

Chương II: NG Ư V ÊN TỬ

I. Tó i i i tắ t lý th u y ết . . , .................................... ..........................................................................35

1. C h u y ển động củ a hạt,-trong trư ờng.(xuyên tâ m .....................................................35

2 . N gu y ê n tử Hicỉro và các ion giỏn g hic lro............................................................ . 36

3. N guy ên tử nhiều e lectron ........................................................"..................... . .40

4. Hệ thông tuần hoàn các nguy ên tô" hóa h ọ c ..............9..................................... 42

II. P h a n loại bà i tậ p .......... ......................... y ........ .........................:.........................................44

1. Bài tập về hàm sóng, 'năng lượng c^a electron trongnguyên tử .........................44

2 . Bài tập liên quan đến n, /, m, ms ..........V ...................................................................53

3. Bà i tập về câ u hình el ec tio n ..............K.\ ...........................'..................... v............ . 54V " 1

' 4. Bài tập về xác định vị trí của ng uy ên tô trong bảủg HTTH

■nhờ câu hình electron..!................................................................................................56

5. Bài tập xác định vịtrí (tên) nguyen.tojixm^^'^'to HTTHnhờ bài toán tìm z .... ........................... ........................•.... .........................57

X

Qlợ nụ ẫ iL Q ’iii. (J)hi // «i

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N

WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

iới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú



H T T H ...........................................................................................................................60

7 . B ài tập về m ốĩ qu an hệ giữ a vị trí, cấu hìn h củ a ng uy ỗn tô" với tính c h ấ t .. 62

Chương III: PH Â N TƯ

I . Tóm t ắ t ỉý t h u y ế t ..................................................... i.............................................................64

1. Các đặc trưns; cơ bản của li ên kết hó a h ọ c ...........................................................Ố 4

2. Các th uyết về liên kết hó a h ọ c ................................................................................64

3. Liên kêVtroníi phứ c c h ất .................................................................................... /......73

Iỉ. P h â n loại bà i t ậ p ................................ ...............................................................................74

1. Bà i tập về thuy ết điện tử hóa t rị (Lewis, K osse l , La ng m uir 19l ố ) ....... 74

2. B ài tập về th uyết V B ............................................. ......................................................78

3 . B ài tập về th uyết M O ............................................................................................ 82

4. B ài tạp về li ên kết trong phứ c c h ất ................................................................:......92

K Ế T L Ư Ậ N

PHỤ L Ụ C .

T À I L IỆ U TH A M K H Ả O

. I

#

/

r

n I

(

' 7 ■

r

ì\ I

ỉ

Ql ti ề ỉt . &íiL ('PỊĩi



DIỄ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





HÓA LY

M Ớ Đ Â Ư7

Trải qua khoảng thời dan "ần 3Á thế kỷ (từ năm 1927 đốn nay) imành ,hoá học

lưọ'n<z tử (HHLT) đã m an ? lại nhiều thành tựu đán g kể. '

Ngày nay HHLT ngày càng chứng tỏ là một lý thuyếl khônỉĩ thể thiếu được tro n2

mọi lĩnh vực hoá học. H HLT không chỉ giải thích đúng đắn các quy luạl hoá học dã điíọe

tích luỹ Lừ lâu, lảm sáng tỏ về cấu tạo chất, về cơ chê"phản ứns mà còn ticn ĩloán hừớn"

giải quyết vấn đề họá học phức tạp, giũp cho các quá trình Lhực nỵhiệrn mộl-hưứnơ di

đún" đắn và hiệu quả.

Do tính trừu tư ợng và phức tạỊ3 của mô n học nên ng oài việc lỉắm lý thuyết suônụ

thôi chưa dủ mà phải gắn'liền với việc giải bài tập. Tron" khi các tài liệu bài tập HHLT

vẫn chưa nhiều và chưa mans tính hệ thông.

T ừ ý nghĩa thực tiễn đó, tôi nhận thấy việc đi sâu tim hi ểu,,nụ hiên cứ ệỉề tài “Hệ1

tho’nLT ho á các bà i tập hoá lượnií tử ” là rất cần thiết nhằm ph ục vụ lôVhơn chố-cồne lác

2Ìảri2 dạy và học lập hoá học.

Bảng luận văn được chia làm 2 phần: Cơ sở lý thuyết và hệ Ihôn" bài lập.

Dù được sự hựớng dẫn tận tình của thầy Nguyễn Phi Hùng cộnsí với sự nỗ lực của

bân thân nhưng khi thực hiện đề tài này chắc chắn không sao tránh khỏi ihiếu sót.'Tác

giả mong nhận được sự đóng góp ý kiến bổ sung của quý thầy cô .cùng các bạiúỉể-đề tài

được ho àn chỉnh hơn.

■1

r Quy nhơ n, tháng 05 năm 2005

Tác giả

r

Q ĩq úụ ề tL £ 7 7 / / <J)hi CJraiuj t



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





Chương I: •C ơ S Ở C ơ H Ọ C L Ư Ợ N G T Ử '

I/ TÓM T T LÝ THUYẾ T

1. M ộ t sô'b iể u tìiứ c c ầ n gh i nh ớ thòi kỳ t iề n lư ợ ng tử :

1.1 Giả thiế t về s ự lư ợ ng t ử hóa năng lư ợ ng dòng.photon hay định ỉuậ í Pìanư k.

En = rì.h.v với n=l, 2, 3,...1.2 Hi ệ u ứ ng quang điệ n :

. . 1 ,2ỈLV = h.vn + —.111. V0 2

Trong đó: V - tần sô" ánh sáng.

v0- tần s ổ ngựỡng quang điện.

1.3 Hệ thứ c De Broglie vớ i lư ỡ ng tính sóng - hạ t củ a phototv.

Ar=— với c: vận tốc ánh sáng (3.108m/s)m.c

Ạ

•0 . ■- Khỉ mở rộng cho bất kỳ hệ vi hạt nào

x=—=—— ' với m: khôi lượng của vi hạt. í p :m.v

P: Đ ộng lượng của vi hạt.

v: tốíc độ vi hạt. '

- Khi elect ron c huy ển động trong một điên trường với hiộu điện thố ỉà u volt thì:

h

írỉzì _ t/á H năn /o ỉ // í/ié/r ___________________________________________________________________ MỒ A LY

( l .m.q.uý '2

với m -- khô i IiíỢ ng hạt. 7 : Bước sóngq - điện tích hạt.

h = ố,62.10'34 J.S ( hằng s ố Planck)

1.4 Hệ thứ c bấ t định Heisenberg:

ầ xA Pt > h hay Ax.Avr > — m

Vớ i = — = 1,05.10"3V.s. (hằnơ sô" Planck rút 2ọn) ''•2 n ' " r<

Àx - độ bất định về toạ độ

ÀPX- độ bât định về động lượng✓’ <

Àv - độ bíư định ve vạn tôc

2. C ơ s toán h ọ c củ a CHLT:

2. ỉ Toán tử :

ci) Định nghĩa : toán tử là một phép toán mà khi tác độ n2 ỈỔ1T 1 líàm sè cho ta một

hàm mớ i. ' ị

Â f ( x ) = g ( x ) ■

ly) Các phép toán cử a toán tử : t- i

- Cộ ng hai toán tử: A + B = C <-.>C f (jc) = Ị A + B j / = 'A f + B/

Q I j ì u j Ĩ u l < dl ù ( Ị ) h i Qrmaj. 2



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





V\ÓA LÝ

dx

VD: Â = X , B =cỉx

[ A + B ) f = A f + B f = x . f + d i

- Nhân hai toán tử:

Â . B = C <-> C/ = (â . b ) / = Â ( § / )

B.Â = C <-> C f = ( ê . Â Ì / = B Í Â / j

VD: Â = A-;§ = —

=> A B B A+ Giao hoán tử của-hai toán tử ký hiệu:

■' * Nếu

d x v ' dx " cỉx

A , b 1 = A B -B A

* Nếu

A, B = 0 <-> AB - BA = 0 :=> A , B giao hoá n nhau.

A, B ^ 0 <-> AB ^ BA ==> A, B không giao hoán nhau.

- Luỹ thừạ của toán tử:

Ấ V = Â ( Â / )

Á V = Â [ Â ( Ẩ / )

VD: f ( x ) = 2 x “ +i/ ( * ) = 2 x 4 + ì , A = - £

ĩ } f = — h x A + l ) l = ™ ( 8.v3) = 2 4 X 2d x [ d x K d.x{

d_

Jx

c) Hùm riêng và trị riêng củ a toán tử :

- Phươ ng trình trị riêng của toán tử có dạng: A/ = a . f " (1)

Trong đó: + f: gọi là hàm riêng của toán tử A

+ a : tham số gọi là trịriêng của toán tử.- Từ phương trình (1) ta có:

+ Nếu ứng với 1 ơi'á trịa có 1 hàm f thì gọi trị riêng không suy biến.

+ Nếu ứng với 1 giá trị a có n hàm f thi gọi trịriên g suy'biê n bậc n.

Â/l = a.f,

A/i a-fỉ \ a j-jj suy [jic'u bậc n

Â/„ =«•/„.

2.2 Toán tử tuyế n tính:ci) Định nghĩa : Toán tử A được gọi là toán tử tuvến tính nếu nộ thoả mãn*dồns

Q lguyề ỉt. &ỉu’ <J)hL (jraiu j 3



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





£ Q ^ u â ĩ! t;(7/ỉ fof HÓA LÝ

thời 2 điều kiện sau:

A (/i + / 2) = Ạ /ì + A/ 2 ,

Ẩ ( c . / ) - c . ^ A / j c = const * 0

Hoặc A(c,/ j +c 2f 2) = Cj A/j + c 2A/ 2 với Cị, c2: hằng sô'

Tính cìĩấ i củ a toán tử tuyế n tính: ;

Nếu A , B là toán tử tuyến tính thì toán tử sau cũng là to án tử tuvến lính .

+ Tổ hợp tuyến tính a A + bB

+ Tích AB, BA

+ Luỹ thừa An, B"

c) Các định lý về hàm riêng, trị riêng toán tử tuyế n tính (t4)

- Đ ịnh lỷ 1: Nệu f là hàm riêng của t4 Aứng với trịriêng a thì íiàm .ct' (c= con st^0 )

cũng là hàm riêng của t4 Ạ ứng với trịriêng a.

I A f = a . f ' ~<p. — >A(c . f ) = a.(c.f ) (c = Cỡ/?í/ ^ 0)

A : /4Ị

- Đ ịnh ỉỷ 2: Nếu a là trị riêng suy biến bậc k của t4 À Ihì tổ hợp luyến tính của k

hàm riên g đó cũng là hà m riêng của t4 À ứng với trịriêng a. :

= a —'> ***°2'^2"**’’’ Ck’ k^ ~ a C l ' ^1**"■■■**"C-'' k) 4-

------------■ : hay A ^ c r f t = \c ,= const ^ ' /=I /=1

vÂ / i = ữ . /t ;

- £>//;/; lý 3: Đ iều kiện cần và đủ để 2 t giao hoán nhau là clnín? phải có chunạ

hà m riêng;. , ,

A 11 = All1' - * *

B V - <=> w = V

~ 5ê ] = 0 , • . \

2.3 Toán tử Hermite\

a) Định nghĩa'. Toán tử A được gọi là toán tử Hermite hay toấn tử tự liên hợp nếu

chúng th ỏa mãn hệ thức sau: . •

*Ẵ f d r = J / (Â g) *CÌT hay (g |Â/ j = (Â g I

b) Cá c định lý về toán tử Hermite: *

- Địnỉi lý ĩ: Nếu A là toán tử Hermite thì C.A (c = const = 0) cũn ” lồ bá n tửt e . • ‘ ’

- Đ ịn h lý 2: Nếu Á , B là hai toán tử Iier mi te thì tích của cluing sẽ là toán tử 'Hermite vớ i điều kiện À , B giao hoán nhau. ^

- Đ ịn h lỷ 3: T ổ hợp tuyến tính của các toán tử Hermite cũng là toán tử Hermite.

Qlsj.it Ị /In C7//Ậ Q r t m 4

Hermi t e . '



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





f

C Q X u A * 11(7/1 /<ử /ự Ịic/i HÓA LÝ

- Đ ịnh lý 4:

- Trịriên" của toán tửHermite luôn là số thực

- Tâp hơ p các hàm riêng ứns với các trị riêng k hác nhau của toán tử

Hermite lập thành một hàm trực giao. A . f = a . f ; A ẹ = b.g r 1 => \ f * g d T = o

A '. rH erm ite ■>

- Đ ịnh lỷ 5: Đ iều kiện cần và đủ để 2 toán tử Herm ite "ia o hoán nhau là chíiim cỏ

•chung hà m riên g và trị riêng của chúng được xác định đồng thời tr ong'c ùn" trạn" thái.

B / = b . f

a,b đồng thời xác định

2.4. .Mộ t s ố khá ỉ niệ m v ề các hệ hàm:

a) Hàm chuẩ n hóa:'

7,Hàm [ự được gọi là hàm chuẩn hóa nếu thỏa mãn jV *\ự dx = 1

hoặc J|ỉ//|2d ĩ - 1

- Nếu hàm \ự chưachuẩn hóa ị \ Ị /* ỉ Ị / c lT = N ^ 1'đưa về điềư kiện chuẩn hóa

— IV * ụ /dĩ = 1 o ịf - | L Ì ị - ¥ = N \ 4 n \ J n

A,B : t2Iier m ỉ te<pxs“1 <=> <

A.B = 0 ■-

đ ĩ = 1) '

—> hàm -%= Ịà'hàm chuẩn hóa. ’ 1 yjN '

—> J / j ---- > thừa s ố chuẩn hóa.

b) Hăm trự c giao

ị//{, ụ /2 ơọi là trực giao nếu Ị ụ /t * ụ /2ẩ T = 0

c) H ệ hàm trự c chu ẩ n: . .. -

Hệ hàm y/ì ,y/2,.. .,y/n được gọi là hệ hàm trực chuẩn nếu nó chuẩn hồa và trực giaò

với nhau từng đôi một , nghĩa là: ,■

c T o nếu m ^ n ( i

Ị /y * lị/ d ĩ = ,1 nêu m=tt

Ký hiệu Ji//,,, * ụ / jT = (y/,„ I y/,,) = s,„„

d) Hệ hàm đầ y đã: 1

Hệ hàm ụ /ị,i//2,...yự /n đưực gọi là hệ hàm đầy đủ nếu lìàmu// bâl kỳ có thổ khai

triển thành chuỗi tuyến tính củà hàm âyĩ

-■ ụ / = crụ /, + cỉ .i//i +... + cay/llh ỳ ị icl.ụ /;=y/Ị ■/=I I ■

Với Cj: hệ s ố tổ hợp (hệ số* đóng góp, thừa sô" khai triển chuỗi).

