Justus Hartnack

og den

punktualistiske fejl

Bachelorprojekt i matematik

Institut for matematiske fag, Københavns Universitet

Kristian Højsteen

Vejleder: Jesper Lützen

21.03.2014

Abstract

Two of Zeno's paradoxes and selected mathematical papers by Richard De-dekind and Georg Cantor form the basis for an analysis and criticism by thephilosopher Justus Hartnack in two chapters of his book Erkendelsens Grund-lag, Paradokser indenfor Logikkens og Matematikkens �loso� from 1993. Themain focus of his treatment is the question of actual in�nity versus poten-tial in�nity, and a concept of error referred to as �den punktualistiske fejl�regarding the idea of a continuous straight line constituted by points of noextension. This paper explores Hartnack's arguments with reference to thementioned material, and addresses certain mathematical problems in his ar-guments.

Figur 1: Justus Hartnack

Indhold

1 Indledning 1

1.1 Om bogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Om Justus Hartnack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Gennemgang af relevante tekster af Dedekind og Cantor 4

2.1 Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Disputten mellem Dedekind, Cantor og Kronecker . . . . . . . 12

3 Hartnacks tekst 14

3.1 Kapitlet Paradokser knyttet til begreberne Udstrækning og Be-vægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.1.1 Zenons paradokser. Begrebet Punkt . . . . . . . . . . . 143.1.2 Begrebet Nu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Kapitlet Uendelighedsbegrebet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.1 Galileo og Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.2 Dedekind og den aktuelle uendelighed . . . . . . . . . . 223.2.3 Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Zenon 27

4.0.4 Pileparadokset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.0.5 Akilles og Skildpadden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5 Analyse af Hartnacks tekst 33

5.1 Zenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.1.1 Afsluttende bemærkninger om Hartnack og Zenon . . . 36

5.2 Galileo og Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.3 Dedekind og den aktuelle uendelighed . . . . . . . . . . . . . . 405.4 Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6 Modtagelsen 43

7 Andre udgivelser 44

8 Konklusion 46

9 Litteraturliste 47

9.1 Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479.2 Anmeldelser: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499.3 Figurer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1 Indledning

I sin bog fra 1993: Erkendelsens Grundlag � Paradokser indenfor Logikkens ogMatematikkens Filoso� fremlægger og gennemgår �loso�en Justus Hartna-ck (1912-2005), med udgangspunkt i �loso�en, en række matematisk-logiskeparadokser og behandlinger af samme. Jeg vil til projektet især fokusere påde to kapitler Paradokser knyttet til begreberne Udstrækning og Bevægelse ogUendelighedsbegrebet som udfoldes på siderne 57-95.

Før jeg gør rede for selve indholdet af Hartnacks tekst, vil jeg gennemgåudvalgte tekster af Richard Dedekind (1831-1916) og Georg Cantor (1845-1918) hvor de idéer som behandles og kritiseres af Hartnack, bliver introdu-ceret.

Efter de redegørende afsnit om Hartnacks tekst vil jeg historisk gennemgåde to af Zenons (5. århundrede f.Kr.) paradokser som behandles af Hartnack,og jeg forsøger at lave en matematisk beskrivelse.

Dette lægger op til selve analysen af Hartnacks to kapitler, hvor jeg vilfokusere på idéen om `den punktualistiske fejl', og specielt på de matematiskeargumentationer omkring kontinuitet og aktuel uendelighed med henvisningtil afsnittene om Zenon, Dedekind og Cantor.

Til slut gennemgår jeg fem anmeldelser af Hartnacks bog, og omtalerkort nogle af Hartnacks andre udgivelser. I konklusionen vil jeg adresserevisse problemer i Hartnacks argumenter.

1.1 Om bogen

Erkendelsens Grundlag er forholdsvis kort (115 sider) og skrevet i et umid-delbart tilgængeligt sprog. Den lader til at være henvendt til lægfolk medinteresse i �loso� og matematik.

Hartnack indleder bogen med kretenseren Epimenides' (7. eller 6. år-hundrede f. Kr.) løgnerparadoks: �Alle kretensere lyver� (alternativ: �Dennesætning er falsk�) og Bertrand Russells (1872-1970) klasseparadoks (M ={X|X /∈ X}) angående Gottlob Freges (1848-1925) logiske system på basisaf Cantors klassede�nitioner (Hartnack foretrækker ordet `klasse' frem for`mængde'; begge begreber vil blive benyttet i �æng i det følgende).

Han påviser en sammenhæng mellem visse logiske paradokser og funda-mentale semantiske problemer i sprogets struktur, og han angiver en mang-lende hierarkisk skelnen mellem metasprog og objektsprog som den underlig-gende årsag til �ere af paradokserne, blandt andet med henvisning til den afRussell udviklede typeteori. Der bliver efterfølgende lavet sammenligningermed Kurt Gödels (1906-1978) ufuldstændighedssætninger (�at i ethvert mod-sigelsesfrit aksiomsystem, som kan behandle hele tal, vil der være sætninger

1

som ikke kan bevises, samt kan det med systemets egne metoder ikke bevi-ses at systemet er modsigelsesfrit�). Dette fører ham videre til bl.a. AlfredTarskis (1901-1983) behandling af sandhedsbegrebet (dog uden at kommeind på det i matematikerkredse meget omtalte Banach-Tarski paradoks ogudvalgsaksiomet).

Herfra går Hartnack over til at behandle to af Zenons paradokser og giver(blandt andet med henvisning til G. W. F. Hegel (1770-1831)) kritik af idéenom den aktuelle (konsumerede) uendelighed, og specielt kritik af Dedekindog Cantors idéer om den kontinuerte rette linie der konstitueres af punkteruden udstrækning. Det er disse afsnit jeg vil behandle i det følgende.

Bogen slutter af med overvejelser om tidens uendelighed.

1.2 Om Justus Hartnack

Justus Hartnack blev matematisk/naturvidenskabelig student i 1930 og tog,efter en militærkarriere og ophold med studier i Uppsala under krigen, magi-sterkonferens i �loso� ved Københavns Universitet i 1946. Han erhvervededoktorgrad samme sted i 1950 efter nogle års ansættelse ved Colgate Univer-sity i USA. Samme år søgte han et professorat i �loso� i København, mentabte forelæsningskonkurrencen til Bent Schultzer (1904-1973). I 1954 ud-nævntes han til professor i �loso� ved Århus Universitet med særligt ansvarfor �loso�kum (�loso�kum blev afska�et som obligatorisk universitetsfag i1971 og a�øst af fagspeci�kke kurser i videnskabsteori og metodelære), oghan bestred stillingen frem til 1972, dog afbrudt af �ere orlovsperioder hvorhan plejede en karriere i USA ved forskellige universiteter, herunder N. Y.State University, Brockport.

Hartnack forfattede �ere lærebøger til �loso�kum, herunder Filoso�skeProblemer og Filoso�ske Argumentationer [Hartnack 1955], Wittgenstein ogden moderne �loso� [Hartnack 1960] (som opnåede betydelig internationaludbredelse), samt en lærebog i logik [Hartnack 1958]. Erkendelsens Grundlagudkom i 1993 da Hartnack var 81 år gammel, og han vedblev at udgive værkerfrem til sin død i 2005 [Fink et al.], [Blegvad].

Filoso�sk og metodisk formodes han især at bekende sig til Dagligsprogs-�loso�en (angiveligt også påvirket af sine ophold i USA), som repræsenteretved Oxford�loso�erne Gilbert Ryle (1900-1976), J. L. Austin (1911-1960) ogP. F. Strawson (1919-2006), men der var også ind�ydelse fra det som Dag-ligsprogs�loso�en dels udsprang af dels var en reaktion imod: den Analyti-ske Filoso� (dog også brugt som fællesbetegnelse der inkluderer ovenstående)som repræsenteret ved Bertrand Russell, G. E. Moore (1873-1958) og LudwigWittgenstein (1889-1951). Ifølge Dagligsprogs�loso�en kan løsningen af visse�loso�ske problemer �nde sted gennem en analyse af begrebers anvendelse

2

i dagligsproget. Når begreber ved abstraktion bliver løsrevet fra deres an-vendelse i dagligsproget, opstår risiko for fejlslutninger [Beaney], [Ryberg],[Lübcke, pp. 16-17, 76-77]. Hartnack betegner selv dagligsprogets som den�[...] nødvendige forudsætning for al tænkning� [Hartnack 2002, p. 11]. På si-ne ældre dage blev Hartnack særlig interesseret i G. W. F. Hegels (1770-1831)�loso�.

3

2 Gennemgang af relevante tekster af Dedekind

og Cantor

2.1 Dedekind

Dedekinds konstruktion af de irrationale tal ved hjælp af de rationale talsom omtales i [Hartnack 1993], blev beskrevet af Dedekind selv i 1872 iværket: Stetigkeit und irrationale Zahlen [Dedekind 1872a] som her citeres fraden engelske oversættelse i [Dedekind 1872b]. Hvor andre (Karl Weierstrass(1815-1897), Eduard Heine (1821-1881), Charles Méray (1835-1919), Cantor)konstruerede de irrationale tal ved hjælp af Cauchy-følger af rationale tal ellerved hjælp af supremumsegenskaber for de rationale tal, benyttede Dedekindnoget han kaldte snit i de rationale tal. Han indleder teksten med at beskriveat han allerede i 1858 udviklede idéen da han som forelæser var nødsagettil at demonstrere kontinuitetsegenskaber ved hjælp af geometriske midler,hvor:

�[...] this feeling of dissatisfaction was so overpowering thatI made the �xed resolve to keep meditating on the questiontill I should �nd a purely arithmetic and perfectly rigorousfoundation for the principles of in�nitesimal analysis.�[Dedekind 1872b, pp. 1-2]

(1)

Det følgende er så resultatet af denne undersøgelse. Han indleder med atbeskrive tre egenskaber, som han kalder love, ved de rationale tal som kortbeskrevet er:

1. a > b og b > c⇒ a > c

2. Hvis a og c er to forskellige tal (d.v.s. a− c 6= 0), så �ndes der uendeligmange tal mellem a og c

3. Hvis a er et vilkårligt, bestemt (rationalt) tal, så kan samtlige rationaletal placeres i to mængder, A1 og A2. De tal a1 hvorom det gælder ata1 < a, placeres i A1, og tallene a2 hvorom det gælder at a2 > a,placeres i A2. Endelig kan tallet a placeres som man har lyst i en afmængderne, og vil da være enten det største tal i A1 (hvorved der ikke�ndes et mindste tal i A2) eller det mindste tal i A2 (hvorved der ikke�ndes et største tal i A1)

4

Det ses at ovenstående 3 love giver god mening i forhold til den kendte aritme-tik for de rationale tal. Det bemærkes også at Dedekind allerede her opererermed aktuel uendelighed. Herefter laver han omhyggeligt en tilsvarende be-skrivelse af tre egenskaber ved punkter på den rette linie L, og opstiller igentre love (og det tages for givet at L er orienteret så det giver mening at taleom højre og venstre på L):

1. Hvis punktet p ligger til højre for q, og q til højre for r, så ligger qmellem p og r

2. Hvis p og r er forskellige punkter, vil der ligge uendelig mange punktermellem p og r

3. Hvis p er et bestemt punkt på L, så kan alle punkter fordeles på tomængder P1 og P2, hvor samtlige punkter p1 i P1 ligger til venstre for pog samtlige punkter p2 i P2 ligger til højre for p. Punktet p kan placeresi P1 eller P2 som man har lyst

Også denne beskrivelse giver god mening i forhold til den euklidiske idé omlinier og punkter (hvis der ses bort fra selve mængdebegrebet og ikke mindstmængder af uendelig mange elementer). Dedekind argumenterer så at hvisman placerer et nul-punkt O på L, og angiver en fast enhedslængde til L, kander laves en korrespondance mellem de rationale tal og linien L. Dette gårnoget imod den euklidiske idé om adskillelse af geometriske og algebraiskeforhold, men svarer til hvad matematikere har gjort mere eller mindre be-vidst siden Descartes [Cantor 1915, p. 15]. Her gør Dedekind det både megetbevidst og klart beskrevet.

Dedekind anfører nu hvad han forstår ved kontinuitet for linien. Hannævner at da det jo kan bevises at der �ndes uendelig mange længder somer inkommensurable med enhedslængden, er den rette linie uendelig rigerepå punkt-individer end området af rationale tal (af Dedekind kaldet R) erpå tal-individer [Dedekind 1872b, p. 9]. Da er de rationale tal utilstrækkeligetil at korrespondere med samtlige punkter på linien, så der må nødvendigviskonstrueres nye tal således at talområdet kan gøres lige så fuldstændigt, ellerkontinuert, som den rette linie. Han �nder at kontinuiteten eller fuldstændig-heden af den rette linie kan beskrives ved følgende princip: Hvis alle punkterpå den rette linie kan opdeles i to mængder, således at ethvert punkt i denførste mængde ligger til venstre for ethvert punkt i den anden mængde, �[...]then there exists one and only one point which produces this division of allpoints into two classes [...]� [Dedekind 1872b, p. 11]. Dedekind mener at hanikke tager fejl ved at antage at enhver vil kunne erkende dette forhold, og athan vil glæde sig hvis enhver �nder dette forhold åbenlyst, for hverken han,

5

og nogen anden, er i stand til at give bevis herfor. Det er med andre ord etaksiom for kontinuiteten for den rette linie, og han skriver videre:

�If space has at all a real existence it is not necessary for it tobe continuous; many of its properties would remain the sameeven were it discontinuous. And if we knew for certain thatspace was discontinuous there would be nothing to prevent us,in case we so desired, from �lling up its gaps, in thought, andthus making it continuous; this �lling up would have to bee�ected in accordance with the above principle; [...]�[Dedekind 1872b, p. 12]

(2)

Herefter giver han sig til at de�nere hvad han forstår ved et snit i R: Et snit(A1, A2) består af et mængdepar A1 og A2, hvor ethvert tal i A1 er mindreend ethvert tal i A2, og A1∪A2 = R. Hvis snittet er `frembragt' af et rationalttal a, så er a enten det største tal i A1 eller det mindste tal i A2.

