Harmonijska sredinaHarmonijska sredina se definira kao reciprona vrijednost aritmetike sredinerecipronih vrijednosti numerike varijable.Za pojedinane podatke raunamo ju pomou izraza:Nx x xNH1...1 12 1+ + +=, odnosno, krae zapisano,==NiixNH11,uz uvjetxi =0 za svaki i.Vagana ili ponderirana harmonijska sredina dana je izrazom: kkkxfxfxff f fH+ + ++ + +=......22112 1, odnosno===kiiikiixffH11,uz uvjetxi =0 za svaki i.Razmotrimo sluaj primjene harmonijske sredine. Da bi se dobio povrat uloenih 1mil Kn kroz ulaganje u investicijski projekt A,potrebno je 12 mjeseci, krozulaganje u projekt B 6 mjesecii u projekt C4mjeseca.Ako investitor ima uloenisti iznos, tj. po 1 mil Kn u sva tri projekta krozrazdoblje od 12 mjeseci, koliko je u tom sluaju prosjeno vrijeme povratajedinice uloenog kapitala?U ovom bi sluaju bilo pogreno raunati aritmetiku sredinu, tj.3 3 , 734 6 12=+ +mjeseci.Naime, u razdoblju investiranja od 12 mjeseci investicija A rezultirala je sa 1 mil Kn, investicija B sa 2 mil Kni investicija C sa 3 mil Kn, odnosno, sve tri investicijeodbacile su kroz 12 mjeseci 6 mil Kn zajedno.Pomnoimo li 6 sa 3 3 , 7dobivamo znatno vie od 36 mjeseci koliko je iznosilo vrijeme ulaganja u sva triprojekata zajedno. Naime, ukupne investicije podijeljene rezultirajuim (prinosom) povratom na investicije daju prosjeno vrijeme povrata jedinice uloenog kapitala.Stoga traeni prosjek pomnoen ukupnimrezultirajuim povratom Tom zahtjevu udovoljava harmonijska sredina. Uovom sluaju ona iznosi: 641611213=+ += H mjeseci.Napomena: Budui su u ovom sluaju svi ponderijednaki,zbog jednakog razdoblja investiranja u svaki od projekata, tj. 12 mjeseci, svejedno je koristi li seizraz za vaganu ili za jednostavnu harmonijsku sredinu.Pomnoimo li dobiveni rezultat sa 6 (sa rezultirajuim kapitalom) dobivamo 36, tjukupni broj mjeseci trajanja svih triju ulaganja. mora dati ukupno vrijeme investiranja . Nx x xNH1...1 12 1+ + +=Vagana se harmonijska sredina koristi u svrhu raunanja prosjeka relativnih brojeva,kada raspolaemo brojnicima relativnih brojeva (ili procjenama brojnika), a nedostajunam podaci o njihovim bazama, tj. nazivnicima..U takvim sluajevima koristimo brojnike (ili njihove procjene) kao pondere u izrazimaza vaganu harmonijsku sredinu.Tako na primjer izraz za vaganu harmonijsku sredinu relativnih brojeva koordinacijeglasi:===kiiikiiRvvR11, te za vaganu harmonijsku sredinu postotaka ===ki iikiiPDDP11U to se pravilo uklapa i ranije izloeni primjer, budui da jeprosjeno vrijeme povrata jedinice uloenog kapitala omjerukupnog trajanja ulaganja i rezultirajueg, proizvedenog kapitala.Vremensko trajanje ulaganja je brojnik vremena povrata jediniceuloenog kapitala, pa je stoga raunata harmonijska sredina. Openito, kod raunanja prosjeka relativnih brojeva, treba imati na umu smisaoprosjeka, a taj je, da je on kvocijent zbroja svih brojnika i zbroja svih nazivnikarelativnih brojeva iji se prosjek rauna.Znaenje prosjeka relativnih brojeva postat e nam vidljivo razvijemo li izraze zavaganu aritmetiku i zatim za vaganu harmonijsku sredinu: ======== =kiikiikiikiiiikiikii iBvBBBvBBi RR111111 i ======= = =kiikiikiiiikiikiiikiiBvBvvvRvvR111111U oba smo dakle sluaja dobili isto, to smo i eljeli pokazati. Dobit i postotak dobiti od ostvarenog prometa u podrunicama A,B i C: PodrunicaDobitu000 Kn Dobitu% kol.2:kol.3 = Promet u mil. Kn. DiPiCi 1234 A29075,1570 B18361,81020 C14825,7 260 Ukupno6225-1850 Prosjena dobit =6, 2253, 36%1850 =Kn , :510 570 1 5 2907 =Primjer raunanja prosjenog postotka dobiti pomou vagane aritmetike sredine Godinji promet i postotak dobiti od ostvarenog prometa u podrunicama A,B i C:Podrunica Prometu mil. Kn. Dobitu% kol.2xkol.3= Dobit u mil. CiPiDi 1234 A575,12,907 B1021,81,836 C 265,71,482 Ukupno185-6,225 