Feb. 2010 Ingeniørhøjskolen i Århus 1

Gymnasielærerdag

”Matematik og vindmøller”

Feb. 2010 Ingeniørhøjskolen i Århus 2

Søren Gundtoft

Civilingeniør, maskinteknik, energilinien, DTH, 1978 (Vejle Gym.: 1970-1973)

Sabroe (køleteknik, 4 år), Teknologisk Institut (Energiteknik, 8 år), nu IHA

2007-2009 (Orlov fra IHA) : Siemens Wind Power, Brande

Feb. 2010 Ingeniørhøjskolen i Århus 3

5 eksempler på ”matematik og vindmøller”

1) Formelmanipulation

2) Simulering (Dynamisk, ODE’s)

3) FEM (Løsning af PDE’s)

4) CFD (Navier Stoke / Strømning)

5) Ligningsløsning)

Feb. 2010 Ingeniørhøjskolen i Århus 4

1) FormelmanipulationBeregning af kordelængde, c(r), og pitchvinkel, beta(r) – BEM-metoden

r

R

dr

Figure 3.4: Blade section

Forudsætninger:•Vinden skal nedbremses til 1/3 (Betz lov)•Vingeprofilet et kendt (NACA)•Vi ser på et vingeelement, r med bredde dr•Impulsænding (N) skal svare til vinge-aksial-kraft

Gør det muligt at beregne kordelængde og pitch-vinkel

Feb. 2010 Ingeniørhøjskolen i Århus 5

Det fuldstændige notat kan hentes på min hjemmeside, se sidste slide!

1) Formelmanipulation

Feb. 2010 Ingeniørhøjskolen i Århus 6

2) Simulering Krøje-systemet

Formål:

=> Dreje møllen op mod vinden

og

=> holde den dér jf.”Skyggevirkning” se senere...

Feb. 2010 Ingeniørhøjskolen i Århus 7

2) Simulering Krøjemekanismen

Krøjemotor og

-gear

Krøjekrans

Feb. 2010 Ingeniørhøjskolen i Århus 8

2) Simulering

Feb. 2010 Ingeniørhøjskolen i Århus 9

2) Simulering

Flere koblede 1. og 2.-ordens differentialligninger, som løses med Matlab/Simulink

Integrationsmetode:

”ode45(Dormand-Prince)”

Formål:

Maksimal tandkraft

Maksimal bremsekraft

etc.

Feb. 2010 Ingeniørhøjskolen i Århus 10

2) SimuleringMulti body simulation (ODE)

Software:

•Fortran

•Delphi

Feb. 2010 Ingeniørhøjskolen i Århus 11

2) Simulering”Møllen” påtrykkes en ”turbulens-pølse”

Feb. 2010 Ingeniørhøjskolen i Århus 12

2) Simulering Elementmodel af ”monopile” (off shore”)

Feb. 2010 Ingeniørhøjskolen i Århus 13

3) FEM

Wikipedia: The finite element method (FEM) (sometimes referred to as finite element analysis (FEA)) is a numerical technique for finding approximate solutions of partial differential equations (PDE)

Formål:

•Især styrkeforhold

•men også temperaturfordeling

•magnetiske felter (generatoren)

Software: Solid Works, ANSYS, Cosmos, etc

Feb. 2010 Ingeniørhøjskolen i Århus 14

3) FEM Tårnet (styrkeberegning ved døren)

Spændinger i svejsningen

Feb. 2010 Ingeniørhøjskolen i Århus 15

4) CFD Computational fluid dynamics

Software, IHA:

•CFdesign

•Solid Works fs

Feb. 2010 Ingeniørhøjskolen i Århus 16

4) CFDStøj!

Iso-turbulens- flader

Feb. 2010 Ingeniørhøjskolen i Århus 17

5) Ligningsløsning

Eksempel: Måling af massestrøm i blende!

),(f

hvor

24

111

12

pt

pdqm

Inputs:

d, D, Δp, t1, p1

Output

qm

Opgaven:

Hvilke instrumenter?

Feb. 2010 Ingeniørhøjskolen i Århus 18

5) Ligningsløsning (EES)"Blendenorm, 1952Måling af massestrømHer kun vist for: Normblende med hjørne-trykudtagProgrammet er vist for - tør atmosfærisk luft27. nov. 2006/SGt"

"Geometri"D=0,10 "[m] Rørdiameter - Krav: 50 mm <= D <= 1000m"d_d=0,060 "[m] Dysediameter: Krav: d_d >= 12,5 mm"beta=d_d/D "[-] Krav: 0,23 <= beta <= 0,80"A_D=pi/4*D^2 "[m2] Rørets åbningsareal, baseret på D"

"Målte data"p_1=101325 "[Pa] Absolut-tryk"t_1=20 "[°C] Temperatur"dp=10000 "[Pa] Differenstryk"

"Stofdata - beregnes VHA de i EES indbyggede stofdata-funktioner:"rho_1=DENSITY(Air;T=T_1;P=P_1) "[kg/m3] Densitet, indløb"mu_1=VISCOSITY(Air;T=T_1) "[kg*m/s] - Dynamisk viskocitet"nu_1=mu_1/rho_1 "[m2/s] Kinematisk viskocitet"kappa_1=CP(Air;T=T_1)/CV(Air;T=T_1) "[-] Adiabateksponent!"

Re_D=u_D*D/nu_1 "[-] Krav: 5000 <= Re_D < 10E8 NB: u_D beregnes nedenfor!"

epsilon=1-(0,41+0,35*beta^4)*dp/(kappa_1*p_1) "[-] Ekspansionstal""Blendekoefficienten alpha [-]:"alpha=(1-beta^4)^(-1/2)*(0,5959+0,0312*beta^(2,1)-0,184*beta^8+0,0029*beta^(2,5)*(1000000/Re_D)^0,75)

q_m=alpha*epsilon*pi/4*d_d^2*sqrt(2*dp*rho_1) "[kg/s] Massestrøm"

q_V1=q_m/rho_1 "[kg/s] Volumenstrøm, indløb"u_D=q_V1/A_D "[m/s] Hastighed, i hovedrør (D)"

"NB! Som det fremgår løses lignings-sættet implicit"

Der er:

17 ligninger med 17 ubekendte

Opgaven kunne også løses med MathCad, men her er der ikke indbyggede stofdatabiblioteker (som standard) og ligningsløseren er heller ikke så elegant!

Feb. 2010 Ingeniørhøjskolen i Århus 19

5) Ligningsløsning Partielle afledede!

Feb. 2010 Ingeniørhøjskolen i Århus 20

Kontakt

Mail:

sgt@iha.dk

Hjemmeside:

http://staff.iha.dk/sgt/

- hvor notatet ”Wind turbines” kan hentes!

- og også denne præsentation

På ”Videnskabsfestival’en” optræder jeg med foredraget:

”Hvordan virker en vindmølle og hvorfor er vi verdens bedste inden for dette felt?”