QC(jittjễ iL £77/Ậ (])hL



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





ễ Ấ rẫ nă/l f ố ỉ »ọ ị ộ /ỉ HOA LY

2.5 Mộ t s ổ khái n iệ m khác:

a) S ố phứ c: s ố phức là số’có chứa hệ sô" ảo i (i2 = - 1)

b) Liên hợ p phứ c:

a = a (a: số thực)

(ỉa)* = - ỉa

(a + ib )* =ci -i b

c) Tích vô hư ớ ng:

Tích vô hướng hai hàm f, g ký hiệu ( / Ig) được xác định như sau:

ự l g ) = Ị f * g d T

- Các thuộc tính của tích vô hướng:

■ - (C>A + C1Ỉ2 ^ ) = CÍ ( / | I s ) + C2{ f 2 \g)- { / I C|8| + c2g2) = c , ( / 1 £,) + c2(/1 g2) ,

'• - ( / ! / ) = \ f * f . d ĩ = ị ỉ f d T > Q

d) Hàm Snm (Cronecker)

0 nếu n &m5 •= , ; ’1 £' ' ' [_1 nể 11n=m

0 L ố Ì ỉ ệ tiên đề củ a cơ họ c lư ợ ng tử :

'a j T i e n đề ỉ: Tiên đề về hàm sóng ! ‘ ...

N ộ i dung: Mỗi trạng thái của hệ vật lí vi mô ( hay hệ lượn" l!ử) cổ the được đặctrơn" đầy đủ bằn" một hàm theo 2 biến sô": Tọa độ (q) và thời ỉùan (t).

K í h i ệ u g ọ i là hàm trạng thái hay hàm sóng của hệ.

Từ hàm ụ / (q j) ta nhận thây:

- H àm sóng n ói chung là hàm phức, đơn trị, hữu hạn, liên tục, khả vi.

- Mọi thông tin cần thiết về hệ đều suy ra từ hàm này.

- .Ịỉ//(ợ ,0|2 = chỉ m ật độ xá c su ất tìm thấy vi hạt' tại tọa độ q- và thời

điểm t. r

N h ư vậy xác- suấi tìm thấy hạt là: CCÙ = \y/{q,0 |2d ĩ 1d ĩ = dv = dx.dy.dz

- I-ĩàm sóng y/(<7,0 thỏa mãn nguy ên lí chồns chất trạng thái, hay hàm n ày lập

thành m ộ t tổ hợp tuyến tính. / ■ '

V = C,I//, + C2IỰ %+... + c„y/„ = £cy // ./=1 ■ ' *

b) Tiên đề 2 :T i ên đề về toá n tử: ’ : , : * '

, N ộ i cỉuns: ứ n g với mỗ i'đại lựỢ rig vật lí trong cơ học lượng tử hì ỉ toán tử rH er m ite

M ộ t số toán tử quan trọng hay gặp: _____________ - ______________ _

Đ ại lượngTọa độ X, y, z

Toán tử tương ứng

x-=--x, ; y = y ;

Q lýi t ụ Ầ ỉ t <JỊ tL <J)ỈIL



D

I

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

ÁN

L

Í

H

Ó

A

1

000

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





i/â /t 0(7 /} io t Hi'/<<’ / ' HÓA LÝ

Đ ộng lượng p „ Py, P;

p = p x + Py + pz

H,%

"Z Ụ ự y ' C

Momen động lượng

M x, My, u z

T hế năng Ư (x,y,z)

Đ ộng năng T p2 m

Năng lư ợng E = T + ư

P, = - ih — ,í\. = - i ll— ; ĩ ; = -ill■ OX ' :ớy

? = -iỉì r ồ t ô t õ

v5.V ' ợy Ổ.Ĩ p 2 = - h 2.V 2

ớ y

a_

&

= -Í//.V

-~\2 ^2 C\2n2 o 0 0 -ì , , T ,V = —— + r——+ - to án tử La plac e

a* 2 ơ y dz2

Mx = —ih{y.Pz ~z .py)

M y =- i t i (z .px - x . p z)

M l =- ih(x .py - y . p x )

A ? = m I + m I + MI /"*N

u = u.,2

T = ~ — .V22m

~ ft 2h = - — .v 2. + u

' 2m

s Lf

Toán tử spin thành phần và spin bình phương

/ifo 1 Ní =

2V1 0 , t V 0 -13/r

4

1 0

0 -1/ . <- -•

,c.t/Ấ ữ rtO ■i-■ J Q Qlxì<3~i i"F,qr V!">?•’ }

c) Tiên đề về 'phư ơ ng trình Schrodinger : (Tiên 'dề 3) L:!

- Trạng thái clừns là trạng thái mà tại đó năn2 lượngcủa Iiệkhông biếạ đổi theo

thời gian chỉ biến đổi theo tọa độ.

Nội dung: Mọi hệ vi mô trong trạng ..thái dừ ng đều thỏít mãn phương trình

Schroclinger có dạng sau : HiỊ /[q) = E ụ /(q )

~ ~ ~ - h 1 >Với H = T + Ư = — A + u : toán tử Ham ilton '2m

E : năng lượns hạt. vi mô _ 2/77Thay H vào ta đươc phương trình: A lị/ +~ -~{E - U)ỉỊ/ = 0

h

Phương trình Schrodinser là phương trình vi phân tuyên tính câp 2,'VÌệc.giải

phương trình Schro dinger sẽ thu được đồng thời hai kết quả ỉà hàm [Ị/ và trịriêng E

d) Tiên đề 4: Ti ên đề về trị riêng và ừị’trung bình. 1

- Nh ữn g giá trị đo ỉườnơ 1 đại lượng vật lí A chỉ có thể là ph ổ các Irị riêng a„ của

toán tử tu yến tính Herm ite Á tương ứng theo phương trình trị riêng d thời iỉiốm t.

Q íịiiị / Ĩ í i CJỊù (J)lĩì í ĩ ĩraiHỊ 7



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





CI - (a =

Trọng CHL T phổ trị riêng là gián đoạn .

- Như vậy, ở vào một trạng thái xấc định của hệ ỉượim ì ử dặc trưng bằnu một hàm 1

sồn II lị/ thì giá trị trung bình 'a của đại lượng A đirực xác định bằh a hộ thức :

_ JV„ *Âự /„dr ;

2,7 Điề u kiệ n đ ể hai đ ạ i lư ợ ng v ậ t lý có giá tr ị xác đ ịnh d ồ ng íỉ ĩờ i cìmạ mộ t tr ạ n°

t h á i :

Đ iểu kiện cân và đủ đê hai đại lượng có giá trị xác định đôns: thời ỏ cùng một

trạng thái là clìúng phải biểu diễn bằng những toán tử giao hoán.^ "iu' k~q-l'to Js 1

Một s ố hệ thức' giao hoán thường gặp :

+

+

+

= i h M .

ih.M.

Như ng M 1 ,ìvl M \ M Z 0

+

Nhưng

s J Ị ] = ^ l

' s , . s t ] = i t i sx

r? , s x = [ s l £ s2,s, = 0

M ộ t s ố biểu thức giao hoán tử hay sử dụng :

A , Ỗ l = A ồ - S . A = 0

A Ì + c ] = ~ Â Ì V ịc '

A '+ B,(P\ = ~A, C +~B,C

a , b £ \ = \ a , b \ x: + b \ a , c

a 3 , c \ = a \ b , c \ + \ a ,c \ b

* C h ú ý : £ , £ ] = 0 ; [ Ậ ^ - ] = 0

0 khi / 5* j

- ỉkhi i - j

- K ý.h iệu i, j ứng với 1, 2 ,3 thay cho X, y, z '

•Quy ước dấu theo hoan'vi vòng:T hu ận theo kim đồ ng hồ: 1 2 3 = 2 3 1 = 3 1 2 = 1

Nghịch theo kim đổng hồ: 3 2 1 = 2 1 3 = 1 3 2 = -!

Ql(jtitjễ n. ^ í i ị rp hỉ (jrting. s



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





a) Sự chuyể n độ ng electron trong giế ng thể theo phư ơ ì ìg x:

Phương trình Schrodinger trong trường hợp này có dạng:

4- :^ỉ~.Exự = 0' điều kiên biên ự / (0) = ụ / (L) = 0

L 'X

c/a-z ì t ' 7

Giải phương trình vi phân ta có':

- Hàm sóng w,Ẩ x) - J Ậ . s in n — xV L L

ĨI -N ăn g lươn 2 E n - I I

o . 0 / 1 0 r z

ồ .m.L

n = 1, 2, 3,... số" lượng tử chính

h: hằng số*Planck

m: Khôi lượng electronL: chiều rộng giếng thế.

hạ n)

m: Khôi lượng electronL: chiều rộng giếng thế.

b) Sự chuyể n độ ng electron trong giế ng th ế 3 chiề u (mô hình hộ p ÍÌIƯ 3 chiề u sâu vô

Phương trình Schrodinger

a V ■ d2\ư 2m.E -^ + - - y - . (// = 0

av2 a / a? Í!2 ,Đ iều kiện biên: ụ / (o, y, z) = ụ / (x ,o ,z) ='ự / (x,y,o) = 0

ụ / ( L, y, z) = Ụ / (x ,L,z) = ụ / ( x, y ,L ) = 0

- Giải phương trình vi phâmta có:

-H àm sóng = „, ( * K , ừ M . , M

V ới ^ (x) = M - sin r-*

n , . f y .y

, , f ĩ . r , ( z ) = f c s i n n , £ . z

-Năng lượng E /1 / 1

_/z _

•8m

2 ...2 2Hy K

_ 1£ _ ! ____ z _ I------ ỉ-r 2 T 2 1 r 2 L nx L ns L n.

II. P H Â N L O Ạ I B À I T Ậ P

1, Bài tậ p về cơ sỏ’ vạ t lí của cơ học lư ợng tử'. /

fi. # àz /(?/; về b ả ì i chấ t sóng và độ bấ t đ ịnh c ủ a ì i ívi m ồ . \

Bài 1: Hãy tính bước sóng /l của sóng liên kết với:

a) Chuyển động của điện tử trỏng nguyên tử H với vận tô c V có độ lớn khoải:2‘ T

b) Chuyển động của một ô tô, khối lư ợng m =l tấn với vận tốc V—100 km/h.Từ kết quả thu đươc cho nhận xét.

Giả i:

10 m/s

Q tụ u yễ ỉ i £7/f/ <J)íỉL ( dv iu iợ . Ọ



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





a) Bước sóng của electron nguyên tử H: (

-h ố >Ố 25.10 _ —- V. _ 10, V *7 o /A 1Ẫ = - = • --- -----— - = 7,2.10 (m) = 7,2(A )

Hí.v 9,1.10 .10 :

=> Đ ôl với hạt có kích thước ngu yên lử cỡ d= 1A° thì sóng D eBr ogịe giữ vai trò

quan trọng. 1 b) Bư ớc só ng của ô tô:

6 ,6 25 1 0 - ^ 6 0 0 = 3 3 1 0 . 3 ,

m.v 103.105

=>Ầ thu được quá nhỏ. Đ ốì với hệ vĩ mô, sóng liên k ết hoàn toàn không có ý

nghĩa. .

Bài 2:■ , , *

• Tính bước sóng liên kêt với electron chuyên động trong một điện Irườnơ có điện

t h ế U -1 0 K V (h = 6,6 25 .10‘34 J.s; m e=9,1.1 0'31 kg, ,q = l,6 .10 ‘l9 (c)

Giả i: Khi electron chuyển động trong điện trường sẽ có động năng cân bằng vứi năng

lượng điện, tức: l/2m .v2 = qXJ => V= .1—^— E - ị Ll - c ~ V = T = N . Wr ^ ỵ m . = KJ..SL

Bước sóng Ẳ của sóng liên kết: ,

h _ /ĩ _ h _ , '

m y h q U f im q U ^2.9,1.10"3I.1 ,6 .10' 19 I04

V m I

= 1 ,2 28 .10“1' I(/?z) = 0 ,1 2(A °) ’ • ^

Bài 3:Dự a vào biểu thức của D eB rog lie hãy xác định độ dài bước SÓ11ÍĨ ( / l ) t heo khối

lượns trong các trường hợp sau đây:

a) Một ch iếc xe tải nặng 1 tấn chuyển động với vận tốc 100 km/h

b ) Một hạt proto n có m =l ,67 .10’27 kg và độn g năng T = 1000 eV.

T ừ kết quả thu được của X hãy cho nhận xét.

Giả i: ■ :

a) Bước sóng De Broglie của xe tải: ,

^ 6 ^ . 3 6 0 0

Itì.v 103.105

1 2T b ) Đ ông năng của proton: T = —m.v —> V = J

• 2 Y 111

Vậy bước sóng của proton

_ h h h « À —----- = -

m y Ị ĩ r 'J ĩ ĩ mm-\ V m

A=6'625Aữ ' 34. =9,Ỉ AQ-'\m) -

V2.103.l,6.10'|lJ.l,67.10' -2 7

T ừ kết quả trên ta thấy độ dài bước sóng của vật thể vĩ mô là rất nhỏ (so VỚ I vật

Q ờ jiu jẽ /1 ( j h i rp id Q'vtuiạ 10



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





CQ & ư rỊ /Ị V(7>) /i-í / /tỵ iề /i HÓA LÝ

thể vi mô) nên có thể bỏ qua. Nhưng đối với vật thể vi mô tính chất này cổ ý nghĩa quán

trọng.

Bài 4:

Trên cơ sỏ' của n guyên lý bất định Heise nberg, hãy tính dộ bíu cỉịnh VC vị Irí /sx

rồi cho nhận xét đối với các trường hợp sau đây:a) Giả thiết eloíron chuyển động với vận tốc khấ lớn V= 3.Ì06 m/s; ni = 9,1.10"31

k g ' . , ■' b) Một viê n đạn sú ng săn với m = 1(g) chuyển độn g với vận tốc 30 m/s. Gií^ thiết

rằn í sai số’tương đôi về tốc độ cho cả hai trường hỢ p — = 10~5V

Giả i:

a) Đ ộ bất định về vị trí của electron là: ,ầ x.ầ Jpx = A xA v .m « h '■

ti h Ố ,Ố 25.10~34 ;=> àx - ——— = ----- — = ------------------ ' r --------- ~T7 - 3,86.10 (m / s)

Av .m v.l 0~5m 2.3,14.3.1 o6.10~5.9 ,1 .10“31

b) Đ ộ bất định về vị trí của viên đạn súng săn là:

Av = ----- 6— — ° 4 ------T = 0,03 5.1 0'“ =-3,5.10"34 (h i/J )2.3,14.30.10 .10 ■

So với kích thước của nguyên tử thi độ bất định của e lec tron ỉà ml lứn, khô n" thể

xác định vị trí của electron. Như ng ngư ợc lại đôi với viên đạn thì cỉộ bất định về vị trí rấL

nhỏ, có thể xác định chính xác vị trí của viên đạn. I

Bài 5:Hãy xác định độ bất định về động lượng và tốc độ cho một electron khi I1Óchuyển

động trong m ột vù ng khô ng gian theo một chiều xác định (giả sử theo chiều X của tọa độ

với độ rộng bằn s cỡ đường kính của nguyên tử ~ 1A°.