Det er nu let, skriver han, at vise at der �ndes uendelig mange snit i Rder ikke er frembragt af rationale tal. Dette demonstrerer han ved at ladetallet D være et helt positivt tal der ikke er et kvadrattal, og herefter placerede positive rationale tal hvis kvadrater er større end D, i A2, og resten af derationale tal i A1. Han giver følgende modstridsbevis for at D ikke kan værekvadratet af noget rationalt tal:

Dedekinds bevis : Hvis D er et helt positivt tal der ikke er et kvadrattal,så �ndes der et helt positivt tal λ hvorom det gælder at λ2 < D < (λ+ 1)2.Antag at der �ndes et rationalt tal hvis kvadrat er lig D. Så �ndes der tohele positive tal t, u hvor

D =t2

u2⇔ Du2 = t2 ⇔ t2 −Du2 = 0

og vi kan lade u være det mindste positive heltal med denne egenskab. Detses videre at

λ2 < D < (λ+ 1)2

⇓λ2u2 < Du2 < (λ+ 1)2u2

⇓λu < t < (λ+ 1)u,

6

og at tallet u′ := t− λu er et positivt heltal som er mindre end u. Ligeledeser t′ := Du− λt et positivt heltal da:

t2 = Du2 ⇒ tλu < Du2 ⇒ λt < Du

og heraf følger:

t′2 −Du′2 = (Du− λt)2 −D(t− λu)2

= D2u2 + λ2t2 −Dt2 −Dλ2u2

= (λ2 −D)(t2 −Du2)= 0

hvilket går mod antagelsen at u er det mindste positive heltal med netop denegenskab.

√D kan altså ikke være et rationalt tal.

Herefter giver han endnu et modstridsbevis for at der i A1 ikke �ndes etstørste tal, og at der i A2 ikke �ndes et mindste tal. Dermed kan snittet(A1, A2) ikke være frembragt af noget rationalt tal, og i dette forhold be-står diskontinuiteten af talområdet R. Når han altså har at gøre med et snit(A1, A2) som ikke er frembragt af et rationalt tal, skaber han et nyt, irratio-nalt tal, α, som han betragter som værende �completely de�ned� ved snittet(A1, A2) [Dedekind 1872b, p. 15].

Han introducerer nu begrebet reelle tal om tal der er enten rationale el-ler irrationale, og opstiller fem (og dermed samtlige) mulige forhold mellemde to mindstetalsmængder A1 og B1 i to vilkårlige snit (A1, A2) og (B1, B2)frembragt af to vilkårlige reelle tal α og β gennem de rationale tal. Under-søgelserne af forholdene viser at A1 og B1 enten kan være ens, have et tal tilforskel (som nødvendigvis må være rationalt), eller have uendelig mange (ra-tionale) tal til forskel. Herved får han formaliseret brugen af komparativerne> og < mellem de reelle tal og demonstreret at der også mellem to forskelligereelle tal �ndes uendelig mange rationale tal. Så er han klar til i femte afsnitat beskrive systemet R af de reelle tal som et �[...] well-arranged domain ofone dimension [...]� [Dedekind 1872b, p. 19], og kan nu opstille de samme trelove for de reelle tal som han opstillede for de rationale tal:

1. α > β og β > γ ⇒ α > γ

2. Hvis α og γ er to forskellige tal, så �ndes der uendelig mange tal mellemα og γ

3. Hvis α er et vilkårligt, bestemt tal, så kan samtlige tal i R placeres i tomængder, A1 og A2. De tal α1 hvorom det gælder at α1 < α, placeres i

7

A1, og tallene α2 hvorom det gælder at α2 > α, placeres i A2. Endeligkan tallet α placeres som man har lyst i en af mængderne, og vil davære enten det største tal i A1 (hvorved der ikke �ndes et mindste tali A2) eller det mindste tal i A2 (hvorved der ikke �ndes et største tal iA1)

Han hævder endvidere at R også har kontinuitet, og opstiller, og beviser,den fjerde lov for de reelle tal:

4. Hvis R opdeles i to mængder A1 og A2 sådan at hvert tal α1 i A1

er mindre end hvert tal α2 i A2, så �ndes der et og kun et tal α derfrembringer denne opdeling.

Dedekinds bevis : Ved opdelingen eller snittet af R i de to mængder A1 og A2

opnås samtidig et snit (A1, A2) af de rationale tal R, der er de�neret ved atA1 indeholder alle rationale tal i A1 og A2 indeholder alle rationale tal i A2.Lad α være tallet der frembringer dette snit (A1, A2) (og samtidig (A1,A2).Hvis β er hvilket som helst tal forskelligt fra α så �ndes der uendelig man-ge rationale tal c mellem α og β. β < α medfører c < α, og dermed er cindeholdt i A1, og dermed også i A1, og da β < c, så er også β indeholdti A1. Og omvendt: β > α ⇒ β > c > α og dermed gælder at c ∈ A2 ogdermed også at c, β ∈ A2. Så ethvert tal β 6= α er indeholdt i A1 eller A2 hvishenholdsvis β < α eller β > α. Af dette følger at der eksisterer et tal α somenten er det største tal i A1 eller det mindste tal i A2, og dermed er α deteneste tal der kan frembringe denne opdeling afR 1 i de to mængder A1 og A2.

Dedekind går så videre til at vise at de aritmetiske operationer for de ra-tionale tal kan udvides til også at gælde for reelle tal hvor de opfylder desædvanlige regler (konkret viser han addition). Han introducerer i den for-bindelse begrebet interval som en forenklende foranstaltning ved de�nitio-nerne af de aritmetiske operationer for de reelle tal. Endelig i afsnit VII viserhan hvordan forhold fra in�nitesimalregningen gælder for de reelle tal. Hanviser at læresætningen: If a magnitude x grows continually but not beyondall limits it approaches a limiting value.�, er foreneligt med kontinuitetsprin-cippet, og at sætningen �[...] loses its validity as soon as we assume a singlereal number not to be contained in the domain < [...]� [Dedekind 1872b, p.24-25]. Han fremfører at sætningen samtidig medfører førnævnte fjerde lov.Han slutter værket af med endnu engang at vise forbindelsen mellem konti-nuitetsprincippet for de reelle tal og in�nitesimalregningen, denne gang vedet ε-δ argument.

1I originalteksten [Dedekind 1872a, p. 26] står der korrekt anført R (for de reelle tal),men i den oversatte tekst [Dedekind 1872b, p. 21] er der her kommet til at stå R (for derationale tal).

8

2.2 Cantor

Georg Cantor havde kort forud for Dedekinds udgivelse udgivet artiklen Überdie Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen iMathematische Annalen 5 (1872) hvor han, under ind�ydelse af Weierstrass,selv indførte de irrationale tal ved hjælp af Cauchy-følger af rationale tal.

Mere speci�kt beskriver han den uendelige fundamentale følge (Cauchy-følge) af rationale tal a1, a2, ..., an, ... hvor der, for ethvert positivt rationalttal ε, �ndes et positivt helt tal n1 således at |an+m − an| < ε når n ≥ n1,for ethvert postivt helt tal m. Nogle af disse følger konvergerer i Q, og harfølgelig en rational grænseværdi; andre gør ikke. Til enhver følge {an} hvadenten den konvergerer i Q eller ej, tilknytter Cantor så en bestemt `græn-seværdi', som han angiver ved `tegnet' (Zeichen) b. Derpå beskriver han enrelation mellem to følger {an} med grænseværdi b, og {a′n} med grænsevær-di b′. Hvis det så gælder at an − a′n bliver uendeligt lille for voksende n, såsætter han b = b′. Derpå de�nerer han de tre komparativer: <,> og =, hvil-ket retfærdiggør at følgernes grænse b nu (og først nu) kan beskrives som entalstørrelse (Zahlengrössen) der konstituerer det nye talområde B. Herefterviser han at de 4 aritmetiske elementaroperationer kan udvides til at gældefor B, og beskriver nu en ny følge af elementerne b1, b2, ..., bn, ... af mængdenB, og konstruerer så på lignende vis talområdet C af grænserne c tilknyttetfølgerne {bn} [Cantor 1872, pp. 1-4].

Herefter beviser han så at B og C er indbyrdes isomorfe og kan sættesi enentydig korrespondance med hinanden, og at talområdet B (og dermedC) er afsluttet med hensyn til grænseoperationer [Bottazzini, pp. 277-278].At talstørrelserne i dette konstruerede talområde svarer til punkterne på enret linie, anfører han, er et aksiom [Cantor, p. 5], og beskriver sammenhæn-gen mellem B og den rette linie ved Bolzano-Weierstrass sætningen omkringakkumuleringspunkter for punktmængder. Det antages her at Cantor laderpunktmængden være begrænset: �By a �limit point of a point set P � I un-derstand a point of the line so placed that in every neighborhood of it we can�nd in�nitely many points of P where it is possible that it also belongs tothe set. But by �the neighborhood of a point� should here be understood everyinterval which has the point in its interior. Thereafter it is easy to prove thata point set consisting of an in�nite number of points always has at least onelimit point� (her citeret fra [Bottazzini, p. 278]).

Han korresponderede efterfølgende med Dedekind om emnet. Dette førte fremtil at han i løbet af 1873 udarbejdede og i 1874 udgav et bevis for at der ikkekunne laves en enentydig korrespondance mellem mængden af de naturligetal og mængden af de reelle tal. Dette gjorde han ved at demonstrere at i

9

ethvert givent interval (α, β) i (0, 1) kunne det vises at der eksisterede et talη ∈ (α, β) som ikke var inkluderet i en (indekseret) følge: ω1, ω2, ..., ωn, ...som var antaget at udtømme (0, 1) [Dauben, p. 53], [Ewald, pp. 841-842].

Cantors bevis : Lad samtlige reelle tal i intervallet (0,1) være givet ved følgenω1, ω2, ...ωn, ... som på en eller anden måde er blevet indekseret. Man gen-nemløber nu, fra en ende af, et givent interval (α, β) i (0, 1), og de to førstetal fra følgen som man støder på i det indre af intervallet, betegnes α′ og β′,hvor α′ < β′. Der skabes et nyt interval (α′, β′), og de to første tal fra følgenaf reelle tal man støder på i dets indre, betegnes α′′ og β′′ hvor α′′ < β′′, o.s.v.Værdien af tallene α′, α′′, ... er voksende, mens værdien af β′, β′′, ... er afta-gende. Der er nu to muligheder, der �ndes et endeligt antal intervaller eller etuendeligt antal intervaller. Hvis der kun �ndes et endeligt antal intervaller, sålad det sidste være (α(n), β(n)). Så kan man i dets indre højst �nde et tal frafølgen ω1, ω2, ...ωn, ..., og der eksisterer så et tal η i intervallet (α(n), β(n)) derikke tilhører følgen. Lad der nu istedet være uendelig mange intervaller, hvorgrænseværdien for α, α′, α′′, ... betegnes α∞ og grænseværdien for β, β′, β′′, ...betegnes β∞. Hvis α∞ = β∞, så kan η = α∞ = β∞ ikke være indeholdti følgen ω1, ω2, ...ωn, ..., da der skal gælde at η = ωp, hvor p er et bestemtindeksnummer; men så kan ωp ikke ligge i det indre af intervallet (α(p), β(p)).Hvis α∞ < β∞ ses det at ethvert tal η i intervallet (α∞, β∞) heller ikke eret tal fra følgen ω1, ω2, ...ωn, .... Altså er der her en modstrid, og der kan ik-ke laves en enentydig korrespondance mellem de reelle tal og de naturlige tal.

`Mægtigheden' eller kardinaltallet for de to talmængder N og R måtte alt-så være forskellig. Cantor viste ved samme lejlighed at der kunne laves enenentydig korrespondance ikke kun mellem de rationale tal og de naturligetal, men også mellem de algebraiske tal (d.v.s. alle (ikke-komplekse) rødderaf endelige polynomier med heltalskoe�cienter) og de naturlige tal.

Cantors bevis : Betragt polynomiet (med heltalskoe�cienter uden fælles fak-torer, og hvor n og ao er positive hele tal) givet ved:

a0ωn + a1ω

n−1 + ...+ an = 0,

`Højden' N af polynomiet de�neres ved:

N := n− 1 + |a0|+ |a1|+ ...+ |an|.

Det ses at for hver højde N �ndes der kun et endeligt antal polynomier meddenne højde, og hver af disse polynomier har kun et endeligt antal rødder ω.Så antallet φ(N) af algebraiske tal ω der har højden N , er endeligt; eksem-pelvis: φ(1) = 1, φ(2) = 2, φ(3) = 4, o.s.v. Alle tal i (ω) op til N = N1 kan

10

tælles på denne facon, og de algebraiske tal der har højden N = N1+1, følgerefter. Der kan med andre ord laves en tællelig mængde af endelige mængder,og samlingen af alle algebraiske tal (ω) kan så indekseres ved: ω1, ω2, ...ωn, ...,hvor intet algebraisk tal mangler [Cantor 1874, p. 579].

Når mængden af de algebraiske tal dermed var tællelig, kunne Cantor kon-kludere at mængden af de nyligt opdagede trancendente (ikke-algebraiske)tal, ikke kunne være tællelig, eftersom foreningsmængden R ikke var tællelig.

