Harjutustund 119. veebruar , 2013 - Cyberneticaahtbu/Harjutus1_slides.pdf · 2015. 2. 19. ·...

Harjutustund 1 19. veebruar , 2013

Harjutustund 1

Harjutustund 1 19. veebruar, 2013

Ulesanne 1:

Aastal 1889 esitas Giuseppe Peano (1858–1932) esimesena naturaalarve(0,1,2, . . .) kirjeldava aksiomaatika, kasutades fundamentaalse seosenajarglaseks olemise seost n 7→ n+ jarglane, kus n+ = n + 1. Puudkeise teha sedasama, mis Peano. Naidake, et teie aksiomaatika on taielik, stkirjeldab naturaalarve ja mitte midagi muud. Kuidas defineerida jarglaseksolemise seose abil liitmistehe ja korrutamistehe?

2


Lahendus

Aksioom 1: Seos n 7→ n+ on injektiivne funktsioon, st igal naturaalarvul non uks ja ainult uks jarglane n+, ja kui n+ = m+, siis n = m.

Aksioom 2: Leidub uks ja ainult uks m, nii et n+ 6= m mis tahes naturaal-arvu n korral. Sellist arvu m nimetatakse nulliks ja tahistatakse 0.

Aksioom 3: Kui nullil on omadus A ja sellest, et n-l on omadus A jareldub,et ka n+-l on omadus A, siis on omadus A koigil naturaalarvudel:

A(0) ∧ ∀n : A(n)→ A(n+) ⇒ ∀n : A(n) .

3


Naiteks liitmise saab defineerida jargmiselt:

x+0 = x

x+ y+ = (x+ y)+

Liitmine on kommutatiivne, sest:Lemma 1: ∀x : 0 + x = x = x+0.Toestus: Kasutame induktsiooni: 0+ 0 = 0 ja kui 0+ x = x, siis

0+ x+ = (0+ x)+ = x+ = x+ +0 .

Lemma 2: Kui ∀x : y+ x = x+ y, siis ∀x : x+ y+ = y+ + x.Toestus: Kasutame induktsiooni: 0+y+ = y++0 ja kui x+y+ = y++x,siis

x+ + y+ = (x+ + y)+ = (y+ x+)+ = (y+ x)++ = (x+ y)++

= (x+ y+)+ = (y+ + x)+ = y+ + x+ .

3


Liitmine on assotsiatiivne, sest:1: (x+ y) + 0 = x+ y = x+ (y+0)

2: Kui (x+ y) + z = x+ (y+ z), siis

(x+ y) + z+ = ((x+ y) + z)+ = (x+ (y+ z))+ = x+ (y+ z)+

= x+ (y+ z+) .

Korrutamise saab defineerida jargmiselt:

x · 0 = 0

x · y+ = x · y+ x

ja toestada korrutamise pohiomadused analoogilisel viisil.

3


Ulesanne 2:

Arvuta ja joonista ules liitmis- ja korrutustabelid arvuvaldades Z4 ja Z5.Kuidas leida tabelite phjal elemendi a poordvaartust 1

a?

4


Lahendus:

Tabelid arvuvallas Z4 naevad valja jargmised:

⊕ 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2

⊗ 0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1

5


Vastavad tabelid arvuvallas Z5 naevad aga valja jargmised:

⊕ 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3

⊗ 0 1 2 3 40 0 0 0 0 01 0 1 2 3 42 0 2 4 1 33 0 3 1 4 24 0 4 3 2 1

Element a ∈ Z4 (vi vast. Z5) on pooratav parajasti siis, kui leidub elementb ∈ Z4 (voi vast. Z5), nii et a · b ≡ 1. Seega on pooratavad parajasti needelemendid, millele vastav rida korrutustabelis sisaldab arvu 1. Elemendid1 ja 3 on pooratavad arvuvallas Z4. Elemendid 1,2,3,4 on pooratavadarvuvallas Z5.

5


Ulesanne 3:

Mitmel elemendil on poordvaartus arvuvallas Z8 ja arvuvallas Z20?

6


Lahendus

Vastuse annab Euleri funktsiooni kasutamine. Arvuvallas Z8 on

ϕ(8) = ϕ(23) = 23 − 22 = 4

pooratavat elementi. Arvuvallas Z20 aga

ϕ(20) = ϕ(22 · 51) = (22 − 21)(51 − 50) = 2 · 4 = 8

pooratavat elementi.

7


Ulesanne 4:

Arvuta Eukleidese algoritmi abil sut(26,9) ja sut(81,18).

8


Lahendus:

sut(26,9) = sut(17,9) = sut(8,9) = sut(8,1) = sut(7,1)

= . . . = sut(1,1)

= 1 .

sut(81,18) = sut(63,18) = sut(45,18) = sut(27,18)

= sut(9,18) = sut(9,9)

= 9 .

9


Ulesanne 5:

Arvestades naidet sut(13245612521,21) muuda Eukleidese algoritm efek-tiivsemaks.

10


Lahendus:

Eukleidese algoritmi saab efektiivsemaks muuta jargmiselt. Eeldades, etb ≥ a, kasutame jargmist reeglit:

sut(a, b) =

{a kui b mod a = 0sut(b mod a, a) kui b mod a 6= 0

Kui b ≥ a ja b mod a 6= 0, siis Da,b = Db mod a,a. Toepoolest, kui d | aja d | b, siis ka d | b mod a, sest b mod a = b− ka, mingi k ∈ N korral.Kui aga d | a ja d | (b mod a), siis arvestades seost b mod a = b− ka,saame et b = b mod a+ ka ja seega d | b. Arvutusnaide:

sut(21,13245612521) = sut(8,21) = sut(5,8) = sut(3,5)

= sut(2,3) = sut(1,2)

= 1 .

