Hajnal Imre Matematikai_fogalmak_tetelek
Transcript of Hajnal Imre Matematikai_fogalmak_tetelek
• s* r w a s ^
Hajnal Imre
Matematikaifogalmak,tételekNyolcadik kiadás
P-l£:5matikai roga'nak, telol5k : h a jja l !nre :
137366
Mozaik Kiadó >> Szeged, 2000
Szerző:
HAJNAL IM R E
Lektorálták:
DR. SZENDREI JÁNOS
DR. URBÁN JÁNOS
DR. SCHARNITZKY VIKTOR
A z á b rá k a t V assné N ém eth K a ta lin k észíte tte .
Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorsítás, a inű bővített illetve rövidíletl változata kiadásának jogát is. A kiadó írásbeli engedélye nélkül
sem a teljes mű, sem annak része senimiféle formában (fotokópia, mikrofilm, vagy más hordozó) nem sokszorosítható.
MKM ENGEDÉLY SZÁM: 42.675/1993.Vin.ISBN 963 697 145 5
© COPYRIGHT MOZAIK OKTATÁSI STÚDIÓ - SZEGED, 1997
B e v e z e t é s
Ebben a könyvben összefoglaljuk és rendszerezzük a középiskolák matematika törzsanyagát, benne az egyetemi és főiskolai felvételi vizsgák elméleti anyagát. Ez a rendszerezés az egyetemi tanulmányokra készülők mellett azoknak is hasznos, akik bár nem akarnak mélyebben foglalkozni a matematikával, de világosan szeretnék látni ismereteik lényegét és törekednek a matematikai fogalmak, definíciók, állítások, tételek közötti logikai rend megértésére.
A matematikai sajátosságok, a matematikai gondolkodás elemeinek a megvilágftása és azok összefoglalása jól alkalmazható szilárd tudást nyújtanak. Ez elősegíti a sikeres érettségi, illetve felvételi vizsgát, amellett a mindennapok matematikájában is eligazít.
Ebben a bevezető fejezetben azokról az alapvető fogalmakról lesz szó, amelyek a matematikával való foglalkozás közben nap mint nap előfordulnak, de éppen a látszólagos egyszerűségük és hétköznapiságuk miatt nem szánunk kellő időt a végiggondolásukra. Ezek tudatos megértése azonban segíti azt, hogy a különböző fogalmakat ne csak azért használjuk, mert „ezt kell megtanulnunk”, hanem saját magunktól is ráérezzünk a lényegülo^. A tanulás során ezzel nemcsak időt nyerünk, hanem egy- egy összefüggés felismerése is élményt jelent.Célunk a könyv módszerét is meghatározza. A fejezetek anyagát tömören foglaltuk össze. Az egyes anyagrészek bevezetése egy-két mondat. Arra a kérdésre, hogy mi indokolja a témával való foglalkozást és új fogalmak bevezetését, a részletes választ a tankönyvek adják meg.A könyv szerkezeti felépítését a tartalomjegyzéke világosan mutatja. Az egyes fejezetcímek meghatározzák a fejezet anyagát. így például a VII. fejezetben a függvényekkel foglalkozunk, ebben tárgyaljuk az exponenciális, a logaritmus és a trigonometrikus függvényeket is, holott ezek az V. illetve a XVII. fejezethez is kapcsolódnak. (Többféle kapcsolat más témánál is előfordulhat.)A könyv mindössze néhány megoldott feladatot tartalmaz, annyit, amennyi a fogalmak, tételelc vagy eljárások megéjtéséhez feltétlenül szükséges. Az ismeretek biztos alkalmazásához azonban kellő gyakorlat is kell, ezt további feladatok megoldásával lehet elérni.
BEVEZETES
Jelölések, olvasásuk
A matematikával való foglalkozás kezdetén megismertünk és megszoktunk néhány jelölést és néhány szakkifejezést. Már természetesnek tekintjük, hogy számokat betűvel jelölhetünk, azt is, hogy például az1 és a 3 összehasonlításakor l<3-at írunk, amit így olvasunk: „1 kisebb mint 3” vagy „1-nél nagyobb a 3”. A <, >, = jelek könnyen érthetők. Tudnunk kell, hogy a jelek, jelölések mögött fogalmak, definíciók, utasítások vannak. Az összetett kifejezéseket - ha lehetséges - a definíciók fel- használásával, az utasítások végrehajtásával ajánlatos lépésről-lépésre egyszerűbbekké átalakítanunk. Gyakran többféle is lehet a lépések sorrendje. Közülük a céljainknak legmegfelelőbbet (a leggazdaságosabbat) érdemes választanunk.
Példaként tekintsük a 2 ’ - 2 kifejezést Elsőként azt kell felismernünk, hogy ez az alak kénényezős szorzat. A továbbiakban kétféle m ódon dolgozhatunk tovább:
a) A szorzat mindkét tényezője pozitív egész kitevőjű hatvány. Ezek definíciója szerint: 2^=2 • 2 • 2=8,2® =32. A felírt szorzat: 8 • 32=256.
b) A szorzat mindkét tényezője hatvány és alapjuk azonos. A z azonos alapú hatványok szorzatára bizonyítottunk egy állítást (tételt), azt, hogy a szorzat egyenlő a közös alapnak a kitevők összegére em elt hatványával. Ezt alkalmazva: 23-2^ = 2^+^=2®. Ez a hatvány a p o zitív egész kitevőjű hatványok definíciója szerint: 2®=256.
A jelölések értelmét közérthető szavakkal is pontosan kell megfogalmaznunk. Néhány példa már megmutatja, hogy gondosan kell ügyelnünk szavaink értelmére.
1. Az lízi S3 jelölés azokat a számokat jelenti, amelyekre fennáll a -3^íz^3 egyenlőtlenség. Azt is mondhatjuk, hogy ezek nagysága legalább -3 és legfeljebb J, vagy azt, hogy ezek a számok nem kisebbek -3-nál és nem nagyobbak 3-nál.
2. A 2< | & I felírás azokat a számokat jelenti, amelyek eleget tesznek a £><“ 2 vagy a 2<b egyenlőtlenségnek, azaz azokat a számokat jelenti,amelyek kisebbek -2-nél vagy nagyobbak 2-nél.
3. Az lS c < 4 egyenlőtlenség azokat a számokat jelenti, amelyek nagysága legalább 1 és kisebbek 4-nél. Ezekre azt is mondhatjuk, hogy nem kisebbek 1-nél és kisebbek 4-nél.
A példák mutatják, hogy gondot kell fordítanunk a különböző értelmű Jegfeljebb”, JegaJább”, valamint a ,Jcisebb”, ,/iem nagyobb”, „nagyobb", „nem kisebb” szavak helyes használatára. Ezeket a szavakat a matematikában is az anyanyelvi jelentésüknek megfelelően használjuk. Értelmüket a számegyenesen az 1. ábra szemlélteti, amelyen jelöljük azo-
BEVEZETES
0
kát a valós számokat, amelyek a) kisebbek mint 2 ,b ) nem nagyobbak mint2, c) nagyobbak mint 2, d) nem kisebbek mint 2. A Jegfeljebb 2” a £>)-nek felel meg a „legalább 2” a rfj-nek.
Az és, valamint a vagy kötősza- „vak használata nagy figyelmet kíván. Egy következő fejezetben, a matematikai logika alapjaiban, külön is foglalkozunk a velük értelmezett logikai műveletekkel.
Ismereteink alapján természetes kérdésként fogalmazzuk me& hogy az 1) iái á3 , 2) 2 < té l,3) l s e <4 egyenlőtlenség milyen számokra vonatkozik: Valós számokra, vagy csak egész számolaa, vagy racionális számokra? Valós számokra gondolva, a megfelelő számokat a 2. ábra számegyenesein szemléltettük. Ha az előző három egyenlőtlenségnek eleget tevő egész számokat keressük, akkor az azoknak megfelelő különálló pontokat a 3. ábra mutatja.
a )-
b)-
cj- d)-
0
1. ábra
D 01 3 1 i -4 - 3 - 2 - [ 0 1 2 3 4
0 . .i .. 2 31 c—
*■/
■’l - -5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 -11 O--- f
1---0
—t—1 4 - 4 -3 -2 -1 0
—1 _1 2 3
- A -4 5
2 ábra 3. ábra
A számokra vonatkozó feltételeket az egyenlőtlenséggel (vagy más kifejezéssel) együtt ajánlatos megadnunk. Ehhez célszerű megállapodnunk valamilyen egyszerű és rövid, de egyértelmű kifejezés- és jelölésmódban. Tudjuk, hogy erre nagyon alkalmas a halmaz fogalma, valamint a halmazokkal kapcsolatos jelölésmódok.
Lehetséges, hogy az előző egyenlőtlenségekhez (vagy más kifejezéshez) valamilyen problémával kapcsolatban jutottunk. Ekkor ez a probléma meghatározza azt, hogy milyen számokra kell gondolnunk: csak egész számokra, vagy racionális, vagy valós számokra, vagy pozitív számokra, vagy nemnegatív egész számokra stb. Ha nincs semmi olyan szempont, amely a számokra feltételt szabna, akkor valós számokra gondolunk. A valós számok halmaza az a legbővebb számhalmaz, amellyel a középiskolai matematika anyagban foglalkozunk.
BEVEZETES
Fogalmak - állítások (alapfogalmak, defíníciók - axiómák, tételek)
A matematikai ismeretek rendezését megkönnyíti, ha néhány példával megvilágítjuk a fogalmakat és értelmezésüket, valamint az ezekre vonatkozó állításokat.A ) K legegyszerűbb fogalmakról is világos képet kell kialakítanunk, az
összetettebbeket pontosan kell értelmeznünk, definiálnunk kell.Példaként tekintsük a következőket:a) A pont, az egyenes olyan fogalmak, amelyeket a környezetünkben
lévő tárgyak érzékelhető tulajdonságaiból (például a tű hegyéből; a gondolatban kifeszített és meghosszabbított vékony drótból;.,,) elvonatkoztatással, absztrakcimal alakítottunk ki.
ö) Az la I jel az ö szám abszolútértékét jelöli. Ennek értelmezéséhez már ismernünk kell a pozitív szám, a 0, a negatív szám fogalmát. Az |ű | definíciója;
(ö, ha 0 S ű
-a , had < 0
Ez - anyanyelvűnk közhasználatú szavaival - azt Jelenti, hogy bármely nemnegatív szám abszolútértéke önmaga, negatív szám abszolútértéke pedig a szám ellentettje. A definíció szerint például: 171=7, 101 =0, | - 5 | - ~ ( - 5 ) = 5.
Az a) alatti példák mutatják, hogy vannak fogalmak, amelyek alapvető- ek és annyira egyszerűek, hogy ezeket nem tudjuk egyszerűbb fogalmak segítségével értelmezni, vagy nem érdemes arra törekednünk, hog)' ezeket egyszerűbb fogalmakra vezessük vissza. Ilyen például a sík, az illeszkedés, a halmaz, .... fogalma is. Ezeket a fogalmakat tapasztalataink, megfigyeléseink után elvonatkoztatással alakítjuk ki. Az ilyen fogalmakat nem értelmezzük, nem definiáljuk, ezeket alapfogalmaknak tekintjük.
A b) alatt említettük a számok abszolútértékét. Ezt a fogalmat már értelmeznünk, definiálnunk kellett. A hatványfogalomhoz is definíciókat kell megadnunk. Definiáljuk a kört, parabolát, ... is és még nagyon sok más fogalmat is. Definícióval egy-egy lijabb fogalmat korábban megismert fogalmak segítségével értelmezünk.B) A fogalmak között kapcsolatokat találhatunk. Rájuk vonatkozó igaz
állításokat fogalmazhatunk meg. Közülük eg)'eseket közvetlen tapasz-
8
BEVEZETES
talataink alapján is felismerhetünk, másokhoz logikus gondolkodással, több lépésből álló helyes következtetésekkel juthatunk.Példaként tekintsük a következőket:a) A pontokat és az egyeneseket vizsgálva azt tapasztalhatjuk, hogy
két pontra egyetlen egyenest illesztíietünk. Ez olyan állítás, amelyet igaznak fogadhatunk el. Ezt az állításunkat senki sem tudja megcáfolni, mindenki számára hihető, következményei nem vezetnek ellentmondáshoz. Bizonyításával hiába próbálkoznánk, ha erőltetnénk, akkor az csak más szavakkal történő körülírás lenne. A ,^ é t pontra egyetlen egyenes illeszthető” állítás tömör, könnyen érthető. Ezt és az ehhez hasonló igaz állításokat alaptételeknek nevezzük, a matematikában azonban megszokottabb az axióma elnevezés.
<x = ex.
4. ábra 5. ábra
A középiskolában axiómáknak tekintjük az egyállású, illetve a váltószögekre (4. ábra) vonatkozó igaz állításokat: „Az egyállású szögek egyenlő nagyságúak”, illetve „A váltószögek nagysága egyenlő”. (Könnyen sorolhatnánk további axiómákat is.)b) Tekintsük a háromszög belső szögeit (5. ábra). Az ábrán látható /3
és f3’ váltószög, 7 és 7 ’ egyállású szög. Az előbb említett axiómák szerint /3 = j3’ és 7 = 7 ’, ezért az A csúcsnál lévÖ egyenes szög: a+0' + y’ = a+ ^ + y= í8 (f. így axiómák felhasználásával, logikai úton jutottunk el egy igaz állításhoz: „A háromszög belső szögeinek összege 7S0"’. Ezt az igaz állítást tételnek nevezzük, azt a gondolatmenetet amellyel ehhez az igaz állításhoz jutottunk, a tétel bizonyításának.A z elmondottakat röviden összefoglaljuk:A matematikában szereplő fogalmak közül az alapfogalmakat, tapaszta
lataink alapján, absztrakcióval alakítjuk ki, másokat definiálunk.A z axiómák a fogalmakra vonatkozó egyszerű, igaz állítások. Hogy mit
tekintünk axiómáknak, azt akkor lehet eldöntenünk, ha a témakörből már jelentős ismereteink vannak és az ismereteket rendszerezzük. Egy témakör ismereteinek rendszerezése többféle axiómarendszer alapján is történhet. (A középiskolában alapul vett axiómarendszer jóval bővebb, mint amelyet az igényes és szigorú matematikai tárgyalás kíván.)
A z axiómákból kiindulva - hefyes következtetésekkel - további igaz állításokhoz juthatunk Ezeket tételeknek nevezzük, azt az eljárást pedig, amelyekkel ezekhez eljutunk, a tétel bizonyításának mondjuk.
A z alapfogalmak, definíciók - axiómák, tételek tudatos megkülönböztetése segíti a matematikai ismeretek közötti eligazodást. (Ezt a tagolást azonban nem szabad mereven tekintenünk.)
BEVEZETES___________________________________________________
Megjegyzések; L A tételek megfogalmazásánál azt kellene mondanunk, hogy ez a tétel
igaz, lia a l^izonyításánál felhasznált... tétel igaz, ez pedig igaz, ha a ... tétel is ig a z ,..., ez pedig igaz, ha az ... axiómák igazak. - Ezt a hosszú indoklást azonban nem érdemes (sőt felesleges is lenne) mindig m egfogalmaznunk. Csupán azért említettük, mert ez rámutat a helyes szemléletre.
n . A geometriában az ismeretek ilyen rendszerezését először Euklidész i.e. 300 körül végezte el. Az általa bevezetett axiómarendszerrel kapcsolatban a XIX. században kérdések merültek fel. Ezek vezették Bolyai Jánost, N.I. Lobacsevszkijt arra a gondolatra, hogy kidolgozzanak egy nemeuldidészi geometriát. A geometria axiómarendszerét, a mai matematikai gondolkodásnak m egfelelően D. Hilbert dolgozta ki a XIX. század legvégén.
i n . Egy-egy fogalmat különböző módon megfogalmazva is definiálhatunk. Egy témakör kiilönbözö mélységű tárgyalásmódjánál az alapfogalmak között különbségek is adódhatnak. Megtörténhet, hogy egy témakör részletesebb és mélyebb tárgyalása esetén egyes fogalmakat már nem alapfogalmaknak tekintünk, hanem definiáljuk. Ezeket a megjegyzéseinket egy-egy példával megvilágítjuk:
1. Tekintsük a paralelogrammákat.
a) Megszokott definíciójuk: Paralelogrammák o2 ok a né^’szögek, am elyeknek két-kéf oldaluk párhuzamos.
Ebből a definícióból kiindulva bizonyíthatjuk a következő tételt is: A paralelogrammák kél átlója felezi egymást.
Megtehetjük azonban azt is, hogy az előzőtől eltérő szövegezésű definícióval értelmezzük a paralelogrammát.
b) Definícid: Paralelogrammák azok a négyszögek, amelyeknek a két átlója fe le d egymást.
Ebből a definícióból kiindulva bizonyíthatjuk, hogy a paralelogramm ák szem közti oldalai párhuzamosak.
Mindkét definíció egyértelműen határozza meg a paralelogrammákat. Azt mondjuk, a paralelogrammákra adott előző két definíció ekvivalens. Közülük az elsőt gyakrabban használjuk, mert az szem léletesebb. Egy paralelogranmiára ránézve szembetűnőbb az, hogy a szemközti oldalai párhuzamosak, mint az, hogy átlóik felezik egymást.
10
2 . Tekintsük két pont távolságát.
a) A z és -ö pontok távolságát, az A B szakasz hosszát - amelyet d(A, B)-veI jelölünk - a középiskolai tárgyalásmódban alapfogalom nak tekintjük.
Részletesebb, - a középiskolainál alaposabb - tárgyalásmódban két pont távolságára deji/tídót fogalmazhatunk wiej.
___________________________________________ BEVEZETES
b) H a választunk egy hosszúságegységet, akkor bármely .4 és fi (A ^B ) pont távolságán, azaz az A B szakasz hosszmértékén olyan pozitív számot értünk, amelyre teljesül a következő két feltétel;a) egybevágó szakaszok mértéke egyenlő, b) egy AB szakasz mértéke egyenlő a C ponttal felbontott két szakasz, az^ lC és CB szakaszok mértékének az összegével (6. ábra).
E zek a megjegyzések azonban csak azok számára érdekesek, akik későbbi tanulmányaik során a matematika alapjaival is foglalkoznak.
Az előzőekben néhány példával rámutattunk arra, hogy a legegyszerűbb matematikai ismeretekhez is újabb és újabb kérdések kapcsolódnak. Ezt természetesnek kell tekintenünk és törekednünk is kell arra, hogy gondolkodásunk mozgékony legyen.
Egy-egy matematikai probléma tisztázásának az a legjobb módszere, ha lényegre mutató kérdéseket fogalmazunk meg és azokra megfelelő válaszokat keresünk. Ezeket a kérdéseket szinte láncszerűen kapcsolhatjuk egymáshoz. Lehetséges, hogy a probléma tisztázásához szükséges kérdésválasz gondolatsort nem találjuk meg azonnal. Arra is készen kell állnunk, hogy a megkezdett, de eredménytelennek mutatkozó elgondolást megszakítsuk, helyette új utat keressünk és arra is, hogy az egyik kérdésre adandó válaszhoz egy külön út vezet. Ha a kiinduló kérdés után lépésről- lépésre egyszerűbb ismeretekre vonatkozó kérdéseket tudunk megfogalmazni és azokra megfelelő választ adni, akkor a problémát tisztázhatjuk.
Ez a módszer feladatok megoldásánál is célravezető.Példaként tekintsük a következő egyenlet megoldását:
|:t+2 |)= 0.
A megoldáshoz vezető egyik gondolatsor;
II
Átalakítással új alakra hozzuk az egyenletet? Megtehetnénk, de az új alak nem lesz egyszerűbb. M i a jellemzője a bal oldalon álló kifejezésnek? K éttényezSs szorzat. Hogyan lehet a szorzat 0? H a a tényezői között van 0.
Lehet-e t/i^+4 = 0? Nem, meri x^+4 > O.yí m áiodik tényező lehet-e 0? Két tag összegének kellene 0-nak lennie. A z egyik tag x --4 négyzetgyöke, a másik j;+2-nek az abszolútértéfce. Ezekre m it m ond a definíciójuk? A nemnegatív számok négyzetgyöke olyan nemnegatív szám a számok abszolút ért éke is nemnegatív szám. Ennek a két tagnak az összege hogyan lehet 0? Csak úgy, ha mindkettő 0. A z első tag m ikor lesz 07 H ax^ -4^ 0 , azaz x = - 2 vagy x = 2 . A második tag m ikor lesz 0? H a x+ 2-Q , akkor x - ~ 2 . A z x = - 2 valóban kielégíti az egyenletet? Igen, akkor 0 = 0 .A z x = - 2 a z egyetlen gyök?
Igen, mert más számnál ^x'^-4+ \x+2 \ /O .
A z egyenletnek egyetlen gyöke van, ez x = -2 .
E z a gondolatsor leírva hosszúnak tűnik, de végiggondolásához kevesebb idő kell, mint elolvasásához.
Akiben kitartó munkakedv és tudásvágy van, az hozzáértő szakmai vezetés mellett hamar felismeri a matematikai gondolkodás sajátos vonásait. Megszokja, hogy az ismereteket ne elszigetelten, önmagukban nézze, hanem az összefüggéseket keresse, ha kell akkor a felmerült problémát bontsa fel részeire. Közben gondolkodókészsége, memóriája fejlődik. Magától talál új utakat ismeretei bővítésre, szokatlan feladatok megoldására.
BEVEZETES____________________________________________________
12
I. H a l m a z o k , h a l m a z m ű v e l e t e k
A gömbfelület legegyszerűbben megfogalmazott definíciója: azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek egy adott ponttői azonos távolságban vannak. A halm az fogalm a megkönnyítheti mondanivalóink megfogalmazását.
Megtörténhet, hogy adott halmazokból valamilyen feltételnek m egfele lő újabb halmazhoz jutunk. Például: A 2 az egyetlen páros szám, amely prímszám. Azt mondjuk, hogy a páros számok halmazának és a prímszámok halmazának közös része a { 2 } .B t o r ^ s feltételeknek megfelelő halm azok keresését halmazok közötti műveletnek nevezzük.
A halmazzal kapcsolatos fogalmakat, jelöléseket, a halmazok megadását tisztáznunk kell. Értelmeznünk kell a halmazműveleteket és tudatosan is ismernünk kell e műveletek tulajonságait.
Fogalmak, halmazok megadása
A halmaz fogalmát körülírhatjuk (más szóval pl. sokaságnak nevezhetnénk), példákkal megvilágíthatjuk, de nem tudjuk definiálni.A) A ,Jialmaz” és az „elem” alapfogalom. Egy halmazban minden eleme
csak egyszer szerepelhet. Egy halmazt általában nagy betűvel jelö-, lünk, az elemeit kapcsos zárójelbe tesszük.
B) a) Ha egy halmaznak véges sok eleme van, azaz, ha egy természetesszámmal megadhatjuk az elemeinek a számát, akkor azt véges halmaznak mondjuk.Véges halmaz az is, amelynek egyetlen eleme sincs, azaz elemeinek a száma 0. Ezt üres halmaznak nevezzük, jele; 0, vagy {}. (Megjegyezzük, hogy a {0} egyelemű halmaz, mert egyetlen eleme van, ez a 0 szám.)
öj Ha egy halmaznak végtelen sok eleme van, azaz ha az elemeinek a számát természetes számmal nem adhatjuk meg, akkor azt végtelen halmaznak mondjuk. Ilyen például: 4 = {pozitív egész számok}, B = {pozitív páros számok}.
13
HALMAZOK, HALMAZMŰVELETEK
C) Egy halmazt úgy adhatunk meg, hogya) megadunk egy olyan utasítást, amely alapján bármiről egyértelmű
en eldönthetjük, hogy eleme-e a halmaznak, vagy nem eleme. Például; C= {az egyjegyű prímszámok}, 5€C , 6^ C stb.
b) véges halmazok elemeit felsorolhatjuk. Pl.: C = {2; 3; 5; 7}.D) A halmazokat szemléletessé tehetjük az ú.n. Venn-diagramokkal.
(Ezek Venn matematikus után kapták a nevüket.) A diagram csak jelképezi a halmazokat. A Venn-diagram egy-egy síkidom (gyakran körlap), egyaránt jelképezhet végtelen vagy véges halmazt (7. ábra).
B = {pozitív páros számok} C - {2; 3; 5; 7}
7. ábra
E) Értelmeztük két halmaz egyenlőségét: Két halmazt akkor és csak akkor tekintünk egyenlőnek, ha az egyik halmaz elemei a másik halmaz elemeivel azonosak, azaz az Aí és az halmaz akkor és csak akkor egyenlő, hO-X^M esetén azxSA/' is teljesül és ha_yíM, akkor AT is igaz.
A b)
A ^ H
H
( S >A C H
8. ábra
F) Bevezettük a részhalmaz és a valódi részhalmaz fogalmát.űj A z ^ halmazt a H halmaz részhalmazának nevezzük, ha a z ^ hal
maz minden eleme a H halmaznak is eleme. Jelölése: A ^ H . (A definíció szerint b á r m e ly i í h a lm a z n á l és H qH .)
b) A z A halmazt a H halmaz valódi részhalmazának nevezzük, ha az A ( ^ 7 0) halmaz részhalmaza a H halmaznak, de nem egyenlő vele. Jelölése: A cH . (8, ábra)
14
HALMAZOK, HALMAZMŰVELETEK
Példa: Legyen: D = {3; 4; 5}, £ = {3; 4}, í ’-{3; 4; 5}. A definíciók értelmében: D ^F , E cF . (Természetes, hogy fennáll: D=F és helyes az E q F felírás is.)
Megjegyzés: Más jelölés is használatos. A részhalmaz jelölésére szokás az A c H , a valódi részhalmazra az jelölés is.
Halmazműveletek
A halmazműveletek közül - középiskolában - a legfontosabb hárommal foglalkozunk:
Unióképzés
Két (vagy több) halmaz uniójának nevezzük azoknak az elemeknek a halmazát, amelyek a két (vagy több) halmaz közül legalább az egyiknek e/emej. Az unióképzés Jele: u .
9. ábra
Az unióképzést halmazok egyesítésének is nevezzük, a halmazok unióját a halmazok Összegének is mondjuk. Két halmaz unióját a 9. ábra Venn-diagramja szemlélteti.
A definícióból következik, hogy az unióképzés kommutatív művelet'. A^B=BK}A, ugyanis mindkét sorrendben képezzük is az uniót, az ugyanazt az egyesítést jelenti. Hasonló meggondolásból következik az unióképzés asszociatív tulajdonsága: (A u B )u C = A u(B uC ) =A u B u C . (A zárójel- pároktól független a kifejezés, ezért az el is hagyható.)
Metszetképzés
Két (vagy több) halmaz metszetének nevezzük azoknak az elemeknek a halmazát, amelyek mindkét (vagy valamennyi) halmaznak az elemei. A metszetképzés jele: n .
15
HALMAZOK, HALMAZMŰVELETEK
A halmazok metszetét a halmazok közös részének, vagy szorzatának is nevezzük. Három halmaz közös részét (metszetét) a 10. ábrán Venn- diagrammal szemléltetve láthatjuk.
A definícióból következik, hogy a metszetképzés kommutaiív művelet: ACiB=Br\A, ugyanis mindkét sorrendben képezzük is a közös elemeket, ugyanazokat kapjuk. A metszetképzés asszociatív tulajdonságú művelet: (Ar\B)f^C=Ar\{Br\C)=AriBr\C.
metszetük
10. ábraKét halmaz különbsége
A z ^ és a ő halmaz (ebben a sorrendben tekintett) különbségének nevezzük azoknak az elemeknek a halmazát, amelyek elemei az A halmaznak és nem elemei a B halmaznak. A különbség jelölése: (11. ábra).
11. ábra
16
HALMAZOK, HALMAZMŰVELETEK
KOMPLEMENTERHALMAZ
A 11/b ábrán B c A . A z ott látható y l\ö halmazról „szemléletesen” azt mondhatjuk,hogy az a ő halmazt kiegészíti az A halmazra. Latin nyelven á kiegészítő: „komplementer’', ezért az A \B halmait komplementerhalmaznak nevezhetjük.Definíció: Egy H halmaznak legyen egy részhalmaza az A halmaz. Az A halmaz H halmazra vonatkozó komplementerének (komplementer halmazának) nevezzük a H \A halmazt. Jelölése; 4 : (olvasd: „Az A halmaz H-ra vonatkozó komplementere”). Ha a H alaphalmaz egyértelműen felismerhető, akkor az jelölés helyett a rövidebbZ (olvasd; ,,A felülvonás”) jelet is használjuk.A definícióból azonnal következik: H = 0 , 0 = H, A=A.
Számhalmazokkal gv-akran dolgozunk, ezért néhány számhalmazra egyezményes jelölést vezettünk be;
A természetes számok halmazának jele: IN,az egész .számok halmazának jele; Z,a racionális .számok halmazának jele; Q,a valós számok halmazának jele; R.
A pozitív egész számok halmazának szokásos jelölése: vagy Z Ezzel összhangban a negatív valós számok halmaza: R". stb.
A fogalmak és a halmazműveletek értelmezé,séből következnek: N c Z c Q c R ; IN'^=]N\{0}; Z = Z "u N ; R \Q = {irracionális számok}; az egész számokra, mint alaphalmazra vonatkozóan a természetes számok halmazának komplementere a negatív egész számok halmaza;... stb.
Azoknak az x valós számoknak a halmazát, amelyekre fennáll az a£x^t> egj'enlötlenség, az [ö, b] zárt ínten'allumnak. amelyekre az a<x<b áll fenn, az ]a, b{ nyílt intervallumnak nevezzük.
A halmazokkal kapcsolatos ismeretek nagv'on hasznosak tárgyak osztályozásának szemléltetésénél, segítséget nyújthatnak bizonyos össze- számlálásoknál, függ\’ények értelmezési tartományának, énékkészletének felírásánál,... stb.
paralelogrammák:
tég la lapok
négyzetek
H
1 ^ ' 2 'o
5 / 4 9 )7 X 8 B
12. áb ra 13. ábra
17
HALM AZOK HALMAZMŰVELETEK
Néhány példa:1. A paralelogrammák osztályozását mutatja a 12. ábra.2. Az egyjegyű számok 2-vel, 3-mal való oszthatóságát a 13. ábra
Venn-diagramja szemlélteti. í í= {egyjegyű egész számok}, ^ = {egyjegyű páros számok}, {egyjegj'ű, 3-mal osztható számok}. Az ábráról könnyen leolvashatjuk azt is, hogy hány eleme van az egyes halmazoknak.
3. A háromjegyű számok között hány olyan van, amely nem osztható sem 2-vel, sem 3-mal?
Készíthetnénk a 13. ábrához hasonló Venn-diagramot, de az ábrába nem írhatunk be annyi számot mint kellene. Értelemszerűen a H halmaznak 900, az A halmaznak 450, a B hahnaznak 300 eleme van. A Venn- diagramról látjuk, hogy a í í halmaz elemeinek számából, a 900-ból el kell vennünk az A és a 5 halmaz elemeinek a számát, azaz 450+300-at. Ekkor azonban a z A n B halmaz elemeinek a számát kétszer vettük el. Az n ő nek azok a számok az elemei, amelyek 6-tal oszthatók. Ilyen szám a 900- ból minden hatodik, azaz 150 ilyen szám van. Mivel ezt kétszer vettük el, a kivonás utáni különbséghez hozzá kell adnunk.
Azoknak a háromjegyű számoknak a száma, amelyek sem 2-vel, sem 3-mal nem oszthatók: 900-(450+300)+150=300.
Ezt a gondolatmenetet mindig alkalmazhatjuk, ha egy véges halmazból bizonyos tulajdonsággal nem rendelkező elemeket kell kiválasztanunk, illetve összeszámlálnunk. Ez a módszer - hogy könnyen hivatkozhassunk rá - önálló elnevezést kapott, logikai szitának nevezzük.
4. A3+\Í4-x^ kifejezésnek milyent: értéknél van értelme és azoknál milyen értékeket vesz fel? A kérdés helyett mondhatjuk a következőt: Határozzuk meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, amely az/(jc) = 3+^4-x^ függvény értelmezési tartománya lehet és határozzuk meg az értékkészleté.
Az értelmezési tartománya: -2^JcS2 (mert 0é 4-x^), értékkészlete: 3á/(x)á5 . Ugyanezt megadhatjuk más alakban: értelmezési tartománya: [-2; 2], értékkészlete: [3; 5].
18
II. A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI
A matematikai logika elemeit néhány mondat szerkezetének a vizsgálatával vezetjük be.
Kijelentések, logikai értékük
Az egyszerű kijelentő mondatok között vannak olyanok, amelyekről egyértelműen eldönthetjük, hogy vagy igazak, vagy nem. Például:
Ez a négyszög paralelogramma. (A)Ma hétfő van (B)
Ha előttünk van egy négyszög, akkor arról egyértelműen megállapíthatjuk, hogy az vagy paralelogramma, vagy nem az. Ugyancsak egyértelműen eldönthetjük, hogy ma hétfő van, vagy nem. Ezt a „logika nyelvén” úgy mondjuk, hogy a „Ma hétfő van” állításról egyértelműen eldönthetjük, hogy az igaz, vagy hamis.
Egy kijelentő mondattal kapcsolatban az Jgaz”-at, a „hamis”-at a mondat logikai értékének nevezzük.
„Nagyon szép a ruhád” is kijelentő mondat, de ez olyan szubjektív megállapítás, amely vitatható. Kinek-kinek, az ízlése szerint vagy igaz, vagy hamis állítás. Egyértelműen nem dönthetjük el.
„Számítsuk ki a 27 -37• 49 szorzatot!” Ez nem kijelentő mondat. Az a gondolat fel sem merülhet, hogy a logikai értékét keressük.
Azokat a kijelentő mondatokat, amelyekről egyértelműen eldönthetjük, hogy logikai értékük vagy igaz, vagy hamis, kijelentésekneH vagy állításoknak nevezzük. (Régebben az ítélet elnevezés is használatos volt.)
Vannak olyan kijelentő mondatok, amelyekről csak feltevés alapján mondjuk, hogy azok logikai értéke vagy igaz, vagy hamis. Például az, aki a matematikában járatlan „A z összetett szám ok egyértelműen felírhatok prím szám ok szorzataként" kijelentésről nem tudja eldönteni, hogy az igaz vagy hamis állítás. Másokhoz hasonlóan azonban ö is feltételezheti az „igaz” logikai értéket.
19
A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI
Kijelentések a következők is:A 2 páros szám.A 2 prímszám.András este levelet ír.András este lemezt hallgat.Ennek a négyszögnek a két átlója felezi egymást. 12 osztható 7-tel.
(C)(D)(E)(F)(G)(H)
Megállapodás alapján, ha valamely kijelentés logikai értékét tekintjük, akkor azt, a kijelentés két „függőleges” vonal közé írásával jelöljük. Például: |A kettő páros számi =i (igaz), 112 osztható 7-tel| =h (hamis). Rövidebben: |C | = i, \H \=h.
Logikai műveletek
(1): Nem igaz az, hogy a 12 osztható 7-tel.Ez egyszerűbb fogalmazásban: „12 nem osztható 7-tel”.Két vagy több kifejezésből összeállíthatunk újabbakat is. Például:
(2): A 2 páros szám és prímszám.(5): András este levelet ír vagy lemezt hallgat.
{4a)\ Ha ez a négy'szög paralelogramma, akkor a két átlója felezi egymást.
Matematikai tételeket gyakran fogalmazunk meg a (^)-hoz hasonló szerkezetű mondatokkal. Ismereteink alapján tudjuk, hogy a {4a) alatti igaz állítás akkor is igaz lesz, ha a benne szereplő két egyszerű állítást felcseréljük:
{4 b )\ Ha ennek a négyszögnek a két átlója felezi egymást, akkor ez paralelogramma.
A {4a) és a (4b) alatti igaz állításokat a matematikában megszokott szakkifejezéssel egy mondatban is összefoglaljuk:
(5): Egy négyszög akkor és csak akkor paralelogramma, ha a két átlója felezi egymást.
Az előző megfogalmazások szerkezetének megfelelően logikai műveleteket értelmezünk. Logikai műveletekről akkor beszélünk, ha kijelenté
20
A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI
implikáció
seket úgy kapcsolunk össze eg>' új kijelentéssé, hogy az összetett kijelentés logikai értéke csak a komponensek logikai értékétől függ.
Logikai műveleteket és elnevezésüket először táblázatszerűen közöljük:
(1): n e m // negáció,(2): C ésD konjunkció,(5): E vag>' F diszjunkció,
(^a): h a a k k o r G 1(4b): ha G, akkorái J
(5): A akkor és csak akkor, ha G ekvivalenciaA középiskolai matematika anyagban ezzel az öt logikai művelettel
foglalkozunk. (További műveletek is értelmezhetők. - A jelenleg előírt vizsgák csak az első három ismeretét kívánják, de a középiskolai anyag alapos megértése igényli az implikációval és az ekvivalenciával való foglalkozást is.)
Megfogalmazzuk az említett logikai műveletek értelmezését és megvizsgáljuk, hogy a negáció hogyan változtatja meg az eredeti kijelentés logikai értékét, a többi műveletnél pedig azt, hogy a kiinduló két kijelentés logikai értéke hogj'an határozza meg az összetett kijelentés logikai értékét.
Megjegyzés: A következő összetett kijelentés: „Rosszul sikerült a dolgozatom, mert nehezek voltak a feladatok’' nem logikai művelettel keletkezett. Ennek az összetett kijelentésnek logikai értékét nem határozza meg egyér- teknűen a komponensek logikai értéke, azt is vizsgálni kell, van-e ok-oko- zati összefüggés a két kijelentés között.
Negáció
A negáció (= tagadás) egy kijelentés tagadása. A P kijelentés negá- ciója: „Nem igaz, hogy/".” J e lö l é s e :F.
Ha a P kijelentés logikai értéke igaz, akkor P logikai értéke hamis, ha P hamis, akkor P igaz. Ezeket egy táblázatban, a negáció műveletét definiáló értéktáblázatban összefoglaljuk.
p n p
i hh i
Ezt a negáció értéktáblázatának nevezzük.
21
A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI
Koi\junkció
A konjunkció (= összekapcsolás, együttállás) két egyszerű kijelentést az és kötőszóval kapcsol össze. A P és a ö kijelentés konjunkciójának jele: PA g (olvasd: „P és O”). Az és kötőszónak a konjunkciónál való értelmezése ugj'anaz, mint a mindennapi szóhasználatban. A P / \Q logikai értéke kizárólag akkor igaz, ha P logikai értéke is, Q logikai értéke is igaz. (A
és Ö”-nak megfelel a is, Q is”, a „P továbbá Q" fogalmazás is.)A konjunkció értéktáblázata:
iihh
Q
Ihih
P a Q
ihhk
Az értelmezésből következik, hogy a konjunkció kommutatív művelet, azazí* A ö = ö aP .
Kettőnél több állítás konjunkcióját is értelmezzük: A z ^ i^ ^ 2> állítások konjunkciója: A ^A A 2 A....A.Af,. Ennek logikai értéke akkor és csak akkor igaz, ha minden egyes állítás logikai értéke is igaz. Az értelmezésből az is következik, hogy a konjunkció művelete asszociatív: (v4j A ^ 2) AA-^=A-^ a (A2 A ^ 3) ~Ai A A 2 Aj4;5.
Dis:yunkeió
A diszjunkció (= elválasztás, szétválasztás) két egyszerű kijelentést a vagy kötőszóval kapcsol össze.
A vagy kötőszó használata figyelmet érdemel.„András aste levelet ír vagy lemezt hallgat. ’’ A mondat értelm e szerint
lehetséges, hog>' levelet ír, lehet, hogy lemezt hallgat, az is lehet, hogy levelet ír és közben hallgatja a lemezt. A „vagy” kötőszónak ezt a használatát „megengedő vagy”-nak nevezzük.
„M a 5 órakor kerékpározom vüQ! a televíziót nézem .’’ A mondat értelm e szerint vagy az egyik történik, vagy a másik, egyszerre nem tehetem mindkettőt. A „vagy^’-nak az ilyen használatát „kizáró vagy”-nak nevezzük. (Ha azt mondom: „Ma 5 órakor vagy kerékpározom, vagy a televíziót nézem'’, akkor a páros „vagy vagy ...” -gyal egyértelművé tettem a ,,kizáró vag>'”-ot. Ez azonban az emberek többségénél nem Uidatos.)
22
A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI
„Hétfőn vagy kedden elutazom. ” Most választó értelemben használtuk a „vagy”'Ot. Nem gondolok arra, hogy mindkét nap elutazom.
Mi most a „megengedő vagy”-gyal foglalkozunk, csak azzal értelm ezünk logikai műveletet,
A diszjunkció két egyszerű kijelentést a megengedő vagy kötőszóval kapcsol össze. A P és a ö diszjunkciójának jelölése: Pv <2 (olvasd: vagy ö ”)- A P v < 2 kijelentést akkor tekintjük igaznak, ha a két kijelentés közül legalább az egyik igaz.
A diszjunkció értéktáblázata:
p Q P v ö
i i ii h ih i ih h h
Az értelmezésből következik, hoey a diszjunkció kommutatív művelet:p v ö = ö v p .
Kettőnél több állítás diszjunkcióját is értelmezzük: A z^ i, A 2, ... ,A ^ kijelentések diszjunkció]a: ^4, V /lj V ... Vyl„. Ennek logikai értéke akkor és csak akkor igaz, ha a kijelentések közül legalább egy kijelentésnek igaz a logikai értéke. A z értelmezésből az is következik, hogy a diszjunkció asszociatív tulajdonságú művelet: (A iV A 2)'^A ^= A i\/ (A2 V A ^)= A i\/A 2 yA^.
Implikáció
Az implikáció a P és a ö kijelentésekből a ha P, akkor Q szerkezettel képezett összetett kijelentés. Jelölése: P^Q vagy P=»Ö- így olvassuk: „Ha P, akkor Q ” vagy ,yP implikálja Q-t”.
Az implikációt a ha ..., akkor ... kötőszavak feltűnően két részre tagolják. AP~^Q implikációnál a P-t előtagnak, a Q-t utótagnak nevezzük.
Az implikáció logikai értékét, ha az előtag igaz, akkor az utótag logikai értéke határozza meg. Ha az előtag hamis, akkor az implikáció logikai értékére nem találunk természetesnek tűnő választ. Például: „Ha egj' négyszög rombusz, akkor az átlói egymásra merőlegesek.'’ Ha a négyszög nem rombusz, akkor lehetséges, hog>' az átlói egj'másra merőlegesek, de az is lehet, hogy nem merőlegesek. Alapos meggondolás arra vezet, hogy hamis előtag esetén az implikációt igaznak kell tekintenünk.
23
A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI
Az implikáció értéktáblázata:
iih
h
Q
Ih
ih
P^Q
Ihi
i
Az implikáció nem kommutatív {P^Q)+{Q-^P) és nem asszociatív művelet {{P^Q)-^R+{P^{Qi=R)). Ezt értéktáblázat készítésével láthatjuk be.
Ekvivalenda
Az ekvivalencia két kijelentésből, például a P-h6[ és a <2-t>ól képezhető két implikációt koiyunkcióval kapcsol össze. P t?, Q ekvivalenciája:
^ {Q-*P)- Rövid jelölése: P-^Q vagy P^Q (olvasásuk: „P akkor és csak akkor, ha Q”, vagy „P szükséges és elegendő fettétele Q-nak’\
A z ekvivalenciát gyakran használjuk matematikai tételek megfogalmazásánál.1. példa: Ismerjük a húrnégyszögek tételét és megfordítását.Tétel {P^Q ): Ha egy négyszög húrnégyszög, akkor két szemközti szögének összege 180°.A tétel megfordítása {Q^P): Ha egy négyszög két szemközti szögének összege ISOf", akkor az a négyszög húrnégyszög.A tételt és megfordítását (a két implikációt) egy mondatban összefoglaljuk {P’ Q Y Egy négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha két szemközti szögének összege 180°.2. példa: Igaz a következő állítás: „Ahhoz, hogy egy háromszög derékszögű, legyen, szükséges és elegendő, hogy két hegyesszögére fennálljon a sina+sinii^coscL+cos^ egyenlőség. ” Ezt az ekvivalenciát felbonthatjuk két implikáció konjunkciójára: „Ha eQ> derékszögű, háromszög két hegyesszöge a, 15, akkor sina+sin0~cosa-^cosSi‘‘ és „Ha egy háromszög a,fS hegyesszögére fennáll a sina+sinl5 = cosa+coslS egyenlőség, akkor a háromszög derékszögű”. (Ha az a feladatunk, hogy bizonyítsuk be a példa eredeti állítását, akkor is ajánlatos a felbontás és a két implikációt külön-külön kell bizonyítanunk.)
24
A MA TÉMA TIKAI LOGIKA ALAPJAI
Az ekvivalencia értéktáblázatát a két implikáció konjunkciója segítségével állítjuk össze:
p Q P-^Q Q^P {P^Q)^{Q-^P)
i i i i ii h h i hh i i h hh h i i i
Példáinkban egyszerű kijelentésekből olyan összetett kijelentéseket állítottunk össze, amelyek raonclanivalói értelmesek voltak. Az „András akkor és csak akkor ír este levelet, ha 12 osztható 7-tel” kijelentést nevetségesnek és értelmetlennek érezzük. Azonban ennek logikai értékét éppúgy meghatározza az ekvivalencia értéktáblázata, mint más ,,énelm es" ekvivalenciáét. A logikai tárgjalásnál eltekintünk a kijelentések tartalmától, csak a logikai értékükkel törődünk.
Logikai függvények
Ha A „Ma hétfő van” kijelentés mondatát hiányosan „Ma ... van” alakban írjuk, akkor az üresen hagyott helyre a hét napjai közül (hétfő, kedd, ..., vasárnap) bármelyiket írhatjuk. A beírás után kapott kijelentés logikai értéke vagy igaz, vagy hamis.
A „Ma ... van” mondatot és a hozzá hasonló „Egy valós szám kétszerese 25” (röviden 2x=25), Magyarországra értve „... megye székhelye Szekszárd” mondatot logikai függvénynek (az általános iskolában nyitott mondatnak) nevezzük. A logikai függvények értelmezési tartományai különbözők lehetnek (az előző példákban; a hét napjainak 7 elemíí halmaza; a valós számok halmaza; Mag>'arország megyéinek 19 elemű halmaza), azonban bármely logikai függvény értékkészlete az {i, h} kételemű halinaz,
25
III. A SZÁMOKRÓL
Ahogy a kisgyerekek először az 1, 2, 3, ... számokat ismerik meg, majd az ezekkel végezhető műveleteket, ugyanúgy a matematika történeti fejlődése is ezt az utat mutatja. Nekünk azonban sokkal gazdaságosabb, ha a történeti út helyett először a számfogalom kiterjesztését állítjuk előtérbe. Kiindulunk a pozitív egész számokból és megmutatjuk, hogy a m űveletekkel hogyan válik szükségessé újabb számok bevezetése. A műveletekkel - részletesebben - csak utána foglalkozunk.
A számfogalom kialakulása
a) Tárgyak megszámlálása az 1, 2, 3,..., azaz a pozitív egész számok kialakításához vezetett.Pozitív egész számokkal összeadást, szorzást végezve is pozitív egész számokat kapunk eredményül.
b) Ha pozitív egész számokkal kivonást végzünk, akkor annak eredménye lehet pozitív egész szám (például: 10-7 = 3), lehet 0 (például: 6-6=0) és lehet negatív egész szám (példul: 5-6 = -1).A 0, 1, 2, ... számokat természetes számoknak nevezzük. Halmazuk
jele: N.A ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... számokat egész számoknak nevezzük, hal
mazuk jele: Z (N c Z).Egész számokkal szorzást végezve, az eredmény is egész szám.
c) Ha egész számokkal osztást végzünk, akkor első megállapításunk, hogy a 0-val való osztást nem tudjuk értelmezni. Ha 0-tól különböző számmal osztunk, akkor a hányados lehet, hogy egész szám (például
g8 : 2 =4) Jehet, hogy nem egész szám hanem törtszám, például 8 :5 = y .
Azokat a számokat, amelvek ~ alakúak, ha a és b egész számok (bi O),b
racionális számoknak nevezzük. A racionális számok hahnazát O-val jelöljük (N c Z c Q ) .
Megjegyzés; A racionális szó itteni jelentése: arányként, hányadosként írható.
26
A SZAMOKROL
A racionális számokat tizedestört alakban is felírhatjuk, például
= 1 6; 1 =0,75; - =0,3; - =0,285 714 stb. A véges tizedestörteket és az5 4 3 ^ 7
egész számokat is felírhatjuk végtelen tizedestörtként: 1,6 = 1,60; 7 = 7,0. A „szakaszos” végtelen tizedestörteket periodikus tizedestörtnek nevezzük.
Bármely racionális szám periodikus tizedestört alakban is felírható.Ugyanis ha az ci:ö osztásnál mindig lesz maradék, az legfeljebb 1, 2,
azaz legfeljebb (fc -l)- fé le lehet. Ezért elöbb-utóbb ism étlődő m aradékhoz jutunk. A z ismétlődő maradéktól kezdve a hányadosban is ismétlődő számjegy, illetve ismétlődő szakaszt kapunk. Ha egy periodikus tize- d estönben kizárólag a 9-es a végtelen sokszor ismétlődő számjegy, akkor
az más alakban is felírható. Például: 0 ,9= 1,Ó; 3,49 = 3,50. Mivel két egész szám osztásával nem kaphatunk olyan tizedestórtet, amelyben az ism étlő
dő szakasz 9, a 0,9 helyett az 1,0 alakot, 3,49 helyett a 3,5Ö alakot használjuk.
Állításunk fordítva is igaz: Bármely periodikus tizedestört felírható két egész szám hányadosaként.
A zagon dolat, hogyj:=0,17=0,171717... esetén 100x= 17,1717... és ezek17
99a: = 17 különbségéből adódik x = — , nincs kellően megalapozva. Ugyan
is nem tudjuk, hogy végtelen tizedestörtekkel is ugyanúg>’ végezhetünk-e m űveleteket mmt véges -izedestörtekkel. Emiatt nem tudjuk, hogy a formálisan történt 100-zal való szorzás és a különbségvétel helyes volt-e. Csak a határérték fogalmát és tulajdonságait ismerve lehetne szabatosan bizonyítani, hogy az így elvégzett műveletek eredménye helyes.
d) A nem periodikus végtelen tizedestörteket irracionális számoknak nevezzük. Ezek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként.
Megjjegyzés: Az irracionális itt azt iclenti, hogy hányadosként nem írható fel.
irracionális szám például 1,4142... (az egységoldalii négj'zet átlójának a hossza) is, 7t= 3,141592... is, irracionális szám a 0,1010010001... is, ha a tizedesvessző után álló 1-es számjegyek között rendre eggj'el több 0 áll.
Racionális számokkal összeadást, kivonást, szorzást, osztást (ha az osztó nem 0) végezve racionális számokat kapunk, de racionális számból gyököt vonva irracionális számot is kaphatunk. Irracionális szám például
Í5, is (de például racionális szám).Az alábbiakban bizonyítjuk, hogy a ^ irracionális szám. Annak a köz
vetlen bizonyítása, hogy ^ végtelen nem szakaszos tizedestört, nehéz lenne. Helyette bebizonyítjuk, hogy i3 nem racionális szám, azaz nem
2 /
A SZAMOKROL
lehet két egész szám hányadosa. Az ilyen jellegíi bizonyítási módszert in- direkt bizonyításnak nevezzük.
Indirekt bizonyítási módszer
Az indirekt bizonyítási módszer lényege: Bizonyítani akarunk egy állítást. Feltételezzük az állítás ellenkezőjét és megvizsgáljuk, hogy az állítás feltételezett ellenkezőjének mi lesz a következménye. Ha az derül ki, hogy ez ellentmondáshoz vezet, alckor a feltételezés nem igaz, ezért az eredeti állításnak igaznak kell lennie.
Bizonyítani akarjuk, hogy Í3 irracionális szám. Feltételezzük az ellenkezőjét, azaz azt, hogy racionális szám. Ekkor az felírható két egész
/—' ^szám hányadosaként. A feltételezés szerint legyen , ahol a, b egészb
szára, és — már nem egyszeriísíthető. A feltételezett állítást átala
kítjuk:3=-
b ’
Ebből következik, hogy az egyenlőség jobb oldala is osztható 3-mal.
3\a^ 3|í? 9|a^ ^ 9|3í>2 ^ 3lí>“ 3|ö.