Grundet især Leopold Kroneckers (1823-1891) uvilje mod idéerne om kon-struktioner af irrationale tal og transcendente tal samt brugen af uendelig-hedsbegrebet i almindelighed � men angiveligt også fordi Cantor selv ikkevar tilfreds med at beviset fra 1874 gjorde brug af irrationale tal [Dauben p.165] � blev den vigtige opdagelse af de reelle tals overtællelighed (eller non-denumerabilitet) præsenteret i en artikel om de algebraiske tal [Dauben, pp.67-68]. Han beviste kort tid efter den, ikke mindst for ham selv, overraskendeenentydige (men ikke kontinuerte) korrespondance mellem R og Rn, som gavanledning til det berømte citat fra et brev til Dedekind: �Je le vois, maisje ne le crois pas.� [Dauben, p. 47]. I 1883 viste han i værket Grundlageneiner allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre hvordan de trans�nite tal kunnebeskrives som en udvidelse af de naturlige tal, og argumenterede i forsvar forsine matematiske konstruktioner. Senere (1891) lykkedes det ham at bevisede reelle tals overtællelighed ved det berømte (og af Hartnack refererede)diagonaliseringsbevis.

Kardinaltallet for mængden af de naturlige tal, samt for mængder hviselementer enentydigt kunne korreleres til de naturlige tal, gav han nogle årsenere i værket Beiträge zur Begründung der trans�niten Mengenlehre (1895)betegnelsen ℵ0, det første trans�nite kardinaltal. Mængden af alle reelle tal�k kardinaltallet c for `continuum'.

Kontinuumshypotesen, at der ingen mængde �ndes der har et kardinaltalmellem ℵ0 og c = 2ℵ0 = |P(N)| (hvor |P(N)| er kardinaltallet for potens-mængden for N), har siden vist sig uafgørelig inden for Zermelo-Fraenkelaksiomsystemet. Under antagelse af udvalgsaksiomet �ndes der et mindstekardinaltal ℵ1 større end ℵ0, hvor kontinuumshypotesen så siger at 2ℵ0 = ℵ1,og hvor den generelle kontinuumshypotese siger at 2ℵα = ℵα+1 for alle ordi-naltal α.

Ordinaltallene havde Cantor beskrevet i 1883 i Grundlagen, og han havdeyderligere uddybet emnet i 1895/1897 i Beiträge. Meget kort fortalt kanordinaltallene for N udvides med de trans�nitte ordinaltal:

ω, ω + 1, ω + 2, ..., ω · 2, ω · 2 + 1, ..., ω2, ..., ωω, ..., ωω·2, ..., ωω2

, ..., ωωω

, ...

11

som hver især er tællelig uendelig, mens mængden af dem er velordnet, menovertællelig. Det mindste trans�nitte ordinaltal ω er lig det mindste trans�-nitte kardinaltal ℵ0 [Holz, p. 45].

2.3 Disputten mellem Dedekind, Cantor og Kronecker

Såvel Dedekind som Cantor så sig nødsaget til at argumentere for berettigel-sen af deres nye konstruktioner, ikke mindst fordi Kronecker som redaktørfor det ansete matematiske tidsskrift Crelle's Journal besad stor magt. Kro-neckers berømte udtalelse (også citeret af Hartnack): �Die ganzen Zahlen hatder liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk�, er i øvrigt inter-essant, dels fordi han oprindeligt udtaler sig om de hele tal, ikke kun denaturlige, og dels fordi han med udtalelsen erklærer at også meget af den`�nitte' matematik som han selv arbejdede med, er menneskeskabt. Uover-ensstemmelsen mellem Cantors `trans�nitisme' og Kroneckers `�nitisme' gavangiveligt senere anledning til udviklingen af (mere eller mindre klart de�-nerede) matematisk-�loso�ske retninger som Logicismen (Frege, Russell) ogFormalismen (David Hilbert (1862-1943)) såvel som til modreaktionerne In-tuitionismen og Konstruktivismen (L. E. J. Brouwer (1881-1966)), og enddatil mere ekstreme former for `�nitismer' hvor undertiden end ikke den poten-tielle uendelighed kunne anerkendes (den sene Wittgenstein) [Rodych, pp.2.2, 3.2, 3.4].

Dedekind argumenterede allerede for berettigelsen af sit kontinuitetsaksiomfor den rette linie ved (2) og i 1887 i forordet til udgivelsen Was sind undwas sollen die Zahlen? skrev han:

�In speaking of arithmetic (algebra, analysis) as a part of logicI mean to imply that I consider the number-concept entirelyindependent of the notions or intuitions of space and time,that I consider it an immediate result from the laws of thought.My answer to the problems propounded in the title of this paperis, then, brie�y this: numbers are free creations of the humanmind; [...]�[Dedekind 1888, p.31]

(3)

og henviser senere i en fodnote speci�kt til at Kronecker �[...] has endeavoredto impose certain limitations upon the free formation of concepts in mat-hematics which I do not believe to be justi�ed [...]� [Dedekind 1888, p. 45]

12

Cantor erklærede allerede i 1883 i Grundlagen einer allgemeinen Mannigfal-tigkeitslehre at

�Mathematics is entirely free in its development, bound onlyby the self-evident concern that its concepts be both internal-ly without contradiction and stand in de�nite relations, or-ganized by means of de�nitions, to previously formed, alreadyexisting and proven concepts. In particular, in introducing newnumbers mathematics is obliged only to give such de�nitions ofthem as will lend them the kind of determiniteness and, undercertain circumstances, their kind of relationship to the oldernumbers, which in a given case will de�nitely permit them tobe distinguished from one another. As soon as a number sa-tis�es all these conditions, mathematics can and must regardit as existent and real.�[Cantor 1883, p. 518]

(4)

13

3 Hartnacks tekst

3.1 Kapitlet Paradokser knyttet til begreberne Udstræk-

ning og Bevægelse

3.1.1 Zenons paradokser. Begrebet Punkt

De to af Zenons paradokser som Hartnack tager fat på, og som lægger optil hans behandling af Dedekind og Cantors idéer om linien, kontinuitet oguendelighed, er `Akilles og skildpadden-paradokset' og `Pileparadokset'. Hanlægger ud med kort at beskrive begrebet punkt og indikerer straks at der ertale om et problemskabende begreb, da punkter

�[...] ikke blot er et matematisk begreb, men tillige betragtessom noget i virkeligheden eksisterende, altså som ontologiskestørrelser � som, om man vil, rummets atomer.�[Hartnack 1993, p.57]

(5)

Han behandler de to paradokser, som begge antyder bevægelsens umulig-hed, sideløbende: Akilles (Hartnacks stavemåde som jeg bibeholder her) ogskildpadden skal løbe om kap, og skildpadden får tildelt et forspring da denformodes at være (vældig meget) langsommere end Akilles. Paradokset beståri at når Akilles når frem til det punkt hvor skildpadden var da væddeløbetstartede, er skildpadden nået frem til punktet p1. Når Akilles når frem p1, erskildpadden nået til p2, osv. i det uendelige. Altså vil Akilles aldrig nå fremtil, endsige passere, skildpadden. Hartnack går videre, før han har tilbagevistAkilles og skildpadden-paradokset, til Pileparadokset:

�En pil der afskydes fra en �itsbue vil aldrig kunne nå må-let. Thi den må med nødvendighed på et hvilket som helsttidspunkt være i et bestemt punkt. Men da liniestykket dermarkerer afstanden fra �itsbuen til målet indeholder uendeligmange punkter, og man aldrig, ligegyldigt med hvor stor ha-stighed der end er tale om, kan opnå at have passeret uendeligmange punkter så følger det at pilen aldrig vil nå målet.�[Hartnack 1993, p. 59]

(6)

Tilbage til Akilles og skildpadden forklarer Hartnack at kon�ikten består i

14

at såvel begrebet `punkt' som begrebet `nu' benyttes på to forskellige måder.Hvad punktet angår, som punkt på en linie, så er det

�[...] så at sige den mindste del af et liniestykke. Det er medandre ord en ontologisk størrelse. [...] Punkterne konstituererliniestykket. Og er det tilfældet så må punkterne hver for sighave en vis udstrækning [...]�[Hartnack 1993, p. 60]

(7)

Hartnack laver nu et tankeeksperiment hvor han lader det bevægende objekt(Akilles) være mindre end punkterne på liniestykket (som jo har udstræk-ning). Han sammenligner med en bil der forfølger en anden bil gennem enrække landsbyer på en landevej. Da vil det, hævder han, kunne lade sig gørefor Akilles at indhente skildpadden, det øjeblik begge be�nder sig i sammelandsby/punkt. Hartnack går nu over til at beskrive punktet som et mate-matisk begreb (som hos Euklid), som

�[...] det der ikke kan deles, hvilket selvsagt medfører at etpunkt ingen udstrækning har.�[Hartnack 1993, p.61]

(8)

Disse to modstridende opfattelser (med og uden udstrækning) sammenblan-des i såvel �loso�en som matematikken, hævder han og fremfører videre atZenons paradoks (det er uklart hvilket af dem han referer til) forudsætter atbegrebet `punkt' opfattes som en del af liniestykket, men samtidig som uud-strakt og derfor ikke som en ontologisk størrelse. Han henviser til Euklidsaksiomer: at �[...] `På en ret linie �ndes der altid mindst to punkter'. Men etpunkt der �ndes på en ret linie er en ontologisk størrelse� [Hartnack 1993,p. 62]. Så paradokset (Akilles og skildpadden, må det formodes) består i atpunktet dels betragtes ontologisk dels matematisk. Hartnack hævder på denbaggrund at paradokset ikke kan opstå hvis punktet opfattes som en mini-del af liniestykket og derfor udstrakt, hvorved �Akilles [...] med nødvendighed[vil] indhente skildpadden� [Hartnack 1993, p.62]. Han postulerer videre atsammenblandingen af begreberne

15

�[...] resulterer i at et liniestykke [...] er tænkt konstitueret afuendelig mange punkter, hvilket selvsagt er en logisk umulig-hed. Ved at gøre punkterne mindre og mindre kan antallet afdem stige, men antallet vil altid være endeligt. Kun ved at for-andre punkterne[s] status som ontologisk og opfatte dem somnon-ontologiske matematiske størrelser kan man tale om etuendeligt antal punkter på et liniestykke.�[Hartnack 1993, pp. 62-63]

(9)

Herefter følger en kort omtale af Hegels gendrivelse af Zenons argumentationi [Hegel], hvori Hartnack dog bemærker at analysen �[...] forudsætter i mangtog meget hele Hegels logiske system� [Hartnack 1993, p.63]. I Hartnacksforenklede fremstilling taler Hegel om to begreber: adskillelse og kontinuitet.

�Begge disse begreber er nødvendige, men de kan ikke anven-des samtidigt. Anvendelsen af det ene forudsætter imidlertidanvendelsen af det andet. Begrebet adskillelse forudsætter detdet adskilte er adskilt fra. Det man adskiller er før adskillelsenen helhed. Det er en helhed der derfor har kontinuitet.[Hartnack 1993, p. 63]

(10)

Hegel anfører videre (ifølge Hartnack) at om et liniestykke gælder det

�[...] at man kan dele det i det uendelige, hvilket imidlertid ikkeimplicerer den meningsløse sætning at den er delt i uendeligmange dele. Men det er netop den fejl Zenon begår.�[Hartnack 1993, p. 65]

(11)

Og netop derved følger den absurde antagelse at såvel Akilles som pilen aldrigvil nå henholdsvis skildpadden og målet

�[...] eftersom begrebet punkt dermed illegalt opgiver at væreen ontologisk og udstrakt entitet og i stedet forvandles til etnon-ontologisk og uudstrakt matematisk punkt.�[Hartnack 1993, p. 65]

(12)

16

Såvidt Hegels analyse i Hartnacks udlægning. Hartnack demonstrerer nu atet punkt (uden udstrækning) ikke kan udgøre en del af et liniestykke vedat antage at liniestykket, hvis ene halvdel er blå og hvis anden halvdel ergul, har et midtpunkt, M, og ved at lade ethvert punkt (ude�neret om detopfattes med udstrækning) til venstre for M være blåt og ethvert punkt tilhøjre for M være gult. Da M er der hvor den blå farve ender og hvor dengule farve begynder, og da M er et punkt på linien, skal det tildeles en farve.Hvis det tildeles farven blå, vil den blå del af liniestykket være et punktstørre end halvdelen, og vice versa. Hartnacks pointe er her at punkter derikke betragtes som ontologisk udstrakte størrelser, ikke kan konstituere etliniestykke. Dette giver en naturlig overgang til en gennemgang af Dedekindssnit.