Prosjena dobit =% 36 , 3 100185225 , 6= 907 2 10 10 1 5 10 572 2 6, , = Geometrijska sredina Geometrijska sredina, koja takoer spada u potpune srednje vrijednosti kao iaritmetika i harmonijska, definira se kao N -ti korijen iz produkta N faktora, tj.: NNx x x G = ...2 1Izraz za geometrijsku sredinu moe zapisati na krai nain, tako da se zanaznaku produkta N faktora upotrijebi znak mnoenja [, pa se prethodni izraztransformira u.1[=NiixNNiix G[==1, uz uvjet da sve vrijednosti x budu pozitivne, tj. x > 0, i .Za ranije analizirani primjer 25 zaposlenih prema navrenim godinama starosti,za koje smo izraunali jednostavnu aritmetiku sredinu i ucrtali ja u dijagram toaka, izraunat emo i geometrijsku sredinu, tj. 75 , 27 62 ... 19 19 1825= = Ggodina. Vidimo da je izraunana geometrijska sredina manja od prethodno izraunanearitmetike sredine, koja je iznosila 29,92 godine.To nije sluajnost, geometrijska je sredina za isti skup podataka uvijek manja odaritmetike i vea od harmonijske.Vrijedi nejednakost:H s G sXModMod je najei oblik ili modalitet obiljeja (oznaka Mo).Mod se odreuje kako za kvalitativna, tako za kvantitativna obiljeja (varijable).Najjednostavniji je sluaj odreivanja moda kada su formirane grupe.U takvomsluaju mod je modalitet s najveom frekvencijom.Zaposleni u trgovini i ugostiteljstvu u RH 1996. Vrsta djelatnostiBroj zaposlenih Struktura zaposlenih u % aifiPi 123 Trgovina na malo5836142,87 Trgovina na veliko2293416,85 Ugostiteljska poduzea3827928,12 Ugostitelji-obrtnici1654512,15 Ukupno136119100,00 Izvor: SLjH 98.,str.538-541 Vidljivo je da je najvei broj zaposlenih u trgovini i ugostiteljstvu RH 1996.god.bio u trgovini na malo.Trgovina na malo je, dakle, u ovom sluaju mod.Mod Najvea frekvencija Najvea relativna frekvencija Odreivanje moda za distribuciju frekvencija ovisi o tome da li su formirane grupe,ili je obiljeje dano u razredima.Ukoliko su formirane grupe, postupak ja potpuno isti kao u prethodnom primjeru.Budui u grupi svi podaci imaju isti modalitet obiljeja, u ovom sluaju istu vrijednostnumerike varijable, dovoljno je pronai najveu frekvenciju i oitati pripadnuvrijednost numerike varijable, koja predstavlja mod.Primjer:Broj pogrenih odgovora 80 studenata na testu iz statistikeBroj pogrenih odgovora Broj studenata xifi 12 05 17 215 319 420 510 64 Ukupno80 Mod Najvea frekvencija Najei broj pogrenih odgovora, tj. mod iznosi etiri.Do istog bi zakljuka bili doli da smo, umjestoobinih, imali relativne frekvencije.Kod distribucije frekvencija s formiranim razredima, mod nije mogue direktno oitati.Izravno je mogue samo identificirati razred u kom se nalazi mod.Takav se razred naziva modalni.Budui da na iznos apsolutne frekvencije utjee veliina razreda, a nju odreujemoproizvoljno prilikom grupiranja podataka, moramo, ukoliko razredi nisu jednakeveliine, za identifikaciju modalnog razreda, koristiti korigirane frekvencije.Modalni je razred onaj sa najveom korigiranom frekvencijom.Daljnji problem predstavlja odreivanje pozicije moda unutar modalnog razreda.Da bismo odredili mod, sluimo se pretpostavkom, da na njegov poloaj utjeufrekvencije dvaju susjednih razreda onog ispred i onog iza modalnog razreda.a b-a b-c c b xi fci MoL1 xi-x ic b a ba bL Mo + + =) ( ) (1(b-a) : (b-c) = x : (i-x) i) c b ( ) a b (a bx + = ic b a ba bL Mo + + =) ( ) (1Dakle, gdje je Mo oznaka za mod,L1=donja granica (prava ili precizna) modalnog razreda, i=veliina modalnog razreda,dok sua, bic tri uzastopne korigirane frekvencije (ukoliko je korekcijapotrebna). Tonije: a =korigirana frekvencija prije frekvencije modalnog razreda, b =korigirana frekvencija modalnog razreda, tj. najvea korigirana frekvencija, i c =korigirana frekvencija koja slijedi, tj. frekvencijanakon one modalnograzreda. Radnici poduzea X