ÖRNEKLER

Güven Aralığı Hesaplamaları

Standart normal dağılım ile olasılık hesaplamaları

Standart normal dağılım ile olasılık hesaplamaları

1

1

2

2

3

3

( ) (( 1 ) ( 1 )) 0.6826

( ) (( 2 ) ( 2 )) 0.9546

( ) (( 3 ) ( 3 )) 0.9973

f x dx P x

f x dx P x

f x dx P x

Normal dağılım eğrisinin standardizasyonu

1

1

2

2

3

3

( ) ( 1 1) 0.6826

( ) ( 2 2) 0.9546

( ) ( 3 3) 0.9973

ii

ii

x

x XÖrneklemde

s

f d P

f d P

f d P

Örnek 1

Bir kliniğe belli bir şikayetle gelen hastaların yaşlarının normal dağılıma sahip olduğu ve ortalamasının 37.5, standart sapmasının ise 7.6 olduğu varsayılırsa, random olarak seçilen bir hastanın 44 yaşından genç olması olasılığı nedir?

Standart normal dağılım tablosuna baktığımızda, Z=0.86’nın 0.8051’lik bir olasılık değerine eşit olduğunu görürüz. Dolayısıyla, rastgele seçilen bir hastanın 44 yaşından genç olma olasılığı %80.5’tir.

44

37.5

7.6

44 37.5 6.50.86

7.6 7.6yaş

xZ

Örnek 2

Bir önceki örneğin verilerine dayanarak, rastgele seçilen bir hastanın yaşının 46 ile 54 arasında olması olasılığı nedir?

46

54

46 37.5 8.51.12

7.6 7.6

54 37.5 16.52.17

7.6 7.6

0 2.17 0.9850

0 1.12 0.8686

0.9850 0.8686 0.1164

(46 54) 0.1164 %11.64

Z

Z

ile arasındaki alan

ile arasındaki alan

Fark

P x

Güven Aralığı

Bir örneklemden elde edilen aritmetik ortalamadan / orandan / varyanstan hareket ederek, populasyon ortalamasına / oranına / varyansına yönelik tahmini sınırları verir

Güven aralığındaki alt ve üst sınırların nedeni, örneklemler arasındaki değişkenliktir

Örneklem büyüklüğü arttıkça, güven aralığı daralır

Standart normal dağılımla güven aralığı

Aritmetik ortalamaya ait teorik örnekleme dağılımının normal eğriye yakınlaştığını, normal eğri altındaki toplam alanın %95’inin de -1.96 ile +1.96 sınırları arasında kaldığını hatırlatalım:

Standart normal dağılımla ortalama için güven aralığı formulü

Populasyon aritmetik ortalaması µ’nün %95 güven aralığı sınırları aşağıdaki gibi ifade edilir:

/2 /2(( ) ( ))

%90 G ven

(( 1.65 ) ( 1.65 )) .90

%95 G ven

(( 1.96 ) ( 1.96 )) .95

%99 G ven

(( 2.58 )

X XX

X XX

X XX

Genel

P X Z X Zn n

ü Araligi

P X Xn n

ü Araligi

P X Xn n

ü Araligi

P Xn

( 2.58 )) .99X X

n

Örnek 1

Glaucoma rahatsızlığı bulunan 60 yaşındaki 200 hastanın ortalama kan basıncı 140 ve standart sapması 25 olarak belirlenmiştir. İlgili populasyonun artalama kan basıncı %95 olasılıkla hangi değerler arasında olabilir?

200

140

25

25standart 1.77

200

( 1.96( )) (140 1.96(1.77))

(140 1.96(1.77)) 136.5

(140 1.96(1.77)) 143.5

136.5 143.5

X

X

X

n

X

Ortalamanin hatasi SHn

P X SH P

Alt sınır P

Üst sınır P

Örnek 1.2

Bir önceki çalışma eğer 100 hasta ile yapılmış olsaydı, %95 güven aralığı sınırları ne olurdu?

100

140

25

25standart 2.5

100

( 1.96( )) (140 1.96(2.5))

(140 1.96(2.5)) 135

(140 1.96(2.5)) 145

135 145

X

X

X

n

X

Ortalamanin hatasi SHn

P X SH P

Alt sınır P

Üst sınır P

Örnek 1.3

Örnek 1.2’deki değerlerle %99 güven aralığının

hesaplanması:

100

140

25

25standart 2.5

100

( 1.65( )) (140 1.65(2.5))

(140 1.65(2.5)) 135.88

(140 1.65(2.5)) 144.13

135.88 144.13

X

X

X

n

X

Ortalamanin hatasi SHn

P X SH P

Alt sınır P

Üst sınır P

Standart normal dağılımla oranlar için güven aralığı formulü

/2 /2

1

(1 )ˆ

ˆ ˆ(( ) ( ))

%90 G ven

ˆ ˆ(( 1.65 ) ( 1.65 )) .90

%95 G ven

ˆ ˆ(( 1.96 ) ( 1.96 )) .95

%99 G ven

ˆ(( 2.58

s

s s

s sp

s p p p

s p p s p

s p p s p

s

p örneklemdeki oran

q p

p p

n

Genel

P p Z P X Z

ü Araligi

P p P p

ü Araligi

P p P p

ü Araligi

P p

ˆ) ( 2.58 )) .99p p s pP p

Standart normal dağılımla oranlar için güven aralığı: Örnek 1.4

Bir Anadolu kasabasında, 40 yaş ve üstü 175 kişi random olarak seçilmiş, %54’ünün (.54) obez olduğu tesbit edilmiştir. %95 güvenle kasabadaki aynı yaş grubu populasyonunun obezite oranlarının sınırları nedir?

175

0.54

1 0.54 0.46

(1 ) 0.54(0.46)ˆ 0.0377

175

((0.54 1.96 0.0377 ) (0.54 1.96 0.0377 ))

0.466 0.614

%46.6 %61.4

s

s

s sp

p

p

p

n

p

q

p p

n

P P

P

P

n<30 ve σ bilinmediği durumlarda

Sözkonusu değişkenin populasyondaki dağılımının normal olduğu varsayımıyla, güven aralığı aşağıdaki gibi ifade edilir:

Yukarıdaki ifadede t, hedeflenen güven seviyesine göre, n-1 serbestlik derecesine karşılık gelen t-dağılımı (Student’s t) değeridir.

, 1 , 1(( ) ( ))x xn X n

s sP X t X t

n n

Student’s t-dağılımı

Populasyon standart sapması (σ) bilinmediği durumlarda, örneklemin standart sapması (s) bir yaklaşım olarak kullanılır

(σ)’nın yerine (s) yerleştirildiğinde, normal dağılım yerine t-dağılımı devreye girer

n<30 olduğu durumlarda, t-dağılımını kullanabilmek için populasyonun normal dağılıma sahip olması gerekir

n>30 olduğu durumlarda ise, normal dağılım

t- dağılımına bir yaklaşım olarak kullanılabilir (populasyon normal dağılıma sahip olmasa dahi.)

Örnek 2

Örnek 1.3’teki verilerin n=25 için söz konusu olduğunu varsayalım; Bu durumda %95 güven aralığı:

, 1 0.5,30 1

30

140

25

25standart 4.56

30

( ( )) ( ( )) (140 2.045(4.56))

(140 2.045(4.56)) 130.68

(140 2.045(4.56)) 149.33

130.68 149.33

x

x

n

X

n

X

s

sOrtalamanin hatasi SH

n

P X t SH P X t SH P

Alt sınır P

Üst sınır P