H. Hamano， 問題解答 1

2. 力の釣合い

［問題 2.2］

(1) 333.3,02sin:0 ACAC NNV N, 667.2,0cos333.3:0 BCBC NNH N (2) ,060cos30cos:0,0260sin30sin:0 BCACBCAC NNHNNV

上第 2式より

30cos

60cosBCAC NN ，これと第 1式より 2.0N, 3.464NAC BCN N

(3) ,030cos60cos:0,0330sin60sin:0 BCACBCAC NNHNNV

上第 2式より

60cos

30cosBCAC NN ，これと第 1式より N5.1,N598.2 BCAC NN

［問題 2.3］

(1) N0.4,02105:0 AAB RRM ， N0.6,010:0 BBA RRRV (2) N0.9,033695:0 AAB RRM ， N0.1,035:0 BBA RRRV (3) N31412,0210460sin125:0 AAB RRM N0 7 8.8,01060sin12:0 BBA RRRV ， N0.6,060cos12:0 AA HHH (4) N375.18/11,08523:0 BBA RRM N625.18/13,05638:0 AAb RRM

3. 力の合成・分解

［問題 3.1］

(1) kN6435 R (右向き)

(2) kN083.637)60sin3()60cos34(22 R

50712511

33tan

60cos34

60sin3tan 11

（P2から左回りに 507125 の方向）

(3) kN606.313)120sin3()120cos34(22 R

7060465

33tan

120cos34

120sin3tan 11

（P2から左回りに 706046 の方向）

(4) R=6.59kN， 754.0tan

［問題 3.2］

(4) 2 2(4cos60 3cos 45 3cos30 ) (4sin 60 3sin 30 3sin 45 ) 3.225kNR

85846130sin345cos360cos4

45sin330sin360sin4tan 1

（x軸から 858461 の方向）

(5) kN733.0

)30sin260sin345sin430sin3()30cos260cos345cos430cos3( 22

R

95158930cos260cos345cos430cos3

30sin260sin345sin430sin3tan 1

（x軸から 951589 の方向）

［問題 3.3］ （省略）

問題解答

H. Hamano， 問題解答 2

［問題 3.4］

(1) （下向き）（左向き） kN50.230sin5,kN33.430cos5 yx PP

(2)

30sin560sin

30cos560cos

y

yx

P

PP これより kN887.2kN,887.2 yx PP

(3)

45sin460sin

45cos460cos

y

yx

P

PP これより kN266.3kN,461.4, yx PP

4. モーメント

［問題 4.1］

(1) Nm632O M

(2) Nm632O M

(3) Nm9244233O M

(4) Nm13352O M

(5) Nm391.47345cos5045sin5460cos8360sin8O M

［問題 4.2］

(1) kN853 R (下向き)， m58

85

x (点 O から右へ 5mの位置)

(1) kN53343 R (下向き)， m2.75

1036334

x (点 Oから右へ 7.2mの位置)

(2) kN63234 R (下向き)， m5.26

23225384

x (点 Oから左へ 2.5mの位置)

(4) kN708.653)3234(322 R

50622435062632tan,23

3234tan 1

or

合力 Rは左斜め下がりであるから，水平軸より 5062243 の向き

m025.4708.6

2322538443

x ， 点 O から合力までの垂直距離 4.025m

H. Hamano， 問題解答 3

5. 静定ばり

［問題 5.1］

-RB

Q-図

M-図

b

l

P

A B C

(1) a

l

＋ RA

Q-図

M-図

a b

l

M

－

＋

(2)

A C

B

RA -RB －

－

＋

M-図

Q-図

Q-図

M-図

l

q (3)

l

MB (4)

A B A B

RA

-RB －

＋

＋

＋

＋ MB

Q-図

M-図 MC

Mmax

B

l

a b

q (6)

－7.14

7.86

10

[kN]

15.72 21.44

M-図

Q-図

5kN 10kN

2m 2m 3m

(5)

[kNm]

A B C D A C

RA ＋

－

＋ ＋

H. Hamano， 問題解答 4

M-図

-3.33

4.67

19.46

[kN]

14.01 16.65

M-図

Q-図

5.335

3m 4m 5m

2kN/m

(7)

10.875

-16.125

-1.125

29.57 29.25 25.875

5.44

2kN/m 5kN/m

6m 3m 3m C

(8)

Q-図

[kNm]

[kN]

[kNm]

＋

－

A D B C D A B

＋

－

＋

2m 2m 5m

2kN/m 2kN (9) 2kN/m

5kNm

6m 3m 3m

(10)

M-図

7.67

-4.33

-2.33

14.67

8.69

Q-図 8.583

-3.417

18.417 15.498

10.25

5.25

[kN] [kN]

[kNm] [kNm]

13.35

3.835

B A C D

A B C

D

＋

－

＋

－ ＋

＋ M-図

Q-図

2kN/m 5kNm

3m 3m 3m

(11) 10kNm

2m

C

D

A

3m 3m

5kN (12)

M-図

1.55

4.667

-4.444

+

-0.333

Q-図

4.336 4.941 5.0

M-図

-2.5 2.5

-2.5

7.5

Q-図

[kNm]

[kN]

[kNm]

[kN]

C A B

D A B

＋ －

＋

＋ －

+ +

B

4m

1kN/m

6m 2m

2kN/m

(14)

x l

q

(13)

M-図

14.0 11.0

-5.5

19.271

3.5

Q-図

M-図

2次 Q-図

-ql/3 [kN]

[kNm]

ql/6

2次

6.832

A C

B D

＋

＋

A

＋

＋

3次 3次

H. Hamano， 問題解答 5

［問題 5.2］

4kN/m

B

10m

2kN/m

(16)

10m

2kN/m

(15)

M-図

6.667

4.226

-3.333

12.827

Q-図

3次

2次

3次

5.275

M-図

2次

Q-図

-16.667

13.333

37.615 [kNm]

[kN] [kN]

[kNm]

A B

＋ ＋

A

＋ ＋

3.667

-2.333

10.668 9.332

Q-図

M-図

2.667

-0.333

3.167

3.333

Q-図

M-図

1.5 -0.833

4.667

1.167

[kNm] [kNm]