prema godinama starostiGodine starosti Broj radnikaVeliina razreda Korigirane frekvencije xifiiifci 1234 18-2010210a 20-2215215b 22-28156 5c 28-32844 Ukupno 48-- Mo=67 , 20 2) 5 15 ( ) 10 15 (10 1520 = + +godina.To je najea starost radnika u tom poduzeu, odnosno starost najveegbroja radnika.ic b a ba bL Mo + + =) ( ) (1Mod je vrlo ilustrativna ilako razumljiva srednja vrijednost.Odreen je svojim poloajem u nizu i na njega stoga ne utjeu ni izrazito velike niizrazito male vrijednosti obiljeja, kao to je to npr. sluaj kod aritmetike sredine.Kad bi npr. gornja granica posljednjeg razreda bila 50, umjesto 32, uznepromijenjenu frekvenciju tog razreda, aritmetika bi se sredina jako pomaklaprema veim vrijednostima numerikog obiljeja, dok se na mod to uope ne biodrazilo.Prednost moda je i to, to ga je mogue odrediti i zanenumerika, tj. kvalitativnaobiljeja. Nedostatak moda je da ga nije mogue odrediti ukoliko nema bar dva podatka sistim modalitetom obiljeja (u sluaju pojedinanih podataka). Takoer, mod nije uputno odrediti ako je modalni razred prvi i ako je usto otvoren. Nedostajua donja granica moe se, dodue, procijeniti, ali mod odreen pomou nje nije pouzdan.Slino je, kad je modalni razred posljednji i usto otvoreni razred.Nepoeljna osobina moda je i njegova osjetljivost na nain grupiranja, koji sadriodreenu dozu proizvoljnosti. O odreivanju veliina razreda, naime, ovise i njihovefrekvencije, a one izravno utjeu na veliinu moda.Mod nije mogue odrediti ukoliko je distribucija bimodalna, tj ukoliko ima dva vrha.U tom sluaju postoje dva mjesta gomilanja podataka oko neke vrijednosti, papostoji neizvjesnost u pogledu poloaja moda.To takoer vrijedi i za multimodalne distribucije, koje imaju vie toaka gomilanjapodataka, pa nismo u stanju odrediti mod na jedinstveni nain.Bimodalna distribucija Medijan Medijan je pozicijska srednja vrijednost, koja po veliini ureeni niz dijeli nadva jednakobrojna dijela, na nain da polovina lanova niza ima vrijednostkvantitativne varijable manju ili jednaku medijalnoj, dok druga polovina lanovaniza ima vrijednost jednaku medijanu ili veu.Odreivanje medijana sastoji se u pronalaenju vrijednosti obiljeja nasredinjoj poziciji uureenom nizu. INTN=21 )2( + =NINT r, INTN=22N, r=21 ++=r rex xMMe = xr.Me = Razmotrimo to na primjeru izostanaka 9-oro radnika u razdoblju I.-X. mjesec 2004.god: xi: 2,4,1,20,16,5,7,6,8 dana. Uredimo li varijablu broj dana izostanaka po veliini imamo xi: 1,2,4,5,6,7,8,16, 20 dana.U ovom je sluaju5 , 4292= =NCjelobrojni dio od 4,5 je 4, koji uvean za 1 daje traeni redni broj medijalnog lananiza 5.Dakle, x5 = Me = 6 dana.U naem sluaju, polovina radnika izostala je6 dana ili manje. Ukoliko je broj lanova niza paran, N je djeljivo sa 2 bez ostatka, tj. kvocijent2Nje cijeli broj.U tom se sluaju u sredini niza nalaze dva njegova lana, iji je poluzbroj medijan.Primjer: Vrijeme izrade proizvoda A 10-orice radnika (varijabla ureena po veliini): xi:2,3,3,4,6,7,8,9,11,11 minuta. INT =210= 5 = r =+=+=27 626 5x xMe6,5 minuta. Polovina radnika trebala je za izradu tog proizvoda 6,5 minuta ili manje (drugapolovina 6,5 min. ili vie). 1001pN + ) (Xi:2,3,3,4,6,7,8,9,11,11 minuta. 5 0 5 5 5100501 10 , , ) ( + = = +6 5x i x Meizmeux razmaka 0,55+ =Me =6,5 minuta. Jednostavniji nain: Kod distribucije frekvencija sa formiranim grupama, to je sluaj kod velikog brojadistribucija frekvencija diskretne numerike varijable, za pronalaenje sredinjeglana u nizu radi oitavanja njegove vrijednosti, tj. medijana, sluimo sekumulativnim nizom manje od.Pomou prve kumulativne frekvencije koja je jednaka ili vea od2Nidentificira se pripadna vrijednost grupe, koja je u tom sluaju medijan.Ovo vrijedi bilo za sluaj da je Nneparan, bilo da je paran, budui sve jedinice ugrupi imaju