Ham So Mu - Logarit (Rut Gon)

Phân lo i và ph ng pháp gi i toán 12 www.MATHVN.comwww.MATHVN.comwww.MATHVN.comwww.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn

Ch ng II. Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit www.mathvn.com - 1 -

HÀM SỐ LŨY TH ỪA – HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT 2222 Chương

Bài 1: LŨY TH ỪA – CÁC PHÉP TÍNH VỀ LŨY TH ỪA VỚI HÀM SỐ THỰC

� 1. Kiến thức cơ bản

Gọi a và b là những số thực dương, x và y là những số thực tùy ý

� . . .....na a a a a= ��

xx

x

a a

b b

=

� .x y x ya a a += �

xy xya a=

� 1x

x y n

y n

aa a

a a

− −= ⇒ = � ( )( )

0

01 1 ,0

u xu x x

x

∀ = ⇒ = ≠

� ( ) ( ) .y x

x y x ya a a= = .n n na b ab=

( ). .x

x xa b a b= � ( )m

nn ma a=

2. Lưu ý

Nếu 0a < thì xa chỉ xác định khi x∀ ∈ ℤ .

Nếu 1a > thì a aα β α β> ⇔ > .

Nếu 0 1a< < thì a aα β α β> ⇔ < .

( ) n1

lim 1 2,718281828459045...

n

xe

n→∞

= + ∈ ≃ ℕ .

Để so sánh 1s

a và 2s

b . Ta sẽ đưa 2 căn đã cho về cùng bậc n (với n là bội số chung của s1 và s2 ) ⇒ Hai

số so sánh mới lần lượt là An và Bn . Từ đó so sánh A và B ⇒ kết quả so sánh của 1s

a và 2s

b . Công thức lãi kép: Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì ⇒ Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi)

là: ( )1N

C A r= + .

3. Bài tập áp dụng

Bài 1. Với ,a b là các số thực dương. Hãy rút gọn các biểu thức sau:

1/ 9 2 6 4

7 7 5 58 : 8 3 .3A = −

2/

( ) ( )

3 1 3 4

03 2

2 .2 5 .5

10 : 10 0,25B

− −

− −

+=

−

3/ ( )4

2 3

5 45 0,2C

−− = +

4/

1 3

3 50,75 1 1

81125 32

D

− −

− = + −

5/ ( ) ( )1 2 2

2203 3 30, 001 2 .64 8 9E

− −

= − − − + 6/ 2 3 5 52 .8F −=

n sốa

Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.comwww.MATHVN.comwww.MATHVN.comwww.MATHVN.com Phân lo i và ph ng pháp gi i toán 12

- 2 - www.mathvn.comwww.mathvn.comwww.mathvn.comwww.mathvn.com Ch ng II. Hàm s m Hàm s l y th a Hàm s Logarit

7/ 2

3 43. 3 : 3G =

8/ 2 7

2 7 1 7

10

2 .5H

+

+ +=

9/ ( ) ( )2

1,530, 04 0,125I

− −

= − 10/ ( )0,75 5

21

0,2516

J

−− = +

11/

( ) ( )4

0,75 23 1,53

5 49 2 6 4 5 3

7 7 5 5 2 4

1 1. 0,04 0,125

16 8

8 : 8 3 .3 . 5 0,2

K

−−

− −

− −

−

+ −

= − +

12/

1 9 1 321 1 4 4 2 22 2

1 5 1 1

4 4 2 2

1 2 : .b b a a b b

L a ba a

a a b b

−

−

− − = − + − − − −

13/ 4 1 1 1 1

3 6 33 3 2 3 6: : . . . :M a a a a a a a a a = +

14/ ( )3 5

3 2 1 2 4 2 2 1 2 2 2 1 2 2

2 5 1 5

64 .2 .2 : 25 5 .5

2 .3N

++ − −− + −−

+ +

= + −

15/ 2

3 43. 3 : 3O =

16/ ( )3 32 2 1

6 6 6

3 3 3 332 2 2 22

a b ab a bP a b a

a ab b a b

− − + = − − +

− + −

Bài 2. Hãy so sánh các cặp số sau:

1/ 34− và 24− 2/ 32 và 1,72 3/ 22− và 1 4/ ( )1

0,013−

và 1

5/

1,4

1

2

và

2

1

2

6/

1

9

π và

3,14

1

9

7/

2

1

3

và

3

1

3

8/ 3 10 và 5 20

9/ 4 5 và 3 7 10/ 17 và 3 28 11/ 4 13 và 5 23 12/ 54 và 74

13/ ( )2

0,01−

và ( )2

10−

14/

2

4

π và

6

4

π 15/ 2 35− và 3 25− 14/ 3005 và 3008

15/ ( )3

0,001−

và 3 100 16/ 24 và ( )2

0,125−

17/ ( )3

2−

và ( )5

2−

18/

4

4

5

−

và

5

5

4

19/ 100,02− và 1150 20/

5

2

2

π và

10

3

2

π 21/

2

3

5

−

và

2

2

2

−

22/ ( )1

43 1− và ( )2

23 1−

Bài 3. So sánh hai số ,m n nếu:

1/ 3,2m < 3,2n 2/ ( )2m

> ( )2n

3/ 1

9

m

và 1

9

n

4/ 3

2

m

> 3

2

n

5/ ( )5 1m

− < ( )5 1n

− 6/ ( )2 1m

− < ( )2 1n

−

Bài 4. Có thể kết luận gì về cơ số a nếu:

1/ ( ) ( )2 1

3 31 1a a− −

− < − 2/ ( ) ( )3 1

2 1 2 1a a− −

+ > + 3/

0,2

21a

a

− <



4/ ( ) ( )1 1

3 21 1a a− −

− > − 5/ ( ) ( )3

242 2a a− > − 6/

1 1

2 21 1

a a

− >

7/ 3 7a a< 8/ 1 1

17 8a a− −

< 9/ 0,25 3a a− −< Bài 5. Đơn giản các biểu thức sau:

1/ ( ) ( )3 2

3 7 2 71 . . . 7 .

8 7 14A

= − − − − − 2/

( ) ( )

( ) ( )

2 64

6 42

3 . 15 .8

9 . 5 . 6B

− −=

− −

3/ 3 2

2 34 8C = + 4/

2

3 5

232D

− =

5/ ( ) ( )

( ) ( )

7 34

4 5

18 .2 . 50

25 . 4E

− −=

− − 6/

( ) ( )

( )

3 36

42

3

125 . 16 . 2

25 . 5

F− −

= −

7/ ( )

( ) ( )

23 1 3 4

0 33 2 2

2 .2 5 .5 0,01

10 : 10 0,25 10 . 0,01

G

−− −

−− − −

+ −=

− +

8/ 1 1 1 1 1

3 3 3 3 34 10 25 2 5H = − + +

9/

435 4

3

4. 64. 2

32I

= 10/

5 5 5

23 5

81. 3. 9. 12

3 . 18. 27. 6

J =

Bài 6. Viết các biểu thức sau với dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

1/ ( ) 4 32. , 0A x x x= ≥ 2/ ( ) 5 3. , , 0b a

B a ba b

= ≠ 3/ 5 32. 2 2C =

4/ 3 32 3 2. .

3 2 3D = 5/

4 3 8E a= 6/ 5 2

3

b bF

b b

=

Bài 7. Đơn giản các biểu thức sau:

1/

1,5 1,50,5 0,5

0,50,5 0,5

0,5 0,5

.2.

a ba b

ba bAa b a b

+−

+= +− +

2/ 0,5 0,5 0,5

0,5 0,5

2 2 1.

12 1

a a aB

aa a a

+ − + = − −+ +

3/

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

21 1

2 2

3 3.

2

x y x y x yC

x yx y

+ − − = + − −

4/

1 1 1 1 3 1

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

2.

x y x y x y yD

x y x yxy x y xy x y

− + = + − + − + −

5/ 1 2 2 1 2 4

3 3 3 3 3 3.E a b a a a b = − + +

6/ 1 1 1 1 1 1

4 4 4 4 2 2. .F a b a b a b = − + +



7/

1 1 1

2 2 2

1 1

2 2

2 2 1.

12

a a aG

aa a a

+ − + = − − +

8/ ( )

( )( )

11 2 2 2

2

11

. 12

a b c b c aH a b c

bca b c

−−

−

−−

+ + + − = + + + − +

9/ 3 3

6 6

a bI

a b

−=

− 10/

4

:ab ab b

J aba ba ab

− = − − +

11/

442

2

42

a x x aK a x a x

a x ax

+ = − + + + 12/

3 32 2

3 3 3 332 2 2 26

6 6

2

a x ax a x

a x a ax xL xa x

+ −+

− − += −−

13/

3

4 43 3

4 4

1 1

1 1

x x xM

x xx x

x x

− = − + − − − +

14/ 3 3 33 3 2 2 2 2

3

3 33 32

2:

a a a b a b a b abN a

a ba ab

− + − = +

−−

15/

53 3

2 55 2102 27.