Der indledes med at citere fra Hollingdales Makers of Mathematics denaf Dedekind formulerede (og ovenfor refererede) fjerde lov fra Stetigkeit undirrationale Zahlen omkring kontinuitet af rette linier, dog uden at nævne atDedekind beskrev denne lov som et aksiom som han (og man) ikke kunnebevise. Hartnack skriver at Dedekind

�[...] for at de�nere kontinuitetsbegrebet antager [...] at et li-niestykke er bygget op af punkter.�[Hartnack 1993, p. 66]

(13)

Efter at anføre at Dedekinds sprogbrug havde været anderledes hvis hanhavde studeret Hegel, gengiver Hartnack kort en lille anekdote om �loso�enJørgen Jørgensen (1894-1969), og går så over til at beskrive Dedekinds snit,nu angående tal. Han beskriver hvordan et irrationalt tal,

√2, kan bestemmes

af et snit i de rationale tal, uden dog formelt at gennemgå Dedekinds bevis for4. lov angående de reelle tal. Han mener videre at det er klart at Dedekind,som

�[...] mente at der til ethvert tal svarer et punkt på den rettelinie, [...] opfatter et punkt som en ontologisk størrelse og atdet udgør en del (en minidel) af liniestykket.�[Hartnack 1993, pp. 68-69]

(14)

Da der ifølge aksiomet skulle være et og kun et punkt der deler de to klasserA1 og A2, og eftersom punktet

17

�[...] p er udstrakt er det deleligt � endda deleligt i det uende-lige. Det må nødvendigvis være tilfældet at p efter delingen,vil have dele der hører til A1 og dele der hører til A2. Det til-bageblevne således reducerede punkt p er ikke et rationalt tal;det er snittet der de�nerer det irrationale tal hvilket jo netopkarakteriseres ved at det er mødestedet mellem to hinandenuendeligt stræbende decimaler hvis stræben for at mødes vilvære matematisk umuligt at opnå. Til det irrationale tal kander altså ikke svare noget punkt.�[Hartnack 1993, p. 69]

(15)

Hartnack mener at Dedekind havde indset dette forhold, men nødig villeindrømme det, og anfører videre at det at et punkt ikke kan være en ontologiskog udstrakt størrelse, ikke betyder at der er �[...] korrespondens mellem talleneog punkterne på liniestykket.� Tallene angiver eller peger ikke på punkternepå linien, men angiver snarere

�[...]antallet af længdeenheden. Der er logisk forskel på at ettal angiver eller peger på et punkt på en linie, og på at detinformerer om hvor mange måleenheder et liniestykke har.�[Hartnack 1993, p. 70]

(16)

Han slutter afsnittet med at anføre at et non-ontologisk punkt, så som mid-terpunktet på et liniestykke, i modsætning til de ontologiske punkter somkonstituerer liniestykket, hører under hvad han betegner `længdekategorien',som

�[...] `peger der' hvor den halve længde er og peger ikke på etaf liniestykkets antagede punkter.�[Hartnack 1993, p. 70]

(17)

3.1.2 Begrebet Nu

I det korte andet (og sidste) afsnit i kapitlet tager Hartnack fat på idéen ombegrebet `nu' som beskrevet i Hegels Wissenschaft der Logik. Hegel anfører(om Pileparadokset, antageligvis) i Hartnacks gengivelse:

18

�Et eller andet bevæger sig, ikke fordi det i dette nu er her ogi et andet nu der, men fordi det i et og samme nu både er herog ikke her, fordi det i dette her samtidig er og ikke er.�[Hartnack 1993, p. 71]

(18)

Hartnack giver udtryk for en tilsvarende opfattelse af et `nu' som ingen ud-strækning har i tiden, som den opfattelse han har af punktet uden udstræk-ning på linien: nemlig at det er non-ontologisk og dermed ikke en del aftiden. Han mener derfor at Hegels argumentation omkring begrebet `nu' ikkeer korrekt. Han beskriver videre bevægelser med udstrakte legemer, over etendeligt antal længdeenheder inden for et tidsrum af udstrakte intervaller,og anfører videre:

�Er vi først sluppet ud af begrebsfangenskabet vedrørende deontologiske punkter kan vi se at der intet paradoks er.�[Hartnack 1993, p. 74]

(19)

3.2 Kapitlet Uendelighedsbegrebet

3.2.1 Galileo og Hilbert

Hartnack starter sin behandling af begrebet `uendelighed' med at gengive detaf Galileo (1564-1642) beskrevne paradoks omkring to uendelige talfølger: tal-følgen bestående af de naturlige tal, og talfølgen bestående af kvadrattallene(Hartnack skriver konsekvent `række' frem for `følge'; jeg vil benytte `føl-ge' undtagen i direkte citater). Hartnack refererer til Galileos værk fra 1638(Hartnack anfører 1636): Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno àdue nuove scienze, i oversættelsen: Dialogues Concerning two new Sciences,hvori Galileo argumenterer for at man ikke kan benytte begreber som `størreend', `mindre end' og `lig med' omkring uendelige størrelser, med henvisningtil at kvadrattallene står i enentydig korrespondance til de naturlige tal tiltrods for at det gælder at ethvert kvadrattal også er et naturligt tal men ikkeomvendt. Hartnack nævner dog ikke direkte dette enentydige forhold mellemfølgerne, og går videre til at beskrive Dedekinds de�nition på uendelighedsom: �Det uendelige er det hvor en del af helheden er lig med helheden�.Hartnack beskriver videre at man i stedet for denne de�nition, �[...] der pågrund af dens kontradiktoriske form synes lidet acceptabel [...]� [Hartnack1993, p. 78], har de�neret uendeligheden ved hjælp af begrebet `denumera-

19

bilitet', som han sætter i stedet for begrebet `tællelig' som han ikke brydersig om:

�Sådan som begrebet denumerabilitet anvendes når det drejersig om mængder � anvendes som et kriterium på uendelig-heden � er at dersom en mængde har en en-til-en relationtil en af mængdens delmængder så er mængden uendelig. [...]En delmængde eller underklasse af den naturlige talrække er,bl.a., rækken af kvadrattallene. Der er intet kvadrattal somikke også �ndes i den naturlige talrække; der er således en en-til-en relation eller korrespondens mellem kvadrattallene og deforskellige underklasser af talrækken.�[Hartnack 1993, p. 79]

(20)

Herefter går Hartnack videre til at anføre at man benævner den aktuelleuendelighed

�[...] aleph, et tegn der skrives som et liggende ottetal �[Hartnack 1993, p.80],

(21)

og går videre til at beskrive regnereglerne for aleph:

�Subtraherer vi aleph fra aleph så er resultatet ikke nul menderimod aleph. Multiplicerer vi aleph med sig selv bliver resul-tatet ikke aleph i anden potens men blot aleph. Og dividererjeg aleph med sig selv bliver resultatet ikke en, men derimodaleph.�[Hartnack 1993, p.80-81]

(22)

Han skriver videre:

20

�Når f.eks. både rækken af de naturlige tal og rækken af kva-drattallene er uendelige og man så subtraherer den sidstnævn-te fra den første (altså subtraherer en uendelig række fra enanden uendelig række) bliver der stadig en uendelig række til-bage [...] Man kan faktisk aldrig berøve en uendelig række densstatus som uendelig ligegyldig hvilke operationer man kunnetænkes at udføre.�[Hartnack 1993, p. 81]

(23)

Han giver videre en beskrivelse af David Hilberts (1862-1943) illustration,kendt som `Hilberts Hotel', af nogle af uendelighedsbegrebets ejendommelig-heder: Hvis et hotel har uendelig mange værelser som alle er optaget, kanen nyankommet gæst blive tildelt et værelse hvis alle gæsterne af portierenbliver bedt om at �ytte værelse til et værelse med værelsesnummer et num-mer højere end det de havde. Derved bliver værelse nr. 1 ledigt til den nyegæst. Tilsvarende (dette eksempel bliver dog ikke nævnt af Hartnack) kanman �nde plads til uendelig mange nye gæster ved at bede de allerede ind-kvarterede gæster �ytte til det dobbelte værelsesnummer af det de havde,og derved frigøre de ulige numre. Hartnack mener at det er sværere at �[...]godtage ideen om at alle kan �ytte til det næste værelse i rækken� end �[...]at godtage ideen om et hotel med uendelig mange værelser�. Gæsten der bori

�[...] værelset med det højeste nummer [...] der skal begynde�ytningen må nødvendigvis have et ledigt værelse at �ytte indi. [Og da] den ankomne gæst �k at vide at alle og samtligeværelser var optagne kan der selvklart ikke være ledige værel-ser.�[Hartnack 1993, p. 83-84]

(24)

Hartnack slutter afsnittet af med en opsummering, og med derpå at godtageat aleph som �[...] et af matematikerne konstrueret begreb [...]� dog ikke ermeningsløst

21

�[...] af den grund at begrebet den potentielle uendelighed kunhar mening dersom man forstår hvad der skal forstås ved detden potentielle uendelighed er en potentialitet for, nemlig denaktuelle uendelighed.�[Hartnack 1993, p.86]

(25)

3.2.2 Dedekind og den aktuelle uendelighed

Hartnack vender tilbage til omtalen af Dedekinds snit med en opsummeringaf sin gennemgang af Dedekind fra foregående kapitel. Han beskriver hvordanat√

2 kan

�[...] bestemmes som et sted mellem decimalerne i A1 og deci-malerne i A2 � et sted man kan gøre så lille som man vil mendet kan aldrig elimineres�[Hartnack 1993, p. 87-88].

(26)

Han skriver videre at hvis man de�nerer

�[...] et irrationalt tal ved hjælp af rationale tal så får man entalrække der er uendelig [...] Problemet for Dedekind er imid-lertid at disse rationale tal refererer til lige så mange punkter,der er følgelig en uendelig række af punkter der faktisk fore-�ndes; de konstituerer følgelig en aktuel uendelighed.�[Hartnack 1993, p. 88]

(27)

Han sætter sig nu for at vise at argumentationen er uholdbar: Dedekind begårnemlig den 'punktualistiske fejl' at forveksle de matematiske, d.v.s. uudstrak-te non-ontologiske punkter med ontologiske punkter på en linie, hvilket er en'kategorifejl'. For

�Intet består af eller er sammensat af uudstrakte punkter �, (28)

og er der tale om ontologiske punkter er de delelige i det uendelige,

22

�[...] hvilket ikke er det samme som at sige [...] delt i uendeligtmange dele [...]�[Hartnack 1993, p. 88],

(29)

og dette implicerer ikke aktuel uendelighed, men potentiel uendelighed (Hart-nack skriver til allersidst at det at være delt i det uendelige implicerer po-tentiel uendelighed, men det må formodes at han her mener deleligt i detuendelige).

3.2.3 Cantor

Hartnack lægger i dette afsnit ud med at postulere, stadigvæk med henvisningtil Dedekinds snit, at

�Da tallene i decimalerne er rationale tal og de irrationale tal(f.eks kvadratroden af 2) er de�nerede ved hjælp af de ratio-nale tal [...], følger det at de irrationale tal, i lighed med derationale tal der de�nerer dem, er denumerable. De tilfreds-stiller derfor betingelserne for at have en en-til-en korrelationmed den naturlige talrække.�[Hartnack 1993, p. 89]

(30)

Straks herefter går han dog videre til at berette at Cantor var af en andenopfattelse, og fortolker Cantors udlægning for læseren:

�Hvad Cantor hævder er dette: Hvis alle irrationale tal er de-numerable så skulle man ved den diagonale metode kun kunnekonstruere denumerable tal. Viser det sig at man alligevel kankonstruere et non-denumerabelt tal, er det selvsagt hermed be-vist at der kan være irrationale tal der er non-denumerable.�

(31)

Han skriver videre at

�Antagelsen at alle irrationale tal er denumerable er falsi-�ceret dersom man kan konstruere blot et tal der er non-denumerabelt.�[Hartnack 1993, p. 90]

(32)

23

Han beskriver så beviset:

�Vi nedskriver først de irrationelle decimaler fra 0 til 1 underhinanden. Man ombytter dernæst det første ci�er i den førsterække med et ci�er der er højere. Det samme gør man med detandet ci�er i den anden række, dernæst med det tredje ci�eri den tredje række, og således videre. Trækker man nu en liniefra det forandrede første ci�er gennem det forandrede andetci�er i anden række og således videre vil denne linie væreen diagonal. [...] Det [konstruerede tal] er ikke denumerabelteftersom det er forskelligt fra alle de antagede irrationale tal.�[Hartnack 1993, p. 90-91]

(33)

Han anfører nu at:

�De irrationale tals uendelighed, der er uendelige uden at ha-ve en en-til-en korrelation til de naturlige tal og derfor ikkeer identisk med aleph, giver Cantor betegnelsen c (hvilket erforkortelse af continuum)�,

(34)

men fortsætter at Cantor:

�[...] mente at tallene refererede til punkter. Han var med an-dre ord en punktualist og begik derfor den punktualistiske fejl.Hans teorier medførte derfor absurditeter. F.eks. hævdede hanat en uendelig lang ret linie indeholdt uendelige mange punk-ter, der imidlertid kan korreleres (parres) med punkterne pået stykke af linien, hvor kort dette stykke end måtte være.�[Hartnack 1993, p. 91]

(35)

Hartnack anfører herefter forskellige tilhængere og modstandere blandt histo-riske matematikere af Dedekinds og Cantors argumenter. Den endelige dom,skriver han,

24

�[...] synes at måtte være denne. Argumentet for [den aktuel-le uendeligheds] eksistens der hviler på opfattelsen af tallenesfunktion er at referere til punkter. Og da tallene, ikke blot dennaturlige talrække men også (og især) de irrationale tal, eruendelige må der også være uendelig mange punkter. Detteargument er �ere gange på de foregående sider blevet tilbage-vist. Det hviler på en kategorifejl. Det opfatter begrebet om detnon-ontologiske punkt som om det var et begreb om et ontolo-gisk objekt. Denne kategorifejl går igen og går igen lige sidenZenons dage.�[Hartnack 1993, p. 92]

(36)

Videre refererer han �loso�en José Benardetes (Hartnack kalder ham Berna-dete) (1928-) argument fra bogen in�nity (1964):

�The great argument in favour of aleph null as a cardinal isnot that the class of natural numbers is in�nite. Rather, thedecisive argument is that it is quite intelligible and possiblethat there is no last star in the heavens.�[Hartnack 1993, p. 92]

(37)

Men da hver stjerne må kunne gives et nummer som vil være et endeligt tal,ville det ingen

�[...] mening have at antage at der skulle være et tal [...] efterhvilket aleph nødvendigvis ville følge.�[Hartnack 1993, p. 93]

(38)

Da kun den potentielle uendelighed har mening, er det at �[...] veri�cerepåstanden at der ville være en stjerne der var den sidste�, en logisk umulighed.Hartnack mener så at have vist at

�[...] de to afgørende argumenter for den aktuelle uendelighed:Punktualismen og Stjerneargumentet ikke er gyldige [...]�[Hartnack 1993, p. 94]

(39)

25

Hartnack medgiver dog til sidst i kapitlet at begrebet `den aktuelle uendelig-hed' godt kan analyseres og `ekspliceres'. Det er derfor:

�[...] at Dedekind kan �nde frem til � ved hjælp af det De-dekindske Snit � at de�nere de irrationale tal ved hjælp af derationale tal, og at Cantor � ved hjælp af diagonalmetoden �mener at kunne hævde at de irrationale tal ikke kan de�ne-res ved hjælp af de rationale tal men i stedet udgør uafhængigeformer for uendelighed og, grundet på hans punktualistiske op-fattelse, aktuelle uendeligheder.�[Hartnack 1993, p. 95]

(40)

Og med det slutter Hartnack kapitlet af.