Ellentmondáshoz jutottunk, mert feltételeztük, hogy az ~ tört már nemb
egyszerűsíthető, de a feltételezésből az következik, hogy 3 j ű és 3 1 ö, ekkor
pedig ^ört egyszerűsíthető. Az ellentmondás oka a rossz feltételezés.
p nem lehet — -vei egyenlő, azaz nem lehet racionális szám. ' 3 tehát b
irracionális szám.
e) A racionális és az irracionális számok együtt alkotják a valós számokat. (Bármilyen szakaszt veszünk is fel, annak hosszúsága - egységnyi hossziiság birtokában - valós számmal adható meg.)Mivel a racionális számok periodikus (azaz szakaszos végtelen) ti
zedestörtek, ezért azt mondjuk: Valós számoknak a végtelen tizedestörtekkel megadható számokat nevezzük. A valós számok halmazának jele: R ( N c Z c O c R ) .
28
A SZAMOKROL
f) Középiskolában csak va- lós számokkal dogozunk. Vannak azonban olyan egyenletek is, amelyek megoldásának keresése további problémákat is felvet. Például: Létezik-e olyan szám, amely kielégíti az :t^+4 = 0 egyenletet? Ilyen valós szám
{Számok}
14. ábranincs. Vajon a valós számokon k£\'űl, másfajta számokat is értelm ezhetünk? Csupán közöljük: A számfogalom tovább bővíthető. Emiatt időnként hangsúlyoznunk kell azt, hogy a középiskolában szerzett ismereteink valós számokra vonatkoznak. H a ezt nem tennénk, akkor az megtévesztő lenne, mert nem tudjuk, hogy a valós számokra vonatkozó megállapításaink igazak-e a nem valós számokra is.
A természetes, az egész, a racionális, a valós számok halmazának Venn-diagramját - a nem valós számokra is gondolva - a 14. ábra szemlélteti.
A valós számok és a számegyenes
A számegyenes segítségével kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést létesítünk egy egyenes pontjai és a valós számok között.
Egy egyenesen felveszünk két pontot. Az egyiket O-val jelöljük, ennek a 0 felel meg, a másikat £-vel, ennek az 1 felel meg. Az OE vektor irányítást ad a számeg>'enesnek (15. ábra).
Q o E P —í—
1
15. ábra
Cl
Az egyenes bármely P pontjához tartozó OP vektorra fennáll az OP=Cx OE, így bármely P ponthoz hozzárendelhetünk egy valós szá
mot. Fordítva: Bármely Ct valós számot adunk meg, a cj • OE = OQ vektor meghatározza a számegyenes egy pontját, a O pontot.
29
A SZAMOKROL
A valós számok abszolútértéke
Egy a valós szám abszolűtértékének definíciója (a 8. oldalon, a bevezetésben már említettük):
fl, haOáöf,
-a, ha<3 < 0.Az a szám abszolútértéke a számegyenesen az a számot je lö löd pont
nak a O ponttól való távolságát jelenti.
Alapműveletek az egész számok körében
Pozitív egész számokkal alapműveleteket (összeadást, kivonást, szorzást, osztást) már az álíaJános iskola alsóbb osztályaiban végeztünk. Természetes számokkal végzett alapműveleteknél egy kikötést kell megfogalmaznunk: 0-val történő osztást nem értelmezünk.
A negatív egész számok bevezetése után az összeadás és kivonás helyett összevonásról beszélünk. Ugyanis: -5'-(+6) = -5-6; 7+(+2) = 7+2; 5+(-8) = 5-8; - l - ( - 6) = - l+ 6. Két szám összevonásánál természetes módon adódik az eredmény (pozitív számnál a zsebünkben lévő pénzre gondolhatunk, negatív számnál adósságra).
Két szám összevonásánál,ű) ha azok azonos előjelűek, akkor a két szám abszolútértékét össze
adjuk és az összeg előjele a közös előjel lesz (-5 -6 --1 1 ; 7+2=9),b) ha különböző előjelűek, akkor az abszolútértéküket vesszük, majd
a nagyobból kivonjuk a kisebbet és a különbség előjele a nagj'obb abszolútértékfl előjele lesz (5-8 = -3; -1+6=5).
Két pozitív szám szorzatának az előjelét természetes módon pozitívnak tekintjük. Például: 3-4 = 12, 3*3 = 9, 3-2 = 6, 3-1 = 3. A szorzás lényegéből következik az, amit e példák is mutatnak: ha a 3-mat (egy pozitív számot) rendre 1-gyel kisebb pozitív számmal szerzünk, akkor a szorzat rendre 3-mai kisebb (12, 9, 6, 3). Természetes kívánságnak érezzük, hogy ez így legyen, akkor is, ha az előző szorzatoknál a második tényező rendre tovább csökken. Ebben megállapodunk és ennek érteimében: 3 - 0 = 0, 3 • ("1) = -3, 3 • (-2) == - 6,... Ezt így fogalmazzuk meg; Egy pozitív és egy negatív szám szorzatának előjele negatív (abszolútértéke a két tényező abszolútéxtékenek a szorzata).
Az előzőek alapján; ... (-5)-3 = -l5 , (-5)-2 = -l0 , ( -5 )- l = -5. /yX látjuk, hogy ha a -5-öt (egy negatív számot) rendre 1-gyel kisebb pozitív
30
A SZAMOKROL
számmal szorzunk, akkor a szorzat rendre 5-tel nagyobb (-20, -15, -10, -5). Megállapodunk abban, hog) ez akkor is így lesz, ha a második tényező rendre tovább csökken. így (-5)-0=0, (-5 )-(- l)= 5 , (-5)-(-2) = 10, ... Röviden; Két negatív szám szorzata pozitív előjelű (a két tényező abszolútértékének szorzata).
A z előjeles számok szorzásánál az előjelekre vonatkozó „szabály” tömör megfogalmazása: Két azonos előjeM szám szorzata pozitív előjelű, két különböző előjelű szám szorzata negatív előjelű.
Az előbb alkalmazott gondolatot más esetben is alkalmazhatjuk, ezért lényegét külön is megfogalmazzuk, sőt külön névvel permanencia- elvnek nevezzük: Valamely számhalmazon érvényes tulajdonságtól azt kívánjuk, hogy az érvényes legyen egy bővebb számhalmazon is. (Elsőként a pozitív a és az 1 számokra igaz volt az, hogy az ab szorzatnál az a(b~l) szorzat a-val kisebb. A permanencia-elv alapján azt kívántuk, hogy ez a tulajdonság igaz legyen a b ^ l esetben is, tehát minden b-re.)
M e^egyzés! Két előjeles szám szorzatának az előjelét nemcsak a perma- nencia-elv alapján indokolhatjuk, hanem több más módon, például gyakorlati példán keresztül is. (H a egy gazdasági társulásból két olyan ember távozik, akiknek 3 - 3 millió Ft adóssága van és azt magával viszi, akkor az Ő eltávozásukkal a társulás vagyona -2 • { -3 000 000) Ft-tal változik, azaz 6 000 000 Ft-íal nö.)
A szorzás és az osztás kapcsolatából (7-(-3) = -21, -21:7 =-3) következik, hogy két azonos előjelű szám hányadosa pozitív előjelű, két különböző előjelű szám hányadosa negatív előjelű.
Egy tört alakja megváltozik, de értéke azonos marad, ha számlálóját és nevezőjét azonos (0-tól különböző) számmal szorozzuk vagj' osztjuk;
^ = ~ (ö#0, c#0). Ezt az eljárást bővítésnek nevezzük, ha az - alakból té- b be b
rünk á t a l a k r a . Egyszerűsítésnek mondjuk, ha az — alakról az - - r e té- bc be b
rünk át.Két racionális szám összege (különbsége), szorzata, hányadosa (ha az
osztó nem 0) racionális szám:
a c ad+bc b * d ^
a c _ac b ' d ~ M ’
a c ad b d be
Alapműveletek egy racionális és egy irracionális számmal
Beláthatjuk, hogy egy 0-tól különböző racionális és egy irracionális szára összege (különbsége), szorzata, hányadosa irracionális.
Ezt indirekt úton bizonyítjuk: Tegyük fel, hogy az - racionális és az ab
31
A SZAMOKROL
irracionális szám összege a - racionális szám, azaz - +« = - . Ebbőld b d
c a bc-ad . . . , . , . ■ ■ot = - - — = -------- , azaz az irracionalis szám két egész szám hanyaaosad b bd
lenne, ami lehetetlen. A feltételezésünk hamis volt. — Hasonlóan bizonyítjuk, hog)' egj' 0-tól különböző racionális és eg\' irracionális szám szorzata és hányadosa is irracionális szám.
Két irracionális szám összege (különbsége) a számoktól függően vagy racionális, vagy irracionális.Például: (\'3+5) + (2--/3) = 7, ’,^+2^T=3^T
Két irracionális szám szorzata, hányadosa a számoktól függően vagy racionális, vag\' irracionális szám.Például: Í 3 - i É = i ’ = 6 , ^(3-fí= iU-. = 2, \Í5: iÍ3 =
r*' ♦ * • yA \2 ,7T, lg2 irracionális számoknak ez az írásmódja pontos értékeketjelöl. Tizedestört alakban csak a közelítő értéküket írhatjuk: ^2 = 1,414, tt = 3,14, lg2~ 0,301. Ennél többetmondó az irracionális számoknak egy alsó és egy felső értékkel történő közelítése:
1,414 < ’\^< 1,415 3,141 < 7 T < 3,142 0,3010 <lg2 < 0,3011
Az irracionális számokat tizedestörtekkel tetszés szerinti pontossággal közelíthetjük meg:
1,4142 1,4143 3,1415 <tt < 3,1416 0,3010 <ig2 < 0,3011 1,41421 <{2< 1,41422 3,14159 < ir < 3,14160 0,30103 < ig2 < 0,30104
Az összeadás és a szorzás tulajdonságai a valós számkörben
a) A valós számok összeadása kommutatív és asszociatív tulajdonságú.A kommutatív tulajdonság: a+b = b+a, azaz két tag összeadásánál a két t'dgot felcserélhetjük, az összeg nem változik.Az asszociatív tulajdonság: (a + ö)-t-c = a^(b +c), azaz több tag összeadásánál a tagokat tetszés szerint csoportosíthatjuk (tetszés szerint társíthatjuk).
b) A valós számok szorzása kommutatív és asszociatív tulajdonságú.A kommutatív tulajdonság: ab = ba, azaz két tényező szorzásánál a tényezőket felcserélhetjük, a szorzat nem változik.Az asszociatív tulajdonság: (ab)c ~a{bc), azaz több tényező szorzásánál a tényezőket tetszés szerint csoportosíthatjuk.
32
A SZAMOKROL
c) A valós számok szorzása az összeadásra nézve disztributív iulajdonságá: (a+b)c=ac+bc, azaz, ha valós számok összegét szorozzuk egy valós számmal, akkor ugyanazt kapjuk, mintha az összeg egyes tagjait külön-külön szorozzuk a szorzóval és a kapott szorzatokat összeadjuk. (Ha az ac+bc-t az {a+b)c alakban írjuk, akkor kiemelésről beszélünk.)
A számok írása, tizes és kettes alapú számrendszerek
Szánmnkra. megszokott a 25, 1998 írásmód. Ezek tízes alapú szám- rendszerben felírt s^m ok,
A számrendszerek lényege a megfelelő csoportosítás. A tízes alapú számrendszernél az egységekből 10-es csoportokat hozunk létre, a 10-es csoportokból 10 darab egy 100-as csoportot alkot, a 100-asokból 10 darab egy 1000-rest... stb. Ilyen csoportosítással és a csoportok számának helyiérték szerinti felírásából alakult ki a tízes számrendszernek az az írásmódja, amelyet használimk. Az egész számok felírási módszere alkalmazható törtszámok felírására is. Egy 10-es számrendszerbeli szám számjegyeinek jelentését a következő példa mutatja:
5672,4 = 5.10^+6.102+7-10^+2-10°+4-ia^
Számrendszer alapszáma bármely egész szám lehet, amely 1-nél nagyobb. A g (^GN\{0;1}) alapú számrendszerhez g darab jelet (számjegyet) kell használnunk. A g alapú számrendszer
a -g^+b -^+c -g^-ul-g°+e-g-^
számát röviden (a 10-es alapú számrendszer írásmódjának megfelelően) abcd,e^ alakban írjuk. A számrendszer alapszámát közölnünk kell, azt indexként jelöljük.
A kettes alapú számrendszerben a 0 és az 1 számjegyeket használjuk. Például: 100012, 110112,...
A kettes alapú számrendszerben felírt számokat értelmük alapján írjuk át tízes alapú számrendszerbeli számokra:
10012= 1 • 2V0.2V0 - 2^1 • 2“= 8+0+0+1 = 9,1IOII2 = 1 ■ 2^+1. 2^+0 ■ 2^+1. 2^+1 ■ 2 = 16+8+2+1 = 27.
33
A SZÁMOKRÓL
Ha egy tízes alapú számrendszerbeli számot kettes alapú számrendszerbe akarunk átírni, akkor keresnünk kell 2-nek azt a legmagasabb kitevőjű hatványát, mely nem nagyobb a 10-es alapú számnál:
175 =128+47 = 128+32+8+4+2+1 == 1 . 2^+0 . 2^+1 ■ 2^+0 • 2'*+! -2^+1 ■ 2^+1 • 2^+1 • 2 = 10101111-,.
A számok normálalakja
A nagy, vagy kicsi számokat a 10 egész kitevőjű hatványainak a segítségével rövidebben felírhatjuk. Például: 5 800 000=5,8-10^. Ezt a szám normálalakjának nevezzük.
A pozitív számok normálalakjában a 10 egész kitevőjű hatványának szorzója az [1; 10[ intervallum egy száma. Tehát a 0<x szám normáíaíak- ja: x=iV.10*, ahol lsA^<10 és k e l . . Például: 34500=3,45-10^;0,000072 =7,2 •10'^. Negatív számok esetén figyelembe vesszük az előjelet- Például: -34500= -3,45 ■ 10\
34
rv. S z á m e l m é l e t i a l a p i s m e r e t e k
A számelm élet a matematika egyik nagyon régi ága. Ide soroljuk a középiskolai matematika anyagnak azokat a kérdéseit, amelyek az egész számok oszthatóságával, tényezőkre bontásával foglalkoznak, azokat az eljárásokat, amelyekkel számok legnagyobb közös osztóját, legkisebb közös többszörösét állapítjuk meg.
Az osztó, a többszörös, a prímszám fogalma
A 3 '4 = 12 példánál azt mondjuk, hogy 3 osztója 12-nek, azt is mondjuk, hogy 12 többszöröse 3-nak. A ( -2 ) ( - 5 ) = 10 alapján mondhatjuk, hogy -5 osztója 10-nek.
Az osztó fogalmát értelmezhetjük a természetes számok körében, de értelmezhetjük az egész számok körében is. Az osztó fogalmára építve állításokat (tételeket) is megfogalmazunk. Ezek megfogalmazása könnyebb, ha az osztót a természetes számok körében értelmezzük. Ha valamilyen probléma vizsgálata azt kívánja, akkor áttérhetünk az egész számok körében értelm ezett oszthatóságra.
Az osztó és az oszthatóság definíciója: A z a, b tennészetes számok esetén az a számot a b szám osztójának nevezzük, ha találunk olyan q természetes számot, amellyel fennáll az aq=b egyenlőség. Ekkor azt mondjuk: „a osztója b-nek”, vaw „b osztható a-val”. Ennek jelölése a \ b.Például 5 [35, mert 5 • 7 = 35; 7 10, mert 7 -0 -0 .
A z oszthatóság definíciója az egész számok körében: Az a, A egész számok esetén az a számot a b szám osztójának nevezzük, ha találunk olyan q egész számot, amellvel fennáll az a q = b egyenlőség. Például: 7 1 -1 4 , mert 7 - ( - 2 ) = - H .
Egy számnak az 1-en és önmagán kívüli osztóit a szám valódi osztóinak nevezzük, (például: 12 osztói: 1, 2, 3, 4, 6,12; valódi osztói: 2, 3, 4, 6.)
A z a \b esetén, azt is mondhatjuk, hogy ű-nak többszöröse b, mert van olyan q természetes szám, amellyel fennáll az aq=b egj'cniőség.
A prímszám, összetett szám definíciója: Azokat a természetes számokat, amelyeknek pontosan két osztójuk van, prímszámoknak nevezzük. (Az első néhány prímszám: 2, 3, 5, 7,11,13,17,...)
Azokat az 1-nél nagyobb természetes számokat, amelyeknek kettőnél több osztójuk van, összetett számoknak mondjuk. (Az elsÖ néhány össze-
35
SZÁMELMÉLETI ALAPISMERETEK
tett szám: 4, 6, 8, 9, 10 ,12, 14.......Az 1 sem nem prím, sem nem összetettszám.)
A számelmélet alaptétele
Tétel: Bármely Összetett szám (a tényezők sorrendjétől eltekintve) egyértelműen felbontható prímszámok szorzatára.
Először azt bizonyítjuk, hogy az összetett szám felbontható prímszámok szorzatára. Az biztos, hogy az összetett a szám feh'rható két, 1-néI nagyobb egész szám szorzatára. Ezek vagy prímszámok, vagy legalább az egyik tényező tovább bontható 1-nél nagyobb számok szorzatára. Ez a szorzat vagy prímtényezőkből áll, vagy' tovább bontható 1-nél nagyobb számok szorzatára, ... . Végül a szám felírható a pi, p j,—, P,% különböző prímtényezők segítségével. A többszörös prímtényezőket hatványként írva, kapjuk:
a=pl^p^iP^...pZ
ahol ttj, 0.2, pozitív egész számok.A felbontás egyértelműségét bizonyítjuk: Tegyük fel,
számnak kétféle fe tás nem különböző:
hogy az abontása is létezik. Belátjuk, hogy ez a kétféle felbon-
fm-
A bal oldalon álló szorzat osztható /?i-gyel, ezért a jobb oldalon álló szorzat is osztható jPi-gyel. Ez csak úgy lehetséges, hogy a jobb oldalon álló prímtényezős szorzat egj'ik tényezője ispi, például Pi = qi- Mindkét oldalt osztjuk ezzel a prímszámmal. Ezt az eljárást tovább folytatjuk mindaddig, amíg az egyenlőség bal oldalán van prímszám. Végül az egyenlőségben az2 = prímszámok szorzata lehetetlen. Tehát az a összetett számot csak egyféle prímtényezős felbontásban írhatjuk fel.
A prímtényezős felbontás praktikus elvégzését a következő példák mutatják:
990 2 i n 2 55 825 5495 3 396 2 11 165 5165 3 198 2 2233 755 5 99 3 319 1111 11 33 3 29 29
1 111
11 1
990 = 2 . 32.5-11 792 = 2''•3^.11 55 825=5--■7-11
36
SZÁMELMÉLETI ALAPISMERETEK
A legnagyobb közös osztó meghatározása
Két vagy több pozitív egész szám közös osztói azok a természetes számok, amelyek minden számnak osztói. Közülük a legnagyobb nevezetes. Ez a legnagyobb közös osztó. Az a, 6 számok legnagyobb közös osztójának a jelölése: (a]b).
A legnagyobb közös osztó meghatározásánál felíijuk a számok prímtényezős felbontását. A közös prímszámok mindegyikénél megkeressük a legkisebb hatványkitevőjűt. Ezeknek a legkisebb kitevőjű prímszámhatvá- nyoknak a szorzata lesz a számok legnagyobb közös osztója. Ha nincs közös prímszám, akkor a legnagyobb közös osztó 1.
Az előző prímtényezős felbontásokat felhasználva:
(990; 792) = 2-32-11 = 198, (990;55 825) =5 • 11 =55, (990; 792; 55 825) = 11
(Törteket a számláló és a nevező legnagyobb közös osztójával érdemes egyszerűsítenünk.)
Ha két szám legnagyobb közös osztója 1, akkor azokat relatív prímszámoknak nevezzük. Relatív prím például 25 és 36, mert (25; 36) = 1.
A legkisebb közös többszörös meghatározása
Két vagy több pozitív egész szám közös többszöröse minden olyan szám, amely mindeg>'ik számnak a többszöröse. A pozitív közös többszö- rösök közül a legkisebb a nevezetes, ezt nevezzük a legkisebb közös többszörösnek. A z a ,b számok legkisebb közös többszörösének jelölése: [a; b],
A legkisebb közös többszörös meghatározásánál felírjuk a számok prímtényezős felbontását és ezekben minden egyes prímtényezőnél meg- keiessük a legnagyobb hatványkitevőjűt. Mindezeket a legmagasabb kitevőjű prímszámhatványokat összeszorozzuk, ezek szorzata lesz az eredeti számok legkisebb közös többszöröse.
Az előző prímtényezős felbontásokat felhasználva:
[990; 792] = 2 ■ 3^- 5 • 11 = 3960[792; 55 825] = 2^.3^ ■ 5^-7• 11 • 29 = 4 019 400[990; 792; 55825] = 2 ■ 3 .5^ • 7 ■ 11 • 29 = 4 019 400
(Törtek összevonásánál a közös nevezőnek a nevezők legkisebb közös többszörösét érdemes választanunk.)
37
V. H a t v á n y , g y ö k , l o g a r i t m u s
A fejezet rövid és vázlatos áttekintése: A 3 = 81 egyenlőségben három szám szerepel. Közülük kettő meghatározza a harmadikat.
a) A z alap 3, a kitevő 4, keressük a hatványt. Hatványozással határozzuk meg; 3‘*=81.
b) A k itevő 4, a hatvány 81, keressük az alapot. Gyökvonással kapjuk
meg: ^81=3c) Az alap 3, a hatvány 81, keressük a kitevőt. A logaritmuskeresés
m űveletével kapjuk: logjSl =4.
A hatványfogalom, a hatványozás azonosságai
a) H a egy számot többször veszünk szorzótényezöül, akkor ennek rövid írásmódja a hatvány: a - a -a = a ^ Értelmezzük a pozitív egész kitevőjű hatványokat.
b) A pozitív egész kite\’őjű hatványokra azonosságokai (lételeket) bizonyt- tunk.
c) A hatvány fogalmat kiterjesztjük; 0, negatív egész, törtkitevöjű hatványokat értelmezünk. Ez a permanencia-elv alapján történik.
Pozitív egész kitevőjű hatványok értelmezése:
Bármely számot, ha kitevője 1-nél nagyobb egész szám, annyiszor veszünk szorzótényezöül, ahányszor a kitevője mutatja.
a”=a’a 'a- ... -a aGR, íí€N \{0; 1}.
Az egymagában álló a-t nem tekintjük szorzatnak (vagy „egytényezős” szorzatnak mondjuk) azű^-t külön definiáljuk:
Bármely szám eisö hatványa önmaga: a^=a (űGR).
A pozitív egész kitevőjű hatványok azonosságai:
1. A z£f”a'* nGN"^) hatványok szorzásánál minden tényező azonos és összesen m+« tényező van. Ezért
(aER). (1)
38
HATVÁNY, GYÖK LOGARITMUS
Azonos alapú hatványokat tígy is szorozhatunk, hogy az alapot a kitevők összegére emeljük.
a"'2. Az — (m GN"^, «GN^, a=? 0) hatványok osztásánál, ha n <m, aiidcor a
törtet a"-nel egyszerűsíthetjük. Ekkor a számláló eredeti m tényezőjéből ?7-nel kevesebb, azaz m -n marad. Ezért
cf'= a^-n (aG R \{0». (2)
Azonos alapú hatványokat úgy is oszthatunk, hogy a közös alapot a számláló és a nevező íiatványkitevőjének a különbségére emeljük.
3. Az {{f*Y azt jelenti, hogy az a'” alapot «-szer vesszük szorzótényezöül, azaz azonos apú hatványokat szorzunk: . .ű"* = a"" " így:
(«'")"=a'"" (űGR) (3)
Hatványt úgy is hatványozhatunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük.
Megjegyezzük, hogy az {a”'Y hatvány hatványozását jelenti, azonban
c t jelentése: az a alapot felemeljük az m" kitevőre, azaz cf' =A hatványozás nem kommutatív művelet, mert (például) 3^#23 és nem asz-
szociatív, mert azaz 8^2® 64#512.
4. Az {aby szorzat hatványa, az ab szorzatot kell n-szer szorzótényezöül vennünk. A szorzat tényezőit - a kommutatív és az asszociatív tulajdonság alapján - megfelelően átrendezhetjük: abab...ab~ = {cuL..a)(pb...b). Ezért
{a h f = a^h’ (ű,6 GR) (4)
Szorzat hatványa a tényezők hatványának a szorzata.
S. Az hatványnál az - törtet kell n-szer szorzótényezőül vennünk. b
A törtnek törttel történő szorzásából következik:
(« ,Ö G R ;ö/0) (5)
Hányados hatványozásánál külön hatványozhatjuk a számlálót és külön a nevezőt.
39
HATVANY, GYÖK. LOGARITMUS
A hatványfogalom kiterjesztése
Eddig a pozitív egész kitevőjű hatványokat értelmeztük. Az eddigiek
alapján 5 , 7‘ 4 olyan jelölések, amelyeknek nincs értelme.Az előzőekben a pozitív egész kitevőjű hatványokra megismertük az
(l)-(5) azonosságot. Szeretnénk értelmezni 0, negatív, törtkitevöjű hatványokat is. Apermanencia-elv alapján azt kívánjuk, az ezután értelmezendő 0, negatív és törtkitevőjű hatványokra is érvényesek legyenek az (l)-(5) alatti azonosságok. Ezért az öt azonosság figyelembevételével keressük a megfelelő definíciókat.
A 0 KITEVŐJŰ HATVÁNY ÉRTELMEZÉSE
Azt szeretnénk, hogy a 0 kitevőre is érvényes legyen az azonosság, azaz fennálljon a°a"=aP^’'=af’. H a ű^O, akkor ez csak úgy lehetséges, ha a®= 1. H a a =0, akkor 0® • 0" = D", 0® • 0= 0 . Ennek alapján 0'>-t tekinthetnénk 0-nak, 1-neL O -t egyértelműen nem definiálhatjuk.
H a a # 0 , akkor ű®=l értelmezés gondolata jónak tűnik, de addig nem fogadhatjuk el, míg (2)-{5) azonosságnál nem ellenőriztük. A z ellenőrzés helyett csak az eredményt közöljük: a vizsgálat az elgondolásunkat igazolja.
Definíció: ű°= l, {űGR\{0}), azaz bármely 0-tól különböző valós szám 0 kitevőjű hatványa 1.
A NEGATÍV EGÉSZ KITEVŐJŰ HATVÁNYOK ÉRTELMEZÉSE
fl"' 1A z azonosság m = 0 esetén — =a-". Ahatványozás (1) és
(3)-(5) azonosságai is mutatnák, hogy ez az értelm ezés megfelel.
Defíníciő: a '' = — (íj/0, « e N azaz bármely 0-tól különböző valós szám ír
negatív egész kitevőjű hatványa az ellentett kitevővel vett hatványának re- ciproka,
TÖRTKITEVÖJŰ HATVÁNYOK ÉRTELMEZÉSE
A perm anencia-elv alapján szeretnénk, ha az egyelőre nem értelm ezett
a ” -re is érvényes lerme a hatvány hatványozásának azonossága (A z k = 1 esetén a kitevő m , azaz egész szám, ezért most « € N + \{ 1 } ) . Ekkor
HL — i— I
= 0“ . Vegyük mindkét oldal «-edik gyökét: ű" = va'". Ezt m egfele
lő
HATVANY, GYÖK LOGARITMUS
lő definíciónak gondolhatjuk. H a ezt elfogadjuk, akkor a - - =
= ^ . Ekkor a < 0 esetén yö^-nek nincs értelme, de 1/ö^-nak van értelme. Azért, hogy ezt az ellentmondást elkerüljük, kizárjuk az a < 0 esetet.
mH a a törtkitevö negatív, akkor gondoljuk — alakúnak, m, n pozitív
— j— ,
egész számok Ekkor á ” -ya-^= " . A z a = 0 esetet kizárjuk.
Definíció: Cí ='fa'” (0<a, m e Z , « £ N ^ \{ 1}), azaz egy pozitív a szám— -edik hatványa az a alapnak m-edik hatványából vont n-edik gyöke. n
Megjegyzés: A gondolatm enet folytatása az trradonális kitevőjű hatványok értelm ezése. Ez azonban nem középiskolai anyag.
A hatványfogalom kitetjesztésének szempontjaiból következik, hogy a pozitív egész kitevőjű hatványokra bizonyított Öt azonosság érvényes a 0, a negatív, a tört (továbbá az irracionális) kitevőjű hatványokra is.
A hatványfogalom kiterjesztése után foglalkoztunk az exponenciális függvérmyel. Ezt a FÜG G V ÉN Y EK című fejezetben vizsgáljuk.
A gyökfogalom, a gyökvonás azonosságai
A z n-edik gjök fogalma magában foglalja a négyzetgyök fogalmát is. A négyzetgyök azonban nagyon gyakran szerepel, ezért azt külön is definiáljuk.
A négyzetgyök fogalma
.Valamely a nemnegatív szám négyzetgyöke olyan nemnegatív szám, a m é lj^ k a'négyzete az a szám.Például: iÍ9 = 3, mert 0<3 és 3^=9,
\ a \, mert Oá |a l és \ a\^=a^.
Az n-edik gyök fogalma
A számok n-edik gyökét páros és páratlan gyökkitevő esetén külön ér.teLniezzük:1. . A gyökkitevő páros szám: 2k (/cgN^). Valamely.ű nemnegatív szára
2fc-adik gyöke olyan nemnegatív szám, amelynek 2fc-adik hatványa a.
41
HATVANY. GYÖK, LOGARITMUS
Például: ^ = 2 , mert_0<2 és 2^= 16,ifa = |g | , mert Qg |qI és \a\^-a^.^-81 nincs értelmezve.
2. A gyökkítevő páratlan szám: 2/c+l (/ceN^), Valamely a valós szám 2/:+.l-edilí gyöfce öryaírszám,”amélynék 2fc+l-edik lTatványa
Például: =2, mert 2 = 32,/ ^ = - 2 , . m e r t (-2)^=-32....
.^rtelmezésünkbí91 következik:-mindkét esetben egyetlen, olyan.szám van, amely eleget tesz a definíciónak.....-
A gyökvonás azonosságai .
^ alábbiakban minden páros kitevőjű gyökjel alatt csak nemnegatív szám állhat.
1. Íab = Í a ^ , azaz a szorzat gyöiíét felírhatjuk a tényezők o-edÍk gyökének szorzataként.Bizonyításához emeyűk«-edik hatványra az egyenlőség mindkét oldalát: ab= ( i i ib y = i ia T iib y =ab.
2. ( = 0), azaz tört n-edlk gyöke felírható a számláló és a ne
vező /i-edik gyökének hányadosaként.Hatványozással beláthatjuk, hogy a bal oldal «-edik hatványa egyenlő a jobb oldal n-edik hatványával.
3- azaza hatvány «-edik gyökét feh'rhatjuk.az alap_n-edik.gyö-kének hatványaként.A bal oldal átalakításával eljutunk a jobboldalon álló kifejezéshez:
4. azaz a gyöknek a gyökét felÍThatjuk úgy is, hogy a gyökjelek alatti kifejezésből olyan kitevővel vonunk gyököt, amely az eredeti gyökkitevök szorzata.Bizonyításához emeljük «-edik hatványra az azonosság mindkét oldalát; Az új egyenlőség mindkét oldalát emeljük Jt-adik hatványra: a = ('**^)"^;Azn-edik gyök azonosságaiból adódnak azonosságai is:
'(ab = '{aT(b,
VbEzeknek az azonosságoknak az alkalmazásával - sok esetben - egyszerűbben vagy céljainknak megfelelőbben írhatjuk fel a négyzetgyökös kifejezéseket.
42
HATVANY, GYÖK, LOGARITMUS
KIEMELÉS A NÉGYZETGYÖKJEL ALÓL
V4<z^l2ű^= Í4a\a^+3) = ^ ^ ( ^ = 2 a ^ ia ^ + 3 .
Ha a négyzetgyökjel alatti kifejezést olyan szorzatként írhatjuk fel, amelynek egyik tényezője teljes négyzet, akkor annak négyzetgyökével szorozhatjuk a másik tényező négyzetgyökét. (A kiemelés körültekintéstkíván, ezt mutatja a következő példa: ^a^b+3a^= ia\b+3)' = IcI • Vö+3.)
BEVITEL A NÉGYZETGYÖKJEL ALÁ
Ha a négyzetgyök szorzóját négyzetreemeljük, akkor azzal szorozhatjuk a négyzetgyökjel alatti kifejezet. Fokozottan kell figj-elnünk olyan esetben, ha a négyzetgyökjel előtti tényező olyan betűs kifejezés, amely lehet pozitív is, negatív is:
2 a ^ =Í4a^(b+7), haOSa,
--^4a\b+7)l h a a < 0.
TÖRT NEVEZŐJÉNEK GYÖKTELENÍTÉSE
Ha egy tört nevezőjében négyzetgyök szerepel, akkor megfelelő bővítéssel úgy alakíthatjuk át a törtet, hogy a nevezőjében ne legyen négyzetgyök:L Ha a nevező egytagú, akkor a négyzetgyökös tényezővel ajánlatos bő
vítenünk:
3 3^2 3^2 a
5^2 5(^2)^ 10 ’ 2 ^ 6x
2. Ha a nevező kéttagú, akkor olyan kéttagú kifejezést keresünk, amellyel bővítve a törtet, a nevezőben két tag különbségének és ugyanazon két tag összegének a szorzata lesz:
. 3 ( 2 ^ - ^ )3 - ^ (3-V5)(3+V5) 4 ’ 17
A gyökfüggvényekkel a FÜGGVÉNYEK című fejezetben foglalkozunk.
43
HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS
A logaritmus fogalma, azonosságai
Bármely pozitív szám egyértelműen felírható valamely 1-töl különböző pozitív szám hatványaként. Egy számnak egy adott alapra vonatkozó hatványkitevöjét a szám adott alapú logaritmusának nevezzük.
A logaritmus fogalma
A b pozitív számnak az 1-től különböző pozitív a alapú logaritmusának nevezzük azt a hatványkitevöt, amelyre o-t emelve b-t kapjuk. Ezröviden: = b (0 <a é sa# l, 0 <í>).
3 ^Például: lo g ^ 7 = - mert 9^ =^9^= 3^=27,
logo i =-5, mert ű í'^= i (0< í?ésű /l).
A logaritmusra vonatkozó azonosságok
1. log^c = log^+logaC, azaz szorzat logaritmusa egyenlő a tényezők logaritmusának összegével.Ennek bizonyításához tekintsük a c pozitív számokat és a szorzatukat. A logaritmus definíciója alapján:
h=a^°^, bc= a^°^\
A be szorzatot írjuk fel egyenlő alapú hatványok szorzataként is:
A kétféle felírásból következik:
^los^e_^log^+bg„e
Mivel bármely pozitív szám, az a (0<a és a# l) alap hatványaként csak egyféle módon állítható elő, ezért az említett azonosság igaz.
2. loga ~ - loga&-log(jC, azaz tört logaritmusa egyenlő a számláló és a ne-c
vező logaritmusának a különbségével.
Bizonyításához írjuk fel a - hányadost kétféle módon, a logaritmus fo-c
44
HATVANY, GYÖK, LOGARITMUS
galmának a segítségével is, az egyenlő alapú hatványok osztásával is.
cb _ iog -logjCc
A két egyenlőség összehasonlításával kapjuk a bizonyítandó azonosságot.
3. loggö* =A:*logaí>, azaz hatvány logaritmusa egyenlő az alap logaritmusának és a kitevőnek a szorzatával.A 6* hatványt írjuk fel a logaritmus fogalma segítségével is, hatvány hatványaként is:
A két egyenlőség jobb oldalának Összehasonlításával kapjuk az azonosságot.
4. A harmadik azonosságból és a törtkitevőjű hatvány értelmezéséből kö
vetkezik a gyök logaritmusára vonatkozó azonosság; logal/^= ,
azaz gyök logaritmusa egyenlő a gyök alatti kifejezés logaritmusának és a gyökkítevönek a hányadosával.Függvénytáblázatunkban megtaláljuk a számok 10-es alapú logarit
musát. Annak, valamint az előző azonosságoknak a segítségével rövidebbé tehetjük az olyan Összetett kifejezések kiszámítását, amelyekben számok szorzata, hányadosa, hatványa, gyöke szerepel.
Áttérés más alapú logaritmusra
Ha ismerjük a számoknak egy adott alapú logaritmusát, akkor azok segítségével egy szám valamely más alapú logaritmusát is kiszámíthatjuk. Röviden azt mondjuk, hogy áttérhetünk más alapú logaritmusra.
Tekintsük adottnak a számok a alapú logaritmusát (0<ű és a /1 ). Ezek segítségével határozzuk meg egyx szám (0<j:) b alapú logaritmusát(0<b és é /1 ). A logaritmus fogalma alapján Az egyenlőségmindkét oldalának vegyük az a alapú logaritmusát. Az azonosságok alapján;
log^j: = logí,Jc-log^&.Ebből kapjuk:
\0gabazaz valamely szám új alapú logaritmusát megkapjuk, ha a szára régi alapú logaritmusát osztjuk az új alap ré ^ alapú logaritmusával.A logaritmusfüggvénnyel a FÜGGVÉNYEK fejezetében foglalkozunk.
45
BETŰS KIFEJEZÉSEK, NEVEZETES AZONOSÁGOK
VI. B e t ű s k i f e j e z é s e k , n e v e z e t e sAZONOSSÁGOK
Algebrai kifejezések
A betűs kifejezések sokfélék. Néhány példa:
5a^-3a+6
y(4c-3)^
i4r-3 |a^+Sa
(1 )
(2)
(3)
(4)
a (5)
3^-ey+3 (6)
(7)
(8)
lg(3a+5)9
Sa+ÜO
la+'{aí a + ^ — x^+1
x - ^
SÍn(3í:+5) ,t +3 5
(9)
(10)
(11)
(12)
A közöttük való tájékozódáshoz alakjukat megfelelő szóval (jelzővel) jellemezzük.
Beszélünk algebrai kifejezésekről és nem algebraiakról.A ) Algebrai kifejezéseknek azokat nevezzük, amelyekben betűknek (és
számoknak) csak összege (különbsége), szorzata (egész kitevőjű hatványa), hányadosa, gyöke szerepel (véges sokszor).A fentiek közül algebrai kifejezés az (1), (2), (4), (5), (7), (8), (10), (12).
B) Nem algebrai kifejezés a (3), (6), (9), (11).A /l . Az algebrai kifejezések közül azokat, amelyekben nem szerepel
betűs kifejezésből történő g>'ök\'onás, racionális kifejezéseknek mondjuk.A fentiek közül racionális algebrai kifejezés az (1), (4), (5), (7), (10), (12); nem racionális algebrai kifejezés a (2), (8), Ez utóbbiakat gyö- kös (vagy irracionális) algebrai kifejezéseknek mondjuk.
A/2. A racionális algebrai kifejezések közül azokat, amelyekben nincs betűs kifejezéssel történő osztás, racionális egész kifejezéseknek nevezzük.A fentiek közül racionális egész kifejezés az (1), (5), (7), (12); nem egész kifejezés a (4), (10). Ez utóbbiakat racionális algebrai tört- kifejezéseknek is nevezzük.Hangsúlyozzuk, hogy ezek az elnevezések a kifejezések alakját jel
lemzik. Tudjuk, hogy az előbb említettek közül a (2) és a (3)-ra fennáll
14c-31. Az alakjuk miatt a bal oldali algebrai kifejezés, a jobb
oldali nem algebrai. A (4) és (5)-re igaz: ^ = a. Mindkét oldalon ra
cionális kifejezés van, de a bal oldalon racionális tört, a jobb oldalon racionális egész kifejezés áll.
Minden racionális egész kifejezés felírható többtagú (polinom) alakban. Például; (3a~2ö)(4ű-3ö) = l2a^-Sab~9ab+6b'^ = \2a^-\lab+6b^,
vagy {2a+bf'-{2a+6b){a- — ) = 2a^-ab+Ab^.2
A többtagúak közé tartoznak az egytagú kifejezések is.Bevezettük az egytagú, többtagú kifejezések fokszámának a fogalmát.
Ha a rendezett egytagú kifejezésben egyetlen betű szerepel, akkor annak hatványkitevőjét nevezzük az egytagú fokszámának, ha több betű szerepel benne, akkor a benne szereplő betűk hatványkitevőinek az összegét nevezzük az egytagú fokszámának. Például: la^ harmadfokú, 4ab^c^ hatodfokú, stb. (A 0-tól különböző számok fokszáma 0. A 0 számnak nincs fokszáma.)
Többtagú egész kifejezés (polinom) fokszáma azonos a legmagasabb fokszámű tagjának a fokszámával. Például: ötödfokú, Aa^+Sab^negyedfokú, -9x^yz‘* +2x z nyolcadfokú,... stb.
A kifejezések alakját - céljainknak megfelelően - gj-akran kell megváltoztatnunk. Ha problémák, feladatok megoldása közben betűs kifejezésekkel dolgozunk, akkor azok alakját célszerű úg>’ változtatnunk, hogy az új alak előbbre vigye a megoldás menetét.
Nevezetes azonosságok
A leggyakrabban előforduló átalakításokat röviden felsoroljuk. A valós számokra vonatkozó (a+b)c = ac+bc disztributív tulajdonságnak fontos következményei az alábbiak;a) Ha b =x+y, akkor (l)-ből kapjuk:
{a+x+y)c=ac+xc-vyc (1)Ezt balról jobbra tekintve, mondhatjuk: Többtagú kifejezést egytagúval szorozhatunk úgy, hogy az egytagúval szorozzuk a többtagú minden tagját. Ugyanezt az átalakítást jobbról balra tekintve szorzattá alakításnak nevezzük. A jobb oldali tagokból kiemeltük a közös tényezőt.
46 47
BETŰS KlFEJEZESEK, NEVEZETES AZONOSÁGOK
b) Ha c =JC+>', akkor a disztributív tulajdonságból következik:
(a+b){x+y) = aK+ay+bx+by (2)
Többtagú kifejezést töbtagúval szorozhatunk úgy, hogy az egyik tényező minden tagját szorozzuk a másik tényező minden tagjával.A (2) jobb oldalából a tagok felcserélésével, csoportosításával és kiemelésekkel jutunk a bal oldalhoz:
ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) = (a+b){x+y).
Ezt az eljárást csoportosítással történő szorzattá alakításnak mondjuk.Az alábbi azonos átalakítások egyszerűek és gyakoriak. Ezért azokat
érdemes külön megjegyeznünk. Igazolásuk természetes módon történik, például a (3) bizonyítása: (a+b}^=ia+b){a+b)=^a^+ab+ab+b^ = a +2ab-<rb .
{a+b)~=a^+2ab+b^, (3)(a+b)^=a^+3a^b+3ab\b^, (4)
(a+b+c)^=a^+b^+c^+2ab+2ac+2bc , (5)(a+ö)(a-ö) = ö^-6* , (6)
{a-b)(a^+ab+b^) = a^-b^, (7)(a+b)(a^-ab+b") = a^-b^ . (8)
A (6) és (7) átalakítás speciális esete egy általánosabb azonosságnak. Ezt is érdemes megjeg>'eznünk:
Ez n = 2 esetén a (6)-ot, íi = 3 esetén a (7)-et adja.A (8)-nak megfelelő általános azonosság:
{a^b)(a^-a^^-^b^a^-V- ... (fceN -)
Ez A: = l esetén a (8) alatti egyenlőség.Ha a felsorolt azonosságokat balról jobbra tekintjük, akkor ezek a
szorzatok rendezett többtagú (polinom) alaíaa hozását jelentik, Jobbról-bal- ra tekintve azt mutatják, hogy az ilyen többtagú kifejezések hogyan alakíthatók szorzattá.
Törtek egyszerűsítésének első lépéseként ajánlatos a számlálót is, a nevezőt is szorzattá alakítanunk.
Törtek közös nevezőre hozásánál a nevezők legkisebb közös többszörösét (azaz a közös nevezőt) a nevezők szorzattá alakítása után ajánlatos keresnünk.
A hatványokra, gyökökre, logaritmusokra vonatkozó azonos átalakításokat az előző fejezetben tárgyaltuk.
VII. FUGGVENYEK
A négyzet területe egyetlen adattól függ. H a a négyzet oldalhossza a, akkor területe a . A négyzet területe egyváltozós függvény.
Aza,b oldalhosszúságú téglalap területe ab, ez kétváltozós függvény.
Középiskolában részletesen csak az egyváltozós függvényekkel foglalkoztunk.
H a a függvény fogalmának lényegét egyetlen szóval akarjuk kifejezni, akkor az a hozzárendelés lenne. E z az egyetlen szó azonban nem elég, a függvényfogalmat pontosan kell értelmeznünk és m ég néhány hozzákapcsolódó fogalmat is. Foglalkoznunk kell a függvények megadási módjával, szemléltetésükkel, ábrázolásukkal is.
A függvények jellem zésére különböző fogalmakat vezettünk be. Ezeket tudatosan is ismernünk kell.
Vannak olyan függvénytípusok, amelyekkel gyakran dolgozunk. Ezeket külön is tárgyaljuk.
A függvényfogalom, elnevezések
Adott két (nem üres) halmaz, jelöljük ezeket H-val és K-vaL Ha a H halmaz minden egyes eleméhez valamilyen módon hozzárendeljük a K halmaz €gy~egy elemét, akkora hozzárendelést függvénynek nevezzük.
A 16. ábra olyan hozzárendeléseket szemléltet, amelyek a függvény fogalmának megfelelnek.
Kölcsönösen egyértelmű (vagy egy-egyértelmű) az a hozzárendelés, amely a H halmaz minden egyes eleméhez a K halmaznak pontosan egy elemét rendeli és a K halmaz minden elemét hozzárendeli a H egy-egy
48 49
FUGGVENYEK
eleméhez. Ilyet szemléltet a 16/c ábra. Az ilyen hozzárendelés „fordítva is függvény”
A H halmaz a függvény értelmezési tartománya.A függvények szokásos jelölése:/,^, h , ... Ha az/függvény értelmezé
si tartományának egy elemét x-szeí jelöljük, akkor a K halmazból hozzárendelt elemet/(x)-szel jelöljük, ezt azx-hez tartozó helyettesítési értéknek (vagy függvényértéknek) nevezzük.
A K halmaz a függvény helyettesítési értékeinek a halmaza (16/b, 16/c ábra), vagy annál bővebb halmaz (16/a ábra). A K halmazt képfial- maznak is mondjuk. Ha a K halmaz pontosan a függvény helyettesítési értékeinek a halmaza (16/b,c ábra), akkor a képhalmazt a függvény érték- készletének nevezzük.
Az értelmezési tartomány és a képhalmaz elemei lehetnek számok, pontok, tá r ja k , idő, emberek, hőmérséklet, stb. A / / és a halmaz lehet különböze is, de lehet azonos is.
Leggyakrabban olyan függvényekkel dolgozunk, amelyeknek értelmezési tartománya is, értékkészlete is a valós számok részhalmaza (azaz R, vagy annak egy valódi részhalmaza). Az ilyen függv'ényeket valós változójú, valós értékű függvényeknek, röviden R-*M (olvasd: „R nyíl R ”) típusú függvényeknek nevezzük. Ezeknél a függvényeknél az/(x) jelölést a hozzárendelési szabály szimbolizálására is használjuk.
A 16. ábrán Venn-diagramokkal szemléletessé tettük a hozzárendelési szabályokat.
Az R ^ R típusú függvényeknél a hozzárendelést úgynevezett „nyíldiagrammal”, azaz két párhuzamos számegj'enes segítségével is szemléltethetjük. Az egyik egyenes részhalmaza az értelmezési tartomány, a másik részhalmaza a képhalmaz. Nyilak mutatják a hozzárendelést (17. ábra).
1,5jc - 2
17. ábra
A leghasznosabb (ezért leggyakoribb) szemléltetés az (aj’) koordinátasíkon való ábrázolás. A függvény értelmezési tartományának x elemeihez kiszámítjuk az f{x) füg^ényértékeket és az (x; /(a:)) pontokat a koordiná- ta-rendszerben ábrázoljuk. Ezeknek a pontoknak a halmaza az/függvény képe vagy grafikonja. A grafikon egyenletes =/(x).
50
FÜGGVÉNYEK
Ha egy függvényt, a matematikai fogalma alapján pontosan akarunk megadni, akkor megadjuk értelmezési tartományát, a képhalmazát és a hozzárendelési szabályát. Például;
/ : R ^ R , X '-^ 3 x -7 , v a g \’/ : R -^ R ,f { x ) = 3 x - 7 ,
g : R ^ R \ g ( x ) = 3 ^ - ^ h - . R \ { 3 } ^ R , h ( x ) = ^x - 3
Találkozunk eg^'szerűbb megadási móddal is. Például;1
x ^ -4Ekkor a
függ\'ény értelmezési tartományának azt a legbővebb halmazt tekintjük,
amelyet — formula megenged. Ennek a függvénynek az értelmezésij r —4
tartomány; R \{ - 2 ; 2}. (Vannak ilyen jellegű kitűzött feladatok is; „Állapítsuk meg a következő ... kifejezés értelmezési tatományát*'.)
Az értelm ezésből következik, hogj' különbség van a z / függvény, a z / függvény X helyen vett/(a:) helyettesítési értéke, a függvény grafikonja és a grafikon>' ~f(x) egyenlete között, A fogalmi különbségeket ereznünk kell, de
ga különbségeket nem kell mindig hangsúlyoznunk, A szabadesés ■ ' ' ~ 2
9 81a za z i = í - „ k é p l e t e ” i.s függvény. A szabadesés tágyalásánál zavaró
lenne, ha megadnánk a függvény értelmezési tartományát és nyíllal je lölnénk a hozzárendelést.
Inverz függvények
A H halmazon értelmezett / függv'ény értékkészlete K és legyen az x ^ f { x ) hozzárendelés kölcsönösen eg>'értelmű, (A z/függ\’ény grafikonjának y = fix) az egyenlete.) A kölcsönösen egyértelmű hozzárendelésből következik, hog)' a K értékkészlet minden egyes eleme a H értelmezési tartomány eg>'etlen értékének a képe, azaz a hozzárendelés „fordít\'a” is függvény. Ez azt jelenti, hogy az / függvény „megfordításával” a K halmaznak, mint értelmezési tartománynak minden egyes eleméhez hozzárendelhetjük a//halm aznak, mint képhalmaznak egj'-egy elemét;/(jí)Az ígj' kapott függvényt az/függ\'ény inverzének nevezzük, (Szokásos jelö- lé se ;/‘\ ennek olvasása; „/inverze ”,) A kétféle hozzárendelést a 18. ábrán egy monoton növekvő folytonos függvény segítségével szemléltettük.
H a /e g y formulával megadott olyan függvény, amelynél a hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű, akkor az inverz függvényének formulájához úgy Juthatunk el, hogy az>- =f{x) alakból azx-et az>' segítségével kifejezzük. Ebből azx és>’ betűk felcserélésével jutunk a megszokott alakhoz.
51
felcserélése a tengelyek felcserélését jelenti és ebből az következik, hogy az eredetj és az inverz függvény képe az v=x e ^ n e s r e (az I. és III. „egyed szögferezSjére) n é zv I^ g y L sn ík Tükör-
FÜGGVÉNYFJC ______________________
18. ábra 19. abraPélda: Azy=3cc+2 függvény inverzének meghatározása:
y~2 oaz X, j felcserélése után: v =
3 - ^ 3 3X 2
A z > -= 3 r + 2 é s a z y = ^ -_ egyenletű egyenesek egymásnak tükörké
pei az>>=jc egyenesre nézve (19, ábra).
A függvények jellemzése
bevezettünk néhány fogahnat. (Ha a füeg- a k í s í értehnezési tartományát, értékkészletót
Egy-egy fflgÍvéi.y„éI
“ ''5' írtékei-
b) az értelmezési tartományában, vagy annak egy részén csökkenő novekvo, nemcsökkenő, nemnövekv&, csokfceno,
ha van, akkor a változó m dy értékei-
52
FÜGGVÉNYEK
d) van-e helyi minimuma, helyi maximuma, ha van, akkor az a változó mely értékeinél van;
e) periodikus-e a függvény, ha igen, akkor mi a periódusa',f) páros-e, páratlan-e a függvény, vagy nem is páros, nem is páratlan;
A vizsgálatokhoz a megfelelő fogalmakat pontosan kell ismernünk.a) Valamely / függvény zérushelyeinek nevezzük az értelmezési tartomá
nyának mindazon jc értékeit, amelyeknél/(j:) = 0.b) A függvények menetének jellemzésére bevezettük a monoton csökke
nés, növekedés, nemcsökkenés, nemnövekvés fogalmát. Ezek helyett azonban más elnevezéseket is használhatunk. Rendre mondhatjuk, hogy a függvény szigorúan csökkenő, szigorúan növekvő, csökkenő, növekvő. Ezek pontos értelmezését az alábbiakban foglaljuk össze és a 20. ábrával szemléltetjük.