[kN] [kN]

(1) (2)

A B A

2kN 4kN 4kN 2m 2m

4m 4m 4m 1 2

＋

＋

A B

2m 2m 2kNm

4m 4m 4m 1 2

＋ 0.5

＋

-18.0

72.0

-24.0

18.0

54.0

Q-図

M-図

54.0

24.0

[kNm]

[kN]

A B 1

4kN/m

l=4×3m

(3)

2 3

＋

＋

H. Hamano， 問題解答 6

［問題 5.3］

l a b

l

Q-図 -P

-Pb

Q-図

M-図

(1) (2)

-Pl

P

A B A B

P ＋

C

l

q

4m B A

P=10kN q=2kN/m

M-図

2次

Q-図

4m 4m

ql Q-図

M-図 M-図 -ql2/2

(3) (4)

A B C D

＋ -8.0

-18.0

-120.0 -48.0

-16.0

l

λ/2

B

M

Q-図

M-図

P

Q-図

M-図

P/2

A B A

M

P

1 2

＋

＋

(5) (6)

q

Q-図

M-図

-ql

(7)

A B

H. Hamano， 問題解答 7

［問題 5.4］

)22(),2( ball

PRbla

l

PR BA

2222 )(

2,)(

2alb

l

qRbla

l

qR BA

)(2/)2/)(2/(1

2/)2/3)(2/(1

blPallaql

R

Pblalaql

R

B

A

2/2/12/)2/(

1

2 Plqal

R

Pllaqal

R

B

A

M-図

Q-図

P 2P

a

B C D A B C D

-qa

M-図

Q-図 2P

-P

M-図

Q-図

-Pa

qb

Mmax

(1) (2)

l b a l b

+ + +

+

-qa2/2

-qa2/2 -qb2/2

-2Pb

q

P(a-2b)/l

M-図

A B C D E

P

-qa

Q-図

B A C

M/l

M

P M

q (3) (4)

a l a b l/2 l/2

+

+

+

+ -Pb -qa2/2

A

P

B C D

-RB RA -qa

M-図

Q-図

[kN]

5kNm 10kN 2kN/m

A C B D

2m 6m 2m

1.833

-10.167

10.0

-20.0 5.0 M-図

Q-図

5.840 [kNm]

0.917m

q

a l/2

+ +

(5) (6)

+ +

l/2

-qa2/2

(Pl-qa2)/4

H. Hamano， 問題解答 8

［問題 5.5］

第 2章 静定ばり

[kN]

4m 2m 4m 2m 2m 2m 2m

2kN/m 6kN 10kN

-5.0

3.0 7.0

-4.0

2.0

-3.0

M-図

Q-図

8.0

-4.0

2.25

-8.0

6.0

[kNm]

5kN

3m 3m 1m 6m

[kN]

-2.5

7.5

M-図

Q-図

2.5

-2.5

0.417

[kNm]

(1) (2)

C A B D G A B C D E F G2 G1

+ +

+ + +

- -

+

+ +

2kN/m

7m 3m 5m 5m

5kN 10kN

7.0

-10.5

-18.0

9.5

-0.5

19.5

-12.0

-7.0

Q-図

[kN] -45.0

12.25 27.5

M-図

[kNm]

(3)

A C B D G

+ +

+ +

2kN/m 5kN 10kN

3m 3m 2m 2m 4m 4m 6m

-3.5 -8.5

14.0 4.0

-12.0

11.333

-0.667

-10.5

-36.0

-8.0

4.0

-32.0

0.111

M-図

Q-図

[kNm]

[kN]

(3)

A C D B F E G1 G2

+ +

H. Hamano， 問題解答 9

6. はりの影響線

［問題 6.1］

2m

C A

P=10kN

1 2 2m

q=2kN/m

B

4m 2m 2m

(3)

1 0.833 A1=2.667

0.167

A2=5.333

1

-0.167

A3=-0.333

RA-line

RB-line

QC-line

MC-line

RA=13.667kN

RB=12.333kN

QC=-0.333kN

MC=34.0kNm

A4=1.0

1.0

A5=12.0

+

+

+

+

1

P=5kN

A

P=10kN

2m 3m 2m D B C

0.714 0.429

0.286 0.571 1

0.714 0.429

1.429 0.857

RA-line

RB-line

QC-line

MC-line

RA=7.857kN

RB=7.143kN

QC=7.857kN

MC=15.715kNm

P=20kN q=6kN/m

4m 2m 2m 2m

B

1 0.8 A1=1.6

0.2

A2=2.4 1

0.8 A3=1.6

RA-line

RB-line

QC-line

MC-line

RA=25.6kN

RB=18.4kN

QC=25.6kN

MC=51.2kNm

A4=3.2 1.6

+

+

+

+

+

+

+

+

(1) (2)

A C D E

H. Hamano， 問題解答 10

［問題 6.2］

［問題 6.3］

RA-line

MC-line

RB-line

QC-line

RA=14.578kN

QC= 4.578kN

RB=13.426kN

MC=12.924kNm

5m 7m D B C

2m 3m

E A

P=10kN

12m

2m

F

q=2kN/m

1

1

2.401 -0.167 1.25

1.083

1.167 -0.083

7.128

0.250 0.083

2.041 -0.167

-0.583

10.210

-0.833

-4.5

-9

1

-1

MC-line

RB-line

MB-line

QC-line

+

+

-4

1

-1

+

2m

C A

P=10kN

6m

q=2kN/m

B

2m

C B A 4.5m 4.5m

(1) (2)

