GUM

Guida ISO all’espressione dell’incertezza di misura (GUM) –

ISO Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement

Cenni di teoria Esercizi

Ogni volta che si voglia misurare un fenomeno (o un oggetto) significa che ad esso, che è reale, si sta applicando un modello, di cui si vogliono stimare i parametri caratteristici.

L’incertezza da cui è affetta la stima di un parametro deriva dalle differenze che esistono tra la realtà ed il modello che la rappresenta, dal fatto che i trasduttori con cui la misura viene realizzata non sono ideali, dall’operatore che esegue la misura, da grandezze non sotto controllo che possono interferire con la misura, ecc …

L’incertezza non può essere

completamente evitata,

la maggior parte di essa

può essere stimata, una

parte di essa può essere ridotta.

È importante ricordare che il

MODELLO è scelto in funzione di ciò che si vuole misurare

Incertezza di misura

Incertezza di misura

Ad ogni misura o stima va associato un valore di incertezza

Approcci diversi conducono alla stessa conclusione: Il valore vero non esiste, o Se il valore vero esiste è sconosciuto

Si utilizzano funzioni di distribuzione di probabilità per descrivere il risultato di una misura

Spostamento Testing Mass - Direzione Y

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

495 496 497 498 499 500 501 502 503

Spostamento [mm]

Dis

trib

uzi

on

e

Istogramma

media

Distribuzione Normale

Box Plot

Six Sigma

Terminologia

“misurazione”:processo sperimentale attraverso il quale si ottengono informazioni circa l’intensità di una certa quantità o grandezza(implica una procedura di misura basata su un MODELLO teorico)

“misurando”:oggetto di una misurazione, quantità (o grandezza) che deve essere misurata

“misura” o “risultato della misurazione”:insieme di valori ragionevolmente attribuibili al misurando. Solitamente la misura è espressa fornendo la stima del misurando con il relativo valore di incertezza.

“incertezza”:dispersione dei valori del misurando

“ERRORE”:quantità che dovrebbe essere corretta o evitata. Termine che non si deve utilizzare riferendosi all’incertezza

“valore vero”:obiettivo ideale della stima attraverso la misura: non esiste o non è conoscibile

Incertezza di misura

L’incertezza può essere stimata: Per mezzo di valutazioni basate sull’esperienza

(storico di dati, analisi della documentazione tecnica, esperienze precedenti …)

[CATEGORIA B] FDP ipotizzata Per mezzo di misure ripetute dello stesso

misurando (analisi statistica dei risultati) [CATEGORIA A] FDP misurata

Per mezzo della propagazione dell’incertezza, nel caso di misure indirette [incertezza combinata] FDP combinata

Propagazione dell’incertezza (GUM)

APPROCCIO GENERALE: Considera eventuali correlazioni Polinomio approssimato alle derivate di primo grado Date u(xi), incertezza associata al valore xi e r(xi,xj),

coefficiente di correlazione lineare tra xi and xj

i jjiji

ji

n

xxrxuxux

y

x

yyu

xxfy

,2

1

Propagazione dell’incertezza (GUM)

FORMA SEMPLIFICATA: Viene utilizzata quando i parametri sono fra loro

indipendenti (non vi sono incertezze correlate)

ii

i

ji

xux

yyu

ji

jixxr

2

2

2

1

0,

Esercizio 1: Modulo di elasticità tangenziale

Considerando l’immagine sottostante, si vuole misurare il modulo di elasticità tangenziale G della barra di acciaio per mezzo dell’applicazione di un momento torcente T e della misura dello spostamento angolare ϑ conseguente.

θ

2R

L

F

a

FaT

GR

LT

4

2

Esercizio 1: Modulo di elasticità tangenziale

Sono state raccolte le seguenti informazioni sulle grandezze coinvolte:

2R 16 mm (calibro ventesimale)

L 1 m (tolleranza di produzione = ±10mm)

2a 240 mm (metro con tacche da 1 mm)

ϑ 0.81 rad (encoder ottico suddiviso in 360 unità)

Della forza F [N] sono state effettuate le seguenti misure ripetute, per mezzo di un dinamometro digitale:30.29 30.17 31.22 31.00 30.90 30.94 30.87 29.90 30.35 30.05

Esercizio 1: Soluzione

1) TROVARE L’EQUAZIONE RISOLVENTE CHE LEGHI TUTTI I PARAMETRI:

È un’equazione in forma chiusa? È fortemente non lineare nell’intorno del valore stimato? Le grandezze coinvolte sono fra loro indipendenti?

4

4 22

R

LFaG

FaT

GR

LT

2) IDENTIFICAZIONE DELLE GRANDEZZE COINVOLTE:

Categoria [A,B] Unità di misura Valore stimato Distribuzione di probabilità Incertezza associata Coefficiente di influenza

(derivata parziale del I ordine)

NB: le unità di misura devono essere COERENTI!