N\ \1 <X^
Jy
X. <JT, -r
20. ábra
Ha az / függvény értelmezési tartományának egy intervallumában a változó bármely x^<x^ értékeinél a megfelelő függvényértékekre fennáll,
egyik elnevezés másik elnevezés
/(xi) >/(x2), akkor ott a függvény csökkenő szigorúan csökkenő
fix-) <f{x'^, akkor ott a függvény növekvő szigorúan növekvő
/(Xi)^/(X2), akkor ott a függvény nemnövekvő csökkenő
/(xi) á/(x2), akkor ott a függvény nemcsökkenő növekvő
A kétféle elnevezés közötti különbséget legjobban a konstansfüggvények jellem zése mutatja meg. Ezekre az első elnevezések szerint azt kell mondammk, hogy nemnövekvök és nemcsökkenök, a másik elnevezés szerint pedig azt, hogy csökkenők és növekvők.
c) Az/függvénynek m/rt/ffíumfl van a változó jc értékénél, ha a függvény az ott felvett/(x j értéknél sehol sem vesz fel kisebb értéket.
53
FÜGGVÉNYEK FUGGVENYEK
A z f függvénynek maximuma van a változó a:2 értékénél, ha az ott fel- vcttfixi) függvényértéknél a függvény sehol sem vesz fel nagyobb értéket.
d) Az/függvénynek helyi minimuma van a változó a értékénél, ha létezik az a-nak egy olyan környezete (azaz létezik olyan nyitott intervallum, amely tartalmazza a*t), hogy abban az/függvény az jc=a-nál felvett f{a) függvényértéknél kisebb értéket nem vesz fel.Az / függvénynek hefyi maximuma van a változó b értékénél, ha létezik ÍJ-nek olyan környezete, hogy abban az/függvény az x=í>-nél felvett/(&) függvényértéknél nagyobb értéket nem vesz fel (21, ábra).
a X , .Í2 X3V 1 h X
x ^ f i x )
X - a: maximum [x ,; X.]; csökkenő[a : csökkenő x - : zérushely
helyi minimum X4 : minimum[*i ■ növekvő [■4; ö [ : növekvő
helyi maximum X5 : zérushely21. ábra
e) A z x>-^f(x) függvényt periodikusnak mondjuk, ha létezik olyan0<p konstans, hogy minden ;ic-re (xeH ) fennáll x ^ e H és az f{x+p)=f(x) egyenlőség. Ha az ilyen/? számok között létezik legkisebb, akkor ezt a p konstanst az / függvény periódusának nevezzük (22. ábra).
periodikus függ\’ény. 2
-3 - 2 - 1 0 1 2 3i [ x ^ x t ö r t r é s z e )
2 2 ábra
f ) A z fJ í^ R ,x ^ f{ x ) f ü g g v é n y t n e v e z z ü k , habármelyjc {x^H ) értékkel eg>^tt -x is a függvény értelmezési tartományához tartozik és bármely j:-re/(-jc)=/(x). Páros függvény képe szimmetrikus a koordinátasík^ tengelyére.Az x>->fix) függvényt páratlan függvénynek nevezzük, habármely x(xeH ) értékkel e g ^ tt -x is az értelmezési tartományhoz tartozik és bármelyAC-re/(-jí) = ''/(x). Emiatt a páratlan függvény képe szimmetrikus a koordinátasík origójára (23. ábra).
Vannak függvények, amelyek folytonosak (például: f(x )-3 x + 7 ,
g(x) =x -3 ;c -9 ,...) és vannak amelyek nem folytonosak (például; ,
,... Vannak függvények, amelyek képén „törést” látunk, például az
]j:| függvény képén. A folytonosság, a törés fogalmát is pontosan kellene tisztáznunk, de ez a középiskolában nem törzsanyag.
Nevezetesebb függvénytípusok
Elsőfokú függvények, lineáris függvények
ElsÖfoküfüggvények:/: R-^R, f{x)=ax+b (a#0), konstans függvények: g-: R^-IR, g(j:) =c (c konstans).
Képük egyenes. Koordináta- geometriai ismereteinkből tudjuk, hogy az/(t) ~ax+b függvényeknél a az egyenes iránytangense, fc az y tengely metszete. A b^O esetén f(x)=ax az egyenes arányosság függvénye. Ugyanis a.zy=ax összefüggésben a zx ,y (xf0;yi=0) összetartozó értékeinek aránya az a állandó és az ilyen kapcsolatot nevezzük egyenes aránynak. A konstans függvények egyenese párhuzamos azA: tengellyel (24. ábra).
y
- f + 4
1 ■ 1L----- •----- 1 ^
................................ .................... r
> = - 3
24. ábra
Másodfokú függvények
/ :R ^ R , f{x)=axK bx^ (ű#0).Képük parabola (25. ábra). A szélsőérték helyét teljes négyzetté kie-
h^-Aacgészítéssel kapjuk:
f{x)=a x+-2a Aa
54 55
FÜGGVÉNYEK FÜGGVÉNYEK
A szélsőérték a változó b
y — X" + 6a' 8x=-
2a
- -2a- + 8a- - 6 25. ábra
értékéhez tartozik. Ez a szélsőérték minimum, ha 0<a, maximum, h a ű < 0.
Minimumnál a függyény csökkenésből megy át növekedésbe, maximumnál növekedésből megy át csökkenésbe.
A z f(x)=a^+a„_jX ^^ + ...+a^+aQ (a „ /0 ) függvényt n-edfokú poli- nomfüggvénynek nevezzük. Közülük az x, x \ x” függvényeket hatvány- függvényeknek mondjuk.
A négyzetgyőkfíjggvény
/:(R\R>R,Képe: „félparabola”.Azx^ függvény a [0; oo[ intervallumon monoton növekedő. Ezen az
inteivallumon az hozzárendelési szabály kölcsönösen egyértelmű.Ezekből következik {azy=-x'^;x= '^;y=^átalakítással), hogy az
/:(R \R -)-R . /(x)=;c".g:(R\R-)->R, = ^
függvények egymásnak inverzei (26. ábra).A2 x*- a: és azxi-^^ függvények is egymásnak inverzei (27. ábra).
Abszolútérték-függvény
/ :R -R , f(x )= \x \.Képe „töröttvonal”. Néhány függvény képét 28. ábra mutatja.
Elsőfokú törtfiiggvények
Az elsőfokú törtfüggvények (vagy lineáris törtfüggvények) racionális törtfüggvények. Nevezőjükben elsőfokú kifejezés, számlálójukban pedig vagy elsőfokú kifejezés, vagy konstans áll. Általános alakjuk:
/: R \Hí *R, f(x) =ax+bcx+d
(c#0 és adébc).
A legegyszerűbb elsőfokú törtfüggvény az/;R\{0}^R,/(A:) = — (29. ábra),X
c ^vagy általánosabban: g{x ) = — (x=^0, c konstans). Ez a g(a:) = — a fordítottX X
arányosság függvénye, ugyanis az y = -~ Összefüggésben az (x#0,y#0)
Összetartozó értékeinek a szorzata állandó és az ilyen kapcsolatot nevezzük fordított arányosságnak.
Exponenciális függvény
Az exponenciális függvény hozzárendelési szabályában az alap 1-től különböző pozitív szám, a változó kitevőben van:
/:R-R^ f(x)=ü(0<a és ű#l).
A függvény folytonos és monoton, érték- készlete a pozitív számok halmaza.
Az a* függvény monoton növekvő, ha l< a, monoton csökkenő, ha 0<a<l (30. ábra). 30 .ábra
56 57
FÜGGVÉNYEK FUGGVENYEK
A logaritmusfíjggvény
/:R '^^R, f{x)=\og^x (0 <a és ai^l).
A függvény folytonos és monoton, értékkészlete a valós számok halmaza.A loggX függvény monoton növekvő, ha l<a, monoton csökkenő, ha
0< fl< l (31. ábra).3' = 2'
A valós számok halmazán az hozzárendelési szabály kölcsönösen egyértelmű. Ebből következik, hogy inverze létezik, A z y = a^, Jc = log„7 , y = \og^x átalakftásokkal az ugyanolyan alapú logaritmusfüggvényt kapjuk (32 ábra).
Trigonometrikus függvények
Trigonometrikus függvények ábrázolásánál az x változó valós szám, a szögeket azjc tengelyre radiánokban mérjük fel.
SINUSFÜG<;\'ÉNY
1], f(x) = siüx (33. ábra).
Páratlan függvény, periodikus, periódusa 2tt. Zérushelyei: x = kir, maxi-
COSINUSFÜGGVÉNY
1], f(x)=co^x (34. ábra).7TPáros függvény, periódusa 2 t. Zérushelyei: x= — + kT, Maximum helyei:
x = 2kTf, minimumhelyei: j : - ír+2A:7t (/cGZ).
TANGENSFÜG G\^NY
R \ >R, = (35. ábra).
Értékkészlete a valós számok halmaza. Páratlan függvény, periodikus, pe-7T
riódusa tt. Zérushelyei:.x:=/:7r. Nem folytonos, szakadása van azx= - + kTTZt
helyeken. A7 T _ 7T
2 ’ 2inter\'allumon folytonos, monoton növekedő.
55. ábra 36. ábra
58 59
FÜGGVÉNYEK FÜGGVÉNYEK
COTANGENSFÜGGVÉNY
/:(R\{/cTr})^R, ^ x )-c tg r (36. ábra).Értékkészlete a valós számok halmaza. Páratlan függvény, periodikus, pe-
TTriódusa tt. Zérushelyei; x= — +fcir. Nem folytonos, szakadása van azx=k-K
helyeken, A ]0; 7t[ intervallumon folytonos, monoton csökkenő.
Egy függvénnyel egymás után több transzformációt is végezhetünk. Ha az/függvény^.ic) hozzárendelési szabályából - 2 ’f(x-3)+4 lesz, akkor a transzformációk lépései: f{x), 2'f(x-3), -2-/(x-3), -2/(jc-3)+4. Azegyes transzformációk miatt az/függvény egyenletű grafikus képerendre a 3 egységgel az x tengellyel párhuzamosan jobbra tolódik, az y tengely irányában kétszeresére megnyúlik, az j tengelyre tükröződik, az v tengely irányában 4 egységgel felfelé eltolódik.
FüggvénytranszformációkFüggyénytranszformációkkal egy-egy függvénytípus valamely függvé
nyéből, a hozzárendelési szabály bizonyos megváltoztatásával ugyanolyan típusú függvényeket állíthatunk elő.
A hozzárendelési szabályok megváltoztatása kétféle módon történhet:
a) Q függvényérték megváltoztatásával,b) a változó megváltoztatásával.
Mindkét esetben 3-3 esetet vizsgálunk. Ezek:1. konstans hozzáadása,2. az előjel ellentetté változtatása,3. pozitív konstanssal történő szorzás.Az egyes esetekben a függ\'ény képének változását az alábbi táblázat
ban foglaltuk össze.Az/függvény a: helyen vett helyettesítési értéke, azaz a függvényérték;
fix).
A függvényérték trans2forinádói A változó transzformációi
/(x)-i-c, a függvény képe az y tengellvel párhuzamosan c l egységgel eltolódik, ha 0< c, akkor felfelé, ha c < 0 , akkor lefelé
f{x+c), a függvény képe az x tengellyel párhuzamosan 1 cl egységgel eltolódik, ha 0 < c , akkor balra, ha c< 0 , akkor jobbra
- /(x ) , a függvény képe az x tengelyre tükröződik
/ ( -x ) , a függvény képe az;; tengelyre tükröződik
C'f (x) , a függvény képe az _v tengellyel párhuzamosan c-szeresére megnyúlik, ha 1 <c; összenyomó' dik, ha 0 < c < l ,
f ( c ’x), a függvény képe az jr tengellyel párhuzamosan1— -szeresere osszenyo-
módik, ha l< c ; megnyúlik, ha 0 < c < l .
60 61
EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSUK
VIII. E g y e n l e t e k , e g y e n l ő t l e n s é g e k , MEGOLDÁSUK
A z előttünk lévő = 66 egyenlethez kérdéseket kapcsolha
tunk: „Melyek azok a számok, amelyek kielégítik?”, „Hogyan határozhatjuk meg 32 egyenletet kielégítő számokat?”
Felmerülhet azonban más kérdés is: „Milyen problém a vezetett ehhez az egyenlethez?” H a ez utóbbi kérdésre az a válasz, hogy olyan konvex sokszögnek kerestük az oldalszámát, amelynél az oldalak és az állók együtles szám a 66, akkor a legelső kérdésünket kiegészíthetjük: 3-nál nagyobb egész szám ok közül melyek azok, amelyek kielégítik az egyenletet?” Ugyanis legalább 4 oldalúnak kell lennie a sokszögnek, hogy legyen átlója és az oldalszáma csak egész szám lehet. Ennél a példánál a 3-nál nagyobb egész számok halmazát az egyenlet alaphalmazának nevezzük.
Minden egyenlethez (egyenlőtlenséghez) hozzátartozik az alaphalmaza. Ha ezt nem adjuk meg, akkor az egyenlet alaphalmazának a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát tekintjük, amelyet az egyenletben (egyenlőtlenségben) szereplő kifejezések megengednek.
Példák:1. {jr-3)(j:+2) = 0. Eimek az egyenletnek nem adtuk m eg az alaphal
mazát. Mivel a benne szereplő kifejezés minden valós számra értelmezve van, az egyenlet alap halmazának az R halmazt tekintjük. Az egyenlet gyökei: = 3, ~ “2-
2. (j:-3)(i-f-2) = 0, x S lN * . Az egyenlet alaphalmaza a pozitív egész szám ok halmaza, gyöke: =3.
3. 2 í= lfc+3 . A z eg>'enletnek nem adtuk m eg az alaphalmazáL A bal o ldalán álló kifejezés minden valós számra értelm ezve van, a jobb oldalon álló -3^;c-re. A z értelmezési tartományok közös része a - 3 S a- számok halmaza, {Természetes, hogy az alaphalmaz ennél szűkebb halmaz is lehet. Például, ha ismertté válna az a probléma, amely az egyenlethez vezetett és az csak pozitív egész számokat engedne meg, akkor az egyenlet alaphalmaza N lenne.)
A) Az egyenlet két oldalán álló kifejezést egy-egy függvénynek tekintjük.Az egyenlet megoldásakor az alaphalmaznak mindazokat az számait
keressük, amelyeknél a két függvény helyettesítési értéke egyenlő, azaz amelyeknél/(jc)=^(;i). Ezeket az x értékeket az egyenlet gyökeinek, vagy ezek halmazát megoldáshalmaznak nevezzük.Példák:
1. Az egyenlet; = -\tc+í, -lájc.
A két függvény: /: f{x) = lg : [-!;«= h R ^ g(x) = ^ .
Az egyenletnek egyetlen gyöke van, azj: = 0, mert ennél az egyetlen1
számnál VO+1.
2. Az egyenlet: U+2| =3- | j:-1 |, j:£R .A két függvény: /: R-h^R, f(x) = \x+21; g: R^'R ^(;c) = 3 - 1 j: -1 | .Az egyenlet megoldása minden olyan ,í szám, amelyre x € [-2; 1], azazaz egyenlet megoldáshalmaza: [-2; 1], mert ennek az intervallumnakminden számánál/(x)=^(j:).
B) Az egyenletet tekinthetjük logikai függvénynek.
Az = Vjc-hÍ logikai függvény értelmezési tartománya a -1 áx szá
mok ha maza, értékkészlete az {igaz, hamis} kételemű halmaz.Az egyenlet megoldásánál azokat az jc értékeket keressük, amelyek
hez az igaz logikai érték tartozik. Ezeknek az x értékeknek a halmazát az egyenlet igazsághalmazának nevezzük.
Az előző egyenlet igazsághalmaza: 1= {0},Az f{x)^g{x), f(x)>g{x) egyenlőtlenségek lényegét értelemszerűen az
előzőekhez hasonlóan fogalmazhatjuk meg,A két különböző szemléletből két különböző szóhasználat adódik. Ha
az egyenletet (egyenlőtlenséget) logikai függvénynek tekintjük, akkor annak igazsághalmazát keressük. Ha eltekintünk a matematikai logika szemléletétől, akkor az egyenlet, egyenlőtlenség gyökeit, megoldásait, vagy megoldáshalmazát keressük.
Az egyenletek, egyenlőtlenségek fogalma Az azonosság fogalma
Az egyenletek, egyenlőtlenségek lényegét kétféle módon fogalmazzuk meg, azaz kétféle módon értelmezzük.
Az 5(x+3)=5x4-15 egyenlőség bal és jobb oldalának helyettesítési értéke bármely valós x számnál egyenlő. Ezt az egyenlőséget tekinthetjük
62 63
egyenletnek, alaphalmaza R, megoldása minden valós szám (megoldáshalmaza a valós számok halmaza). Erre az egyenlőségre azt is mondjuk, hogy a valós számok halmazán azonosság.
A z fix) =g^) egyenlőség egy H halmazon azonosság, ha a H halmaz bármely X éleménél a bal és a jobb oldalon álló kifejezés helyettesítési értéke azonos.Példák:
1. ^ = \ a \ egyenlet, megoldása minden valós szám, azonosság a valós számok halmazán.
2. ^ = a egyenlet, melynek megoldása minden nem negatív szám, azonosság a nemnegatív számok halmazán.
3 . azonosság a nemnegatív számokból képezett a, 6 számpárok halmazán.
4. sinji:=Vl-cos^ egyenlet, megoldása minden olyan x, amelyre Oásinj:, azaz 2kv^x^{2k-*-í)v {k e l.) , azonosság a 2kv&x^{2k+\)Tí számok halmazán.
EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK. MEGOLDÁSUK___________
Egyenletek megoldása
Bármilyen szemlélettel tekintjük is az egyenleteket, a megoldásuk a fontos. Olyan eljárásokat, olyan átalakításokat kell keresnünk, amelyekkel úgy határozhatjuk meg az egyenletek, egyenlőtlenségek gyökeit, megoldáshalmazát, hogy közben azok ne változzanak, azaz minden gyököt megkapjunk és ne juthassunk hamis gyökhöz.
A z egyenletekben szereplő ismeretlenek száma szerint beszélünk egy-, két-, három -,... vagy többismeretlenes egyenletekről.
Lehetséges, hogy az ism eretleneken kívül betűvel jelölünk megadottnak tekintett számokat is. Ezeket a betűket paramétereknek nevezzük, az egyenleteket pedig paraméteres egyenleteknek. Ezeknél tisztáznunk kell, hogy melyik betű jelöl paramétert. (Például; ax+b~'=a'^+bx, a, b paraméter.)
A nagyon sokféle egyenlet közül a közös vonásokkal rendelkezőknek egy-egy jellem ző elnevezést adunk. Példaként néhány típust említünk:
Azokat az egyenleteket, amelyekben az ism eretlenek csak racionális egész kifejezései vannak, algebrai egyenleteknek nevezzük. Ezeken belül az ismeretlent tartalmazó tagok fokszáma szerint első-, másod-, «-ed fokú egyenleteket különböztetünk meg. Például
5x-7y=5, elsőfokú kétismeretlenes eg>'enlet,
:í+;q)=9, másodfokú kétismeretlenes egyenlet.
EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK. MEGOLDÁSUK
(x~5)-+(y+l)2+(z+3)2 = 0, másodfokú háromismeretlenes egyenlet,
5x^+lx-9 = 0, egyismeretlenes másodfokú egyenlet (rendezett alakban).
A nem algebrai egyenletek közül egy-egy példát mutatunk a számunkra legfontosabb típusokból:
|i+ 21 + |j:-1 I =5, abszolúténékes egyenlet,
egyenlet,
-{x^-7x+14=2, gyötűj (eznégyzetgyökös) egyenlet,
2^-1=16, exponenciális egyenlet, lg{j:-2)-i-lg(3jc-l)=2, logaritmusos egyenlet,
2cos^x=4-7cosj:, trigonometrikus egyenlet (ez cosx-re nézve másodfokú egyenlet).
Az egyenletek sokfélesége miatt nem létezik olyan módszer, amelynek alkalmazásával bármely egyenletet megoldhatnánk. A következőkben néhány ötletet, néhány módszert mutatunk, amelyek hasznosak lehetnek az egyenletek megoldásánál.
Vannak eg>>enletek, amelyek megoldása történhet az alább felsorolt módszerek valamelyikével, vagy többféle módszer együttes alkalmazásával.
a) Grafikus módszer.b) Az egyenlet alaphalmazának vizsgálata.c) Az egyenlet két oldalán álló kifejezések értékkészletének összeha
sonlítása.d) Úgy rendezzük az egyenletet, hogy az egyik oldalán szorzat álljon
és az 0-val legyen egyenlő. Utána azt vizsgáljuk, hogy az egyes tényezők mikor lehetnek 0-k. Ezzel az eredeti egyenlet megoldását egyszerűbb egyenletek megoldására vezetjük vissza.
e) Vannak egyismeretlenes egyenletek, amelyekből az ismeretlent rendezéssel kifejezhetjük. (Az egyenlet rendezésére akkor is szükség lehet, ha az ismeretlent nem tudjuk rendezéssel kifejezni.)
f) Többismeretlenes egyenletrendszerek megoldásánál gyakran alkalmazhatjuk a behelyettesítő módszert: Az egyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent és behelyettesítjük az összes többi egyenletbe. így eggyel kevesebb egyenletet kapunk, eggyel kevesebb ismeretlennel. Ha ez is többismeretlenes egyenlet, akkor ezzel a módszerrel tovább csökkenthetjük az ismeretlenek számát, mindaddig, amíg végül egyismeretlenes egyenlethez jutunk.
Van olyan egyenletrendszer, amely megoldható rövidebb úton is.Például az
x^^lxy = 7 x+xy - 4
64 65
egyenletrendszer megoldása egj'szerű és rövid, ha a különbségét vesszük az első és a második egyenlet kétszeresének. Ez X“- 2 t = —1, azaz (jc -l)-= 0 . Ebből 1, majd az egyik eredeti eg>-enletböl> =3. A z egyenletrendszer megoldása a zx = 1,> =3 számpár.
A másodfokú egyismeretlenes és az elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldásával külön és részletesen foglalkozunk.
A következőkben néhány egyenlet segítségével is megmutatjuk az említett módszerek lényegét.
EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, MEGOLDÁSUK_________ _ EGYENLETEK EGYENLŐTLENSÉGEK, MEGOLDÁSUK
Az egyenlet alaphalmazának vizsgálata
A i/l“X = lg(jc-l) egyenletnél érdemes megvizsgálnunk a két függvényértelmezési tartományát. A bal oldalon álló V^-^értelmezési tartománya - lá x S l , a jobb oldalon álló lg (í-l) függvényé l<jc. A két értelmezési tartománynak nincs közös eleme, az egyenlet alaphalmaza üres halmaz, az egyenletnek nincs gyöke.
Grafikus módszer
A 37. ábra az = egyenlet grafikus megoldását mutatja. A
két görbe közös pontjának jí koordinátája az egyenlet gyöke:,c = 0.
37. ábra 38. ábra
Ez az egyenlet azonban olyan, hogy gyökét megtalálhatjuk ábrázolás nélkül is. Ugyanis ismerjük az exponenciális függvényt is, a négyzetgyök
f 1 Vfüggvényt is. A bal oldalon álló — függvény monoton csökkenő, a jobb
oldalon álló függvény monoton növekedő. Kizárólag a monoton csökkenésből és a monoton növekedésből már következik: ha az egyenletnek van valós gyöke, akkor egyetlen gyöke van. Ekkor még mindig kérdéses, ha létezik az egyetlen gyök, akkor azt hogyan találjuk meg. Ennél az egyenletnél olyan egyszerűek az egyenletben lévő kifejezések, hogy könnyen felismerhetjük: az egyenletet ;c = 0 kielégíti. Ezért az egyenlet egyetlen gyöke:x=0.
A 38. ábra az |jc+2| = 3 - U - l | egveniet grafikus megoldása. Az egyenlet megoldáshalmaza: [ - 2; 1].
Az értékkészlet vizsgálata
Az (l+sÍru:)[3"COs(:í+^)] = 8 egyenletnél a két oldal értékkészletének
vizsgálata vezet a megoldáshoz. A jobb oldal értékkészlete 8, a bal oldalon két tényező szorzata áll. A tényezők értékkészletét külön-külön vizs
gáljuk. Az 1+sinx értékkészlete [0; 2], a 3- cos(j:+ ~) értékkészlete [2; 4].
Ezért a két tényező szorzata akkor és csak akkor lesz 8, ha l+siriA: = 2 ésTT 7T3-cos(jt:+- ) = 4* A siac = 1 és a c o s (a: + - ) = -1 egyenletek megoldását kell2r 3
vizsgálnunk. Ezekből x - —+2kir, illetve jc+—= 7r+2/7r, azaz x = — +21tt2 2 2
TT(fc,/eZ). Ezért az egyenlet megoldásai azx= - +2/cir (fceZ) számok.2
Szorzattá alakítás
Az :i^-45=9x-5x^ egyenlet 0-ra redukált x^+5j:^-9x-45 = 0 alakjának bal oldalát szorzat alakjában írjuk fel: ;c^(i:+5)-9(x+5)=0; (x+5)(x^-9)=0; (jc+5)(x+3)(x-3) = 0. A szorzat akkor és csak akkor 0, ha van olyan tényezője, amely 0. Ezért azx+5=0, x-3=0 és azx+3~0 egyenletek megoldását keressük. Az eredeti egyenlet gyökei: Xi~-5, 2= 3, x^= -3.
Rendezés
A z egyenlet „rendezésével” megváltoztatjuk az egyenlet alakját. Közülük ekvivalens átalakításoknak nevezzük azokat, amelyek során az egyenletnek egyetlen gyökét sem veszítjük el és nem kapunk olyan gyököt (úgynevezett hamis gyököt), amely az eredeti egyenletnek nem gyöke. Az ekvivalens átalakításokkal kapott egyenleteket ekvivalens egyenleteknek mondjuk.
66 67
EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, MEGOLDÁSUK EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSUK
Az egyenletek „rendezési szabályai” a mérlegelvből adódnak. Ha az egyenlet mindkét oldalához hozzáadjuk (vagy kivonjuk) ugyanazt a számot, ha az egyenlet mindkét oldalát szorozz«/c (vagy osztjuk) ugyanazzal a 0-tól különböző számmal, akkor az új alakú egyenlet ekvivalens az eredetivel.
A következő egyenletet a mérlegelven alapuló rendezéssel oldjukmeg:
(2x-3)3+l x+2 = í+x2 530;c-45+5-2a:-4=1(>+10j;
18;c = 54 x=3 .
Egyenlőtlenségek megoldásánál a mérlegelvet módosítanunk kell. Egyenlőtlenség mindkét oldalához is adhatunk konstanst, pozitív konstanssal is szorozhatjuk (vagy oszthatjuk) mindkét oldalát, az új egyenlőtlenség ekvivalens az eredetivel.
Ha negatív konstanssal szorozzuk (vagy osztjuk) az egyenlőtlenség mindkét oldalát, akkor az egyenlőtlenség irányát ellenkezőjére kell változtatnunk, csak ekkor marad változatlan az egyenlőtlenség megoldáshalmaza.
Ismeretlent tartalmazó tagot is hozzáadhatunk az egyenlet, egyenlőtlenség mindkét oldalához, ha az nem változtatja meg az alaphalmazát.
Ha egyenletmegoldás közben ismeretlent tartalmazó kifejezéssel szorozzuk az egyenlet mindkét oldalát, akkor az hamis gyökhöz vezethet, az osztás pedig gyökvesztéshez. Az ilyen átalakításokat - ha lehetséges - kerüljük el. Ha nem tudjuk elkerülni, akkor az átalakításokat különös gonddal végezzük. Az esetleges hamis gyököket ellenőrzéssel felismerhetjük, a gyökvesztéseket azonban behelyettesítésekkel nem vehetjük észre.Példák:
I.Ix -U x~2
xn.
Az egyenletet úgy alakítjuk át, hogy ne tartalmazzon törteket. A nevezők legkisebb közös többszörösével szorozzuk az egyenlet mindkét oldalát. A legkisebb közös többszörös megkeresését segíti a nevezők szorzattá alakítása. Most az egyik nevező 7(x-2), a másik x-2, az egyenletet 7(;c“2)-vel szorozzuk. A kővetkezőkben kétféle úton haladhatunk:a) Leírjuk a szorzás után kapott egj'enletet: jr+10-7jc+14 = 14 és nem
törődünk az eredeti egyenlet alaphalmazával. Megoldjuk az újonnan kapott x^-lx+\0~a egj'enletet, amelyről nem tudjuk, hogy az eredeti egyenlettel ekvivalens-e. Most azx^-7jc+10=0 egyenlet két gyökerjti^S, X2 = 2. A kapott gyököket ellenőriznünk kell az eredeti
egyenletbe történő behelyettesítéssel. Most az derül ki, hogy az eredeti egyenletnek;c2= 2 nem gyöke. Az eredeti egyenletnek egyetlen gyöke van:x=5.
b) A z új egyenlet alaphalmazának az eredeti egyenlet alaphalmazát tekintjük'. jc"-7a:-1-10 = 0 (;c? 2). Ez az egyenlet ekvivalens az eredetivel. A kapott jc 1 = 5, X2~2 gyökök közül a 2 nem eleme az egyenlet alap halmazának. így az egyenletnek egyetlen g>'öke van: j:=5. (Ha ennél a példánál nem 7(jc-2)-vel szoroztuk volna az eg>’enletet, hanem például 7(x-2)(j:-i-6)-tal, akkor ezzel a módszerrel is kaptunk volna hamis gyököt, a z x = - 6-ot, mert ennél az x értéknél a szorzó 0.)
2. A zx^-4r = 0 egy'enlet helyes megoldása: x(x^-4) = 0, x{x~2)(x+2) = 0. Ebből: X] = 0, 2= 2, X3 = -2 .Ha valaki az eredeti egyenletet osztaná x-szel, akkor x"-4 = 0 egyenlethez jutna és annak nem gyöke azx=0. Ez az osztás nem ekvivalens átalakítás, egy gyök „elveszett”.Ha egyenlőtlenséget olyan kifejezéssel szorzunk (vagy osztunk), amely is
meretlent is tartalmaz, akkor arra is gondolnunk kell, hogy a betűs kifejezés lehet pozitív is, negatív is. Ezeket az eseteket külön-külön kell vizsgálnunk. Arra is gondolnunk kell, hogy a betűs kifejezéssel történő szorzás (vagy osztás) meg\’áltoztatja-e az egyenlőtlenség alaphalmazát.Példa:
ar-n7x - j
Ha 3 < X, akkor 0 < x -3 , és ha ezzel szorozzuk az egyenlőtlenség mindkét oldalát, akkor pozitív számmal szorzunk, ezért 3x-l-7 > 2x-6. Ebből X > -13. Az egyenlőtlenség megoldáshalmaza a 3 < x feltételnek és a kapott -13 < x egyenlőtlenségnek megfelelő .számhalmaz közös része, ez az 3 < x számok halmaza.
Ha X < 3, akkor x -3 < 0, és ha ezzel szorozzuk az egyenlőtlenséget, akkor negatív számmal szorzunk, ezért 3x 4-7 < 2 t-6 , ebből x < -13. Az egyenlőtlenség megoldáshalmaza az x < 3 feltételnek és az x < -13 számhalmaznak a közös része. Ez azx < -13 számok halmaza.
Az eredeti egyenlőtlenség megoldáshalmaza a 3 <x vagy x < -13 számok halmaza. Ezt szemlélteti a 39. ábra.Mondhatjuk azt is, hog>' az egyenlőtlenség megoldása minden olyan x szám, amelyre x e (] -oo; -13 [ u ]3; 00 [),
- 1 3 0 1 —I— I -
3-(>■
39. ábra
68 69
Ha négyzetre emeljük valamely egyenlet két oldalán álló kifejezéseket, akkor az új egyenletet kielégítik az eredeti egyenletnek a gyökei, de hamis gyököket is kaphatunk. Szükséges az ellenőrzésükPélda:
A 3ir-l = ’ r ^ egyenlet alaphalmaza a -3 ^ x számok halmaza. Az egyenlet megoldásának gondolatmenetére két lehetőséget mutatunk.a) Az egyenletben szereplő négyzetg^'ököt megszüntethetjük, ha az
egyenlet két oldalán álló kifejezéseket négyzetre emeljük. Az egyenlet alap halmazán a bal oldalon lévS kifejezés negatív is lehet, az új egyenlet nem ekvivalens az eredetivel:
9x^-6x+l=x+3,ftc2-7v-2=0.
2Ennek a másodfokú egyenletnek a gyökei: jíi=l,X 2= - —. Az ellenör-
2zés (behelyettesítés) megmutatja, hogy az eredeti egyenletet nem
elégíti ki, azaz hamis gyök. Az eredeti egyenletnek egyetlen gyöke van :x= l.
b) Vizsgáljuk meg az egyenlet két oldalán álló kifejezésnek az értékkészletét is. Ez a jobb oldali függvénynél a neninegatív számok halmaza, ezért a bal oldalon álló kifejezésre fenn kell állnia a 0 ^ 3 r - l egyenlőt
lenségnek, azaz - Sx. Ez szűkebb halmazt jelent, mint amit korábban
alaphalmazként megállapítottunk, de ezt is tekinthetjük az eredeti egyenlet alaphalmazának. Ezzel a feltétellel emeljük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát. Most mindkét oldal nemnegatív, ezért az
eredeti egyenlettel ekvivalens 9x^-7x-2 = 0 S jc) egyenlethez jutunk.
2 2Ennek formális megoldása után az jCi = 1, X2 = - - számok közül a - —
nem eleme az alaphalmaznak. Az egyenlet egyetlen g y ö k e : 1.
EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSUK___________
Kétismeretlenes elsőfokú egyenletrendszerek megoldása
A kétismeretlenes elsőfokú egyenletrendszereket rendezéssel ax+by=c 1
dx+ey^f } alakra hozhatjuk.
A z egyenletrendszer két egyenlete lehel olyan, hogy az egyik egyenletből következüc a másik, ekkor azt mondjuk, hogy az egyik egyenlet következménye a másiknak. Lehetséges az is, hogy a két egyeiilet ellentmondó. A következmény, illetve az ellentmondó egyenletekre egy-egy példa:
x+3y = 10 = 102)c+6y = 2 0 = 17
Két, egymástól független és egymásnak nem ellentmondó egyenletből álló kétismeretlenes elsőfokú egyenletrendszert megoldhatunk grafikusan is, algebrai módszerekkel is.
Grafikus módszer
A grafikus megoldásnál mindkét egyenletből kifejezzük y-t és a kapott kifejezéseknek megfelelő elsőfokú függvényeket egy koordináta-rendszer- ben ábrázoljuk. A két egyenes közös pontjának koordinátái mindkét egyenletet kielégítik, ezért a közös pont koordinátái adják meg az egyenletrendszer megoldását.Példa:
x-2y=~^
___________EGYENLETEK EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSUK
x + y = -lj
+2, a függvények /: R-*R, /W = | +2
y = -x -lA két egyenes közös pontja
(40. ábra): M(-2; 1). Az egyenletrendszer megoldása: jii:=-2,y = 1..
Behelyettesíts módszer
g :R ^R , ^(x) = -x -l
Az algebrai megoldási módszerek egyike a behelyettesítő módszer. A z egyenletrendszer valamelyik egyenletéből kifejezzük az egyik ismeretlent, A kapott kifejezést behelyettesítjük a másik egyenletbe. így egj'ismeretlenes egyenletet kapunk. Ezt megoldjuk. A kapott ismeretlen segítségével kiszámoljuk a másik ismeretlen értékét is.
x-2y = -A \ x+y = - l ] x = -y ~ \,
( - y - l ) - 2y = - 4 ,y = \ , x - - l - l = - 2 .
Az egyenletrendszer megoldása: x= -2 ,y = l.
70 71
EGYENLETEK EGYENLOTLENSEGEK MEGOLDÁSUK EGYENLETEK, EGYENLOTLENSEGEK, MEGOLDÁSUK
Egyenlő együtthatók módszere
Az egyenlő együtthatók módszerénél arra törekszünk, hogy az egyik ismeretlen együtthatója a két egyenletben egymásnak ellentettje legyen. Ha ezt elértük, akkor a két egyenletet összeadjuk. Egyismeretlenes egyenletet kapunk. Azt megoldjuk, majd a megkapott ismeretlent az egyik eredeti egyenletbe behelyettesítjük és kiszámítjuk a másik ismeretlen értékét is.Példa: 5:t+3>’ = 9
4t+7>’ = -2-20t-12>- = --36 2Qr+35>> = -10
23y = -46 y ^ - 2 ,
|.( -4 )1-5
Sr-6 = 9 ,3 .
Az egyenletrendszer megoldása: ;i: = 3, y = -2.H a az egyenletrendszer két egyenlete közül az egyik a másik követ
kezménye, akkor grafikus megoldáskor a két egyenes egybeesik. Minden pontjuk közös pont, az egyenletrendszert végtelen sok számpár kielégíti. A két egyenlet helyett elég az egj'ikkel foglalkoznunk. Egyetlen elsőfokú két- ism eretlenes egyenletet végtelen sok számpár elégíti ki. Például az ;r-(-3>’ = 10 egyenletet kielégítik az x^ ^ l, > i= 3 ; j:2 = -5 , j*2 = 5 ; 0:3 = 0,4,
^3 = 3 ,2 ; bármely valós és a hozzátartozóy = — — számpár.
Ha az egyenJetrendszer két egyenlete egymásnak ellentmond, akkor grafikus megoldás keresésekor kél párhuzamos egyenest kapunk, közös pontjuk nincs. Nincs olyan számpár, amely mindkét egyenletet kielégítené. A z egyenletrendszernek nincs megoldása.
Másodfokú egyismeretlenes egyenletek megoldása
A másodfokú egyismeretlenes egyenleteket rendezéssel
ax^^bx+c~0 (ű^O)
alakra hozhatjuk. Ezt az alakot teljes négyzetté kiegészítés után szorzattá alakítjuk:
a b b^-4ac 4a^
= 0 .
Ha 0Áb^-4ac, akkor a jobb oldal felírható (^b^~4ac)^ alakban majd az eredeti egyenlet bal oldala szorzattá alakítható:
ab
X + —2a
b-ib^-4ac x+-
2a
x+
X -
'^b^-Aac 2'
2a ^ _
b+ib^~4ac2ű
-b-ib'^-4ac'7a
- ennek alapjá
Aac
= 0 ,
= 0 ,
= 0 .
2a
alakban írjuk fel. Ezt a másodfokú egyenlet megoldóképletének nevezzük.A megoldóképlet keresése közben feltételeztük; 0áí>^-4űc. Ezt a
kéttagú kifejezést, amely a megoldóképletben a négyzetgyökjel alatt szerepel, a másodfokú egyenlet diszkriminánsának nevezzük, ű~vel jelöljük.Ha 0<D, akkor az egyenletnek két különböző valós gyöke van,h a i)= 0, akkor az egyenletnek a két valós gyöke egyenlő (az egyenlet
megoldáshalmazának egyetlen eleme van),h a ö < 0, akkor az egyenletnek nincs valós gyöke.
A megoldóképlethez vezető szorzatban a két gj'ököt jelöljük röviden Aii-gyel, jt2‘Vel. Ekkor az egyenlet
a{x-Xi){x-X2) = Q
alakját a másodfokú egyenlet gyökíényezős alakjának nevezzük. Adott x^, Xj esetén ezzel a formulával könnyedén írhatunk fel olyan másodfokú egyenletet, amelynek jc 1, :2 a gyöke. (Az a szám, a 0-tól eltekintve, tetszőleges valós szám.)
A másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggésekben a két gyök összegét, illetve szorzatát az együtthatók segítségével írjuk fel. Ezeket a másodfokú egyenlet rendezett alakjának és a gyöktényezős alaknak átalakításával és összehasonlításával kapjuk meg.
a
WíP'+bx+c - 0 ,
= 0 , b c x^+ -x+ -a
a(^-xi)(x-x2) = 0 ,
a[)p'-ixi+x^x+xix2] = 0 .
72 73
EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, MEGOLDÁSUK EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSEGEK, MEGOLDÁSUK
Az összehasonlításból következik:
a:i+X2 = - - , a
X^X2= - . a
Ezeket Viéte-formuláknak is nevezzük, (Megkaphatjuk ezeket úgy is, hogy a megoldóképlettel felírt két gyök összegét, illetve szorzatát vesz- szük.)
Másodfokú egyenleteket, egyenlőtlenségeket grafikus úton is megoldhatunk. Ehhez felhasználjuk a másodfokú függvényekre vonatkozó ismereteinket (56. oldal).
Az or^+&c+c = 0 egyenlet grafikus megoldásánál ábrázoljuk az fi^)=ax^+bx*c függvényt, annak zérushelyei az egyenlet valós gyökei.
A másodfokú egyenlőtlenségek különböző megoldási lehetőségei közül egyfélét bemutatunk, közben megfogalmazzuk a megoldás lépéseit.
Azx^-4x+2>2x-3 egyenlőtlenséget 0-ra redukáljuk: x^-&c+5>0, majd a bal oldali kifejezéssel egyenletet írunk fel: =0, ezt megoldjuk,gyökei: Xi = l,X2= 5.
Vizsgáljuk a bal oldali kifejezésnek megfelelő/(.x:)=Jt^-6r +5 függvényt. Ennek képe olyan parabola, amely .!£ri = l-nél ésj:2=5-nél (zérushelyeinél) metszi az x tengelyt és - mivel a négyzetes tagjának együtthatója pozitív szám - minimuma van. Ezek alapján a koordináíasíkon már magunk elé képzelhetjük a parabolát. A z f(x)=x^-6x+5 parabola a ]-oo; 1[ intervallumon pozitív, jci = l-nél 0, az ]1; 5[ intervallumon negatív, ; 2= 5-nél 0, az ]5; oo[ intervallumon pozitív.
Az egyenlettől és a függvénytől visszatérünk az eredetivel ekvivalens ;c^-&c+5>0 egyenlőtlenséghez. Az ezt kielégítő x értékek a ]-oo; 1[ vagy az ]5; » [ intervallum számai. Az egyenlőtlenség megoldáshalmaza: M = ] - 0o; 1[ u ]5; 00 [.
Természetesen más megoldási mód is van. A 41. ábrán ábrázoltuk az eredeti egyenlőtlenség bal oldalán és a jobb oldalán álló kifejezéseknek megfelelő függvényeket. Az ábrán azt kell megkeresnünk, hogy hol vannak azok zizx értékek, amelyeknél x^-Ax+2'^2x-3>, azaz a jobb oldalnak megfelelő
egyenes pontjai milyen x értékek esetén vannak a parabola „alatt”. Az előző megoldáshalmazhoz jutunk.
Az x^-ía:+5>0 egyenlőtlenség megoldásánál a gyöktényezős (x-1)(j:-5)>0 alak is felhasználható. Ez a szorzat akkor és csak akkor nemnegatív, ha x - l< 0 és jc-5<0, vagy jc-l>0 és j-5 > 0 . Ebből adódik, hogy az egyenlőtlenség megoldása x < 1 vagy 5 <x.
Megjegyzés: Az a:^+bx+c=0 egyenlet hiányos is lehet, ha i = 0 vagy c=0. Ekkor a megoldóképlet alkalmazása nélkül, rövidebben oldjuk meg.
Ha 6=0, akkor azixc^+c=0 egyenlet gyökeit megkaphatjuk az ismeret
len kifejezésével: x^ = cfX2~-
a- - , h a O á - £ .
1 a a
Ha c=0, akkor az ax^+bx=0 egyenletben szorzattá alakítunk:
.t(űj:+&) = 0, gyökei: Xi = 0,X2= - - .a
Szöveges egyenletek
A gyakorlat (a technika, gazdaság, tudomány) sok olyan problémát is felvet, amelynek tisztázása egyenletek felírásához vezet és azok megoldását kívánja. (A tankönyvek ilyen jellegű feladatai az úgynevezett „szöveges egyenletek”.)
Az életből vett gyakorlati kérdéseknek a matematika nyelvén való megfogalmazása különböző módon történhet. Az egyes problémáknál a matematikai lényeget: a mennyiségek közötti összefüggéseket kell keresnünk. Ezek felismerését megkönnyíti, ha áttekinthetően rendezzük a problémában szereplő adatokat. (Ez az adatok táblázatszerű felírásával is történhet.)
Ha megtaláljuk a lényeget kifejező matematikai összefüggéseket, akkor ezzel megtaláltuk a probléma matematikai modelljét.
A kapott egyenlet megoldásához megfelelő módszert kell keresnünk. Az egyenletek sokfélesége miatt nem létezik olyan módszer, amely bármely egyenlet megoldásánál egyformán alkalmazható. Mutattunk módszereket és ötleteket, ezek ismerete hasznos, de sok esetben az eddig látottaktól eltérő megoldási módot kell keresnünk.
74 75
EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, MEGOLDÁSUK
Két szám számtani, mértani közepe
A számtani, mértani közép fontos fogalom. A matematika több területén is találkozunk velük, könyvünk több fejezetében is tárgyalhatnánk. Most a bevezető problémát úgy fogalmazzuk meg, hogy az „szöveges egyenlet”, ezért foglalkozunk velük ebben a fejezetben.
Két szám számtani közepe
Adott két szára, a é%b. Keressünk olyan számot, amely az egyiknél annyival nagyobb, mint amennyivel kisebb a másiknál.
A keresett számot jelöljük x-szel, ezért
x-a
x=
b-xa+b
Ezt a számot nevezzük az a és számtani (aritmetikai) közepének, A{a,b}-vo\ jelöljük. A statisztikában, a mindennapi életben átlagnak nevezzük. Ezekben az esetekben pozitív, negatív számoknak (pénznek, adósságnak) is vehetjük az átlagát. A matematikában két számnak többféle (számtani, m értani,...) közepét értelmezzük, és azok egymáshoz viszonyított nagyságával is foglalkozunk. Többféle közép esetén, azokat két pozitív számra értelmezzük.
Definíció: Két (pozitív) szám számiam közepének a két szám összegének a
felét nevezzük: A(a, b) = .
Két pozitív szám mértani közepe
Adott két pozitív szám, a és b. Keressünk olyan számot, amelynek az egyikkel való aránya megegyezik a másik számnak és a keresett számnak az arányával
A keresett számot jelöljük y-nal, ezért
1 = ^ a y ’y - iab .
Ezt az y számot nevezzük az a és 6 mértani (geometriai) közepének, G{a, í>)-vel is jelöljük.
Definíció: Két pozitív szám mértani közepének a két szám szorzatánaknégyzetgyökét nevezzük: G(a, b) =
A 42. ábra számegyenesén az a=2, í?=8 számoknak a számtani és a mértani közepét ábrázoltuk.
G(2;8) A(2;S)
0 , \ /
___________EGYENLETEK. EGYENLŐTLENSÉGEK, M E G O L D Á Sm
a ~ 2 b = 8
42. ábra
Számtani és mértani közép közötti összefü^és
Két pozitív szám számtani és mértani közepének összehasonlítása nevezetes egyenlőtlenséghez vezet. Bebizonyítjuk, hogy pozitív számokból álló bármely a, b számokra
a+b
Mivel az egyenlőtlenség mindkét oldala pozitív, a négyzetreemelés ekvivalens átalakítás. A négyzetreemelés után rendezést végzünk:
Aab^a^+Tab+b^0úa^-2ab+b'^0 ^ ( a - b f
ami nyilvánvalóan igaz. Ezzel igazoltuk, hogy G(a,b)£A(a, b).Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, haa=b.
A G(a, b) elnevezése mutatja a geometriai kapcsolatát. Ezt később tárgyaljuk a 131. oldalon, de a 43. ábrán az a+b átmérőjű félkörbe rajzolt derékszögű háromszög segítségével szemléletessé tesszük a számtani és mértani közép közötti egyenlőséget.
43. ábra
76 77
EGYENLETEK, EGYENLOTLENSEGEK MEGOLDÁSUK
Egy pozitív számnak és reciprokának az összege
A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenségből azonnal adódik egy újabb nevezetes egyenlőtlenség. Vegyük egy pozitív számnak és a reciprokának a számtani, Uletve mértani közepét:
1ű+—a 1
a —
\ ű .
Ebből rendezéssel kapjuk
ű + - S 2 , a
azaz egy pozitív számnak és reciprokának az összege legalább 2.
E z nevezetes egyenlőtlenség. Tekinthetjük önmagában is, nem kell a számtani és mértani középhez kapcsolnunk. Más módon is bizonyíthatjuk,
ugyanis, ha 0< a , akkor az £ 2 egyenlőtlenség mindkét oldalát szoroz
hatjuk a pozitív a számmal. A z egyenlőtlenségből a ^ -2 a - l£ 0 , (a-l)^ aO , amely minden valós a számra igaz. Azt is látjuk, hogy egyenlőség csak az a = 1 esetben van.
A számtani és mértani közép közötti kapcsolatot felhasználhatjuk minimumok (vagy maximumok) keresése közben is.
Példa: A 400 cm^ területű téglalapok közül a minimális kerületűnek milyen hosszúak az oldalai?
A téglalap egyik oldalhosszát jelöljük x-szel. Mivel 400 cm^ területű,400a másik oldal hossza----- (44. ábra), A téglalap kerülete k= 2
a2az X függvénye, ennek a függvénynek keressük a minimumát.A téglalap kerületében a két
oldalhossz összege, a területében szorzata szerepel. A számtani és a mértani közép összehasonlításának felírásánál is szerepel két szám összege, szorzata. írjuk fel az
400jc, ----- oldalhosszakkal a számta-
400x+-
400
EGYENLETEK EGYENLOTLENSEGEK, MEGOLDÁSUK
egyenlőtlenséget:
x+400
X ------=20.
A számtani közép a kerület negyede, ennek keressük a minimumát. A mértani közép konstans. Tudjuk, hogy a számtani közép legalább akkora mint a mértani közép, ami 20. A számtani közép ezt az értéket fel is veheti. Az egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha a két szára egyenlő,
azaz hax = - í ^ . Ebből x^=400, jc=20. A téglalap másik oldala = 20, X 20
azaz az adott területű téglalap akkor lesz minimális kerületű, ha négyzet.
ni és mértani közepek közötti 44. ábra
78 79
SOROZATOK
IX. S o r o z a t o k
Ha egy függvény értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza, akkor ezt a függvényt valós számsorozatnak, röviden sorozatnak nevezzük.
A z értelmezésből következik, hogj' sorozatnak végtelen sok tagja van. Vannak feladatok, amelyekben egy sorozatnak csak véges számú tagja szerepel. Ezeket véges sorozatoknak nevezzük és megadjuk a tagok számát.
Egy sorozatot megadhatunka) formulával, például: a„ = n^-2 ( - 1; 2; 7; 14;...),b) rekurzív módon, példáui: = 3, = ö„_i(£’„_i+2) (3; 15; 255;...),c) valamilyen egyértelmű utasítással, például: „A tt értékét alulról kö
zelítjük rendre 1-gyel több tizedesjeggyel” (3; 3,1; 3,14; 3,141;
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 fi ■?H—Mt-I— I—I—>f-
a.* í 4 S fi----1- t I----1- -
45. ábra
A sorozatok tagjait szemléltethetjük számegyenesen is, koordinátasíkon is (45, ábra),
A függvényekhez hasonlóan beszélhetünk m onoton csökkenő (bármely «-rea„>ű„ + ,), növekvő nemnövekvő nem-csökkenő sorozatokról.
Három sorozattal, a számtani, a mértani sorozattal és a négyzetszámok sorozatával külön, részletesen is foglalkozunk. Elsőként ezek definícióját adjuk meg, majd megkeressük, hogy közvelleniil és röviden hogyan írhatjuk fel ezeknek a sorozatoknak az rz-edik tagját, az a„-e-l és az első n tag összegét, az 5„-et. .Az ezekre vonatkozó állítás függ az n pozitív egész számtól. Oszthatóságnál és más matematikai problémánál is találkozunk olyan állításokkal, amelyek az n pozitív egész számoktól függenek. Az
ilyen állítások bizonyításánál hasznos a teljes indukció módszerével történő bizonyítás.
T e lje s in d u k c ió
Teljes indukcióval o lp n állítást (sejtést) bizonyíthatunk, amely az n pozitív egész számoktól függ.A bizonyítás lépései:
a) Az állításról (sejtésről) előzetesen ellenőrzéssel (megfigyeléssel) belátjuk, hogy az állítás igaz « = 1-re.
b) Feltesszük, hogy az állítás valamely n pozitív egész számra igaz.c) Megnézzük, hogy az «-re feltételezett állításból következik-e, hogy
/j+l-re is igaz. Ha igaznak találjuk, akkor az állítás n-x6\ n-nl-re „öröklődik”, azaz n = 1-től kezdve minden pozitív egész számra igaz.