-10

A1=8.0

A2=-32.0

A3=-2.0

A4=-2.0

RB-line

MC-line

MB-line

QC-line

RB=26.0kN

QC=-14.0kN

MB=-164.0kNm

MC=-44.0kNm

q=2kN/m

RB=18.0kN

MB=-81.0kNm

QC=-9.0kN

MC=-22.5kNm

A1=9.0

A2=-81.0

A3=-4.5

A4=-11.25

-1.5

H. Hamano， 問題解答 11

［問題 6.4］

［問題 6.5］

P=5kN

3m 3m 3m 3m 3m

A

1

1.5

RA-line

RB-line

RA=2.5kN

1.5

-1.5

-0.75

0.75

-0.25

0.25

1

-0.5

1.0

1.5

3.0

1.0

-1.0

+

+

+

+

+

+

0.5

RB=3.75kN

RC=-1.25kN

RC-line

QD-line

MD-line

QD=1.25kN

MD=--3.75kNm

E G B D C

RB=30.0kN

QE=2.0kN

ME=15.0kNm

3m

8m

G2 5m 5m 3m

8m 8m 4m 4m

G1 G1,G2：ゲルバーヒンジ

-1

1

3 5

QE-line

+

+

1

1

ME-line

RＢ-line

RA-line

+

2.5

1.5

-0.5

4.0 -3.0

15.0

-1

1

3 5

QF-line + +

+ MF-line

0.5

+

7.5

-15.0

1.563

-0.563 3.0

7.5 1.563

-0.563

RA=2.0kN

QF=8.0kN

MF=-

15.0kNm

q=2kN/m

A B E C

D F

H. Hamano， 問題解答 12

7. 部材断面の性質

［問題 7.1］

断面積：A=ab， 微小面積：dA=bdx

y軸に対する断面１次モーメント 2

0 2

a

y

a bG xdA bxdx

［問題 7.2］

abA2

1 ， x点の長さ )( xa

a

bb であるから

dxxaa

bdxbdA )(

a

y

bax d xxa

a

bx d AG

0

2

6)(

326

2

0

aabba

A

Gx

y

すなわち，y軸から 3分の 1 の点にある．

［問題 7.3］

(1) mm35)4030()2060(

20)4030(50)2060(0

y

(2) mm35160160

1016060160mm,25

160160

401601016000

yx

(3) m275.25.254

667.25.25.355.04m,855.1

5.254

333.25.25.152400

yx

［問題 7.4］

(1) 12

13

12,

3412,

12

32

33233

321

bhbhh

bhI

bhbh

hbhI

bhI xxx

(2) すべて 41017.1834 xI (mm4)

(a) 4433

cm1017.183412

90602

12

130140

xI (b)

4433

cm1017.183412

90120

12

130140

xI

(c) 4433

mm1017.183412

90120

12

130140

xI

(3) (a) mm3520012001

202001502001,cm400240302060 0

2

yA ，

423

23

mm0007402001)2035(12

40302001)3550(

12

2060

xI

(b) 2mm2004)10010()803010040(2 A

3

21

3

2

3

1

mm0002652

,mm000105)10010(105,mm00080)8030(50)40100(50

GGG

GG

x

mm1.632004

0002650

A

Gy x

4423

2

44233

1

mm1039.176)10010(9.4112

10100

,mm1058.46516001.1312

8030

12

100402

I

I

44

21 mm1097.6411 III x

(4)

22

3

2

2

2

1 cm168,cm75155,cm48412,cm45153 AAAA

図 7.2

b

x

y

x dx

a dA=bdx

dA

y

a

b

O x

b′

dx x

図 7.9

H. Hamano， 問題解答 13

33333

22

3

11 cm996,cm5.5625.7,cm962,cm5.3375.7 xGAGAGAG

cm93.5168

9960

A

Gy x

42442

3

3

423

2

423

1

30.334816893.59256,cm9256,cm5625755.712

155

,cm25648212

412,cm3375455.7

12

153

cmIII

II

Gx

［問題 7.5］ (1) 02

000 Ab

AyxI xy ， / 2

/ 2 00

a b

xya

I xydA xdx ydy

あるいは

(2) 422

22

00

baab

baAyxIxy ，

02 2 2 2

0

0 2 2 4

b

xya

a

b x a bI xydA ydy xdx

あるいは

［問題 7.6］

2s i n2c o s22

2s i ns i nc o s

s i ns i nc o s2c o s

)s i nc o s(

22

2222

22

xy

yxyx

xyyx

u

IIIII

III

dAxdAxydAy

dAxydAvI

2s i n2c o s22

2s i ns i nc o s

s i nc o ss i n2c o s

)s i nc o s(

22

2222

22

xy

yxyx

xyxy

v

IIIII

III

dAydAxydAx

dAyxdAuI

2c o s2s i n2

2c o s2s i n2

12s i n

2

1)s i n( c o s2s i n

2

12s i n

2

1

s i nc o ss i ns i nc o sc o s

)s i nc o s)(sincos(

22

2222

xy

yx

xyyxyx

uv

III

IIIdAxyII

dAxydAydAxdAxy

dAxyyxuvdAI

注）以上よりさらに次の関係が得られる．

2c o s22s i n2s i n2c o s2c o ss i n2)s i n(c o s2 xyyxxyyxu IIIIII

I

2c o s22s i n2s i n2c o s2)s i n(c o s2c o ss i n2 xyyxxyyxv IIIIII

I

uvvu I

II2

［問題 7.7］式(7.22)を 3元 1次の連立方程式として解く．第 1式と第 2式を加え合わせると

vuyx IIII

第 3式より

2tan22cos

yxuvxy

IIII

式(7.22)の第 1式より第 2式を引くと

2c o s

2s i n)(2t a n22c o s)(2s i n22c o s)(

2

yxuvyxxyyxvu IIIIIIIIII

2t a n22c o s

2t a n2)2s i n2( c o s2c o s

22

uv

yx

uv

yxI

III

II

ゆえに

2s i n22c o s)( uvvuyx IIIII

(3)

(1)

(2)

H. Hamano， 問題解答 14

式(1)と式(3)を加え合わせると，式(7.23)の第 1式が，式(1)から式(3)を引くと第 2式が得られる．

式(2)に式(3)を代入して変形する．

2c o s2s i n2

2c o s2c o s

2s i n22c o s2c o s

2s i n2s i n

22c o s

2t a n]2s i n22c o s)[(2

1

2cos2tan

22cos2

uvvu

uvuvvuuv

uvvuuv

uvvuuvyxuv

xy

III

IIIII

IIII

IIIIIII

I

これは，式(7.23)の第 3 式である．

［別解］式(7.22)の x,yと u,v を入れ替え， のかわりに とおけばよい．

［問題 7.8］式(7.22)の第 3式において Iuv=0とおくと，式(7.24)

