Haskell で nクィーン問題を解く

THE “N

QUEENS

PROMBELM

” WITH

HASKELL

H A S K E L L 初心

者の

挑戦

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自己紹介

名前： @mitstream友達がいないのでつぶやいていません

趣味：最近は Haskellだから友達ができないのかも

言語：初めてちゃんと勉強するのが Haskell あと Fortran をちょこっとかじったりした

拠点：茨城県神栖市

← 神栖市イメージキャラクター　カミスココくん

© 神栖市

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HASKELL の練習をしたいので…

今日は” N Queens Problem” を Haskell で解いてみたいと思います。

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N QUEENS PROBLEM とは？N Queens Problem (N クィーン問題）

+ 　 N×N のチェス盤に N 個のクィーンを配置する

+ 　どのクィーンもお互いに取られる位置にあってはならない

+ 　 N 個のクィーンの配置は何通りあるだろうか？

コレは取られないので OK

コレは取られるので NG

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答えの例（ N = 8 の場合）

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どのように解くか？

今回は全候補を”ふるい”にかける作戦で。

ふるい？？？

答えの候補をたくさんあげて、後から条件に合致しないものを排除していくと、最後に残ったものが探していた答え

という作戦

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どのように解くか？

【ふるい①】タテ・ヨコに重複が無い

“a” の列 :1,2,3,4,5,6,7,8 から 1 つ…例えば (a,5)“b” の列 :1,2,3,4,6,7,8 から 1 つ …例えば (b,3)“c” の列 :1,2,4,6,7,8 から 1 つ …例えば (c,8)“d” の列 :1,2,4,6,7 から 1 つ …例えば (d,1)

このような配置は N! 通りある。大切なのは列（タテ）だけ

配置はリストで表すことができそう。

…

[5,3,8,1,2,4,7,6]

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どのように解くか【ふるい①】

タテ・ヨコに重複がない

配置をリストで表現できる

　ふるい①を”くぐり抜けた”配置は N! 通り

permutations [1..n]

こんなのを思い浮かべつつ…

Prelude Data.List> permutations [1..3][[1,2,3],[2,1,3],[3,2,1],[2,3,1],[3,1,2],[1,3,2]

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どのように解くか？【ふるい②】ナナメに重複がない

“ ふるい①”を通り抜けたものから

ナナメにクィーンが並ぶものを排除

で、どうやってリストで表現する？

（例） [5,3,6,2,4,1,7,8]…(c,6) と (e,4) がナナメ

　ナナメに並ぶ = タテの距離 == ヨコの距離

　⇔ 3 番目の” 6” ` ナナメに並ぶ ` 5 番目の” 4”　　｜ 3 - 5 ｜ == ｜ 6 – 4 ｜　こういうものは排除する

×

1 2 3 4 5 6 7 8

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どのように解くか【ふるい②】

ナナメに重複がない

タテの距離 ≠ ヨコの距離

abs((q !! i) - (q !! j)) /= j - i

こっちはこんなパーツが入るかな…

q = [ 配置候補 ] の i 番目と j 番目がナナメにない

Prelude> [1..10] !! 34Prelude> abs (3-10)7

0 から数えて 3 番目の要素を返す

絶対値を返す

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コードを書いてみる①

nQueensProblem :: Int -> [[Int]]

型を考えるのが Haskell の王道

答えを返す関数の名前は nQueensProblem にしよう

クィーンの数 n を受け取って配置の候補を返すから…

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コードを書いてみる②

nQueensProblem :: Int -> [[Int]]

書き始めはこんな感じかな？

nQueensProblem n = candidateFrom $permutations [1..n] where candidateFrom = filter (hasNoDiagonals positions)

あとは　 hasNoDiagonals: 対角に並ばない条件　 positions :2 つの駒の位置を付け加えて「対角に並ばない配置」だけを選ぶ。 candidateFrom はそういう関数。

0 から数えて 3 番目の要素を返すPrelude> filter (>3) [1..5][4,5]

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できあがりのコード

import Data.ListnQueensProblem :: Int -> [[Int]]nQueensProblem n = candidateFrom $permutations [1..n] where candidateFrom = filter (hasNoDiagonals positions) positions = [(i,j) | i <- [0..n-2], j <- [i+1 .. n-1]] hasNoDiagonals [] _ = True hasNoDiagonals positions@(ij:rest) q = notinDiagonal ij q && hasNoDiagonals rest q where notinDiagonal (i,j) q = abs((q !! i) - (q !! j)) /= j - i

0 から数えて 3 番目の要素を返す

hasNoDiagonal は 2 つの駒の取り得る位置のリストと配置を表すリストを取って True or False を返す関数(Data.List は permutations を含むモジュール )

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計算してみよう

*Main> length $nQueensProblem 892(0.69 secs, 70480272 bytes)



ふむふむ…

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めでたし　めでたし…？

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これで終わってよいのだろうか？*Main> length $nQueensProblem 892

8 個のクィーンを置く方法は 92 通りと分かったが…

これらを“異なる配置”として数えて良いのだろうか？

a b c d e f g h

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876543

90o回転くるっと

[6,3,5,7,1,4,2,8] [8,4,1,3,6,2,7,5]

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もう 1 歩踏み込んでみる

これらはチェス盤上の駒の配置としては等価

[6,3,5,7,1,4,2,8] [8,4,1,3,6,2,7,5] [1,7,5,8,2,4,6,3] [4,2,7,3,6,8,5,1]