Megegyezzük, hogy van olyan állítás, amelynél azt találjuk, hogy n = 1-re nem igaz, de « =fc-ra igaz és ez onnan kezdve n-röl «-t-l-re öröklődik. Ekkoí ez az állítás A:-tól kezdve minden pozitív egész számra igaz.Példák:
1. Vizsgáljuk meg, hogy minden n pozitív egész számra igaz-e a27|10”+18rt+26 állítás.A vizsgálatot teljes indukcióval végezzük.a) H an = l, akkor 10"+18n+26= 10+18+26 = 54 és 27|54. Az osztható
ság «= 1 esetén igaz.b) Feltesszük, hogy n esetén 27110''+l&z+26 igaz.c) Megnézzük, hogy a feltevésből következik-e az «+l esetre is a
271 io 'i+i+i8(„+i)+2ő állítás. A háromtagú kifejezést átalakítjuk: 10" ^+18(0+1)+26 = 10- l0"+18/i+18+26 = 10'’+9 • 10”+18n+18+26 = =(lO''+18tt+26)+9.10''+18=(IO''+18rt+26)+9(lO'’+2). A kéttagú kifejezés első része ab) alatti indukciós feltevés szerint osztható 27- tel, A 9(10'*+2) második tag nyilvánvalóan osztható 9-cel, a 10''+2 második tényező pedig 3-mal. (Ugyanis minden rt-re 10'' első számjegye 1, az összes többi pedig 0, ezért 10'*+2 első számjegye 1, az utolsó 2 és valamennyi közbülső 0. Számjegyeinek összege 3, osztható 3-mal.) A második tag osztható 9-3 = 27-tel, ezért az első és második tag összege is osztható 27-tel.A 27-tel való oszthatóság n ~ l esetén igaz volt és ez a tulajdonság «-ről «+l-re „öröklődik”. Tehát a 27j 10''+18n+26 állítás minden pozitív egész számra igaz.
SO 81
SOROZATOK SOROZATOK
2. A teljes indukció módszerével hasonlítsuk össze 3n~2, valamint az n} kifejezések értékeit az n pozitív egész számoknál, írjuk fel a két kifejezés értékeit az « = 1,2,3, 4,5 számoknál:
3n-2 rendre 1 ,4 ,1 ,10,13, tf- rendre 4, 9,16, 25.
Azt sejtjük, hogy 3So esetén 3n-2<n^. Ennek helyességét teljes indukcióval vizsgáljuk.a) Láttuk, hogy « = 3 esetén a 3n-2 állítás igaz.b) Feltesszük, hogy 3 <« esetén is igaz,c) Megnézzük, hogy n+1 esetén igaz-e a 3(n+l)-2<(n+l)^ egyenlőt
lenség. Ez más alakban: (3n-2)+3<(w^)+2«+l. Mivel az indukciós feltevés szerint 3n-2<n^, ezért a bal oldalon álló 3 és a jobb oldalon álló 2«+l-et külön hasonlítjuk össze. Ha 3<n, akkor minden n- re 3<2n+l. Ezekből következik, hogy a sejtett egyenlőtlenség 3<n esetén n-ről «+l-re öröklődik.Eredményünk: Ha 3^n , akkor 3n-2<n^.
Számtani sorozat
Számtani sorozatoknak nevezzük azokat a sorozatokat, amelyekben (a másodiktól kezdve) bármelyik tag és az azt megelőző tag különbsége állandó. Ezt a különbséget a számtani sorozat differenciájának nevezzük, jele d.A definíció alapján:
a„^i-a„ = d vagy
A számtani sorozat három szomszédos tagját felírhatjukvagy a^-d,
alakban is. Ez utóbbi alakból látszik, hogy a középső tag a két szomszédos tag (illetve a középsőhöz szimmetrikusan elhelyezkedő két tag) számtani közepe. (E sorozat ettől a tulajdonságától kapta a nevét.)
A számtani sorozat n-edik tagjának felírásánál a definícióból indulunk ki: a2 =üi+d, a-^=ü2+d=üi+2d, a^-a^+3d, ... . Ebből azt sejtjük, hogy an~ai+(n-l)d. Hogy ez helyes sejtés-e, azt a teljes indukció módszerével vizsgáljuk.
a) A sejtés n = 1-re igaz.b) Feltesszük,hogy«-reigaz:a„=ai+{n-l)d.
c) Megvizsgáljuk ?i+l-re igaz-e, hogy o„ + i=ai+(n+l-l)cí=űi+rtíí. Mivel a definíció és az indukciós feltevés alapján a„^i=a„+d= =ai+(n-i)d+d=ai+nd, a sejtésünk igaz. Ezért minden pozitív n számra fennáll:
a„--ai+{n-l)d.
A számtani sorozat első n tagjának az összegét Gauss gondolata alapján határozzuk meg. Felírjuk az első n tag összegét, majd ezt fordított sorrendben is felírjuk és a megfelelő tagokat összeadjuk:
3-K 2-Wi J
25^ = (íii-H)„)+(íi24íí„.i)+... +(a„.i+a2)+(ű„+űi).
Minden számpárt felírunk a^ ületve a„ és d segítségévei:
2í'« = (ai^J+(ai+rf+a„-rf)+... +(ű„-rf+ai+íí)+(a„+ai),
Az összegben «-szer szerepel «!+«„ és d kiesik: 25„=(ai+ű„)«. Ebből 5„-t kifejezzük. A számtani sorozat első n tagjának összegére rövid formulát kapunk:
_ (ai+gJ/1 " 2
Az ű„-re kapott összefüggést behelyettesítve az S„ összeget felírhatuk űj, d és n segítségével is:
[2ai+{n-í.)d\n
Mértani sorozat
Mértani sorozatoknak nevezzük az olyan sorozatokat, amelyekben (a másodiktól kezdve) bármelyik tag és az azt megelőző tag hányadosa állandó. Ezt a hányadost a mértani sorozat kvóciensének nevezzük jele q.A definíció alapján:
vagy
Megjegyzés: H a a mértani sorozat definíciójának tekintjük a sorozat a-i; a„=a„_]^ rekurzív megadását, akkor ez nem ekvivalens az elsőként
82 83
SOROZATOK
megadott definícióval. Ugyanis az első definíció alapján a sorozat tagjai között nem lehet 0, a rekurzív definíciónak m egfelel az a,; 0; 0; 0; ... sorozat is.
SOROZATOK
A mértani sorozat három szomszédos tagja felírható
a„ a„+i = a„q.
alakban. Ez mutatja, hogy Pozitív számokból álló mértanisorozatoknál a középső tag a két szomszédos tag (illetve a középsőhöz szimmetrikusan elhelyezkedő két tag) mértani közepe.
A mértani sorozat n-edik tagjának a felírásánál a definícióból indulunk ki: Ü2 =a^q, a/^= a^, ... EbbÖl azt sejtjük: Teljesindukcióval megvizsgáljuk, hogy ez a sejtés igaz-e.
a) A sejtés n = 1-re igaz.b) Feltesszük, hogy n-xe igaz:c) Megvizsgáljuk, hogy /2+1-re igaz-e: =cíi^. A definíció
és az indukciós feltevés alapján: ezért a sejtésünk helyes, minden pozitív egész n számra:
a„=ayff-^.
A mértani sorozat első n tagjának az összegét rövid és egyszerű alakban szeretnénk felírni. Ha az
. . . +ay(f''^+aif'^
egyenlőségnek mindkét oldalát szorozzuk g-val (^#1), akkor a szorzatban majdnem minden tag újból szerepel:
5„=tJi-Híi9+a^í2+ +íJi^-2 S„q=a-^q+ÜTq +aiq^+ ... ^a^cf^-^+ürcf.
Vegyük a második és az első egyenlőség különbségét:
S^q-S„=a]<f-aiS M -^)= a ,{cr-l)
Sn = - q-1
Ha q= 1, akkor a mértani sorozat első n tagjának az összege; S^= a^.H a egy számtani (illetve mértani) sorozatnak az első n tagjával dolgo
zunk, akkor az a i,d (illetve q), n, a„, adatok közül hármat kell ismernünk, a hiányzó adatokat kiszámíthatjuk az íj ,-re és az 5„-re kapott összefüggések segítségével.
Kamatoskamat-számítás
A kamatoskamat-számítás kérdése mértani sorozathoz vezet. Ha t Ft-ot évi p % kamatlábbal kamatosan kamatozva a bankba teszünk, akkor az egy év múlva
í+-100
p ^ t !+■100
lesz, azaz -szorosára növekszik. A felnövekedett pénz a második év
során ugyancsak az 1+^j^ -szorosára növekszik. Ezt a számot g-val jelöl
jük, kamattényezőnek nevezzük:
Pq ^ l +100
A bankba tett t Ft 1, 2, 3, 4, ... év múlva tq, tq^, tq^, tq" , ... lesz. Mértani sorozatot kaptunk, első tagja a betett pénz: t Ft, második tagja tq, harmadik tagja ...
A bankba tett t Ft, évi p %-kal kamatozva n év alatt
T ^ tc f
Ft-ra növekszik fel.
A négyzetszámok isorozata
A négyzetszámok sorozatát az elnevezése meghatározza: a^=n^ (1; 4; 9; 16; ...).
A z ebő n négyzetszám összegének meghatározásához megfelelő ötletet kell keresnünk. Ha rendre képezzük az n = l, 2, 3, 4, 5 esetén a négyzetszámok összegének és az alapok összegének hányadosát, akkor „szabályosság” tűnik fel:
1 1+4 1+4+9 1+4+9+16 1+4+9+16+25(l+n)« ■ 1 ’ 1+2 ’ 1+2+3 ’ 1+2+3+4 ’ 1+2+3+4+5
A J U 3 5 14 7 30 9 55 11A hányados más a l a k b a n ; ; - ^ = j ; ^ 0 ^ 2 ’ í s ' T
84 85
SOROZATOK
Az öt hányados nevezője 3, a számlálója pedig rendre 2n+\ alakú páratlan szám. Ebből arra gondolhatunk, hogy az
S„ _2n+\{\+n)n 3
2_n{n+\)(2n*\)
összefüggés megadja a négyzetszámok összegét. Azt, hogy ez valóban minden «-re helyesen adja-e meg a négyzetszámok összegét, teljes indukcióval vizsgáljuk.
a) A sejtés n = 1-re igaz.h) Feltesszük, hogy n-ie igaz.c) Megvizsgáljuk, hogy n+l-re igaz-e, azaz fennáll-e a kővetkező
összefüggés;C _ (n+l){n+2){2n+3)
^ •
Mivel 5„ + i=5^+(«+l)^ és felhasználva az indukciós feltevést:
„ w(n+l)(2n-f-l) . ^+1 _ ? ^5„+i =----------------- +(fi+l) = —— {2n +n+6n+6) = —— (2n +4n+3n+6) =
6 6 6
6 6
Ezzel bebizonyítottuk, hogy sejtésünk helyes volt, minden pozitív egész n számra az első n négyzetszám összege:
_ «{«+l)(2n+l)6 ^ -
X. G e o m e t r i a i a l a p i s m e r e t e k
A geometria alapfogalmai a körülöttünk lévő tárgyak (testek) érzékelhető tulajdonságaiból öíJízfrafccióvű/ alakultak ki.
Fogalmunk van a pontról, egyenesről, síkról, ... félegyenesről, szakaszról, szögről, ... . Tudjuk, hogy két szakasz vagy két szög összehasonlításakor mit jelent a „kisebb”, az „egyenlő”, a „nagyobb”.
Két térelem (pont, egyenes, sík) kölcsönös helyzetének vizsgálata kívánja a metsző és a párhuzamos egyenesek, síkok tisztázását, valamint különböző esetekben a térelemek hajlásszögének és távolságának értelmezését.
Két egyenes metsző, ha pontosan egy közös pontjuk van, párhuzamosak, ha egy síkban vannak és nem metszik egymást, kitérőek, ha nincsenek egy síkban. - Két párhuzamos egyenesnek vagy nincs közös pontja, vagy egybeesnek.
Két sík metsző, ha pontosan egy közös egyenesük van, párhuzamosak, ha nem metszik egymást. - Két párhuzamos síknak vagy nincs közös pontja, vagy egybeesnek.
Egy egyenes vagy illeszkedik a síkra (ekkor az egyenes minden pontja a síknak is pontja), vagy a síkot egy pontban metszi, vagy nincs a síkkal közös pontja, ekkor az egyenes és a sík párhuzamos.
Szögek, forgásszögek, szögek mérése
Egy pontból kiinduló két félegyenes két szöget határoz meg. Közülük azt a szöget, amellyel dolgozunk, egyértelműen jelöljük körívvel vagy betűvel.
Nevezetes a teljesszög (amelynél a szög két szára egybeesik és a szögtartomány a teljes sík), az egyenesszög (szárai egy egyenest alkotnak), a derékszög (a teljesszög negyedrésze).
Gondolhatunk arra, hogy a szöget az egy pontból kiinduló egybeeső két félegyenesből az egyik fken tartásával és a másiknak a közös végpont körüli elforgatásával kaptuk meg. Az így létrehozott szögeket forgásszögeknek nevezzük. A forgatás két irányban történhet és egy teljes körülfor- gatás után is folytatható.
86 87
GEOMETRIAI ALAPISMERETEK
A forgásszögnél a forgatás irányított, ezt úgy jelöljük, hogy a körívet nyíllal látjuk el (46. ábra).
GEOMETRIAI ALAPISMERETEK
46. ábra
A forgásszögnél a kétféle irányítású forgásszöget pozitívnak, illetve negatívnak mondjuk. Pozitívnak azt a forgásszöget nevezzük, amelynél - a szög sflqára nézve - a forgatott szár az óramutató járásával ellentétes irányban forgott, az óramutatóval egyező forgásnál a forgásszög negatív.
A szögek nagyságát kétféle egységgel mérhetjük. A két egység a fok, valamint a radián.1. Egy fok, azaz 1°, a teljes szög 360-ad része. (Az egyenesszög 180° a
derékszög 90'’.)A 0“áo;ál80° szögeket szokás konvex szögeknek, a 180°<j8s360°
nagyságúakat konkáv szögeknek nevezni.2. A szögek nagyságát a hozzájuk tartozó körívhosszak segítségével is
mérhetjük. A z egységsugarú körben a középponti szöghöz tartozó körívhosszat a szög ívmértékének nevezzük Az ívmérték egysége a radián.
47. ábra 48. ábra
A z egységsugarú körben annak a középponti szögnek az ívmértéke 1 radián, amelyhez egységnyi körívhossz tartozik. A hasonlósági transzformáció tulajdonságából következik, hogy az 1 radiánnyi középponti szögnek az r sugarú körben r hosszúságú a köríve (47. ábra).
Az e^ségsugarú kör kerülete 2 t, ezért a kör kerületéhez tartozó 360“-os középponti szög 2-k radián.
Az a “-os szög ívmértékét or -rel jelöljük. Tudjuk, hogy egy körben a középponti szögek nagysága és a hozzájuk tartozó körívhosszak között egyenes arányosság van (48. ábra). Felírhatjuk a kővetkező aránypárt: a ° ; 360°=oí : 2-r, egyszerűbben: a °: 180“ = o-/ ?r.
Ebből az oi^=l radián ívmértékű szög fokokban mért nagyságára ov~ 57°17’44,8" adódik. Azonnal lá^uk azt is, hogy a 180°-os szögnek t
radián, a 90°-osnak ^ radián, az T-osnak — radián az ívmértéke.2 180
Az egyenes arányosságából következik, hogy az átszámításokhoz az alábbi formulák célszerűek:
Fokból radiánba történő számításhoz:
Radlánból fokba történő számításhoz:
Cir = 180=a°,
180° Otr
Szögpárok
Nevezetes szögpárok:Egyállású szögek: Két konvex vagy két konkáv szög szárai párhuzamo
sak és páronként egyező irányúak. A z egyállású szögek nagysága egyenlő (49. ábrán pl. és 0:2) •
Váltószögek: Két konvex vagy két konkáv szög szárai párhuzamosak és páronként ellenkező irányúak. A váltószögek nagysága egyenlő (49. ábrán pl. oíi és y 2> vagy 0:2 és 71).
Ha két váltószög szárai egy-egy egyenesre illeszkednek, akkor azokat csúcsszögeknek nevezzük. Két metsző ep^enesnél a keletkezett négy szög közül a szemköztiek csúcsszögek, nagyságuk egyenlő (49. ábrán pl. öíj és 71 vagyai és ői).
Mellékszögek: Két konvex szög szárai párhuzamosak, egy-egy egyező irányú, egy-egy ellenkező irányú. A két mellékszög összege 180°. A mellékszögeket 180“-ra kiegészítő szögeknek is nevezzük (49. ábrán pl. arj és /3i).
Két olyan szöget, amelyek összege 90°, egymás pótszögének is nevezzük (50. ábra).
A merőleges szárú konvex szögek szárai páronként egymásra merőlegesek. Nagyságuk egyenlő, vagy egymást 180°-ra egészítik ki (50. ábra).
88 89
GEOMETRIAI ALAPISMERETEK GEOMETRIAI ALAPISMERETEK
Térelemek hajlásszöge
Két kitérő egyenes
Két kitérő egyenes hajlásszögén azt a szöget értjük, amelyet egy tetszőleges ponton átmenő, velük párhuzamos egyenesek alkotnak.
Síkra merőleges egyenes deiiníciója
Egy egyenes és egy sík akkor merőleges egymásra, ha az egyenes merőleges a sík minden egyenesére.
A definíció szerint egy e egyenes és egy S sík m erőlegességéhez az szükséges, hogy az e egyenes és az S sík valamerm>i egyenese 90“-os szöget záijon be. A z S sík végtelen sok egyenesének vizsgálata helyett, a következő tétel alapján, elegendő az S sík két m etsző egyenesét tekintenünk.
SÍKRA MERŐLEGES EGYENES TÉTELE
Tétel: Ha egy egyenes merőleges a sík két egymást metsző egyenesére, akkor merőleges a sík minden egyenesére, azaz merőleges a síkra.
A tétel bizonyításához tekintsük az S síkot és annak két, egymást m etsző a és b egyenesét (ű n ö =AÍ). Erre a két egyenesre m erőleges az e egyenes: A /€ e , é lű és e lb (51. ábra). Bizonyítjuk, hogy az S sík tetszőleges c egyenesére is merőleges az e egyenes. H a M íc , akkor a m erőlegességet a c egyenes helyett a vele párhuzamos és ^Ví-re illeszkedő d egyenessel mutatjuk ki. (H a A /G c, akkor c - d . )
vegyünk egy o lyan /egyenest, amely a z a , b ,d egyeneseket rendre az A , B, D pontokban metszi ( /4 /B /Ó # M ).
Mivel e ia és E M =M G , az E A G háromszög egyenlő szárú: E A = G A , hasonlóan EB = GB.
Ezekből következik, hogy A B E í = A B G a, mert oldalaik páronként egyenlők. A z egybevágóságból a m egfelelő szögek egyenlősége is adódik: E B A < = G B A < .
Két oldal egyenlő hosszúságú és a közbezárt szög egyenlősége miatt az EBD és a GBD háromszög is egybevágó. Ezért ED = GD.
A z E D G háromszög egyenlő szárú és a z £ G alapjának felezőpontja A/, ebből következik, hogy az M D magasság merőleges az E G alapra, azaz a d és az e egyenes egymásra m erőleges.
E zzel bizonyítottuk, hogy az e egyenes m erőleges az S sík tetszőlegesen felvett c egyenesére is, azaz m erőleges az S sík bármely egyenesére.
Egy P pontból az S síkra bocsátott merőleges egyenesnek a síkon lévő P ’ pontját (talppontját), a Ppontnak az S síkon lévő merőleges vetületének nevezzük.
Ha egy e egyeaes nem merőleges az 5 síkra, akkor pontjainak merőleges vetüiete egy e’ egyenes, ezt az e egyenesnek az S síkon lévő merőleges vetületének nevezzük {52. ábra).
Egyenes és sík h^lásszöge
Ha egy egyenes metszi a síkot, de nem merőleges rá, akkor az egyenes és a sík hajlásszöge az a szög, amelyet az egyenes a síkon lévő merőleges vetületével alkot. A két mellékszög közül (általában) a kisebbet tekintjük az egyeaes és a sík hajlásszögének (52. ábra).
Egy síknak és a vele párhuzamos egyenesnek a hajlásszöge 0°.
51. ábra
Vegyünk fel az e egyenesen, az S sík mindkét oldalán, az M ponttól egyenlő távolságra egy-egy pomot, az E-t és a G-t {EM = M G). A z S síkon
Két sík hajlásszöge
Két metsző sík hajlásszögének keresésénél a két sík metszésvonalának egy tetszőleges pontjában a két sík mindegyikén egy-egy merőlegest állí-
90 91
GEOMETRIAI ALAPISMERETEK GEOMETRIAI ALAPISMERETEK
tünk a metszésvonalra. A két sík hajlásszöge az a szög, amelyet ez a két egyenes hoz létre (53. ábra).Két párhuzamos sík hajlásszöge 0^ Nevezetes ponthalmazok
Térelemek távolsága
Pont és sík távolságán a pontnak és a síkon lévő merőleges vetületének a távolságát értjük. A P pont és az S sík távolságának a jelölése: d(P, S).
Erre a definícióra vezetjük vissza a síkkal párhuzamos egyenes, valamint két párhuzamos sík távolságát is.
Egy sík és a vele párhuzamos egyenes távolságán az egyenes egy tetszőleges pontjának a síktól való távolságát értjük. Az S sík és a vele párhuzamos e egyenes távolságának jelölése: d(e, S).
Két párhuzamos sík távolsága az egyik sík egy tetszőleges pontjának a másik síktól való távolsága (54. ábra).
d{P;S^)=d{e;S^)^ = d {S ,X )
54. ábra 55. ábra
Két kitérő egyenes távolságát is visszavezethetjük az előző fogalmakra.
Legyen a két kitérő egyenes e és /. Vegyünk fel az egyik (/) egyenesre illeszkedő és a másik (e) egyenessel párhuzamos S síkot (55. ábra). A két kitérő e^ en es távolságán az e egyenes és a vele párhuzamos S sík távolságát értjük. Ennek alapján megfogalmazhatjuk a következő definíciót:
Két kitérő egyenes távolsága annak a szakasznak a hossza (d{e, /)), amely a két kitérő egyenest metsző és mindkettőre merőleges egyenesen van, a két kitérő egyenes között. (Az 55. ábrán látható a PP' szakasz. Ezt, illetve az erre illeszkedő egyenest a két kitérő egyenes normáltranszverzá- lis-szakaszának, illetve normáltranszverzális-egyenesének nevezzük.)
A geometriai alakzatokat ponthalmazoknak is tekinthetjük. Vannaknevezetes vonalak, testek, amelyeket legkönnyebben ponthalmazkéntdefiniálhatunk. Néhány példa:a) A körvonal azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyek a sík egy
pontjától adott távolságban vannak. Ez a távolság a kör sugara. Ha az S síkon adott a O középpont és az r sugár, akkor
körvonal = {P | / ’e í'} .
b) A körlap azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyek a sík egy pontjától egy r távolságnál nem nagyobb távolságra vannak:
kéúap= {P \O P ^r,P ^S }.
A z az O középpontú körlap, amelynek P pontjaira OP^r, tartalmazza minden határpontját (mindazokat a pontokat, amelyekre OP=r). Az ilyen ponthalmazt zártnak nevezzük.Ha az ö középpontú körlap P pontjaira OP<r, akkor ennek a ponthalmaznak valamennyi pontja belső pont. Az ilyet nyílt ponthalmaznak nevezzük (56. ábra).
c) Agömbfelület egy adott O ponttól r távolságban lévő pontok halmaza:
gömbfelület = {P\OP=r}
d) Agömhiest egy adott ponttól adott távolságnál nem nagyobb távolságban lévő pontok halmaza:
gö rabtest ~ {P \O P ^r).e) A parabola azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyek a sík egy
adott egyenesétől, a v vezéregj'enestől (direktrixtől) és a sík egy adott pontjától, az F fókuszponttól (F^v) egyenlő távolságra vannak (57. ábra):
parabola- {P\d(P, v) =d(P, /O}-
ponthalmaz
56. ábra
92 93
GEOMETRIAI ALAPISMERETEK GEOMETRIAI ALAPISMERETEK
tünk a metszésvonalra. A két sík hajlásszöge az a szög, amelyet ez a két egyenes hoz létre (53. ábra).Két párhuzamos sík hajlásszöge 0°. Nevezetes ponthalmazok
Térelemek távolsága
Pont és sík távolságán a pontnak és a síkon lév6 merőleges vetületének a távolságát értjük. A P pont és az S sík távolságának a jelölése: d(P, S).
Erre a definícióra vezetjük vissza a síkkal párhuzamos egyenes, valamint két párhuzamos sík távolságát is.
Egy sík és a vele párhuzamos egyenes távolságán az egyenes egy tetszőleges pontjának a síktól való távolságát értjük. Az S sík és a vele párhuzamos e egyenes távolságának jelölése: d{e, S),
Két párhuzamos sík távolsága az egyik sík egy tetszőleges pontjának a másik síktól való távolsága (54. ábra).
54. ábra 55. ábra
Két kitérő egyenes távolságát is visszavezethetjük az előző fogalmakra.
Legyen a két kitérő egyenes e és/. Vegyünk fel az egyik (/) egyenesre illeszkedő és a másik (e) egyenessel párhuzamos S síkot (55. ábra). A két kitérő e^en es távolságán az e egyenes és a vele párhuzamos S sík távolságát értjük. Ennek alapján megfogalmazhatjuk a következő definíciót:
Két Idtérő egyenes távolsága annak a szakasznak a hossza {d{e, /)), amely a két kitérő egyenest metsző és mindkettőre merőleges egyenesen van, a két kitérő egyenes között. (Az 55. ábrán látható a PP' szakasz. Ezt, illetve az erre illeszkedő egyenest a két kitérő egyenes normáltranszverzá- lis'szakaszának, illetve normáltranszverzális-egyenesének nevezzük.)
A geometriai alakzatokat ponthalmazoknak is tekinthetjük. Vannaknevezetes vonalak, testek, amelyeket legkönnyebben ponthalmazkéntdefiniálhatunk. Néhány példa:a) A körvonal azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyek a sík egy
pontjától adott távolságban vannak. Ez a távolság a kör sugara. Ha az S síkon adott a O középpont és az r sugár, akkor
körvonal = {P | OP=r, Z’ £ 5}.
b) A körlap azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyek a sík egy pontjától egy r távolságnál nem nagyobb távolságra vannak:
kÖrlap= {Pl 0P ^ r,P G 5} .
Az az középpontú, körlap, amelynek P pontjaira OP^r, tartalmazza minden határpontját (mindazokat a pontokat, amelyekre OP=r). Az ilyen ponthalmazt zártnak nevezzük.Ha az O középpontú körlap P pontjaira OP<r, akkor ennek a ponthalmaznak valamennyi pontja belső pont. Az ilyet nyílt ponthalmaznak nevezzük (56. ábra).
c) Agömbfelület egy adott O ponttól r távolságban lévő pontok halmaza:
gömbfelület = {P | OP=r}
d) A gömbtest egy adott ponttól adott távolságnál nem nagyobb távolságban lévő pontok halmaza:
gömbtest = {Pl OPár}.e) A parabola azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyek a sík egy
adott egyenesétől, a v vezéregyenestől (direktrixtől) és a sík egy adott pon^’ától, az F fókuszponttól (F€v) egyenlő távolságra vannak (57. ábra):
parabola = {P k (P , v) =d{P, F)}.
ponthalmaz
56. ábra
92 93
GEOMETRIAI ALAFISMERETEK GEOMETRIAI ALAPISMERETEK
A fókuszpont és a vezéregyenes távolságát a parabola paraméterének nevezzük, p-vel jelöljük.
57. ábra 58. ábra
f) A z ellipszis azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyeknek két adott ponttól, az Fi, F2 fókuszpontoktól mért távolságuk Összege állandó és ez az állandó nagyobb a két fókuszpont távolságánál (58. ábra).
ellipszis = {P 1 PF^-^PF2 ~ állandó >^^1 2}.
A két fókuszponlra illeszkedő eg>'enes az ellipszis egyik szim-nietriatengelye. Ennek az ellipszissel két közös pontja van, az ezekkel meghatározott szakasz az ellipszis nagytengelye. Felének hosszát a-val jelöljük.
A nagytengely felezőm erőlegese az ellipszis másik szimmetriatengelye. A z ellipszis ebből kimetszi a CD szakaszt, ezt az ellipszis kistengelyének nevezzük, felének hosszát ö-vel jelöljük.
A két tengely O metszépontja az elhpszis .szimmetria középpontja. Az OF, = 0 ^ 2 szakaszhosszakat c-vel jelöljük, c <a.
Tekintsük az AB nagytengely egyik végpontját. A szimmetria miatt A F ^-B F j. A z A pontra írjuk fel a definícióban szereplő összeget és alakítsuk úX\ÁFi-i^AF2 ^BF 2+AF2 =AB = 2a.
Mivel az ellipszis bármely pontjánál állandó a két fókuszponttól mért távolság összege, ezért az ellipszis bármely P pontjára PF-y+PF2~2a, így felírhatjuk:
ellipszis = {PI F f ’i+Pí'j=2í7 és FjFj < 2a).
A kistengely egyik végpontjánál a szimmetria miatt MivelCFj+CF2=2a, ezért CF^^^a. Az F^CO derékszögű háromszögből Pitagorasz tételével nevezetes összefüggést kapunk az ellipszis három adata közöU: a-~h^+c^.
H a Fj - F 2, akkor az ellipszis kör.
g) A hiperbola azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyeknek két adott ponttól, az Fy, F2 {Fi^F^ fókuszpontoktól mért távolságuk különbségének az abszolút értéke állandó és ez az állandó olyan pozitív szám, amely kisebb a két fókuszpont távolságánál (59. ábra).
hiperbola={P| iPFi-PFjl = állandó</’ í’2}-A két fókuszpontra illeszkedő egyenes a hiperbola egyik szimmetria-
tengelye. Ennek a hiperbolával két közös pontja van. Az ezek által meghatározott A B szakaszt a hiperbola valós tengelyének nevezzük, felének hosszát fl-val jelöljük.
A z A B szakasz felezőpontja a hiperbola szimmetria középpontja, O- val jelöljük. A z F ^O -O F 2 szakaszhosszakat c-vel jelöljük, a< c.
A valós tengely felezőm erőlegese a hiperbola másik szimmetriatengelye. Ennek a hiperbolával nincs közös pontja. Bevezethetünk egy szakaszt, amely m egfelel az ellipszis kistengelyének. A valós tengely egyik végpontjából c sugarú körzőnyílással metsszük el a szimmetriatengelyt. A kapott CD szakaszt a hiperbola képzetes tengelyének nevezzük, felének hosszát b-vel jelöljük.
59. ábra
Tekint.sük az A B valós tengely egyik végpontját. A szimmetria miatt A F 1 =BF 2. A z a pontra írjuk fel a definícióban szereplő különbséget; AF,_ - A F , ^AF^ -B F j A B ^ la .M ivel a hiperbola bármely pontjánál állandó a két fókuszponttól mért távolság különbségének abszolútértéke, ezért a hiperbola bármely P pontjára I ~2«. így felírhatjuk:
hiperbola = (P l Ip P ^ -P P J = 2 a és F ^ F ,> 2a}.
A képzetes tengely megszerkesztésénél kapott A C O derékszögei háromszögből nevezetes összefüggést kapunk a hiperbola három adata között:
94 95
GEOMETRIAI ALAPISMERETEK GEOMETRIAI ALAPISMERETEK
A z em lített ponthalmazok énelm ezések, definíciók voltak. (A z ellipszisnél és a hiperbolánál említést tettünk nevezetes adataikról is, továbbá egy összefüggésről, amely a definíciójukból következik.) A későbbiekben m ég további nevezetes ponthalmazokat is említünk, olyanokat is, amelyek valamilyen tétellel kapcsolatosak. Példaként említjük egy adott kört érintő adott sugarú körök középpontjainak ponthalmazát:
a) Egy adott O középpontú és r sugarú kört kívülről érintő adott d sugarú körök középpontjainak halmaza az adott körrel koncentrikus r+d sugarú kör (6 0 /a ábra).
b) Egy adott O középpontú és r sugarú kört belülről érintő adott d (d < r) sugarú körök középpontjának halmaza az adott körrel koncentrikus r -d sugarú kör (60/b ábra).
b)
60. ábra
Ezek teljes m egértéséhez azonban ismernünk kell az egymást (kívülről, belülről) érintő kör értelm ezését és az ebből következő tételeket.
f M .'/ ( / / / / /
m
%m .
62. ábra
Ponthalmazok megadása számegyenesen, koordínátasíkon
1. Ponthalmazokat a számegyenesen valós számokból álló halmazokkal adhatunk meg. Például: [-7; -5], ]-3; 1[, [2; 4[, ] - l; 0 ]u [l; 2].
2. Ponthalmazokat a koordinátasíkon valós számpárokból álló halmazokkal adhatunk meg. Ez koordináták, egyenletek, egyenlőtlenségek, ... megadásával történhet. A ponthalmazok szemléltetéséhez megfelelő gondolatokat, ötleteket kell keresnünk. Ezekre néhány példa:a) y>0. Ez az egyenlőtlenség a koordináta-si'kon mindazokat a ponto
kat jelenti, amelyek}' koordinátája pozitív (61. ábra).b) x á2 . A koordinátasíkon mindazokat a pontokat jelenti, amelyeke:
koordinátája nem nagyobb 2-nél (62. ábra).cj >'>0 és xS2. A koordinátasíkon mindazokat a pontokat jelenti,
amelyek x koordinátája nem nagyobb 2-nél és y koordinátája pozitív (63. ábra).
d) l< jcá4. A koordinátasíkon mindazokat a pontokat jelenti, amelyek X koordinátája 1-nél nagyobbak és nem nagyobbak 4-néí (64. ábra).
o.
64. ábra
e) l< x ^ 4 é s -1 S y< 2 .A megfelelő ponthalmazt a 65. ábra mutatja.f) (x-í)(y+2)^0. A szorzat csak úgy állhat fenn, ha x -laO és
vagy j:-láO ésy+2^0. Az első esetből következik: jcS 1 é sy ^ -2 . A második esetből .rá 1 é s y ^ -2 (66. ábra),
V
65. ábra 66. ábra
96 97
GEOMETRIAI ALAPISMERETEK GEOMETRIAI ALAPISMERETEK
g) x+y=4. Ez elsőfokú kétismeretlenes egyenlet, a koordinátasíkon egy egyenes a képe (67. ábra). Ponthalmazok távolsága
67. ábra
h) |jcl + lyl=4. A koordinátasík I. negyedében mindkét koordináta nemnegatív, ott az elözö egyenlethez jutunk. Emiatt a koordináta- sík I negyedében az előző ábra I. negyedében lévő szakasz lesz. Ha valamely (x,y) számpár kielégíti az egyenletet, akkor a (-JC, j ) számpár is kielégíti, ezért a II. negyedbeli kép az első negyedbelinek az y tengelyre vonatkozó tükörképe. A ( -x, - 3;) számpár is kielégíti az egyenletet, így a III. negyedbeli kép az I. negyedbelinek az origóra vonatkozó tükörképe. Mivel (jc, -y) is kielégíti az egyenletet, így az I. negyedbeli szakaszt az;ic tengelyre tükrözzük, ez lesz a IV. negyedbeli kép (68. ábra).
i) =4. Az előző gondolatmenet alapján ebből az I. negyedben az x -y = 4, a II. negyedben a -x -y = 4 egyenlethez jutunk (ugyanis a negatív x koordináták abszolútértéke az ellentett érték lesz, a pozitív y koordináták abszolútértéke változatlan). Hasonlóan a III. negyedben az -x+;j=4, a IV. negyedben az ;£:+>-=4 egyenletet kapjuk (69. ábra).
j) x^+y~ = 4. Ez a másodfokú kétismeretlenes egyenlet körnek az egyenlete (70. ábra).
yi
Két ponthalmaz távolságát szeretnénk értelmezni. Természetes, hogy egy A és egy B halmaz esetén a „két legközelebbi pontjuk” távolságát tekintjük a két halmaz távolságának. (Ez az az úthossz, amelynél rövidebb úton nem juthatunk el az A halmaz egy pontjából a B halmaz egy pontjához.) A 71. ábrán látható ^ és fi ponthalmaz (két körlap) távolsága a PQ szakaszhossz. (P, Q a két kör középpontját összekötő szakasznak és a két körvonalnak a metszéspontja.)
Kérdés, hogy bármely két ponthalmaznak létezik-e két legközelebbi pontja?
A 71. ábrán látható két ponthalmaznak van két legközelebbi pontja (P és Q). Belátható, ha A és B kél 2árt halmaz és korlátos (azaz mindegyikhez létezik olyan kör, térbeli ponthalmaznál gömb, amelyben a ponthalmaz minden eleme benne van), akkor a két ponthalmaznál létezik olyan P, Qpoiitpár, amelyek távolsága minimális. Ezt tekintjük a két ponthalmaz távolságának.
A távolságfogalom tetszőleges ponthalmazok esetében is értelmezhető. Egy zárt és egy nyílt ponthalmaznál ugyan nem találunk olyan pontpárt amelyek távolsága a lehető legkisebb, de bármely két ponthalmaznál találhatunk olyan legnagyobb a számot, amelyre a két ponthalmaz bármely pontpárjának a távolsága nem kisebb mint ol Ezt az a számot tekintjük a két ponthalmaz távolságának. (Annak a bizonyítása, hogy létezik ilyen szám, nem középiskolai tananyag.)
- 7 -5 -3-o-
d{A^) =:
0 1
71. ábra 72. ábra
A 72. ábrán látható A és B ponthalmaznál ez az a szám 2, a két ponthalmaz távolsága 2 távolságegység.
70. ábra
98 99
GEOMETRIAI SZERKESZTESEK
XI. G e o m e t r i a i s z e r k e s z t é s e k
Geometriai szerkesztéseket körzővel és vonalzóval végzünk. A vonalzók fajtája, illetve az eszközök használata megállapodás dolga. A z ókorban Euklidész, a geometriai ismeretek első rendezője olyan szerkesztéseket végzett, amelyeknél kizárólag körzőt és úgynevezett egyélű vonalzót használt. (A z egyélű vonalzónak egyetlen éle van, tehát nem lehet sem párhuzamos, sem derékszöget bezáró két éle.)
Eukhdész tiszteletére - a geometriáiian - ma is euklidészi szerkesztési módnak nevezzük azt, amelynél az eszközöket kizárólag a kővetkezőkre használhatjuk:
a) A vonalzót két adott pontra illesztve meghúzhatjuk a rájuk illeszkedő egyenest
b) Két pont távolságát körzőnyílásba vehetjük.c) Adott pont körül adott sugárral kört rajzolhatunk.d) Két egyenes metszéspontját meghatározhatjuk.e) Egyenes és kör metszéspontját meghatározhatjuk.f ) Két kör metszéspontjait meghatározhatjuk.
Euklidész szerkesztési eszközeit azonban módosíthatjuk. M i derékszögű vonalzót is használunk, a műszaki rajzban pedig további eszközök és sablonok is használhatók. A z ezekkel végzett szerkesztéseket azonban nem nevezhetjük euklidészi szerkesztéseknek.
Alap szerkesztések
A legegyszerűbb szerkesztéseket alapszerkesztéseknek nevezzük. Ezek a szögmásolás, a szakasz felezőmerőlegesének szerkesztése, a szögfelezés.
Tekintsük részletesen azt az eljárást, amellyel megszerkeszthetjük egy A B szakasz felezőmerőlegesét: v4 szakasz két végpontjából azonos körzőnyílással, a szakasz mindkét oldalán, egymást metsző köríveket rajzolunk (73. ábra). A z M i metszéspontokra illeszkedő f egyenes az AB szakasz felezőmerőlegese.
Ez az utasítás kijelenti és nem bizonyítja, hogy azMiM2 egyenes felezi az AB szakaszt és merőleges rá. Ennek igaz voltát külön kell belátnunk. A bizonyítást indirekt módszerrel végezzük.
Tegyük fel, hogy az AB szakasznak és az M 1M2 egyenesnek a P metszéspontja nem azonos az AB szakasz felezőpontjával. A feltételezett
felezőpontot jelöljük Q-\z\. A z M^Q szakasz az AM^B egyenlő szárú háromszöget két részre bontja, az AM^Q és a BMiQ háromszögekre. E két háromszög oldalai páronként egyenlők, ezért ezek egybevágók. Emiatt egyenlők a megfelelő szögek is: AQMt<í=BQMi< és e két szög összege 180°, így külön-külön derékszögek, az M^Q szakasz tehát merőleges azA S szakaszra. Ugyanígy belátható, hogy az MjQ szakasz is merőleges az A B -it, ezért M 1QM2 nem töröttvonal, hanem az M 1M 2 egyenes egy szakasza. Ebből következik, hogy Q =P, azaz a P pont valóban felezőpont és az AÍiM2=/egyenes az AB szakasz felezőmerőlegese.
M { \
P
M,'>
B B
73. ábra
Hasonló gondolatmenettel adódik, hogy az / felezőmerőleges bármely M pontját tekintjük, az egj’enlő távolságra van a szakasz két végpontjától: AM ~BM . Azt is belátjuk, hogy az / felezőmerőleges pontjain kívül a síknak nincs olyan pontja, amely az A B szakasz végpontjaitól egyenlő távolságra van. Ugyanis, ha feltesszük, hogy N ^ f, akkor az ANP és a BNP háromszögekben az NP oldal közös, A P -B P és a közbezárt szög nem egyenlő, ezért
A fentiek alapján a szakasz felezőmerőlegesét a következő pont- p /halmazként is értelmezhetjük: A síkban egy szakasz felezőmerőlegese azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek a szakasz két végpontjától egyenlő távolságban vannak.
Térben egy szakasz két végpontjától egyenlő távolságban lévő pontok halmaza egy olyan sík, amely merőleges a szakaszra és azt felezi.
Hasonló módon konvex szögek szögfelezőit is értelmezhetjük ponthalmazként: Egy konvex szöget felező félegyenes a szög tartományában azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek a szög két szárától egyenlő távolságban varrnak (74. ábra).
100 101
GEOMETRIAI SZERKESZTESEK GEOMETRIAI SZERKESZTÉSEK
Szerkesztési feladatok végrehajtásáról
Szerkesztési feladatok megoldásánál elsőként vázlatrajzot készítünk. Ennek alapján - a ponthalmazokra és geometriai tételekre vonatkozó ismereteink felhasználásával - a szerkesztést több lépésre bontjuk fel és azokat egymás után elvégezzük. Szükség lehet annak vizsgálatára, hogy elegendő-e egyetlen szerkesztés, vagy a kiindulási adatoktól függően több esetet is kell vizsgálnunk. A szerkesztési eljárás helyességét igazolnunk kell.
Vannak feladatok, amelyekben több feltételnek megfelelő alakzatot kell szerkesztejiünk. Ezeknél a feltételeket külön-külön vizsgáljuk, az egyes feltételeknek megfelelő ponthalmazokat külön-külön megkeressük, majd ezek közös részét vesszük.
A szerkesztési feladatok teljes elemzését diszkussziónak nevezzük.
Példa: Adott egy egyenes és tőle adott d távolságban egy pont. Szerkesszünk adott sugarú kört, amely érinti az adott egj'enest és áthalad az adott ponton.
A feladat szövege világossá teszi, hogy a szerkesztendő r sugarú, körnek két feltételt kell kielégítenie. Egyik feltétel, hogy érintenie kell az e egyenest. A másik feltétel az, hogy egyik kerületi pontja az adott P pont.
A szerkesztendő kör (körök) középpontjának az első feltétel alapján az adott egyenestől r távolságban kell Jejmie, a másik feltétel miatt a középpont és az adott P pont távolsága ugj'ancsak r (75. ábra).
A z első feltételnek megfelelő ponthalmaz az e egyenestől r távolságban lévő két párhuzamos egyenes, a másiknak megfelelő ponthalmaz a P pont körüli r sugarú körvonal. E két ponthalmaz közös részének pontjai azok, amelyek a feltételeknek megfelelő körök O középpontjai lehetnek.
A feladat megoldásánál, harf = 0, akkor egyetlen esetet kell vizsgál
nunk, ha d /0 , akkor hármat, a zr>^ , r = ^ , r < ^ eseteket. (76. ábra).
A szerkesztendő körök száma a négy esetben rendre 2; 2; 1; 0.A szerkesztés lépéseit végiggondolva minden esetben igazolhatjuk
eljárásunk helyességét.
75. ábra
d^O
O,
r<i
Od'
7á ábra
Néhány nevezetes szerkesztés
Külön tárj^'alunk néhány nevezetes szerkesztést: Körhöz külső pontból szerkesztünk érintőt, két körhöz közös érintőt szerkesztünk, majd parabola, ellipszis, hiperbola pontjainak szerkesztésével foglalkozunk.1. Adott a k kör és a külső P pont (77. ábra). A kör érintőjére vonat
kozó tétel alapján tudjuk, hogy az érintési ponthoz húzott sugár és az érintő egyenes egymásra merőleges. Thalész tételéből adódik, hogy az OP szakasz C felezőpontjából OC sugárral rajzolt kör áthalad az E ponton, ugyanis az OEP háromszög E csúcsánál lévő szög 90° (129. oldal).
77. ábra
A szerkesztés lépései: Az OP szakasz felezése, a C felezőpontból OC sugárral kör rajzolása. Ennek és az eredeti körnek a metszéspontjai lesznek az érintési pontok: E] és E^. A két érintő egyenes PE^, PE2. A
102 103
GEOMETRIAI SZERKESZTESEK GEOMETRIAI SZERKESZTESEK
tengelyes szimmetriából következik, hgy a két érintőszakasz egyenlő hosszúságú PEi =PEi.
2. Két körnek kétféle közös érintője lehet, a 78. ábra a) része külső, a í») része belső érintőket mutat. A közös érintők szerkesztését visszavezetjük az előző szerkesztésre.
A z ábrán látható két körnek összesen négy közös érintője van. H a a két kör kölcsönös helyzete más, akkor a közös érintők száma kevesebb is lehet: 3; 2; 1 vagy 0 (pl. két koncentrikus körnek nincs közös érintője).
a) A külső érintőknél, ha a kisebb kör r2 sugarát gondolatban, csökkentjük és mindig ugyanannyival csökkentjük a nagyobb kör sugarát is, akkor a közös érintő párhuzamosan eltolódik. Ha a csökkenés 2 lesz, akkor a nagyobb kör rj-r2 sugarúvá, a kisebb kör pedig az O2 középponttá zsugorodik,A szerkesztés lépései: Az Ox középpontú r i-/'2 sugarú körhöz az O2
külső pontból megszerkesztjük az érintő egyenest, majd ezt 12
távolsággal párhuzamosan eltoljuk.b) A belső érintőknél - az előző szerkesztéshez hasonlóan - a kisebb
kör sugarát r2-vel csökkentjük, a nagyobb kör sugarát rj-vel növeljük.
A szerkesztés lépései: Az Oj középpontú ri+/-2 sugarú körhöz az O2
pontból megszerkesztjük az érintő egyenest, majd ezt T2 távolsággal párhuzamosan eltoljuk.
Az előbbi szerkesztések megfeleltek az euklidészi szerkesztési módszernek. Parabolát, ellipszist, hiperbolát azonban kizárólag körzővel és egyenes vonalzóval nem szerkeszthetünk, de véges számú tetszés szerinti sok pontjukat megszerkeszthetjük euklidészi módszerrel. Ha ezek elég sűrűn helyezkednek el, akkor kialakítják a vonal alakját.
Mindhárom vonalnál olyan pontokat kell keresnünk, amelyek megfelelnek definíciójuknak (93. oldal).3. A parabola pontjainak szerkesztésénél elsőként felvesszük a vezéregye
nest és a parabola fókuszpontját. (Ehhez ismernünk kell a paraméterét.) Az F pontból a vezéregyenesre bocsátott merőleges a parabola szimmetriatengelye (79. ábra). A vezéregyenes és a tengely metszéspontjával valamint a fókuszponttal meghatározott szakasz felezőpontja a parabola egyik pontja, tengelypontjának (7) nevezzük.A parabola további pontjainak szerkesztéséhez a vezéregyenessel párhuzamos egyeneseket veszünk fel. Tekintsük az ábra a egyenesét. A d(a, v) távolságot körzőnyflásba vesszük és ezzel az a egyenest az F fókuszpontból elmetsszük. A k a p o tté i , ^2 pontok pontjai a parabolának. Újabb pontokat is hasonlóan szerkeszthetünk.
adott
1 ^
T/ \d {a ,v)\
\ \ 1 1 \. 1L 1 X 1
A 2 \ I1 \ 1
1a\
79. ábra
4. A z ellipszis pontjainak szerkesztésénél az első lépés a tengelyek felvétele és a fókuszpontok kijelölése (80. ábra). Utána az OF2 szakaszon segédpontokat veszünk fel. Közülük tekintsük 5i-et. Mivel ASi+SjB=2a, a fókuszpontok egyikéből v45i, a másikból SíB sugarú, egymást metsző köríveket rajzolunk. Ezek Mj, A/2, M^, M4, metszés-
104 105
GEOMETRIAI SZERKESZTESEK
pontjai megfelelnek az ellipszis definíciójának, így pontjai az ellipszisnek. Az 52, ^3,... pontokkal újabb pontokat szerkeszthetünk.
adott
80. ábra
5. A hiperbola pontjainak szerkesztésénél az első lépés a valós tengely és a fókuszpontok felvétele (81. ábra). Utána a valós tengely egyenesén az
szakaszon kívül segédpontokat veszünk fel. Közülük tekintsük 5i*et. Mivel = a fókuszpontok egyikéböM^i, a másikábólBS- sugarú, egymást metsző köríveket rajzolunk. Ezek M^, M- , M^, M 4, metszéspontjai megfelelnek a hiperbola definíciójának, így a hiperbolának pontjai. Hasonló módon további pontokat szerkeszthetünk.
adott
81. ábra
XII. G e o m e t r i a i t r a n s z f o r m á c i ó k
A z alakzatok tükrözését, eltolását, forgatását, nagyítását, ismeijük. Jellem ző tulajdonságaikban több közös vonást találunk. Ez indokolja, hogy közös nevet adjunk nekik: geometriai tram:^ortnációknak. nevezzük.
Egy fénykép nagyításánál az eredeti kép minden pontjának m egfelel a nagyított kép egy-egy pontja. A fénykép egy ponthalmaz, a nagyítás ennek a ponthalmaznak (értelmezési tartománynak) minden egyes elem éhez hozzárendeli a nagyított kép ponthalmazának egy-egy elemét.
A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek értelmezési tartománya is, értékkészlete is ponthalmaz.
Egymás után két (vagy több) geometriai transzformációt is végezhetünk. A transzformációk sorrendjét egyértelműen kell megadnunk. (A geometriai transzformációk egymásutánt elvégzését a transzformációk szorzatának is nevezzük.)
A z értelm ezési tartomány elem eit szokás tárgypontoknak is nevezni, az értékkészlet elem ei képpontok.
A sokféle geometriai transzformáció közül a középiskolában csak néhány egyszerűvel foglalkoztunk. A tárgyalt geom etriai transzformációknál a hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű.
Egy geometriai transzformációnál elsőként a hozzárendelési szabályt adjuk meg. Ennek ismerete után a transzformáció lényeges tulajdonságait keressük. Ezek megtalálását és megfogalmazását segíti az invariáns alakzat és a fixpont fogalmának bevezetése.
Ha egy geometriai transzformációnál valamely alakzat képe önmaga, akkor azt a transzformáció invariáns alakzatának nevezzük.
Egy geometriai t r a n s z f o r m á c i ó n a k az olyan pont, amelynek a képe önmaga. Ha egj’ alakzat valamennyi pontját külön-külön figyeljük és azok mind fixpontok, akkor az alakzatot a transzformáció fixalakzatának mondjuk. (Minden fixalakzat invariáns alakzat, de nem minden invariáns alakzatra mondhatjuk, hogy fixalakzat.)
Távolságtartó (egybevágósági) transzformációk
Távolságtartó (egybevágósági) transzformációknak azokat a transzformációkat nevezzük, amelyeknél bármely két pont távolsága egyenlő a képük távolságával.
A távolságtartás azt jelenti, hogy bármely szakasz képe az eredetivel azonos hosszúságii szakasz. Ebből következik, hogy minden távolságtartó
106 107
GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK GEOMETRIAI TRANSZÉORMACÍOK
transzformációnál szö^ képe ugyanolyan nagyságú szög (azaz a távolságtartó transzformáció szögtartó is). Következik az is, hogy egyenes képe egyenes.