2

2t a nyx

xy

II

I

が得られる．この式は，右図の関係を表している．したがって

2

2

2

2

2

22c o s,

2

2s i n

xy

yx

yx

xy

yx

xy

III

II

III

I

この関係を式(3.22)に適用すればよい．Iuv=0となる Iuを I1，Ivを I2とすると

2

22

2

1

2

22

2

1

22

2

2

2

222s i n2c o s

22

22

2

2

2

222s i n2c o s

22

xy

yxyx

xy

yx

yx

xy

xy

yx

yxyx

xy

yxyx

xy

yxyx

xy

yx

yx

xy

xy

yx

yxyx

xy

yxyx

IIIII

III

II

II

II

IIIII

IIIII

IIIII

III

II

II

II

IIIII

IIIII

［問題 7.9］

(1) )cm(5.31616

116616),cm(5.2

1616

41611600

yx

(2) )cm(67.68216112

28166

12

82 423

23

xI

3 3

2 2 48 2 2 81 16 4 16 362.67(cm )12 12

yI

)cm(16016141661 4xyI

(3) )cm(67.290)1616(5.367.682 42 uI

)cm(67.162)1616(5.267.362 42 vI

)cm(120)1616(5.25.31604uvI

Ix-Iy

2θ

2

H. Hamano， 問題解答 15

(4) 947530,875.164

120

2

2tan

vu

uv

II

I

22

2,122

uv

vuvu IIIII

I

より )cm(67.90),cm(67.362 42

4

1 II

［問題 7.10］

(1) P.7-7注意事項より求めよ．

(a) 6

,32

,62/

,12

23 h

A

WK

h

A

Ir

bh

h

IW

bhI x

(b) 6

,12

,23

,123/

,243/2

,36

223 h

A

WK

h

A

WK

h

A

Ir

bh

h

IW

bh

h

IW

bhI tc

c

txtc

(c) 4

,2

,4

,4

34 r

A

WK

r

A

Ir

r

r

IW

rI x

(2) 問題 7.4(3)aを用いる．

cm233.124

6.29,cm881.0

24

143.21

cm,756.124

74,cm143.21

5.3

74,cm6.29

5.2

74 33

tc

tc

kk

rWW

(3) (a) 問題 7.9を使用する．

323

1

4

0 cm05.835.3

67.290,cm72.44

5.6

67.290,cm67.290,5.3 WWIcmy x

(b) m275.25.254

667.25.25.355.04,m5.11451

2

115 0

2

yA

423

232

3

m70.3460.1233.038.047.35.742.10)14()5.0275.2(12

14

512

1275.21

3

5

36

51)51()275.25.3(

12

51

xI

33 m25.15275.2

70.34,m32.9

725.3

70.34 tc WW

(4) 2cm749121314 A

cm98.478.2474

17.1834

17.183412

912

12

1314 433

A

Ir

cmI

x

x

x

cm37.407.1974

03.1411

cm03.141101.3716)68.5933.457(2

29)154.5(12

29214)54.57(

12

1422

cm54.574

8641274

74

891271413

4

23

23

0

A

Ir

I

x

y

y

y

H. Hamano， 問題解答 16

8. 応力とひずみ

［問題 8.2］ mm1018.3

4

1014.3100.2

00015 42

5

EA

Pll

［問題 8.3］ 2522

mm/N1002.263.0

000269.63,N/mm69.63

4/20

00020

l

lE

A

P

［問題 8.4］ 4)1030(001000.0100.2 5 N/mm2

［問題 8.5］ A=

4

2214.3379.94mm2， 2N/mm95.3

94.379

5001

A

P

［問題 8.6］3つの部材は同じ大きさのひずみを生じるから

33

3

22

2

11

1

AE

P

AE

P

AE

P

一方，力の釣合いから 321 PPPP

であるから 332211332211

321

33

3

22

2

11

1

AEAEAE

P

AEAEAE

PPP

AE

P

AE

P

AE

P

したがって 332211

111

AEAEAE

APEP

，

332211

222

AEAEAE

APEP

，

332211

333

AEAEAE

APEP

すなわち，各部材の力はその部材の EA に比例した力が働いている．

［問題 8.7］コンクリートの断面積： 2mm50062250250 CA ，

鉄筋の断面積 ： 22 mm76.519144/2214.3 SA

ここで 15C

S

E

En であるから

2N/mm586.076.51911550062

00050

SCSSCC

C

CnAA

P

AEAE

PE

2N/mm79.8586.015 CS n

［問題 8.8］2つの条件がある．1つは力の釣合いから PRRV 21:0 つぎに，部材 AC の伸びは部材 CB の縮みに等しい．すなわち

21 ll ＝

ここで 22

222

11

111 ,

AE

lRl

AE

lRl

式(3)を式(2)に代入して 22

22

11

11

AE

lR

AE

lR

式(1)と式(4)より PlAElAE

lAERP

lAElAE

lAER

122211

1222

122211

2111 ,

［問題 8.9］下底より xの点の微小要素 dxについて考える．x点に働く

応力 x はその重さ Ax によって

xA

Axx

応力 x による微小要素 dxの伸び量 dx は，Hookeの法則dx

dx より

dxE

xdx

Edx x

したがって，全体の伸び量は，これを x=0から lまで積分すればよい．

222

2

00 0

2 W

EA

l

E

lx

Exdx

Edxl

ll l

ここで， AlW は全自重を表す．すなわち，自重を無視して下端に W/2の引張り力を作用させ

たときの伸びと等しい．

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

H. Hamano， 問題解答 17

［問題 8.10］

部材 1と部材 2には共に P=2kN の力が作用する．ゆえに

mm006.05050

0001