Giả i: |5" '° • v*‘**

Th eo hệ thức bất định He isenberg .. - ý &'*-■= LÕ'À J

Ax.AP > h -> AP' = — = - ■- l,0 55.10~2'l( ftg.;» j~l ) ~ •* à x ,2.3,14.1.10

A A J P , 1,055.10'”

M à AP = m„.Avr => Av = — 1 = — — — T7— = 11,6.10' Ọ ĩi.s )* . -r ■* m 9,1.10

T ừ kết quả thu được ta thấy rõ ràng tốc độ của elec tro n là xác dinh cỉưực, trái lụi

giá trị động lượng lại bất định. Như t hế hai đại lượng này khổn g đồng thui xác định.

Bài ố:

Dự a vào ngu yên lý bất định Heise nbe rg hãy cho biết độ biến thiêri năng lượng AE

và At thuộc một hệ lượng tử có đồng tlĩời xác định không? ■ * *

Giả i: ’

- H ệ thức bất định Heisenberg: ầ x .APx > t i ị

Chỉ ra rằng A x , APX không đồng thời xác định. -,Đ ể khảo sát hai đại lưựỉig ÀE, A ỉ ta xuất phát từ biểu thức:

Qĩ<juự . ể n. £7/// (J)ỉ ừ . ọ ^ranự . / /

ị



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





r- _ ( m . v ỷ _ p 2 • • : _ .E = —m.v = — = ■“— , M v i R = m.v)

2 m 2 m gCv 'At-z z m Am g tv „ 0 J'-jf p - t i ^ v í t c ổ j >c U m

> d E ~ ~ d p = v.dp I 0 ) m

Mặt khác ta biết: V = — Ihế vào (1) ta được

CỈE = — .dp <-> clExỉ t - dx.d P d t

Sự b iến thiên c ủa E và t có thể biểu diễn b ằng AE.A t = Ax.APx > Ìì (2)

Như vậy biểu thức (2) chỉ rõ rằng độ biến th iên năng lư ợng và thời gian,của 1 hộ

lượng tử là không đồng thời xác định.

*BT lương tự: k ■

Bài 7: Hãytính bước sóns; liên kết DeBroglie cho các trường hợp sau:

a) M ột vật có.khốì lượ ng l,0 (g) c huyển động với vận tốc 1,0 cm .s'1.

b) Đ ốì với vật thể cũng có khối lư ợng như thế nh ưnq chu yển clộns; vứi vận tốc

lOOOKm.s'1.

c) ớ nhiệt độ phòng, một nguyê n tử He chuyển độ ng yứi yạn tốc lQOO.m.s"1, cho

He = 4,003 . ; ■

Đ áp sô":;' a) Ằ - 6 ,6 . 10‘29 111

b) X - 6 ,6 . 10‘36 111

’ c) Ắ = 0,997. l.o;1? m ~ 1A()

Bà i 8: căn cứ vào thuyết lượng tử của Planck, hãy xác định năng lưựna, thco J và khôi

lượng thẹo Kg của photon ứng với bước sons phát xạ màu đỏ Ẳ - 6563A0. Cho c = 3.10s

m/s, li = 6,62.1 O'34 J.s r * A = *4 *< v? .

nhận xét:

— 11:Đ áp số : E = 3,026.10‘I9J Ị Z - - l y ^ + . l o T

m = 3,36.10’3r’ Kg 1 5/Mfo M Lị,,

Bài 9: H ã y x ác định độ bất định VQ vị trí hay về vận tốc trong các Irườiiíĩ hợpsau và cho *

ét:

a) Đ iện tử trong nguyên tử với giả thiết Àv = 1o ^ m / s (m = 9,1.10‘31 Kg)

b) Qu ả bốn g bàn bay, khối lượng lOg, vị trí có th ể xá c định chính xấc cỉến '0,01;

mm. .

Đ áp sô": a) Aa' = 1,16.l ( r l0(/7?)

■ b) Avr = 1,05.1 (r27(m/s )

b. Bài tậ p về hiệ u ứ ng quang điệ n:

B à i l :

Biết ngưỡng quang điện đôi với kim loại vonfram (W) cỏ Ỉ 7Ư Ứ C sóníí À{) *=2300/4°.

H ãy ,xá c định bước sóng Ẳ theo A° của ánh sáng tới đập vào bề mặt kim loại w để lẩm

bật e lectron ra, biết ánh sáng, ch iếu .vào kim loại có năng lư ợng tốì da bằng ] ,5 (eV)

Giả i: - .ì

Áp dụng hệ thức hiệu ứng quang diện ta có:

O ĩ n y ễ iL £77//! <J)hL í c/f'ciiiQ: 12-



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





íXằ ^L'n ậ /> /’ăn /ôV /Ị (/><’/ Ị HÓA LÝ

T = E - /z(v - rn) = h.c/ 1 ,\

' ,.I

.....:í';Lủ

I 1,5.1,6.1ÍT19 y

A _ ỉĩ.c ' ^ ~ 6,Ố 25.10'34.3.108 2300.10"'!

-> — = (0,120S.107 + 0,43.107)(;íT')

i " i . d J . w ' ' " v

! r. / "1'?ĩ v,.i~ c í > 'a /

J ^ ' / ị J . (

0.10“10.. I , / •'( ' /V. t .1 V ’■ '(• • y\ o 1 w '

r '/ - '' ơ ’

-* — = 0,550S.107( » r ') = 550,8.1010O r ')Ẳ

1 —->Ằ — ------- -----

Bài 2:

. :r = l, 8155 .10‘l3(m) = 1815,5ÍA oì■ 550,8.10'° 1 j

Vậy bước sóng ánh sáng chiếu vào kim loại w là 1815,5 (A )

Khi chiểu ánh sáng đơn sắc vào bề mặt kim loại Kali với bước sóng X = 4861 (A°)thì electron bật ra khỏi và chuyển động với tốc độ V. Hãy xác định tốc độ. Biết lần số'

ngư ỡng qu an g điện của Kali là 5, 5. 1014 (s’1) .

Cho h - 6.62 5.10 ’34 J.s; c = 3.108; m c= 9 ,’l . l 0 '31 (kg).

Giả i:

Trước tiên ta Lính năng lượng của ánh sáng đập vào kim ỉoại Kali

E = h.v = h - = 6,62 5.10' M.— 3,1QÌ! = 4 ,0 8 5 .i c r l9(-l) 'Ầ 4861.10-'° w

Đ ể khẳng định hiệu ứng quang điện xảy ra ta kiểm tra nănsĩ lượim ứníĩ với n«ưỡn2

quang điện:

, Eữ = h.v„ = ó .ố as . io -^ .s .s . io '4 = 3,641.10' l9(y)

Ta thấy E > E0 —> hiệu ứng quan g điện xảy ra.

Khi đó elect ron bật ra khỏi bề mặt kim loại và chuy ển dộn g với iỉộnỉỊ năng

rp _ m\’2T = —— = E - E n -> V =

2 0

ang điện xảy ra.

nạt kim loại và chuyển dộng với iỉộnỉỊ năng

ị 2 ( E - E 0 ) _ |2(4,085.10-19-3, 64 1.1 0 1JỊ

V m 9 , l . ic r31

=> V = 0,31238.106(m/j) = 3,12.105(m /s)

Vậy tốc độ chuyển động của electron V = 3,12.1 o 5 (m/s)Bài 3:

Người ta biết nănơ lư ợng cần để ion hóa một nm iyên tử là 3,44.1 0'ISJ. Sự hâp thụ

photon có bư ớc sóng Ẳ chưa biết đã làm ion hóa nguyê n tử và bật ra một clectron với tôc

độ 1.03 .106 (m.s*1). Hãy xác định bước sóng X củâ bức xạ tia tới. •

Giả i: 1 s. ■^

Khi ánh sáng đập vào nguyên tô" để electron bút ra khỏi ngụyỗn tử Iiăng lượng can

dùng chính là năng lượna; ion hóa nguyên tử và năng lượns: cung câp cho electron chuyển

động. r

E = E{) + 1 h ay E = h.v - I + —mv2

QỌ fii(jẩ iL Cjlti. rp l d Qi\aiiíf. / 7



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





=>/?— = / -f —/7/.V2Ẳ ' 2

h.c ________ 6,625, ÌCT34.3. l.Q,s

~ I + ị m . x 2 _ 3,4 4.10“' “ + —.9,1.LO-3' ( l,03 .106)2

A = 5,0 6.1 0's(m) = 506.10“'°(m) = 5 06 ( a °)

Bài 4:

Một đè n Natri phát ra ánh sáng vàng ứng với bước sóng bằng 550 I1I11. Hỏi liệu có

bao nhiêu photon sẽ phát ra trong 1 giây nếu công suất của đèn lẩn lượt bằng:

a) 1,0 W .

b ) 100 .w .

Giãi: '

Ta biết rằn? cône suất chính là năng lượng trong 1 đơn vị thời gian. •, V kữ .m2.s2 J _ I

Th eo đơn vị SI thì w = — — ----- = —=J..S^ s «

Theo PJanck : E = h.v

S ố photon N phát ra trong trong 1 giây sẽ là:

7 - AT- p - , p = N.h.v=> N = = — — —p=sh.v h.’c J.s.m.s*

p /1Kết quả thu được sau khi thay số’ vào sẽ là: N = ------- ------r = 5.035.10 24.p.Ằ

; 6,625.10 .3.10 ặ

a) Với p = 1,0 w , X = 550 nra = 550.10'9 m

• thì N = 5 ,035 .1024.1.550.10'9=2,77 .108 (s'1)

b) Với p = 100 \Y, A = 550 nm = 550.10'9 m

thì N = 5,035.1024.102.'550.10'9=2,77':1020 (s "‘)

K ết quả thu được chỉ rõ ứng công suất bóng đèn 1W, phái ra ánh sáriỉĩ có bước

sóno. 550 nm thì sẽ phát ra 2,77 .108 hạt photon trong 1 giây, đốì với công suấl lòo w thì

sô"hạt ph ot on phát ra trong 1 giây là 2,7 7.102(). ' :

Bài 5:

Chiếu một bức xạ có bước sóng Ẳ lên bề mặt kim loại đùn" làm calôl của t ế bàoquan" điện, thu được dòng bão hòa i0 = 2 mA. Côn" suất cực dại của bức xạ diện từ là

1.515W. (Vex A ='.OjSẬ Ị- lm)1. Tìm tỷ 'lệ gi ừa sô' electron thoát ra khỏi bề mặt kim Joại và sô' pholon rọi 1ỔI1nỏ

(tỷ số”n à y gọi là “hiệu suất lượng tử ” của hiệu ứng;'quang điện. » ’

2. Giả sử các electron đó được tách ra bằng 1 màn chắn dể lấymộtchùm htpp

hướng vào một từ trườna dều cố cảm ứ ng từ B - ỉ (y4 T, sao cho R vuô/]/» gócvúi pỈHí(ỉnjr

ban đầu của vận tốc elec tron. Biết quỹ đạo của các elect ron có bán kính cực dại

r = 23,32 mm.

a) Xác định vận tốc ban đầu của các electron quang -điện. b) Tính giới hạn quang điện của kim loại dùn<ĩJam catôt.

Giả i: "

Qỉọ i iy ỉ tt - 07/ / fp ii iĩ----------------

Cjf'djty. 14



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





.1. Tính hiệu suất lượng tử H (hay tỷ lệ giữa s.ố elccíron thoát ra khỏi ki;n loại n.

với s ố photon rọi đến kim loại Ilf). '

Cường độ dòng điện bảo hòa i0 được tính bởi công thức. "I

/ = n,.e => n = — (e: điện tích nguyên tô") o e e e i

Công suất bức xạ điện từ dược tính theo côn g thức:

/. c _ . P‘A p = ỉir.h.v = n r.lĩ.— => n r = — F f r Ấ iu :

=> Hiệu suất lượng tử :

H = nen■ _ Ụ i .c 2 ^ 0 2 ^ 6 2 5 ^ 0 ^ 1 0 ^ _ '

/ 7 e.p.x ~ l ,6 .1 tr l9.l, 515.0,546.10"6 _

2.a Tính vận tố c ban đầu cực đại của electron:

"Đ ộ lớn của lực Loren tác dụng lên electron F = e.v.B (do B vuông góc vớ i V nênsin or = 1)

Lực F vuông góc với V gây ra gia tốc hướng tâm nên F-= irwan

17 _ V2/ mv ?' - T>F - m.a - m v /. => ------= e.v.B ' / r r

_ _ 1,ố . 10“19.10"4.23,32.10"3 1 in5/ , ,hay v ^ e . B . V = --------- —— — ---- ---- ——— = 4.1.10 (ỉ ỉ ĩ /s)

y 9,1.10 '

b. Áp dụng công thức Einstein về hiện tượng quang điện

h.c h.c 1 2 ’ —m.v

Ằ Ẳ q 2

1 1 m.v2 1 9,1.10-31.(4,1.10j )2 , , , — -— r - = i,4 47 .io fi(m )

\ Ẫ 2.ÌI.C 0 , 5 4 6 . 1 0 2 , 6 , 6 2 5 . 1 0 . 3 .1 0

= > Ắ ,= ------ - — r = 0,691 .10f’(m) = 0,691 (,um)^ 1,447.10 ,■ K J ■

*Bài tập tươ ng tự: ~ :

Bà i 6 : Người ta dùng: đèn He chiếu mộ t chùm bức xạ. iử ngoại với bước sóng

A = 58 ,4 (nm) lên một mẫu kripton thì thấy‘chùm electron bật ra khỏi kripton và chuyển

động với tốc độ' v = l ,5 9 .1 0 6 m.s*1. Hãy xác định thố ion hóa của kripton. Cho

h = 6 ,6 2 5 .10'34J.s; m = 9,1.10-?1 (kg). '

Đ S: / = 2,?5.10“18(/ ) = l4 ,06(eV)

Bài 7: Đ ể Jam bứt elec tron ra khỏ i.bề mặt.k im /lo ại xesi (Q-) người ta phải liêu tôn một

cór.Ịỉ bằ ng 2,64 (cV). Hãy xấ c định'đông năng và tổ c độ củ ỉ-1 c](;clron hill ni khỉ CIÌC-II

sans vào Cs có bước sóng lần.ỉượt là:

a) 700 nm 4 -

b) 300 nm r

Đ S: a) electron không bị bật ra b) T = 2,4.10 (J)

V = 726 (K m .s' 1)

Ọ ĩ fp ttjề .iL ( j il t, ( p ỉ d Cjt'tuM/ 15



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





Bài 8 : Khi chiếu một chùm sáng với tần s ố v= 2 .1 016 Hz xuốii s bề mặt kim loạiMthì

thây electron bị bật ra khỏi bề mặt và chuyển dộng với độn a năríli T = 7,5.10’ J. Hãy xác

định tần sô" ngưỡng quang điện. Cho h = 6,625.1 O'34 J.S

Đ S: v0 =8 ,7 .1 0 IIz (s’1) ?