26

4 Zenon

Desværre eksisterer Zenons paradokser, i bedste fald, kun i form af anden- el-ler tredjehånds kilder. Aristoteles og en af hans meget senere kommentatorerSimplicius (ca. 490 � ca. 560) lader til at have haft adgang til nogle af Zenonsskrifter [Huggett 2010]. Zenons paradokser havde til formål at bevise Parme-nides påstand om at al bevægelse var umulig. De blev altså ikke opstillet som`paradokser', men som `beviser' for bevægelsens umulighed. Hartnacks refe-rat af Pileparadokset, (6), stemmer ikke fuldstændig overens med Aristoteles'version fra Naturen (også kendt som Fysikken) som lyder (hvor paradoksetvist forudsættes alment kendt):

�Zenon ræsonnerer fejlagtigt. For han siger, at hvis enhverting altid er i ro, når den er lige over for et sted, som svarertil tingen, og dette i ethvert nu altid gælder det, som �yttes,så er den �yvende pil ubevægelig. Men dette er fejlagtigt, fortiden er ikke sammensat af udelelige nuer, lige så lidt somnogen anden størrelse er sammensat af udelelige ting.�[Aristoteles, p. 63]

(41)

Her forudsættes det altså at Zenon opererer med nuer og betragter tiden somværende sammensat af nuer. Forud er gået argumentet:

�Men i nuet er tingen ganske vist altid lige over for nogetforblivende, men den er ikke i ro - for i et nu er der hverkenbevægelse eller ro�[Aristoteles, p. 63].

(42)

Og omkring potentiel og aktuel uendelighed siger han følgende:

�Det er ikke muligt i løbet af et begrænset tidsrum at berøreting, som er uendelig mange, men ting, som er opdelelige i detuendelige, kan man berøre; for tiden selv er uendelig i denneforstand.�[Aristoteles, p. 63]

(43)

27

Omkring linjer og punkter gælder (hvor det forud er de�neret at 'sammen-hængende' er de ting, hvis yderkanter er ét):

�[...] at noget, som er sammenhængende, ikke [kan] bestå afudelelige ting, f.eks. en linje af punkter, såfremt linjen er sam-menhængende og punktet udelelig.�[Aristoteles, p. 61]

(44)

Den gendrivelse der bliver lagt op til, lyder så:

�[...] Dette [at den �yvende pil står stille] følger, hvis mangår ud fra, at tiden er sammensat af nuer, for hvis man ikkeforudsætter dette, vil man ikke kunne foretage slutningen.�[Aristoteles, p. 64]

(45)

Aristoteles beskriver Akilles og skildpadden-paradokset således:

�Det går ud på, at det langsomste aldrig vil blive indhentetaf det hurtigste, for forfølgeren må først nå det sted, hvorden forfulgte startede, således at den forfulgte altid vil have etforspring.�[Aristoteles, p. 63]

(46)

Og gendrivelsen lyder kort og godt:

�Den påstand, at det, som har et forspring, ikke indhentes,er falsk. At det ikke indhentes, så længe det har et forspring,er rigtig nok, men ikke desto mindre indhentes det, såfremtman indrømmer, at man overhovedet kan gennemløbe hele dengivne afstand.�[Aristoteles, p. 64]

(47)

Man kan ikke rigtig sige at Aristoteles, trods vældig gode overvejelser, på klarog overbevisende facon har tilbagevist paradokserne. At de siden jævnligt er

28

blevet søgt tilbagevist frem til, og med, hvor tid, bekræfter nok dette. Tilgengæld må det siges at han klart ser at de to konkrete paradokser (til forskelfra visse andre af Zenons paradokser) grundlæggende er forskellige: Det ene(Akilles) omhandler potentiel uendelighed; det andet omhandler såvel aktueluendelighed som et 'sammenhængende' kontinuum og punkter (i tiden) udenudstrækning.

4.0.4 Pileparadokset

Fra et moderne matematisk (eller fysisk) synspunkt ville man nok løse pile-paradokset, uden nødvendigvis at gøre sig større �loso�ske overvejelser, vedet lettere forenklet tankeeksperiment: Pilen afskydes i tidspunktet t0 og op-når en given hastighed. Pilens tilbagelagte distance (for eksempel målt somafstanden fra afskydningspunktet) beskrives som en kontinuert funktion af ti-den. Pilens distance fra afskydningspunktet kan så beregnes (eller a�æses påen graf) i forhold til et givent tidspunkt. Pilens hastighed i et givent tidspunktkan beregnes (eller a�æses) som di�erentialkvotienten (eller hældningskvo-tienten), bortset måske fra det øjeblik hvor pilen afskydes eller rammer sitmål. Og hvis nogen skulle interessere sig for accelerationen, vil den være givetved den a�edte funktions di�erentialkvotient.

I nævnte model indgår såvel punkter (uden udstrækning) på linien somi tiden, samt en idé om et kontinuum. `Hastigheden' kan angives i et `nu',hvilket ikke nødvendigvis gør den meget anderledes end middelhastighedeni et interval. Så matematikeren eller fysikeren (eller den velindoktrineredeskoleelev) ville nok umiddelbart afvise paradokset med henvisning til at pilenogså har `hastighed' (f.eks. målt i m/s) i et `nu' (uden udstrækning) ifølgein�nitesimalregningen, hvor paradoksalt det end ville lyde for en Zenon m.�.

Mere formelt måtte man nok de�nere funktionen f over et interval T ⊂ R,og så henvise til at hastigheden i tidspunktet t ∈ T er givet ved følgendegrænseværdi (såfremt denne eksisterer, hvad den her formodes at gøre):

limh→0

f(t+ h)− f(t)

h= f ′(t).

Hvis en Zenon ville anføre at man ved at beskrive tiden, T , som et intervalpå den reelle akse og distancen, f(T ), som endnu et interval på den reelleakse, (hvor den reelle akse, R, beviseligt er et kontinuum), ikke kan slutte atrum og tid dermed også er kontinua, så måtte matematikeren argumentere atdet at rum og tid ikke nødvendigvis er kontinua, ikke betyder at de ikke kanfortolkes som sådan (som f.eks. Dedekind gør det i (2)) i en matematisk modelder beskriver pilens ofte observerede bevægelse. Skulle Zenon nu anføre at

29

den tilsyneladende bevægelse som matematikeren beskriver, slet ikke �ndersted i den `virkelige' verden, men blot er en illusion, så må matematikerenargumentere at der kan laves en matematisk model som ret præcist beskriverdenne ofte observerede illusion af bevægelse.

Man kan naturligvis ikke klandre Aristoteles at han ikke tilbageviser (hvisovenstående overhovedet kan godtages som en tilbagevisning) pileparadoksetmed henvisning til di�erentialkvotienter 2000 år før in�nitesimalregningensudvikling, og hans �loso�ske argumentation i (42), (44) og (45) er i øvrigtgod.

4.0.5 Akilles og Skildpadden

Figur 2: Akilles løber 10 m/s, og skild-padden (som er hurtig) løber 5 m/s medet forspring på 100 meter. Trappekur-ven har uendelig mange trin, men enendelig udstrækning.

For en matematiker er den mest op-lagte løsningsmetode for paradoksetom Akilles og skildpadden nok atbeskrive processen som en uendeligrække, og � om muligt � �nde form-len der angiver summen.

Hvis vi simpli�cerer en smule oglader Akilles løbe med en konstanthastighed a m/s og skildpadden li-geledes løbe med en konstant ha-stighed b m/s (hvor a > b), og til-deler skildpadden et forspring på Kmeter, så ville den hurtige løsning(ved at ignorere Zenon) være at si-ge at hastighedsdi�erencen er a− b,og det ville så tage

K

a− bsekunder

for Akilles at indhente skildpadden.Distancen som Akilles havde tilba-gelagt efter

K

a− bsekunder ved at

løbe a m/s, ville så væreKa

a− bme-

ter, som altså så er den distance hanmå løbe før han har indhentet skild-padden.

Hvis jeg så inddrager Zenon, så ville jeg nu sige at Akilles først løber K

meter påK

asekunder, hvor skildpadden i samme samme periode er nået

K

ab

30

meter frem. Dernæst løber AkillesKb

ameter på

(Kba

)

a=Kb

a2sekunder, og i

samme periode er skildpadden nåetKb

a2b meter frem. Så løber Akilles denne

distance på(Kb

2

a2)

asekunder, o.s.v. Med lidt andre ord: Distancen i meter

der tilbagelægges af Akilles er K +Kb/a+Kb2/a2+... Og tiden der forløberi sekunder er K/a + Kb/a2 + Kb2/a3+... Skrevet med sumtegn får jeg fordistancen (i meter) rækken:

∞∑i=0

K(b

a)i

Og for den forløbne tid (i sekunder):

∞∑i=0

K

a(b

a)i

Disse genkendes som geometriske rækker af formen∑∞

i=0 cri hvor summen

er givet vedc

1− rsåfremt det gælder at |r| < 1. Da | b

a| < 1, gælder det for

begge rækker at de er konvergente. Distancen er da givet ved:

K

1− ba

=K

(a−ba

)=

Ka

a− b,

og den forløbne tid er givet ved:

K 1a

1− ba

=K

a− b.

Der foregår altså to uendelige processer sideløbende, en for distancen og enanden for tiden, som begge er afgrænsede og indbyrdes afhængige. D.v.s. atden af Zenon beskrevne uendelige proces, nødvendigvis er begrænset, ikkekun i distancen, men også i tiden. At det kan virke paradoksalt at Akillesoverhovedet kan �nå frem til� at overhale skildpadden, skyldes at Zenons uen-delige proces uforvarende tænkes at foregå "for evigt", eller at hele kapløbet,herunder den umulige overhaling, tænkes at skulle være inkluderet i den be-skrevne uendelige proces.

Formelt set burde jeg, for at imødegå kritikken af den aktuelle uendelighed i

31

ovenstående, have anført at f.eks. distancen var givet ved:∑ni=0K( b

a)i = K +K( b

a)1 +K( b

a)2 + ...+K( b

a)n

⇓(1− b

a)∑n

i=0K( ba)i = K −K( b

a)n+1

⇓ ∑ni=0K( b

a)i =

K −K( ba)n+1

1− ba

= Ka1− ( b

a)n+1

a− b,

og så lade n gå mod uendelig:

limn→∞

Ka1− ( b

a)n+1

a− b=

Ka

a− b.

Eller for helt at fjerne enhver reference til ∞:

∀ε > 0∃N > 0∀n ∈ N : n > N ⇒n∑

i=N+1

K(b

a)i < ε.

På samme vis med rækken for den forløbne tid.

Den konvergerende geometriske række var ikke et instrument som Aristote-les umiddelbart havde til rådighed 100 år før Arkimedes. Ikke desto mindremener jeg at det stod klart for Aristoteles at den af Zenon beskrevne uen-delige proces nødvendigvis var afgrænset i tiden. Han skriver netop i (46)(hvis oversættelsen står til troende) �så længe ...�. Men af en tilbagevisningaf bevægelsens umulighed at være, er den måske ikke meget mere bevendtend Diogenes' (ca. 412-323 f. Kr.) tilbagevisning, der angiveligt bestod i athan rejste sig op og gik frem og tilbage i tavshed (bevis ved modeksempel).

32

5 Analyse af Hartnacks tekst

5.1 Zenon

Når Hartnack i afsnittet om Zenon straks lægger ud med at behandle begre-bet punkt, er det fordi han mener at begrebet er fundamentalt for forståelsenaf bevægelse og udstrækning. Han anfører i (5) at punkter ud over at væreet matematisk begreb, betragtes som noget i virkeligheden eksisterende, somontologiske størrelser. Det er her endnu ikke klart om han også selv betrag-ter punktet som en ontologisk størrelse eller ej. Men allerede i (7) omtalerhan punktet som værende en ontologisk størrelse. Så er spørgsmålet hvadhan mener med en ontologisk størrelse. Tilsyneladende mener han i (5) atpunkter eksisterer i virkeligheden, og har udstrækning (her bemærkes detstraks at han er på kollisionskurs med Euklid). Da punkterne konstituereren linie � argumentet i (7) for at punkter er ontologiske størrelser � er detnærliggende at tænke at Hartnack også betragter en linie som værende enontologisk størrelse, men dette nævner han dog aldrig speci�kt.

Hartnacks kongstanke, som han introducerer her, at et kontinuert liniestykkeikke kan konstitueres af punkter uden udstrækning, er umiddelbart en begri-belig indvending. Det er i høj grad kontraintuitivt at en nok så stor samling`ikke-objekter', der absolut intet fylder, tilsammen skulle kunne fylde noget.Hartnack er da heller ikke den første som modsætter sig den idé. Aristotelesskriver i De Caelo (Om Himlen): �[...] those who [...] construct bodies out ofplanes assert, in e�ect, what is in several respects in contradiction to mathe-matics. [...] the same reasoning which maintains that solids are made up ofplanes would prove that planes are made up of lines and lines of points. Werethis the case, a part of a line need not be a line. This matter has already beenconsidered in the discussions on motion, where it was proved that there areno indivisible lines� [Heath, p. 174].