Esercizio 1: Soluzione

4

2

R

LFaG

B[mm]

A[N]

B[mm]

B[rad]

B[mm][MPa]

Esercizio 1: Soluzione

1

1

11

1

2

1

22

1

n

xxnnn

sxu

xn

xx

n

jj

n

jj

CATEGORIA A:n misure ripetute

(dello stesso misurando) Valore stimato

media

Incertezza

varianza/n½

Gradi di libertànum del campione – num parametri stimatiIn teoria i gradi di libertà sono utilizzati per ESTENDERE

l’incertezza, noi non li utilizziamo

Esercizio 1: Soluzione

CATEGORIA B:si ottiene con valutazioni basate sull’esperienza:stima della FDP e dei sui parametri caratteristici

Triangolaremedia = stimasemiampiezza = a

Uniformemedia = stimasemiampiezza = a

Normalemedia = stimavarianza = σ²

xu

axu

axu

3

6

a

x

a

x

σ x

Esercizio 1: Soluzione

Si calcolano i dati statistici derivanti dall’incertezza di categoria A

Il modo migliore di procedere è riempire una tabella nelle cui righe si trovano le grandezze coinvolte e nelle colonne i valori necessari per calcolare l’incertezza

Incertezza Standard

Esercizio 1: Osservazioni

Quando nella stima dell’incertezza di misura il principale contributo è rappresentato dalla risoluzione, si utilizza il seguente approccio:FDP uniforme: semiampiezza = metà risoluzione

ma come regola pratica si usa comunementeFDP uniforme: semiampiezza = risoluzione

in favore della sicurezza Quando si misurano grandezze indirette è

importante ricordare di calcolarne l’incertezza utilizzando il metodo di propagazione. Ad es. se 2R è un diametro, misurato con un’incertezza di 0.028 mm, e si vuole calcolare il raggio R:

u²(R)=u²(2R)/4=>u(R)=u(2R)/2

Esercizio 1: Soluzione

Si stimano i coefficienti di influenza ci

utilizzando le derivate parziali, calcolate numericamente o analiticamente nel valore stimato della grandezza considerata.

Se necessario si calcolano i coefficienti di correlazione, sebbene sia meglio, se possibile, scrivere l’equazione che descrive il fenomeno in modo che tutte le grandezze siano indipendenti fra loro.

424544

222

2

24

22822

2

R

La

F

G

R

LFaG

R

LFa

R

G

R

FL

a

G

R

Fa

L

G

cxuyux

yc

R

LFaG

iii

ii

Esercizio 1: Soluzione

3) CALCOLARE LA STIMA DELLA GRANDEZZA DERIVATA

4) CALCOLARE L’INCERTEZZA COMBINATA

L’incertezza può essere espressa con al più due cifre significative e il valore stimato deve avere la stessa risoluzione dell’incertezza

Esercizio 1: Soluzione

5) CALCOLARE L’INCERTEZZA ESTESA Si sceglie un livello di fiducia: es. 99% Si determina il fattore di copertura utilizzando la

distribuzione normale standardizzata

6) SCRIVERE IL RISULTATO IN FORMA RIGOROSAG=704±29 MPa (P=99%) oppureG=704±29 MPa (k=2.58) oppureG=704 MPa U99% (G)=29 MPa

kyuyU )()(P k

60% 0.8495% 1.9699% 2.58

Esercizio 1 : Analisi approfondita

UMF: Fattore di amplificazione (Uncertainty Magnification Factor)

Indica di quanto viene amplificata l’incertezza di ciascuna grandezza in ingresso in funzione dell’equazione che descrive il fenomeno.

DIPENDE SOLO DALL’EQUAZIONE SCELTA Utile nell’analisi che precede l’acquisto di un

trasduttore, in modo da identificare le grandezze più (UMF>1) o meno (UMF<1) critiche

2

22

y

xcUMF iii

Nome UMFL 1.00a 1.00R 4.00θ 1.00F 1.00

Esercizio 1 : Analisi approfondita

UPC: Uncertainty Percentage Contribution Indica quanta dell’incertezza combinata dipende

dall’incertezza della grandezza in ingresso Tiene conto sia dell’equazione che rappresenta il

modello sia delle incertezze realmente coinvolte Utile per controllare se vi siano alcune grandezze

la cui misura vada migliorata

yu

xucUPC ii

i 2

22

Name UPCL 6.6%a 2.3%R 20.5%θ 60.9%F 9.7%

Riassunto dell’approccio basato sulla GUM

VANTAGGI: Facile da usare, semplicità dei calcoli richiesti Permette di introdurre utili indicatori (UPC,UMF) Permette di ottenere una visione globale del processo di

misura

SVANTAGGI: L’approssimazione del problema è solo al primo ordine Richiede che l’equazione risolvente sia in forma chiusa Può nascondere gradi di libertà

Esercizio 2: Altezza di un edificio

Dalle misure di un edificio ottenute utilizzando un odometro avente diametro = 300 mm e 100 divisioni ed un inclinometro, avente passo pari a 1/10 di grado, si sono ottenuti i seguenti valori

ϑ1=61.5° ϑ2=-8.0° L=15m

h1 =Ltgϑ1

h2 =Ltgϑ2

H = h1+h2

H = L(tgϑ1+tgϑ2)

Ricavare l’altezza dell’edificio come misura indiretta, scrivendo il risultato in forma rigorosa, riportando l’incertezza di misura estesa al 95%

ϑ1

ϑ2

L

H

H=29.73 ± 0.14 m (k=1.96)

Esercizio 3: Punta su un disco

Viene chiesto di misurare il carico applicato ad una punto che striscia su un disco che ruota in una prova volta a determinare il coefficiente di attrito fra i due oggetti, in funzione del materiale di cui sono costituiti. Il carico viene esercitato per mezzo di un attuatore idraulico, utilizzando un moltiplicatore di pressione rappresentato in figura. Sapendo che il diametri sono stati misurati utilizzando un calibro ventesimale e considerando le pressioni in figura, quale trasduttore è il più adatto allo scopo, sapendo che hanno lo stesso prezzo?Quale incertezza può essere associata alla misura dal carico?

Trasduttore 1: fondo scala = 300 kPa, incertezza complessiva = 1%FS

Trasduttore 2: fondo scala = 10 MPa, incertezza complessiva 2%FS

p2≈200kPa p1=p2 (d2/d1)²

d2=200mm

d1=40mm d0=10mm1

2

0

2p

dF