’ b) adott: O c) adott; O és aadott: [
■<P ’
d) adott: v
P ‘
82. ábra
A síkon végzett távolságtartó transzformációk közül nevezetesek (82. ábra):
a) Tengelyes tükrözés (egy egyenessel, a tengellyel adjuk meg),b) középpontos tükrözés (eg>' ponttal, a középpottal adjuk meg),c) pont körüli elforgatás (egy ponttal, a középpottal és az elforgatás
szögének nagyságával, irányával adjuk meg),d) eltolás (egy vektorral adjuk meg).Ezek hozzárendelési szabályát a 82. ábráról leolvashatjuk. (Az ábra
azt is mutatja, hogy a középpontos tükrözést 180“-os elforgatásnak is tekinthetjük.)
A síkon végzett távolságtartó transzformációk közül egy síkidom körüljárási irányát a tengelyes tükrözés ellenkezőjére változtatja, a többi nem változtatja meg.
A tér távolságtartó transzformációi közül közismertek:a) Síkra történő tükrözés (egy síkkal adjuk meg),b) középpontos tükrözés (a kép lényeges tulajdonságaira jellemzőbb a
forgatva tükrözés elnevezés; egy ponttal, a középponttal adjuk meg),c) az egyenes (tengely) körüli forgatás (egy egyenessel, a tengellyel és a
forgatás szögének nagyságával, irányával adjuk meg),d) eltolás (egy vektorral adjuk meg).£gy síkra történő tükrözés hozzárendelési szabálya: Ha eg>' pont a síkon
van, akkor tükörképe önmaga. (A sík pontjai fixpontok.) Ha egy P pont nem illeszkedik az S síkra, akkor a pontból merőlegest bocsátunk a síkra, talppontja T (83. ábra). A T pontra tükrözzük a F pontot. A kapott P' pont a P pontnak az S síkra vonatkozó tükörképe.
adott: f és a
P ’y-
Q=Q.
■*P
S3. ábra
Egy tükör előtt állva, saját tükörképünk a tükör síkjára történő tükrözéssel jön létre. (A tükörkép nem ,,sík-kép”, az is test.) Tükörképünkön a bal és a jobb oldal felcserélődik.
A tengefy köríiii forgatás hozzárendelési szabálya: Ha egy pont a tengelyen van, akkor a képe önmaga. (A tengely pontjai fixpontok.) Ha egy P pont nem illeszkedik a t tengelyre, akkor a képe azon az 5 síkon van, amely merőleges a t tengelyre és illeszkedik a P pontra (84. ábra). Ezen az 5 síkon, a tengellyel alkotott O metszéspont körül, elforgatjuk a P pontot az adott forgásszög irányában és a szög nagyságával. A kapott F' pont lesz a / ’ pont képe.
Tengely körüli forgatással forgástesteket, forgásfelületeket hozhatunk létre. Pl. egy kört az egyik átmérője körül forgatva gömböt kapunk; egy tengely körül egy metsző egyenest forgatva egy forgáskúp palástjához jutunk (85. ábra),
A középpontos tükrözés (forgatva tükrözés), valamint az eltolás hozzárendelési szabálya ugyanaz mint a síkon.
Távolságtartó transzformációk egymásutáni végzése is távolságtartó (egybevágósági) transzformáció.
Alakzatok egybevágósága
Két alakzatot egybevágónak nevezünk, ha van olyan távolságtartó transz- formáció, amellyel az egyik alakzatot a másikba vihetjük á t (A távolságtartó transzformációkat egybevágósági transzformációknak is nevezzük.) Az egybevágóság jele; =
A z értelmezés alapján, ha két alakzat egybevágóságát akarjuk belátni, akkor keresnünk kell olyan távolságtartó transzformációt, amely az egyik alakzatot a másikba viszi át. Ez nehéz munka lehet, de vannak síkidomok,
m 109
GEOMETRIAI TRANSZFORMACIOK
amelyek egybevágóságát a jellem ző adataik alapján könnyen eldönthetjük. Ezt háromszögeknél, sokszögeknél külön tárgyaljuk.
Két háiomszög egybevágó, ha belátjuk, hogy teljesül rájuk a következő feltételek egyike. (Ekkor a két háromszög minden megfelelő adata egyenlő, tehát a többi feltétel is teljestil.)
Két háromszög egybevágó, haa) oldalaik hossza páronként egyenlő,b) két-két oldaluk hossza páronként egyenlő és az ezek által bezárt szögük
is egyenlők,c) egy-egy oldaluk hossza és a rajtuk lévő két szögük páronként egyenlők,d) két-két oldaluk hossza páronként egyenlő és közülük a hosszabb oldal
lal szemközti szögek egyenlők.
C ”
GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK
Állításaink közül az elsőt bizonyítjuk. Adott az AB Ci. és az A ’B ’C \ úgy, hogy A B = A W ,A C = A ’C ’, B C = B ’C \ Azt kell belátnunk, hogy ekkor létezik olyan egybevágósági transzformáció, amely az egyik háromszöget a másikba viszi át.
A két háromszög körüljárási iránya ellenkező (86. ábra). Felveszünk egy i tengelyt, erre tükrözzük aZv4BCA-et, képe az A '’B"C”i (ez azonos körüljárási irányii a z ^ ’JS’C i-gel).
A ”B "C ’\ - e t eltoljuk azv4’!á'vektorral, a képe a z ^ ’S "’C"’A. A feltételek sz&nnt A B = A ’'B"^A’B ”’= A ’B ’. Ezért az A B '' ’C ”'^-et az pont körül elforgathatjuk tigy, hogy a B ’" pont a jS’-be kerüljön. Ekkor - mivel A C = A ’‘C ’’= A ’C ”‘= A ’C ’ és B C = 5 '’C ”= B ”’C"’=-B’C’ - a C ”’ pont a C’-be kerül. Ezért valóban A B C a = ^ ’B'C'í. (H a két háromszög egyező körüljárású, akkor az egyik a másikba egy eltolással és egy forgatással átvihető.)
Hasonló gondolatm enetettel bizonyítható a további három eset is.
Két sokszög egybevágóságának megállapításához megfelelők az alábbi feltételek:
Két sokszög egybevágó, haa) megfelelő oldalaik hossza egyenlő és megfelelő szögeik is egyenlők,
b) megfelelő oldalaik hossza egyenlő és megfelelő átlóik hossza is egyenlő.
.í^lításaink bizonyításánál a két sokszöget az átlóikkal háromszögekre bontjuk és a sokszögek egybevágóságát visszavezetjük háromszögek e^bevágőságára.
Alakzatok szimmetriája
A különféle szimmetriákat a távolságtartó (egybevágósági) transzformációk ismeretében értelmezzük.
Egy síkbeli alakzatot tengelyesen szimmetrikusnak nevezzük, ha az alakzat síkjában létezik olyan tengely, amelyre történő tükrözésnél az alakzat képe önmaga (87. ábra).
h\ \ y*3
__
57. ábra
Egy alakzat középpontosan szimmetrikus, ha létezik olyan pont, amelyre történő tükrözésnél az alakzat képe önmaga (88. ábra, ^b) tengelyesen is szimmetrikus).
88. ábra 89. ábra
Egy alakzat síkszimmetrikus, ha létezik ofyan sík, amelyre vonatkozó tükrözésnél az alakzat képe önmaga (89, ábra).
110 111
GEOMETRIAI TRANSZFORMACÍOK
Egy sld k zzt forgásszimmetrikus, ha létezik olyan of=fc*360°-tól különböző forgatás, amely az alakzatot önmagába viszi át. A forgatás lehet tengely körüli forgatás, a síkban pont körüli forgatás (8 7 /a a = 90°; 87 /c a =72”; 8 8 /b « = 6 (T ).
A háromszögek közül tengelyesen szimmetrikusak az egyenlő szárú háromszögek. (A z egyenlő oldalúnak három szimmetriatengelye van.) Négyszögek között tengelyesen szimmetrikus m inden négyzet, m inden téglalap, minden deltoid. (Szimmetriatengelyeik száma rendre: 4; 2; 1.) Az egyenlő szárú trapézok között is varrnak tengelyesen szimmetrikusak, azonban minden paralelogramma m egfelel az egyenlő szárú trapéz defim'- dójának, de nem mind tengelyesen szimmetrikus trapéz.
Középpontosan szimmetrikus háromszög nem létezik. A négyszögek közül a paralelogrammák középpontosan szimmetrikusak.
M inden szabályos sokszög tengelyesen szimmetrikus (az n oldalúak- nak n szinmietriatengelye van). A páros oldalszámú, szabályos sokszögek középpontosan is szimmetrikusak.
A szimmetria segítségével beláthatjuk, hogy egy szakasz felezőm erőlegese szimmetriatengelye a szakasznak, ezért a két végpon^ától egyenlő távolságban lévő pontok halmaza.
Párhuzamos szelők tétele és megfordítása
Háromszögek egybevágóságát felhasználjuk a párhuzamos szelők tételének bizonyításában is.
Tétel: Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor egyik száron keletkezett szakaszok aránya egyenlő a másik száron keletkező megfelelő szakaszok arányával
GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK
90. ábra 91. ábra
a) A 90. ábrán látható módon méijük fel a szög egyik szárára az A B ^C D szakaszokat és a végpontjaikra illesszük az egymással párhu- zamosv4>l’, B B \ CC\ D D ’ egyeneseket, Az^l és C ponton át hiízzunk párhuzamos egyeneseket a szög másik szárával, így létrejönnek a z ^ i, Cl pontok. Az AEW^aSCDCia, mertv4fi = CD és a párhuzamosság
miatt a rajtuk lévő két szög e^enlő . Emiatt A 4 i=CCi. Mivel egy paralelogrammában a szemközti oldalak egyenlök;^ 'ö '=C ’r>’.
b) A szög egyik szárára olyan két szakaszt mérünk fel, amelyek aránya racionális szám: FR:QS=p\q (91. ábra). Végpon^aikra illesszük az egymással párhuzamos PP\ R R \ QQ‘, SS’ egyeneseket. Mivel PR:p=QS:q, ezért a PR szakaszt, illetve a szakaszt osszuk felp, illetve q egyenlő részre. így a PR szakaszp és a QS szakasz q egyenlő hosszúságú rövid szakaszból áll. Ezek végpontjaka is illesszünk a PP’- vel párhuzamos egyeneseket. Az előbb bizonyított állítás szerint ezek a P ’R ’ és a szakaszokatp és q egyenlő hosszúságú rövid szakaszra bontják, ^zéxi P ’R'-.Q’S ’=px}, 3Z2ízPR:QS=P’Q’:Q‘S ’.
c) Abban az esetben is bizonyítható a tétel, ha az egyik szárra felmért két szakasz PR.QS aránya irracionális szám. (Ez nem középiskolai feladat.)
A tétel megfordítása: Ha két egyenes egy szög száraiból olyan szakaszokat vág le, amefyek aránya mindkét száron egyenlő, akkor a két egyenes párhuzamos (92. ábra).
'a bizonyításhoz az OA:AB == OA’:A'B’ arányból indulunk ki és feltesszük, hogy az A A \ BB’ egyenesek nem párhuzamosak.Ezért ^ ' - v e l olyan párhuzamost húzunk, amely illeszkedik 5-re. Ez a másik szögszárat a pontban metszi. Az A A ’ és a BBi párhuzamos egyenesekre a párhuzamos szelők tétele értelmében OA:AB=OA’\A ’Bi. Ezt az alakot összehasonlítjuk a kiinduló aránnyal. Következik: B^=B’. Tehát a feltevésünk helytelen volt, 2lzA A ’ a B B ’ egyenesek valóban párhuzamosak.
Az előzőekhez csatlakozik e ^ új álh'tás, amelyet párhuzamos szelőszakaszok tételének szoktunk nevezni:Tétel; Egy szög szárait metsző párhuzamos egyenesekből a szárak által kimetszett szakaszok aránya megegyezik a párhuzamosok által az egyik szárból kimetszett szakaszok arányával (93. ábra).
Állításunk bizonyításához vegyünk fel egy egyenest, amely z z A pontra illeszkedik és párhuzamos az OA ’ egyenessel (ekkor egy paralelogramma is keletkezik), majd a B csúcspontú, ÓBB’ szögtartományban lévő párhuzamos egyenesekkel írjuk fel a párhuzamos szelők tételét:
92 ábra
93. ábra
112 113
GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK
OA\OB=B’B”£ ’B. A paralelogramina tulajdonságainak felhasználásával: OA\OB=A’A-£B.
Szakasz adott arányú felosztása
A párhuzamos szelők tétele alapján megszerkeszthetjük azt a pontot, amely egy adott szakaszt m \n arányban oszt két részre.
A 94. ábrán látható ^ -------------módon az A B szakasz egyik végpontjából, az A pontból kiindulva félegyenest húzunk, arra egy tetszőleges szakaszt m -szer, majd «-szer felm érünk. A z A P szakaszt a Q pont m :n arányban osztja.Megszerkesztjük a P B szakasszal párhuzamos és Q-ta. illeszkedő egyenest m egadott arányban osztja; A O .O B - m \n .
94. ábra
ez az A B szakaszt a
Hasonlósági transzformációk
Középpontos hasoníóság
A középpontos hasonlósági transzformáció hozzárendelési szabálya: Adott a középpontos hasonlósági transzformáció O középpontja & egy X (ki^O) szám. A középpont képe önmaga (^pont). Ha egy Ppont nem illesz-kedik a középpontra, akkor ü P pont képe az O pontból kiinduló \O P vektor P ’végpontja (95. ábra).
Ha X = l, akkor a transzformáció minden ponthoz önmagát rendeli, azaz minden pont fixpont, ha X = -l, akkor a transzformáció középpontos tükrözés.A középpontos hasonlósági transz- formáció tulajdonságai:
1, Egyenes képe egyenes.Ha egy egyenes illeszkedik a
középpontra, akkor a képe önmaga (invariáns alakzat).
0 = 0 ’^ -. x = 2P
P ’
^Q'
95. ábra
Ha egy egyenes nem illeszkedik a középpontra, akkor a képe olyan egyenes, amely párhuzamos az eredetivel.
Ennek belátásához tekintsük az O középpontú 0 < \ arányú középpontos hasonlósági transzformációt (96, ábra). A z e egyenes F, Q, R pontjaira, illetve azok képpontjára fennáll; O P ’= \O P , O Q ’= \O Q , O R ’= \O R . Vajon a P ’, Q \ R ’ pontok is egy egyenesen vannak? A hozzárendelés szabályából következik;
X= O P’OP
O Q ’OQ X= O P ’ OR'
OP OR
^ első aránypárból a párhuzamos szelők tételének megfordítása alapján az következik, hogy a P Q egyenessel párhuzamos a P ’Q ’ egyenes, a másodikból pedig az, hogy a P R egyenessel párhuzamos a P ’Q ’ egyenes. A Ö, pontok egy egyenesre illeszkednek és a P ’Q \ P ’R ’ egyenesek vele párhuzamosak, valamint illeszkednek a P' pontra. Emiatt a P ’Q' és a í ' ’/?'egyenesek egybeesnek, azaz a P ’Q' egyenesnek pontja az R ’ pont.
2. Szög képe azonos nagyságú szög.E z az előző megállapításunkból következik. Ugyanis egy szög két szá
rának a képe az eredeti szögszárra vagy illeszkedik, vagy vele párhuzamos. A szög és annak a képe egyállású szögpár, így azok nagysága azonos.
97. ábra
3. Bármely szakasz képének és az eredeti szakasznak az aránya állandó. Ez az állandó a hasonlóság arányának az abszolútértéke ( IX | ),
A 97. ábráról a párhuzamos szelöszakaszok tétele alapján P ’Q ’P Q = O P ’:O P = \.
4, H a e ^ sík illeszkedik a középpontra, akkor a képe önmaga. H a a sík nem illeszkedik a középpontra, akkor a középpontos hasonlósági transzformáció egy vele párhuzamos síkba viszi át.
Hasonlósági transzformáció és tul^donságai
Hasonlósági transzformációnak olyan geometriai transzformációt nevezünk^ amely középpontos hasonlóság és távolságtartó (egybevágósági) transz- formáció egymás utáni elvégzésével jön létre. (A transzformációk sorrendjét ismernünk kell.)
114 IIS
GEOMETRIAI TRANSZFORMACIOK GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK
A kétféle transzformáció tulajdonságaiból adódnak a hasonlósági transzformáció tulajdonságai:
1. Egyenes képe egyenes.2. Szög képe azonos nagyságú szög (a hasonlósági transzformáció szög
tartó).A \ arányú hasonlóság transzformáció bármely szakasz hosszát IX j - szorosára változtatja (a hasonlósági transzformáció aránytartó).
Bizonyítható, hogy ha valamely transzformáció minden szakasznak a hosszát ű-szoTosára (0<o) változtatja, akkor az hasonlósági transzformáció és annak aránya a.
Alakzatok hasonlósága
Két alakzatot hasonlónak nevezünk, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amellyel az egyik alakzatot a másikba vihetjük át. A hasonlóság jele: ~
Vannak alakzatok, amelyek hasonlóságát a jellemző adataik alapján könnyen eldönthetjük.
Két háromszög hasonló, ha belátjuk, hogy teljesül rájuk a kővetkező feltételek egyike (ekkor a többi feltétel is teljesül).
Két háromszög hasonló, haa) megfelelő oldalaik hosszának aránya egyenlő,b) két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és az ezek által közrefogott szögek
nagysága egyenlő,c) két-két szögük páronként egyenlő,d) két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és közülük a hosszabb oldallal
szemközti szögek egyenlŐeJcÁllításaink közül az e lsőt bizonyítjuk. Adott azA B C i, és 3z A ’B ‘C ’a úgy, hogy fennálljon
= A C :A ‘C ’. A két háromszög körüljárási iránya azonos.
A z A ’C ’ oldalhosz- szat az A pontból kiindulva felméijük az A Cfélegfenesre (98. ábra). A kapott Q pontra illesszünk a B C egyenessel párhuzamos egyenest, ez az A B egyenest B j pontban metszi. A szerkesztés miatt A B C a ~ A B iC iií, az egyik a másikból középpontos hasonlósággal átvihető.
98. ábra
A kialakított ábráról a párhuzamos szelők tétele, majd a párhuzamos szelőszakaszok tétele alapján; A B :A B i= A C :A ’a ,B C iB ^ C i =A C :A ’C .
Ezeket hasonlítsuk össze a feltételek m egfelelő aránypárjával. Az elsőből A ’B ’=^ABi-eX, a másodikból fi'C ’=j?iCi-et kapjuk. Ezért
A zA S C i-b öI kozéppontos hasonlósággal létrehoztuk a z ^ j C i^ - e t és abból egybevágósági transzformációkkal létrejön a z A ’B ’C \ . Emiatt valóban 'CV
Hasonló gondolatmenettel bizonyítható a további három eset is.
Két sokszög hasonlóságának megállapításához alkalmasak az alábbi feltételek:
Két sokszög hasonló, haa) megfelelő oldalaik és megfelelő átlóik hosszának aránya állandó,b) megfelelő oldalaik aránya egyenlő és a megfelelő szögeik is egyenlők.
Hasonló síkidomok területének aránya
A következőkben a hasonlóság X arányát pozitív szánmak tekintjük (0<X ). H a a hasonlóság aránya negatív, azt tekintsük -l*X -n ak . Ez egy X arányt! hasonlósági transzformációval és egy középpontra tükrözéssel állítható elő. A középpontos tükrözés nem változtatja meg a terület nagyságát.
A X arányti hasonlósági transzformáció az a alapú és m magasságú háromszögből \ a alapú és \m magasságú háromszöget hoz létre. Az eredeti háromszög területét jelöljük í-vel, a transzformáció utáni képének a területét í'-vel.
^_am ^ ,_ X a -X m 'h?am t - — , /
Átalakítva: t ’\t->}.Sokszöget háromszögekre bontva a sokszög területe a háromszögek
területének összege. Ahogy háromszögekre, úgy sokszögekre is igaz, hogy bármely sokszög t területét a X arányú hasonlósági transzformáció X í-re változtatja. (A területek aránya X .)
Bizonyítható az is, hogy hasonló síkidomok területének aránya a hasonlóság arányának a nemzete.
116 117
VEKTOROK. VEKTORMŰVELETEK
xni. V e k t o r o k , v e k t o r m ű v e l e t e k
A sebességet, erőt, ... az iránya és nagysága jellemzi. Ezeket a fogalmakat már a XVU. században egy nyíllal szemléltették, amely mutatja ar irányt és a nyíl hossza pedig a sebesség, az e r ő , ... nagyságát. Ebből alakult ki a vektor fogalma.
A vektorok irányított szakaszok, hosszuk a vektor abszolútértéke. (Az egységvektor abszolútértéke 1.)
Egyállású vektoroknak nevezzük azokat, amelyekhez találhatunk olyan egyenest, amely mindegyikkel párhuzamos.
Két vektor egyenlő, ha abszolútértékük egyenlő, egyállású ak és irányuk azonos. A 99. ábra egyállású vektorokat mutat, k ö z ü lü k = P Ö = v , |vl =3.
A nullvektor abszolútértéke 0, bármely vektorral egyállású (iránya tetszőleges).
Ha két vektor abszolútértéke egyenlő, egyállásúak és ellentétes irá- nyúak, akkor azokra azt mondjak, hogy egymásnak ellentettjei {AB = -RS).
Egysíkúaknak nevezzük azokat a vektorokat, amelyekhez találhatunk olyan síkot, amely mindegyikkel párhuzamos.
Gyakran hasznos, ha a pontokat egy rögzített pontból, az ún. vonat- koztatási pontból kiinduló vektorokkal határozzuk meg. Ezeket a vektorokat az adott nontból induló helyvektoroknak nevezzük (100. ábra).
A
Műveletek vektorokkal
A vektorok között műveleteket értelmezünk. Tömören közöljük a definíciókat, majd belátjuk az ezekből következő tulajdonságokat.
Vektorok ö s s z e g e z é s e
Két vektor összeadásánál egy pontból kiindulva felmérjük az egyik vektort, majd ennek a vé^ontjába a másik vektort. Összegük az a vektor, amely az első kezdőpontjából a második véQsontjába mutat ( 101. ábra),
b---------------------- b b
101. ábra
Két vektor Összeadása kommutatív művelet. Ugyanis ha az ábrán, látható a és b vektort egy P pontból mindkét sorrendben egymásután felmérjük, akkor egy paralelogramma alakul ki. Az a-i-b vektor mindkét esetben a paralelogrammának az az átlója, amely a P pontból indul ki.
Több vektor összeadása esetén először két vektort összegezünk, majd ehhez az összegvektorhoz hozzáadunk egy újabb vektort stb.
A vektorok összeadása asszociatív művelet, ezt beláthatjuk a 102. ábráról.
Több vektor összeadása esetén a vektorok egymás utáni felmérésével, a vektorok „egymáshoz fűzésével" szerkesztjük meg az összegvektort.
b
i
99. ábra 100. ábra
Két vektor különbsége
Két vektor, az h, h vektorok a-b különbségén az a+(-b) összeget értjük, azaz az a vektorhoz hozzáadjuk a b vektor ellentettjét.
m 119
VEKTOROK. VEKTORMŰVELETEK VEKTOROK, VEKTORMŰVELETEK
Két vektor különbségének a megszerkesztése történhet a definíció alapján (103/a ábra), de a különbségvektort megszerkeszthetjük úgy is, hogy a két vektort egy pontból kiindulva mérjük fel. A két vektor különbsége a kivonandó végpontjából a kisebbítendő végpontjába mutató vektor (103/b ábra).
b )
103. ábra
Vektor szorzása számmal
Vektoroknak számmal (skalárral) történő szorzását több lépésben értelmezzük:
Ha a v e k to r nullvektor, akkor bármilyen X (X eR ) számmal szorozzuk, a szorzat nuUvektor. (Ha a = 0, akkor Xa=0.)
Ha és X (X eR) számmal szorozzuk, akkor Xa olyan vektor, amelynek abszolútértéke 1X | ■ 1 a 1 és iránya
0 < \ esetén a iránya,\< 0 esetén a irányával ellentétes,\ = 0 esetén Xa = Oj iránya tetszőleges.
A definíció alapján vektornak számmal történő szorzása nyújtást (1< IXI) vagy zsugorítást ( | X | < 1) jelent (104. ábra).
Számmal történő szorzással egy állású vektorhoz jutunk. Ez fordítva is igaz; Ha adott egy nem nuUvektor, akkor vele egyállású bármely vektor előállítható annak számszorosaként.
Az értelmezésből következnek a számmal történő szorzás tulajdon-ságaL-
a) a(|8a) = (a^)a,b) aa+0a.=c) a(a+b) = aa+ctb.
Az a) és b) alatti állítás közvetlenül az é r t e lm e z é s b ő l következik. A c) alatti tulajdonságra mondhatjuk, hogy vektor számmal történő szorzása a vektorösszegzésre nézve disztributív. Ezt az állítást a 105. ábra alapján középpontos hasonlósággal láthatjuk be.
Az a, b vektorokból az előző értelmezések alapján képezett v==aa-h|0b
vektort az a, b vektorok lineáris kombinációjának nevezzük.Vektorok összeadásánál, kivonásánál, számmal történő szorzásánál
úgy végezhetünk formai átalakításokat, mint a számokkal felírt betűs kifejezéseknél. Például: (7 a -5 b )-2 (a -3 b )= 7 a -5 b -2 a + 6 b = 5 a + b .
A vektor számmal történő szorzásának ism erete alapján m egkereshetjük a (a?íO) vektorral egyállású és azonos irányú egységvektort. Mivel az a vektor abszolútértéke az | a | szám, ezért ha ezzel a szánmial szorozzuk az a , egységvektort, akkor az a vektort kapjuk; |a |a ^ = a. Az egyen
lőséget szorozhatjuk -val, azaz oszthatjuk az | a | számmal, így
Két vektor skaláris szorzata
Két vektor skaláris szorzatán a két vektor abszolútértékének és hajlásszögük cosinusának szorzatát értjük. A yj (0“§ íJá l8 0 “) hajlásszöget bezáró a, b vektorok skaláris szorzata: ab= [a| [blcosíp. Ez szám, ezért kapta az így értelmezett szorzat a „skaláris” jelzőt.
1. Két vektor skaláris szorzata kommutatív. ab = ba. Ez a definícióból következik, ugyanis mindkét skaláris szorzat ugyanannak a három számnak a szorzata, számok szorzása pedig kommutatív művelet.
2. Vektorok skaláris szorzata nem asszociatív.Tekintsük az (ab)c szorzatot. Az ab skaláris szorzat, azaz egy szám, így az (ab)c szorzat a c vektornak egy száraszorosa, az a(bc) szorzat pedig az a vektornak egy számszorosa. Általában (ab)c^a(bc).
3. Skaláris szorzatot egy valós számmal úgy is szorozhatunk, hogy a számmal az egyik tényezőjét szorozzuk: X(ab) = (Xa)b = a(Xb), ez a skaláris szorzás definíciójából következik.
4. Bármely a, b, c vektorokra fennáll az (a+b)c = ac+bc azonosság, azaz a skaláris szorzás a vektorösszeadásra nézve disztributív.
120 121
VEKTOROK, VEKTORMŰVELETEK VEKTOROK, VEKTORMŰVELETEK
Egy vektor önmagával való skaláris szorzatát a vektor négyzetének mondjuk. Ekkor a két vektor hajlásszöge 0'’. Ezért a“= I a I Átalakítva:|a |=V a^ , azaz egy vektor abszolútértéke a vektor négyzetének négyzetgyöke.
Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor pozitív, ha egyik sem nullvektor és hajlásszögük0°Sip<9(f.
Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor negatív, ha egyik sem nullvektor és hajlásszögük 90°< ips 18Cf.
Ha két vektor merőleges egymásra, akkor skaláris szorzatuk 0, mert ekkor cos90°=0.
Ha két vektor skaláris szorzata 0, akkor az ab = |al |b | cos^ miatt vagy cos^= 0, azaz a két vektor merőleges egymásra, vagy a vektorok között van nullvektor. A nullvektor iránya azonban tetszőleges, ezért a két vektor hajlásszögét tekinthetjük 90°-nak is.
Ezeket az állításokat egy tételben foglaljuk össze: Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor 0, ha a két vektor merőleges egymásra.
Megjegyzés: Két vektor skaláris szorzatának az értelm ezéséhez egyes természeti törvények leírása, bizonyos fizikai ismeretek adták az Ötletet. Más fizikai törvények leírása kél vektor szorzásának m ásféle értelm ezését kívánja. Ezl a másféle értelmezést két vektor vektor! szorzásának nevezzük. A két definíció különböző, alkalmazási területük is eltérő.
Vektorok felbontása
Ha adott a, b nem egyáliású két vektor, akkor a velük egysíkú bármely v vektor egyértelműen felbontható a, b vektorokkal eg/állású összetevőkre, azaz egyértelműen meghatározható olyan valós számpár, hogy fennálljon y-aa+^h.
106. ábra 107. ábra
A felbontást a 106. ábra mulatja. A z a, b ,v vektorokat a P pom ból kiindulva felmérjük. A z a, b vektorok egyenesével és a v végpontjára illesz
tett párhuzamos egyenesekkel paralelogrammát alakítunk ki. Ebből adódik: v=3a+2b.
Ha adottak az a, h, c nem egysíkú vektorok, akkor a tér bármely v vektora egyértelműen felbontható az adott vektorokkal egyáliású összetevőkre, azaz egyértelműen meghatározható olyan oc, 0, y valós számhármas, hogy fennálljon v=aa-Hi8b+7 C
A felbontást a 107. ábra mutatja. Két-két vektorra illeszkedő síkokkal kiindulva paralelepipedont szerkesztünk. Élvektorai segítségével kapjuk: v=3a+2b+c
Vektorok a koordinátasíkon
A koordinátasíkon helyvektorokkal, illetve azok koordinátáival dolgozunk. A helyvektorok vonatkoztatási pontja az origó. A két tengelyen egy-egy alapvektort (bázisvektort) veszünk fel. Ezek az (1; 0), illetve a (0:1) pontba mutató egységvektorok, jelölésük: i, illetve j. A P(x,y)pontba mutató helyvektor: OF=A:i+>'j. Az (x, y) számpárt egyaránt mondjuka Ppont, valamint az OP helyvektor koordinátáinak
A helyvektorokkal végzett műveleteknél a vektorok koordinátáival dolgozunk. Vegyük fel az A(xyy{), B{x2,y 2) pontokba mutató a{xi,y-^, b(jC2,72) helyvektorokat.a) Két vektor összege:
a+b = (Jcii+>'ij)+(jf2»+>’2j) = (íi+-í 2)i+(yi+y2)j'
Helyvektorok összegének koordinátái az egyes helyvektorok megfelelő koordinátáinak összege.
b) Két vektor különbségének koordinátáit hasonló gondolatmenettel kapjuk meg:
a-b=(xi-;c2)i+(yi-y2)j.
Ha két helyvektor különbségének a koordinátáit keressük, akkor a kivonásnál szereplő két vektor sorrendjében vesszük a megfelelő koordináták különbségét.
c) Egy vektor \ (Xe R) konstansszorosa:
\a=}>x-ii+\yi}.
Egy helyvektor konstansszorosának koordinátái az eredeti vektor koordinátáinak konstansszorosa (108. ábra).
122 123
VEKTOROK v e k t o r m ű v e l e t e k
d) Két vektor skaláris szorzata a derékszögű koordináta-rendszerben:
ab=( ii+>’il)(x2Í+>’2Í)= ií2Í + i>'2>j+-*2yití+)'iy#, mivel i^= f= 1 és í j=0,
&b=x^2+yiy2-
Két vektor skaláris szorzata a megfelelő koordinátáik szorzatának az összege.
e) 90°-kal elforgatott helyvektor koordinátái:Az a(x,y) helyvektort az origó körül pozitív, majd negatív irányban 90°-kal elforgatjuk. Az új helyvektorokat a+gokkal, a_9o-kal jelöljük (109. ábra):
a+9ö*=-yi+jy. a-9ff>= yi~4-
Ha az elforgatás irányát nem tekintjük, akkor a 90°-os elforgatással kapott új vektor koordinátáira azt mondhatjuk, hogy az eredeti vektor két koordinátája felcserélődik és az egyik koordináta előjele ellenkezőjére változik.
108. ábra 109. ábra
XIV. S í k i d o m o k r a v o n a t k o z ó ISM ERETEK
Háromszögek
Alapvető ismeretek
Egy háromszöget három megfelelő adatával adhatunk meg. A háromszög oldalai és szögei közül a három meghatározó adatot nég^éle módon választhatjuk ki. Egyértelműen megadhatjuk a háromszöget
a) három oldalával,b) két oldalával és a közbezárt szögével,c) egy oldalával és megadott helyzetű két szögével (vagy mindkét
szög a megadott oldalon van, vagy az egyik a megadott oldalon, a másik vele szemben),
d) két oldalával és a hosszabb oldallal szemközti szögével.
A háromszög bármely két oldalának Összege nagyobb a harmadik oldalánál: a+i>>c, a+c>b, b+c>a. Ugyanez más megfogalmazásban; A háromszög bármely oldalhossza nagyobb mint a másik két oldalhossz különbségének abszolútértéke: a > \b -c \,h > \a ~ c \,c > \b -a \.
Ha e ^ háromszögben két oldal egyenlő hosszúságú, akkor a velük szemközti két szög is egyenlő. A tétel megfordítva is igaz: Ha egy háromszögben két szög egyenlő, akkor a szemközti oldalhosszak is egyenlők.
Egy háromszögben két oldal közül a hosszabb oldallal szemben nagyobb szög van (a rövidebb oldallal szemben kisebb szög van). A tétel megfordítása is igaz.
A háromszög belső szögeinek összege 180°.A tétel bizonyításához a 110. ábrán zz. A pontra illeszkedő és flC-vel
párhuzamos egyenessel szögpárokat hozunk létre (|S=/3’ váltószűgek, 7 ='y’ egyállású szögek). A z ^ csúcsnál esrenesszög keletkezik: a+/3’+V = 180“. Ugyanez az állítás más megfogalmazásban: A háromszög bármely Icülső szöge egyenlő a nem m ellette lévő két belső szög összegével. Ebből már
124 125
s ík id o m o k r a v o n a t k o z o i s m e r e t e k
következik, hogy a három külső szög összege 360"', ugyanis b+ t+ ip - = 2(a+ ^ + Y )= 2 '180”.
s ík id o m o k r a v o n a t k o z ó i s m e r e t e k
c
B
111. ábra
A háromszög nevezetes vonalai és pontjai
SZÖGFELEZŐK, BEÍRHATÓ KÖR
A háromszög szögfelezőinek a belső szögek szögfelező félegyeneseit nevezzük. (Gyalaan csak a félegyenesek háromszögön belüli szakaszával foglalkozunk.)
A háromszög három szögfelezője egy pontban metszi egymást. Ez a metszéspont egyenlő távolságra van a háromszög három oldalegyenesétől, ezért ebből a pontból, mint középpontból olyan kört szerkeszthetünk, amely érinti a háromszög mindhárom oldalát (oldalszakaszát). Ez a háromszög beírt köre.
90"-
113. ábra
Áliításimk bizonyításához használjuk fel a szögfelező tulajdonságát (111. ábra): Azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek egyenlő távolságra vannak a szög két szárától (a háromszög két oldal egyenesétől). Az/o, és az
szögfelező M metszéspontjára fennáll; d{M , b) =d{M , c) és d{M , c) = = d (M ,a ). Ebből következik; d {M ,b )= d (M ,a ), azaz a z /» és a z s z ö g felezők M metszéspontja egyenlő távol van az a és a oldalegyenestöl, tehát az Af pont elem e a z /y szögfelezőnek is, így a három szögfelező valóban egy pontban metszi egymást.
A szögfelező tulajdonsága alapján az előző m ódon beláthatjuk, hogy a háromszög egyik belső szögének és a nem m ellette lévő két külső szögének felezője is e ^ pontban metszi egymást (112, ábra). E z a pont a háromszögön kívüli és ez egyenlő távolságra van a háromszög három oldalegyenesétől. Ebből a pontból, mint középpontból szerkeszthetünk olyan kört, amely érinti a háromszög három oldalegyenesét. Ezt a kört a háromszög hozzáírt körének nevezzük. Három ilyen kör létezik.
A háromszög e ^ belső és a m ellette lévő külső szögének felezője egymásra merőleges. Általánosabban; egy szögnek és a közvetlenül m ellette lévő mellékszögének szögfelezője egymásra m erőleges. Az állítás igazolása a 113, ábráról leolvasható.
Háromszögben egy belső szög szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja két részre.
« CA 114, ábra A B C há
romszögénél a z ^ pont körül az A C oldalt leforgatjuk az A B oldaleg>'enesére. Létrehozzuk a C ’BC háromszöget: C ’BCi.~ABDí^. A párhuzamos szelők tétele alapján: CD'DB^C'A-AB. Mivel
C D :D B = b :c .
Ezzel igazoltuk a fenti állításunkat.
OLDALFELEZŐ MERŐLEGESEK, KÖRÉ ÍRT KÖR
A háromszög három oldalfelező merőlegese egy pontban metszi egymást. Ez a metszéspont egyenlő távolságra van a háromszög három csúcspontjától, ezért ebböi a pontból mint középpontból olyan kört szerkeszthetünk, amely átmegy a háromszög három csúcspontján. Ezt a háromszög köré írt körének nevezzük.
Tudjuk, hogy a szakaszt felező merőleges azoknak a pontoknak a halmaza, am elyek egyenlő távolságra vannak a szakasz két végpontjától. A z A B szakasz felezőm erőlegese sa e, a. B C oldal felezőm erőlegese az / eg>'e- nes (115. ábra). Metszéspontjuk M . Erre fennáll d {M ,A )^ d {M ,B ) és
126 127
s ík id o m o k r a v o n a t k o z o i s m e r e t e k SÍKIDOMOKRA VONATKOZÓ ISMERETEK
d{M, B )= d{M , C). Ebből következik: d{M, A)=^d(M, C). tehát az e és az f felezőm erőlegesek M metszéspontja elem e a zA C oldal felezőm erőlegesének is. így a három oldalfelező merőleges valóban egy pontban metszi egymást. Ez a metszéspont (a háromszög köré írt körének középpontja) hegj'esszögű háromszögeknél a háromszög belsejében van, torapaszögűek- nél a háromszögön kívül, derékszögűeknél az átfogó felezőpontja.
IVUGASSÁGVONALAK, MAGAS S.4GP0NT
A háromszög magasságvonalának az egyik csúcsból a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőlegest nevezzük. Ennek azt a szakaszát, amely a csúcspont és a szemközti oldal egyenese között van, a háromszög magasságának mondjuk.
A háromszög három magasságvonala egy pontban metszi egymást. Ezt a pontot a háromszög magasságpontjának nevezzük.
Állításunk igazolásához az A B C háromszög mindhárom csúcsára illesszünk a szemközti oldallal párhuzamos egyenest (116. ábra). íg>' kialakul az Á ’B ’C' háromszög. A párhtazamosok húzásával paralelogrammák keletkeznek. Segítségükkel beláthatjuk: A B = B ’C = C A ’ stb, a C pont az A ’B ’ szakasz fe le zőpontja stb. A z A B C háromszög magas.ság\'onalai s z A ’B ’C ’ háromszög oldalfelező merőlegesei, így az A B C három.szög magasságvonalai egy pontban metszik eg\'másí.
A magasságpont hegyesszöglí háromszögeknél a háromszög belsejében, tompaszögűeknél a háromszögön kí%Tjl van, derékszögű háromszögnél a derékszög csúcspontja,
SÚLYVONALAK, SÚLYPONT
A háromszög súlyvonalának az egyik csúcspontot és a szemközti oldal felezőpontját összekötő szakaszt nevezzük.
A há/vmszög három súlyvonala egy pontban metszi egymást. Ezt a pontot a háromszög súlypontjának nevezzük, ez a súlyvonalakat 2:) arányban osztja két részre. (A hosszabb rész a csúcs felől van.)
A tétel bizonyításához tekintsük az A B C háromszöget (117- ábra). Az A C és B C oldalak F„ illetve felezőpontját összekötő szakasz, a párhuzamos szelők tételének megfordítása következtében, az A B oldallal párhuzamos, /íf iC i-F jfjC A é s ^ C :F^C ~ = 2 :1 miatty45 \ :1.
VC ' 116. ábra
C
A z A F 2, súlyvonalak metszéspontja S. Kialakult két hasonló háromszög; M egfelelő oldalaik aránya egyenlő:AS:SF2=AB:F^F^-^2\Í.
Gond olatraenetünkben bármely két súlyvonal szerepelhet, ezért a harmadik súlyvonal is ebben az S pontban (a súlyvonalat 2:1 arányban osztó pontban) metszi az előző kettőt.
A z említett négyféle nevezetes vonalnak mindegyikére jellem ző volt, üogy met-szésponq’aik egy-egy neveze- ^ Btes pontot határoznak meg.E z négyféle nevezetes pont: 117. ábraa beírt kör, a köré írt kör középpontja, a magasságpont, a súlypont. A háromszögek egy további nevezetes vonala a középvonal. (Ehhez nem kapcsolódik nevezetes pont.)
KÖZÉPVONALAK
A háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakaszt a háromszög középvonalának nevezzük.
A háromszög bármely középvonala párhuzamos a harmadik oldallal és hossza fele a harmadik oldal hosszának.
Ezt az áUítást a súlyvonalakra vonatkozó tétel bizonyítása közben már igazoltuk (a 117. ábra segítségével).
Derékszögű háromszögekre vonatkozó ismeretek
THALÉSZ TÉTELE
Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a körvonal bármely más pontjával akkor derékszögű háromszöget kapunk
A 118/a ábráról leolvasható a bizonyítás gondolatm enete. A z A O C a
is, a BOCü is egyeniöszárú, ezért az azonos betűkkel jelölt szögek egyenlők. A z ABC-, belső szögeinek összege: a+ 0+ (a+ p) = 18(f, a+/3=90°. A háromszög valóban derékszögű.
A 118/b ábráról azt is megállapíthatjuk, hogy egy faelső ponttal képezett ABFi^ tompaszögű, ugyanis M -nél derékszög van, így a P*-nél lévő külső szöge 90“-náI nagyobb. H asonlóan beláthatjuk, hogy egy F* külső ponttal létrehozott A B P ,^ háromszögnek a P* csúcspontjánál hegyesszöge van (118/c ábra).
128 129
SÍKIDOMOKRA VONATKOZÓ ISMERETEK SÍKIDOMOKRA VONATKOZÓ ISMERETEK
A tétel megfordítása; Ha egy AB szakasz valamely C pontból derékszögben látszik, akkora C pont az AB átmérőjű körnek egy kerületi pontja.
Mivel az előzőek alapján az A B átmérőjű kor pontjaiból az A B szakasz 90‘=-os szögben, belsS pontjaiból 90°-nál nagyobb, külső pontjaiból 90“-nál kisebb szög alatt látszik, a C pont csak az^J5 átmérőjű körön lehet.
Thalész tétele és megfordítása egyetlen mondatbati is megfogalmazható: A síkon azoknak a pontoknak a halmaza, amelyekből egy adott AB szakasz derékszög alatt látszik, az A B átmérőjű körvonal, kivéve az AB átmérő két végpontját (119. ábra).
B
m
\a
a120. ábra
PITAGORASZ TÉTELE
Derékszögű háromszögben a két befogó négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével
A tétel (egyikféle) bizonyításánál az az alapgondolat, hogy két egybevágó négyzet területéből, azaz egyenlő területekből azonos nagyságú területeket veszünk el. Ekkor a maradék területek is egyenlő nagyságúak.
A z eredeti két négyzet a+b oldalhosszúságú. Ezeket a 120. ábrán látható m ódon (gondolatban) részekre vágjuk. Mindkettőből - különböző módon -elveszünk 4-4 egybevágó derékszögű háromszöget, ezek befogója
a és b, átfogója c. A ba! oldalinál a maradék terület á^+b\ A jobb oldalinál a maradék olyan négyszög, amelynek minden oldalhossza c és belátható, hogy minden szöge 90”. A négyszög tehát négyzet, területe c , Ezért a^+b^-c^.
A tétel megfordítása: Ha egy háromszög két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldalának négyzetével, akkor a háromszög derékszögű. (A harmadik oldal a háromszög átfogója.)
Tegyük fel, hogy a. k, l, m oldalhosszúságú háromszögnél k^+P'=m^. Vegyünk fel egy derékszögű háromszöget, amelynek befogója k és l, átfogóját jelöljük m ’-vel. Mivel ez derékszögű háromszög, fennáll:Ezt összehasonlítjuk a feltétellel: m =w i’-höz Jutunk. Ebből az következik, hogy a fe, /, m oldalhosszúságú és a k, l, m ’ oldalhosszúságú háromszög egybevágó. Tehát az a í, w oldalhosszúságú háromszög, amelynél k^+P—rrí , derékszögű.
ARÁNYOSSÁGI TÉTELEK (MAGASSÁGTÉTEL, BEFOGÓTÉTEL)
A derékszögű háromszöget az ^átfogóhoz tartozó magassága két kis derékszögű háromszögre bontja (121. ábra). Szögeikből következik, hogy az eredeti és a két kisebb derékszögű háromszög hasonló: ABC a ~CBTa~ACT í . A megfelelő oldalhosszak aránya egyenlő. Ezek felírásával nevezetes eredményekhezjutunk.
K C B T ésyíCT’hasonló háromszögekből a megfelelő befogók aránya: CT\BT= TA : CT, más jelöléssel: m :x=y :m. Ebből
m'^=xy. vagy m = '^xy.
Ezt a tételt a derékszögű háromszög magasságtételének nevezzük: Derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság mértani közepe az átfogó két szeletének.
A z ABC és a CBT hasonló háromszögből az átfogó és a megfelelő befogók aránya-.AB:BC=BC\BT, más jelöléssel: c\a=a .x. Ebből
hasonlóana~=cx, b^ = cy.
vag>’vagy
a = fcx, b = {cy.
Ezt az eredményt a derékszögű háromszög befogótételének nevezzük: Derékszögű háromszögben az egyik befogó mértani közepe az átfogón lévő merőleges vetületének és az átfogónak.
A befogó tételekből könnyen eljutunk Pitagorasz tételéhez. Ugyanis d^=cx és b^^cy, összegük d^+b^=cx+cy^c{x+y)^c\
130 131
SÍKIDOMOKRA VONATKOZO ISMERETEK SÍKIDOMOKRA VONATKOZÓ ISMERETEK
Sokszögek
Bármely háromszöget tekintünk, ha annak kiválasztjuk két tetszőleges pontját, akkor a két ponttal együtt a háromszöghöz tanozik a két pontot összekötő szakasznak minden pontja is. Van m ásféle síkidom, test is amelynek megvan ugyanez a tulajdonsága. Ennek a tulajdonságnak önáUó elnevezést adunk. Bevezetjük a konvex, konkáv alakzatok fogalmát.
122. ábra 123. ábra
Azokat az alakzatokat (ponthalmazokat) ne\>ezzük k o n vex alakzatoknak, amelyek bármely két pontjukkal együtt a két pontot összekötő szakasz valamennyi pontját is tartalmazzák ( 1 2 2 /a áb ra).
Konkáv alakzatok (ponthalmazok) azok, amelyeknek nem minden pontpárjára igaz az, hogy az összekötő szakaszukat teljes egészében tartalmazzák^ azaz amelyek nem konvex alakzatok (122/b ábra).
Sokszögek átlói, szögei
A z n-oldaJú konvex sokszög bármely csúcsából n-3 átló húzható és a sok-, .. n(n-3) szögnek összesen - atloja van.
A 123. ábra szem léletesen is mutatja, hogy konvex sokszög egyik csúcsából, saját magán és a két szomszédos csúcson kívül minden más csúcshoz húzhatunk átlót. Az egy csúcsból húzható átlók száma 3-mal kevesebb a csúcsok számánál, n. oldalúnál « -3 .
Ez az n csúcsból összesen n {n -3 ) átlót jelentene, de ebben a szorzatban minden átló kétszer szerepel, ezért a sokszög átlóinak száma az előző szorzat fele.
A z n-oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege (n-2)180°.Az egyik csúcsból húzható átlók a konvex sokszöget n-2 háromszögre
bontják. Azok belső szögeinek (n-2)180° összege adja az n-oldalú konvex sokszög belső szögeinek összegét.
Más módszerrel (pl. a teljes indukció módszerével) az is bizonyítható, hogy n-oldalú konkáv sokszögek belső szögeinek az összege is (^-2)180°. Összefoglalva: Bármely n-oldalú sokszög belső szögeinek összege (n-2) 180°
Konvex sokszögek külső szögeinek összege 360°.A sokszög minden csúcsánál a belsÖ szög és egy Jnilsö szög összege
180“, n csúcsnál az összeg « • ISO'’. Ebben azonban szerepel a belső szögek («-2)180P összege is. A külső szögek összege; n • 180^-(«-2)180’ =360'’.
Azokat a sokszögeket, amelyeknek minden oldala egyenlő hosszúságú és minden szöge egyenlő nagyságú, szabályos sokszögeknek nevezzük.
A szabályos sokszög valamennyi szögfelezője egy pontban metszi egymást. Ez a pont a szabályos sokszög köré írt és a sokszögbe beírt körnek a középpontja. Ha ezt a pontot összekötjük a szabályos n-oldalú sokszög csúcspontjaival, akkor n darab egybevágó, egyenlő szárú háromszöget kapunk.
Négyszögek, osztályozásuk
Valamennyi né^szög belső szögeinek Összege 360°. (Ez következik a sokszögek belsö szögeinek összegére bizonyított tételből is.)
Azok a négyszögek, amelyeknek van két párhuzamos oldala, trapézoknak nevezzük Azok, amelyeknek két-két oldala párhuzamos, paralelogrammák.
Azok a nép/szögek, amelyeknek két-két szomszédos oldaluk egyenlő hosz- szúságú, deltoidok.
Paralelogramm á k
A paralelogrammák megszokott definíciója: azok a négyszögek, amelyeknek szemközti oldalaik párhuzamosak.
Ebből a definícióból fontos állítások (tételek) következnek. Ezeket a paralelogrammák tulajdonságainak is nevezzük. Ilyenek például: Szemközti oldalaik egyenlő hosszúak,..., átlóik felezik egymást,... stb.
Ezeknek a tételeknek a megfordítását is bizonyíthatjuk. Például: Ha egy négyszögben a szemközti oldalak egyenlő hosszúak, akkor azok párhuzamosak, a négyszög paralelogramma.
a) A z A B C D négyszög paralelogramma; A B || CD és BC [ A D (124 /a ábra). A z A C átló meghúzásával váltószögek keletkeznek, az azonos betűvel jelzett szögek nagysága egyenlő : ^ C i = CZMa, mert egy oldal és a rajta fekvő két szög egyenlő. A z egybevágóságból következik a m egfelelő oldalak egyenlősége: A B = CD és B C =A D .
b) A P Q R S négyszögben P Ö =i?S és QR=^FS (124/b ábra). A P i? átlóval két háromszöget kapunk, ezek oldalhosszai páronként egyenlők, tehát P Q R a =RSP/í. Emiatt a m egfelelő szögek egyenlők, ezeket azonos
132 133
SÍKIDOMOKRA VONATKOZÓ ISMERETEK s ík id o m o k r a v o n a t k o z ó i s m e r e t e k
betűkkel jelöljük. A szögek eg>-enl5sége miatt P Q j[ RS és QR || PS. Emiatt a négyszög paralelogramina.
a) A B \\C D é s B C \\A D D._____________ -C
b) PQ = RS és QR = PSS ,--------------
124. ábra
A tételek és megfordításaik alapján a paralelogrammákra több ekvivalens definíciót fogalmazhatunk meg:
Azok a négyszögek paralelogrammák, amelyeknek- szemközti oldalai párhuzamosak,- szemközti szögei egyenlők,- két szomszédos belső szögénél a szögösszeg 180'",~ szemközti oldalai egyenlő hosszúak,- két szemközti oldala párhuzamos és egyenlő hosszú,
két átlója felezi egymást,- van szimmetriaközéppontja.
A paralelogramma definíciója a fentiek egyike. Ha azt az egyet definíciónak tekintjük, akkor abból kiindulva bizonyíthatjuk az Összes többi állítást, akkor azok már tételek.
A középpontos szimmetriával kapcsolatos állítást, illetve definíciót részletesen megmutatjuk;a) A z ABCD paralelogrammának mindkét átlóját meghúzzuk
(125/a ábra). Váltószögek keletkeznek, az azonos jelölésíí szögek nagysága egyenlő. Találunk két háromszöget, amelyben egy oldal és a rajta fekvő két szög egyenlő. Ezek egybevágóak: ABOa = CZ)Oa, így a megfelelő oldalak egyenlők: BO=OD é^AO=OC. Az O pont a paralelogramma szimmetriaközéppontja.