[3,6,4,2,8,5,7,1] [1,5,8,6,3,7,2,4] [8,2,4,1,7,5,3,6] [5,7,2,6,3,1,4,8]

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改めて N クィーン問題（重複なし）N Queens Problem (N クィーン問題）

+ 　 N×N のチェス盤に N 個のクィーンを配置する

+ 　どのクィーンもお互いに取られる位置にあってはならない

+ 　 N 個のクィーンの配置は何通りあるだろうか？

+ 　ただし盤面の回転・反転で重なる場合は同じ配置とみなす

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反転をどのように表現するか

簡単な方から片付けよう

[6,3,5,7,1,4,2,8]

[3,6,4,2,8,5,7,1]上と下を足すと全部同じ数だね

上下の反転 ;リストの各要素 x を (n+1) – xに置き換えれば良い

map (n+1-) qs

注意： qs は駒の配置を表すリスト（例えば [6,3,5,7,1,4,2,8] ）

Prelude> map (9-) [6,3,5,7,1,4,2,8][3,6,4,2,8,5,7,1]

map : リストの各要素に関数を適用する

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反転をどのように表現するか（別案）

反転は左右にしたって構わない

好きな方を使えばいいよ

reverse qs

[6,3,5,7,1,4,2,8] [8,2,4,1,7,5,3,6]

これなら reverse 一発 !!

Prelude> reverse [6,3,5,7,1,4,2,8][8,2,4,1,7,5,3,6]

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回転をどのように表現するか

ここで注目 !!

対角反転左右反転reverse

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対角反転をどのように表現するか

( 3 , g )

1 2 3 4 5 6 7 8“c” は左から 3 番目…“g” は左から 7 番目…

3 7

対角反転は…“ i 番目の要素が x のリスト” を受け取って“ x 番目の要素が i のリスト” を返す関数で表現することができる

( 7 , c)

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対角反転と左右反転で回転を表現する

せ、せまい…

“ 対角反転” = map snd $sort (zip qs [1..])Prelude> zip [6,3,5,7,1,4,2,8] [1..][(6,1),(3,2),(5,3),(7,4),(1,5),(4,6),(2,7),(8,8)]

Prelude Data.List> sort [(6,1),(3,2),(5,3),(7,4),(1,5),(4,6),(2,7),(8,8)][(1,5),(2,7),(3,2),(4,6),(5,3),(6,1),(7,4),(8,8)]

Prelude> snd (1,5)5

Prelude> map snd [(1,5),(2,7),(3,2),(4,6),(5,3),(6,1),(7,4),(8,8)][5,7,2,6,3,1,4,8]

” 対角反転” したものを左右反転 (reverse) すれば 90° 回転になる !!

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コードを追加する①

roateBoard :: [Int] -> [Int]

4 回続けると 1 回転するね

rotateBoard qs = reverse $map snd $sort (zip qs [1..])

配置を受け取って 90° 回転した配置を返す関数をrotateBoard とする

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コードを追加する②

roateBoard :: [Int] -> [Int]

iterate は便利

rotateBoard qs = reverse $map snd $sort (zip qs [1..])

equivalentPositions :: [Int] -> [[Int]]equivalentPositions qs = nub (rotate ++ map reverse rotate) where rotate = take 4 $iterate rotateBoard qs

配置を受け取ってそれと等価な配置を返す関数をequivalentPositions とする

Prelude Data.List> nub [[1,2,3],[2,3,1],[1,2,3]][[1,2,3],[2,3,1]] nub : 重複を除いたリストを返す

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コードを追加する③

deleteEquivalent :: [[Int]] -> [[Int]]deleteEquivalent [] = []deleteEquivalent (q:qs) = q : deleteEquivalent restOfLists where restOfLists = [x | x <- qs, not $elem x (equivalentPositions q)]

deleteEquivalent は配置のリスト（リストのリスト）を受け取って“等価な配置”を取り除いた配置のリストを返す

nub : 重複を除いたリストを返す

equivalentPositions で定義された”等価な配置”から 1 つを残して残りは消してしまうんだ。

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後半で追加したコードroateBoard :: [Int] -> [Int]rotateBoard qs = reverse $map snd $sort (zip qs [1..])

equivalentPositions :: [Int] -> [[Int]]equivalentPositions qs = nub (rotate ++ map reverse rotate) where rotate = take 4 $iterate rotateBoard qs

deleteEquivalent :: [[Int]] -> [[Int]]deleteEquivalent [] = []deleteEquivalent (q:qs) = q : deleteEquivalent restOfLists where restOfLists = [x | x <- qs, not $elem x (equivalentPositions q)]

nQueensProblemUnique :: Int -> [[Int]]nQueensProblemUnique n = deleteEquivalent $nQueensProblem n

最後の 2行で、前半で求めた重複ありの配置リストをdeleteEquivalent に作用させ “等価な配置” を削除する

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計算してみよう

*Main> length $nQueensProblemUnique 812(0.64 secs, 80219900 bytes)



ようやく解決

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まとめ

Haskell で n クィーン問題を解いてみた

8×8 盤ではクィーンの配置は 92 通り。そのうち回転・反転で重なるものを除くと、配置は 12 通り。

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いつか Haskeller を名乗りたいな

Prelude> nQueensProblemcomplete

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Haskell で nクィーン問題を解く

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