Til gengæld opstår der straks et problem i Hartnacks præsentation afidéen. Han beskriver to typer `punkter' (desværre er han længere fremme iteksten ikke særlig omhyggelig med at angive hvilket et af dem han refererertil). Den ene type har udstrækning (fremover kaldet ontologisk punkt), denanden type har ikke (fremover kaldet euklidisk eller non-ontologisk punkt).Når han i (7) beskriver det ontologiske punkt, skriver han at det �så at sige�er den �mindste del af et liniestykke�. Der er tilsyneladende ikke tale om athan blot betragter sit ontologiske punkt som et meget kort stykke af linien.Betegnelsen �den mindste del� tyder mere på at han opfatter det (som hanindikerer i (5)) som et udeleligt rumatom. Men når han så i (8) siger om deteuklidiske punkt, at hvis det ikke kan deles, så medfører det selvsagt at det

33

ingen udstrækning har, så har han fået malet sig op i et hjørne rent argu-mentationsmæssigt: ontologisk punkt = den mindste del⇒ kan ikke deles⇒har ingen udstrækning = euklidisk punkt. Det står altså umiddelbart ikkeklart hvad hans system består i.

Hans løsningsforslag til Akilles og skildpadden-paradokset ved at sammenlig-ne med en biljagt gennem en række landsbyer, er interessant af �ere årsager.Dels understreger det igen en opfattelse af det ontologiske punkt som værendeen slags `rumatom', dels udtrykker det en opfattelse af bevægelse som væren-de diskontinuert. Han får på en gang fjernet den aktuelle uendelighed, denpotentielle uendelighed og det euklidiske punkt fra paradokset. Til gengældgiver det anledning til nye problemer (for eksempel Zenons stadion-paradoksder (formentlig) involverer rumatomer og tidsatomer), og med henvisning tilDedekinds bemærkning i (2) om at intet forhindrer os i, af praktiske årsa-ger, at udfylde eventuelle konstaterede huller i rummet i tanken for at opnåkontinuitet, så er det matematisk set ikke en særlig praktisk løsning på en(mig bekendt) ikke-konstateret fysisk sammenhæng som Hartnack præsen-terer. Han er i øvrigt inde på samme idé allerede i 1957 i essaysamlingenFiloso�ske Essays hvor han omtaler de samme to paradokser. Her er det Rå-dhuspladsen der bliver `punktet' hvor bilerne be�nder sig [Hartnack 1957, p.145].

Det ser ud til at Hartnack mener at sammenblandingen af punktopfat-telserne er selve årsagen til paradoksernes opståen. Det lader i hvert faldtil at han mener at have tilbagevist Akilles og skildpadden -paradokset, vedsine ontologiske punkter. Han mener også at det er en logisk umulighed atet liniestykke kan være konstitueret af uendelig mange ontologiske punkter,også selvom man gør dem mindre og mindre (9). Her er det nærliggendeat sammenligne med en konvergent sumrække, som for eksempel

∑∞n=1

12n,

hvor addenderne kan opfattes som længder af stadigt mindre liniestykkersom tilsammen har længden 1. Men da addenderne går mod 0 når n gårmod uendelig, opfylder de nok ikke Hartnacks krav til at blive opfattet somuendelig mange ontologiske punkter. Sumrækken kan nok siges at udgøre etgrænsetilfælde, men nok ikke et modbevis af Hartnacks idé.

Omkring Hegels kortfattede gendrivelse af Zenon, bør det straks siges atjeg ikke kan påberåbe mig den fornødne indsigt i �hele Hegels logiske sy-stem�. Jeg mener dog at det virker meget oplagt at Hegel i sin analyse lænersig en del op ad Aristoteles' gendrivelse. Han omtaler speci�kt Aristoteles'løsninger, og anfører at de �[...] merit high praise [...]� [Hegel, p. 199], ogforsvarer Aristoteles mod eftertidens `spekulative' anklager om manglendeevne til gå ud over det potentielt uendeligt delelige: �Acute understanding,

34

in which Aristotle, too, is certainly unsurpassed, is not competent to graspand to decide on speculative Notions, any more than the crudity of sensuousconception [...] is adequate to refute the reasoning of Zeno� [Hegel, p. 199].Hartnack gengiver i (10) Hegels to begreber: `adskillelse' og `kontinuitet' (`di-screteness' (Diskretion) og `continuity' (Kontinuität) i [Hegel, pp. 199-200]).Lignende begreber introduceres af Aristoteles (`sammen', `adskilt', `berøre',`mellemliggende', `næste', `tilstødende' og `sammenhængende' i [Aristoteles,p. 59]) som oplæg til hans gendrivelse af Zenon, og speci�kt omkring linierog punkter i (41) og (44). Det bemærkes især også at Hegels udsagn (i Hart-nacks gengivelse) om forskellen på at noget kan deles i det uendelige og erdelt i uendelig mange dele (11), ret nøje følger Aristoteles' idé i (43).

Men ellers går Hegel, så vidt jeg har kunnet bedømme, ikke i detaljer om-kring de enkelte paradokser (endsige nævner dem ved navn), og han omtalerheller ikke direkte ontologiske og non-ontologiske punkter som i Hartnackstilføjelse i (12).

Efter ved farveeksperimentet at have påvist at det euklidiske midtpunkt,M , på et liniestykke ikke kan være en del af linien, da en linie ikke kan beståaf to halvdele og et midtpunkt (og non-ontologiske punkter dermed ikke kankonstituere et liniestykke), går Hartnack videre til Dedekinds snit.

Her er Hartnack ikke særlig klar omkring den skelnen Dedekind laver (oggår meget op i at lave) mellem tal (i et talområde) og punkter på linien,muligvis fordi han ikke kender baggrunden (1) for Dedekinds værk som hanmåske kun kender via andenhåndskilder som [Hollingdale].

Hartnack har nok ret i at Dedekind opfatter linien som opbygget af punk-ter (13), men har næppe ret i at Dedekind opfatter dem som ontologiske stør-relser og minidele af liniestykket (14), især med henvisning til Dedekinds egnekommentarer i (3) og (2). Når så Hartnack videre i (15) blander punkter ogtal (og linier og talakser) godt og grundigt sammen, og på egne antagelser omDedekinds idéer om punkters ontologi anfører følgende: at da p er udstrakt,er det deleligt i det uendelige; at det reducerede punkt p ikke er et rationalttal, men snittet der de�nerer et irrationalt tal som er mødestedet mellemuendeligt stræbende decimaler, en stræben der er matematisk umuligt at op-nå; og at til det irrationale tal kan der altså ikke svare et punkt � så er ordetnonsens den mest dækkende beskrivelse. Citatet i (15) er så forvrøvlet at detikke er til at vælge det første anklagepunkt. Hartnack postulerer oven i købetat Dedekind har indset dette forhold (at til det irrationale tal kan der ikkesvare noget punkt, formentlig), men nødig vil indrømme det. Når Hartnackvidere taler om tal der peger på et liniestykke, skelner han mellem at angiveantal af længdeenheder, og på at angive et (ontologisk, antageligvis) punktpå linien.

35

Det virker angiveligt som om Hartnack i (15) og (16) mener at tal, udover at angive værdi eller størrelse, også har en lillebitte udstrækning (isærhvis de ikke har så mange decimaler), hvilket måske kan være grunden tilat han ikke kan godtage at de irrationale tal (i modsætning til de rationaletal) kan svare til (ontologiske) punkter på linien. Det kan til gengæld godt(tror jeg han skriver) angive antallet af måleenheder ifølge (16) og (17),hvilket så, for at fuldende værket, uforvarende bringer ham i kon�ikt medde inkommensurable størrelser (selve de irrationale tals eksistensberettigelsesom vist af Dedekind).

Jeg tror at han i ovenstående er i færd med at hævde at til hvert ratio-nale tal svarer et ontologisk punkt på linien, men til hvert irrationale tal kander ikke svare noget ontologisk punkt (vist nok grundet de uendelig man-ge decimaler), men kun non-ontologiske punkter i form af positions- ellerlængdeangivelser. Dette ville være en højst uortodoks og problemskabendetalopfattelse � et paradoks i sin egen ret � men det er den eneste form forsemantisk mening jeg kan få ud af dette stykke tekst der afslutter afsnittetom begrebet `punkt'.

I det korte afsnit om begrebet `nu' behandler Hartnack igen Hegels argu-mentation omkring Zenon. Igen må det siges at Hegel med bemærkningeni (18) lader til at være inspireret af Aristoteles' bemærkning omkring Pile-paradokset i (42). Hartnack nævner ikke Aristoteles, men afviser her Hegelsargumentation fordi den forudsætter at der tales om non-ontologiske punkterog et nu uden udstrækning i tiden. Det lader til at Hartnack i (19) menerat afvisningen af ovenstående non-ontologiske punkter og tidspunkter fjernerparadokset om pilen, hvilket ikke er helt forkert, selv om man med lige såmeget ret kunne anføre at det fjerner selve behandlingen af paradokset.

5.1.1 Afsluttende bemærkninger om Hartnack og Zenon

Hartnack har i sin behandling af Zenons paradokser søgt en gendrivelse vedsin afvisning af at punkter (og tidspunkter) uden udstrækning skulle kunnehave relevans i rummet og tiden. Det står faktisk ikke klart om Hartnackopfatter paradokserne som værende forskellige. At han behandler dem samletog ikke altid klart angiver hvilket af dem han taler om, antyder at han ikkegør. Jeg mener at Akilles og Skildpadden paradokset omhandler potentieluendelighed, mens Pileparadokset omhandler aktuel uendelighed.

Han er (formentlig) overbevist om at Zenons argumenter er falske, og atparadokserne kun tilsyneladende er paradokser. Det kan derfor undre at hanaldrig gør opmærksom på de matematiske løsningsmetoder (som jo ikke vartilgængelige på Zenons tid), om ikke for andet så for at orientere læseren

36

om at han er bekendt med dem. Og hvis han ikke anerkender dem som fyl-destgørende grundet uendelighedsaspektet, ville det i endnu højere grad værerelevant at nævne dem. Det kan selvfølgelig tænkes at han ikke mener atdisse løsninger adresserer det �loso�ske problem bag paradokserne, hvilketville være en relevant indvending, men læseren lades tilbage med en fornem-melse af at Hartnack ikke kender (eller forstår) dem. At han aldrig rigtiggiver udtryk for at det forløb som bliver beskrevet i Akilles og skildpaddenparadokset, nødvendigvis er begrænset i tiden (som f. eks. Aristoteles gjordei (47)), kunne give indtryk af at han måske slet ikke er klar over det. Nårhan tilbage i �loso�kumlærebogen fra 1955 Filoso�ske Problemer og Filoso-�ske Argumentationer skriver, med reference til samme to paradokser, at:�Når man i dag benægter, at Zenons beviser er logisk holdbare, er det ikkeså meget, fordi man har fundet, hvor hans logik brister; der er adskillige, derhar forsøgt at gøre det; men endnu har ingen været i stand til at vinde udelttilslutning for deres forsøg; det er mere, fordi man ved, det må være galt�[Hartnack 1955, p. 21], så bidrager det til den mistanke at han måske ikkerigtig kender (eller anerkender) matematikken bag.

5.2 Galileo og Hilbert

Når Hartnack introducerer de�nitionerne af uendelige mængder, virker han,som i citatet i (20), ikke rigtig til at have forstået begreberne `tællelighed'(`denumerabilitet') og `en-til-en relation'. `Denumerabilitet' kan ikke siges atblive anvendt som et kriterium på uendelighed ved argumentet: �at dersomen mængde har en en-til-en relation til en af mængdens delmængder så ermængden uendelig�. De to ting har ikke umiddelbart noget med hinanden atgøre. Og det at der ikke �ndes et kvadrattal som ikke også er et naturligttal, medfører bestemt ikke en en-til-en relation mellem kvadrattallene og deforskellige underklasser af talrækken (af naturlige tal, vistnok).

Der er så allerede lagt op til problemer når Hartnack videre i (21) anførerat man betegner den aktuelle uendelighed med navnet `aleph', uden at hannævner fodtegn (han fortæller heller ikke at det drejer sig om det hebraiskebogstav ℵ). Dette må siges at være en meget grov forsimpling af kardinaltals-begrebet (kardinaltal nævner han heller ikke). Man kan ganske vist lade ℵbetegne aleph-funktionen, men den antager da forskellige værdier afhængigaf fodtegnet.

Det kunne tænkes at grunden til forsimplingen er formidlingen til læse-ren, typogra�ske årsager, eller insisteren på dagligsproget som udgangspunkt,men da hans mission netop er at argumentere imod muligheden af en prak-tisk anvendelse af begrebet, ville større præcision have været ønskværdigt.Det virker faktisk som om han overhovedet ikke har bemærket fodtegnets

37

funktion (selv om det eneste matematiske kildemateriale han nævner, [Hol-lingdale], naturligvis benytter dem). At han videre mener at `tegnet' alephskrives som det liggende ottetal, ∞, (det lader til at han mener at dette erkonventionen) er en yderligere kilde til undren og problematiserer hans vide-re beskrivelse af de vedtagne regneregler for `aleph' i (22).

Det kunne tænkes at Hartnack i (22) taler om den uendelighed der ofte errepræsenteret ved grænseværdien limn→∞ (an) for en vilkårlig voksende, di-vergerende følge (an) af positive reelle tal. Da vil summen eller produktet afgrænseværdien for to sådanne følger limn→∞ (an) og limn→∞ (bn) (i udvidel-sen R af R) igen svare til grænseværdien for en voksende, divergerende følgeaf positive tal. Til gengæld er der ikke, for vilkårlige følger af ovennævntetype, et entydigt resultat ved subtraktion (limn→∞ (an)− limn→∞ (bn)) eller

division (limn→∞ (an)

limn→∞ (bn)). De ubestemmelige udtryk∞−∞ og

∞∞

plejer derfor

helt at undgås i R [Schilling, p. 59].