3. 32 2 .32 3

yO y

y

−

+ = + − +

16/

1 1 1 1

3 3 3 3

1 1 2 1 1 2

3 3 3 3 3 3

8 2

62 4 2

b a a b a bP

a b a a b b− − − − −

− − = + − + +

17/

32

1 123

4 4

3 8 3:

a b aQ a b

b a a b

= + +

18/ ( ) ( )

1

2 21

12

12 1

4

a bR a b ab

b a

− = + + −

Bài 8. Giải các phương trình sau:

1/ 54 1024x = 2/

1

5 2 8.

2 5 125

x+ =

3/ 1 3 18

32x− =

4/ ( )2

2 13 3

9

xx

− =

5/ 2 8 27

.9 27 64

x x− =

6/

2 5 6

31

2

x x− + =

7/ 2 81 0,25.32

0,125 8

x

x

−

− =

8/ 0,2 0, 008x = 9/

3 7 7 3

9 7

49 3

x x− − =

10/ 5 .2 0, 001x x = 11/ ( ) ( ) 112 3

6

x x

= 12/ 1 1 17 .4

28x x− − =

Bài 9. Giải các bất phương trình sau:

1/ 0,1 100x > 2/ 310, 04

5

x >

3/ 100

0, 39

x >

4/ 27 . 49x+ 5/

2

1 19

3 27

x+ <

6/ 1

39 3

x <

7/ ( ) 13. 3

27

x

> 8/ 1 127 .3

3x x− < 9/ 3

12 1

64

x >



Bài 10. Giải các phương trình sau:

1/ 22 2 20x x++ = 2/ 13 3 12x x++ = 3/ 15 5 30x x−+ =

4/ 1 14 4 4 84x x x− ++ + = 5/ 24 24.4 128 0x x− + = 6/ 1 2 14 2 48x x+ ++ =

7/ 3.9 2.9 5 0x x−− + = 8/ 2 5 63 1x x− + = 9/ 14 2 24 0x x++ − =



Bài 2: LOGARIT

� 1. Kiến thức cơ bản

a/ Định nghĩa

� Với 0, 1, 0a a b> ≠ > ta có: logab a bαα= ⇔ = . Chú ý: log

ab

có nghĩa khi

0, 1

0

a a

b

> ≠ >

� Logarit thập phân: 10

lg log logb b b= =

� Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln loge

b b=

b/ Tính chất

Cho 0, 1a a> ≠ và , 0b c > . Khi đó:

Nếu 1a > thì log loga ab c b c> ⇔ > Nếu 0 1a< < thì log log

a ab c b c> ⇔ <

� log 1 0a

= � log 1aa = � log b

aa b= � log

ab

a b=

c/ Các qui tắc tính logarit

Cho 0, 1a a> ≠ và , 0b c > . Ta có:

� ( )log . log loga a a

b c b c= + � log log loga a a

bb c

c

= −

� log . loga ab bβ

β= � 2log 2 loga ab b=

d/ Các công thức đổi cơ số

Cho , , 0a b c > và , 1a b ≠ . Ta có:

� log

log log . log loglog

a

b a b a

a

cc b c c

b= ⇒ = �

1log

loga

b

ba

= , ln

loglna

bb

a=

� ( ) 1

log . log , 0aa

b bβ

ββ

= ≠ �

1log log

a

a

b b= −

1

log1 1

log log

ab

a b

c

c c

=

+

� log logc a

b ba c=

2. Bài tập áp dụng

Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:

1/ 2 1

4

log 4. log 2A = 2/ 5 27

1log . log 9

25B = 3/

3log

aC a=

4/ 32log 2log 3

4 9D = + 5/ 2 2

log 8E = 6/ 9 8log 2 log 27

27 4F = +

7/ 3 4

1

3

7

1

log . log

loga a

a

a aG

a= 8/

3 8 6log 6. log 9. log 2H = 9/ 3 81

2 log 2 4 log 59I

+=



10/ 3 9 9log 5 log 36 4 log 7

81 27 3J = + + 11/ 75log 8log 6

25 49K = + 12/ 53 2 log 4

5L−

=

13/ 6 8

1 1

log 3 log 49 4M = + 14/ 9 2 125

1 log 4 2 log 3 log 273 4 5N

+ −= + +

15/ ( ) ( ) ( )0 0 0lg tan1 lg tan2 ... lg tan89P = + + + 16/ ( ) ( )8 4 2 2 3 4log log log 16 . log log log 64Q =

17/ ( )35 log 2

33 log log28R = + 18/ 3

1 1 1

3 3 3

12 log 6 log 400 3 log 45

2S = − +

Bài 2. Thực hiện phép biến đổi theo yêu cầu bài toán.