100100

0002

100.2

1025

3

2

2

1

1

A

l

A

l

E

P

EA

Pll

9. はりの応力度

［問題 9.1］ (1) 243

N / m1075.182

12

0001

h

bhy

I

M

(2) 244

N / m104.1272

64

1000

d

dy

I

M

(3) 332

332

m100.412

3

1,m100.2

24

3

2

bh

h

IW

bh

h

IW CC

22 N/m0.25,N/m0.50 tc

［問題 9.2］ 40 mm000740mm,35 Iy

2N / m m76.625000740

000200 Cc y

I

M

2N / m m46.935000740

000200 tt y

I

M

［問題 9.3］フランジ部分に対しては

3111 mm00018152060 yAG ， 21

1 N / m m81.000074060

000180002

bI

QG

ウエッブ部分に対しては

3322112 mm10375.185.2)530(15)2060( yAyAG

2

3

1

2 N/mm62.100074030

010.180002

bI

QG

2

3

2

max2 N/mm66.100074030

01375.180002

bI

QG

6

3

2

1

62.1

81.0

2

1

30

60

20

x

40 y0

A1

A2

y0=35mm

I=740 000mm4

H. Hamano， 問題解答 18

10. モールの応力円

［問題 10.1］図 4.17(a)において点 C でモーメント釣合いを考える．

奥行き bとする．

yxxyyxxyC dybdxdxbdyM ,0:0

［問題 10.2］各辺の微小面積を nyx dAdAdA ,, とすると

sin,cos nxny dAdAdAdA

0 :

cos sin 0n n uv n x y xy x

H

dA dA dA dA

0 :

sin cos 0n n uv n y x xy y

V

dA dA dA dA

この 2式より

cos sin cos sin 0n uv x xy

sin cos sin cos 0n uv y xy

1 2(1) cos (1) sin

2sin2cos22

cossinsincos 22 xyyxyx

xyyxn

1 2(1) sin (1) cos

2 2( )sin cos (sin cos ) sin 2 cos22

x y

uv x y xy xy

［問題 10.3］ 2 を式(4.26)に代入し， 2cos2cos,2sin2sin を用いる．

［問題 10.4］

(1) 22 N / m m49.6,N/mm25.16 uvu

(2) 22 N / m m81.10,N/mm75.13 uvu

(3) 22 N / m m81.10,N/mm75.13 uvu

［問題 10.5］図 4.18(b)より

2s i n2c o s22

2s i ns i n2c o sc o s)2c o s (

xy

yxyx

u CHCHOCCHOC

2c o s2s i n2

2c o ss i n2s i nc o s)2s i n (

xy

yx

uv CHCHCH

［問題 10.6］問題 4.15より

2

2

N/mm31.122cos2sin2

,N/mm16.112sin2cos22

xy

yx

uv

xy

yxyx

u

式(3.34)より

222

2

2,1 N/mm35.5,N/mm35.2022

xy

yxyx

式(3.35)より 24.0

2

2tan

yx

xy

（モールの応力円は省略）

A

B C

n

x

dAx

dAy

O

dAn

C

(a)

dy dx

(b)

図 4.17

(1)

H. Hamano， 問題解答 19

11. 弾性曲線によるはりのたわみ

［問題 11.1］ 2階の微分方程式より求める.

x点の曲げモーメントは )1

(632

32 xl

lxqx

xl

qxRM Ax

これを弾性曲線の微分方程式に代入して積分する．また，簡単のため積分定数は積分の中に含め

て計算し，積分記号も省略する．

)1

(6

3

2

2

xl

lxEI

q

EI

M

dx

yd x

1

42

4

1

26Cx

lx

l

EI

q

dx

dy ，

21

53

20

1

66CxCx

lx

l

EI

qy

境界条件を適用する

60

70:,00:0

3

12

lCylxCyx よりより

したがって θy, は

xlxlxlEI

qy 4325 7103

360 ， 4224 73015

360lxlx

EIl

q

dx

dy

ここで EI

ql

EI

qlBA

45,

360

7 33

最大たわみはたわみ角 0θ より 073015 4224 lxlx ，これより lx 519.0

これをたわみの式に代入して EI

qly

360

35.2 4

max を得る．

［別解］ 4階の微分方程式より求める．順次積分すると

xEIl

q

dx

yd

4

4

， 1

2

3

3

2Cx

E I l

q

dx

yd

21

3

2

2

6CxCx

EIl

q

dx

yd ， 32

214

224CxCx

Cx

EIl

q

dx

dy

4322315

26120CxCx

Cx

Cx

EI

qy

境界条件を適用する

,6

0:,00:0,00:0 124EI

qlCMlxCMxCyx

EI

qlCylx

360

70:

3

3

これより xlxlxlEI

qy 4325 7103

360 これは上に求めた結果と一致する．

［問題 11.2］ x点の曲げモーメント： )( xll

MM Ax

弾性曲線の微分方程式

)(2

2

lxEIl

M

EI

M

dx

yd Ax

これを積分する．

21

23

1

2

26

1,

2

1CxCx

lx

EIl

MyClxx

EIl

M

dx

dy AA

H. Hamano， 問題解答 20

境界条件は 3

0:,00:02

12

lCylxCyx

ゆえに

)23(6

),263(6

22322 xllxxEIl

Myllxx

EIl

M AA ，また， EI

lM

EI

lM AB

AA

6,

3

［問題 11.3］ 荷重より左のたわみを 1y ，右のそれを 2y とする．

ax 0 lxa

曲げモーメント： xl

MM x 曲げモーメント： Mx

l

MM x

21

3

1

1

21

2

1

2

6

2

CxCxl

MEIy

Cxl

M

dx

dyEI

xl

M

dx

ydEI

21

23

2

1

22

2

2

2

26

2

DxDxM

xl

MEIy

DMxxl

M

dx

dyEI

Mxl

M

dx

ydEI

境界条件： 0:0 1 yx 0: 2 ylx

連続条件： 21

21

:

:

ax

yyax

この 4つの条件より 2

),32(6

,0),632(6

2

2

22

12

22

1

MaDal

l

MDClaal

l

MC

ゆえに

xlaalxEIl

My

laalxEIl

M

)632(6

)632(36

223

1

222

1

222232

222

2

3)32(36

)32(636

laxallxxEIl

My

allxxEIl

M

EI

Mlla

laalEIl

Mx

A

A

24:

2

)632(6

:0 22

AB

B

EI

Mlla

alEIl

Mlx

24:

2

)3(6

: 22

ax におけるたわみ ： )32(3

22 laalEIl

May ax

ax におけるたわみ角： )33(3

22 laalEIl

Max

2

lba のとき：

EIl

Mly ll

12,0

2

22

［問題 11.4］ x点の曲げモーメント MM x

弾性曲線の微分方程式：EI

M

dx

yd

2

2

これを積分する．

21

2

12

1, CxCx

EI

MyCx

EI

M

dx

dy

境界条件 0,0:0 yx より 021 CC

したがって 22

, xEI

Myx

EI

M

H. Hamano， 問題解答 21

［問題 11.5］ 反力は l

alPR

l

PaR BA

)(,

lx 0 alxl

曲げモーメント： xl

PaM x 曲げモーメント： )(

)(lx

l

alPx

l

PaM x

21

3

1

1

21

2

1

2

6

2

CxCxl

PaEIy

Cxl

Pa

dx

dyEI

xl

Pa

dx

ydEI

21

33

2

1

222

2

2

2

)(6

)(

6

)(2

)(

2

)()(

DxDlxl

alPx

l

PaEIy

Dlxl

alPx

l

Pa

dx

dyEI

lxl

alPx

l

Pa

dx

ydEI

境界条件： 0:0 1 yx 0: 2 ylx

0: 1 ylx

連続条件： 21: lx

この 4つの条件より 0,6

2211 DCP a l

DC

ゆえに

)(6

)3(6

23

1

22

1

xlxEIl

Pay

lxEIl

Pa

xallxalaxEIl

Py

allxalaxEIl

P

233

2

222

2

))((6

))((336

EI

Pallx

EI

Palx BA

3:,

6:0 1

)(3

),32(6

:

3:

2

12

alEI

Payal

EI

Paalx

EI

Pallx

CC

BB

［問題 11.6］（解略）例題 5.1，5.5，問題 5.4参照．(2)の点 Aのたわみ角は負になることに注意．

第 5章 はりのたわみ

H. Hamano， 問題解答 22

12. 弾性荷重法によるはりのたわみ

［問題 12.1］

共役ばりにおいて

2

1

MlP

が三角形の図心位置に作用するとして，反力は

3

1

3

2

2

Ml

l

lMlRA

6

1

32

Ml

l

lMlRB

ゆえに

EI

Ml

EI

Q

EI

Ml

EI

Q

BB

AA

6

3

［問題 12.2］

反力は 3

,6

qlR

qlR bA

弾性荷重の荷重強度 xqは

)(6

32 xxll

qqx

弾性荷重の大きさは

244

1

26

)(6

3

0

422

0

32

0

qlxx

l

l

q

dxxxll

qdxqA

l

ll

x

点 Aを通る鉛直軸に対する断面 1次モーメントは

455

1

36)(

6

4

0

532

0

422

00

qlxx

l

l

qdxxxl

l

qdxqxxdAG

lll

x

l

x

ゆえに，弾性荷重の図心位置は

lqlql

A

Gx x

15

8

2445

34

0

共役ばりの反力は

360

8

15

8

24

1,

360

7

15

7

24

13333 ql

lql

lR

qll

ql

lR BA

ゆえに

EI

ql

EI

R

EI

ql

EI

R BB

A

A360

8,

360

7 33

l/3

P1

A B

M

＋

図 21.8

B C 2l/3

EI1

l

＋

図 21.94

A B x

x

dx

RA

RA RB

RB

q qx

l

＋

図 21.94

A B x

x

dx

RA

RA RB

RB

q qx

H. Hamano， 問題解答 23

［問題 12.3］

l

MR

l

MR BA ,

l

MbP

l

MaP

2,

2

2

2

2

1

3232

323

2

326

,236

babal

MR

bbaal

MR

B

A

)(3

33

21ba

l

MPRQ AC

)(33

22

21ba

l

MabaPaRM AC

以上より

)32(6

),23(6

323

2

323

2baba

EIl

M

EI

Qbbaa

EIl

M

EI

Q BB

AA

)(3

),(3

22

2

33

2ba

EIl

Mab

EI

Myba

EIl

M

EI

Q CC

C

C

［問題 12.4］

x点の曲げモーメントは

2)(2

lxq

qx

点 Aから xの点の微小面積について考える．

6

)(2

3

0

2

0

qldxlx

qdxqR

ll

xB

EI

ql

EI

QqlRQ BBBB

6,

6

33

8

)(2

))((4

0

3

0

qldxlx

qxldxqM

ll

xB

EI

ql

EI

My BB

8

4

［問題 12.5］

曲げモーメントは正で一定である．

EI

Ml

EI

QMlR BBB

,

EI

Ml

EI

My

lMlM BBB

2,

2

2

l

M

a b

+ Mb/l

-Ma/l

2a/3 2b/3 3

b a 3

図 21.10

A

B

B

A

A B

P1 P2

C

x

l

q

x

dx

図 21.11

A B

+

l

x

図 21.12

C A

B

M

M

H. Hamano， 問題解答 24

［問題 12.6］

弾性荷重を 1/EIで統一するために，断面 2次モー

メントが 2Iの部分の曲げモーメントを 1/2倍する.