istu vrijednost obiljeja. Jedino, ukoliko bi jedinice s redoslijedom2Ni12 +Npripadale dvjema uzastopnim grupama, medijan bi se odredio kao poluzbroj vrijednosti obiljeja tih dviju grupa. Ukoliko su frekvencije izraene kao proporcije, postupa se na isti nain, s time da segrupa, ija je vrijednost medijalna, identificira pomou prve kumulativne frekvencijejednake ili vee od 0,5 (odnosno 50 kod postotaka). Broj pogrenih odgovora 80 studenata na testu iz statistikeBroj pogrenih odgovora Broj studenata Kumulativniniz manje od xifiSx(xi) 12 3 05 5 1712 21527 31946 42066 51076 6480 Ukupno80- U ovom je primjeru N paran broj, pa jemedijan obiljeje jedinica s rednimbrojevima 40 i 41.Prva kumulativna frekvencija, jednakaili vea od 40, je etvrta po redukumulativna frekvencija 46Toj grupi pripadaju i 40-tii 41-vistudent, sa istim brojem pogrenihodgovora, tj.3.Dakle, polovina studenata imala je 3pogrena odgovora ili manje, apolovina 3 pogreke ili vie.Za raunanje medijana distribucije frekvencija s formiranim razredima najee sekoristi slijedei izraz: iffNL Mmede+ = 112gdje je L1 donja granica medijalnog razreda, Ef1 prethodna kumulativna frekvencija (najvea odkumulativnih frekvencija koja je usto i strogo manja od N/2), fmed frekvencija medijalnog razreda, te i-veliina medijalnog razreda. Izraz za medijan se izvodi iz grafike konstrukcije medijana pomou kumulante.Medijan se dobiva kao obiljeje pridrueno kumulativnoj frekvenciji veliine N/2: L1 xi Sx(xi) 2NEf1

fmed12fNx i iffNL Mmede+ = 112 x : i=(N/2 - Ef1) :fmed,Me = L1 + xMe Zaposleni pogona A prema veliinimjesenih plaa u listopadu 2008.godMjesena plaa u Broj zaposlenih Veliina razreda Kumulativni niz manje od xifiiiSx(xi) 1234 800 10001020010 1000 12001420024 1200 14002020044 1400 18003240076 1800 250024700 100 Ukupno 100-- 1475 4003244 501400 = + =eM. Polovina zaposlenih, primila je u listopadu 2008.godine plau u iznosu1475 ilimanje, dok je druga polovina zaposlenih primila 1475 ili vie. iffNL Mmede+ = 112Medijan se moe odrediti i za ordinalni niz.U tom je sluajumedijanrang koji ureeni niz podataka dijeli na dvajednakobrojna dijela.Postupak njegovog odreivanja jednak je postupku kojeg primjenjujemo za nizpojedinanih vrijednosti, ili za distribuciju frekvencija diskontinuirane numerikevarijable sa formiranim grupama.To je pokazano u primjeru koji slijedi: Uspjeh 30 studenata na ispitu iz statistikeOcjenaBroj studenata Kumulativniniz manje od rifiSr(ri) 123 177 2815 3 1227 4229 5130 Ukupno30- U ovom je sluaju, budui da jeN/2parni broj, medijanpoluzbroj rangova15-tog i 16-tog studenta, tj. 2,5.Time je uinjen praktini, ali teoretski nedozvoljeni kompromis, jer nad modalitetimavarijable ranga nije dozvoljena operacija zbrajanja.Medijan se, kao i sve srednje vrijednosti, nalazi izmeu minimalne i maksimalnevrijednosti obiljeja.Njegovo je i svojstvo, da je zbroj odstupanja podataka od medijana uzetihapsolutno (tj. uz ignoriranje predznaka), minimalan, tj:min1= =eNiiM xodnosno, za grupirane podatke, , min1= =i eNiif M xMedijan je, kao i sve srednje vrijednosti, izraen u istim mjernim jedinicama kaoi obiljeje.Jednostavan je za tumaenje.Nije osjetljiv na ekstremne vrijednosti, budui su one uvijek smjetene narubovima ureenog niza.Zbog toga je medijan dobar izbor srednje vrijednosti za asimetrine distribucijefrekvencija s jako izraenim ekstremima.Za razliku od aritmetike sredine, koju ekstremi odvlae prema izrazito velikimili malim vrijednostima, na medijan oni jedva da utjeu, pa se stoga o medijamugovori kao o tromoj srednjoj vrijednosti.Medijan je pogodan i za distribucije frekvencija s otvorenim razredima, ije segranice procjenjuju, pa su stoga nesigurne.Na medijan takve granice ne utjeu, osim ukoliko je rubni, otvoreni razredujedno i medijalni.tromoj