11


Ulesanne 6:

Leia 19 mod 26.

12


Lahendus:

Olgu a = 9 ja b = 26. Arvutame suurima uhisteguri kujul αa+ βb. Panetahele, et poordvaartus leidub parajasti siis, kui suurim uhistegur on 1.

9 26 a b9 8 a b− 2a1 8 a− (b− 2a) = 3a− b b− 2a

Seega saame, et 3 ·a− b = 1 ehk 3 ·9−26 = 1. Siit tuleneb, et 3 ·9 ≡ 1

(mod 26) ja seega 19 mod 26 = 3.

13


Ulesanne 7:

Leia afiinse sifri E(x) = ax+ b mod 26 voti (a, b) kui:

a) E(1) = 17 ja E(2) = 0;

b) E(1) = 17 ja E(4) = 1;

c) E(1) = 17 ja E(3) = 0;

d) E(5) = 21 ja E(16) = 10.

14


Lahendus 7a:

Tingimustest E(1) = 17 ja E(2) = 0 saame lineaarvorrandisusteemi:{a · 1+ b ≡ 17a · 2+ b ≡ 0

Lahutades teisest vorrandist esimese, saame a ≡ −17 ≡ 9 ja seegaesimesest vorrandist saame 9+ b ≡ 17 ja b ≡ 8.

15


Lahendus 7b:


Lahutades teisest vorrandist esimese, saame 3a ≡ −16 ≡ 10. Nuud onvaja muutuja a kordaja 3 kaotamiseks leida 1

3 mod 26. Kasutame Euklei-dese algoritmi, votame a = 3, b = 26 ja esiatame arvutuse jargmisetabelina:

3 26 a b3 2 a b− 8a1 2 a− (b− 8a) = 9a− b b− 8a

16


Seega saame, et 9 ·a− b = 1 ehk 9 ·3−26 = 1. Siit tuleneb, et 9 ·3 ≡ 1

(mod 26) ja seega 13 mod 26 = 9. Seega, a ≡ 10 · 9 ≡ 90 ≡ 12 ja

esimseset vorrandist b ≡ 17− 12 ≡ 5.

16


Lahendus 7c:


Lahutades teisest vorrandist esimese, saame 2a ≡ −17 ≡ 9. Sel vorran-dil aga lahend puudub, sest 2 on nullitegur (2 · 13 = 26 ≡ 0) ja samas9 on pooratav element. Vorrandil oleks lahend vaid siis kui ka parem pooljaguks 2-ga. Seega, oige vastus on, et nimetatud omadustega afiinset sifritei ole olemas.

17


Lahendus 7d:


Lahutades teisest vorrandist esimese, saame 11a ≡ −11 ≡ 15. Nuudon vaja muutuja a kordaja 11 kaotamiseks leida 1

11 mod 26. KasutameEukleidese algoritmi, votame a = 11, b = 26 ja esiatame arvutuse jarg-mise tabelina:

11 26 a b11 4 a b− 2a3 4 a− 2(b− 2a) = 5a− 2b b− 2a3 1 5a− 2b (b− 2a)− (5a− 2b) = −7a+3b

18


Seega saame, et (−7)·a+3b = 1 ehk (−7)·11+3·26 = 1. Siit tuleneb,et (−7) · 11 ≡ 1 (mod 26) ja seega 1

11 mod 26 ≡ −7 ≡ 19. Saame,et a ≡ 15 · 19 ≡ 25 ja seega esimesest vorrandist b ≡ 21− 5 · 25 ≡ 0.

18


Ulesanne 8:

Murda inglisekeelsest avatekstist nihkesifriga moodustatud kruptogramm:

AXAOSKSDALLDWTALLSDDWJAXAOSKSTSDDWJ

19


Lahendus 8:

Kasutame esmalt sagedusanaluusi. Tahtede sagedused kruptogrammison jargmised:

A 6 D 6

X 2 L 4

O 2 W 3

S 6 T 2

K 2 J 2

Koige sagedamini esinevatest kruptogrammi tahtedest A, S, D esitab tenaoli-selt vahemalt uks inglise keeles koige sagedamini esinevaid tahti: E, T jaA.

20


Oletusest E(E) = A saame, et voti K ≡ 0− 4 = 22 ja sonumi dekruptee-rimine annaks:

EBESWOWHEPPAXEPPWHHANEBESWOWXWHHAN

mis aga ei ole inglisekeelne tekst ja seega ei pea oletus paika.

Oletusest E(T) = A saame, et voti K ≡ 0− 19 = 7 ja sonumi dekruptee-rimine annaks:

TQTHLDLWT ...

mis aga ei ole inglisekeelne tekst ja seega ei pea ka see oletus paika.

Oletus E(A) = S seevastu annab avateksti:20


IFIWASALITTLEBITTALLERIFIWASABALLER

mis on inglisekeelne ja seega on siffer murtud. Voti on K = 18, sest S onladina tahestiku 18-s taht.

20

Harjutustund 119. veebruar , 2013 - Cyberneticaahtbu/Harjutus1_slides.pdf · 2015. 2. 19. ·...

Documents

Transcript of Harjutustund 119. veebruar , 2013 - Cyberneticaahtbu/Harjutus1_slides.pdf · 2015. 2. 19. ·...