R - - S 'a) D
S ^ Q ’
Q = P ’
R = P ’
S = R ’Q - s
b) A P Q R S négyszög középpontosan szimmetrikus, ezért a P’Q’R ’S ’ képének csúcspontjai valamilyen sorrendben a P, Q, R, S pontok. Mi lehet a P pont P ’ képe? A P pont nem lehet, mert akkor a szimmetriaközéppont is a P pont lenne, A P' képpont P-vel szomszédos (pl. Q) pont sem lehet (a feltételezést a 125/b ábra mutatja), mert ekkor a szimmetriaközéppont a PQ oldalfelezöpontja lenne, de ez felezné az RS oldalt is. A négyszög szemközti oldalai metszenék egymást, ez hurkolt négyszög.
A P ’ képpont csak a P ponttal szemközti R pont lehet. A szimmetriaközéppont a PR átló felezőpontja, ez a QS átló felezőpontja is (125/c ábra). A középpontos szimmetria a PQ oldah az RS oldalba viszi át, ezek párhuzamos szakaszok. A négyszög szemközti oldalai párhuzamosak, a négyszög paralelogramma.Az a) és b) alattiakat összefoglalja a tétel: Egy négyszög akkor és csak
akkor paralelogramma, ha középpontosan szimmetrikus.Ha a paralelogramma minden oldala egyenlő hosszúságú, akkor az
rombusz, ha minden szöge egyenlő (90°), akkor téglalap.Ha a paralelogramma minden oldalhossza egyenlő és minden szöge
egyenlő (9(í), akkor az szabályos négyszög, az a négyzet.
A paralelogramma, a trapéz középvonala
Né^szögek szemközti oldalainak felezőpontját összekötő szakaszt a négyszög középvonalának nevezzük.
A paralelogramma két szemközti oldalának felezőpontját összekötő középvonala párhuzamos a másik két oldallal és azokkal azonos hosszúságú.
A 126. ábra alapján ezt azonnal beláthatjuk, hiszen -dzAF- és ŐFj szakaszok párhuzamosak és egy enlő hosszúak, ezért ABFJ^i paralelogramma,
A trapéz két szárának felezőpontját összekötő középvonala párhuzamos a trapéz párhuzamos oldalaival és hossza a párhuzamos oldalak hosszának számtani közepe.
125. ábra
126. ábra
Ennek belátásához az ABCD trapézt tükrözzük a BC szár felezőpontjára (127. ábra). A z A D ’A ’D paralelogrammát kapjuk, alapja a trapéz
134 135
két párhuzamos oldalának az összege. A z középvonalának a hossza űt+c, ez a trapéz középvonalának a kétszerese. A trapéz középvona
lának a hossza: P \F i~ .
SÍKIDOMOKRA VONATKOZÓ ISMERETEK_______________________
Kör
A körérinto és tétele, a parabola érintője
A kör érintője olyan egyenes, amely a kör síkjában van és a körrel pontosan egy közös pontja van.
T étellé kör érintője merőleges az érintési pontjához húzott sugárra.Ennek igazolásához vegyük fel a körnek az egyik érintőjét és húzzuk
m eg az érintési ponthoz tartozó sugarat. (12S/a ábra). Tegyük fel, hogy az e érintő és az OE sugár nem merőleges egymásra. Bocsássunk m erőlegest az O középpontból az e érintőre, ennek talppontját jelöljük T-vel. Ez körön kívüli pont. A z O E T derékszögű háromszög, a derékszög csúcspontja T, ezért a háromszögnek OE az átfogója. Ezzel ellentmondáshoz jutottunk, mert 0 £ = r és r<O T , mert T külsS pont. Az ellentmondás oka a feltevésünk. A kör érintőjének m erőlegesnek kell lennie az érintési pontjoz húzott sugárra.
A kör érintőjének a körrel egyetlen közös pontja van, az összes többi pontja a körhöz képest küIsÖ pont. E z a kör defúuciójából következik, külön említenünk felesleges.
Ha két körnek pontosan egy közös ponlja van, akkor azt monduk, hogy a két kör érinti egymást.
A z egymást érintő két kör közös pontja azon az egyenesen van, amely a két középpontra illeszkedik. Ez a két kör szimmetriatengelye, (H a a közös pont nem illeszkedne a szimmetriatengelyre, akkor a két körnek két közös pontja lenne.)
K ét kör kétféle m ódon érintheti egymást:
1. A z egyik körnek az érintési ponttól különböző pontjai a másik körön kívül vannak (128/b ábra). A két kör „kívülről érinti” egymást. Középpontjuk távolsága a két sugár összege.
2. A kisebb sugarú körnek az érintési ponttól különböző pontjai a nagyobb sugaró kör belső pontjai (128/c ábra). A kisebb sugarú kör „belülről érinti” a másik kört A két középpont távolsága a két sugár különbsége (h a r i> fj , akkor
A parabola érintőjének értelmezésekor nem elég azt mondanunk, hogy az olyan egyenes, amelynek a parabolával egyetlen közös pontja van, ezt szemléletesen mutatja a 129/a ábra. A szemlélet alapján elfogadjuk, hogy a parabola a síkot „két részre vágja”.
A paralMla érintőjének definiálása előtt a sík pontjait három osztályba soroljuk (129/b ábra):
a) Azok a pontok, amelyek a parabola pontjai.b) Azok a pontok, amelyek a síknak abban a nyílt tartományában
vannak, ahol a fókuszpont is van. Ezeket a parabola belső pontjainak nevezzük.
c) Azok a pontok, amelyek a síknak abban a nyílt tartományában vannak, ahol nincs a fókuszpont. Ezeket a parabola külső pontjainak nevezzük.
_____ __________________SÍKIDOMOKRA VONATKOZÓ ISMERETEK
128. ábra
Definíció: A parabola érintője olyan egyenes, amelynek a parabolával egyetlen közös pontja van és az összes többi pontja a parabola külső pontja.
*2 Körben kerületi és középponti szögek
A körben a középponti szög csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara (azok félegyenese). Egy középponti szög a körvonalból egy körívet, a körlapból egy körcikket határoz meg,
A kör kerületi szögének nevezzük mindazokat a konvex szögeket, amelyeknek a csúcsa a kör kerületén van és két száruk vagy két húr, vagy egy húr és egy érintő.
136 137
SÍKIDOMOKRA VONATKOZÓ ISMERETEK SÍKIDOMOKR4 VONATKOZÓ ISMERETEK
A középponti szög, a körív hossza, a körcikk területe
Egy körben a középponti szögek nagysága és a hozzájuk tartozó körívhosszak egyenesen arányosak.
Egy körben a középponti szögek nagysága és a hozzájuk tartozó körcikkek területe egyenesen arányosak,
a) H a az űj = a-, középponti szögeket és a hozzájuk tartozó I2 ívhosszakat, fi, területű körcikkeket tekintjük (130/a ábra), akkor azok a kör O középpontja körüli elforgatással egymásba átvihetők. Az egybevágósági transzformáció következtében oíi = o>2 esetén a hozzájuk tartozó ívhosszak is, körcikk területek is egyenlők: ii= Í 2 és
b) Legyen az a, 0 középponti szögek aránya racionális szám, azaz
( p 6 N + és ^£1N +), más alakban:^ = ^ .
Osszuk fel az a középponti szöget p , a ;8 középponti szöget q egyenlő részre (130/b ábra), ekkor a kapott p , illetve q darab kis szög egyenlő nagyságú. Tudjuk, hogy az egyenlő középponti szögekhez egyenlő ívhosszak és egyenlő kördkkterületek tartoznak ezért egj'enes arányosság áll fenn;
c) Bebizonyítható az is, hogy ha a középponti szögek aránya irracionális szám, akkor is egyenes arányosság áll fenn a középponti szögek, a m egfelelő ívhosszak, körcikkterületek között, (E z nem középiskolai anyag.)Ezzel igazoltuk a fenti tételeket.
Középponti és kerületi szögek tétele
Egy körben az azonos ívhez tartozó középponti és kerületi szögek aránya 2:1. Ha a középponti szöget u-val, a hozzátartozó kerületi szöget a-val jelöljük, akkor íű = 2 o í.
B ő
131. ábra
A kerületi szögeket többféle m ódon vehetjük fel. Az egyes eseteknek m egfelelő módon külön-külön bizonyítjuk a tételt. A 131. ábra rajzai egy- egy lehetőséget mutatnak, a bizonyítás gondolatm enete leolvasható róluk. A z egyszerűbb esetekben két-két sugár segítségével egyenlő szárú háromszögeket alakítunk ki és felhasználjuk azt, hogy egyenlő oldalakkal szem ben egyenlő szögek vannak. A későbbi esetekben az előzőekre is hivatkozunk.
a) A z A O egyenes a kerületi szöget két részre bontja; a^oti+aj. Az A O F é sA O Q egyenlő szárú háromszögek O-nál lévő külső szögeit is felírjnk. Ebből o = 2ai+2a2=2a.
b) A z A O félegyenessel a ,, űj szöget hozunk létre; a=a-^~a2. A z kerületi szög a PQB köríven nyugszik, a hozzátartozó középponti szög 2a^. H asonló módon a QB körív középponti szöge a 2cí2. A PQ ívhez tartozó középponti szög; w = 2a i-2o íj= 2a .
c) A zA O B egyenlő szárú háromszög szimmetriatengelye az OF egyenes, ez felezi az 01 középponti szöget és A O F derékszögű háromszög.
d) A körvonal nagyobb részét kitevő vastag vonallal rajzolt körív helyett figyeljük a vékony vonallal rajzolt A ö körívet. A z ehhez tartozó kerületi szög a ’ = 180-a , középponti szög 2a’. A z a kerületi szöghöz tartozó középponti szög: w =360‘’-2{180'’-ű í)= 2a .
e) H a az érintő szárú kerületi szög 90®, akkor a hozzátartozó középponti szög 180°.
Kerületi szögek tétele, látószögkörív
Egy körben az ugyanahhoz az ívhez tartozó kerületi szögek egyenlők
E z a tétel következik a középponti és kerületi szögek tételéből, valamint abból, hogy egy körívhez egyetlen középponti szög tartozik, A tétel alapján nevezetes ponthalmazt értelmezhetünk.
138 139
SÍKIDOMOKRA VONATKOZÓ ISMERETEK SÍKIDOMOKRA VONATKOZÓ ISMERETEK
/3 = 90' >90^
'B B A
132. ábra
A síkon azoknak a pontoknak a halmaza, amelyekből egy adott AB szakasz adott (0°<a<180'’) szögben látszik, két szimmetrikus körív, a látószög- körív. A z adott szakasz a két szimmetrikus körív közös húrja. Ennek végpontjai nem tartoznak a látószögkörívhez (132. ábra).
A látószögkörív szerkesztési eljárását a 133. ábra mutatja. Ennek első lépése a szakasz egyik végpontjára a látószög felmérése, majd ennek szárára merőleges félegyenes szerkesztése, ez metszi ki az A B szakasz felezőmerőlegeséből a látószögkörív középpontját. Ebből megrajzoljuk a körívet, majd azt tükrözzük az AB egyenesre.
Azt, hogy így m egfelelő ponthalmazhoz jutunk a 134, ábra. alapján láthatjuk be. Ugyanis, a szerkesztés következtében biztos, hogy a körív L pontjaiból íz A B szakaszt a megadott a szöggel látjuk, a köríven belüli pontokból a látószög a-nál nagyobb (mert a P ^ B háromszög F^-nél lévő külső szöge nagyobb az L-nél lévő belsÖ szögnél) és a köríven kívüli pontokból a látószög a-nál kisebb.
P,
133. ábra 134. ábra
Négyszögek és a kör
Azokat a konvex négyszögeket, amelyeket minden oldala egy körnek egy- egy húrja, húrnégyszögeknek nevezzük.
Azo l^t a konvex négyszögeket, amelyeknek minden oldala egy körnek cgy-^Sy érintője, érintőnégyszögeknek nevezzük
A húrn^ szögek tétele és megfordítása
Tétel; Bármely húrnégyszög két szemközti szögének az összege 180°.
b)
135. ábra
A tétel igazolásához a 135/a ábra húrnégyszögének két átellenes csúcsához meghúzzuk a sugarakat. így az a és 7 kerületi szögekhez, a húrnégyszög két szemközti szögéhez tartozó középponti szögek is láthatók. Ezek együttesen teljes szöget alkotnak; 2a-i-2 7 = 3 6 0 “, így oí-^7 = 180°
A tétel megfordítása: Ha egy négyszög két szemközti szögének összege 180° akkor az húrnégyszög.
Ennek igazolásához tekintsük az A B C D négyszöget (135/b ábra) amelyről tudjuk: 0+ 7 = 1 8 0 “, vagy 7 = 180“-tt, A négyszög D , yl, B csúcspontja meghatároz egy kört, de erről m ég nem tudjuk, hogy áthalad-e a C csúcsponton. A körvonal valamely P pontjából a BD átló látószöge 180”- a = 7 , mert BADP húrnégyszög. Mivel a látószögkörív azoknak a pontoknak a halmaza, amelyekből egy szakasz megadott szög alatt látszik, a DPB körív egyik pontjának kell lennie a C pontnak, mert ormán is 7 a látószöge a BD átlónak. (A szimmetrikus köríven nem lehet a C pont, mert akkor az AB C D négyszög konkáv lenne.)
A tétek és megfordítását összefoglaljuk: Egy négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 180°.
Az érintőnégyszögek tétele
Bármely érintőnégyszögben a két-két szemközti oldal hosszának az összege egyenlő.
140 141
s ík id o m o k r a v o n a t k o z o i s m e r e t e k SÍKIDOMOKRA VONATKOZÓ ISMERETEK
Ez i^ilvánvalóan következik abból az elem i tételből, hogy az O középpontú körhöz egy külső A pontból húzott A £ és A H érintőszakaszok hossza egyenlő, mert az A O egyenes ezek szimmetriatengelye.
Az AB C D érintőnégyszögben (136. ábra) A E -A H , B H =B G , C G = CF D F =D E , Felírjuk a szemközti oldalhosszak összegét:
B
C
136. ábra
AB +C D ^AH+BH+CF+DF A D +B C =AE+DE+CG+BG.
Figyelembe véve az előző egyenlőségeket, valóban a szemközti oldalhosszak Összege egyenlő.
Bizonyítható, hogy a tétel megfordítása is igaz: Ha egy konvex nég; >szög- ben két-két szemközli óldal hosszúságának az összege egyenlő, akkor a négyszög érintőnégyszög.
A tétel és megfordítása összefoglalva: Egy konvex négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha a két-két szemközti oldal hosszantik az összege egyenlő.
A körhöz húzott érintő- és szelőszakaszok tétele
138. ábra
Mivel a P pontra illeszkedő bármely szelőnél (138. ábra) is fennáll ez az összefüggés, ezért ha egy körhöz egy külső pontból tetszőleges szelőket húzunk, akkor az egyes szelőkön a P ponttól a körrel alkotott m etszéspontokig terjedő szakaszok szorzata egyenlő; PA • PB ^ PQ • PR.
A körhöz egy külső pontból húzott érintőszakasz mértani közepe annak a két szakasznak, amelyek a külső pontra illeszkedő bármely szelőn a ponttól a körrel alkotott metszéspontig terjednek
A körhöz a külső P pontból egy érintőt és egy szelőt húzunk (137. ábra). A z érintési pont JE, a szelő és a kör két m etszésp on tja i, i5. Az A E szakasz meghúzásával kialakul a PEA^,. Ez és a PBE^ hasonló, mert a P pontnál lévő szögük egyenlő, a B, valamint az E pontnál lévő kerüieti szögek pedig z z A E körívhez tartoznak. Ezért PEA n-PBEn. A m egfelelő
oldalaik aránya egyenlő: PEiPA ^PB:PE, PE^^PA 'PB, P E -^ P A ^PB.
142 143
SÍKIDOMOK TERÜLETE
XV. S í k i d o m o k t e r ü l e t e
Néhány síkidom területének (néhány test térfogatának) meghatározásához kész utasítások, „képletek” vannak, amelyek egyszerűen alkalmazhatók. Az igényes gondolkodás azonban azt kívánja, hogy a terület (térfogat) fogalmáról is legyen elképzelésünk, értsük a „képletek” mögötti összefíiggéseket is.
A terület fogalma
Sokszögek területmérésénél minden sokszöghöz hozzárendelünk egy pozitív számot. A hozzárendeléshez kell egy területegység.
Megállapodunk abban, hogy területegység az a négyzet, amelynek oldalai 1 hosszúságegységek.
A sík minden sokszögéhez úgy rendeljük a terület méröszámát, egy pozitív számot, hogy teljesüljön az alábbi két feltétel;
a) A z egybevágó sokszögekhez ugyanazt a számot rendeljük, azaz megkívánjuk, hogy az egybevágó sokszögek területének azonos mérőszáma legyen.
b) Ha egy sokszöget véges számú sokszögre feldarabolunk, akkor az egyes részek területének az összege az eredeti sokszög területével azonos legyen.
Sokszögek területének meghatározása
Téglalap területe
Kizárólag az em lített elvárások alapján keressük meg az a, b oldalhosszúságú téglalap területét.
Tekintsünk két olyan téglalapot, amelyek alapja a, az egyik magassága a másiké (í>i területük illetve T,.
A i>, m a g a s s á téglalapot az alappal párhuzamos szakaszokkal« egy
bevágó téglalapra bontjuk. Egy-egy kis téglalap alapja a, magassága ,
területe
A 139. ábrán látható m ódon a területű téglalapban —t magasságú
téglalapokat képezünk.
a) Lehetséges, hogy a egész számú többszöröse, így a -et ugyan
azzal az egész számmal szorozva T2-t kapjuk.
b ) Lehetséges, hogy nincs olyan egész szám, amely segítségével egyenlőséget állapíthatunk meg, de találunk olyan egész számot, am ellyel szo-
lozva -et a szorzat A^-nél kisebb, de azt 1-gyel nagyobb számmal
szorozva Í7,-nél nagyobb számot kapunk. Ugyanezt Tj-vel is megfogalmazhatjuk.
139. ábra
A két esetet összefoglaljuk: Találhatunk olyan k egész számot, amellyel fennállnak az alábbi egyenlőtlenségek:
.*1 ^ 2 < (^+1) ^ és (*+1) ^
Átalakítva:
n n n
A z egyenlőtlenségeket a 140. ábra számegyenesén szem léletessé tesszük. Nyilvánvalóan
n n n
1
n-Q-
kn h. - Ti
<1
1< — 140. ábra
A z n(n e N*) számot tetszőlegesen nagynak választhatjuk, ezért az —
bármely pozitív egész szám reciprokánál kisebb nemnegatív szám. Ilyen szám csak a 0 lehet, ezért a
h ^ hb, T,
144 145
SÍKIDOMOK TERÜLETE
egyenlőséghez jutunk. Szavakkal megfogalmazva: H a két téglalap egy-egy oldala egyenlő hosszúságú, akkor a területük aránya egyenlő a másik oldal- hosszuk arányával.
Ennek a tételnek a segítségével az 1 oldalú négyzet területéből elju- tünk az a, oldalhosszúságú téglalap területéhez.
a) A 141. ábra szerint az 1 oldalú, Ti = l területű
SÍKIDOMOK TERÜLETE
négyzet és az 1 alapú a magasságú, területű téglalapra felírjuk az
előző arányt: y = ^ ■
EbbSl T^^a. 141. ábra
A 142. ábra szerint az a alapú, 1 magasságú, T2, - a területű és az a alapú b magasságú T területű téglalapra az elő-
zDarany: ~ ■
Ebből T ^ab.
A z a,b oldalhosszúságú téglalap lerülete: T=ab.
Paralelogrammák területe
\T .= a T
142. ábra
Bármely paralelogrammát átalakíthatunk (átdarabolhatunk) vele egyenlő területű téglalappá.
143. ábra
A 143. ábrán látható módon az ABCD paralelogrammával meghatározott AB és CD párhuzamos egyenesek egyikére felmérjük az AB hosszúságú szakasszal megegyező szakaszt és kialakítjuk a z ^ ’B'C'D' téglalapot. A zAA 'D 'D négyszög eg>' vektorral történő eltolással átvihető a B B ’C'C négyszögbe. Ez a két négyszög egybevágó és mindkettőnek közös része a BA’D ’C négyszög. Ezt a közös részt elvesszük az egybevágó két négyszögből. A maradékok területe egyenlő, azaz T^^cd = Ta 'B'cd '-
Ezzel beláttuk, hogy bármely paralelogramma egyenlő területű egy ugyanakkora alaphosszúságú és ugyanakkora magasságú téglalappal. A paralelogrammák területe: T^am.
Háromszögek területe
A 144. ábrán látható módon az ABC háromszöget tükrözzük az AB oldal F felezőpontjára. Az eredeti háromszög és a tükörképe együtt egy paralelogramma. MlveXABCc^s^BAC’i , a háromszög területe a paralelog
ramma területének fele. A Mromszög területe: t = (vagy t ^ )•
Trapézok területe
A zA B C D trapézt tükrözzük a BC oldalfelező pontjára (145. ábra). Az eredeti trapéz és tükörképe paralelogrammát alkot. A trapéz területe a paralelogramma területének fele.
Az ábra jelölésével a trapéz területe: T=
Sokszögek területe
Sokszögek területét háromszögekre bontjuk és azok területének összege adja a sokszög területét. (A háromszögekre bontás tetszőleges lehet.)
Szabályos sokszögek területének meghatározásánál a csúcspontokat a szabályos sokszög középpontjával ajánlatos összekötnünk. így annyi egybevágó, egyenlő szárú háromszöget kapunk, ahány oldalú a szabályos sokszög.
A z előző felsorolások csak alapgondolatok a sokszögek területének meghatározásához és ezek csak a lehető legegyszerűbb eljárási módokat adják. Sok esetben a matematika más területén szerzett ismeretekre is szükségünk van, hogy az előbb látott összefüggéseket felhasználhassuk.
146 147
SÍKIDOMOK TERÜLETE
Például, ha egy háromszög két oldalát és a közbezárt szögét ismerjük (azaz a, b, y adott), "akkor trigonometriai ismeretekkel jutunk el a háromszög te-
űfcsin7 2rületének t = felírásához.
A kör területe
A körbe és a kör köré szabályos sokszögeket írunk. A beírt sokszögek területe kisebb a kör területénél, az érintösokszögek területe nagyobb a kör területénél. Ha a szabályos sokszögek oldalszámát növeljük, akkor a beírt sokszögek területe növekszik, az érintősokszögek területe csökken. A középiskolai matematikai anyagon túlmenő ismeretekkel bizonyíthatjuk, hogy az oldalszámok minden határon túli növelésével a körbe írt szabályos sokszögek területe és a kör köré írt szabályos sokszögek területe egyetlen számot fog közre. Ez a szám a kör területének mértékszáma.
Ezt a gondolatmenetet az a- lábbiakban az egységsugarú körnél mutatjuk meg « = 4 ,6, 8 oldalú sza-
T,. T.6>érintösokszögek területét Tg-cal jelöljük.
Az egységsugarú körbe és a kör köré szabályos 4 oldalú sokszöget (négyzetet) írunk (146. ábra). Megállapítjuk területüket: t^=2 , T4 - 4 .
1 '\/V ‘ J
\ ^
147. ábra148. ábra
f— I
b) Szabályos hatszögek területe (147. ábra): íö=6ía= 2,59807...;
= = 4,46410... .
c; Szabályos nyolcszögek területe (148. ábra): fg=8fA=8 - — " ^
= 2,82842...; rg = 8TA = 8-tg22.5"-3,31370... .
Az oldalszámok növelését tovább folytathatnánk. A kapott eredményeket egy táblázatban összefoglaljuk:
_____ ________________________________ SÍKIDOMOK TERÜLETE
n~ 4 n = 6 n= 8
22.59807...2.82842...
< a kör területe< a kör területe< a kör területe
< 4< 3,46410...< 3,31370...
A bal oldali számoszlop növekvő, a jobb oldali csökkenő. Bebizonyítható, hogy a két számsorozat egyetlen számot határoz meg. Ez a szám: 3,14159...] irracionális szám. Ezt ir-vel jelöljük, (megszokottan, századrészre kerekítve 7 T » 3 ,1 4 ). Ez a 7T az egységsugarú kör területe.
Az egységsugarú körből az r sugarú kört r arányú hasonlósági transz- formációval kapjuk meg. A z r sugarú kör területe: T^r^i:.
Megjegyzés: Azt a módszert, amelynek alapgondolatát a kor területének meghatározásánál láttunk a „kétoldali közelítés” módszerének nevezzük. Ez általánosan alkalmazható módszer síkidomok területének értelm ezésére.
A kör részeinek területe
Körcikk területe
Az r sugarú körben az a;°-os középponti szöghöz tartozó körcikk területének kiszámításához felhasználjuk a középponti szögek és a körcikk területek közötti egyenes arányosságot (138. oldal). Az a° középponti szöget a teljes szögei állítjuk arányba. Az ennek megfelelő körcikk a teljes kör, területe rV . Ezért fennáll:
: 360" = í : í TT,
t = J ^ o360° “ 360
148 149
SÍKIDOMOK TERÜLETE
Mivel a középponti szögek és hozzájuk tartozó ívhosszak között is eg>’e- nes arányosság van, fennáll az i\2n := t’.r'T! arányosság is. Ebböí a körcikk területe;
í =ír XVI. T e s t e k t é r f o g a t a , f e l s z í n e
Körszelet területe
Körszelet területét egy körcikk és egy háromszög területének a segítségével határozhatjuk meg. A 149. ábra mutatja, hogy a körszelet területét megadhatja a körcikk és a háromszög területének a különbsége, de az is lehet, hogy az összege adja meg.
15Q. ábra
Körgyűrű területe
Kör^űrüt határoz meg a koncentrikus R és r sugarú kör. Ennek szélessége: R~r=d, területe Ezt átalakítjuk:
t = {R+r)ÍR-r)Tr = 2 ^ (i?-r)7r = 2 ^ áir.
A két sugár számtani közepét jelöljük p-val, ekkor t=2pi^d. A a p számtani középpel, mint sugárral rajzolt körnek a kerülete (150/a ábra). Ezt a körgyűrű középvonalának nevezzük. A körgyűrű területére mondhatjuk azt is, hogy a középvonalának és a szélességének a szorzata adja meg,
A 150/b ábrán kör^ümcikket látunk. A két sugár által bezárt a középponti szöggel felírhatjuk az a : 360° =ti r&aríicikk''hör&üra arányosságot. Ebből a körgyűrűcikk területére adódik, hogy az a középvonalának és a szélességének a szorzata.
Ebben a fejezetben azt vizsgáljuk, hogy a testek térfogatát, felszínét hogyan határozzuk meg. A testek különböző osztályainál különböző m ódszerekkel kell dolgoznunk.
Testek osztályozása
I. A testek felszínének meghatározásához ad áttekintést a következőosztályozás:a) Vannak testek, amelyeket kizárólag sokszögek határolnak. Ezeket
poliédereknek nevezzük.b) Vannak testek, amelyeket síkidomok és görbült felületek vagy csak
görbült felületek határolnak (például henger, kúp, gömb,...). Ezek között vannak olyanok, amelyek görbült felületét a síkba kiteríthetjü k (például a hengerpalást, kúppalást) és vannak olyanok, amelyek görbült felülete nem teríthető ki a síkba (például a gömbfelület).
A testek felszínét - a testektől függően - különböző módon határozzuk meg.
a) Ha a test poliéder, ?tVkov felszíne a testet határoló sokszögek területének az Összege.
b) Ha a testet síkidomok és olyan görbült felületek határolják, amelyeket a síkba kiteríthetünk, akkor a felszín meghatározásakor a kiterített felület területét kell meghatároznunk.
c) Ha a testet olyan görbült felület határolja, amelyet síkba nem teríthetünk ki, akkor felszínének meghatározásához más eljárást kell keresnünk. (Ez meghaladja a középiskolai matematikai ismereteinket.)
II. A térfogatmeghatározás módja azt indokolja, hogy a középiskolábantárgyalt testek közül az alábbi csoportokat különítsük el.
Hengerszerű testek
Egy síkidom kerületén önmagával párhuzamosan körülvezetünk egy olyan egyenest, amelynek a síkidom síkjával esetlen közös pontja van. Az így
150 151
TESTEK TÉRFOGATA, FELSZÍNE
kapott palástfelületet az eredeti síkidom síkjával és egy vele párhuzamos síkkal elmetsszük. A körülhatárolt térrészt hangerszerü testnek nevezzük (151. ábra).
Az alaplap és a fedőlap síkjának a távolsága a hengerszerű test magassága. A körülvezetett egyenesnek az alaplap és a fedőlap közötti szakaszát a test alkotójának mondjuk.
a) Ha a hengerszerű test alapja sokszög, akkor hasábnak, ha az alaplapja kör, akkor körhengernek, röviden hengernek nevezzük.
b) Azokat, amelyeknél a körülvezetett egyenes merőleges az alaplap síkjára, egyenes hengerszerü testnek nevezzük, amelyeknél a körülvezetett egyenes nem merőleges az alaplap síkjára, azok/errfe henger- szerű testek.
Az egyenes hasábok közül azokat, amelyeknek az alapjuk szabályos sokszög, szabályos hasáboknak, vagy oszlopoknak mondjuk.
Az egyenes hasábok között nevezetes a téglatest, ezt hat téglalap határolja. Azt a testet, amelyet hat paralelogramma határol, külön névvel paralelepipedonnak nevezzük. (A téglatest speciális paralelepipedon, a kocka speciális téglatest.)
Az egyenes körhengtTtforgáshengemek is mondjuk.
TESTEK TÉRFOGATA, FELSZÍNE
Kúpszerű testek
Kúpszerű testek azok, amelyeket megkaphatunk lígy, hogy síkidom kerületén kőrülvezetünk egy egyenest, amely állandóan illeszkedik egy adott pontra, a síkidom síkján kívüli csúcspontra (152. ábra).
A csúcspontnak az alapíktól való távolsága a test magassága. A csúcsok és az alaplap kerületi pontjait összekötő szakaszok a kúpszerű test alkotói.
H a a kúpszerű test alaplapja sokszög, akkor gúlának, ha az alaplapja kör, akkor kúpnak nevezzük.
Ha a kúp minden alkotója egyenlő hosszúságú, akkor azt egyenes kúpnak is mondjuk, forgáskúpnak is nevezzük. Ha a kúp nem minden alkotója azonos hosszúságú, akkor ferde kúpnak mondjuk.
Ha egy gúla minden oldalélé egyenlő hosszúságú, akkor azt érdemes külön is hangsúlyoznunk, ebből további fontos tulajdonságok is következnek.
Azt a gúlát, amelynek az alaplapja szabályos sokszög és minden oldalélé egyenlő hosszúságú, szabályos gúlának nevezzük.
A háromoldalú gúlát tetraédernek (négylapúnak) nevezzük. Szabályos tetraédernek azonban azt a háromoldalú gúlát nevezzük, amelynek minden lapja (nemcsak az alaplapja) szabályos háromszög. (A szabályos tetraéder m inden é le azonos hosszúságú.)
Ha egy kúpszerű testet az alaplapjával párhuzamos síkkal két részre vágjuJc (153. ábra), akkor a csúcs felőh rész az eredeti testtel hasonló, az alaplap felőli testet „csonka kúpszerü testnek” nevezzük. így gúlából csonkagúlához, kúpból csonkakúphoz jutunk.Ezek magassága az alap-, illetve fedőlap síkjának a távolsága.
A csonkakúp két körlapjának középpontjára illeszkedő egyenest a csonkakúp tengelyének nevezzük. Ha a csonkakúp létrehozható egyenes kúpból, akkor a csonkakúpot is egyenes csonkakúpnak mondjak.
Ha valamely kúpszerű testet az alaplapjával párhuzamos síkkal elmetszünk, akkor az alaplap és a síkmetszet között középpontos hasonlóság van, ennek centruma a test csúcspontja.
Ismerjük a hasonló síkidomok területe és a hasonlóság aránya (a megfelelő szakaszhosszak aránya) közötti összefüggést: Hasonló síkidomok területének aránya a hasonlóság arányának a négyzete.
A kúpszerű testeknél felírjuk az alaplap és a vele párhuzamos síkmetszet területének az arányát. A hasonlóság aránya a csúcstól mért távolságok aránya, azaz az eredeti test és a levágott kis test magasságának az aránya. Ezek alapján a 153. ábra jelöléseivel:
T \ t = h f - . m ^ .
Az alaplapot is tekinthetjük síkmetszetnek, ezért az arány lényege: Kúp- szeiű testeknél a párhuzamos síkmetszetek területének az aránya egyenlő a csúcstól mért távolságok négyzetének az arányával.
153. ábra
152 153
TESTEK TÉRFOGATA, FELSZÍNE TESTEK TÉRFOGATA, FELSZÍNE
A gömb
A gömbfelület egy adott ponttól megadott távolságban lévő pontok halmaza, - Forgástestként értelmezve: Ha egy kört valamelyik átmérője körül forgatunk, akkor gömböt kapunk.
A definícióból következik, hogy a gömb minden síkmetszete kör. A z adott gömb r sugara és a metsző síknak a gömb középpontjától való d távolsága meghatározza a síkmetszet kör p sugarát(154. ábra): p = . A legnagyobb sugarú síkmetszet akkor jön létre, ha a metsző sík illeszkedik a gömb középpontjára. Ezt a gömb főkörének nevezzük. (Sugara r.)
A térfogat fogalma
Poliéderek térfogatmérésénél minden poliéderhez hozzárendelünk egy pozitív számot. A hozzárendeléshez kell egy térfogategység.
Megállapodunk abban, h o ^ térfogategységnek azt a kockát tekmtjük, amelynek az élei 1 hosszúságegységek
Minden poliéderhez úgy rendeljük a térfogat méroszámát, egy pozitív számot, hogy teljesüljön az alábbi két feltétel:
a) Egybevágó poliéderekhez ugyanazt a számot rendeljük, azaz megkívánjuk, hogy az egybevágó poliéderek azonos térfogatúak legyenek.
b) Ha egy poliédert véges sok poliéderre feldarabolunk, akkor a részek térfogatának az Összege az eredeti poliéder térfogatával azonos legyen.
Testek térfogatának meghatározása
Téglatest térfogata
A terület fogalma alapján a téglalap területének meghatározását a 144. oldalon táigyaltuk. Ahhoz hasonló gondolatmenettel, kizárólag a térfogatra em lített elvárások alapján keressük a téglatest térfogatát.
Tekintsünk két téglatestet, mindkettő alaplapja egy a, b oldalhosszúságú téglalap, az egyik magassága Ci, a m ásiké C2 (c, < 0,), térfogatuk K , illetve V .
A Cj magasságú téglatestet az alaplappal párhuzamos síkokkal n egybevágó téglatestre bontjuk, Egy-egy kis téglatest alaplapja a, h oldalhosszúságú téglalap, magas-
c, ysága , térfogata .
Cl
k + 1
155. ábra
A 155. ábrán látható m ódon a térfogatú téglatestben magasságú
téglatesteket képezünk.Találhatunk olyan k egész számot, amellyel fennállnak a következő
egyenlőtlenségek;
Azzal a módszerrel, amelyet a téglalap területének meghatározásánál alkalmaztunk, bebizonyíthatjuk, hogy ezek az egyenlőtlenségek egyetlen számot határoznak meg és fennáll az alábbi arány:
‘'2 _ ü c, Fi ’
azaz, ha kél téglatest alaplapja egybevágó, akkor magasságuk aránya egyenlő a térfogatuk arányával.
Ennek a tételnek a segítségével az 1 élhosszúságü kocka V, = 1 térfogatából eljutunk a z a , b , c élhosszúságú téglatest térfogatához.
a) Hasonlítsuk össze az 1 élhosszúságú K, = 1 térfogatú kockát az 1 oldalhosszúságú négyzet alaplapú és a magasságú téglatesttel. A tétel értelmében; a : l = Ebből V^-a.
b ) Tekintsük azt a két téglatestet, amelyek alaplapja az 1, ű oldal- hosszúságú téglalap és az első magassága 1, térfogata V-^=a, a második magassága b, térfogata V.. Ezekre; ebből V^^ab.
c) Vegyük azt a két téglatestet, amelyek alaplapja az a, b oldalhosszúságú téglalap, és az egyik magassága 1, térfogata V^=-ah, & másik magassága c, térfogata V. Ezekre a m egfelelő arány: c:l = V:ab, ebből V^abc.
^ a, b, c élhosszúságú téglatest térfogata: V=abc. (Ezt megfogalmazhatjuk úgy is: Téglatestek térfogata az alapterületük és magasságuk szorzata.)
154 155
TESTEK TÉRFOGATA, FELSZÍNE
156. ábra
Háromoldalú egyenes hasáb térfogata
Báimely háromoldalú egyenes hasáb alaplapját, az ABC háromszöget, a 156. ábrán látható módon kiegészítjük BCDE téglalappá. A háromszög magasságának a meghúzásával a téglalapot n é ^ háromszögre bontjuk. Közöttük2-2 egybevágó: BGAs^=AEBii, és CGAn = A D C a . Gondolatban képezzünk a téglalappal - mint alaplappal - olyan téglatestet, amelynek magassága megegyezik a háromoldalú egyenes hasáb magasságával. Ezt a téglatestet az alaplap négy háromszöge segítségével négy darab háromoldalú egyenes hasábnak tekinthetjük. Közülük 2-2 egybevágó. A négy közül a EGA és a CGA alaplapú együttesen az eredeti háromoldalú egyenes hasáb. Ennek térfogata - az egybevágóság miatt - a téglatest térfogatának a fele:
r / ^ V b c D E Q R S U „ -T . ™ - TV „^ A B C P Q R -------------2 ----------------------Y ------- ~ ^
A háromoldalú egyenes hasábok térfogata az alapterületük és magasságuk szorzata.
Egyenes hasábok térfogata
Mivel bármely sokszöget felbonthatunk háromszögekre, bármely egyenes hasábot felbonthatunk háromoldalú egyenes hasábokká. Az eredeti egyenes hasáb térfogata a háromoldalú egyenes hasábok térfogatának az összege. Ha a háromszögek területét fj, í„-nel jelöljük, akkor a háromoldalú egyenes hasábok térfogatának összege: fim+Í2 + .. .+f„m = (íi+í2+ - A háromszögek területösszege az alaplap sokszög T területe. Ezért az egyenes hasábok térfogata: V= Tm, azaz az alapterületűk és magasságuk szorzata.
Az egyenes körhenger térfogata
Az egyenes henger térfogatát egyenes hasábok segítségével, kétoldali közelítéssel határozzuk meg. Az alaplapjába, azaz az r sugarú körbe és a kör köré egy-egy szabályos sokszöget írunk. Oldalszámuk rendre o =4 ,... . Az/I oldalúak területe t^, illetve T„. Ezekre, mint alapokra állítsunk egy-^gy ^ magasságú egyenes hasábot. Ezek térfogata t„m, illetve 7„m. Minden n-re fennáll: t„m < T jn .
TESTEK TÉRFOGATA, FELSZÍNE
Az n oldalszám növelésével a sorozat növekvő, a T„ sorozat csökkenő. Ezekkel találkoztunk a kör területének keresésekor. Ott már lát- tuk, hogy ezek a kör területét határozzák meg, az r sugarú körnél ^v -i. Ezért az egyenes henger térfogata: V=j^irm, azaz az egyenes henger alapterületének és magasságának a szorzata.
Ferde hasáb térfogata
Ferde hasábok térfogatának keresésekor beláthatjuk, hogy bármely hasábhoz létrehozhatunk egy vele azonos térfogatú és azonos alapterületű, azonos magasságú egyenes hasábot. Ennek bizonyítása azonban hosszadalmas.
Ferde hasábok térfogatát az ún. Cavalien-elv (olv. Kavaliéri) segítségével határozzuk meg. Ha ezt a XVII. század elején megfogalmazott elvet a matematika mai igényességével nézzük, akkor az kiegészítésre szorul, de azoknak a testeknek a térfogatszámításánál, amelyekkel mi találkozunk, jól alkalmazható.
A Cavalieri-elv: Ha két testhez van olyan sík, hogy valamennyi vele párhuzamos sík belőlük páronként azonos területű síkmetszeteket vág ki, akkor a két test egyenlő térfogatú.
A Cavalieri-elv következtében a T alapterületű és m magasságú hasábok térfogata egyenlő (157. ábra), mert az alaplappal párhuzamos síkmetszetek egybevágó (azonos területű) síkidomok. A Cavalieri-elv alapján azonban nemcsak ezek a hasábok, hanem minden T alapterületű m magasságú hengerszerű test térfogata azonos. Közöttük van a T alapterületű, m magasságú egyenes hasáb is. Ennek térfogatát már ismerjük: V=Tm. A gondolatmenetünkböl következik, hogy bármely Talapterületű, m magasságú hengerszerü test térfogata: V= Tm.
D F
158. ábra
Tetraéder térfogata
Tetszőleges ABCD tetraédert hasábbá egészíthetünk ki. A 158. ábra szerint illesszünk a B, valamint a C csúcsra egy-egy .4D-vel párhuzamos
156 157
TESTEK TÉRFOGATA, FELSZÍNE
egyenest. Ezeken vegyük fel az E, iletve az F pontot úgy, hogy fennálljon AD = BE^C F.
Az ABCDEF háromoldalú hasáb alaplapja a T területű ABC háromszög, ez azABCD tetraéder alaplapja is. (A tetraéder alaplapja bármelyik lapja lehet.) A hasáb m magassága azonos a tetraéder v45C alapjához tartozó magasságával, ez az ABC és aDEF párhuzamos síkok távolsága.
A tetraédert hasábbá egészítettük ki, de azt is mondhatjuk, hogy az ABCDEF háromoldalú hasábból a BCD síkkal levágtuk az ABCD tetraédert. A maradék testet a CDE síkkal még két tetraéderre vágjuk. Ezzel a háromoldalú hasábot az ABCD, a DEFC és a BCDE tetraéderre bontottuk. E három tetraéder térfogata együtt a hasáb térfogata: V=Tm. A következőkben belátjuk, hogy a három tetraéder térfogata egyenlő.
TESTEK TÉRFOGATA. FELSZÍNE
a) Hasonlítsuk össze az ABCD és a DEFC tetraédert. Mindkettő azonos alapterületű és azonos m magasságú. Ezt a két tetraédert azonos területű alaplapjukkal helyezzük egy síkra (159. ábra). A csúcsoktól d távolságban metsszük ezeket az alaplapokkal párhuzamos síkkal, a síkmetszetek területét jelöljük íi-gyel, illetve Í2-veL A gúlák alappal párhuzamos síkmetszeteire vonatkozó arány szerint: T:ti=m^:(f, illetve T:t2 ^ní^'J^. Nyilvánvaló: íi=Í2 és bármely íí-nél azonos a két síkmetszet területe. A Cavalieri-elv alapján a két tetraéder azonos térfogatú: V ^ c D = D E F C -
b) Hasonlítsuk össze az ABCD és a BCDE tetraédert. Tekintsük alapterületüknek az ABD, illetve EDE háromszögeket. Ezek azonos terüle- tűek, mert az ABED paralelogrammából a BD átló meghúzásával keletkeztek. Magasságuk azonos: a C csúcsnak az ABDE síktól való távolsága. Az előző gondolatmenethez hasonlóan a Cavalieri-elv alapján a két tetraéder térfogat egyenlő: Vabcd^ ^ bcde-A két összehasonlításból következik: V,A B C D ' B C D E - Mivel a
három tetraéder térfogat együtt a hasáb V - Tm térfogata, ezért a három
oldalú gúlák télfogata: ^ alapterület és magasság szorzatának
harmadrésze.
Gúlák térfogata
Ha a gúla nem háromoldalú, akkor a sokszög alaplapot háromszögekre bontjuk. A háromszögek íj, ..., területének összege a sokszög T területe, azaz a gúla T alapterülete. A háromoldalú gúlák térfogatának az összege
azaz bármely gúla térfogata az alapterület és a magasság szorzatának a harmadrésze.
Kúpok térfogata
Tekintsünk egy T alapterületű m magasságú kúpot. Alapkörébe és a kör köré írjunk szabályos sokszögeket. Ezek segítségével a kúpban és kúp köré olyan gúlákat képezhetünk, amelyek térfogatával két oldalról közrefoghatjuk a kúp térfogatát.
A kör területének (és a henger térfogatának) keresésekor látott mód
szerrel eljuthatunk a kúp térfogatához. Ez — , azaz az alapterület és a
magasság szorzatának harmadrésze.Más módszerrel, amely túlmeg>' a középiskolai matematika anyagon,
bizonyíthatjuk, hogy bármely kúpszerű test térfogatát ugyanígy határozhatjuk meg.
Hengerszerű testek térfogata, felszíne
Az előző fejezet alapján már tudjuk, hogy bármely hengerszerű test télfogatát megadja az alapterületének és magasságának a szorzata:
V= Tm .A hengerszerű testek palástját
a síkba kiteríthetjük. Ha az egy’e- nes hengerszerű testek palástját, ^ egák alkotójuk mentén „felvágjuk”, és a síkba kiterítjük, akkor 160. ábraolyan téglalapot kapunk, amelynek egyik oldala az alaplap K területe, a másik oldala a hengerszeru test magassága (160. ábra). A palást területe:
158 159
TESTEK TÉRFOGATA. FELSZÍNE TESTEK TÉRFOGATA. FELSZÍNE
Pt=^Km. A palást területének és az aiapterület kétszeresének összege adja a test felszínét.
A z egyenes hengerszem testek felszíne:
A =2T + T m .
Ennek alapján néhány speciális test felszíne:Egyenes henger felszíne: A='2j 'ir+2r-irm, a téglatest felszíne: A - 2{ab +ac+bc), a kocka felszíne: A = ^ .
Kúpszerű testek térfogata, felszíne
Az előzőekből tudjuk, bármely kúpszerű testnek a térfogatát megadja az aiapterület és a magasság szorzatának harmadrésze:
Tm
A kúpok alaplapja kör, térfogatuk felírható V= alakban.
A kúpszerű, testek felszíne az alapterület és a palást területének összege:
A = T + P.
A gúlák palástja háromszögekből áll, területének m e^atározá- sához a háromszögek területét kell összegeznünk.
Az egyenes kúp (forgáskúp) palástját egyik alkotójánál „felvágva" és kiterítve, körcikket kapunk (161. ábra). Az r sugarú és a alko- tójú kúp kiterített palástja olyankörcikk, amelynek sugara a, ívhossza az alapkör Zttt kerülete.
„ 2 n r aA palást területe: P= ^ =nra.
A z egyenes kúp felszíne:
A = P"K + ríTű .
161. ábra
Csonkagúla, csonkakúp térfogata, felszíne
A csonkagúlák, csonkakúpok térfogatának keresésénél a teljes gúla (kúp) térfogatából elvesszük a levágott, hasonló gúla (kúp) térfogatát (162. ábra). Ezt a különbséget úgy ajánlatos átalakítanunk, hogy a csonkagúla (csonkakúp) térfogatát saját adatainak a felhasználásával írjuk fel.
Az eredeti teljes test alapterülete: T, magassága;
térfogata:3
a hozzá hasonló, levágott test alapterülete; í,magassága; mj,
térfogata: V2 = tm-,
A csonkagúla (csonkakúp) két alapterülete: T, t,magassága: m -m i-m ^,
térfogata: V=Vi~V2.Jelöljük a hasonlóság arányát X-val:
f r
f t ', X^= — vagy T = X \ X=
m
A teljes gúla térfogata:
Ez speciális esete egy általánosabb tételnek: Hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának a köbe.
160 161
TESTEK TÉRFOGATA, FELSZÍNE TESTEK TÉRFOGATA, FELSZÍNE
A csonkagúla (csonkakúp) térfogata:
v= Fi-K2=X3F2-K2 = K2(X^-1)= (X-1)(XVX+1).
A X-1 tényezőt mj-vel, a X^+X+l-et í-vel szorozzuk és átalakításokat végzünk:
V= — (X«Í2~m2)(X^Í+X/+0“ ~ 3 3
T + ^ f+ í/ í
A csonkagúlák, csonkakúpok térfogatára egyszerű alakot kaptunk;
V = j ( T ^ ^ + i ) .
A csonkakúpnál szokásos jelölések: T = R \, ezért a csonkakúp térfogata;
V = y (R^tt+^R^'irP'Tr+rTr),
V = ^(R h R r+ > ^).
Csonkagúlák, csonkakúpok felszíne a két alapterület és a palást területének az összege:
A= T + t+P.
Csonkagúláknál 3Z alaplapok hasonló sokszögek, a palást trapézokból áll.
Csonkakúpoknál a két alaplap kör. Felszínük v4=iíV+í^Tr+P alakban írható fel, palás^'uk a síkba kiteríthető.
Az egyenes csonkakúpok kiterített palástja körgyűrűcikk (163. ábra).
Ennek középvonala 2 ^ tt, szélessége az egyenes csonkakúp a alkotója.
A palást területe: (R+r)Tra.A z egyenes csonkakúp felszíne:
A = Fí f(+r^T:+{R+r)T(a.
162
163. ábra
Gömb térfogata, felszíne
A gömböt két egybevágó részre, azaz két félgömbre vágjuk és egy félgömbnek keressük a térfogatát.
A félgömböt a síkmetszetével, mint alaplappal egy síkra helyezzük. A Cavalieri-elv alkalmazására gondolunk és vizsgáljuk az alapsíkkal párhuzamos síkmetszeteinek területét. Az alapsíktól valamely d (0^d< r) távol-s^ b an keletkező síkmetszete sugarú kör, a síkmetszet területe;ir^-á^)w=r^TT-cí^Tr. Ezt tekinthetjük egy körgyűrű területének, az r és a d sugarú koncentrikus körök határolják (164. ábra).
164. ábra
Vegyünk egy r sugarú és r magasságú egyenes hengert. Ebből vegyünk el egy egyenes kúpot, amely r sugarú, r magasságú és alalapjával felfelé fordított. Felismerhetjük, hogy a maradék testnek az alapsíkkal párhuzamos síkmetszetei mindig azonos területűek a gömb megfelelő síkmetszeteivel, d távolságban: r^Tr-d\. A Cavalieri-elv alapján ennek a két testnek egyenlő a térfogata:
^félgömb ^henger ^kúp
Ennek kétszerese a teljes gömb térfogata:
V = ^ .
A gömbfelszín m e^atározása több olyan problémát vet fel, amely megoldásához a középiskolai ismeretek nem elegendők. A gömbfelület nem teríthető ki a síkba. Bizonyítható, \ io ^ a gömb felszíne:
A = 4r^ir.
163
TESTEK TÉRFOGATA, FELSZÍNE
XVII. T r i g o n o m e t r i a i i s m e r e t e k
165. ábra 166. ábra
Ezt megnyuglatóan nem tudjuk igazolni, de igyekszünk szem léletessé tenni.
Egy körbe páros oldalszámú szabályos sokszöget írunk. Ezt a 165. ábrán látható m ódon az AB átmérőre m erőleges F^Qi, P 2Q 2 húrokkal szim metrikus trapézokra bontjuk. A kör és a sokszögÁÖ átmérő körüli megfor- gatásával gömböt és egyenes csonkakúpokat hozunk létre. (A „legfelsőt” és a „legalsót” is tekinthetjük csonkakúpnak, a kisebb kör sugara 0.)
Bebizonyítható, hogy minden egyenes csonkakúppalásthoz találhatunk azonos területíl hengerpalástot. A P-^PiQiQi trapézzal létrehozott egyenes csonkakúppalásttal egyenlő területű hengerpalást sugara az FO szakasz (a húr felezőpontját a középponttal összekötő szakasz). A csonkakúp és a henger magassága azonos. (A 166. ábra jelölésével a palástok egyenlősége:
(R+r)Tra=2‘F O m i, ugyanis és ebből - . O F ^ m ' . a . )
A csonkakúppalástok helyett kapott valamennyi hengerpalást azonos sugarú és a magasságuk összege a gömb 2r átmérője.
A göm bfelületet csonkakúppalástokkal, majd azonos sugarú henger- palástokkal közelítettük meg. A gondolat áttekinthető és egyszerű. Azori- ban igazolnunk kellene, hogy ez a közelítés valóban elvezet a gömb felszínéhez. E z az igazolás meghaladja a középiskolai tananyagot.
A derékszögű háromszögek trigonometriája
Mindazok a derékszögű háromszögek hasonlók, amelyeknek az egyik hegyesszöge azonos na^ságú. Ezekben a megfelelő oldalak aránya egyenlő. Az arányoknak önálló elnevezést adunk.