2. Bài tập về cơ s toán học của CH LT

a) Toán tử và tính chấ t củ a toán tử

B ài l: Hãy. xác đ ịnh 'hàm g(x) thu được từ khi cho toán tử U tác dụng lẽn hàm f(x) tron 2

trườn" hợp sau: ị

a) u = X ; f(x ) = e " x2

b) U =-— \ f(x) =e"x'dx

c ) U. = ỉ ( to á n tử n g h ị ch đ ả o ; f ( x ) = X2 - 3 x + 5 ) ) .

d) U = c 4 (toán tử quay quanh trục z 1 góc 90° ) :f (x,y,z) = xy - xz + yz)

G iả i: Theo định nghĩa về toán tử ta có u f(x) = g(x)

a. Nếu 11=x; f ( x ) - e ~ x: r=> u f(x)= X. e-*2'= g(x)

b. Nếu U = — f(x) = e “x2 thì toán tử g(x) có dang : ,cix

g(x) = 4 - ( e ' x!) = -2.x.e‘x’dx

c. Nếu u = i là toần tử nghịch đảo thì có nghĩa các trục tọa độ clưựciclniyển từ X

san 2, -X , y sang -y . Nổii :ĩ (x2 - 3x + 5) = X2 + 3x + 5 = g(x)

d. To án tử c4' quay quanh trục z theo một' gó c bằn s 90°, có nshĩa là X—>y; y —> ~ oc

XỊ z —>z .Vậy ; ~

C, f(x,y,z)= - yx - yz - xz = g(x) ' .

' ~ d »Bài 2: Cho toán tử X=x ;■ u = — , hãy xác đinh hàm só ns mới thu clươe lcíìi thưc hiên

dx

phép nhân toán tử cho các trường hợp sau:A A

a) X u

b ) 11 X

Biêt hàm f(x )= e ‘x2 M ' ■ ■ t

Giả i: ' ,/

T a có: x u f( x )= x .— [f(x)l = X. — (e -*2)dx L• J dx

=> X Uf(x) = x (- 2x. e “xỉ) = - 2x 2. e "'2 = g(x)

C òn u X f(x)= — .X [f(x)] = — (x.e"*2)dx dx .

= x, — (e -1,!) + e - 1. — (X)dx dx

rĩO /n ij ề iL CJỈÙ rf ) ( i l , Cjrttiifj. í 6

C ũ ^£'(tầ JỊ vă Jỉ /'0'ỉ _ HOAL ì

V *

ủ



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





''itÙft tw/r /Ố /' s/c/ir// IIÓA LÝ

= x(—2x. e~*2) + e x’’

=(1 - 2x2) e"*2 =g(x)

Cài 3: Hãy chứng m i n h các toán tử dưới đây ỉà toán tử tuyến Lính :

a)

b)

dx

r d d ^ —- + —-dx dy

c) d ndxn

d) V2

G i ả i : ‘

Theo định nghĩa về toán tử tuyến tính ta có:d ; df, df2

a ) ~—(c I 1+ c2-h) — + c2-~”dx clx clx

df,

Vây — là toán lử luyến línhdx

b) ^ dx dy J

V* ' í AV ậy — •^ clx

d-f,( C j j j + c2.f2) - C ị . ~ - + c 2 . “ 7^- + Cj

c)

Vậy

cin

d d------------- 1-------------

clx dy

(C] f] +• C2.f"0 —cỉx" dx dx

đx dx

là toán tử tuyến tính 1

c ỉ í d

df,

dy + Co. Ẽ k đy

_đ_

dx

; = C | - đ ^ ịd ĩ[ f - J | - f |+ C 2- t o Ị ^ - J | l2

Thực hiện các phép đạo hàm ta thu được.kết quả thỏa mãn điều kiện tỡỹến lính

d n

d_

dx

d2 d2 lỉt . . T , — + — T- là toán tư Laplace

dz ..

Vậy toán tử —— là toán tử tuyến tính.clxn '

d) V =dx cly

Thự c hiện phé p tính V2( cJf1+c2f2) ta có: 1

(~r~ĩ+~7~Y+ "7 Y ^ C*^+C2 2) = •7^ (c if i+ c 2f2) +•—y(C |í|+ C 2Í-2) T tc I^l^c2f2)dx dy clz dx đy . (lz

d2f. d% " d 2f. d2f2 cỉ2f, •c\%— C ị .---- — + C 2. -r - + C ] . --------- —+ C 2 ---1 + Cj. , -I- C2- rệ~

dx dx dy cly dz f dz-> Kết quả thu được thỏa mặn về định nghĩa toán tử tuyến tính. Vậy toán tử

: là toán tử tuyến ĩính ’ ! ,1 t

,>í

Cho toán tử A = -i — (i=V-ĩ). Hãy chứng minh A là Hermite. Với X nằm trongdx' **

khoản g [- co ,+ co]. &»,/>■* Ậ “ ■° ; ° c' - ° ' /O ■ ■>• 0Giai:

d . _ cl

Nêu A = - i— thì A * i — .dx clx

Th eo định nghĩa về toán tử He rm ite : J( Ag)*fđr - Jg*(Af)dr

Qlgiíụ ẽ ỉL <Jlù. rp í ù

'.1

Q r a u ự . 1 7



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

000

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





Khi x= ±c o, cac hàm sô" f, g* đều tiến tới 0'?Do vậy i..f.g*=0=> - i Jg *d f= i I fdg** -:o —00

+ C0 +CO *K0‘* J +C0

Hay Jg*(Af)dx = i Jf .dg* = Jf .( i ~- .g* )d x= Jf.(A*.g*)dx {Ua—00 Ị -00 —00 —00

~ dVây toán tử ■A = -i — là toán tử H erm ite với x e f-co.+oo].

dx . >

Bài 5: , , . f

Cho toán, tử A là Hermite. Nếu nhân toán tử A với một s ố thực c thì c A có phải l.à

Iier mite không ? ;

Giả i: '

Từ định nghĩa về toán tử Her mite ta có: '

J g*Ẩ f d r = Jf (Ẩ *g* )d r

Nhân hai v ế của biểu thức này với c là s ố thực (c =c*) ta có :

c|g*Afcỉr - c* j*f(A*g*)dr

Hay

Jg*(cA) fclr = Jf(c *A *)g *dr ..

Jg* B/đ r = J f(B*g*)c lr vớ iB= c .Â1 t-

Vậy toán tử cA là toán tử Hermite '

Bai 6:

G iả thiết biết Â, B ỉà hai toán tử He rmite. H ãy cho biết tons Ằ + B có phải là

Herm ite không ? 1 .

Giả i: ' Theo dẫu bài và từ tính chất của toán tử ta có:

Ị g * ( Â + ỉ ) f d r = Ị g * Â f dr + Ị g * Bf ặ T t ì

= Ị f Ậ * ỹ * d T + Ị f B * g * d T

= Ị f ( Â * + B * ) g * d T ;, / , . „ ~

S o sánh b iếu thức cuối*cùng với biếu thức đâu tiên. Rõ ràn? tôníĩ (A + B) cũng là

Hermite

Bài7: •

B iế t A và B là những toán lử Hermite, chứng minh tích AB cĩỉns là Hermite nêù

A và B fíiao hoán với nhau.

Q l u ễ ỉ t- £ 7 7 / /’ ( p ỉ d Q ’i'Ufig. 1 8



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





ÍJJ Ị tt năn ỈỐ Ỉ ttf/tc/t ;ịi ó a LÝ

Giả i:

Từ giả thiết ban đầu ta v iế t :

ị g * Ă B f d x = Jg * A( Bf )dx

Mặt khác do A là toán tử Hermite nên \g * A ( B f) d x = ị (B f )Â *'Ể * dx

Và B là toán tử Hermite nên :

\ { B f ) A * g * dx = J> Ậ * (Â * g*)dx

'Chillis ta lại biết 'Â B = B Ầ nôn :

ị / B * (À * g*)dx = J / Â * B * g * dx

Vậy ị g * Â B fd x = ị f Â * B * g * d x

-> Kết quả này chứ ng tỏ AB là toán tủ’ Herrn iteb. Bài tậ p về giao hoán tử :

Bài 1:~ ^ cl ✓ _ 2

Cho 2 toán tử x=x, toán tửiu = — và hạm sô f(x )= e“x'd x

Hãy thực hiện phép giao hoán tử

Giả i:

x,u . Từ kết quả thu được cho biết nhộn xét.

Ta biết : x,u = X u - u X

Với X u.f(x) = X. — ( e “*: ) = x(-2x).e x"=-2x2. e ~*2L J dx 1 '*

xf(x) = — (x. e "*2)= e “xí +x(-2x). e -*2= e "*2- 2x2. e ”x:J clx /■

= - e -*2 9^0 => Vậy X, U không giao hoán nhaux,u

Bùi 2:

Hã y xác định giao hoán tử (A B - Ê Â ) đi từ các giá trị của hai toán tử A B cho

các trường hợp sau đây:

a) Ầ = —-;.B=Xdx

^ 2b ) A = — ; B = x

dx

c) Â = -^ ( iT + i.Px); B= >-fx)

Giả i:

i ^

Với x=x; Px— ~ih.t _

_d_

dx

/'

a) T he o th ông lệ, muốn xác định các giá trị cụ thể A B - 'B A ta lần lượt tỉíay các

biể.u thứ c toán tử đã cho và tiến hành các phép biến đổi tư ơng ứng.

A B =— [x.f(x)]-= X .— —+f(x) ■clx r J dx :

- - d đí xB A = X. — í (x) —X. - -— ■dx dx

Oltjiitje.tL (jilL rpỉiỉ. ■) tj rtu tq . 19



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





J Ý'uậ /t Ịiặ/I /ồ / iư /iệ /i

Ấ B - B Ẵr

■X- X.clx

d f(x)

à Ạ

dxf ( x ) = f ( x )

b) Ẳ Ỗ = — |"x2.f(x) r\ V L

Hay — X - X .— = - ^" dx clx f(x)

_cỊ

dx

B Ẩ = X2. — f (x ) = x dx

Y d

V

2 df(x) - „ N= X 2x.f(x)

dx

dx

Ấ B - B Ầ = -^ -x 2 - X2.-\

dĩ.

1

dx

dx

_d

dx

f(x)=2x.f(x)

Â B = - U * + i ' & - r ( x - i-Px) = ỉ (X + i .í £) (* - i-Px )V2 V2 2 ,

Â B = ị( x + x( -iP x) + iPx.x + Px )

Còn B Â = ~ ( x - ì .P x ) ~ ( x + i.Px ) = ( x - i.Px )( x'+ i.Px )

= Ị(x 2+xiPx - iPx . ĩ- i 2Px: ) = ( s +x iPx - iP x .x+Px: )

Thự c hiện p h é p 'A B - B Ấ ta có JLhể khử các số’hạn 2 X2 , Px "

Vậy A B - B Ầ = —(x.( -iPx ) + iPx.x~xi,Px +iPxx)

_ 1 r / d 1... đ _ J .. d= _ X . ( - 1) -1 h .— + i ( - i / ỉ ) . —- x - x ị - i h . —

C ) 2 \ á x ) đ x V clx

' 1 r / ^" Z i d ‘2 J- dx .2 . d .2. dx -1- i 24 - -iVz. — + i \ x A — - iv z .— ) I

2 LV _ / dx dx dx dx J' l r . dx, n 1 , ,

= —| “2i .ff./j.— ) I= —: .2 J ỉ = h 12 L ‘ dx J 2

+ i(-đ ( d "1

- i h,— -i/i). — x - x i -i/ỉ.à x ) đx V ' clx ,

cỉ.x

dx

Bài 3:

trường hợp sau:

HỎA LÝ

1 r , GX I „ ,= —| “2i ) 1= —I.2 .T 1 =h

2 dx 2

Vậy kết quả cuối cùng ta có A B - B A= fi

: ■ /

H ã y chứ ns miỉih các hệ thức giao hoán sau đây và rut ra .biểu thức chuns cho các

1 hợp sau:

a j i M p X j

b ) [ M Ì , ^ n

= i. ỉ l . X,

Qlgityễ tL £77lị <J)ỉiL



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





Ị k ữ ^ t n u i Ị iãti /ồ / HÓA LÝ

Giả i: ,a. Chúne ta biết toán tử momen đôn" lương hình chiêu thành phẩn ihòo các 'ruc có

/ c c - /• í c c \ biểu thứ c: C ,c ■ ■ r L x~l'r. T x 1 ’ ’f ; •;

m > . í ; . p ; - x 3£ 2 / í Y < ' — - r A ;"

Thay vào biểu thức M ị ,x 2 ta cơỵ^

M p X 2 = X2.P3 - x y ?2,x2 = X2.P3,X2 - X3.P2,X2

Sử đụng dạng móc Lie :

A . B , c ] =Ẩ.rB , c l + rẨ ,c~l B ta có:

= X.

= 0

P3, x2

+0

+ x2,x2p 3 - x 3 p2,x

; x3 .1.7? . -0 •

x3,x: p,

Theo quy ước về dấu ta có :

M „ x . =i. h. x 3

Từ biểu thức này ta rút ra :

ú.ỉỉ.x,M , , x 2

M 2, x

M , , x

=i./ĩ.x,

= i A x ,

b. Chứ ng minh hệ thức . p x 2 ta cũng sử dụng Móc Lie thông thường

M , , R X p - X p pA 2 ’ 3 3 2 ’ 2

—>

Vậy

= x2 P3,P2 + x2,p2 P3 - x3

M |, í^ ~U o + i ./ hP j - 0 - 0

V p p2 3 ’ 2

p* P1 2 ’ x 2

X3.P2,Pọ

X,,P;

=i./!.pj

<[m ; A =i.fi.PÌ

p ĩ Pì_ =i.h.?2

c) M ,,M 2 = X2.P3-X3.P2>X3.^-X|.P3-

Sử dụng dạng Ta có:

Sử dụng dạng

Ầ ,B - C

M ,,M 2 = '■x2.P3 - x 3.P2,x3.PI - x2.p3- x 3íp2,x r p3

Ẩ - B ,c sẽ có:

0(.ạ tftjễ íL £77// ^píỉì



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





Ể ^Q uă/t íố t iư /tê/t —III TII~~*1—I--------m-----------------

Sử dụng dạng

= X

x2.p3,x3.pj - x3.p2,x 3.p| - X2.P3.Xj.P3 + X3.P2,X,.P3

A B . C Ta có:

P3,x 3.Pj ; i X 2 ,X 3 J P, P3 - x3 P2,X3.Pị - x3, x r Pj^ * -1 r- * * * - I * r~ ________. i * -

Sử dụng dạng

m ;,m 2

p3,x,.p3

Â,B.C

— I X X Jp 2 ’ 3

p3 + x 3 P2,Xj.P3 + x3,x,.p,

= x.