Nu kan det også tænkes at Hartnack refererer til trans�nitte kardinaltal ellertrans�nitte ordinaltal. Der er knyttet særlige aritmetikker, som er indbyrdesforskellige, til disse. I det følgende antages udvalgsaksiomet at gælde:

Hvis κ og λ er kardinaltal, et af dem forskellig fra nul, og det andettrans�nit, så er: κ+ λ = κ · λ = max{κ, λ}, og specielt er

ℵα + ℵβ = ℵα · ℵβ = max{ℵα,ℵβ}

[Holz, p. 47 (cor. 1.5.12)], og den kommutative lov gælder for såvel additionsom for multiplikation [Holz, p. 46 (lemma 1.5.10)]. For ordinaltal gælderdet til gengæld at addition og multiplikation ikke er kommutative hvis etaf ordinaltallene er trans�nit. Endvidere gælder det for et ordinaltal α atα ·α = α2 og α+α = α · 2, og for α > 2 gælder α < α · 2 < α2 og specielt atω < ω · 2 < ω2 [Holz, p. 33 (lemma 1.4.3)]. Her kan Hartnacks alepher, hvor∞ ·∞ =∞, så ikke tolkes som ordinaltal.

Hvis vi kikker på mulighederne for subtraktion, så gælder det for et trans-�nit kardinaltal σ og et kardinaltal µ, at: der �ndes et kardinaltal κ sådan atµ+κ = σ ⇔ µ ≤ σ. Kardinaltallet κ vil være unikt og lig σ hvis og kun hvisµ < σ. Hartnacks subtraktion: ∞−∞ =∞, ville så være et ubestemmeligtudtryk for kardinaltal (da∞ ≮∞). For ordinaltal (herunder de trans�nitte)galdt jo α+α = α · 2, og for α > 0 galdt α < α · 2, så heller ikke her fungererhans regnestykke.

Om muligheden for division med kardinaltal: For et trans�nit kardinaltalπ og et kardinaltal µ forskellig fra nul, �ndes der et kardinaltal κ sådan at

38

µ · κ = π ⇔ µ ≤ π. Kardinaltallet κ vil være unikt og lig π hvis og kunhvis µ < π. Igen er ∞ ≮ ∞, så Hartnacks regnestykke

∞∞

= ∞ er et ube-

stemmeligt udtryk hvis der bruges kardinaltal. Og for ordinaltal galdt jo atα2 = α ·α (eller αβ

+γ = αβ ·αγ), og for α > 1 galdt α < α2 og specielt ω < ω2

[Holz, p. 33], så Hartnacks regnestykke kan heller ikke lade sig gøre her.

To ud af Hartnacks tre regnstykker giver altså ikke entydigt resultat fortrans�nitte kardinaltal, og ingen af dem kan lade sig gøre for trans�nitte or-dinaltal (med mindre Hartnacks aleph kan antage forskellige værdier i en ogsamme ligning). Så to af de tre nævnte regneregler må betegnes som fejl.

Da han lidt senere i (23) subtraherer �rækken af kvadrattallene� fra �ræk-ken af de naturlige tal�, er det igen ikke helt klart hvad han mener. Hvis hannu (i modsætning til tidligere i teksten) taler om `rækker' som sumrækker,så er han tilbage ved ∞ − ∞. Hvis han til gengæld trækker to følger frahinanden, d.v.s. for k = 1, 2, ..., n trækker det k'te element i en følge medn elementer fra det k'te element i en anden følge med n elementer, så erresultatet en ny følge med n elementer. Men så er vilkårene for to uendeligefølger ikke forskellig fra vilkårene for to endelige følger (hvilket ellers synesat være hans pointe). Og hvis han, som det lader til, er i færd med at �ndemængdedi�erensen N\K mellem mængden K af kvadrattallene, og mængdenN af de naturlige tal, så bliver resultatet mængden af naturlige tal der ikke erkvadrattal, som ganske rigtig har uendelig mange elementer. Her er det oplagtat resultatet af den modsatte `subtraktion' K\N ville resultere i mængdenaf kvadrattal som ikke er naturlige tal (m.a.o. den tomme mængde), hvilketnæppe kan have undgået hans opmærksomhed. Alligevel konkluderer han aten uendelig `række', grundet de �temmelig revolutionerende regneregler�, ikkeændrer status som uendelig, ligegyldig hvilke operationer den udsættes for.Igen må hans argumentation altså siges at være fejlagtig.

Omkring Hartnacks behandling af `Hilberts Hotel' i (24) må det antages athan fremdrager det paradoksale ved eksperimentet når han taler om gæsten iværelset med det højeste nummer der skal �ytte først. Alternativet er nemligat Hartnack tænker at der i mængden af de naturlige tal, i matematikerensopfattelse, er et højeste tal.

Jeg konstaterer at Hartnack til sidst (25) medgiver at `aleph' har en beret-tigelse som begreb for det som den potentielle uendelighed er en potentialitetfor.

39

5.3 Dedekind og den aktuelle uendelighed

Når Hartnack igen fremdrager Dedekind, er det for at tilbagevise Dedekindsbrug af den aktuelle uendelighed. Igen lader det til at han mener at decimal-tal har `udstrækning'. I (26) omtaler han at

√2 bestemmes som et `sted',

der kan gøres så lille som man vil, uden at kunne elimineres. Og når hanvidere anfører at problemet for Dedekind er at de rationale tal refererer tillige så mange faktisk fore�ndende punkter der konstituerer en aktuel uen-delighed (27), lyder det igen som om han mener at de rationale tal har ensærlig ontologisk egenskab som de irrationale tal ikke har. Han mener igen attilbagevise den aktuelle uendelighed ved at henvise til at punkter enten ikkehar udstrækning, hvorved de ikke �ndes på linien (28), eller har udstrækning,hvorved de ikke er delt i det uendelige, men kan deles i det uendelige (29).Jeg kan ikke sige at jeg her forstår Hartnacks tilbagevisning.

5.4 Cantor

Hartnack lægger ud med i (30) at anføre at da de irrationale tal er de�-nerede ved hjælp af de rationale tal, er også de denumerable. Hvorfor hanindleder med dette udsagn forstår jeg ikke. Det er ikke fordi han er i gangmed at præsentere at Cantor selv tænkte at dette kunne være tilfældet, førdet lykkedes ham at bevise det modsatte. Tilsyneladende er det fordi han,som Kronecker m. �., ikke kan acceptere Cantors bevis (det senere bevis veddiagonalmetoden) som han nu går i gang med at beskrive. Nu viser det sigimidlertid at Hartnack ikke helt har fået på plads hvad det vil sige at enmængde er denumerabel/tællelig. At han i (31) og (32) anfører at man skullekunne konstruere denumerable tal (udover de indekserede?), og at bevisetdrejer sig om at konstruere blot et tal der er non-denumerabelt, giver ikkerigtig mening.

Cantors kendte modstridsbevis som beskrevet i [Cantor 1891, pp. 579-580], opstiller samtlige indekserede reelle tal fra 0 til 1 over hinanden, meddet først indekserede tal øverst, og med uendelig mange decimaler for hverttal (hvor f. eks. 0.1 er anført som 0.01111... o.s.v. � Cantor bruger binærtalrepræsentation i sit eksempel), og der kan per antagelse ikke konstrue-res �ere. Beviset følger af at Cantor ved diagonaliseringsmetoden formår atkonstruere et nyt reelt tal:

0.y11y22y33y44 . . . ,

hvor ynn = 1 − xnn, og xnn er decimalerne taget diagonalt fra `søjlen' af de

40

indekserede reelle tal:

0.x11x12x13x14 . . .

0.x21x22x23x24 . . .

0.x31x32x33x34 . . .

0.x41x42x43x44 . . ....

I Hartnacks gengivelse (33) af beviset hævder han altså � udover altid at kun-ne udskifte med et �ci�er der er højere� � at have fundet et non-denumerabelt(overtælleligt) tal. Hvis han havde puttet tallet i en mængde, kunne han havetalt det (med en �nger).

Han anfører nu (34) at Cantor indfører betegnelsen `c' for de irrationaletal, og Hartnack demonstrerer derved at han heller ikke kender forskel påde reelle tal og de irrationale tal. Med denne nye oplysning in mente, kandet tænkes at Hartnacks udsagn i (15) og (16) skal læses som at han menerat til de rationale tal svarer der ontologiske punkter, men til de reelle tal(herunder de rationale) svarer der kun euklidiske punkter. Om dette betyderat han mener de rationale tal har en `lille udstrækning' eller ej, har jeg sværtved at vurdere.

Da Cantor, ifølge Hartnack, mente at tallene refererede til punkter, be-går han den `punktualistiske' fejl (35). Hartnack anfører det som en absurdkonsekvens af denne punktualistiske fejl at punkterne på en uendelig lang retlinie skal kunne korreleres med punkterne på et nok så lille stykke af linien.Billedbeviset i �gur 3 (hvor parallelpostulatet skal være godtaget, samt, na-turligvis, euklidiske punkter) er lånt fra den bog som Hartnack selv angiversom sin kilde, [Hollingdale, p. 363].

Om Hartnack dermed også mener det er absurd at der, eksempelvis, tilethvert reelt tal x ∈ (0, 1] svarer et og kun et reelt tal f(x) ∈ [1,∞), og viceversa, ved funktionen f : (0, 1] → [1,∞) givet ved f(x) = 1

x, er et åbent

spørgsmål.Om `den endelige dom' (36) må der igen henvises til Dedekinds bemærk-

ning i (3), og i øvrigt til den skelnen såvel Dedekind som Cantor konsekventlaver (i modsætning til Hartnack), mellem punkter og tal. Om `kategorifejlen'(det at opfatte begreber om non-ontologiske punkter som var det begreberom ontologiske objekter) må der igen henvises til Dedekinds bemærkning i(2) om at linier og punkter er idéer.

Hartnacks citat af Benardetes poetisk-�loso�ske udsagn om kardinaltalletℵ0 og idéen om at der ingen sidste stjerne er, (37), er såvidt jeg har bemær-ket, det eneste sted Hartnack overhovedet nævner kardinaltal og aleph med

41

Figur 3: Hvis der trækkes en ret linie fra punktet p til et hvilket som helstpunkt på linien LO (L tænkes uendeligt langt fra O), svarer der til det punktet og kun et punkt på liniestykket AO. Punkterne på LO kan altså korrele-res med punkterne på AO. Tilsvarende med punktet q, liniestykket OB ogliniestykket OL′ (hvor L′ tænkes uendeligt langt fra O).

fodtegn nul. Det skal nok her indføres at Benardete på omslaget af sin bogIn�nity indleder: �This book is an attack on �nitism in all its forms, philosop-hical and mathematical, [...]� [Benardete]. En rød klud i ansigtet på Hartnack,som heldigvis kan tilbagevise det uveri�cerbare stjerneargument med at derintet tal �ndes efter hvilket aleph nødvendigvis følger (38). Efter således athave demonstreret at han heller ikke har forstået begrebet kardinaltal, kanhan nu konkludere at han har tilbagevist de to afgørende argumenter for denaktuelle uendelighed: Punktualismen og Stjerneargumentet (39).

I Hartnack opsummering lykkes det ham at gøre Dedekind og Cantor ue-nige: Dedekind de�nerer de irrationale tal ved hjælp af de rationale tal, mensCantor hævder at de irrationale tal ikke kan de�neres ved hjælp af de ratio-nale tal (40). Udsagnet bekræfter endnu engang at Hartnack aldrig forstodhvad Cantors diagonalbevis gik ud på. Og med denne konstatering sluttermin analyse.

42

6 Modtagelsen

Erkendelsens Grundlag blev ved udgivelsen anmeldt i fem aviser/tidskrifter:Berlingske Tidende [Glebe-Møller], Kristeligt Dagblad [Sørensen], Politiken[Kjørup], Information [Stjernfelt] og Re�ex [Ylander]. De er forholdsvis venli-ge, men bærer præg af overvejende at fokusere på den første del af bogen. Allebemærker Hartnacks udfald mod Tor Nørretranders (fra starten af bogen).

Den mindst respektfulde anmeldelse �ndes i Politiken og bærer overskrif-ten �Det er ikke engang løgn�. Overskriften går især på Epimenides `løgner-paradoks' (fra starten af bogen), og på den meget mangelfulde redigeringog korrekturlæsning som forlaget har (eller har ikke) udstyret bogen med. IBerlingske Tidende anmeldes bogen sammen med en anden bog, og megetkortfattet, og i Kristeligt Dagblad er anmeldelsen loyal og refererende.

Den mest detaljerede anmeldelse �ndes i det �loso�ske tidsskrift Re�ex,og fokuserer især på fag�loso�ske og sproglige aspekter, og knap så megetpå de matematiske. Der bliver til tider udtrykt uenighed med Hartnacks ar-gumenter, f.eks. omkring hvorvidt hullerne i logikken � paradokserne � erudtryk (som Hartnack hævder) for menneskets afmagt frem for logikkens af-magt: Enten er mennesket afmægtig omkring afkodningen af logikken (denplatoniske tolkning) eller omkring skabelsen af logikken (den nominalistisketolkning) [Hartnack 1993, p. 13]. Netop her synes jeg, i modsætning til an-melderen, at Hartnack havde en god pointe. Anmelderen mener i øvrigt atHartnack er platoniker.

Desværre bliver kun den første tredjedel af bogen behandlet for ikke atrøbe hele historien; resten overlades til læseren.