Az a hegyesszög szögfüggvényeinek definícióit a 167. ábrán látható derékszögű háromszög jelöléseivel írjuk fel;
asm a= —
c
bCOSo:= —
C
_ szöggel szemközti befogó átfogó
a bc tg a= — .
o a
90 -cr
= csinci
Ha egy derékszögű háromszöget két adatával (két oldalával, vagy egy oldalával és egy hegyesszögéveí) egyértelműen megadunk, akkor az összes hiányzó adatát kiszámíthatjuk.
A hegyesszögek szögfüggvényei között összefüggések vannak.Ezek közvetlenül következnek az előző definíciókból. A 167. ábrán látható derékszögű háromszög a 0=’<a<90° szögekre már magyarázza az összefüggéseket.
a) sin^ot-HCos a = 1, ugyanis a = c • sina, & = c • cosa és Pithagorasz tételéből (c*sino:)V(c-cosa)^=c^. Az egyenlőséget c^-tel osztva kapjuk: Bármely hegyesszög sinusának és cosinusának négyzetösszege 1.
, . sina0) ^ “ szöggel szemközti befogó c-sina, a szög mel
letti c >coso!.
b = c c o s a
167. ábra
c) tga=-Ctga
, ez közvetlenül adódik a defmícióból.
164 165
TRIGONOMETRIAI ISMERETEK TRIGONOMETRIAI ISMERETEK
d) sino; = cos(90“-a), azaz egy szög sinusa egyenlő a pótszögének cosinu- sával és tga = ctg(9(f-Q;), azaz egy szög tangense egyenlő a pótszögének cotangensével.
Nevezetes szögek szögfüggvényei
Egységnyi befogókkal tekintsünk egy egyenlő szárú derékszögű háromszöget. Átfogója Pithagorasz tételével kiszámítható: i/z (168/a ábra).
Az egyenlő oldalú háromszög oldalai 2 egység hosszúak. Magasságának megrajzolásával olyan derékszögű háromszöget kapunk, amelynekhegyesszögei 30°, 60°. Pithagorasz tételével kiszámítjuk a magasságát: {3 (168/b ábra).
A kapott derékszögű háromszögekből felírhatjuk 45°, illetve 30°, 60“ szögfüggvényeinekj70ttí05 értékét. Ezeket egy táblázatban foglaljuk össze:
sin cos tg ctg
30° 12 2 3
45° Í21 1
2 2
60° ^3 12 2 3
b) \/ ' \
2 / ' ^
/ío ’i, f \1 1
768. ábra
Szögfüggvények általános értelmezése
A koordináta-rendszer origója körül forgatott egységvektorral bármely pozitív vagy negatív szöget létrehozhatunk. Ennek segítségével értelmezzük a forgásszögek szögfüggvényeit:
Definíciók:1. A z a szög sinusa, a koordináta-
síkon, az i egységvektortól a szöggel elforgatott egységvektor y koordinátája (169. ábra).
2. Az a szög cosínusa, a koordinátasíkon, az i egységvektortól a szöggelelforgatott egységvektorx koordinátája (169. ábra).A két definíció alapján, ha az a szöggel elforgatott egységvektort
a-val jelöljük, akkor a = i-c 0 S Q !+ j 'S Í n a . Az a vektor koordinátái: a(coso:; sina).
A tg, ctg szögfüggvényekre két-két definíciót adunk, ezek ekvivalensek.
3. a) tga = (cosoí#0, azaz —+A:7t, fcGZ).cosa 2
b) A z a szög tangense, a koordinátasíkon, annak a pontnak az y koordinátája, amelyet az a szöggel elforgatott egységvektor egyenese az origó körüli egységsugarú kör (}; 0) pontjához húzott érintőből kimetsz (170. ábra).
COSOL3. a) ctgcí = —— (sina#0, azaz a / ki^, kG'Z). sin ex.
b) A z ot szög cotangense, a koordinátasíkon, annak a pontnak az x koordinátája, amelyet az a szöggel elforgatott egységvektor egyenese az origó körüli egységsugarú kör (0; 1) pontjához húzott érintőből kimetsz (171. ábra).
(ó ; i )
169. ábra
Megjeg>'zés: Ezek a definíciók teljes összhang’ban vannak a hegyesszögek szögfíiggvé- nyeinek azzal z z értelm ezésével, amelyet a fejezet e le jén derékszögű háromszögek oldalainak arányaival adtunk meg. Ug)'anis, ha a 172. ábrán egy I. negyedbeli a he- gyesszöget tekintünk, akkor az ott látható A { T f i , A^T^O, A-P'^0, ... derékszögű háromszögek hasonlók. Ezekből az 172. ábra
166 167
TRIGONOMETRIAI ISMERETEK TRIGONOMETRIAI ISMERETEK
a hegyesszöggel szemközti befogó és az átfogó aránya: sina.
A különböző szögek szögfüggvényéríékeinek meghatározását a szög nagyságától függően három részben tárgyaljuk.A ) YÍ3i 0°^a<360°, akkor a szögfüggvényértékei a definíció alapján hatá
rozhatók meg. A gyakorlati lépéseket az alábbi táblázat összefoglalja:
Negyed
II.
IIL
IV.
Szög
0°<a<9(r
9(f
90^<a<180°
180°
180° < a <270°
270=
270°<a<360°
A táblázatból kikereshető
a
m ‘’-a
a - 180=
360°-a
A szögfüggvények előjele
sm
0
-1
cos
0
tg
0
nincs értelmezve
nincs értelmezve
ctg
nincs értelmezve
nincs értelmezve
0
B) Ha 360^ S g í, akkor megkeressük azt az of-360°íí (n6 N) szöget, amely a [0"; 360°[ intervallumban van. Ezt legkönnyebben úgy találjuk meg, hogy a-t elosztjuk 360-nal. Az osztást a hányados utolsó egész helyiér- tékű- jegyéig végezzük. Az ekkor kapott maradék a [0“;360°[ intervallumban van.Ennek szögfüggvényértékeit az előzőek szerint határozzuk meg.
C) Negatív forgásszögek szögfüggvényértékeinek megállapítását visszavezetjük pozitív szögek szögfüggvényeinek meghatározására. A 173. ábráról látható tengelyes szimmetria alapján:
sin(-a) = -sina, cos(-a) = cosof.
A tg és a ctg szögfüggvények definícióiból következik:
tg (-a) = -tga, ctg(-a) = -ctga.
A szögfüggvények közötti kapcsolatok
A hegyesszögek szögfüggvényei között fennálló kapcsolatokat már láttuk (165. oldal). Kérdéses, hogy tetszőleges szögek esetén is igazak-e ezek. Ezt külön kell vizsgálnunk. A következőkben megmutatjuk, hogy minden olyan szögre igazak, amelyekre a megfelelő szögfüggvények értelmezve vannak.a) sin^Qi+cos^ce=l, minden a-ra.
1. Ugyanis az a szöggel elforgatott e = coso:-i+sino;-j egységvektor négyzete 1. A koordinátáival felírt vektorok skaláris szorzata szerint e^=cosV+sin^o:. Ezért cos^a+sin^a = 1.
2. Asin^a+cos^a=l-böI sino; = iTl-cos^a és cosa= ^l-sin^a csak az I. negyedbeli szögeknél írható fel. Más szögek esetén a Isinal = = y i-c o s^ , Icosal = i/l“sin^a alakot írhatunk sina, cosa előjelét az dönti eí, hogy az a szög a koordinátasík melyik negyedében van.
b) A hegyesszögeknél látott tga’= összefüggés a szögfüggvények ál-cosa
talános értelmezésénél definíció, ha cosor / 0. Hasonlóan ctga =
ha sina / 0.
cosasina
c) Hegyesszögek tangensének, cotangensének értelmezéséből követke
zett . Ez a szögfüggv'ények általános értelmezéséből is kö-ctga
vetkezik, azonban most feltétel: a # ír
d) sincn = cos(90°-o;) minden szögre.Ennek belátásához forgassuk el az a = cosai + sinaj vektort negatív
irányban 90'’-kal. A kapott új vektort jelöljük b-vel (174. ábra). Ennek hajlásszöge a-9(f, ezért b == cos(a-90°)i + sin(o:~90"')j,
A 90°-kai elforgatott vektorok koordinátáiról tudjuk, hogy felcserélődnek és az egyik előjelet vált. Most a negatív irányban történő forgatás miatt az eredeti vektor első koordinátájának az ellentettje lesz az új vektor második koordinátája: b = sinai - cosaj.
168 169
TRIGONOMETRIAI ISMERETEK TRIGONOMETRIAI ISMERETEK
A b vektort kétféle módon írtuk fel. A megfelelő koordinátáik e- gyenlök: sina = cos(a-90°) és -cosa = sin(a-90“). A negatív szögeknél megismert összefüggések alapján:sin(a-90°) = -sin[-(a-90°)] == -sin(90‘’-a ) és cos(a-90°) = = cos(90°-q:), ezért valóban:
sina =cos(90“-a:),cosa = sin (90°-a).
yia = c'oiűfi + 5!/! a j
Ij = ce-j (a - W") i f + sin (a - 90‘’)j
b = sin a i - C05 a j
174. ábra
Ezek hányadosából - ahol ennek van értelme - következik a tgoí = ctg(90P-a) összefüggés is.
Az általános háromszög trigonometriája
A bal oldalak egyenlőségéből következik:
űsinií =/7SÍna. asin(8 = ösin(lS0°-a),
A sin szögfüggvény értelmezése alapján siti(180'’-a)= sina, ezért
asin/3-í>sino!.
Ugyanahhoz az egyenlőséghez jutottunk. Ez átalakítva:
a : 6 = sina : sinj9.
Ezt az összefüggést nevezzük siniistételnek: Bármely háromszögben az oldalak úgy aránylanak egymáshoz, mint a szemközti szögek sinusa.
Megjegyzés: H e ^ e s - és tompaszögű háromszögekre bizonyítottuk, de derékszögűekre is igaz. Ugyanis 51090“ =1 raiati a sinustételből az ismert aráidhoz jutunk: heg>'esszög sinusa a derékszögű háromszög szöggel szem közti befogójának és az álfogónak az aránya.
Egy általános háromszöget három (m egfelelő) adattal adhatunk meg. Ezek meghatározzák a háromszög minden (eddig ism eretlen) adatát. Ezek kiszámításához m egfelelő összefüggéseket kell keresnünk.
Összefüggés a háromszög két oldala és a szemközti két szöge között Sinustétel
Az általános háromszög egyik magasságának a meghúzásával derék- szögű háromszögeket alakítunk ki (175-176. ábra). Ezekből kifejezhetjük a magasságot:
a)
m^=asinl3 m^ = &sintx
h)
m;; = űsin|3m;, = 6sin(180“-Q:).
Összefüggés a háromszög három oldala és egy szöge között Cosinustétel
AAz ABC háromszög C csúcsá
ból induló CB vektort Jelöljük a- val, CA-\ b-vel (177, ábra). Nyilvánvaló: c = a - b. Fehérjük a c vektor négyzetét:
c^=(a-b)^ c^=ű“-HÖ“- 2 -a-b c^=a^ + 6^-2c£'COS7
Ezt az összefüggést nevezzük cosinustételnek: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és a közbezárt szög cosinusának kétszeres szorzatát.
Azt, hogy a háromszög megadásának alapeseteiben melyik tétel segítségével melyik hiányzó adatot számíthatjuk ki a legkönnyebben, az alábbi táblázatban foglaljuk össze:
170 171
TRIGONOMETRIAI ISMERETEK TRIGONOMETRIAI ISMERETEK
A háromszöget meghatározó adatok
(alapesetek)
Egy oldal és két szög (a két szög a harmadikat is meghatározza)
Két oldal és a nagyobbal szemközti szög
Két oldal és az általuk bezárt szög
Három oldal
A legegyszerűbben alkalmazható
tétel
sm
sm
cos
cos
A legkönnyebben kiszámítható hiányzó adat
hiányzó oldal
a kisebbik oldallal szemközti szög
a harmadik oldal
egy szög
M eaegyxés: A sinustétel és a cosinustétel nem független egymástól. Az egyikből, m egfelelő átalakításokkal, eljuthatunk a másikhoz. (Például, ha a cosinustételben helyett a \ú r í^ + c o s ^ ) - \ írunk és további m egfelelő átalakításokat végzünk, eljutunk a sinustételhez.) Ez azonban csak logikai érdekesség. A gyakorlati számítások akkor könnyűek, ha a két tétel közül a m egfelelőbbet választjuk ki.
Összefüggés a háromszög egy oldala, szemközti szöge és a köré írt körének sugara között
Egy háromszöget egyértelműen három (megfelelő) adatával adhatjuk meg, azonban egy oldala és a szemközti szöge meghatározza a körülírt körének sugarát. Ezt elemi geometriai ismereteinkből tudjuk: egy adott szakasz és egy adott szög meghatározza a látószögkörívet. Ennek alapján a 178. ábrán az ABC általános háromszög mellett létrehozzuk az A ’BC derékszögű háromszöget. Ezeknek közös az a oldala, a szemközti szögük a. (tompaszögű háromszögnél X8íf-a;). Az A'BC derékszögű háromszögből:
sina= . Ez az összefüggés minden háromszögben fennáll.
178. ábra
További trigonometrikus összefüggések
A szögfüggvények definíciói alapján nagyon sokféle trigonometriai összefüggést írhatunk fel. Közülük a legfontosabbak:
Addíciós tételek (összegezés! tételek)
Két szög szögfüggvényeinek ismeretében szeretnénk kiszámítani két szög összegének, különbségének szögfü^ényeit. Az adott sina, cosa, siniS, cosjS segítségével feh'ijuk cos(a-)S). cos(a+j3), sin(oí“/3), sin(a-H|8) értékét.a) A koordinátasíkon felvesszük
az a hajlásszögű a, és a *3 hajlásszögű b e^ségvektort. A 179. ábrán kialakul az szög is.
a = cosQ'i+sinQrj, b = cos/3i+sinjÖj.
Az ab skaláris szorzatot íijuk fel kétféle módon. Elsőként a skaláris szorzat definíciója alapján, másodikként a koordinátái segítségével:
ab= |a | ■ Ibi -cosía-zS) = cos(a-/3),ab= (coso;i-i-sincvj)(cos/3i+sin^j) = cosa-cos/S+sina'SinjS.
A két alak összehasonlításával kapjuk:
cos(ci'-^) = cosa. ■ ítos/3 +sin(x-sm^.
b) A negatív szögekre ismert cos(-(3) = cos]3 és sm (-^) = -ún3 összefüe- gések felhasználásával kapjuk;
cos(a+l3) = cos[a-(-^)] = cosa • cos(-/3) + sina ■ sin(-/3) = = cosa • COS0 - sin a • sin^.
c) A sin(o!-^)-hoz a pótszögek közötti sin7 =cos(9( f - 7 ) összefüggés fel- használásával juthatunk el:
íínfoí-^J = cos[9(r-(a-^)] = cos[(90^-a)+/3] = =cos(90°-Q!)cos^ - sin(90°-o!)sin,8 == sxna. • cos^ - cosa 'Sin^.
172 173
d) A sin(a+i8) meghatározásához újból negatív szöget veszünk segítségül:
= sin[a-(-|S)] = sina-cos(-i3) - cosa-sin(-i3) ==sina' cos^ + cosa • sin^.
e) tg(o!+i3) felírása a definíció alapján történhet. Ajánlatos olyan átalakítást végeznünk, hogy a sin, cos szögfüggvények helyett tg szögfüggvényhez jussunk. Ezt elérjük, ha a tört számlálóját is, nevezőjét is osztjuk cosa-cos/3-val (coso:-cos;3/0).
sin(o;+;3) _ sina*cosj3+cosa-sing _^ cos(a+/3) cosa-cos/3-sina-sin/3
sina • cosj3 cosa • sini3- +
TRIGONOMETRIAI ISMERETEK_________________________________
_ COSQ’ COSIS cosa-cosjS tga+tg^ cosa*cos|8 sina-sing cosa ■ cos|8 coso: • cos0
Negatív szögek segítségével kapjuk:
l^tga^tg^
Szög kétszeresének szögfúggvényei
Két szög összegének speciális esete a két szög egyenlősége: oí + oí = 2a. Az addíciós tételek segítségével 2a szögfüggvényeit is felírhatjuk;
í in 2 o := s in (o d + a ) = sino:* c o s a + co so í- s in a == Isinoí-cosoL
Hasonló gondolatmenettel kapjuk:
cos2ot= cos~a. - sin^a,
2/?atg2a =
xviiL K o o r d i n á t a -g e o m e t r i a i ISM ERETEK
A koordináta-rendszer kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést létesít a sík pontjai és a rendezett számpárok k özött Ha vektorokkal a koordiná- tasíkon végzünk műveleteket, akkor koordinátáikkal (rendezett számpárokkal) számolhatunk. (Középiskolában derékszögű koordináta-rendszer- ben dolgozunk.)
A koordináta-geometriában geom elriai feladatokat úgy fogalmazunk meg, hogy megoldásuknál számpárokkal dolgozhassunk. A problémákat igyekszünk vektorok segítségével megoldani, majd a vektorműveleteknek m egfelelően vektorkoordinátákkal számolunk.
Szakasz felezőpontja, m:n arányú osztópontja
Szakasz felezőpontja
A koordináta-rendszerben megadunk egy szakaszt és keressük a felezőpontját.a) Pvi A B szakasz végpontjainak
helyvektorai; a(xi,yi).Keressük az F felezőpont f(x,y) helyvektorát.A felezőpont tulajdonságából következik (180. ábra):
■ ->
- A B b-a a+b f= a + — =an------ = ------ .
Az f helyvektor ismeretében áttérünk a koordinátákkal történő számolásra.
b) A z AB szakasz végpontjainak koordinátái; B{x2,y 2), a felezőpont koordinátái: F{x,y).
A kapott — eredménynek megfelelően a vektorok koordinátái
val műveleteket végzünk (lásd 123. oldal). Az F(x,y) felezőpont koor-
174 175
KOORDINÁTA-GEOMETRIAJ ISMERETEK
dinátái:í= X1+X2
2
Eredményünk tömör Összefoglalása:
A felezőpont helyvektora a+b
A felezőpont koordinátái __ X1+J2
Szakasz min arányú osztópontja
Az AB szakasz végpontjainak helyvektorai: a{xi,yi), h{x2,y'^- A szakaszt ^zAP.'PB^m-.n arányban osztóPpont helyvektora: p(x,y).
A zA S szakaszt -gondolatban - osszuk félm+n részre (181. ábra). Ha a P pontot úgy jelöljSc ki, hogy az m+n darab szakasz közül az^4 pont fe-
m'AÍBlől m, a 5 pont felől n legyen, akkor és így A P = ---------.
^ m+nA P osztópont p helyvektora:
m 'Á B m (b-a) ma-i-íza-i-mb-ma na+mb > = a+ -■ =a+— -----—=---------------------- = ----------- .p = a+AP = a+-
m+n m+n m+n m+n
181. ábra 182. ábraA z A B szakasz végpontjai v4(xi,7 i), B{x2,y2) az m\n arányú osztópontja:
P(x^). A vektorok koordinátáival műveleteket végezve, kapjuk:m+n
nyi+my2m+n
KOORDINÁTA-GEOMETRIAI ISMERETEK
Összefoglalva: ^ 5 szakasz m:n arányú P osztópontjának
helyvektora koordinátái
p= /ja+mbm+n
nxi+mx2m+n
m *m y2m+n
Megjegyzés;1. Ha azm :« arány 1:1, akkor a P osztópont a felezőpont.2. A harmadoló pontokból kettő van (182. ábra). A zA -hoz közelebbi
Q pon trav4ö :ö5= l:2 és helyvektora; q= . A zA -t6 \ távolabbi
(B-hez közelebbi) R pontra; AR :R£ =-2:l, helyvektora: r = .
Háromszög súlypontja
Az elemi geometriából ismerjük a háromszög súlyvonalának definícióját és a súlypontra vonatkozó tételt. Ezeket most felhasználjuk.
Az ABC háromszög három csúcspontjának helyvektora: a(-ri,yi), A háromszög S súlypontjának helyvektora s(x,_y).
Felírjuk az A csúcspontból kiinduló súlyvonal másik végpontjának, p-nek a helyvektorát, majd az AF szakaszt 2:1 arányban osztó S pont helyvektorát (183, ábra):
183. ábra
f= b+cs=-a+2f a+b+c
A háromszög csúcspontjai: A(xi,yi), B(x2,y 2), C(x2,y 3), súlypontja S(x,y). Az s helyvektorra kapott összefüggésnek megfelelően a koordi-
J76 177
KOORDINÁTA-GEOMETRIAI ISMERETEK KOORDINA TA-GEOMETRIAI ISMERETEK
\nátákkal műveleteket végzünk. A súlypont koordinátái; ;c = -
X^+X2+X2,3
yi+yi+y^^ 3 '
összefoglalva: .4z ABC háromszög S súlypontjának
helyvektora koordinátái
s=-a+b+c X1+.V2+X3
>’i+y2+y3v =
Vektor hossza, két pont távolsága
K é t vektor skaláris szorzatának tárgyalásánál (lásd 122 oldal) megállapítottuk, hogy egy vektor hossza, azaz abszolútértéke a vektor négyzetén e k négyzetgyöke: l a | = ^ . Az helyvektorokkal mega d o t t á abszolútértéke, az szakasz hossza (184. á b r a ) : ^ = U ^ l -
Az A B szakasz >'].)>B{x2,y:i) végpontjainak koordinátáival is felírjuk a szakasz hosszát, azaz a két pont távolságát. (Ezt d- vel is szoktuk jelölni.) A felíráskor felhasználjuk, hogy a koordinátáival megadott vektorok skaláris szorzata a megfelelő koordináták szorzatának az összege (lásd 124.oldal): d=AB = Í{x2-x^f+(yi-yiY- (A d távolság az ábra alapján Pithagorasz tétellel is meghatározható.)
Összefoglalva:
A z A B abszolútértéke:
184. ábra
Az AB szakasz hossza, két pont táx’olsága:
Az egjenes helyzetét jellemző adatok
Két különböző pont egyértelműen meghatároz egy egyenest. Ha az egyenesnek csak egy pontját adjuk meg, akkor helyzetének egyértelmű megadásához még valamilyen további adatra is szükségünk van.
A koordinátasíkon egy egyenes helyzetét egyértelműen meghatározza: egy pontja és egy irányvektora, egy pon^’a és egy normálvektora, egy pontja és irányszöge,egy pontja és az iránytangense (ha létezik iránytangense).
Az irányvektor, normálvektor, írányszög, irán^langens fogalmát definiálnunk kell.
Definíciók;Egy egyenes irányvektora az egyenessel egyállású bármely vektor, amely
nem nuUvektor. Jele: v(vj^;v2).A koordinátasíkon egy egyenes normálvektora az egyenesre merőleges, a
nuUvckíortól különböző bármely vektor. Jele: n{A\ B).A koordinátasíkon egy egyenes irányszöge az egyenesnek és az x tengely
nek a 185. ábrán jelzett hajlásszöge. Ezt tanácsos -90°<o:á9(f inter\'aUum- ban lévőnek tekintenünk.
A koordinátasíkon egy egyenes irányszögének tangensét (ha létezik), az egyenes iránytangensének nevezzük. Jele: m=tga. { A z x tengelyre merőleges egyeneseknek nincs iránytangensük.)
185. ábra 1S6. ábra
d=AB = i{x2-x^'^+iy^-ylf ■Az előző fogalmak közötti összefüggéseket egy példa segítségével mu
tatjuk meg:
m 179
Adott azA(-5; -1), B(-2; 3) pontokra illeszkedő egyenes (186. ábra). Egyik irányvektora Áe=v(3; 4 ) . de e n n e k minden c (c /0) konstansszorosa
is irányvektor. így irányvektorok a (6; 8), (-3; -4), (1; 1 ).... koordinátájú
vektorok is.Egy egyenes bármely irányvektorából norm.álvektort kapunk, tia azt
90°-kal elforgatjuk. (Ekkor a két koordinátája felcserélődik és az egjak előjelet vált.) Az ábra AB egyenesének egyik normálvektora n(4; -3), de normálvektorai a ( -4; 3), (8; - 6), (-16; 12) ,... koordinátájú vektorok is.
A 186. ábrán a v(3 ; 4) vektornál is láthatjuk az egyenes a irányszögét. Az m iránytangens ennek tangense, így ez felírható az irányvektor koordi
nátáiból: "I = ^ • A tangenstáblázatból történő visszakereséssel megkapjuk
az egyenes irányszögét (m = l ,333-ből a=53°7’).
KOORDINÁTA-GEOMETRIAI I S M E R E T E K ___________________ KOORD1NATA-GEOMETRIA1 ISMERETEK
m . á b r a
Általában:A v(vj; V2) irányvektorú- egj'enes egyik normálvektora: n(v2, -vi),
iránytangense: m (vi#0).
Az A (ii;yi), B(x2;yi) pontokra illeszkedő egyenes (187. ábra) egyik irányvektora v(x2-x::>'2-}i), egyik normálvektora: n(y2' yhXrX 2), iránytan-
gense:m= (xi#.£2)-X2-X1
Az m iránytangensű egyenes (188. ábra) egyik irányvektota: v(l, m), egyik normálvektora: n(m; - 1).
Egyenesek párhuzamosságának, merőlegességének feltétele
Me^izsgáljuk, hogy párhu2amos, valamint egymásra merőleges egyenesek irányvektora, normálvektora, irányszöge, iránytangense között milyen kapcsolat van.
Tekintsük az e ’ és e” egyeneseket, Irányvektoruk v’ illetve v”, normálvektoruk n ’, illetve n”, irányszögük a ’, illetve c/’, iránytangensük m i l l e t ve m ” (189. ábra).
I. Ha a két egyenes párhuzamos, akkor v’=c-v” (c konstans, c#0), n’=c*n” (c konstans, ct^O), or’= a ”. Mivel a tangensfüggvény a ]-90P; 90‘’[ intervallumban monoton (növekvő); m ’- m ”.Fordítva is fennáll; Ha az irányvektorokra, normálvektorokra, irány- szögekre, iránytangensekre fennáll az előző feltételek egyike, akkor a két egyenes párhuzamos.Az iránytangenssel nem rendelkező eg>'enesek merőlegesek az x tengelyre, azok egymással párhuzamosak.
n . Ha az e’ és az e” egyenes merőleges egymásra, akkor az irányvektoraik is 90P-OS szöget zárnak be. Ezért a két egyenes merőlegességének feltétele az, hogy a v’, v” skaláris szorzata 0 legyen. Mivel v’=vi’i+v2’j; v” =vi”i+v2”j, skaláris szorzatuk (koordinátáikkal számolva); Vj’vi”+ +V2’v2”= 0. Ezt úgy alakítjuk át, hogy az m ’, m ” iránytangenshez jussunk (ha azok léteznek):
1, , S , » _ 2 _ 1 _ ^V2V2 ---V-iV-i , — ----V2Vl
, azazm '= -
Szavakkal megfogalmazva: Ha két egyenes egymásra merőleges és mindkettőnek van iránytangense, akkor a két iránytangens egymásnak ellenkező előjelű reciproka.
m181
KOORDINATA-GEOMETRIAI ISMERETEK
Előző gondolatmenetünk megfordítható; Ha két egyenes iránytangense egymásnak ellenkező előjelű reciproka, akkor a két egyenes merőleges egymásra.
Ha két egyenes közül az egyiknek nincs iránytangense, és a másik iránytangense 0, akkor a két egj’enes egymásra merőleges. (Az első merőleges az ten g e ly re , a másik párhuzamos vele.)
Egyenes egyenlete, vonal egyenlete
Két különböző pont, vagy egy pont és valamilyen más adat egyértelműen meghatároz egy egyenest. További pontokról hog>'an dönthető ei, hogy azok illeszkednek-e az egyenesre, vagj' nem?
Összefüggést kell keresnünk az egyenest meghatározó adatok és az egyenes tetszőleges pontja között. A megfelelő összefüggést az egyeneí egyenletének nevezzük.
A z egyenes egyenlete olyan egyenlet, amelyet az e^enes bármely pontjának a koordinátái kielégítenek és nem elégítik ki az olyan pontok koordinátái, amelyek az egyenesnek nem pontjai.
Az egyenes egyenletének a fogalmát általánosítjuk. Bevezetjük a vonal egyenletének fogalmát.
Egy vonal (egyenes, kör, parabola,...) egyenletének olyan egyenletet nevezünk, amelyet a vonal bármely pontjának a koordinátái kielégítenek és nem elégítik ki az olyan pontok koordinátái, amelyek a vonalnak nem pontjai.
Az egyenes egyenletének felírása
Egy egyenest többféle módon adhatunk meg. Az a célszerű, ha az egyenes egyenletét -elsőként - egy pontjának és normálvektorának az ismeretében írjuk fel.
Normálvektora adott
Adott az egyenes Po(jco;yo) pontjának ro(A:o;yo) helyvektora és n(A-,B) normálvektora (190. ábra). Az egyenes egy tetszőleges P{x\y) pontjának helyvektora r(j:;y).
Az egyenes egy irányvektora a PoP=r-ro vektor, PoP= (jí-JCo)'+()'"yo)j---->Az egyenes n normálvektora és PqP irányv-ektora egymásra merőleges,
182
KOORDINÁTA-GEOMETRIAI ISMERETEK
skaláris szorzatuk: n(r~ro) =0. Ezt az egj'enes vektoregyenletének nevezzük. Koordináták segítségével érdemes átalakítanunk:
04i+őj)[(x-.ío)i+(y-yo)j]= 0.A{x-X(j)+B(y-yQ) = Q,
Ax+By = ^ 0+5^0
Az utolsó sorban az egyenes normálvekiorának koordinátáival felírt egyenletének olyan egyszerű az alakja, hogy ezt érdemes emlékezetünkben tartani, A következőkben ennek segítségével írjuk fel az egyenesek egyenletét:
Például: A Po(5; -3) pontra illeszkedő n(-2; 7) normálvektorú egyenes egyenlete azonnal felírható: -2i:+7>' = -10-21, rendezve: 2r-7>'=31.
Irányvektora adott
Ha az egyenest a í ’o(a:(];>'o) pontjával és v(vi; v ) irányvektorával adjuk meg, akkor is Ax+By =AxQ+ByQ alakot használjuk az egyenlet felírásához. Ugyanis most n{v2, -Vi). Az irányvektor koordinátái segítségével felírt egyenlet:
V2Í-V i>’ = VaTo-Vi)-Q vagy V2(x-Xo) -Vi(y->'a) = 0.
Például; A Fo(“4; 1) pontra illeszkedő v(-3; 2) irányvektorú egj'enes egyenletének felírása: n(2; 3), 2t+3y= -8+3, rendez\’e; 2x+3y=-5.
Iránytangense adott
Ha az egyenest a Pnixaiyo) pontjával és m iránytangensével adjuk meg, egyenletének feh'rásához akkor is használhatjuk az Ax+By-Axq+Byq alakot. Ugyanis most v(l; m), n(m; -1), ezért az egyenes egy'enlete:
ez rendezve:mx-y = mxc-yQ,
y-yü = (^-Xü)‘
Erre azt mondjuk, hogy ez az egyenes iránytényezős alakja. (Érdemes megjegyeznünk.)
m
KOORDINÁTA-GEOMETRIAI ISMERETEK
Például: APg(5; -2) pontra illeszkedő és m =3 irán^angensű egyenes egyenlete:^+2=3(x-5), Tendezve:y=3r-17. Ez az utóbbi alak általánosan:
y = mx+b,
ebben az alakban x együtthatója az iránytangens, a konstans b az y tengely metszete.
Két pontja adott
Ha az egyenest két pontjával, a Fi(xi,yj), F2(^2’,y 2) pontokkal adjuk meg, akkor egyik irányvektora: v(x2-xi;y2~yi), egyik normálvektora:
iránytangense: m {xi¥^x^.X2-X1
Egyenletének alakjai:
<y2-yi>-{ 2-xi)y=(y2-yi)xHx2-x-i)yi, (y2-yi)(x-xi)-{x2-xi)(y-yi) = 0.
Speciális helyzetű j e n e s e k egyenlete
Az n(/4; B) normálvektorú és a Po(0; 0) origóra illeszkedő egyenes egyenlete: vir+5y = 0. (Az egyenletben a konstans tag 0.)
Az X tengellyel párhuzamos és a/*o(«oíyo) pontra illeszkedő egyenes egyenes egyik normálvektora: n(0; 1), egyenlete: y=;yo (191. ábra).
Az y tengellyel párhuzamos és a P\{xy\y^ pontra illeszkedő egyenes egyenes egyik normálvektora: n(l; 0), ezek egyenlete: jc-jcj. 191. ábra
Az egyenes és az elsőfokú kétismeretlenes egyenlet
Bármilyen helyzetű az egyenes, bármilyen adatokkal határoztuk meg, az egyenes egyenlete elsőfokú kétismeretlenes egyenlet. Rendezéssel az
Ax+By+C = 0
184
KOORDINÁTA-GEOMETRIAI is m e r e t ^
alakra hozhatjuk. Ebben az alakban A , B sa. egyenes normálvektorának két koordinátája: n{A, B). A z A , B , C együtthatók között 0 is lehet. (Az ( A ^ ) számpár (0;0) nem lehet.)
Megmutatjuk, hogy bármilyen elsőfokú kétismeretlenes egyenletet adunk meg, az egy egyenesnek az egyenlete.
HaABCi^O, akkor az.í4a:+^+C=0 egyenlet általános helyzetű egyenes egyenlete (az egyenes nem illeszkedik az origóra, egyik tengellyel sem párhuzamos).
Ha ^ = 0 és 5C#0, akkor By+C = 0, =konstans az x tengellyel párhuzamos egyenes egyenlete.
H a 5 = 0 és.f4C/0, akkor At+C=0, x=konstans azy tengellyel párhuzamos egyenes egj'enlete.
Ha C = 0 és akkor az origóra illeszkedő egyenesegyenlete.
H a ^ = 0, C=Oés 5 /0 , akkor í^=0,>>=0 az;c tengely egyenlete.Ha 5= 0 , C=0 é s ^ / 0, akkorXr=0,A:=0 az_y tengely egyenlete.
Két egyenes metszéspontja, két vonal közös pontjai
Két egyenes metszéspontjának koordinátái mindkét egyenes egyenletét kielégítik. így a metszéspont koordinátái a két egyenletből álló elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása. A metszéspont koordinátáinak meghatározása az egyenletrendszer megoldását kívánja.
Ez a gondolatmenet azt is megadja, hogy két vonal (egyenes és kör; két kör; parabola és egyenes; ...) közös pontjainak a koordinátáit a két vonal egj'enletéböl álló egyenletrendszer megoldásával kapjuk meg.
Kör egyenlete, a kör és a másodfokú kétismeretlenes egyenlet
Adott a C(u; v) középpontú és r sugarú kör (192, ábra). A közép- ponttól a körvonal bármely -P(,x;^) pontja r távolságban van. Ezért CP== i(x-u)^+(y-vf=r. Ez rendezett alakban:
(x-u)'^+(y~v)'^ = r . (1)
185
KOORDINA TA-GEOMETRLAI ISMERETEK
J iEzt az egyenletet az («; v) kö
zéppontú r sugarú körvonal minden pontjának a koordinátái kielégítik és más pont koordinátái nem elégítik ki. Ez az egyenlet a kör egyenlete.
Az (1) alak mutatja, hogy bármely kör egyenlete másodfokú kétis- meretlenes egyenlet. Kérdéses azonban, hogy bármely másodfokú két- ismeretlenes egyenlet körnek az egyenlete-e.
A másodfokú kétismeretlenes egyenletek általános alakja:
Ax^+By~+Cxy+Dx+Ey+F=0. (2)
A kör egyenletének (1) alakjából látjuk, hogy abban nem szerepelhet j^- os tag és azt is látjuk, hogy P , együtthatója eg>'enlö. Ezért, hogy a (2) kör egyenlete legyen, az egj'ütthatóira szükséges a C = 0 és az A =B feltétel. A (2) alakú egyenlet helyett csak az
Ax^+Ay^+Bx+Cy+D = 0 (A^O) (3)
alakú másodfokú kétismeretlenes egyenletek állíthatnak elő kört. Azt még külön kell vizsgálnunk, hogy ezek valóban elÖállítanak-e kört. Hogyan juthatunk el a (3) alakú egyenletből az (1) alakú egyenlethez? A (3) egyenletet elosztjuk yl-val majd teljes négyzetté kiegészítésselpróbálkozunk:
B C Dx‘ +y + — x+— y + ~ = 0,A
^ 1 2 cx + ----2A
+
A
DH----A
2
cJ C - I- ------------
2 ^ .
+
,
44- 442
B^+C--4AD44^ (4)
Ez az egyenlet akkor és csak akkor állít elő kört, ha a jobb oldalán (az A nek m e^elelö helyen) pozitív szám áll, azaz B^+C^>4AD.
Összefoglalva: Egy másodfokú kétismeretlenes egyenletnek három feltételt kell teljesítenie, hogy az kör egyenlete legyen:
1. A z egyenlet ne tartalmazzon xy~os tagot.
m
KOORDlNATA-GEOMETRIAl ISMERETEK
2. A z egyenletben az j^-es és az y^-es tag együtthatója (0-tól különböző) azonos szám legyen,
3. Teljes négyzetté kiegészítéssel az (x-u'f-+(y-v)~~r^ alakra átalakítva^ a jobb oldalon pozitív szám álljon.
A z előzőekben a (3) alakú egyenletet átalakítottuk (4) alakúra. Ez lehetővé teszi, hogy a kör középpontjának (w; v) koordinátáit és r sugarát
H Cfelírjuk a (3) alakú egyenlet eg)'ütthatői segítségével; u = “ - 7 7 , v - ~ 24
.Ezt az eredményt azonban felesleges megjegyeznünk. Az
átalakítás gondolatm enete a fontos, annak módszerét kell ismernünk.
Két kör metszéspontja, kört érintő egyenes
Az eddig áttekintett koordináta-geometriai ismeretek sokféle módon alkalmazhatók. A következőkben két olyan példát mutatunk, amelyek megoldásának gondolatmenete újdonságot nem jelent, de tanulságait érdemes megjegyeznünk.
(x -4 )2 + (y -5 )2 = 10
+ (V+ 1)2= 13
2 x - 3 y = 14
\ \0 ' ^ ' '
P i a ; -4)
194. ábra
(a— 1)2 + 1)2 = 25
193. ábra
1. Határozzuk meg az (jc-l)"+(v+l)^=25 és az (jt:-4)^+(y-5)^ = 10 egyenletű körök közös pontjainak koordinátáit (193. ábra).Már láttuk (185. oldal), hogy hasonló feladatoknál a két egyenletből álló egyenletrendszert kell megoldanunk:
(x-l)V(y+l)2 = 25
(.x-4)2+(y-5)2=10
rendezve xKy'^-2x.+2y= 23
x V - 8 i - l í ^ ’=-31
Ha a két egyenlet különbségét vesszük, akkor elsőfokú kétismeretlenes egyenlethez jutunk, ez 6x+12y = 54, egyszerűbben: x+2y = 9. Ez
187
KOORDINATA-GEOMETRIAI ISMERETEK
egyenes egyenlete. Ennek szemléletes értelmet adhatunk, ugyanis a két kör metszéspontjainak koordinátái kielégítik mindkét másodfokú egyenletet és azokx+2>' = 9 következményét. így ez a két kör metszéspontjaira illeszkedő eg>'enes egyenlete. A két kör metszéspontja az
j^+/-2x+2y = 22> 1
x+2y = 9 Jegyenletrendszer megoldása: M i(l; 4), MjÍS; 2)
2. írjuk fel az (x+l)^+(y+l)^=13 egyenletű kör ?o(l; -4) pontjához tartozó érintőjének egyenletét (194. ábra).Mivel az érintési ponthoz tartozó sugár és az érintő egyenese egymásra merőleges, megkeressük a sugár irányvektorát. Ez azonos az érintő normálvektorával.
A / ’oCl; "4) ponthoz tartozó sugár irányvektora: CPo(2; -3),A P o (l‘. "4) ponthoz tartozó érintő noimálvektora; CFo(2; -3).
Az érintő egyenlete: 2x-3y= 14.
A parabola csúcsponti egyenlete
Mi olyan paraboláknak az egyenletével foglalkozunk, amelyek tengelye párhuzamos a koordináta-rendszer egyik tengelyével.a) Elsőként olyan helyzetű parabolát tekintünk, amelynek tengelye azy
tengely, tengelypontja az origó és a parabola a koordináta-rendszer I. és II. negyedében van (195. ábra). Az ilyen parabolát már egyértel-
tnfíen meghatározza ap paramétere. Fókuszpontja: F(0; y ).
Egyenletének felírásához a definíciója a kiindulópont: d{P',F)~diP-,v),- t
Jl. . p 1X +1
A z egyenlet mindkét oldalán távolságok szerepelnek, ezek nem lehetnek negatív számok, így mindkét oldal négyzetre emelésével ekvivalens átalakítást végzünk:
2 2 x^-*y^-py+— =y'^+py* ~ .
Rendezve7py=x- a vagy y=
1
188
KOORDINÁTA-GEOMETRIAl ISMERETEK
Ezt az origó tengelypontú F(0; y ) fókuszpontú/?amí>oto tengelyponti
vagy csúcsponti egyenletének nevezzük.
b) A z előző parabolát tükrözzük az a: tengelyre (196. ábra). E transzfor
máció miatt ennek egyenlete:y = - ^ ^ x^.2p
1c) Az elsőként tárgyalty = —— x egyenletű parabolát tükrözzük az y=x2p
egyenesre, ekkor a parabola tengelye az x tengely lesz (197. ábra). Ennél a tükrözésnél a két tengely és azx ,y koordináta felcserélődik.
Az ilyen helyzetű parabola egyenlete; x= — rendezve: =2p
d) Az előző parabolát tükrözzük azy tengelyre (198. ábra). A transzformáció miatt ennek a parabolának az egyenlete: =
19& ábra
A z előzőekben tárgyalt parabolákat eltoljuk a koordinátasíkon egy (u; v) vektorral. Ekkor, az új helyzetben, a tengelypontjuk a T{u; v) pont
m
KOORDINATA-GEOMETRIAI ISMERETEK KOORDINÁTA-GEOMETRIAI ISMERETEK
lesz. Ha ezeket az új helyzetű parabolákat -v) vektorral toljuk el, akkor visszajutunk az eredeti helyzetű parabolákhoz. Ennél a „visszatolásnál” minden Pix\y) pontból P’{x-w,y-v) lesz. Ennek a P ’ pontnak a koordinátáiban szereplő x ,y zz eltolt új helyzetű parabolák koordinátái. A P ' pontok kielégítik az eredeti helyzetű parabolák egyenletét. Ezért felírhatjuk az egyenletüket.
d)
199. ábra
A 199. ábra a) - d) részén láthatók az eredeti helyzetből (u; v) vektorral eltolt parabolák. Ezek egyenletei, rendre:
a) y-v =2p
(x-uf . b) y-v = ~ ix -u f .
d) (y-v f=-2p{x-uf.
A parabola és a másodfokú függvény
A másodfokú függvények tárgyalásánál a grafikus képük ;v=ax^+&jc+c egyenletű vonalára azt mondottuk, hogy azok azy tengellyel párhuzamos tengelyű parabolák. Ez igaz, de az is szükséges, hogy megvizsgáljuk azt, vajon a grafikus kép pontjai eleget tesznek-e a parabola definíciójának. Most ezt megtesszük.
Megvizsgáljuk, hogy minden >’=ajc^+öjc+c (űí^O) egyenletből elju
tunk-e az y tengellyel párhuzamos tengelyű parabolák y~v=zr~2p
y-v=- egyenletéhez.
A z y=ax^+bx+c egyenletben teljes négyzetté kiegészítést és további átalakításokat végzünk:
y=a(x^+— x)+c, a
y = a
y = a
b^-4acy+— -----------
4a
í ^ ' >• 1 b ]2a 41^ J
• b 2 b
+c,
x+-
x+-
2a
2a
4a+c=a x+-
2a
2 k2b -4ac 4a
Ebből az alakból már látjuk, hogy valóban eljutottunk azy tengellyel párhuzamos tengelyi parabolák egyenletéhez. Megállapíthatjuk a parabola jellemző adatait is:
k [2p P = 2\a\ ’
u = --2a
v = -b^-4ac
4a
Ezzel a gondolatmenettel vált megalapozottá az az állításunk, hogy a másodfokú függvények képe parabola.
Parabolát adott pontjában érintő egyenes egyenlete
A parabola érintőjét értelmeztük (137. oldal). Az érintő egyenletének fe lírást egy példán mutatjuk be.
íijuk fel az_y= ^ parabola Pq(4\ 2) pontjához tartozó érintő egyen
letét (200. ábra).Az érintő egy pontja adott:
Pq(4\2). Egyenletének felírásához > = szükségünk van egy további adatra. Legkönnyebbnek az iránytan- gensének meghatározása látszik.^rányvektorának, normálvektorának két koordinátája van.) Az iránytangens egyetlen adat és az y tengellyel párhuzamos egyeneseknek nincs iránytangensük, az iránytangenssel dolgozva nem juthatunk olyan egyeneshez, amelypárhuzamos ennek a parabolának 200. ábra
y = X - 2
m = 1
190 191
KOORDINATA-GEOMETRlAI ISMERETEK
a tengelyével. (Ilyen egyenes nem érintője a parabolának).íijuk fel aPg(4; 2) ponton áthaladó m iránytangensű egyenes egyenle
tét és tekintsük paraméternek m-et:
8y = mx-Am+2
Az egyenletrendszer megoldása adja a parabola és az m iránytangensű egyenesek közös pontjainak koordinátáit. Egyísmeretlenes paraméteres másodfokú egyenlethez jutunk:
x^ = na-^m+2,8
jc^-8mx+16(2m-l) = 0,
Most az érintő egyenes iránytangensét keressük, ezért a parabolának és az egyenesnek csak egy közös pontja lehet. Az m param,éternek olyan értékét kell keresnünk, amelynél az egyenletnek csak e ^ gyöke van. Azt az m értéket kell megkeresnünk, amelynél az egyenlet diszkriminánsa 0.
64m^~64(2m-l) = 0, m^-2m+l = 0,
m = l,
APq{4; 2) pontra illeszkedő érintő egyenes iránytangense: m = l, egyenlete >-=x-2.
A matematikai ismeretek mellett, azok biztos és gyors alkalmazásához megfelelő gyakorlat is kell. A fogalmak és tételek közötti kapcsolatok ismerete nélkülözhetetlen a matematikai problémák felismeréséhez, feladatok megoldásához, de a kellő gyakorlat biztosítása további elmélyült munkát kíván.
XIX. K O M B I N A T O R I K A
Lényeges felismerésekhez vezethetnek a lehetséges esetek, esem ények elem zései, a lehetséges sorrendre, lehetséges kiválasztásra adandó h ely ^ válaszok is. Tekintsük például a következő feladatokat;
Öt darab tárgyat 4 dobozba helyezünk. A többféle lehetőség vizsgálatából megfogalmazhatunk-e valamilyen általános érvényű igaz állítást?
Hányféle sorrendben válthat jegyet egy pénztámáJ 6 ember?Két különböző teremben, eltérő témáról, egyidejűleg folyik egy-egy
előadás. Hányféle módon választhat 6 ember, ha mindegyikőjük meg akaija hallgatni az előadások egyikét?
Ezek egyszerűeknek látszó kérdések, de vizsgálatuk általános érvényű igaz állítások felismeréséhez is vezethetnek.
A matematika kombinatorikának nevezett fejezete - többek között - az ilyen típusú feladatokkal is foglalkozik.
A matematikai problémák megoldásához mozgékony és alkotó gondolkodás kell, és természetesen megkönnyíti a megoldást a problémakörhöz kapcsolódó matematikai fogalmak, tételek ismerete. 4 kombinatorikai feladatok megoldásához főleg hajlékony gondolkodás, sokféle ötlet szükséges, a „formális” matematikai ismeretek („képletek”) gyakran m ellékessé váinak.
A kombinatorikai problémák köziú a középiskolában csak néhány nagyon egyszerűvel foglalkozunk.
A „skatulya-elv”
a) Négy doboz van előttünk, azokba 5 tárgyat szándékozunk elhelyezni. Próbálkozás nélkül Is felismerhetünk egy igaz állítást: Legalább egy dobozba legalább két tárgyat kell tennünk. (Ezt indirekt titon igMolha^uk. Ugyanis, ha erőkbe se tennénk legalább kettőt, akkor mindegyikbe legfeljebb csak egyet tehetnénk és ekkor legfeljebb négy tárgyat helyezhetünk el.)Ezt a magától értetődő igaz állítást ,,5to/«/)í<i-e/v'"'-nek nevezzük. Általános megfogalmazása:Ha n dobozba n+1 darab tárgyat teszünk, akkor legalább egy dobozba
legalább kettőt keli elhelyeznünk.b) Az előzőekhez hasonlóan, ha 4 dobozba 9 tárgyat helyezünk, akkor
legalább egy dobozba legalább hármat kell tennünk.A skatulya-elv általánosabb megfogalmazása:Ha n dobozba nk-vl darab tárgyat szándékozunk elhelyezni, akkor lega
lább egy dobozba k-^1 -et kell termünk.
192 193
KOMBINATORIKA
Megjegyzés:1. Nyilvánvaló, hogy ebből az utóbbi megfogalmazásból k = l esetén az
előzőt kapjuk.2. A skatulya-elv magától értetődő állítás, külön elnevezést mindössze
azért kapott, hog\' feladatok megoldása közben röviden tudjiink rá hivatkozni. (Például: „Igaz-e, hogy 25 ember között mindig van legalább 3, aki azonos hónapban született?” A válasz: skatulya-elv alapján igaz.” Most « = 12 hónap, ez a 12 „skatulya” és fc=2.)
A logikai szita
1. A kétjegyű természetes számok között hány darab olyan van, amely nem oszható sem 2-vel, sem 3-mal, sem 5-tel?a) A kétjegyű természetes számok 90 elemű halmazát tekintsük H
alaphalmaznak és Venn-diagrammal ábrázoljuk a 2-vel osztható, a3-mal oszható, az 5-tel osztható számokból álló részhalmazait, az A , B, C részhalmazokat (201. ábra). Feladatunk szerint a
halmaz elemeinek a számát kell meghatároznunk. Ez 24, azaz 24 kétjegyű szám nem oszható sem 2-vel, sem 3-mal, sem 5-tel.
H14 lö 22 26 2%
32 34 38 44 46 .■52 56 58 62 64 68 74 76 82 86 88 92
18 24 36 42 48 54 66 72 78 84 96
21 27 33 39 51 57 63 69 81 87 93 99
II 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 4953 59 61 67
201. ábra
A kívánt elem ek összeszámlálását köímvíivé tette a Venn-diagrammal történt szemléltetés. Ezt a módszert azonban nehezen alkahnazhatnánk, ha az alaphölmaznak négy (vagy több) tulajdonsággal nem rendelkező elem einek a számát kellene meghatároznunk. Ezért az előző példa segítségével más módot is keresünk a három tulajdonsággal nem rendelkező elemek számának a meghatározására.
ö) Az összeszámlálás lépései a következők; a) A z alaphalmaz
Meghatározzuk az A részhalmaz elemeinek a számát, ez 45 (mert a 90 szám közül minden második osztható 2-vel), ugj’anígy a B részhalmaz elemeinek száma 30, a C részhalmazé 18. Nyilvánvaló, hogy az egy tulajdonsággal rendelkező elemek nem lehetnek a
H\{A\JB\JC) halmaz elemei. Ezek elemeinek csökkentjüka //.alaphalmaz elemeinek számát; 90-(45-^30-1-18).
y ) A különbség azonban nem adja meg a keresett számot, mert az AC\B, BC\C, Cf\A részhalmazok elemeinek a számát kétszer vettük el. Ezek elemszámát, azaz a két tulajdonsával rendelkezők számát is meghatározzuk. A zA H B halmaz elemei a 2-vel és 3-mal, azaz 6-tal oszthatók, ezek száma 15. A B O C halmaz elemeinek a száma 6, a CDA halmazé 9. Ezek összegét hozzáadjuk az előbbi különbséghez: 90-(45+30-H 8)+(15+6+9).
őj A kapott számot még módosítanunk kell. Ugyanis amikor az alaphalmaz 90 eleraszámát csökkentettük 45 +30+18-cal, akkor az y in s n c halmaz elemeinek számát, azaz a három tulajdonsággal rendelkezők számát háromszorosan vettük el, a 15+6+9 hozzáadásával pedig háromszorosan adtuk hozzá. Ezért az előző kifejezést a z ^ n s n c halmaz elemeinek a számával, azaz 3-mal csökkente- nünk kell. így a három tulajdonsággal nem rendelkező számok darabszáma:
90-(45 +30+18) + (15 + 6 + 9 )-3 = 24.