Ta có:

) + Ị [ x 2 , x ^ ] Í > + x : [ x 2 , p ; ] Ị

- í { F P2’ 1) ■ (

x3,x3 pi + x, X ]

+x, 1 pj + xj x3’l 3

H

x2,x. P.+X, x2, Pj

+ Í Ị X h í + xì i

)

ì *

)

ỉ

1

h ì x Ị,xT p > x : w<

* •

I

1

Tr on s các móc Lie chỉ có

Vậ)

' ? s3’'v3 ì. tỉ v à

■ X V . / s

X 3 ,P 3 = i.tỉ

Mị ,M2 = x2’ i. t i . p, + Xị i. ỉ ì . P2

= i . h . x 2 . Pị + i./ỉ.Xị .P2

= i./LXị .P2 - Ì . Ỉ Ĩ . Ặ 2 ,P(

=i.h

( Xj . P2 - x2 . P j) = i.h

. M 3Một cách tương tự ta có các hệ thức :

=i./j.M3

- _ ___ j . ___ _

m 2,m } =iAM,<

2

(

Ề

l

=i.h.M2

Bài 4:

Chứ ng minh các hệ thức giao hoần sau: :

= i . / z . J 3 . V ớ i + j 7 + j ? ; r = M + S

Giả i:

a)

b)

a.

J |, J2

Ĩ 2X =0

J j ,J 2 = M j + S p J , S ử dụng dạng - A + B , c

= M ,,J 2 +

M ị,M 2 *f S-,... + Sị, M 2 + s.

t a c ó ;

HÓA LÝ

T ừ d ạ n g A.B + C ta cũng có :

Ql(jntjễ ỉL £77//' rpid Qrat.uj. 22

1



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





ỉ3~]>‘ăỉ! {of /ư /iệ /> I-IỐA LÝ

J 1, J2 = Mj ,S2 "K m p m 2 + , m 2

Vạy Jị, J2

J2, J3 = i. /i. J,

J- JJị —1-/ỉ•J2 :<f

b. Cũng sử dụng các dạng Móc Lie quen thuộc ta tiến hành kh ảo sat hệ íhức:

= j } + j } + j } X

' =0

, =i .h

i. h . J,

= i. /i.J

= i./ĩ.J

_ J L . - J L-

+ i . h . M ì +0 '+Ì. /Ỉ .S ,

M 3+ S 3 = i./í. J3 (đpcm)

J J + J J ’’ 1 + J 2 J3 ’ J 1 Hay

Dựa vào dạng

J2 ĩJ , J 1

1 ] * Ị * 'ỉ 2 " t 2 '

Ta viết:Â ỗ , c

j - > + Jj, Jị Jj +J2 J2t Jị +

( ► —> < -í 1

1 J-, + + J3,J,

Sử dụng kết quả thu được ở bài (3) ta có :

? s , 1 =0 + 0 - i . / i . r .L - i . h . í

Vậy :

J2 J J J I

J2,J

J2,J

=0 + 0 - i. /2. J2.J | - i. /ỉ. J3.J2 +i. t ỉ . J,.J, +i. t ì . J2.J3

0

- 0

= 0

’ ■. / , ^ 3

c. Bài tậ p về trị riêng, hăm riêng toán tử

Bài 1:

Biết f(x)=e'x2/2 là hàm riêng của toán tử íì=

'thực hi ện phé p h f(x) /

Giả i:

Ta có :

f '1 r ^clX -•

dx. Hãy xác (lịnh Irị riênr! klii

h f(x)=dx

( e V/2> x2-e-:2/2clx

i ( e ^dx '

=x 1 e "‘,/2 + —dx '

tyỉy tt ự ề t t. Q í ỉ l (dra ft (J 2 3



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





=x2'e 'x3/2 + e 'x2/2+x.(-x . e 'x2/2)

' =x2-e^ /2 + e'*2/2-x2. e 'x/2

= e "X2/2;, ‘ 4Vậv h (e'*ỉ/2)= +l. e :'*2/2 —> Vậy hàm riê ng thu đượ c là +1 {

B ài 2: i

Hãy chứng minh những hàm sau đây hàm nào là hàm riêng của toán tửđx

a) e ikx b) coslcx c)k , :d)kx f e )e 'a‘r

Ở trường hợp trên hãy chỉ rõ các trịriêng tựơng ứng

G iả i:

Phư ơn g trình h àm r iênơ và ịrịriên g có ciạng Aiỵ = a. \ỊJ

Áp dụ ng cho.từ ng trườ n" hợp ta có các kết quả sau:

a) — ( e ikx)=ik. e ikx —> Nh ư th ế hàm e ikx là hàm r iê ng của toán tử — và tri riêimdx ; dx

tương ứng là ik.

b) — coskx =-k. si nkx —>ở trường hơ p này coskx khôna phải là hàm ri êng củ a — dx dxd v ‘ cỉ

c ) — - ( k ) = 0 —i> k k h ô n g p h ả i là h à m r iê n g c ủ a t oá n tử ——dx dx

d) — (k.x)=k —>k.x không phải là-hàm rìêng củ a— ícỉx clx

d (ỉ 1 ' 1e)-—-(e*a )=-2.a , a e ' a —>H àm e*a cũng kh ôn g phải là hàm ricii£ của toándx

l ử — VI 2a a không phả i là hằ ng số .dx ' ■

Bài 3:

B iết toán tử tuyến tính A ứng vdi trị riêng duy nhất a có k hàm riên g f n f 2 -'-fk> hãy

chứ ng m in h rằng bất cứ tổ hợp tuyến tính nào của cá c hàm riê ng nổi tren cũng là Warn

riêng của toán tử A ứng với trịriêng a

G iả i: v

Đ ể tiện lợi cho cách giải ta xét trường hợp hàm riêng suy biên bạc 2.The o giả thiet

ban đ ầu ta có:

Ấ / ,=a . /, (1)

Ấ /2=a;/2 (2)Ta n h â n lần lượt phư ơn g trình (1) với C| và phư ơng trình (2) với c2 ,

C a f | —C | 8 . f |

c2A f2=c2a.f2

Í~Q Ì2.tu /Ị năn ■ /ư /tệ /i- ' _______

C| A fị+C2 A Ỉ2~C|cì.fị+C2cl.Ỉ2

V ì A là toán tử tuyến tính nên ta viết: t

A (Cjf|+C2f2)=a.(C|fi+C2f2) ,

Qlguụ ẫ íL <Jỉtị. <J)kl ttt'atuj. 24



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





Ế 331 Ề '<tậ tt oă/t /Ố /- ìư /irự ỉ MÓẰ LÝ

Tổ hợp (C|f]+C2f2) ở phươns trình (3) ỉà hàm r iêng của toán tử tuýen tính A ứng với

trị r iên s a duy nh ấ t !

Từ kết quả Ihu được của bài loán này ta suy rộng CỈ10 các IrƯ ờn” liựp kh ôn ” có suy

biến, nghĩa là ứng vớ i các hàm fi, f 2*.. có gi á trị ri ên g aị,a 2... khá c nha u. Tro n ỉ; trư ờn" hợp

này ta nhận thấy. : Ạ ( c 1f|+C2f2) = a 1.C|.fi + a 2.C2.f2 (4)

'Do C| ^ c 2 nê n tổ hợp C|f| +C2f 2 không là hàm riêng của toán tử A

Bài 4:

I-Iãv chứng minh các trịr iêng của toán tử He rm ịte đều là nluTỉm s ố thực

Giả i:

Xuất phát từ phương trình trịriêng ta viết.:’

Ầ fi=a.fi (1) ;

Lấy liên hợp phức hai v ế của phươ ng trình sẽ là : I✓V* * * *

A f i = a .fi (2) Nhân (1) vớ if j và lấy tích phân ta được':

j f ^ A f i d x ^ a j f f ' d x (3)

Tương tự nhân (2) với fj và lấy tích phân ta được:

Ị f , * f , đ x (4)

VI Ầ là toán tử He rmite nên từ (3) và (4) =>

a ị f i * f ,d x =a * ị f; * f j d x , '

Hay a=a* điều phải chứng minh 1

Bài toán này cũng có thể biểu diễn dưới dạng tích vô hướng

Âfi=a.fi = (f ^ /a fj = a (f l*/fi ) (1)

Â Y = a V = > ( Â f 1*|fl) = (a*fl* |f ;) = a* ( f1*|fl) (2 )

So sánh (1 ’) và (2’) =>a =a* (đpcm) .

Bài 5: 1 _ v ’- t

Cho hàm f = COS CIX. COS by. COS cz hãy:.

a) Chứng minh hàm đã cho là hàm riêng củatoán tử Laplace V2.

b) Tìm trị riê ng tương ứng với hàm ri ên g / A

Giả i:

. T . , ' • i eí- d 2 d 2 .

a) To án tử L ap la ce CO d an g V = " 2' + “ 2 + * 2'dx . cỉy. ; dz

Ta thực hiện phép tính của phươnơ trình trịriêng Ă . f - a . f

Thực vậy V2/ = k . f hay: ■

( d 2 c ử c ử } * - _ d 2 , ’ ^ . ■ p V ,

• — T + —-T- + — r COSax. cos by. COScz ■=—T cos ax ' cos by-cos Cĩ- / +dy2 dz2) dx2K'■

( c o s a x. COS by . COS c z Ì — r ( COS ax. COS by. COS C l ) * d y ỉ K clz2K J

Q ĩ ttụ ề i í £7/// r p iù Cjra tii] 2 5



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





Ể ĨŨ Ị 'ìỉu ậ ii IXĨ/I ỈỐ Ỉ ỉ tọ ìc/t

\ HÓA LÝ

Ta thực hiện đạo hàm bậc hai theo X, y, z sẽ dẫn tới kết quả.ị 2 '

— (cos ax. cos by. COS cz) - -C l .(cos ax. COS by. COS cz) =i - C l : . / 'cix

d_

dy

d 1

-j- ^cos ax. COS by. COS cz) = -/ ?2.(cosí7x .c os /^ ’.co scz ) - ~h : . f

( c o s a x . c o s £7 . cos c z ) = - c 2 .(cos ax. COS COS cz ) = - c 2. /" clz

Cuối cùng ta có biểu thức f ' s 2

Ìg ta có biếu thức ,

Ặ ; + Ặ + i L Ì / = _ ( a * + ^ +.í * ) /ư / * 2 J v ;

'r* /"*11^1 r*isinrr /ĩ 0 ? r-/A liò tn ■/* /"*1*ì í t“\ Ĩ-I lò 1Biểu thức cuối cùng đã chLrõ hàm / chính là hàm riê ng của toán tử Laplace.1 *

b) C ũn g từ biểu thức thu được giá trị là tộ riêng của toán tử Laplacẹ. trong hệ tọa

độ DescartesBài 6 :

d 2 .Cho biết toán tử h = A"2 J hãy chứn£ minh hàm sô" f ( x ) = e 2 là Iiàiri riêníĩ

dx

của toán tử đã h cho, cho biết trịriêng tương ứng bao nhiêu?

Giả i:

Phư ơn s trình hàm riêng và trị riêng có dạng:

ĩ ’f { x ) = h f ( x )

h f ( x ) À x 2 - 2 V - x V \ - í - i - / \ d 2 í d Y v2 ( - ' X I — - e /l - X . e /2 đx J v / V /

' U Ỵ e - K

dxe ' 2

V ■ J

B a i l :

= « ' ^ = ( + i ) / W ■ ,

V ậ y / ( x ) là h àm riê ng c ủ a/ í

C òn tộ riê ng tương ứng của toán tử /2 là +1.

d. B ờ i tậ p về h ệ tiên đ ề CELT *

C h o hàm sóng mô 't ả trạng thái của một . vihạt có dạn í*

ụ / = (cos ỵ ) e iLx + (sìi\x)e~lLx, X tham số*. Hãy: . . . !

a ) Cho biết trị riê n" của toán tử px và biểu thức hàm r iổne mô tả toàn trạng thái

của hệ khảo sát.

b ) V iết dạng hàm sóng* {Ị/ trên đây nếu xá c suất tìm thấy vi hạt được 90% ứng với

Px=-hK/í . B iết eiLx là hàm riên g của toán tử P.C ,

Giả i: Theo đầu bài. {ự - ( c os^ )ổ ' - + (sin z )e ~ ikx = Cịự /ị + c2ụ /2~

p . r Áp dụng phương trình hàm riêng, trị riô n2ta cổ:

Q ig uụ ề s t oy f / <J)Ịỉl rcJran(j. 26



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





£Q&ư rỉ,, ÌK/Ị /Ố / /ư /ư ự i HỎ A LÝ

a) PW x = - i h — (e**) = -ih.i.k.e'^ = k.K.eikx' d x x J

=> kh là trị.riêng của Px «

p ^ - - i h ^ - ( e - ltx) = - i . h . ( - i . k ) { e - il x) = - h . k . e - ilí'

- k h là trịliêng của Px

Theo tiên đề 1 của cơ học lương tử thì:

ụ / = (cos ỵ )e ikx + (sin z )e ~ ikx = Cjổ/tr + c2e~ikx í

-> cũng là hàm riêng mô tả toàn trạng thái của hệ khảo sát.

b) Đ ể viết h à m só n g c ụ thể, ta lại biết xác suất tìm thấy vi hại hì:

Px= cí = COS2 ỵ = 0 ,90 —> c o s^ = 0,95

f *2 - c2 - sift2 X = 0,10 —>s ìn ỵ = ±0,32

Vậy ụ / = 0,9 5.e ikx ± 0 ,3 2 .e 'iLx

Bài 2:

Xu ất phát từ phư ơng trình chính tắc của cơ hoc lương tử: = H///dí

Với y/(<7,0 hãy:

a) Thi ết lập phư ơng trình Schroclinger ở trạng thái dừng với 0 (q )

b) Cho biết ý nghĩa của hàm 0,(q) phương trình vừa xác lập ở câu a). s~ *° • * f Giai: ỉ

a) Phương trình Schrodinger phụ thuộc vào thời Sian có clạnc:

i h . ^ - = Hy/ (1)dt

- Hàm ự / (q, t) có thể phân tích thành hai thừa số : một thừa sô" chỉ phụ ,lhuộc vào

toạ đ ộ 0 ( q ) v à m ộ t c hỉ p hụ t hu ộ c v à o thờ i g ia n f ( ỉ )

iK<?,O = 0 (q )/( O (2) •

. thay (2) vào (1) ta,có: ift.-^-ị0(q).f(l)] = ,H[0 (q)./(O] '

Do H không tác dụng lên f ( t ) nên ta có: í '

i /ì .0 (q ) . . Ễ Ị l l = f ( t ) .H .0(q)ôt ■

' m . s mm - . '

V] 2 vếphươnơ trình (3) phụ thuộc vào hai biến s ố CỊ và t kh ác n hau nên cíhún.g chỉ

có th ể ng hi ệm đúng khi cả ha i v ế bằng 1 hằng sôV:Ta gọi hằng sô" đó hì E. Lúcnày

phương tr ình (3) đư ợc tách thành hai phương trình và mỗi phương trình chỉ phụ Ihuộcvào

mộl biến số . T ừ (3) ta có: r _ 1 _ : , 1 ổ/ w _ 17 _ df (0 _ ~i zr u -<=>//2.—-—.—-7— —E <=>— -— —— .Exit (4)

f i t ) ôt m h

Q lg n ụ ễ ỉ t C/ỉtị . <J)ỊtL ZJraug 2 7



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





/i (1(7! /Ố /- /ư /iệ /i/ 0(7ỉ! /ố / /ư /iệ/i ____________________ ____________ _______ MUA L 1

và 5 M = £ o H . 0 ( q ) = E . 0 ( q ) (5)0(q) : 7

Phương trình. (5) chính là phư ơng trình .Sch rođi neer ở Irạng thái dừiiiỉ với hàm

0 (q ). Đ ó chính là phươ ng trình hàm riêng, trị riêng hay gặp trong bài toán của hóa lượnỉi

tử.