16

,4

2

2

2

1

PlP

PlP

EI

Pl

EI

QPlPPR BBB

16

5,

16

5 22

21

EI

Pl

EI

My

PllP

lPM BBB

16

3,

16

3

33

2 33

21

［問題 12.7］

単位は[kN], [kNm]とする．

5.22,25.1,5.7 321 PPP

EIEI

RR

CB

CB

5.2,

5

5.2,5

EIEI

QR

RRM

A

AA

BAG

22.12,22.12

013

2)25.1(35.226:0

EIEI

My

RPM

G

G

BG

83.5

83.53

5.25

3

225.11

3

22

EIEI

PRQRPQ

GlGr

AGlBGr

28.10,

25.6

28.10,25.6 32

2l/3

l l/2

2l/6

図 21.13

C B A

2I

P1 P2

P

-Pl/2

-Pl/2

5kN

3m 3m 1m 6m

-2.5

7.5

-2.5

RB′

RB′

RG′ RA′

RC′

図 21.14

A B

C D G

+

P1

P2

P3

+

H. Hamano， 問題解答 25

18 静定トラス

［問題 18.1］

(1) ,5

3s i n,

5

4c o s

PNNNNPNPN ACABABACACAC3

4cos,0cos,

3

5,0sin

(2) 2

1s i nc o s

PNNNN

PNNNPNN

BDADADBD

BDCDBDCDCB

cos,0cos

2,0sin,,0

(3) PHVaHaVMPHPaaHM AAAADDDA ,0:0,,0:0

P

NNNN

PNPNPNN

CD

CBCDCB

ABACCDBD

2cos

,0cos

,,,0

(4) PHPRPRaPaRM ABAAB ,2,2,02:0

PNNNNPP

NPN DECECEDEDEDE

cos,0cos,2sin

,0sin

P

HNNH

PNNPNNN

A

ADADA

BDABCEACCD

2cos

,0cos

2,0,,0

(5) 5

3c o s,

5

4s i n

kN69.4,0cos,kN81.7,0sin:

kN56.1,04sinsin:2

k63.5,0sincos,kN44.3,02sinsin:1

kN56.3,0cos,kN94.5,0sin:

kN25.612

75

12

57542kN,75.4

12

57,035649212:0

22444

332

1121221

11111

LLDDRDB

DDD

NUUDDDDD

LLDDRDA

RRRM

B

A

BAAB

部材力

　

反力

(6) 5

3c o s,

5

4s i n

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

2 2

3

25 25 20 0 : 9 10 6 5 3 0, 8.33kN, 10 5 6.67kN

3 3 3

: sin 0, 10.41kN, cos 0, 6.25kN

1 : sin 0, 8.33kN, cos 0, 6.25kN

2: sin 10, 2.09

: sin

B A A B

A

A

M R R R

A D R D D L L

D V V D U U

R D D kN

B D

反力

　

部材力

3 3 3

2 2 3

0, 8.33kN, cos 0, 5.00kN

2 : 0, 5.00kN

B BR D D L L

V L L

H. Hamano， 問題解答 26

［問題 18.2］

(1) 2

1sincos

PRPP

RaPaPaPaRM BAAB4

17,75.2

4

11,042234:0

PPPRQVPPa

ML

PPPRQ

DPPa

PaaR

a

MU

AA

AA

75.14

7,75.2

4

11

,47.24

27

sinsin,5.4

4

182

111

1

212

22

(2) 5

3c o s,

5

4s i n

kN10kN,67.66

40,kN67.6

6

40,04106:0 ABAAB HRRRM

kN00.5cos,0cos

,kN33.83

25

sin,0sin,0,kN10

2112

22222

DLLD

RDRVDVU BB

(3)

kNRkNRRM BAAB 5.55.124104,5.1212

150,03491012412:0

kN5.82

17)4(kN,375.6

8

51

4

3)4(

,kN875.18

15

sin,kN25.5

8

42

4

3106)4(

2121

2

212

22

AA

A

RQVR

h

ML

QD

R

h

MU

(4) 2

1c o ss i n

kN10,010sinsin:

-14.14kN21025,025,-7.07kN25:

15kNcos,0cos

-21.15kN215,0sin:

15

1122

12211

1111

11

VVUUF

UUUUDD

ULLU

URUA

kNRR

A

BA

(5) 三角形の相似より

PRR BA2

3

m85.417

20

14

54

21

2212,2:221:212221

22

MhNNMNM より∽

m12m,161

16,1:44:M121O1 axxより∽

m14.142102

20

24

420O,21:112:112O2

bPOOPP より∽

PP

h

PRUhUPRM AA 65.1

85.4

82,02:0 222

Ph

RLhLRM AA 5.1,0:0

1

2121

PP

b

aPaRDbDaPaRM AA 1 4 1.0

10

2)(,0)(:0 22O

H. Hamano， 問題解答 27

(6)

kN1061042,kN6,041016420224 BAA RRR

①： kN67.63

20,06428:0

332 LLRM A

③： 22 DD

②： kN33.33

10

sin2

2,0sin)(2:0 222

AA

RDDDRV

kN4,064:0221

UURM A

④： kN2sin4,04sin:0 2222 DVVDV kN2sin,0sin:0 2222 DVVDV 03 V

(7)

kN75.13,kN25.164

65,08102010241032 BAA RRR

①： kN103 V

②： kN5.172

35,0841081016:0 114 UURM A

-5.29kN275.34

215,0sin1010:0 33 DDRV A

③： kN07.725,0sin:0 223 DDVV

kN77.1225.14

25,0cos:0 4433 DDVDH

②′： 3442 kN25.21)4108(8

1,084108:0 LRLLRM AA

D4 Ｄ3

D2

V3

B

A

6@4m=24m

P1=2kN

h=6m

1 2

3

1′ 2′

3′

P2=4kN P5=10kN

4′ 5′

4 5

U2

D2

D2′

V2′

V2

L3

V3

① ②

③

④

図 8.19

P=10kN

D3

L3

8@4m=32m

D4

B A

D2

V3

U1

P=10kN P=10kN

4m

4m

1 2 3 4 5 6 7

1′

2′

3′

4′

5′

6′

7′

①

②

③

図 8.20

H. Hamano， 問題解答 28

［問題 18.3］図(1),(2),(3)の部材力（ 21 ,, NNN ）を下表に記す．

(4)