1/ Cho 12

log 27 a= . Tính 6

log 16 theo a .

2/ Cho 2

log 14 a= . Tính 49 7

log 32 và 49

log 32 theo a .

3/ Cho 2 2

log 5 ; log 3a b= = . Tính 3

log 135 theo ,a b .

4/ Cho 15

log 3 a= . Tính 25

log 15 theo a .

5/ Cho log 3ab = . Tính

3

logb

a

b

a

6/ Cho lg 3 0, 477= . Tính ( )81

1lg 9000; lg 0, 000027 ;

log 100.

7/ Cho log 5ab = . Tính log

ab

b

a

8/ Cho 7

log 2 a= . Tính 1

2

log 28 theo a .

9/ Cho log 13ab = . Tính 3 2log

b

a

ab .

10/ Cho 25 2

log 7 ; log 5a b= = . Tính 3 5

49log

8theo ,a b .

11/ Cho lg 3 ; lg 2a b= = . Tính 125

log 30 theo ,a b .

12/ Cho 30 30


log 1350 theo ,a b .

13/ Cho 14 14


log 28 theo ,a b .

14/ Cho 2 3 7

log 3 ; log 5 ; log 2a b c= = = . Tính 140

log 63 theo , ,a b c .

15/ Cho log 7ab = . Tính

3log

a b

a

b

16/ Cho 27 8 2

log 5 ; log 7 ; log 3a b c= = = . Tính 6

log 35 theo , ,a b c .

17/ Cho 49 2

log 11 ; log 7a b= = . Tính 3 7

121log

8 theo ,a b .

Bài 3. Cho 0, 1a a> ≠ . Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 1

log 1 log 2 ( )a a

a a+

+ > + ∗

HD: Xét ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1

1 1

log 2 log 2 loglog 2 . log

2log 1

a a a

a a

a

a a aA a a

a

+ + +

+ +

+ + += = + ≤

+

( ) ( ) ( ) ( )

2

1 1log 2 log 1

12 2

a aa a a

+ + + + = < = ⇒ (Đpcm).



Bài 4. So sánh các cặp số sau:

1/ 3

log 4 và 4

1log

3 2/ 3

0,1log 2 và

0,2log 0, 34 3/

3

4

2log

5 và

5

2

3log

4

4/ 1

3

1log

80 và

1

2

1log

15 2+ 5/

13log 150 và

17log 290 6/ 6

log 32 và

6

1log

23

7/ 7

log 10 và 11

log 13 8/ 2

log 3 và 3

log 4 9/ 9

log 10 và 10

log 11

HD: 4/ CM: 1 1

3 2

1 1log 4 log

80 15 2< <

+

5/ CM: 13 17

log 150 2 log 290< <

7/ Xét 7 7 7

7 11

7

log 10. log 11 log 13log 10 log 13

log 11A

−= − =

7 7 7

7

1 10.11.7 10 11log log . log 0

log 11 7.7.13 7 7

= + >

8/, 9/ Sử dụng Bất đẳng thức ( )∗ bài tập 3. Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa)

1/ log loga ac b

b c=

2/ ( )log log

log1 loga a

ax

a

b xbx

x

+=

+

3/ log . log

log logloga b

a b

ab

c cc c

c+ =

4/ log

1 loglog

a

a

ab

cb

c= +

5/ ( )1

log log log ,3 2c c c

a ba b

+= + với 2 2 7a b ab+ =

6/ ( ) ( )1

log 2 2 log 2 log log ,2a a a a

x y x y+ − = + với 2 24 12x y xy+ =

7/ ( )a3 1

lg lg lg4 2

ba b

+= + , với 2 29 10a b ab+ =

8/ ( ) ( ) ( ) ( )

log log 2 log . logb c c b c b c b

a a a a+ − + −

+ = với 2 2 2a b c+ =

9/ ( )

2 3 4

11 1 1 1 1...

log log log log log 2 logka aa a a a

k k

x x x x x x

++ + + + + =

10/ log . log . log

log . log log . log log . loglog

a b C

a b b c c a

abc

N N NN N N N N N

N+ + =

11/ 1

1 lg10 zx −= với 1

1 lg10 xy −= và 1

1 lg10 yz −=

12/ 2 3 2009 2009 !

1 1 1 1...

log log log logN N N N+ + + =



13/ log log log

log log loga b a

b c c

N N N

N N N

−=

− với , ,a b c lần lượt theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân.

Ham So Mu - Logarit (Rut Gon)

Documents

Transcript of Ham So Mu - Logarit (Rut Gon)