/ ơ ) .

b) Đ ể tìm ý nshĩa hàm 0 (q ) trước hết ta giải phương trình (4) để xác'-định hàm

Qiúívậ y í ^ - = - / . £ . Í A o l n / ( í ) = —,£•./+ lnc J / ( í ) h 1 t i'

—.E.t <->ìn f( í ) = \ n e h -hlnc. I

<-> / ( í ) = c .e/(

. ■ —.(£./)■ ' —> Hàm đầy đủ có dạn? = 0(q).c.eỉ l (ố)

Ta khô ng cần xét đ ến hệ sô" c vì hàm sóng trong CH LT được xác định đến 1 hằng

s ố ’t ùy ý .

(■(*•')ự /( q, t) = 0*(q).c.etl’

Ý nghĩa hàm sổng được biểu diện qua hệ thức:

|f//(ợ,0|2 = W Aự

(7)

Quả vậy ự /.ự y - 0 ( q ). c .e h ^ ^ = 0 (ợ).0 *(<7) = |.0(<7)|2

N hư vậy ở trạng thái dừ ng, mật độ xác xuất có mặt của vi hạt tại một vị trí nào dó

trong không gian không phụ thuộc vào thời gian và có giá trị bằng |0 (<7)|2Y\ N>/t Ạ

X ác định giá trị truns; bình của động lượiig tuyến tích Px được mô lả bằng hàm

Bài 3:

sóng sa u dây:

a) eikx b) COSkx c) e-(,x

G iả i;

T oá n tử động lượng theo phương X có dạng:

p = - i h ' d X

G iá trị trung bình của px được xác định theọ biểu thức:

n r ịc/x

)ình của p x được xác định theọ

f / " í i//*(iỉi— \ ỉ x j ự P x ự d x ^ d x )

Ị ụ /* ụ /dx' ịy/ i ị /dxt e ) = :

Á p dụng cho trường hỢ p:

. K _ d V = d i £ \ = ikj^a ) ụ /=e,k-x =>

cỉx dx

Qlạ tíyễ ề L \jlti. <JJkỉ Q ’ ra tu j. 2S



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





H năn >ư /t ộ /i HÓA LÝ

/_N - IV* (i.fỉ.i.k.{jy)dx(px) = Ằ L-}r j ~ L - = -«•*•» = kJt

\\ự \ư dx

chu cỉ (COS, kx)

b) /// = cos/cy => —^ = -------------

= -Ả '.sin kx: dx dx

y/* — COSkx

JV* f dỵ - J*cos k~x (“ ^ sin&*)dx-L Vđ'x J - i

= —k J COSkx.ún kxdx = 0—co ,

V ệ y ( í, ) = 0 , . ,

_\ dụ / d [ e )Ic ) u / - e i

------ ' - - - 2 ax.e \d x dx

l ị / =■ ( r f . , , \ , '

( p ) = J V =Z- dx= ị e+°-'\- 2a x.e -ax ).e 'm dx- i> Vdx J Jx

'i-KO-KO

= - 2 a ị x.e~a'x\ i x = 0“ CO

Bài 4:

Choh à m s ó n g

ự / = eiLx COS

A+ ổ 'tr s i n /?

, A, Blà h ằ n s

số’,h ã y x á c đ ị nh g fẵ trị đ ộ n e

năng trung bình của vi hạt được mô tả bằng hàm són s đã cho. .

Giả i:

- ? - h 1 d 2Toán tử động năng có dạng sau: T - = -— -.—-5- (theo phươ ng x)

2m 2 m clx

- p 1 - h 2 d 2Toán tử động năng có dạng sau: T - = -— -.—-5- (th eo ]

2m 2 m clxì\

Áp dụng giá trị trunơ bình của một đại lượng cơ học ta viết:í ft2 * \

y - ^ ' Ị ụ /ị ỵ d x Ị ụ /*ự /dr

Thay giá trịhàm sóng vào biểu thức trên ta được[Ỵ ỳ 2 V ị 2 1

\ụ / — ị e ikx.cosA + e~ikx s inB) V í t y J x2 \ /

ị iỊ /*ụ /dĩ(r) =

o ( r ) =2/72

JV* r(/Ẩ :)2 .eíkx.cosA + (-/&■)2.e ,Ẩ1\ s in z?

[y/y/dr ' r ‘

2 " ' ~ — I V T / ^ . ^ . c o s A + z 2k 2.e~iLx .s in B~\ í t

Qlcjuijề ỉi <Jiií (J)hi tyranq 2 ọ



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





văỉ! /( '/ J> /'?•/>íỉiỉl' ____________ ___

— J^/’ (-Ả '2)^e,7ir.cos A + .ổ~ítr.sin B Ỵ tr

” ( r ) = ------- ---------- ' - ỹ í ĩ r -----------------------■

— Ị i ỵ " í eikx. COS /1 -h .e~ikx. sin B y i ĩ*-» ( t ) - 2m

HÓA LÝ

ì r . k 2

<-> (r) = 2;??

ị \ự \ự d r

J V V d r h2Â2

Ị ụ / *i //dr 2 m

e. Bùi tậ p ứ ng. dụ ng phư ơ ng tiìr \h Schrodinger cho hệ lư ợ ng íữ ặ i ể n ỉ lình.

Bài 1:Giả thiết một hộp th ế 1 chiều, với độ rộng a=1 0nm có một vi hạt chuy ển iỉộnỉĩ

■ [ ĩ . 7 1â ư ợ c mô tả bằng hàm sóng, ụ / = J —.s in —.X' với n= l.V Cl a

Hãy xác định xá c suất tìm thấy vi hạt cho các trường hợp sau:

a) Giữa x=4,95nm và 5,05mm

b) Giữa x= l,95nm và 2,05nm

c) Giữa x=9,9ũnm và 10,00nm

d) ơ chính giữa a í

e) Xở a

Giả i:

Xác suất là:lat la:.d 2 ^

p ^ d ) - n//2dx = -- sin2 — xdx a ị ìt a

_ 2 M r _ I n V

a ì 21 a ■

a) />(4,95;5,Ọ 5) = — -

a 2 7Ỉ-------------- . s i n — -

2 /r a

1 (sin 2 n —

2 t t a

1 r 271— sin —

2 /r 10

\

X

'I n ., _ c)a

: 2n• s in -—

/ 10

1 • 1= 0,0 10 — —(-0,03141 - 0,03141) = 0,03

2/T

b) / >(1,95;2,05) = — - — ís i n — , 2 , 0 5 - s i n ^ . 1.95• . 10 - 2 ĩĩ{ , 10 10

Một cách tương tự ta^cũng thu được các giá trịp.

c) P(9,90;10) = 6,56.10'6

d) 7Ỵ 5,00;10,) = 0,5

= 0 , 0 0 7

QỊ (fíujễ .iL £77// <T>hi (jt'aiuj. 3 ()



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





£ Q ^ u ậ /Ị 11(7/1 / o f I if fi e fi .HÓA LÝ

, J l 2 ì 1 1 ,., 2?r 2 . 2n 1e) p —a:—a = — (sin— ứ - s i n — .—a

A3 3 J 3 2;r fl "3 a 3

Sau khi biến dổi và triển khai ta ihu đưực p=0,61

Bài 2 : ca) Hãy viết phương trình Schrodinger đầy đủ ở dạns khai Iriển cho Irườnc hợp

electro n ch uyển động tự CỈOtrong giên g th ế 1 chiều với chiều dài s iến s là a.

b) Tính giá trị Irung bình của momen động lư ợng hình ch iếu bình phương, p 2 line

với 11—1Giả i:

a) Ta biết phương trình Schrodinger ở trạng thái chìns có dạns:

V V + | ^ ( £ - Ư ) / / = 0

Khi electron c huyển động trong giếng th ế 1 chiều thì Ư =0.Vậy phương trình Schrodinger đầy đủ:

d 2ụ / 2 m+ -—r- .£(// = 0

dxÁ T v V

Giải phương trình này (xem giáo trình cơ sở hoá lượns tử) ta tìm được:

2 . n.n —.sin — .X '■ a a

b) Khi n=l -> \Ị/ 1(x) = J — .s in —..VV a Cl

Mătkhác : p = - i h — \ p ? - - ỉ ĩ 2- ~ r dx x dx1

Theo tiên đề CHLT về trịtrung bình ta có:

( p 2) = Ị ự / ' ( x )P ĩ ụ / l ( x) d x = - f i2 Í .Ễ - s in - U - f j - f Ẫ s i n - . x \ / 0J ' VCl a . ax V a a

2 2ơf . K Ị~ d 2 . 7Ĩ ]= - —h s in —.X — r J i n — .A cỉx

a ị a I dx a

d.x

22 _ 2

[sin2 ~ . x d x „ a

' r 2 * 1Á p dụng dạng Jsin X = — s in 2 x, ta có:

2 7T ,tĩ

ũ

r x 1 ^- - —sin 2ax2 4

27T2.tỉ2 a 7T2.h23 '2 = ~ a a

Bài 3

với kích thước siêng là a.

Ch o h àm thử \ự = x ( a - x ) để mổ tả chuyển độn s của vi hạt trong giêng thê 1 chiều

vich thư ớc gi ếng là a. - s

a) Hãy chứng minh hàm thử IỊ/ Ihoã mãn điều kiện biên của bài toán.

b) Áp dụng phương ph áp biến phân, xác định năng Ịượng E ở TTCB ứng với diều

<c7r a n g ; 3 1



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

000

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





HÓA LÝ

kiên biên• ' *Jỉ ~

c) So sánh kết quả thu đươc ở câu b) với kết quả thực là E = — T với 11= J.Sma

Giả i:

a) Hàm thử (// - x (a - x )Ở điều kiện biên:

X = 0 —> // /( 0) = Q(a - 0) = 0

JC= CI -> ị s{ ci ) = ci(ci - a) - 0

Như vậy hàm thử (// đã thoả mãn biên của bài toán.

b) Theo nguyên lý biến nhân:

° r ( — tì 2 d 2 ^

j V ĩ i ụ d r- — ■

u= 0

oX

2 m clx2 x (a - x) dx

ị{Ị/ y/d r ị x ( a - x ) x { a - x ) d x0

Ta lẩn lượt triển khai biểu thức này:

- n 2 d ^ \

2 m d x 2 x (a - X ) cix - —- — fjc(ớ - x) J . x ( a - x )

zhl 2m

T ử sô": Ị x ( a - x )0

d 2 2AvLây đao hàm — T- { a x - x ) = -2 thay vào biêu thức trên ta đươc:

Lv(a - x ) ( - 2 ) d x = — [((XT - ;t2)ố ữ =

0 m 0

í/,v

,Y( ỐZ- X ) [ - Z ) d X = ---- |( f l l - x~ ) ă x = — ----------------- • = —

m 0J m 2 3 J0 ■ ố/ữ a

M ẩu số’: ịx(a - x)x (a - x)cỉx = J(ứ2x 2 - 2ứx3+ X4)c/x =0 1 0

Kết hơp (1) và (2) dẫn đến: £ = ... — ^ — -24;r .m 4.;r .m.<7f

c) So s ánh giữa việc dùns hà m thử với giá trị:C Ị 2 1 2 1

E = - — Y ~— -v à hàm thức cổ E =4 .71 m .a 'Sm.a

2 3CIX X

6m 24.7Ĩ .m5a

30

(1)

(2)

(3)

ta có:E - E ( í)

o ... „ 2 '2 •'£ ( / ) ' ề .m.ní .a í ỉ r n

N h ư vậy sa i số* thu được khoảng 1,32%.

'm'a . 100= 10 / ' .100 = 1,32%

Bài 4:

17 /ỉ2 •T ín h đồ suy biến ứng với mức năng lương là - - - cho electron chuyển đôn"

; Zm L

tron g-g iếng t hế 3 chiều.

G iả i•

Theo lý thuyết: E = t í

(/I_ + n *f ỉĩ2 V jr ; ) =

17 ■/;2

8m ũ

QXtjuijxnt £7/// ('phi. Q ’i'anfj. 32



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





QJl M(ht t‘à n /ố / Nfftệ /i HÓA LÝ

rz> n 2 x + n 2 y + n] = 17

Trong trường hợp này, muôn xác định độ suy biến ta phải llnì' các khả năng có Lhể

có sao cho tổn? bình phương của 3 sô" lượns tử dao độ ng t heo 3 chiều của (ụiốné ll iếlu ôn

luôn bằn2 17. Các khá năng khả dĩ là: ị

n x nv ' n*2 2 ! 3

3 ' 2 2

2 3 2

Rõ rà ng E bị suy b iến bậc 3. Từ kết quả này (3 cặp 11X, ny, nz) dồu CỈ10 cùng I’ici ừị B.