914.097/9cos,406.097/4sin,6.05/3cos,8.05/4sin,0 BA RR

1) 節点 A： 508.097

5

sin

sin,0sin1sin 33

NNRA

609.097

6coscos,0coscos 3131 NNNN

2) 節点 B： 508.097

5,0sinsin 3443 NNNN

609.097

6cos)(,0coscos 437347 NNNNNN

3) 節点 C： 508.097

5,0sinsin 4554 NNNN

0,0 26 NN

(5)

6.05/3c o s,8.05/4s i n,0 8 3.012/1 BA RR

1) 節点 A： 1 0 4.048

5

sin,0sin 33

AA

RNNR

0625.048

3cos,0cos 3131 NNNN

2) 断面 t-t 1 2 5.08

1,04

5

156:0 77 NNRM AC

部材 l N 1N 2N

1 6 6.00 0.375 1

2 6 9.75 0.375 0

3 5 -10.0 -0.625 0

4 5 7.50 0.625 0

5 5 1.25 0.625 0

6 5 -16.25 -0.625 0

7 6 -10.50 -0.750 0

1

A B

C

D E

1

1/5

A B C

D E

1/5

t

t

H. Hamano， 問題解答 29

0458.0240

11,0sincos

5

1:0 44 NNRV A

3) 節点 B： 104.048

5

sin,0sin 66

BB

RNNR

0625.048

3cos,0cos 6262 NNNN

4) 節点 E： 104.048

5,0sinsin 6565 NNNN

(6)

4/3c o s)90sin(sin,5/4sin)90cos(cos

6.05/3cos,8.05/4sin,0

BA RR

1) 021 NN

2) 節点 B： 208.024

5

sin

6/1,0sin

6

166

NN

125.08

1cos,0cos 6262 NNNN

3) 節点 E： 2 0 8.048

5,0sinsin 6565 NNNN

250.04

1cos)(,0coscos 567657 NNNNNN

4) 節点 C： 150.020

3

6

1

5

3

5

1

5

4

4

5,0

6

1sin

5

1sinsin 5454

NNNN

以上をまとめる．

部材 l 3N 4N 5N

1 6 0.609 -0.063 0.0

2 6 0.0 0.063 -0.125

3 5 0.508 0.104 0.0

4 5 -0.508 0.046 -0.150

5 5 0.508 0.104 -0.208

6 5 0.0 -0.104 0.208

7 6 0.609 -0.125 0.250

1/5

1/5

1/6 1/6

A B 1

D

E

C

2

H. Hamano， 問題解答 30

20. トラスの影響線

［問題 20.1］

(1) ハウトラスの影響線．

6λ

4 1 2 3 5

RA

1′ 2′

h

U2

D3

L3

RB

RA-line

RB-line

U2-line

D3-line

L3-line

θ A

B

3′ 4′ 5′

V2

V2-line

①

①

＋

＋

1

1

＋

1

＋

＋

図 8.24

H. Hamano， 問題解答 31

(2) プラットトラスの影響線．

6λ

4 1 2 3 5

RA

1′ 2′

h

U2

D3

L3

RB

RA-line

RB-line

U2-line

D3-line

θ A B

3′ 4′ 5′

V2

①

＋

＋

1

＋

1

＋

＋

V2-line

L3-line

①

図 8.25

H. Hamano， 問題解答 32

(3) ワーレントラスの影響線．

U2

D3 L3

RA-line

RB-line

U2-line

D3-line

L3-line

8λ

4 1 2 3 5

RA

6 7

RB

θ A B

V3

V3-line

1′ 3′ 2′

①

＋

＋

＋

＋

＋

①

1

1

1

図 8.26

H. Hamano， 問題解答 33

(4) 曲弦トラスの影響線．

D2-line

b

alDlxDx

xaal

xl

bxaaR

bDbDxaaR

M

x

Dlxb

aDx

l

xl

b

aR

b

aDbDaR

M

lx

AA

AA

22

22

O

22

22

O

:,0:0

)(1

)(11

,0)(1

0

0

0:,:0

,0

0

2

これを描くには，図 8.27(c)において，点 Bと点 Aで-a/bの大きさの点 Aをとり， AB を O′まで

延長する．そして O′から点 A に引いた線を延長して，区間 2-4で修正する

a

1

4

3

O L2

D2

B

A

U2

b

h

N

P

h1

①

① 2

5

h2

l/4

l/2

P＝1 x

RA=(l-x)/l

U2-line

D2-line

L2-line

+

+

O′

P＝1

図 8.27

(a)

(b)

(c)

A

l

H. Hamano， 問題解答 34

(5) 曲弦トラスの影響線．

D1-line：

0:,:0,,0:0

2

:,0:0,11

,0)(1:0

0

1111O

1111O

Dlxb

aDx

l

xl

b

aaRDbDaRM

lx

b

alDlxDxx

l

a

bDbDxaaRM

x

AA

A

V2-line：

0:,:0,,0:0

3

:,0:0,11

,0)(1:0

20

2222O

2222O

Vlxa

aVx

l

xl

a

aVaVaRM

lx

a

alVlxVxx

l

a

aVaVxaaRM

x

A

A

V-lineを描くには，点 A上で-a/bの大きさをとり，点 Bで 0の線分を，O′まで延長する．そして

O′から点 A に引いた線を延長して，区間 2-4で修正する．

a

O

L3-line

b

h MO

①

①

x

RA=(l-x)/l

U1-line

D1-line

+

+

O′

6@3m=18m

P=1

h2=4m

h3=4.5m 1′

2′ U1

D1

L3

V2

L2

A

B 1 2 3

h1=3m

h3

h2 h1

P=1

O′

V2-line

a′

+

図 8.28

H. Hamano， 問題解答 35

(6) Kトラスの影響線．

RA=17kN，RB=15kN

B A

6@4m=24m

P1=10kN

h=6m

1 2

3

1′ 2′

3′

P2=4kN P3=8kN

P4=2kN

P5=8kN

4′ 5′

4 5

U3

D2

D2′

V2′

V2

L3

V3

①

①

②

②

D3′

D3

③

③

RA-line

RB-line

U3-line

D3-line

L3-line

V2-line -1/2

＋

＋

1

1

＋

1

＋

＋

-8/6

5/6

8/6

図 8.29