Az előző feladatnak és megoldásának általánosabb megfogalmazása:N számú elem közül hány darab az olyan elem, amely nem rendelkezik az
a^ a-2, 03 tulajdonság egyikével sem?A keresett darabszámot jelöljük «-nel, az űj tulajdonsággal rendelkezők számát Af^(űi)-gyel, az űj tulajdonsággal rendelkezők számát A (ű2)-vel, ..., az és Ü2 tulajdonsággal rendelkezők számát A (<jia2)-vel, az ai és Ű3 tulajdonsággal rendelkezők számát A^(öiű3)-mal, ..., az és űj és 03 tulajdonsággal rendelkezők számát Nia^a-^a^ymdX. Ekkor
n = N - [M«i) +M «2) +M<33)J+ [A (öiíí2)+M «2ű3) +A^(«ia3)]-Nia^a^:^).Bizonyítható, hogy N számú elem közül azoknak a száma, amelyek az
a^, a-i, Ű3, Ű4 tulajdonságok egyikével sem rendelkeznek:
n=N -[W(űi)+iV(ö2)+M í23)+A^(fl4)] ++ [Niaiü^) +AXííi<23) +N{aiü^ + ' (02 4) +N{a-iaí)'\ -- +iV(űiŰ2Ű4) +N{aia. a ) +N{aja^ai)\ ++ iV(űjÖ2Ö3a4)
Hasonlóan történő összeszámlálási módot bizonyíthatunk több tulajdonság esetén is. (A páratlan számú tulajdonságoknak eleget tevő elemek számát negatív, a páros számú tulajdonságokénak eleget tevő elemek számát pozitív előjellel kell vennünk.)
Ezt a módszert, amellyel most megkerestük, hogy egy halmaz elemei közül a megadott tulajdonságokkal hány eleme nem rendelkezik, logikai szitának nevezzük.
________________________________ _____________ KOMBINATORIKA
194 195
KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA
Sorrendi kérdések (permutációk, a permutációk száma)
2. Hányféle sorrendben válthat jegyet egy pénztárnál 6 ember?A pénztár előtt álló 6 ember bármelyike elsőként válthat jegyet.
Ez 6 lehetőség. Bárki is az első, a második jegyváltó a többi 5 ember egyike. Ez 6 '5 lehetőség. A harmadik jegyváltó a kimaradt 4 ember bármelyike lehet, ez 6 ■ 5 • 4 lehetőség. A negyedik jegyváltó a 3 ember közül az egyik, ezzel a lehetőségek száma 6 -5 *4-3. Az ötödik jegyváltó a 2 ember egyike, a hatodik már csak egyetlen ember lehet. A 6 ember lehetséges sorrendjeinek száma 6 ■ 5 • 4 • 3 • 2 ■ 1.
Az előző szorzat áttekinthető, de felírása hosszú. A hasonló alakú szorzatokra ajánlatos bevezetnünk egy új elnevezést és egy rövid jelölést. Az első 6 pozitív egész szám szorzatát elnevezzük ,,6 /a/cíoriá/íj”- nak és így Jelöljük: 6!. (6! = l-2-3-4*5-6 = 720) - A pénztárnál a 6 ember 6! =720 különböző sorrendjének számát jelöljük: Ps-tal: Pf = 6\ = 120.
A faktoriális fogalmának definíciója;Az első n pozitív egész szám szorzatát „n faktoriális”-nak nevezzük és n!
jellel jelöljük: n!= 1 ■2-3...{n-l)n.
A definícióból következik: n!=(n-})!n. Megállapodunk abban, hogy 1! = J. Azt szeretnénk, hogy az (« -l)!n= n! egyenlőség igaz legyen n = l esetén is, ezért abban is megállapodunk, hogy 01-1.3. Hányféle sorrendben válthat jegj'et eg>' pénztárnál négy nő és két
férfi, ha a nők egymás közötti és a férfiak egymás közötti sorrendjét nem különböztetjük meg?
A pénztár előtt álló 4 nő, 2 férfi jegyváltásánál, ha csak a nők és férfiak lehetséges sorrendjeit nézzük, akkor azok száma kevesebb lesz, mint a 6 ember 6! -féle sorrendje, U ^an is a nők helyén a 4 nő egymás között 4! sorrendben állhat és a férfiak helyén a 2 férfi 2! sorrendben. Ezért, ha a nők egymás közötti és a férfiak e^-más közötti lehetséges sorrendjeit nem tekintjük, akkor minden különböző helyzet 4! -2!-szo- rosan szerepel a 6! esetben. Az egymástól különböző lehetséges
sorrendek száma: — ^ = 15.4!-2!
Az előző két feladatnál valahány elem ( ember, tárgy, ....) elrendezésének, sorrendjének lehetőségeit vizsgáltuk. A sorrend megváltoztatását latin eredetű szóval permutálásnak nevezzük, egy-egy sorbaállítást pedig egy-eg>'permutációnak. Ha az elemek száma « = 6, és ezeket^, B , F-fel jelöljük, akkor ezek cg}' permutációja ABCDEF, egy másik permutációja ABEFCD, .... A 6 elem egy-egy permutációja egy-egy „rendezett elem-hatos”.
A 2. feladatnál a 6 embert egy 6 elemű halmaznak tekinthetjük és a permutációk számát keressük. A feladat lényege:
Egy n elemű halmaz permutációit, vagyty az n különböző elemmel felírható „rendezett n-eseket” képezzük és megállapítjuk ezek számát.
A 2. feladatnál n=6, A látott gondolatmenetet n elemű halmaznál is alkalmazhatjuk, ezért az a sejtésünk, hogy az n elemű halmaz permutációinak a száma7^„=n!.Állításunkat teljes indukcióval bizonyítjuk.
a) n = l esetén az állítás igaz. (Egyetlen elemet csak 1! = 1 módon állíthatunk sorba.)
jSj Feltételezzük, hogy n elem permutációinak száma: ni.y ) Megvizsgáljuk, vajon következik-e a feltételezésből az, hogy /i + l
elem permutációinak a száma (« + l)!. Ez valóban következik, ugyanis a sorrendbe állításnál az első elemet /2 + 1 féle módon választhatjuk, utána n elemünk marad és azok permutációinak a száma (a feltételezés szerint) n!. Ezért az összes lehetőség; («-(-l) ■«! = («-hl)!, — Ezzel sejtésünket igazoltuk, n különböző elem permutációinak a száma: P„ =n!
A 3. feladat a nők és a férfiak sorrendjének az összeszámlálását kívánta 4 nő és 2 férfi esetén. Ekkor nem beszélhetünk halmazról. (Halmaznak ugyanis nincsenek azonos elemei.)
A 4 nő és 2 férfi egy sorrendje például NNNNFF. Mivel most ismétlődő elemek is vannak, ezek lehetséges sorrendjeit ismétléses permutációnak nevezzük. Ezek számát is P-vel jelöljük, de kettős indexszel látjuk el. Az alsó index az összes elemek számát mutatja, a felső index külön-külön felsorolja azt, hogy az egyformákból hány darab van. 4 nő és 2 férfi esetén — a nők és férfiak sorrendjét tekintve - az ismétléses permutációk
száma; = A z a gondolatmenet, amellyel ehhez
eljutottunk, általánosítható.Ha n darab tárgyunk van és közöttük darab egyforma, n i darab
más, de szintén egyforma, ..., újabb darab ismét egyforma {n^+n2 - akkor az n tárgy ismétléses permutációinak száma:
nni
Megjegyzés; Példaként feKrJuk a) a z a , b , c , d 4 elemű halmaz elem einek a permutációit, b) 2 fehér és 3 sárga golyó ism étléses permutációit. A felírásuknál következetesen szem előtt kell tartanunk valamüyen rendszerességet. A következőkben azt a rendet követjük, hogy az első, m ásodik,... e lemet mindaddig a helyén tartjuk, ameddig lehet, a cseréket a sorrend végén kezdjük, onnan szüktóg szerint haladunk előre. (Ez a lexikon címszavainak rendezési elve.)
m 197
KOMBINATORIKA
a) abcd abdc acbd acdb adbc adcb
b) ffsss fsfss fssfs fsssf
bacd badc bead bed a bdac bdca
sffsssfsfssfssf
cabd cadb cbad cbda cd ab cdba
ssffsssfsf
dabcdacbdbacdbcadeabdeba
sssff
Kiválasztási és sorrendi kérdések (variációk, a variációk száma)
4. Úszóversenyen 8 versenyző indul és az első három helyezettet arany-, ezüst- illetve bronzéremmel díjazzák. Ha mindenki egyformán esélyes, akkor hányféle módon lehetséges az első három díj elérése?
Az első helyezett a 8 versenyző bármelyike lehet, ez 8 lehetőség. A második helyezett a többi 7 versenyző egyike lesz, ezzel az első két helyre 8-7 lehetőség van. A harmadik helyre a kimaradt 6 ember bármelyike kerülhet, így az összes lehetőségek száma 8 - 7-6=336.Ezt a kiválasztási és sorbaállítási eljárást variálásnak nevezzük. Az
előbbi példában 8 elem harmadosztályú variációinak a számát határoztuk meg. Ezt K-vel és kettős indexszel jelöljük, az alsó az összes elem számát jelöli, a felső index a kiválasztott és sorbaállítandó elemek számát. Ennél a feladatnál =8 ■ 7 • 6=336. - Általában:
Ha egy n elemű halmaz elemeiből lígv' képezünk k hosszúságú elemsorozatokat, hogy azok sorrendje is fontos és minden elemet csak egyszer választunk, akkor ezt variálásnak mondjuk. Az így kapott elemsorozatokat variációknak nevezzük Ezek száma:
| / * = « ( / z - l ) ( í í - 2 ) , . . ( « - ^ + l) , (tón).Ezt az elfízü feladat megoldásának gond óla (menete alapján láthatjuk be. (Ott « = 8 , volt.) Az első helyre az « elem bármelyikét helyezhetjük, a lehetőségek száma n, a másodikra a maradék « - l elem bármelyike kerülhet, ezért az első két helynél a lehetőségek száma « (« -1 ) , hasonlóan az e lső három helynél n{n - l)(/j -2). Amikor a /c-adik, azaz az utolsó helyre aka- r;unk egy elem et kiválasztani, azt az n darabnál már k - 1-gyel kevesebbi51, azaz R -( /c -l)= R -^ + l elem ből választhatjuk. Ezért az összes lehetőség számát a A: tényezőből á lló /i(/z- l)(/i-2 ).„ (« -fc+ l) szorzat adja.
5. Az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 számjegyekkel hány darab háromjegyű számot írhatunk fel?
Ez a feladat hasonló az előzőhöz, azonban most nincs kizárva az, hogy egy-egy elemet többször is felhasználjunk. (Az előző feladat értelme ezt kizárta.)
m
KOMBINATORIKA
A háromjegyű szám első jeg>'e a 8 számjegy bármelyike lehet, a második jegye is, a harmadik jegye is. Ezért a 8 számjegy segítségével Összesen 8 •8-8 = 8^=512 darab háromjegyű számot írhatunk fel. (Közülük néhány: 111, 112, 121, 122,..., 887, 888.)Ebben a feladatban 8 elemből 3-mat úgy választottunk ki, hogy azok
sorrendje is fontos volt és a számjegyek többször is szerepelhettek. Az ilyen kiválasztásokat és rendezéseket ismétléses variációknak nevezzük. 8 elem 3-mad osztályú ismétléses variációinak a száma = gjg_mek ismétlődését a felső indexben az (i) mutatja.) Általában:
Ha egy n elemű halmazból úgy képezünk k hosszúságú elemsorozatokat, hogy azok sorrendje is fontos és egy elem többször is szerepelhet, akkor az ifyen kiválasztásohit és rendezéseket ismétléses variációknak nevezzük. Ezek száma: , .
Ugyanis a k hely mindegyikére az n elem bármelyike kerülhet, ezért az« lehetőséggel A: -szór kell számolnunk; n-n-n - ... -n =
Megjegyzés: Példaként felírjuk az a, b, c, d elem ek a) másodosztályú variációit, jSy másodosztályú ismétléses variációit.Számuk: K /= 4 - 3 = 12, j3j = 16.
ab ba ca da A) aa ba ca daac be eb db ab bb eb dbad bd cd de ac be cc de
ad bd cd dd
Kiválasztási kérdések (kombinációk, a kombinációk száma)
6. Hánj^éle módon lehetséges 8 tanuló közül - sorrendet nem tekintve - hármat kiválasztani? (Hányféle módon adhatunk 3 tanulónak egy- egy azonos ajándékot?)
A hasonló kérdések nagyon gyakoriak, ezért már régen kialakultak önálló elnevezések és jelölések. A kiválasztásokat kombinációknak (a latin combinatio szóból), az eljárást kombinálásnak nevezzük.
8 elemből 3 elem kiválasztási lehetőségeinek a számát a ír á sm ó d
dal jelöljük, így olvassuk: „S 3 ”. Másik jelölésmód; Cg, olvasása: „8 elem 3-ad osztályú kombinációinak száma”.
í 81A alakú számokat „binomiális együtthatóknak” nevezzük. Ezt
az elnevezést az a tétel indokolja, amelyet a következő fejezetben tárgyalunk.
199
KOMBINATORIKA
Tudjuk, ha 8 elemből 3-mat úgy választunk ki, hogy azok sorrendje is fontos, akkor a lehetőségek száma: 8 ■ 7 • 6. A kiválasztott 3 elemnek 3!-féle sorrendje lehetséges. Ezért a 8 -7 -6 szorzatban minden egyes kiválasztás 3!-szorosan szerepel. Ha a sorrendtől eltekintünk,
8 7 6akkor 8 elemből 3 elem lehetséges kiválasztásának száma:
Ezért3!
8-7-63!
= 56.
8 tanuló közül hármat 56-féle módon választhatunk ki, ha a kiválasztás sorrendjére nem vagyunk tekintettel.Az előző gondolatmenetet alkalmazhatjuk n különböző elem fc-ad
osztályú kombinációinak a számára is.
Az utóbbi törtet érdemes (rt-A:)!-sal bővítenünk:
t n (n -l)...(« -fc+ l) ( n - k ) ( n - k - l ) . . 3 - 2 1ki (n~k)\ k \(n-k)\
A z n elemű halmaz k elemű részhalmazait az n elem k-ad osztályú kom- binácóinak nevezzük. Ezek száma tehát:
[ n i _ n(w-l)...(n-A :+l) _ «!k fc! k \ (n -k ) \ '
Nevezetes összefüggések a binomiális együtthatók között:
a) Az értelmezéséből azonnal következik az
n n
e^enlöség. Ugyanis n elemből pontosan annyiféleképpen választhatunk ki fc elemet, ahányféleképpen választhatjuk a kimaradó n-k elemet.
0 '0b) Külön megjegyezzük, hogy = 1. Ez következik az
n\k\{n-k)\
egyenlőségből is és az előző kapcsolatból is. Ugyanis
n' n n0 n - 0 n
200
KOMBINATORIKA
c) A binomiális együtthatók között fennáll az' n -t- n _ n-l-1 '. f c , k+1^
összefüggés. Ezt bizonyíthatjuk egyrészt kombinatorikus gondolattal, másrészt a kiválasztások számának felírásával és algebrai átalakítással, (Ez utóbbi formális számolás.)
rt+1A kombinatorikai gondolat:íc+1
jelenti« -i-1 elemből k+ l elem
elem (például) n darab kisbe-kiválasztásainak számát. Legyen azn + tű és egyetlen nagybetű. Ezek közül válasszunk ki k+l darabot úgy, hogy oc) kiválasztjuk az egyetlen nagybetűt és a többi n elemből k darabot, nem választjuk ki a nagybetűt és az n darab kisbetűből Jlc+1
darabot választunk. Az összes kombináció száma az oc) alatti ” n összege.alatti
és a
Megiegyzés! Példaként felírjuk az a, b, c, d, e elem ek közül a) 2 elem nek 3 elemnek a. lehetséges kiválasztásaitEzek száma:
űc) ab ac ad ae
bebdbe
cdce
5
2
de
= 10.
/Jj abc acd bed cde abd ace bee abe ade bde
Együttes számuk:5 5 6
+ =
2 3 3= 20.
7. Hányféle módon lehetséges 8 tanuló között 3 egyforma ajándék szétosztása, ha egy tanuló több ajándékot is kaphat?
Ez a kérdés lényegesen eltér az előzőtől, hiszen egy kiválasztott tanuló 2-3 ajándékot is kaphat. Az ilyen kiválasztásokat ismétléses kombinációknak nevezzük. Most ezek -vei jelölt számát elég könnyen meghatározhatjuk:
oc) Lehet, hogy 3 tanuló 1-1 ajándékot kap, ez lehetőség. ^) Le
het, hogy 2 tanulót kell kiválasztanunk és az egyik 2, a másik 1 aján
dékot kap a kiválasztások száma de ezt 2-vel szoroznunk kell.
mert kettőjük közül bármelyikük lehet az, aki 2 ajándékot kap. y ) Lehet, hogy egy tanuló kapja a 3 ajándékot. Ez összesen;
= 120 lehetőség.' 8 ' '8 ' •2+ ’8 '+3 2 1
201
KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA
A z ismétléses kombinációk általános feladata; n elemből úgy keli kiválasztanunk k darabot, hogy többszörös kiválasztás is lehetséges. A z ismétléses kombinációk számát az eddigiektől eltérő ötlettel határoz hatjuk meg. Bizonyítható, hogy ez
" kA bizonyítás gondolatmenetét az előző feladat más módszerrel
történő megoldásával mutatjuk meg:Képezzünk egy jelsorozatot, amelyben szerepel a 8 név, mindegyi
ket /?-nel jelöljük és szerepel a 3 ajándék, ezeket ű-val jelöljük. A tanuló neve után {n után), ha kapott ajándékot, akkor a-t ímnk, ha nem kapott, akkor a következő nevet (egy újabb n-ei) írjuk, (így, ha például az első tanuló 2 ajándékot kapott és a negyedik 1-et, akkor a jelsorozat: naannnannnn.) Minden jelsorozat n-nel kezdődik és mindegyikben 8 darab n és 3 darab a van. Ez összesen 8+3 jel. Mivel mindig n az első jel, az azt követő 8+ 3-1 jel között kell megkeresnünk azt a 3 helyet, ahol a 3 darab a állhat. A 8+3-1 jelből kell kiválaszta-
1 0 'nunk 3 darabot. Ez
8+3-1 3
= 120 lehetőség.
Az előzőekben „klasszikusnak” nevezhető háromféle feladatot láttunk. Nem szabad azonban arra gondolnunk, hogy a kombinatorika csak az eddigiekhez hasonló sorrendi, kiválasztási problémákkal foglalkozik. Néhány további feladattal igj'ekszünk megvilágítani a kombinatorikai problémák sokféleségét.
Binomiális tételKéttagú kifejezések hatványának rendezeti polinom alakban történő
felírásánál felhasználhatjuk a kombinációk számának kiszámítási módját, írjuk fel rendezett polinom alakban az {a+bY hatványt. A definíció
(ű+í))'‘ = (a+Zj)(ü!+ö)(íí+í))(a+í?).Minden tényezőből minden lehetséges módon kell egv-egy tagot összeszoroznunk. A rendezett polinom alakban milyen tagokhoz jutunk?ce) A 4 tényező közül mindből az a tagot választjuk (b-t egyikből sem),
ekkor a szorzat Egyetlen ilyen tagot kaphatunk.li) A 4- tényező közül 3-ból választjuk az a tagot és 1-ből a b tagot. Szorza
tuk a^b. Mivel a 4 tényező közül egyetlenből választottuk a b~t, ilyen41 lehetséges, ezért az így kapott tagok összege:választás1
411
a^b.
A 4 tényező közül 2-ből választjuk a-t és 2-ből b-t, szorzatuk c^b^.
Ilyen tag módon nyerhető, összegük: 21,2a^b
öj A 4 tényező közül 1-ből választjuk o-t és 3-ból b-t, szorzatuk ab^. Ilven' ' ' f 4 '
módon nyerhető. Összegük;tag ab\
ej A 4 tényező közül egyikből sem választjuk a-t és 4-ből b-t, szorzatuk
Egyetlen ilyen tagot kapunk, ezt írhatjuk
Tudjuk
rendezett polinom:'4
0
= 1, ezért az aj esetben helyett
b" alakban is.
is írhatunk. A
{a+br = '4a%+ '4 '
a V + [4^ abH 41 .2 ^ .3J 4
b \
Az {a+bf hatvány rendezett polinom alakja « = 1 ,2,3 esetén közismert, azok is felírhatok a kombinációk segítségével:
{a+bY =
i a + b f =
{ a ^ b f =
íj +
'2 ' ' 2ab +
' 20 1 2
'3 'a^+ 3 a^b+ 3'
0 1 .2 .
2
ab~+ b^
Teljes indukciót alkalmazva bebizonyítható, ha a kitevő bármely n természetes szám, akkor az {a+b)’' rendezett polinom alakja;
ia+bT = n " n n « - 2ö^+...+ n n0 1 2 rt- 1 n
ff .
Ezt a tételt binomiális tételnek nevezzük. (Az elnevezés magyarázata: a
kéttagú kifejezés latin neve binom. Az ^ alakú számok innen kapták a
binomiális együttható elnevezést.)A binomiális tétel ho.sszadalmas felírását rövidíthetjük, Ugj'anis
így minden tagban írhatunk a, b tényezőt. A kitevők összege valamennyi tagban n. A binomiális eg\'üttható felső száma mind az n + 1 tagban n, az alsó szám 0-tó( «-ig megy. Az összegzést a görög D (szigma) betűvel jelöljük és „futó index”-szel látjuk el, ez 0-tól rt-ig megy. Segítségükkel a két kitevő is felírható;
( f l+ Ö ) ' ' =
Ez a binomiális tétel röviden felírt alakja.
202 203
KOMBINATORIKA
8. Rendezett polinom alakban írjuk fel az (a-2)^ hatványt.
KOMBINATORIKA
( ű - 2)^= (P -r 0.^-2+ a^-2^- 0^.2^+
7 ‘1 2 3, 4_
ű3.2"-
7 'ű^.25+ 1'
5. 6a>2^-2’=
=ű'^-7a^-2+21a^-4-35ű^-8+35ű^-16~21fl^-32+7a.64-128 = =ű'^-14ű^+8435-280a'^+560ű3-672a^+448ű-128.
Pascal-háromszög
írjuk fel az {o+ft)'* hatvány rendezett polinom alakjából « = 1, 2,3 ,... kitevő esetén az egyes tagok együtthatóit. Szabályosságot vehetünk észre. Ez különösen feltűnő lesz, ha az együtthatókat háromszög alakú elrendezésben írjuk és kiegészítjük {a+h)'^= 1-gyel.
11 1
1 2 1 1 3 3 1
1 4 6 4 11 5 10 10 5 1
1 ................................................ 1
Az együtthatóknak ezt az elrendezését Pascal-féle háromszögnek ne
vezzük. Ebben minden sor első és utolsó száma 1 (mert = =1).[OJ [fij
A további számokat „gépiesen” is megkaphatjuk. Egy sor két szomszédos számát összeadjuk és ezt az összeget a következő sorba újuk, a két szám közötti üres rész alatti helyre. Ez a „szabály” a binomiális együtthatóknak abból a kapcsolatából következik, amelyet a 201. oldal c) megjegyzésében tárgyaltunk.
Egy halmaz részhalmazainak száma
9. Határozzuk meg az n elemű halmaz részhalmazainak számát. Az összeszámlálásra két lehetőséget is mutatunk.a) Ha az n elemű halmaz összes részhalmazának a számát keressük,
akkor számításba kell vennünk az üres halmazt, az 1 elemű rész
halmazait, a 2 elemű ré sz h a lm a z a it,a A: elemű részhalmazait,...,
az n elemű részhalmazát. Ezek száma rendre; n n n0 i
1 j 2n n
) ► 1 n
Összegük adja a részhalmazok számát:n + n + n + ... + ' n ’’ + ... + n0 1 2 k n
Felismerhetjük, hogy az (1+1)" hatványból ezt kapjuk, ha a binomiális tétel szerint polinom alakban írjuk fel. Mivel (1+1)"=2", az n elemű halmaz részhalmazainak száma 2".
b) Gondoljunk egy halmazra és közben tekintsük annak egy részhalmazát. Például gondoljunk az {a, b, c, d, e , f \ hat elemű halmazra és annak például az {a, c,/} részhalmazára. Az elemeket írjuk le sorban és minden elem alatt Jelöljük, hogy az eleme-e a kiválasztott részhalmaznak vagy nem eleme. Ha eleme, akkor írjunk alá egy + jelet, ha nem eleme, akkor egy 0-t.
a b c d e f + 0 + 0 0 +
Minden részhalmazt két elemből (+, 0) képezett „rendezett-hatos- sal” jellemezhetünk. Ezért az eredeti kérdésünket más módon is megfogalmazhatjuk; Kétféle jelből hányféle módon tudunk 6-ot kiválasztani és sorrendbe rakni ügy, hogy azok minden lehetséges sorrendben szerepeljenek? Az 5. példában ezt a kérdést vizsgáltuk. (Elneveztük ismétléses variációnak.) A lehetséges esetek száma: 2 , azaz 6 elemű halmaz részhalmazainak száma 2®, az n elemű halmaz részhalmazainak száma 2”.
10. Határozzuk meg az {a, b, c, d} halmaz részhalmazainak a számát, írjuk fel a részhalmazokat,A részhalmazok száma: 2" = 16. A részhalmazok: 0 , {ű}, {/?}-, {c}, {d}, {a,b\ , {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}, {a,b,c}, {a,b,d}, {a, c, d}, {b, c, d}, {a, b, c, d}.
H . Hányféle módon választhat 6 ember, ha mindegyikük meg akarja hallgatni a két különböző teremben egyidejűleg folyó két előadás egyikét?A lehetőségek száma azonos a 6 elemű halmaz részhalmazainak számával: 2 = 64. (Az emberek eg)' része („egy részhalmaza”) az egyik terembe megy, a többiek a másikba.)
204 205
KOMBINATORIKA
Két példa, tanulságok
12. Egy pénztár előtt 6 ember áll. Mindegyikük egy-egy 500 Ft-os jegyet akar vásárolni. Közülük 3-nak 500 Ft-osa van, 3-nak 1000 Ft-osa. A pénztárban nyitáskor nem volt pénz. Hányféle sorrendben állhat sorba a 6 ember úgy, hogy senkinek se kelljen várnia a visszajáró pénzére?Természetes, hogy a jegy\'áltók közül elsőnek 500 Ft-ossal, az utolsónak 1000 Ft-ossal kell fizetnie.a) A második ember már
1000 Ft-ossal is fizethet, ekkor a harmadiknak újból 500 Ft-ossal kell fizetnie, majd a negyedik egyaránt fizethet 500 vagy 1000 Ft- ossal. Az ötödik ember már meghatározott. (A hatodik embernél a sorrend már nem kérdéses.) Ez két sorrendi lehetőség.
Megtörténhet, hogy az első ember után a második is 500 Ft-ossal fizet és a harmadik 1000 Ft-ossal. Ekkor a negyedik fizethet vagy 500, vagy 1000 Ft-ossal. ígyaz ötödik ember már meghatározott. Ez két újabb sorrendi lehetőség.
Lehetséges, hogy a második és a harmadik ember is 500 Ft-os- sal fizet és a többiek 1000 Ft-ossal. Ez egyetlen lehetőség.
így a kívánt módon történő fizetések sorrendjére, összesen ötféle sorrendi lehetőség van. A lehetséges sorrendeket a 202. ábra mutatja.
Áttekinthetőbb és rövidebb lesz a sorrendi lehetőségek össze- számlálása, ha jobb szemléltetési lehetőséget keresünk.
a) Q b)F H
D 1 -,'T '1 'G1m-----A-
203. ábra
1
206
KOMBIMATORIKA
b) Az 500 Ft-ossal történő fizetést jelentse a kiinduló ponttól jobbra induló egységnyi szakasz és az 1000 Ft-ossal történő fizetést egy felfelé induló egységnyi szakasz.
Elsőként 500 Ft-ossal kell fizetni, ezért egy P ponttól jobbra húzunk egy szakaszt (203/a ábra), majd ennek az A végpontjából haladhatunk felfelé is, jobbra is. A z új végpontokból (5-ből, C-ből) a továbbhaladást mérlegelnünk kell. Nyilvánvaló, hogy egyetlen esetben sem lehet, hogy addig a pénztáros több 1000 Ft-ost kapjon, mint ahány 500 Ft-ost már kapott, ezért a P ponttól jobbra haladó félegyenessel 45°-os szöget bezáró félegyenes fölé nem kerülhet szakasz, illetve végpont. így kialakul a 203/a ábra. A hat embernek megfelelő hat szakasszal a Q pontba jutunk. Kérdésünk az, hogy hányféle úton juthatunk el a P pontból a Q pontba jobbra és felfelé haladva.
Az összeszámlálás könnyű, ha meggondoljuk, hogy a z ^ pontba egyetlen úton lehet eljutni, a B pontba is, a C pontba is, de a Z) pontba mehetünk B-bŐl is, C-ből is, tehát a lehetőségek száma l-i-l = 2. Az £" pontba egyetlen út vezet, a G pontba azonban D-ből is, £-ből is eljuthatunk, ez 24-1=3 lehetőség. Egy-egy újabb pontnál megnézzük, hogy oda melyik két pontból vezet út és az odavezető lehetséges utak számát összeadjuk. A Q ponthoz vezető utak lehetséges száma 5. Ezt az összeszámlálási módot mutatja a 203/ö ábra.A feladat a hat ember lehetséges sorrendjének a számát kérdezte.
Az előzőekben azt tisztáztuk, hogy a hat ember 5-féle sorrendben fizethet 500, illetve 1000 Ft-ossal. Az 500 Ft-ossal fizető három ember lehetséges sorrendje 3!. Az 500 Ft-ossal fizetők minden egyes sorrendjéhez az 1000 Ft-ossal fizető három ember 3! lehetséges sorrendje közül bármelyik tartozhat.
Az embereket is tekintve összesen 5 ‘3! *3!, azaz 180 sorrend lehetséges.
A feladatok mutatják a kombinatorikai problémák sokféleségét. A megoldások körültekintő gondolkodást, változatos ötleteket kívánnak. Van olyan probléma, amelynek megoldását segíti a más módon való megfogalmazása. Egy-egy megfelelő rajz, vagy menetelő modell is hasznos lehet (például a 203. ábra, a 7. példa jelsorozata).
13. Történetileg is érdekes az úgynevezett „königsbergi hidak” kérdése. Königsberg városában a Pregel folyónak, szigeteinek, XVIÍl. századbeli’ hídjainak vázlatos rajza a 204/a ábra. Lehetséges-e, hogy valaki a város egyik pontjából elindulva a város 7 hídján pontosan egyszer végigmegy és visszatér a kiindulási pontjához?
207
KOMBINATORIKA
a) t>)
204. ábra
A probléma lényegét zavarja a város, a folyó, a hidak említése. Megtehetjük, hog>' a szárazföldi részeket (a partokat, szigeteket) egy- egy ponttal jelöljük és az ezeket összekötő vonalak a hidakat jelképezik. így a sokkal áttekinthetőbb 204/í? ábrához jutunk. Ennek alapján a „königsbergi hidak” kérdését más módon is megfogalmazhatjuk: Megrajzolhatjuk-e az ábrát úgj', hogy egy pontból kiindulva minden vonalon pontosan egyszer haladjunk végig és közben a papírról ne emeljük fel a ceruzánkat?
A rajz ellcészítésénél induljunk ki egy pontból. Onnan vonalat házunk egy ponthoz, majd újabb vonal, pont, újabb vonal, pont ... felváltva követik egymást. Végül vissza kellene jutnunk a kiindulási ponthoz, ezért minden pontban páros számú vonalnak kellene összefutnia. Az ábrán viszont azt látjuk, hogy a pontokban páratlan számú vonal fut össze. Emiatt a kívánt módon nem készíthetjük el az ábrát, azaz a „königsbergi hidakon” a kívánt módon való áthaladás lehetetlen.
A 204/Ö ábra áttekinthető és megkönnyítette a kérdés tisztázását. Az Ilyen ábrázolás hasznos. Az ilyen áhrát grájhak nevezzük.
Gráfok (fogalmak, elnevezések)
Gráfnak nevezzük pontoknak és éleknek eQf halmazát, ahol élekre pontok illeszkednek úgy, hogy minden élre legalább egy, legfeljebb két pont illeszkedik.
A 205. ábrán néhány gráfot látunk. A gráfok pontjait egyszerűen pontoknak vagy csúcsoknak nevezzük. A gráf pontjait nagy betűkkel vagy v , V2, V3, ...-mai, éleit e , €2, £3, ...-mai jelöljük. Ha eg>' élre két pont illeszkedik, akkor azt mondjuk, hogy az él két pontot köt össze.
b) c)
KOMBIN A TORI KA
Az a) alatti gráf P, Q pontját az e él köti össze.A b) alatti ábrán a v- , vj pontot három él köti össze. Ezeket párhuza
mos éleknek nevezzük.A c) alatti gráf éiére egyetlen pont illeszkedik. Ennek az élnek a
két végpontja azonos. Az ilyen élt hurokélnek nevezzük.A gráf egy pontjára illeszkedő élek számát a fokszámának, rövi
den ybtó/zííí: nevezzük. A hurokéit úgy tekintjük, hogy kétszeresen illeszkedik a pontjára.
A z a) alatti gráf P, Q pontjának fokszáma 1-1, a b) alatti gráfnál a v , csúcs foka 3-3, a c) alattinál a V2, csúcs fokszáma 3-3, a csúcsé 2,
a V4 csúcsé 4, av^ csúcsé 1.
Gráfoknál a pontok és az élek száma között összefüggés van. Ugyanis a fokszámok meghatározásánál az élek mindkét végpontját figyelembe vesszük. Ezért általánosan igaz állítás:
Bármely gráfban a fokszámok összege az élek számának kétszerese. Ennek az állításnak következménye: egy grájban a páratlan fokszámú csúcsok száma páros szám. (Ugyanis csak így lehet a fokszámok összege páros szám.)
14. Előfordulhat-e az, hogy 9 tagú társaságban mindenki pontosan három embert ismer? (Az ismeretségek kölcsönösek.)
Készíthetünk olyan gráfot, amelynek csúcsai embereket, élei ismeretségeket jelentenek. A példának megfelelő gráf 9 csúcsú lenne és minden csúcsnak 3 lenne a fokszáma, azaz páratlan fokúból 9 lenne. Ez ellentétes az előző állításunkkal. Ilyen gráf nincs.
Lehetetlen tehát, hogy 9 tagú társaságban mindenkinek pontosan 3 ismerőse legyen.Ha egy gráfban nincs sem párhuzamos él, sem hurokéi, akkor azt egy
szerű gráfnak nevezzük.Ha egy gráfnak minden pontját pontosan egy-egy él köti össze a gráf
Összes többi pontjával, akkor azt teljes gráfiiak nevezzük.
a) b)
20á ábra
209
KOMBINATORIKA
A 206. ábra mindkét gráQa 5 csúcspontú teljes gráf. Látszólag különbözők. Megfigyelhetjük azonban, hogy mindkettő pontosan ugyanazt fejezi ki. (Ha a gráf csúcsai kis gömbök, élei gumiszalagok lennének, akkor a h) alatti gráf „középső” gömbjét lefelé húzva megkapjuk az öj alatt látható rajzot.) Az ilyen gráfokra vezetjük be a következő elnevezést:
Két gráfot izomorfnak nevezünk, ha pontjaik és éleik kölcsönösen egyértelműen és illeszkedéstartóan megfeleltethetők egymásnak.
A 207. ábra a) alatti, h) alatti grá:^ai is izomorfak.a) b )
AA I7
207. ábra
Útnak nevezzük a gráf egymáshoz csatlakozó éleinek olyan sorát, amely egyetlen ponton sem megy át e ^ n é l többször (208. ábra).
Összefüggőnek nevezünk egy gráfot, ha bármely pontjából bármely pontjába vezet út. (A 209. ábra a) alatti grá^a összefüggő, b) alatti nem összefüggő.)
Vonalnak nevezzük a gráf csúcsainak és éleinek azt a sorát, amelyben az élek a megfelelő csúcsokat kötik össze és az élek nem ismétlődnek (210. ábra).
b )
V|
210. ábra
A 210/í) ábrán a V2 pontú ei, e-i, élű gráf egy vonala: v , e , vj, £2. Vj, £3, V2, egy másik vonala: V2, e , v-y, e-,, V2, ^3, v .
Külön nevet kapott az a vonal, amelynek kezdő és végpontja azonos és amelyben a gráf minden éle szerepel. Ezt Euler-vonalnak nevezzük. A „kö- nigsbergi hidak” kérdése tömören fogalmazva: Van-e a 204/i ábrán látható gráfnak Euler-vonala? Bizonyítás nélkül közlünk egy tételt: Egy ösz- szefuggő grájhak akkor és csak akkor van Euler-vonala, ha minden pontja páros fokszámú.
210
KOMBINATORIKA
Körnek nevezzük a gráf csúcsainak és éleinek egy olyan részhalmazát, amelyek a 211/a ábrán látható módon illeszkednek. A 21\/b ábrán a vastagon húzott élek egy-egy kört határoznak meg. Belátható, ha egy összefüggő gráf tartalmaz kört és elhagyjuk a kör egy élét, akkor is összefüggő gráfot kapunk.
2 1 1 . á b ra 212. ábra
Fának nevezzük azt az összefüggő gráfot, amely nem tartalmaz kört. (A 212. ábra két fát mutat.) Fákra vonatkozó néhány tétel:
Á f á k bármely két pontját egyetlen üt köti Össze.Ha egy fának bármely élét elhagyjuk, akkor a gráf már nem összeföggő.Ha egy fának bármely két olyan pontját összeköljiik, amely között eddig
nem volt él, akkor a gráf már tartalmaz kört.
Középiskolában csak a gráfokhoz kapcsolódó alapvető fogalmakkal és a legegyszerűbb tételekkel foglalkozunk. Ez a kevés ismeret alig utal a gráfelmélet jelentőségére. Csak közöljük, hogy elektromos hálózatok, autópályák, hírközlési rendszerek tanulmányozása, tervezése és sok más gazdasági, ipari probléma jól modellezhető gráfokkal.
A fogalmak, tételek ismerete nélkülözhetetlen a matematikai problémák felismeréséhez, feladatok megoldásához. Az ismeretek biztos és gyors alkalmazásához azonban megfelelő gyakorlat is kell. Ez további elmélyült munkát kíván.
211
TARTALOMJEGYZÉK
BEV EZETÉS..................................................................................................................................5Jelölések, olvasásuk.........................................................................................................ő
Fogalm ak - állítások(alapfogalmak, definíciók - axiómák, tételek).........................................................S
I. HALM AZOK, HALM AZM ŰVELETEK.................................................................... 13Fogalmak, halmazok m egadása.................................................................................13H alm azm űveletek........................................................................................................ ..Í5
U nióképzés....................................................................................................... ..Í5M etszetképzés....................................................................................................Í5Két halmaz különbsége................................................................................. ..J6
Komplementerhalmaz..................................................................... ..17
II. A M ATEM ATIKAI LOGIKA ALAPJAI.................................................................... 19Kijelentések, logikai értékük..................................................................................... 19Logikai m űveletek........................................................................................................ 20
N egácíó............................................................................................................... 21Konjunkció........................................................................................................ 22D iszjunkció....................................................................................................... 22Im plikáció......................................................................................................... 23Ekvivalencia..................................................................................................... 24
Logikai függvények...................................................................................................... 25
III. A SZÁ M O K R Ó L............................................................................................................... 26A számfogalom kialakulása....................................................................................... 26
Indirekt bizonyítási m ódszer........................................................................ 2 8A valós számok és a szám egyenes........................................................................... 29A valós számok abszolútértéke................................................................................ 30
Alapműveletek az egész számok körében.............................................. 30Alapműveletek egy racionális és egy irracionális szám m al............... 31Az összeadás és a szorzás tulajdonságai a valós számkörben........... 32
A számok írása, tízes és kettes alapú számrendszerek...................................... 33A számqk normálalakja.............................................................................................. 34
IV. SZÁM ELM ÉLETI ALAPISM ERETEK................................................................... 35A z osztó, a többszörös, a prímszám fogalm a....................................................... ..35A szám elm élet a lap tétele .......................................................................................... ..36A legnagyobb közös osztó meghatározása........................................................... ..37A legkisebb közös többszörös meghatározása.......................................................37
V. H ATVÁNY, GYÖK, LOGARFTM US......................................................................... 38A hatványfogalom, a hatványozás azonosságai................................................... 38
Pozitív egész kitevőjű hatványok értelm ezése....................................... 38A pozitív egész kitevőjű hatványok azonosságai................................... 38A hatványfogalom kiterjesztése.................................................................. 40
A 0 kitevőjű hatvány értelm ezése................................................ 40A negatív egész kitevőjű hatványok értelm ezése.................... 40Törtkitevőjű hatványok értelm ezése........................................... 40
A gyökfogalom, a gyök\’onás azonosságai............................................................. 41A négyzetgyök fogalm a................................................................................. 41
A z n-edik gyök fogalma.............................................................................................. 41A gyökvonás azonosságai........................................................................................... 42
Kiem elés a négyzetgyökjel a ló l..................................................... 43
212
Bevitel a négyzetgyökjel alá.......................................................... ...43Tört nevezőjének gyöktelenítése................................................ ...43
A logaritmus fogalma, azonosságai....................................................................... ...44A logaritmus fogalma................................................................................... ...44A logaritmusra vonatkozó azonosságok.................................... ................44Áttérés más aJapú logaritmusra............................................................... ...45
VI. BETŰS KIFEJEZÉSEK, NEVEZETES AZONOSSÁGO K............................ ...46Algebrai kifejezések................................................................................................... ...46N evezetes azonosságok...............................................................................................47
VII. F Ü G G V É N Y E K ............................................................................................................. ..49A függvényfogalom, elnevezések........................................................................... ..49Inverz függvények..........................................................................................................57A függvények jellem zése.......................................................................................... ..52N evezetesebb függvénytípusok................................................ ................................55
Elsőfokú függvények, lineáris függvények...............................................55Másodfokú függvények..................................................................................55A négyzetg>'ökfüggv'ény..................................................................................56Abszolútérték-függvény.............................................................................. ..S6Elsőfokú tö r tfü ^ é n y e k ............................................................................. ..57Exponenciális függvény..................................................................................57A logaritmusfüggvény.....................................................................................S8Trigonometrikus függvények.......................................................................58
Sinusfüggvény.................................................................................... ..58Cosinusfügg\'ény.................................................................................59Tangensfüggvény............................................................................. ..59Cotangensfüggvény......................................................................... ..60
Függv'énytranszformációk........................................................................................
VUI, EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK,M E G O L D Á SU K ..........................................................................................................«Az egyenletek, egyenlőtlenségek fogalma........................................................... ..< 2
A z azonosság fogalm a...............................................................................................Egyenletek m egoldása.................................................................................................^
Grafikus módszer..........................................................................................A z egyenlet alap halmazának vizsgálata................................................. ..67A z értékkészlet vizsgálata.......................................................................... ..<57
Szorzattá alakítás...........................................................................................R endezés..........................................................................................................
Kétism eretlenes elsőfokú egyenletrendszerek m egoldása...............................70Grafikus m ódszer.......................................................................................... ..71Behelyettesítő m ódszer..................................................................................71Egyenlő együtthatók m ódszere................................................................. ..72
Másodfokú egyismeretlenes egyenletek m egoldása........................................ ..72Szöveges egyenletek................................................................................................... ..^5Két szám számtani, mértani közepe........................................................................76
Két szám számtani közepe...........................................................................76Két pozitív szám mértani k özep e............................................................. ..76Számtani és mértani közép közötti összefüggés....................................77Egy pozitív számnak és reciprokának az összege..................................78
IX. SO R O Z A T O K ..................................................................................................................Teljes indukció.............................................................................................................Számtani sorozat.........................................................................................................Mértani sorozat...........................................................................................................
213
Kamatoskamat-száraítás............................................................................... 85A négyzetszámok sorozata........................................................................................ 85
X. G E O M E TR L^ ALAPISM ERETEK ........................................... .............................. 87Szögek, forgásszögek, szögek m érése.................................................................... 87Szögpárok....................................................................................................................... 89Térelem ek hajlásszöge............................................................................................... 90
Két kitérő egyenes.......................................................................................... 90Síkra m erőleges egyenes definíciója......................................................... 90
Síkra merőleges egyenes lé te le ..................................................... 90Egyenes és sík hajlásszöge............................................................................ 91Két sík hajlásszöge.......................................................................................... 91
Térelem ek távolsága................................................................................................... 92N evezetes ponthalmazok........................................................................................... 93Ponthalmazok megadása számegyeneseii, koordinátasíkon.......................... 96Ponthalmazok távolsága............................................................................................. 98
XI. GEOM ETRIAI SZERKESZTÉSEK......................................................................... 100Alapszerkesztések........................................................................................................100Szerkesztési feladatok végrehajtásáról..................................................................102Néhány nevezetes szerkesztés..................................................................................103
XII. GEOM ETRIAI TRANSZFORM ÁCIÓK............................................................... 107Távolságtartó (egybevágósági) transzformációk................................................ 107
Alakzatok egybevágósága.............................................................................109Alakzatok szimmetriája................................................................................111Párhuzamos szelők tétele és megfordítása.............................................112Szakasz adott arányú felosztása................................................................ 114
Hasonlósági transzformációk...................................................................................114Középpontos hasonlóság............................................................................. 114Hasonlósági transzformáció és tulajdonságai........................................115-Alakzatok hasonlósága.................................................................................116Hasonló síkidomok területének aránya.................................................. 117
XDI. VEKTOROK, VEKTORM ŰVELETEK.............................................................. 118Műveletek vektorokkal..............................................................................................119
Vektorok összegezése...................................................................................119Két vektor különbsége..................................................................................119Vektor szorzása számmal.............................................................................120Két vektor skaláris szorzata........................................................................ 121
Vektorok felbontása................................................................................................... 122Vektorok a koordinátasíkon..................................................................................... 123
XIV. SÍKIDOMOKRA VONATKOZÓ ISM ERETEK...............................................125Három szögek.................................................................................................................125
Alapvető ism eretek........................................................................................125A háromszög nevezetes vonalai és ponl^'ai.............................................126
Szögfelezők, beírható k ör.............................................................. 126Oldalfelezőmerőlegesek, köré ín kör.........................................127Magasságvonalak, m agasságpont................................................ 128Súlyvonalak, súlypont......................................................................128Középvonalak............................................................. ;..................... 129
Derékszögű háromszögekre vonatkozó ism eretek...............................129Thalész tétele ..................................................................................... 129Pitagorasz té te le ................................................................................130Arányossági tételek (magasságtétel, befogótétei)..................131
214
Sokszögek......................................................................................................................132Sokszögek átlói, szögei.................................................................................132Négy'SzÖgek, osztályozásuk......................................................................... 133Paralelogrammák.......................................................................................... 133A paralelogramma, a trapéz középvonala.............................................135
K ör................................................................................. ..................................................136A körérintő és tétele, a parabola érintője..............................................136Körben kerületi és középponti szögek................................................... 137A középponti szög, a körív hossza, a körcikk területe.......................138Középponti és kerületi szögek téte le .......................................................138Kerületi szögek tétele, látószogkörív.......................................................139Négyszögek és a kör.....................................................................................141A húrnégyszögek tétele és megfordítása................................................141A z érintőnégyszögek té te le ........................................................................141A körhöz húzott érintő- és szelőszakaszok tétele................................142
XV. SÍKIDOM OK TE R Ü L E T E ........................................................................................ 144A terület fogalm a........................................................................................................1 ^Sokszögek területének meghatározása................................................................ 144
Téglalap területe............................................................................................144Paralelograrrmiák területe.......................................................................... 146Háromszögek területe..................................................................................147Trapézok területe......................................................................................... 147Sokszögek területe........................................................................................ 147
A kör területe...............................................................................................................A kör részeinek területe............................................................................................149
Körcikk területe.............................................................................................149Körszelet területe......................................................................................... ISOKörgyűríi területe......................................................................................... 150
XVI. TESTEK TÉRFOGATA, FELSZÍN E.................................................................. 151Testek osztályozása.................................................................................................... 151
Hengerszerű testek.......................................................................................151Kúpszeríi testek..............................................................................................152A göm b............................................................................................................. 154
A térfogat fogalm a..................................................................................................... 154Testek térfogatának m eghatározása.....................................................................154
Téglatest térfogata........................................................................................ 154Háromoldalú egyenes hasáb térfogata................................................... 156Egyenes hasábok térfogata......................................................................... 156Az egyenes körhenger térfogata............................................................... 156Ferde hasáb térfogata..................................................................................157Tetraéder térfogata......................................................................................157Gúlák térfogata............................................................................................. 159Kúpok térfogata.............................................................................................159
Hengerszerű testek térfogata, felszíne..................................................................159Kúpszerű testek térfogata, felsz ín e.......................................................................1^^Csonkagúla, csonkakúp térfogata, felsz íne.........................................................161Gömb térfogata, felszíne.......................................................................................... 1^3
XVII. TRIGONOMETRIAI ISMERETEK....................................................................165A derékszögű háromszögek trigonometriája..................................................... 165N evezetes szögek szögfiiggvényei.......................................................................... 166Szögfüggvények általános értelm ezése................................................................ 166A szögfüggvények közötti kapcsolatok................................................................ 169
225
A z általános háromszög trigortometriája.............................................................. 170Összefüggés a háromszög két oldala és a szemközti két szöge közöttSinustétel........................................................................................................... 170Összefüggés a háromszög három oldala és egy szöge közöttC osinustétel..................................................................................................... 171Összefüggés a háromszög egy oldala, szemközti szöge és a köré írtkörének sugara között................................................................................... 172
További trigonometrikus összefüggések............................................................... 173Addíciós tételek (összegezési tételek)......................................................173Szög kétszeresének szögfüggvényei......................... !............................... 174
X V n i. KOO RDINÁTA-GEO M ETRIAI ISM ERETEK.............................................175Szakasz felezőpontja, m:n arányú osztópontja................................................... 175
Szakasz felezőpontja..................................................................................... 175Szakasz m:n arányú osztópontja................................................................ 176
Háromszög súlypon^a................................................................................................ 177Vektor hossza, két pont távolsága.......................................................................... 178A z egyenes helyzetét jellem ző adatok...................................................................179Egyenesek párhuzamosságának, merőlegességének fe lté te le .......................181Egyenes egyenlete, vonal egyenlete.......................................................................182A z egyenes egyenletének feKrása........................................................................... 182
Normálvektora adott.....................................................................................182Irányveklora ad ott......................................................................................... 183Iránytangense adott....................................................................................... 183Két pontja a d o tt .............................................................................................184Speciális helyzetű egyenesek egyenlete.................................................. 184
A z egyenes és az elsőfokú kétismeretlenes egyenlet........................................ 184Két egyenes metszéspontja, két vonal közös pontjai........................................ 185Kör egyenlete, a kör és a másodfokú kétismeretlenes egyenlet....................185Két kör metszéspontja, kört érintő egyenes.........................................................187A parabola csúcsponti egyenlete............................................................................ 188A parabola és a másodfokú függvény................................................................... 190Parabolát adott pontjában érintő egyenes egyenlete....................................... 191
XIX. KOM BINATO RIKA.................................................................................................... 193A „skatulya-elv” ...........................................................................................................193A logikai sz ita ............................................................................................................... 194Sorrendi kérdések (permutációk, a permutációk száma)...............................196Kiválasztási és sorrendi kérdések (variációk, a variációk szám a)................198Kiválasztási kérdések (kombinációk, a kombinációk szám a).......................199Binomiális tétel............................................................................................................. 2Ö2Pascal-háromszög...................... .................................................................................. 204Egy halmaz részhalmazainak szám a......................................................................204Két példa, tanulságok................................................................................................. 206Gráfok (fogalmak, elnevezések)............................................................................. 208
Kiadja a M ozaik Kiadó, 6723 Szeged, Debreceni u, 3/B.; Tel,: (62) 470-101 E-mail: kiadD @ m ozaik.info.hu • Homepage: www.m ozaik.info.hu •F ele lős kiadó: Török Zoltán Nyomdai előkészítés: Imosoft Kft. • Homepage: www.im osoft.hu • Grafikus: Deák Ferenc Készült a Szegedi Kossuth Nyomdában • Felelős vezető: Gera Imre 2000, június • Raktári szám: M S -3 105