Bài 5:

Hã y tính giá trị động năng thấp nhất cho ,1 elec tron chu yển động; tron 5 giếng 'th ế 3

chiều tươnơ ứng với kích thước sau:

Giả i:

chiều.

0,1.10 cm ; 1,5.10 >cm ; 2 .Ị0 '1J cm.

Áp dụng biểu thức tính năng lượng cho electron chuyển động trong giếxiq thế'3

8m

Vớ i a = 0, 1. 10'13 cm = 0,1 .10'15 m

b = l,5.10' l3c m = l,5.'lO'IJm

c = 2.10'13 cm = 2 .10'15mở trạng thái cơ bản (ứng với mức năng lượng thấp nhất)

nx— riy — nz —1

ỉr

Bài 6:

8 . m \ a b e )

Thay so"vào ta có: E - T = 6,07.10"8 (J) / * .

Hã y xác định sự biến thiên năng lượng Ộ È theo I, KJ.inoI'1, eV và cm ' 1 giữa CÁC

ing lượna ứng với: t.mức năng lượna ứng với:a) nc = 2; n, = 1

b) nc = 6 ; = 5

Cho 1 elec tron chuyển động trong giếns t hế 1 chiều có chiều rộng kì 1,0 nm.

ỉ: i ' : N ăn c lư ợn" elec trron chuyển động tron? hộp thế 1 ch iều tính dựa vào biểu thức

,2 ' Ị i

G iả i

E = n

Vậy E =

2 h‘S.m.L2

(6 ,62. ìor-34)21 -31 /1 n ■>«

rF = Õ,02.l0-ỉ0(J )

OtfjutjcjL £77// <J)!iì Q^raiìg. 33



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

000

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





cm

Các hệ số’chuyển dổi: E ( K J / mo l) = - ~ ~ .E (J)

leV = l ,6.10-‘V )

lan- ' = 1,986. ICTUJ , ,

Từ các sô" liệu này ta có thể dễ dàng tính được AE theo các đơn vị J? KJ/mol, eV,

h2a) AE = E 2- E ] = ( 4 - 1 ) —-r -y = 3.6,02 .10“2O(./)

: 8 .m.L ' '

Vậy kết quả thu được:

=:i,80ố.-10"l9(7) = 108,772 KJ/mol = 1,13 eV = 9093,6cm-’

b) &E = £ t - E i = ( 3 6 - 2 5 )—^ - — = 11.6,02.10"20(y)6">5 8./W.L

Kết quả thu được:A £ = 6 , 6 2 . 1 0 ”i9( J ) - 3 9 8 , 5 ( i C / / m o l ) - 4 , l 4 ( e V ) - 3 3 , 3 3 3 c / / f1

6 -> 5

Như vậy ta thấy mứ c năng lư ợng tách trong giếng th ế tăng tỷ lệ thuận với n.1'

Q(fjH(jễ ỉL £77//! <J)lỉỉ (Jvatuj. 34



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





Ể r L h .'ló' Ợ H nã I I /óY > l < J ( í'h ' IIÓA LÝ

Chư ơ ng n ^ NGUYÊN.TỬI. TÓM TẮ T LÝ THUYẾ T1. Chuyển động của các hạt trong trường xuyên t â i i Ị Ị .

1.1. Quan hệ toạ độ Đ ề Các - tọ a độ c ầ u :Tọ a độ Đ ề các M(x, y, z) —Họa độ cầu

X = r . s in ỡ . co s cp

y = r . s in ỡ . si n (p

z = r.coscp2 _ 2 , 2 . 2

r = X + y + z .

1.2. Các hệ thứ c quan tr ọ ng trong trư ờ ng xuyên tâm.

CI. Toán tử Hamilton

b. Toán t ử bình phư ơ ng momen độ ng lư ợ ng I M ‘

c. Toán tử thành phầ m momen độ ng lư ợ ng theo phư ơ ng z M

( J . 1 )

( 1.2)

Trong.đó:

rì -A !ịJ'z. - - ịt Ỉ X Ẳ Ì 1.3)

v 1 'dtp > é 0 ■ A ' " ? .+ T’fe'j - toán tử động năng (thếnăng ) 1

+ m -khôi ỉượ ng của electron (m = 9,1.10"31 kg) - C ’

ỔcX U \ '; c.

í h \+ tì hằng sô" Planck thu gọi h = —— = 1,054.10 21 evg.s

\ 2tt J

+ Toán tử Laplace A.

A _ 1 d f 2 1 J ,A — Y —— + ~ A :

;• ở rv d r ) r

+ Phần phụ thuộc góc X (Laplacien góc Ấ )‘ 1 d f . „ d ) 1 a2 A - —-— - sine/-—■ 4-----z — r-

sinỡ d ỡ \ d ỡ ) sin 9 d

(1.4) <

(1.5)

Vi thế’:

- Trong trường xuvên tâm các toán tử H , M 1,M- giao hoán.nhau từng dôi một

+ Các trịriêng E, M2, Mz đồng thời xác định.

+ Các tòán tử H , M 2,M Z phải có chung hàm riêng

d. H àm số ng :

- Vì H phụ thuộc vào r,ỡ ,(p nên hàm rieng của H có dạng ự /Ọ ’t0,(p'j

O ợ uự ễ đL (JhL rp iù .



D

I

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

ÁN

L

Í

H

Ó

A

1

000

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





Trong khi M 2, M Z chỉ phụ thuộc vào ỡ ,<p (biến góc) nên hàm riêng của M 2, A/. có dạim

Y{e,<p) :

Vậy.để tị / \ i \6, (p) cũng là hàm rêng của M 2,M_ thì {ị/ phải có đanÍI •

ụ / ( r, 0 ,ọ ? ) = R ( r ) . Y ( ỡ ì fp)

R(r) - hàrrũbán kính. ỵ ( 0, Ị p ) - hàm góc

2. N guyên tử l i i đ ro và các ion giông Hiđro

2,1 Phư ơ ng tr ình Schrodỉnger (cho tr ạ ng thái dừ ng)

Hụ / - E\ự

<_> Á iỵ + ~ ( E ~ U ) i ỵ = 0

Thay A từ (1.4) và I// = R. Ỵ từ (1.6) vào (1.7):

1 õ f , õRr) Ằ R Y 2 m , T] \ D V _ n■ - 4 - — r - — + — t — + — ( E - U ) R . Y = 0r2 ôr { õr ) r 2 h v ’

tĩ> ?ĩ — ị r 1^ } + ĩ r Ẫ Y +— ( E - U ) R . Y = 0r dr V o r ) ; r h

( 1.6)

(1.7)

r 2 Nhân hai v ế với -3— rồi phân ly biến sô"

R Y

L A R d r

í . .2 ÔR

or

2m Ẳ Y + ~ r 2 ( E - U ) = ~

n v J Y

- v ế trái chỉ phụ thuộc r, v ế phải chỉ phụ thuộc 6,(p

hằng sô" (A) nào đó._ Ắ Ỵ

r

\ _ d /

R õr

= A

i - 2 l } + l E - U U A ÕI' J h

hai vế phải ỌÙÍ12 bằn" 1

1

( 1.8) —> phươníỊ trình góc ' .

ì

(1.9) —> phương trình bán

:ính

tử lừ.

- Việc giải phương trình góc (1.8) thu đứợc m - 0,±1 ,±2, .. .,±/ -> 111 gội là sô" IưdníỊ

V à ỉ= 0,1,2,... —> 1 sọi ỉci s ố lượng tử phụ.- Việc g iả i phương tr ình bán kính (1.9) thu được:

11= 1, 2, 3 , > n gọi là sô"lượng tử chính ,

- Việc giải phương trình sóng Schrodingèr theo cơ học Ỉ Ư Ợ ng tử phi tương tối thu

dược 3 s ố ìư ợ ng tử n, 1, m chưa đặc trưng đầy đủ cho trạng thái của electron. i

N ăm 1928, Dirac đã giải phương trình Schro din ger th eo thuy ết tương đôi ự ầ thu

đư ợ c s ố lư ợ ng íử spin, ký hiệu ms = ± —.

v >thế V , ( r , 0 , 9 ,ơ ) = ('•, ổ , <p).x(ờ )Hàm toàn phần Hàm.k hông gian ■ Hàm Spin

Q ờ / i r y è / t Q~Ỉ1Ỉ (J ) í d ( j r a n y 3 6



D

I

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

ÁN

L

Í

H

Ó

A

1

000

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





-"Vì m s = ± — nên có ha i hàm sp in t ương ứng :

Zi n = a

Vạy ứng với 1 hàm không gian (AO) có hai,hàm toàn phần (ASO)2.2. Ý nghĩa 4 sô'Ỉ ư ự ỉ ig tử :

CL Sô'lư ợ ng tử chính n (n = 1,,2, 3, ...n £ z +)- Đ ặc trưng cho lớp obitan hay láp e \ Nhữ ng e ‘ ứng với AO có cíinu giá trị n thuộc

11= 1 2 3 4 5 ố 7

Tên lớp K L M N 0 p Q- Xác định các mức năng lượng gián đoạn En:

1 *~Ỵ 2 4 ^ 7 2

n1 2t ĩ r ỉ ’ *• J’b. S ố lư ợ ng tử phụ : (1)

- ứ ng với 1 giá trị của n cón giá ửị của 1:1 = 0, 1 , 2 , (n-1)

- Đ ặc trưng cho một phân lớp của electron. Lớp thứ 11 có n phan lớp e'

Cắ c electron có cùng trị n, 1thuộc cùng 1 phân lớp.

L 0 ỉ 2 3

Tên phân ỉớp s p _ d f

- Xấc định momen động lượng của electronDmen động lượn

M = y Ị Ĩ ị Ĩ + lịh

>iiV MT- \r\ ĩc. Sô 'lư ợ ng t ử từ m: (hoặc ký hiệu ỉĩìi) '

- ứ n g với 1 trị 1có (21+1) trị m: 171= 0,±1,±2,....,±/

- Xác định s ố cách định hướng khác nhau của các AO trong không gian.

1 , Ph ân lớp Số* AO tron2 phan lớp

0 s 1 . - -

1 p ■ 3

2 d 5

3 f 7

L u J

3 f ___________ ___________ 7n-\ 9Vì t hế ứng với 1 trị của n có 2] (2 / + l) - n 1 trị của m. Có nghĩa là lớp thứ n cỏ n

/=0

- Xác đinh hình c h iế u của vectơ momen động Iượns trên một. phư ơng xác định.

M t = ình ị

d. Sô'lư ợ ng ỉ ử sp in (ms) (m s = ±—)

- Đ ặc trưng cho mom en động lượng riêng M s’( mom en dộng lưựng spin) của e

AO .

M s = . I S ( 0

h - ‘

( n Ị

s - h — s =l 2 ) V =2 J

Q lạ aụ ề ti. £77// <J)hi (jranr/. 3 7



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

000

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





i O r ? ) ^ . ( ỉ â J ! t n ĩ / 1 / ô ' / ỉ ! Ọ i f ’Ạ

ị

HÓA LÝ

-.Xác định hình ch iếu của momen động lượng spin len phươníĩ z

( 1 %

= ních sz s • ms = ±/

2.3. Hình cỉạ ng củ a AO , ’

Hàm bán kính Rnj ( r ) xác định độ lớn của AO, còn hàm góc Yỉ m{0,(p) xác địnhhình dạng của AO. Vi thế khi lưu' ý đến hình dạng của AO, người ta thường dề cập dồn

hàm góc Ylm (0,<p).[

CL Hàm gó c củ a nguyên từ H:

Một số’ hàm góc thu được từ việc giải phượhg trình Sch rod inger và các obitan

tương ứng đối với hệ nguyên tử H được nêu ra ở bảng sau (biểu diễn trở lại trong hệ tọa

độ Dercartes)

_______ Một sô" obital của nguyên tử’H:

m Orbital Hàm'gốc

0 2V2 ,

±1

p.

s ( z)2y[ftƯ J y /3 í ' v ì2 y f / ĩ U Js í-vì2 b ' J

0

±1

±2

d l

(L

d.

đ„, ,.r'-v

d.

s

■ Jĩõ

2 V27 Ĩ

2 s [ ix

J Ĩ 5

X.Z/

4 \fn:

2 i 7 A - V

VĨ5

b. Biể u diễ n hình dạ ng củ a mộ t AO:

- Ph ần không gi an giới hạn bởi quỹ tích các điểm cách tọa độ mội đoạn bầỉm Y

hoặc ị y ]2 quy định hình dạng của một AO. Hay nói cách kh ác một cách «ần clííim, hình

dạng của ' một AO là phầnrkhông gian trong đó chứa khoảng 95% một độ xác suất tìm

thấy e \ - *•

-M ìn h dạng của một sô" AO tiểu biểu như sau:

Q l tp i ụ ề i i <Ĩ JỈ ìị tr jrai ii j. 3 S



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





Ỉ Q ì 'năn fố f tư /ìọ /i HÓA LÝ

1-1

Tươns tự:

Pz

1=2

p .2

•(

y

í' y

2.4. C ác m ứ c năng lư ơ ng và quang ph ổ phá t xạ c ủ a nguyên t ử I íìd ro

CL Các mứ c năng lư ợ ng:

n . 2 . h ‘ n

H ( Z = l ) - > E „ = - ^ ( e V )

n = 1 —>Eị = -13 ,6(ổK ) —> trạng thái cơ bản ■ s

/ỉ> 1 —> En (n > l) —> trạng thái kích thích (En>E |) ' *

\ p jQ u a n g p h ổ phát x ạ hidro: , ■

Electron đang.ở TTCB. (E|) nhận năng ỉượng e‘ chuyển lên mức cao hơn TT kích

thước (HC>E|) kém bền phất xạ năng lượng chuyển về e* ở mức thấp hơn (E(<EC)

AE = Ec - E; = h.v = h.c.v ,Với : V tần số dao độp." bức xạ ánh sáng.

Oíợ uự ề ề L Q7/Á <J)hi. ýdrang. 3 9



D

I

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

ÁN

L

Í

H

Ó

A

1

00

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





h \ c109678Ícm (hằng sô’ Rydberg )

nt,nc : s ố lượng tử chính rrìức thấp, mức cao.- ứ ng với mỗi bước nhảy nc —» nt e' phá t ra một bức xạ đơn sắc —> ứng-với 1 vạch

phổ. Nhiều vạch phổ hợ p lại thành một dã y ph ổ —» gọi quane phổ phát xạ nsuyên tử.

-Nếu nt=l , nc=2,3,...co -> dãy L y m a n .( miền tử n g o ại ).

-Nếu nt =2, nc=3,4,... co —>dãy B al me r ( mi ền khả kiến )

- Nếu nt =3, nc=4,5,... co —>dãy Pa sche n (mi ền hồng nsoại).