Mest interessant for nærværende projekt er dog anmeldelsen i Information.Her skriver anmelderen om Hartnacks løsningsforslag til Zenons paradokserat den �[...] går stik imod gængs skolegeometri: det er meningsløst at sige,at en linje består af punkter. En linje kan gennemskæres i uendelig mangepunkter, men den består ikke af dem, men af små, udstrakte linjestykker.Derfor kan Zenons pil ikke hvile på et punkt i sin bane, ethvert nu svarer tilen lille, udstrakt del af banen. Dette løsningsforsøg er intelligent og i øvrigt itråd med kontroversielle dele af matematikken, den såkaldte intuitionisme.�

Det er jeg dog ikke sikker på Brouwer ville være enig i. Han skriver videreomkring Hartnacks behandling af `Hilberts Hotel' (i øvrigt under afsnitsover-skriften Skråsikker):

�Men her er hans argumenter underlige. [nyt afsnit] Den aktuelle uende-lighed er ikke noget `empirisk existerende' siger han (men det er der ingentingi matematikken der er), og han argumenterer mod de berømte `trans�nitte tal'der opererer med �ere størrelser aktuel uendelighed, ved at søge at påvise, at

43

de reelle tal (dvs. alle decimaltal) er lige så få som de naturlige tal. Mendet er forlængst bevist, at dette ikke er tilfældet: hvis man overhovedet viloperere med en uendelig mængde der hedder `alle reelle tal', så er den stør-re end de hele tal. [nyt afsnit] Et andet spørgsmål er så, hvor meget større,og det er også allerede bevist, at dette spørgsmål er uafgøreligt (den såkaldtekontinuumshypotese, der hævder, at de reelle tal udgør den næste klasse afuendelige mængder efter de naturlige tal, kan hverken bevises eller modbevi-ses).�

Anmeldelsen indrømmer dog til slut Hartnack at han har opnået, og deter ikke en lille bedrift, at give stof til eftertanke.

Af de fem anmeldere har altså en enkelt bemærket at noget var galt, mennok ikke i hvor høj grad at noget var galt.

7 Andre udgivelser

I sine tidligere akademiske publikationer, som �loso�kumlærebogen Filoso�-ske Problemer, som i sagens natur har en noget anden form og målgruppe,kommer Hartnack, så vidt jeg umiddelbart har kunnet vurdere, ikke ind påmeget kontroversielle idéer omkring matematiske emner, men den er hellerikke fuldstændig fri (hvilket også ville være underligt) for små fejl og unøjag-tigheder heller. Om brugen af ordet klasser skriver han for eksempel: �Manbenytter både i matematikken, logikken og dagligsproget ordet `klasse'. Mantaler om klassen af mennesker, klassen af alle hele tal, klassen af [...]. Enklasse er med andre ord altid en klasse af noget, [...]� [Hartnack 1955, p. 206].Et par år senere i sin lærebog i logik er han dog blevet opdateret eller kom-met på andre tanker: �En tom klasse er en klasse der ingen medlemmer har �[Hartnack 1958, p. 34].

I den ikke-akademiske publikation Filoso�ske Essays har han lidt friere hæn-der. Her skriver han blandt andet omkring `Tid': �Må det ikke være sådan,at der eksisterede noget, man kunne kalde den kortest mulige tid, selve detøjeblikkelige, det, der er så kort, at det, ligesom det matematiske punkt, indenudstrækning har? [...] En sådan opfattelse er imidlertid fejlagtig. [...] man ertilbøjelig til at mene, at de anvendelser af `nu', hvor talen er om en længereperiode, egentlig er en ukorrekt anvendelse, og at den egentlige og eneste kor-rekte anvendelse er den, hvor der er tale om det uudstrake punkt i tiden, derer som et snit i tiden, der adskiller fortid fra fremtid [...]. Vejen ud af detteparadoks er at erkende, at et tidspunkt uden udstrækning ikke på nogen tæn-kelig måde kan siges at være en del af tiden; det kan det lige så lidt, som et

44

punkt uden udstrækning kan siges at være en del af et liniestykke. Ligegyldigthvor mange nuller man lægger sammen, får man som bekendt kun nul somresultat� [Hartnack 1957, pp. 143-145].

At han er trofast over for sine idéer kan ses så sent som 2002 hvor hantager Einstein (1879-1955) til indtægt i det lille (og noget rodede) værk Filo-so� og den Moderne Fysik : �Euklids præmisser for den Euklidiske Geometrisynes ubestridelige. Blandt andet siger Euklid: `Et punkt er det der ingen delehar'. Eller Euklids præmis om en linie: en længde uden bredde. Dette billedeændrer sig radikalt med den Generelle Relativitetsteori � [Hartnack 2002, p.20].

At Hartnack i sin meget store produktion undertiden er blevet beskyldt forsmå og større unøjagtigheder, har næppe kunnet undgås. Således benytter�loso�en Villy Sørensen (1929-2001) i sin meget hårde anmeldelse af Hart-nacks bog Politik og Filoso� i tidsskriftet Politisk Revy nr. 65 lejligheden tilet udfald mod �loso�kum-institutionen som helhed; og om Hartnack speci-elt skriver han (og får her slået to �uer med et smæk) at han: �[...] i sprogligubehjælpsomhed eller sjuskeri kan måle sig med sin kollega Schultzer i Køben-havn�. Hvortil Hartnack svarer i samme tidsskrift nr. 70: �Jeg ved imidlertidat jeg ikke ville være bekendt at kritisere andre menneskers værk uden at væreganske anderledes inde i det stof, jeg skulle kritisere� [Sørensen, pp. 159-160].

45

8 Konklusion

I bogen Erkendelsens Grundlag fremfører og behandler �loso�en Justus Hart-nack en række kendte paradokser inden for logik og matematik. Jeg har iovenstående redegjort for de to kapitler på side 57-96 og analyseret hans ar-gumenter med udgangspunkt i to af Zenons paradokser og udvalgte teksteraf Richard Dedekind og Georg Cantor. Jeg har i analysen påpeget en rækkematematiske problemer omkring hans argumenter.

Jeg mener at Hartnack skal have point for at gå uimponeret til værks ogfremdrage og behandle et interessant og vanskeligt emne; for ikke at gem-me sig bag et svært tilgængeligt sprog og begrebsapparat; for at antage ogforsvare en uortodoks stilling omkring de på ingen måde trivielle problemer:det kontinuerte liniestykke der konstitueres af punkter uden udstrækning, ogden potentielle uendelighed versus den aktuelle uendelighed.

Desværre må disse point blive frataget ham igen ved hans argumenter. Jegmener i ovenstående at have påvist at selv ved at gå ind på hans præmisserog lade alle tvivlsspørgsmål (og det er mange) omkring hans argumentationkomme ham til gode, står der tilbage at han har en fejlagtig opfattelse affølgende fundamentale matematiske begreber (med citathenvisninger i pa-rentes):

• Kardinaltal (21), (22), (38)

• Tællelighed/Overtællelighed (20), (30), (31), (32), (33)

• Enentydighed (20), (30)

• Irrationale tal (30), (31), (34), (40)

Disse fejlagtige opfattelser er ødelæggende for hans argumentation og gørat emnerne aldrig opnår den grundige behandling som de fortjener. Dissekapitler i bogen må, fra et matematisk (og �loso�sk) synspunkt, betegnessom forfejlede.

46

9 Litteraturliste

9.1 Litteratur

Aristoteles ca. 325 f. Kr., φυσικη ακρoασις (Naturen). Dansk oversættelsefra: De store tænkere � Aristoteles (2. udgave, 1991). København: Munks-gaard, 1996

Beaney, Michael 2014, Analysis, Edward N. Zalta (ed.) The Stanford Encycl-opedia of Philosophy. Url: http://plato.stanford.edu/archives/spr2014/entries/analysis/ [15.03.2014]

Benardete, José A. 1964, In�nity. An Essay in Metaphysics. Oxford: Claren-don Press, 1964

Blegvad, Mogens 2011, Justus Hartnack, fra: Den Store Danske: Dansk Bio-gra�sk Leksikon.Url: http://www.denstoredanske.dk/Dansk Biogra�sk Leksikon/Uddannelse og undervisning/Professor/Justus Hartnack [15.03.2014]

Bottazzini, Umberto 1981, Il calcolo sublime: storia dell'analisi matematicada Euler a Weierstrass. English translation: The Higher Calculus: A Historyof Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass. New York: Springer-Verlag, 1986

Cantor, Georg 1874, Über eine Eigenschaft des Inbegri�es aller reellen alge-braischen Zahlen. English translation, extract: Fauvel, John & Gray, Jeremy(ed.s), The History of Mathematics: a Reader. Basingstoke: Macmillan Press,1988

Cantor, Georg 1883, Grundlagen einer Allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre.English translation, extract: Calinger, R. (ed.) 1982 Classics of Mathemati-cs, pp. 637-645, Oak Park, Ill: Moore Pub. Co., 1982 (from Lützen, J. (ed.),Compendium to the course: History of Mathematics 2, pp. 518-521. Dep. ofMath. Sciences, University of Copenhagen, 2010)

Cantor, Georg 1891, Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre.English translation, extract: Fauvel, John & Gray, Jeremy (ed.s), The Hi-story of Mathematics: a Reader. Basingstoke: Macmillan Press, 1988

Cantor, Georg 1895/1897, Beiträge zur Begründung der trans�niten Men-genlehre. English translation: Contributions to the founding of the theory oftrans�nite numbers, Introduction by Jourdain, P. E. B. (1915). New York:

47

Dover, 1955

Dauben, Joseph Warren 1979, Georg Cantor, His Mathematics and Philos-ophy of the In�nite. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press,1979

Dedekind, Richard 1872a, Stetigkeit und irrationale Zahlen, Braunschweig:Vieweg, (1872). Url: https://ia700300.us.archive.org/31/items/stetigkeitundir00dedegoog/stetigkeitundir00dedegoog.pdf [15.03.2014]

Dedekind, Richard 1872b, Stetigkeit und irrationale Zahlen; 1888, Was sindund was sollen die Zahlen?. English translation: Essays on the theory of num-bers (1901). New York: Dover, 1963

Ewald, William B. (red.) 1996, From Immanuel Kant to David Hilbert: ASource Book in the Foundations of Mathematics. New York: Oxford Univer-sity Press, 1996

Fink, Hans og Jensen, U�e Juul 2005, Justus Hartnack. Nekrolog. Institutfor Kultur og Samfund, Aarhus Universitet. Url: http://www.au.dk/om/pro�l/publikationer/nekrolog/2005jh/ [15.03.2014]

Hartnack, Justus 1955, Filoso�ske Problemer og Filoso�ske Argumentationer(7. udgave). København: C. A. Reitzels Forlag 1997

Hartnack, Justus 1957, Filoso�ske Essays. København: Gyldendal, 1960

Hartnack, Justus 1958, Logik, Klassisk og Moderne. København: Gyldendal,1962

Hartnack, Justus 1960, Wittgenstein og den moderne �loso�. København:Gyldendal, 1962

Hartnack, Justus 1993, Erkendelsens Grundlag, Paradokser indenfor Logik-kens og Matematikkens Filoso�. København: C. A. Reitzels Forlag, 1993

Hartnack, Justus 2002, Filoso� og den Moderne Fysik. København: C. A.Reitzels Forlag, 2002

Hegel, G. W. F. 1812, Wissenschaft der Logik. English translation by A. V.Miller: Hegel's Science of Logic. London: George Allen & Unwin, 1969

Heath, Thomas 1940, Mathematics in Aristotle. Oxford: Clarendon Press,1949

48

Hollingdale, Stuart 1989, Makers of Mathematics. London: Penguin Books,1989

Holz, M., Ste�ens, K. & Weitz, E. 1999, Introduction to Cardinal Arithmetic.Basel: Birkhäuser Verlag, 1999

Huggett, Nick 2010, Zeno's Paradoxes, Edward N. Zalta (ed.) The StanfordEncyclopedia of Philosophy. Url:http://plato.stanford.edu/archives/win2010/entries/paradox-zeno/ [15.03.2014]

Lübcke Poul (red.) 1983. Politikens �loso� leksikon. København: PolitikensForlag, 1983

Rodych, Victor 2011, Wittgenstein's Philosophy of Mathematics, Edward N.Zalta (ed.) The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Url:http://plato.stanford.edu/archives/sum2011/entries/wittgenstein-mathematics/[15.03.2014]

Ryberg, Jesper 2009, Dagligsprogs�loso� fra: Den Store Danske.Url: http://www.denstoredanske.dk/Sprog, religion og �loso�/Filoso�/Filoso�ske begreber og fagudtryk/dagligsprogs�loso� [15.03.2014]

Schilling, René L. 2005, Measures, Integrals and Martingales. Cambridge:Cambridge University Press, 2011

Sørensen, Villy 1969,Mellem Fortid og Fremtid. København: Gyldendal, 1969

9.2 Anmeldelser:

Glebe-Møller, Jens 1993, Veje til erkendelse. Berlingske Tidende, MAG, p. 4,18.05.1993

Kjørup, Søren 1993, Det er ikke engang løgn. Politiken, p. 2, 16.06.1993

Stjernfelt, Frederik 1993, Akilleus på jagt efter skildpadden. Information, p.7, 07.06.1993

Sørensen, Peter Laurs 1993, Forsvar for logikken. Kristeligt Dagblad, p. 11,22.17.1993

Ylander, Lars 1993, Mennesket og logikken. Re�ex, pp. 42-46, Filoso�sk In-stitut, Odense Universitet, Nr. 14, sep. 1993

49

9.3 Figurer

Figur 1: Ukendt fotograf, ukendt årstal, Justus Hartnack, Aarhus Universitet

Figur 2: Jochen Burghardt 2011, Race between Achilles and the tortoise,Wikimedia Commons

Figur 3: Kristian Højsteen 2014, Frit efter [Hollingdale, p. 363]

50