- Nếu nt =4, nc=5,6,... co -ỷdãy Brackett ( m iề n hồng nsoại xa).

- Nêu n t -5 , nc=ố,7,.. . co —> dãy Pfund.

*Lu’u ý : Đ ốì với dãy phổ , ’

+ V ạch đầu t iên : nc=(n t+ 1) —>nt

+ Vạch thứ i : nc=ri[+i —>nt ,

-f Vạc h giới hạn : nc= co—>nt

3. Nguyên tử nhiều e lect ron

3.1 Cấ c nguyên ỉỷ } quy tắ c phân bô'e 'trên c ấ c AO củ a nguyên t ử ìihiề íi ẽ ( Xét

a. Nguyên lý loạ i trừ Pauỉi: i

N ộ i dư ng: tròng một nguyên tử hai electron bất kỳ không thể có 4 s ố lương tử

n,ỉ,mc,ms như nhau.. H ệ quả : Mỗi AO chỉ cótổì đa 2 e ‘ với spin ngược rihau -Ị

=> sô" e ’ tối đa : - Trong 1 ô lượng tử :2 e’

b. Ngu yên lý vữ ng bề n:

N ộ i dung : Trong nguyên tử các e’chiem cứ lần lượt cấc orbital cố nấng Iượns từ

thấp đến cao.

. T h ứ tự các m.ức năng 'lượng : Tuân theo qui tắc Klech kowski. ■

- N ăn g lượng E của e ìr ê n các orbital tãng theo thứ tự của tổiiíi ( Ĩ1+ / ) I1UU hai mứccó cùng trị. ( n+/ ) thì mức nào có trịn ỉớn hơn sẽ có E lớn hơn. *

TTCB)

- Trong 1 phân lớp có trị / :Ị.-2/ +1) e

- Trong 1 lớp có trị n :2n V 7

QC(j(ííjễ ỉL ị j ỉ u <J)íiL (Jvatuj. 4 0



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





Ẽ Q » 1 1 ( 7 / 1 ỉ ố f ) ự f i ệ / i ■ HÓA LÝ

=F> ls 2s 2p 3s 3 p 4s 3d 4p 5s 4cỉ 5p 6s 4f '5 d ố p 7s. . .

Cấu hình e' của nguyên tử • ■

- Sự phâ n bô" các e ' trên các ph ân lớp với tể hợpcác số lượngtử n và 1 khá c nha Lì

được ạ ọ i là cấu hình e ' của nguyên tử .

- Câu hlnlì e' của nguyên tử la dãy thu được từ sự sắp xếp lại mức năng lượneKlechkovvski theo thứ tự:

+ Tăng dần n ( tăng dần theo thứ tự lớp e')

+ Nếu cùng n: tăng dần 1( tăng dần phân lớp:s,p,cỉ,f trong i ỉđp c')

VD: Fe(z=26)

-Mứ c năng lượng : l s 2 2s2 2pố 3s2 3p6 4s2 3dố

-Cấu hình e':: is 2 2s2 V 3s2 3p6 3d^4s 2

-Lưu ý một sô" trường hợp ngoại lệ :

d4—> d5,f —>f để đạL cấu /hình nửa bão hòa

cl9- > d I0,f 13—>f14 để dạt cấu hình bão hòac. Quy tắ c hund (quy tắ c tổ ng spin cự c đạ i)

N ộ i dung : Trong cùng một phân lớp, ứng với cùng mộtmức năng lưựníỊ xác định ,

các e* phải đư ợc phân bô" vào các ô lượng tử sao cho tổng spincủa chúng là cực đại .

H ệ quà : Các e* phân bô" vào các ô lượn? tử trong cùng một phan lớp saorcho 1011"

sô" e*độc thân là' lớn nh ất .

3.2. S ố h ạ ng nguyên tử ( s ố h ạ ng Ĩ Ịuang,phổ )

Kí hiệu: 25+1 Lj với s: sô" lượng tử spin của ngu yê n tử

L: s ố lượng tử obitan r

J: sô^lượng tử nội2S+1: độ bội của số’hạng quang p hổ

x: s ố e' có s ố lượng tử từ mi

L= 0 1 2 3.. 4

Kí hiệu s p D F G

- ứ n g với 1 cấu hình e' có nhiều sô"hạng nguyên tử. ScTliạng có mức E thâp nlint

gọi ià sô"hạng cơ bản.

* Quy tắ c xác đ ịnh sô 'h ạ ng cơ bả n

a. Quy t ắ c t ìund 7: Sô" hạng cơ bản của 1 cấu hình là s ố hạng có lổng spin Smax.'

b. Quỵ tắ c Huncl 2: Nếu nhiều số hạnơ có tổng spin cực đại như nhau thì s ố hạng CƯ

bản là số’ hạng có Lmax. . ị

c. Q uy tắ c Hand 3:

•s . - Nếu câu hình e* chưa quá nửa sô" e' tôi đa của phân lớp thì J=|L-S|

- Nếu câu hình e’ đâ quá nửas ố

e' tối đa của phân lớp Uiì J=|L-hS| j■ 3.3. Phư ơ no pháp hằ ng s ố ch ẩ n (phư ơ ng pháp Slater) xác định các AO:

- Năng lượns của electron:

O h j m j & n < J lù ( J ) ỉ tỉ ?. Q t a n g 4 1



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





Ị Ũ 3 t}(7Jì /Ố / tư /ỉ ế /i ' HÓA LÝ

r~ỵ 2 4 *~7 2

B<= T ^ = Í I3’6(ể Ị /)n .2Ji n

- Nếu xét đến hiệu ứng chắn của các e khác lên e' đang xet

Z * : đ iện tích hạt nhân hiệu cỉụng

z * - Z - b (b: hằng số”chắn)n * : sô" lượ ng tử chính hiệu dụng

E i = S r - 13,6(eV)< \n

* Cách xác định n :

n 1 2 3 4 5 ố*

n 1 2( 3 3,7 4 4,2

* Xác định b:

* = 2 > '

Hằng sô" chắn b đôi với e, bằng tổng hằng sô" chắn của các electron khấc táơ dụng

lên.eị. . . .- Chia e' thành từng nhóm o b i t a n (Is)(2s2p)(3s3p)(3d)(4s4p)(4d4f)- (B)

+ Các e" thuộc các nhóm bên ngoài e* đang xét có b’ = 0.

+ Các e' thu ộc cù ng 1 nhó m e* đan g xét thì có b* = 0,35

riêng bƠJ)= 0,3

+ Các e’ bên trong: }' , í '

• Nếu e' đa ng xét là ns, np thì 'tí.!,. , = 0 , 8 5 ,° 1 e (lớ pn-l) ’

.:s 1 ' t ịe*(Iđp n-2) trỏ vào Irong

• Nếu e' đans xét là nd, nf thì b '.f .. .. =1 (kể cả cùng lớp)° ’ e (nhóm bên Irong) v c r '

4. Hệ th ôn g tiíẩn hoàn các nguyên tô"hóa học:

4.1 . Nguyên tắ c sắ p xế p các ngu yê n tô':

- C ác ngu yên tô" được sắp xếp th eo thứ tự z tăn" dần.

- Mỗi hàns; hay chu kỳ (ở bảng dài) được bắt đầu bằng s ự điền e' vào p hẩn lớp ns.

- Các nguyên tổ’có tính chất giông nhau được 'sắp xếp thành một cột (cố câu hình

của lớp e* hóa trị giông nhau, trừ lie )

4.2. Cấ u trúc cua bả ng H TTH

- K ho ảng 110 ns uy ên tố”được sắp xếp thành 7 chu kỳ và 8 nhóm.

a. Chu kỳ :

Tập hơp các nguyên tổ’mà nguyên tử của chíínH có cùn" số lớp e \

S ố lớp e‘ = s ố TT chu kỳ /

Chu kỳ 1 có 2 ns uyên tô", 2 và 3 đều có 8 ngu yên tô", 4 và 5 cỏ 18 ng uy ên tô, 6 cỏ

32 ng uy ên tổ’, 7 có '24 ns uy ên tổ"(chưa hoàn thành). '

b. Nhóm: • *

Tập hợp các nguyên tô" mà riguyên íử của chúng cócùng s ố e' hóa trị. Mô i nhóm

dược chi a thành 2 phân nhóm: ỉ

*.+ Ph ân nhóm chính (n hóm A): g ồm các nguy ên tô" s, p.

Số* e* ngoài cùng = STT nhóm.

Qlạ iĩĩẬ u. ~<dld rp id " * ’ 1 Q ratuj 42



D

I

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

000

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





/h ữ tt t’ă/t ỉ ố f lự f(ệ /l \ MÓ A ĩÁ'

+ Phân nhóm phụ (nhóm B): gồm các nguyên ỉ ố d, f

S ố e" hóa trị = STT nhóm . •

4.3. MỘ I sô 'dạ ng bả ỉ ỉ” hệ thông tuấ n hoàn

a, Bả ng dài:

- Các nguyên tổ’ trong môi chu kỳ đưực xếp thành 1 hàiis; (7 h à ìm )

- Có 18 cột (A - phân nh óm chính, B - phân n h ó m phụ)

b. Bả ng ng ắ n :

- Chu kỳ nhỏ (1, 2, 3) được sắp xếp Ihành 1 hàng ; chu kỳ 1ÓÌ1 (lừ 4 lai di) duọc sấp

xếp thành 2 hàng.

- Có 8 nhóm, môi nhóm chia thành 2 cột ứng với phân nhóm chính và phụ .

4.4. S ự b iế n th iên c ấ u h ình ế củ a nguyên ị ử \

cu Theo chu kỳ : ____________________ _________________

Chu kỳ Cấu hình e ‘ (png quát z S ố nguyên tô"

1 l s 1-2 1,2 22 2 s I‘2p 1'6 3-10 83 3 s 1-2 3 p 1-6 11 - 18 8

4 4 s I -2 3 d l - 10 4 p l-6 1 9 - 3 6 18

5 5 s l‘24 d 1’1^ p 1'6 3 7 - 54 , 1 8

■ ốố s l -2 4 f l -I 4 5 c ỉ l - 1 0ố p . -6 5 5 - S ố 32

7 7 sN25 f l'1 ố dỉ'8 8 7 - ( 1 1 0 ) • 24

b. Theo nhóm :

Các nguy ên t ố A (phân nhóm chính) ' I

Nhóm IA IIA IIIA IVA VA VIA V1IA VIIIA2ấu hình e' lớp

Ìgoài cùng

n s 1 ns2 2 1ns np 2 2ns np 2 3ns np 2 4ns np

2 5 I1S np

2 6ns np

Các n guyê n tố”B (phân nhóm phụ)

* Các nguyên tố d: (n - l) d M0ns2.

Nhóm IIIB IVB VB VIB VIIB VIỈIB ỈB 4 IIB

Cấu hình

electron

hóa tri

d ' s2

Sc

;d2s2

■Ti

cl3s2

V

d V

Cr

d5s2

Mn

; d6- y

. Fe,CO,NỈ

đ s

Cu

cỉ10s2

Zn

* Nguyên tố*f: (n-2)fI‘14(n-l)d0(l)ns2.

Họ Lantanic: 4fM45d0(1)6s2 (14 nguyên tố)

Họ actinic: 5 f l' 146d0(1)7s2 (14 nguyên tố)

2 .5 . S ự b iế n thiên tuầ n ỉ ioàn mộ t s ố tính c ỉ iầ t :

CI. Định luậ t tuầ n hoàn:

Tính chất của các nguyên tô" cũng như thành phần và lính chât của các'đơn chât,

hợp chất tạo nên từ các nguyền tô" đều biến thiên một cách tuần hõíụi theo chiều tăng của

sồđiện tích hạt nhân nguyên tử.

b. Sự biế n thiên : ' ■

,Có thể tóm tắt sự biến thiên nhìn chung, của một số' tính chât theo chu kỳ và phân

nhóm như trong bảng sau:

Ol(jtíĩjễ íL y t đ <7)1li



DI

Ễ

N

Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

000

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

NG

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N





i3 ~ i ^~ỉ 'uậ / t 11(7)1 / ố t ■ ỉ iyi ệ / t - ■' HÓA LÝ

\

Chu kỳ ■

Trái .rrỳ phảiPhân nhúm

chính

trên —> dưới .

Bán kính nguyên tử (r) \

ã 1

/ Năng lượng ion hổa (I) A \

Đ ộ âm điện / \

Tĩnh kim loại \ s Tính phi kim / \Tính axit của oxit và hidroxit \Tính bazơ của oxit và hidroxit \ " /•-

Sự biến thiên tính chất trong 1phân nhóm phụ là phức tạp hơn nhiều.

1. Bài tậ p về hàm sóng, năng lư ự ng củ a electron trong nguyên tử .* Nguyên tử 1 electron:

Bài 1:

Xét nguyên tử hidro: việc giải phương trình bán kính cho các hàm bán kinh Rnj(r).

Dưới đây là một sô"hàm bán kính (lấy a0 làm đơn vịđộ dài) và một sô" hàm cầu Ylm(ỡ ,<p)

1 >2 f 3 'V — X10 ,4 n J

H ãy v iết biểu thức toán học của các obi tan ngu yẽn tử sau X |0(), x 2()(), X 21().

Giả i:

Obitan \Ị/nlm là tích của các hàm bán kính .và hàm cầu tưưns ứng.

V7/,/,,, = RnỊ{r)-Ỵ .lm (@>(p) K

+ V IOO = ^10-00= ']Ịỵ~= ]Ị~e

f ' ^ - /ì’A ' - ề ( 2 - r > J - J Ỉ - ĩ ế ỉ 2 ^ ĩ •

_ ,> V _ 1 .. f / ~3 ~ „ ~i+ ỉ/ /710 - R n . ĩ U) = — — J \ e l — cosơ = — 7= .r . e 2 .cos ỡ „2 n/6 V 4

Iỉài 2: : '

Đ ế biễu diễn'hàm góc Y{Q,(p} của hàm sóng bằng giản đồ cực, imười ta vỗ từ ơốc

tọa độ những đoạn thẳng hướng về tất cả các chiều trons khôn" gian có chiều dài tỷ lệ

với giá trị của Y[Q\< p ). Những điểm CUỐI của đoạn thẳng đó tạo nên mặt giới hạn biểu


Đ

À

N

T

O

Á

N

L

Í

H

Ó

A

1

0

00

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y N

H

Ơ

N


HỆ THỐNG HÓA CÁC BÀI TẬP HÓA LƯỢNG TỬ - NGUYỄN THỊ PHI (TRÍCH ĐOẠN)

Documents

Transcript of HỆ THỐNG HÓA CÁC BÀI TẬP HÓA LƯỢNG TỬ - NGUYỄN THỊ PHI (TRÍCH ĐOẠN)